时间：2023-06-02 09:21:47
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇三角函数值，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词：直角三角形；边角关系
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）04-244-01
直角三角形的边角关系，在现实世界中应用非常广泛。而锐角的三角函数在解决实际问题中有着重要的作用，如测量距离、角度、高度等问题，特殊角30度、45度、60度角的三角函数值也是经常用到的，但许多学生在应用这些特殊角的三角函数值解决问题时，却总是出现记忆不牢靠或者张冠李戴的现象，如何让学生牢固并熟练掌握这些特殊角的三角函数值呢？我觉得可以从以下几个方面去加强。
一、引入图形，让学生建立清晰的第一印象
由于含30度、45度、60度的直角三角形三边之间有着特殊比例关系，因此，教学时为了便于学生理解和记忆，可以根据含这些特殊角的三角形的边角之间的关系，画出相应的图形，如30度角所对的直角边，所临的直角边，斜边之比为1∶√3∶2，含45度角的直角三角形三边之比为1∶1∶√2，让学生自己独立完成这几个特殊角的三角函数值的求值过程，学生根据定义，便可得到各角的三角函数值，学生经历了特殊角的三角函数值的求值过程，由于图形的直观作用，必然会产生清晰的第一印象，方便了记忆。
二、利用三角函数的增减规律进行记忆
在直角三角形中，当锐角的度数一旦确定，它对应的正弦值、余弦值、正切值也随之确定，当锐角的度数发生变化，它的正弦值、余弦值、正切值也随之发生变化，为了帮助学生探索并理解随着锐角度数的增大或减小，它对应的正弦值、余弦值、正切值变化的规律，可设计有公共锐角顶点且一直角边有重叠，以及斜边相等的一系列直角三角形，通过图形，学生会直观的感受到，当锐角的度数逐渐增大，它所对的直角边也随之增大，它所邻的直角边则随之减小，所以会很自然地得出结论，正弦值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小，正切值随锐角的增大而增大，用锐角三角函数的增减性，学生记忆这几个特殊角的三角函数值就会容易许多。
三、寻找数字规律巧妙记忆
在记忆30度、45度、60度角的三角函数值时，可引导学生通过比较，寻找数字规律，巧妙记忆，如30度、45度、60度角的正弦值分母都是2，而分子依次对应为：1即√1，√2，√3，而余弦值分子则分别是√3，√2，√1即1，分母也都是2。
四、利用互余两角正弦和余弦之间的关系，及同角三角函数之间的关系，通过比较与联系记忆。
【关键词】三角函数；诱导公式；推导；口诀
三角函数诱导公式是高二数学教学的重要内容：通过学习三角函数诱导公式，学生可以领悟三角函数变化的周期性规律，并且掌握由特殊推导一般的知识发现模式以及转化的数学方法，了解在数学中图像的重要性；在高考题中，屡见三角函数的诱导公式问题，在实际中，尤其是对一些物理现象的解答，也常常运用到三角函数的诱导公式.因此，学生必须能够掌握三角函数的诱导公式并且能够巧妙应用于解题中.然而，在目前的三角函数诱导公式教学中，却存在学生记错公式或者是记得公式却不能解题两种问题.三角函数诱导公式教学有效性的提高势在必行.经过实践，找到一些行之有效的方法.
一、明确三角函数诱导公式的思维主线
三角函数诱导公式可以求任意角的三角函数值，超越锐角到任意角，是特殊到一般的知识发现过程.那么，如何求得任意角的三角函数呢？是需要把任意角转化为锐角，通过锐角三角函数值求得任意三角函数值，利用特殊来求得一般，这是知识解答的一般思维.继之而来的，是把任意角转化为锐角的方式与过程.方式为探究任意角的终边与锐角的终边的对称关系，过程为由圆周的360°以内推广到360°之外.
二、推导三角函数的诱导公式
在了解了任意角与锐角的关系之后，便可以根据锐角三角函数值推导任意角三角函数值.在高中数学课上，推导过程是常常被忽视的，教师要求学生死记硬背公式，这样做的结果是张冠李戴、混乱不堪，记忆错误进一步导致了学生实际应用的错误.鉴于理解之于记忆和应用的巨大功能，推导过程是不能省略掉的.
以正切值为例，演示一下推导过程.假设α终点与单位圆交点的坐标为（a，b），tanα=ba；-α对应的坐标为（a，-b），tan（-α）=-ba=-tanα；π+α对应的坐标为（-a，-b），tan（π+α）=-b-a=ba=tanα；π-α对应的坐标为（-a，b），tan（π-α）=b-a=-ba=-tanα；π2-α对应的坐标为（b，a），tanπ2-α=ab=1tanα=cotα；π2+α对应的坐标为（-b，a），tanπ2+α=-ba=-1tanα=-cotα；2kπ+α对应的坐标为（a，b），tan（2kπ+α）=ba=tanα.由此，得出正切的任意角三角函数诱导公式.至于正弦函数和余弦函数的诱导公式，可以设α的终边与单位圆相较于一点（a，b），在此基础上推导出其他相对应的五个诱导公式.
三、巧用口诀进行记忆和解题
理解了三角函数诱导公式后，便要进行稳固地记忆与灵活应用.想要实现这个目标，可以使用一些口诀.先利用耳熟能详的口诀“奇变偶不变，符号看象限”，确定等式右边的三角函数的名称；而在不同象限的等式右边三角函数的符号，则采用“一全正、二正弦、三正切、四余弦”的口诀进行明确.
这两句口诀很多学生会说，但并不会用，在操作时频繁出错，这是因为高度概括则会形成理解的困境.下面，阐释一些这两句口诀的理解问题：首先，是“奇变偶不变，符号看象限”，奇与偶，说的不是奇函数与偶函数，也不是π前面的数值与π的关系，而是kπ这个数值与π2的倍数关系，如果是奇数倍，诱导公式的右边进行名称变化，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，如果是偶数倍，诱导公式的右边依然保持原来的名称，正弦依然是正弦，余弦依然是余弦，正切依然是正切；其次，是右边等式的符号问题，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，即在第一象限的角的三角函数值全为正值，在第二象限的角的三角函数值只有正弦为正值，在第三象限的角的三角函数值只有正切是正值，在第四象限的角的三角函数值只有余弦是正值，象限角指的是nπ2±α是第几象限的角，这里的α总是锐角，而α前的正负可以忽略，当然，如果n是负值，则另当别论.
理解了这两句口诀后，可以先用教材上诱导公式来实践一下，加深印象：sin（π+α）=-sinα，因为π是π2的2倍，所以等式右边的名称依然是sin，因为π+α是第三象限的角，第三象限的角正弦值为负，所以等式右边为-sinα；sin（π-α）=sinα，因为π是π2的2倍，所以等式右边的名称依然是sin，因为π-α是第二象限的角，第二象限的角正弦值为正，所以等式右边为sinα；sinπ2+α=cosα，因为π2是π2的1倍，所以等式右边的名称变为cos，因为π2+α在第二象限，第二象限的正弦值为正，所以等式右边为cosα；sin32π-α=-cosα，因为32π是π2的奇数倍，所以等式右边的名称变为cos，因为32π-α是第三象限的角，第三象限的角的正弦值楦海所以等式右边为-cosα……
【参考文献】
三角函数中的求值问题主要有：已知某三角函数，求另外某些三角函数值或三角式的值；已知某三角函数式的值，求某些三角函数或三角式的值，求某些非特殊角的三角式的值等几类，解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图像以及三角函数的恒等变化，还常涉及到函数、不等式、方程及几何计算等众多知识，这类问题往往概念性强，具有一定的综合性和灵活性。我以为就三角函数的求值与计算应注重以下问题：
一、三角函数式的化简：
（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数
二、三角函数的求值类型有三类：
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
三、三角等式的证明：
（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
例题（1）若 ，化简
主要口诀：化异分母为同分母，脱去根式符号化简
解析：由已知可知， 在第Ⅱ象限，所以 在Ⅱ、Ⅲ象限。
原式=
= =
=
例题（2）已知函数f（x）=- sin2x+sinxcosx.
（Ⅰ） 求f（ ）的值；
（Ⅱ） 设 ∈（0， ），f（ ）= - ，求sin 的值.
例题（3）求证：tan x - tan x =
思路分析：本题的关键是角度关系：x= x - x，
右式= =
= tan x - tan x。
=
思路分析：将左式分子中“1”用“sin2α+cos2α”替换，
左边= = = =右边
1.有利于理解三角函数的定义。
采用“单位圆定义法”，对于任意角a，它的终边与单位圆交点P(x，y)唯一确定，这样，正弦、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系，即角a（弧度）对应于点P的纵坐标y――正弦，角a（弧度）对应于点P的横坐标x――余弦，可以得到非常清楚、明确的表示。而“终边定义法”需要经过“取点――求距离――求比值”等步骤，对应关系不够简洁；“比值”作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清晰； "从角的集合到比值的集合"的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系不一致，而且“比值”需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明。以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚明白，与“终边定义法”的这些问题不无关系。
2.有利于构建任意角的三角函数的知识结构。
“单位圆定义法”以单位圆为载体，自变量a与函数值x，y的意义非常直观而具体，单位圆中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等。例如：
（1）P(x，y)在单位圆上 |x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函数的值域为[－1，1]；
（2）|OP|2=1 sin2a+cos2a=1；
（3）对于圆心的中心对称性 sin(π+a)=－sina，cos(π+a)=－cosa；
（4）对于x轴的轴对称性 sin(－a)=－sina，cos(－a)=cosa；
（5）对于y轴的轴对称性 sin(π－a)=sina，cos(π－a)=－cosa；
（6）对于直线y=x的轴对称性 sin(－a)=cosa，cos(－a)=sina；……
3.有利于理解弧度制。
学生在学习弧度制时，对于引进弧度制的必要性较难理解。“单位圆定义法”可以启发学生反思：采用弧度制度量角，就是用单位圆的半径来度量角，这时角度和半径长度的单位一致，这样，三角函数就是以实数（弧度数）为自变量，以单位圆上点的坐标（也是实数）为函数值的函数，这就与函数的一般定义一致了。另外，我们还可以这样来理解三角函数中自变量与函数值之间的对应关系：把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点）a被缠绕到单位圆上的点P(cosa，sina)。
4.符合三角函数的发展历史。
任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”。所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程。
一、引言
三角函数是一门较重要的科学知识，它往往会与理工科的其他科目有联系，我们不仅会在数学中学习到三角知识，而且这一知识也与物理方面的相关知识挂钩，如在电学中，有不少波的相关公式，以及得出的物理现象就是用三角函数表达式表达的，所得到的图形是三角函数图。所以，三角函数不仅仅是一门对数学学习有帮助，同时对于工学类的其他科目也有用途的科学，在实际工作和生活中有广泛的应用。
二、三角函数问题概述
1三角函数问题的特点
到现在为止，我们已经接触过了不少问题，这些三角问题大多数是通过三角函数的性质和恒等变换来求解的。如我们要计算三角函数值某个角的大小，就往往是采用计算该角的某一种三角函数值，再依据我们学过的三角函数性质，根据三角函数值的正负来确定象限得出来的。我们要判断三角函数的单调性，或者确定三角函数的单调区间，往往可以通过基本三角函数的单调区间来求解。所以说，三角函数的一切问题的求解还在于二方面：一是对性质的把握，二是熟悉掌握三角恒等变换公式，并在具体的问题中学会灵活自如地加以应用。
三、考题分析
1考题
例题：在 中，角A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，
，求A，B及b，c
2考题求解过程分析
3总体分析
上面这道题是以三角形为主要的参考模型来考查三角函数知识的，这是三角函数大题的一大常用考试思路，主要是借助三角形，给出一些已知的参数（可以是边，可以是角，从而来求其他三角参数的值，如可以是面积，也可以是边角，这是三角函数的一种基本的考查形式。
3.2.2本题分析
先看考题第一问，要求的是A，B的值，通常情况下，要求出角的大小，我们往往是要求一下角所在的三角函数值的大小，所以根据这一思路，我们要求出B，C的三角函数值，题中给出了三个已知条件，其中第一个边的大小对于求解第一问起不到帮助，我们只能从后面的二个条件入手，很明显，从条件2，可以求出C角的三角函数值，其中 ，这很容易看出来，而根据这一点，我们可以求解出C角的三角函数值， ，角C是30或150度，再根据后面的第三个条件，仍然是把A换成B和C，可以得出 ，直接得出B和C角大小相等。由此，得到三个角的大小，是一个等腰三角形。
3.3考题求解
下面，我们按照先前确定的分析过程，理一下思路，求解二问，具体如下：
解：由 得
，又
由 得
即
由正弦定理 得
四、考题总结
根据上面的这道题，我们不难发现，从结论开始进行分析和展开联想是有必要的。上面的这一题的要求解的内容，将会直接决定我们分析的走向，如第一问要求三角函数，我们就要考虑采用三角和差公式，第二问要计算边长，我们就要联想到正、余弦定理。这都是我们在上面这道题中发现的规律。
4.倒推法求解三角恒等变换问题的基本思路
4.1以问题为出发点
在前面，我们就已经明确指出，倒推法是以问题为中心而展开的。所以，来了三角函数类问题，我们必须要对将要求解的问题做一个全面的了解，看一下该问题到底是要求什么，要求边，还是求角，还是求面积，或者是单调性等。在明确了问题以后，我们就要对此问题进行定性的分析。问题不仅仅是决定我们求解的方向所在，也是我们求解的关键突破口。由此看来，对于问题的性质进行全面的分析是极其重要的，它为后面的解答问题起到了铺垫的作用。
1 注意条件的对应关系
在搞清楚问题以后，我们就要开始进行推理和想象，如上面的那一个实例，我们要调动一切因素，使我们要解决的问题和已经存在的条件无限接近。如第二问，为了使边和面积之间建立联系，又是在三角形中，我们唯一想到的思路就是三角面积计算公式，通过公式，我们就可以得到二条边的乘积。此外，还有一点也是重要的，那就是给出了角的正弦值，就等同于给出了边的比例关系。如果没有突破这一点，也无法得以求解。
2 大胆推理和联想
在倒推法解决问题时，一定的联想是有必要的。而且由于我们高考题在情境上会不断发生变化，但是只是形式上的变化，仍然存在换汤不换药，新瓶装老酒的做法。所以，我们要根据相关的情况大胆进行推理和猜想，如有这样一个问题。
例2：若 则 a=B
（A） （B）2 （C） （D）
此题按常规做法是要计算的，而用倒推法，我们只要分析该角的大小，或者说所处象限就行了，根据公式有 sin （a+A）= 而A很明显是一个锐角，（a+A）=270度，意味着 处于第三象限，排除A与B选项，再根据sinA= 是一个小于30度的角，所以a必须要大于240度，于是 tan a的值比tan60的值要小，所以直接锁定答案D。根据此题，我们可以发现倒推法无法是用于解答小题还是解答综合题，都可以起到一定的作用。
五、结束语
根据本文的分析，倒推法不失是一种用来求解三角函数问题的基本方法。通过以问题为出发点，可以进一步理出学过的知识，求解的问题，以及我们现有的条件的关系，使我们在解决问题时，打开思路，自由发挥。更为重要的是，它是一种解决问题的思路，尤其是对于解决难度较大的综合型问题中更可以看到这一点。值得一提的是，倒推法不仅仅适用于解决三角函数问题，它在解析几何，立体几何以及数列等综合性问题中仍然有较大的用途，这一切都有待于我们在以后的解题过程中，多加总结，以便使其能够发挥更大的作用。
参考文献
[1] 周加付. 三角变换的技巧和方法[J]. 成功（教育） 2010年12期
【关键词】高中数学；课堂教学；三角函数；诱导公式
三角函数的诱导公式是利用对称性来探究角的终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，三角函数诱导公式的运用体现“数形结合”的数学思想，常用的方法就是把任意角的三角函数值问题转化为求锐角的三角函数值，诱导公式的学习不但体现了数学的转化思想，还反映了知识的学习是从特殊到一般的思维模式，对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力也起到了非常重要的作用。
学习这节课，重点就是要让学生们对诱导公式进行探究，借助单位圆来推导出诱导公式，并学会运用诱导公式进行简单三角函数式的求值，难点就是发现圆的对称性与任意角终边的坐标之间的联系以及合理运用诱导公式。下面是我对三角函数的诱导公式的探究和学习过程中的一些方法，旨在通过引导探究的方式，让学生们能够掌握公式的推导方式以及学会对公式进行简单的运用，达成教学目标，突破重点难点。课堂过程主要是采用探究的方式进行的。教师设置一定的情境，组织相应的探究活动来引导学生们进行公式的探究并学会简单的运用。探究的过程主要有以下几步：
一、明确课堂目标
这一步是要让学生们明确这节课的学习目的，让学生们明确这节课所要学习和探究的究竟是什么。教师可以准备活动如：1.思考并写出sin， cos， tan的三角函数值，给学生一定的思考时间，可以请两位学生到黑板上写出解答结果，并让学生们口述三角函数的单位圆定义：sin=y，cos=x，tan= （x≠0），三角函数的定义是学习诱导公式的基础，帮助学生们回忆和复习可以更好地联系新知识的学习。在这个过程中，针对学生们的疑惑，抓住学生们在解三角函数值的时候产生的认知冲突，明确这节课的学习主题和学习目标。为学生们设置这样的情境，可以让学生们引发思考，产生认知冲突，要解决这样的认知冲突就一定程度上调动了学生们学习和探究的积极性，为上好新课做好了准备。
二、组织探究过程
返回刚才的例子，并评价学生们在黑板上的完成情况，根据学生们利用定义求角的三角函数值的过程，引导学生们思考角与的终边有什么关系。学生们经过思考以及画图，发现这两个角在数量上是相差π，在坐标系中这两个角的终边在同一条直线上，并且关于原点对称。
再把这两个角放在坐标中的单位圆上来考虑，设角与的终边分别交单位圆于点P1、P2，点P1的坐标为P1（x，y） ，让学生思考，点 P2的坐标如何表示？学生们可以根据两点关于原点对称的的位置关系来得出P2 的坐标为（-x，-y）。再进一步概括得出，终边与单位圆的交点坐标相反数。教师再引导学生们概括出有这样的数量关系的两个角的三角函数值会有什么关系。让学生观察动画演示，概括出任意角α与角π+α的终边关于原点对称，三角函数值满足公式sin（π+α）=-sinα，学生通过教师的引导用正确的方法进行探究和学习，并共同得出结论。再根据特殊角到一般角的变化，归纳出公式二：sin（π+α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα，tan（π+α）= tanα。
通过以上公式的探究过程，教师引导学生们总结出探究的方法和思路，再让学生们根据方法的指导自主探究其他的公式。首先可以引导学生们回顾刚才的探究过程并概括出来。通过这样的方法和思维的概括，为学生的自主探究指明了方向。接下来可以给出如下的探究任务：给定一个角α，探究角π-α和角α的终边有什么关系？角-α和角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？组织学生们进行自主探究与讨论、合作交流等方式进行学习。通过使用正确的方法进行探究，最终得出公式三和公式四。在探索与合作交流的过程中，不但提高了学生自主学习的能力，还加强了他们的合作交流能力。
三、公式的运用
公式的运用是建立在对公式的正确理解的基础上的。为加强学生们对公式的理解和掌握以及检查学生们对公式的运用能力，教师可以设置一些练习来提高学生们运用知识的能力，但这节课主要的目的是让学生们掌握公式的推导过程和方法，公式的运用并不是重点。因此，在设置练习的时候，不要太难，只给一些简单的基础的练习即可。让学生们自己在草稿纸上解答，也可以让个别学生到黑板上去写，再组织学生一起进行评讲。让学生们进一步体会和明确用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的一般步骤：任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π的三角函数锐角的三角函数。通过公式的实际运用及方法的巩固，进一步加强学生们对公式的理解和掌握。
四、小结
这节课的内容是公式的学习，重点和难点都是公式的推导过程，学生既要能够理解，也要能够学会这种公式推导过程中所运用的一般思路和一般方法。公式的推导本身就是一个探究的过程，因此，采用探究的方式进行教学是一种不错的方法。值得注意的是，如果教师在探究的过程中指导过多，那也达不到锻炼学生的效果，如果完全放手让学生自主探究，又容易因方法不正确而浪费课堂时间。最好的方式就是教师先带领引导学生进行探究，让学生们体验并感悟到探究的思路和方法，再让学生进行自主的探究，相信这样一定可以取得很好的课堂效果，突破教学的重点和难点。
【参考文献】
[1]雷晓莉，三角函数的诱导公式，中小学数学：高中版，2012年7期
[2]万锟，“正弦、余弦的诱导公式”教学反思，当代教育，2012年2期
摘要： 三角函数与反三角函数作为基本初等函数，在光学条纹图像分析中有着广泛的应用。在某些特定情况下，如硬件计算或要求快速计算时，可以通过逼近函数来计算其近似值。现讨论三角函数及反三角函数的最佳逼近方法。基于∞范数，选择特定区间推导函数的最佳逼近多项式，给出了多项式的系数与最大逼近误差；再利用三角恒等式将其推广至函数的整个定义区间，得到了各三角函数与反三角函数的分段逼近多项式。并且将其结果用于条纹图像的分析，以实验证明了所述方法的有效性。
关键词： 三角函数； 反三角函数； 多项式逼近； 条纹图像分析
中图分类号： TP 301.6文献标识码： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2013.01.005
引言三角函数与反三角函数作为基本初等函数，在工程技术与科学研究中有广泛的应用，但在某些特定情况下则需通过逼近函数来计算其近似值。例如，在工业中常采用单片机、硬件计算设备或各种小型系统来实现过程的控制[1]，然而这些系统可能并不支持三角函数的库函数计算，那么就需要寻找替代的逼近方法来计算其数值。另外，相对于一般算术运算，三角函数与反三角函数计算复杂度相对较高，计算耗时，难以满足各种实时性要求。例如，在机器人动力学[2]方程的快速计算中，三角函数的计算也占很大的比例[3]。另外，在计算机三维建模与三维游戏中，三维模型的空间坐标变换也涉及到大量连续的三角函数运算[4]。GPU[5]作为一种可编程的图形处理器，利用Vertex Shader计算反三角函数也很浪费时间。在这些情况下，采用三角函数的快速近似计算可以大大提高计算效率[67]，满足各类实时性要求。同样，在光学检测技术中，也涉及到大量的三角函数运算。例如，傅里叶变换位相分析方法[89]中，大量的复指数运算需通过正余弦函数的计算来实现；相移步距未知情况下的相移算法中，需使用反余弦函数来求解相对相移量[10]；各种位相分析方法一般需通过四象限反正切函数逐像素计算条纹图像上的位相分布[11]；而在多视角（口径）测量[1213]中，则需利用坐标变换来实现各视角测量结果的配准与拼接，也要用到大量的三角函数计算。这些计算消耗大量时间，已成为快速测量或实时测量的一个瓶颈问题，同时也使得测量数据的硬件或固件计算处理难以实现。三角函数与反三角函数的快速近似计算可采用多种方法实现。其中，查表法首先对函数特定区间按特定分辨率进行采样并计算其数值，并建表存储在内存中。使用时，直接访问相应地址即可获得需要的三角函数值。查表法简便易行，效率很高，但需要占用一定的内存空间。特别是当精度要求提高时，所需内存的大小也需相应地增大。泰勒级数也常被用来计算函数的近似值。根据泰勒定理，一个无限可微函数可由其泰勒展开式无限逼近。但泰勒级数收敛较为缓慢，无法实现低阶高精度的逼近。例如在区间[-1，1]上用泰勒级数计算反正切函数值时，若要精度达到10-3数量级，需将其展开至49阶；若要精度达到10-4数量级，则需将其展开至499阶。这一现象说明，当精度要求较高时，泰勒级数并不是一种实用有效的函数逼近方法。另一种方法是采用最小二乘多项式逼近三角函数，该多项式与目标函数之间的平方距离可达到极小值。由于最小二乘多项式系数的计算十分简单，该方法较易于实现。采用这种方法，仅需5阶和7阶多项式即可分别使上述区间内的反正切函数的求解精度达到10-3和10-4数量级，其逼近效率远高于泰勒级数法。但是，这种最小二乘多项式并非是最优的。换言之，存在阶数更低的多项式可达到相同的精度。不同于上述方法，本文讨论三角函数及反三角函数的最佳逼近方法，推导了基于无穷范数的最佳逼近多项式。光学仪器第35卷
关键词：三角函数；数形结合；诱导公式；逆用公式
一、重视三角函数的定义，注意两种定义的教学顺序
在教学过程中，我在两个班的教学中用了不同的教学顺序：甲班先从锐角三角函数的定义过渡到任意角三角函数的定义：若任意α的终边上一点P（x，y）（x≠0）；令r=OP，则sinα=■，cosα=■，tanα=■。再从P为特殊位置即P为∠α的终边与单位圆交点时，引入三角函数的第二种定义，学生学得较为自然，在应用如“角α终边经过一点P（3，-4），求角α的三个三角函数值”时正确率较高。
而乙班则严格按照课本要求：先引入单位圆定义任意角三角函数：若任意α的终边与单位圆交于一点Q（x，y）（x≠0）；则sinα=y，cosα=x，tanα=■，通过课本12页的例1求出■的终边与单位圆的交点坐标（■，-■） ，再求三角函数值。这个例题学生还好理解，而在例2的教学中利用教材中的方法：利用三角形相似去解决，然后才给出与锐角三角形相类似的定义，最后在用一道习题“已知∠α的终边与射线y=-2x（x≤0）重合，求α的三角函数值”巩固时却出现了问题：作业格式混乱，错误很多。课后与学生交流时，都有两个疑问：一是能否用省事的方法，即用终边上的点坐标直接求解？二是单位圆学来做什么用，用它来求三角函数值这不是扰乱我们的思维吗？通过这两个班的教学对比，我进行了深刻的反思。
二、进行诱导公式口诀的微小改变，注重数形结合记忆和运用公式
三角函数中诱导公式很多，学生对诱导公式的记忆非常头痛，且经常混淆，这块内容是教学中的重中之重。在教学中大多数教师是教给学生“奇变偶不变、符号看象限”的记忆口诀，但学生在运用过程中还是记忆不清。后来我把这种口诀更改为“符号看象限，纵变横不变。”其理解为：把α看成锐角后，看■±α，■±α，kπ±α等角是属于哪个象限的角，利用“符号看象限”确定变化后的函数符号，由于kπ的终边在横轴上，±■，±■，±■等的终边在纵轴上，利用“纵变横不变”确定函数名。
三、重视三角函数的性质，注重性质学习上的微小改变
学生在学习y=sinx与y=Asin（？棕x+？渍）的图象性质时会混为一谈，会把y=sinx中的x与y=Asin（？棕x+？渍）中的x当成是同一个，在求单调区间等问题时常出现错误。因而我在教学中做了一个改变：学习三角函数性质时，把三角函数写成了：y=sinα，y=cosα与y=tanα，这样建立的关系是α与y的对应关系，在横轴上也写成α 轴。这样我们在研究y=Asin（？棕x+？渍）的有关性质时，把？棕x+？渍看作 α来研究，然后再求出x的值或范围。
四、重视正弦函数的五个相位与y=Asin（？棕x+？渍）和x轴交点横坐标的关系
三角函数y=sinα的图象中，在一个周期内把第一个上升的零点作为第一相位点0，以此类推，分别得出第二到第五相位点■， π，■，2π。
在y=Asin（？棕x+？渍）（A>0）的一个周期内的图象和上述相比较可得出如下结论：
利用这些关系能够很快从图象中求出？棕和？渍的值。
五、重视三角公式中和、差、倍角公式的逆用
许多三角习题都要进行公式的逆用，而公式的逆用又是学生最不擅长的，从而给学习造成了许多困难。公式的逆用主要有：
（1）由和差角公式得出的辅助角公式：asinx+bcosx=■sin（x+？渍），其中？渍角的确定是学生最容易出错的，因而在教学中要求学生不能贪快，在书面表达上要写出：asinx+bcosx=■（■sinx+■cosx）=■sin（x+？渍），这样利用cos？渍=■，或sin？渍=■或tan？渍=■从而求出锐角？渍的值。还要要求学生熟记■，■，■的正、余弦值。
（2）由倍角公式得出的降幂公式：sinxcosx=■sin2x，sin2x=■，cos2x=■。这些公式的正确运用是做好三角化简题的前题，在三角复习中要多加强调与练习。
一、 “给角求值”
一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察则非特殊角与特殊角总有一定的关系。解题时，要利用观察得到的关系，结合三角关系转化为特殊角，并且求出特殊角的三角函数而得解。
点评本题中“切化弦”是解题的关键，它为逆用
和角公式铺平了道路，然后通过对角的合理变换，将其转化为特殊角的三角函数值的求解问题。
二、 “给值求值”
给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。
点评化未知角为已知角的思考，抓住了问题的本质是函数值与自变量之间的最基本的对应关系，而不是“变角”技巧。同时，在求解三角函数值时，一方面要注意角的取值情况，切勿出现增根，另一方面要关注角与角之间的关系。通过应用整体法来处理各个角，以减少问题的运算量。
三、 “给值求角”
实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含有已知角的式子表示，由所得的函数值结合该自变量的取值范围求得角。
求“动点轨迹的方程”是解析几何部分的重点和难点，我们要求学生在解答时要注意完备性与纯粹性。完备性即轨迹上一个点也不能漏掉；纯粹性即轨迹上一个点也不能增加。让很多学生头疼的是，最后求出来的曲线方程是否符合完备性和纯粹性？方程后面有没有附加条件？怎样做可以避免这类问题的错误？我们就学生作业中出现的问题来谈一谈如何有效地去掉动点轨迹中多余的点。
下面是两道学生作业题中出现的问题：求出一个轨迹方程便结束，以为完成了所有解答，却不知还有多余的点要去除。
例1 苏教版选修2-1第64页第3题：
已知动抛物线的准线为y轴，且经过点A（1，0），求抛物线焦点的轨迹方程。
学生解
设焦点为F（x，y），
由抛物线定义得AF=d=1，
代入坐标得（x-1）2+y2=1。
分析 本题的题设描述的是抛物线的焦点、准线和抛物线上一点的关系，使用定义可以建立几何等式，进一步得到代数等式，但是在使用抛物线定义时，要注意焦点不在准线上，所以本题还需要添加如下过程：
因为焦点F不在准线y轴上，所以x≠0，
所以焦点的轨迹方程为（x-1）2+y2=1，其中x≠0。
例2 苏教版选修2-1第64页第4题：
在求轨迹方程时，很多往往算出一个方程便结束，出现作业题“对而不全”的情况，求动点轨迹如何去掉多余的点，总结起来应注意以下几种情况：
1. 有些题目中含有已知曲线，如椭圆、双曲线、抛物线，它们的定义中都有附加条件，解题时要根据曲线的定义来考虑完备性和纯粹性，如例1；
2. 利用三角形的三点不共线，去掉多余的点，如例2；
1.《三角函数》在中学数学中的地位
《三角函数》是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究的方法主要是代数的研究方法，因此，三角函数的学习已经初步把代数和几何联系起来了.《三角函数》知识是在幂函数、指数函数、对数函数之后进行研究学习的，而对于人教版数学必修一第一章的内容，学生因为没有适应高中的学习环境，对新的知识、新的学习方法掌握得不是很好，《三角函数》的学习有利于学生进一步理解研究函数的思想和方法.
2.《三角函数》的教材编排
中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段.在义务教育第三学段，主要研究《锐角三角函数》和《解直角三角形》的内容.在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程.
3三角函数重点知识的教学讨论
“三角函数”的内容，主要是任意角三角函数的概念、三角函数诱导公式以及三角函数图像与性质三方面的知识，掌握好这些基础知识，是三角函数应用的基础，是学习其它知识的奠基.
3.1“任意角的三角函数”的概念教学
任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义.它是本节乃至本章的基本概念，是学习其它与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要作用.解决这一重点的关键，是引导学生学会用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示三角函数.
在本节课的教学过程中，最重要的是引导学生回顾初中时学习的锐角三角函数的定义，从原有的认知基础出发，来认识任意角的三角函数的定义.引导学生在直角坐标系中讨论，用坐标法研究锐角三角函数，进一步讨论改变终边上的点的位置是否改变其比值.在得出结果之后，再引导学生思考，逐步引入单位圆，利用单位圆定义任意角的三角函数，此时再结合"任意角和弧度制"中的相关知识.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.在给出三角函数的定义之后，使学生明确sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f（x）表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等式是没有意义的.根据三角函数可以看成是自变量为实数的函数，进而引导学生讨论函数的定义域、函数值等问题，同时引导学生根据定义，利用数形结合的方法判断三种函数的值在各象限的符号.利用单位圆以及三角函数线知识，推导出同角三角函数的基本关系式：.
任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点.无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质等，都具有重要的意义.
3.2“三角函数的诱导公式”的应用教学
3.3“三角函数的性质与图像”的重点教学
三角函数的图像和性质（定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）是三角函数的重点.教材中主要学习正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质，要求学生熟练掌握三角函数图像的形状特征，并能在图像直观下研究函数的性质.教师在教学过程中利用信息技术工具（如几何画板），快捷地作出三角函数的图像，利用动态演示功能，帮助学生发现图像的特点，观察函数变化的过程，运用数形结合的方法研究三角函数的性质，反过来再根据性质进一步地认识函数的图像，使学生认识及运用三角函数的性质.
在讨论过正弦函数的图像之后，再结合图像总结正弦函数的性质.由于在这之前学生已经学习了指数函数、对数函数的性质，因此可以根据类似的思想讨论正弦函数的性质，得出正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，及其奇偶性、单调性.
其次是余弦函数图象与性质.如同正弦函数图像，利用余弦线作余弦函数图像比较复杂，因此根据教材的建议，在作出正弦曲线的基础上，利用诱导公式六，通过图像变换得出余弦曲线.使学生加强正弦函数与余弦函数的联系，为学生提供通过图像变换作出函数图像的机会，渗透数形结合思想.接下来的讨论可以根据研究正弦函数图像的方法，包括对余弦函数性质的探讨.
《锐角三角函数》是浙教版《数学》九年级下册第一章的首节内容。锐角三角函数反映了直角三角形中边角之间的关系，它在解决实际问题中起着重要的作用。这节课的教学要使学生进一步体会比和比例、图形的相似、推理证明等数学知识之间的联系，经历从特殊到一般的探究过程，体会数形结合的方法，为学习锐角三角函数、利用锐角三角函数解决实际问题奠定基础。
二、学情分析
从学生的年龄特征和认知特征来看，九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。
从学生已具备的知识和技能来看，九年级学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有较强的推理证明能力。在这节课之前学生已经学习了一次函数、反比例函数、二次函数，对函数有了较深的了解。
三、教学目标
这节课的教学目标为：经历锐角的正弦、余弦和正切的探索过程，了解三角函数的概念；掌握正弦、余弦和正切的符号，会用符号表示一个锐角的三角函数；掌握在直角三角形中，锐角三角函数与边之比的关系；了解锐角的三角函数值都是正实数，会根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值。
四、教学重点、难点
这节课的教学重点是：锐角的正弦、余弦、正切和锐角三角函数的概念。教学难点是：锐角三角函数的概念。
五、教学过程
（一）情景引入
问题一：甲、乙两个登山队在两个倾斜角不同的斜坡上都步行了150米（如图1），请问哪个队登得高？它与什么有关？
问题二：沿同一斜面运动时，在斜面上所经过的距离和水平方向、铅直方向经过的距离与斜面的倾斜角之间有什么关系？
问题三：如图2，在上述过程中，请计算BC∶AB的值，你发现了什么？
【结论】在直角三角形中，当∠A=30°时，BC∶AB是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关。
（二）实施任务一：探索新知
1.如图3，在边AM上任意取一点B，作BCAN于点C。用刻度尺先量出AB、AC、BC的长度（精确到1毫米），再计算、、的值，与你的同伴交流，你发现了什么？（结果保留2 个有效数字）
2.如图4，B，B1是∠α一边上的任意两点，作BCAC于点C，B1C1AC1于点C1. 判断比值与，与，与是否相等，并说明理由。
教学组织：自主学习6分钟；小组合作交流3分钟；学生展示；教师点评总结，并举例示范。
【设计意图】通过情景中的三个问题引导学生经历从特殊到一般的探究过程，从而引出三角函数的定义。举例示范可以帮助学生及时得出三角函数的定义。
（三）实施任务二：应用新知
如图5，在RtABC中，∠C=Rt∠，AC=2，BC=3. 求：
（1）sinA，cosB；
（2）cosA，sinB；
（3）观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么？请说明理由。
（4）请探索tanA，tanB之间的关系。
教学组织：自主学习5分钟；学生展示。
【设计意图】课堂检测三角函数的定义掌握情况，由定义发现结论，并学会用定义去证明新的结论。
（四）实施任务三：拓展提升
如图6，在RtABC中，∠C=Rt∠，CDAB，sinA=，求cosA和tan∠BCD。
教学组织：自主学习5分钟；学生展示。
【设计意图】拓展提升，活化能力，能理解三角函数的定义，并运用定义求三角函数的值。
（五）课堂小结
在本节课中，我们――
1.学习了一个重要概念：锐角三角函数；
关键词：数形结合;三角函数;数学模式
数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。”数形结合就是指把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，是抽象思维和形象思维的结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。
高中数学课程中，三角函数这一章节一直是学生学习的难点，公式太多、计算结果正负号的确认、比较三角函数值大小等均是学生头疼的地方。很多学生学习这些知识时处于模糊状态，做题几乎靠蒙。究其原因，因为学生不会画或者没记住三角函数的图像。下面我们利用数形结合的思想，通过三角函数的图像解决这节知识所包含的一些问题。
一、三角函数公式的记忆（以正弦函数举例）
下面是正弦函数的几个相关公式：
sin（α+2kπ）=sinα（k∈Z）（1） sin（-α）=-sinα（2）
sin（π-α）=sinα （3） sin（π+α）=-sinα（4）
我们通过图像来帮助记忆，y=sinx x∈[0，2π]的图像如下：
图1 图2
通过图1可知，函数y=sinx是周期函数，且周期T=2π，所以公式（1）就可以理解了。
通过图2可知，若α为第一象限角，则sinα>0;此时-α为第四象限角，由图像可知对应的正弦函数值为负。
即sin（-α）<0。要实现等式“sin（-α）=？sinα”，显然可知等式左边为正，右边为负，为了满足等式成立的要求，“？”处只能为“-”，即公式（2）sin（-α）=-sinα。
同理可知，π-α为第二象限角，且由图像可知sin（π-α）>0，要实现“sin（π-α）=？sinα”，“？”处只能为“+”，即公式（3）sin（π-α）=sinα;π+α为第三象限角，且由图像可知sin（π+α）=
？sinα，要实现，“？”处只能为“-”。
二、三角函数值正负号的确认（以正弦函数举例）
图3 图4
三、不求值比较三角函数的大小（以正弦函数举例）
在三角函数这一章节中，经常出现这样一类问题：“不求值比较三角函数的大小”。这类问题是本章节学习的一个难点，学生一直在“>”与“<”之间随机选择，找不到解题的切入点。
