时间：2023-06-05 10:15:12
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇四则运算法则，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
1、知识范围
(1)数列极限的概念
数列、数列极限的定义
(2)数列极限的性质
性、有界性、四则运算法则、夹通定理、单调有界数列极限存在定理
(3)函数极限的概念
函数在一点处极限的定义、左、右极限及其与极限的关系趋于无穷时函数的极限、函数极限的几何意义
(4)函数极限的性质
性、四则运算法则、夹通定理
(5)无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量的定义、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量的性质、无穷小量的阶
(6)两个重要极限
2、要求
(1)理解极限的概念，会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
这篇关于《如何提高小升初数学计算水平》，是
小学数学计算水平如何提高呢？计算是数学学习的基础，计算水平不高小学数学就很难学好，我们下面就来教您如何提高小学数学计算水平吧。
第一，要对计算引起足够的重视。
很多同学总以为计算式题比分析应用题容易得多，对一些法则、定律等知识学得比较扎实，计算是件轻而易举的事情，因而在计算时或过于自信，或注意力不能集中，结果错误百出。其实，计算正确并不是一件很容易的事。例如计算一道像37×54这样简单的式题，要用到乘法、加法的运算法则，经过四次表内乘法和四次一位数加法才能完成。至于计算一道分数、小数四则混合运算式题，需要用到运算顺序、运算定律和四则运算的法则等大量的知识，经过数十次基本计算。在这个复杂的过程中，稍有粗心大意就会使全题计算错误。因此，计算时来不得半点马虎。
第二，要按照计算的一般顺序进行。
首先，弄清题意，看看有没有简单方法、得数保留几位小数等特别要求；其次，观察题目特点，看看几步运算，有无简便算法；再次，确定运算顺序。在此基础上利用有关法则、定律进行计算(高年级动笔计算前要转化数的形式，如带分数化成假分数，小数与分数互化等)。最后，要仔细检查，看有无错抄、漏抄、算错现象。
小学数学计算水平如何提高呢？计算是数学学习的基础，计算水平不高小学数学就很难学好，我们下面就来教您如何提高小学数学计算水平吧。
第一，要对计算引起足够的重视。
很多同学总以为计算式题比分析应用题容易得多，对一些法则、定律等知识学得比较扎实，计算是件轻而易举的事情，因而在计算时或过于自信，或注意力不能集中，结果错误百出。其实，计算正确并不是一件很容易的事。例如计算一道像37×54这样简单的式题，要用到乘法、加法的运算法则，经过四次表内乘法和四次一位数加法才能完成。至于计算一道分数、小数四则混合运算式题，需要用到运算顺序、运算定律和四则运算的法则等大量的知识，经过数十次基本计算。在这个复杂的过程中，稍有粗心大意就会使全题计算错误。因此，计算时来不得半点马虎。
第二，要按照计算的一般顺序进行。
首先，弄清题意，看看有没有简单方法、得数保留几位小数等特别要求；其次，观察题目特点，看看几步运算，有无简便算法；再次，确定运算顺序。在此基础上利用有关法则、定律进行计算(高年级动笔计算前要转化数的形式，如带分数化成假分数，小数与分数互化等)。最后，要仔细检查，看有无错抄、漏抄、算错现象。
计算题是根据运算法则，进行数字间的加减乘除等运算。脱式计算题是指一种需要用递等式计算的题目，每行计算必须要等号在前，结果在后。必须由左到右，且按照“先乘除后加减”的法则运算，同时依次按先算小括号、中括号、大括号里的数。可以运用各种运算法则使其计算更简便与准确。
加法、减法、乘法、除法，统称为四则运算。其中，加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。同级运算时，从左到右依次计算；两级运算时，先算乘除，后算加减。有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的；有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的，再算大括号里面的，最后算括号外面的。要是有乘方，最先算乘方。在混合运算中，先算括号内的数，括号从小到大，如有乘方先算乘方，然后从高级到低级。
（来源：文章屋网 ）
一个人的数学计算能力主要包含三个方面：即计算结果的准确性，计算方法的技巧性和计算速度的快捷性，要想提高小学生数学计算能力，我认为要从下面四个方面下功夫：
一、让学生熟练掌握运算法规：
在小学阶段，学生要学到三类数——整数（自然数）、小数和分数，这三类数都要进行四则运算——加、减、乘、除，每一类数的每一种运算都有自己特定的运算法则，熟练掌握各类运算法则是全面提高小学生数学计算能力的立足点和出发点。
怎样让学生熟练掌握各种运算的运算法则呢？我想教师在教学活动中应做好以下三个环节：
1、搞清算理，学生在教师指导下，通过合作讨论，互相交流的方式，按照运算意义一步一步地归纳出运算法则。
2、多加练习，充分利用课内外的恰当机会，对学生进行大量的计算练习，并对学生的计算过程多加指导和评议，让他们熟练地掌握运算法则。
3、注重纠错，教师要注意收集学生在各类计算中出现的各种错误，加以分类剖析，可精心制作出一定数量的、带有各种计算错误的试题卡，分发给每位学生，让他们把题卡上的错误逐一更正，同时向全班说明每道试题的错误所在和产生错误的具体原因，有时学生犯的错误经老师指正后，再过一段时间他们又犯同样的错误，遇到这种情况时，教师千万不能急躁，要耐心疏导他们，帮助他们克服学习中的各种困扰。
二、注意培养学生估算能力
新课程把培养学生的估算能力列入其中，充分反映出估算在数学计算和实际生活中的重要性，估算能力也是一个人计算能力中相当重要的一个方面，具备良好的估算能力，实践证明有四个好处：
1、帮助我们预知计算结果；
2、可以提高数学分析能力；
3、可以解决实际生活问题；
4、检查结果是否基本正确。
三、切实加强学生口算训练
在课堂中，一般采取下列步骤进行口算训练；
1、先让学生先口算出结果。
2、再让学生说说自己的口算方法，对良好的口算方法及时给予肯定，有时对同一题目，还可问问学生有无别的口算方法。
3、最后教师对口算方法给予解释和强调。
除教材中的口算题目外，教师应该再精心编制一定数量的涉及多种口算方法的练习题，在自习课上让学生反复练习，我们要把口算训练穿插于整个数学教学的全过程之中，使口算训练经常化、长期化，逐步提高学生数学计算的快捷性。
四、善于采取简便算法
本大纲适用于经济学、 管理学以及职业教育类、 生物科学类、 地理科学类、 环境科学类、 心理学类、药学类(除中药学类外)六个一级学科的考生。
总要求
本大纲内容包括“高等数学”及“概率论初步”两部分，考生应按本大纲的要求了解或 理解“高等数学”中极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学和多元函数微分学的基 本概念与基本理论;了解或理解“概率论”中古典概型、离散型随机变量及其数字特征的基 本概念与基本国际要闻 学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法，应注意各部分知识 的结构及知识的内在联系;应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力;能运用 基本概念、基本理论和基本方法正确地判断和证明，准确地计算;能综合运用所学知识分析 并解决简单的实际问题。 本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次;对方 法和运算分为“会”“掌握”和“熟练”三个层次。 、
复习考试内容
一、极限和连续
(1)极限
1.知识范围 数列极限的概念和性质
(1)数列数列极限的定义性有界性四则运算法则夹逼定理，单调有界数列极限存在定理
(2)函数极限的概念和性质 函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系 χ趋于无穷(χ∞，χ+∞， χ-∞)时函数的极限函数极限的几何意义 性 四则运算法则 夹逼定理
(3)无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量的性质，无穷小量的比较。
(4)两个重要极限
sin x lim x = 1 x 0
1 lim 1 + x = e x ∞x
2.要求
(1)了解极限的概念(对极限定义中“ε—N”“ε—δ”“ε—M”的描述不作要求)。掌握函数在一点处的左极限与右极限以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。
(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系， 会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价) 。会运用等价无穷小量代换求极限。
(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
(2)连续
1.知识范围
(1)函数连续的概念 函数在一点处连续的定义 左连续和右连续 函数在一点处连续的充分必要条件 函数的 间断点
(2)函数在一点处连续的性质 连续函数的四则运算 复合函数的连续性
(3)闭区间上连续函数的性质 有界性定理 值与最小值定理 介值定理(包括零点定理)
(4)初等函数的连续性
2.要求
(1) 理解函数在一点处连续与间断的概念， 理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系， 掌握函数(含分段函数)在一点处的连续性的判断方法。
(2)会求函数的间断点。
(3)掌握在闭区间上连续函数的性质，会用它们证明一些简单命题。
(4)理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数的连续性求极限。
二、一元函数微分学
(一)导数与微分
1.知识范围
(1)导数概念导数的定义左导数与右导数函数在一点处可导的充分必要条件导数的几何意义可导与连续的关系
(2)导数的四则运算法则与导数的基本公式
(3)求导方法 复合函数的求导法 隐函数的求导法 对数求导法
(4)高阶导数 高阶导数的定义 高阶导数的计算
(5)微分 微分的定义 微分与导数的关系 微分法则 一阶微分形式不变性
2.要求
(1)理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点 处的导数。
(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
(3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
(4)掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。
(5)了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
(6)理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。
(二)导数的应用
1.知识范围
(1) 洛必达(L′Hospital)法则
(2) 函数增减性的判定法
(3) 函数极值与极值点值与最小值
(4) 曲线的凹凸性、拐点
(5) 曲线的水平渐近线与铅直渐近线
2.要求
(1)熟练掌握用洛必达法则求“
0 ∞ ” “ ” “0∞” “∞—∞”型未定式的极限的方法。 0 ∞
(2)掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增 减性证明简单的不等式。
(3)理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、值与最小值的方法， 会求解简单的应用问题。
(4)会判定曲线凹凸性，会求曲线的拐点。
(5)会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线。
三、一元函数积分学
(一)不定积分
1.知识范围
(1)不定积分 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质
(2)基本积分公式
(3)换元积分法 第一换元法(凑微分法) 第二换元法
(4)分部积分法
(5)一些简单有理函数的积分
2.要求
(1)理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
(2)熟练掌握不定积分的基本公式。
(3)熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法(仅限形如
2 2 2 2 。 ∫ a x dx、 a + x dx 的三角代换与简单的根式代换) ∫
(4)熟练掌握不定积分的分部积分法
(5)掌握简单有理函数不定积分的计算。
(二)定积分
1.知识范围
(1)定积分的概念 定积分的定义及其几何意义可积条件
(2)定积分的性质
(3)定积分的计算 变上限的定积分牛顿—莱布尼茨(Newton—Leibniz)公式换元积分法分部积分法
(4)无穷区间的广义积分、收敛、发散、计算方法
(5)定积分的应用 平面图形的面积、旋转体的体积
2.要求
(1) 理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件。
(2) 掌握定积分的基本性质
(3) 理解变上限的定积分是上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。
(4) 熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式
(5) 掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
(6) 理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。
(7) 掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成 旋转体的体积。
四、多元函数微分学
1.知识范围
(1)多元函数 多元函数的定义 二元函数的定义域 二元函数的几何意义
(2)二元函数的极限与连续的概念
(3)偏导数与全微分 一阶偏导数 二阶偏导数 全微分
(4)复合函数的偏导数 隐函数的偏导数
(5)二元函数的无条件极值和条件极值
2.要求
(1)了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。
(2)了解二元函数的极限与连续的概念。
(3)理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握 二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数全微分的求法。
(4)掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。
(5)会求二元函数的无条件极值和条件极值。
(6)会用二元函数的无条件极值及条件极值求解简单的实际问题。
五、概率论初步
1.知识范围
(1)事件及其概率 随机事件 事件的关系及其运算 概率的古典型定义 概率的性质 条件概率事件的独立性
(2)随机变量及其概率分布 随机变量的概念 随机变量的分布函数 离散型随机变量及其概率分布 (3)随机变量的数字特征 离散型随机变量的数学期望 方差 标准差
2.要求
(1) 了解随机现象、随机试验的基本特点;理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。
(2) 掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容(或互斥)关系及对立关系。
(3) 理解事件之间并(和) 、交(积) 、差运算的定义，掌握其运算规律。
(4) 理解概率的古典型定义;掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。
(5) 会求事件的条件概念;掌握概率的乘法公式及事件的独立性。
(6) 了解随机变量的概念及其分布函数。
(7) 理解离散型随机变量的定义及其概率分布，掌握概率分布的计算方法。
(8) 会求离散型随机变量的数学期望、方差和标准差。
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难点34 导数的运算法则及基本公式应用
导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导.
难点磁场
【关键词】高等数学；极限；运算方法
在高等数学中，极限是最基本、最重要的内容之一，由于极限的产生解决了数学中量的均匀变化与非均匀变化的矛盾；同时也解决了有限量与无限量的矛盾，从而使微积分中的一些基本概念有了更为确切的定义，因此成为研究高等数学的基本方法.本文根据电大的教学要求，谈谈极限的基本运算方法.
一、利用极限四则运算法则及初等函数的连续性求极限
1.当分母不为零时，可根据初等函数的连续性，用直接代入法求极限
例1 limx12x2-x+53x+1=2-1+53+1=32.
2.当出现“00”型时，可用分解因式法或有理化方法消去零因子，然后求极限
例2 limx3x2-5x+6x2-9=limx3（x-2）（x-3）（x-3）（x+3）=limx3x-2x+3=16.
例3 limx01+x-1x=limx0（1+x-1）（1+x+1）x（1+x+1）=limx0xx（1+x）=limx011+x+1=12.
3.当出现“∞∞”型时，可用分子分母同除以x的最高次方，然后求极限
例4 limx∞3x2-2x+1x2+6x+5=limx∞3-2x+1x21+6x+5x2=3.
4.当出现“∞-∞”型时，可转换成“00”或“∞∞”型，然后求极限
例5 limx12x2-1-1x-1=limx12-（x+1）x2-1=limx11-xx2-1=limx1-1x+1=-12.
5.当出现数列求和时，可先利用数列的求和公式将其变形，然后求极限
例6 limx∞1+2+…+nn+2-n2=limx∞n（n+1）2（n+2）-n2=limx∞-n2（n+2）=limx∞-n2n+4=-12.
二、利用两个重要极限求极限
例7 limx4sin（x-4）x2-16=limx4sin（x-4）（x+4）（x-4）=limx4sin（x-4）x-4·limx41x+4=1×18=18.
例8 limx0ln（1+x）x=limx0ln1+x1x=lnlimx01+x1x=lne=1.
三、利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量这一性质求极限
例9 limx0x3sin1x.
解 因为limx0sin1x不存在，故不能直接用极限的四则运算法则求极限，注意到limx0x3=0，
且sin1x≤1，所以limx0x3sin1x=0.
例10 limx∞x-1x2+x-5（2+cosx）.
解 因limx∞x-1x2+x-5=0，且2+cosx≤3，所以limx∞x-1x2+x-5（2+cosx）=0.
四、利用变量代换求极限
例11 limx0arctanxx.
解 令t=arctanx，当x0时，t0，
所以limx0arctanxx=limt0ttant=1.
例12 limx0xex-1.
解 令t=ex-1，则x=ln（t+1），当x0时，t0，
所以limx0xex-1=limt0ln（1+t）t=limt0ln（1+t）1t=lne=1.
五、利用等价无穷小求极限
例13 limx0ln（1+sinx）3arctanx.
解 当x0时，有arctanx～x，ln（1+sinx）～sinx，
所以limx0ln（1+sinx）3arctanx=limx0sinx3x=13.
例14 limx0sin6xsin3x.
解 当x0时，有sin6x～6x，sin3x～3x，
所以limx0sin6xsin3x=limx06x3x=63=2.
【参考文献】
数学教学学习兴趣情境
兴趣，是指一个人经常趋向于认识、掌握某种事物，力求参与某项活动并且带有积极情绪色彩的心理倾向。人对他所感兴趣的事物总是使他不知不觉地心向神往，表现出注意的倾向。兴趣可以孕育愿望，可以滋生动力。伟大的科学家爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师。”这就是说，一个人一旦对某事物有了浓厚的兴趣，就会主动去求知、去探索、去实践，并在求知、探索、实践中产生愉快的情绪和体验，所以古今中外的教育家无不重视兴趣教育教学中的巨大作用。因此，在数学教学中，如何培养和激发学生的学习兴趣，是我们广大数学教师必须十分重视的一个问题，对于学习兴趣的培养应当渗透到每个教学环节，贯穿于数学教学的全过程。下面就兴趣的培养和激发来谈我在教学中的体会。
一、爱护学生，建立和谐的师生关系
数学作为一门讲理的学科，具有很强的逻辑性，数学概念和定理相比其他学科也有相当的抽象性，推理过程也要求有相当的严密性。正因为数学自身的学科特点，如果一名数学教师任教课时少，师生交流机会不多，这样就会很容易在学生心中形成固板、严厉的印象，如果学生感觉老师很可怕，就很难喜欢他上的课，因此，数学教师在平时要多找学生谈心，了解学生的思想动态，有可能的话，经常与学生进行一些集体活动，让学生对教师产生一种亲和力，这样学生才能喜欢这位教师，进而喜欢数学这门课程。特别是对于高职学校的学生来说，通常他们都是一些数学“学困生”，对他们的态度，教师尤其不能动辄训斥，应该循循善诱，特别注意爱护他们的自尊心，要经常运用表扬、奖励的手段鼓励学生，特别是那些基础较差成绩落后的学生，只要有进步，那怕是微小的进步，教师也要及时表扬，这样才能使他们从怕上数学课直至爱上数学课，对数学这门课程产生浓厚的学习兴趣。
二、创设情境，激发学生的学习兴趣
在新知识教学之初，创设情境，能有效地激起学生的学习兴趣，提高学习效率。例如，在讲解对数函数时，我首先向学生介绍了考古学上的一个重大发现——长沙马王堆女尸，我简单介绍后提出问题：“有没有哪位同学知道考古学家是凭什么推断出女尸是属于2000多年前的汉代的呢？”这时候，学生就会不约而同地想知道为什么，此时教师再把话锋一转，进入新课，同学们一定会兴趣盎然地进入新知的学习。因为此时大家“胃口”都已经被吊起来了。
三、联系旧知识，注重知识的迁移
在数学教学中，注重新知识和旧知识之间的联系，让学生在对比联系中掌握新知识可以取得事半功倍的效果。例如，本学期《复数的四则运算》这节课中，我并没有直接按照书本所罗列的复数的四则运算法则直接向学生灌输，而是首先和学生一起复习回顾的实数的四则运算法则以及虚数单位i的简单性质，在黑板的左边写下了：
学生对于这类实数早已是熟悉于心，很快就得出了正确答案。这时候，我提示学生如果将左边式子中所有的3都换成虚数单位i的话，即是变成：
让学生自己动手结合刚才自己做题的步骤和虚数单位i性质，能不能得出复数运算的结果。这样学生迅速投入到新知识的探索之中，并很快得出了正确结果。这样在不知不觉之中学生已经掌握了复数的四则运算法则，整节课轻松而愉快，教学效果极佳。
四、加强直观，引导动手操作
在课堂教学中，采用直观教具、投影仪等生动形象的教学手段，能使静态的数学知识动态化，不但能激发学生学习的积极性，而且学生学到的知识也能印象深刻，永久不忘。例如，在讲解正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的图像和性质时，我利用几何画板向学生展示当A、ω、φ取不同值时，对比y=sinx它们的图像变化，在对比观察中让学生得出正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的图像和性质，取得了良好的学习效果。
五、练习多样，重视实践活动
在数学课堂教学中，通过多样化的练习，是帮学生掌握知识、提高运用知识的能力，培养学习兴趣，发展逻辑思维的有效途径。在数学练习中要采用多样的题型，使练习内容灵活多样，富有趣味性。另外，在课外实践中有意识地引导学生运用数学知识解决实际问题，同样能培养学生的浓厚学习兴趣。例如，在学了正弦定理和余弦定理后，结合学生的测量课，测量学校教学楼和钟楼的高度，等等，通过数学知识的实际应用，不但能巩固书本知识，而且能有效地激发学生学好数学的兴趣。
总而言之，学习兴趣对高职数学的学习非是常重要，是学好数学的重要前提。只有培养学生浓厚的学习兴趣，激发他们强烈的学习愿望，才能真正让学生成为教学的主体，才能使教师教的轻松，学生学的快乐、主动，才能有效提高课堂教学效率，提高教学质量。
参考文献：
[1]赵玉萍.刍议职业学校数学教学[J].职教天地，2012，（3）.
[2]程德胜.基于“学习过程”的教学设计之探讨[J].江苏教育研究，2008，（12）.
[3]陈国辉.如何有效实施数学教学评价[J].江西教育，2009，（12）.
[4]党文博.浅谈中等职业学校数学教学改革[J].科技创新导报，2011，（14）.
[5]黎国光.试论职业学校数学教学的几个关系[J].中等职业教育，2010，（11）.
寒假即将到来，你是否已经为自己做好了规划。充实地过好这个假期，会让你的考研复习有一个质的飞跃，相信领先教育，一定是一个正确的选择。下面为考研学子打造的高数复习计划。如果你能按照这个计划做，一定可以达到理想的效果。但是面对一个很实际的问题就是，学生们放假回家了，是否能充分利用好假期，是否真的可以按计划完成学习任务呢?因此领先在寒假期间推出一个“赢”计划之数学集训营，帮助大家以下面的计划作为大纲，结合大量的练习题，科学的测试及讲解，对高等数学进行知识分类，讲授解题技巧。此外，还会提前开始线性代数的导学。
首先，先将寒假分为几个阶段，然后按下面计划进行，完成高等数学(上)的复习内容。
1 第一阶段复习计划：
复习高数书上册第一章，需要达到以下目标：
1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.
2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.
3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.
4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.
5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.
6.掌握极限的性质及四则运算法则.
7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.
8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.
9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.
本阶段主要任务是掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;基本初等函数的性质及其图形;数列极限与函数极限的定义及其性质;无穷小量的比较;两个重要极限;函数连续的概念、函数间断点的类型;闭区间上连续函数的性质。
2 第二阶段复习计划：
复习高数书上册第二章1-3节，需达到以下目标：
1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.
3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.
本周主要任务是掌握导数的几何意义;函数的可导性与连续性之间的关系;平面曲线的切线和法线;牢记 基本初等函数的导数公式;会用递推法计算高阶导数。
3 第三阶段复习计划：
复习高数书上册第二章 4-5节，第三章1-5节。需达到以下目标：
1.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
2.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理.
3.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
4.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.
5.会用导数判断函数图形的凹凸性。(注：在区间[a,b]内，设函数具有二阶导数。当 时，图形是凹的;当 时，图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.
本周主要任务是掌握分段函数，反函数，隐函数，由参数方程确定函数的导数。会根据函数在一点的导数判断函数的增减性。会应用微分中值定理证明。会根据洛比达法则的几种情况应用法则求极限。掌握极值存在的必要条件，第一和第二充分条件。会计算函数的极值和最值以及函数的凸凹性。会计算函数的渐近线。会计算与导数有关的应用题[边际问题、弹性问题、经济问题和几何问题的最值]。
4 第四阶段复习计划
复习高数书上册第四章 第1-3节。需达到以下目标：
1.理解原函数的概念，理解不定积分的概念.
2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握不定积分换元积分法与分部积分法.会求简单函数的不定积分。
本周主要任务是掌握不定积分的性质，不定积分的公式[牢记一个函数的原函数有无穷多个，注意+C]，会运用第一，第二换元法求函数的不定积分。掌握不定积分分部积分公式并应用。
5 第五阶段复习计划
复习高数书上册第五章第1-3节。达到以下目标：
1.理解定积分的几何意义。
2.掌握定积分的性质及定积分中值定理。
3.掌握定积分换元积分法与定积分广义换元法.
本周的主要任务是掌握不定积分的性质，会根据不定积分的性质做题。尤其注意积分上下限互换后积分值变为其相反数，定积分与变量无关，可根据函数奇偶性计算定积分等性质。
6 第六阶段复习计划
复习高数书上册第五章第4节，第六章第2节。达到以下目标：
1.掌握积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式.
2.掌握定积分换元法与定积分广义换元法. 会求分段函数的定积分。
关键词：数学课程标准 微积分 内容标准 国际比较研究
一、问题的提出
自20世纪80年代后期以来，在不少主要国家的基础教育改革中，课程标准或教育标准几乎不约而同地被放到了一个突出位置上；“标准”一词一时间成了基础教育改革，尤其是课程改革的关键词[1]。其中，数学学科作为基础教育阶段的核心学科之一，在国际课程改革中常常首当其冲。数学本身的社会地位以及数学作为一门学科的自身特点，为关于数学的国际比较研究提供了内在的必要条件，数学教育国际比较也因此成为教育国际比较研究的重要领域[2]。
微积分在高中数学课程中有着重要的地位和作用。微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展及广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段[3]。本文将中、新、韩、日四个国家高中数学课程标准文本中微积分内容标准作为研究对象，深入分析四国高中数学课程中微积分内容标准的异同，从而得出一定结论和启示，以期为我国已经启动的高中数学课程标准修订工作提供一定的参考。
二、研究设计
1.研究对象的选取
考虑到文化背景的相似性以及同为数学教育优质国家[4]，本文选取中国大陆、新加坡、韩国、日本四个国家现行的高中数学课程标准为研究对象。
其中，四国课程标准文本的选取如下：中国：2003年教育部制订的《普通高中数学课程标准（实验）》[3][5]。新加坡：2011年教育部的《数学教学大纲》[6]。韩国：2011年教育科学技术部的《数学教育课程》（高中部分）[7]。日本：2009年文部科学省的《高中数学学习指导要领》[8]。
为了行文方便，本文中用到以上文本时均简称为“某国标准”。
2.研究思路与方法
本文研究主要基于四国高中数学课程标准文本，针对其中微积分内容标准进行比较分析，寻找共性与差异，在国际视野下审视我国高中微积分内容的特点以及不足之处，进而在保持我国特色的基础上，借鉴经济发达国家以及数学教育高成就国家的优势，更好地认知自己，进而反思自己，促进我国数学教育的发展；主要采用文献、比较、内容分析等教育研究方法。
三、四国高中数学课程中微积分内容标准的比较与分析
1.内容设置的比较与分析
我国标准中将微积分内容设置在选修1-1的“导数及其应用”以及选修2-2的“导数及其应用”中。选修系列1是为那些希望在人文、社会科学方面发展的学生而设置的，选修系列2则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。系列1、系列2内容是选修系列课程中的基本内容。其中，选修1-1“导数及其应用”包括：导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题距离以及数学文化共5个主题；选修2-2“导数及其应用”在此基础上增加了“定积分与微积分基本定理”主题。
新加坡的大部分初等学院或中心学院都采用A-水平课程，学生可以灵活自主地进行课程选择。A-水平课程中的数学科目分为Higher1（H1）、Higher2（H2）和Higher3（H3）三个层次。H1教学大纲为希望学习诸如商业、经济和社会科学等大学课程的学生提供数学基础；H2教学大纲为学生学习包括数学、物理和工程的大学课程做好充分准备，要求更多的数学内容；H3数学教学大纲提供给在追求学科更好水平和更深程度方面具有天资和激情的学生一个机会。H1层次“微积分”包括：微分学、积分学；H2层次包括：微分学、迈克劳林级数、积分法、定积分以及微分方程；H3层次包括H2层次中的“微积分”以及“微分方程模型”。
韩国数学课程包括两个部分：第一部分是共同课程（从一年级到九年级），要求所有的学生必须学习相同的必修课程；第二部分是选择课程（高中一年级到三年级），可以学习有“基本、一般、深化”层次的课程内容，建立有区别的数学课程体系。每个选修科目相对独立。其中，微积分内容作为两个单独科目“微积分Ⅰ”、“微积分Ⅱ”设置在“一般科目”模块中，微积分Ⅰ是理解数学Ⅰ和数学Ⅱ课程内容的学生可以选修的模块；微积分Ⅱ是理解了微积分Ⅰ课程内容的学生可以选修的模块，适合于想升入大学学习以微积分内容为基础的自然系列（理科）或工学系列（工科）的领域的学生。另有部分内容设置在“深化课程”模块的“高级数学Ⅱ”中。
日本高中数学课程设置为：数学Ⅰ、数学Ⅱ、数学Ⅲ、数学A、数学B、数学应用。其中，微积分内容数学Ⅱ、数学Ⅲ科目中，数学Ⅱ是用来学习高中数学核心内容和培养广泛的数学资质和能力，在发展和扩充数学Ⅰ的内容的同时，又考虑进一步学习数学Ⅲ。数学Ⅲ是针对那些对数学有浓厚兴趣、欲进一步深入学习数学的学生以及将来从事需要数学专业的学生而开设。
综上所述，四个国家高中数学课程中微积分的内容设置大致都是分为两个层次：基础和深化层次。基础层次主要是针对今后准备在人文、社会科学方面发展的学生而设置的，例如我国的选修系列1-1、新加坡的H1课程、韩国的微积分Ⅰ课程以及日本的数学Ⅱ课程中的微积分内容；深化层次则主要是针对今后准备在理工等方面发展的学生而设置的，例如我国的选修系列2-2、新加坡的H2课程、韩国的微积分Ⅱ课程以及日本的数学Ⅲ课程中的微积分内容。值得一提的是，新加坡还专门针对“有数学天赋并对数学怀有热情的学生”而设置了H3课程。
2.基本内容的比较与分析
（1）基本内容分布概况
本文以各国标准文本中内容标准最小整句（内容条目）作为基本单位进行编码，从微积分内容在整个高中数学课程中的比重以及微积分内容在微分学、积分学以及其他三个方面的比重分别进行统计与分析。
一方面，四国标准中微积分内容在整个高中数学课程中的比重各不相同。
我国文科数学课程内容标准共有内容条目144条，其中微积分内容9条，占高中全部课程内容的6%；理科数学课程内容标准共有内容条目159条，其中微积分内容11条，占高中全部课程内容的7%。而其他三国中微积分内容比重最高的是新加坡H3课程，高达44%；比重最低的是日本课程，也达19%。由此可见，我国微积分内容在四国高中数学课程中比重明显偏少。
另一方面，四国标准中微积分内容在三个子内容领域（微分学、积分学、其他）中分布也各不相同。
可以发现：我国文科微积分内容中微分学比重最高（89%），同时也是唯一不包含积分学内容的；我国理科微分学比重仅次于文科比重（73%），积分学比重相比于其他三国也是最低的（9%）。对于其他三国而言，微分学比重最高的是韩国（68%），比重最低的是新加坡H3（19%）；积分学比重最高的是新加坡H1（44%），比重最低的是韩国（23%）。
进一步分析，我国微积分内容明显倾向于微分学，文科甚至不涉及积分学；而理科的积分学相比其他国家也为最少，虽然涉及到“其他”，也仅仅是有关微积分历史的数学文化类内容以及微积分基本定理。
（2）微分学的基本内容
导数的概念是微积分的核心概念之一，它有着极其丰富的实际背景和广泛的应用。我国标准选修1-1、2-2中的微积分内容均是以“导数及其应用”主题呈现的，包括导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用以及生活中的优化问题举例四个部分。但是2-2要求比1-1要求高。比如，在“导数的运算”中，1-1仅要求“能根据导数定义，求函数y=c，y=x，y=x2，y=■的导数”，2-2除了要求上述四类函数，还要求简单三次函数y=x3以及无理函数y=■的导数。又如，在“导数在研究函数中的应用”中，2-2在1-1内容的基础上还增加了“体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性”。
新加坡标准H1课程中，微分学内容主要包括导数概念及其几何意义，函数y=xn、y=ex、y=lnx以及它们与常数的乘积、和、差的导数，求复合函数的导数，导数在研究函数中的应用，利用图形计算器求给定点处导数的数值解，导数的实际应用等。H2课程中，微分学内容要求比H1要高，较之H1增加了二次导函数大于0（小于0）的图释，导函数与原函数图像的关系；隐函数和含参数函数的求导等。H3中微分学内容由H2中相关内容组成，但是要求和严密性比H2更高一个层次。
韩国标准中微分学内容主要包括微积分Ⅰ中的数列的极限、函数的极限与连续、多项函数的微分法（导数、导数的应用）等，微积分Ⅱ中的指数函数与对数函数、三角函数的微分、微分法（各种微分法、导数的应用）等，高级数学Ⅱ中的微分的应用（柯西中值定理）、二元函数的极限和连续、偏微分及其偏微分的应用等。
日本标准中微分学内容主要包括数学Ⅱ中的微分系数与导数、导数的应用，数学Ⅲ中的极限（数列的极限、函数的极限）、导数（函数的四则运算的导数、复合函数的导数、三角函数・指数函数・对数函数的导数）、导数的应用等。
综上所述，四国均提及的基本知识包括：导数概念及其几何意义、基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、简单复合函数的导数、导数在研究函数中的应用等，都是围绕微分学核心概念“导数”的基础知识。我国微分学课程比较注重导数在生活中的应用，四国中仅有我国和新加坡在标准中有明文显示。然而，就内容广度、深度来说，我国微分学内容都不及其他三个国家。
（3）积分学的基本内容
我国标准中选修1-1没有积分学的相关内容；选修2-2提出“初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础”，进一步要求“通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念”。
新加坡标准中H1课程积分学内容主要包括：幂函数、指数函数、对数函数的积分，积分的四则运算法则；简单复合函数的积分；定积分；定积分的计算；利用图形计算器求定积分的数值解等。H2、H3课程积分学内容主要包括：一些特殊形式的函数积分，积分方法（换元积分法、分部积分法）；定积分的概念；定积分的计算；含参数曲线所围面积的计算；旋转立体图形体积的计算；使用图形计算器求解定积分的数值解等。
韩国标准中积分学内容主要包括：不定积分的含义，积分的四则运算法则，穷竭法计算面积和体积，定积分的含义，不定积分与定积分的关系，定积分的应用（曲边图形的面积）；积分方法，定积分的应用（立体图形的体积）；极坐标方程表示的由曲线围成的领域的面积；旋转体的体积；旋转面的面积；瞬间、质量中心等。
日本标准中积分学内容主要包括：不定积分与定积分的含义、积分的四则运算法则、利用定积分求面积；积分方法；求曲线图形的面积和立体图形的体积以及曲线的长度等。
综上所述，我国文科没有积分学内容要求，理科要求仅仅在于“初步了解定积分的概念”。而其他三国均有的微分学基本内容包括：积分的四则运算法则，简单函数的积分，积分方法，定积分的概念及其几何意义，定积分的计算，旋转立体图形体积的计算等。就内容的广度和深度而言，我国积分学内容均不及其他三个国家。例如，新加坡标准还要求含参数曲线所围区域面积的计算，重视图形计算器的使用。韩国标准还要求极坐标方程表示的曲线围成的面积、旋转曲面的面积等内容。
【关键词】微分 直观 近似计算
第一部分:课程设置分析
课程的地位 《微积分》是我院机电工程系、信息技术系、车辆工程系、电子电气系各专业的一门必修公共课,是学生提高文化素质和学习有关专业知识、专门技术及获取新知识能力的重要基础。主要讲授极限与连续,导数、微分及其应用,积分及其应用等一元函数微积分的内容。要注意引导学生在其他课程和实践中使用数学,使学生认识数学的实用价值和经济价值,逐步形成数学意识,提高学生分析和解决实际问题的能力。
本次课的地位 本次课的主要内容是微分。微分是《微积分》的一个重要的基本概念,它与导数概念既密切相关又有本质区别。导数反映函数变化的快慢程度,而微分则是函数增量的一种近似表达,在实际问题中经常利用微分作近似计算。微分概念的正确理解和掌握是学习后续积分知识的基础,关于导数和微分两者关系的处理,突出微分的地位更有意义。
教学设计理念与思路 学院以突出职业能力培养为导向,在加强实践性教学、压缩基础课教学的实践中做出了大胆的尝试,各专业新的培养方案要求在高职的数学教育中,把培养数学素质作为教学过程的主线,加强对学生进行数学知识应用能力的培养,从而使学生的数学知识、能力、素质得到协调发展。根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念,本次课运用启发式教学,精讲多练,突出重点与难点,重视利用微分作近似计算在实际问题中的应用。
第二部:教学设计分析
一、教学目标
1.理解微分的概念及其几何意义。
2.了解微分的四则运算法则,能运用。
3.能运用一阶微分形式不变性求复合函数的微分。
4.能利用微分作近似计算。
二、教学重点和难点
重点:1.一阶微分形式不变性的理解和运用;2. 在实际问题中利用微分作近似计算。
难点:微分概念及其几何意义的理解。
三、教学方法
根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念,本次课运用启发式教学,突出重点与难点;对于微分概念可采取由个别到一般、由具体到抽象等分析方法让学生深入领悟其思想方法;通过典型例题的分析讲解和一定数量的练习,精讲多练,让学生掌握好计算微分的方法与技巧;重视利用微分作近似计算在实际问题中的应用。
四、教学设计
[板书设计]将黑板划分为左中右三块,中块和右块主要用来书写即写即擦的内容,如旧课复习、新课引入、例题示范、练习讲评等。新课知识要点写在左边,如微分定义的几个表达式、微分形式的不变性、计算微分的方法小结、4个近似计算公式等。
[旧课复习] 通过实例或课堂练习复习复合函数求导。
[新课引入] 正方形铁皮热胀冷缩,其面积会随边长的绝对值意义上的微小改变而改变,利用这个经典例子直观引入微分概念。
[新课讲授] 微分
1. 定义:或.
.因此有.
2. 微分几何意义:当自变量发生绝对值意义上的微小改变时函数在其切线方向上的改变量,这就是函数的微分.
3. 基本初等函数微分公式,微分运算法则,微分形式不变性.(表)
例 求函数的微分。
解一 用微分的定义求微分, 有
.
解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分,得
.
本例小结 求函数微分的方法:利用微分的定义,利用微分的运算法则,利用一阶微分形式不变性,各方法的综合运用等。
4. 应用微分进行近似计算的4个公式。
例 有一批半径为1cm的球,为减少表面粗糙度,要镀上一层铜,厚度为0.01cm,估计每只球需要用铜多少克?(铜的密度为8.9g/cm3)
解 所镀铜的体积为球半径从1cm增加0.01cm时,球体的
增量。故由πr3知,所镀铜的体积为
·Δr=4π×0.01=0.04π,质量为m=0.04π·8.9g=1.2g 。
本例思考 利用公式f (x0+Δx)≈ f (x0)+f ′ (x0)Δx计算函数近似值时,关键是选取函数f (x)的形式及正确选取x0、Δx。一般要求 f (x0)、 f ′ (x0)便于计算,|Δx|越小,计算出的函数值精确度越高。另外,在计算三角函数的近似值时,Δx必须换成弧度。
[课堂练习及讲评] (略)
[本课小结]
1.微分概念及其几何意义
2.基本初等函数微分公式
3.微分运算法则、微分形式不变性
4.微分在近似计算中的应用——四个公式
【参考文献】
[1]孙薇荣等.微积分[M].高等教育出版社,2004.
一般认为.影响学生学习质量与学习效率的因素有两个，一个是先天的智商因子，一个是日常的学习情绪，这两个影响因素都可以通过后期有方向性、有目的性地去塑造与培养，进而达到提到学习能力的目的。在众多驱动方式中，激励性评价就是一种颇为有效的方式，特别是对于还处于启蒙期与基础期的低年级小学生来讲，科学合理的激励性评价会帮助他们更好更快地学习数学。
一、多维激励覆盖所有
以苏教版小学数学一年级上册《10以内的加法和减法》为例，这是学生第一次学习四则运算。在课堂上，有的学生计算得很快且答案很准确，有的学生则需要较长的时间才能得m答案，那么，对于前者，笔者倾向于从“反应性”（解答速度快可以认为是反应速度快）这个点来运用激励性评价。对于后者，笔者倾向于从“严谨性”（解题速度慢可以理解为学生需要仔细认真地多番思考，避免出错）这个点来运用激励性评价，对于其他暂时未能解答正确的学生，笔者首先确保学生对10以内的加法和减法的运算法则认知无误，再从“理解力”“记忆力”等角度去运用激励性评价。总的来说，就是尽可能地针对学生在课堂上的学习表现来找到与之匹配的激励点，让每一名学生都可以在被激励中提高学习的信心与热情。
二、精准激励强化优势
以苏教版小学数学二年级上册《表内乘法》与《表内除法》为例，对于四则运算，我们一般会有口诀识记与特殊识记两种方式。前者指的是严格地按照运算法则，通过识记口诀来进行运算。后者指的是对于有特殊运算规律的数字，通过巧妙的“捷径”来进行运算。表现在学生的学习特征上就是前者的逻辑缜密能力更强，后者的灵活观察能力更强，对此，笔者在课堂上抓住这两种不同学生来进行激励性评价，比如前者更多用“口诀识记得非常准确，记忆力很棒！”后者更多用“脑子转得很快，很灵活！”这两种不同的激励性评价就是在对学生进行精准激励，学生在接收到来自教师的激励时，他们也会意识到自己的强项在哪里，长此以往，这种暗示就会帮助学生有意识地强化自己的优势，在慢慢地巩固过程中成为自己的学习特点。
三、适时激励水到渠成
以苏教版二年级下册《角的初步认识》为例，在课堂上，笔者观察到有的学生对于“角的大小与边的长短没有关系”以及“角的大小与两边张开的大小有关”这组关系还不是很理解，这个时候，笔者就主动鼓励学生提问，当有学生主动举手提问后，笔者就适时地对学生这种勇于提出疑问，勇于表达不解的态度和行为进行了肯定与表扬，很明显的是，这位学生在举手提问前还略显犹豫与迟疑，但经过笔者的激励后，明显情绪放松了很多，而且在被激励的状态下，当笔者用实物来演示与说明这两组关系时，该名学生也很快表现出听懂的模样并满怀高兴地做好笔记。不难看出，采用激励性评价的好处在于这种激励是伴随着学生的状态，因学生需要而产生的，这种水到渠成的方式不仅有利于放大激励性评价的效果，而且也柔化了整堂课堂，无形中消除了很多学生可能存在的不安、紧张等负面情绪。
四、过程激励关注成长
以苏教版小学数学一年级上册为例，第八单元学习的是《10以内的加法和减法》，第十单元学习的是《20以内的进位加法》，第五单元学习的是《认识10以内的数》，第九单元学习的是《认识11-20》各数，两者之间都是递进上升的过程。因此，学生在这两个单元的表现就可以反映出对前面两个单元的学习积累情况。有的学生经过比较简单的加减法学习后，在稍微提升难度的20以内的加法时，就表现得更加娴熟，速度更快，准确率更高，为此，笔者就会对学生的这种进步进行激励，表扬学生的这种自我提升。过程激励的好处与价值在于它的落脚点与关注点是动态发展的，是学生整个学习的过程，它会通过这种激励来帮助学生一步步，一点点，一个阶段一个阶段地去提升与成长，最终实现能力积累升华的效果。
笛虽然是一门以科学严谨与缜密逻辑著称的学科，但这并不意味着数学知识就是僵化死板的，恰恰相反，数学“灵动”之处所呈现的魅力才是真正让人为之迷恋与倾倒的地方。从教育的角度上看，对于低年级的小学生而言，他们尚未对数学有清楚明确的认知，这时候，如果教师可以通过多维激励、精准激励、适时激励、过程激励这四种方式来鼓舞学生，则会更好地帮助学生在积极的情绪与状态下去学习数学，掌握数学。