时间：2023-06-01 09:46:01
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇抛物线的标准方程，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
1.关于“如何引入课题”
在我们的日常生活中，抛物线有着重要而广泛的应用，例如，探照灯就是利用抛物面的光学性质制作而成，将点光源发出的光，折射成平行光，照射到足够远的地方.教师在引入课题的时候可以利用多媒体向学生展示一些类似的例子，让学生直观地感受抛物线，同时对比二次函数及其图像，向学生抛出“如何给出抛物线的定义”，从而引出新课.
2.关于“抛物线定义的教学”
在介绍抛物线的画法时，教师应尽量创造条件，让学生亲自动手画出抛物线，引导学生细心观察动点的运动过程，并用数学语言描述动点的运动规律，用心体会数学语言的精确性.在画抛物线的过程中，使学生明白抛物线上的点所满足的几何条件，引导学生概括出抛物线的定义.对抛物线的定义特别要强调的是定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过定点F垂直于直线l的一条直线.如，到点F（1，0）和到直线l：x+y-1=0的距离相等的点的轨迹为：x-y-1=0，该轨迹是过定点F（1，0）且垂直于直线l：x+y-1=0的一条直线.
同时，也可以恰当使用信息技术帮助学生理解抛物线的概念，例如几何画板等，以便让学生更直观地看到动点的运动轨迹.但有时教师由于课时等因素的限制，一般都会在课下就做好课件，课堂上直接演示.实际上用几何画板演示抛物线的形成过程时，建议教师让学生亲历课件制作的过程，演示过程中注意动点的运动速度的控制，引导学生边观察、边思考，这样的过程会有利于学生在动态变化中强化对几何概念的认识.
由于在教学中圆锥曲线方程的推导都需要建立坐标系，故教师要引导学生有意识地加强对“如何建系”的思考，例如抛物线方程的推导中为什么不将定点设在坐标系的原点处？或是以定直线为y轴？这样的思考无疑会有利于学生理解标准方程的意义，进而进一步理解解析几何的本质.特别要注意的是，学生可能会提出各种建系的方式，为了使抛物线方程最后的形式简洁，教师应与学生共同分析并做计算，从而找到较好的建系方式.与此同时还要强调动点所满足的几何条件，因为这是求曲线方程的关键.
还有在推导的过程中会遇到方程的化简.在很多情况下，学生都会遇到类似的方程的化简、利用多个等式于不等式的关系解决如变量的取值范围等问题.由于学生在初中阶段方程的学习仅限于整式方程中的一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程和二元一次方程组，以及可化为一元一次方程的分式方程，不等式的学习也仅限于一元一次不等式，高中阶段学习了一元二次不等式，教师从学生这样的经历不难看出，学生在学习本章时代数变形的学习经历是非常有限的，这就造成了一部分学生在具体的解题过程中缺乏信心、经验不足.因而，建议教师结合学生遇到的具体困难，加强对学生的指导和示范，帮助学生积累代数变形的经验，提高代数推演的能力.
另外，一条抛物线由于它在坐标系内的位置不同方程也不同，于是希望学生自己归纳出抛物线开口向左、向上、向下三种情形下的方程，并求出相应的顶点坐标、焦点坐标.建议画出表格的第一、第二列，引导学生根据抛物线的对称性将下表补充完整.
4.关于“知识巩固”
考虑到抛物线的定义，几何图形，标准方程要求掌握，所以在设置例题的时候要有梯度，例如：求下列抛物线的焦点和准线方程：
同时，为了强调圆锥曲线的应用体现数学的应用价值，可以选取实际应用的例子，帮助学生树立模型观念，为运用这些模型解决实际问题做了良好的铺垫.
关键词：定义解题；抛物线
中图分类号：G40 文献标识码：A 文章编号：1006-4117（2012）02-0269-02
定义是必须掌握的基础知识，也是解决问题的重要工具，用定义解题，可以变繁为简，起到事半功倍的效果。
要灵活运用抛物线的定义来解决问题，一般情况下涉及焦点问题则应首先考虑定义。利用定义寻找等量关系使得求抛物线方程简便易行。
要求抛物线的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面。“定位”是指确定它们与坐标系的相对位置，在中心是原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，开口向哪，以判断方程的形式；“定量”是指P的具体数值，常用待定系数法.
“回归定义”是一种重要的解题策略，要培养用定义解题的意识，特别在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解题。
要准确把握抛物线的标准方程的结构特征以及“标准”的含义，能从它的标准方程读出几何性质，更要能够利用标准方程解决问题。
“看到准线想焦点，看到焦点想准线”从而获得简捷直观的求解，“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径。
一、求最值
例1.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（A）
例2.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点 作倾角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则
例3.设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F是焦点．
（1）求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线X=-1的距离之和的最小值；
（2）若B点的坐标为（3，2），求|PB|+|PF|的最小值．
解析：（1）如图1，易知抛物线的焦点为 ，准线是X=-1．由抛物线的定义知：点P到直线X=-1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连结 交抛物线于P点．
点评：此题利用抛物线的定义，使抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相互转化，再利用平面几何中的知识，使问题获解。
二、求曲线的方程
例1圆心在抛物线 上且与x轴及抛物线的准线都相切，求该圆的方程．
点评：本题利用抛物线的定义，可知切点与焦点重合，从而确定了点的坐标，使问题的求解变的很顺畅．定义法是求轨迹问题的重要方法之一.
三、确定方程的曲线
点评：本题若直接化简方程，再判断其轨迹较繁杂，根据方程两边所表示的几何意义，利用抛物线的定义则简单易行．
四、探究证明
点评：数形结合的数学思想方法在解析几何中有很多的应用，在学习中，学生要善于把已知条件转化成图形中量与量的数量关系及其位置关系，再由图形去研究问题。
作者单位：三门峡市实验高中
参考文献:
关键词：高中；抛物线；教学；
中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2013）09-0167-01
2.高中抛物线教学的技巧
2.1正确地理解抛物线概念。对于抛物线概念的深入理解，才能够在日常的生活中巧妙地运用抛物线知识，这对于教学的"教"以及学生的"学"都有帮助。因此，在高中抛物线的教学中，我们应该恰当地、不适时地融入概念问题。例如我们已知圆的半径（r）和面积（A），尝试写出圆面积计算表达式。此外，在教学当中，我们为了让学生加深印象，也可以通过实际的案例教学。
2.2教学需要以提高学生学习兴趣为目标。高中数学材料对于学生来说是枯燥的，久而久之，学生就会厌烦这一种学习方式，而这却给教师的教学带来了重大的阻碍。所以，让学生对抛物线产生兴趣才是提高抛物线的学习效率。因此，在抛物线教学中可以结合现实情境、创设想象空间，配合多媒体教学，然后在课后布置适合学生难度的作业，这样不仅能够让学生感受到挑战，也不会对学生造成过重的压力，这对学生主动学习能力的培养也有帮助，学生才会不排斥对抛物线的学习[1]。
2.3抛物线教学中需要融入数形结合。对于学生掌握抛物线的性质以及学生观察能力的培养，也可以通过图像来学习抛物线的方式。在高中抛物线的教学中，我们应该让学生在触碰到每一个抛物线的时候都尽量的画出草图，以此来培养学生的观察能力，让学生了解到在平面直角坐标系当中他们的形状与位置。
3.高中抛物线教学的实践
3.1启发深入，引导探究。综合教学过程，要求学生对探究结论进行综合概括，形成知识之间的关系网络，使知识与知识之间、不同学科知识之间、数学知识与现实生活之间建立联系，将探究结论进行综合组织、并纳入自己的数学认知结构中。比如，在推导得到开口向右的抛物线标准方程后，由学生在导学案引导下完成如下两个问题：一是写出另外三种抛物线的标准方程，及焦点坐标和准线方程；二是寻求它们的内在联系，并总结记忆。这是数学探究课的中间层次，教师给出简要的过程提示和大致要求，对学生的结论可以不加限制，既做到理顺问题、尝试结论，又给学生留下一定的思维空间。互动方式是师生互动、人机互动、学生与教材互动[4]。
3.2规范要求，引控方向。探究式学习并不是完全放手让学生去研究，为了能完成有效教学目标，教师要在知识的形成阶段规范要求，引控方向。所以，探究的每一阶段均离不开教师的组织，教师为学生创设情境，调节控制学生的探究活动，教师的教学组织促进学生的探究深化；同时，学生的探究进程要求教师指导、提示、组织、引导。在引导学生归纳抛物线的定义和坐标法求抛物线的标准方程、及对四种标准方程进行规律分析的过程中，笔者一边提示学生去思考、讨论和表达，一方面对学生的结论进行剖析、评价和指正。比如在比较四种标准方程的规律分析中，首先提供线索指导学生进行发散式讨论，如从系数、坐标轴、正负值、对称性等入手思考，以明确问题的指向性，其次在学生讨论不完善的基础上，表明自己的看法与学生的思维发生碰撞，帮助学生修正自己的见解。互动方式是师生互动、生生互动。
3.3提供线索，引起讨论。为了使实际操作和对问题的数学讨论卓有成效，课堂教学氛围民主、和谐和开放，学生的思维始终处于活跃状态，在导学案和问题报告中附加了引导性的问题，如"在曲线的形成过程中，每一对重合的点关于相应的折线对称，那么此时生成的动点 M 有什么几何特征"、"抛物线是满足什么条件点的集合"、"怎样建立直角坐标系求抛物线的标准方程"、"四种标准方程内在联系是什么"等。在这样的教学模式下，学生各抒己见，合作学习，学会从数学的角度发现问题和提出问题，在与他人合作和交流的过程中，客观的理解他人的思考方法和结论，体验获得成功的乐趣，建立学好数学的自信心。互动方式是师生互动、生生互动、人机互动（数学探究过程的交互性）。在课堂学习过程中，教师是学习活动的组织者、探究情境的创设者、探究活动的引导者，既要对学生的讨论给予引导，又要对出现的问题进行点拨。
3.4培养能力，运用技术。高中阶段主要是学生思维能力以及逻辑思维判断能力的培养，因此，作为教师，就需要选择正确的教学方式。对于学生逻辑思维能力的培养，我们也可以运用抛物线的分析判断方式以及思维方式，抛物线对于发展学生思维有着重要作用。因此，我们就需要让抛物线能够展现在学生的眼前，让学生亲眼看到抛物线。而将多媒体技术运用到抛物线教学当中，就能够很好的解决这一问题。在学习当中的运用，不仅能够提升抛物线的教学效率，还能够调动学生对于抛物线学习的积极性[3]。在课前，教师可以将抛物线相关的PPT 制作完成，然后在课堂上通过图文并茂的方式，将抛物线最直观地展现在学生的面前。
4.总结
抛物线，它有丰富的内涵和外延，它贯穿高中和高中数学课程的一种很重要的函数，可见抛物线在中学学习中的重要地位，不管在代数中，解析几何中，利用抛物线的机会也特别多；以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，同时各种数学思想如函数的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想，等价转换的思想利用抛物线作为载体，展现的最为充分，培养学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
参考文献
[1]杨斗。 三元整合教学模式教学方案的实验研究--以《抛物线》教学为例[J]。 教育导刊，2013，（2）。
关键词：数学素养；变式题；推理能力
圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型，有很多几何性质，这些重要的几何性质在日常生活、社会生产及其他科学中都有着重要而广泛的应用，并且学习这部分内容对于提高自身的素质是非常重要的.其中抛物线是圆锥曲线中的重要的一类，在高考中有着重要的地位.特别地，在导数引入高中数学，对抛物线的考查就更为频繁.在学习了抛物线的定义以及抛物线的几何性质之后，为了更好地理解抛物线的定义，笔者从下面几个方面进行说明.
一、巩固抛物线的定义
1.到点A（1，1）的距离与到直线l：3x-4y+1=0的距离相等的点的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
解析：粗看满足抛物线的定义，再仔细一看，易发现点A∈l，点的轨迹为经过点A且垂直于直线l的一条直线.这有助于理解抛物线的定义――直线外的一点.
2.经过点F（2，0）且与直线l：x=-2相切的动圆的圆心M的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
解析：由圆的性质及直线与圆相切的性质可知，圆心到切线的距离等于半径，又点F在圆M上：即圆心M到定点F的距离等于到定直线l的距离，满足抛物线的定义，所以动圆心M的轨迹是抛物线.
变式1：到点F（2，0）的距离比到直线l：x=-1的距离大1的点的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
解析：把直线l向左平移一个单位，可以转化为l′∶x=-2，到定点F（2，0）的距离等于到定直线l′：x=-2的距离，满足抛物线的定义。
变式2：动点M（x，y）满足等式： = ，则点M的轨迹为（ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
解析：等式可化为： = .
根据两点间的距离和点到直线的距离公式可得，动点M（x，y）到定点F（2，0）的距离等于到定直线l：3x+4y-2=0的距离，满足抛物线的定义（不是我们所熟悉的标准条件下的抛物线）.
二、抛物线定义的简单应用
1.求焦点在x轴上，且抛物线上一点A（3，m）到焦点的距离为5的抛物线的标准方程.
解析：根据题意，设抛物线的标准方程为：y2=2px（p>0），如果运用两点间距离公式，待定系数法联立方程组解得，运算量较大.所以可根据抛物线的定义，抛物线上的点A到准线：x=-p/2的距离等于5，可得到p的值，从而求得抛物线的方程.
2.已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P在抛物线上，有一定点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，及对应的点P的坐标.
解析：由定义可知，抛物线上的点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，所以求|PA|+|PF|的最小值，转化为求|PA|+d的最小值，由点与直线上的点的连线中垂线段最短可得，过点A作准线的垂线，垂线段长即为所求的最小值，该垂线与抛物线的交点就是所求的点P.
变式：已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P在抛物线上，有一定点A（2，3），点P到y轴的距离为d，求|PA|+d的最小值.
解析：P到y轴的距离，可以延长到准线的距离，再根据抛物线的定义，转化为到焦点的距离，即（|AP|+|PF|）-1/2的最小值，当A、P、F三点共线时取最小值.
3.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点是F，准线为l，过点F的弦AB为直径的圆与准线l的位置关系 .
解析：过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别是A1，B1，取AB的中点为C，过C作准线l的垂线，垂足为C1，由抛物线的定义可知：|BB1|=|BF|，|FA|=|AA1|.
|AB|=|AA1|+|BB1|.
CC1是梯形ABB1A1的中位线.
2|CC1|=|AA1|+|BB1|.
|AB|=2|CC1|，即圆心C到准线的距离等于半径.
以AB为直径的圆与准线l相切.
变式：已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点是F，准线为l，过点F的弦AB，作AA1l，BB1l，垂足为A1，B1，求证：A1FB1F.
解析：在AA1F和BB1F中，根据抛物线的定义可知，|AF|=
|AA1|，|BF|=|BB1|，
2∠A1FA+∠A1AF=180°，
2∠B1FB+∠B1BF=180°，AA1∥BB1，
∠A1AF+∠B1BF=180°，
∠A1FA+∠B1FB=90°，
∠A1FB1=90°，即A1FB1F.
4.已知AB是抛物线y=x2上的动弦，且|AB|=a（a为常数且a>1），求弦AB的中点M的纵坐标的最小值.
解析：设点M的坐标为（x0，y0），过A，B，M分别作准线l∶y=- 的垂线，垂足分别为A1，B1，N，得直角梯形ABB1A1，MN为梯形的中位线.
MN= （AA1+BB1），又y0=MN- .
连接AF，BF，在ABF中，|AF|+|BF|≥|AB|=a，当且仅当AB经过焦点F时取“=”.
根据抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，
MN= （AA1+BB1）= （|AF|+|BF|）≥ AB= a，
当弦AB经过焦点F时，中点M的纵坐标有最小值： a- .
5.如下图，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程是（ ）
A.y2= x B.y2=3x C.y2= x D.y2=9x
解析：过A，B分别作准线的垂线，垂足为A1，B1，准线与x轴相交于点K，则|BF|=|BB1|.
|BC|=2|BF|，|CB|=2|BB1|，∠B1CB=30°，
|AC|=2|A1A|=2|AF|=6，
F为AC的中点.
FK= AA1= ，即p= ，
抛物线的方程为y2=3x.
通过以上几个例子，让我们能够进一步理解抛物线的定义，能更好地解决与抛物线有关的焦半径问题和焦点弦问题，解决有关抛物线的最值问题和定点、定值问题.重视概念的理解是掌握基础知识的第一步，是发展学生基本技能，培养学生的运算能力、思维能力、逻辑推理能力和分析解决问题的能力的基础，是培养学生数学素养的基础.
《高中数学课程标准》指出“现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往课堂教学中难以呈现的课程内容”。在这一理念指导之下，信息技术大踏步地走入了课堂教学中。它克服了传统教学中某些缺陷，极大地促进了数学学科教学水平的发展，提高了教学效果，在培养学生探索与创新精神、树立辨证观点、发挥学生的非智力因素，展示知识的产生过程都有很大的优越性。
作为新课程的直接实施者，我与时俱进，在教学中尽可能地创设使用信息技术的情境。利用信息技术的优势改进了学生的学习方式，提高了教学质量。岂料信息技术的应用是一把双刃剑，在提高课堂效率的同时，它有时也剥夺了学生充分思考的时间，减少了学生自主的活动，压抑了学生解题灵感。现以《抛物线及其标准方程》的教学为例，来谈谈自己对高中新课程课堂教学中运用信息技术的一些思考。
二、案例回顾
1、教材内容分析
《抛物线及其标准方程》是《普通高中课程标准实验教科书-数学选修（2-1）》（人教版）第二章第四节第一课时的内容。这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要；另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化。本节对物线的研究，与初中阶段二次函数的图象遥相呼应，体现了数学的和谐之美。教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则。
2、学生学习情况分析
初中阶段，抛物线为学生学次函数y=ax2+bx+c提供直观的图象感觉。但学生并不清楚这种曲线的本质。高中阶段，在系统学习了椭圆、双曲线的知识之后，学生对研究圆锥曲线的一般方法和过程已经比较熟悉，因此抛物线的内容比较容易接受和理解。
3、教学目标
（1）知识与技能：理解物线的定义，掌握物线的标准方程及其推导。能解决简单的求物线标准方程问题。
（2）过程与方法：通过对物线和椭圆、双曲线的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系。
（3）情感、态度与价值观：引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美。
4、教学重点与难点
重点：抛物线的定义和标准方程.
难点：对抛物线定义的探究和推导标准方程时坐标系的选择.
（二）引导探究，获得新知
抛物线的定义：
在初中我们已经从函数角度学过抛物线，那么，这一节课我们将冲破初中的界限从曲线和方程的角度来学习抛物线.首先我们来探究抛物线轨迹的形成过程。
[信息技术应用]教材64页.教师用几何画板演示画图过程.
如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线。H是l上任意一点，经过点H作MHl，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹.你能发现点M满足的几何条件吗？
学生观察，并相互交流.
[设计意图]应用几何画板画图，使学生形象地经历轨迹的形成过程，提高对概括抛物线定义的兴趣和能力，同时体现信息技术在数学教学中的应用价值.
（或许是学生过分关注于过程而忽视了目的，此时仅有两人能回答出MF=MH，但也不能用语言描述“M与定点F和定直线l的距离相等”.于是我重新用几何画板演示，同时引导学生观察的长度，并提醒学生注意m是线段FH的垂直平分线，这时学生才似乎恍然大悟，纷纷说出结论，同时指出点M的轨迹是抛物线.接下来担心学生在提炼定义时有困难，我直接用课件给出抛物线定义.）
（三）实践应用，鼓励创新
例2教材66页
分析：这是一道实际生活问题，如何将这个问题转化成数学问题呢？（生：建立直角坐标系）怎么建立？（生：应该在接收天线的轴截面所在平面建立）
师生同步分析，学生独立完成.教师应用多媒体给出标准解题过程.
[设计意图]巩固新知识，加深学生的数学应用意识，让学生感受数学的价值，体会数学来自生活，又应用于生活，服务于生活.
（四）归纳小结，深化认识
师生同步归纳，教师应用多媒体给出：
1、知识：抛物线的定义及标准方程.
2、数学思想方法：转化思想，类比.
（五）布置作业
课本P731、2、3、4
三、案例分析
这节课上完后学生脸上的迷茫和失望一直深深地印在我的脑海，我开始反思这节课，反思信息技术应用在教学中的得失。
1、创设情境：借助多媒体出示图片，播放动画，形象生动，极大地调动了学生的兴趣与积极性，激发起学生探求新知的欲望，提高了学生在感情和行为上的参与意识。
2、抛物线的定义：抛物线概念的形成，是本节的难点。在教学设计中我用几何画板画图，是为了给学生提供观察的平台，却没有达到预想的目的。教材中信息技术的应用，是为了给学生呈现抛物线形成的动态过程。而我过高估计了信息技术的作用，急于求成，在没有给学生任何引导和提示下，就要求学生概括形成过程，致使学生在一片茫然。当重新演示并适当启发后，学生都能得出正确结论。此时本应趁热打铁，让学生概括定义，我却担心学生在提炼定义时有困难，直接用课件给出了抛物线定义。教学难点不仅没有被突破，连学生刚刚激发的探究欲望也被冷漠的扼杀。冷冰冰的利用课件给出定义，掩盖了思维过程的展示，忽视与学生思维节奏的合拍。这种做法限制甚至遏制了学生思维能力尤其是求异思维的发展，不利于鼓励创新。
3、抛物线的标准方程：
抛物线标准方程的推导，关键在于选择适当的坐标系。当学生经过自主探究，分组谈论后仍难以确定最优方案时，我适时地利用多媒体课件展示出争论较多的三种方案，并同时给出每一种方案所对应的方程，课件的快速、直观，让学生没有异议的做出了选择。当学生跃跃欲试，准备上黑板推导过程时，我为了节省时间，利用多媒体直接给出推导过程。这一环节我自认为进行得比较顺利。到研究另外三种不同方向的方程时，我刚一提出问题，就有一个怪怪的声音传来：“这个过程，请看老师的课件。”我呆住了……信息技术应用的弊端狠狠的刺向了我。过度的信息技术应用使学生失去冷静思考的能力，深深的伤害了师生之间的感情。人机互动增多，面对面的交流减少。冷冰冰的人机对话来替代语言、感情的交流。缺乏情感交流的教学，就像一片荒芜的沙漠，无法培育出健康成长的学生，造成师生间情感的缺失。
四、案例反思
（一）纵观这节课，信息技术应用的优势：
1、创设情境，激发和调动了学生的兴趣与积极性。
2、模拟情境，给数学实验提供了可能。
3、信息量大、展示方便快捷，节约时间和空间，提高教学效率。
（二）信息技术应用存在的弊端：
1、信息技术应用替代了传统教学的情感教育、交流合作。
2、辅助教学成了代替教学，不利于学生能力的培养。
3、信息技术应用展示数学现象和数学规律，忽视了揭示过程的一面。
4、随意呈现，喧宾夺主。
总之，信息技术与学科课程的整合，是改革教育模式、教学方式和教学手段的重要途径，也是当今教育改革的必然趋势。同时这也是一项庞大而复杂的工程，无法形成固定的模式，在探索的过程中，更应该倡导一种理念――信息技术只是一种工具，无法取代教师而成为课堂的全部，教师应努力以最恰当、最有效的方式将信息技术应用于课堂。这样用好信息技术这把“双刃剑”，真正构建以生为本的E时代和谐课堂。
参考文献
原题过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
关于此结论，椭圆、双曲线也有类似性质，文[1]中已做详细说明论证，这里不再进行说明.其逆命题“过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，作直线DB平行于抛物线的对称轴，交抛物线的准线于点D，则A，O，D三点在同一条直线上.”也是正确的.同样椭圆、双曲线也有类似性质，证明不难，此处略.
拓展
命题1已知A为抛物线y2=2px（p>0）上任意一点，通过点A和抛物线顶点O的直线交抛物线的准线于点D，过点A作x轴的平行线，交抛物线的准线于点C，则CFDF.
.
法二：（如图2）连接AF并延长，与抛物线另一交点为B，连接DB，根据课本例题结果可知DB平行于x轴，因此DB∥AC，所以∠CAF+∠DBF=180°.
由抛物线定义知AC=AF，BD=BF，所以∠ACF=∠AFC，∠BDF=∠BFD.
所以∠ACF+∠BDF=∠AFC+∠BFD=90°.
所以∠CFD=90°，即CFDF.
例1已知A为抛物线y2=2px（p>0）上任意一点，通过点A和抛物线顶点O的直线交抛物线的准线于点D，过点A作x轴的平行线，交抛物线的准线于点C，试问在平面上是否存在一个定点，使得以CD为直径的圆恒过该定点？若存在，求出这个点的坐标；若不存在，说明理由.
命题1的证明过程做小小的改动，就是例1的解题过程，这里不做解答.
类比探究：
笔者发现D点是抛物线上点A和顶点O连线OA与准线的交点，而椭圆与双曲线都有两个顶点，那么椭圆上任意一个点与它的两个顶点的连线必与椭圆的准线有两个不同的交点M1，M2，进一步探究发现，以M1M2为直径的圆恒过椭圆的与该准线对应的焦点.
命题2已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），右准线l：x=a2c，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点P（x1，y1）是椭圆上异于左、右顶点的一个动点，直线PA，PB分别与l交于点M1，M2，则以M1M2为直径的圆恒过椭圆的右焦点F2（c，0）.
证明由已知可得A（-a，0），B（a，0），F2（c，0），则
命题3已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），右准线l：x=a2c，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P（x1，y1）是双曲线上异于左、右顶点的一个动点，直线PA，PB分别与l交于点M1，M2，则以M1M2为直径的圆恒过双曲线的右焦点F2（c，0）.
例2已知离心率为2的双曲线C与椭圆x29+y25=1有相同的焦点.
（Ⅰ）求出双曲线C的方程；
（Ⅱ） 直线l：x=1，A是双曲线C的左顶点，B是曲线C的右顶点，点P（x1，y1）是椭圆上异于左、右顶点的一个动点，直线PA与l交于点M1，直线PB与l交于点M2，问x轴上是否存在定点D，使得对变化的点P，以M1M2为直径的圆恒过点D？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由.
解（Ⅰ） 双曲线C的方程是x22-y22=1（过程略）.
（Ⅱ） 由已知可得A（-2，0），B（2，0），F2（2，0），则
假设在x轴上存在定点D（t，0），使得以M1M2为直径的圆恒过点D，则
通过对这道课本例题的拓展与探究，得到了一个圆锥曲线上一点与顶点连线及准线的一个性质.如果教师平时能多关注教材，注重例题的二次开发，并将此引入课堂，对培养学生探究能力、提高教师的专业素质必能起到积极的促进作用.
教育部于2001年启动了以“构建符合素质教育要求的基础教育课程体系”为目标的第八轮新课程改革，其核心理念是素质教育，强调体验、对话、交流，提倡自主、合作、探究的学习方式.导学稿正是在此背景下，针对素质教育的要求，面向全体学生，为大面积提高教学质量而提出的，是课堂教学改革、提高课堂教学质量和效益的有效载体.但在导学稿的设计与使用过程当中，经常可以在一线老师当中听到这样一些声音：
1. 导学稿为何要设置这些栏目，有何依据？
2. 导学稿中的问题为何这样设计，有何依据？
3. 别人设计的导学稿，自己在课堂上该如何使用，效果有保证吗？
有老师说，这就是自己几十年的教学经验，没什么依据，只知道这样设计效果不错；有老师说，看到一些好老师这样做，我就依葫芦画瓢，也不知道是否合理；也有老师说，别人设计的导学稿还真是不好把握，总感觉到被缚住手脚，课堂效果不尽人意……
对于以上问题的提出，笔者认为，这恰恰是一大批敬业的老师对教学负责、对学生负责、对教学有效性追求的体现；教学的境界也从感性追求慢慢过渡到了理性思考；教师的角色也从一个教书匠慢慢向一个研究者的身份靠拢……
对于上述问题，笔者也作了一些调查及文献检索，在此稍作叙述.导学稿的基本结构中，山东昌乐二中“271”模式的导学稿包括：学习目标、重点难点、使用说明、自学指导、相应练习、当堂检测七个部分；国佳（2009）在《数学新课程理念下的学案导学教学模式研究》中提出导学稿包括学习目标、学法指导、自学检测、问题讨论、基础训练、能力训练、学习小结、推荐作业等八个部分，但对于导学稿基本结构的设置，均没有作任何的设置说明，停留在经验层面；对于导学稿中的问题设计，山东杜郎口的“336”模式导学稿中问题设计的原则：目标性、导学性、探究性、层次性、提升性、衔接性、整合性、生活性、突破性、开放性；江苏洋思中学的“先学后练，当堂训练”模式导学稿贯彻：主导性、主体性、活动性、创新性、问题性、民主性、层次性原则，这些问题设计的原则看起来均有道理，但实践中不好操作，教师得不到有实际意义的指导，有一种“中听不中用”的感觉；甚至有一些学校或者老师在照搬一些名校的导学稿后，却发现使用效果不尽人意，依此可知，导学稿的设计并没有把学生的“学”与老师的“教”之间很好地统一起来.
以上这些问题，如何才能解决？
结合我校在“三元整合导学模式”课堂教学改革中的认识及经验，笔者以为：解决问题的关键在于导学稿的设计一定要科学，要符合现代学习理论以及建立在现代学习理论基础上的教学论和相应的教学设计原理.只有这样，课堂教学的有效性才有保障，才有了科学性基础.
2现代学习理论
2.1学习分类理论
2.1.1信息加工心理学关于知识的分类
以安德森为首的信息加工心理学家把人类习得的知识分为两大类：一类为陈述性知识，另一类为程序性知识.陈述性知识是用于回答“是什么”的问题，如“符号∈是什么意思”，“直线与平面的位置关系有哪几种”，“sin30°的值是多少”等问题，都需要有陈述性知识.程序性知识是用于回答“怎么办”的问题，如怎样运用直线与平面垂直的判定定理去证明线面垂直，怎样计算点到直线的距离等问题，需要程序性知识.掌握程序性知识不能满足于仅仅能陈述的状态，还必须明确办事的操作步骤.
2.1.2加涅的学习结果分类
美国著名学习与教学心理学家R.M.加涅认为，人类的学习有不同的类型，不同类型的学习结果需要不同类型的教学，不同类型知识的学习所需要的过程及条件也不相同.他将人类学习的结图1果分为五种类型：1.言语信息，分三个小类：符号记忆、事实性知识、有组织的整体知识.高中阶段学习的陈述性知识基本上都是有组织的整体知识. 2.智慧技能，分五个小类：辨别、具体概念、定义性概念、规则、高级规则.并且，加涅进一步提出五种智慧技能的习得存在着层次关系（图1）：高级规则学习以简单规则学习为先决条件；规则学习以定义性概念学习为先决条件；定义性概念学习以具体概念学习为先决条件；具体概念学习以知觉辨别为先决条件.3.认知策略. 4.动作技能.5.态度.上述五种学习结果中，前三种属于认知领域，是我们在学科教学中学习与研究的重点.
2.2广义知识学与教的一般模型
华东师范大学皮连生教授通过实证研究后认为，完整的教学过程必须符合“广义知识学与教的一般过程模型”（表1），又称“六步三阶段模型”，缺少任何一步，要么学习不能发生，或者学习虽然发生，但不能转化或持久保持.
依据“广义知识学与教的一般过程模型”，容易知道，“学”与“教”是一个整体，密不可分.故笔者以为，学习效果要保证，教学设计及课堂教学从框架上应依据“六步三阶段”模型来构建.其中，导学稿侧重于学与教的一般过程中“学”的文本设计，课堂教学侧重于学与教的一般过程中“教”的方案设计.只有这样，才能较好地保证学与教的一致性与有效性.
2.3基于现代学习理论的课型理论
课型即课的类型，是根据一定的标准对课的类别进行划分的结果.在一定的教学理论指导下，每一种课型都具有一定的课堂教学结构.根据学习分类理论及其基础上的教学论、教学设计原理，每一种学科基本课型的课堂教学结构实际上就是不同类型知识的学习过程和内、外部条件的综合反映，也是对学科特点主动适应的结果，最大限度地满足各种基本课型的学习过程和条件是确保学生学会学习的前提和基础.例如，高中数学科可划分为概念课、规则课、解题课、复习课等基本课型.
下面，仅对于学习分类理论指导下的高中数学基本课型中的概念课从基本任务、知识类型及学习的过程与条件三个方面进行概括：
数学概念课型
1.基本任务：（一）明确数学概念是什么，具体包括：（1）揭示概念所反映的一类事物的本质属性，给概念下定义；（2）辨别概念的正例和反例；（3）用不同的语言形式对概念加以解释，如将概念的定义由文字语言表述转换为用符号语言或图形语言表述；（4）分析所学概念的其它一些重要属性或特征.（二）辨明新概念与原有相关概念之间的关系，以及在概念形成过程中蕴含的数学思想方法与情感教育内容.（三）运用概念去办事，即通过变式练习和综合练习将习得的数学概念运用到各种具体情境中去解决相应的问题.
2.知识类型：高中数学概念课型中蕴含的主要知识类型是定义性概念，属于程序性知识中的智慧技能的学习.教学的重点是概念的理解问题.
3.学习的过程与条件：概念学习主要有两种方式，概念的形成与概念的同化，重点是解决概念的理解问题，可用奥苏贝尔的同化论来解释.
（一）概念形成：从辨别概念的例证出发，逐渐归纳概括出概念的本质属性的一种学习方式，其心理机制可用奥苏贝尔的上位学习模式来解释.
学习的基本过程为：辨别（辨别概念例证的特征）假设（对概念例证的共同本质特征作出假设）检验假设概括（给概念下定义）.
（1）学习的内部条件是：学生必须能够辨别正、反例证.
（2）学习的外部条件是：①必须为学生提供概念的正、反例.正例应有变化而且应有两个或两个以上，以帮助学生更好地辨别概念的本质属性和非本质属性；正例的呈现最好能让学生意识到，不至于看了一个正例却忘了另一个；②学生必须能够从外界获得反馈信息，以检验其所做的假设是否正确；③提供适当的练习，并给以矫正性反馈；④提供间隔练习以促进保持和迁移.
（二）概念同化：通过直接下定义来揭示一类事物的共同本质属性，从而习得概念的一种学习方式，其心理机制可用奥苏贝尔的下位学习模式来解释.
学习的基本过程为：理解概念的定义辨别概念的例证.
（1）学习的内部条件是：学生的原有认知结构中具有同化新概念的适当的上位概念（或结构），而且这一上位概念（或结构）越巩固、越清晰就越有利于新的下位概念的同化.如百分数这个定义性概念，如果学生头脑中已有“分数”这个上位概念，那么百分数可以用概念同化的形式学习.其学习过程是一个接受过程，即百分数的定义特征不必经过学生从例子中发现，可以直接以定义形式呈现.学生利用其原有上位概念“分数”同化“百分数”.在学习时，学生找出百分数与分数的相同点，新的百分数被纳入原有分数概念中；同时要找出新知识（百分数）与原有知识（分数）的相异点，这样新旧知识可以分化，不致混淆.
（2）学习的外部条件是：①言语指导，以帮助学生更好地理解概念的本质属性；②提供符合概念定义的正例和不符合概念定义的反例；③提供适当的练习，并给以矫正性反馈；④提供间隔练习以促进保持和迁移.
以概念形成和概念同化的形式习得的概念属于概念的理解，若要运用概念对外办事，则还需给学生提供一个重要的外部条件：变式（概念的正例的变化）练习，变式练习是知识向技能转化的重要途径.例如，2，3，5，7，11等都是“质数”的变式.
3现代学习理论的应用
3.1导学稿栏目的设计
导学稿侧重于“学”的文本设计，依据皮连生教授实证研究的成果，完整的教学过程必须符合“六步三阶段模型”，缺少任何一步，要么学习不能发生，或者学习虽然发生，但不能转化或持久保持.为此，笔者把“学”的六个步骤从模型中提取出来（图2）进行分析，在教学实践中科学、合理构建导学稿的栏目.
一、课题名称：
二、学习目标（包含重、难点）：
三、课时安排：
第2步，激活原有知识：激活学生原有的、与本节课内容相关的知识.构建栏目：复习回顾
第3步，选择性知觉；第4步，新知识编入原有命题网络；第5步，认知结构重建与改组/经变式练习，命题转化为产生式系统：3、4步合在一起，实质上就是新知识的理解过程，是学习的重点与难点；第5步实质上是知识的巩固和转化过程，此阶段要完成新知理解、知识向技能的转化问题、并进行反馈及补救，是学习效果的保障，与前两步密不可分.构建栏目：学习新知（在新知理解过程中，应根据相应课型理论进行教学设计）；第6步：根据线索提取知识/一旦条件满足，行动能自动激活，这实质上是知识的提取、迁移或应用阶段，强化知识的熟练程度.构建栏目：课后练习
综上所述，基于现代学习理论下的高中数学导学稿的栏目设计为以下6个：
一、课题名称：
二、学习目标（包含重、难点）：
三、课时安排：
四、复习回顾
五、学习新知（根据相应课型理论进行教学设计）
六、课后练习
3.2导学稿的具体设计案例
笔者以选修1-1中的抛物线为例进行导学稿设计及分析.具体如下：
一、课题：抛物线（人教A版数学新课标教材选修2-1，P64―P72）
二、学习目标：
1、能准确回忆抛物线文字表述的定义，并能用符号加以表示，以及能画出相应的图形；
2、能准确写出抛物线的标准方程，能用自己的话简要叙述教材中标准方程的推导过程，并能自行给出其它形式标准方程的推导；
3、能准确回忆并解释抛物线的几何性质；
4、能运用抛物线的概念解决简单的数学问题.
其中目标3、4是重点内容.
三、课时安排：2课时
四、复习回顾
（1）椭圆、双曲线标准方程中“标准”的含义：
.
（2）椭圆和双曲线上的点到定点（焦点）与到相应定直线（准线）的距离的比都等于常数（离心率），当时，是椭圆，当时，是双曲线.当时，是抛物线.
五、学习新知
指导语：我们可以类比研究圆锥曲线中椭圆或双曲线的方法来研究抛物线：（1）根据定义建系设点求方程；（2）根据方程、图像，利用数形结合的思想考察性质；（3）根据方程和性质研究与抛物线有关坐标及最值问题等.在自学别注意抛物线与椭圆、双曲线的不同之处：到焦点与到准线的距离相等，这是关键.
设计意图可看成是学习新知的一种先行组织者策略，引导大家明确学习的方法.本质上采用了奥苏贝尔在概念同化过程中的下位学习模式，学生已经懂得了研究圆锥曲线的一般方法，而抛物线也是圆锥曲线的一种，故抛物线的概念容易形成.并且，在此把研究圆锥曲线的一般方法写出来，意在强化学生原有知识结构.
请同学们自学教材的内容（例2，例5先不看），并完成以下任务.
1. 结合书本的表格完成下面表格序
号标准
方程y2=2px
（p>0）y2=-2px
（p>0）x2=2py
（p>0）x2=-2py
（p>0）1图形2范围3对称
轴4顶点
坐标5焦点
坐标6离心
率7准线
方程8p的几何意义：p恒为数（正 / 负）
问题：你能否由上表四种方程的特点归纳抛物线焦点所在的坐标轴以及开口方向和什么有关？
设计意图提出问题，给学生以指导，帮助学生更好地理解抛物线概念的本质属性.
2.抛物线y2=12x上一点M到焦点的距离等于9，则点M到准线距离是 ，点M的横坐标是.
3.求抛物线y-2x2=0的焦点坐标为，准线方程为 .
4.求抛物线y=ax2的焦点坐标为，准线方程为 .
设计意图提供多个正例2、3、4，以帮助形成对抛物线概念的理解.
5.若l不经过点F，则平面内与定点F和定直线l距离相等的点的轨迹是什么？
设计意图提供反例5，加强对抛物线概念的辨析理解.
强化训练
6.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并画图.
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，经过点P（-6，-3） ；
（2）顶点在原点，准线为y=2；
（3）顶点在原点，经过点P（-6，-3）.
7.抛物线y2=8x上一点P到顶点的距离等于它到准线的距离，这点坐标是（）.
A. （2，4）B.（2，±4）C. （1，22）D. （1，±22）
8.已知M为抛物线y2=4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P（3 ，1），则|MP|+|MF|的最小值为（）.
A. 3B. 4C. 5D. 6
9.过抛物线y2=2px（p>0）的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），则以|AB|为直径的圆与抛物线的准线的位置关系为（）.
A. 相交B. 相离C. 相切D. 不确定
设计意图提供适当练习，并进行矫正反馈，以形成利用概念对外办事的能力.
六、课后练习
请同学们在课后完成下列练习10―15，可以检验你对抛物线定义是否有深刻的理解、能否灵活运用抛物线的性质解决问题.
10.抛物线y2=2px（p>0）上一点M到焦点的距离是aa>p2，则点M到准线的距离是，点M的横坐标是.
11.求顶点在原点，焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程.
12.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）.若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）.
A. 22B. 23C. 4D. 25
13. 右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.
14.已知点P到点F（4，0）的距离比它到直线l：x=-6的距离短2，求点P的轨迹方程.
15.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P（m，-3）到焦点的距离为5，求抛物线方程.
1.平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，-1)，C(2，-3)两点，点D在直线3x-y+1=0上移动，则点B的轨迹方程为()
A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0
C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0
答案：A 解题思路：设AC的中点为O，即.设B(x，y)关于点O的对称点为(x0，y0)，即D(x0，y0)，则由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.
2.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为()
A.1 B.2
C. -2D.3
答案：C 解题思路：当该点是过圆心向直线引的垂线的交点时，切线长最小.因圆心(3,0)到直线的距离为d==2，所以切线长的最小值是l==.
3.直线y=x+b与曲线x=有且只有一个交点，则b的取值范围是()
A.{b||b|=}
B.{b|-1
C.{b|-1≤b2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是双曲线渐近线上的一点，AF2F1F2，原点O到直线AF1的距离为|OF1|，则渐近线的斜率为()
A.或- B.或-
C.1或-1 D.或-
答案：D 命题立意：本题考查了双曲线的几何性质的探究，体现了解析几何的数学思想方法的巧妙应用，难度中等.
解题思路：如图如示，不妨设点A是第一象限内双曲线渐近线y=x上的一点，由AF2F1F2，可得点A的坐标为，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，则tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得该双曲线渐近线的斜率为或-，故应选D.
4.设F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，与直线y=b相切的F2交椭圆于点E，E恰好是直线EF1与F2的切点，则椭圆的离心率为()
A. B.
C. D.
答案：C 解题思路：由题意可得，EF1F2为直角三角形，且F1EF2=90°，
|F1F2|=2c，|EF2|=b，
由椭圆的定义知|EF1|=2a-b，
又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，
即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，
所以e2===，故e=，故选C.5.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为()
A. B.2 C.4 D.8
答案：C 解题思路：由题意得，设等轴双曲线的方程为-=1，又抛物线y2=16x的准线方程为x=-4，代入双曲线的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以双曲线的实轴长为2a=4，故选C.
6.抛物线y2=-12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线围成的三角形的面积等于()
A. B.3 C. D.3
答案：B 命题立意：本题主要考查抛物线与双曲线的性质等基础知识，意在考查考生的运算能力.
解题思路：依题意得，抛物线y2=-12x的准线方程是x=3，双曲线-=1的渐近线方程是y=±x，直线x=3与直线y=±x的交点坐标是(3，±)，因此所求的三角形的面积等于×2×3=3，故选B.
7.若双曲线-=1与椭圆+=1(m>b>0)的离心率之积大于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是()
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
答案：D 解题思路：双曲线的离心率为e1=，椭圆的离心率e2=，由题意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形为钝角三角形，故选D.
8. F1，F2分别是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点.若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()
A.2 B. C. D.
答案：B 命题立意：本题主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何性质以及基本量的计算等基础知识，考查了考生的推理论证能力以及运算求解能力.
解题思路：如图，由双曲线定义得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因为ABF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故选B.
9.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()
A.2 B.3
C. D.
答案：A 解题思路：设抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离分别为d1，d2，根据抛物线的定义可知直线l2：x=-1恰为抛物线的准线，抛物线的焦点为F(1,0)，则d2=|PF|，由数形结合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值时，即为点F到l1的距离，利用点到直线的距离公式得最小值为=2，故选A.
10.已知双曲线-=1(a>0，b>0)，A，B是双曲线的两个顶点，P是双曲线上的一点，且与点B在双曲线的同一支上，P关于y轴的对称点是Q.若直线AP，BQ的斜率分别是k1，k2，且k1·k2=-，则双曲线的离心率是()
A. B. C. D.
答案：C 命题立意：本题考查双曲线方程及其离心率的求解，考查化简及变形能力，难度中等.
解题思路：设A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于点P在双曲线上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故选C.
二、填空题
11.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面积的最小值是________.
答案：(1)-8 (2)2 命题立意：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，难度中等.
解题思路：设直线AB的方程为x-2=m(y-0)，即x=my+2，联立得y2-4my-8=0.(1)由根与系数的关系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面积为S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.
知识拓展：将ABF分割后进行求解，能有效减少计算量.
12. B1，B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是________.
答案： 命题立意：本题考查椭圆的基本性质及等比中项的性质，难度中等.
解题思路：设椭圆方程为+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.
13.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若=，则p=________.
答案：2 解题思路：过B作BE垂直于准线l于E，
=， M为AB的中点，
|BM|=|AB|，又斜率为，
BAE=30°， |BE|=|AB|，
|BM|=|BE|， M为抛物线的焦点，
p=2.
14.
1.从方程形式看，在平面直角坐标系中这几种曲线方程都是二元二次方程表示为f（x，y），所以它们都属于二次曲线。
2.从轨迹上看它们都是“到定点和到定直线距离比是常数e的点的轨迹”，这个定点是它们的焦点；定直线是它们的准线，只是由于e的取值范围不同而分别为椭圆（0
3.这三种曲线都是可以由平面截圆锥而得到的截口线，用一个垂直于圆锥轴的平面截圆锥得到的截口线是圆，如果改变平面与圆锥轴线的夹角会得到一些不同的图形它们分别是椭圆，双曲线，抛物线等，因此通常把它们称之为圆锥曲线。从教材处理来看圆锥曲线无疑是解析几何的重头戏，重点是以椭圆为例交待研究圆锥曲线的一般方法，先由求曲线方程的一般步骤求出椭圆的标准方程，再用方程讨论椭圆的几何性质，体现解析几何的基本思想用代数方法研究几何问题，然后在双曲线、抛物线中得到应用和巩固，主次有序；先讲椭圆也是为了与圆的方程衔接自然，在教与学的过程中以圆锥曲线的共性与个性为主旨可以挖掘出更深刻的规律，以下规律以结论形式给出。
结论一 ： 若P（x0，y0）是圆锥曲线C上一点。若C为椭圆■+■=1，则过P点的切线方程为■+■=1；若C为双曲线■-■=1,则过P点的切线方程为■-■=1；若C为抛物线y2=2px，则过P点的切线方程为y0y=p（x+y0）。
证明：（以椭圆为例）设切线的斜率为k，则k=y′x-x0其中y=■，y′=■，因此k=■，切线方程为y-y0=■（x-x0）=■（x-x0），因为■+■=1所以整理得切线方程为：■+■=1。
同理可证双曲线过P点的切线方程为■-■=1；抛物线过P点的切线方程为y0y=p（x+x0）。由此可知圆锥曲线上一点的切线方程与该曲线方程结构一致，即：二次项x2，y2换成x0x，y0y，一次项x，y换成■，■就是切线方程。
推论：过P（x0，y0）作椭圆■+■=1的两条切线PA,PB切点为A，B，则AB所在曲线的方程为■+■=1。
证明：设A（x1，y1） ，B（x2，y2）则由结论一可知过A，B的切线方程分别为■+■=1，■+■=1。又因为点P（x0，y0）为PA,PB的交点，所以有■+■=1， ■+■=1。因此A，B都在直线■+■=1上，即AB所在曲线的方程为：■+■=1。由此可以得出：自同一点P（x0，y0）出发的椭圆的两条切线的切点弦方程，其形式与经过椭圆上一点（x0，y0）的切线方程是完全一样的，可以验证双曲线，抛物线也有类似性质。
结论二: 在圆锥曲线中通过焦点垂直于对称轴的弦长为定值。在椭圆和双曲线中定值为■，在抛物线中定值为2p。
■
图1
证明：如图1，设点A(xA，yB），椭圆方程为■+■=1，由于AB过焦点且垂直于对称轴，因此xA=c，于是■+■=1,解得yA=■，由椭圆的对称性可知|AB|=2|yA|=■，另外也可用圆锥曲线的第二定义证明之。在抛物线中由定义可知|AB|=2p
结论三：在圆锥曲线中，以焦点弦为直径的圆与相应准线的位置关系与e（离心率）有关，e>1，相交；e=1，相切；0
证明：如图2，ACCD，BDCD由椭圆的第二定义可知■=■=e。
设圆的半径为r,r=■,圆心到CD的距离为d,d=■则r=ed，因为在椭圆中0
■
图2
结论四：过圆锥曲线C的焦点F的直线与C交与A，B两点，自A，B向准线做垂线，垂足分别为C，D，在椭圆中∠CFD■。（本题的证明与定理三相似，利用圆锥曲线的第二定义及三角形中大边对大角理论可轻松完成，有兴趣的读者可以试着完成。）
在历年的高考试题及模拟试题中，能用以上结论直接解决的问题频繁出现，特别是解决一些填空、选择题掌握以上结论显得尤为轻松。下面以一道高考题为例谈谈他的应用：（2008年高考数学江西卷理科第21题）
如图3，设点P（x0，y0）在直线x=m（y≠±m，0
（1）过点A作直线x-y=0 的垂线，垂足为N，试求AMN的重心G所在的曲线方程；
（2）求证：A、M、B三点共线。
■
图3
解：（问题2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则过A,B两点的切线方程分别为x1x-y1y=1，x2x-y2y=1，又P（m,y0）在两条切线上，所以x1m-y0y1=1,x2m-y0y2=1即A（x1，y1），B（x2，y2），都在直线mx-y0y=1，又M(■，0)也在直线mx-y0y=1上，所以A、M、B三点共线。
2014年四川省高考理科第20题是这样一道题：已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
（。っ鳎OT平分线段PQ（其中O是坐标原点）；
（）当■最小时，求点T的坐标.
笔者在对该题中的第（2）小题进行探讨时，发现该结论可以推广到更一般的情形.
2.问题的推广与证明
由于第（2）小题结论（。┒杂谕衷怖此凳且桓鲆话阈越崧郏笔者认为，该结论对于双曲线也应该成立，当附加一定的条件时，结论（）对于椭圆（或双曲线）应该有一般表达式.
笔者通过深入探究，发现如下一般性结论：
推广一：如图1椭圆C：■+■=1（a>b>0）的焦点为F，T为椭圆准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），过F作TF的垂线交椭圆于P，Q两点，则有：
（1）OT平分线段PQ（其中O是坐标原点）；
（2）当c>b时，■有最小值■，这时T点坐标为（-■，-■或（-■，■）；
（3）当T是非x轴上的点时，K■K■=-■；
（4）若P关于坐标原点O的对称点为P′，则P′Q||OT.
证明：不妨设F（-c，0）为椭圆的左焦点.椭圆左准线：x=-■.
设T（-■，m），则K■=-■，当m=0时，T为椭圆左准线与x轴的交点，这时PQ为椭圆的通径，OT平分PQ.当m≠0时，因为TFPQ，由K■K■=-1得K■=■（1）
所以直线PQ的方程为y=■（x+c），设P（x■，y■），Q（x■，y■），
联立■+■=1y=■（x+c）得（a■b■+c■m■）x■+2a■b■cx+a■c■（b■-m■）=0
因为=4a■b■c■-4a■c■（a■b■+c■m■）（b■-m■）=4a■c■m■（b■+c■m■）>0
所以x■+x■=-■（2）
x■x■=■（3）
由y■+y■=■（x■+x■+2c）=■（2c-■）=■
得PQ的中点G（-■，■）
计算K■=-■，K■=-■得K■=K■.
由此知O，G，T三点共线，即直线OT过线段PQ的中点G，所以OT平分线段PQ.
计算|TF|=■=■（4）
|PQ|=■■
（5）
把（1），（2），（3）式代入（5）式，整理得|PQ|=■（6）
由（4）式，（6）式计算得比值
■=■=■■=■=■
=■■
=■■
≥■■=■.
当c>b时，解出m=±■■，此时■有最小值■，T为（-■，■■）或（-■，-■■）.
根据结论第（1），（2）题证明已计算出K■=■，K■=-■易得K■K■=-■.
点P（x■，y■）关于坐标原点O的对称点为P′（-x■，-y■），P′Q的斜率K■=■=■/-■=-■，即直线P′Q与直线OT的斜率相等，所以P′Q||OT.
推广二：如图2，双曲线C：■-■=1的焦点为F，T为双曲线准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），且点T的纵坐标m≠±■，过F作TF的垂线交双曲线于P，Q两点，则有：
（1）直线OT平分线段PQ（其中O是坐标原点）；
（2）■=■
=■■；
（3）当T是非x轴上的点时，K■K■=■；
（4）若P关于坐标原点O的对称点为P′，则P′Q||OT.
以上结论的证明与椭圆情形类似，这里不再赘述.
继续探索.我们把椭圆更换为抛物线，这时结论将如何呢？请看下面的例子：
如图，抛物线y■=4x的焦点为F，动点T（-1，m），过F作TF的垂线交抛物线于P，Q两点，弦PQ的中点为N.
（1）证明：线段NT平行于x轴（或在x轴上）；
（2）若m>0且|NF|=|TF|，求m的值及点N的坐标.
解（1）由抛物线的标准方程y■=2px及焦点F（■，0），准线方程x=-■知，此抛物线的焦点F（1，0），准线方程x=-1，动点T（-1，m）在准线上，由斜率公式得K■=-■.
当m=0时，T为抛物线准线与x轴的交点，这时PQ为抛物线的通径，点N与焦点F重合，易知线段NT在x轴上.
当m≠0时，因为TFPQ，所以K■K■=-1，解得K■=■，于是直线PQ的方程为y=■（x-1）代入y■=4x化简整理得x■-（2m■）x1=0，=（2+m■）■-4=m■（4-m■）>0.设P（x■，y■），Q（x■，y■），由韦达定理可知x■+x■=2+m■，y■+y■=■（x■+x■-2）=2m，得弦PQ的中点N（■，2），结合T（-1，m），由斜率公式计算得K■=0，所以NT平行于x轴.
综上可知，线段NT平行x轴（或在x轴上）.
（2）已知ONFO=OTFO，在TFN中，tan∠NTF=■=1知∠NTF=45°，得TFA是等腰直角三角形（A是准线与轴的交点），所以OTAO=OAFO=2，动点T（-1，m），得m=2.
一、学生教师“双主”地位改变
这次观摩活动中，每节课中学生的主体地位及教师的主导地位，得到较充分的体现.教师关注学生的学习过程，给学生提供“做”数学的学习机会，使学生有充分的时间去探究、交流，让学生在学习中去体验和经历数学.在实践过程中也注重培养学生的理性思维，真正教会学生怎样去解决一个新的问题.如《有趣的杨辉三角》这节课，表现最为突出的是广西钦州市灵山中学的赵金成老师，她的课堂气氛活跃，教学环节过渡自然流畅，课堂上她提出的问题大多数是由学生独立思考或相互探讨完成的，当然这与她的引导和点拨是分不开的.本节课赵老师运用小组合作学习方式，通过四个问题设计展开教学活动，取得了很好的教学效果.
问题1：计算（a+b）n展开式的二项式系数并插入以下表格中，通过填表你发现什么规律？
问题2：观察“杨辉三角”你能得到哪些数字规律？（学生填到课前发的习题纸上）
问题3：请与同组的同学交流你的想法，并试着证明你的猜想.请各小组派代表发表你们的看法.
让学生独立思考寻找杨辉三角中蕴含的数字规律，再通过小组交流讨论发现的二项式系数的性质，注重运用了转化和化归的数学思想，把观察到的规律证明化归为组合数性质的应用，将合情推理和演绎推理有机结合，真正体现了探究—猜想—证明的科学思维方法.学生有充分的思考探究与交流的时空，能经历规律的发展过程，小组合作学习的成效显著.
二、语言简单明确，评价趋于多样化
这次参赛的各位教师教学语言精练，不管是教师的引导语还是提问语或评价语都十分的准确到位.例如，河北邯郸市第四中学张兴娟老师《用二分法求方程的近似解》这节课，张老师开篇用一系列环环相扣的问题将学生带入这节课的学习中.问题1：你会求哪些类型方程的解？小组讨论有哪些不会求解？（并让学生把所提问题归纳并板书到黑板上）问题2：能不能求方程的近似解？以求方程x3+3x-1=0近似解为例，进行以下探究：1.怎样确定解所在的区间？2.怎样缩小解所在的区间？3.区间缩小到什么程度满足要求？
本课的每一个问题都是在师生的交流中产生的，所以教师的引导语与提问语对学生顺利完成这节课的学习起着至关重要的作用.
除了提问语之外，教师给予学生的评价也是各有特色，也有教师给学生的回答作出动作鼓励评价，如竖起大拇指或给学生以热烈的掌声.与以往的教师评价不同，现在教师更善于从多个角度来评价，发现学生身上的闪光点，发现学生的潜能，并能以自然、真诚、恰当的语言及时并有针对性地给予学生的学习活动作出评价，极大地提高学生学习数学的兴趣.
三、对新教材挖掘深入
与旧“大纲”相比较，新课程在知识结构内容等方面有较大的变化.
（一）知识结构的变化
新课标的一个大变化就是“模块+专题”结构和学分制，与以往的高中数学课程相比，这次课程标准更加突出了基础性和选择性，这是新课标的基本理念之一，其中必修课程由5个模块构成，具体如下.
数学1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）；
数学2：立体几何初步、平面解析几何初步；
数学3：算法初步、统计、概率；
数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换；
数学5：解三角形、数列、不等式.
选修课程分4个系列，其中系列1，系列2由若干个模块组成，系列3、系列4由若干专题组成，每个模块2学分（36学时），每个专题1学分（18学时）.具体如下表所示：
注：上图中代表模块（36学时）；代表专题（18学时）.
在完成必修课程的基础上，希望进一步学习数学的学生，可以根据自己的需求，选择学习选修系列1、系列2.其中系列1是为希望在人文社科方面发展的学生设置的，由2个模块组成：
选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用；
选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图.
系列2是为希望在理工（包括部分经济类）方面发展的学生设置的，由3个模块组成：
选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何；
选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入；
选修2-3：计数原理、统计案例、概率.
（二）内容的变化
新课程的内容有较大的变化，不仅增加了一些为了适应社会发展、教学发展和教育发展需要的新内容，如算法初步的基础知识等，而且对某些原有的内容也做了一定的调整，特别是圆锥曲线与方程的内容.例如，陕西师范大学附属中学，倪如俊老师上的《抛物线及其标准方程》这节课对教材的深入挖掘体现得淋漓尽致.具体案例如下：
1.课堂引入
（1）生活中的抛物线
①投篮时，篮球的运动轨迹是抛物线；
②南京秦淮河三山桥的桥拱的形状是抛物线；
③卫星天线是根据抛物线的原理编造的.
（2）数学中的抛物线
一元二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线.提出问题：为什么一元二次函数的图像是一条抛物线？
2.抛物线的定义
（1）抛物线的画法
①介绍作图规则.
②动画展示作图过程.提出问题：求所对应的点M满足的几何关系是什么？
③分析作图过程.提出问题：在作图过程中，直尺、三角板、笔尖、点F中哪些没有动？哪些动了？绳长|AC|、|MC|、|MF|、|MA|中哪些量没有变？哪些量变了？
④结论：动点M满足的几何关系是：动点M到定点的距离等于它到直尺的距离.
以上是倪老师通过生活中的抛物线使学生认识到学习抛物线的必要性，再通过类比椭圆的学习过程和方法去学习抛物线，通过画抛物线的图形过程抽象概括出抛物线的定义，课改后抛物线的内容介于椭圆和双曲线之间，而大纲教材中抛物线的内容在学习了椭圆和双曲线之后，大纲教材注重圆锥曲线的第二定义学习，而新教材这样安排恰恰淡化了圆锥曲线的第二定义，所以倪老师没有运用圆锥曲线第二定义引入说明，对教材的挖掘和把握很精准到位.
四、个人的反思
这次优秀展示课，都是新授课，包括概念课和探究课，特别以概念课为主.新授课的教学直接影响学生的学习效果，如果照本宣科，不仅会让学生觉得枯燥乏味，并且效果也大打折扣，那么应怎样上好一节新授课呢？我的思考如下：
1.备好课——教学设计
上好一堂课的基础就是教学设计，就是教师在备课中应用系统方法分析教学问题确定教学目标，设计问题的解决步骤，选择相应的教学器材和策略以及相应的教学工具（包括媒体），教学设计包括教学目标确定，教材的分析和处理，学情分析，教法选择，教案的编写.
2.优化课堂教学——教学实施
（）必做1 如图1，已知点A（－2，0），点P是B：（x－2）2+y2=36上任意一点，线段AP的垂直平分线交BP于点Q，点Q的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知O：x2+y2=r2（r>0）的切线l总与曲线C有两个交点M，N，并且其中一条切线满足∠MON>90°，求证：对于任意一条切线l总有∠MON>90°．
图1
破解思路 第1问通过椭圆的定义可以直接得到． 第2问可以根据相切得到点到直线距离为半径，然后直线与椭圆联立，根据向量夹角判断∠MON>90°成立的条件，得到满足的条件，最后再来判断两种特殊情况．
精妙解法 （1）由题意，QA+QB=QP+QB=6，所以Q点轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且a=3，c=2，所以曲线C的轨迹方程是+=1．
图2
（2）先考虑切线的斜率存在的情形． 设切线l：y=kx+m，则由l与O相切得=r，即m2=r2（1+k2）． ①
由y=kx+m，+=1消去y得，（5+9k2）x2+18kmx+9（m2－5）=0． 设M（x1，y1），N（x2，y2），则由韦达定理得x1+x2=－，x1x2=，・=x1x2+yy=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=－+m2=． ②
由于其中一条切线满足∠MON>90°，对此・=，于是，对于任意一条切线l，总有m2>（1+k2），进而・=90°．
最后考虑两种特殊情况：（1）当满足∠MON>90°的那条切线斜率不存在时，切线方程为x=±r. 代入椭圆方程可得交点的纵坐标y=±，因∠MON>90°，故r，同上可得：任意一条切线l均满足∠MON>90°；（2）当满足∠MON>90°的那条切线斜率存在时，r2>，r90°． 综上所述，命题成立．
金刊提醒
直接以圆与直线的位置关系作为解答题的可能性很小，但是圆与其他曲线的结合做为解答题的可能性很大，结合了以后圆与直线的两个重要位置关系还是要考，而且要重点考，所以我们也必须重视圆与直线位置关系的特殊解法．
直线与圆锥曲线的位置关系
（）必做2 如图3，过点D（0，－2）作抛物线x2=2py（p>0）的切线l，切点A在第二象限．
（1）求切点A的纵坐标；
（2）若离心率为的椭圆+=1（a>b>0）恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求椭圆方程．
图3
破解思路 第1问根据导数的几何意义求出抛物线的斜率，然后根据点斜式得到截距为－2，求出A的纵坐标．第2问求椭圆方程也就是求b，a的值，也就是找两个方程，通过离心率得到b，a的关系，这里也涉及p，我们可以通过三个斜率的关系得到b，p关系，A点在椭圆上又有关系，从而求出b，p．
精妙解法 （1）设切点A（x0，y0），且y=，由切线l的斜率为k=，得l的方程为y=x-． 又点D（0，－2）在l上，所以=2，即点A的纵坐标y=2．
（2）由（1）得A（－2，2），切线斜率k=－． 设B（x1，y1），切线方程为y=kx－2，由e=，得a2=4b2，所以椭圆方程为+=1，且过A（－2，2），所以b2=p+4． 由y=kx－2，x2+4y2=4b2 （1+4k2）x2－16kx+16－4b2=0，所以x0+x1=，x0x1=，所以k1+2k2=+===3k－=3k－=3k－=3k－=4k． 将k= －，b2=p+4代入得：p=32，所以b2=36，a2=144，所以椭圆方程为+=1．
（）必做3 设椭圆C：+y2=1（a>0）的两个焦点是F1（－c，0）和F2（c，0）（c>0），且椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为－．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，线段MN垂直平分线恒过点A（0，－1），求实数m的取值范围．
破解思路 第1问利用椭圆的几何性质，联立解方程组求a，c即得椭圆的方程． 第2问利用直线与椭圆有两个交点即Δ>0，直线l与垂直平分线的位置关系，得出两者的斜率的关系式．
精妙解法 （1）由题意可知，a－c=－，a2－c2=1，解得：a=，c=，所以椭圆的方程为：+y2=1．
（2）由y=kx+m，x2+3y2=3 得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2－1）=0（）．
因为直线l与椭圆C交于不同的两点，所以Δ>0，m2
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1，x2是方程（）的两个实数解，所以x1+x2=－，线段MN的中点为Q－，． 又因线段MN的垂直平分线恒过点A（0，－1），所以AQMN，即－=－，即2m=3k2+1（k≠0）②，由①②可得：m2
（）必做4 已知直线l：x－my－=0，椭圆C：+y2=1（m>1），
（1）是否存在实数m，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且AB=？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若原点O在以线段AB为直径的圆内，求m的取值范围．
破解思路 第1问利用弦长公式建立方程求m．第2问原点O在以线段AB为直径的圆内转化为代数关系式・
精妙解法 （1）联立l：x－my－=0与C：+y2=1（m>1）整理得：
2y2+my+－1=0，Δ=m2－4×2・－1=8－m2>0，所以1
又1
（2）原点O在以线段AB为直径的圆内等价于・
金刊提醒
直线与圆锥曲线的位置关系综合考查了直线与圆锥曲线的有关概念、定义、性质以及运算能力． 直线与圆锥曲线相交一般可通过韦达定理求解，然后分析两个根与交点的关系． 但若相切我们应分情况，对椭圆与直线相切我们考虑判别式，对抛物线而言用求导解决．
轨迹方程
（）必做5 已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为e=，以原点O为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若=λ≤λ
破解思路 第1问直接利用条件求椭圆方程. 第2问将条件的等量关系平方，再利用点P在椭圆上得出轨迹方程，然后对λ进行分类讨论可得出轨迹的形状.
精妙解法 （1）由题意可得圆的方程为x2+y2=b2，因为直线x－y+2=0与圆相切，所以圆心到直线的距离d=b=. 又e==，即a=c. 因为a2=b2+c2，所以 a=，c=1，所以椭圆的方程为+=1.
（2）设M（x，y），其中x∈［－，］. 由=λ2及点P在椭圆C上可得，==λ2，整理得，（3λ2－1）x2+3λ2y2=6，其中x∈［－，］.
①当λ=时，化简得，y2=6，所以点M的轨迹方程为y=± （－≤x≤），轨迹是两条平行于x轴的线段；
②当
（）必做6 已知定点A（-3，0），M，N分别为x轴、y轴上的动点（M，N不重合），且ANMN，点P在直线MN上，=．
图4
（1）求动点P的轨迹C的方程．
（2）设点Q是曲线x2+y2－8x+15=0上任一点，试探究在轨迹C上是否存在点T，使得点T到点Q的距离最小． 若存在，求出该最小距离和点T的坐标；若不存在，说明理由．
破解思路 第1问利用向量=建立点P的方程，化简即得． 第2问曲线C上点T到点Q的距离最小转化为曲线C上的动点到定点的最小值．
精妙解法 （1）设点M，N的坐标分别为（a，0），（0，b）（a≠0，b≠0），点P的坐标为（x，y），则=（3，b），=（a，－b），=（x－a，y），=（x，y－b）． 由ANMN得3a－b2=0，（）
由=得x=（x－a），y－b=y，所以a=x，b=－y，代入（）得y2=4x． 因为a≠0，b≠0，所以x≠0，y≠0，所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≠0）．
（2）曲线x2+y2－8x+15=0，即（x－4）2+y2=1，是以B（4，0）为圆心，以1为半径的圆，设T为轨迹C上任意一点，连结TB，则TQ+QB≥TBTQ≥TB－1，所以当|TB|最小时，TQ最小． 因为点T在轨迹C上，设点T（，m）（m≠0），所以|TB|==． 当m2=8，即m= ±2时，TB有最小值，TBmin=2；当m2=8时，=2． 所以在轨迹C上存在点T，其坐标为（2，±2），使得TQ最小，TQmin=2－1．
金刊提醒
求曲线轨迹方程的思想方法是解析几何最基本、最重要的解题思想方法，因而求曲线轨迹方程成为新高考的热点内容. 试题多以解答题形式出现，重点考查大家根据曲线的几何特征熟练地运用解析几何知识将其转化为数量关系， 再运用代数（如函数与方程）的知识作答的能力.
定值、最值与取值范围问题
（）必做7 已知抛物线D的顶点是椭圆+=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
（1）求抛物线D的方程．
（2）已知动直线l过点P（4，0），交抛物线D于A，B两点．
（i）若直线l的斜率为1，求AB的长；
（ii）是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．
破解思路 第1问直接利用定义可以求出抛物线的方程． 第2问中的（i）可以直接用弦长公式得到．
精妙解法 （1）由题意，可设抛物线方程为y2=2px（p>0）. 由a2－b2=4－3=1，得c=1. 所以抛物线的焦点为（1，0），所以p=2． 所以抛物线D的方程为y2=4x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
（i）直线l的方程为：y=x－4，联立y=x－4，y2=4x整理得：x2－12x+16=0，所以AB==4．
（ii）设存在直线m：x=a满足题意，则圆心，，过M作直线x=a的垂线，垂足为E． 设直线m与圆M的一个交点为G，可得：
EG2=MG2－ME2=MA2－ME2=－－a=y++a（x1+4）－a2=x1－4x1+a（x1+4）－a2=（a－3）x1+4a－a2． a=3时，EG2=3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长为定值2，因此存在直线m：x=3，满足题意．
（）必做8 如图5所示，已知抛物线C1的方程是y=ax2（a>0），圆C2的方程是x2+（y+1）2=5，直线l：y=2x+m（m
图5
（1）求m与a的值；
（2）设A是抛物线C1上的一动点，以A为切点作C1的切线交y轴于点B，若=+，则点M在一定直线上，试证明之.
破解思路 第1问利用直线与抛物线及圆相切的条件求得m与a的值. 第2问先求出抛物线的切线，得出B的坐标，再运用向量间关系证明.
精妙解法 （1）由己知得，圆C2的圆心为C2（0，1），半径r=. 由条件 得，圆心C2到直线l：y=2x+m（m
（2）由（1）知，抛物线C1的方程为y=x2，焦点为F0，. 设Ax1，x，由（1）知以A为切点的切线方程为y=x1（x－x1）+x，令x=0，得点B的坐标为0，-x，所以=x1，x－，=0，-x－，所以=+=（x1，－3），设M（x，y），因为F0，，所以=x，y－=（x1，－3），所以y= －，即M点在定直线y=－上.
金刊提醒
定值问题用目标方程来解决，最值或取值范围问题用目标不等式来解决，但它们都可以归结为用目标函数的方法．
存在探索型问题
（）必做9 已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P是坐标平面内一点，且OP=， ・=（O为坐标原点）.
（1）求椭圆C的方程.
（2）过点S0，－且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由.
破解思路 第1问运用平面向量的数量积及坐标法求出椭圆的方程.第2问先假设在y轴上存在定点M满足条件，利用恒成立的条件得出答案.
精妙解法 （1）设P（x0，y0），F1（－c， 0），F2（c，0），则由OP=得，x+y=①，由・=得，（－c－x0，－y0）・（c－x0，－y0）=，即x+y－c2=②. 由①-②得c=1，又=，所以a2=2，b2=1. 所椭圆方程为+y2=1.
（2）将动直线l：y=kx－代入椭圆方程有（2k2+1）x2－kx－=0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=－. 设存在y轴上一定点M（0，m）满足题设，则=（x1，y1－m），=（x2，y2－m），・=x1x2+（y1－m）（y2－m）=x1x2+y1y2－m（y1y2）+m2=（k2+1）x1x2－k+m（x1+x2）+m2+m+=. 由假设对任意k∈R，・=0恒成立，即m2－1=0，9m2+6m－15=0成立，解得m=1. 所以存在y轴上定点M（0，1）满足题设.