时间：2023-06-02 09:21:42
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇单项式乘以单项式，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
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期：___________
2021年初一下册数学知识点总结北师大版【一】
多项式除以单项式
一、单项式
1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4、单独一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。
6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7、单独的一个非零常数的次数是0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。
9、单项式的系数包括它前面的符号。
10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式的系数是1或―___时，通常省略数字“___”。
12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
二、多项式
1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式的每一项都包括项前面的符号。
6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。
7、多项式中次数的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式
1、单项式和多项式统称为整式。
2、单项式或多项式都是整式。
3、整式不一定是单项式。
4、整式不一定是多项式。
5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。
四、整式的加减
1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。
2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。
3、几个整式相加减的一般步骤：
（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
（2）按去括号法则去括号。
（3）合并同类项。
4、代数式求值的一般步骤：
（1）代数式化简。
（2）代入计算
（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。
五、同底数幂的乘法
1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作an，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，an的结果叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：am﹒an=am+n。
4、此法则也可以逆用，即：am+n=am﹒an。
5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。
六、幂的乘方
1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（am）n表示n个am相乘。
2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（am）n=amn。
3、此法则也可以逆用，即：amn=（am）n=（an）m。
七、积的乘方
1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（ab）n=anbn。
3、此法则也可以逆用，即：anbn=（ab）n。
八、三种“幂的运算法则”异同点
1、共同点：
（1）法则中的底数不变，只对指数做运算。
（2）法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。
（3）对于含有___个或___个以上的运算，法则仍然成立。
2、不同点：
（1）同底数幂相乘是指数相加。
（2）幂的乘方是指数相乘。
（3）积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。
九、同底数幂的除法
1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：am÷an=am-n（a≠0）。
2、此法则也可以逆用，即：am-n=am÷an（a≠0）。
十、零指数幂
1、零指数幂的意义：任何不等于0的数的___次幂都等于1，即：a0=1（a≠0）。
十一、负指数幂
1、任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即：
注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。
十二、整式的乘法
（一）单项式与单项式相乘
1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、系数相乘时，注意符号。
3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。
4、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。
6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
（二）单项式与多项式相乘
1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。
2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。
（三）多项式与多项式相乘
1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。
3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。
4、运算结果中有同类项的要合并同类项。
5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：(__+a)(__+b)=__2+(a+b)__+ab。
十三、平方差公式
1、（a+b）(a-b)=a___-b2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
2、平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。
3、平方差公式可以逆用，即：a___-b2=（a+b）(a-b)。
4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成
（a+b）(a-b)的形式，然后看a2与b2是否容易计算。
二项式中所有项系数之和是根据题目定的，如（2+X）乘以2的n次方所有项系数之和是每一项的二项系数乘以2的n次方的和，运用逐项求积法可以求得。
系数（coefficient），是指代数式的单项式中的数字因数。单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数。通常系数不为0，应为有理数。
（来源：文章屋网 ）
在数学教学中，根据教材特点运用类比的方法，既可以提高课堂教学的效果，又有助于培养学生类比的能力。
一、分式与分数的类比
首先，要用与分数类比的方法导出分式概念、分式基本性质与分式的四则运算法则。一个分数由分子、分母和分数线构成，分子、分母都是数，但分母不能是零。为什么分母不能为零呢？因为零不能做除数，如果分子等于零，只要分母不是零，这个分数的值就是零。再把分数的概念引申到代数式来，发现分式由分子、分母与分数线构成，分母中含有字母，这样就很自然地引入了分式的概念，接着指出分数与分式的区别所在：分数与分式形式相同，但分式中的分子、分母均为整式，且分母是含有字母的整式。
其次，在讲分式的基本性质时，先通过复习分数的基本性质来进行推想。我们回忆如何做不同分母分数的加法，是先将异分母化为同分母，这是根据什么呢？根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的数，分数的值不变，分式是一般化了的分数，分式应该有 ，这里A、B、M是整式，根据分式的概念要求，由分数的基本性质应该想到。因此，分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。此外，当一个分数的分子分母有公因数时，我们就可以利用分数的基本性质，将分数中分子分母中的公因数约去，从而成为最简分数。同理，由于分式也具有与分数相似的基本性质，所以我们也可以根据分式的基本性质将分式中分子分母中的公因式约去，化成最简分式。（这个概念可由学生总结出）
第三，两个分数相乘时，分子乘分子，分母乘分母；两个分式相乘时，也应该分子乘分子，分母乘分母，除去一个分数等于乘以这个分数的倒数。同理，除以一个分式时，也应乘以这个分式的倒数。两个同分母分数相加减时，分母不变，分子相加减；同分母分式相加减时，分母不变，分子相加减。异分母分数相加减时，要先进行通分，化成同分母分数后再加减；异分母分式相加减时，也要先进行通分，化成同分母分式，然后再加减。分数通分时，要先找各分母的最小公倍数，分式通分时，也要先找分母的最简公分母。在解整式方程式时（特别是含有分母时），一般要先经过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的过程，那么在解分式方程式，也要用以上方法去解。
二、实数和代数式的类比
首先是分类的类比，实数分成有理数和无理数，有理数分成整数和分数，整数分成正整数、零和负整数；代数式分成有理式和无理式，有理式分成整式和分式，整式分成单项式和多项式。其次是实数与整式在各自的运算律以及添括号、去括号法则等都是可以类比的，特别是在有理数乘法分配律中。当a(b+c)=ab+ac，a、b、c都换成单项式时，即可得出单项式乘以多项式的法则；当(a+b)÷c=(a+b)/c=a/c+b/c=a÷c+b÷c，其中的a、b、c都换成单项式时，即可以得出多项式除以单项式的法则；当(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，其中的a、b、c、d代表单项式或多项式，即可以表示多项式乘以多项式的法则。
三、等式和不等式的类比
在讲解等式和不等式时，可以根据天平的功能类比出等式和不等式的性质。
天平的杠杆相当于等号和不等号，天平的左盘和右盘相当于等式和不等式的左边和右边。当天平的两边分别增加和减少相同的质量时，天平仍然平衡，即给等式两边同时加上或减去一个相同的数或代数式时，等式仍然成立。当给天平的两端同时扩大或缩小相同的量时，天平两端仍然平衡，即给等式的两边同时乘以或除以一个相同的数时，等式仍然成立。
当天平倾斜时，给天平的两端同时加上或减去一个相同的量时，天平的倾斜方向不变，即不等式具有性质1。当天平的两端同时扩大或缩小相同的数时，天平的倾斜方向仍不变，即不等式具有性质2（对于负数另外考虑）。
四、一元一次方程和一元一次不等式的类比
首先，我们可以根据一元一次方程的概念类比推出一元一次不等式的概念，明确它们之间的相同点和不同点。其次，由于等式具有基本性质1，所以我们解方程时可以移项。同理，由于不等式也具有与等式一样的基本性质1，所以在解不等式时，也可以移项。解法的一般步骤中前几步都是一样的，去分母、去括号、移项、合并同类项，包括最后一步的名称都是一样的：系数化为1 ，只不过由于等式和不等式在性质上的一个差别：两边除以同一个负数时，等式不变，而不等式的符号就要改变方向，才导致方程和不等式在最后一步上的不同。我们在教学中牢牢抓住这个不同，对学生进行强化，就会帮助学生正确掌握一元一次不等式的解法。同样，在解方程组时，是求方程组中几个方程的公共解，在解不等式组时，也是求不等式组内几个不等式的公共解，这也是可以进行类比的地方。
五、相似三角形与全等三角形的类比
相似三角形与全等三角形判断方法有联系。在相似与全等三角形的判定中，有关角的条件都是对应角相等，有关边的条件，全等三角形中是对应边相等，而相似三角形中是成比例，只要把全等三角形判定中的对应边相等改为对应边成比例，就相应得到相似三角形的判定方法。全等三角形必须有一组对应边相等，而判定相似三角形时，可舍去此条件。
本节课的重点是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性，提高性综合学习;二次根式的运算和有理化的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力。
本节课的难点是把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。分母有理化，实际上二次根式的除法与混合运算的综合运用。分母有理化的过程，一般地，先确定分母的有理化因式，然后再根据分式的基本性质把分子、分母都乘以这个有理化因式，就可使分母有理化。所以对初学者来说，这一过程容易出现找错有理化因式和计算出错的问题。
教法建议
1.在知识的引入上，可采取复习引入方式，比如复习有理数的混合运算或整式的运算。
2.在二次根式的加减、乘法混合运算中，要注意由浅入深的层次安排，从单项式与多项式相乘、多项式与多项式到乘法公式的应用，逐渐从数过渡到带有字母的式。
3.在有理化因式教学中，要多出几组题目从不同角度要求学生辨别，并及时总结。
学生特点：实验班的A层学生(数学实施分层教学),主动学习积极性高，基础扎实，思维活跃,,并具有一定的独立分析问题,探索问题,归纳概括问题的能力,有较好的思考、质疑的习惯。
教材特点：本节课是在学习了二次根式的三个重要概念(最简二次根式、同类二次根式、分母有理化)和二次根式的有关运算(二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法)基础上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。
鉴于学生的特点及教材的特点，本节课主要采用“互动式”的课堂教学模式及“谈话式”的教学方法，以此实现生生互动、师生互动、学生与教材之间的互动。具体说明如下：
(一)在师生互动方面，教师注重问题设计，注重引导、点拨及提高性总结。使学生学中有思、思中有获。如本节课开始，出示书中例题1：
让学生先进行思考，解答。然后同学说出怎样进行二次根式的混合运算。
强调：运算顺序及运算律和有理数相同。
(二)在学生与学生的互动上，教师注重活动设计，使学生学中有乐，乐中悟道。教师设计一组题目，让学生以竞赛的形式解答，然后以记成绩的方法让其它同学说出优点(简便方法及灵活之处)与错误。由于本节课主要以计算为主，对运算法则及规律性的基础知识，学生很容易掌握而且从意识上认为本节课太简单，不会很感兴趣，所以为了提高学生的学习兴趣及更好的抓好基础，提高学生的运算能力，如此这般设计。
(三)在个体与群体的互动方式上，教师注重合作设计，使学生学中有辩，辩中求同。如本节课中对重点问题：“分母有理化”的教学，出示一个题目，让学生思考，找个别学生说出自己的想法，然后其它同学补充完成。
学生的主体意识和自主能力不是生来就有的，主要靠教师的激励和主导，才能达到彼此互动。正是在这一教育思想的指导下，追求学生的认知活动与情感活动的协调发展，有效地唤起学生的主体意识，在和谐、愉快的情境中达到师生互动，生生互动。互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教，促使学生乐学、会学、善学，从而优化课堂教学、提高教学质量，在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振。
对二次根式混合运算新课引入的建议
复习：
1.计算：(1);(2).
解：(1)(2)
==
=;=.
2.在整式乘法中，单项式与多项式相乘的法则是什么?多项式与多项式的乘法法则是什么?什么是完全平方式?分别用式子表示出来。
答：单项式与多项式相乘的法则是，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为
m(a+b+c)=ma+mb+mc
多项式与多项式相乘的法则是，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每项，再把所得的积相加。用式子表示为
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,
其中a,b,m,n都是单项式。
完全平方式是
;。
在实数范围内，整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用，运用乘法法则及乘法公式可以进行二次根式的混合运算。引入新课。
对二次根式混合运算学法的建议
在进行二次根式的混合运算时，也有一个与分式运算相比较的问题，有的时候，加上团式分解、约分等技巧，可以大大简化计算过程，这是要灵活运用的.因此，在本节学习时，可以适当结合11.1节的内容，复习一下在实数范围内分解因式的问题，如
这里再顺便提一下，如
这种变形不是原来意义上的因式分解，否则就无法进行到底了.可以说是借助因式分解的方法，或具体说成提出，等等.
一、教学目标
1.掌握二次根式的混合运算.
2.掌握乘法公式在混合运算的应用.
3.通过二次根式的混合运算，培养学生的运算能力.
4.通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望
二、教学设计
小结、归纳、提高
三、重点、难点解决办法
1.教学重点：二次根式的混合运算.
2.教学难点：混合运算的应用.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
1.复习，运算律及乘法分式，引导学生口答，并强调数的运算律在根式运算中的适用，引入例题.
2.通过例题由浅入深，层层深入，既提高学生学习的兴趣又激发学生求知的欲望;从例题的讲解中帮助寻找解题的方法，规律及注意点.
3.通过大量的练习，以期形成自己所掌握的知识.
七、教学步骤
(-)明确目标
前面学过二次根式的加减法的简单运算，但二次根式未必全是加减混合运算，它同样会出现二次根式的加、减、乘、除方等混合运算那么二次根式的混合运算的法则是什么?又将怎样运用它进行化简计算，这就是本节课所要研究的问题—二次根式的混合运算.
(二)整体感知
二次根式的混合运算中，应注意运算的次序.这是进行二次根式混合运算的前提条件;通过适当地复习乘法分式，分母有理化知识，然后再进行二次根式的混合运算的教学工作，将有助于更好地学习它;同样为了更好地理解二次根式的混合运算还可以将它与数的运算律和运算方法进行对比，以帮助学生更好地理解并准确地掌握好该知识，达到事半功倍的作用.
第一课时
(-)教学过程
【复习】
运算律在二次根式混合运算中仍适用.
各种整式乘法的法则.
乘法公式：.
.
提问：加法的交换律、结合律各是怎样的?乘法的交换律、结合律、分配津各是什么?
强调数的运算律在根式运算中仍适用后，可引入例题.
【例题】
例1计算：
(1);
(2).
解：略.
注：①加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于学生理解和掌握.②在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，而是先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如，没有对先进行化
重难点分析
本节课的重点是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性，提高性综合学习;二次根式的运算和有理化的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力。
本节课的难点是把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。分母有理化，实际上二次根式的除法与混合运算的综合运用。分母有理化的过程，一般地，先确定分母的有理化因式，然后再根据分式的基本性质把分子、分母都乘以这个有理化因式，就可使分母有理化。所以对初学者来说，这一过程容易出现找错有理化因式和计算出错的问题。
教法建议
1.在知识的引入上，可采取复习引入方式，比如复习有理数的混合运算或整式的运算。
2.在二次根式的加减、乘法混合运算中，要注意由浅入深的层次安排，从单项式与多项式相乘、多项式与多项式到乘法公式的应用，逐渐从数过渡到带有字母的式。
3.在有理化因式教学中，要多出几组题目从不同角度要求学生辨别，并及时总结。
学生特点：实验班的A层学生(数学实施分层教学),主动学习积极性高，基础扎实，思维活跃,,并具有一定的独立分析问题,探索问题,归纳概括问题的能力,有较好的思考、质疑的习惯。
教材特点：本节课是在学习了二次根式的三个重要概念(最简二次根式、同类二次根式、分母有理化)和二次根式的有关运算(二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法)基础上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。
鉴于学生的特点及教材的特点，本节课主要采用“互动式”的课堂教学模式及“谈话式”的教学方法，以此实现生生互动、师生互动、学生与教材之间的互动。具体说明如下：
(一)在师生互动方面，教师注重问题设计，注重引导、点拨及提高性总结。使学生学中有思、思中有获。如本节课开始，出示书中例题1：
让学生先进行思考，解答。然后同学说出怎样进行二次根式的混合运算。
强调：运算顺序及运算律和有理数相同。
(二)在学生与学生的互动上，教师注重活动设计，使学生学中有乐，乐中悟道。教师设计一组题目，让学生以竞赛的形式解答，然后以记成绩的方法让其它同学说出优点(简便方法及灵活之处)与错误。由于本节课主要以计算为主，对运算法则及规律性的基础知识，学生很容易掌握而且从意识上认为本节课太简单，不会很感兴趣，所以为了提高学生的学习兴趣及更好的抓好基础，提高学生的运算能力，如此这般设计。
(三)在个体与群体的互动方式上，教师注重合作设计，使学生学中有辩，辩中求同。如本节课中对重点问题：“分母有理化”的教学，出示一个题目，让学生思考，找个别学生说出自己的想法，然后其它同学补充完成。
学生的主体意识和自主能力不是生来就有的，主要靠教师的激励和主导，才能达到彼此互动。正是在这一教育思想的指导下，追求学生的认知活动与情感活动的协调发展，有效地唤起学生的主体意识，在和谐、愉快的情境中达到师生互动，生生互动。互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教，促使学生乐学、会学、善学，从而优化课堂教学、提高教学质量，在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振。
对二次根式混合运算新课引入的建议
复习：
1.计算：(1);(2).
解：(1)(2)
==
=;=.
2.在整式乘法中，单项式与多项式相乘的法则是什么?多项式与多项式的乘法法则是什么?什么是完全平方式?分别用式子表示出来。
答：单项式与多项式相乘的法则是，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为
m(a+b+c)=ma+mb+mc
多项式与多项式相乘的法则是，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每项，再把所得的积相加。用式子表示为
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,
其中a,b,m,n都是单项式。
完全平方式是
;。
在实数范围内，整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用，运用乘法法则及乘法公式可以进行二次根式的混合运算。引入新课。
对二次根式混合运算学法的建议
在进行二次根式的混合运算时，也有一个与分式运算相比较的问题，有的时候，加上团式分解、约分等技巧，可以大大简化计算过程，这是要灵活运用的.因此，在本节学习时，可以适当结合11.1节的内容，复习一下在实数范围内分解因式的问题，如
这里再顺便提一下，如
这种变形不是原来意义上的因式分解，否则就无法进行到底了.可以说是借助因式分解的方法，或具体说成提出，等等.
一、教学目标
1.掌握二次根式的混合运算.
2.掌握乘法公式在混合运算的应用.
3.通过二次根式的混合运算，培养学生的运算能力.
4.通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望
二、教学设计
小结、归纳、提高
三、重点、难点解决办法
1.教学重点：二次根式的混合运算.
2.教学难点：混合运算的应用.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
1.复习，运算律及乘法分式，引导学生口答，并强调数的运算律在根式运算中的适用，引入例题.
2.通过例题由浅入深，层层深入，既提高学生学习的兴趣又激发学生求知的欲望;从例题的讲解中帮助寻找解题的方法，规律及注意点.
3.通过大量的练习，以期形成自己所掌握的知识.
七、教学步骤
(-)明确目标
前面学过二次根式的加减法的简单运算，但二次根式未必全是加减混合运算，它同样会出现二次根式的加、减、乘、除方等混合运算那么二次根式的混合运算的法则是什么?又将怎样运用它进行化简计算，这就是本节课所要研究的问题—二次根式的混合运算.
(二)整体感知
二次根式的混合运算中，应注意运算的次序.这是进行二次根式混合运算的前提条件;通过适当地复习乘法分式，分母有理化知识，然后再进行二次根式的混合运算的教学工作，将有助于更好地学习它;同样为了更好地理解二次根式的混合运算还可以将它与数的运算律和运算方法进行对比，以帮助学生更好地理解并准确地掌握好该知识，达到事半功倍的作用.
第一课时
(-)教学过程
【复习】
运算律在二次根式混合运算中仍适用.
各种整式乘法的法则.
乘法公式：.
.
提问：加法的交换律、结合律各是怎样的?乘法的交换律、结合律、分配津各是什么?
强调数的运算律在根式运算中仍适用后，可引入例题.
【例题】
例1计算：
(1);
(2).
现实生活中，我们经常会遇到“似曾相识”的情境，如果把“似曾相识”的东西作比较，再加以联想总结，可能会获得许多意想不到的收获. 这种“把类似问题进行比较、联想，由一个数学对象已知的性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个数学对象的性质”的思维方法就是类比. 我们现在学习的“二次根式”，可与整式的相关知识进行类比. 我们通过下面几例的分析，来共同感受“类比思想”的应用.
一、 “同类二次根式”与“同类项”
【解析】（1）（2）组中的二次根式被开方数相同，称为同类二次根式；而第（3）组中二次根式，经过化简后被开方数也相同，所以也是同类二次根式.
【感悟】七年级时确定同类项的方法：一看字母要相同，二看相同字母的指数分别相同，三不看系数. 现在判断同类二次根式的方法：一化为最简，二看被开方数，三不看根号外的系数.
二、 “合并同类二次根式”与“合并同类项”
【感悟】整式的加减的实质就是合并同类项，而二次根式加减的实质就是合并同类二次根式；利用类比的思想可归纳二次根式加减的步骤：一化简，二寻找，三合并.
三、 “二次根式的乘除运算”与“整式的乘除运算”
【解析】二次根式的乘除运算中，出现了类似多项式乘以单项式、多项式除以单项式，多项式乘以多项式的运算，因此整式的乘法法则和乘法公式仍然适用. 同学们自己尝试计算.
【感悟】整式的乘除法法则类似地应用于二次根式的乘除法运算，所不同的是二次根式运算的结果不仅要不含同类二次根式，还要化为最简. 利用乘法公式可以使二次根式运算简单便捷.
我们“结识新朋友，不忘老朋友”，要展开联想的翅膀，将新旧知识联系归类，积累数学经验，提升学习能力. “类比思想”方法是解决陌生问题的一种常用策略，它让我们充分开拓思路，运用已有知识、经验，将陌生的、不熟悉的问题与已有知识和经验类比，从而创造性地解决问题. 通过“类比”，可以使一些复杂问题简单化；有了“类比”，我们的思维将更加开阔，今后我们还期待着会用“类比”来解决其他复杂的新问题.
数学探究性教学，是教师通过创设情境，提出课题，引导学生以探究的学习方式进行数学活动，通过质疑、探究、讨论、交流问题，主动地获取知识并应用知识解决实际问题，从而在过程与方法、情感态度等方面得到充分发展。
一、创设情境，提出课题
创设情境旨在让学生体验数学与自然、生活和社会有密切联系，使数学发生在真实的世界和背景中，提高学生学习数学的兴趣与参与程度。
1.以游戏创设情境
如在学习“整式的加减”时先让学生任意写一个两位数，然后交换这个两位数的十位数字与个位数字，得到新的两位数，然后又求新的两个两位数和，再除以原两位数的十位数字与个位数之和，由老师猜其结果，学生觉得很奇怪。通过游戏激发学生的求知欲望，主动参与学习。
2.以数学故事创设情境
如，在讲解“有理数的乘方”运算时，结合课后阅读材料，讲述了古印度国王奖赏国际象棋发明者的故事。同学们都被故事迷住了，此时我问：象棋发明者要求国王奖给他多少颗麦粒？学生列出式子，欲得出结果时，我又告诉他们，这些麦粒能从地球到太阳铺设一条宽10cm，厚8cm的大道，这时学生更加急不可待了。这种新异情境，刺激学生的好奇心，引起学生认知上的冲突，从而产生解决问题冲动。
3.以实际问题创设情境
在学习八年级上册第四章的“平面图形的密铺”时，引导学生观察及思考城市建设中的地板图案，然后提出相关的平面镶嵌问题。
4.以学生动手操作，探求规律的活动创设情境
如在学习“整式的加减”时，先让学生用棋子摆成如图的“小屋”，然后提问第n个图需要多少枚棋子？以激发学生的探究热情。
二、探究交流，深化认知
孔子曰：“不愤不启，不悱不发。”只有当学生的心理进入“愤”“悱”状态时，才能激起学生浓厚的认知兴趣与强烈的学习动机，把学生的学习情绪、注意力和思维活动调节到最佳效果。
在新的课堂教学中，作为教师一定让学生体会到人类知识是如何获得的，人类的智慧是如何发展的，而在数学教学中要做到这一点，就要丰富的情境中，让学生思考探索，获取知识。
如在负数的引入、同类项的合并、代数式的加减、视图的画法、平行线的性质等知识的获取上，经过观察、类比、归纳、猜想等活动自己“发现数学结论，获得数学活动经验”。这不但使学生获得了应该学习的知识，而且更重要的是让学生体会到前人是如何获得这些知识的，这样坚持下去必能培养学生的创新能力，而只有培养出学生创新能力时，教育才有活力，才具有发展性，才称得上是成功的教育。
三、交流、反思与评价，深化认知
经过自主探究活动后，学生有了活动的经验，充分利用教材上的部题，让学生进行交流，并对获得的数学思想方法进行反思与评价，学生主要阐述知识是如何发现的，有什么经验教训，教师及时给予肯定与鼓励，并对相关活动进行评价，对已有知识进一步认知。例如在学生发现“多项式与多项式相乘法则”后，让学生进行交流，由他们说出是怎样“发现”的，并用自己的语言表述法则，再与“单项式乘以单项式”、“单项式乘以多项式”法则进行类比，形成知识体系。
四、知识的拓展与延伸
充分利用教材上的“试一试”、“读一读”、“课题学习”等材料对相关的知识进行引伸与拓展，并让学生应用知识解决一些实际问题，培养学生的科学精神及创新与实践能力；同时，还可以利用一些历史名题，如：“三等分角问题”、“七巧板问题”，介绍相关知识，激发学生研究数学的热情，丰富学生的数学文化视野及培养追求真理的科学信念。例如在学完“完全平方公式”后，先让学生动手试一试（a+b+c）2、（a+b）3、
（a+b）4等的结果，再让学生阅读“杨辉三角”，教师再作适当补充。
关键词： 知识结构 教学程序 优化方法
每当看到办公室课间成群等待辅导的学生，课下老师们埋怨的声音和无奈的表情，我常常思索如何在规定的时间内做到既不增加学生的学习负担，又能让学生愉快而主动地学好数学，也经常与同行探讨这个问题。近两年我和备课组同事一起在实践中逐步摸索出一种适合我校学生的“整体―部分―整体”模式，优化课堂结构，提高课堂教学效率；优化教学程序，提高教学效率，两者结合取得了一定的效果。
一、优化知识结构，提高教学效率
优化知识结构，主要是实行单元整体教学，备课组集体备课。按照“整体―部分―整体”的模式，把教材分成不同的知识单元，找出知识单元之间的内在联系，灵活使用教材，通常在每章教学前按照本章教学目的和要求，设置预习学案，让学生按照学案的知识条理粗读全章学习内容，本章开始教师简单介绍本章教材在初中数学教学中的地位和作用及本章的学习方法，学习每单元前，先和学生一起排出本单元的知识点，而后逐一研究，每节课把要解决的问题提前告知学生，有目的地学习，在单元小结时帮助学生由厚到薄地归纳总结，在全章的总结中再帮助学生由薄再到厚地归纳总结，从整体上把握知识。这种教学打破了完全按部就班的一节一节的学习，引导学生从总体上把握知识，高屋建瓴，通观全局，再深入学习每一小结，最后把部分知识结构综合为知识整体，增强学习活动的自由度和独立性，高效地利用了学生学习的时间和空间，优化了知识结构，提高了教学效率。
案例1：苏科版七年级下册幂的运算虽然课时不多，本身并无多大难度，但由于学生在理解运算性质、运用运算法则方面不到位，致使在平时的做题过程中出现这样那样令人啼笑皆非的错误。幂的运算是后面学习整式乘除的基础，无论是单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式最后都转化为单项式于单项式的运算，而此种运算必包含幂的基本运算。相关幂的运算性质掌握得不清楚，势必给后面的学习带来一定的影响，幂的运算的重要性不言而喻。在教学幂的运算性质时，为了让学生对幂的四条运算性质有十分清楚的认识，第一节课上，我首先给出四组计算题，但不要求计算，只要学生通过观察，能说出这四组题分别是同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方还是积的乘方即可。学生通过观察，体会这四组题就是这一知识单元要研究的四个知识要点，并感知它们的不同。教完同底数幂乘法后，把同底数幂除法提前，用对比的方法一起研究，教师讲出本质，余下的由学生用类比、对比等方法独立思考，相互讨论解决。
案例2：在学习乘法公式时，平方差公式和完全平方公式一起出现，一开始就让学生仔细观察、辨别公式的特征。先从整体上认识乘法公式，避免学生每学一个公式时很轻松，一综合就混淆的弊病。
通过优化教材既可以提高学生的学习兴趣，又可以节省教学时间。整体教学可以把零散的知识有机结合，学生容易把握教学结构，还可以激活思维，养成良好的思维习惯，加深对知识的掌握和理解。随着学习的深入，学生逐渐养成了良好的学习习惯和思维习惯。
二、优化教学程序，提高教学效率
课堂教学效率的高低取决于教师的课堂教学能否做到优化教学程序，激发学生的求知欲，调动学生的积极主动性。课堂教学程序为：本节课堂检测（上节课的重点内容）―反馈预习案中的难点―利用讲学稿讲解本节课的重点―讲练结合―反馈前节课的课堂检测。
1.预习学案的批改与反馈是打造数学高效课堂的保障。
预习学案必须基于教师认真备课的基础上，并要与实际教学过程相匹配，让学生感到预习的是有价值的。老师必然辛苦，每天要准备一份预习学案和一份讲学稿，而且都要认真批改，这就要求老师一定要持之以恒，我每天早晨坚持早到，在学生预习学案上交后，都会根据学生的预习质量，课前对学生的学案进行批改，给学生一个评价，一个等次，如A、B、C、D等，真正体现以学生为主体的思想，让学生体验、感受到自己的劳动成果，真正做到及时有效，及时概括学生中有哪些错误，并及时分类。在课堂上用大约5～8分钟让中等生尤其后进生以板演或口答的形式对所预习知识进行概括，这样能最大限度地暴露学生预习中存在的疑难问题。在课堂上教师有重点地讲解，学生有针对性地学习，效率自然提高了。这样做老师是辛苦的，但看到学生有进步，老师再苦也值得。
2.有针对性地复习既巩固了旧知又为新知识的汲取做好了铺垫。
虽然部分学生当堂反馈情况不理想，但考试成绩较好，因为这部分学生接受新知的能力不强，但他们经过复习和作业练习能很好地掌握当天的知识。有的学生自认为课堂上掌握得很好，作业不认真写，回家根本不复习，成绩不理想。为了调动更多学生的学习积极性，我把当堂反馈改为第二天的课前检测，在课堂上先留5～10分钟对前一天的知识进行当堂检测，这就促使学生上课必须认真听讲，回家好好复习。如果多数学生内容掌握不够好，教师下节课就要抽几分钟时间再次重点讲解，这样循环反复，总课时并没有增加，但教学内容多重复了一次，这样学生对知识的掌握更深刻，提高了课堂教学效率。
3.有效的课堂练习设计是实施数学高效课堂的保证
很多有经验的教师在教学过程中，总是能以精心设计的问题，竭力点燃学生思维的火花，激发他们的求知欲望，并有意识地为他们发现疑难问题、解决疑难问题搭建桥梁或阶梯，顺利引导他们一步步登上知识的殿堂。我认为课堂问题设计应具有一定的代表性、深刻性，问题设计的深刻性是指学生解决问题时所产生的思维的深刻性，是指思维的抽象程度、逻辑水平和思维活动的深度，它集中表现为能深刻理解要领，深入思考问题，使用抽象概括，抓住事物的本质，善于总结规律，并能迁移应用。题目是做不完的，解题的方法和技巧是相通的，通过典型题目的练习，不断提高学生归纳总结的能力。
如八年级一堂几何练习课。
例：求证等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.
已知：如图，ABC中，AB=AC，BD=CD，DEAB于E，DFAC于F.求证：DE=DF.
证明：连接AD
AB=AC，BD=CD（已知）
AD平分∠BAC（等腰三角形“三线合一”）
DEAB于E，DFAC于F（已知）
DE=DF（角平分线上的点到角两边距离相等）
因SDAB=AB・ED/2，SPAC=AC・DF/2，又SDAB=SDAC，易知ED=DF.用面积法证完后，然后激发学生思考，若改变D点的位置或三角形的形状，又能得到哪些新的结论呢？学生人人动手，积极思考，终于得到了一系列新的结论。
结论一：等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离之和等于腰上的高。
结论二：等腰三角形底边延长线上的任一点到两腰的距离之差等于腰上的高。
结论三：等边三角形内的任一点到三边的距离之和等于该三角形的高。
变式练习，激发了学生的求知欲，调动了学生的积极性，从而巩固并深化了知识系统，增强了学生思维的深刻性。
总之，优化数学教学结构是实施素质教育的核心，教师在教学过程中需要不断研究和探索。通过实践，学生学习数学的情绪高涨，课堂学习的参与度比以前有很大的提高，学习的主动性明显增强，学习能力大幅提高，在几次全区统考中数学由进校时全区倒数第一成为全区前列。在今后的教学中，我将继续摸索，不断完善，努力做到更好。
参考文献：
本节复习课，学生对多项式乘以多项式可转化为单项式乘以多项式，再转化为单项式乘法等算理重视不够，在运算和思想方法的运用上欠缺较多，失误不断。虽经过复习后一般能掌握，但在应用解解题时普遍缺少应用意识，如通过因式分解后对分式约分或通过因式分解后用整体思想去解题等。
二、设计思想
1.数学课程标准（2011年版）对该知识的目标要求
能用提公因式法、公式法（直接利用公式不得超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。
2.教学价值分析
因式分解的学习为分式的学习做准备，因为因式分解是分式运算和化简、代数式的变形与转化即恒等变形等的基础，也是解高次方程的知识基础；学习因式分解渗透化归思想、培养逆向思维能力的良好素材。
3.教法分析
利用对比教学，让学生体验因式分解的“必要性”；利用类比教学促进学生对因式分解相关概念和公式的理解；让学生主动暴露思维过程，及时发现思路的“故障”，深究错误的根源。严格遵循学生的认知规律，在学生的“最近发展区”设置问题，创设“认知冲突”，最大限度地激发学生的探究兴趣，促进学生不断发现、实现知识的内化，完善学生的认知结构。
4.教学预设
（1）“挖井设陷”，引发错误
设计与操作说明：暴露学困生知识类缺陷，暴露部分优等生不能发现同学的错因和相应的解题规律，从而使学生的错误成为有价值的教学资源。题目都很简单，以时间来定题，而不在于数量。教学时应视易错的程度有针对性地让不同层次的学生从错误中有所感悟，实现思维“进阶”之目的。
①若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，那么m的值是 。
错解：24。
错解剖析：只考虑了一种情况，而完全平方式有两个：a2+2ab+b2，a2-2ab+b2。
正确答案：24或-24。
②已知a、b、c是ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2=2b（a+c），你能判断ABC的形状吗？请说明理由。
错解：能，理由如下：
a2+2b2+c2=2b（a+c）
a2+2b2+c2=2ab+2bc。
a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0。
（a-b）2+（b-c）2=0
a=b，b=c
ABC是等腰三角形。
错解剖析：在得到等式（a-b）2+（b-c）2=0后，应该是a=b且b=c，所以ABC是等边三角形。
正确答案：能，ABC是等边三角形。
选题说明：第1题属于两解问题，做题时应全面考虑。第2题是一道综合应用题，其结果的表达易错率较高。
（2）例题设计
设计说明与课堂操作：例题设计只有具有层次性，才能照顾到不同层次的学生，尽可能保证相关知识点的全覆盖，尽可能做到相应知识点与题型组合的全面兼顾，保证基本题型的全面呈现；例题可视难易程度，确定让学生讲，或有目的地找准做错且能“产生”典型错误的学生，充分利用这些学生的错误资源“刺激”学生的探究欲望，激发学生良好的复习情绪。
例1.将下列各式分解因式：
（1）24a2+54ab-36；（2）3x3y3-x2y3+2x4y；（3）-axy-ax2y2+2axz；（4）2（x+y）2-（y+x）3；（5）5a（x-y）2+10a（y-x）3。
选题意图：本例是为了复习因式分解的提公因式法，其中例题涉及的5个小问题代表着不同的公因式类型，教师可通过本例复习“怎样找公因式”以及“如何应用提公因式法进行因式分解”。
例2.因式分解：
（1）（x2+4y2）2-16x2y2；
（2）（a2+1）2-4（a2+1）+4。
选题意图：通过前面例题的教学，本课时的基本知识点都已显现，学生可能会出现思维疲劳。此时变化题型，用阅读辨析的方式引导学生理性审视解题过程，和自己的数学理解自觉对话，探究问题的数学本质，及时纠正认知偏差。本例可先让学生尝试独立完成，然后请几个优生上台示范，再引导学生一起讨论纠错，让学生对“分解要彻底”留下深刻的印象。
（3）反馈矫正
设计与课堂操作说明：从课堂反馈的情况看很多学生对基础知识重视不够，而反馈矫正是又一次“刺激”激发好奇心的重要教学环节，同时也是对例题的一个补充与完善。课堂操作上，一般选择学困生到黑板做，让优等生评讲，优生或教师可适当点拨，从而达到全体巩固与反馈的目的，并及时订正。
（4）自主小结
一．选择题（共12小题，每题4分，共48分）
1．（2014•吉州区二模）我国许多城市的“灰霾”天气严重，影响身体健康．“灰霾”天气的最主要成因是直径小于或等于2.5微米的细颗粒物（即PM2.5），也称为可入肺颗粒物，已知2.5微米=0.0000025米，此数据用科学记数法表示为（）米．
A．2.5×106B．0.25×10﹣5C．25×10﹣7D．2.5×10﹣6
2．代数式中，分式的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
3．下列方程中分式方程有（）个．
（1）x2﹣x+；（2）﹣3=a+4；（3）；（4）=1．
A．1B．2C．3D．以上都不对
4．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（）
A．角平分线B．中位线C．高D．中线
5．用五根木棒钉成如下四个图形，具有稳定性的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2011•宜宾）分式方程的解是（）
A．3B．4C．5D．无解
7．（2013•贵港）关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（）
A．m＞﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m≥﹣1D．m≥﹣1且m≠0
8．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（）
A．m（x+y）=mx+myB．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4
C．15x2﹣3x=3x（5x﹣1）D．x2﹣9+3x=（x+3）（x﹣3）+3x
9．（2004•聊城）方程的解是（）
A．﹣2，B．3，C．﹣2，D．1，
10．（2006•日照）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
11．（2010•荆门）给出以下判断：（1）线段的中点是线段的重心
（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心
（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点
（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点
那么以上判断中正确的有（）
A．一个B．两个C．三个D．四个
12．（2007•玉溪）如图，AEAB且AE=AB，BCCD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）
A．50B．62C．65D．68
二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）
13．在代数式a，π，ab，a﹣b，，x2+x+1，5，2a，中，整式有_________个；单项式有_________个，次数为2的单项式是_________；系数为1的单项式是_________．
14．要使关于x的方程有的解，那么m≠_________．
15.如图，在ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE交于H，则∠CHD=_________．
16.（2014•盐都区二模）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．2.5微米等于0.0000025米，把0.0000025用科学记数法表示为_________．
17．若关于x的分式方程无解，则m=_________．
18．（2014•句容市一模）如图，在等边ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是_________．
三．解答题（共8小题，19-20每题7分，21-24每题10分，25-26每题12分。共78分）
19．因式分解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2．
20．（2014•崇明县二模）解方程：+=4．
21．（2008•安顺）若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．
22．（2012•珠海）如图，在ABC中，AB=AC，AD是高，AM是ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断ADF的形状．（只写结果）
23．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是_________；
②当∠BAD=∠ABD时，x=_________；当∠BAD=∠BDA时，x=_________．
（2）如图2，若ABOM，则是否存在这样的x的值，使得ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
24．（2008•西城区一模）已知：如图，ABC是等腰直角三角形，D为AB边上的一点，∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC．
求证：∠B=∠EAC．
25．（2014•内江）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
26．（2014•濮阳二模）在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
思考验证：
（1）求证：DE=DF；
（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；
归纳结论：
（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）
探究应用：
（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DEAB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1．解：0.0000025=2.5×10﹣6，
故选：D．
2．解：分式共有2个，故选B．
3.解：（1）x2﹣x+不是等式，故不是分式方程；
（2）﹣3=a+4是分式方程；
（3）是无理方程，不是分式方程；
（4）=1是分式方程．
故选B．
4．解：
（1）
三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
（2）
三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得：
三角形面积为梯形面积的；
（3）
三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
（4）
三角形的中线AD把三角形分成两部分，ABD的面积为•BD•AE，ACD面积为•CD•AE；
因为AD为中线，所以D为BC中点，所以BD=CD，
所以ABD的面积等于ACD的面积．
三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分
5．解：第一个图形分成两个三角形，具有稳定性，
第二个图形根据三角形具有稳定性，左边与上边的木棒稳定，所以，另两根也稳定；
第三个图形，根据三角形具有稳定性，左边与上边的木棒稳定，所以，另两根也稳定；
第四个图形，根据三角形具有稳定性，右边与下边的木棒稳定，所以，另两根也稳定，
所以具有稳定性的有4个．
故选D．
6．解：
方程两边乘以最简公分母2（x﹣1）得：
x﹣1=4，
解得：x=5，
检验：把x=5代入2（x﹣1）=8≠0，
原分式方程的解为x=5．
故选C．
7．解：方程两边同乘（x+1），得m=﹣x﹣1
解得x=﹣1﹣m，
x＜0，
﹣1﹣m＜0，
解得m＞﹣1，
又x+1≠0，
﹣1﹣m+1≠0，
m≠0，
即m＞﹣1且m≠0．
故选：B．
8．解：A、不是因式分解，是整式乘法，故本选项错误；
B、等式的右边不是整式的积的形式，即不是因式分解，故本选项错误；
C、根据因式分解的定义，此式是因式分解，故本选项正确；
D、等式的右边不是整式的积的形式，即不是因式分解，故本选项错误；
故选C．
9．解：设y=，原方程可化为y2﹣y﹣2=0，
分解得（y﹣2）（y+1）=0，
解得y=2或﹣1．=2，=﹣1，
解得x=或1．
经检验，都x=或1是原方程的解．
故选D．
10解：C点所有的情况如图所示：
故选D．
11．解：（1）线段的中点到线段两个端点的距离相等，为线段的重心，正确；
（2）三角形的中线平分三角形的三条边，所以三条中线的交点为三角形的重心，正确；
（3）平行四边形对角线的交点到平行四边形对角顶点的距离相等，为平行四边形的中心，正确；
（4）利用平行可得三角形的重心把中线分为1：2两部分，所以是它的中线的一个三等分点，正确；
故选D．
12．解：AEAB且AE=AB，EFFH，BGFH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，
∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，
AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒EFA≌ABG
AF=BG，AG=EF．
同理证得BGC≌DHC得GC=DH，CH=BG．
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．
故选A．
二．填空题（共6小题）
13．在代数式a，π，ab，a﹣b，，x2+x+1，5，2a，中，整式有8个；单项式有5个，次数为2的单项式是ab；系数为1的单项式是a．
14．要使关于x的方程有的解，那么m≠3．
15．如图，在ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE交于H，则∠CHD=45°．
解：在ABC中，三边的高交于一点，所以CFAB，
∠BAC=75°，且CFAB，∠ACF=15°，
∠ACB=60°，∠BCF=45°
在CDH中，三内角之和为180°，
∠CHD=45°，
故答案为∠CHD=45°．
16．（2014•盐都区二模）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．2.5微米等于0.0000025米，把0.0000025用科学记数法表示为2.5×10﹣6．
17.解：（1）x=﹣2为原方程的增根，
此时有2（x+2）+mx=3（x﹣2），即2×（﹣2+2）﹣2m=3×（﹣2﹣2），
解得m=6．
（2）x=2为原方程的增根，
此时有2（x+2）+mx=3（x﹣2），即2×（2+2）+2m=3×（2﹣2），
解得m=﹣4．
（3）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），
得2（x+2）+mx=3（x﹣2），
化简得：（m﹣1）x=﹣10．
当m=1时，整式方程无解．
综上所述，当m=﹣4或m=6或m=1时，原方程无解7．若关于x的分式方程无解，则m=﹣4或6或1．
18．（2014•句容市一模）如图，在等边ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是2．
解：∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP，
∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°，
∠CDO=∠AOP．
ODC≌POA．
AP=OC．
AP=OC=AC﹣AO=2．
故答案为2．
三．解答题（共8小题）
19．因式分解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2．
解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2
=（x+y）（x﹣y）[（x+y）﹣（x﹣y）]
=2y（x+y）（x﹣y）
20．（2014•崇明县二模）解方程：+=4．
解：设y=，
得：+y=4，
y2﹣4y+3=0，
解得y1=1，y2=3．
当y1=3时，=1，x2﹣x+1=0，此方程没有数解．
当y2=3时，=3，x2﹣3x+1=0，解得x=．
经检验x=都是原方程的根，
所以原方程的根是x=．
21．（2008•安顺）若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．
解：去分母，得2x+a=2﹣x
解得：x=，＞0
2﹣a＞0，
a＜2，且x≠2，
a≠﹣4
a＜2且a≠﹣4．
22．（2012•珠海）如图，在ABC中，AB=AC，AD是高，AM是ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断ADF的形状．（只写结果）
：（1）如图所示：
（2）ADF的形状是等腰直角三角形，
理由是：AB=AC，ADBC，
∠BAD=∠CAD，
AF平分∠EAC，
∠EAF=∠FAC，
∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，
即ADF是直角三角形，
AB=AC，
∠B=∠ACB，
∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，
∠EAF=∠B，
AF∥BC，
∠AFD=∠FDC，
DF平分∠ADC，
∠ADF=∠FDC=∠AFD，
AD=AF，
即直角三角形ADF是等腰直角三角形．
23．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是20°；
②当∠BAD=∠ABD时，x=120°；当∠BAD=∠BDA时，x=60°．
（2）如图2，若ABOM，则是否存在这样的x的值，使得ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
解：（1）①∠MON=40°，OE平分∠MON∠AOB=∠BON=20°
AB∥ON∠ABO=20°
②∠BAD=∠ABD∠BAD=20°∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∠OAC=120°
∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∠BAD=80°∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∠OAC=60°
故答案为：①20②120，60
（2）①当点D在线段OB上时，
若∠BAD=∠ABD，则x=20
若∠BAD=∠BDA，则x=35
若∠ADB=∠ABD，则x=50
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．
综上可知，存在这样的x的值，使得ADB中有两个相等的角，
且x=20、35、50、125．
24．（2008•西城区一模）已知：如图，ABC是等腰直角三角形，D为AB边上的一点，∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC．
求证：∠B=∠EAC．
证明：ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
AC=CB．
∠ACB=∠DCE=90°，
∠ACE=90°﹣∠ACD=∠DCB．
在ACE和BCD中，
，
ACE≌BCD（SAS）．
∠B=∠EAC（全等三角形的对应角相等）
25．（2014•内江）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：
，
解得：m=9．
经检验，m=9是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
（2）设购进A款汽车x辆．则：
99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．
解得：6≤x≤10．
x的正整数解为6，7，8，9，10，
共有5种进货方案；
（3）设总获利为W元，购进A款汽车x辆，则：
W=（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）=（a﹣0.5）x+30﹣15a．
当a=0.5时，（2）中所有方案获利相同．
此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆时对公司更有利．
26．（2014•濮阳二模）在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
思考验证：
（1）求证：DE=DF；
（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；
归纳结论：
（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）
探究应用：
（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DEAB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．
1）证明：∠A+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠A=60°，∠CDB=120°，
∠C+∠ABD=180°，
∠ABD+∠DBF=180°，
∠C=∠DBF，
在DEC和DFB中，
DEC≌DFB，
DE=DF．
（2）解：CE+BG=EG，
证明：连接DA，
在ACD和ABD中
，
ACD≌ABD，
∠CDA=∠BDA=60°，
∠EDG=∠EDA+∠ADG=∠ADG+∠GDB=60°，
∠CDE=∠ADG，∠EDA=∠GDB，
∠BDF=∠CDE，
∠GDB+∠BDF=60°，
在DGF和DEG中
，
DGF≌DEG，
FG=EG，
CE=BF，
CE+BG=EG．
（3）解：∠EDG=（180°﹣α），
（4）解：过C作CMAD交AD的延长线于M，
在AMC和ABC中
，
AMC≌ABC，
AM=AB．CM=BC，
由（1）（2）（3）可知：DM+BE=DE，
AE=3，∠AED=90°，∠DAB=60°，
AD=6，
由勾股定理得：DE=3，
DM=AM﹣AD=AB﹣6=BE+3﹣6=BE﹣3，
“探究性教学”的课堂教学，就是要在高中教育教学中创造一种符合学生认识规律的、轻松和谐的研究气氛与环境，让学生通过自己的活动与探究去“发现”知识，通过群体间的交流与反思去领悟数学思想方法，使教师在活动方案的设计和教学过程中得到教育体验。国内外众多的教育理论都强调要实现学生潜力的最大开发，提出以学生为中心，发展为本，注重激发师生的创造性，在日常教学中总结了探究性教学的新课堂教学模式，包括活动、探究、交流、反思四个环节。
上述的“活动、探究、交流、反思”只是教学模式的主线，操作中并非四个环节逐个进行，就算一节课完成了。而是可以经历多次循环上升的过程，而且这四个环节在顺序上也并非是一成不变的，操作中应注意其精神实质而非固定的程序。
我们认为，以“活动、探究、交流、反思”为主线的教学充分体现了“在实践中探索，在探索中反思，在反思中创造”的教学理念。那么，如何在教学中引导学生进行探究式学习呢？
一、以问题作为教学的出发点
教师在设计教学方案时，不应只直接以感知教材为出发点，而应把教材上例题、习题和公式、定理等知识点改编成需要学生探究的问题，唤起学生解决问题的欲望，激发学生探究兴趣，进而培养学生的问题意识和解决问题的能力。
如讲“同底数幂”的乘法这节课时，若从感知教材出发，则通常是像教材那样，先给出一些具体的材料，然后给出以字母为底数的例子，最后归纳出同底数幂的乘法法则，这样的归纳实质上就法则论法则，缺乏启发性，难以引起学生的探究兴趣，而且法则背后的丰富思想内涵没有充分体现。如果先提出探究问题，即让学生思考如何计算，学生中易出现两种答案。谁是谁非？学生的探究欲望被唤醒，纷纷计算、猜测、讨论，从不同角度寻求解决办法。这样，由计算这一问题，激发了学生已有认知结构中的有关观点（多项式乘法、有理数乘法、有理数乘方等）与当前的课题（单项式乘法）之间的冲突，不但吊起了学生的“胃口”，还为学生的探究性活动指明了方向，并与以后的单项式乘法联系在一起，构成了整节教材的探究脉络。
二、把教师教的过程设计成学生对数学问题进行探究、解决的过程
教师应向学生提供许多现实的、有趣的、富有挑战性的数学学习内容，这些内容取材于学生的生活经验，符合学
生的身心发展规律，成为学生主动从事观察、猜测、实验、合作交流等数学活动的主要素材。这些内容的呈现方式丰富多彩，构成了“问题情境――建立模型――解释、运用与拓展”的基本教学模式。因此，教师要创造性地使用教材，设计适合学生发展的教学过程，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流。这就意味着教学要体现探究式学习的教学理念，改变传统教学中“教师讲，学生听”，教师先操作示范，学生再模仿练习的做法。例如，教学“分母有理化”时，教师先创设问题情境，让学生计算近似值。有的学生通过查表得出答案，这时学生已感到了多位数除数带来的麻烦。教师乘机启发学生能否避免这种麻烦？学生的探究欲望被这个开放性问题唤醒，纷纷进行尝试。此时教师再引导学生观察、操作、交流和概括。学生讨论后知道，要避免麻烦的计算，应设法使分母不带根号，如何去根号呢？学生有的想到平方，但此时分式的值变了；有的想到利用分式的性质，把分子和分母都乘以相同的根式，则可使分配中的根号转移到分子上；有的则先优化分母，再计算，也作了类似的讨论。这时教师要进一步强化学生积极的学习体验，引导学生自我构建，即找规律，找模式，形成表达式，使学生享受成功的喜悦。在获得了简便计算后，教师要启发学生找这类问题的共性，即这时引入分母有理化和有理化因式这两个概念就水到渠成了。进一步启发则可让学生再探究如何计算。这样通过不断的探究，学生逐步建立了分母有理化的模型，思维得到了深化。最后，教师还要让学生交流总结，在小组或全班展示自己的思维、过程和成果，增进合作意识，引导学生反思自己的数学学习过程的情况和成长的历程，使学生认识自我，建立信心。
三、从不同材料的实际出发构建探究性学习的基本教学模式
学生的学习是接受与建构并存的，在实践中，我们感到学生学习既不是单纯累积的，也不是纯粹建构的，而是接受与建构并存的。它是一个在教师启发引导下的主动建构的过程。知识的真正理解与有效应用不仅需要学生观念上的认同和理解，而且需要经过一定强度的训练，使之达到系统化、结构化、策略化和自动化的目的。
(一)知识教学点
1.掌握：什么样的项是同类项.
2.了解：了解同类项可以合并.
3.应用：会合并同类项，会利用合并同类项的知识解决一些实际问题.
(二)能力训练点
通过例题的讲解与训练，使学生熟练进行同类项的合并.
(三)德育渗透点
通过由数的加减推广到同类项的合并，可以培养学生由特殊到一般的思维规律.
(四)美育渗透点
通过合并同类项，学生们能明显地感觉出数学的简洁美.
二、学法引导
1.教学方法：采用引导发现法，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索，以调动学生求知的积极性.
2.学生学法：练习同类项练习巩固
三、重点、难点、疑点及解决办法
1.重点：同类项的概念;合并同类项的法则.
2.难点：理解同类项的概念中所含字母相同，且相同字母的次数相同的含义.
3.疑点：同类项与同次项的区别.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪(电脑)、自制胶片.
六、师生互动活动设计
教师出示探索性练习，学生从练习中寻找简洁方法，得出同类项概念，教师出示巩固性练习，学生以多种形式完成.
七、教学步骤
(一)提出问题，创设情境
师：提出问题，(出示投影1)
求多项式的值，其中，.
学生活动：学生在练习本上完成，教师巡视，然后指定一个直接代入求值的学生在黑板上板演.
解：当，时，
.
师提出问题：在上述的运算过程中，你发现了什么?怎样做简单些?
学生活动：根据学生板演，可发现，在上述解题的运算过程中，几次计算的值，因此可把看成一个整体，先计算的值后，再做整体代入，根据学生叙述的教师做相应板书：
解：当，时，
.
当时，.
师：通过上面的计算，根据乘法对加法分配律，你又发现了什么?怎样计算简单些?
学生活动：根据定律的提出，学生很快发现如下解法
.
师：根据你的发现，能否找到解上述题目更简单的方法.
学生活动：小组讨论，找出简单方法的小组可推选代表发言.学生能发现，在中，是的值，-3，2，-3是原多项式各项的系数，所以原式，再代入、的值，计算更简单.
教师根据学生的回答，加以归纳并指出：这三项可以合并成一项.
【教法说明】教师先提出问题，因前面学习了求代数式的值，学生可直接代入求得，接着教师提出，你通过求值发现了什么?怎样更简捷的求值呢?引导学生做一步步的深入探索，使学生能积极地、主动地参与教学活动.
(二)探索新知，讲授新课
师再提出问题：为什么可合并成一项，可合并成一项吗?
学生活动：同桌同学进行讨论，看哪桌首先得出结论，然后找首先得出结论的一个学生回答，另一个学生可以做补充.
教师归纳：可合并成一项，因为它们三项中都含、两个字母，并且的指数都是2，的指数都是1.因为只有这样，才能保证字母部分代表同一个数;而则不能合并，因它们两项中，虽都含一个字母，但第一项的指数是2，而第二项的指数是1，两项中同一个字母的指数不相同，字母部分不能代表同一个数，所以不能合并.能合并处理，我们把，，是同类项，小组讨论，什么是同类项?选学生代表发言，再相互进行更正补充.
教师归纳：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项，而-3，2不含字母，但也能合并成一项-1，因为它们也是同类项.
[板书]
【教法说明】引导学生通过做练习，先发现了同类项的特点，然后归纳得到同类项的概念，这种认识规律符合从具体到抽象的一般认识规律.
巩固练习：(出示投影2)
1.(口答)下列各题中的两项是不是同类项?为什么?
(1)与;(2)与;(3)与;
(4)-12与120;(5)与;(6)与;
(7)与;(8)与;(9)与;
(10)与;
2.能不能说：“两个单项式的次数相同，所含字母也相同，它们就是同类项”?举例说明.
学生活动：由学生抢答，对回答不准确或不全面的，同组同学给予补充.
【教法说明】同类项的概念是重点，对同类项的两个条件缺一不可的理解又是一个难点.为此在得出同类项的概念之后，安排学生做此组练习题，可以更深刻地理解概念的内涵，并使学生有一个清楚的认识，下面让学生说出是与不是同类项的原因，对培养学生分析能力，大有好处.
师：通过上述实例及对练习的解答，我们可以得到这样一个结论，只要多项式中有同类项，就可以把它合并成一项，这种运算过程，叫做合并同类项.
[板书]合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项.
师提出问题：是怎样合并同类项的?
学生活动：小组讨论，然后找学生回答.说的不全面、不严密时可再找其他的同学做补充.
师归纳：当学生回答全面后强调，合并同类项的过程实质上就是同类项的系数相加的过程，在系数相加时，不要遗漏符号，字母和字母的指数都不变.
[板书]合并同类项法则：同类项系数相加，所得结果作为系数，字母和字母指数不变.
【教法说明】通过让学生做上面的实例，学生对怎样合并同类项的问题已有较深刻的印象，但还不能用完整的数学语言将其叙述出来，这时教师就积极引导，让学生动脑思考，总结发现法则，培养学生的语言叙述能力和逻辑思维能力.
例1(出示投影3)
合并下列各式的同类项
(1);(2);
学生活动：教师不给任何提示，学生在练习本上完成，然后同桌同学互相交换评判.
变式训练：把例1的两个式子分别加上两项为(出示投影4)
(1);(2).
学生活动：在练习本上独立完成，然后小组互相交换打分，学生回答正确答案，并评出优胜小组.
【教法说明】根据前面所学的知识，学生完成例1是没什么困难的，而在完成例1的变式训练题时，也就是轻而易举之事了，学生独立完成后交换评判打分，可以及时反馈学生对该部分知识的掌握情况，以便做好调节回授工作.
例2(出示投影5)
合并下列多项式的同类项
(1);(2).
学
生活动：此多项式项数较多，先让学生观察，找出同类项，指定学生回答.
师：在属于同类项的下面标上记号.
学生活动：在练习本模仿教师的做法标出(2)题的同类项，一名学生在黑板上板演，其余的同学在练习本上完成，做完后，同桌同学互相检查评定，然后教师边引导边板演出(1)题较规范的解题格式，说出每一步变形的依据，待板演完毕，让学生模仿(1)题教师板书的格式，一个学生在前面板演(2)题的解题过程，其他学生在练习本上做，随后师生共同订正.
师提出：在上述例题中，已合并同类项的多项式，还有没有同类项?(2)题中的没有同类项，在合并同类项过程中该怎么办?
学生活动：小组讨论后选代表回答：经过合并同类项后的多项式不存在同类项，在合并同类项时某项没有同类项要把它照抄下来.
【教法说明】通过学生对例2的解答，教师让学生自我探索求知，促使学生在实际解题过程中，发现规律，掌握解题方法.
例3(出示投影6)
合并多项式的同类项
学生活动：学生有了解例2的基础，教师不做任何提示，学生在练习本上完成，看谁做的又快又准确，同时让两个学生在黑板上完成此题.
然后，师生一起给两个学生的解答给予肯定或更正.
师提出问题：通过例3的完成，我们发现合并同类项后的式子是单项式，为什么?若把上面多项式变式为，合并同类项后得什么?
学生活动：同桌的同学先进行讨论，然后找学生回答教师提出的问题.
【教法说明】例3的解答完成可以放后让学生做，学生一般能正确完成，但学生不注意每一步运算的依据，学生完成后，教师提出为什么?学生可能回答困难，这时教师要引导观察总结.其实是因为，系数相加后为，，而零乘以任何数等于0，而0加上一个数仍得这个数，因此0可不写，只写出单项式.而变式后的多项式，合并后就为0;让学生体会为什么这个要写0.
(三)尝试反馈，巩固练习
(出示投影7)
1.(口答)合并下列各式的同类项
(1);(2);
(3);(4).
2.下列各题合并同类项的结果对不对，指出错在哪里?
(1);(2);(3);
(4);(5);(6).
3.合并下列各式的同类项
(1);(2);
(3);(4).
学生活动：1、2题，学生口答，可按座位顺序解答，也可抢答，3题学生在练习本上完成，不许同桌商量，完成后互相打分.
【教法说明】1、2题学生口答，特别是第2题，不但要回答对与否，还要指出错在哪里，可训练学生严密的数学思维，然后2题中错的再改正，既调动了学生的积极性，也培养了学生的逆向思维和发散思维.3题让学生自己完成打分评判，可以及时发现问题，及时反馈，以便做好回授调节.
(四)变式训练，培养能力
(出示投影8)
1.把，各当作一个因式，合并各式中的同类项：
(1);(2);
(3).
2.合并同类项(，是正整数)
(1);(2);
(3).
3.若与是同类项，则，.
学生活动：学生按要求在练习本上完成，指定二、三个学生在黑板上完成解题过程，然后再让别的学生到前面给黑板上完成的情况打分，并把错误的改正确，教师做简捷的评判.
【教法说明】1题是把上面题目中一个字母变式为两个字母的代数和;2题各项的指数由数字指数变式为字母指数.这样训练可使学生对同类项概念的理解更进一步;3题是在学生能判断几项是否是同类项的基础上变式为已知两项是同类项，则指数满足的条件，通过本题训练，可培养学生的逆向思维能力.
(五)归纳小结
师：今天我们学习了同类项的概念及合并同类项的法则，现在我们一起归纳一下本节的内容.
1.合并同类项法则：
(1)同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项.
(2)怎样合并同类项：同类项的系数相加后的结果作为系数，字母和字母指数不变.
2.合并同类项后的结果仍是整式，但不能再有同类项.
3.同类项及合并同类项的知识在以后的学习中有着重要的应用.我们可以逐步体会到.
八、随堂练习
1.判断题
(1)和是同类项()
(2)和不是同类项()
(3)和是同类项()
(4)()
(5)()
(6)()
(7)()
(8)()
2.合并同类项
(1);
(2);
(3).
3.如果和是同类项，求多项式的值.
九、布置作业
关键词：新课标；引导；掌握；平方差公式
中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）26-0172-03
公式的掌握是历年来老师们头疼的问题，公式看似简单，但是要想真正掌握并运用自如对学生们来说却是个难点，而新课程标准强调数学课程的教学中，应注重培养学生的符号意识。首先，新课标（2012年版）指出学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。同时强调在数学课程中，应当注重发展学生的符号意识。其次，符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。另外，作为教育工作者，更应该在日常的教育教学中培养学生的符号意识，并正确引导其牢固掌握数学公式。本文将通过笔者的一堂公开课《平方差公式》的教学案例的展示，介绍如何引导学生牢固掌握公式。
教学目标
（一）知识与技能目标
1.经历探索平方差公式的过程。
2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算。
（二）过程与方法目标
1.从猜想平方差公式到推倒公式的过程中，发展学生的符号感和逻辑推理能力。
2.培养学生观察、概括、运算能力。
（三）情感与价值观要求
从公式的猜想到推倒，及对公式结构特征的概括，感受数学严谨的推理和结构美。
教学重点
平方差公式的推导和应用。
教学难点
利用平方差公式的特征解决一类能使用平方差公式的问题。
教学方法
探究与讲练相结合。
使学生在计算的过程中猜想公式证明公式用符号表示公式（探索公式的特征）应用公式运算
教学过程
一、创设情境，引入新课
[师]某一期的开心辞典有这样一道速算题目，请听题：请问21×19的结果是多少？看看哪位同学能以最快的速度得出答案。（10秒后有一位学生举手）
[生]答案是399。利用多项式乘法法则可以得出结果21×19=（20+1）（20-1）=202-20+20-1×1=202-12=400-1=399
[师]很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将21×19中的21，19化成为有关于20和1的运算，其实还能更加简单地得出答案，这就是本节所学习的初中数学的一个重要公式——平方差公式。
首先来回忆，多项式乘法的法则是怎样叙述的？
[生]多项式与多项式相乘，用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
给出三个计算，使学生在计算过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示其规律。
利用多项式乘法计算下列各题：（1）（x+2）（x-2）；（2）（1+5a）（1-5a）；（3）（x+4y）（x-4y）。
[生]解：（1）（x+2）（x-2）
=x2-2x+2x-4=x2-4；
（2）（1+5a）（1-5a）
=1-5a+5a-25a2=1-25a2；
（3）（x+4y）（x-4y）
=x2-4xy+4xy-16y2
=x2-16y2。
观察以上算式及运算结果，你发现什么规律？
学生基本能根据算式猜想出规律，即算式的结构特征，两个数的和与两个数的差相乘，等于它们的平方差，同时可用公式表示即（a+b）（a-b）=a2-b2其中a、b可以表示任意的数，也可以表示单项式、多项式。
印象深刻的导入，使学生能够以更加积极的态度投入学习，同时用多项式乘法作为铺垫，学生能感受到知识的相互联系，而并非无根无据，引导学生根据计算的结果得出公式的一般式。
二、公式的证明及公式特征的探索
[师]请同学们以小组为单位，讨论怎样去证明这个公式？
[生]利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即
（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2
[师]因此根据公式的结果特征，由于是先求平方再求差，故称为平方差公式。平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式。用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算。那么为了很好地应用这个公式，我们需要了解其结构特点。
[生]公式的左边的数a，b，数a的符号相同，数b的符号相反，公式的结果是：（符号相同的数）2-（符号相反的数）2。
这一过程是带着学生去体验符号表示的意义，以及感受公式的推理能力。
说明：这部分很关键，通过公式推导的探索，让学生不仅知其然，还知其所以然，所以，在日常的教学中，教师应在课堂上留足够的时间在公式的推导以加深印象。当然，学生对公式特征的观察和归纳概括也是必不可少的，这样相当于在课堂上给了学生一把尚方宝剑，让学生有规律可循，同时真正使学生感受到了数学美！
三、公式的应用
使学生体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式。
1.判断下列式子是否可用平方差公式。
（1）（-a+b）（a+b）；（2）（-a+b）（a-b）；
（3）（a+b）（a-c）；（4）（2+a）（a-2）；（5）（1-x）（-x-1）。
[生]只有（1）、（4）、（5）能用平方差公式。因为（1）符合平方差公式的标准形式；（4）利用加法交换律可得（a+2）（a-2），表示a与2这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；（5）同样可利用加法交换律得（-x+1）（-x-1），表示-x与1这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点。
[师]为什么（2）、（3）不能用平方差公式呢？
[生]因为在式子中，没有符号相同的项和符号相反的项。
例1.利用平方差公式计算：
（5+6x）（5-6x）；
（x-2y）（x+2y）；
（-m+n）（-m-n）。
[师]下面我们就来做题，首先分析它们分别是哪两个数的和与差的积的形式。
[生]（5+6x）（5-6x）是5与6x这两个数的和与差的形式；（x-2y）（x+2y）是x与2y这两个数的和与差的形式；（-m+n）（-m-n）是-m与n这两个数的和与差的形式。
[生]（5+6x）（5-6x）=52-（6x）2=25-36x2；
（x-2y）（x+2y）=x2-（2y）2=x2-4y2；
（-m+n）（-m-n）=（-m）2-n2=m2-n2。
例2.利用平方差公式计算：
（1）（-x-y）（-x+y）；
（2）（ab+8）（ab-8）；
（3）（m+n）（m-n）+3n2。
[师]请同学们总结一下，利用平方差公式计算时应该注意哪些问题？
[生]我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：
（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式。
（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式。
（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式。
[生]还需注意最后的结果必须最简。
[师]同学们总结得很好！下面我们再来练习一组题。
1.利用平方差公式计算：
（1）（a+2）（a-2）；
（2）（3a+2b）（3a-2b）；
（3）（-x+1）（-x-1）；
（4）（-4k+3）（-4k-3）。
说明：螺旋式上升的例题以及紧扣例题的练习题，将公式的基本要领体现得很清楚，教师在引导学生做练习和思考的同时，要注意反复强调符号相同数的平方减去符号相反数的平方，使学生加深印象。
接着出一组题目让学生先判断能否利用平方差公式计算，如果能，算出结果。
说明：以上是对基本规律掌握后的提高和区别，图示更能帮助学生理解公式的精髓。
