时间：2023-06-05 09:54:27
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇小数乘整数，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
一、复习铺垫
出示，计算：23×14= 203×25=
回忆整数乘法的计算过程。（重点强调：末位对齐，哪一位数乘得的结果要和哪一位对齐，两部分的积相加。）
（简析：复习乘数是两位数的乘法法则，为新知作铺垫。）
二、情境引入
谈话：喜欢吃西瓜吗？随着种植技术的提高，人们不仅能在夏天吃到西瓜，在寒冷的冬天也能吃到西瓜。（出示：两幅图）
提问：从图中你能知道什么？如果夏天老师要买3千克西瓜需多少元？怎样列式？（板书：0.8×3）冬天买3千克？（板书：2.35×3）
比较：这两个乘法算式和我们以前学习的乘法算式有什么不同？（板书：小数 整数）
揭题：小数乘整数。（板书：乘）
三、探索方法
1.初步感知
引导：先看0.8×3，你能联系以前的知识来解决吗？（把3个0.8连加；把0.8元看成8角，8角乘3得24角，也就是2.4元。）
示范：0.8元看成8角是整数，就变成了整数乘法。看乘法竖式如何写？（板书竖式）
陈述：3对着末位8，末位对齐，这与小数加、减法的竖式有区别。为什么3对着末位8，学习了今天的知识你们就会明白。
（简析：从生活情境出发，重点突出0.8元看成8角的方法，引导学生将小数乘整数迁移成整数乘法；板书0.8×3的竖式过程，让学生从整体上感知它，初步看到小数乘整数也可以列竖式计算，形式与整数乘法接近；此处埋下伏笔——为什么末位对齐，引导学生带着问题思考、学习。）
2.独立尝试
谈话：继续看2.35×3，请你帮忙算一算？尝试、交流思考过程。
生1：先用235乘3得705，2.35是两位小数，所以积也是两位小数——7.05。
生2：把2.35元看成2元3角5分乘3得7元零5分，也就是7.05元。
小结：把小数乘法转化成整数乘法来思考、计算。这是解决问题的一个重要策略——转化。（板书：转化 ）
（简析：进一步感受小数乘法像整数乘法那样去乘，只是积里要点上小数点；体会转化策略的优势，增加继续研究小数乘法的信心。）
3.知识递进
追问：如果老师要买13千克呢？
板书横、竖式，指名板演；交流做法、订正。
出示几种错例：（1）计算过程中点小数点；（2）数位是否对齐。
（1）思考：为什么计算过程中不需要点小数点？
生：先把小数看成整数来计算，所以计算过程中不需要点小数点。
（2）引导思考数位该如何对齐。
师：看着竖式默默地回忆一下计算过程。（使思维清晰化、条理化）
（简析：乘数是一位数的小数乘法对于学生而言没有思维难度，并不能真正激发学生产生将之转化成整数乘法的欲望和需要。因此对教材重新整合，适时安排乘数是两位数的小数乘法，让学生更加深刻地领悟转化的必要性。乘数由一位数—两位数，不仅是一个知识的递进，更是一次思维的飞跃、完善。）
4.抽象方法
谈话：快过春节了，西瓜涨到每千克3.4元，老师买13千克需要多少元？（3.4×13）
说明：直接列成竖式。（板书： ）
计算、交流。
（简析：有了2.35×13的经历后，把3.4写在下面，引导学生体会变式同样需要转化，形成小数乘整数先转化成整数乘法的积极的心理需求，从而使计算过程、方法适度抽象。）
5.初步小结
师：比较这三题的积和因数的小数位数，你发现了什么？
（简析：这里的初步小结有利于明确用计算器计算的针对性。）
四、归纳算法
1.确定位数
提问：大家的发现是否具有普遍性呢？下面我们用计算器来验证几道题，看会不会有例外的情况。
续问：现在你们知道积的小数位数是如何确定的吗？
生小结：小数乘整数，乘数中的小数部分是几位，积的小数部分也就是几位。
（简析：验证、检验，为下面的总结提供了更充足的依据。）
2.总结算法
谈话：根据前面一系列的研究，请你们自己来总结一下小数乘整数的法则。
独立思考，小组活动，集体交流。
结合学生发言板书：
（简析：依据学生的文字叙述抽象成程序格式，形象、条理！）
五、巩固练习
1.练一练第1题
2.练一练第2题
拓展（出示补充第（3）组）：14.8×0.23=
提问：积是多少？积是几位小数呢？为什么？（14.8是一位小数，0.23是两位小数，所以积就是三位小数。）
追问：也就是说，确定积的小数位数要看几个因数？（2个）
拓展：如果是3个因数相乘？（就看3个因数中一共有几位小数。）
（简析：完成后补充14.8×0.23= ，顺势延伸小数乘小数的情况，学生回答轻松。此处教学可为后面的学习奠定坚实的基础，也使得学生的思维更全面，养成深刻看待问题的习惯。）
3.补充习题
出示：
（1）0.12+0.12+…+0.12=0.12×9（ ）
（2）0.12×9的积是一位小数。（ ）
（3）54×41=22.14（ ）
（4）32×1.5=48（ ）
反思：如果54×41=2214，那第（3）题中可能是多少乘多少呢？（5.4×4.1=22.14；0.54×41=22.14；54×0.41=22.14）
小结：真棒！其实此题的答案有无数种，我们以后会继续研究。
（简析：由于有了练一练习题的渗透，学生知道用5.4×4.1=22.14，
而且很多学生首先想到这种可能性。用教材，不唯教材用。）
4.解决问题
练习十二2、3题。
（简析：由于前面教学的影响，此处就没有时间让学生解决。40分钟需准时下课！）
六、全课总结
谈话：这节课你有哪些收获？小数乘整数应注意些什么？
追问：现在你知道0.8×3，为什么3和末位的8对齐了吗？
生（黄伟）：因为我们把它看成整数乘法来计算了，因此3和末位的8对齐。
（简析：学生发自内心地感受！）
出示数学日记，让我们的朗读声与铃声共鸣吧！
《数学儿歌》：
小数乘整数，法则同整数，求得积以后，回头看因数，小数有几位，积也是几位，积末若有“0”，先点小数点，再去末尾“0”。
师：数学原来也这么有趣！
【整体反思】
在解读教材、设计整个教案时，着重思考以下几个问题：
一、国标本与修订本的比较
苏教版修订本的编排是引导学生从纯数学的角度去探索小数乘法的计算法则。此块内容的整个理论支架就是利用因数扩大倍数引起积的变化规律，把小数乘法转化为整数乘法来计算，突出了算理与算法的一致。相比修订本，国标本教材在内容结构上作了很大变动，教材把计算和实际问题结合在一起，让学生体会计算是解决实际问题的需要。教材给学生提供了充分的数学活动机会，引导他们在学习中真正理解和掌握知识和技能、思想和方法，获得广泛的数学活动经验。作为一线教师应深入钻研教材、吃透教材，把握知识的科学内涵，创造性地整合使用教材，使课堂充满活力。跳出教材看教材，用教材而不唯教材用！
二、如何让学生发自内心地产生转化的需求
子曰：不愤不启，不悱不发。教材例题的思维含量不高，对学生而言没有挑战性，因此在例1的探索中，学生没有发自内心的将小数乘法转化整数乘法的心理需求。如何激发学生的这种需要，那只有引入乘数是两位数的乘法，引导学生进行深度思考，在解决题目的过程中培养他们的计算意识。这样操作会在有限的时间里取得学习效益的最大化。如将例题增设一条小数乘两位数的题目，教材定会更加“和谐”！
三、把思考的结果落实在每个细节中
细节虽小，却不能小看，更不能忽视，值得钻研和突破。教师若能有意识地、创造性地开发利用好每一个教学细节，那我们的数学课堂也就不会枯燥无味，还能焕发新的活力。本案例中，对多处细节作了巧妙的处理。
教学目标：
1、初步体会整数乘法的运算定律在小数乘法中仍然适用。
2、能运用这些运算定律使计算简便。
3、培养学生独立思考、认真审题灵活运用运算定律简算的习惯和能力。
教学重点：
学生通过观察能找出正确的简便算法。
教学难点：
学生通过观察能找出正确的简便算法。
教学准备：媒体等
教学过程：
一、复习准备：
1、口算:
5×0.2
=
2.5×0.4
=
125×0.8=
0.5×0.2=
0.25×0.4=
1.25×80=
0.05×20=
250×0.04=
12.5×0.08=
2、简便计算：
32×25×125
79×21＋21×21
二、探究新知：
1、师：同学们，在整数乘法中我们学过哪些运算定律？用字母怎么表示呢？
2、出示：观察并计算，下面每组中的两个算式有什么关系：
0.6×3.93.9×0.6
（0.3×2.5）×0.40.3×（2.5×0.4）
2.8×1.7＋7.2×1.7（2.8＋7.2）×1.7
3、通过观察、计算、讨论，引导学生自主发现规律：整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法也同样适用。
4、揭题：整数乘法运算定律推广到小数
5、你能用这些运算定律来巧算吗?
3.8×0.4×2.5
7.9×2.1＋2.1×2.1
（1.25+2.5）×4
a.
让学生独立思考完成
b.
让学生汇报:你应用哪条乘法运算定律进行简便计算的。
三、分层练习：
1、将一个数分解成两个数的积或两个数的差：
0.72=8×
(
)
0.72=0．8×
(
)
0.72=0.08×
(
)
9.9=10-
(
)
99.9=100-
(
)
0.99=1-
(
)
2、下面各题怎样计算比较简便?
3.2×25×125
6.4×99+6.4
64×0.99
3、判断下面各题是否正确，并说说理由。（书P17—练一练）
4、你认为怎样算简便？4.8×0.25
四、课堂总结：
整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法也同样适用。
五、思考题:
判断是否正确（机动）
8.3×6.2
+
0.83×38
=
8.3×(6.2
+
3.8)
=
8.3×10
=
83
六、板书：
整数乘法运算定律推广到小数
乘法交换律：a×b=b×a
关键词：教学 小数倍数 小数点
中图分类号：G623.5 文献标识码：C 文章号：1672-1578（2017）02-0170-01
1 小数乘法意义的教学
小数乘法主要可分为乘数为整数（小数的整数倍数）与乘数为小数（整数或小数的小数倍数）两类。前者可视为整数乘法经验的延伸，因此学生在运算符号的选择上比较容易。但后者由于不能以累单位量意义来解释，对学生而言比较缺乏类似经验，因而在学习上就产生问题了。由此，我们建议教师们应循序渐进帮助学生建立小数倍数的乘法意义，并通过很多的小数乘法经验协助学生掌握小数倍数的意义。
配合对比整数乘法的线段图让学生了解乘以整数与乘以纯小数意义的差别。当学生能将小数倍数问题以乘法算式表示后，教师可配合对比整数乘法的线段图让学生了解乘以整数与乘以纯小数意义的最大不同在于：前者以单位量为主向外累单位量，而后者是先将单位量向内十等分成更小的单位量再累小单位量。前后二者的差异如下图
题目：”哥哥有20 元，妹妹的钱是哥哥的3倍，妹妹有多少钱？”“哥哥有20 元，妹妹的钱是哥哥的0.3倍，妹妹有多少钱？”
由上图可充分说明乘以整数所得的乘积数会比被乘数大，而乘以纯小数所得的乘积数会比被乘数小。
有些教师认为学生已学了那么久的整数乘法，在判断小数乘法情境上应该没什么问题，所以甚少协助学生理解小数倍数应用题的题意。但试着协助学生理解题意的一些教师则又多教导学生：你只要把问题中的小数换成整数来想，如果是乘的，那就是用乘的这样的解题技巧。小数倍数意义的教学往往就这样被忽略掉了。由于无此部分的基础，等学生学了小数除法后就更分不清何时该用乘的，何时该用除的。当学生无法区分整数乘法与小数乘法的差别时，就极易产生疑惑，如认为乘法会使结果变大，除法会使结果变小。而此疑惑就会影响学生解应用题中运算符号的选择，预期结果变大就使用乘法而结果变小就使用除法。因此，纯小数倍数乘法意义的教学一定要小心处理喔！
在小数乘法意义的教学方面，教师可先明确指出有小数倍数的题目，通过整数倍数的引导，让学生熟悉小数倍数的意义。其次，配合对比整数乘法的线段图让学生了解乘以整数与乘以纯小数意义的差别。
2 小数乘法计算的教学
从学生的表现来看，学生学习小数乘法的困难有二：计算时该如何对齐，以及乘积数小数点该如何处理。由于小数加减法是对齐小数点后计算，而小数乘法是向右对齐后来计算，两者间的差异容易让学生感到困惑，因而混用。此外，在小数加法中，和数的小数点是与被加数和加数对齐；在小数减法中，差数的小数点也是与被被减数和减数对齐；并且小数乘以整数、整数乘以小数计算时，乘积数的小数点也是与被乘数或乘数对齐（如下图）。如再遇上教师仅仅教授乘积数的小数位数是被乘数与乘数小数位数的和的规则，却未让学生了解背后的原理，学生仅知其然而不知其所以然，虽暂时记忆了规则，但时间一久，所学得的一些规则便容易张冠李戴了。建议教师在教授相关课程时，除了加强学生乘法的计算能力之外，更应强化小数乘法的概念性知识，使学生了解乘积数的小数点位置与被乘数和乘数小数位数的关系。
由上述教学历程可以发现，教师应先复习整数乘法，等学生熟练后再进入小数乘法教学。而教师在导出乘积数小数点的处理原则后，也应多鼓励学生随时反思这个原则背后的原理，详见解法1-解法5。
知识的增长点就在将小数乘法看做整数乘法计算，然后弄清小数点位置移动的意义，对于小数点末尾的0应该去掉化成最小数即可，在小数乘法的教学过程中，牢牢地把握住这节课的重点和难点，促进学生们的数学能力的提升。
3 结语
在对学生放手之前，教师一点要有扎实的教学功底，对知识的把握不应停留在浅层次上，应当做到透析教材，抓住知识的增长点，进行精准的点拨。只有这样才能使我们的课堂充满活力，才能使学生更加聪慧灵敏，才能促进学生学习能力的提升和数学学习效率的提升。
参考文献：
[1] 陈日铭.小数乘法错例分析[J].读写算（小学高年级），2014年09期.
[2] 朱洁芬.理解，需要“回望”的视角――“小数乘法”学习问题分析及对策探究[J].教育研究与评论（小学教育教学），2014年08期.
上过五年级“小数乘法”一课的教师，都有一种很深的体会：在列竖式笔算时，学生关于数位的对位问题总是一知半解。列3.5×3的竖式，多有图1、图2两种样子，谁也无法说服谁。还有的学生实在搞不清楚，就想出了如图3的列式。其实不难想象，出现这些问题，正是受到小数加减法列竖式要求数位对齐的负迁移。尽管教师多次强调小数乘法列竖式要末位对齐，但当学生坚持说图1也没错时，教师也显得有些无可奈何了。很明显，图4～图6也说明，在列竖式的过程中学生很难摆脱小数的束缚，带来的后果是，要么算错，要么算不下去。
我们知道，整数乘法的竖式与它的横式思考方式是一样的，都是运用乘法分配律。例如32×14就是4个32与10个32的和，列竖式也正是这样的过程体现。但是到小数就有点不一样了。其实3.2×14也完全可以想成4个3.2与10个3.2的和（从算理上讲，列竖式这样去想也是对的，如图5），但是真正在列竖式时我们却把它们当作整数乘法去推算的，中间过程并不会出现小数。如果认可了图5的正确，那么像图4这样的错误率就更高了。
教师引导学生把小数乘法转化为整数乘法来算（图7），也一起分析了算理，但学生的视觉“告诉”他，这样做“很不和谐”：小数相乘中间过程却是整数，到最后又是小数。所以“小数乘法”教学的真正难点是帮助学生越过这个坎。教师对此一般的做法就是“充分感受、正面强化”，笔者以往也一直都是这样操作的。但是学生升到六年级之后再去问他们，为什么图7竖式中间过程没有小数？他们多是含糊其辞，最后总是以“以前老师是这样教的”来结束问答。于是笔者大胆设想，不妨把小数乘法直接改成整数乘法（在列竖式之前），用列整数乘法竖式进行推算（如图8），效果是不是会更好呢？
二、设计过程及前后比对
【设计第一稿】
在正式决定上这节课之前，笔者对本课教材进行了分析，也进行了多版本教材间的比对，发现了一些共同的地方：一般都在具体情境中引出小数乘法算式，用多种方法思考答案（如转化成加法算、转化单位算、数形结合算等），通过积的变化规律进行算理分析，最后是熟练巩固。遵循这样的思路，笔者设计了教学的第一稿。
（一）复习铺垫
1.出示图9，请学生快速口答。
2.说算法：说说速算的办法。（小数点位置移动引起小数大小变化）
3.环节过渡：3.5×3是否也与小数点位置移动有关？
（二）新授展开
1.给算式3.5×3赋予一定的现实情境（市场里买东西，西红柿3.5元/千克）。
重温数量关系：单价×数量=总价。
2.讨论交流，用学过的方法求出3.5×3的答案。（强调：已学过）学生中一般会出现以下几种方法：
（1）转换算法，用加法做――点拨小数乘法的意义。
（2）转换单位，化元为角――化成整数算。
（3）分解小数，分步计算――运用乘法分配律。
3.尝试用竖式计算，使过程更简洁。一般学生中会出现两种情况（见图10）。
4.找出两种方法的共同之处：都是将3与3、5分别相乘。引导发现与之相关的整数乘法算式（见图11）。从运算角度进行算理分析。
5.及时巩固，强调照样子写出思考过程（图12：6.4×4，6.32×3）。
6.重点讨论：左右两个竖式“保留哪一个”，明白用整数乘法竖式可以解决小数乘法计算的道理。
7.即时练习两道题，特别是两位数乘两位数（5.4×5，5.4×42）。
（三）练习巩固
1.基础练习：口算6道题，强化算法。
2.实践应用：出1道关于解决问题的题目，关注小数末尾去零的问题。
3.拓展提升：同一个竖式可以解决许多小数乘法计算的思考分析。
按照这样的教学设计经过两次课堂试教以后，笔者发现了一些问题。
问题一：在新授展开的第一步，请学生用学过的方法求出3.5×3的答案，学生似乎并不领会，计算这个答案似乎仅凭经验或直觉就可以得到（学生有太多的购物经验了），不需要什么方法。在笔者的一再要求下，转换方法、转换单位、分解小数用分配律算等方式总算都呈现出来了，但总体感觉是算法多样化并没有给学生带来多少课堂兴奋。
问题二：在新授展开的第四步，要求学生从运算的角度进行算理分析时，课堂也比较沉闷。因为前面已经知道10.5这个答案了，为什么还要这么复杂地分析来分析去。学生大多对此表示不理解。
问题三：在新授展开的第六步，笔者意在通过分析与讨论，让学生接受用整数乘法可以推算小数乘法，因此在列竖式时直接列成整数乘法竖式就行。但笔者的良苦用心学生并没有领情。到最后笔者只能强调，右边整数乘法这个竖式其实就是我们很重要的思考过程，在计算时只要保留这一个过程即可，随即把左边的竖式隐去。
问题四：在新授展开的第七步出现了课堂生成，既是问题也是契机。学生在列5.4×42的竖式时，出现了两种竖式，这说明有些学生还没有真正接受前面的知识。列图13的学生很快算出了答案，列图14的学生一直在嘀咕――怎么算呀，我哪写错了。于是笔者进行了干预：“像图14的算法，如果没有列成整数乘法的竖式，大家看看，是不是出现问题了，这位同学算不下去了。请下面哪位同学来帮一下，稍加改动，他就会明白了。”于是有学生上来将竖式21.6中出现的小数点擦去，也算出了226.8，笔者真的很无奈。
良好的设计意图并没有达成理想的教学效果，是需要反思的。回到教材，对比教材中的示例（例1：3.5×3与例2：0.72×5）。例1主要是在具体情境下理解不同的算法（有单位支撑），例2是脱离了具体情境，运用转化整数的方法，从积的变化规律的角度去进行分析的，并且这两个例题所出示的具体算式是不一样的。而笔者在自己的教学设计中，试图将例1与例2通过同一个材料3.5×3给以集中体现，学生显得有些思维疲倦。在知道答案的情况下还要进行不断的思考分析，让学生提不起精神。反思整个设计，总的来说学习材料缺少吸引性，思考力度缺少挑战性，教师给予的多，学生体验的少。笔者想重点体现的“用整数乘法（竖式）推算小数乘法结果”这一核心思想并没有出自学生主动的发现与积极的感悟，多的是“被发现”与“被灌输”。为破解问题，笔者进行了重新设计。
【设计第二稿】
（一）复习铺垫
口算
（设计意图：三组题逐一先后出现，图15因为数据简单，学生可以直接算答案，也可以根据积的变化规律算，图16迫使学生自觉地运用积的变化规律算，图17更抽象，在54还没给出之前是算不出来的，给出54以后，有学生会去想是多少，然后再进行填空计算，有的学生会沿用积的变化规律填空，这样的学习面向的是全体学生，又伴随着不断地“发现”，他们会体验这种“发现”的乐趣，这是用数学本身去吸引学生。）
（二）新授展开
1.口算。
6组题逐一先后出现，特别在图18、图21、图22、图23处作重点展开讨论。
（1）讨论图18：学生受到前面复习的迁移能很快算出3.5×3的答案10.5，教师反问：以前整数乘法里我们会运用积的变化规律，难道小数乘法也适合用积的变化规律？你能说明理由吗？由此学生将主动寻找各种算理来说明问题。方法主要也是前面第一稿中讲到的“转换为加法”“借用或转换单位”“分解小数用乘法分配律”等方法，但是这种学习状态是积极的，因为他们想努力证明自己的“猜想”是正确的，是为自己找理由。这里教师重点写出35―3.5、105―10.5这两个数之间的关系。
（2）讨论图21：这里有一个数未知，你竟然也算得出答案？这样的提问一下子将学生的地位抬高了，他们的解释是积极的、愉快的，因为他们觉得自己“很有能耐”。
（3）讨论图22：这题上下要反着出。先出3.15×14=，然后提问，你想知道哪个整数乘法算式？根据学生的要求，教师再给出315×14=4410，学生很快就推算出答案，并主动给出推算的过程。教师重点写出315―3.15，4410―44.1这两个数之间的关系。
（4）讨论图23：继续图22的方式，上下两题反着出，先出6.42×13=，然后提问，你想知道哪个整数乘法算式？学生提要求，但教师只给出642×13=，并不像图22那样直接告知整数乘法的答案，由此学生的思维与行动将合一指向642×13的竖式解答， 他们会快速算出答案8346，进而推算出小数乘法的正确答案。学生在计算答案的过程中体会到了学习的快乐。
2.小结提炼。
（1）呈现板书并交流。
（设计意图：小数乘法通过整数竖式推算出来，此时已是学生积极主动的行为，无须强调，教师只需追问一下学生：你是怎么想的？进而将扩大、缩小的倍数关系补充完整，让思维外显出来。然后重点强调，以后这样的小数乘法计算我们就可以通过整数乘法竖式将它推算出来，为书写简便，整数乘法的横式与板书中的扩大缩小的书写都可以省略不写。整数乘法这个老朋友可以帮助我们解决小数乘法这一新知识，随后与下一环节中的巩固练习相衔接。）
（三）练习巩固
1.基本练习，注意写竖式过程与书写格式。
2.算用结合，解决实际问题。
3.拓展提升，引导学生思考同一个整数乘法竖式可以解决许多小数乘法问题。
重新设计的“小数乘法”一课，经过课堂检验，顺利地解决了第一稿设计中存在的问题。学生在课堂中时而紧张、时而愉悦、时而兴奋，专注力很高。教材中强调小数乘法的计算结果一般要舍去小数末尾的0，这作为一个知识点，在传统的课堂教学设计中，教师讲了多次，还是会有学生忘记。有的学生搞错了先后顺序，先去掉了末尾的0，再添小数点。而在笔者的教学设计与课堂实践中没有任何提及，学生很自觉地省略了，这是一个很意外的发现。仔细想来，因为根据整数除法的学习经验，一个整十，整百…数除以10，100…在心算过程中，它们末尾的0早已被自动抵消掉了。
三、写在最后
在文中，有一问是值得我们关注的：以前整数乘法里我们在运用积的变化规律，难道小数乘法也适合用积的变化规律？笔者以为，这种规律的迁移是否合理虽然不需要证明，但需要讨论，就像整数加法交换律、小数加法交换律、分数加法交换律，虽然难度很小，但教材都安排了新课，因为在学生看来，整数与小数毕竟长得不一样。这也就是为什么全体学生并非一下子都能想到“将小数乘法转化为整数乘法最后将答案进行推算”的最重要的原因。
关键词：小数乘法教学；算理；算法；必要练习
“小数乘法”是人教版数学五年级上册第一单元的教学内容。它是学生在三、四年级学习了整数乘法、小数的意义和性质、小数点移动引起小数大小变化的规律、小数的加法和减法等知识的基础上进行的教学内容。原本以为教学时会很轻松，学生很容易掌握这一知识，孰料实际的情形并非如此，出现了不少问题，诸如列竖式不会对位、把积的小数点的位置点错、计算过程出错、计算失误等。之所以出现这些问题，归结起来不外乎三点原因：一是对算理不理解；二是对计算法则掌握不牢固；三是缺乏必要的练习。下面就这三点谈谈自己的想法和做法。
一、小数乘法算理的教学
学生计算中之所以出现这样那样的问题，从根本上讲都是因为没有真正理解计算道理，因此，老师要想方设法帮助学生理解算理。
这样做了以后，学生可能还不理解，我们还可以先算72×5=360，然后把小数点点上去，还原为0.72×5=3.6。
通过正向反向推导，让学生在观察比较中深刻理解其中蕴含的道理，从而真正理解和掌握计算的方法，知道小数点应该点到什么位置。
二、小数乘法算法的教学
小数乘法的教学内容，教材是按照由易到难、循序渐进的原则编排的。先学小数乘整数，再学小数乘小数。而小数乘整数又是先学带计量单位的，再学不带单位的，这样编排有利于学生由已知、熟知的知识去探求未知的知识。通过老师的启发引导和学生的积极探究，得出小数乘法的计算法则：（1）先按照整数乘法算出积，再点小数点；（2）点小数点时，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；（3）小数末尾有零的，注意化简。这三点简单说就是先按整数乘法算，再确定积的小数点。为了便于学生记忆，我们把它总结成口诀，就是“一算”“二点”“三化简”。除了要化简的这种情况，还有积的小数位数不够，就在它的前面用零补足位数再点这种情况，也要提醒学生注意。
三、小数乘法练习的教学
针对学生计算过程出错、计算失误的问题，我们提出几点建议：
1.在教学前要复习相关知识
比如整数乘法、因数的变化引起积的变化的规律、小数的基本性质、小数点移动引起小数大小变化的规律等知识，为新课的进行做好铺垫，因为学生计算中出现的一些问题，就是因为对旧知识掌握不牢固。
2.突出口算和对比练习
口算既是笔算、估算和简算的基础，又是计算能力的一种体现。我们在小数乘法的教学中要突出口算练习，由于口算题中的数目比较小，计算结果可以快速反馈，易于检验学生计算的正确与否，同时可以帮助学生理清计算方法的思路。
在小数乘法的教学中，还要加强整数乘法与小数乘法、小数加法与小数乘法的对比练习。通过对比，可以加深学生对小数乘法算理算法的理解，避免一些不该出现的问题，巩固计算法则。
3.培养学生良好的计算习惯
计算时要求学生看清数字，细心计算，反复检查。学会用观察的方法估算结果，根据第二个因数是否大于1，判断积是否大于第一个因数；看看积的小数位数是否与两个因数的小数位数的和相吻合（能化简的除外）。当然要想知道积的准确结果还得用竖式细心计算。
一、研读教材，理清脉络找准生长点
小学数学教材关于计算教学中运用转化思想方法的实例很多，像小数加减法、小数乘除法、异分母分数加减法、分数乘除法等等，都需要利用转化的思想方法将新知转化成已经学过的旧知来解决。在实际教学中，很多数学老师为了节省时间直接将计算的方法交给学生，然后进行操练，达到计算熟练的程度。这样，表面上看是提高了课堂教学的效率，实际上是剥夺了学生自主探究算理，获得新知的权利，使学生变成了一个不会思考，不会探究，只会机械接受知识的容器。为了避免这种现象的出现，作为数学老师必须更新观念，认真研读教材。研读数学教材，就是要分析新知往前向后的知识系统，分析学生已有知识的基础，把握住新知识的最近发展区，理清知识的来龙去脉，准确地找到新知产生的相关旧知，有效帮助学生在原有知识的基础上实现获取新知的跨越。
比如，小数加减法计算是在整数加减法的基础上教学的，在研读分析教材时应该关注这一点，教材通过引导学生利用已掌握的整数加减法的旧知迁移到小数加减法，反过来就是用转化的方法把小数加减法转化成整数加减法，即小数加减法和整数加减法在算理上是相通的，只是多了一个小数点处理的问题。这里的转化思想方法的渗透符合学生的学习心理规律。因此，准确找到新知的生长点可以有效促进学生由旧知向新知的转化，这应该成为教师课前钻研教材的重点之一。
二、创设情境，提供由旧到新的支撑点
教学时，常常会出现这样的情况，学生已经具备新知学习的知识基础，但他们自身却不能充分利用。教师不但要在学生学习新知前设法唤起旧知的重现，简单复习旧知，还要创设一定的情境，善于变化旧知的呈现方式，使之更加贴近新知，为新知学习提供巧妙的支撑。
例如，在教学小数乘整数，需要唤醒学生对乘法的意义、整数乘法等相关旧知时，没有简单直接呈现这些旧知让学生复习，而是创设了一个购物的情境，将整数乘法的几种情况包含其中。购物情境是比较简单的：出示超市情境中的四幅图（面包：4元/个 5个，火腿肠：0.8元/根 3根，进口蛇果：16元/个 12个，西瓜：2.35元/千克 3千克），组织学生自主选择其中一种食品，并根据所提供的信息，提出一个用乘法计算的数学问题。根据学生自己提出的问题，从而得到4道乘法算式。继而组织学生观察四道乘法算式，将它们分分类。这样，通过情境的创设，巧妙地将整数乘法分为一类，小数乘法分为另一类。整数乘法是过去学过的旧知，自然地对与新知有关的旧知进行了复习，这些旧知与新知学习中出现的小数转化成整数、用加法计算和把小数乘整数先看成整数乘整数计算等更为接近。实践证明，学生的旧知被充分利用后，与之相关的新知识才能水到渠成。
三、依托旧知，实现由旧到新的转化
有意义的数学学习都是在学生原有的学习基础上进行的，几乎不存在不受原有知识影响的学习。转化的思想方法很多情况下渗透在学生对旧知的正迁移过程中，旧知与新知之间的关系是垂直方向的纵向联系，依托旧知的复习，把新知顺应于原有的认知结构中，从而实现对新知的学习活动。这个获取新知的学习过程，即新知的形成过程，一定要让学生亲身经历。
例如，异分母分数加减法，依托的旧知基础是分数的意义、通分、约分和同分母分数加减法，涉及到的知识点较多，在转化的过程中，细节是很重要的，一定要提供时间和空间让学生依托旧知，经历这个由旧知到新知的转化过程，而不要直接告诉他们把异分母分数化成同分母分数进行计算，然后就进行操练，达到熟练的程度。这样的学习过程记得快忘得也快，是不符合学习规律的。
在实际教学时，通过班级黑板报版面设计的情境让学生提出问题，复习相关的旧知后，小组讨论“1/2+1/4”该怎样计算呢？出示研究提示：先独立思考，可以画一画、想一想、算一算，把自己的方法记录下来。把自己的想法在小组内交流。然后让学生汇报交流，说说是怎么想的？学生出现的三种方法逐一展示：（1）画一画。这种方法可以让学生先在实物投影上展示，让学生说说思考的过程。（2）化成小数。转化成小数，变成我们学过的知识。（3）通分。老师引导学生重点理解这一种方法。根据学生回答，板书并明确将异分母分数加法转化为同分母分数“2/4+1/4=3/4”。提出问题：为什么要通分？通分的依据是什么？通分后怎么计算？引导学生理解“2/4+1/4”的算理：分母不同，就是分数单位不同，转化成分数单位相同的分数后，就是“1个1/4加2个1/4等于3个1/4，也就是3/4”。这时候引导学生比较这三种方法：刚才同学们用画图、化成小数、通分化成同分母分数这几种方法算出了二分之一加四分之一的结果，这几种方法有什么相同的地方？通过探究发现这几种方法都是把新知识转化成旧知识，对学生渗透了转化是一种很好的数学学习方法，它帮助我们用已经学过的知识解决新的问题。
四、加强对比，形成新的算理算法
寻找新知和旧知之间的共同点和不同点是形成计算方法的关键之处，一个新知识学习需要利用相关旧知识时，最好要通过对比的方法发现新旧知识之间的异同点，有效地把握住新知的实质，防止其他因素的干扰，影响新知的形成。特别是学生原有知识与新知之间相似但不完全相同，并且原先的学习不清晰时，最容易出现错误的结论。比如，苏教版教材中先学习小数和整数相乘，如果学习时对积的小数位数的确定方法不准确时就会影响后继学习，所以在教学小数乘小数，学生在理解算理，知道为什么乘数中一共有几位小数积就有几位小数后，出示整数乘整数、小数乘整数以及末位有0的小数乘法算式组织学生对比，发现小数乘小数和整数乘整数、小数乘整数的区别，进而总结出小数乘小数的计算方法。
为了提高学生计算的准确率，在平时的教学和练习中，笔者觉得可以从这几个方面入手。
一、教学设计中重视算理
传统的计算教学常常是通过机械重复、大量题目的训练，只重视计算的结果，不重视计算法则的形成过滤和计算方法的概括。而新课程标准下的计算教学一改以往计算教学的枯燥味，它赋予了计算教学新的内涵，使计算教学充满了生活气息。我们在教学时不仅要关注学生的自主探究创新能力，与人合作的意识，还应注重学生是否已获得算理。
如小数和整数相乘的教学时，学生已经完全掌握了数法运算的知识和技能，这方面内空的学习是可以在学生的主动探究、研究中掌握的。这部分内容的关键是处理小数点。怎样在积的适当位置点上小数点，也是笔算教学的重点内容。教师让学生在计算情境中体验竖式计算，研究积小数点位置的规律，主动构建小数乘整数的计算法则。例1从天买3千克西瓜要多少元这个实际问题出发，根据要求几个相同加数的和可以用法计算这个已有概念，列出算式0。83。这是学生第一次遇到小数乘法，它的得数是几？运用相关的知识经验，一般有两条思路：一是把3个0。8连加；二是把0。8元看成是8角，把小数乘法转化成整数乘法。学生在运用已有的知识经验解决问题之后，教师再呈现0。83的竖式，让学生从整体上感知它。初步看到小数也可以列竖式计算，竖式的形式和整数乘法很接近；由于一个因数是小数，积也是小数。
例题继续求冬天买3千克西瓜要多少元，让学生独立计算2。353，探索小数乘整数的笔算方法。教材要求先用加法算，再用乘法算有两点意图：一是用加法启发法。计算加减从最低位起立，一位一位地算的；是向相邻的高位进位的；和里要点上小数点的。这些步骤与方法启发乘法也这样进行，让学生算过乘法后，又会进一步感受到小数法可以像数法那样去，只是积里要点上小数点。二是用加法验证乘法，结果是正确的，过程和方法是合理的，增加继续研究小数乘法的信心。这样就是学生学生初步获得了算理。
通过例题的教学，学生初步知道小数乘整数可以列竖式笔算，乘的方法和整数乘法基本相同。“试一试”着重教学只里有几位小数，怎样在积里点小数点。 分别看积的小数位数和因数的小数位数，想想它们之间是什么关系，从而明白“因数里有几位小数，积里也有几位小数”。“练 一练”2 题，根据一道整数乘法算式，写出四道小数与整数相乘的算式的积，专门练习根据因数的小数位数，确定积里小数点的位置。”小数和整数相乘应该怎样计算”这个问题，引导学生把例题里的感知和“试一试”的收获结合起来，通过在小组里说说的方式，理计算思路 ，明确计算方法，构建计算法则。
只有明确了算理，从而指导计算过程，操作起来就不容易出错。
二、发挥估算的作用
估算教学的目标定位在：培养数感、进行检验和解决问题等方面。如果教师对估算的重要性理解到位，就会在激发估算需求和体现估算价值上下功夫，充分发挥出估算的作用。
在苏教国标版教材中，估算这一内容以单独形式出现，并且估算思想随处可见，足见教材编写组对估算教学的重视程度。
三、口算训练不容忽视
《教学课程标准》虽然已经降低了对笔算复杂性和熟练程度的要求，但没有降低口算的要求，而是明确提出应重视口算。口算具有很高的实用价值，对培养学生的思维能力有一定的作用。
笔者发现不喜欢教材中提供的基本口算方法，而乐于采用笔算化的口算方法，这是我们一线教师要警惕的。在平时的教学过程中，尤其是在练习课上，对于口算不可以一带而过，有必要时有些字典型口算题的策略还得与学生共同探讨。例如4。540，让学生说说是怎么想的，先算4540=1800。再从积的右边起数出一位，点上小数点，就等于180。
对于计算题的训练，用的比较多的就是开火车练习，这样量多面广，当然要注重调动学生的积极性，免枯燥重复的机械训练，我看到过这样一个不错的案例：
师：同学们，老师昨天去超市购买了一些物品，一共是9。6元，你们猜猜看，我会怎样付钱？
生：正好付9。6元，付10元（付20元，付50元，付100元）。
师：那么，营业员该找我多少钱呢？
生（计算）应该找你0。4元（10。4元、40。4元、90。4元）
师：（先是巡视，看学生中对于10—9。6的计算有没有计算错误的，特别是得数的整数部分是0，学生没有注意这个问题。）非常棒！那么，你在计算的时候有没有遇到什么新的情况，需要我们大家注意的呢？
本节课的教学设计就很好地体现了上述理念。“小数乘小数”计算的生长点就是整数乘法，然而，“按整数乘法相乘后怎样得到原来的积”则需要经历一个严密的推理过程。教材安排了两次探究活动：第一次在教学例1时，充分让学生根据已有的知识和经验，通过自主探索和小组合作相结合的方式，在教师的指导下经历推理的过程；第二次在教学“试一试”时，培养学生独立进行推理的能力。在两次探究后，引导学生比较各题中两个因数与积的小数位数，发现“两个因数一共有几位小数，积就有几位小数”这一规律，在理解算理的基础上得出在积里点小数点的操作方法。同时，通过归纳推理的方式总结出小数乘法的计算法则，并通过多种形式的练习，帮助学生进一步掌握计算方法，培养计算能力。
片断一：
师（课件出示平面图）：同学们，这是小明新家平面图的一部分，你能根据给出的数学信息，提出一些问题吗？
生1：阳台的面积是多少平方米？
生2：阳台和房间一共有多少平方米？
生3：阳台、书房和房间一共有多少平方米？
……
师：同学们提出了这么多有价值的问题，可见，大家都是善于动脑筋的学生。（课件出示其中的三个问题）你能求出书房的面积吗？怎样列式？
生4：3×2.8。
师：为什么用3×2.8呢？
生5：因为书房是长方形，所以用3×2.8。
师：那怎样计算呢？请同学们拿出自己的本子来算。（学生独立进行计算）谁来说说这题的计算方法？
生6：列竖式时先把右边对齐，按整数乘法进行计算，然后看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
师：不错。还有谁来说说？
生7：先按照整数乘法算出积，再看因数中有几位小数，就从积的右边起数出几位，最后点上小数点。
师：你们对小数乘整数的计算方法说得真完整、具体，可见你们掌握得不错。
师：求房间和阳台的面积有多大，各怎么列式？
生8：求房间的面积列式为3.6×2.8，求阳台的面积列式为1.15×2.8。
师：请同学们观察一下，这两道算式与前面的一道算式有什么不同？
生9：第一道算式是小数乘整数，第二和第三道算式是小数乘小数。
师：今天，我们就一起来研究小数乘小数。（板书课题：“小数乘小数”）
……
反思：创设情境与复习铺垫的矛盾是当前计算教学中存在的问题之一。本节课的导入设计改变了课本原有的呈现方式，将复习铺垫与情境导入融为一体，解决了创设情境与复习铺垫之间的矛盾，使原本枯燥的计算教学不仅能引发学生的学习兴趣，还能为新知的学习做铺垫。课始，我让学生结合具体情境发现并提出问题，进而解决问题，既复习了小数乘整数的计算方法，又为后面探究小数乘小数的计算方法埋下伏笔。当学生提出求房间和阳台的面积时，我适时引导，便能自然地引入新课。
片断二：
师：让我们根据经验，先尝试计算一下房间的面积。（学生独立尝试计算，教师巡视，然后让两位学生板书不同的计算方法）
师：这两位同学的计算有什么相同之处和不同之处？
生1：他们都是先按照整数乘法进行计算的，但积的小数点位置不同。
师：这两位同学无论谁计算的对还是错，都值得表扬。因为小数乘小数的确是先按照整数乘法进行计算的，然后点上小数点，只是小数点的位置不同。看来，关键问题是确定积的小数点位置。
师：到底哪种算法对呢？利用估算的方法，我们可以判断出来。
生2：把2.8看作3，3.6×3=10.8，那3.6×2.8的积一定比10.8小，所以3.6×2.8的积不是100.8。
师：还有别的方法吗？
生3：把3.6看成4，4×2.8=11.2，说明3.6×2.8的积一定比11.2小，所以第一种算法是正确的，积应该是10.08。
生4：3.6比4小，2.8比3小，4×3=12，即3.6×2.8的积一定比12小，所以100.8是错的。
……
反思：《数学课程标准》中指出：“学生的数学学习内容应该是富有挑战性的。”在学生不了解小数乘小数计算方法的情况下，让他们根据自己已有的知识经验独立尝试计算3.6×2.8这一富有挑战性的题目，更有利于培养学生的思维能力和探究能力。同时，学生的头脑不是一片空白，他们有“小数乘整数”“积的变化规律”“小数点的移动引起小数大小变化规律”等知识经验作基础，所以我大胆地让学生尝试计算，让他们经历探索的过程，获得思维的训练。另外，纵观苏教版国标本小学数学教材，竖式计算教学离不开估算这一环节，而且估算这一环节的出现是在列竖式计算之前的。当然，教材这一安排，编者肯定有其意图，可是我经过反复钻研教材和研读数学课程标准后，对估算的教学次序做了以上改动，因为数学课程标准要求学生在解决具体问题的过程中能选择合适的估算方法，养成估算的习惯。我在学生探究过后，让学生运用估算进行判断和检验，这一改动并没有违背数学课程标准的理念，而且这一举措能够让学生充分感受到估算的价值，更有利于学生养成估算的习惯。从学生估算的方法来看，并不拘于书上介绍的两种方法，可见这样能挖掘学生的思维潜能，这不也是我们在计算教学中所追寻的目标吗？
片断三：
师：看来，3.6×2.8=10.08是正确。那么，3.6×2.8的积为什么要点出两位小数？
生1：因数中一共有几位小数，积就有几位小数。
师：听明白他的意思了吗？
生2：他的意思说，第一个因数是一位数，第二个因数也是一位小数，所以积有两位小数。
师：“两个因数一共有几位小数，积就有几位小数”，那到底有没有这样的规律呢？这只是他的猜测，我们要用已经学习过的知识进行验证。谁来说说？（没有学生举手）
师（课件出示3.6×2.8）：我们按照整数乘法进行计算，因数发生了什么变化？
生3：第一个因数3.6变成了36，即乘了10。
师（根据学生的回答点击课件）：第二个因数呢？
生4：第二个因数也乘了10，它们相乘的积也就等于原来的积乘了100。
师：要想得到原来的积，怎么办？
生5：应该用1008除以100，也就是把小数点向左移动两位，就是10.08。
师：谁能完整地说说3.6×2.8的积为什么要点出两位小数？
生6：一个因数乘了10，另一个因数也乘了10，积就乘了100，要想得到原来的积要就把1008除以100，就是10.8。
师：这下同学们知道这种算法错在什么地方了吧？
生7：这种算法错把积除以10。
师：通过推理，我们证明了3.6×2.8=10.08，这和估计的结果是一致的。
……
反思：课堂上我提问“3.6×2.8的积为什么要点出两位小数”，教学预设中，我以为一定会有学生利用积的变化规律来说明的，这样就可以教会其他不会的学生，从而理解算理。可是当我提问时，有一个学生就回答“因数中一共有几位小数，积中就有几位小数”。此时我灵机一动，说：“这只是他的猜测，我们要用已经学习过的知识进行验证。”然而，却没有一个学生举手。我当时并没有着急，而是“扶”着学生逐步理解算理。上完课后，我清楚地认识到，只有深入钻研教材，揣摩学生的心理，进行充分预设，才能从容地处理好课堂的生成。从上述教学中，让我切实地感受到精彩的生成源于精心的预设。
总结思考：
能够让学生根据归纳出的计算方法进行正确的甚至比较熟练的计算，这当然是计算教学中应该达到的教学目标。新课改的今天，当我再一次关注计算教学时，我清楚地认识到，计算教学更应该关注学生的学习过程，让学生在自身的实践探索中发展思维能力，培养良好的学习品质。
1.在计算方法的算理探索中，培养学生的分析推理能力
苏教版国标本小学数学教材中不明确给出计算的法则，意图是让学生充分经历得出计算方法的探究过程。另外，钻研教材时，我发现教材为什么不通过列表格、计算器计算等形式先探索确定积的小数点位置的规律，再让学生进行小数乘小数的竖式计算呢？我认为编者的意图是想让学生在经历小数乘小数计算的过程中，通过分析、推理，概括得出“两个因数中一共有几位小数，积就有几位小数”的规律。既然如此，我在教学中就给学生充足的时空去独立探索算理。当学生不知道如何进行分析推理时，我先“扶”着学生经历探究的过程，再让学生独立分析推理。这样，让学生从不会到会，培养了学生的分析推理能力。
2.在归纳计算方法的过程中，培养学生的抽象概括能力
教材中不明确给出计算方法的结论，目的是让学生自己归纳概括出来。从具体直观的计算到小数乘小数一般方法的归纳概括，对学生来说是质的飞跃。课堂教学中，我非常关注计算方法归纳的过程，注重让学生利用小组合作的方式进行探讨，得出小数乘小数的计算方法，培养了学生的抽象概括能力。
3.在计算教学的整个过程中，注重数学思想方法的渗透
素质教育的重要表现在于个体心理活动水平的发展与提高。因此，数学思想方法在培养学生良好的精神品质方面具有十分积极的作用。在探索小数乘小数计算方法的过程中，让学生先按照整数乘法进行计算，这就是运用了转化的数学思想。在具体的情境中复习整数乘小数的计算方法，为后面学习、归纳概括小数乘小数的计算方法做铺垫，这里于无形中也渗透了迁移这一数学思想。教学中长期进行数学思想方法的渗透，既培养了学生的数感，又激发了学生学习数学的热情。
一、要重视基本运算技能的训练
学生计算一道题，常常要综合运用几方面的计算知识。比如计算76.5×0.62，就涉及到小数乘法竖式的书 写、乘法口诀、乘数是一位数的乘法、两位数加一位数（进位的、不进位的）、积的小数点位置的确定、多位 数加法、运用小数的性质去掉得数末尾的零等计算基础知识，其中某一项计算的错误，就会影响整道题的正确 计算，更谈不上合理灵活地选择算法，形成能力。所以，复习时一定要抓住基本运算技能的训练。(1)要重视各 种基本的口算训练，如20以内的加减法和100以内的两位数加（减）一位数，乘法口诀等；(2)要重视除法试商 ，带分数与假分数的互化，分数、小数与百分数的互化，判断一个最简分数能否化成有限小数等基础训练；(3 )掌握1和0的运算特性；(4)整数、小数、分数加减乘除的单项计算……这样为正确、熟练、合理、灵活地进行 四则混合运算打下了基础。
复习时不要着眼于学生会不会做题，计算结果是否正确，而应(1)要着力使学生弄清基本概念，深刻理解算 理，指导正确计算。比如，一个数乘以小于1的小数（分数），就是求这个数的几分之几是多少，深刻理解了这 一点，就能理解这样求得的数为什么比这个数小的道理。(2)要重点指导学生根据知识间的内在联系概括规律。 例如，复习整数、小数、分数的加减法法则后，让学生知道：整数加、减时，要注意数位对齐；小数加、减时 ，要注意把小数点对齐；分数加、减时，要注意当分母相同时才能直接相加或相减；而它们的共同特点是把相 同单位的数相加或相减。这样，学生就从整体上、从本质上理解和掌握了加减法的计算法则。学生懂理会法， 就能从根本上提高计算能力，发展思维能力。
二、要重视比较，沟通联系
总复习是为了使学生重温已学的数学基础知识，并进行系统整理，形成良好的认知结构，而不是对学过的 知识重新讲授。因此，教学时要注意通过启发提问，引导学生回忆所学知识，并加以归类整理，使之系统化， 纳入学生的认知结构。如师生一起把分散在一至五年级逐步学习的四则运算整理成表格（如课本102页的表）， 就可看出知识间的联系和区别：整数加法是最基本的运算，是“把两个数合并成一个数的运算”；整数乘法是 “求几个相同加数和的简便运算”；根据分数的意义，一个数乘以分数（或小数）的意义是“求这个数的几分之几是多少”；整数、分数和小数的减法和除法分别是加法和乘法的逆运算。
分析比较有联系而又容易混淆的内容，使学生弄清它们之间的联系和区别。比如，小数乘法、除法的计算 实际上都要按照整数、乘法、除法的法则计算，所不同的就是小数点的处理问题。小数乘法要看两个因数一共 有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点，小数除法要把除数的小数点去掉，转化为除数是整数的除 法计算。
三、要重视培养计算能力
在很多情况下，学生的计算能力反映在运用运算定律、性质以及和、差、积、商的变化规律进行简便运算 上。要举出实例授之以法，告诉学生拿到一道题目要观察题中各数有什么特点？数与数之间、运算与运算之间 有什么联系？能否用运算定律、性质和运算技巧进行简便运算？（比如能不能凑整？能不能写成整百数与几的 和或差……）训练时要培养学生简算的自觉性（这是计算能力的突出表现），练习中要避免出现机械指令性的 “用简便方法计算”的要求，而强调凡能简算的就要简算或怎样算简便就怎样算。有时不妨在计算过程中间孕 伏简算的情境，让学生观察后自觉地进行简算。如：2(3/25)-0.83-1/2÷2(16/17)，学生算到2(3/25)-0.83-1 7/100时，要求学生观察题中数据，从而发现0.83与17/100可以凑成1，很快算得结果为1(3/25)，以此来培养学 生在任何一步计算中都时时有“能否简便些”的意识，提高计算能力。
分数、小数四则混合运算是小学全部计算知识的综合运用，其中在计算的某一步如何合理地确定把分数化 成小数来算，还是把小数化成分数来算，直接反映计算能力。这个关键问题学生往往不易把握。复习时，要通 过实例使学生掌握规律：在分数、小数加减混合运算中，题中分数能化成有限小数的化成小数来算比较简便， 题中分数不能化成有限小数的，则把小数化成分数；在分数、小数乘除混合运算中，一般把小数化为分数来算 较简便，但当小数与分数的分母可以“约分”时，直接“约分”比较简便。要选择典型题例引导学生在计算每 一步时都要瞻前顾后，根据具体情况选择“化”的意向，如计算5(2/5)×［(1.6+1/9)÷0.84-1(7/18)］，可问 学生：
(1)小括号内应怎样算合理？让学生看出1/9不能化成有限小数，应把1.6化成分数来算；
(2)算式中((1(3/5)+1/9)÷0.84=)1(32/45)÷0.84这一步怎样算合理？让学生看出分数1(32/45)不能化成 有限小数，同时分数除以小数，一般把小数化成分数较为简便。
四、要重视培养良好的计算习惯
1.认真审题。细心阅读题目，看清数字、运算符号，观察数的特点及数与数之间的联系，考虑按什么顺序 进行运算？能不能简便运算？什么地方可以口算？估计题目的结果在一个怎样的范围内？
2.认真计算。在计算过程中要求学生书写工整，格式规范。
3.认真检查和验算。抄题后要检查有无错误，计算后通过估算和验算及时发现和纠正错误。
五、加强反馈，注意因材施教
一、学习指南：还给学生学习知情权
在“自主学习任务单”中，我们首先规划了“学习指南”栏目，重点引导学生在“学什么”的基础上明白“为什么学”，从而推动学生“有准备地学”。
1.学习目标要简明易懂、指向明确。
在学习目标的拟定上，尽量不要使用抽象的、模糊的、成人化的数学术语，如“算理”“归纳”等。另外，在考虑学生自学知识目标的同时，有意识地设定了引导学生关注数学思想方法的目标。
在《小数乘整数》一课的“自主学习任务单”中，我们提出的“学习目标”有4条：（1）通过自学教材及观看微课视频，联系生活实际和学习经验，理解例1中“0.8×3”和“2.35×3”的乘法意义，初步了解竖式计算的格式和步骤；完成学习任务1、2，知道几种算法之间的联系。（2）借助计算器完成学习任务3，经历发现“积和因数的小数位数的关系”这一数学规律的全过程，并能初步运用；同时，能够根据小数的性质解释积的小数位数化简的情况。（3）独立完成学习任务4中的相关练习，能正确口算类似于“0.5×3”的简单题目，并正确列竖式计算第2题，积极思考带的题目。（4）进行微课学习、思考及练习后，能用自己的语言概括“小数乘整数”的计算方法。
2.学法指导要全面细致、方法多样。
在《小数乘整数》一课的“自主学习任务单”中，我们拟定的“学法建议”是：（1）自学教材、观看视频、完成任务单习题时，及时用红笔标注重点及疑问。（2）观看微课视频时，需要思考或完成计算任务时请及时暂停播放视频，完成任务后再继续观看和学习。（3）学习中发现的问题可在专题学习网上的“交流讨论”栏目内交流解决。仍然解决不了的问题记录在“困惑与建议”栏目，等待课堂解决。（4）认真学习的态度，能帮助你走向成功。先让学生自学教材，再观看微课视频，最后完成任务单习题，符合学生的认知发展规律，充分尊重学生的主体地位。考虑到微课视频播放的连续性与学生认知思考的间断性之间的矛盾，教师要指导学生如何观看微课视频。通过提倡认真的学习态度，使学生养成良好的学习品质。
二、学习任务：提供对话式的学习程序
“学习任务”栏是“自主学习任务单”的核心内容，是学生自主学习最具体、最直接的凭借。在拟定学习任务时，我们注重学习重难点的挖掘，关注学习细节，特别重视引导学生与文本进行对话。我们针对《小数乘整数》一课设计了5个任务：任务1是复习旧知，自学教材，初步了解“小数乘整数”。任务2是观看微课视频，进一步理解“小数乘整数”，沟通整数乘法与“小数乘整数”的联系，让学生能够从转化的角度审视新知。任务3是发现规律，感悟数学思想方法。我们遵循数学发现的一般规律，从感知到猜想，再经过验证到运用，既有教师指定验证的，也有学生自己举例验证的。任务4是巩固提升练习，安排了口算、笔算、填表推理题，这样的练习设计保底而不封顶。任务5是总结概括“小数乘整数”的算法。5个任务起承转合，融为一体。这样，“学习任务单”既是一种学习程序，也是一种学习途径和学习方式。
三、学习资源：教师价值的前置性表达
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。”学习资源是指教师为帮助学生达成学习目标、理解知识而提供的有效支持。这里的学习资源一方面指“自主学习任务单”，另一方面还包括在“自主学习任务单”中多次提及的微课视频和学习平台。在“自主学习任务单”中我们给出了说明和路径：“校园网—瑞博教学平台—小学数学—《小数乘法和除法（一）》”。
微课就是教师针对教材例题或者练习等单一任务而宣讲的视频，我们通常是用录屏软件录制课件演示解说过程，时长5～8分钟。微课不同于新授，不是从零开始，它着眼于解惑，学生已会的不讲，学生自学教材能学会的不讲，学生听不明白的暂时不讲；主要讲学生易错的、易混的，讲学生想不到的知识细节。在《小数乘整数》的微课中，我们就针对小数乘整数的竖式怎样对齐、估算、积的小数位数的判断和验证等问题进行了释疑。
通过教学平台构建专题学习网站，可以整合多种教学功能，方便学生操作和学习。针对《小数乘整数》一课，我们架构了魅力微课、交流讨论、教你思考、数学故事、挑战自我五个栏目。需要说明的是，“挑战自我”是在课堂学习之后才开放的，其余四个栏目是教师在课前就开放的。“交流讨论”供学生在线提出问题、研讨质疑，学生通过交流可以解决一些简单的问题，从而筛选出最有价值的问题进入课堂，实现课堂教学的高效。在“挑战自我”栏目中，我们设计了精心判断、细心选择、用心填空、慧心巧解四项在线自测，学生可以即时看到自己的答题情况，并可以查看错误原因。在“教你思考”和“数学故事”两个栏目中设计了两篇数学小论文和数学幽默。
【关键词】电子技术 问题 解法
Discussion on the solution of the three types of problems in digital electronic technology course
He Aiquan
【Abstract】In this paper, the writer has made a discussion on how to solve the three types of problems on the digital electronic technology, including the transformation between binary decimal fraction and denary decimal fraction, the 8421BCD coding and the differentiation of the type of the counter.
【Keywords】Electronic technology Problem Solution
1．二进制小数与十进制小数的转换。
1．1 二进制小数化为十进制小数。方法与二进制整数化为十进制整数相同，即“乘权相加法”：把二进制小数按权展开，然后把所有各项的数值按十进制相加就可以得到等值的十进制小数。
例1：将（0.101）2化为十进制小数。
解：（0.101）2=（0×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3）10
=（0+0.5+0+0.125）10
=（0.625）10
1．2 十进制小数化为二进制小数。方法与十进制整数化为二进制整数的“除2取余倒记法”不同，可把它叫“乘2取整顺记法”，即：将十进制小数连续乘以2，取其整数。每次要除去前次所得积的整数再乘以2，直到满足误差要求进行“四舍五入”为止，最后将每次所得整数按顺序记下，就完成了由十进制小数转换为二进制小数。
例2：将（0.75）10化为二进制小数。
所以（0.75）10=（0.11）2
例3：将十进制小数0.41换算成二进制小数（误差不大于2-4，即小数点后取4位）。
答：由于最后的小数大于0.5，根据“四舍五入”的原则，小数点后第四位取1，而不是0，所以（0.42）10=（0.0111）2，其误差ε
2．十进制数的8421BCD编码。用四位二进制数来表示一位十进制数中的0～9十个数码，而四位二进制数有0000（0）到1111（15）十六种组合，若只利用0000（0）到1001（9）（其余六种组合是无效的）的十进制数编码方法叫8421BCD码。
如果是2位十进制数则须用8位二进制数来编码，如果是3位十进制数则须用12位二进制数来编码，如果是n位十进制数则须用n×4位二进制数来编码。
例4：十进制数31的8421BCD编码为（ ）
A．11111 B．00011111
C．01010001D．00110001
正确答案应为D。
例5：有一数码10010111，作为自然二进制数或8421BCD码时，其相应的十进制数各为多少？
解：自然二进制数10010111等值的十进制数为1×27+1×24+1×22+1×21+1×20=15l
8421BCD码10010111共8位其所代表的十进制数为二位，即97。
3．计数器的区分。
3．1进制的区分：根据计数器逻辑的电路图，列状态表，看触发器计数时是否存在无效状态，及有效状态的个数来确定计数器的进制和计数器的位数。如果没有无效状态则是二进制计数器，这时有n个触发器则为n位二进制计数器。如果存在无效状态，则有n个有效状态就是一位n进制计数器。
3．2 同步异步的区分：所谓异步是指计数脉冲不是同时加到所有触发器的计数输入端，而只加到最低位触发器的计数输入端。其它多级触发器则由相邻的低位触发器来触发。同步则是计数脉冲同时触发计数器中的全部触发器，所有触发器的状态变换与时钟脉冲同步。可由逻辑电路图直接看出同步还是异步。
3．3 加法减法的区分：
每输入一个脉冲就进行一次加1运算为加法计数器，每输入一个脉冲就进行一次减1的运算为减法计数器，列状态表可区分加减法。
例6：试分析图示计数器的工作原理，它是多少进制的计数器？
解：设初始状态
1）脉冲1
此为三进制同步加法计数器。
解：设初始状态
1）脉冲1
CP序号 输出
此为五进制异步加法计数器。
参考文献
1 康华光.电子技术基础.第三版.高教出版社
看似很简单
【起点预设】
与“整数乘法”相比，“小数乘整数”只是多了“积中小数点位置的确定”。学生已经掌握了整数乘法的计算经验，本堂课我就以此为起点，抓住不同，重点解决“怎样确定积中小数点的位置”。
【课中练兵】
1、教学用乘法竖式计算“0.8×3”。
2、学生独立计算“2.35×3”，并观察因数与积各是几位小数。
3、猜想：如果用一个三位小数乘3，积会是几位小数？如果用一个四位小数乘3呢？
4、出示4．76×12、2.8×53、103×0.25，先猜一猜积是几位小数，再用计算器计算验证。
讨论：通过刚才的计算和比较，你认为在计算小数乘整数时，可以怎样确定积的小数位数？
5、根据148×23＝3404，直接写出下面各题的积。
14.8×23＝ 148×2.3＝ 148×0.23＝ 1.48×23＝
6、用乘法竖式计算：3.7×5 0.18×5 46×1.3 35×0.24
学生反馈情况如下：
① 4 6 3 5
× 1.3 × 0.24
② 4 6 3 5 3 5
× 1. 3 ×0.2 4 × 0.2 4
1 3. 8 1.4 0 1 4 0
4 6. 7 0 7 0
5 9 .8 8.4 2. 1 0
第1、2题正确率达95%，第3、4题正确率仅为8%。
其实还不懂
【二探起点】
反思上述案例，之所以影响目标达成，产生教学内耗，关键在于教师没能有效把握学生的学习起点。过低或过高地估计学生的学习起点，不但浪费宝贵的课堂教学时间，而且人为地降低了教学内容的探究价值，远离了学生的认知“最近发展区”，使学生的智慧无法得到发展。案例中，教师对学生的已有经验、思维障碍估计不足：1、整数乘法（两位数乘两位数）是学生三年级学的内容，时隔一年半，学生对于两个部分积如何对位等书写格式上的规定已淡忘。2、学生刚
学了小数加减法，“小数点对齐”对本课新学内容在一定程度上产生了干扰，学生每写一步就会不自觉的把小数点对齐。3、学生并未完整感知小数与整数（两位）相乘的竖式实例，对于“先按整数乘法计算”并不理解。由于教师没有探明学生的学习起点，出现各种问题亦是理所当然。
理清了学生的思维障碍，我对本课的起点预设作如下调整：1、解决“怎样确定积中小数点的位置”；2、让学生完整感知“小数与两位整数相乘”的竖式书写格式和计算方法。
【再次练兵】
1、 创设情境，引入新课 2、自主尝试，探索算法
a、学生尝试计算 “0.8×3”。
全班交流：你是怎样算的？
指出：“0．8 × 3”也可以用乘法竖式计算。（板书竖式）
讨论：谁来说说用竖式计算“0．8×3”的过程？0．8是几位小数？2.4呢？
b、独立计算“2.35×3”。
交流：谁来说说用乘法竖式计算的过程？2.35是几位小数？“2.35×3”的积是几位小数？
c、猜想：如果用一个三位小数乘3，积会是几位小数？如果用一个四位小数乘3呢？
3、验证猜想，归纳方法
a、出示4．76×1 2、2.8×53、1 03×0.25，要求先猜一猜每道题的积是几位小数，再用计算器算一算，看计算结果与猜想的是否一样。
讨论：通过刚才的计算和比较，你认为在计算小数乘整数时，可以怎样确定积的小数位数？
b、计算“2.35×12”。
学生叙说，教师板演。
学生模仿进行竖式计算。
学生完整地说说计算过程及注意点。
c、小结：计算小数乘整数时，一般可以先按整数乘法算，再看因数里有几位小数，就从积的右边起数出几位，并点上小数点。
4、练习巩固，形成技能
a、根据148×23＝3404，直接写出下面各题的积。
14.8×23＝ 148×2.3＝ 148×0.23＝ 1.48×23＝
b、用乘法竖式计算：3.7×5 0.18×5 46×1.3 35×0.24
学生反馈情况：95%的学生掌握了基本的计算方法，5%的学生在“竖式对位”、“点小数点”方面不太适应。
路径在哪里
在“小数乘整数”案例研究中，我通过对“小数乘整数”学习起点的几次探索，认为教师可以从“把握起点、定位目标、选择路径”三个维度来追求教学的真实性、有效性、人文性，为后继的教学行为提供一条比较准确、丰富的教学基准线。
一、 把握起点——学生已经具备什么
我们所面对的学生，他们不是带着单纯的空脑袋走进教室的，并非是“一无所有”地走进课堂。在他们的生活中，已经有许多数学知识的体验，学校数学学习是他们生活中有关数学经验的总结与升华。学生原有的知识储备、现实活动中的经验积淀乃至他们儿童时期在社会生活中所形成的许多关于数学的朴素认识，都构成学生进行数学学习的“特定视界”，影响并制约着数学学习。我们应充分关注学生原有的知识储备和经验背景，打破“零起点”教学惯性思维。那么如何才能找准学习的认知起点呢？
1、整体通缆探明起点
探明学生学习的现实起点，需要以整体思维通缆教学，关注相关内容的彼此关联和前引后渗。落实在备课中，就需要不断追问：一问学生学习作螺旋式上升的根基是什么？在哪儿实现迁移、促成生长？学生是否已经遗忘？如果遗忘，又该如何唤醒？二问学生刚学的知识经验有哪些？在这些刚学的经验中，哪些能为本课的学习服务，哪些会对新知的学习产生干扰？这些干扰在教学时如何通过巧妙引导予以回避、或辨析、或顺应、或同化？这些在教学时都应心中有数，教中有招。
如上述案例中，我们在整体通缆的基础上，可以引导学生建立起“先按整数乘法计算”的心理需求，顺利沟通小数与整数相乘、整数乘法的联系，把新知识纳入已有的知识结构之中，形成一个新的认知结构。同时，我们通过“学生叙说，教师板演”来规范学生的书写格式。这样设计就比较贴近学生的实际，有利于提高教学效率。
2、借助外力把握起点
如果说探明学习起点，是教师在备课过程中的一种内在思维意识，那么把握学习起点则必须借助外在的教学行为来实现。我们不能仅仅停留在学生对所学知识是否已经“知道”这个层面，更要关注“到底知道了多少”（深度）以及“哪些学生已经知道，哪些学生不知道”（广度）。只有从这两个维度出发，才能适当地调整教学策略，提高课堂教学的有效性。从方法上讲，课前谈话、平时了解、调查统计等都能取得不错的效果，当然在课堂上我们也可以创设一个开放式的情境，从情境反馈的信息中了解起点，培养学生自主探究的学习方式，充分利用学生现场生成的学习资源，在观察、思考、分析、讨论中，开展教学，从而获得教学信息。
二、定位目标——学生需要提升什么
教学目标是教学的灵魂，它支配着教学的全过程。教学目标也是开发教学内容，创造性使用教科书，灵活选择教法，进行科学调控和评价的依据。而把握好学习起点，可以使我们准确地定位教学目标。我们在确定教学目标时，必须充分了解学生，准确掌握学生的心理动态和认知水平，尤其要紧紧围绕有利于学生终身发展而设定目标。日本著名数学家米山国藏曾指出：“学生所学的数学知识在进入社会后，几乎没有什么机会应用……然而不管他们从事什么工作，唯有深深钻刻于头脑中的数学精神、思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，都随时随地地发挥作用，使他们终身受益。”这段话耐人寻味，值得我们深思。
备课时，我们应关注这节课的教学目标是什么，应该从哪些纬度来确定教学目标。这又需要教师根据学生的起点，准确地定位教学目标……，有时可以适当提升、拓展教学目标，有时需要降低教学目标。教学目标确定之后，再去思考采用何种方式来落实目标。这样我们的数学课才永远不会偏离方向。同时教学目标的定位，也直接影响到上课的效果，教师只有明确了应达到怎样的“度”，才能恰如其分地引导学生，掌握好“火候”。
三、选择路径——怎样引领更加有效
1、鼓励探究
在教学中，我们经常会发现这样的现象：教师刚刚开了一个头，一些学生就会把后面的知识讲出来，结果往往被老师搪塞而过。久而久之，学生即便懂了，也只有老老实实地跟着老师重复那个过程，显然，“跟着重复”是一种无奈的选择，结果是挫伤了学生的学习积极性。
要避免这种状况的发生，对策之一就是引领学生在学习的现实起点上作探究。我们可以让学生展现他们已有的知识状况，这种知识展现对于学生来说是激动人心的。当他们把自己所掌握的知识告诉同学与老师的时候，他们是在享受，享受学习给自己带来的快乐。并且，他们会以极大的热忱，把自己掌握知识的来龙去脉，尽其所能告诉老师和同学，这既是对自身学习进行再思考的过程，也是给其他同学以激励的过程，而我们的任务，则是根据学生不同的现实起点，抓住本节课学习内容的要点，以问题的形式要求同学们继续研究，给予解决。面对问题，不论是起点高或低的学生，都会争先恐后地加入探究行列。因为他们愿意享受这种因学习而带来的被重视的快乐。
2、适度整合
教学内容安排有它的科学性和合理性，在编排的过程中，编者考虑学生全面的认知水平。作为一线教师，我们应根据现有学生的起点，对部分教学内容进行适度地调整，提高教学效率。如“平移与旋转”一课要解决“平移”、“旋转”这两个比较抽象的概念，对于四年级的学生来说相当困难，在教学中我们结合学生的实际，将这它分为两课时教学，收到较好的效果。相反，有的内容由于与日常生活关系紧密，学生的起点相对较高，我们可以将两课时的内容整合为一课时的内容展开教学。如五年级下册的“确定位置”，由于学生在低年级就已初步获得用自然数表示位置的经验，且学生在日常生活中也接触到一些数对知识，我们根据学生实际整合两课时的教学内容，提高了课堂思维含量，学生学得积极主动。
3、拓展应用
在学生现实起点比较高的情况下，紧密结合教学内容提供一些有挑战性的问题进行探讨，不仅有助于思维能力的提高，更满足了学生探索奥秘、挑战自我的内心需求，并在获得成功的体验中进一步提高学习数学的兴趣。
