时间：2023-06-05 09:55:15
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇探索勾股定理，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）02-0087
众所周知，勾股定理的内容非常丰富，但现行的教材（以浙教版为例）只安排两个课时，教学受课时的限制，不能充分利用勾股定理发展学生的问题解决、人文积淀、理性思维等核心素养。本文以开发《探索勾股定理》的拓展性课程为例，展示以学校教研组为团队如何依托数学课本开发拓展性课程，以期抛砖引玉。中国学生发展六大核心素养中有十八个基本要点，其中三个是问题解决、人文积淀、理性思维，《数学课程标准》的前言中也有类似的表述。对应三个基本要点确定三个课时的拓展性课程，在上完基础性课程的两个课时后进行。因篇幅所限，只展示每个课时的教学目标、学习内容及要求、课外作业。
第一课时：勾股定理在生活中的应用
设置缘由：数学课最缺的是实践课，学生非常喜欢实践课，开发团队成员一致同意每学期开发一节实践课。
教学目标：引导学生观察生活，体验生活中的数学，体验用数学模型刻画现实世界。
活动内容及要求：（1）带学生参观有人字梁结构的农村老宅，请当地手艺比较好的手艺人，一个木匠，一个泥水匠当讲解员。（2）泥水匠展示方地基的方法。造房子时要先奠基，在一百多平方米的地上要设置很多个直角，选好位置打下木桩，固定好线，沿线做墙脚。怎样使墙角正好是直角呢？先沿房子的朝向打下两个木桩，两个木桩之间的距离为三尺，调整第三个木桩的位置，使它与前两个木桩的距离分别为四尺与五尺。拉上线，再微调。泥水匠师傅说，这种方地基的方法是师傅们口耳相传的好方法，若是正式造房子开工方地基的日子，仪式很隆重。（3）木匠师傅主要举了两个例子。一个例子是如何预算建造斜屋顶结构的房子用到的木料，特别是人字梁结构中斜线部分的木料长度的计算方法。第二个例子是如何在大块的板材中确定直角。（4）教师作为主持人、主持师傅与学生的互动，让学生尝试用数学模型解释实际应用问题。
课外作业：找一个生活中实际用到勾股定理的例子，写心得体会交流。
第二课时：勾股定理的历史文化
收集方法：这部分内容多而杂。动员团队所有成员参与，从网上和书本中搜集并整理。
教学目标：在对勾股定理历史了解的过程中，感受数学文化，感受历代世界人民的智慧和探索精神，感受数学知识源远流长和数学价值的伟大。
学习内容及要求：
（1）勾股定理的发现：公元前1100多年的《周髀算经》中，就有勾股定理的记载，相传是商代商高发现的。三国时的赵爽给出了证明，2002年北京国际数学大会的徽标就是赵爽证明勾股定理用的弦图。勾股定理被西方人称为毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前550年发现的。相传毕达哥拉斯花了很多的精力才证明了这个定理，他很高兴，于是宰了百头牛庆贺一番，不过毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。这个定理有流传很广，印度、希腊、巴比伦、中国、埃及等文明古国对此定理都有所研究。要求学生课前和课后整理出赵爽和毕达哥拉斯的相关成果，了解《周髀算经》等中国古代经典数学著作。
（2）勾股定理巨大辐射能力：①勾股定理是数与形结合的典范，启发后人对函数的研究；②毕达哥拉斯学派的希帕索斯利用勾股定理导发现了根号2，引发了第一次数学危机，数从有理数扩展到实数；③勾股定理使数学在追求逻辑体系和数学美的过程中发展了现代数学；④勾股定理中的公式是一个最早的不定方程，引发了包括著名的费马大定理。⑤勾股树的拓展，勾股树中的正方形可以变换为正三角形、半圆、月亮形等许多图形。要求学生例举数形结合的例子；能描述三次数学危机；能举例一些现代数学；了解费马大定理的内容及费马的成就。
（3）勾股定理的证明方法多样化。由于勾股定理的证明起点很低，所以千百年来下至业余数学爱好者、普通的老百姓，上至著名的数学家、国家总统都参与了勾股定理的证明。勾股定理有四百多种证明方法，目前还找不到一个定理的证明方法之多能超过勾股定理。
“总统”证法的故事：1876年一天的傍晚，美国的议员伽菲尔德由于受到了两个小孩的追问，开始对勾股定理证明进行思考……后来他在继承的基础上反复思考终于找到了独特的证法。1876年，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他的证法。由于在1881年伽菲尔德就任美国第二十任总统，人们就把这一证法称为“总统”证法。要求学生课前和课后搜集有趣的勾股定理证明故事并交流。
第三课时：勾股定理的证明方法
证明方法选择的标准：证法有四百多种，但不能穷尽，要选择重要的、典型的、适合初中学生的证法。
教学目标：在勾股定理的探索过程中培养学生的理性思维和创新能力，体会深层次的数形结合；发展形象思维，体验解决问题方法的多样性，培养探索精神。
学习内容及要求：
（1）赵爽证法。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期的数学家赵爽。如图1，就是赵爽创造的弦图。以a、b（b>a）为直角边，c为斜边作四个全等的直角三角形拼成所示形状，4×（1/2）ab+（b-a）2=c2，a2+b2=c2这是课本上的证法，不必细讲。应让学生认识到本题的证法并非严密的演绎推理，如图形中的内外两个正方形就没有证明。
（2）邹元治证法。如图2，也是用面积法，证明方法略。
（3）总统证法。如图 3， 这个证明方法是赵爽证明方法的变形，也是用面积法，证明方法略。
（4）欧几里德证法。如图4，以a、b、c分别为直角边斜边RtABC，再分别以a、b、c为边，在直角三角形外部作正方形ABED、CBKG、ACHF，连结BF、CD，过C作CLDE，交AB于点M，交DE于点L.AF=AC，∠FAB=∠CAD，AB=AD，FAB≌CAD.SFAB=（1/2）a2，而SCAD等=（1/2）S矩形ADLM，S矩形ADLM=a2。同理可证，S矩形MLEB=b2.S正方形ADEB=S矩形ADLM+S矩形MLEB，c2=a2+b2，即a2+b2=c2。应让学生认识到本题的证法是典型演绎推理，是欧氏几何，后面两种证法也是如此。
（5）相似三角形性质证法。如图5，RtABC中，a、b、c分别为直角边斜边，过点C作CD AB，垂足为D.可证得CAD∽BAC， AD/AC=AC/AB，AC2=AD× AB.同理BC2=BD× AB，AC2 +BC2=AB（AD+ BD）= AB2，即a2+b2=c2。
（6）切割定理证法。如图6，RtABC中，a、b、c分别为直角边斜边，以B为圆心、a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a，因为∠BCA=90°，点C在B上，所以AC是B的切线。由切割线定理得AC2=AD×AE=（AB-BD）（AB+ BE） =（c-a）（c+a）=c2-a2， 即b2=c2-a2，所以a2+b2=c2。
（7）证法评析。中国证法的独到之处是善用面积法，巧妙地避开了角的性质及平行线性质的繁琐理论，简洁明了，吴文俊、张景中等发展的数学机械化方法深受中国古代数学思想的影响。后三个证法追求严谨的逻辑体系，对提升人们的理性精神，注重演绎推理的科学精神具有不可替代的地位。
一、利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状
例1：已知在三角形中，a、b、c分别是它的三边，并且a+b=10，ab=18，c=8，判断三角形的形状。
分析：由于题目中涉及两边之和与两边的积，所以先结合完全平方公式得出a2+b2的值，再检验a2+b2与c2的大小，就可以得出相应的结论。
所以，凡是给出三角形的三边或者边之间的关系判断三角形的形状，都应考虑应用勾股定理的逆定理来进行判断。
变式训练：如图l所示，已知：在ABC中，AB=13，BC=l0，BC边上的中线AD=12。求证：ABC是等腰三角形。
二、利用勾股定理的逆定理与勾股定理结合计算图形的面积
例2：如图2所示，已知在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD=12，CD=13。求四边形ABCD的面积。
分析：由于这是不规则的四边形，所以不能直接计算面积，可根据题目所给数据特征，联想勾股数，先连接AC，转化成两个三角形的面积之差，并判断两个三角形的形状，就可以实现四边形向三角形转化，得出相应的结论。所以，计算不规则的四边形的面积，一般要通过构造直角三角形再利用三角形的面积的和或差进行计算。
变式训练：如图3所示，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
以上我们讨论了利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状以及利用勾股定理的逆定理与勾股定理结合的方式计算图形的面积的问题，利用这种方法应该说是一种比较简捷、有效的方法。我们在引导学生利用勾股定理的逆定理解决实际问题时，一定要让学生进行变式训练，并进行一题多解、一题多练，从而达到举一反三、触类旁通的目的。同时，我们还要注意发挥学生的主体作用，让学生主动地去发现问题、探究问题进而解决问题，从而培养学生的思维能力和创新能力。《课标》指出：“教师要处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验。”让学生掌握基本的数学知识和基本的数学技能不是最根本的目的，最根本的目的是通过数学学习，训练学生的思维能力，提高他们的创新性和创造性。
在学习和应用勾股定理的逆定理过程中，我们可以结合“综合与实践”课给学生灌输“生活数学”的思想。《课标》指出：“‘综合与实践’内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。”我们要遵循《课标》的要求和教学理念，灵活地应用勾股定理的逆定理，把勾股定理的逆定理的应用同实际生活紧密地联系在一起。我们要让学生明白：数学知识来源于生活，但又要应用于生活。没有生活就没有数学知识，数学知识如果不应用于生活，也就失去了数学知识的价值。
本节内容的重点是勾股定理的逆定理及其应用.它可用边的关系判断一个三角形是否为直角三角形.为判断三角形的形状提供了一个有力的依据.
本节内容的难点是勾股定理的逆定理的应用.在用勾股定理的逆定理时，分不清哪一条边作斜边，因此在用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时而出错;另外，在解决有关综合问题时，要将给的边的数量关系经过代数变化，最后达到一个目标式，这种“转化”对学生来讲也是一个困难的地方.
教法建议：
本节课教学模式主要采用“互动式”教学模式及“类比”的教学方法.通过前面所学的垂直平分线定理及其逆定理，做类比对象，让学生自己提出问题并解决问题.在课堂教学中营造轻松、活泼的课堂气氛.通过师生互动、生生互动、学生与教材之间的互动，造成“情意共鸣，沟通信息，反馈流畅，思维活跃”，达到培养学生思维能力的目的.具体说明如下：
(1)让学生主动提出问题
利用类比的学习方法，由学生将上节课所学习的勾股定理的逆命题书写出来.这里分别找学生口述文字;用符号、图形的形式板书逆命题的内容.所有这些都由学生自己完成，估计学生不会感到困难.这样设计主要是培养学生善于提出问题的习惯及能力.
(2)让学生自己解决问题
判断上述逆命题是否为真命题?对这一问题的解决，学生会感到有些困难，这里教师可做适当的点拨，但要尽可能的让学生的发现和探索，找到解决问题的思路.
(3)通过实际问题的解决，培养学生的数学意识.
教学目标：
1、知识目标：
(1)理解并会证明勾股定理的逆定理;
(2)会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形;
(3)知道什么叫勾股数，记住一些觉见的勾股数.
2、能力目标：
(1)通过勾股定理与其逆定理的比较，提高学生的辨析能力;
(2)通过勾股定理及以前的知识联合起来综合运用，提高综合运用知识的能力.
3、情感目标：
(1)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;
(2)通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.
教学重点：勾股定理的逆定理及其应用
教学难点：勾股定理的逆定理及其应用
教学用具：直尺，微机
教学方法：以学生为主体的讨论探索法
教学过程：
1、新课背景知识复习(投影)
勾股定理的内容
文字叙述(投影显示)
符号表述
图形(画在黑板上)
2、逆定理的获得
(1)让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来
(2)学生自己证明
逆定理：如果三角形的三边长有下面关系：
那么这个三角形是直角三角形
强调说明：(1)勾股定理及其逆定理的区别
勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理.
(2)判定直角三角形的方法：
①角为、②垂直、③勾股定理的逆定理
2、定理的应用(投影显示题目上)
例1如果一个三角形的三边长分别为
则这三角形是直角三角形
证明：
∠C=
例2已知：如图，四边形ABCD中，∠B=，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13求四边形ABCD的面积
解：连结AC
∠B=，AB=3，BC=4
AC=5
∠ACD=
例3如图，已知：CDAB于D，且有
求证：ACB为直角三角形
证明：CDAB
又
ABC为直角三角形
以上例题，分别由学生先思考，然后回答.师生共同补充完善.(教师做总结)
4、课堂小结：
(1)逆定理应用时易出现的错误：分不清哪一条边作斜边(最大边)
(2)判定是否为直角三角形的一种方法：结合勾股定理和代数式、方程综合运用.
5、布置作业：
a、书面作业P131#9
b、上交作业：已知：如图，DEF中，DE=17，EF=30，EF边上的中线DG=8
求证：DEF是等腰三角形
板书设计：
探究活动
分别以直角三角形三边为直径作三个半圆，这三个半圆的面积之间有什么关系?为什么?
一、“勾股定理”教学设计说明
在数学教学过程中，而是通过数学活动，让学生渴望新知识，经历知识的形成过程，体验应用知识的快乐，从而使学生变被动接受为主动探究，增强学好数学的愿望和信心。为此，本节课主要设计了三个活动。活动一：唤起学生对新知识的渴望。学生为了解决现实生活中的一个朴实、可亲、有趣的问题，不断碰到困难，并不断在发现中解决，思维探究活跃，好奇心和探索欲望被激起。活动二：学生在探索中体验快乐。探索“勾股定理”是本节课的重点和难点。在整个探索过程中教师只是一个引导者、启发者，引导学生动手、观察、思考、实验、探索与交流；学生在整个活动中切身体验到发现“勾股定理”的快乐。从而培养了学生的探索精神和合作交流能力。活动三：学生在问题设计中巩固勾股定理。本节课是勾股定理的第一课，知识的应用比较简单，学生设计问题有一定的可行性。引导学生在掌握勾股定理的基础上自己设计问题，完善问题，并从老师的高度进行变题，学生的主体性得到了充分的体现。整个教学设计遵循“重视预设、期待生成”的原则。
二、教学过程与反思
1.第一次试上，由我独立备课，从开始备课到上课结束，始终有两个疑问没有得到很好解决。一是如何引出勾股定理。教学过程是让学生在正方形网格上画一个两条直角边a、b分别是3厘米和4厘米的直角三角形，量一下斜边长c是多少?紧接着让学生观察直角三角形的三条边在大小上有什么关系。事实上，由于缺乏足够的材料，而且量得的结果可能不一定是整数，因此很难得出正确的结论。另外，也有学生在探究时，根据两边和大于第三边得出a+b>c这个结论，认为这也是直角三角形三条边之间的关系，这便偏离了教师预先设定的学习目标。二是勾股定理的证明。解决的方案:采用教材提供的方法，即教参上所说的数形结合的方法。通过恒等变形（a+b）2=4×12ab+c2，在教师的引导下作出联想，将四个全等的直角三角形拼在边长为（a+b）的正方形当中，中间又是一个正方形，而它的面积正好是c2，从而得出a2+b2=c2。其中的难点在于，让学生自己很自然地想到用拼图证明，对于大多数学生来讲，做到这一点几乎是不可能的。教师只能带领学生进行变形、联想、拼图等一系列的教学活动。教师的讲授时间明显多于学生的探究时间，尽管教师一直在讲，但是其中的来龙去脉还是很难交代清楚。第一次反思：（1）教师的讲授时间多于学生的探究时间原因在于：凭学生已有的知识尚无能力探究这个问题，学生“一路走来”只能回答“是”“对”，思维屡屡受阻，心智活动暴露在无所依托的危机之中。（2）备课时，教师就发现了难点所在，但直到具体实施时仍束手无策，心有余而力不足，无法引导学生进行有意义的自主探究，这与教师自身的经验不足有很大关系。（3）教师不仅要抓住教学中的难点，更要找到化解难点的办法。为学生向既定的探究目标迈进铺设适当的知识阶梯，当凭自己的能力无法做到时，应向专家请教，及时有效地解决教学中存在的问题，使自己在教法上能有所改进。2.第二次上课通过集体备课，大家集思广益，针对前面两个难点重点设计，基本上解决了原有的问题。设计方案是:将整个教学过程分成八节，每一节都清晰地展现在学生面前。（1）创设问题情境，设疑铺垫。情景展示：小强家正在装修新房，周日，小强家买了一批边长为2.1米的正方形木板，想搬进宽1.5米，高2米的大门，小强横着放，竖着放都没能将木板搬进屋内，你能帮他解决这个问题吗？（2）以1955年发行的毕达哥拉斯纪念邮票为背景，观察图形，你发现了什么？并说说你的理由。图一图二（3）以小方格背景，任意画一个顶点在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向外作正方形，刚才你发现的结论还成立吗？其中斜放的正方形面积如何求，由学生探讨。（介绍割与补的方法）（图一）（4）如图二，任意直角三角形ABC为边向外作正方形，上面的猜想仍成立吗？用四个全等的直角三角形拼图验证。（5）介绍一些有关勾股定理的史料（赵爽的弦图、世界数学家大会会标、华罗庚建议用“勾股定理”的图作为与外星人联系的信号等），让学生感受到勾股定理的历史之悠久，激起学生的民族自豪感。（6）应用新知，解决问题。①解决刚才“门”的问题，前后呼应；②直角三角形两边为3和4，则第三边长是%%。例：一块长约120步，宽约50步的长方形草地，被不自觉的学生沿对角线踏出了一条斜路，类似的现象时有发生，请问同学们回答：①走“斜路”的客观原因是什么？为什么？②“斜路”比正路近多少？这么几步近路，值得用我们的声誉作为代价换取吗？（7）设计问题，揭示本质。请学生概括用上述勾股定理解决问题的实质：已知两边求第三边长，并请学生设计能用勾股定理解决的简单问题。（8）感情收获，巩固拓展。①本节课你有哪些收获？②本节课你最感兴趣的是什么地方？③你还想进一步研究什么问题？说明:（1）通过具体的生活情景，激起了学生对本节课的学习兴趣，使他们急于想知道直角三角形的三边到底存在着怎样的数量关系，激发了他们的好奇心和求知欲。（2）学会了在小方格的背景下，用割补法求出邮票中斜放的正方形R的面积，同时为勾股定理的引出做好了充分的准备，为学生进行有意义的探究做好了铺垫。（3）证明方法可以说已经摆在这里，但由于前面的教学中计算强调过多，而忽略了计算原理，致使撤去小方格背景时，学生在证明时出现障碍，想不到补4个直角三角形，或割成四个直角三角形和一个正方形计算斜放的正方形面积。为了解决这个问题，本节课在定理证明时有意用拼图的方法再次验证勾股定理。（4）由于是勾股定理的第一课，应用较简单，学生设计具有一定的可行。引导学生在掌握定理的基础上自己设计问题，完善问题，并从老师的高度变题，学生的主体性得到了最好的发挥。第二次反思：（1）当猜想出直角三角形三边数量关系时，是不足以让学生信服的，因为猜想时直角三角形的三边均为整数，学生可能还存在疑虑：当直角边的长不是整数时，情况又如何呢？所以让学生从理性上确信这个猜想是必不可少的环节。为此，设计了任意三边的直角三角形是否存在这个问题。（2）去掉背景和具体数值，在证明字母为边的直角三角形的勾股定理时，主要是没有了正方形网格作背景，学生不能快速产生正确的思维迁移，不易想到用割补法证勾股定理。但是前面有了邮票问题做铺垫，学生很自然地会联想到用割或补的方法计算以斜边为边长的正方形的面积，从而得出了一般的直角三角形的情况，获得了勾股定理。如此设计，对于执教者来讲，最大的好处在于可以使学生的思维过程显性化，有利于教师对学生进行过程性评价，有利于及时指导学生在思维过程中存在的细节问题，还有利于教师进行教学过程的改进。（3）在做勾股定理练习时，采用开放式教学法，由学生自己出题自己解决，既巩固新知识，又提高他们的学习兴趣。但由于学生在已知直角三角形的任意两边，求第三边时，不知道一个数开平方这一知识，会出现第三边不会算的情况。关于这点，我课前早有预料：如果有这种情况出现，就为下堂课做好铺垫；如果没出现这种情况，老师上课时也不提。（4）在课堂小结时一改先前一贯做法，三个问题结束本节课。特别是后两个问题，当时学生是这么回答的：我最感兴趣的地方是割补法证明勾股定理；毕达哥拉斯怎么会从地砖上发现勾股定理的，我们平时也要多观察生活；我想知道勾股定理还有哪些证明方法；我想知道我的这副三角板中，如果已知一条边，能不能求出另外两条边。听课的老师们深深地被学生的这些问题感染了，情不自禁地给予了赞扬。这样的总结设计，把所学的知识形成了一个知识链，为每位学生都创造了获得成功体验的机会，并为不同程度的学生提供了充分展示自己的机会，尊重了学生的个体差异，满足了学生多样化的学习需要。特别是最后一个问题，把本课知识从课内延伸到了课外，真正使不同的人得到了不同的发展。（5）学生在学习过程中旧问题解决，而新问题产生，使我真正认识到上好勾股定理这一堂课是不容易的。课改几年来虽然理念上有所转变，但要真正在课堂上能运用自如，还需要不断实践。几个问题间的过渡语言，也是不断地修改，甚至一个问题要怎么问，问了后学生可能会出现哪些想法都做好了预设准备，更制定了应急方案。
三、教学理念的升华
开设一堂公开课，对我来说是提升教学水平的极好机会，也可以说是完成了一次认识的飞跃。1.问题情境的创设，是引起学生兴趣的关键。数学源于问题，源于实际问题解决的需要，学习也是如此。正如张奠宙先生所言：“没有问题的数学教学，不会有火热的思考。”问题是思维的起点，任何有效的数学教学必须以问题为起点，以问题为驱动，激发学生学习的欲望。2.探究式学习是教学的最高境界。传统的教学方法是灌输，是牵着学生的鼻子走。民族创新精神的形成，就要从青少年抓起。从这点上说，让学生自己学会探究知识的方法，养成探究的习惯，关系重大，教育者责任重大。3.学会铺垫是教学艺术的精华所在。对学生而言，学习是不断地从已知到未知的过程。从已知到未知之间存在一个“潜在距离”，如何把握这个“潜在距离”，并且为学生走过这个距离设置合适的阶梯，让学生“跳一跳”就能摘到“果子”，这是教学艺术的精华所在。本堂课“邮票中正方形的面积的计算”这一情境设计，就是十分成功的铺垫。4.教学工作是一项创造性劳动。要让学生进行探究性学习，首先教师要有对教材的再创造意识。在第一次上课时，我虽然努力“吃透教材”“紧扣教材”，但仍然上得很别扭，很吃力。在以后的开课中，我对教材作了大胆的变革，上课一次比一次顺手，效果一次比一次好。在今后教学中，我们要牢记以学生发展为本，关注学生能力的提高，在学生促进发展的同时也实现教师自身的发展。
本文作者：马长明工作单位：苏州高新区文昌实验中学
在教学中许多问题是无法预设到的，因为学习活动的主体是学生，且每个学生的知识、经验、思维、灵感、兴趣都不尽相同，因此学习活动中会呈现出丰富性、多变性和复杂性，就是我们平常所说的“非预设生成”。新课程实施以来，我们深刻体会到非预设性生成是学生智慧与创造力的最佳体现，教师如果引导得当，会使教学更富有灵性。
二、案例描述
教学片段1：（课堂引入）
师：同学们，今天我们要学习一个古老的定理，古老是因为它有5000多年的历史，它是数形结合的代表，是用数学方法来解决几何问题的基础桥梁。
生1：我知道，是勾股定理。
生2：a2+b2=c2，它是直角三角形三边之间的关系。
生3：这个定理相传是古代一个叫商高的学者发现的。
学生的小声议论，使教师原先精心设计的各个精妙的教学环节与预先设计好的精心提问一下子全泡汤了。此时，有些不自然的我赶紧掩盖住自己的情绪，略带兴奋地说：“对，今天老师要给你们介绍的就是勾股定理，那现在请知道勾股定理的同学举一下手。”
结果全班有半数的学生举起了手。接着我问道：“你们是怎么知道的呢？”“从书上看来的？”学生答道。“那么你知道书上的这个结论是怎么得出的吗？”我接着问。“不知道。”
这时我及时肯定：“大家说的结论是正确的，你们能提前预习，这种主动学习的精神值得肯定，可是大家却不知道这个规律是怎么得出的，大家想不想自己动手设计方案来验证结论？”
“想！”同学们异口同声地回答。
点评：面对学生已经预习勾股定理这一始料未及的情况，如果继续按原来的教学预设组织教学，虽然顺利地完成了教学任务，但从某种程度上来说，这样的教学否定了事实，是对学生活力生成的阻碍、压抑。
教学片段2：（拼图验证）
用4个全等的直角三角形拼图，通过讨论学生很快验证了勾股定理：由面积计算可得（a+b）2=4（―ab）+c2，展
开得a2+2ab+b2=2ab+c2化简得a2+b2=c2。
当我正准备过渡到第二环节时，生1：“老师，把直角三角形翻转一下，也可验证勾股定理。”于是我请他走上讲台展示自己的观点，并写上了验证过程：由面积计算可得c2=4（―ab）+（b-a）2展开得c2=2ab+b2-2ab+a2化简得c2=a2+b2。
生2：“还可以这样拼。”有一个女学生清脆的声音在教室响起，为不影响她的积极性，于是，我又请她上来。
“将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成一个梯形就可以验证。”她也写上了验证过程。
此时，时间已过去了一大半，可班内这阵势、这气氛，真使我无法转向第二个环节。我猛然想起，这不就是培养学生动手操作能力的好机会吗？于是，我顺水推舟：“还有别的拼法吗？”
同学们还在热烈地探索着，课堂气氛达到了，不知谁叫了一声“下课了！”我看了一下手表，已超过5分多钟了……于是，我赶紧“急刹车”，鼓励一番后说：“勾股定理到目前为止已有400多种验证方法，我们本节课探索的只是几种方法，而我国是发现勾股定理最早的国家之一。”
“勾股定理真有趣！”
“我国的古人真棒！”
点评：这的确是一堂“节外生枝”的数学探究课，教师原本准备先探索、再验证勾股定理，接着巩固应用。谁知学生却发现了许多验证勾股定理的方法，让教师始料不及，可贵的是教师及时调整教学思路，改变教学方式，围绕学生自己发现的问题展开探究。这样的教学过程不仅满足了学生的探究欲望，还让学生体验到学数学的乐趣，培养了学生的探究精神和动手操作能力。
三、案例反思
1.精心备课，充分预设
在第一个教学片段的课堂引入部分，如果考虑到学生的预习情况，就可预设一系列有效的课堂问题，从而提高课堂教学的有效性。课堂教学的生成性，不是意味着不需要预设或不需要改进预设，新课程改革对预设的要求不是降低而是提高了。它要求预设能真正关注学生的发展，关注学生的个体差异，为每个学生提供主动积极活动的保障；能为师生在教学过程中发挥创造性提供条件；能促使课堂多向、多种类型信息交流的产生和对及时反馈提出要求。
2.尊重学生，善对生成
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2014）09A-
0079-01
与传统的封闭式教学相比，开放式教学在提高学习积极性、活跃课堂气氛以及推进因材施教等方面都能起到较好的作用。就外部表现而言，开放式教学能够通过调动师生之间的交流和课本内容的情境再现等方式来创造出一个富有活力的课堂氛围，同时由于学生们自主思维得到了鼓励，他们的探索欲望和学习积极性也得以有效的激发。从内部表现来看，开放式教学的介入能够从课题的设计和解决两个方面对知识点进行全面的剖析，促进了学生的发散思维，加深了学生对知识点的认识。下面笔者就以《勾股定理》的证明为例谈开放式教学在实际教学中的应用。
一、以学习困难为依据，创设解答情境
为了使开放式教学模式能够在实践中发挥出更好的效果，教师应督促学生预习新课，形成对“勾股定理”的初步认识并对遇到的难点和疑问做出总结。例如，c2=a2+b2这一理论由何而来？当直角三角形两边进行等量的增减变化时，其斜边的长短是否受影响呢？勾股定理适用于所有直角三角形吗？学生提问是开放式教学的重要环节之一，它是学生在学习过程中遇到问题的最直观体现，也是教师进行课堂情境创设的最有效依据。因此，凡是能够由学生自己提出的、贴合教学目标的问题都不应由教师提出。
课堂上，教师对学生在理解上普遍存在的难点作出总结后，可结合教学大纲以学生身边的事情为例对知识难点进行详细的分析和解答。以上文所述的“当直角三角形两边进行等量的增减变化时其斜边的长短是否受影响”和“勾股定理是否适用于所有直角三角形”两个问题为例，教师随意将直尺立于墙边自然形成一直角三角形，并让两名学生分别对其边进行测量，得出直角边分别为80cm和60cm，斜边为100cm。其余学生根据这一测量结果验证了勾股定理c2=a2+b2。之后，教师把直尺向下滑动一定距离，同样让学生进行测量和计算，经过反复验证后，结果表明：在直角三角形直角边发生等量加减时其斜边的长短也会变化，且其变化符合勾股定理描述。
二、加强知识拓展联系，寻找解决途径
在勾股定理的证明过程中，教师可根据教材案例中的“赵爽炫图”对勾股定理进行有效的证明，促进学生巩固该部分知识点。当学生对勾股定理理解透彻后，教师可进一步提问：“结合以往所学知识点，是否还有其他证明方法呢？”此时学生们自然而然就会结合勾股定理的特性开始与以往知识点进行联系的尝试。学生提出了很多想法，如“结合圆的特性证明”以及对“赵爽炫图进行变形”等，但这些想法只是初步的构想，需要教师的进一步补充和引导。
以圆知识点的引入为例，教师可设计题目如下：
A为圆心，圆A交AB及其延长线于D和E，BC为圆切线，交于点C，角ACB为直角，证明：AC2+BC2=AB2.
学生结合之前所学知识可轻松解答该题：BE为圆的割线，因此可得BC2=BE×BD，又由圆半径相等可知AE=AD=AC，可将前式进行变形BC2=（AB-AC）（AB+AC）=AB2-AC2，AC2+BC2=AB2。
同理，教师亦可将其他可行的证明方法在与学生共同的探讨中进行设计和证明。在集体探讨中同一问题得到了最大限度的扩展和发挥，学生通过自主思考完成了问题的发现、探索和创新，并自主证明了一种理论的存在。这种开放式的教学模式在巩固学生的数学理论知识方面具有较好的效果，能使学生证实数学定义的合理性，并有效巩固学生的知识结构。
三、结合勾股定理特征，解决现实问题
数学知识过于抽象化往往使学生陷入理解困难。因此，开放式的教学模式明确提出了数学理论应有效联系生活实际并与其他知识点相结合的要求，让数学理论切实为解决我们的生活问题服务。这种贴合实际的学习模式能够让学生清楚地认识到数学知识的实用性。
例如，结合勾股定理的特性教师可以提出问题：“学校大厅2米宽的楼梯要铺设地毯，经测量楼梯高度为3米，长5米。一平米地毯30元，学校要花多少钱购置地毯呢？”学生们展开讨论，并根据教师的描述绘制出了简单草图，继而发现这一问题可用勾股定理进行解答：求地毯的面积须知AC的长度，根据勾股定理可得AC2=52-32=16，AC=4，地毯长度为AC+BC=7，根据面积算法得地毯面积为14m2，因而购置地毯需420元。
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2015）10A-0091-01
数学具有抽象性，而学生思维较为单纯，如何通过深度挖掘教材文本，实现学生思维的成功升级，全面打造学生的数学素质，这是教师要妥善解决的问题。教学实践证明，教师利用多种教学问题创设适宜的教学情境，能够充分激发学生的探索兴趣，为思维启动创造良好的条件。教师可以根据教材的内容和学生的思维实际，通过教材文本问题设计、数学生活问题引导、实践问题设置等手段，为学生启动思维创造良好的条件，激活学生自主学习数学的主动性和自觉性，实现数学学习品质的跨越式提升。
一、文本问题，启动学生数理思维
所谓文本问题，是指教师针对教材学习内容和学生认知基础实际设置的教学问题提示。学生思维启动有一个渐进的过程，教师要巧妙设计问题，有效激发学生的思维运动。教师在具体操作时要注意教材的内容特征，设计的思考问题要有一定的梯度，要照顾多数学生的认知基础。学生面对数学问题，思维会发生多元联系，形成以问题为中心的思维网络，学生学习的主动性得以充分挖掘，参与性大大提升，教与学达成较高契合度，使得课堂教学进入良性轨道。
例如，在教学人教版八年级数学下册《勾股定理》时，教师可以这样设置问题：一般直角三角形三条边之间有什么样的等量关系呢？世界上很多科学家都证明了勾股定理的存在，请你先用文字语言来说明，再用几何语言来说明，最后用公式加以表示。勾股定理对所有直角三角形都适用吗？你可以用几种方法验证勾股定理呢？学生根据教师设计的问题开启了探索之旅。教师并没有对勾股定理做出太多论述和证明，而是利用问题设置，引导学生的思维逐渐走进勾股定理的世界，先感知勾股定理的存在，再厘清勾股定理的特征，最后对勾股定理进行理性证明。由此建立起来的相关认知自然是丰富的、深刻的。在实践操作中，教师的问题引导发挥了重要的启发作用，顺利启动学生思维，为打造高效课堂奠定了坚实的基础。
二、生活问题，拓宽学生学习维度
初中数学教材内容与学生生活有密切关联，教师利用学生生活固有经验感知为激发点，创设更为直观生动的教学问题，能够让学生有亲身经历的感受，学生看得懂、听得明白，自然生发更多主动探索的兴趣和热情，使课堂教学渐入佳境。学生生活中处处有数学，教师从学生生活进行切入，可以拓展学生的学习维度，让学生对数理产生重要生活认知。
例如，在教学人教版七年级数学上册《近似数与有效数字》时，教师让学生分类列举生活中的数字，一类是准确数字，一类是近似数字。学生经过筛选，很快就找了一些准确数字和近似数字。准确数字：八（点）、一（个）、五十（元）、一万（里）……近似数字：、、2.333……教师组织学生分组讨论，说说准确数字和近似数字在生活中的具体运用，特别是遇到近似数时该如何处理。因为涉及学生的生活实际，学生互动交流非常热烈，展开了激烈的辩论。教师让学生列举生活中的准确数字和近似数字，就是要找到数理探讨领域，学生在具体操作中很容易会遇到一些个性认知，展开多元讨论，快速实现文本生本思维对接，这对提升学生探索数学概念有很大的帮助。
三、实践问题，实现学生思维升级
数学学习要理论联系实践，学生只有在实践活动中对相关数理概念进行验证，才能逐渐形成数学认知能力。在课堂教学中，教师的数学活动设计思路众多，要针对学生的年龄特点设计动手操作训练内容，让学生在具体操作中建立数理认知。
例如，在教学人教版九年级数学上册《中心对称与中心对称图形》时，教师设计了系列教学活动。活动一：用一张透明纸覆盖在课本上描绘出四边形ABCD，然后用大头针钉在点O处，四边形围绕点O旋转180°。提出问题：四边形起始、终了位置图成中心对称吗？活动二：根据教材上图形位置，比较中心对称与轴对称，有什么新发现？活动三：利用中心对称基本性质作图，作点关于点的对称点，作线段关于点成中心对称的图形，作三角形关于点成中心对称的图形。教师利用教材内容和学生的认知特点设计了一系列活动，学生在具体活动中，不仅对中心对称与中心对称图形有了深刻理解，还大大提升了动手操作实践能力。
教学目标：
1.经历勾股定理的探究过程，感受数学问题由“观察――猜想――验证――论证”的科学研究方法，体会数学问题中由特殊到一般的数学思想。
2.能用勾股定理解决一些简单问题。
教学重点：探究勾股定理探索并证明勾股定理。
教学难点：勾股定理的探究和证明。
教学过程：
老师导入语：同学们，我们今天来玩游戏吧！我设置了一个闯关游戏，分为五关，每关都设有相应的分值，小组比赛制，最后看总分，分高组有奖哦！请看第一关：眼力大比拼。
设计意图：重视引言教学，以游戏名义开始教学，吸引学生的兴趣。
第一关：眼力大比拼――【导入】
问1：这是我家的地板，请观察上图中三个正方形的面积之间有什么关系？
问2：等腰直角三角形的三边之间又有什么关系？
结论：等腰直角三角形两直角边的平方和_____斜边的平方。
设计意图：通过生活常见的地板，引出特殊的直角三角形的三边关系，体会数学问题来源于生活，而且处处都可以发现问题。
老师：第一关你们闯关成功。通过第一关我们知道等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，那你们接下来会有什么猜想呢？
第二关：大胆猜想
老师：你们会有什么猜想呢？
学生猜想：一般的直角三角形两直角边的平方和是否等于斜边的平方？
猜想：一般的直角三角形两直角边的平方和是否等于斜边的平方？
设计意图：通过引导，大胆猜想，体会由特殊到一般的数学思想。
第三关：验证猜想
【探究一】
请测量下列直角三角形的三边长，并分别计算出两直角边的平方和与斜边的平方。
老师：为节约时间，我指定第1，2小组测量图（1）；第3，4组测量图（2）；第5，6组测量图（3）；测完后各小组派个代表报数，并说明实验数据能不能证猜想。
设计意图：通过实验操作，来验证猜想；通过参与验证的过程，增强学生学习数学的自信心。
老师：我现在用几何画板向大家展示，任意画一个直角三角形，并把两直角边及斜边长度量出来了，算出它们的平方，你们注意观察数据的变化，看是否是一直满足两直角边的平方和等于斜边的平方。
老师：通过几何画板可以画出无数个的直角三角形，这些三角形是否验证了我们的猜想关系式？
设计意图：体会数学是一门严谨的学科，实验只能验证猜想，还需要理论论证。
第四关：论证猜想
拼图游戏：用相同的直角三角形拼一个特殊的图形。
游戏规则：（1）以4个全等的任意直角三角形的边为界，拼成一个是正方形的图形。（2）游戏在3分钟之内完成。
老师：小组进行比拼，看哪组拼的方法多且快。拼完的小组举手。学生基本上会拼出两种图形：
老师：我们拼图的目是想通过拼图来论证我们的猜想，下面各组讨论，我把那全等的直角三角形的两直角边令为a、b，斜边令为c，怎么通过我们的拼图来论猜想。（小组讨论3分钟后，请小组讲解）
小组通过面积关系，可以推出直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
设计意图：展示小组合作能力；发展学生的形象思维；体会数形结合思想；提高分析问题能力和解决问题能力；通过证明的过程，增强学生学习数学的自信心。
【勾股定理】
勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
（数学符号语言表达）：
在RtABC中，∠C=90°
_____
学习勾股定理后，用语音播放勾股定理的发展历史，及我国古代的前辈们早在公元前1000多年前就发现了勾股定理。
设计意图：了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明做出的贡献，增强民族自豪感。
思考：（公式变形）
在直角三角形中，两直角边分别为a和b，斜边为c：
（1）若已知a，b，则c2=_____，即c=_____。
（2）若已知c，b，则a2=_____，即a=_____。
（3）若已知c，a，则b2=_____，即b=_____。
设计意图：学生要掌握勾股定理的变形，体会勾股定理可以用来求直角三角形的边长。
第五关：知识应用大比拼
1.已知直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
（1）若a=6，b=8，则c=_____。
（2）若c=3，b=2，则a=_____。
（3）若c=4，a=3，则b=_____。
2.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）。
A.5 B.7 C.[7] D.5或[7]
3.判断对错：若a、b、c为RtABC的三边，则a2+b2=c2。（ ）
设计意图：考察学生能否掌握勾股定理的表达式，体验强调直角的重要性；以及分类讨论的数学思想。
4.如图，受台风彩虹的影响，一棵大树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处。求这棵树原来有多高？
设计意图：通过学生亲身经历的生活背景，来考察勾股定理在实际生活中的应用。
小结：教师和学生一起回顾本节课所学内容，总结这节课体会的从特殊到一般及数形结合的数学思想；在研究问题的过程是：观察，猜想，验证，论证。
设计意图：感悟数学思想，引发学生更深层次的思考，促进学生数学思维品质的提高。
问题情境，是指一种具有一定困难、需要学生努力克服，而又是力所能及的学习情境。问题情境的创设，首先，需要教师准确把握教学要求，熟悉教学内容，掌握教材结构，把握新旧数学知识间的内在联系；其次，要求教师充分了解学生，了解学生已有数学认知结构和智能发展状况.在此基础上，按照知识发展的逻辑顺序、学生数学思维规律，从已知到未知、由现象到本质、由简单到复杂、由容易到困难地安排内容。
一、利用趣味故事和史话创设问题情境
在探究性教学过程中，教师要根据本节课的内容，寻找与教学内容密切相关的、可以激发学生兴趣的材料，创设出若干问题方向，用新颖的方式、生动的语言提出来，让学生发现问题并怀着强烈的好奇心和求知欲去进行探究。问题创设得好，吸引学生积极的参与和主动的学习，会使他们体味到趣味。
在教学中结合有趣的故事和史话，可以激发学生的兴趣，使他们积极开动脑筋去思考问题。通过这些有趣的故事，极大地提高了高中学生学习的兴趣，主观能动性得到很大的发挥，促使学生积极思考问题，思维处于活跃状态，创造潜能得以发挥。
二、借助实际生活创设问题情境
知识是由自身的发展而产生的，有些是源于实际生活。华罗庚曾说过：“人们对数学产生枯燥无味、神秘难懂的印象，原因之一便是脱离实际。”因此，问题的引入也可以联系生产、生活实践。如果把抽象的问题赋予了实际的意义，更能促进学生的积极思考，有利于学生提出问题、理解问题，并提高了综合应用所学的知识解决问题的能力。
三、在新课导入时创设问题情境
爱因斯坦说：“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要。”在新课导人时，教师有目的有意识地创设问题情境，引起学生的认知冲突，把学生带人问题的情境中，使学生产生求知的需要。例如，在讲平面向量这一章时，学生第一次接触向量不容易理解，那么可以设计一个问题情境，把学生代人向量这一节，可以给出这样一个小题目：老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜，而猫由B向东南方向以每秒10米的速度追。问：猫能否抓到老鼠?这样，学生很自然地去思考速度这样一个既有大小又有方向的量。俗话说，好的开头是成功的一半，上课伊始就能吸引学生的注意力和兴趣，使学生产生强烈的好奇心和求知欲，教学往往会达到事半功倍的效果。
四、结合课题实际设置信息情境
现代信息技术的发展对教育的价值、目标、内容以及教与学的方式产生了重大的影响。教学情境的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别是要充分考虑计算器、计算机对学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的活动中去。例如，在学习高中数学三角函数这一章时，有很多的知识要运用勾股定理这一特定的函数关系式，在学习三角函数时，要回过头来，温习过去已经学过的知识；可布置练习作业，让学生在互联网上查有关勾股定理的内容，然后在上课时看谁查得的资料最多。有的学生说：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；有的学生说：勾股定理乃千古第一定理。在古代，许多民族发现了这个事实；我国的算术《周静算经》中，就有勾股定理的记载；在西方，被称为“毕达哥拉斯”定理或“百牛”定理；有的学生说：勾股定理导致元理数的发现；有的学生说：据不完全统计，勾股定理已有三百多种证明方法，连美国第二十任总统伽菲尔德也对勾股定理痴痴人迷，他的证法在数学史上被传为佳话，被称为总统证法。学生了解到古代人民对勾股定理的研究，反映勾股定理的悠久历史、重大意义以及先民的聪明才智。把这些简单的东西学好了，对高中阶段的三角函数学有帮助。
教学中，只要结合具体内容创设恰当的情境，就能使枯燥拍象的内容变得生动直观，就能把书本知识同社会实践结合起来，使学生产生“疑而未解，又欲解之”的强烈愿望，进而转化为一种对知识的渴求，从而调动学生学习的积极性和主动性，达到提高课堂教学质量的目的。
本节课的内容是九年制义务教育教科书（人教版），八年级第十七章“勾股定理”。通过向学生提供现实、有趣、富有挑战的学习素材，使学生展开讨论，让学生从多角度思考，探索不同的方法，找到解决问题的策略，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法，同时在教学中渗透中华优秀传统文化。
一、创设情景，引入新课
师：（结合动画讲故事）同学们，我们国家有着几千年的悠久文化，西周开国时期，周公非常爱才，他和喜欢钻研数学的商高是好朋友。有一天，商高对周公说，最近我又有一个新的发现，把一根长为7的直尺折成直角，使一边长（勾）为3，另一边长（股）为4，连接两端（弦）得一个直角三角形，周公您猜一猜第三边的长等于多少？周公摇头不知道。同学们，你们猜猜是多少？
生：5（不知道）
师：不知道也没关系，我们来量一量斜边的长就知道了。（动画演示）
师：后来又发现，直角边为6、8的直角三角形的斜边的长是10。这两组数据是否具有某种共同点呢？带着这个问题人们对直角三角形做了进一步的研究，通过计算三条边长的平方发现，直角三角形中的三条边长之间还真有一种特殊的关系。它们之间到底有什么样的关系呢？
生：32+42=52，62+82=102。
师：这是两组特殊数字。想一想，是不是一个任意的直角三角形的三边是否也有这种相等关系呢？
我们用几何画板再做一个实验，请注意观察。（任意改变直角三角形三边的长度，度量、计算显示相等关系依然不变。）
师：通过实验，可以得到什么结论？
生：直角三角形的三边满足：两直角边的平方和等于斜边的平方。即a2+b2=c2
师：同学们概括得非常好！这个结论尽管是通过多次实验得到的，但要说明它对任意的直角三角形都成立，还有待进行证明。我们先来观察这个要证明的等式，看等式中的a、b、c表示什么？
生：表示直角三角形的三条边长。
师：a2、b2、c2是边长的平方，由边长的平方可联想到什么？
生：正方形、正方形的面积。
师：对整个等式你们怎样理解？
生：等式可以理解为两个正方形的面积和等于一个正方形的面积。
师：那好，下面我们就来做一个拼正方形的游戏，看能不能对我们证明结论有些帮助。
二、动手拼图，合作探索定理证明方法
师：现在，前后4人为一个小组，老师给每小组提供了拼图模型两套，要求每一套模型拼成一个没有空隙且不重叠的正方形。拼好后请上台展示你们的成果，比一比，看哪一组完成任务最快。
师：同学们对比自己拼成的两个图形，看看它们有什么共同点和不同点？
生：都是边长相等的正方形，但拼图的模型不同。
生：这两个正方形的面积相等。
师：这两个正方形的面积怎样计算呢？通过你的计算能否证明a2+b2=c2？请试一试。
师：看哪两位同学愿意上来写出证明过程。
师：两位同学刚才用两种不同的方法证明了实验得出的结论，这就是我们今天要学习的勾股定理。请两位同学再谈谈你们的证明思路好吗？
生甲：图（A）的面积用四个全等的直角三角形的面积加两个正方形的面积，图（B）的面积用四个全等的直角三角形的面积加一个正方形的面积，利用面积相等就证得结论。
生乙：我把图（B）用两种不同方法计算它的面积也能证得结论。
师：说得好！甲同学的证明思路正好符合我们前面对等式的理解；乙同学的证明思路启发我们还可以通过拼各种不同的图形来证明勾股定理。
三、课堂练习
李明上学经过的路旁有一小湖，隔湖相对有两棵树A、B， 但无法直接测量出A、B之间的距离。请你帮他设计一个解决问题的方案好吗？
四、小结
师：同学们可以感受到勾股定理有什么作用？
生：可以解决在直角三角形中已知两条边求第三边的问题。
师：说得好！这一节课，你们还学会了什么？
关键词: 初中数学教学 问题串 应用
基于问题的学习是一种有效的教学方法,其主要特点表现为:使学生成为问题情境中的角色;教师围绕一个完整的问题设计安排课程,鼓励学生解决问题;教师创造一种学习环境,激发学生思考,不断引导学生深入地理解问题。在教学中利用“问题串”进行教学,就是围绕着教学目标,通过设置一系列有针对性的问题引导学生反应,教师在识别学生反应的基础上,采取有效指导,促进学生不断达成教学目标的一种有效方法。教师通过一系列的“问题串”能使学生的思维清晰,更深刻地理解其正在探究的问题,领悟探究活动的精髓。美国心理学家布鲁纳指出:“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动,思维永远是从问题开始的。”在课堂教学中,我们要以“问题”贯穿整个教学过程,使学生在设问和释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望,逐渐养成思考问题的习惯,并在实践中不断优化学习方法,提高学生的数学素质。在教学中,教师要开展问题教学法,在教学设计时要根据教学内容编写问题串。问题串教学设计的优点是学生在思考的过程中得出答案,经历了思考的过程。下面我谈谈初中数学教学中有效设计问题串的方法。
1.在数学课堂教学导入时设计问题串
在数学课堂教学活动开始时,教师可针对教学目标和教学内容,提出一个或几个问题,让学生思考,对问题进行分析、解答。精心设计问题串导入新课,能够集中学生注意力、引发学生思考、产生学习动机、激发学习兴趣、建立知识联系、明确教学目标,使学生的求知欲进入活跃状态,为学习新概念、新知识、新技能作铺垫。
设计片断1:
一位数学教师这样设计课堂引入:
在数学课开始时,老师先讲了一个数学故事:在西周时期,周公非常爱才,他和喜欢钻研数学的商高是好朋友。有一天商高对周公说,最近我又有一个新的发现,把一根长为7的直尺折成直角,使一条边长(勾)为3,另一条边长(股)为4,连接两端(弦)得一个直角三角形,周公您猜一猜第三条边的长等于多少?周公摇头说不知道。然后老师设计了3个问题。
问题1:同学们,你们知道第3条边的长是多少吗?
(学生可能知道,也可能不知道。教师引导学生通过画图来测量第3条边的长度,让学生画直角三角形测量发现斜边是5。)
问题2:直角边分别为6、8的直角三角形的斜边的长是多少?
(同理,通过画图发现斜边长是10。)
问题3:这两组数据是否具有某种共同点呢?
(前人对直角三角形作了进一步的研究,通过计算3条边长的平方发现,直角三角形中的3条边长之间还真有一种特殊的关系.同学们也来算一算、猜一猜,它们之间到底有怎样的联系呢?)
从而导出本节课的主题――探索勾股定理,以上的导入设计,紧紧围绕教学目标,紧密联系教学内容,既调动了学生学习的积极性,又提高了学生的探究能力。实践证明,设计巧妙的问题式引入,能够使学生在轻松愉快的气氛中收到事半功倍的功效。
2.在数学课堂探究新知识时设计问题串
在探究数学新知识时,教师应把知识中所涉及的内容,通过精心合理的设计,分解成若干个问题,鼓励学生进行探究和讨论交流,再通过观察、综合、分析、归纳、类比、概括,逐步学会接受问题、分析问题、解决问题,发现其中蕴涵的数学规律。
设计片断2:
在探究勾股定理的发现和勾股定理的验证时,一位数学教师这样设计:
(1)勾股定理的发现
问题1:观察图1的方格图,你能利用数方格子的方法得到答案吗?请完成填空。
①正方形A中含有?摇?摇?摇?摇个小方格,即A的面积是?摇?摇?摇?摇个单位面积。
②正方形B的面积是?摇?摇?摇?摇个单位面积。
③正方形C的面积是?摇?摇?摇?摇个单位面积。
(在数正方形C的面积时可以把一些图形拼在一起。)
问题2:观察正方形A、B、C的面积,你能发现它们之间有什么联系吗?
问题3:如果正方形A、B、C的边长分别为a、b、c,那么上述公式又可以怎样表示呢?
(因为正方形A、B、C是以直角三角形3边为边长的正方形,所以,一般的,直角三角形的3边长有下面的关系:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。即如果a、b为直角三角形的两条直角边长,c为斜边长,则有a+b=c。)
(2)勾股定理的证明
问题1:请观察如图2的正方形,你能用大正方形面积等于小正方形面积与4个直角三角形面积的和这一等量关系,证明勾股定理的正确性吗?
问题2:观察图3和图4,你可以用类似的方法说明勾股定理的正确性吗?
这位教师通过设计3个问题让学生发现勾股定理,通过设计2个问题让学生验证勾股定理。整个教学过程是一个以问题为核心的循环过程:分析问题、解决问题、理性认识、提出新问题。教师注重对学生进行数学思维与方法的引导,激活提出的问题,激发学生的求知欲和探索欲,并引导学生对问题的解答进行验证、评价、反馈,上升到理性认识,使学生通过理性归纳形成新的认知结构,并不断提出新的问题,培养学生的创新能力。
3.在数学习题教学时设计问题串
一道好的习题不但能让学生应用新知识,理解新知识,而且可以迸发出思想的火花。创新教学要求教师充分挖掘例题、习题的潜能,精心处理教材,激活例题、习题的活力,打破模式化,对常规题目进行改造,为学生创造更广阔的解题思维空间。
设计片断3:
在教学勾股定理的应用时,一位教师设计了3个问题:
问题1:如图5,有一个消防梯长25米,把它的脚端放在离墙根2米处,问该梯能够得着24米高的墙顶吗?
问题2:在问题1的条件下,若梯顶端够得着墙顶,那么超出墙顶多少米?若够不着,那么梯的顶端离墙的顶端有多少米?
问题3:如图6,若使梯的顶端刚好架在外墙顶上,那么梯的底端应向外(或内)移动多少米?
《数学课程标准》提倡:“通过解决问题的反思,获得解决问题的经验。”数学教学离不开例题、习题的教学,而教学中如何选择例题、习题,从而挖掘教材潜在的智能价值,充分展示教学功能,并使课本知识有效地浓缩。教师应通过不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式,使一题多变,设计一串数学问题,从而揭示不同知识点的联系,使学生加深对知识的理解与内化,使知识系统化,克服某些思维定势,发散学生思维,培养学生思维的灵活性、全面性和创新性,提高学生解决实际问题的能力。
4.在数学课堂小结时设计问题串
一节课结束,并不意味着教学内容和学生思维的终结。“学贵有疑”,有“疑”就对知识有“学而不厌”的追求。在课堂结束时,教师充分利用课堂的核心内容设计总结性的问题串,可培养学生独立探究新知识、自我归纳和反馈的能力。
设计片断4:
在课堂小结时,教师引导学生回顾本节课所学内容,从内容、应用、数学思想方法、获取新知的途径方面进行总结。一位教师设计了以下4个问题:
问题1:勾股定理揭示了哪一类三角形中的什么元素之间的关系?
问题2:在探索和验证勾股定理的过程中,我们用了哪些方法?
问题3:运用“勾股定理”应注意哪些问题?
问题4:你还有什么不懂的地方?
在课堂总结阶段,该教师设计一组问题让学生通过对本节知识的提炼,归纳出有关知识与技能方面的一般结论和在做数学活动中所遇到的困惑,感悟新知的探索、应用,帮助学生整合所学到的知识,使之结构化,从而培养学生个性和良好的思维能力。
参考文献:
[1]苗志艳.浅谈数学教学中的“问题教学法”[J].科教文汇,2009,18.
几何定理是初中几何知识的主要内容，也是进行几何推理的主要依据之一.对于刚从小学升入初中的学生，思维方式尚停留在形象思维阶段，表现在学习过程中往往轻视概念的重要性，虽然做起计算题来游刃有余，但是对几何知识的学习则显得有些吃力.关注到这一现象之后，教师就应该在几何教学时，着重培养学生的逻辑思维能力，通过探索知识的形成过程来达到锻炼学生概括、总结知识能力的目的，而几何定理的教学就成为完成这一教学任务的重要阵地.具体在教学中有以下几种方法：
一、通过讲数学故事引出几何定理
根据初中生的年龄特点，教师可以在开展几何定理教学之前，通过讲述古今中外数学家对数学知识的探索过程以及数学历史故事来导入新课.通过这一特殊的课堂导入形式，学生的学习兴趣和注意力被迅速、有效地激发起来，有助于下一步教学工作的顺利展开.
例如，在学习《勾股定理》时，可以通过介绍古今数学家发现勾股定理的故事来导入这一“数形统一”的数学方法.教师首先可以讲述我国古代著名数学家赵爽，通过自己不懈的努力，终于使用直观、简洁的方法证明出了勾股定理.接着，教师可以提出问题：“大家想不想知道古时候的赵爽是通过什么方式证明出勾股定理的呢？”现在老师带领大家与数学家一起探索这一定理吧.通过教师的一番引导，学生对勾股定理产生了浓烈的好奇心，接下来教师就可以引导学生展开对勾股定理的探索.
在这一教学过程中，学生成为了教学活动的主体，教师作为指导者给予相应的指导即可，学生的求知欲得到了满足，并且在自主探究的过程中推导出了几何定理，这种教学过程与教师单一的灌输知识相比，教学效果更为明显，学生对知识的掌握也更为牢固.在探索知识的过程中学生既收获了成功的喜悦，又锻炼了自我学习的能力.
二、联系生活实际推导几何定理
在上文中，通过讲述古人的故事引出对定理的推导，下面谈一下结合实际生活中的现象展开几何知识探索的教学过程.联系实际展开教学与听故事相比，都能很快吸引学生的学习兴趣，为进一步探求知识提供助力.教师在备课阶段，应该展开积极的思考，将数学知识与实际生活联系起来展开教学，从而激发学生的学习兴趣.例如，在学习“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”这一判定定理时，教师可以列举生活中很多常见的现象来说明这一问题.例如，在运动会跳远项目中就体现了这一定理.又如，在学习“两直线平行，内错角相等”这一定理时，教师可以引导学生针对图形进行多角度、全方位的观察，通过多媒体课件展示，盘山公路在两次拐弯后平行时的内错角图示效果，同时还可以鼓励学生展示出自己在生活中发现的同类现象.通过这次教学，学生既感受到了生活中处处存在几何知识，体会到了学习几何的乐趣，同时也加深了对这一定理的理解.
三、在问题情境中推导定理
在课堂上创设问题情境，展开师生互动问答，可以将班级气氛活跃起来，班级师生围绕一个问题展开讨论，在讨论和交流中自然的引入对有关概念、定理的推导，让学生在已有的认知水平上，学会新知识.例如：在学习“三角形中位线定理”时，教师可以先让学生动手操作，将一张三角形硬纸片剪成两部分，使分成的两部分能够形成一个平行四边形.
