时间：2023-06-02 09:58:13
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇三角形的分类，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
教学内容：
人教版小学数学四年级下册第83―84页的内容。
教学目标：
1.通过观察、操作与交流，会根据三角形的角和边的特点进行分类，掌握各种三角形的特征。
2.在活动中渗透分类和集合的数学思想，培养学生动手操作能力和归纳概括能力，进一步发展学生的空间观念。
3.激发学生的主动参与意识、自主探索意识，培养学生的创新精神和合作学习精神。
教学重点：
理解并掌握各种三角形的特征。
教学难点：
理解等腰三角形和等边三角形的关系。
一、课前谈话，感受分类
师：今天我们一起来探讨一个话题――分类（板题），听说过吗？把你所知道的分类跟大家介绍一下。
……
师：如果要把全班同学分一下类，可以怎么分？（男生、女生）
师：这是按什么标准分的？（性别）
师：除了按性别分，还可以怎么分？（年龄、身高、体重、衣着等）
师：看来在分类之前，我们要有一个标准。
（板书：统一标准）像上面的性别、年龄、体重等就是一个标准。
师：那分类还应注意什么呢？还应注意不能重复，不能遗漏。（板书：不能重复，不能遗漏）
师：这一些，都是我们平时生活或学习中分类时应该掌握的原则。通过刚才的交流，你是不是对分类有了进一步的认识？
开始上课。
（设计意图：数学源于生活，在我们身边、在生活中，数学知识随处可见。在上课之前利用的本班同学按某一个标准来分类，让学生初步接触分类，分散了本节课的教学重难点。使数学课上得贴近生活，也激发了学生的兴趣，使抽象的数学变得形象。）
二、复习铺垫 引入新知
1.出示锐角、直角、钝角。
提问：①同学们，还认识它们吗？②你知道它们之间的大小关系吗？③如果我在这些角上加上一条线段的话，那变成什么了呢？
2.出示加一条线段，变成了三个三角形。
提问：①请你认真观察，这三个三角形有什么共同的特征呢？（三个角，三条边。）②那这三个三角形又有什么不同呢？（角的大小，边的长短都不同。）③这些三角形有共同的特征，但他们也有许多不同之处，今天这节课，我们要利用分类的有关知识，把三角形进行分类。
3.揭示课题。
补充课题：三角形的分类。
（设计意图：复习角和三角形有关的知识，是为下面探究新知作好铺垫。创设问题情境，引出要探讨的问题，激发学生学习的兴趣。）
三、动手操作，探究新知
（一）合作探究
合作要求：①每个同学负责测量一个三角形的相关数据。②把测量的数据记录在三角形对应的位置上。③各小组按照自己讨论的方法去进行分类，并在桌子上分一分。
（二）汇报交流
学生对三角形分类可能会出现按按角分和按边分两种情况。
（1）按角分类
1.指名汇报交流并阐述理由。
2.有没有哪个小组也是这样分类的？需要补充吗？
3.你能给这三类三角形分别取个名字吗？
4.像这样的三类三角形我们是按什么方法分类的呢？按角分（板书）
5.概括三类三角形的概念。
6.三角形按角分成了这三类，下面我们用图来表示这三类三角形的关系，你们觉得可以怎样来表示呢？
（2）按边分类
1.刚才那一组是从角的角度进行分类，其他小组有没有用不同的方法进行分类的呢？（小组长展示交流成果）
2.请你说一说你们为什么会这样分类呢？
3.有没有哪个小组也是这样分类的？需要补充吗？
4.分别给它们取个名字。
（三）自主学习
要想进一步认识等腰三角形、等边三角形，请同学们打开课本第84页，看中间的图形等腰三角形、等边三角形部分，自学它们各部分的名称。学生看书。
课件出示各部名称。（学生回答后再逐一出示）
（四）自主探究
1.猜测
猜一猜，等腰三角形的角有什么特点？等边三角形呢？下面请用‘量一量’‘折一折’或其他方法验证一下它们的角是否有这些特征。
2.探究
在小组内找出等腰三角形和等边三角形，看看它们各个角的度数分别是多少，学生独立操作验证。
3.总结等腰三角形和等边三角形的特征。
（设计意图：交流学生自己发现的结果，获得数学学习的积极体验。通过动手、动口、动脑的过程，进一步认识等腰三角形和等边三角形，真实体验等腰三角形、等边三角形边和角的特点。）
4.我们来看看等腰三角形和等边三角形之间是否存在一定的关系。等边三角形是否具备等腰三角形的特征呢？
四、巩固练习，拓展提升
（一）判一判
1.有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。（ ）
2.有两条边相等的三角形一定是等腰三角形。（ ）
3.等腰三角形的一个底角是50度，另一个底角的是60度。（ ）
4.等边三角形也属于等腰三角形。（ ）
5.所有的等腰三角形都是锐角三角形。（ ）
（二）猜一猜
教师的袋子中有几个三角形，只露出三角形的其中一个角，你能根据这个角，猜猜这个三角形是什么三角形呢？
（三）画一画。
在书上第132页的点子图上按照老师说的要求，画出相应的三角形。（锐角三角形，直角三角形，等腰直角三角形）并在展台上展示。
五、课堂小结
通过本节课的学习，你学到了什么？
（设计意图：通过课堂总结，提高学生的概括能力，培养学生学数学、用数学的意识）
角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形。
1、锐角是大于0度小于90度的角。
2、直角是等于90度的角。
3、钝角是大于90度小于180度的角。
4、平角是180度的角。
二、
三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
1、锐角三角形：三个角都小于90度 。并不是有一个锐角的三角形，而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。
2、直角三角形：有一个角是90度的三角形，夹90度的两边称为“直角边”，直角的对边称为“斜边”。
例1已知等腰三角形的一个内角为50°,求其顶角的度数.
解析:50°的角可能是顶角,也可能是底角.
(1)当50°的角是底角时,顶角的度数为180°-50°×2=80°;
(2)当50°的角是顶角时,则该三角形的顶角为50°.
所以这个等腰三角形的顶角为80°或50°.
点评:条件中没有明确指出50°的角是顶角还是底角,所以应分类讨论.
例2已知等腰三角形的一边等于7,另一边等于10,求它的周长.
解析:已知条件中没有明确指出7和10哪个是腰长哪个是底边长,所以应分类讨论.
(1)当腰长是7时,则底边长是10,其周长是7+7+10=24;
(2)当腰长是10时,则底边长是7,其周长是10+10+7=27.
根据三角形三边关系定理,这两种情况都成立. 所以这个等腰三角形的周长是24或27.
点评: 在解底边和腰不相等的等腰三角形问题时,若条件中不能确定底边与腰,应在符合三角形三边关系的前提下进行分类讨论或先分类讨论,再根据三角形的三边关系进行取舍.
例3已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,求这个等腰三角形的各个角的度数.
解析:应分两种情况来讨论.
(1)当高位于等腰三角形的内部时,如图1.
由∠ACD=30°,∠ADC=90°,
得∠A=60°.
因为AB=AC,所以∠B=∠ACB=60°;
(2)当高位于等腰三角形的外部时,如图2.
由于∠DAB=30°,∠D=90°,所以∠DBA=60°,∠ABC=120°.
因为AB=BC,所以∠C=∠BAC=30°.
所以等腰三角形的各角为60°,60°,60°或120°,30°,30°.
例4数学课上,同学们在探究下面这个命题的正确性:顶角为36°的等腰三角形具有一种特性,即经过它某一顶点的一条直线可把它分为两个小等腰三角形.为此,请你解答下列问题.
(1)已知,如图3,在ABC中,AB=AC,∠A=36°,直线BD平分∠ABC交AC于点D.试说明:ABD与DBC都是等腰三角形;
(2)在证明了该命题后,小颖发现:下面两个等腰三角形(如图4、图5)也具有这种特性.请你在图4、图5中分别画出一条直线,把它们分成两个小等腰三角形,并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数;
(3)接着,小颖又发现:直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性,如:直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形.请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图,并在图中标出三角形各内角的度数.(说明:要求画出的两个三角形不相似,而且既不是等腰三角形也不是直角三角形.)
解析: (1) 在ABC中,AB=AC,
∠ABC=∠C.
∠A=36°,
∠ABC=∠C=72°.
BD平分∠ABC,∠1=∠2=36°.
∠3=∠1+∠A=72°.
∠1=∠A,∠3=∠C,
AD=BD,BD=BC,
ABD,DBC都是等腰三角形.
(2)当三角形是等腰直角三角形时,如图6;当三角形是三个内角分别为36°,36°,108°的等腰三角形时,如图7和图8.
(0°＜a＜45°,其中a≠30°,a≠36°.)
教材简析：
“三角形的分类”是“空间与图形”领域内容的一部分，是在学生认识了直角、钝角、锐角和三角形的特征基础上展开学习的，教材分为两个层次：一是三角形按角分类，分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形，并通过集合图形象地揭示三种三角形之间的关系，并体现分类的不重复和不遗漏原则；二是三角形按边分类，不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形里又包含等边三角形。着重引导学生认识等腰三角形、等边三角形边和角的特征。
学情分析：
四年级的学生已经具备了一定的平面图形的知识，而且是在学生认识了直角、钝角、锐角和三角形的特性的基础上开展学习的，三角形按角的特点分类比较直观，学生容易理解。按边的特点分类相对比较难一些，要让学生通过度量边的长度（或折）来引出概念。
设计理念：
课堂分为三个教学环节：一是谈话导入，揭示课题；二是自主探究，合作交流；三是拓展练习，提高能力。自主学习的过程实际就是教学活动的过程，以活动促学习是本节的教学定位。在活动中给学生足够的时间和空间，自由开放的探究数学知识的产生过程，逐步建立对三角形的角与边特征的认识。通过测量、观察、概括等多种形式的学习，力求让学生真正动起来，充分展现了做中学，从而获得对三角形边、角特征的认识，培养创新的意识和能力。
教学目标：
1.使学生通过观察、操作、发现三角形角和边的特征，给三角形分类，理解并掌握各种三角形的特征。
2.经历观察与探索的过程，培养学生观察分析、动手操作能力，进一步发展学生的空间观念。
3.激发学生的主动参与意识、自我探索意识和创新精神，进一步感受三角形与日常生活的联系。
教学重点：学会从不同角度给三角形分类，掌握各类三角形的特征。
教学难点：会按边的特征给三角形进行分类。
教学准备：多媒体课件、三角尺、各种形状的三角形若干个、表格。
教学过程：
一、谈话导入，揭示课题
1.提出问题
师：这节课，老师带来了7个三角形，在看到第7个三角形之前，请大家想一想：第7个三角形会跟前6个三角形有什么共同的地方？（都有三条边、三个角）
请你再从这6个三角形里选1个跟7号三角形比一比看能发现有什么不同的地方？（角的大小，边的长短都不同）
（设计意图：复习有关三角形的知识，为下面探究新知做好铺垫，创设问题情境，引出要探讨的问题，激发学生学习的兴趣。）
2.揭示课题
二、自主探究，合作交流
1.我们通过小组合作探究的方式来对三角形进行分类，请同学们听清楚小组合作的要求。
小组合作要求：①每个小组选择一个观察角度（角的特征或者边的特征）给三角形分类；②每个组员负责测量一个三角形的相关数据，并记录在表格上，并根据数据的特点对三角形进行分类；③派代表向全班汇报分类情况。
2.小组成员分工合作，按照活动要求进行探究。（教师巡视）
（设计意图：为学生创设交流的机会，通过小组观察、测量、交流、讨论活动，使学生的自主学习与合作交流有机的结合。）
3.全班交流，按角分类
（1）师：请小组汇报你们是怎么分的？为什么要这样分？（按角分可以分为三类：①三个锐角；②一个直角，两个锐角；③一个钝角，两个锐角）
师：你发现这三类三角形有没有什么共同点？不同点呢？（相同点：都至少有两个锐角。不同点：第三个角不同。）
（2）画一画：现在请你们在点子图上任意画一个三角形，并标上名称。（生画图）
（设计意图：在学生动手操作充分感知的基础上，引导学生归纳出各种三角形的特征，培养学生的探究能力和归纳概括能力。）
4.全班交流，按边分类
（1）师：刚才我们按角分把三角形分成了三类，其他小组有没有用不同的方法进行分类呢？（生汇报）
（2）认识等腰三角形、等边三角形及它们之间的关系。
师：等腰三角形除了两腰相等，还有什么也相等？（折一折、比一比发现：两个底角也相等）
认识等边三角形，再折一折、比一比，看等边三角形除了三条边相等，还有什么特点？（三个角也相等；说明等边三角形是特殊的等腰三角形）
（设计意图：在探究的过程中渗透了等腰三角形与等边三角形的关系，渗透出“异中求同，同中求异”的辩证思维观念。）
（3）找一找，哪里有这两种特殊的三角形。（学生举例）
三、巩固应用，畅谈收获
本节课的学习，你有什么收获？
（设计意图：通过课堂总结，提高学生的概括能力，培养学生学数学、用数学的意识。）
四、拓展延伸
三角形从角的角度观察可以分成三类，从边的角度也可以分成三类。如果既考虑角，又考虑边，这个位置应该放什么三角形？
教学目标：能够按角的特点正确给三角形进行分类，掌握等腰三角形和等边三角形的特点，会画出三角形的高；复习巩固三角形的分类，能灵活运用三角形三条边之间的关系和三角形内角和的知识解决实际问题。
教学重点和难点：复习巩固三角形的分类，灵活运用三角形三条边之间的关系和三角形内角和的知识解决实际问题。
教学准备：多媒体课件、检测题卡等。
教学过程：
课前准备：常规口算（2分钟）
师：有请今天的小导员。
小导员：我是小组的组长，今天由我组来口算。（开火车的形式）25×8 4×25 8×125 50×4 75+25 58+42
小导员：谁来对今天的口算进行点评。
生1：小组今天的口算准确率很高。
生2：有两名学生的声音比较小。
师：我们每天的口算机会只有一次，同学们要认真对待。下面我们要对三角形的知识进行整理和复习。（板书课题）
一、引导自学（8分钟）
小导员：请看学习目标。
（一）学习目标（课件出示）
（二）整理提示（课件出示）
（三）学生自主合作学习
1.学生自学（独学）
2.对学
3.小组合作学习（群学）
4.小组整理，师巡视指导
二、指导展示（10分钟）
小组长组织，以小组为单位进行成果展示，其他学生注意倾听，准备补充；小组推荐一个同学进行展示，其他学生和教师进行评价；其他小组推荐一个同学或自主展示。
小导员：哪个小组先来展示，汇报一下你们整理的知识链？
生1：我们小组是用序号的形式整理的，我们把三角形的特性整理在一起，又整理了三角形的分类，有两种分法，可以按角分，也可以按边分。
生2：我是小组的组长，我组共有10人，我们小组通过交流讨论是用大括号来整理知识链的。（展示小组制作的大括号知识链）
小导员：你认为他们整理的优点在哪里？说说你的想法。
生3：他们小组总结得比较全面、清晰，让我们很快看出知识之间的联系。
生4：我是梦想小组的组长，我组共有10人，我们小组通过表格的形式整理知识链的。（展示小组制作的图表知识链）
小导员：还有哪些不足的地方，该怎么进行整理，说说你的看法。
… …
师：在不知不觉中，我们对三角形这一单元进行了整理和复习。通过刚才的整理，你觉得还有哪些知识需要提醒大家注意？还有那些疑问？
生1：画三角形的高。
师：课件演示三角形画高的方法。
生2：三角形任意两边之和大于第三边。
生3：利用三角形内角和180°可以求出三角形中第三个角的度数。
师：课件演示三角形内角和180°的推导过程。
生4：等边三角形是锐角三角形，等腰三角形可能是什么三角形？
生5：一个三角形中，最少有两个锐角。
师：整理知识时，可以有不同的方法，每种方法都有自己的优缺点，但整理之后，一般要便于人们看出知识点之间的联系和区别。同学们在以后的学习中可以试一试。
通过刚才的整理，加深了对三角形的认识，下面我们就应用这些知识来进行辅导检测，看谁学得好。
三、辅导检测
（一）出示课堂辅导练习题 （课件出示）（10分钟）
判断：
1.任何三角形都有三条高和三条底边。（ ）
2.由三条直线围成的图形叫做三角形。（ ）
3.三角形不容易变形。 （ ）
4.我能画一个边长分别是4厘米、3厘米、5厘米的三角形。 （ ）
选择：
1.等边三角形按角分类一定是（ ）三角形。
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形
2.有一个锐角是45°的直角三角形按边分一定是（ ）三角形。
A.等边三角形 B.等腰三角形
3.直角三角形，一个锐角30°，另一个锐角（ ）。
A. 40° B. 50° C. 60°
填空：
1.一个正三角形的周长是90厘米，它的每条边长是（ ）厘米，每个角是（ ）°。
2.把一个大三角形平均分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（ ）°。
3.在一个三角形中，其中两个内角的和是89°。按角分，这个三角形是（ ）三角形。
师：同学们的表现太棒了！一起来检测自己的智慧又提升了几级好吗？
（二）出示课堂检测题 （课件出示）（10分钟）
填空：
1.由三条（ ）围成的图形叫三角形。
2.三角形按角可分为（ ）三角形、（ ）三角形、（ ）三角形。如果按边来边分可以分为（ ）三角形、（ ）三角形和（ ）三角形。
3.等腰三角形的两腰（ ），（ ）也相等。
判断：
1.一个三角形有一个锐角，那么这个三角形就一定是锐角三角形。（ ）
2.直角三角形中只能有一个角是直角。（ ）
3.等边三角形一定是锐角三角形。（ ）
4.三角形共有一条高。（ ）
计算：
求下面三角形中∠3的度数，并指出是什么三角形。
1.∠1=30°，∠2=108°，∠3=（ ），它是（ ）三角形。
2.∠1=90°，∠2=45°，∠3=（ ），它是（ ）三角形。
①学生通过动手操作，经历三角形分类的过程，认识并识别锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形和等边三角形，了解各种类型三角形的特点。
②通过观察、比较、归类，培养学生观察能力和思维能力。
教学重点：按照不同分类标准给三角形分类。
教学难点：掌握各种三角形的特征。
教学具：各种形状的三角形、小黑板。
片断一：仔细欣赏，感受不同
师：三角形在生活中有着广泛的应用，现在请同学们来欣赏一组图片！
师：播放课件（自行车、吊车、埃菲尔铁塔等），你都看到了什么？……
【评析：引入环节重视了学习动机在学习过程中的激励作用。用自行车、埃菲尔铁塔等生活实物中存在的三角形等引入新课，让学生倍感亲切，有效地激发学生的参与热情，强化学生的参与意识】
片断二：自主探究，创建数学模型
1．根据提示，引发思考
师：投影出示自学提示：
■
■
①按什么标准来进行分类？
②可以把它们分成几类？
③每类三角形都有什么特点？
④请把分类结果填在表格中。
■
2.动手操作，小组合作分类
组长给本组组员分配好任务。以小组为单位进行分类，教师参与到学生的分类活动中。有问题可以及时加以指导。学生可以按照不同的分类方法进行分类。
【评析：新授部分重视了小组合作学习在教学过程中的灵活应用。首先，在学生明确学习任务的基础上，对小组成员进行了分工，有记录员、小组长等。学生在研究过程中分工合作，使操作活动不仅准确无误，而且井然有序，大大提高了课堂学习的实效性。其次，教师的参与保证了学生合作学习的有效性。在学生分组研究的过程中，教师从讲台上走到每个小组中间，对不清楚任务的小组明确任务，对进展顺利的小组给予激励表扬，对完成任务的小组进行检查评价，保证了合作学习的有效性】
师：汇报时要按照自学提示要求汇报。其他同学请注意倾听他的发言，如有不同意见请及时说明。全班讨论、汇报交流。
生：把1号、2号、3号图形分为一类，特点是有三个锐角，叫锐角三角形。把4号、5号图形分为一类，特点是只有一个直角，叫直角三角形。把6号、7号图形分为一类特点是只有一个钝角叫钝角三角形。
师：三角形除了按角分，还可以怎么分？
生：我们是按边分的。
生：我们是按照三条边相不相等来分的，1号三角形，三条边都相等叫等边三角形，2号、5号、6号三角形只有两条边相等叫等腰三角形，3号、4号、7号三角形，三条边都不相等的分到一类，叫一般三角形。（教师将手中的三角形按角分类贴到黑板上，完成板书）
■
片断三：操作探究
师：知道等边三角形它还叫什么吗？
生：正三角形。
师：等腰三角形、等边三角形的边有特点，其实它的角也有特点你发现了吗？
生：等边三角形的三个角都相等是60°。
生：等腰三角形的两个底角相等。
师：同意他们的意见吗？用你喜欢的方法去验证一下吧。
学生活动，汇报结果。
生：用量角器量，等边三角形的三个角都相等是60°。
生：用对折的方法发现等腰三角形的两个底角相等的。 ……
【评析：这一环节重视了实践活动在教学过程中的启智功能。教师准备了充足的学具，为学生参与验证提供了物质条件。通过观察、思考、操作等形式引导学生参与知识形成发展的全过程。在学生发现其中一个的三角形三个角为60°时，及时鼓励学生动脑思考，用自己的方法验证这一结论是否正确，为学生主动探究提出明确的目标和方向，极大激发了学生自主研究学习的成就感】
片断四：巩固拓展
1.猜角游戏
师：只露出一个角，你能猜出是哪种三角形吗？（学生猜想并说明理由）
2.判断下列说法是否正确
所有的等边三角形都是锐角三角形。
【评析：巩固练习中教师重视了多种形式的练习在学生形成知识过程中的保障作用。本节课练习通过猜一猜、想一想等层次分明的练习将学习推向一个又一个的。不仅加深了学生对三角形分类的认识，而且拓展了学生的思维，有效地激发了学生学习数学的兴趣】
……
总评：理想的数学课堂是学生发展的课堂，是学生自主探究的过程，是师生互动的过程。本节课教学，教师从生活情境引入，引导学生在操作中感知、在实践中探究，主要有以下三方面特点。
①在生活情境中激发兴趣。生活是数学的源泉，数学离不开生活。教师让学生从熟悉的生活情境图片中寻找认识的三角形并抽象出三角形。既可以让学生初步体会数学源于生活，感受数学与生活密切相关，还拓宽了学生的视野；又为探究新知作了铺垫，激发了学生探究的欲望。
②在操作活动中体验探究。教师让学生在充分的活动中体验探究，在小组合作学习中研究三角形分类的方法，在动手操作中验证三角形三个角、三条边的关系。这两个环节中都经历了猜想、独立思考、小组交流、在充分的操作活动中感知体验，探索数学知识的全过程，培养了学生研究探索数学问题的能力。
教学目标
知识与技能：能够根据内角的不同对三角形分类，掌握锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的特征，能够正确识别一个三角形。
过程与方法：通过观察、比较、小组交流和合作讨论探索新知，培养学生观察、比较、归类、抽象、概括、判断能力，并在此过程中培养其组织协调能力和数学交流及表达能力。
情感、态度与价值观：培养主动探索与合作学习的精神。
教学重点、难点
重点：认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，体会每一类三角形的特点。
难点：理解并掌握锐角三角形的概念及特征。
教学准备
“天禾”数字化平台，课件，平板电脑，长方形、平行四边形、直角三角形纸片若干。
教学过程
1. 课前游戏：体验形态各异的三角形
在课前游戏活动中，教师带领学生用“天禾”数字化学习平台画各种由三角形组成的有趣图案。这一活动以学生自主画图、分享交流为主，教师的主要任务是给学生提供完成作品的平台、展示作品的空间与时间。信息技术是学生学习的工具，它为学生画图提供“在线画笔”这一具有强大画图功能的工具。只需两笔，学生就能用它快速画出一个三角形，还可以根据自己的喜好快速画出多个不同的三角形，并用它们创造出有趣的图案（如图1）。接下来，小组评选出最有创意的作品，小组长将其推送到每一位学生的平板电脑上，进行全班交流与分享。孩子们在游戏与欣赏中体会到：三角形的形状是各不相同的。以游戏的形式让学生初步感受三角形的不同，能极大提高学生学习的兴趣，为本课主要任务的完成做好铺垫。
2. 经历过程：充分认识各类三角形
（1）在拼图情境中体验角的不同
在学生自己创造三角形拼图游戏的基础上，教师出示一个缺了一块的正方形拼图（如图2），让学生选择合适的图形填补，进一步感受三角形“角”的不同，进而明确方向：根据“角”的特点来观察三角形。
图 2
教师延续这一情境，在平台中插入用不同三角形拼图的动画，让孩子通过观看这一动态的拼图过程，先猜一猜，再想一想应补上哪一个三角形，再次感悟到三角形有各种不同的种类。这样将情境动态化地呈现，让学生在有趣的拼图游戏情境中体验三角形形状各异的特点，激发学生学习的兴趣。
（2）在分类过程中体验三角形的不同类型
初步感知：分一分。教师设计了一个小组学习任务单，由学生以小组为单位，合作共享。
教师为学生提供“小组合作学习任务单1”及需要观察的6个三角形图片。学生在小组长的带领下先独立观察、思考各三角形角的特征，再填表，根据表格中的数据分析各自的特点，插入、拖动6个三角形图片，并根据特点分类、命名（如图3）。完成这些任务后，小组交流、探讨，最后小组选派代表推送典型作品至每一台平板电脑上汇报交流各自的观点。
图 3
深化感知：辩一辩。教师发挥主导作用，帮助学生补充他们在上一学习活动中容易忽略和遗漏的信息：锐角三角形的特殊性。
在学生推送展示的作品上，教师运用“在线画笔”边圈点勾画边及时追问：“另4个三角形也都有2个锐角，为什么不是锐角三角形？”突破“锐角三角形”概念这一教学难点，得出“所有三角形都有锐角，一定要三个角全是锐角的三角形才是锐角三角形”这一结论。学生进一步数形结合地感受各类三角形“角”的特征。
小结概念：说一说。教师是学习的组织者、引导者和合作者，有效的教学活动是学生的学与教师的教的统一。因此，在学生经历观察探索、思考、交流、辨析的活动后，需要教师引导大家一起进行归纳总结，得出科学严谨的结论。
这一环节，在学生独立思考、交流探讨的基础上，将三类三角形的概念进行小结梳理，让每位学生都能理解其概念。
3. 强化练习：提升对各类三角形的认识
（1）找一找：运用工具帮助判断
在学生独立完成练习的基础上，教师选择一位学生的作品推送至所有平板电脑上，让该生简单介绍自己的思路。随后，教师用“在线画笔”边画边引导学生共同观察所指的角是什么角，引导学生聚焦到有不同意见的7号三角形（如图4）。为了说明各自的观点，有学生提出，可用三角尺上的直角进行验证，通过学生的互相评价与科学验证统一观点，进而感受到工具的重要性。
图 4
（2）变一变：交流中加深对三角形的认识
教师设计了“任务单2”（如图5），并为孩子提供了三种平面图形纸片若干张，让学生根据能力选取自己所需要的图形，并使用不同方法分一分、画一画，再进行小组交流。教师及时拍照，捕捉学生们不同的分法和画法。这些照片可同步上传到平台的“共享资源库”中，让学生在交流时能看到其他同学的不同分法。因为时间有限，如果教师在巡视过程中有遗漏的画法没有捕捉到，还可以根据学生所说的方法直接用“在线画笔”去补画并进行评议。借助现代信息技术手段与平台，课堂中生成资源的捕捉变得既及时又清晰有效。学生在交流与分享中尽情互动、感悟和体验。
图 5
4. 全课总结：拓展延伸
（1）总结全课（略）
（2）延伸练习：玩三角形“猜一猜”
宋代历史学家司马光小时候砸缸救小伙伴的故事给我们启示：在证明时，如果不能顺利地从条件推出结论，不妨倒过来想.这种“让水离开人”、“执果索因”的推理方法称为分析法，而“让人离开水”，即在证明时顺利地从条件推出结论，这种“由因导果”的推理方法称为综合法.“分析法”和“综合法”是我们常用的数学思维方法.
反证法是一种特殊的证明方法.在证明时，不是直接证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设，然后推导出矛盾的结果，从而证明命题的结论成立，这种方法叫反证法.
运用反证法证明问题时，结论的反面要找得准确、全面，证明的每一步要有依据，直到推出与“定义、定理、基本事实、已知条件”等相矛盾.
2. 等腰三角形
（1） 等腰三角形的主要性质有：等边对等角；等腰三角形的三线合一性；等边三角形的每个内角都等于60°；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；等等.应用性质可以简捷地证明三角形中的线段或角的相等、线段的垂直等.
（2） 判定一个三角形是等腰三角形，除了利用定义外，也可以利用等腰三角形的判定定理：等角对等边.等边三角形是特殊的等腰三角形，其判定方法有：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，这时60°的角是顶角还是底角都无妨.
（3） 关注“分类讨论”的数学思想方法.因为等腰三角形中有两边相等，有两角相等，所以当“边”或“角”元素不确定时，就需要分类讨论.
3. 直角三角形
直角三角形是一种特殊的三角形，因此学习时要特别注意对其特殊性质的理解和应用.如“直角三角形的两个锐角互余”是一般三角形所不具备的；“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，这个性质反映出任何一个直角三角形斜边上的中线把它分成两个等腰三角形，因此，学习直角三角形时必须与等腰三角形紧密结合；“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，不是任何直角三角形所具有的.
直角三角形与等腰三角形的密切关系还表现在：以任意直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，得到的轴对称图形，一定是一个等腰三角形.同时任意等腰三角形的底边上的高，一定分它为两个全等的直角三角形.这种关系使我们能更好地理解和掌握“斜边直角边定理”.
4. 平行四边形、矩形、菱形、正方形
这些图形的概念重叠交错，容易混淆，常常出现“张冠李戴”的现象，所以它们之间的联系和区别是本章学习的难点.分清这些四边形的从属关系，梳理它们的性质和判定方法，是克服难点的关键.它们之间的联系与区别可通过下图表示：
5. 在“等腰梯形的性质定理和判定定理”探究中运用的数学方法
等腰梯形的性质和判定的探究是建立在等腰三角形和平行四边形基础上的，所以可通过添加辅助线的方式将等腰梯形转化为等腰三角形和平行四边形，常见辅助线如下：
通过“转化”，我们得到了等腰梯形的性质定理：等腰梯形同一底上的两底角相等；等腰梯形的对角线相等.等腰梯形的判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
6. 三角形的中位线定理
三角形中位线定理包含两个内容：（1） 三角形的中位线平行于第三边；（2） 三角形的中位线等于第三边的一半.前者是两条线段所在直线的位置关系，后者是线段与线段之间的数量关系，因此定理的作用也就不言而喻了.
“三角形的分类”是小学几何知识学习中的一个重要内容。切实掌握三角形的分类,有利于学生更全面地理解三角形的特征,并为后续知识的学习打下扎实的基础。对数学概念进行分类,主要是为了理清各种概念之间的关系并形成概念系统,这是构建数学认知结构的重要方法。分类有一些基本原则,如不重复、无遗漏、标准统一、逐层划分。而三角形按角划分,恰巧就是这样的典型素材,是学生经历科学分类方法,积累分类数学经验的一次良机。因此,这节课教学中,笔者充分将数学思想(分类思想)这条暗线明朗化,将分类思想作为一个教学目标来进行教学,而不只停留在“渗透”层面。课堂中,笔者旨在通过教学让学生不断丰富对分类思想、类比思想的感悟,进一步理解和掌握分类、类比的数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。
环节一:按角分类。
师:我们一起按三角形三个角的特点,把目光都集中在三角形的角上,认真观察三角形各角,按角分,你觉得可以把这8个三角形分为几类呢?
(同桌合作,按角的类型对三角形进行分类。学具袋1中备有形状不一的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形共8个。教师出示课件,将学生分类的三角形标上号,展示在屏幕上;请一名学生把分类情况粘贴在黑板上,让其他同学说不同意见)
师:同意这样分吗?
生:同意。
师:现在我们把注意力集中到这三类三角形,你觉得哪一类特点最突出?它有什么标志性的特点呢?
(学生指着直角三角形说这类三角形有一个角是直角。师板书:有一个角是直角)
师:其他两类三角形有吗?
生:没有。
师:哦,这是它独有的,这是它的特征!还有哪类三角形特点也很突出呢?
(学生指着钝角三角形说,这种三角形有一个钝角。师板书:有一个角是钝角)
师(指着锐角三角形提问):那这类三角形呢?
生:锐角。
(师板书:三个角都是锐角)
师:其他三角形有吗?
生:只有两个。
师:这是它们的不同点,它们各有各的特征,可见这么分类是合理的,是吧?为了便于交流,能给它们起个名字吗?你觉得起什么名字好呢?你为什么这么想?
生:这个名字起得好,突出它的特点。
师:有一个角是钝角的三角形,叫钝角三角形,真好,名副其实!(师指着一个锐角三角形)那这叫?
生:锐角三角形。
师:这三类三角形特点突出,各具特征,名称也不一样,是吧!一样吗?完全不一样吗?有一样的地方吗?能在不同的三类三角形中找到共同的特点吗?
生:至少有两个角是锐角。
师:在同中求异很是厉害,能在异中求同更具慧眼!
(师生交流后,师板书:都至少有两个角是锐角)
师:真行!根据三角形角的特点,我们把学具袋中的8个三角形进行了分类,经过按角分类,知道了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。按角分类,是不是只有这三类呢,还有没有第四类呢?
师(指着学具袋中的三角形):这里还有这么多三角形,能否找到一个不属于这三类的三角形呢?难道三角形就只有这么多吗?怎么能说服他人三角形按角分类只有这三种了呢?
(学生思考并交流)
生:不可能有两个直角,如果两个直角就围不起来了。
(学生用手比划着)
师:两个直角为什么就围不起来了呢?(将图画在黑板上)
生:因为这两条直线是平行的。
师:说得真好,还能结合学过的知识,说得有理有据,很科学。
生:两个钝角也围不起来。
(学生用手势表示,师结合画图说明)
生:更不可能有平角三角形、周角三角形……
师:可见三角形按角分类,只可以分成这三类,既不重复,也不遗漏。(齐读分类结果)
【反思】教学中,通过分类,引导学生对各类三角形进行比较,发现了它们独有的特点,即特征;而后通过三类三角形相同点的对比,发现相同点,进一步认识了三角形。“求异”让学生认识了事物的个性,从而发现其特点,认识了事物的特征。在“求同”中让学生认识事物的共性,从而发现规律,并通过对事物间共同点的比较,看清事物的本质属性。这样,在“同中求异,异中求同”的过程中让学生经历了科学的认识事物的方法,在比较中让学生亲历概念形成的全过程,通过比较,区分了事物的异同点,从而更好地识别事物,发展了空间观念,形成了对概念的丰富准确表象,同时也积累认识事物的一般方法和科学地学习概念的经验。
同时,有意识地运用分类思想、类比思想方法等组织教学,引导学生学习分类方法,领悟分类思想标准统一、不重复、不遗漏的特点,增强思维的缜密性,享受科学思考的乐趣。课前的故事引入唤醒学生生活经验——分类是解决问题的手段和策略。课始提出运用分类的方法进一步认识三角形,明确了学习的目标和手段。课中引导学生经历科学严谨的按角分类教学过程,当学生完成了三类三角形分类后,提出“有没有第四类?”的问题,把学生的思维再次推向风口浪尖,在波澜起伏的思维碰撞交锋中,学生的自主建构又迈上新台阶。在之后的教学过程中,让学生了解,所谓分类就是选取适当的标准,根据对象的属性,不重复、不遗漏地划分为若干类。有效的问题引领学生的探索层层深入,思维逐步完善,增强思维的严密性与科学性,提升了数学思维品质。
二、斟酌问题内涵——激活思维空间,内化思想方法
环节二:反推归纳
当学生完成对三角形的分类后,安排了一组练习(智慧闯关),其中第三关:跳跳我能行。
(师课件出示:被完全罩住的三角形)
师:卡片后面有个三角形被完全罩住了,你能确定它是什么三角形吗?
生:不能。
师:如果让你猜,一次猜一种三角形,你一次就猜对的可能性有多大?让你猜,你要猜几次一定能猜对?为什么这样想?
(学生稍作思考后回答)
生1:我猜它可能是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形、一般三角形、等腰三角形、等边三角形,要猜六次,因为三角形有六种。
生2:我只要猜3次,它是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形中的一种,因为三角形按角分,只能分成这3种,因此只有这3种可能。
生3:我只要猜2次,要么是一般三角形,要么是等腰三角形。因为三角形按边分可以分成这两类三角形。
(生1有所悟地微笑了。)
1、三角形是一种常见的图形,也是最基本的多边形,三角形的证明解题方法主要是依据三角形的特性。
2、三角形任意两边的和大于第三边,会根据三角形角的特点给三角形分类，发现和掌握三角形的内角和是180°。
3、三角形的两点间所有的连线中线段最短。
4、三角形三条边确定了,它的形状也就唯一确定了,并且三角形任意两边之和大于第三边。
（来源：文章屋网 ）
关键词：八年级；数学；思维；培养
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）14-157-01
一、通过类比思想教育，加强知识之间有效联系
数学是一个庞大的知识体系，不少学生都被学生知识点的繁杂困扰，其实数学知识之间也有着较强的相似性与相近性，所以在教学的过程中，就需要教师能够引导学生在学习新知识的时候进行旧知识的类比、分析，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去，让学生根据以往知识的基础进行新知识的学习，减轻学生的学习压力，提升学生的学习效率。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁，从而可以激发起学生的创造力。例如在教学全等三角形判定的时候，教师在引导学生认识到SAS（边角边）即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等之后，就要引导学生根据边角之间的关系，认识到ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等；以及AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等；还有HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。通过边角之间的联系来进行类比，引导学生有效的进行知识的掌握，同时也能够减轻学生的学习难度，降低学习压力，提升学习效率。
二、注重分类思想教育，引导学生开展知识梳理
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。在学习的过程中如果不注重各个数学知识点之间的差异，可能就会导致无法预料的后果，例如有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。事实上，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是直角三角形，还可以是钝角三角形；而钝角三角形、直角三角形、锐角三角形可以是等腰三角形，也可以是不等腰三角形。这样的划分是混乱的。这就需要教师在教学的过程中能够做好数学知识的分类思想教育，引导学生在学习的过程中进行有效的归纳总结，以便能够加深学生的学习认知，提升学生的学习效率。
只有引导学生认识到了分类思想的重要性，才能够更好的引导学生在学习的过程中进行总结归纳，将学习的知识继续及时的复习认知，提升学生的学习效率。
三、做好假设思想教育，培养学生转换思维方式
在数学计算的过程中，由于已知条件的缺乏，在解决问题的过程中需要学生进行一定的设想、假想，先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使得要解决的问题更形象、具体，从而丰富学生的解题思路。例如最常见的“鸡兔同笼”问题，如果按常规计算比较困难，如果采用假设思想进行分析，就能够很好的进行解决。假设全为鸡，按照头数计算出脚的只数，然后与实际的脚数对比，缺少的脚数就是将兔子假设成鸡而减少的总脚数，再除以每只兔子减少的脚数，则为兔子的数量。公式：兔数=（总脚数-2×总头数）÷2；鸡数=（总头数×4-总脚数）÷2。有效运用假设思想能够很好的降低学习难度，提升学生的解题效率。
四、注重建模思想教育，丰富学生数学学习感知
数学是一项对于学生抽象思维能力要求较高的学科，特别是在解决立体图形问题的时候，由于缺乏相应的事物演示，就需要学生在脑海中进行模型的创建，根据已知条件进行问题的解决。如果学生缺乏这种模型思维能力，就很难有效的进行问题的解答，所以在教学中就需要教师做好学生模型思想教育，引导学生构建思维。比如在日常多引导学生进行动手实践锻炼，通过学生自身的动手制作来加深学生对于事物的认知，引导学生更好的构建数学模型，便于日后的思维运用。例如在教学“轴对称”图形的时候，教师就可以引导学生运用这一模型解决最短路径的问题，通过有效的建模来丰富学生的学习感知，加深他们的学习体验。
【片段一】
师：我们先做个游戏，请大家根据三角形露出的一个角，判断这个三角形属于按角分类的哪一种。看谁判断得最快。
（露出145°的角）
生抢答：钝角三角形。
（露出90°的角）
生抢答：直角三角形。
（露出70°的角）
生1：锐角三角形。
生2：不能确定。因为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形都有两个锐角。
（露出70°的角，再露出一个40°的角）
生1：不能判断。
生2：是锐角三角形。三角形内角和是180°，我用180°减去40°和70°，还剩70°，三个角都是锐角，所以是锐角三角形。
（教师板书：三角形内角和是180°）
师：听到“三角形三个内角的和是180°”这个新信息，你有什么想法或问题？
生1：我想知道怎么能证明三角形三个内角的和是180°？
生2：为什么三角形三个内角的和是180°？
生3：学了它有什么用？
（教师随着学生提问在黑板上板书：验证、为什么、作用）
师：听到一个新的说法，在用之前我们需要验证它是否正确，还要想想：我们学了钝角三角形、锐角三角形和直角三角形，为什么所有三角形的内角和都是180°呢？
【随想】猜三角形类型的数学游戏活动，既是对三角形按角分类知识的复习，又是对三角形内角和是180°的激趣引入。在这个活动中，教师不仅通过露出一个或两个角，让学生看清这些露出角的类型，还标出了它们的实际度数。这种形式使猜三角形类型的活动与过去相比有了新的发展，原来只露出两个锐角不能判断这个三角形的类型，而现在因为标出了两个角的度数，学生就可能会联想到课前参与所获取的三角形内角和是180°，并开始尝试应用。这样的引入既有趣起点又高，教师将三角形内角和180°巧妙地隐含在活动中，不仅为猜三角形类型的活动赋予了新的生长点，还使学生对即将探索的内角和规律产生更大的好奇心，进一步激发了学生探究内角和规律的兴趣。
【片段二】
师：老师课前撕了四个纸三角形进行验证三角形内角和是180°。你们猜猜我撕了什么三角形？
（随学生猜测，教师展示：等边三角形、等腰三角形、直角三角形、不等边三角形）
师：想想四个三角形撕出多少个角？撕完验证后，这些角混到一起了。这12个角的度数分别是60°、110°、20°、30°、90°、60°、50°、70°、80°、50°、40°、60°。大家能帮老师找到每个三角形的三个角吗？小组讨论。
组1：我们根据三角形内角和是180°去凑180°。
组2：虽然你们的四个三角形符合内角和180°，但里面除了有一个直角三角形，剩下的都是不等边三角形，不是老师的那四个三角形。
组3：我们还应根据三角形的特征，比如等边三角形三个内角相等，所以应该三个角都是60°；等腰三角形有两个角相等，我们就找相等的两个角，所以它有两个角是50°，第三个角就用180°减去2个50°，还剩80°；直角三角形有一个角是90°，另外两个角也要凑成90°，所以另外两个角分别是20°和70°，最后的三个角加一起也是180°，所以是最后一个三角形。
（全班同学报以热烈的掌声）
师：在找的过程中，你有什么新发现吗？
生1：我发现在解决问题时还要联系到不同三角形的特征。
生2：我觉得解决问题时应从比较特殊的入手。
生3：我发现等边三角形每个角都是60°。
生4：我发现直角三角形中两个锐角正好凑够90°。
生5：我发现不等边三角形三个角都不相等。
（教师随学生板书：每个角都是60°；两个锐角之和是90°）
【随想】根据被撕掉的四个三角形的“残骸”――12个角“找回三角形”的游戏活动中，学生由开始“一愣”，到发现关键：三个内角和是180°。运用内角和解决问题时，由得到第一组不符合要求的三角形到调整策略，最终找回三角形，都激活了学生已有的认知经验，掀起了学生的头脑风暴。活动中，不仅强化了三角形内角和180°的概念，更在解决问题时，使学生将内角和的知识与各种三角形的特征联系起来。找回三角形后，及时的反思，帮助学生抓住了活动中的数学知识、学习方法。这一数学活动的设计，由于条件的多样性、答案的不唯一性、策略的灵活性，为学生提供了充分表达自己观点、发挥各自想象力、展示数学思维和方法的机会，更为学生提供了多角度、全方位获得成功的机会，学生在逻辑、语言、反思等方面获得了不同的智慧。
