时间：2023-06-02 09:22:54
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇函数最值的应用，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
中图分类号：F12 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2014）31-0005-02
一、二元函数的最大值与最小值
求函数f（x，y）的最大值和最小值的一般步骤为：
（1）求函数f（x，y）在D内所有驻点处的函数值;（2）求f（x，y）在D的边界上的最大值和最小值;（3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。
在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数f（x，y）的最大值（最小值）一定在D的内部取得，而函数f（x，y）在D内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数f（x，y）在D上的最大值（最小值）。
二、二元函数的最值在经济中的应用
例1 设q1为商品A的需求量，q2为商品B的需求量，其需求函数分别为q1=16-2p1+4p2，q2=20+4p1-10p2，总成本函数为C=3q1+2q2，其中p1，p2为商品A和B的价格，试问价格p1，p2取何值时可使利润最大？
解 按题意，总收益函数为：
R=p1q1+p2q2=p1（16-2p1+4p2）+p2（20+4p1-10p2）
于是总利润函数为
L=R-C=q1（p1-3）+q2（p2-2）
=（p1-3）（16-2p1+4p2）+（p2-2）（20+4p1-10p2）
为使总利润最大，求一阶偏导数，并令其为零：
=14-4p1+8p2=0
=4（p1-3）+（20+4p1-10p2）-10（p2-2）
=28+8p1-20p2=0
由此解得p1=63/2，p2=14，又因
（L"xy）2-L"xx・L"yy=82-（-4）（-20）<0
故取p1=63/2，p2=14价格时利润可达最大，而此时得产量为q1=9，q2=6。
例2 在经济学中有个Cobb-Douglas生产函数模型f（x，y）=
cxαy1-α，式中x代表劳动力的数量，y为资本数量（确切地说是y个单位资本），c与α（0<α<1）是常数，由各工厂的具体情形而定，函数值表示生产量，现在已知某制造商的Cobb-Douglas生产函数是f（x，y）=100x3/4y1/4每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元，该制造商的总预算是50 000元，问他该如何分配这笔钱用于雇用劳动力与资本，以使生产量最高。
解 这是个条件极值问题，求函数f（x，y）=100x3/4y1/4在条件150x+250y=5 000下的最大值。
令L（x，y，λ）=100x3/4y1/4+λ（50 000-150x-250y），由方程组
Lx=75x-1/4y1/4-150λ=0Lx=25x3/4y-3/4-250λ=0Lx=50 000-150x-250y=0
中的第一个方程解得λ=x-1/4y1/4，将其代入第二个方程中，得
25x3/4y-3/4-125x-1/4y1/4=0
在该式两边同乘x1/4y3/4，有25x-125y=0，即x=5y。将此结果代入方程组的第三个方程得x=250，y=50，即该制造商应该雇用250个劳动力而把其余的部分作为资本投入，这时可获得最大产量f（250，50）=16 719。
例3 设销售收入R（单位：万元）与花费在两种广告宣传的费用x，y（单位：万元）之间的关系为
利润额相当于五分之一的销售收入，并要扣除广告费用.已知广告费用总预算金是25万元，试问如何分配两种广告费用使利润最大？
解 设利润为z，有
限制条件为x+y=25，这是条件极值问题，令
L（x，y，λ）=-x-y+λ（x+y-25）
从而
Lx=-1+λ=0，Ly=-1+λ=0
整理得
（5+x）2=（10+y）2
又y=25-x，解x=15，y=10。根据问题本身的意义及驻点的唯一性即知，当投入两种广告的费用分别为15万元和10万元时，可使利润最大。
例4 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c，每台电视机的销售价格为p，销售量为x。假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量，根据市场预测，销售量x与销售价格为p之间有下面的关系：
x=Me-ap （M>0，a>0） （1）
其中M为市场最大需求量，a是价格系数。同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c有如下测算：
c=c0-klnx （k>0，x>1） （2）
其中c0是只生产一台电视机时的成本，k是规模系数，根据上述条件，应如何确定电视机的售价p，才能使该厂获得最大利润？
解 设厂家获得的利润为u，每台电视机售价为p，每台生产成本为c，销售量x，则u=（p-c）x。
于是问题化为利润函数u=（p-c）x在附加条件（1）、（2） 下的极值问题。
利用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数：
L（x，p，c，λ，μ）=（p-c）x+λ（x-Me-ap）+μ（c-c0+klnx）
令Lx=（p-c）+λ+kμ/x=0，Lp=x+λaMe-ap=0，Lc=-x+μ=0
将（1）代入（2），得c=c0-k（lnM-ap） （3）
由（1）及Lp=0知λa=-1，即λ=-1/a （4）
由Lc=0知x=μ，即x/μ=1
将（3）、（4）、（5） 代入Lx=0，得
p-c0+k（lnM-ap）-1/a+k=0
由此得p*=
由问题本身可知最优价格必定存在，故这个p*就是电视机的最优价格。
参考文献：
关键词：数列；数列最值；函数性质关系；导数求最值；均值定理求最值；巧妙转化
中图分类号：G633.6 文献标志码：A？摇 文章编号：1674-9324（2014）07-0245-02
数列在高中数学中可以说是“叱咤风云”，具有深刻的内涵与丰富的外延，在应用中显示出独特的魅力和势不可挡的渗透力.从近几年新课标高考来看，数列的考查逐渐趋向于简单化，但是数列求最值，却成了高考命题的热点，也成了联系数列与函数单调性、导数应用、不等式求解等知识交汇题型的纽带.本文主要谈谈数列求最值的几个常规解法，供读者参考.
一、均值定理求数列中项的最值
例1 （2013届闵行区二模）公差为d，各项均为正整数的等差数列{an}中，若a1=1，an=73，则n+d的最小值等于（？摇？摇）.
解：Q a1=1，an=73，d=■，d+n=■+n=■+（n-1）+1，n=9时，n+d取最小值18.
点评：利用式子特征构造均值定理应用环境，适用于所求式子为齐次分式，或分子分母一、二次能分离的，可以构造均值定理的数列求最值问题.
【变式1】设a1，a2，…，a2007均为正实数，且■+■+…+■=■，则a1a2…a2007的最小值是（？摇？摇） .
解：设xi=■，则ai=2・■，且■xi=1，所以a1a2…a2007 =22007・■・（x2+x3+…+x2007）・（x1+x3+…+x2007）…（x1+x2+…+x2006）≥22007・■・2006・■・2006・■…2006・■22007・20062007=40122007
二、函数性质法求解数列最值
例2 （2013江苏理14题）在正项等比数列{an}中，a5=■，a6+a7=3，则满足a1+a2+L+an>a1a2Lan的最大正整数n的值为 .
解：a5=■，a6+a7=3，a5q+a5q2=3，q2+q-6=0，Qq>0， q=2，an=2n-6，Qa1+a2+a3+…+an>a1a2a3…an，2n-5-2-5>
2■，2n-5-2■>2-5>0，n-5>■， ■
解法二：设等比数列{an}的公比q，则q>0，根据题意得a5=a1q4=■a5+a7=a1q4（q+q2）=3，化简得q2+q-6=0，解得q=2或q=-3（舍），a1=2-5，又QSn=■=2-5（2n-1-1）a1・a2・…・an=a1n・q1+2+3+…+n-1=（2-5）n2■，又Qa1+a2+…+an>a1・a2・…・an，所以2n-1-1>2■，将n=1，2，3，…带入验证发现n≥13时上述不等式成立.故n取最大整数12.
点评：数列是特殊的函数，若其通项或前n项和有明确的函数解析式时，一般考虑用函数的单调性质求取最值，但要注意自变量n的取值范围.一般情况下用作差或作商来证明单调性求解，有时也用导数来证明.本题易忽视公比的取值范围而致错，对指数幂的运算性质不熟也会导致错误.
【变式2】已知数列{an}满足an=■-■，数列{an}的最大项为 .
解：（作商法求单调性）an=■，■=■n∈N*，■+■a3>L>an>an+1>L数列{an}有最大项，最大项为第一项a1=■-1.
三、导数法在数列求最值当中的应用
例3 [2013新课标Ⅱ卷（理）]等差数列{an}的前n项和为 Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为 .
解：由已知得：Sn=■n（n-10），设f（n）=nSn=■（n3-10n2）f '（n）=n（n-■），靠近极小值点n=■的整数为6和7，代入f（n）计算得n=7时f（n）最小，最小值为49.
点评：导数法求数列最值，一般用于所求解析式是高次，或作商和作差不好判断单调性的题型，是利用函数性质求数列最值的一种特况，作为研究数列和函数的桥梁，使问题解决便捷.
【变式3】 （2013年浙江省高中数学竞赛试题解答）数列{■}，n=1，2，L，则数列中最大项的值为（ ？摇）.
解：f（x）=x■=e■？圯f'（x）=■（1-lnx）？圯x=e为极大值点，即数列最大项■.
四、数列特性法求解最值
例4？摇（2011北约13校自主选拔）在等差数列{an}中，a3=-13，a7=3，数列{an}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的最小项，并指出其值为何.
解：因为a3=-13，a7=3，所以d=4，所以an=4n-25，
法一：由an=4n-25≤0an+1=4（n+1）-25>0得■
法二：由Sn=■=2n2-23n=2n-■■-■，所以当n=6， （Sn）min=S6=-66.
【关键词】函数；导数；最值
一、研究函数最值的实际意义
在生产实践及科学实验中，常遇到“最好”，“最省”，“最低”，“最大”和“最小”等问题。例如质量最好，用料最省，效益最高，成本最低，利润最大，投入最小等等，这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题。函数最值问题在很多学科领域内有着重要的应用，科学研究、航天航空、计算机编程等，在现代经济领域尤为重要，在市场经营活动中，企业总是千方百计地挖掘生产潜力，希望在生产能力许可的条件下，用最低的生产成本达到最大利润，要想做到这一点，关键是管理。而将数学中最值问题应用到企业管理中，能使管理更具科学性、有效性。
二、怎样由实际问题求最值
（1）建立目标函数。（2）求最值；若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最值。
三、由实际问题求最值应用举例
例1：敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？
解：（1）建立敌我相距函数关系。
设t为我军从B处发起追击至射击的时间（分）。
敌我相距函数s(t) s(t)=■.
（2）求s=s(t)的最小值点。
st(t)=■令st(t)=0
得唯一驻点t=1.5。
故：我军从B处发起追击后15分钟射击最好。
例2：某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去。当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费。试问房租定为多少可获得最大收入？
解：设房租为每月x元，租出去的房子有50-(■)套，每月总R(x)=(x-20)(50-■)，Rt(x)=(68-■)+(x-20)(-■)=70-■，
Rt(x)=0=>x=350（唯一驻点）。故每月每套租金为350元时收入最高。
最高收入为：R(x)=(350-20)(68-■)=10890（元）。
由此，若f(x)在定义域上取到最大（小）值，现给出求f(x)在区间I上的最大（小）值办法：
（i）求出f(x)在Ⅰ上的所有驻点不可导点和端点。
（ii）求出f(x)在这些点上的函数值，再进行比较：最大（小）者即为所求的最大（小）值。
参 考 文 献
[1]张代远．神经网络新理论与方法[M]．北京：清华大学出版社，2006：12～15
【关键词】三角复合函数；分解函数法；中学教学
三角函数形成的复合函数的最值的探究是历年高考命题的一个热点，笔者认为：若y是x的复合函数求最值，首先可引入中间变量，写出组成复合函数的基本函数，即把复合函数分解为几个基本函数；其次由x的取值范围求出中间变量的取值范围，由中间变量的取值范围求出y的取值范围；最后根据y的取值范围直接写出原函数最值.这种求其复合函数最值的方法简单易行，笔者把它命名为分解函数法.
例1（2014・天津）已知函数f（x）=cosx・sinx+π3-3cos2x+34，x∈R.
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间-π4，π4上的最大值和最小值.
解f（x）=cosx・sinx+π3-3cos2x+34=cosx・12sinx+32cosx-3cos2x+34
=12sinxcosx-32cos2x+34=14sin2x-34cos2x=12sin2x-π3.
（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=2π2=π.
（Ⅱ）设y=12u，u=sinv，v=2x-π3，
因为-π4≤x≤π4，所以-5π6≤v≤π6，从而-1≤u≤12，于是-12≤y≤14，
因此，f（x）在闭区间-π4，π4上的最大值为14，最小值为-12.
点评在（Ⅱ）中，求三角函数形成的复合函数f（x）的最值时，引入了中间变量u，v
把复合函数最值问题转化为三个基本函数的值域问题加以解决.这种方法充分体现了数学的简洁美、奇异美及转化思想，具有很强的操作性.
例2（2014・江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈-π2，π2.
（Ⅰ）当a=2，θ=π4时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）若fπ2=0，f（π）=1，求a，θ的值.
解（Ⅰ）当a=2，θ=π4时，
f（x）=sinx+π4+2cosx+π2=22（sinx+cosx）-2sinx=22cosx-22sinx=sinπ4-x
设y=sinu，u=π4-x，
因为0≤x≤π，所以-3π4≤u≤π4，于是-1≤y≤22，
因此，f（x）在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为-1.
（Ⅱ）由θ∈-π2，π2，得cosθ≠0，
由fπ2=0，得cosθ（1-2asinθ）=0，1-2asinθ=0，即sinθ=12a，①
由f（π）=1，得2asin2θ-sinθ-a=1，②
联立①②，结合a∈R，θ∈-π2，π2，解得a=-1，θ=-π6.
点评该例（Ⅰ）中，函数f（x）实际上是三；角函数形成的复合函数，求其最值时，采
关键词： 初中数学教学 最值问题 思维误区 知识整合
一
“最值”指变量在某一变化过程中取得的最大值或最小值.在新课标中，最值问题是初中数学的重要内容，在日常生活中有着广泛的应用，如最大利润问题、最大面积问题、最低运费问题等.最值问题包括函数最值问题、不等式最值问题和几何最值问题等；在函数最值问题中，有二次函数最值、一次函数最值和反比例函数最值问题.
对于二次函数y=ax+bx+c，当a>0时，它的图像开口向上，图像存在最低点，二次函数有最小值，最小值是顶点的纵坐标的值；当a
（一）忽略了自变量取值范围的限制.
在一个二次函数中，当自变量是全体实数时，顶点的纵坐标是这个函数的最大值或最小值.但当自变量的取值范围不是全体实数时，函数的图像是抛物线的一部分，顶点不一定落在部分的抛物线上.这时，以顶点的纵坐标作为所求的最值就不一定正确了.因此，求二次函数的最值，必须考虑顶点的横坐标是否落在自变量的取值范围内，否则会出现错误的结论.
例1：已知二次函数y=x2-2x-3，在2≤x≤3的范围内求这个二次函数的最大值或最小值.学生往往会盲目地求出二次函数图像的顶点坐标（1，-4），然后得出结论：因为a>0，所以二次函数有最小值，最小值是-4.这个的结论显然是错误的.其实在2≤x≤3范围内函数的图像在对称轴x=1的右侧，且y随x的增大而增大，故当x取最小数值2时，y的值最小为-3；当x取最大数值3时，y的值最大为0.事实上，在很多实际问题中，自变量往往受实际意义的限制，只能在某一范围内取值.因此，求二次函数的最值必须关注自变量取值范围对最值的影响，当顶点不在自变量取值范围内时，必须利用函数的增减性，以自变量取值范围中端点的函数值确定所求的最值.
（二）忽略了a的符号对最值的影响.
在某些问题中，建立起来的二次函数存在某一种最值，但要求的可能是另一种最值，因此不能盲目地用顶点纵坐标求最值，而应根据函数的增减性及自变量的取值范围确定.
例2：如图，正方形ABCD的边长为4，P是BC边上的一个动点，QPAP交CD于Q，设PB=x，ADQ的面积为y.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当点P运动到什么位置时，ADQ的面积最大？
（三）忽略了其他函数在某一条件下存在最值.
在一次函数y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k
例3：某报刊销售亭从报社购进某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以每份0.2元的价格退回报社.在一个月内（以30天计算），有20天每天可以卖出100份，其余10天只能每天卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须都相同.若报亭每天从报社订购报纸的份数为x（份），每月所获得利润为y（元）.
（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）报亭应该每天从订购多少份报纸，才能使每月获得利润最大？最大利润是多少？
由题意可建立y与x的函数关系：y=0.3（20x+10×60）-0.5×10（x-60），即y=x+480.学生往往没有注意到自变量的取值范围，认为该函数不存在最值，因而无从下手.事实上由题设可知，自变量的取值范围为60≤x≤100，且x为正整数，由于y随x的增大而增大，故当x取最大数值100时，对应的y值最大，最大利润为580元.
例4：某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：
（1）根据表中数据猜测并确定y与x之间的函数关系式；
（2）设经销此贺卡的销售利润为w元，试求w与x之间的函数关系式.若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
例5：在平面直角坐标系中，已知A（-2，-4），B（-1，-2），点P在y轴上，且PA+PB的值最小，求点P的坐标.
如图，联想在直线上到直线同侧两点距离和最小的点的作法，作出点A关于y轴的对称点A′，求出直线A′B的函数表达式，再求出直线A′B与y轴的交点的坐标即为所求.这里，利用对称性质把PA转化，构造三角形两边和大于第三边的不等模型，当点P落在这一特殊位置上时，PA+PB的值最小.
二
那么，如何引导学生走出最值问题思维的误区呢？下面我谈谈在教学中的做法.
（一）引导多方思考，加强知识联系.
最值问题，涉及知识面广，解题方法灵活.出现以上误区，原因之一在于思维定势的负面效应，原因之二在于学生思维比较狭窄.因此，教学中应对一般二次函数的最值问题与其他最值问题进行比较，让学生明确在什么情况下，可直接由二次函数的顶点坐标求最值；什么情况下，需借助函数增减性并利用自变量取值范围求最值；什么情况下，需构造不等模型求最值.对生活中的函数问题、图形中的函数问题，引导学生关注自变量的取值范围，关注函数的增减性，加强相关知识的联系，培养学生思维的广阔性.
（二）借图像识增减，提高思维效率.
生活及图形中的函数最值问题，往往与函数自变量取值范围（函数的有界性）及函数的增减性有关，这些从函关系式上理解比较困难，借助图像观察，往往一目了然.因此，在教学中，应通过引导学生对图像的观察，加深对函数有界性和增减性的理解，从中发现函数的变化规律，在加深函数认识的过程中去发现函数的最值，培养学生思维的独创性.
（三）通过动态演示，发现不变规律.
一、利用导数的几何意义研究函数间的距离等问题
函数y=f（x）在点x0处的导数f ′（x0）表示曲线y=f（x）在该点处切线的斜率．如果曲线y=f（x）在点x0处可导，则曲线y=f（x）在点（x0，f ′（x0））处的切线与法线的方程为：y－y0=f ′（x0）（x－x0）．
例1．（2012年高考浙江卷理，16）定义：曲线C上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋（y＋4）2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝______________．
【评析】
导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，从而利用导数可求曲线y＝f（x）的切线，并进一步将导数融合到函数与平面几何的交汇问题中．
二、利用导数研究函数与线性规划交汇的问题
线性规划除解决实际问题外，它还能“以形助数”把抽象的符号语言转化为直观的图形语言，并借助“形”的几何直观性来阐明“数”的抽象性，因而兼有数的抽象和形的直观，从而体现了数学的应用性、工具性特点．
例2.（2012年高考陕西卷理，14）设函数f（x）＝lnx，x>0-2x-1，x≤0， D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x-2y在D上的最大值为 ．
【评析】
本题以分段函数为载体，利用导数求切线方程、简单线性规划问题，考查综合应用知识解决问题的能力．
三、利用导数研究函数与方程（零点）交汇的问题
利用导数性质分析函数零点是近年来高考命题的热点题型，其实质上就是对函数极值、最值知识掌握应用情况的进一步考查．
例3．（2012年高考福建卷文，22）已知函数f（x）＝axsinx-■（a∈R）且在［1，■］上的最大值为■．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明．
【分析】
当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该等式恒成立，从而把函数最值问题转化为恒成立问题，而利用导数求函数最值是解决恒成立问题的一种重要方法．零点个数的判定主要是依据零点存在定理．
【评析】
给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式．在此类含参问题的求解过程中，逆向思维的作用尤为重要．
四、利用导数研究函数与数列交汇的问题
数列作为实质意义上的函数，利用导数研究数列的单调性及最值问题比用传统方法更为简便.在解决导数背景下的数列问题时，充分利用函数性质和目标式的结构特点，仔细观察，大胆尝试，就一定能找到数列与函数式之间的联系，为成功解题找到合理方法．
例4.（2012年高考四川卷理，22）已知a为正实数，n为自然数，抛物线y=-x2＋■与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）略；
（Ⅲ）当0
【分析】
本题第（Ⅰ）问较基础常规，而第（Ⅲ）问貌似不等式问题，但其实质还是函数问题，我们可以借助函数的图象和性质，比较直观地从几何的角度来判断两者的大小问题．
【评析】
本题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力．主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次地考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法．
五、利用导数研究函数与不等式交汇的问题
证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想的重要性．由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最值的研究，经历某些代数变形，得到待证明的不等式．
例5．（2012年高考辽宁卷文，21）设f（x）＝lnx+■-1，证明：
（Ⅰ）当x＞1时，f（x）＜■（x－1）；
（Ⅱ）当1＜x＜3时，f（x）＜■.
【分析】
本题可直接由所证不等式构造函数，讨论其单调性、最值，从而达到证明不等式的目的．
【评析】
证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的不等式通过构造函数转化为f（x）>0（或f（x）
【关键词】高等数学；最值；翻转课堂
翻转课堂起源于美国科罗拉多州落基山“林地公园”高中的乔纳森・伯尔曼和亚纶・萨姆斯这两位化学老师，他们将结合实时讲解和PPT演示的视频上传到网络而引起众人关注[1]。2011年，萨尔曼・可汗在《用视频重新创造教育》演讲中提到：现阶段很多的学生都在家观看可汗学院的教学视频然后回到课堂上做作业，遇到不懂的问题向老师和学生请教，很显然这与我们传统的教学模式正好相反，我们将这种教学形式称之为“翻转课堂”。自此，翻转课堂成为教育者关注的热点，迅速蹿红美国，并影响全球，成为全世界最热门的教育改革和教育创新话题。被比尔・盖茨认为“预见了教育的未来”，被加拿大《环球邮报》评为2011年影响课堂教学的重大技术变革。
翻转课堂利用信息技术手段颠覆了传统的教学顺序和师生关系，让学生成为课堂的主人，实现了课堂内外一体化，教与学相互辅助，师生相互对话进行教学。下面以高等数学中函数的最值一节为例，论述了如何将翻转课堂的教学理念融入到课堂教学中。
1 课前准备阶段
1.1 教师活动
第一，明确教学目标，本节课我们的教学内容是导数应用中最值一节，最值是高中阶段学生就学习过的知识，在这里重点是让学生掌握最值的一般求法，以及利用最值理论解决简单的实际问题。
第二，录制教学视频，视频要求短小精悍，时长不超过15分钟。其中重点讲解最值的求法这一部分，包括最值的概念，最值和极值的区别以及联系等等，这些基本概念学生可结合中学阶段所学自行完成。
1.2 学生活动
观看教学视频，在观看教学视频的过程中，学生遇到不懂的地方可以做笔记，把自己不懂的问题带到课堂，这样学生可以完全掌控自己学习的步调。
2 课中教学活动阶段
2.1 完成作业，检验效果
针对最值这节需要掌握的基本概念和方法提出问题，让学生独立完成，检验课前的学习效果。
问题一：最值和极值的区别？
问题二：最值和极值的联系？
问题三：闭区间上连续函数最值的求法和一般步骤？
问题四：任意区间上函数最值求法的特殊结论？
学生知识结构的内化需要经过学生独立的思考，而教师只能从方法上引导学生，而不能代替学生完成学习。通过以上问题，与学生一起总结出本节课重点：
（一）最值是整体概念，而极值是局部概念，极值是局部范围的最值，在整个范围上是最值的话，从局部范围看，也一定是最值。所以说极值点一定是可疑的最值点，而最值点也可能在区间端点取到。
（二）闭区间上连续函数求最值的一般步骤：第一，明确函数定义域；第二，找可疑最值点，主要是找驻点和不可导点，驻点不可导点又可通过导数找，所以先求导数，导数为0的点是驻点，而使它没有意义的点通常为不可导点，明确区间端点；第三，计算可疑最值点处的函数值，比较得到最值。
（三）特殊结论：定义在任意区间上的函数如果在区间内部可导，并且有唯一驻点，此时如果能够判断出驻点是极值点的话，它就一定是最值点。
2.2 合作交流，深度内化。
提出具体案例，让学生进行分组讨论。
案例[2]：证明折射定律：根据物理学的费马原理，光线沿着所需时间为最少的路径传播。今有两种介质Ⅰ，Ⅱ，以L为分界线。光线在介质Ⅰ与介质Ⅱ中的传播速度分别为v1与v2，验证光线由介质Ⅰ中的点 A行进到介质Ⅱ中的B点用时最少的路径满足■=■，其中？琢、？茁分别表示入射角和折射角。
利用最值原理，建立数学模型，进行求解。通过此环节充分调动学生学习数学的主动性，改变学生拙于交流和表达自己的思想、疏于与人合作的现象，培养学生的创新能力，促进学生的创造性思维，提高学生的创新意识。翻转课堂最大的特点之一在于创设了对话式的教学环境和教学平台，运用对话式教学方法。只有师生之间不断通过对话合作探究才可能推动课堂教学情境的发展，教师既要有强烈的倾听意识，又要能够巧妙地引导学生主动发言展示成果或者提出自己的见解和看法，让其他同学提问、争论解答疑惑或者组织小组讨论，在小组讨论的基础上再进行集体讨论，鼓励学生大胆发言、自由争辩，在争辩中产生思想的碰撞，在思想的交流和碰撞中解决问题，建构知识。
3 课后总结阶段
首先由几个小组的学生代表总结本次课程的收获及已解决的疑难点[3]。教师针对各个小组出现的问题将重点问题与重点知识集中讲授，对整节课的知识进行系统化梳理，引起学生注意，并对课程学习过程进行总结。
折射定律这个案例使同学们体会到了最值理论在光学上的应用，事实上，最值理论的应用非常广泛：
案例1：在两种地质层中铺设煤气管道，由于不同地质层每千米的铺设费用不同，请寻找费用最省的铺设方案。
案例2：我们在超市中经常见到这样的罐装饮料，很多都使用的是圆柱形金属罐，商家为了减少成本的投入，一定要考虑，当圆柱形罐的容积一定时，怎样设计才能使所用的材料最省呢？
对于这两个小例子，每个讨论小组任选其一，通过建立数学模型，利用我们这节课学习的最值理论找到解决的方案。在教学中我们经常遇到学生反映，数学太枯燥了，学数学有什么用呢？通过最值理论在不同方面的应用，缩短了数学与专业的距离，数学与生活的距离，努力将学生感兴趣的话题或者时下热点问题融入到课堂教学中，消除学生对数学的神秘感和恐惧感。
翻转课堂的教学理念是以学生为中心，学生是课堂的主人，把传统的“课堂讲解+课后巩固练习”教学模式转向“课前自主学习+课堂深度互动”的新模式，发挥学生的积极性，锻炼他们的表达能力，使学生感受到数学应用之所在，从而提高对所学知识的理解和掌握，最终达到培养创新型人才的目的。
【参考文献】
[1]陈怡，赵呈领.基于翻转课堂模式的教学设计及应用研究[J].现代教育技术，2014，24（2）.
一、忽略前提条件
1.基本不等式中，明确指出a，b是正数，但是同学们在解题时容易忘记讨论。
例1：求 最值。
错解：根据题意得x≠0，≥2当且仅当时即x=±1时取等号。
的最小值为2。
分析：根据题意得x≠0，但是要分x>0和x
正解：根据题意得
当x>0时， ≥2，
当且仅当 时即x=1时取等号。
当x
≤-2，
当且仅当 时即x=-1时取等号。
所以当x=1时，y最小值为2。
当x=-1时，y最大值为-2。
2.在基本不等式中，还隐含了一个条件就是ab相乘是一个定值。
例2：已知x>0求的最小值。
错解： ，，
，
当且仅当2x2=时，即x=2时取等号。
y的最小值为16。
分析：忽略了2x2・乘积不是定值，所以这样得不到16是最小值，应通过合理配凑，使其乘积为定值。
正解：x＞0
= ，
当且仅当时，即x= 取等号。
所以当x=时，y有最小值为。
二、等号的合理运用
例3：已知 。
错解：
分析：在上述解法中两次运用基本不等式 ，
等号成立的条件分别是x=y和2x=y，前后矛盾，所以等号不能同时取。
正解： ，
当且仅当 ，取得最小值 。
三、不能滥用基本不等式
在利用基本不等式解函数最值时，特别当式子中等号不成立时，则不能应用基本不等式，而改用函数单调性求最值。
例4： 的最小值。
错解： ，
当且仅当 时，取等号，
但是 无解，所以取不到等号，即 。
分析：，考虑用（x＞2）函数的单调性去解。
正解： ，
设 ， ，
在上是单调增函数，
1．利用二次函数求最值
二次函数是我们研究的重点也是难点，特别是在给定区间上的最值问题。这部分常见的是换元后转化为二次函数的形式。特别注意换的“元”的取值范围。研究二次函数问题最好是结合它的图像（可以在草稿纸上画草图），这样不易出错，并且加快解题速度。
例1：函数f(x)=的最大值是（ ）
A.B. C. D.
解：f(x)===≤，所以选D。
例2、若x≥0,y≥0且x+2y=1,则2x+3y2的最小值为______ .
解：x=1-2y≥0，0≤y≤,令f(y)=2x+3y2=3y2-4y+2=3（y-）2+，又f(y)在[0，]上单调递减，当y=时，2x+3y2有最小值。
2．利用平均值不等式求最值
例1.已知x≥,则f(x)=有（ ）
A.最大值 B. 最小值
C. 最大值1 D. 最小值1
解：x≥，f(x)===+≥2=1
当且仅当=，即x=3时，“=”成立，ymin=1
本题中用了分离常数法，就是在分子中凑出与分母相同的项，然后约分。在分式中经常用到。本种题型有些书上经常去分母转化成关于x的二次方程，利用判别式求最值，但要注意x的这个条件，即转化后的方程不仅有根，而且要有限制条件的根（还要考虑有一个还是有两个根），因此如果对x加以限制后最好采用平均值不等式的方法来求最值，但要特别注意等号成立的条件。
例2、若a、b、c＞0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是__________.
解：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≥a2+2bc+2ab+2bc+2ac=a2+2ab+2ac+4bc=12
a、b、c＞0a+b+c的最小值是2。
3．利用函数的单调性求最值。
利用函数的单调性来解决最值问题应该是最直接的方法，若我们能熟练掌握二次函数，y=型函数，指数函数，对数函数，三角函数图象，有助于我们求最值。此外，我们还应掌握勾勾函数f(x)=ax+(a,b>0)的图像,在求最值中，我们经常会遇到用平均值不等式后发现等号不成立，就需要用到勾勾函数f(x)的单调性。
例1.函数y=+最小值_________ .
解：令t=, t∈[2,∞], y=t+≥2, 当且仅当t=1时“=”成立， t=1[2+∞], y>2。
y=t+在[1,+∞]是增函数, y=t+在[2,∞] 上也是增函数， 当t=2时，y有最小值.
例2、若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈（0，]成立，则a的最小值为（ ）
A.0 B. -2 C.- D. -3
解：-ax≤x2+1-a≤x+,x∈（0，],令 g(x)=x+在区间（0，]上单调递减，
g(x)min=+2=
-a≤ 即a≥-
故选C。
本题中用了参数分离法，即把参数单独分离出来，利用g(x)m的值域求参数应满足的条件。
4．利用换元法求最值。
例1.函数y=x+的最大值为_________,最小值为_________.
解：定义域：[-1，1]，设x=cosα,α∈[0,π]，则=sinα, y=cosα+sinα=sin(α+),α∈[0,π]，当α= 时，y有最大值，当α=π时, y有最小值－1。
注：本题应用定义域[-1，1]上入手，采用三角换元方法解决，换元后一定要说明新元的范围。
例2、函数y=x+的最大值为________.
解：令=t（t≥0）,则x=1-t2
f(t)=-t2+t+1=-(t-)2+，当t=,f(t)有最大值。
注：本题采用代数换元方法解决，在求最值时，一定要注意新元的取值范围。
5、用数形结合求最值。
例1、如果x2+y2=4,那么x-y的最大值是 _________.
解：令x-y=b，即x-y-b=0
把b看作是横截距,由图可知，当直线与圆相切时，b取得最大值或最小值。由d==2b=±2，所以x-y的最大值是2。
变式1：已知实数x,y满足y=,那么x-y的最大值是 __________ .
变式2：如果x2+y2=4,那么(x-4)2+(y-3)2的最大值是 __________ .
变式3：如果x2+y2=4,那么的最小值是 __________ .
注：以上三个变式的答案分别为：2,49,。这类问题可总结如下：若已知实数x,y满足某一圆方程，则(x-a)2+(y-b)2是指圆上点Q(x,y)到点（a,b）距离的平方；ax+by可看作z ,z的最值是指求截距的最值；可看作圆上点Q (x,y) 与定点（a,b）连线的斜率的范围，动点Q (x,y)在圆x2+y2=4上移动，当过P点的直线与圆相切时得到最值。
6、用导数求最值
例1.函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分是（）
A.1,-1B.1,-17 C.3,-17 D.9,-19
解：f'(x)=3x3-3，令f'(x)=0x=±1，-1∈[-3,0]
f(-3)=-17 ,f(-1)=3,f(0)=1
关键词：最值，换元法，均值定理，几何
在科学领域里，实践生活中，我们常会碰到一些有关事件的范围问题，也就是事件的最值问题。当然，在数学的学习当中，也就在必然会遇到很多的最值的求解、研究。她会指导生活中的我们去解决一些实际问题或者说科研问题。这里，笔者就初中数学阶段里的部分最值的求解进行一些回顾、分析。特别是在新课程改革的今天，强调学生能自己探索总结、归纳学习规律，对部分最值的求解利用数行结合，三角形三边关系，三角形内角和定理，不等式的传递性，函数性质等方面进行一些回顾、分析，与学生教师进行交流、探讨，会有一定的帮助的。下面我根据自己十年来对数学教学的体会谈几点看法和大家共同商榷
一、求函数的最值
在最值问题中,以二次函数为内容的最值问题最为常见,有很多表面看非二次函数类型的最值问题通过适当的变换均可转化为二次函数最值问题,因此,首先要熟悉二次函数最值问题的求解方法。其常见方法有:
(1)配方法:形如y=ax2+ bx c(a≠0)的函数,可将它首先配方成y=a(x )2 (a≠0)的形式,再根据x的取值范围与对称轴x=-的位置关系,联系单调性或图象即可确定函数的最值。
(2)分离常数法或反函数法:形如y=f(x)的函数我们可以转化为函数的值域问题来解决。
(3)判别式法:形如y=(f(x),g(x)中至少有一个为二次函数)的函数求最值,可以化为一个系数含y的方程,a(y)x2 b(y)x c(y)=0然后讨论a(y)是否为0。当时a(y)≠0时,若x∈R,则≥0,从而确定y的取值范围,即可确定函数的最值。
(4)换元法:形如y=ax b 以及一些特殊的高次函数或复合函数求最值,通常可以用代数换元或三角换元转化为二次函数等常见函数来予以解决。
(5)重要不等式法:形如y=f(x) 的函数求最值,我们可以利用均值定理来进行求解,但要注意的是“取全正”和“等号成立的条件”,两者缺一不可。
(6)有界性法:这一方法着重用于求三角函数问题的最值。论文格式，几何。形如y=或y=asinx bcosx或y=asin2x bsinxcosx ccos2x等形式的三角函数问题求最值,通常首先进行三角变换化为同名函数y= Asin(ωx )或y= Asin(ωx )或y= Atan(ωx )的形式,然后利用三角函数的有界性来解决。
(7) “夹逼法”求最值: 在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。 例. 不等边三角形 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。论文格式，几何。
二、求解析几何中的最值问题
解析几何中的最值问题是解析几何综合性问题的重要内容之一,常以直线与圆、圆锥曲线等内容为载体,综合考查函数、不等式、三角等知识,涉及的知识点较多,属偏难问题。其常见方法有:
(1)代数法:即先建立一个“目标函数”,再根据其特点灵活运用求函数最值的方法求得最值。
例如:椭圆中心在坐标原点,长轴在x轴上,e=,已知P(0,)到这个椭圆上的最远距离为,求这个椭圆的方程。
解这个题时我们可以首先设椭圆方程为 =1,再设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,联立椭圆方程消去x(或y)可建立d关于y(或x)的函数关系,然后用配方法可求出d的最大值,从而求出b的值,即可求出椭圆方程为 y2=1。论文格式，几何。论文格式，几何。
(2)几何法:是借助图形特征利用圆或圆锥曲线的定义及几何性质来求最值的一种方法。例如:已知x,y满足(x-3)2(y-1)2=1,求的最值。此问题可以转化为在圆(x-3)2 (y-1)2=1上找一点,使它与原点连线的斜率最大或最小。论文格式，几何。
又如:已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为 。论文格式，几何。
此问题可借助抛物线的图像及抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,转化为“在抛物线y2=4x上找一点P,使P到准线的距离与P到Q的距离之和最小”画图可知,过P作准线的垂线,重足为A,当A、P、Q三点共线时,和最小,得解。
应用数形结合（特别是几何体的问题），三角形三边关系，三角形内角和定理（内角和不变而各内角可变），不等式的传递性，二次函数（及图像最低点最高点）等等的性质来解决部分中学数学中的最值求解会有很大的帮助和必要。
当然求最值问题的方法有很多种，以上所列的涉及到的一点有关最值的求解，是笔者在教学过程中的一些自见，可能较浅陋，希望大家能批评指正。
参考文献：
[1]周盛威三角函数最值问题的常见类型及求解策略
[2]刘培达例谈最值问题基本解法的思路
[3]姜继学最值问题的求解八法
【关键词】导数；函数的切线 ；单调性；极值和最值
导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。
有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。
1 用导数求函数的切线
2 用导数判断函数的单调性
方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f（x）的定义域；（2）求导数f′（x）；（3）在函数f（x）的定义域内解不等式f′（x）>0和f′（x）
3 用导数求函数的极值
方法提升：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f′（x）；（2）求f′（x）= 0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′（x）的符号如何变化，如果f′（x）的符号由正变负，则f（x0）是极大值；如果f′（x）的符号由负变正，则f（x0）是极小值.。注意：如果f′（x）= 0的根x=x0的左右侧符号不变，则f（x0）不是极值。转贴于 中国论文下载中心 http：//。
4 用导数求函数的最值
求极值的具体步骤：第一，求导数f′（x）. 第二，令f′（x）=0求方程的根，第三，列表，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f（x）在这根处无极值。
如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点。
5 证明不等式
导数知识包括微分中值定理和导数应用。微分中值定理主要有：Rolle定理，lagrange中值定理，Cauchy中值定理。它们可以用于以后的定理推证，这里主要用于证明恒等式、不等式、证中值的存在性、根的存在性等问题。导数的应用包括：利用导数判断函数的单调性、极值、凸性。本次习题课主要讲用它们证明不等式。
例题
（1）利用lagrange中值公式
例1 证明不等式b-ab
分析 把不等式可以改写成1b（b-a）
可见中项是函数ln x在区间[a，b]两端值之差，而（b-a）是该区间的长度，于是可对ln x在[a，b]上使用拉格朗日中值定理。
证 设f（x）=ln x，则f′（x）=1x.在[a，b]上运用拉格朗日中值公式，有lnba=ln b=ln a=1ξ（b-a），（a
又因1b
即（b-a）b
（2）利用函数的单调性：
我们知道，当F（x）在[a，b]上单调增加，则x>a时，有F（x）>F（a）.如
果f（a）=φ（a），要证明当x>a时，f（x）>φ（x），那么，只要令F（x）=f（x）-φ（x），就可以利用F（x）的单调增性来推导，也就是说，在F（x）可导的前提下，只要证明F′（x）>0即可.
例2 试证x>sinx>2πx，（0
分析 改写不等式为1>sinxx>2π，当x时，sinxx1，当x=π2，sinxx之值为2π.于是要证的不等式相当于要证函数f（x）=sinxx之值介于2π与1之间.
证 考虑函数f（x）=sinxx，0
1，x=0
当0
所以，f（x）在（0，π2）内单调减少，又f（x）在[0，π2]上连续，所以有
f（0）>f（x）>f（π2）
即1>sinxx>2π 或 x>sinx>2πx.
本例也可将联立不等式分为x>sinx与sinx>2πx两步证明.
（3）利用函数的最值：
如果f（a）是函数f（x）在区间上的最大（小）值，则有f（x）≤f（a）（或f（x）≥f（a）），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证.
例3 证明不等式
xa-ax≤1-a（x>0，0
证：设f（x）=xa-ax-（1-a）则
f′（x）=axa-1-a=a（xa-1-1）f′（x）=axa-1-a=a（xa-1-1）f′（x）=0
令f′（x）=0，得唯一驻点x=1，又当时01时，
f′（x）
f（x）≤f（1）=0
所以
xa-ax-（1-a）≤0或xa-ax≤1-a（x>0，0
（4）利用函数图形的凸性：
我们知道，在（a，b）内，若f″（x）>0，则函数y=f（x）的图形下凸，即位于区间[x1，x2]中点x1-x22处弦的纵坐标不小于曲线的纵坐标，即有：
f（x1-x22）≤f（x1）+f（x2）2
其中x1，x2为（a，b）内任意两点.等号仅在x1=x2时成立.
例4 设x>0，y>0，证明不等式xlnx+ylny≥（x+y）lnx+y2
且等号仅在x=y时成立。
分析 将不等式两边同时除以2，变形为为xlnx+ylny2≥（x+y）2lnx+y2
便可看出，左边是函数f（t）=tlnt在两点x，y处的值的平均值，而右边是它在中点
x+y2处的函数值，这时只需f″（t）≥0即可得证。
证 设f（t）=tlnt，即f′（t）=1+lnt，f″（t）=1t>0，故由
12[f（x）+f（y）]=f（x+y2）
得xlnx+ylny2≥（x+y）2lnx+y2
即xlnx+ylny≥（x+y）lnx+y2
等号仅在x=y时成立。
导数为不等式得证明提供了不少有效的方法，使用时究竟用哪种方法更合适，很难作出肯定的回答，需要根据不等式的、具体形式来加以选择，有的可以用多种方法证明。
6 教学设计说明
函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据.
对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）用准确的数学符号语言刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的，根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点。
根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标.重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔。
7 方法提升
利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型。其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数最值”。
总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，极值，最值以及切线问题。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。
8 总结
利用导数求曲线的切线， 判断或论证函数的单调性，函数的极值和最值，证明不等式是一种有效地工具。
参考文献
[关键词] 初相 最值点 平衡点
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0055
在求三角函数型y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）的解析式中，学生普遍感觉难求初相φ.本文介绍如何最快求解初相φ.
要想快速地求出初相φ，就必须回顾五点作图法的列表.作函数y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）的图像的第一步是列表：
列表时，先填中间一行：
为什么先填中间的一行呢？仔细回想，“0、 π 2 、π、 3π 2 、2π”是正弦函数y=sinx的“五点作图法”中的五个关键点（三个平衡点，两个最值点）.“ωx+φ”叫做相位.对相位的理解，影响求初相φ.对正弦型函数y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）来说，相位“ωx+φ”的五个数据对 应的是五个关键点：第一个平衡点（- φ ω ，k）；最高点（ π 2ω - φ ω ，A+k）；第二个平衡点（ π ω - φ ω ，k）；最低点（ 3π 2ω - φ ω
，-A+k）；第三个平衡点（ 2π ω - φ ω ，k）.对比正弦函数y=sinx，有三个平衡点和两个最值点，求A、k和周期T（进而求ω）就很容易理解了.这五个关键点的坐标是不用背的.我们将x的值代入相位“ωx+φ”，找对应的相位的值即可.如：当x= π 3
时，函数值最大或图像最高，则ω× π 3 +φ= π 2
，解方程求φ（ω已知）.这是运用整体思想求解的.事实上，“ωx+φ”相当于y=sinx中的“x”，相位的本意也正在此.
由图像的五个关键点求φ时，优先考虑最值点.因为最值点对应的相位是唯一的，最高点对应的是 π 2 ，最低点对应的是 3π 2 .如果无最值点，再考虑平衡点.此时要判断清楚是第几个平衡点，才能找准相位.如果无这五个关键点，则代入一般点，通过解三角函数求得φ.若所求得的值不在所给范围内，则根据周期进行调整.
一、利用最值点求φ
图1
【例1】 （2015・陕西，理3改编）如图1，某港口一天6
时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（ π 6 x+φ）+k，（|φ|< π 2 ），据此函数图像可知，φ的值为（ ）.
A. π 6
B.- π 6
C. π 3
D.- π 3
答案： B.
解析： 观察图1，求φ选择代入最低点，由最低点的相位求解.由图1知，当x=10时，ymin=2， π 6 ×10+φ= 3π 2 ，解得：φ=- π 6 .
点评： 如果题设没有限制φ的范围，则得到φ=2kπ- π 6 ，k∈ Z .如果题设还给有其他点，那么仍是优先选择最值点.
二、利用由平衡点求φ
图2
【例2】 （2015・新课标Ⅰ，理8）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图像如图2所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）.
A.（kπ- 1 4
，kπ+ 3 4 ），k∈ Z
B.（2kπ- 1 4 ，2kπ+ 3 4 ），k∈ Z
C.（k- 1 4 ，k+ 3 4 ），k∈ Z
D.（2k- 1 4 ，2k+ 3 4 ），k∈ Z
答案： D.
解析： 先求解析式，再求单调递减区间.求解析式时，ω由周期确定，φ由平衡点确定.由图2知， T 2 = 5 4 - 1 4 =1= π ω ，解得：ω=π.
