时间：2023-06-04 10:48:49
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇分数除法的意义，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
2、会解答已知一个数的几分之几是多少求这个数的实际问题。
3、理解比的意义，知道比与分数、除法的关系，并能类推出比的基本性质。能够正确地化简比和求比值。
4、能运用比的知识解决有关的实际问题。
单元重点：
一个数除以分数的意义以及计算方法，并会分数除法解决相关的问题。
单元难点：
一个数除以分数的计算法则的推导。
1、分数除法
（1）分数除法的意义和整数除以分数
教学目标：
1、通过实例，使学生知道分数除法的意义与整数除法的意义是相同的，并使学生掌握分数除以整数的计算法则。
2、动手操作，通过直观认识使学生理解整数除以分数，引导学生正确地总结出计算法则，能运用法则正确地进行计算。
3、培养学生观察、比较、分析的能力和语言表达能力，提高计算能力。
教学重点：
使学生理解算理，正确总结、应用计算法则。
教学难点：
使学生理解整数除以分数的算理。
教学过程：
一、复习
1、复习整数除法的意义
（1）引导学生回忆整数除法的计算法则：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
（2）根据已知的乘法算式：5×6＝30，写出相关的两个除法算式。（30÷5＝6，30÷6＝5）
2、口算下面各题
×3××××6×
二、新授
1、教学例1
（1）出示插图及乘法应用题，学生列式计算：100×3＝300（克）
（2）学生把这道乘法应用题改编成两道除法应用题，并解答。
A、3盒水果糖重300克，每盒有多重？300÷3＝100（克）
B、300克水果糖，每盒100克，可以装几盒？300÷100＝3（盒）
（3）将100克化成千克，300克化成千克，得出三道分数乘、除法算式。
×3＝（千克）÷3＝（千克）÷3＝3（盒）
（4）引导学生通过整数题组和分数题组的对照，小组讨论后得出：分数除法的意义与整数除法相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另个一个因数。都是乘法的逆运算。
2、巩固分数除法意义的练习：P28“做一做”
3、教学例2
（1）学生拿出课前准备好的纸，小组讨论操作，如何把这张纸的平均分成2份，并通过操作得出每份是这张纸的几分之几。
（2）小组汇报操作过程，得出：将一张纸的平均分成2份，每份是这张纸的。
4÷2
5
（3）引导学生数形结合，对照不同的折法，说出两种不同的计算方法。
A、÷2＝＝，每份就是2个。
B、÷2＝×＝，每份就是的。
（4）如果把这张纸的平均分成3份呢？让学生从上面两种方法中选择一种进行计算，通过操作对比，让学生发现第二种方法适用的范围更广。
4、引导学生观察÷2和÷3两个算式，概括出分数除以整数的计算法则：分数除以整数，等于乘上这个整数的倒数。
三、练习
÷3÷3÷20÷5÷10÷6
四、总结
一、利用分数除以整数，开启分数除法计算
在分数除法教学中我们首先利用分数除以整数作为教学的第一步。课堂开始我们拿出学生们熟悉的“蛋糕模型”，我们将蛋糕模型平均分为5份，然后随机拿出3份，提问：“你们告诉老师我拿出来的蛋糕占整个蛋糕的几分之几？”学生异口同声地回答：“占全部蛋糕的五分之三。”教师在黑板上写下。之后教师将这三块蛋糕分别分给前排的三个学生，教师提问：“每个学生拿到全部蛋糕的几分之几？”学生们异口同声地回答：“每个学生拿到全部蛋糕的五分之一。”教师在的右侧写上。
教师提出探究性问题：“请同学们试用数学形式表示块蛋糕的由来。”之后我们将全班学生分为若干讨论小组进行讨论。在一番讨论之后，第一组学生说：“我们认为由于老师从五块蛋糕中拿出来的三块是大小相同的，所以将三块蛋糕分为三个学生的过程可以看作平均分配，可以看做除法的过程，可以用除法表示。”第二组学生说：“我们的计算过程是这样的，3÷3=1，每个学生得到一块蛋糕，而每块蛋糕占全部蛋糕的五分之一。所以得到。”第三组学生说：“我们进行了一次大胆的猜想，我们的计算过程为÷3=。因为在算式中每一个分子1都来自同一块蛋糕，所以我们认为将三块蛋糕平均分给三个学生的过程实际上是分子的变化过程，与分母无关。所以在计算中我们只需对分子进行计算，进而得到。”第三组学生说得有理有据，具有一定的说服力，我们给予该组学生表扬，并且以此为基础引出“分数除以整数，分母不变，只做分子除法”的计算法则。
二、利用整数除以分数，引出颠倒相乘计算法
分数除法教学的第二个阶段为整数除以分数。在这个教学阶段我们首次将分数作为除数，做好这一阶段的教学工作可以为“分数除以分数”的教学埋下一个良好的伏笔。对于整数除以分数的教学我们同样采用由浅入深的教学设计。首先我们以最简单的分数除法为敲门砖。我们在黑板上写下：“1÷”让学生进行计算，并且说出计算意义。仍以小组讨论的方式。在约2分钟的讨论之后，第一组学生说：“我们采用‘蛋糕模型’，1作为一个蛋糕，代表将1个蛋糕分成2份，每1份为整体的二分之一。所以我组的计算结果为2。”第二学生说：“我们利用小数与分数的关系进行计算。=0.5，所以1÷=1÷0.5=2。”我们首先给予学生鼓励。接下来我们在黑板上写下：2÷，仍然让学生分组讨论，但这一次的讨论结果正如我们所料，学生纷纷表示不会计算。这时我们介入引导，我们拿出教学道具：一根两米长的绳子和一根一米长的绳子。进而引导学生思考：“现在只要利用这根绳子我就可以计算出答案。”一些学生率先想到了计算方法，举起手来。教师请一名学生上台，并且辅助其完成计算。学生先将一米长的绳子折成长度相等的三段，剪去其中一段，以剩下的绳长为单位测量两米长的绳子。结果发现2米长的绳子中含有3个该绳长。所以2÷=3。
由此我们总结分数除法的意义为：在整体中包含多少个个体，与整数除法的意义相同，所以整数除法的运算法则同样适用于整数除以分数的计算。在为学生打下分数除法的概念基础后，接下来的教学任务就迎刃而解了。我们出题：4÷，这一次我们引导学生认识分数除法的一般规律。设4÷=x，根据除法的计算法则，我们可以将等号两边同时乘以变为4÷×=x×，所以4=x×。根据分数乘法的运算法则×=1，我们同时在的等号两边乘以，得到4×=x××，所以x=4×。我们将计算前后的算式整合到一起，得到4÷=4×。学生发现当÷变成了×，除数的分子与分母发生了对调，这一现象十分有趣。学生迫不及待地想要试一试自己解题，我们给出几道例题：1÷，4÷，3÷在计算过程中我们发现学生在练习中的情绪十分积极，而且觉得这种变化十分好玩，形成兴趣学习氛围。之后我们又给出之前做过的分数除以整数的算式÷3，经过变形后得到×=，与之前的计算结果相符。根据除法的意义该该算式进行解释：取分份蛋糕的，也与蛋糕分配过程相符，说明分数除法的计算公式通用。由此我们可以总结：整数除以分数时，计算法则为“颠倒相乘”。
三、利用分数除以分数，掌握分数除法一般性
分数除法的最后一个教学内容为分数除以分数。以分数除以整数、整数除以分数为基础，分数除以分数也变得没有那么难了。首先我们在教学中为学生证明在分数除以分数中分数除法的运算法则同样有效。我们首先来举一个小例子。例题：以一班总人数为标准，二班男生数量是一班总人数的，二班女生数量是一班总人数的，问二班男女学生比例为多少。解题：我们设一班总人数为“1”，那么二班男生人数为，女生人数为，那么男女生比例为：，即÷。
利用上文总结的分数除法运算法则得到÷=×==21：10。为了验证这一结果是否正确我们假设一班总人数为70人，带入得二班男生人数为42人，女生人数为20人，二班男女学生比为42：20=21：10。与分数除法计算结果相同，说明分数与分数的除法适用分数除法的运算法则，即颠倒相乘。为了进一步验证分数除法法则的一般性，我们让学生解析例题÷。除法意义：中含有几个，因为×3=，所以结果显然为3个。研究过程：设÷=x，÷×=x×，=x×，×4=x××4，结果为3=x，与结论相符，说明颠倒相乘在分数除法中具有一般性。最后我们开展习题训练，练习中要加强学生对“颠倒相乘”的理解，复习分数乘法以及约分。
（延边教育出版社理科编辑室，吉林延吉133000）
摘要：本文对人教版数学教科书中“分数与小数”部分在概念的教学以及教材结构方面存在的问题进行了分析，并在此基础上，从数学学科知识和教材编写的角度，对分数与小数的教学提出一些有针对性的建议，进而对教材中数学概念的教学提出一些想法，力求使“分数与小数”内容教学更加科学，并对进一步体现数学教科书的功能提供参考。
关键词：小学；数学教科书；分数；小数
作者简介：严今石（1971-），女，副编审，硕士，从事数学教材的翻译、编写和研究工作。
一、引言
分数历来是在小学数学中既不易“教”也不易“学”的内容。尽管教科书中对分数的三种含义都提到了，但教育反馈的结果表明，大部分学生系统地学完分数之后，对分数的认识还停留在其“份数”定义，而且并不了解小数、分数、比的含义。这直接导致应用这些概念去解决问题带来困难。因而，对目前教材中“分数与小数”内容的编写以及教材中数学概念的教学进行反思，针对不足提出编写建议，就显得尤为迫切和必要。本文试从“分数与小数的意义”的教学和“教材编写”两个方面对小学数学教科书中概念教学进行探讨。
二、问题的提出
1.在引入小数概念中存在的问题。人教版数学教科书中，对“小数”概念是通过十进制分数来建立的，通过举例的方式，随即进行归纳，直接提出概念。如通过例子[1]，“把1 米平均分成10份，每份是1分米。1分米是1/10米，还可以写成0.1米。把1米平均分成100份，每份是1厘米。1厘米是1/100米，还可以写成0.01米”，来说明小数的意义，使学生知道“分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示”的事实。这里又是借助长度单位，又是利用分数的意义，说的过于复杂。
实际意图是想阐述“1/10还可以写成0.1，1/100还可以写成0.01”的规定，但最终还是没有讲清楚“十进分数为什么可以用小数来表示”的道理。这样做，也许是因为考虑到这个年龄段孩子们的认知能力，但这样的定义方法就导致学生可能仅仅知道小数概念的外延，而无法理解引入小数概念的必要性，不能深刻地认识概念的本质。教材除了在教学小数意义时，借助计量单位的十进关系（如长度单位）来帮助学生理解外，讲小数的性质以及在练习中也安排了很多根据十进制计量单位理解小数的实际意义的练习。其实，小数意义的理解要涉及到十进分数，虽然教科书中在前面安排了“分数的初步认识”[2]，但是由于在初步认识阶段，对这些知识的介绍如“蜻蜓点水”、“一带而过”，学生实际上对“分数”的认识很模糊，对小数教学来说，对“什么叫分数”还没弄清楚，所以对用它来定义的小数就不易理解了。
2.分数内容教学中存在的问题。分数是小学数学中的难点和重点，而分数内容的教学效果一直不太理想。原因何在？我想主要是因为没有帮助学生弄清基本概念，因为数学概念是数学中的核心问题，对它的理解和掌握，关系到学生解决实际问题的能力和逻辑思维能力的培养。事实上，概念本身有自己严密的逻辑体系。在一定条件下，一个概念的内涵和外延是固定不变的，这是概念的确定性。另一方面，概念作为人们反映客观事物本质属性的术语，也是由于人们认识的不断深化而不断发展变化的。例如，分数定义，按人们认识发展的顺序，一般有四种情况。分别是份数定义、商定义、比定义和公理化定义[3]。研究发现，对“分数”内容，教科书上没有处理好分数概念教学的发展性和阶段性之间的矛盾。
考虑到小学生的接受能力，结合儿童认识事物的特点，小学教科书中侧重从分数的“份数定义”[4]、“商定义”[4]、“比定义”[5]这三个层次，分阶段引导学生认识分数，学习分数，运用分数。但是，教科书中存在从“份数定义”向“商定义”和“比定义”过渡过程中处理不够到位、归纳不完整等一些问题，导致学生无法认识概念的本质。
如教科书中，通过样例1和样例2来总结出“分数与除法的互逆关系”，可是例1和例2都是关于等分物体的题，只能代表得出的结论对“等分除法”成立，而对除法的另一种实际应用“包含除法”能否成立还得经过验证。然而，教材中不仅避开了这种情况的讨论，在接下来讲的例3（正好是“包含除法”题）里反而用上了此结论，而得出了另一个结论：“求一个量是另一个量的几分之几，可以用除法计算。[4]”对这样的解释，学生只能认可而无法理解。这直接导致学生对“分数与除法关系”的了解只是停留在表面，没有从根本上知道其内涵，更不能作为分数意义的进一步扩展来理解。这不但局限了分数的价值，还给学生解决分数问题造成阻碍。
三、对“小数”与“分数”数学本质的分析
1“。 小数”的本质。目前，教材一般都从小数与分数的关系着手，利用分数来定义小数。从小数与分数的关系来看，小数确实是分数的一种，十进分数可以写成小数形式，但它并不是小数的本质。从“数系的扩展”角度来看，小数和分数的引入都是计数单位的扩展，即测量和计算以及分物时不能得到整数的结果，就得用更小的计数单位来表示和测量。其中，从整数扩展成小数的具体依据是“十进位值制记数原则”。在整数学习中，计数单位的扩展，尤其是“位值”概念的建立，而且“十进制计数”，为在建立小数概念、小数大小比较以及小数的运算等方面进行知识迁移提供了基础。因此，小数的本质在于“十进位值制记数法”。
2“。 分数”的本质。事实上，分数是从两种实际意义中产生的，因而具有两种具体意义。一种是由测量而产生（对应的除法为“包含除法”），另一种是由分物体而产生（对应的除法为“等分除法”），还有在理论层面上是由数学发展的需要而产生的（即除法运算得不到整数的结果时需要用新的数来表示）。分数的本质在于“能够表示不能整除情形下平均分以后得到的那个结果的大小”，即a能整除b（a，b都是自然数，a≠0）时，其商是整数；不能整除时，其商就是新的数，我们称它为分数。因此，分数的明确定义，就是两个自然数相除（除数不为0）的商。因而，分数教学就需要尽快从“份数定义”过渡到“商定义”。所谓“份数”定义只是初步认识时的过渡说法，至于“比”定义则是商定义的引申，其价值在于可用它来定量研究两个以上事物在量方面的结构关系。
四、对“小数”定义的对策和对“分数”定义及其教学的建议
1.对“小数”定义的对策。基于前面所提到的问题和以上的探讨，笔者认为可以将整数中十进制计数、位值概念的建立等基本构造思想和扩展长度单位时所用过的定义方法迁移过来定义小数。即当要表示不是整数的数值时，也可以用“把原来计数单位1平均分成10份后得到的每份”来计数。这个新的计数单位用“0.1”来表示，并读作“零点一”，依此类推就可以得到0.01，0.001，……等其他小数单位。
这样，避开分数来定义小数对“分数”教学也有好处。因为教科书中将“分数”的初步认识安排在三年级上册，其目的就是为了建立小数概念，然后分数的系统教学是安排在五年级下册里。这样由于两个阶段相距时间较长（正好两年半），给学生的理解和记忆造成了一定困难。此外，由于分数的“产生和含义”都放在了第二阶段上，所以系统学习时出现了不必要的重复。对概念下定义的过程，是对概念本质特征的一种归纳巩固过程。对于抽象的概念，过早的下定义，等于是索然无味的简单灌输，但定义下得太迟，又使学生的已有知识呈现零乱状态，不能及时地整理和总结，更不利于概念的定型化。
2.对“分数”定义及其教学的建议。笔者认为，关于“分数的认识”教学，既要重视概念的阶段性，又要注意到概念发展的连续性，要有计划地发展概念的含义，按阶段发展学生的抽象概括能力。因此，建议强调“分数与除法的等价性”，讲解更透彻一点，使学生真正认识到“分数与除法可以互逆，可以看作同一种运算”。对上面提出的问题，把例3改成“10只是7只的几倍？”和“7只是10只的几分之几？”的两个小题来，说明“分数与除法的等价性”对包含除法也成立，至于“求一个数是另一个数的几分之几，可以用除法计算”的道理，可以利用它们之间的对称关系来解释如下：“求10只是7只的几倍，就是求10里包含多少个7，所以要算10÷7得多少”。同样，“求7只是10只的几分之几，就是求7里包含多少个10，这里因为7比10小，不能把整个10都包含，但可以包含10的一部分，所以要算7÷10得多少”，在这基础上对除法的两种情况进行全面地归纳，得出结论才符合逻辑，学生也可以接受。而对数学概念不注重引入，只是简单举个例子，找出规律，将概念直接提出来的做法是不科学的，不利于培养学生良好的思维品质。
五、结束语
在小学阶段，分数与小数概念是非常重要的数概念，由于分数与自然数有着较大的差异，学生掌握分数概念比较困难，如果教科书中只是给出了抽象的定义，学生即便是了解了分数和小数的外延，也不一定懂它们的本质，对分数概念的产生、发展、延伸、变化，更没有清楚的认识。因而，在编写教材时，不妨去对潜藏在分数与小数概念中的思想作充分的分析，使得学生掌握概念最核心、最本质的特征。这样，能通过概念教学，让学生把握分数与小数的本质，体会其中的数学思想，从而使得分数与小数的教学取得更好的效果。
[1]课程教材研究所，小学数学课程教材研究开发中心。义务教育课程标准实验教科书数学三年级（下册）[M].北京：人民教育出版社，2007.
[2]课程教材研究所，小学数学课程教材研究开发中心。义务教育课程标准实验教科书数学三年级（上册）[M].北京：人民教育出版社，2007.
[3]张奠宙“。 谈小学数学本质”[J].人民教育，2009，（2 ）。
[4]课程教材研究所，小学数学课程教材研究开发中心。义务教育课程标准实验教科书数学五年级（下册）[M].北京：人民教育出版社，2009.
>> 谈小学数学分数与除法教学设计 小学数学分数乘除法应用题教学策略初探 小学数学分数乘除法应用题教学浅析 刍议小学数学分数乘除法应用题教学 例谈小学分数除法的计算教学 浅析小学数学“分数与除法的关系”教学体会 小学数学分数乘除法应用题之浅见 小学数学分数除法与实际问题间的障碍祛除 小学数学分数乘除法应用题解题策略 浅谈小学数学分数的教学 小学数学分数教学初探 小学数学分数教学措施研究 例谈引导法在小学分数乘除法教学中的应用 一节香港“分数除法”教学分享 “画数学”在小学分数教学中的应用探讨 关于小学数学分数应用题教学问题的探讨 小学数学《分数的意义》教学分析 浅谈小学数学分数应用题教学 小学数学分数应用题的教学思考 谈小学数学分数教学之策略 常见问题解答 当前所在位置：中国 > 教育 > 小学数学分数除法教学探讨 小学数学分数除法教学探讨 杂志之家、写作服务和杂志订阅支持对公帐户付款！安全又可靠！ document.write("作者：未知 如您是作者，请告知我们")
申明:本网站内容仅用于学术交流，如有侵犯您的权益，请及时告知我们，本站将立即删除有关内容。 【摘要】在小学数学教学过程中，分数以及除法均是其主要教学内容，同时也是教学过程中的难点所在，为了能够对小学数学课堂教学有效性进行提高，必须要对分数以及除法的教学有效性进行提高。下面本文就对小学数学分数除法的教学进行探讨。 【关键词】小学数学分数除法教学 在小学数学教学过程中，分数以及除法均是其主要教学内容，同时也是教学过程中的难点所在。在小学数学教学工作中，不少小学生对分数除法的实质及运用理解不透，导致数学学习困难，拉大了数学成绩的差距［1］。如何通过教学工作让学生们真正理解并掌握分数除法的知识呢？下面本文就以分月饼为例对小学数学分数除法的教学进行探讨。一、对小学数学分数除法的教学内容和目标进行明确
分数与除法是小学数学教学中的一个重点，同时也是较难为学生所理解的一个教学难点，这部分内容承接了之前有关分数的意义，分数单位等知识，进一步要求学生了解分数与除法的关系内涵，并能够根据分数与除法的关系掌握如何计算一个数是另一个数的几分之几的实际问题。学生在真正掌握了这部分内容后，能够进一步了解分数的意义，也能够为今后学习分数与小数的互化等知识做好铺垫。根据具体教学内容，我们可以确定以下教学目标：（1）引导学生理解并掌握分数与除法的关系，了解一个数除以分数的计算法则，学会用分数表示两个数相除的商［2］。（2）通过实际教学道具操作，使学生理解”3”的1/4就3/4。培养学生的分析、推理能力。教学重点和难点：“3”的“1/4”与“1”的“3/4”的含义。另外，还要准备相应的教学道具，如圆形纸板和绳子等，具体直观的为学生演示除法计算的具体过程。二、重点对教学过程中的难点进行分析
（1）从简入难的引入问题：利用课件出示一块饼，提问：把这一个月饼平均分给四个人，每个人能分到多少？引导学生说出每份是四分之一块，板书出“1÷4“和“1/4”，并让学生重点了解除法算式和分数表示的区别。继续提问：这里的“1/4”是把谁看做了那个整体“1”?小组讨论，分析，回答问题。让大家观察板书，概括分数与除法的关系，分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数。明白除法是一种运算，分数则是具体的数量。
（2）提出进一步的问题：如果如果把3个月饼平均分成4份，每份是这些月饼的四分之一，每一份是多少块？提问，板书出算式：“3÷4”。拿出圆形纸板，以小组为单位，每组四张，让学生亲自剪一剪，再拼到一起看一看，看看结果到底是什么？小组合作，交流，提问，几种分法，每个人能分多少？学生回答并用纸板演示过程：第一种分法：按照3个月饼，均分4份，每人一份，把每个圆形纸板各分为4等份，然后每个纸板拿其中的一份，三份拼到一起，再与完整的纸板对比，是完整纸板的3/4。第二种分法：把三张圆形纸板叠放到一起，同时剪成4等份，拿出其中重叠的一份，拼到一起，再与完整的纸板对比，占完整纸板的3/4。对两种方法做出比较，将两种方法下的纸板拼接好，放到一起进行对比，发现是一样大的，都是整块纸板的3/4，也就是说，每人能分到3/4个饼。
（3）带领学生一起归纳总结两种分法的区别与联系，概括分数与除法的关系。让学生们明白，按照两种不同的分法，3个月饼的1/4就是3/4个饼，而1个月饼的3/4也是3/4个饼，即：“3”的“1/4”与“1”的“3/4”相等。使学生体会到分数的表示具体数量的含义。
（4）提出问题，如：小明3/5小时走了1千米，计算他1小时走了多少千米？板书算式“1÷3/5”讨论计算方法，总结计算法则。即：一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。
（5）课堂内容结束时进行总结，巩固练习，课后拓展和延伸：利用实际生活中的各种分数和除法问题，带领学生进行多个具体问题的分析计算，例如，可以利用班上的学生人数进行分组，让大家自由提出问题并解决问题，增强学生的理解能力和解决问题的能力。课堂内容结束后，为学生布置适量的课后巩固练习，并鼓励大家思考一个数除以分数，如果这个数是分数而不是整数怎样计算［3］。三、小学数学分数除法的教学总结
1 教学的方式方法方面：（1）从事教学工作的教师要具备足够的耐心和责任心，认真进行备课及课堂教学。（2）在教学设计时尽可能多的增加直观演示，利用各种教学道具，课件，图片等直观的对教学内容进行演示。（3）在进行新知识内容的讲解时，要合理的提出疑问，巧妙的进行引导，结束讲解时要及时全面的对所有知识点进行归纳总结，带领学生梳理知识脉络［4］。
一、教学目标：
1、理解比的意义，掌握比的读法和写法，认识比的各部分名称。
2、掌握求比值的方法，并能正确求出比的比值。
3、培养学生抽象、概括能力。
二、教学重点：
理解比的意义，掌握求比值的方法。
三、教学难点：
理解比的意义，建立比的概念。
四、教学过程：
一、谈话引入
在日常生活和和工农业生产中，常常需要对两个数量进行比较。比较的方法我们已经学过两种（比较两个数量之间相差关系用减法；比较两个数量之间的倍数关系用除法），今天我们学习一种新的比较方法，叫做比。（板书：比的意义）
二、讲授新课
（一）比的意义
1、出示例题：一面红旗，长3分米，宽2分米。长是宽的几倍？宽是长的几分之几？
板书：3÷2＝ ＝
2÷3＝
（1）3÷2表示什么？长是宽的几倍也可以说成谁和谁在比？是几比几？长和宽的比是3比2表示什么？
（2）2÷3表示什么？宽是长的几分之几也可以说成是谁和谁在比？是几比几？宽和长的比是2比3表示什么？
小结：
a、长是宽的几倍，有时也可以说成长和宽的比是几比几；宽是长的几分之几，有时也可以说成宽和长的比是几比几。
b、3分米和2分米都表示长度，它们是同一种量，我们就说这两个量的比是同类量的比。
（3）练习：有5个红球和10个白球，求红球是白球的几分之几，怎么算？也可以怎么说？求白球是红球的几倍，怎么算？也可以怎么说？
通过上面的例子，可以看出：比较两个数量之间的倍数，可以用两个数相除的方法，有时也可以说成这两个数的比是几比几。
2、出示例题（扩展比的概念，进一步理解比的意义）
一辆汽车，2小时行驶100千米，每小时行驶多少千米？
（1）求的是什么？谁除以谁？也就是谁和谁进行比较？
（2）汽车行驶路程和时间的比是100比2表示什么？
（3）思考：单价可以说成是谁和谁的比？
工作效率可以说成是谁和谁的比？
商可以说成是谁和谁的比？
（4）小结：通过刚才的例子可以看出，用表示两种数量的数相除，可以得到新的量，这个新的量也可以用两个数的比来表示，我们就说这两个量的比是不同类量的比。
3、归纳总结
板书：两个数相除又叫做两个数的比。
4、练习、
（1）学校里有10棵杨树，7棵柳树，杨树和柳树棵数的比是（
），柳树和杨树棵树的比是（ ）
（2）小华用2分钟口算了50道题，小华口算的题量和所用时间的比是（ ）。
（3）学校食堂买20千克青菜，用了10元钱；买了30千克萝卜，用了42元钱；买萝卜和青菜数量的比是（ ），青菜和萝卜单价的比是（ ）。
（二）比的各部分名称和求比值的方法（演示课件“比的意义”）下载
1、两个数相除又叫做两个数的比，说法变了，书写格式和名称也就变了。
例如： 3比2
记作：3∶2
2比3
记作：2∶3
100比2
记作：100 ∶ 2
“∶”叫做比号，读作比（比号在两个数中间，注意与语文中的冒号区别），比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
（三）、比、除法、分数之间的关系（演示课件“比、除法、分数的异同”）下载
提问：两个数相除又叫做两个数的比，比和除法到底有什么关系？
学生观察板书，小组讨论。
生：比的前项相当于除法中的被除数，比号相当于除法中的除号，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于除法中的商
提问：（1）为什么要用“相当于”这个词？能不能用“是”？（比与除法既有联系，也有区别，除法是一种运算，比则表示两个数之间相除的关系，所以只能用“相当于”这个词）
（2）在除法中，除数不能是零，那比的后项呢？
师：比还有一种表示方法，就是分数形式。例如：
板书：3 ∶ 2可以写成 ，仍读作“3比2”
2 ∶ 3可以写成 ，仍读作“2比3”
提问：比和分数有什么关系？
生：：比的前项相当于分子，比号相当于分数线，比的后项相当于分母，比值相当于分数值。
三、巩固练习
1、填空
两辆汽车，甲车4小时行驶200千米，乙车3小时行驶180千米
甲车的速度可以说成（ ）和（ ）的比，是（ ）∶（ ），比值是（ ）。
乙车的速度可以说成（ ）和（ ）的比，是（ ）∶（ ），比值是（ ）。
甲、乙两车所行路程的比是（ ）
甲、乙两车所用时间的比是（ ）
甲、乙两车所行速度的比是（ ）
2、选择
(1) 大卡车载重量是5吨，小卡车载重量是2吨，大小卡车的载重量比是 。（ ）
（2）如果a是b的3倍，那么a和b的比是1∶3。（ ）
（3）小强的身高是1米，爸爸的身高是173厘米，小强和爸爸身高的比是1∶173。（ ）
3、思考题：
（1）甲乙两队比赛结果是3 ∶ 2，是指这节课所学的比吗？
（2）根据男、女生人数的比是4∶5，你可以知道男女生的具体人数吗？
4、一台机器上有大小两个齿轮，大齿轮有100个齿，每分钟25转；小齿轮有40个齿，每分钟120转。根据所给条件，你可以写出哪些比？
四、课堂小结
今天这节课你学到了哪些知识？比和除法、分数之间的联系是什么？区别呢？
五、课后作业：
一、动、静交替，讲、练结合，优化课堂教学
根据小学生的心理特点和认知水平，在教学中，通过动、静交替，讲、练结合，调动学生多种感官参于学习，使学生的大脑始终保持兴奋状态，这样，有利于课堂教学的优化。
例如，在学习“分数的意义”这一内容时，可先让学生把一张正方形的纸对折，平均分成2份、4份、8份；把一个苹果平均分成2份、4份；把一个圆平均分成3份、6份；把一条线段平均分成5份，全国公务员共同天地、10份；……在操作中，教师引导学生体会“一个整体”、“平均分”、“每一份占总份数的几分之几”的意义。在以上操作的基础上，让学生结合自己的操作完成以下填空练习：
1、把一个苹果平均分成2份，每份占这个苹果的（），单位“1”是（）。
2、把一个圆平均分成3份、6份，每份分别是这个圆的（）、（）。
3、把一条线段平均分成5份、10份，每份分别是这条线段的（）、（），单位“1”是（）。
教师在教学中着重讲清单位“1”和自然数“1”的不同之处：分数中的单位“1”可表示一个物品，也可表示一个整体，如一个苹果、一堆沙子、一个班集体、一件工程等，被分的那个整体被看作单位“1”。再通过“平均分”和“不平均分”的比较，强调“平均分”的意义。通过以上操作、练习、讲解，使学生对“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份或者几份的数，叫作分数”这一定义有较为深刻、准确的理解。，全国公务员共同天地
二、通过知识迁移，沟通新、旧知识间的联系，培养学生灵活解答数学问题的能力
小学数学是一个多层次、多方面的知识体系。运用知识的迁移规律，有助于学生学习新知识、解决新问题。要做到这一点，教师必须深入钻研教材，沟通新、旧知识间的联系，对知识进行类化，使之有利于知识的迁移，培养学生应用知识灵活解答问题的能力。
例如，除法、分数、比是三个既有联系、又有区别的概念。通过知识的迁移，既有利于学生掌握新知识，又使学生弄清这几个概念之间的异同：虽然“比”的前项相当于除法中的被除数、分数中的分子，后项相当于除法中的除数、分数中的分母，“：”相当于除法中的除号、分数中的分数线，它们都可表示两数相除的关系，但除法是一种运算，分数是一个数，“比”既可表示同类量之间的相除关系，也可表示不同类量之间的相除关系。根据三者之间的联系，在解这三类应用题时，通过灵活转换，化难为易，提高学生解答应用题的能力。例如，在教学“把一种农药和水按照1∶2500配成药水。在1000千克的水中，应放这种农药多少千克”这道题时），可用比、分数、除法三种方法解答：
用比例方法解：1∶2500＝x∶1000x＝0．4
用分数方法解：1000×（12500）＝0．4（千克）
展
【中图分类号】 G623.5 【文献标识码】 A
【文章编号】 1004―0463（2016）02―0124―01
分数应用题是一个庞大的体系，而分数又是一个很抽象、很复杂的概念，学生理解起来比较困难。如果这部分内容就教材学教材，学生所掌握的知识是零散的，无法建构数学模型，解题时漏洞百出，以至于对后续“百分数的应用”以及“按比例分配”等知识的学习都会有一定的影响。笔者认为，针对教材编排特点和学生学习的实际情况，教学这部分内容时应在“梳理、建模、拓展”这三个方面下功夫。
一、梳理知识
学习分数乘法和分数除法的相关知识时，一定要让学生养成及时梳理知识的习惯，要鼓励他们把整单元知识中每一个课时中的内容联系起来，串成一条知识链。例如，分数除法中第一课时“分数除以整数”围绕平均除阐述了分数除法的意义和计算方法，第二课时，一个数除以分数。围绕包含除阐述了分数除法的意义和计算方法。除法中不论平均除还是包含除都是乘法运算的逆运算，因此，学完这两课时内容后，可以把分数除法的意义串成一条链，总结为“已知两个乘数的积与其中的一个乘数，求另一个乘数的运算。”而分数除法计算方法可概括为“甲数除以乙数（乙数不为0），就等于甲数乘乙数的倒数。”分数乘除法的相关知识学完后，对分数乘除法应用题应该进行整理与复习，通过对比，找出分数乘法应用题和分数除法应用题的异同点，进而正确解答。教师可设计对比性练习题组，让学生在解决问题的过程中对这部分内容进一步梳理。
例如，王大爷家养鸡6只，鸭8只。（1）鸡的只数是鸭的只数几分之几？（2）鸭的只数是鸡只数的几分之几？学生得出答案后，可调换问题和条件改编成以下4道练习题：
（1）王大爷家养鸭8只，鸡是鸭的，问鸡有几只？
（2）王大爷家养鸡8只，鸡是鸭的，问鸭有几只？
（3）王大爷家养鸡6只，鸭是鸡的，问鸭有几只？
（4）王大爷家养鸭6只，鸭是鸡的，问鸡有几只？
二、建构模型
分数乘除法应用题都有固定的结构特点，学习后，让学生树立模型思想，理解此类问题的实质，找到解决问题的途径。教材在分数乘法（二）的试一试中安排了这样一道分数乘法应用题的例题：同学们植树，女生植了20棵，男生植的棵树比女生多，男生比女生多植树多少棵？这种“比”字结构的分数乘法应用题对于初学分数乘法的学生来说有一定难度，教学时可进行调整，改成“是”字结构的问题：同学们植树，女生植了20棵，男生植树的棵树是女生的，男生植树多少棵？”然后让学生直接利用分数乘法（二）中所学的“求一个数的几分之几是多少”解决问题。接着解决课本中的例题，“男生比女生多植树多少棵”实质也是“求一个数的几分之几是多少”。在此基础上，再把例题中的问题“男生比女生多植树多少棵？”改成“男生植树多少棵？”通过线段图分析，使学生明白“男生植树的棵数=女生植树棵数×（1+）”，实质上还是求一个数的几分之几是多少。继续改编，将例题中的“男生植树的棵数比女生多”改成“男生植树的棵数比女生少”，问题还是“男生植树多少棵？”学生通过循序渐进地解决问题，分数乘法应用题的模型会一一储存在大脑中，也能找到解决问题的途径。
三、合理拓展
学生系统学习分数乘除法后，一定会理解分数问题的根源，即“求一个数的几分之几是多少”。具体解决问题时，学生也能准确进行判断。如果整体“1”表示的数量已知，直接利用“求一个数的几分之几是多少”解决问题；如果整体“1”表示的数量未知，就用具体的数量除以它所对应的分数，求出整体“1”的量。但是到此为止，学生解决问题的能力还是停留在模仿阶段，不能达到灵活运用所学知识解决问题的层面。因此，笔者认为，学生树立模型思想的意识后，在模型基础上适当拓展，能提高学生学以致用的能力和解决问题的能力。笔者设计了下面的拓展练习：
小红读一本360页的故事书，第一天读了全书的，第二天读了全书的，第三天刚好读完，第三天读了多少页？
【关键词】分数；百分数；解决问题；教学
分数、百分数知识，在日常生活和生产建设中有着广泛的应用，也是小学数学的一个重要内容，而这部分内容历来又是小学教学的难点。如何改进并加强分数、百分数问题教学，提高教学效率，提高学生的分析能力，使学生能正确解决分数、百分数问题，是我们小学数学老师要直面的问题。
众所周知，分数问题与百分数问题有着紧密的联系，教学中如果我们抓住它们的联系，可以使教学取得事半功倍的效果。在多年的教学实践，使我对这一部分内容的教学，有着自己的理解，也积累了一些方法和经验，现在我想就分数、百分数解决问题的教学谈一下我的见解。
1重视分数乘法问题的教学
分数乘法中解决问题的分析方法，是分析分数除法以及百分数解决问题的重要基础，由于分数乘法中的“求一个数的几分之几是多少”在乘法中属于一种特殊的数量关系，又是分数问题的主要教学内容，抓好这种特殊数量关系的教学，可以大大提高学生分析、解决分数问题的能力，也为百分数问题的解决打好基础。为此，我们应该做到以下几点。
1.1抓好分数乘法意义的教学，是解决分数乘法问题的基础。
分数乘法问题的解决依据是分数乘法的意义。分数乘法的意义有两种：一种与整数乘法的意义相同，即求几个相同加数的和的简便运算，如：
1.2抓住分数乘法问题的关键句，强化学生对数量关系的分析。
分数乘法问题中“求一个数的几分之几是多少”的解决方法是后面解决分数除法、百分数问题的基础，学生必须掌握它的分析方法及解题技巧。如何才能让学生把“求一个数的几分之几是多少”这类问题的解题技巧掌握好呢？我的做法是：重点让学生分析关键句，根据关键句训练学生分析数量关系。学生学会正确分析一道题的数量关系，就能正确列出算式解决问题，而一道分数问题中的关键句往往是分析本题数量关系式的依据。
综观两个例题的分析方法，不难看出共同点：第一，抓住了关键句进行数量关系分析，第二，根据“分数乘法的意义”得出等量关系式，从而解决分数乘法问题。经常进行这样的训练，学生就掌握了分数问题数量关系的分析方法，也就能正确解决分数问题了。
2突出分数乘法与除法问题分析方法的一致性
分数除法问题，实质上是分数乘法问题的逆运算，因此，分数除法问题的分析，可以借助分数乘法的分析方法。六年级上册分数除法问题的教学，主要解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”和稍复杂的分数除法问题。它们分别与分数乘法中“求一个数的几分之几是多少”与稍复杂的分数乘法问题有着紧密的内在联系，它们的数量关系相同，都可以同样的分析方法来解决问题。所以分数除法问题的分析方法应与分数乘法问题的分析方法保持一致。
3百分数问题的教学要联系分数问题的教学
我们知道百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几”，与分数中的“表示一个数是另一个数的几分之几”是一样的。因此，百分数同分数有紧密的联系。教学中我们要紧紧抓住学生已有的分数知识，从分数进入百分数，这样学生的学习就有了依据。
这样的教学，注重了知识结构和体系的整理，处理好了局部知识与整体知识的关系，使学生的知识得到有机整合，减轻了学生的学习负担，大大提高了教学效率。
教无定法。希望老师们充分发挥自己的聪明才智，积极探索新课标下的教学改革，多动脑筋，勤于思考，善于总结反思，探索有利于学生学习的方法，这样就能不断提高教学效率，使自己逐步成为一位教学上的智者，甚至大师，在教学岗位上绽放出更耀眼的光芒！
参考文献
[1]课程教材研究所、小学数学课程教材研究开发中心编著，六年级上册教师教学用书[M]，人民教育出版社出版，2007
20xx年小学六年级数学期末复习计划书一、复习内容
1. 分数乘除法。
分数乘、除法属于分数的基本知识和技能，而且两者关系密切，教材将这两部分内容集中安排。教材首先通过一组题目，强调分数乘除法的关系，即分数除法是分数乘法的逆运算。同时对分数乘除法的计算方法进行了复习。比的相关概念、倒数的概念和计算、比的性质、比与分数及除法的关系等也是复习的重点，教材通过总复习的第2题和练十七的第3、4、5题进行了复习。
此外，用分数乘除法解决问题也是这部分的重点内容，主要包括求一个数的几分之几是多少的问题(含稍复杂的)、已知一个数的几分之几是多少求这个数的问题(含稍复杂的)等。教材把它们对照编排，便于学生弄清这几类问题的联系和区别，从而更好地掌握解决问题的思路，即先明确单位1，再看单位1是已知还是未知来确定解决问题的方法。为了让学生更好地掌握分析方法，总复习的第5题和练十七的第7题还安排了需要两次判断单位1的练习。
2. 百分数。
百分数内容的复习重点放在百分数的应用，紧接在用分数乘除法解决问题后编排，这样可以使学生看到它们在结构、解题思路上的一致性，便于加强知识间的联系。百分数的概念没有单独复习，但它是百分数应用的基础，因此要注意进行复习。总复习的第6题是求常见的百分率的问题，通过给出计算公式，既复习百分数的意义、百分数与分数及小数的互化，又可复习求烘干率等类似问题。第7题为稍复杂的百分数的应用问题。练十七的第13、14、15题安排的是有关百分数的习题，其中第15题涉及国债、纳税、利率等内容的复习。
3. 空间与图形。
这部分内容包括位置与圆的复习。
在第一学段中，学生已经会用第几组、第几个来表示物体的位置，本学期进一步学习用数对表示物体的位置。教材通过总复习的第8题复习用数对表示物体的位置，练十七的第1题安排了相应的练习。
本学期圆的认识包括直径、半径、、轴对称图形等概念以及圆的周长和面积、圆的画法等内容，教材重点复习了圆的周长、面积计算公式和轴对称图形。总复习的第9题通过让学生复习计算公式的得出过程，加深学生对计算公式的理解和掌握，以使学生在解决具体问题时能根据不同条件和问题灵活地运用计算公式。第10题复习轴对称图形的概念，并运用概念判断两个图形是否是轴对称图形，加深学生对概念的理解和整理。直径、半径及其它们之间的关系等知识在练十七的第11题进行复习。
4. 统计。
本学期统计的内容主要是认识扇形统计图。教材通过总复习第11题使学生进一步体会扇形统计图的特点，即能清楚地表明各部分数量同总数之间的关系，并根据给出的信息解决一些问题，以促使学生分析信息、解决问题能力的提高。
二、复习目标
通过总复习，系统、全面地复习和整理本学期所学知识，帮助学生构建合理的知识体系，以便学生更好地理解和掌握所学的概念、计算方法以及有关的规律性的知识，进一步发展学生的数概念、空间概念、统计概念，增强学生综合运用知识的能力，全面达到本学期的教学目标。
1、理解分数乘、除法的运算意义，掌握分数乘、除法的计算方法和分数四则混合运算的运算顺序;能正确计算分数乘、除法和分数四则混合运算(不超过三步)式题，能应用运算律和运算性质进行有关分数的简便计算;能应用分数乘法解决求一个数的几分之几是多少的简单实际问题，能列方程解决已知一个数的几分之几是多少，求这个数的简单实际问题，能用分数乘法和加、减法解决稍复杂的实际问题(不超过两步)。
2、理解比的意义和基本性质，能应用比的意义和基本性质求比值、化简比，能正确解决按比例分配的实际问题。
3、理解百分数的意义，能正确进行百分数与分数、小数的互化，会解决求一个数是另一个数的百分之几的简单实际问题。
4、认识圆，掌握圆的基本特征，理解直径与半径的相互关系;会用圆规画圆。
2. 理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值，理解和掌握圆的周长与面积的计算公式，并能正确地计算圆的周长与面积。
5、学生在整理与复习的过程中，进一步体会数学知识和方法的内在联系，能综合应用学过的数学知识和方法解释日常生活现象、解决简单实际问题，进一步发展数感、空间观念和统计观念，增强解决问题的策略意识和反思意识，提高解决问题的能力。
6、学生在整理与复习的过程中，进一步评价和反思自己在本学期的整体学习情况，体验与同学交流和获取知识的乐趣，感受数学的意义和价值，发展对数学的积极情感，增强学好数学的自信心。
三、复习重点
分数、百分数的计算(包括分数乘法、分数除法、分数四则混合运算)及应用题。圆的概念和周长、面积的计算。
四、复习难点
从学生平时的作业和单元检测情况来看最大的问题是分数、百分数稍复杂的除法应用题，其次是分数和百分数、圆的概念。
五、复习原则
1、充分调动学生自主学习的积极性，鼓励学生自觉地进行整理和复习，提高复习能力。
2、充分体现教师的指导作用，知识的重点和难点要适时讲解点拨，保证复习效果。
3、充分体现因材施教分类推进的教育原则，针对不同层次的学生设计不同的教学内容和教学方法，查漏补缺，集中答疑，提高复习效果。
六、复习方法
1、带领学生按单元整理复习，巩固基础知识。
教师要按单元抓准知识的重难点，进行相关知识的整合与链接，使之形成完整的知识网络。例如应用题的复习，可由简单的分数应用题链接到稍复杂的复合应用题，将知识整合链接起来，进一步理解数量之间的关系，提高分析解答应用题的能力。
2、加强计算能力的训练
平时教学中发现学生的计算能力普遍较低，所以在复习的时候要特别加强计算能力的训练。学生计算能力的训练不只是机械重复的练习，而是要让学生掌握正确的计算方法和策略。让学生记住一看二想三算看清题目中的数、符号;想好计算的顺序，什么地方可以口算什么地方要笔算，哪里可以简便计算;最后动笔算。
3、加强与实际的联系
适应新课标的精神加强知识的综合应用以及与生活的联系，提高学生解决实际问题的能力。
4、讲练结合精心设计练习，把有营养的知识方法做成有味道的数学问题和练习吸引学生去探究
5、分层指导
针对学生的具体情况有针对性的进行复习，对于中差生和优生在复习上提出不同的要求，复习题分层，指导分层，充分体现问题练习的层次性，让不同的学生在复习中都自己新的收获。
6、后20%学生有针对性辅导。
七、注意的问题：
1、考虑到本册是小学阶段最后一次编排位置与方向内容，复习时应注意知识的综合整理，让学生对该内容形成较为完整和系统的认识。纵向来看，用数对确定物体的位置是一年级下册按行、列确定位置的一个深化，把第几行第几列的具体描述抽象成数对的形式，更为简洁明了;横向来看，则与四年级下册用方向和距离两个要素来确定位置是互为补充的两种方法，分别从不同角度出发来刻画物体的位置关系。复习时要引导学生在综合、对比的基础上进行整理，从而全面掌握确定物置的方法。 综合以前学过的平移、方位、路线图等知识，可使学生在复习过程中加强对前后知识内在联系的认识和把握，同时进一步巩固了用数对确定位置的方法。
教学片段：
一、复习用分数乘法解决的问题
1.出示图1。
师：从图中你知道什么条件？要求什么问题？
师：你能根据图中的条件和问题把它还原成一道文字表达的问题吗？
生：求60的是多少？
生：把60平均分成3份，求两份是多少？
师：怎么计算？
生：60×或60÷3×2
师：两种算法有什么联系？
生：计算60×时，把60和3约分就是60除以3。
[设计意图：一是复习分数乘法的意义，二是学生可通过图示，回忆三年级学过的“求一个数的几分之几是多少”，沟通分数乘法与整数除法之间的联系，对分数的理解就更广了。]
2.出示图2。
师：这幅图由两条线段构成，知道为什么要画两条线段吗？能不能说说图示表达了什么意思？
学生列式计算：60×=40（人）
3.沟通与整数中“求一个数的几倍是多少问题”的联系。
师：其实，它跟我们以前学过的一种问题有联系，你们还记得吗？
生：是“求一个数的几倍是多少”的问题。（动态变成图3）
师：它们都有哪些联系呢？
生1：都用乘法计算
生2：这里的3倍可以用来表示。
生3：都是同一个已知的数比，结果是整数就用倍来表示，不到1倍时就用分数几分之几来表示，所以求一个数的几倍或几分之几都用乘法。
师：这个已知的数在分数中我们叫单位“1”，在几倍问题中称为一倍数，实际上它们都表示一个比较的标准。
[设计意图：与“求一个数的几倍是多少”比较，能促进学生对分数乘法意义的理解。通过直观图形的比较，使学生对“求一个数的几分之几可以用乘法计算”的理解有了一个生长点，实现了与已有知识之间的无缝对接。]
4.比较。（同时出示图1和图2。）
师：比一比第1题与第2题有什么相同之处？
生：单位“1”都是已知的。
生：都是求单位“1”的几分之几是多少，用乘法。
师：又有什么不同的地方？
生：第1题中的分数表示的是部分与整体的关系，第2题中的分数表示的是两个量之间的关系。
生：第1题是已知整体求部分，第2题是已知标准求另一个量。
5.稍复杂的分数乘法问题。
出示图4、图5。
师：分别说说从图中你知道了哪些信息？可以怎样列式？
学生列出算式（第4题）：①60-60×；②60×（1-）；③60÷3×1。
第5题算式略。
师：第①、②两种方法有什么区别与联系？
生：第一种方法是先求用去的，再用总数减用去的得到剩下的；第2种方法是先求出剩下的分率，再用单位“1”乘剩下的分率得到剩下的。
生：都要用单位“1”乘分率得到一个量。
6.比较。同时出示图1、图2、图4、图5。
师：这四道题有什么相同点？
生：单位“1”都是已知的，单位“1”乘分率等于所求问题。
师：为什么第1题和第4题乘的分率不同？
生：因为所求问题不同。所求问题不同，乘的分率也不同。
师：也就是问题跟分率要一致，在数学中我们称之为对应。
二、复习用分数除法解决的问题
1.出示图6。
师：从图中你能知道哪些条件？
生：全长平均分成了4份，这样的3份是120米，求全长是多少？
生：把全长看成是单位“1”，全长的是120米，求全长是多少？
师：怎样列式？
生：120÷3×4。
师：也可以先除后乘。跟前面的一样吗？
生：这是通过部分先求一份，再求单位“1”的总份数，而分数乘法问题中是先把单位“1”平均分，再数其中的部分有这样的几份。
生：全长×=120米，所以全长=120÷。
生：这两种算法还是有联系的，120÷=120×=120÷3×4。
出示图7，教学过程同上。
2.出示图8、图9。
师：说一说这两幅图分别表示什么意思？能根据图中给出的条件和问题列出算式吗？
3.比较。同时出示图6、图7、图8、图9。
师：这四道题有什么相同的地方？
生：都是求单位“1”。
生：用的都是除法，都是用具体数量除以分率。
师指第6、8两题，为什么所除的分率不同？
生：因为具体数量不同。
生：分率要跟具体数量相对应。
三、分数乘除法问题的比较
同时出示图1、图2、图6、图7。
师：看图比较，你能发现什么吗？
生：第1、2题是已知单位“1”，求单位“1”的几分之几是多少，用乘法；第6、7两题是相反的，已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”，用除法。
生：都可以先除后乘，先求一份是多少，再求几份或总数。
……
教学反思：
一、在比较中沟通联系
本课教学，通过比较沟通了分数乘、除法问题之间的联系；复杂问题与简单问题之间的联系。这里并没有让学生简单地比较得出解决分数问题的一种套路，即单位“1”已知，用乘法，乘所求问题对应的分率；单位“1”未知，用除法或方程……如果学生在解决问题后就此终止，不对解决问题的过程进行回顾和反思，不对各种方法进行评价，那么数学活动就有可能停留在经验水平上，事倍功半。教学中，把重点放在通过线段图的直观，引导学生进行交流与反思，在原有知识中沟通了学生对分数意义不同维度之间的联系，获得对分数问题的真正理解。
二、在直观中感悟数学思想方法
以往教学分数乘、除法问题时也重视比较，即先通过文字表达的题组解决问题，最后比较异同，再归结出分数乘、除法问题的解决思路，学生易形成分数问题的解题套路，它是一种以提高解题正确率为目的的比较。学生在掌握了套路后，往往不仔细地阅读和理解题意就进行列式。而通过直观的线段图进行比较，抽去了情境，有利于学生发现问题的本质，有助于学生进行比较、交流与反思，从而促进对知识的深度理解，有利于学生感悟分数乘、除法问题中的量率对应思想。对于量率对应，虽然不要求对学生明确提出，但是学生自己在解决问题、交流的过程中有很好地感悟，这对分数意义的理解很有帮助。
一、 指导思想
严格遵循党的教育方针，爱岗敬业，正确传授学生知识，并对学生进行适当的思想教育，培养其成为新时期现代化建设的接班人和建设者。认真培养其数感，提高其计算能力，培养其空间观念，并能把所学的知识应用到生活实际中去，解决实际生活中的问题。
二、基本情况分析
本班共有学生50多人，其中男生和女生大约各占一半。本班的大部分学生都是来自居峪管理区的各个村，其中有一大部分是在校住宿生。从去年一年的教学情况来看这个班的学习习惯较差，特别是作业习惯的自习习惯，困此必须对其进行培养。另外，还有少数学生的家长到外地打工或开饮食店等，孩子留在家里由爷爷、奶奶或亲戚照看，这样不利于对孩子的教育，两极分化比较严重，因此对学生的关心和思想教育也十分重要。
三、教学目标
九年义务教育小学六年制数学第九册数学的主要任务目标是：
1、使学生理解分数乘、除法的意义，掌握分数乘、除法的计算法则，比较熟练的计算分数乘、除法（简单的能够口算）。
2、使学生会进行分数四则混合运算。
3、使学生理解比的意义和性质，会求比值和化简比。
4、使学生掌握圆的特征，会用工具画圆；掌握圆周长和圆面积的计算公式，能够正确计算圆的周长和面积。通过介召圆周率的史料，使学生受到爱国主义教育。
5使学生初步理解轴对称的意义，初步认识轴对称图形。
6、使学生能够解答比较容易的一到二步计算的分数应用题，能够综合运用所学知识解决比较简单的实际问题，能够根据应用题的具体情况，灵活的选用用算术解法和方程解法。
7、使学生理解百分数的意义，比较熟练地进行有关百分数的计算，能够解决一些简单的有关百分数的实际问题。
在完成本册数学任务的同时还要注意以下问题
1、能结合具体情境，对有关的数学信息作出合理的解释。
2、在探索物体的位置关系、图形的特征、图形的变换以及设计图形的过程中，进一步发展空间观念。
3、能根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳、类比与猜测。
4、在解决问题的过程中，能进行有条理的思考，能对结论的合理性作出有说服力的说明。
四、方法措施
1、认真备课，钻研教材，作到课堂上能深入浅出进行教学，特别照顾到后进生。
2、平时的练习要有针对性，对于后进生和优秀的学生要分别出一些适合他们的练习。
3、加强操作、直观的教学，例如教学圆和轴对称图形时，就要利用操作、直观教学，以发展他们的空间观念。
4、增加实践活动，培养学生用数学知识解决实际问题的能力。
5、加强能力的培养。主要培养学生的分析、比较和综合能力；抽象概括能力；判断、推理能力；迁移类推能力；揭示知识间的联系，探索规律，总结规律；培养学生思维的灵活性和敏捷性。
五、教学进度安排
周次
教学内容
课时
备注
1至4
分数乘除法意义和四则计算
5至8
简单的分数应用题
9至13
圆的周长和面积公式与其应用
14至18
百分数的意义与简单的百分数应用题
19至完
然而，对于这么多的教学内容怎么可能在一节课内完成呢？从意义上让学生来理解分数与除法的关系就要花大量的时间，如果再加上真假分数和带分数也要从意义上真正理解，40分钟根本就不够用，当时大家的想法也是如此。那如何将这些内容整合在一起呢？是单纯知识的叠加整合还是有效的知识融合？笔者通过两节同课同构的“分数与除法”来具体阐述说明。为达成教学目标，不同的教师的整合方式也有所不同。
一、A教师的方式：“叠加式”的教学整合
进行教学内容整合，首先要明确整合内容包含的知识点有哪些，然后将知识点按重难点的要求分别设计在教案中，再在课堂上一一呈现。下面这位教师就是将知识点有序地“叠加”，教学过程如下。
（一）复习引入新课
1. 我们已经学习了分数的意义，今天，我们继续来学习有关分数的知识。
（1）把8个饼平均分给2个人，每人分得几个？ （8÷2＝ 4）
（2）把4个饼平均分给2个人，每人分得几个？ （4÷2＝ 2）
（3）把2个饼平均分给2个人，每人分得几个？ （2÷2＝ 1）
师：以上式子为什么用除法？
2.现在只有1个饼，平均分给2个人，每人分得几个？ （1 ÷2＝ 0.5= ）
如果把这一个饼，平均分给3个人，每人分得几个？（1 ÷3＝ 0.3= ）
师（小结）：当得到的商不能用整数表示时，我们就可以用小数或者分数来表示。
3.师：如果把这一个饼，平均分给4个人，每人分得一个饼的，也可以说是个饼。
（二）探究除法与分数的关系，认识真假分数
1.连续分9个饼。
（1）一个饼平均分给4个人，每人分得多少个饼？（1 ÷4＝）
（2）再给一个继续分，每人分得多少个饼？（2 ÷4＝ ）
（3）再给一个继续分，每人分得多少个饼？（3 ÷4＝）
（4）再给一个继续分，每人分得多少个饼？（4 ÷4＝ =1）
（5）再给一个继续分，每人分得多少个饼？（5 ÷4＝ ）
（6）再给一个继续分，每人分得多少个饼？（6 ÷4＝）
（7）再给一个继续分，每人分得多少个饼？（7÷4＝）
（8）现在呢？（课件出示第8个饼）（ 8÷4＝=2）
（9）还想再来一个吗？（9÷4＝）
2. 在分饼的过程中我们知道了平均分可以用除法来计算，商可以用分数表示。仔细观察，除法算式和所得的分数之间有什么联系？还有什么不同的地方？
联系：被除数相当于分子， 除数相当于分母，除号相当于分数中的分数线。
用字母表示：a÷b=，并补充b≠0。
不同：除法是一种运算，分数就是一种数。
3.下面再请大家仔细观察，这一次我们来看这一列分数，你有什么发现？
根据分子与分母的大小关系给出真分数和假分数的概念并举例。
4.揭题：分数与除法。
（三）进一步探究除法与分数的关系，认识带分数
1．三个饼平均分给4个人。
（1）学生操作，小组交流。
（2）反馈学生的三种不同方法：将每个饼平均分成4份，一个一个分；将两个饼各自平均分成2份，第三个饼平均分成4份，再分；三个饼叠在一起平均分成4份，再分。
（3）深入认识除法与分数。得出：3个饼的就等于 1个饼的，就是个饼。
2. 五个饼平均分给4个人。
先一个一个分，最后一个分四份，引出1+=1（个），并呈现假分数和带分数的概念。
从上述案例中我们可以看出这位教师的精心设计，通过“分饼”活动，将分数与除法的关系和真分数、假分数、带分数整合在一起，串联成一条主线。
第一次分饼：解决商是整数的分法，引出商可以是分数。
第二次分饼：一个一个分饼解决探究分数与除法的关系，引出真、假分数的概念。
第三次分饼：通过3个饼平均分给四个人的不同分法进一步理解两者关系，并引出带分数的概念。
三次分饼将这些知识点整合在一起，环节清晰。但是如果进一步思考就会发现，在这样的教学安排下，学生对分数与除法的关系体验会比较单薄，反而真、假分数成了学习的重点，这样与这节课学习目标的达成就背道而驰了。虽然这位教师将这么多知识点都有序地“叠加”在一起，整体上完成了教学内容，但如果仅仅“叠加”知识整合，有时候会使知识间出现割裂或者重复，课堂效率也会降低。
二、 B教师的方式：“互含式”的教学整合
如果将知识点既能进行有序思考，又能让各环节互相包含，紧紧相扣，融合成一个整体的设计，那么教学效率就会大大提高。如下面是B教师的教学设计。
（一）导入
师：这节课，我们一起来分一分饼，好吗？那怎么分才公平呢？（平均分）
（二）展开
1.出示：把4个饼平均分给2个小朋友，每人分得几个？（4÷2=2）
把2个饼平均分给2个小朋友，每人分得几个？（2÷2=1）
出示：把1个饼平均分给2个小朋友，每人分得几个？（1÷2= ）
把1个饼平均分给3个小朋友呢？（1÷3=）
现在要把1个饼平均分给4个小朋友，怎么分呢？ （1÷4=）
生：把1个饼平均分成4份，每人得到这个饼的，就是个。
2.出示：现在有3个饼，平均分给4个人，每人得到几个呢？
（1）学生操作，小组交流。
（2）反馈学生的三种不同分法：将每个饼平均分成4份，一个一个分；将两个饼各自平均分成2份，第三个饼平均分成4份，再分；三个饼叠在一起平均分成4份，再分。（结合课件理解）
得出：3个饼的就等于 1个饼的，就是个饼。
（3）那再给2个饼呢？每人得到几个呢？（5个个，即个饼，还可以是1个加个饼）
（4）那再给一个饼呢？每人得到几个呢？（6个个，即个饼，还可以是1个加个饼）
（5）我们再加一个呢？（7个个，即个饼，还可以是1个加个饼）
（6）再加一个呢？（8个个，即个饼，正好是2个饼）
（7）再加上1个呢？ （9个个，即个饼，还可以是2个加个饼）
3.探寻规律。
（1）通过分饼，我们得到了那么多的分数，现在来观察一下这些分数的分子、分母，发现了什么？
生：有些分数的分子比分母小，有些分数的分子比分母大。
师：像这样分子比分母小的分数，叫真分数。分子比分母大或者分子等于分母的分数叫假分数。这样的假分数，比如个，就是1个加个，可以写成1个。个就是1个……像这样由整数和真分数组成的分数叫带分数。
教师让学生再举例说说真分数、假分数、带分数。
（2）总数与份数的关系。
师：在什么情况下是真分数？
生：被除数小于除数。
师：也就是总数小于份数。
师：在什么情况下会是假分数呢？
生：当总数大于或者等于份数。
（3）分数与除法算式的关系。
师：观察好了分数，我们再来仔细观察一下这些除法算式和分数，你又能发现什么？
生：被除数相当于分子，除数相当于分母。
师：那除号呢？
生：除号相当于分数线。
师：还能发现什么吗？
师：这样的等式你能说几个吗？
生：……
师：这样的算式能说完吗？
生：不能。
师：那你能用一个算式来表示吗？
生：a÷b 。
师：同学们真不错，通过观察，了解了分数与除法有着这样的联系。（板书：分数与除法）
（四）练习
师出示：7÷（ ）=
师：在什么情况下会产生真分数？
生：除数比7大。
师：这样的真分数能说完吗？
生：很多，说不完。
师：在什么情况下会产生假分数？
生：除数等于7，或者小于7。
师小结。
同样是“分饼”，B教师“分”得更紧凑一些。也可以看出几个环节中知识点是相互融合的。尤其是3个饼平均分给4人时，教师先通过学生的动手操作、反馈交流，再结合课件理解不同的分法，都可以得到“3个饼的就等于 1个饼的，就是个饼”，既解决了本课的难点，同时也为后续分饼做了铺垫。利用这个结果让学生再次一个一个分饼，得出一些新的分数，再让学生观察。学生观察分为三个层次：①观察并给所得分数分类，引出真分数、假分数和带分数的概念。②结合除法观察分数的分子和分母的大小关系，引出总数与份数的比较。③观察除法算式与分数，引出两者的关系。所有的知识都是围绕分数与除法的关系而得到的，也是让学生通过感悟而体会的，从学生的回答中就可以看出。整节课条理清晰，环环互扣，将知识点有条不紊地整合在一起，并且能融合在一个情境中分层次地解决，互含互融，提高了课堂教学效率。
三、两种教学整合的比较及思考
同样的内容、同样的知识结构，两位教师进行了不同形式的整合，A教师是将知识点以“叠加”的形式整合在一起，B教师是将知识点“有序互含”的形式整合在一起。对此，笔者也结合自己的理解将两种整合方式进行了比较。
叠加式：
第一次分饼 第二次分饼 第三次分饼
互含式：
从图中可以看出，教学内容整合并不是单纯知识的叠加，而是以知识间的逻辑关系和本节课的重点主题为基础的，只有充分了解本课的知识群体关系，才能合理地安排好它们的整合关系，从而也会避免出现重复或者冗长的教学环节，将不可能完成的任务整合成可以高效率完成的任务，在课堂内扎实地完成。
从上述对比中可以发现，教师取得较高的教学效率，主要是其在整合中做到了以下亮点。
（一）教学内容的整合以对教材的整体理解为基础
无论是一节课知识点的梳理，还是一个单元知识内容的整合，仍然要以教材的系统为基础。教师在设计一堂课的时候要读透教材的编排意图，读懂教材的前后联系。从上述案例中，可以发现将真假分数和带分数加入到分数与除法关系这节课中的想法还是可行的。因为这几个知识点彼此有着紧密的联系，在以往的教学中，教师都是让学生通过观察分子与分母的大小关系而得出来的，但在这节课里都融合在分数与除法的关系中得出，同时结合产生的意义来记忆和区分。并且通过总数与份数的关系与前面除法的知识结合起来理解，学生理解很深刻，既能贯穿前面所学知识，又能为后续知识打好扎实的基础，让这个不可能的任务不仅得以完成，还很有效地完成了。
（二）在学生已有知识结构的基础上让整合促进学生思维的发展
有了对教材的分析和学情的了解后，采取合适的教学策略也是非常有必要的，促使学生思维上的开发和转变。就像本节课中，虽然A教师很顺利地把课上完了，但在问到“学了今天这节课，你有什么收获”的时候，绝大部分学生都是说真分数、假分数或者带分数，很少有学生说是分数与除法的关系。轰轰烈烈地上了满满一堂课，学生印象最深的却是分数的名称，而本节课的主线应该是分数与除法的关系，为什么学生说不出呢？笔者认为这可能是学生对于两者关系的体验还不够深刻，还比较单薄。如果教师一开始就给学生学习定位，明确今天学习的就是分数与除法的关系，然后通过分饼出现算式和计算结果，提炼成两数相除，以前是大数除以小数得到整数，而现在是小数除以大数就可以用分数表示，再将所得结果（商的不同形式）分类，再取名真、假分数和带分数。这样的调整一定能加深学生对两者关系的体验，也明确本节课学习的重点，整合的不仅是知识点，还有知识结构和学习方法。
