时间：2023-06-01 09:46:09
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇抛物线的基本知识点，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
高考题虽然一般不直接取材于课本，但所考查的知识大多来源于课本或间接地涉及课本例习题，或改变于历年高考题、模拟试题。这就要求我们在平时的教学中要加强变式训练，变式训练是指变换问题的条件或外部特征，而不改变问题的本质，变式训练必须要呈现概念的本质和外延，突出问题的结构特征，揭示知识的内在联系，保持其本质特征.
学生对知识点的掌握往往需要通过数量和强度这两个指标，而变式训练时是强化联络强度的有效手段。在经历了尝试探究过程之后所获得的知识必须加以巩固，拓展应用，但并非简单重复练习，要依赖变式处理，获得新知。著名的数学家波利亚形象地指出“问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆生长，找到一个后，你应当在周围再找找，很有可能附近有好几个”。有效的变式练习能达到举一反三的效果，化解重复操作的弊端。作为教师，应该潜心钻研教材，整体把握教学方向，明确教学目标，不能单纯为解题而引申研究，加强内容本质，分析特点。训练的习题必须是精心设计的，揭示数学的本质。使变式训练要达到想学生所“难”、研学生所“疑”，解学生所“困”的效果，必须先要加强对试题所包含的基本知识的理解，熟练把握知识点在形式上满足的外在条件，挖掘知识点的本质原理。
充分利用课本上的例题、习题，通过一题多变挖掘教材潜力，抓住题目的“蛛丝马迹”进行变式训练.
例1，（苏教版必修2第95页探究.拓展21题）已知
M（-1，3），N（6，2），点P在x轴，且使PM+PN取最小值，求点P的坐标。
变式训练：
①点M（-1，-3），N（6，2），点P在x轴，求使PM+PN取最小值时点P的坐标。
②M（-1，-3），N（6，2），P在x轴，求使|PM-PN|取最大值时P的坐标。
③M（-1，3），N（6，2），P在x轴，求使|PM-PN|取最大值时P的坐标。
通过变换点的位置及式子的最值让学生掌握三点共线原理：动点P在直线l上，若M、N在直线l的同侧，则|PM-PN|≤MN，当且仅当M、N、P三点共线时，|PM-PN|取最大值，P即为l与MN的交点；若M与M′关于x轴对称，则PM+PN=PM′+PN≥M′N，当且仅当M′、N、P三点共线时PM+PN取最小值，所求P即为直线l与M′N的交点；若M、N在直线l的异侧，因PM+PN≥MN，则当且仅当M、N、P三点共线时，PM+PN取最小值，当M与M′关于x轴对称，|PM-PN|=|PM′-PN|≤MN，当且仅当M′、N、P三点共线时，|PM-PN|取最大值。我们常利用三点共线原理可以解决一些与线段之和、线段差的，最值性的相关问题。
四边形PABN的周长最小只需求PA+NB的最小值，P、N都为直线x=1的两个动点，转化为一动点到两定点的距离的最小值。结合图像，设D（3，0），则线段PD=NB，则PA+NB=PA+PB，符合三点共线原理，求出A关于直线x=1的对称点A′，则直线x=1与BA′的交点即为周长取最小值时的点P的坐标，问题得以解决。
在新的情境问题中发现“熟悉的影子”，就会出现“复杂问题简单化的效果”深刻认识试题中条件与结论的关系，从而化难为易，帮助学生走出困境，有意识地培养了知识迁移的能力。
⑦抛物线y2=8x，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，
A（2，3），求使PA+PF取最小值时点P的坐标。
⑧抛物线y2=8x，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，
A（2，5），求使PA+PF取最小值时点P的坐标。
【关键词】差异性；发展性；个案分析；学生视角
学生是发展的，因此在数学解题中犯错误是正常的、反复的；学生是有差异的，因此所犯错误也是分层次、富有个性的、复杂的。
面对学生在解题过程中出现的形形的错误，我们广大教师，首先要有宽阔的胸怀包容学生的错误；其次，把学生的错解当作宝贵的教学资源，充分开发“错误”价值，挖掘错误中思维的闪光点、创新点，因势利导；三是探究错误的成因，寻求纠错的方法，内化知识，完善认知结构和基本的数学思想方法；四是渗透质疑、选择、反思的数学精神。
现以学校所在学区高二第一学期期末统考数学试题第十八题为载体，探究新课程理念下如何进行错题讲评，谈一点尝试性的做法，望指正。
题目：已知抛物线 过点 引一条弦 ，使它恰在点P被平分，求弦 所在直线 的方程。
1、学生个案分析
以上图片资料是从众多考生的解答中挑选出来的。这些学生均来自普通中学，基础中等，解法各异，概括起来有三种方法：即待定系数法，对应学生1，记为S1；求点法，对应学生S2、S3、S4；轨迹法，对应学生S5。在他们试后反思的字里行间，我们可以触摸到学生们解题时的心路历程。
S1：读完题，解题的基本思路就出来了，即联立方程组，但在推出一元二次方程时，担心运算错误，刻意推了两遍，结果还是出了问题。
S2：把题目粗略地看了一遍，一心只想赶快解完这道题，…,于是想到一点写一点，…解不下去了，…只好放弃。
S3：这道题我是最后做的，当时时间还宽裕，就按以前方法（焦点弦）做了，可算出来的结果（数字）很怪，觉得错了。…,没时间了，只好如此。
S4：想到点P为弦AB的中点，故设点A( )，B( )较为简单。把A、B两点坐标代人抛物线方程，列出并解方程组。但出现了无理根，意识到可能是方法出了问题。
S5：设A（ ），B（ ），用中点坐标加以代换，即A( )，因为A,B在抛物线上，将A、B点坐标代人得一个二元一次方程组，解得 ，并直接改写为 。感觉解题不够严谨，心里没底。
可以看出，造成学生解题错误或半途而废的因素除“双基薄弱”外，缺乏自信、内心焦虑、不良习惯等心理问题也是主要的原因。在学生纠错中有一种现象，应引起我们的关注，这就是大部分学生的改错方法，是回避原解法且解法单一。一是对原解法没有进行认真地分析，如正确的方面能不能调整思路继续下去？造成错误的原因是什么，如何纠正？二是不能正视、面对自己解题的错误，选择逃避的方式或人云亦云；三是教师的评价，特别是对错解的评价，给学生解题思维、心理的影响是很大的。于是，全盘否定自己的解法，正确的部分，一些赋有创意的解法、思想也随之化为乌有，实在可惜。
2、一点尝试
以上分析，启发我们，纠错教学应在学生现有知识、方法的基础上，以培养学生的思维能力为目标，从学生的视角看问题，思考、设计教学方案。正如奥苏贝尔所说的那样：“影响学生的唯一重要的因素就是学习者已经知道了什么，作为教师要努力探明这一点，并应据此进行教学”，通过创设良好、和谐的教学情境，消除学生畏惧、依赖、焦虑、应付等不良心态，让不同层次学生都有机会体验成功，增强自信。
点评：S1同学的方法应用了三个基本知识点“直线方程”、“直线与曲线相交时方程联立”、“根与系数的关系”，不失为一种好方法，在“直线与圆锥曲线的位置关系”问题中有广泛的应用。但要考虑直线斜率的存在性，否则将是解题的隐患。同时加强运算训练，确保二次方程的准确性。
点评：S2同学在点的设置上很有创意，一看就知道点A在抛物线 上，A、B关于点P对称。快捷，直奔主题；简约，只有一元。
S3：设 ， ，则
点评：S3同学的方法设点也有特色，利用了抛物线上点横、纵坐标间的关系，有效减少了参数的个数，方程（组）意识强。
T（补充2）：设 ，
此法就是建立在学生设点的基础上，围绕关键因素“中点”展开，透过方程（组）的表象，抓住了“斜率”这个本质，使问题更好地得以解决。
S4：设 ，因为P（4，1）是AB的中点，所以 。将A、B坐标分别代入抛物线方程，
由直线方程两点式 得（纠错） 。
点评：除设点外，S4同学的解题思路紧扣“曲线与方程”概念，牢牢抓住点在曲线上的位置关系，建立方程组。
以上同学的做法的最后，都是解方程组，求A、B的坐标，但求解过程繁琐，需要有扎实的运算能力和细致耐心。也需有“繁”而思“变”的思想，另辟溪径。
S5（轨迹法）设 ， ，
点A在抛物线上，
又点B在抛物线上， ，
，同理
可知，点A，B在直线 上，即 为所求直线方程。
点评：S5同学的方法，巧妙地避开了斜率的存在性问题，可称为中点弦所在直线方程问题的最优解之一，但对思维能力要求较高，也有一定的局限性，中点条件一旦改变为非中点，此法则会失去效能。其实这种方法可类比于两圆公共弦所在直线方程的求解。
点评：此法也是中点弦问题的最优解之一，两式作差，建立弦的斜率与中点坐标间的关系，斜率问题迎刃而解。
推广到圆锥曲线的一般情形：设 为弦的中点，则椭圆 中点弦所在直线方程为 ，
双曲线 中点弦所在直线方程为 ，
抛物线 中点弦所在直线方程为 。
（3）变式练习，完善思维品质
变式1，（2002年广东，河南卷第20题）设A、B是双曲线 上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点，（Ⅰ）求直线AB的方程；（Ⅱ）略（答案：
变式2 （2003年高考模拟题）直线 交椭圆 于M、N两点，弦MN的中点为P，
若 （O为原点），则
(答案： )
上述教学在分析了学生已有能力和认知结构的基础上，突显了学生解题时的创新思维，并以此为切入点，运用认知上的矛盾冲突，通过对问题的观察分析、归纳数据、变式拓展，学生智慧的火花，在思维的碰撞中复燃。在“错误——反思——探究——拓展”的数学活动中，知识技能得到了巩固，数学思想得以有效地渗透，思维品质和思维能力得到优化和发展。更为珍贵的是，学生在体验探究知识的艰辛、获得知识的快乐的同时，重拾学习数学的信心!
参考文献
[1] 李其阁 刍议高考数学试题的解答对策 试题研究 2003/上半年
[2] 游明波 郭红霞 纠错教学贵在引导学生反思 数学教学研究 2008.8
[3] 张 健 新课程理念下如何上好数学试卷讲评课 数学教学研究 2008.10
一 、直接法“直捣黄龙”
有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的,这类题型可直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则,通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论,从而确定选择支.普通选择题我们都采用这种做法.
例1(2009杭州中考)已知点P(x,y)在函数y=■+■的图象上,那么点P应在平面直角坐标系中的().
A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
解析:由x≠0,-x≥0得函数y=■+■的自变量的取值范围是x
又■>0,■>0,所以y>0,故P(x,y)在第二象限,选B.
二、筛选法“立竿见影”
根据数学选择题的特点,一题只有唯一的正确答案,筛选法利用题设的条件或已有的概念、性质和法则,淘汰选择支中的干扰项,把不符合条件的选项逐一加以否定,最后剩下一个选项必是正确的.
例2(2009荆门)函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是().
解析:因为函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象必过(0,1),所以A是错的;又当a0时,直线从左向右是上升的,抛物线开口向上,D是错的;排除了A、B、D,所以C是正确的.
例3(2009漳州)矩形面积为4,它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为().
解析:因为xy=4?圯y=■,所以y与x成反比例关系,故可排除选择支A和D,又由题意知x>0,y>0,故图象只能出现在第一象限,于是排除选择支C,所以本题选B.
三、特值法“事半功倍”
有的选择题,条件与结论之间的联系不明显,或题目本身很抽象,给解题带来困难.此时把满足题设条件的特殊值代入,就能得出正确答案,达到事半功倍之效.特殊值通常包括特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊点、特殊函数,常与筛选法结合使用.
例4(2009通州中考模拟)设x2+3x+c=(x+1)(x+2),则c的值为 ( ).
A. 2B. 3C. -2D. -3
解析:令x=0,则由x2+3x+c=(x+1)(x+2)得c=2,故选A.
例5(2009太仓中考模拟)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点
(-1,2),且与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2,其中-2
①4a-2b+c
其中正确的有().
A.1个B. 2个C.3个D.4个
解析:可根据条件取x1=-■,x2=■,则图象与x轴的交点坐标为(-■,0),(■,0),又经过点(-1,2),用待定系数法可得a=-■,b=-■,c=2,然后代入上述四个式子检验,结果都符合,则选D.
四、 定义法“返璞归真”
有些选择题,无须考虑技巧,只要运用相关的定义、概念、定理、公理等内容,便可水到渠成.
例6(2009厦门)某种彩票的中奖机会是1%,下列说法正确的是().
A.买1张这种彩票一定不会中奖
B.买100张这种彩票一定会中奖
C.买1张这种彩票可能会中奖
D.买100张这种彩票一定有99张彩票不会中奖
解析:中奖机会即为中奖概率,概率表示随机事件发生的可能性,理解概率的意义,不难作出选择,答案为C.
例7(2009北京)某班派9名同学参加拔河比赛,他们的体重分别是(单位:千克):
67,59,61,59,63,57,70,59,65.这组数据的众数和中位数分别是().
A.59,63 B.59,61 C.59,59 D.57,61
解析:依据众数和中位数的定义,便可快速选择.答案为B.
五、验证法“双重保障”
有的选择题,运用直接法较麻烦,运用筛选法也有困难,但如果将选择支中给出的答案,代入题干逐一检验,可以简洁地确定正确答案.验证法就类似于解方程中的验根.
例8(2009淄博)如果×(-■)=1,则“”内应填的实数是().
A.■B.■C.-■ D.-■
解析:将四个选择支逐一验证,便可发现选择支D正确,故选D.
例9(2009漳州)分式方程■=■的解是().
A.1B.-1C.■D.-■
解析:将四个备选答案中的值代入分式方程,检验左边是否等于右边,很快得出答案A,可以省去不少时间.
六、图象法“以形助数”
图象法,即数形结合法.求解这一类题需借助图象或图形,再经过推理判断或必要的计算而得出正确的答案.
例10(2009荆门)若不等式组x+a≥0,1-2x>x-2有解,则a的取值范围是().
A.a>-1B.a≥-1C.a≤1D.a
解析:由x+a≥0,1-2x>x-2得x≥-a,x
例11(2009台州)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:
则下列判断中正确的是().
A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴
C.当x=4时,y>0D.方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间
解析:根据数值对应表知,该抛物线的对称轴是x=■,再利用描点法作出该抛物线的大致图象,便可发现它的开口向下,与y轴交于点(0,1),且过点(4,
-3),于是A、B、C都不满足,故选D.
七、估值法“快速得解”
由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程,因此可以由猜测、推理、估算而获得正解.这样往往可以减少运算量.
例12(2009义乌)在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm,则它的宽约为().
A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cmD.7.64cm
解析:本题只要记住黄金分割比大约为0.6,便可估算出答案.由于20×0.6
=12(cm),故本书的宽应接近12cm,而选择支A最接近12,故选A.
例13(2009苏州中考模拟)方程■-■=1的解为().
A. x=1 B. x=3 C. x=4 D. 无解
解析:本题不需直接求解,利用估算法很快得出结果.从A、B、C三个备选答案,可知■-■的差不可能为1,应选D.
八、综合法“全面出击”
稍复杂的选择题需要综合运用前面介绍的几种方法和其他方法来解决.
例14(2009杭州)a,b是两个不相等的正数,且满足a+b=2,ab=t-1,设S=(a-b)2,则S关于t的函数图象是().
A.射线(不含端点)B.线段(不含端点)
C.直线D.抛物线的一部分
解析:先利用直接法算出S关于t的函数解析式:
S=(a-b)2=(a+b)2-4ab,又a+b=2,ab=t-1,
S=4-4(t-1)=-4t+8,是一次函数形式,故采用筛选法排除选择支D.
再利用估算法考察t的取值范围:
因为a,b是两个不相等的正数,且满足a+b=2,
心理学研究表明，数学技能的训练从宏观上分为3个阶段，即定向阶段、小步训练阶段、整体合成阶段.为此本文拟以中考数学三轮复习为主线，结合2008年部分省市中考数学试题，谈谈笔者的一些建议.
1 高度重视基础，做到融会贯通(第一阶段)
第一轮复习，着重围绕基础知识、基本方法和基本技能展开训练.因为只有把基础知识学得扎实，基本方法、基本技能运用娴熟，才能为知识的深化、能力的提高创造条件，为后面第二、第三轮的复习增加“后劲” .
1.1 重视数学概念，夯实基础知识
多年来的中考命题，基础知识部分的试题要占到70%以上，有不少试题(包括压轴题)在课本上可以找到原型，因此有必要集中精力把课本中的典型习题、例题认认真真地“过一遍”，并进行归纳分析.第一轮复习可以课本的知识体系为顺序，系统地复习基础知识包括基本概念、公式、定理等.例如，数学中的概念必须要弄清楚它的意义，在应用中加深理解.每个章节内容复习前，先让学生自己去整理有关知识点，对于容易混淆的概念，要引导学生运用对比的方法，弄清它们的区别和联系.中考数学试卷历来注重对基本概念的考查，而学生往往不重视基本概念，这一点必须引起足够的重视.
例1 (北京市中考题)若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
简析 本例主要考查两圆位置关系及其判定方法，属于基础内容.
数学概念的掌握直接影响到数学公式、法则、定理的应用.复习中，教师应当引导学生在复习好概念的基础上掌握数学规律.对于数学中的定理、公式和重要结论，应当引导学生搞清楚它们的来源，分清它们的条件和结论，弄清抽象、概括或证明的过程，了解它们的用途和适用范围，以及应用时必须注意的问题.
例2 (山西省中考题)有一圆心角为120°、半径长为6cm的扇形，若将扇形围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是( )
A.42cm B.35cm C.26cm D.23cm
简析 本例只要搞清楚圆锥与其展开图的对应关系，利用勾股定理即可解决.注意：圆锥的母线是其侧面展开图的半径、底面周长是其展开图扇形的弧长.
1.2 重视基本方法，体会数学思想
中考数学命题除了考查基础知识以外，还十分重视数学方法的考查.常用的数学方法有：配方法、换元法；分析法、综合法；面积法、构造法；待定系数法、消元降次法、判别式法等等.例如，明确了函数两个变量之间的关系，要求写出函数的解析式，一般用待定系数法.在复习时，对每一种数学方法的本质，它所适用的题型，包括解题步骤都应该熟练掌握.
例3 (南通市中考题)已知点A(-2，-c)向右平移8个单位得到点A′，A与A′两点均在抛物线y=ax2+bx+c上，且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为-6，求这条抛物线的顶点坐标.
简析 本例解答时主要应用待定系数法和配方法.首先由题意容易得出c=-6，知道A(-2， 6)，于是A′(6， 6)，用待定系数法列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值，再用配方法或抛物线的顶点坐标公式求出结果.
其次应重视对数学思想的理解和运用.在初中数学中，常见的数学思想有：转化(划归)思想、方程思想、函数思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想等等.数学思想方法是数学的灵魂，它揭示了数学概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与数学多种能力的桥梁.在复习中不断渗透数学思想方法，有助于增强分析问题的能力，从而使思维品质和能力得到提高.
2 注重专题复习，构建知识网络(第二阶段)
第一轮按照知识体系进行的复习通常称为横向复习，它可以使所学的知识具有系统化、条理化.第二轮按照知识体系构建知识模块进行的复习称为纵向复习，主要着眼于解题的思路、规律及技巧方面总结解题经验.通过横向复习和纵向复习，再经过数学思想方法的“梳理”，将知识点、知识块编织成网络.
2.1 寻求“通性通法”，积累解题经验
在初中数学中，将某些具有共同属性、联系密切的重点内容组成知识块就形成了数学专题.专题复习一般分为： ⑴情景应用型问题；⑵开放探索型问题；⑶阅读理解型问题；⑷图表信息型问题；⑸操作设计型问题；⑹数学思想方法应用问题等等.与上述专题相对应的 “探索性试题”、“阅读理解题”、“方案设计题”、“动手操作题”等成为近几年中考的热点题型，这些试题大部分来源于课本，有的对知识性要求不高，但题型新颖，背景复杂，文字冗长，不易梳理，所以应重视这方面的学习和训练，以便熟悉、适应这类题型.如图象信息题是通过图象(图表)来获取信息，从而达到解题目的的题型.解图象信息题的关键是“识图”和“用图”，首先让学生仔细观察图表获取有效信息，其次对已获取的信息进行加工整理，理清变量之间的关系，最后选择适当的数学工具，通过建立数学模型解决问题.
例4 (徐州市中考题)为缓解油价上涨给出租车行业带来的成本压力，某市自2007年11月17日起，调整出租车运价，调整方案见下列表格及图像(其中a，b，c为常数)
行驶路程收费标准调价前调价后不超过3km的部分起步价6元起步价a 元超过3km不超出6km的部分超出6km的部分每公里 2.1元每公里b元每公里c元 图1设行驶路程xkm时，调价前的运价y1(元)，调价后的运价为y2(元).如图1. 折线ABCD表示y2与x之间的函数关系式，线段EF表示当0≤x≤3时，y1与x的函数关系式，根据图表信息，完成下列各题：
①填空：a=，b=，c=.
②写出当x>3时，y1与x的关系，并在图1中画出该函数的图象.
③函数y1与y2的图象是否存在交点?若存在，求出交点的坐标，并说明该点的实际意义，若不存在请说明理由.
简析 通过理解表格与图像的对应关系，①容易知道a=7，由于C点的坐标为(6，11.2)，于是b=11.2-76-3=1.4； 而D的坐标为(7，13.3)，因此c=13.3-11.23-2=2.1； ②y1与x的关系式y1=6+2.1(x-3)，即y1=2.1x-0.3，图象易作，略；③通过作图或解方程组，可以求得交点坐标为(317，9)，其意义为：当x=317时，调价前后运价不变；当x317时方案调价后运价低.
点评 本例是典型的图表信息题. 理解题意至关重要，要注意行驶路程超过3km或6km时，费用应该分段计算.
在进行专题复习时，教师应该在剖析典型例题上下功夫，使学生能够掌握这些专题的一般解法，即掌握“通性通法”；比如讲操作设计型问题中的翻折问题，对于学生来说一直是个难点，但解决这一问题的关键就是折叠后找到边与边、角与角之间的等量关系，从而找出或构造直角三角形，利用边角关系或勾股定理解决.
图2例5 (吉林省中考题)如图2，在矩形纸片ABCD中，AB=33，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°.
(1)求BE、QF的长；
(2)求四边形PEFH的面积.
简析 (1)设BE=x，则EC=PE=6-x.又在RtPBE中，∠BPE=30°，PB=3x，PE=2BE，求出x=2，即BE=2，或由勾股定理得到x2+(3x)2=(6-x)2，求出BE；求QF时，在RtAPH中，AP=3，∠APH=60°，求得PH=23，再用CD=PQ求出HQ=3，再用边角关系不难求出QF=1；也可以过F作FMBC，容易知道∠FEC=60°，先求EM即知BM，再求CM从而得到FD，即可得QF.
(2)四边形PEFH的面积可以转化为梯形FDCE的面积减去HQF的面积；也可以用梯形BEFA面积减去APH与PBE的面积.
对于专题复习的内容，要引导学生从不同角度思考问题，注重思维的广阔性.努力寻求不同的解题途径，积极探索一题多解、一题多变和一题多用.要特别重视“典型例习题”的引领作用，练习题的选择要与例题“密切相关”，以提高练习的效能.通过对好的典型试卷纵向测验练习，横向组建题组的方法，加深对知识的理解和能力的培养，避免盲目的机械操练，真正提高复习的效率.类比与化归是认识数学知识点之间联系最主要的思维方法，而典型题组的分析、归纳和总结是建立这种联系的有效途径.
对于一些解题经验和思维的方式方法要引导学生认真总结.如：通过复习可以把几何中证明两个角相等方法归纳如下：(1)计算两个角的度数；(2)说明两角是同角(等角)的余角或补角；(3)应用平行线的性质定理；(4)应用等边对等角或三线合一定理；(5)构造全等(相似)三角形，证明三角形全等(相似)；(6)应用同圆或等圆中弧、弦、圆心角、弦心距关系定理.等等.
2.2 综合运用知识，提升各种能力
初中数学基本能力有运算能力、思维能力、空间想像能力以及在生活实践中的应用能力等等.中考对数学能力的考查，大致分为两个方面：一是考查运算能力和逻辑思维能力及解决纯数学问题的能力；二是强调阅读能力、创新探索能力和数学应用能力.复习时要求学生加深理解已形成的知识网络，做到触类旁通.做题时应加强能力训练，明确解题思路，提高综合运用数学知识解题的能力，为解决综合题提供“能力”支持.
2.3 突重点化难点，集中攻关“大题”
突出重点主要是指突出教材中的重点知识，突出不易理解或尚未理解深透的知识，突出数学思想与解题方法.多年来，初中数学的“方程”、“函数”、“直线型与圆”一直是中考的“核心内容”.对重点内容进行重点复习，在列出主要内容后，围绕主要内容有针对性地选题、做题，收集主要题型和技巧解法.值得注意的是，教师在培养学生解题思考的能力时，还要讲究设问艺术： ①多在思考的转折点上设问；②在理解的疑难处设问； ③在规律的概括时设问； ④从旧知引入新知时设问； ⑤在有比较、有联系时设问；⑥在学生练习时，发现带有普遍性错误的问题设问.这样，学生就会提高很快.
要想在中考中取得好成绩，综合题的解答最为关键，中考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标.综合题是中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点.目前的中考综合题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型，尤其是创新能力型试题为主，因此综合题的训练要到位.这类题目信息量较大，所以理解题意很关键.平时在训练中让学生读题后能复述，用自己的理解来搜集信息中的重要部分或把一些模糊的信息明了化，将题目分层以降低难点，让学生联想到相关的知识点，同组学生之间分析讨论解题思路、提出注意事项，使学生在心里上消除对综合题的恐惧，在合作的学习中集思广益提高剖析综合题的能力.
例6 (重庆市中考题)已知：如图3，抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0).
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连结CQ.当CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0).问：是否存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
图3 图4简析 (1)用待定系数法容易求解；
(2)一旦点Q固定，CQE位置就可确定.利用解决面积的一般方法，将CQE的面积转化为BCQ的面积与BEQ的面积之差，因此可设点Q坐标为(m，0)，过点E作EGx轴于G点，如图4所示.由抛物线解析式求得B(-2，0)，因QE∥AC，所以BQE∽BAC，于是EG∶CO=BQ∶BA ，EG=2m+43；所以SCQE=SCBQ-SEBQ=-13(m-1)2+3，从而易知：当m=1时，CQE的面积有最大值3；
(3)首先作出符合题意的草图，若ODF为等腰三角形，有3种可能性：
①若DO=DF，由于D是AO的中点，故OFA为直角三角形，又容易知道∠OAC=45°，从而FDOA，点F的纵坐标为2，即点P的纵坐标为2，于是用抛物线解析式可求点P的坐标为：P(1+5，2)或P(1-5，2).
②若FO=FD，作FMx轴于点M，由等腰三角形三线合一定理得，OM=1，从而MA=MF=3，知道点F的纵坐标为3，仿①同样可求P点的坐标为：P(1+3，3)或P(1-3，3).
③若OD=OF，因OA=OC=2，COA为等腰直角三角形，可求O到AC边的距离为22，故OF =OD=2是不可能的.
点评 本例第(1)问着重考查基本的数学方法；第(2)问通过面积设计问题，考查一元二次方程、相似三角形的有关知识及化归的数学思想；第(3)问属于探索性问题，以寻求等腰三角形为情境，综合考查了学生的作图能力、观察问题和分析问题能力、计算能力以及分类的思想方法，其中“COA为等腰直角三角形”作为隐性条件“藏”在题目中，对于解题十分重要，要求考生具有缜密的思维和较强的洞察力，是一道典型的中考压轴题.
需要强调的是对不同层次的同学，攻关大题的要求是不一样的，第一层次的同学力争通过一段时间训练后，能够自主破解综合题；第二层次的同学争取从整体上把握解题思路，在前面的几问上得到相应的分数；而第三层次的同学争取解答一到二问即可.这也是体现课标“不同的人在数学上有不同的发展”的理念.
3 查漏补缺提高，模拟中考练兵(第三阶段)
要取得好的成绩，模拟训练是必不可少的.但过多的训练容易使学生产生疲劳，甚至产生厌学情绪，前两轮复习检测应以基本知识和专题训练为主，而模拟训练要仿照中考进行.平时基本功的训练力求到位，过好审题关、计算关和表达关.建议每天进行“一刻钟小题强化训练”，主要是考查基础知识的选择题、填空题，并自我评估，做好“病例笔记”及时弥补知识上的漏洞和能力上的不足.做到“小题大做”只要自己会做的题目就不要做错，确保成功率.对于综合题要做到“大题小做”，做到会把大题分解成若干小题，步步为营，各个击破，决不放弃.
3.1 认真参加联考
认真参加每一次县市区或学校组织的考试.考前要做好充分准备，考完之后要认真分析考试情况，及时制定下一阶段的复习重点.通过联考可以了解兄弟学校的学习情况，取长补短，正确评价复习成效.
3.2 主动查漏补缺
对于训练中暴露出来的问题，认真分析，及时调整复习的深度、广度.告诫学生要针对自己的“薄弱环节”进行有效的训练，集中精力“攻关”，不要总是“被老师牵着鼻子走”，这样才能事半功倍.对考得好的学生，要加以表扬，增强学生的自信心，“鼓劲”；对成绩下降的学生，要鼓励他们不要“松劲”，要发扬“咬定青山不放松”的精神，只要努力中考时会取得好成绩.因此，每次用于模拟的试题不宜太难，难度应略低于或接近中考.特别在初三最后的几次月考中，试卷尽可能“浅而活”，与生活结合，渗透所学的数学思想和数学方法，贯穿中考命题改革的思路.
3.3 注重错误分析
在总复习中，学生在解题时出现错误是不可避免的，错误从一个特定角度揭示了学生掌握知识的过程，教师针对错误进行系统分析是重要的，这样可以发现复习中的不足，采取措施进行补救.学生的错误一般表现在以下几方面：
(1)题意解读能力差.一部分学生对公式、概念、命题或法则的理解浮于表面，具有套用公式的能力，但不了解知识的发生过程，不了解这些知识在解题中的作用，经常出现张冠李戴的现象.一旦出现篇幅较长的问题，便无从下手.
(2)运算能力比较差.有些学生会做题，但是计算部分常常拿不到分.一是本身对计算没有引起足够重视，二是解题粗心大意.
(3)学习行为习惯差.对于需要语言表达的内容往往一带而过，缺少必要的推理论证过程；少做、漏做，书写作图不符合规范、不注意细节，导致不应有的失分，比如分式方程不检验、应用题不答；几何作图能力欠缺，以致于无法理解题意，证明部分需要的关键结论出现“思维链断裂”，因而缺乏论证，等等.
(4)无法破解综合题.惧怕综合题，碰到综合性的题目就不做，不能理清题设之间的相互联系，即使是较为简单的前两问也不知道解答.
(5)答题技巧的缺失.对于一时解答有困难的题，不知道“放一放”，无故耽误了不少时间；对于解答计算过程比较繁杂的题，要一步一检验，不要到最后再检验，否则一旦出现差错，花的时间就多了；距离考试结束不到一刻钟的时间，除非有把握做的题，一般应以检查为主，想不起来的题最好不要再做了.
针对上述种种情况，在复习过程中，一方面让学生纠错，教师总结错误原因，使学生领略解决问题中的探索、调试过程，掌握必要的考试答题技巧；其次，要重视提问这一重要复习手段，对于学生错误的回答，进行针对性的讲解，利用反面知识巩固正面知识.最后，抓住典型加以评述.事实证明：练是实践，批是反馈，评是升华，只讲不评，练习往往走过场.怎样提高讲评的效果呢?(1)对解错题目的评讲，分析错在哪里?为什么会错?怎样改变条件和问题，使错误的答案变成正确的答案.(2)对正确解题的评讲，要分析解题要点是什么?还有没有别的解法等.(3)对数学作业、练习卷的要求：第一步找到答案，第二步对答案进行检验，第三步是否有别的方法求解?精做细想，扎扎实实的提高解题基本功.
4 深入研读考纲，导航中考复习
当前中考数学命题的指导思想是： “狠抓基础，注重过程，渗透思想，突出能力，强调应用，着重创新”.中考数学命题努力体现课程标准，注重考查基础知识和数学信息能力的获取以及学生用数学的意识，特别是创新能力的考查，突出数学方法的理解和运用.
随着课改的深入，《课程标准》会作一定幅度的调整，命题时也会有所体现.教师有必要对本地区当年的《中考数学考试说明》进行深入细致的研究，对其中的考试性质、形式及试卷的结构、考试内容及要求都要进行逐字逐句的分析，通过与以往的对比，从中发现中考数学命题凸显的地方特色，具体到某个知识点难度的要求、压轴题和综合题的题型、分值多少等等.认真学习、理解中考命题的原则，从整体上把握中考命题的范围和内容，对于把握中考复习是很重要的.
1. 有关圆锥曲线的选择题、填空题仍将注重对圆锥曲线的定义、标准方程、焦点坐标、准线方程、离心率、渐近线等的考查，以容易题为主.
2. 作为解答题考查时，通常为一道解析几何综合题，重点考查直线与圆锥曲线的位置关系，求曲线的轨迹方程，关于圆锥曲线的定值、最值问题，求圆锥曲线中参数的取值范围问题等.
3. 热点问题是用待定系数法求曲线方程、动点的轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系等.
4. 特别提醒注意在知识交汇点命题，可能是一道以平面向量为载体的综合题或以平面几何图形为背景，构建轨迹方程的探索性问题，着重考查数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法.
二、题型解析
1. 直线与圆锥曲线的公共点问题.
利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.
例1. 在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.
（1）求k的取值范围；
（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量+与垂直？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.
分析：用代数方法即先联立方程组，再消去x（或y），得到关于y（或x）的方程来解决.
解析：（1）由已知条件，直线l的方程为y=kx+，代入椭圆方程得+（kx+）2=1，整理得（+k2）x2+2kx+1=0……①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4（+k2）=4k2-2>0，
解得k， 即k的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）.
（2）由题意知A（，0），B（0，1），则=（-，1）.
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则+=（x1+x2，y1+y2）.
由方程①，得x1+x2=-，y1+y2=k（x1+x2）+2=-+2.
（+），
（x1+x2）·（-）+y1+y2=0，即 -·（-）-+2=0.
解得：k=-，由（1）知k2>，与此相矛盾，所以不存在常数k使+与.
点评：在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x（或y），得到关于y（或x）的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形.
2. 弦长与最值问题.
一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则弦长AB=·x2-x1==·y2-y1=.
例2. 已知抛物线y2=2px（p>0），过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p.
（1）求a的取值范围.
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值.
分析：（1）由题意知，只需联列方程组，化为关于x的一元二次方程，再利用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式即可得出；（2）利用点到直线的距离公式求出NAB底边AB上的高.
解析：（1）设直线l的方程为：y=x-a，代入抛物线方程得（x-a）2=2px，即x2-2（a+p）x+a2=0，
|AB|=·≤2p，4ap+2p2≤p2，即4ap≤-p2.
又p>0，a≤-.
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），AB的中点 C（x，y），由（1）知，y1=x1-a，y2=x2-a，x1+x2=2a+2p，
则有x==a+p，y===p.
线段AB的垂直平分线的方程为y-p=-（x-a-p），从而N点坐标为（a+2p，0） 点N到AB的距离为=p.
从而SNAB=···p=
2p.
当a有最大值-时，S有最大值为p2.
点评：凡弦长问题，都要注意一元二次方程根与系数的关系和弦长公式AB=·x2-x1=的应用.
3. 中点弦问题.
处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题时，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，常用代点相减法，即
设A（x1，y1）、B（x2，y2）为椭圆+=1（a>b>0）上不同的两点，M（x0，y0）是AB的中点，则KABKOM=-；对于双曲线-=1（a>0，b>0），类似可得：KAB·KOM=；对于y2=2px（p≠0）抛物线有KAB=.
例3. 已知双曲线C：2x2-y2=2与点P（1，2）
（1）求过P（1，2）点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.
（2）若Q（1，1），试判断以Q为中点的弦是否存在.
分析：涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.
解析：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k（x-1），代入C的方程，并整理得
（2-k2）x2+2（k2-2k）x-k2+4k-6=0 （A）
（ⅰ）当2-k2=0，即k=±时，方程（A）有一个根，l与C有一个交点.
（ⅱ）当2-k2≠0，即k≠±时，Δ=[2（k2-2k）]2-4（2-k2）（-k2+4k-6）=16（3-2k）.
①当Δ=0，即3-2k=0，k=时，方程（A）有一个实根，l与C有一个交点.
②当Δ>0，即k
③当Δ时，方程（A）无解，l与C无交点.
综上知：当k=±，或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当
（2）假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），则2x2
1-y2
1=2，2x2
2-y2
2=2两式相减得：2（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2）.
又x1+x2=2，y1+y2=2，2（x1-x2）=y1-y2 ，即kAB==2.
则直线AB的方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.
联立方程组2x2-y2=2，
2x-y-1=0，消y得2x2-4x+3=0.
=（-4）2-4·2·3=-8
点评：严格地讲，求出的这个直线方程只是满足了必要性，因为是我们假定以Q为中点的弦存在，因此还必须验证充分性，即所求直线确实与双曲线有两个交点. 为此只要将直线方程与双曲线方程联立消y（或x），得Δ>0就可断言充分性成立. 事实上，从（-4）2-4·2·3=-8
4. 最值问题.
对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.
例4. 如图，已知椭圆+y2=1（a>1），直线l过点A（-a，0）和点B（a，ta）（t>0）交椭圆于M，直线MO交椭圆于N.
（1）用a，t表示AMN的面积S；
（2）若t∈[1，2]，a为定值，求S的最大值.
分析：由于M点和N点到x轴的距离相等，因此，要求AMN的面积，只须求出AOM的面积即可.
解析：（1）易得l的方程为y=（x+a），代入椭圆方程得（a2t2+4）y2-4aty=0，
yM=，S=2SAOM =2·|OA|·yM=.
（2）由（1）得S=≤=a. 当a2t=，即t=时等号成立.
当∈[1，2]时，即a∈[1，2]时，Smax=a.
当a>2时，设u=a2t+，即u′=a2-.
t∈[1，2]，u′>0，u在t∈[1，2]上单调递增，
S在[1，2]上单调递减，t=1时，Smax=.
综上，Smax=a，（1≤a≤2）
.（a>2）
点评：在求最值问题时，不要简单的运用基本不等式，要注意基本不等式必须满足的条件，本题中一定要考虑是否属于区间[1，2]，否则就会出错.
5. 对称问题.
利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明：设点P（x1，y1），Q（x2，y2）关于直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）对称，则有=且A·+B·+C=0.
例5. 在抛物线y2=2x-4上存在两点关于直线l：y=m（x-4）对称，求m的取值范围.
分析：本题是典型的轴对称求m的取值范围的问题，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减
得关于直线AB斜率的等式.
解析：（1）若m=0，则直线l为y=0，显然抛物线上存在两点关于直线l对称.
（2）若m≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线上关于l对称的两点，则x1≠x2，y1≠y2.
且KAB=-，y2
1=2x1-4，y2
2=2x2-4.
以上两式相减，得y2
1-y2
2=2（x1-x2）.
即==-，
y1+y2=-2m.
由线段AB的中点P在直线l上，
=m（-4），
=3，即P（3，-m）.
点P（3，-m）在抛物线内部，
（-m）2
点评：本题利用点P（x0，y0）在抛物线“内部”建立不等式求取值范围.含有焦点的区域为圆锥曲线的内部，那么易得点P（x0，y0）在椭圆+=1内部的充要条件是+
6. 轨迹问题.
根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征. 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、相关点法、参数法.
例6. 如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求EMF的重心G的轨迹.
分析：（1）由直线MF（或ME）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点E的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M点的坐标将E、F点的坐标表示出来，进而表示出G点坐标，消去y0即得到G的轨迹方程（参数法）.
解析：（1）设M（y2
0，y0），直线ME的斜率为k（l>0）则直线MF的斜率为-k，方程为y-y0=k（x-y2
0）.
由y-y0=k（x-y2
0），
y2=x，消x得ky2-y+y0（1-ky0）=0，解得yF=，xF=.
kEF====-（定值），所以直线EF的斜率为定值.
（2）当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1，直线ME的方程为y-y0=k（x-y2
0）由y-y0=x-y2
0，
y2=x， 得E（（1-y0）2，1-y0）.
同理可得F（（1+y0）2，-（1+y0））.
设重心G（x， y），则有：
x=
==，
x=
=
=-
，消去参数y0得y2=x-（x>）.
所以，重心G的轨迹是焦点为F（，0），顶点为A（，0）的抛物线，但要除去顶点为A（，0）.
点评：（1）要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围.由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围.
（2）“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性.
7. 过定点问题.
例7. 已知椭圆+=1（a>b>0）与直线x+y-1=0相交于A、B两点，且OAOB（O为坐标原点）.
（1）试问该椭圆是否过定点？
（2）若椭圆长轴长的取值范围是[，]，求椭圆离心率e的取值范围.
分析：（1）由题意OAOB知，只需联列方程组，化为关于x或y的一元二次方程，再利用一元二次方程根与系数的关系即可得出；（2）注意公式b2=a2-c2和e=的应用是关键.
解析：（1）将x-y-1=0代入椭圆方程整理得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0.
设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，而y1y2=（1-x1）（1-x2），
y1y2=. 又OAOB，x1x2+y1y2=0.
+=0， +=1. ①
该椭圆过定点（±，±）.
（2）将b2=a2-c2代入①得2-e2=2a2（1-e2）， 2a2= ，而2a∈[，]，
≤≤3. 即≤e2≤时.而0
点评：一般地，遇到有关线段垂直问题，首先应考虑联列方程组，化为关于x或y的一元二次方程，再利用一元二次方程根与系数的关系来解题.
8. 应用性问题.
例8. 舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？
分析：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程.
解析：取AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，A、B、C舰的坐标为（3，0）、（-3，0）、（-5，2）.
由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|.于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为x-3y+7=0.
又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知
|PB|-|PA|=4，故知P在双曲线-=1的右支上.
直线与双曲线的交点为（8，5），此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10.
据已知两点的斜率公式，得kPA=，所以直线PA的倾斜角为60°，于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.
设发射炮弹的仰角是θ，初速度v0=，则=，
sin2θ==，仰角θ=30°.
点评：以实际应用为背景，利用圆锥曲线的有关知识为手段，解决实际问题的应用问题和以圆锥曲线为载体，构建与其它数学分支相结合的问题，在高考中比较常见的.
9. 是否存在性问题.
例9. 已知椭圆C1：+=1，抛物线C2：（y-m）2=2px（p>0），且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
（Ⅰ）当ABx轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
（Ⅱ）是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由.
分析：对于存在性问题的讨论，思维一定要严谨，一般是从假设存在入手，通过逻辑推理得出正确结论.
解析：（Ⅰ）当ABx轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为： x =1，从而点A的坐标为（1，）或（1，-）. 因为点A在抛物线上，所以=2p，即p=.此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
（II）假设存在m、p的值使C2的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k（x-1）.
由y=k（x-1），
+
=1，消去y得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0……①
设A、B的坐标分别为（x1，y1）， （x2，y2），
则x1，x2是方程①的两根，x1+x2=.
由（y-m）2=2px，
y=k（x-1），消去y得（kx-k-m）2=2px……②
因为C2的焦点F′（，m）在直线y=k（x-1）上，
所以m=k（-1），即m+k=.代入②有（kx-）2=2px.
即k2x2-p（k2+2）x+=0 …………③
由于x1，x2也是方程③的两根，所以x1+x2=.
从而=，解得p= ……………④
又AB过C1、C2的焦点，所以AB=（x1+）+（x2+）=x1+x2+p=（2-x1）+（2-x2），则p=4-（x1+x2）=4- =………………⑤
由④⑤式，得=，即k4-5k2-6=0.
解得k2=6.于是k=±，p=.
因为C2的焦点F′（，m）在直线y=±（x-1）上，所以m=±（-1）.
m=或m=-.
由上知，满足条件的m、p存在，且m=或m=-，p=.
三、备考策略
1. 注重掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质，要善于多角度、多层次思考问题，不断巩固和强化“三基”.
2. 突出主体内容，紧紧围绕两个方面来复习，即根据已知条件求曲线的方程和通过方程研究圆锥曲线的性质.其中求曲线的方程是重点，所以要熟练掌握求曲线方程的一般方法.
3. 关注“热点”问题，直线与圆锥曲线的位置关系问题一直是高考命题的热点，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，分析问题时要注意数形结合思想和设而不求的思想以及弦长公式、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的熟练应用.
4. 重视对数学思想方法（特别是函数方程思想、数形结合思想以及坐标法）的归纳总结，实现优化解题思维，简化解题过程.
5. 着力抓好“运算关”.解析几何问题的解题思路容易分析出来，但往往由于运算不过关而半途而废.因此，在复习中要注意寻求合理的运算方案，以及简化运算的基本途径与方法.
有效的教学，不仅仅是学生的分数考得好，还应该包括学生的能力、思维、情感等多个核心素养的有效提高.有效教学是对课堂教学实际效果的综合性评价.那么，如何提高高中数学课堂教学的有效性呢？
一、以合作学习模式为改课的突破口
随着新课程改革的推进，越来越多的教师意识到有效的教学需要改变授课模式，摒弃传统的“灌输式教学模式”.结合南通市的“限时讲授、合作学习、踊跃展示”的教育方针，笔者认为合作学习模式有助于课堂教学走向有效.
1.科学分组，保证合作学习的组织性.学习的组织性强弱直接关系到学生合作学习的效率.要想利用合作学习模式提高高中数学课堂效率，就要合理分配学生小组.教师应该遵循一个原则，小组之间的差距尽量缩小，而小组内部的成员尽量互补，即教师按照学生的学习成绩、学习环境、个人性格、个人能力等特征给学生分好大组，再依次配到各个小组中，保证合作学习环节的高效开展.
2.科学引导，明确合作学习的方向性.虽然组建了学习小组，但是如果没有教师的主导，学生的合作学习就容易出现探究方向的错误.在高中数学课堂教学中，教师应该以学生的发展为主，从学生的角度出发，为学生考虑，从而为学生的合作学习提供有效的条件.这里的条件包括教师所创设的特定的情境和相关的材料.只有教师为学生的合作学习提供充分的条件，才能让每一个学生都真正参与到活动中，主动学习、思考与探究，有自己的思维方式，运用自己独特的方法去解决问题.这样，既能提高学生的自主学习能力，培养学生的创新思维，还能提高学生的合作能力.例如，有一次听课学习中，笔者记录了如下教学片段，学生的活动是有效的.教师首先给学生展示了某个工厂车间的图片，然后通过图形一步步展示出问题，如果从今年起某工厂的年产值每年都比上一年增长百分之八，那么大约经过多少年可以使年产值翻一番？在解决这道题目之前，教师对学生进行相关方面的解说.比如，提供一些车间生产的图片，为学生讲解概率的定义、性质等基本知识.引导学生以学习小组为单位进行问题的思考.接下来教师对每一年的具体情况通过画图展示.通过形象的图形，可以清晰地展现每一年增长的百分比.这样，教师通过多媒体技术对教学内容提供了相应的材料，使学生合作学习的方向始终能跟上教师的步伐，并在趣味的情境中主动思考问题，培养了学生的自主学习能力，提高了学生解决问题的能力.
二、借助于生活化情境的设计，激发学生的探
究欲望
在高中数学教学中，有些学生上课容易开小差，注意力不集中，很大程度上是因为他们对数学知识不感兴趣，没有一探究竟的欲望.这就需要教师在学习情境的创设上下工夫，设置生活化的、真实的情境，有效带动学生的思维，激活学生的探究欲望.例如，在讲“抛物线”时，教师可以创设一个学生熟悉的投篮问题情境：小明身高1.8m，篮球框高3.2m，小明在距篮球架7m的地方朝上45°角将篮球以抛物线抛出.小明能顺利把篮球投进篮球框吗？设计意图：“生活即教育”.“篮球投篮”是一个与学生的生活息息相关，尤其是男生热衷的活动项目，而且学生在这项活动中都希望自己能够尽可能地投篮得分.利用投篮创设教学情境，能够吸引学生的注意力，使学生觉得不是在解决数学题，而是在进行投篮得分的研究，有效激活了学生的求知欲.看到学生渴望探索出问题的答案的眼神，这节课的教学效果可想而知.
三、注重引导学生关注知识的关联性
数学知识学习具有系统性.有效的学习，肯定不是引导学生记住和应用单一的知识点，而是尽可能地引导学生进行联想与反思，帮助学生构建完整的知识网络.无论是新授课还是复习课，教师都应该注重知识关联性的渗透，促进学生思维发散和有效联结.例如，在讲“直线之间的关系”时，直线共有三种关系：相交、平行、异面，相交和平行是学生已经知道的旧知识，而异面则是学生没有学过的新知识.教师可以举几个直线之间相交和平行的例子，让学生进行分析，将学生引入情境中.然后举一个直线异面的例子，让学生产生疑问，再导入本次课堂所要讲的新知识，直线之间的异面关系.通过创设一个知识间相关联的情境，帮助学生在情境中对之前的知识进行复习，使学生在接下来学习异面的知识时主动c直线之间的相交与平行关系进行比较.
总之，在高中数学课堂教学中，教师要更新教学观念，优化教学方式，从而提高教学的有效性.
关键词：线上授课；课件；师生；互动
线上授课是指利用互联网技术和设备，依托直播教学平台开展教学活动，是将互联网技术与传统教学紧密结合的教学模式，是新时代教学改革的重要路径之一［1］。线上教育将传统教学从教室的定点定时转变为随时随地可进行的移动式学习，具有可碎片化、不受时间空间限制、学习场景移动化、自主性等优势，有助于大量优质教育资源的共享推广，以实现教育公平。传统课堂教学模式经过多次变革和完善，它最大的优势是便于师生的情感交流。线上与线下两种教学模式各有优缺点，线上课程应当是线下课程的补充，是未来的发展方向。尽管线上课程在公考、律考、考研等方面得到了广泛应用，涌现出很多网红教师，但是在全日制教学中开展的时间很短，应用面也不广，教师的参与度相对较低，导致线上教育面临不少困难。因此，以《解析几何》中的“直线与二次曲线的位置关系”为例，探讨线上授课［2］。
1要有充分的准备工作
线上授课可使用的平台多种多样，经过对比及结合实际情况，选择了钉钉教学平台。课前，在钉钉平台上建立学习群，为了督促学生，每个班都设有考勤员，负责每节课的考勤工作。针对学生基础较差的情况，在每节课授课前，在钉钉群预习要求。学生通过预习带着问题听课，更容易集中精神参与课堂学习，加深对知识的理解。同时，学生可以自主学习，自己支配学习的节奏、内容，给自己的思维留下一定的时间和空间，强化学习效果。本课预习要求：（1）如何记住课本187和188页的记号；（2）复习中学学过直线和二次曲线的方程和图像；（3）预习直线与二次曲线的位置关系。
2用好课件是关键
与传统课堂相比，线上课程最大的不同在于：首先，课件的制作要更加细致。能不能上好网课，课件非常关键，网课不同于教室面授，要多方考虑学生的因素。因为在教室上课，学生的反应可通过观察他们的表情得知，随时做出调整。但线上授课时无法看到学生的表情，因此备课时要针对教材内容，充分考虑学生的知识水平、理解能力和接受能力，哪些知识学生能理解、接受，哪些知识需要补充，为方便理解应该如何设计课件。此外，备课时也要多设置一些合适的问题，通过这些问题及时了解学生对内容的理解情况。PPT要尽可能精练、完善、简洁大方，以简单的色彩和图案为模板制作课件，用不同颜色标识出一些重要的知识点，保留在显眼的位置［3］。其次，教具的准备要更加充分，课境的布置要更加合理，课件+黑板的组合被各种现代化设备所取代，如课件、“手写板+白板”，且要求能在各种工具之间无缝切换。例如，在教授“直线与二次曲线的相关位置”时，在学习新课前，先引导学生复习相关符号。如：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0（1）F1(x，y)、F2(x，y)、F3(x，y)、Ф(x，y)以及F1(x，y)、F2(x，y)、F3(x，y)的关系式，复习后把它们留在同一页面，为接下来的推导做好铺垫。推导过程切换到白板进行，把直线的参数方程x=x0+Xt，y=y0+Yt代入二次曲线方程（1），通过白板一边分析，一边演算推导过程，最后得到方程式Ф(X，Y)t2+2［F1(x0，y0)X+F2(x0，y0)Y］t+F(x0，y0)=0（4）。此方程在后续学习中会经常出现，用不同的颜色在PPT上显示出现，并要求学生牢记。然后，切换回PPT，讨论方程（4）的根，把方程换成学生非常熟悉的二次方程At2+Bt+C=0，显示在方程（4）下对应的位置上，利用二次方程根与系数的关系，一步一步引导学生推出结论。用不同的颜色、不同的字体标识这些结论，特别是重点字眼用不同颜色的字体标出来，而且设定不同的显示方式。这样方便必要时把它显示出来，讲清楚后再隐藏起来。在讲完直线与二次曲线的相关位置的基本知识点后，为了让学生真正掌握知识，并能灵活地运用知识，将理论知识与实际问题相结合，设计了让PPT切换到几何画板。在几何画板中，教师事先设定了x轴上的一些点如A、B、T，用这些点的纵坐标表示参数a、b、t的大小，学生通过拖动这些点就可以改变参数的值。学生只需要在“度量/计算”功能中输入参数方程，分别计算出x，y的值，再利用“图表/绘制点（x，y）”绘出对应的点，最后利用“构造/轨迹”功能就可以绘出方程的图象，或者直接在“图表/绘制新函数”功能中输入参数方程或函数表达式，几何画板即可绘出相应方程或函数的图象。在学生掌握几何画板的基本应用功能后，将几何画板文件发送给学生，要求学生尝试将“直线与二次曲线”的六种位置关系（交于“两不同实点”“两重合实点”“两共轭虚点”“唯一实交点”“无交点”“直线在二次曲线上，成为二次曲线的组成部分”）通过图象显示出来。在学生尝试的过程中，教师适当地提示，激励他们，看看能在规定时间内作出几种位置关系。例如，常见的二次曲线有哪些？椭圆与直线的位置关系有几种？抛物线与直线的位置关系又有几种？除了常见的椭圆、双曲线、抛物线，还有什么样的二次曲线？到规定时间后，让学生提出自己找到的几种位置关系，可通过文字或图片上传。教师对学生的奇思妙想要及时给予表扬和鼓励，以激发学生的学习热情。通过让学生自己思考、分析，亲自动手操作、实践，学生对自己得出的结果会更有成就感，感受到理论联系实际的乐趣。通过上述学生动手操作，会发现学生很容易作出“交于两不同的实点”和“交于唯一的实点”，但部分学生不知如何区分“无交点”和“交于两共轭虚点”，也容易混淆“交于唯一实点”和“交于两重合实点”。而能想到“直线在二次曲线上”的学生不多，中学时期没有提过这种位置关系，大部分学生对“二次曲线”的思维往往只停留在“圆、椭圆、双曲线和抛物线”上。此时，学生迫切想知道这几种关系的根本区别，急切地想找到答案。这时，教师再切换回PPT，通过例题解决这个问题。例1：下列直线与二次曲线y2=2x的位置关系分别是什么？X=1、y=2、x=0、x=-2。提出两个问题：“它们的位置关系是（）；你是通过哪种方法得出结果的？”选项有：G直觉、H画出图像、M联立方程组解方程组、N选H和M。事先用字母ABCDEF分别代替六种不同的位置关系，学生用字母回答即可，这样很快就能收到反馈信息。教师收到反馈信息后，切换到几何画板，作出直线与二次曲线的图像，让他们观察图像并再次确定位置关系。有不少学生会认为，直线x=0也是与抛物线交于唯一实点，直线x=-2与抛物线没有交点。然后，切换到PPT，引导他们从方程组中判断，判断结果是否正确。通过联立方程组，很快会发现直观感受到的与实际有较大的差异，从而得出图形判断并不可靠的结论，让学生明白需要通过解方程组来判断它们之间的关系。例2：直线与二次曲线y2=4的位置关系分别是什么？y=2、y=3。学习例1，学生自然会用解方程组去解答例2，得出关系之后，切换到手写板画出图象（因这图象很简单）。通过图象，学生理解了“无交点”就是“平行”，与“交于两共轭虚点”有本质区别；“交于两重合实点”就是“相切”，这就能真正与“交于唯一实点”区别开来；而对中学很少见到的“直线在二次曲线上”，通过这个例题使学生深刻地理解容易混淆的知识，从而达到真正掌握直线与二次曲线位置关系的目的。为了巩固知识，设计了以下课堂练习。
3重视师生互动
课堂上，要努力做到讲解清晰、有条理、准确、生动、层次分明、言简意赅、深入浅出。网络授课速度要慢，特别是对数学基础较差的学生。因此，上网课时，一定要一步步引导学生理解透彻。在直播课上，教师尽量用幽默风趣、富有感染力和号召力的语言吸引学生。教师尽量营造轻松和谐的课堂氛围，让学生能在课堂上畅所欲言，及时表达出自己的各种想法和见解。这样欢快活泼的课堂气氛可以增强教学内容的趣味性，缓解学生的学习疲劳，同时情绪高涨的学生也反过来激励着教师，使“教”与“学”达到最佳状态，从而提高课堂效率。此外，由于直播课教师无法兼顾到每个学生，无法了解到每个学生的听课状态，所以为了能够及时地收到课堂的效果反馈，较好地进行课堂管理，教师要时刻关注学生的学习状态，增强师生在课堂上的互动，随机提问学生与课程相关的内容，以了解学生听课情况。特别关注提问在上课过程中“潜水”的学生，以防止出现学生“挂网”现象。例如，在推导直线与二次曲线的关系，在得出方程Ф(X，Y)t2+2［F1(x0，y0)X+F2(x0，y0)Y］t+F(x0，y0)=0（4）后，可提问：“方程中的变量是什么？”“t”；“它是一次方程还是二次方程？”“与Ф有关”；“当Ф不等于零时，方程是一次还是二次方程？”“二次”；“它的根与什么有关？”“与系数有关”；“根与系数的关系是怎么样的？”“与Δ有关”；“当Δ大于零时，根与系数的关系是什么？”“而当Δ=0时，情况又如何？”“当Δ<0呢？”“当Ф等于0时，方程又是什么方程？这时，它的根与什么有关？”通过一问一答，学生能够轻松自然地推导出结果。这样在学生原有知识的基础上不断进步，让学生通过跳一跳摘果子，不断体验到成功的喜悦，让他们从内心产生“我能行”的想法，充分激发学生参与课堂学习的热情。教师可以结合直播平台提供的学习打卡、学习时长、课堂提问、课堂作业数据，监督和管理学生的学习状况，督促学生主动学习，保障课堂教学质量，确保学生的学习进度。同时，学生在上课过程中也可以随时可通过屏幕提问和发表见解，教师也要及时关注学生的反馈情况。在练习中，利用“限时答题”的功能，让学生答完题并拍照上传解题过程，教师可及时收到反馈，讲评学生的解答过程。在备课过程中精心设计小而精的并与授课内容密切相关的问题，设计出不同的答题选项，学生通过回答“A”“B”“C”“D”或“是”“否”等，提高学生的参与度，正确的回答使学生获得成功的体验，产生愉悦感，上课时不易分神，提高注意力，更积极地参与课堂学习。课后，教师及时将课件发在钉钉群上，方便学生随时查阅。此外，学生也可以通过钉钉软件中的视频回放功能进行查漏补缺。
4作业要及时评讲
作业的布置尽量体现出针对性和层次性。作业不宜太难，学生在多次尝试都失败，就会失去信心，逐渐失去学习的兴趣；相反，成功的体验会激发学生的学习兴趣。学生做好作业后，在规定时间内拍照上传。钉钉软件中有“作业”功能，教师能一目了然地知道已提交和未提交作业的学生名单，对未提交的同学，教师还可以“ding”一下，提醒他及时完成作业并提交。此外，教师要及时批改作业，利用软件中圈画批改功能鼓励学生，对做得好的作业批上“好”“优秀”“真棒”等，对出现错误的作业，把错误的地方圈出来加以改正。作业批改后在钉钉群，全班学生都可以看到。这不仅能让学生及时认识到自己作业的错误，同时优秀的作业也起到榜样作用，引起学生相互比较、相互模仿、相互学习，达到激励全班学生的目的。这样一来，调动了学生做作业的积极性，学生为了做出“优秀”作业，课堂上会更认真、更投入，形成良性循环。每一次改完作业后，教师认真分析并记录学生的作业情况，分类总结作业中的问题，挑出具有代表性的问题，在下次上课前进行评讲，让学生能及时纠正错误，使其达到真正掌握知识的目的，同时教师针对有关情况及时改进教学，做到有的放矢。
5结束语
“线上+线下”的教学方式是未来教育教学工作的发展趋势。事实证明，线上授课不仅对实现线上线下教学质量双提升、推动教育教学工作发展有着重要的作用，而且还能实现因材施教的目标。针对学生在知识水平、理解能力、运用能力等方面的差异，可以利用网络教学的优势，通过使用富有变化、不断更新的教学手段，设计富有节奏的课堂教学内容，设置不同的情景、演示不同的事例、提出不同的问题、进行不同的启发、提供不同的方法、提出不同的要求等，使不同层次的学生都可以得到提高，进而提升全体学生的素质。
参考文献：
［1］王卫强,杜胜男,李焱斌,等.“互联网+”时代线上线下混合式教学模式应用研究——以天然气输送设计与管理为例［J］.大学教育,2021(5):62-64.
［2］蔡弘,赵斌斌,范海洲,等.网课实践对新时代高校混合式教学改革的启示［J］.科技风,2021(7):37-38,118.
热点一：数列的基本问题
有关数列的基本问题，这类题围绕等差、等比数列的基本知识、基本公式、基本性质命题，难度不大，考生应注意基本方法的训练，灵活运用相关性质解题.
例1若等差数列{an}满足a2+S3=4，a3+S5=12，则a4+S7的值是.
分析：由本题的结构特点，容易联想到等差数列的一个性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq，以此性质递推，不难得到答案.
解：在等差数列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq，所以a1+a3=2a2.又由a2+S3=4，可得4a2=4，所以a2=1.
同理，由a3+S5=12，可得a3=2，则a4=3.
又S7=7a4，则a4+S7=8a4=24.
说明：本题结构形式简洁，且较好地考查了等差数列的相关性质.这种命题方式恰好是高考命题者设计数列知识点考题的一种风格，即挖掘数列知识的内在性质，简化数列试题的外在形式.解题的基本功在于对等差、等比数列性质的准确理解和灵活运用.
例2已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn=.
分析：本题是已知数列{an}的前n项和Sn与an的递推关系式，求an的通项公式的一种常见题型，求解时，注意由n≥2时，an=Sn-Sn-1求得通项公式之后，还要讨论n=1时，a1=S1的情形是否满足通项公式.
解：由Sn=2an+1可知，当n=1时得a2=12S1=12，当n≥2时，有Sn=2an+1①Sn-1=2an②
①-②可得an=2an+1-2an，即an+1=32an，
故该数列是从第二项起以12为首项，以32为公比的等比数列，故数列通项公式为
an=1（n=1）12（32）n-2（n≥2），
故当n≥2时，Sn=1+12（1-（32）n-1）1-32=（32）n-1，
当n=1时，S1=1=（32）1-1，故Sn=（32）n-1.
说明：本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用.已知数列{an}的前n项和Sn与an的递推关系式，求an的通项公式或研究数列{an}的性质，以此设置命题意在考查考生对Sn与an的内在联系的认识，即Sn=Sn-1+an（n≥2，n∈N*）.
热点二：数列的递推与求和问题
研究数列的递推公式，从而研究数列的其他性质和求和问题，递推公式简单时往往较容易.但有些不易求出通项公式的题目，难度较大，其求解的关键是：读懂题意，搞清数列递推关系式提供的各方面信息，然后再根据所给的问题采用相应的方法去解决.
例3已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设a1>0，λ=100，当n为何值时，数列{lg1an}的前n项和最大？
解：（1）取n=1，得λa21=2S1=2a1，a1（λa1-2）=0，
若a1=0，则S1=0，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=0，所以an=0，
若a1≠0，则a1=2λ，当n≥2时2an=2λ+Sn，2an-1=2λ+Sn-1，
上述两个式子相减得：an=2an-1，所以数列{an}是等比数列.
综上，若a1=0，则an=0.
若a1≠0则an=2nλ.
（2）当a1>0，且λ=100时，令bn=lg1an，所以，bn=2-nlg2，
所以，{bn}单调递减的等差数列（公差为-lg2）
则b1>b2>b3>…>b6=lg10026=lg10064>lg1=0
当n≥7时，bn≤b7=lg10027=lg100128
故数列{lg1an}的前6项的和最大.
说明：本题主要从三个层面对考生进行了考查.知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识和数列递推关系式的问题；能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.
热点三：数列的综合性问题
与函数、不等式、解析几何结合的数列综合题，对思维能力有较高要求，考查了分析问题和解决问题的能力，体现以能力立意的命题原则，是近来年高考的热点问题，属于中高档难度的题目或压轴题，解决这类问题常常要综合利用各种数学思想与方法，特别是函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想及其配方法、换元法、待定系数法等基本数学思想方法，这样才能准确解答这种问题.
例4已知a为正实数，n为自然数，抛物线y=-x2+an2与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.
（1）用a和n表示f（n）；
（2）求对所有n都有f（n）-1f（n）+1≥nn+1成立的a的最小值；
（3）当0
解：（1）由已知得，交点A的坐标为（an2，0），对y=-x2+12an求导得y′=-2x，
则抛物线在点A处的切线方程为：y=-2an（x-an2），即y=-2anx+an.则f（n）=an
（2）由（1）知f（n）=an，则f（n）-1f（n）+1≥nn+1成立的充要条件是an≥2n+1，
即知，an≥2n+1对于所有的n成立，
特别地，当n=1时，得到a≥3，
当a=3，n≥1时，an=3n=（1+2）n≥2n+1，
当n=0时，an=2n+1.
故a=3时f（n）-1f（n）+1≥nn+1对所有自然数n均成立.
所以，满足条件的a的最小值为3.
（3）由（1）知f（k）=ak
下面证明：1f（1）-f（2）+1f（2）-f（4）+…+1f（n）-f（2n）>6・f（1）-f（n+1）f（0）-f（1）
首先证明0
设函数g（x）=6x（x2-x）+1，0
当0
故g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）min=g（23）=19>0
所以，当06x
由06ak，从而
1f（1）-f（2）+1f（2）-f（4）+…+1f（n）-f（2n）
=1a-a2+1a2-a4+…+1an-a2n
>6（a+a2+…+an）=6×a-an+11-a
=6×f（1）-f（n+1）f（0）-f（1）
说明：本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力，且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法.
热点四：数列的创新问题
数列中的创新问题是近年高考试卷中出现的一个亮点.这类问题要求考生在短时间内读懂并理解一个陌生的数列问题情境，对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，然后综合、灵活地应用所学的数学知识、思想方法，紧扣获取的相关信息进行独立的思考、加工、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.
例5定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”.现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=|x|；④f（x）=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为 .
解：设数列{an}的公比为q.对于①，f（an+1）f（an）=a2n+1a2n=q2，是常数，故①符合条件；对于②，f（an+1）f（an）=2an+12an=2an+1-an，不是常数，故②不符合条件；对于③，f（an+1）f（an）=|an+1||an|=|an+1an|=|q|，是常数，故③符合条件；对于④，f（an+1）f（an）=ln|an+1|ln|an|，不是常数，故④不符合条件.
由“保等比数列函数”的定义知应选①③.
说明：本题考查等比数列的新应用，函数的概念.对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键.
关键词：初中数学；数学复习；优化方法；提高效率
随着新课程改革的不断推进，中考数学试题的新颖性、灵活性越来越强。如何有效组织复习教学，提高复习效益，是我们每位数学教师亟待面对的问题。复习，就其基本含义而言，是指为了恢复或强化头脑里已形成的暂时神经联系，对已学过的知识进行重新学习。复习课存在的两大误区：一是复习的内容是“老调重弹”，把复习课看成了补课，二是复习的方法是“题海战术”，把复习课上成了习题课。在复习教学中长期这样做会使学生对数学学习越来越感到枯燥无味。那么，如何复习才能提高效率呢？
一、仔细研究教学大纲，把握教材重难点
由于初三复习时间短，知识面积广，要做到面面俱到是不可能的。因此，作为任教初三的数学教师，很有必要再次研读教学大纲，把握考试重点，难点。针对学生的实际情况，制定一个切实可行的复习计划，统筹安排复习时间与复习内容，有计划，有步骤地进行复习，做到有的放矢，切忌随意性和盲目性，这样才能使复习课收到良好的效果。
二、注重考法研究，把握中考动向
（一）了解中考命题的考查范围。
现在中考命题仍然以基础知识题为主，有些基础题是课本上的原题或改造后的题，后面的大题虽是“高于教材”，但原型一般还是教材中的例题式习题，是教材中题目的引申、变形或组合。因此，复习时应以课本为主。中考数学命题除了重视基础知识外，还十分重视对数学方法的考查。如：配方法、换元法、判别式等操作性较强的方法。鉴于此，平时复习就加强对这些方面的训练。
而中考对能力的考查，大致可分为两个方面的能力：一是考查运算能力、空间想象能力和逻辑思维能力及解决纯数学问题的能力；二是强调阅读能力、创新探索能力和数学应用能力。为此我们教师在平时复习时应注重对学生进行这两方面的能力培养。
（二）重视基础知识题的复习。
中考的命题分值比例中，有近50%的基础题，若把中档题和较难题中的基础分计入，占的比值会更大。因此我们应重视基础知识的复习，基础知识即是初中所涉及的概念、公式、公理、定理等。要求学生掌握基础知识之间的联系，要做到理清知识结构，形成整体知识，并能综合运用。在应用基础知识时应让学生做到熟练、正确、迅速。上课要求学生不能只听老师讲，要敢于质颖，积极思考方法和策略，应通过老师的教，让学生自己“悟”出来，自己“学”出来，尤其在解决新情景问题的过程中，应让学生感悟出如何正确思考。中档题和难题的分值比略为40%和10%，因此教师要注意中档题的讲解和训练，在平时复习过程中，应多研究试题的难易度，不要自己一意孤行，把一些中档题当作基础题处理了，造成学生认为自己不行了，增大了学生的学习压力。
三、调整好心态，培养学习兴趣
首先是心理上要调整好心态。在中考复习时，科任教师要对学生进行心理健康辅导，避免因学生学习过度的紧张而造成压力。教师还可以通过各种途径在不同的阶段，对学生进行个别心理辅导、群体心理辅导，使学生正确对待压力与挫折，正确看待成绩，增强自信，发挥学习的最佳效能。其次，要避免学生对考试产生畏惧心理，甚至把模拟考试也当成负担。随着复习的深入，数学复习题的深度和广度也会增大，考生一次考试没考好或遇到不懂不会的问题是很正常的，如果一味地着急、焦虑，往往会一无所获，考生应把这些做错的题目和不懂不会的题目当成再次锻炼自己的机会，正确分析问题原因，考前发现问题越多、纠正越及时，提高越快。最后，教师要适时给予学生学法指导，培养学生兴趣。教师要从讲课复习、做练习（试题）、改正试卷、小结等方面，对学生进行学法指导，使学生在学习的每个环节上量力而行，合理利用时间，发挥学习效能。使学生学习得法，增强自信，培养兴趣，做到事半功倍。
四、要制定复习目标
为了能够提高复习效率，就要制定复习目标。制定复习目标应注意如下三点：
（一）目标要全面。
要按照数学教学大纲上的要求，有针对性地在知识、能力和思想品德三方面提出复习要求，不能厚此薄彼，甚至只提出知识方面的复习要求，把能力与思想品德丢在一边。
（二）目标要准确。
一是目标中知识、能力、思想品德各方面的要求要准确，二是三者之间不能混淆。如统计表和统计图的复习，复习的目的是：将学过的统计表和统计图强化和分化，防止相关或相似知识的互串。学生易混的问题是：如何确定单位长度？（共性）为什么折线统计图中横标目的间隔要按实际年份留空？（个性）学生最容易遗忘的是：制图后忘掉写数据，或把标题与图表分开等等。在复习课上制定复习目标时，应注意和这些新授课后发现的问题结合起来，以利于解决学生的实际问题。
（三）目标要具体。
不要提一些抽象或空泛的口号，诸如“通过复习培养学生良好的学习习惯”，粗一听很具体，细一想太空泛，到底培养学生的哪些习惯不得而知。其实一堂课只能按实际教学内容培养学生的某一方面的素质，太多会适得其反。
教学目标不仅是向学生提出的，也是对教师提出的。复习课上教师应紧紧围绕着目标组织教学，就像写文章不能“跑题”一样，复习课也不能“离标”，而应有的放矢。
五、优化复习的方法，进行有效的训练
（一）以生为本，因材施教。
授课面向的是全体学生，步调统一，难以兼顾到全体，两极分化情况必定日益严重。课后辅导中下生是其中一种可行的办法。但是这样将要花费老师和学生大量的时间与精力，而且收效甚微！因此，面对有差异的学生，实施有差异的教育将更有利于学生的健康心理和人格的培养。我们可以通过对学生分层、对教学内容分层，对不同层次的学生以不同的标准进行评价，使不同层次的学生经过努力都能取得较好的成绩，享受到成功的喜悦，从而激发他们学好数学的兴趣。
（二）结合考点，分析试题，树立信心。
在备考中选择训练题时，历年中考试题是最佳选择。教师要将其归类，按考查知识点、载体、解题方法等方面进行研究，结合课本的习题，进行适当的变形、拓展，然后分类给学生进行限时训练。使学生围绕考点，做到举一反三，触类旁通。这样的训练不仅可以达到巩固双基的作用，又可以让学生有挑战的动力，树立学生的自信心。
（三）构建知识网络，全面系统复习。
初中阶段时间跨度长，内容多。要在较短的时间内将数学复习好，突出的一点就是注意复习要全面。认真梳理知识体系，分清重点，合理分配时间；注意知识间的渗透，以点牵线，以线成面，帮助学生构建完整的知识体系。
（四）回归课本，注重对基本知识掌握的指导。
基本知识的掌握要求我们复习中要降低起点，以知识为立意，这也就要求我们回归教材。这也是我们面向全体学生，特别是中下等学生的最后机会了。回归课本，就是针对自己的弱点重新翻看教材，使得复习有序，把零散的知识串联成条条框框，编织成网络。这样可在总体上把握教材，明确每一章、节的知识在整体中的地位、作用，以课本为基础，全面复习。章节之间――善于归总；知识之间――善于转化；例题习题――善于变化；分段训练，分类推进。
中考命题是“依据课标，紧扣课本”的，许多源于教材例题、习题的中考试题都是通过变换命题的视角和策略，进行编拟而成；或将图形的结构进行改变；或是变换教材习题的条件和结论；或是教材的例题、习题结论从特殊向一般拓展、推广；或将典型的传统习题进行“整容”创新，设计成实验操作猜想问题、开放探究问题、阅读理解数学交流问题、运动探索问题、数形结合问题等。近几年来我市的中考数学试卷中大多数试题源于课本，是课本的例题或习题的类比、改造、延伸和拓展，其目的引导教师和学生重视深入理解教材。在复习过程中，如何让学生真正理解并掌握基本知识，如何有效串联已有知识点，把握问题的实质，应充分利用教材例题，但不拘泥于教材，例题习题功能的开发和拓展是一个能起事半功倍作用的好方法。我们用好教材，学生学好教材，发挥教材的扩张效应，只有认真地复习教材中的基础知识，掌握基本技能，同时对课本的典型题目做一些变式练习，才能灵活掌握双基，中考中才能正确解答试题。
（五）注重解题过程准确的指导。
在复习解题的过程中，要强调“严谨规范”，这是数学题目本身的要求，也是解题过程的要求。计算的考查虽说计算量要减少，但基本运算一定要过关，要准确，尤其对简单的试题要进一步重视。解题过程的准确，还包括着解题过程的缜密规范，所以我们平时教学过程中要加强这方面的训练，严格要求，这方面我们还要做过细的工作。
特别要培养学生应用知识正确运算和变形，寻求设计合理、简捷的解题途径，要求学生做到“四要”：一要熟练、准确，它是解题的基本要求；二要简捷、迅速，这是解题的进一步要求，体现思维的敏捷性和深刻性；三要注重思维过程、思维方式的科学性，在处理数量关系时，能根据题目条件寻求合理、简捷的解题途径，真正做到准确与速度、简捷与熟练有机结合；四要严谨规范，这是中考取得高分的保证。要防止由于解题格式、过程的不规范而失分，会做的题不出错。
（六）注重概念本质揭示的指导。
数学中的很多问题的解决可以回归定义来进行，如2010年中考卷的第18题，第21题。但要能自如地掌握运用，就必须对概念的本质内涵要掌握。概念与概念之间的关联、沟通必须在平时的教学中加强联系。如三个一次（一次函数、一元一次方程、一元一次不等式（组））之间的关系。
再比如，在复次函数的图像和性质时，可以通过对最简单类型=的图像、性质进行研究，再通过平移，进而理解、研究图像和性质，这样不但有利于学生知识结构的形成，而且深刻地揭示了二次函数的本质特征。
（七）重视数学思想与方法的指导。
数学思想方法是知识转化为能力的桥梁和纽带。转化和化归思想（消元法、降次法、待定系数法），函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想都是每年中考必考的数学思想方法。对于我们不太熟悉的新题型，就要把自己从题目中获得的数学信息转化成数学模型，用学过的知识去分析、处理这些问题。
初中教学有两个任务，一是教知识，但更重要的是悟思想。数学思想是数学的灵魂，而数学方法则使数学思想得以具体落实，二者相互依存，成为中考数学永恒的主题。数学思想的渗透要贯穿于数学教学的全过程，教材中没有专门的章节介绍数学思想方法，而是伴随着基础知识的学习而展开的。初中数学思想方法主要有：转化、分类讨论、数形结合、类比归纳、建模、配方、待定系数法、函数与方程等。这些数学思想方法都是用来解题的“工具”，不能只知道有关名词，而应知道其实质和用途。在复习过程中，弄清什么样的问题用什么样的工具来解决，不断积累，让学生逐步形成自己的解题经验，达到将数学思想方法灵活运用到解决问题中去。
数学思想方法的学习和领悟能使学生所学的知识不再是零散的知识点，它能帮助学生形成有序的知识链，建立良好的认知结构；它是铭记在头脑中起永恒作用的数学观点和文化，是提高数学思维水平，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的保证。因此必须重视数学思想方法的教学。
（八）注重迁移能力的培养。
要加强初中数学复习训练，增强训练的有效性，就要重视问题的变式训练，就要从知识和方法上来指导学生学会迁移训练。
(1)要善于对解题思路优化指导。
一题多解有利于引导学生沿着设的途径去思考问题，可以优化学生思维，因此要将一题多解作为一种解题的方法去训练学生。一题多解可以产生多种解题思路，但在量的基础上还需要考虑质的提高，要对多解比较，找出新颖、独特的最佳解才能成为名副其实的优解思路和方法，提炼出最佳解法，从而达到优化复习过程，优化解题思路的目的。
在复习的过程中加强对解题思路优化的分析和比较，有利于培养学生良好的数学品质和思维发展，能为学生培养严谨、创新的学风打下良好的基础。
(2)要善于对例题讲解进行变化指导。
在复习课例题的选择上，教师应该选择最有代表性和最能说明问题的典型习题，应能突出重点，反映大纲最主要、最基本的内容和要求。对例题进行分析和解答，发挥例题以点带面的作用，有意识有目的地在例题的基础上作系列的变化，达到能挖掘问题的内涵和外延、在变化中巩固知识、在运动中寻找规律的目的，实现复习的知识从量到质的转变。
例如，在复次函数的内容时，可以列举这样一个例题：二次函数的图象经过点（0，0）与（-1，-1），开口向上，且在x轴上截得的线段长为2。求它的解析式。因为二次函数的图象抛物线是轴对称图形，由题意画图后，不难看出（-1，-1）是顶点，所以可用二次函数的顶点式y=-a(x+m)2+n，再求得它的解析式（解法略）。在数学中我对例题作了变化，把题例中的条件“抛物线在x轴上截得的线段2改成4”，求解析式。变化后，由题意画图可知（-1，-1）不再是抛物线的顶点，但从图中看出，图像除了经过已知条件的两个点外，还经过一点（-4，0），所以可用y=a(x-x1)(x-x2)的形式求出它的解析式。再对例题进行变化，把题目中的“开口向上”这一条件去掉，求解析式。再次变化后，此题可有两种情况(i)开口向上；(ii)开口向下；
由于条件的不断变化，使学生不能再套用原题的解题思路，从而改变了学生机械的模仿性，学会分析问题，寻找解决问题的途径，达到了在变化中巩固知识，在运动中寻找规律的目的。从而在知识的纵横联系中，提高了学生灵活解题的能力。
(3)要善于对对章节复习转化指导。
教师在复习过程中，不仅应该要求学生对所学的知识、典型的例题进行反思，而且还应该重视对学生巩固所学的知识由“量”到“质”的飞跃这一转化过程。按常规的方式进行复习，通常是按照课本的顺序把学生学过的知识，如数学概念、法则、公式和性质等原本地复述梳理一遍，这样做学生既感到乏味又不易记忆。
针对这一情况，在复习概念时，采用章节知识归类编码法，即先列出所要复习的知识要点，然后归类排队，再用数字编码，这样做可增加学生复习的兴趣，增强学生的记忆和理解，最主要的是起到了把章节知识由量到质的飞跃，实现厚薄的转化。
(4)要善于对习题归类进行类化指导。
教师在复习时要善于引导学生将习题归类，集中精力解决同类问题中的本质问题，总结出解这一类问题的方法和规律。为使学生减轻负担的复习，从题海战术中解脱出来，学得灵活，学得扎实，优化复习过程，提高复习效率，是一个行之有效的重要途径。我们也应不断思考，不断探索，为实施素质教育作出努力和贡献。
(5)关注对数学应用的训练，提高解决实际问题的能力。
数学来源于生活，又应用于生活，能运用数学的思维方式观察、分析、解决日常生活和其他学科中的相关问题是每个中学生应具备的基本素养。为此，学生能否结合具体情境发现并提出问题，能否尝试从不同角度分析和解决问题，能否解释结果的合理性，能否对解决问题的过程进行反思等，都将会受到命题者的关注。同时，社会热点问题往往是命题者创设应用性问题情境的首选素材。如：能源开发、环境保护、经济发展等。
因此，教师应设计选编一定量的应用性数学问题，给学生提供探索的机会，让学生在探索过程中体会数学来源于生活，又应用于生活。培养学生的应用意识和实践能力，创设情境，引导学生积极思考，逐步发展应用意识，形成基本的实践应用能力。
总之，随着课程改革的深入，对我们教师提出了更高的要求，我们要把教学当成一种崇高的事业来追求，把每一节课的效率都提上去；把每一堂课都看成是发挥自己创造力、施展才华的机会，看成是发展自己的一个机会，把上好一节课看成是自己生命价值的体现。
参考文献
关键词：高三数学；复习；小组学习模式
复习是巩固知识、强化知识的有效活动之一，也是提高高考成绩的重要活动，更是提高学生知识灵活应用能力的重要方面。因此，在高三复习活动中，我们要有效地将小组学习模式应用到其中，以充分发挥学生的主动性，使学生在小组交流学习中逐步提高数学复习质量，进而为高效课堂的顺利实现做好保障工作。因此，本文就从以下几个方面入手对如何将小组学习模式应用到高中数学复习环节进行论述，以为高质量的复习活动的实现做出贡献。
一、以小组为单位进行自主对比复习
自主对比复习是指在复习过程中将具有关联的知识点放在一起进行比较复习，目的就是要加深学生的印象，在比较中掌握知识，提高效率。所以，在实际数学教学过程中，我们要以小组为单位，引导学生将比较后的结果在小组内进行交流，以丰富学生的对比结果，进而逐步提高学生的复习质量。
例如，在复习《指数函数》和《对数函数》时，为了发挥学生的自主学习能力，也为了充分发挥小组学习方式的价值，在复习的过程中，我引导学生对两者的函数定义、图象和性质进行对比，然后，引导学生对函数：y=2x、y=log2x；y=3x、y=log3x进行作图比较，并在小组内讨论，指数函数与对数函数之间的关系，并借助已学过的知识进行证明。可见，在这样的对比复习活动中，我们要充分发挥学生的主动性，并鼓励学生将自主的观点和看法与小组成员进行交流，以为学生复习效率的提高做出相应的贡献。
二、以小组为单位将零散知识系统化
零散的知识系统化是复习环节的作用之一，也是加深学生印象、提高学生复习效率的重要方面。众所周知，数学知识点相对比较散，而且，相互之间的关联性又比较强，导致一些学生在解题中常常不能准确地应用所学知识，严重不利于知识应用能力的提高，也不利于复习质量的提高。所以，在高三数学复习的过程中，我们要鼓励学生将零散的知识系统化，以方便复习，提高效率。
例如，在复习《圆锥曲线与方程》这一章节时，本节课主要学习的是“椭圆、双曲线、抛物线”三部分内容，每部分中知识点之间都是相似的，而且，知识点也比较多，应用起来常常会出现混淆。所以，在复习过程中，我引导学生以小组为单位将本章节的知识点进行系统化，即：将三者的“几何条件”“标准方程”“图形”“顶点坐标”“对称性”“焦点坐标”“离心率”“准线方程”“渐近线方程”等相关的知识点以表格的形式进行整理，将知识形象化。可见，在这样的小组学习法的应用中不仅能够带领学生重新对基本的圆锥曲线的基本知识进行回顾一下，而且，知识系统化的过程中也能加深学生的印象，对提高学生的复习效率也有着密切的联系。
三、以小组为单位进行数学习题讨论
习题讨论主要是分析试题和找出解题的思路，正如我们常说的：“一人计短，二人计长”的道理一样，在习题讨论中，我们要充分发挥小组学习方式的价值，要鼓励学生积极地参与到问题的思考中，并找出自己的解决方法，在小组内进行交流，也就是说进行一题多解，这样不仅能够拓展学生的思路，提高解题能力，同时，也能提高高三数学复习质量。
例如，过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B作圆的切线AC、BD，在过圆上任意一点H作圆的切线交AC、BD于C、D，设AD，BC的交点为R，求动点R的轨迹E的方程。
在解答该题时，为了提高学生的复习效率，也为了拓展学生的思维空间，我组织学生在小组内对该题进行认真分析，并在相互交流中找到不同的解题思路。比如，可以通过设定H的坐标来求出R的轨迹方程，该方法是最常用的，但是，计算比较繁琐。组织学生从不同的角度进行分析，进而帮助学生积累解题经验，提高复习质量，同时，小组这样的讨论、交流对学生数学探究能力的形成以及创新精神的培养也起着不可替代的作用。
当然，除了将小组学习模式应用到上述的三个方面之外，我们还可以应用到试卷的讲评活动中，目的是让优等生带动学困生去自主改正错误，分析问题，进而逐步提高学生的数学学习能力。总之，在高三数学复习的过程中，我们要认识到该环节的重要性，并最大化地发挥小组学习法的价值，进而在提高复习质量的同时，
也促使学生能够以饱满的信心走进考场，面对高考。
参考文献：
关键词：“指导―自主”；讲解；提示；联系
中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）08-199-01
教育的对象是学生，他们是教育活动的主体。学生获得知识、掌握技能、发展能力，以及养成良好的心理品质，都是在不断的学习过程中逐步完成的。学生的学习，一般都是有教师指导下进行的，过去人们主要关心的是“教师应该如何教”，至于“学生是怎样学”的则研究甚少。
江山野教授的《论教学过程和教学方式》，从理论上阐述了中学阶段进行“指导―自主”教改的必要性和可行性。所谓“指导―自主”是指学生在教师的指导下进行自主学习教材内容的一种教学方式。
也许有人会认为，既然是学生自主地学习，那么教师在课堂仅仅起了组织者的作用，无须再讲授些什么内容了。其实这是一种错误的观点，因为初中学生的学习能力仅仅处在相对独立或其本独立阶段，通过他们的自主学习只能获得基本知识、学习基本技能，亦即解决现有发展区的问题，而那些隐含在教材深处的问题，他们是无法法解决或不能完全解决的。因此，教师的课堂教学就是要揭示这些经过学生个人自学后无法单独解决的问题，即解决最近发展区的问题。所以，“指导―自主”学习在课堂上教师还是要讲的。
一、创设情境，讲清概念
不要认为“指导―自主”就是让学生自己把概念、定理、推论等读熟、背熟就行，然后根据它们的关系做练习，老师检查，发现错误再评讲。
其实不然，概念是推理和论证的基础，是思维的基石，研究表明，学生精确地掌握好基本概念、原理，并使之高度概括化、结构化，这是促进知识迁移和能力发展的重要条件。而数学概念具有高度抽象性、逻辑性和系统性。因此学习数学概念必须严谨地分析、综合、深刻地理解其本质属性和内在联系，才能达到解题方法的合理性和结果的正确性，从而培养学生思维品质的深刻性。但中学生尤其是初中生，由于被表面的现象所迷惑，以至于解题错误。
二、弄清知识的产生过程
每件事物的发展，都有其过程。数学知识的产生，也有它的过程。学习数学，实际上是学习数学的思维活动。学生学习数学，是在教师的指引下，有效地学习数学关于研究现实世界的空间形式，及其数量关系的思维活动成果和探索、发现、解决问题的思想方法。并由此培养学生良好的思维品质，正确地揭示了数学思维的活动实质性的过程。
学生的自学，仅仅是对书本的知识进行学习，对一些结论的运用而己，而不知道这些结论是怎样来的。因此，教师就有必要引导学生利用己有的知识探求这些结论的来历，不要总是书本上怎样说的，就让学生怎样做。这样，就不能使学生所有的知识进行融会贯通，灵活运用。
三、理顺知识间的内在联系
数学是一门结构严谨的有机整体的学科。就象自行车的链子，如断了一节，车子就不能行驶。数学的各个知识点是相互联系的，只有系统地认识这些联系，才能形成较完善的数学认知结构。但中学生尤其是初中生受到自学能力的限制，有的联系是无法或不能很好也被揭示出来的，此时，教师就应适当地创设有关情境，帮助其揭示这些联系。
例如：设 为实系数方程，求①m为何值时，方程有两个相同的实数根？②设 和 是方程的两实根，当m为何值是， 有最大值或最小值？并求出这个最大值或最小值？
这是一道应用判别式和根与系数关系的题目，大多数学生都能通过自学获得正确解法。也可引导学生从一元二次方程与二次函数的关系寻求新解法：令 ，①方程 有两个相同的实数根，须抛物线的顶点坐标在x轴上，即 ，由此可解得m的值。②可看成是函数的最值问题， ，为了求函数的最值，必须把它表示成单变量的函数关系式，这里有两个变量 和 ，为了表示成单变量，必须考察 、 与m的关系，这就用到根与系数的关系。
这样一来，就可以使学生由单纯的知识点的解决提高到中学阶段最重要的知识体系之中：方程与函数。可以使学生树立起方程和函数的观点，这些观点来源于一般数学知识，又高于一般数学知识，它具有概括性的包含性。如果这些观点能让学生在认知结构中被固定下来，我疑可以达到从一种学习情境到多种情境的迁移。这是指导学生自学过程中不可忽略的一点。
四、分清导与学
其实，除个别学生外，学生的智力大多相差无几，但非智力因素对他们的影响却千差万别。也就是说，要想提高班级的整体成绩，关键是关注学生的非智力因素，使学生愿学、想学、愉快地学，这也是素质教育的要求。不少学生成绩不好不是智商低，而是非智力因素所致。许多在班中调皮好动、惹是生非的学生，智商都不低，如果能调动这些学生的学习热情，对其非智力因素科学引导、控制，那么他们将很可能成为人才。
作为一名从教多年的数学教师，我深知非智力因素对学生影响之巨大，所以我总是想方设法提高学生的非智力水平，时刻关注学生的非智力因素的变化情况，及时规范学生的行为，使同学们在智力正常发挥的前提下，尽量利用非智力因素为学生服务，使其高效地学习，以提高全班整体水平，进而优化数学教学效益。
一、加强爱国主义教育，增强应用意识，激发学生良好的学习动机。
教师应经常向学生讲一些爱国之士的事迹，介绍他们是怎样刻苦学习，怎样以优异的成绩报效祖国的。比如，我国古代数学家祖冲之的圆周率怎样震惊了世界，在天文、地理等诸多方面有怎样的应用。再如，讲一讲当代数学大师华罗庚怎样成才，他推广的优选法使我国的粮食产量大幅度提高，为祖国节约了大量资金，为祖国作出了巨大贡献。让学生知道，要想将来在社会上立足、建设祖国，必须学好科学文化知识。让学生明白，即使一个普通人，也应学好数学，因为生活中处处有数学。不必说航空航天、国防建设等尖端科技要用到数学的推理计算，就是日常买卖、商品贸易、家庭开支统计等也离不开数学。离开了数学，我们将寸步难行。
二、设法激起学生学习数学的兴趣。
兴趣可使学生自觉投身到学习活动中，激起求知欲。兴趣可使人忘掉一切、乐此不疲，使学生以积极的态度自觉克服学习中的困难，自主探索知识奥秘。
1.将零散的不易记忆的知识进行归纳、压缩、整理，使之变得像诗词一样整齐、规范、言简意赅、朗朗上口，这样可以使学生感到新鲜，兴趣大增，便于记忆。比如，单项式的次数可总结为八字“所有字母，指数的和”；根式化简的标准可总结为三个五言句“根号中无分母、分母中无根号、根号中要开净”；同类二次根式的概念可略为八字“化简以后，里边一样”（指根号里边相同）；用十字相乘法把一个二次三项式（已降幂或升幂排列好）因式分解的方法是“拆两边，凑中间”。对于“方差”的概念，教材中叙述得很清楚，但太长、难记，不易操作，不利于求一组数据的方差。我简化为颇具生活气息的三个字“插花瓶”（差、方、平的谐音，“差”指一组数据中的每个数与它们的平均数的差，“方”指将这些“差”分别平方，“平”指求这些“差”的平均数）。这样，同学们很容易就掌握了方差的算法。此后我一提到方差，同学们便异口同声说出“差方平”。这是一种很好的联想记忆法。
2.利用教材内容自身的魅力，激发学习兴趣。教材内容利用、处理得好，能激发学生的学习热情，使学生的活动进入积极状态，从而促进智力发展，提高学习效率。要想利用教材吸引学生，就要挖掘数学教材中所蕴含的美。数学美无处不在，比如，用＋、－、×、÷就能准确描述客观世界中四大基本的数量关系，就如同凭借七个音符就能谱出各种华美的乐章一样，这便是数学的符号之美；用S=ah就可表示三角形的面积求法，用a+b=b+a就可表示加法交换律，等等，还有“对顶角相等”、“两点之间线段最短”这类惜墨如金的定义、定理、推论等，无不反映出数学的简洁美；精美的圆、正八面体，令人神往的黄金三角形，向远处无限延伸的抛物线，美丽的正弦曲线等又折射出数学的符号美；利用书写的几何证明过程，则又体现了数学严谨推理的逻辑美。
3.利用教师自身的魅力吸引学生，使学生愿听你的课，完成你布置的作业。这要求教师不仅要有精湛的业务造诣，而且要有高超的语言艺术，以及相当的书法水平。业务水平高，能把问题讲清讲透，是吸引学生的主要原因。教师的课堂语言要讲艺术，不要太刻板、生硬，要讲策略，善于深入浅出、通俗易懂，要有幽默感、充满睿智与机敏。板书应规范，讲究字体间架结构，具有一定的观赏性。总之，业务、语言、书法要三管齐下，让学生觉得听你的课是一种享受，他们才会欣赏你的人，热爱你教的学科。
4.多给学生提供展示的机会，放大学生的闪光点。教师应给各个层次的学生出一些相应档次的问题，要注重个体差异。可以出口答题、板演题，可以出三言两语的简答题，也可以出分层次回答的复杂题，抓住任一知识点就可出一道题。总之，应因人而异，让每个人都有展示的机会。要多给中下等学生尤其后进生提供机会，对他们的成功哪怕只有一点点闪光，都要大加赞扬，让其体会到成功的喜悦，鼓舞斗志、增强信心。
5.充分利用现代信息技术，制作教学课件。现代信息网络、多媒体技术能为学生提供和展示各种资料，例如，声音、文字、图像等，具有动感、美感、惟妙惟肖等特点，可以把复杂难懂的内容演示得清楚、明朗。运用数学课件不仅省时省力，而且对学生的感官具有很强的冲击力，能激起其好奇心与求知欲，对培养兴趣大有裨益。
三、诱发学生热爱数学的情感。
情感是心理素质的一个重要方面，指人对接触到的客观事物所持的态度和体验。数学教师要设法激起学生对数学的情感，可以用数学之美去熏陶学生的情感，可以用成功激励学生的情感，可以通过学生的向师性吸引学生的情感。教师要关注每个学生，爱护每个学生，保护他们的自尊心和自信心，使他们乐学、爱学。
四、培养学生良好的习惯。
坏习惯能毁掉一个人，而好习惯能造就一个人，使学生终身受益，教师应从生活、学习等方面培养学生的好习惯。
1.养成良好的生活习惯。起居要有规律，早睡早起。应养成晨练的好习惯，为一天的学习打下基础，以保证充足的精神和清爽的大脑。一日三餐不可偏颇，切勿养成不食早餐的习惯。有了好身体，才能为学习提供保证。
2.养成预习的好习惯。上课前一定要将要讲的内容浏览一遍，做到心中有数，知道难易处、关键点，这样才能做到听课时从容、临课不乱、提高效率。
3.养成做笔记的习惯。对于知识点、好题型、解题技巧、经典理论等要随时记下、课后整理、常翻常看、加强记忆。