时间：2023-06-02 09:59:00
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇平行线分线段成比例定理，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
知识结构
，全国公务员共同天地
重难点分析
本节的重点是平行线分线段成比例定理.平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.
本节的难点也是平行线分线段成比例定理.平行线分线段成比例定理变式较多，学生在找对应线段时常常出现错误；另外在研究平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法研究几何问题，学生接触不多，也常常出现错误.
教法建议
1.平行线分线段成比例定理的引入可考虑从旧知识引入，先复习平行线等分线段定理，再改变其中的条件引出平行线分线段成比例定理
2.也可考虑探究式引入，对给定几组图形由学生测量得出各直线与线段的关系，从而得到平行线分线段成比例定理，并加以证明，较附和学生的认知规律
（第一课时）
一、教学目标
1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.
2．使学生掌握三角形一边平行线的判定定理.
3．已知线的成已知比的作图问题.
4．通过应用，培养识图能力和推理论证能力.
5．通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.
二、教学设计
观察、猜想、归纳、讲解
三、重点、难点
l．教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用．
2．教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、常用画图工具．
六、教学步骤
【复习提问】
找学生叙述平行线等分线段定理．
【讲解新课】
在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今天，在此基础上，我们来研究平行线平分线段成比例定理．首先复习一下平行线等分线段定理，如图：
，且，
由于
问题：如果，那么是否还与相等呢？
教师可带领学生阅读教材P211的说明，然后强调：
（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）
因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：
由比例性质，还可得到：
为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简单的形象化的语言
“”.
另外，根据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同一直线上，也就是“”，这里不要让学生死记硬背，要让学生会看图，达到根据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.
根据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可根据情况选用其中任何一个，参见下图.
，
.
其中后两种情况，为下一节学习推论作了准备.
例1已知：如图所示，.
求：BC.
解：让学生来完成.
注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以减少错误，如例1可列比例式为：，全国公务员共同天地
例2已知：如图所示，
求证：.
有了5.1节例4的教学，学生作此例题不会有困难，建议让学生来完成.
【小结】
1．平行线分线段成比例定理正确性的的说明.
2．熟练掌握由定理得出的六个比例式.（对照图形，并注意变化）
1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
*12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
2、证明两个角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
3、证明两条直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
11.利用半圆上的圆周角是直角。
4、证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
5、证明线段的和差倍分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。
6、证明 角的和差倍分
1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分线的定义。
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
7、证明线段不等
1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大于它的任何一部分。
8、证明两角的不等
1.同一三角形中，大边对大角。
2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。
*4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。
5.全量大于它的任何一部分。
9、证明比例式或等积式
1.利用相似三角形对应线段成比例。
2.利用内外角平分线定理。
3.平行线截线段成比例。
4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。
5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。
6.利用比利式或等积式化得。
10、证明四点共圆
1.对角互补的四边形的顶点共圆。
2.外角等于内对角的四边形内接于圆。
3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。
4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。
关键词 相似三角形 问答式教学 定理
中图分类号：G633.6 文献标识码：A
相似三角形的判定是在学生认识相似图形，了解相似多边形的性质及判定的基础上才开始进行学习的，是教材上本章的重点内容。对学生的能力培养与训练，有着重要的地位。同时，新的课改教材综合性增强，实践、操作性的内容增多，教师们也要随之开始注重培养学生的创新思维。应用新教材，如何引导学生学习成为关键。新课程改革要求我们的课堂教学模式要有所改进，充分考虑学生的好奇心和荣誉感，鼓励学生多讨论多参与，让学生有机会讲述自己的见解，教师有“度”的进行课堂管理。
基于这种情况，笔者对相似三角形判定这章内容的教学效果进行了一定的总结归纳。从中发现了我们目前数学教学中存在的一些问题和不足。同时，也总结出了一些可以提高数学课堂效率的有效方法。
1相似三角形判定的教学中存在的弊端
对于数学教学，从导入部分开始到中间的讲解、讨论，再到最后的总结、练习，需要我们教师一气呵成的完成。但是目前在数学相似三角形判定这一环节的教学上，我们许多教师还是存在一些问题。第一，在时间的安排上有所欠缺。第二，教师在课件教案的制作上还是不够精练完美，甚至有的教师还不能够完全掌握制作课件的技能。第三，很多教师在本章节中制定的自己的教学设计超出了学生的认知接受能力。以上都是存在于我们课堂中的一些问题，其中课堂气氛的调动方面是我们最需要注意的一个因素，许多教师在讲课的时候，只顾自己讲解一些判定理论，并没有将学生真正的带入到数学世界中去，没有让所有的学生沉浸在数学的思考中，使部分学生有所顾忌，而被事物影响。
2提高教学效率的策略
教学环节中新的教育理念是：“教师要由过去单一的指导者变成了引导者、参与者、组织者、合作者”，所以教师不仅要注重培养学生的学习兴趣，更要尊重学生的学习兴趣，不能扼杀学生的学习热情。通过对相似三角形判定本章内容的教学的分析，以下从四方面进行阐述反思的总结以及对教学工作提出的要求和目标：
2.1教师教案课件设计要精细
拿相似三角形的判定一来说，对于本节课的教案课件部分，教师应该在实际设计过中非常用心。我们可以从“利用练习本分线段成比例”的问题切入，看似平常却另有深意。拿它作为情境引入时可以缓解学生上课的紧张感，帮忙他们快速进行学习状态，而且还可以让他们带着疑问学习，同时它贴合生活实际，来源于生活。然后让学生通过小组合作交流，实验操作探究得出“平行线分线段成比例”的定理。接着，教师可以通过多媒体放映改变平行线的位置，让学生了解“平行线分线段成比例”的定理在实际解题过程中可能出现的变化的。同时发现两种特殊的位置关系，进一步探究得到“平行线分线段成比例”的推论。最后用课后练习让学生巩固所学的定理，为学生后边进行相似三角形判定的学习打下坚实的基础。
2.2考虑学生的个别差异性
处于初中阶段的学生，思维与表达都各有差异，教师在课堂上应该允许思维慢的学生有更多思考的空间，允许表达不清晰不流畅的学生有重复和改过的时间，教师应该充分关注学生的个别差异性，做到因材施教。教师应该使学生处在民主、平等、宽容的教学环境中，确保他们拥有自由支配的时间和主动探究的心态，常常品尝到成功的喜悦，从而使产生他们创新的欲望。
2.3在教学过程中善用情境
很多人会认为，教学情境只有在语文、历史那类学科中使用才会有效果，数学没多大效果。其实这种观点是错误的，数学的教学过程中，也可以很好地运用教学情境。为什么要创设一定的教学情境呢？引用德国一位学者的话：“将15克盐放在你的面前，无论如何你难以下咽。但当将15克盐放入一碗美味可口的汤中，你早就在享用佳肴时将15克盐全部吸收了。情境之于知识，犹如汤之于盐。盐需溶入汤中，才能被吸收；知识需要溶入情境之中，才能显示出活力和美感。”
因此，在进行相似三角形的判定教学时，教师有必要根据学生的特点、知识内容的特点和教学目的，多方面创设形象、生动、感人、直观的教学情境，使学生身临其境或如临其境，做到以境导情、情境交融。
2.4尊重学生的意愿，挖掘学生潜力
教师要把学生从知识为中心的传统教学的体系中解放出来，让学生参与生活实践，在课堂上将数学知识与学生生活中的认知结合起来，不妨讲讲一些课外知识，比如历史、时事、自然、科学等等方面的知识，与学生共同讨论分享，增长学生的知识。又或者说教师可以和学生一起进行讨论研究发现问题，比如在探究“平行线分线段成比例的定理和推论”的时候，教师可以与学生们一起在发现问题和解决问题的细节上，比如请学生利用合比、等比、更比、反比的性质得出所有的比例式，又比如移动L1、L2时候的比例式是怎样？这样有节奏的教学，我们数学的课堂教学效率自然会提高上去。
参考文献
[1] 朱木菊.走进新课程[M].北京：北京师范大学出版社，2000：24.
[2] 张宝昆.实用教学技术[M].昆明：教育科学出版社，1994.
[3] 钱佩玲，邵光华.数学思想方法与中学教学[M].北京：北京师范大学出版社，1999：54.
课堂教学中，教师根据教材内容，设计一种“问题情境”，使学生感到神秘、好奇、疑惑，点燃起思维火花，激起学生对学习目标的认识需要，产生急不可待想获得有关知识或尝试一下自己能力的愿望，调动了学生的学习积极性，活跃了课堂气氛，在教学中可以得到事半功倍的效果。数学教学中创设“问题情境”、是激发学生学习兴趣的有效做法。
一、 置悬设境
思维从疑问中来，古人云：“学起于思，思源于疑。”学习中如果有疑问，就会引起学生的求知欲望。因此，在教学中要有意识地设置一些与本节有关的悬念，创设“情境问题”，使学生产生疑问，有效地激发起学生在获取知识过程中，强烈地探求问题奥妙的积极性。
如讲相似三角形判定定理一节时，授课前，先给同学们讲一个故事：古希腊有一个哲学家泰勒斯旅行到埃及，在一个晴朗的日子里，埃及伊西达神殿的司祭长陪同他去参观胡夫金字塔，泰勒斯问司祭长：“有谁知道金字塔有多高吗？”司祭长告诉他：“没有，我的孩子，古代草片文字没有告诉这个，而我们今天的知识使我们甚至不可能大概地判定这金字塔究竟有多高。”泰勒斯说：“可是，这是马上可以测出来的，我可以根据我的身高测得金字塔的高度。”说完，泰勒斯随即从白长袍下取出一条结绳，在他的助手帮助下，测得塔高是131米。古事讲完了，在学生们还沉浸在故事之中时，问：“谁能说出泰勒斯是如何测出塔高的？”学生们面面向视，回答不出，我告诉学生：“下面将要学习的相似三角形的判定定理就能帮助你回答。”这一悬念的设置，使学生产生好奇心和浓厚的兴趣，急于释疑，很自然地把学生引入到生机盎然的学习情况中去。
二、 猜想设境
在习题的教学中，一些习题难度较大学生思路受阻，往往丧失学习兴趣。如果能在教学中引导学生通过对比、观察、分析和综合，对问题产生猜想，则能开通学生的思路，激发起学生的学习兴趣。
要对
a4+a2b2+b4分解因式，学生感到困难，可先让学生用两种方法将a6-b6分解因式：
略解1
a6-b6=（a2）3-（b2）3
=（a+b）（a-b）（a4+a2b2+b4）
略解2
a6-b6=（a3）2-（b3）2
=（a+b）（a-b）
（a2+ab+b2）
（a2-ab+b2）
两种方法，解出两种结果，学生通过对比、观察便可自然产生猜想：
a4+a2b2+b4=(a2-ab+b2)(a2+ab+b2).
至此，学生情绪激昂，信心十足，就象发现了新大陆，几乎不费力地得出拆项法分解++的方法。
三、 观直设境
初中学生处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，过分抽象的内容他们往往会感到枯燥乏味，难于理解。如果能把抽象的内容通过直观教具来演示，加强直观教学，则有助于兴趣的激发。
垂径定理及其推论是平几中的一个重要定理，在讲授这一节时，教师用硬纸板做了一个如图所示的教具。白教具沿对称轴折叠演示，使学生从直观上了解到：当直径CD与弦AB垂直时，直径CD就平分弦AB所对的两段弧。在感性认识的基础上，再从理论上加以证明，这样有助于学生理解掌握。
四、 实验设计
“爱动”是初中生的一大心理特征，在教学中如果想方法设计，顺应其心理需要，使学生通过实际操作，动手动脑，自己发现真理和论证思路，则会活跃课堂气氛，发展学生的数学思维，促进智力的开发。
在学习勾股定理时，先让学生做出纸正方形（如图）模型（6*6），并回答下列问题：图上阴影部分的面积是多少？学生通过品拼拼凑凑，发现了勾股定理，拨动起学生探求新知识的心弦，激起了浓厚的学习兴趣。
五、 类比设境
不少数学知识在内容和形式上有类似之处，它们之间既有联系又有区别。对于这样的教学内容，如果能引导学生对新旧知识进行比较，以期触类旁通，则能把学生已获得的知识和技能从已知的对象迁移到未知的对象上去，促使他们迫不及待地学习和研究。
学习三角形内角平分线性质定理时，为了证明线段成比例，必须添辅助，创造平行条见，在三角形的外部作内角平分线的平行线。及至要证明三角形的外角平分线性质定理，对比三角形内角平分线性质定理的处理，提出问题：
1 如何创造线段平行的条件，从而推出线段在比例的结论呢？
2 在三角形的内部还是外部作平行线？如何作？
这样通过对比提问，学生会类比已证题目顺利添上辅助线。这两题做完后，还可引导学生思考这一类题添辅助线的规律：根据平行线分线段成比例定理，添上辅助平行线，作出第四比例线段。
六、 变异设境
初中生往往只能集中精力学习30分钟，在这以后的时间里，如果题目没有吸引力，注意力就容易分散。因此，我们可以采取一题多问，一题多变，一题多解以及变换问题的条件或结论等形式，改变问题的情趣，创设出问题的情境，来集中学生的注意力。
初二学生学过全等三角形后，对解下题可能满不在乎：
已知（如图）AD与BC相交于E,BE=EC,AE=ED。求证：ABEDCE。
【关键词】多媒体技术 优化 数学 几何教学
【中图分类号】G427 【文献标识码】A 【文章编号l 1006-5962（2012）12（a）-0246-01
下面把本人的心得体会总结为以下几个方面：
1 演示图形运动过程。降低理论教学难度，使学生易于接受。
许多概念化教学都比较抽象，学生难以更好理解，不少教师会借助于小黑板或投影仪，试图降低对概念理解难度，但借助干这些东西过于静态，不能详细讲清其演变过程，学生接受上仍会死记硬背，而借助多媒体则可让这一静止过程动起来。
例如，在讲授平行线分线段成比例定理过程中，
我先由平行线等分线段讲起，（见图1）
在复习这一定理后，我拖动鼠标，移动c
为了便于讲授，我特地使b、c之间距离（图1）
扩大2倍，（见图2）
告诉AB：BC=I：2，让学生去猜测DE：EF的值，由于过程比较明显，学生很容易回答出DE：EF=I：2，而后带领学生去证明这一定理。为了便于让学生更好理解对应线段成比例这一问题，由图2变动DF位置，使DF发生平移，运动过程让学生看到，但用虚线表示（见图3、图4、图5）
在图2中，学生已经了解了对应线段，在具体的演变过程中，他们知道了对应线段是如何得到的，对于图3、图4、图5的对应线段有了深刻印象。接下来的练习也验证了这一点。这样，在运动中化解了死记硬背或呆板教学的难度，学生很愉快的掌握了这一概念。
2 运用多媒体演示图形的分离。拼接。闪烁。培养空间想象能力
初二的学生在学习几何时一个很大障碍就是没有形成良好的抽象思维能力，当把几个基本图形叠加在一起时，他便无从入手，不知相关的等量关系在哪里，证明思路在哪里。而用多媒体进行图形的分解、拼接会使隐藏的条件明显，复杂的图形简化。
3 节省时间，提高课堂效率，培养一题多解思想，开发思维训练
初中几何是初中数学的重要组成部分，它对于培养学生的观察能力、分析能力以及逻辑思维能力和推理论证能力都是十分重要的。而在它的学习中，一直是大多数学生的难题，那么学习几何到底有没有捷径呢？我们又该怎样学习呢？这里我就如何学好初中几何谈一点看法。
一、牢固掌握几何基础知识是学好几何的前提
定义、定理、公理等几何基础知识是进行几何证明的理论依据，务必切实掌握。学生在学习过程中不仅要记住定义、定理、公理等几何知识，而且还要揭示获取这些知识的思维过程，要立足于把自己的思维活动展开，辅之以必要的探讨，启发和总结，使自己从几何定义、定理、公理等的产生、发展、推出的过程中认识、理解它，从而达到能应用定义、定理、公理等，发展了自己的能力，培养自己的品质。比如：我们在证三角形全等的问题上，你连三角形全等的判定定理都不记得，又或者记得而不会找边、角，那又如何下手分析呢？再比如：解决平行四边形的问题上，已知平行四边形ABCD中…..，而你记得平行四边形的性质，但不会与图形联系，题也无从分析了。所以平时要牢固识记并理解基础知识，只有这样才是学好几何的前提。
二、善于归纳总结
归纳总结是为了条理知识，发现、掌握规律，积累解题经验，分析解题的能力有所提高。如：在中位线学习时有这样一个问题，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形。变式：①当AC=BD时求证：四边形EFGH是菱形。②当ACBD时四边形EFGH是矩形。通过这一问题的解决总结归纳出以下结论：①顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形②顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形，有了以上这些结论在解决有关填空题、选择题时可达到事半功倍的效果。因此善于归纳总结也是学好几何的一大捷径。
三、熟悉解题的常做辅助线
在初中数学几何学习中，正确分析和判断是学会解题的关键，添加辅助线是解题的钥匙。解决几何题如何添加辅助线是许多同学感到头疼的问题，许多同学常因辅助线的添加方法不当，造成解题困难。所以熟悉解题的常做辅助线可以解决这一难题。如：遇到中点时常常使用“倍长中线”法或构造中位线；证明两线段之和等于第三条线段时，常使用“截长”或“补短”的辅助线方法；遇到梯形问题时可作腰的平行线，对角线的平行线，作高等。
现将做辅助线的部分口诀与你分享：题中有角平分线，可向两边作垂线。线段垂直平分线，可向两端把线连。三角形中两中点，连结则成中位线。三角形中有中线，延长中线同样长。成比例，证相似，经常要作平行线。圆外若有一切线，切点圆心把线连。如果两圆内外切，经过切点作切线。两圆相交于两点，一般作它公共弦。是直径，成半圆，想做直角把线连。作等角，添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
四、富于联想，全面考虑问题
富于联想，全面考虑问题也是几何学习的重要方法之一。如：在正方形ABCD中，以AB边作等边三角形ABE，求∠EDC的度数。在这个问题上若没给定图形时ABE就有两种情况，一是在正方形内部，另一种在正方形外部。若不全面考虑问题就得不到完美解决。再比如：解决等腰三角形问题中，说到角就要考虑是顶角还是底角，说到边就要考虑是腰还是底边。象这样的问题在几何的学习中是非常多见的，你要做到全面考虑就得平时富于联想、多积累，问题自然就迎刃而解了。
五、学会几何题的分析方法
几何题的方法犹如语文中的散文，散文虽散但它形散而神不散，所以不管几何题有多灵活都有一般分析方法。平时许多同学感到几何题不好做，把有关定理都能背下来，这就是我们常说的在老师那儿拿“几袋干粮”，题上的已知条件都放在那里，但往往用不上，主要是分析方法不对。当我们拿到一道题后，一般有三个思路：一是从结论入手，看要得到这结论需要知道什么，然后逐步向已知靠拢，这就是数学中的分析法。二是发展已知，由已知联想得到的结论，逐步推向求证；三是前两个方法一起用，当两个思路在中间“接通”时，便可找到证题的思路。这就是数学中的综合法。
例如，如图已知AB∥CD，∠DAB=∠BCD，
求证：AD∥BC
分析欲证AD∥BC，需证∠1=∠2
要证∠1=∠2，因为∠DAB=∠BCD（已知）
故需证∠3=∠4
要证∠3=∠4，就要证AB∥CD，
而这正是已知条件，至此，思路已通，再用综合法书写证明过程。
证明：AB∥CD（已知）
∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）
又∠DAB=∠BCD（已知）
∠1=∠2（等式的性质）
例1 如图1，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4=_______.
【考点与要求】会找出同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角，掌握平行线的判定和性质.
【解析】因为∠1=∠3，所以图中l1与l2平行，所以∠2=∠5=59°，因为∠4+∠5=180°，得∠4=121°.
例2 等腰三角形的两边长是3和5，它的周长是 _______.
【考点与要求】理解等腰三角形的概念和三角形的三边关系，会用分类讨论解答问题.
【解析】题中给出了等腰三角形的两边长，因没给出具体哪边是底，故需分类讨论：① 当3是底边长时，周长为5+5+3=13；② 当5是底边长时，周长为3+3+5=11.本题难点是求出答案后要用“三角形的任意两边和大于第三边”作检查看是否符合题意.如果将条件中的两边长改为2和5，答案又是多少呢？
例3 如图2，在ABC中，已知∠A=80°，∠B=60°，DE∥BC，那么∠CED的大小是_______.
【考点与要求】会用三角形内角和定理、平行线的性质，并体会转化的思想.
【解析】要求∠CED的大小先求出∠C的度数，即∠C=180°-∠A-∠B=40°.再利用“两直线平行，同旁内角互补”求出∠CED=180°-40°=140°. 思考的重点是确定∠CED与哪一个角有数量上的关系.
例4 如图3，在ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D. 若ED=5，则CE的长为_______.
【考点与要求】会用线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，能熟练找相等线段作代换.
【解析】根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，再根据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”求出BE的长（BE=2DE=10），即求出CE的长.当然也可以证出∠DCE=30°后，在DCE中直接求CE的长.
例5 已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=_______.
【考点与要求】要掌握平行四边形的性质和平行线的性质，也要熟练运用等量代换的方法.
【解析】根据平行四边形性质求出∠C=∠A，BC∥AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度数，即可求出∠C. ∠C=∠A=36°.
例6 如图4，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于_______.
【考点与要求】能灵活运用三角形中位线定理、勾股定理逆定理； 熟悉锐角三角函数的定义，能用几何直观的思想去探索问题.
【解析】要求tanC就需获得∠C所在的三角形（如果直接得到直角三角形那就更好），同时使用三角形中位线定理需要一个三角形，基于以上两点思考，可作辅助线连接BD. 在例7 如图5，在ABC中，EF∥BC，交AB、AC于点E、F，AE ∶ EB=3∶2，则AF ∶ FC=_______；SAEF ∶ SABC=_______.
【考点与要求】会用平行线分线段成比例性质；掌握相似三角形的判定、性质.
【解析】EF∥BC，直接可推得AF∶FC=AE∶EB=3∶2.EF∥BC，AEF∽ABC，AF∶AC=AE∶AB. AE∶EB=3∶2，AE∶AB=3∶5.又相似三角形面积的比等于相似比的平方，SAEF ∶SABC=AE2∶AB2=9∶25.
例8 如图6，当宽为3 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为_______cm.
【考点与要求】能灵活运用垂径定理、勾股定理；会建方程模型去解决问题.
例9 如图7，若AB是O的直径，CD是O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为_______.
【考点与要求】能熟练运用圆周角定理的推论、直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余，并能用转化的思想解题.
【解析】连接AC，得∠ACD =∠ABD=55°，AB是O的直径，∠ACB=90°，∠BCD=90°-∠ACD=35°.
例10 O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与O的位置关系是（ ）.
A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交
【考点与要求】会利用圆心到直线距离d与圆半径大小关系判定直线与圆的3种位置关系，能用分类讨论的思想解题.
【解析】分OP垂直于直线l、OP不垂直直线l两种情况讨论.
当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，O与l相切；
当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d
故直线l与O的位置关系是相切或相交.故选D.难点是理解“PO”不一定是垂线段.
例11 如图8，O中，半径OA=4，∠AOB=120°，用阴影部分的扇形围成的圆锥底面圆的半径长为_______.
【考点与要求】掌握扇形弧长公式，理解阴影部分的扇形弧长等于围成圆锥底面圆的周长，能用列方程的思想求出半径长.
二、 图形证明
例12 如图9，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，请在下列4个等式中，① AB=DE，② ∠ACB=∠F，③ ∠A=∠D，④ AC=DF选出两个作为条件，推出ABC≌DEF.并予以证明.（写出一种即可）
已知：_______，_______.求证：ABC≌DEF.
【考点与要求】掌握各种判定全等三角形的方法，会举适当的反例判定一个命题为假命题.
【解析】①④或②③或②④（选一种情况自己完成证明过程）.难点是对条件进行组合时不能遗漏.
例13 如图10，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC. 求证：AB=AC.
【考点与要求】 能灵活运用全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，并会利用中间等量解答问题.
【解析】要证AB=AC，只要证∠B=∠C，由于∠E=∠B，而∠C和∠E是AED和ACD的对应角（易证AED≌ACD），经过代换得∠B=∠C，AB=AC.
例14 如图11，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.（1） 求证：CE=CF；（2） 若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长.
【考点与要求】能灵活运用正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理，能选择适当的未知数x，列出方程解决问题，体会如何借“数”来解决“形”的问题.
【解析】（1） 要证CE=CF，需证出∠CEF =∠CFE，再用“等角对等边”证出，或先证明BE=DF，后利用等式性质证出.
RtABE≌RtADF（HL），BE=DF，∠AEB =∠AFD，接下去可以选择两条思路去解决问题.
第一种思路：BC=CD ，利用等式性质得CE=CF；
第二种思路：∠AEB =∠AFD，又∠AEF =∠AFE=60°，∠CEF =∠CFE，利用等角对等边得CE=CF.
（2） 要求正方形ABCD的周长，只要求出它的边长.
第（2）小题的难点在于选择好未知量以后，如何用含x的代数式表示其他线段的长.（如果设BE为x，那么你又该如何去解答？）
例15 如图12，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF.
求证：AE=AF.
【考点与要求】本题以常用的2种证明方法解说考点和要求：
（1） 在三角形中，掌握等腰三角形的判定和“三线合一”性质；
（2） 在四边形中掌握平行四边形的判定及菱形的判定和性质，在三角形中掌握全等三角形的判定和性质，学会从不同的角度去思考论证，体会证明方法的灵活性.
【解析】（1） 如果在AEF中证明AE=AF，那么只要证出∠AEF =∠AFE，再利用等角对等边就可证出结论.AD∥BC，∠AEF=∠CFE.又EF垂直平分线段AC， AF=FC.
EFAC，∠AFE=∠CFE（三线合一）.∠AEF=∠AFE， AE=AF.
（2） 如果在四边形AECF中证出AE=AF，那么只要证明四边形AECF是菱形.
连接CE，AD∥BC，∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO.
又AO=CO，AEO≌CFO（AAS）.
AE=CF，四边形AECF是平行四边形.
又EFAC，平行四边形AECF是菱形.AE=AF.
本题的难点是对“过点O作AC的垂直平分线”这句话的理解，只表示EF垂直平分线AC，不表示AC平分线EF，垂直一定是互相的，平分不一定是互相的.
例16 如图13，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将BCE绕点C顺时针旋转到DCF的位置，并延长BE交DF于点G.
（1） 求证：BDG∽DEG；
（2） 若EG·BG=4，求BE的长.
【考点与要求】掌握相似三角形的判定及性质，理解图形旋转的性质，能运用转化思想.
【解析】（1） 由旋转得BE=DF，∠EBC=∠CDF，∠DGE=90°.
因为∠DGE为公共角，BE平分∠DBC，所以∠CBG=∠DBG，代换得∠DBG=∠CDF. 所以BDG∽DEG.
（2） 用第（1） 小题的结论可得DG2=EG·BG，得DG=2.又因为∠DGE=90°，BE平分∠DBC，可得DF=2DG=4，所以BE=4.本题难点是将要求的BE长转化到DF长.
例17 如图14，在ABC中，点D是AC边上一点，AD=10，DC=4.以AD为直径的O与边BC切于点E，且AB=BE.
（1） 求证：AB是O的切线；
（2） 过D点作DF∥BC交O与点F ，求线段DF的长.
【关键词】教学；转化；培养；总结
著名数学家笛卡尔说，要善于把“所考察的每一个难题，都尽可能地分成细小的部分，直到可以圆满解决的程度为止”。因此，教师在自己的教学活动中应充分运用由简到繁，由易到难，由已知到未知，由特殊到一般，由具体到抽象的原则来组织和讲解教材。把大问题变成小问题，把新问题变成旧问题，一个接一个，步步为营。
我们在平时的教学中，应该重视培养学生自我反思自我总结的良好习惯，提高学习的自觉性。初中数学概括性较强，题目灵活多变，只靠课上听懂是不够的，需要课后进行认真消化，认真总结归纳，这就要求学生具备善于自我反思和自我总结的能力。为此，我们在教学中，抓住时机积极培养。在单元结束时，帮助学生进行自我章节小结，在解题后，积极引导学生反思：思解题思路和步骤，思一题多解和一题多变，思解题方法和解题规律的总结。由此培养学生善于进行自我反思的习惯，扩大知识和方法的应用范围，提高学习效率。
我们还应该重视专题教学。利用专题教学，集中精力攻克难点，强化重点和弥补弱点，系统归纳某一类问题的前后知识、应用形式、解题方法和解题规律。并借此机会对学生进行学法的指点，有意渗透数学思想方法。
记得在上三角形相似时，我们会想到平行线分线段成比例，它是研究相似三角形的最重要最基本的理论，它一方面可以直接判断线段是否成比例，另一方面，当它不能直接判断要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比转化为另外两条线段的比。对于没出现线段比的等式，利用等式的性质进行转化。
现在我们就来看看这理论在证明题中的应用。
我想，我们应该在课前认认真真备课，备学生，努力做到精讲精练，提高课堂教学质量，减轻学生学业负担，不搞题海战术。给予学生更多的自由支配时间，阅读课外书籍，让学生全面发展。
参考文献：
[1]毛永聪.中学数学创新教法—45分钟优化设计[M].学苑出版社出版，1999.
[2]五年中考三年模拟[M].科学教育出版社.
[3]《初中数学教与学》.
【关键词】数（式）中 几何图形中 数学定理中 解题中
对称的含义比较广泛，从狭义上说，是指通常意义上的几何对称和代数对称；在广义上讲，还包括对偶、匀称、均衡、平衡、不变性、和谐统一等方面的内容。从这样的角度认识对称，才能领悟数学的美――它是高度严谨和合理而达到的和谐，那是一种令人神怡的内在和谐――这种合理与和谐，是作为数学科学的广义对称。
在中学数学教学内容中，体现了丰富的形与数的形象对称与抽象对称。中学数学解题方法中也渗透了对称的思想。对称性是数学美的最重要的特征。在教学中，如果能提高学生的数学审美能力，必能进一步激发他们学习数学的兴趣，变苦学为乐学，达到事半功倍的效果。下面简要谈一谈对称性在中学数学中的体现和应用。
1.数（式）中体现出的对称美
数（式）中体现出的对称美，主要体现在数（式）的结构上。例如下列公式中，a+b=b+a，ab=ba，a2-b2=（a+b）（a-b），（a±b）2 = a2±2ab+ b2 ，a3+b3 = （a+b）（a2-ab+b2） a与b的位置都具有对称关系，它们在公式中的地位是一样的，公式显得对称而美观。如果学生能领悟到这点，则有助于他们记忆和运用公式，降低学习难度。再比如轮换对称式a3+b3+c3-3abc中，a、b、c是对称的，并不是说它们各占30%，也是指它们的地位是平等的，但如果改为a3-b3+c3-3abc，a、b、c就不再对称，但a和c仍是对称的，这些需要我们仔细体会才能领悟。
2.几何图形中的对称美
中学数学中学习的两个图形关于某一条直线成轴对称以及轴对称图形、中心对称图形等，是数学对称美的一种极富特色的表现形式。这些图形匀称美观，所以在日常生活中用途非常广泛。中外许多著名的建筑物，如北京中国美术馆、广州中山纪念堂、克里姆林宫、吉隆坡石油双塔、巴黎圣母院、印度泰姬陵等，都是建筑师根据数学上轴对称图形的特点设计出来的。通过向学生介绍这些中外著名的对称建筑，使学生拉近生活与数学的距离，让学生感受数学中的美在生活中的指导作用，从而激发他们学习数学的热情。
3.对称在中学数学定理中有充分体现
从广义的角度来说，中学数学中许多定理都蕴藏了对称的思想。比如三角形内角平分线性质定理与三角形外角平分线性质定理及其证明就是这样：
三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线内分对边所得两条线段和这个角的两边对应成比例。这个性质定理的证明用符号语言可译为：如图1，ABC中，AD平分∠BAC， 求证：DBDC=ABAC
图1
事实上，在图1中过点D作DE∥AC交AB于E，可得DBDC=BEEA，易证ED=EA， BEED=BAAC，于是得到BDDC=ABAC
三角形外角平分线性质定理：三角形一个外角的平分线如果与对边的延长线相交，那么该交点外分对边所得两条线段和这个角的两边对应成比例。这个性质定理的证明用符号语言可译为：如图2，∠EAC为ABC的外角，AD′平分∠EAC交BC延长线于D′，求证：D′BD′C= ABAC
图2
分析：如图1中，如果称D为BC的内分点的话，从广义对称的角度，则可称图2中的D′为BC的外分点。从对称的思想来看，同一顶点A处的内、外角平分线地位平等，因此得出的结论也应相同。事实上，与三角形内角平分线性质定理的证法完全一样，在图2中过点D′引AC的平行线即可得证。
从上可看到，由“内”到“外”对称地思考问题，给我们带来的意外惊喜和发现。
4.对称思想也是我们解题时探索思路，发现解法的一个源泉
在中学数学习题中，有很大一部分题目是从对称性的角度提出来的，如等式两边成分相同，式中已知元素的地位等同等等。善于发现已知条件的对称性，由此获得解题思路，并迅速做出工整、正确的解答，是中学数学习题解答中经常使用且行之有效的方法。
例1：分解因式a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）
解：该题给出的多项式对a、b、c循环对称。若将a替换为b，则式子为0，故式
子有因式（a-b）。同理，式子也有因式（b-c）和（c-a），因此可设
a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）=k（a+b+c）（a-b）（b-c）（c-a），
k为待定系数，易算得k=-1
a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）=-（a+b+c）（a-b）（b-c）（c-a）
例2：如图3，AH是锐角ABC的高，AB+BH=HC。求证：∠B=2∠C。
证明：作线段AB关于AH的对称线段AB′，得AB=AB′，
等腰ABB′中，AHBB′，BH= B′H
AB+BH=HC， AB= B′C
∠C=∠B′AC
又∠A B′B=∠B， 且∠A B′B=∠C+∠B′AC
∠A B′B=2∠C， 即∠B=2∠C。
一、平面图形的翻折问题
所谓平面图形翻折问题，就是沿着平面图形中的某条或几条线段将平面图形翻折，使之成为空间几何体，再以此为载体考查线线、线面、面面等位置关系或数量关系的问题。平面图形翻折前后，有些元素之间的关系已经发生了变化，有些则没有发生任何变化，因此图形翻折前后相关元素之间的关系的变与不变则成为解题的关键。一般的规律是这样的：翻折后还在同一个平面上的元素，性质不发生变化；不在同一个平面上的，性质可能会发生变化。研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，成为解决这类问题的关键性依据，这也是解决翻折问题的通性通法。
在图形的折叠过程中，平面图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变，这些定值问题是立体几何中的重要问题，同时更是我们容易忽视的地方，因此应重视分析不变的关系。在解决这类问题的过程中，常常会因为解题的方法选择不当，再加上不断变化的图形，几何元素间的关系错综复杂，使得解题过程变得繁难，增大了运算量，甚至于半途而废。如果借助坐标，能在变化莫测的图形中，运用代数方法加以解决。
二、立体几何的综合问题
立体几何综合问题（解答题）一般考查元素间的位置关系和数量，如证明线线平行或垂直、线面平行或垂直、面面所成角等，以此来考查学生对立体几何的掌握情况。综合试题的解答一般有两种思路：传统法和向量法。
传统法是借助立体几何的相关定义、定理（判定和性质）、公理，通过严格的逻辑推理来完成。线线平行（垂直）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直）的相互转化是解决与平行（垂直）有关证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向。平面几何中一些平行（垂直）的判断和性质的灵活应用，如中点、中位线（有中点就予以考虑）、平行线分线段成比例、勾股定理证明直角等，这些性质也是空间线面平行（垂直）关系证明的基础。
向量法是通过建立空间直角坐标系，求出相关的坐标，结合有关公式，利用向量的计算完成证明或求解，主要解决角和距离及其相关的问题，如线线角、线面角、面面角、点到面的距离、多面体的体积等。
（1）证明：PQ∥平面BCD；
（2）若二面角C-BM-D的大小为60°，求∠BDC的大小.
解：（1）如图2，取MC中点R，AC中点S，则RQ∥SM，因为SM//CD，所以RQ//CD，
又因为PR是MBC的中位线，所以PR//BC，又因为PR∩RQ=R，BC∩CD=C，从而平面PQR//平面BCD，因为PQ？奂平面PQR，所以PQ//平面BCD.
（2）如图3，作CGBD于点G，作GHBM于点H，联结CH.因为AD平面BCD，CG平面BCD，所以ADCG.又CGBD，AD∩BD=D，故CG平面ABD，BM？奂平面ABD，所以CGBM。又GHBM，CG∩GH=-G，故BM平面CGH，所以GHBM，CHBM.故∠CHG为二面角C-BM-D的平面角，即∠CHG=60°。
著名教育家陶行知说：“兴趣是最好的老师.”如何在数学教学中激发学生的学习兴趣，提高学习成绩呢？笔者从巧编数学口诀入手，谈谈粗浅的认识.
优美的语言表达无疑能激起人们的愉悦之感，朗朗上口的口诀或歌谣，妙趣横生，更使人记忆深刻.数学教师在教学过程中，除了规范而又准确，流畅而又不失优美，生动而又风趣的语言表达外，对枯燥乏味、深奥难学的数学内容编出一些七言诗形式的口诀或歌谣，会韵味十足，能创造出一种愉快的教学情景，激发学生的学习兴趣.
在教学列方程解应用题时，一般有以下步骤：画草图审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答等.为了使学生加深理解，编口诀如下：“数形结合画草图，一审二设三找量，四列五解六检验，七写答案不能忘.”这样一来，学生兴趣大增，解题步骤非常明确，丢掉解题步骤的现象大大减少.
在教学一元一次不等式组和它的解法时，学生常常对求各个不等式解集的公共部分感到困惑，经常写错解集，关键是抓不住公共部分.于是编一段求不等式组解集的口诀：“数形结合画数轴，各个解集排排座.大于大于取大的，小于小于取小的.大小小大取中间，没有公共是无解.”通过数轴形象直观地画出各个不等式的解集，求出各解集的公共部分，并把公共部分画上阴影，抽象的不等式解集很快就确定下来了，学生学起来也就不感到吃力了.
在教学梯形的有关内容时，学生对梯形的的常用辅助线难以把握.于是编一段口诀：“有时应该平移腰，有时应该作出高.有时平移对角线，有时延腰到相交.”这段口诀起到先声夺人的作用，学生听得有滋有味，用起来得心应手，增强了学习梯形的兴趣.
在教学直角三角形中四种三角函数时，特殊角的三角函数值是重点内容，然而有时却会突然忘记.这就要求学生对三角函数定义要理解准确，那么在关键时候可临时推导，即sinα＝α对边／斜边，cosα＝α邻边／斜边，tanα＝α对边/邻边，cotα＝α邻边/对边.先让学生在一副三角板上做上标记，即在30度角对边刻上单位长1，斜边为2，根据勾股定理，60度角对边为；45度角对边各为1，斜边为.通过三角函数定义再化简即可导出特殊值.编口诀一首：“正弦余弦正余切，对邻斜边要分清.四大定义特殊值，牢记心上不放松！”学生对枯燥无味的数据顿时来了兴趣.
在教学函数内容时，涉及到四种初等函数，即一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数.很多情况下要通过函数图象去解题，分清楚各个字母的含义，用待定系数法求解析式，学生对函数这一章内容深感抽象，乏味得很.于是编一段口诀概括如下：“一正二反四函数，升降增减坐标图.待定系数解析式，字母范围分清楚.”口诀简单明了，学生通过函数图象去分析，收到良好的效果.
在初中几何总复习时，学生常常对如何添辅助线感到头痛.一旦遇到要作辅助线，便感到束手无策，不知如何下手.于是，编一段常用辅助线口诀，立即吊起了学生的胃口，学习兴趣大增.“辅助线儿如何添，找出规律有几点：题中有角平分线，可向两边作垂线；线段垂直平分线，可向两侧把线连；三角形有边中点，连结即成中位线；三角形中有中线，延长中线一样长；成比例时证相似，经常要作平行线；作线原则有一条，证题线段别割断；圆中如有一切线，切点圆心把线连；如果两圆内外切，经过切点作切线；两圆相交得两点，一般作它公共弦；直径或者是半圆，想得直角把线连；弦心距儿不可忘，连心线儿也常添；辅助线儿是虚线，画图时候注意点.”这一段辅助线口诀，概括了初中几何的一些常用辅助线，寓教于乐，同学们在潜移默化中既得到了美的享受，又对几何知识加深了理解.抽象枯燥的几何图形一下子变得生动活泼起来，这比干巴巴的定理法则好记多了.同学们也就乐于去读，乐于去记.有时同学们自己也编出一些口诀或顺口溜，真有些熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟的味道. 转贴于
语言是思维的窗口，数学语言要求文字简炼，含义确切，逻辑性强.这就要求我们平时要多观察，多思考，多总结，用通俗易懂的语言去教学，使学生在掌握知识的同时，培养学生的思维能力，开发学生的智力，形成一定的技能技巧，提高解题能力.把重要的数学思想数学方法传授给学生，教学需要勇于创新.“创新是一个民族的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力.”创新对于一个国家和民族的发展 有巨大意义，历史悠久的中华民族正需要创新的动力焕发青春活力去全面建设小康社会.
一、渗透“数形结合”思想，培养学生的形象性、创造性
几何问题可以用代数方法来求解，一些代数问题也可以化为几何问题加以研究，这就是数形结合思想。
“数”和“形”是数学研究中既有区别又有联系的两个对象，突出数形结合思想，有利于学生从不同的侧面加深对问题的理解。数形结合能使抽象复杂的数量关系通过图形直观形象地表现出来以帮助问题简捷获解，还能使图形性质通过数量计算、处理和分析达到更完整、严密、准确，从而自然地展现着数学的和谐美。如教材中在列方程（组）解应用题的分析中利用了直线型、圆型示意图；在线段和角的计算中利用了方程；将勾股定理的内容放到代数中讲，黄金分割内容却运用代数知识等。此外，还借助数轴这数形结合的良好载体，在“有理数”一节形象生动地介绍了相反数、绝对值、有理数等。前者减少了概念引入的困难，后者把抽象问题变得容易理解。这正是数形结合的玄妙之处。
二、渗透“分类思想”，培养学生思维的条理性、目的性
数学中的分类思想是根据数学对象本质属性的异同把数学对象分为不同种类的思想。分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间内在的规律，有助于学生总结、归纳数学知识，使所学知识条理性。分类时应保证分类对象既不重复又不遗漏，每次分类都保持同一分类标准。如“整数和分数统称有理数”这是根据“整”和“不整”对有理数的外延进行分类的定义方法。事实上有理数还可以采用别的标准分类。如按数的性质分，有理数包括正有理数、负有理数、零；按“整”和“不整”及数的性质分，有理数包括正整数、正分数、零、负整数、负分数。这样学生懂得研究问题时，应根据问题的需要采取不同的标准，将讨论的对象不重复、不遗漏地分成若干情况，逐一加以研究，从
而使复杂问题简单化、条理化。
三、培养学生思维的灵活性、辩证性
化归思想是根据主体已有的知识经验，通过观察、类比、联想等手段把问题进行变换、转化直至化为已经解决或容易解决的问题的思想。“转化与变换”是化归思想的实质。如解方程（组）、解不等式就体现了化归思想：高次方程、分式方程、无理方程等各自使用不同的方法（因式分解、恒等变形、变量代换）使之降次、消元、整式化、有理化最后归结为一元一次方程或一元二次方程求解。为实现转化，相应地产生了许多方法如消元法、降次法、换元法、图像法、待定系数法、配方法等。通过这些数学思想方法的使用，使学生的辩证思维能力大大加强。
四、渗透“类比思想”，培养学生思维的广阔性、逻辑性
类比思想是通过联想迁移由一个事务的性质和变化规律去研究和发现另一事物相关内容的思想，类比是一种重要的推理方法，它具有猜想的性质，类比思想有助于发现创新、解决问题。当遇到一个数学命题时，我们往往联想起于它类似的问题、类似的条件、类似的形式、类似的解法……并联想到与它相关的概念、定理、公式、法则，从而开阔思路，启迪思维，起到由此及彼、由表及里、举一反三、触类旁通的作用。如整式的除法与整数的除法类比；分式的定义、性质、运算与分数的相应内容类比；平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理类比等，使学生顺利理解新知识，发展思维的广阔性。
五、渗透“函数思想”，培养学生思维的指向性、深刻性
函数思想是指用运动、变化的观点去观察、分析和处理问题的思想。变量变换、数形结合及用函数观点解题都是函数思想的表现形式。在教学过程中要全方位地用运动、变化的观点揭示知识的内在联系引入解释数学概念，使函数融进学生的认知机构，并引导学生用函数思想看待数学知识。如让学生明确一次二项ax+b可看作是以x为自变量的一次函数式；求代数式ax+b的值就是求函数ax+b的函数值；一元一次方程ax+b=0的解就是一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的横坐标；不等式ax+b＞0的解集就是直线y=ax+b之图形在x轴上方时x取值范围等。函数思想牵动着数学思维线路的条条神经，但函数思想的建立非一日之功，须在实践中挖掘、提炼、领悟。教学中要激励学生在解题时随时启动这根“杠杆”，增强学生思维的深刻性。
