时间：2023-06-05 10:16:52
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇垂径定理，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
[关键词] 垂径定理;激疑引趣
垂径定理是苏教九年级上册圆的对称性这一节的重要内容，它是圆对称的具化反映，是圆对称性的延伸与拓展，揭示了圆的弦与直径、弧与弧之间的几何关系和代数关系. 通过垂径定理的探究与运用，会向学生渗透“特殊―一般―特殊”的数学思想，培养学生观察分析、归纳概括的能力.
联系语文，激疑引趣
1. 语文课例：在初中语文八年级上册中，同学们都学过“中国石拱桥”这一课文. 课文向同学们详细介绍了位于河北境内现存最早的石拱桥――赵州桥. 大家还记得课文插图中赵州桥的样子吗？现在为了对这座古老的桥梁进行进一步研究，需要对其进行测算.
2. 问题引入：如图1所示，赵州桥是一座圆弧形拱桥，它桥拱的跨度为37.4 m，拱高7.2 m，问：桥拱的半径是多少？（注：跨度即为桥拱所对应的弦长，拱高即弧的中点到弦的长度）
赏析？摇 以学生学习过的语文课文为引子，有两点好处：其一，这是学生们熟悉的内容，根据心理学研究，学生在遇到自己熟悉的内容时往往会高度注意;其二，将语文与数学联系起来，会引起学生的好奇心，更易投入到本课的学习中.
循序渐进，猜想定理
数学是一门猜想的学科，许多伟大的数学定理都是由数学猜想开始的. 为了使学生们能够通过自我探究得到垂径定理，本课学习由猜想开始.
1. 旧知回顾，承上启下
观察图2和图3，并通过模型实验回答下列问题.
（1）在图2中，弦AB将O分成了两部分，说出每部分的名称.
（2）移动图2中的AB，使之过圆点（图3），此时O被分成的两部分各叫什么？它们存在什么样的关系？若将O沿着AB对折（图3），两者能重合吗？
赏析？摇 为了保证学生学习过程中的自我探究，教师可让学生事先准备好几张圆形纸片，并让学生在回答问题前先动手实验――将圆形纸片沿任意一条直径对折，观察能否重合. （有些老师喜欢再用电脑去演示，笔者认为这是多此一举，因为学生通过亲身体验已经得到了最直观的感受，况且电脑演示的直观程度比实物的直观程度低）通过学生的验证，我们得到了有关圆的最基本性质――圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线均是它的对称轴.
2. 运动变换，猜想结论
（1）变动中寻找规律
观察图4、图5和图6中弦AB的运动变化过程，分析图形并回答下列问题.
①图4中，AB和CD为O的两条直径，找出圆中相等的线段与弧.
②图5中，直径AB与CD相互垂直，图中相等的线段与弧有哪些？
③图6中，保持AB与CD的垂直关系，上下平移弦AB，圆中存在哪些相等的线段与弧？
④通过上面三幅图的变换过程，你能否从中找到什么规律？
（2）猜想中归纳结论
根据上述三幅图形的运动变化过程及探究得出的结论，我们可以大胆地做出如下猜测：
观察图6，AB为O上任意一条弦，CD为O的一条直径，AB和CD的关系是相互垂直，发现在上下平移AB的过程中，无论AB处于何位置，都存在这样的关系：AE=BE，=，=，因此，我们可以大胆地猜测这样的结论：在O中，AB为圆的任意一条弦，CD为O的一条直径，且ABCD，垂足为点E，则AE=BE，=，=.
赏析？摇 在教学过程中，直接抛出垂径定理的命题让学生运用已有知识去证明，这是以往大多数教师采用的方法――讲授法，但这样就缺失了学生们的自我探究过程. 教学设计中通过两条直径相交，到两直径垂直，再到直径与非直径的弦垂直，给予了学生探究的空间，让学生有了足够的思维时间，体现了学生探究性学习的动态性和发现性，契合了学生的认知规律.
逐步探究，证明定理
1. 引导证明，归纳定理
理论的猜想需要严格的说理论证才能被运用于现实，为了证明我们的猜想，可对上述猜想进行更严谨的理论说明. 上述猜想可以转化成如下题设：
如图7所示，AB是O的任意一条弦，CD为O的一条直径，ABCD，垂足为E，求证：AE=BE，=，=.
分析？摇 要证明AE=BE，题设中已知ABCD，自然想到利用等腰三角形三线合一定理，因此需要构造三角形. 而弧相等可以考虑用圆心角所对应的弧相等或者用对称性来完成.
证明？摇 ①连结AO，BO，则AO=BO.
AO=BOABCD？圯E为AB中点？圯AE=BE.
②由①知OC为∠AOB的平分线？圯∠AOC=∠BOC？圯=.
∠AOC=∠BOC∠COD=∠DOC？圯∠AOD=∠BOD？圯=.
通过上述证明过程，我们可以清晰地归纳出垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧. 数学符号表示为：CDAB，垂足为ECD是圆O的直径，AB为圆O的弦？圯=AE=BE=
2. 巩固定理，探究变式
仔细分析垂径定理，可以发现它的构成包含五个要件：①CD为圆O的直径;②ABCD;③AE=BE;④=;⑤=. 那么如果知晓其中任意两个条件，能否确定其他三者呢？我们需要进一步探究.
探究1？摇 在圆O中，AB为弦（非直径），CD为圆O的直径，且CD过AB的中点E，求证：ABCD;=;=.
【可概括为平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧】
探究2？摇 在圆O中，CD为圆O的直径，AB为圆O的弦，且AB与CD交于点E，=，求证：ABCD;AE=BE;=.
【可概括为平分弦所对劣弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的优弧】
探究3？摇 在圆O中，CD为圆O的直径，AB为圆O的弦，且AB与CD交于点E，=，求证：ABCD;AE=BE;=.
【可概括为平分弦所对优弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的劣弧】
探究4？摇 在圆O中，CD和 AB均为圆O的弦，ABCD于点E，且AE=BE，求证：CD为圆O直径;=;=.
【可概括为圆O的一条弦被另一条弦垂直平分，则此直线为直径，并且此直径平分弦所对的弧】
问：通过以上四个探究过程，你可以找到什么规律？
引导学生发现垂径定理反映的是直径、弦和弧之间的关系，引导学生认识到任意选择垂径定理构成要件中的两个要件，均可以得出其他三个要件.
为了使学生明确垂径定理的构成要件，巩固所学知识，安排图8至图11四幅图让学生判断能否使用垂径定理或其推论.
再次向学生强调垂径定理的运用需要两个条件，缺一不可.
赏析？摇 所谓不愤不启，不悱不发，在教学过程中，应力促学生达到愤悱的状态，然后给予启发，引导学生论证垂径定理. 接着，通过变换垂径定理的条件与结论，让学生自行论证，总结出垂径定理中的五个要件，且只要满足两个就可以得出其他三个这样的规律. 让学生完整无缺地经历垂径定理的知识探究过程，在探究的过程中提升思维的分析能力.
设置命题，运用定理
1. 联系勾股定理，运用于计算
案例1？摇 如图12所示，在圆O中，弦AB的长为24，点O到AB的距离为5，求圆O的半径.
分析？摇 这是垂径定理的使用，根据条件，点O到AB的距离为5，所以要作OCAB，满足条件之一垂直;O为圆心，满足条件之二，OC是过圆心的直线. 根据垂径定理可知C为AB的中点，故BC=12. 要求半径只需连结OB，利用勾股定理.
变式1？摇 如图12所示，OB=5，OC=3，AC=BC，求AB的长.
分析？摇 这是垂径定理推论的使用，根据题设知OC是过圆心的直线，C是AB的中点，满足垂径定理的两个要件，因此可知OCAB，再使用勾股定理可以求解BC，进而求得AB.
思考？摇 圆的弦长为2a，圆心到弦的距离为b，圆的半径为r，则a，b，r三者之间满足什么样的关系？
分析？摇 a，b，r三个字母分别代表半弦长、弦心距和半径，此三条线段组成了一个直角三角形，因此三者满足勾股定理，即a2+b2 = r2.
变式2？摇 如图13所示，在圆O中，AB=16，OCAB于点E，CE=4，求圆O的半径.
分析？摇 根据题设可知，题目条件满足垂径定理，BE=8，设圆的半径为r，则OE=r-4. 根据勾股定理可得r2=（r-4）2+82，解得r=10.
问：现在你能解决赵州桥的半径问题了吗？（解略）
2. 联系几何知识，运用于证明
案例2？摇 如图14所示，在同心圆中，直线分别交大圆与小圆于A，B，C，D四点，求证：AC=BD.
分析？摇 隐去大圆，弦CD是小圆的一个非直径弦，过点O作OECD于点E，可以利用垂径定理，证明CE=DE. 隐去小圆，弦AB为大圆的非直径弦，A，B，C，D在同一直线上，又OEAB，利用垂径定理可得AE=BE. 两式相减可以得到AC=BD.
变式1？摇 图14中隐去大圆或小圆，需要哪些条件才能证明AC=BD？
变式2？摇 如果是三个同心圆，你能证明哪些线段相等？
案例2的目的主要是让学生明确这样一个事实：过圆心作弦的垂线是解决这类问题常用的方法.
学情分析：本节课是在上节课的基础上，根据学生已有的认知水平，通过学习，联系上节课学习的有关知识，进一步提出问题，从上节课过渡到这节课的学习，既培养了学生勤于动脑、勤于思考的好习惯，又激发了学生学习和兴趣和热情。
本节课主要有两方面的内容：（1）圆的对称性。（2）垂径定理及其推论。开始以赵州桥的问题引入课题，带着问题进入学习，圆的轴对称主要通过动手操作和动画演示得出结论，圆是轴对称图形，根据轴对称进一步研究圆中相等的弧、弦得出垂径定理及其推论，利用此定理再去解决赵州桥问题。
教学目标：
知识与技能：（1） 通过观察动画演示、动手操作实验，使学生理解圆的对称性；（2） 掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决的相关的证明与计算问题；（3） 掌握辅助线的作法――作弦心距。
过程与方法：（1） 经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步培养学生观察、分析、归纳概括的能力；（2） 向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。
情感、态度与价值观：结合本课教学特点，在教学过程中培养学生的观察能力、创新意识和良好的运用数学的习惯，培养学生猜想、探究的良好品质。激发学生的好奇心和求知欲，通过合作与交流、共同感受成功的喜悦。
教学重点：（1）理解圆的对称性；（2）掌握垂径定理、推论及其应用；（3）学会应用垂径定理等结论解决一些有关的证明、计算和作图问题。
教学难点：发现并证明垂径定理。
教具准备：圆规、直尺、圆形纸片、等腰三角形纸片、多媒体课件
教学流程
一、设置情境，提出问题
播放赵州桥图片，语音阅读教材第80页“问题”，学生观察图片并思考“问题”中的问题。
教师：要解这一问题，就要用到这节课所学的知识，我们大家一起来共同探究、寻求解决这个问题的数学方法。
二、导入新课，自主探究
（一）圆的轴对称性
学生操作：（1）将一等腰三角形对折。（回忆等腰三角形是轴对称图形，复习轴对称图形的概念。）；（2）将你手中的圆形纸片沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？（学生动手操作，教师观察操作结果）。
教师演示动画（几何画板软件）：（1）等腰三角形对折；（2）圆形纸片沿圆心对折。
提出问题：（1）你发现了什么？（2）由此你得出什么结论？
（教师引导学生通过“实验――观察――猜想”，等待学生表达自己发现的结论 ）
师生共同得出结论：（1）圆是轴对称图形；（2）经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴；（3）圆的对称轴有无数条；（4）圆也是中心对称图形。（教师要注意学生归纳结论时语言的准确性和简洁性）。
教师强调：1、圆有无数条对称轴；2、圆的对称轴是直径所在的直线。
（二）垂径定理及其推论
1、垂径定理
（1）学生操作：学生在自己准备的圆形纸片上作图：①任意作一条弦 AB；②作直径CD垂直弦AB垂足为E。将圆形纸片沿直径CD对折，观察重合部分后，发现有哪些线段相等、弧相等？（2）教师通过几何画板演示，在学生分析、观察的基础上，得出：在圆O中，CD是直径，AB是弦，CD垂直AB于E。那么AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。（教师引导，学生通过观察，思考，交流，发现结论。）；（3）在此基础上让学生自己归纳发现的结论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
板书：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
提出问题：你能结合图形用符号语言表达这个结论吗？
（让学生将文字语言转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系）。
（4）验证垂径定理：
已知：如图，在圆O中，CD是直径，AB是弦，
CDAB于E。
求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。
分析：如图，连接OA、OB，OA=OB。可通过证明RtOAE ≌RtOBE，结合轴对称证明。
（学生观察图形，结合圆的对称性和相关知识进行思考，得出垂径定理，再进行严密的几何证明。）
2、垂径定理的推论
如上图，若直径CD平分弦AB。
提出问题：（1）直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？（2）你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）；（3）如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？
教师引导、学生讨论，并归纳得到：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
提出问题：推论中“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。”为什么不是直径？（教师用几何画板演示，让学生明白为什么“不是直径”的理由）
提出要求：如图，请同学们写出“垂径定理定理“中的题设和结论：
① 直径CD（过圆心）；② CDAB（垂直于弦）；③ AE=BE（平分弦）；④ 弧AC=弧BC（平分弦所对的优弧）；⑤ 弧AD=弧BD（平分弦所对的劣弧）；
教师指导学生明确定理中的题设和结论，初步理解“知二推三”口诀的含义。
（要求每位同学独立写出下列“知二推三”的“题设”和“结论”。）
考点1 圆的对称性
例1 （2013年娄底卷）下列图形，是中心对称图形的是（ ）.
解析：A、C、D不是中心对称图形，B是中心对称图形.选B.
温馨小提示：圆是轴对称图形，又是中心对称图形，与其他图形组合时，要考虑组合图形的对称性.
考点2 垂径定理及其应用
例2 （2013年邵阳卷）如图1所示，某窗户由矩形和弓形组成.已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m.现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径.
解析：根据垂径定理可知
由垂径定理，得
答：所在圆O的半径为.
温馨小提示：在运用垂径定理时，通常把弦长的一半、圆心到弦的距离、半径三者放到同一个直角三角形中，利用勾股定理列方程来求解.
考点3 弧、弦、圆心角的关系以及圆周角定理的应用
温馨小提示：解题时要充分利用各种关系，对角或长度进行转化；当题目中出现直径时，常常要根据直径所对的圆周角是直角作辅助线，利用直角三角形的特点解题.
考点4 直线与圆的位置关系
例4 （2012年无锡卷）已知O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与O的位置关系是（ ）.
A.相切 B.相离 C.相离或相切 D.相切或相交
解析：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d
温馨小提示：比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系，即可判定直线与圆的位置关系. 注意：这里PO的长不一定是圆心O到直线l的距离.
考点5 切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半径.
例5 （2013年咸宁卷）如图3，在RtAOB中，OA=OB=3，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作O的切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 .
温馨小提示：当POAB时，线段PQ最短.当条件中出现圆的切线时，连半径得垂直是常用的辅助线.
考点6 切线的判定与切线长定理
过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；从圆外一点引圆的两条切线，两条切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
例6 （2013年珠海卷）如图4，O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A.
（1）求证：BC为O的切线；
（2）求∠B的度数.
温馨小提示：证明直线是圆的切线时，若已知直线与圆有公共点，通常连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，简述为：连半径，证垂直；若没有给出直线与圆的交点，通常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，简述为：作垂线，证相等.
考点7 三角形的内切圆与外接圆
三角形内切圆的圆心（即三角形的内心）是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等；三角形外接圆的圆心（即三角形的外心）是三角形三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.
温馨小提示：在解决角的计算问题时，要善于利用圆周角定理及其推论转换角.
考点8 圆与圆的位置关系
设A、B的半径分别为R和r（R>r），圆心距为d，则：两圆外离?d>R+r；两圆外切?d=R+r；两圆相交?R-r
温馨小提示：由于两圆没有公共点有外离和内含这两种情况，所以要进行分类讨论；由于P在直线l上运动，所以两圆圆心距的最小值为OD的长.
考点9 正多边形与圆
正n边形的每个内角为，外角都等于.
温馨小提示：由正多边形的边长的一半、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形.
那么,学生在证题时到底是由哪些原因造成思维受阻,产生解题的困惑呢?我们把它归纳为以下几点:
⑴不理解定理是进行推理的依据。其实如果我们把一道完整的几何证明题的过程进行分解,发现它的骨干是由一个一个定理组成的。而学生书写的不完整、不严密,就因为缺乏对定理必要的理解,不会用符号语言表达,从而不能严谨推理,造成几何定理无法具体运用到习题中去。
⑵找不到运用定理所需的条件,或者在几何图形中找不出定理所对应的基本图形。具体表现在不熟悉图形和定理之间的联系,思考时把定理和图形分割开来。对于定理或图形的变式不理解,图形稍作改变(或不是标准形),学生就难以思考。
⑶推理过程因果关系模糊不清。
针对以上的原因,我们在教学中采取了一些自救对策。
一、教学环节
对几何定理的教学,我们在集中讲授时分5个环节。第1、2 环节是理解定理的基本要求;第3 环节是基本推理模式,第4 环节是定理在推理过程中的呈现方式,提出了“模式+定理”的书写方法;第5 环节是定理在解题分析时的导向作用,提出了“图形+定理”的思考方法。程序图设计如下:
基本要求 重新建立表象 推理模式 组合定理 联想定理
二、操作分析和说明
⒈ 定理的基本要求
我们认为,能正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写,因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我们采取了“一划二画三写”的步骤,让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求,并重新整理了初中阶段的定理(见附页,此只列出与本文有关的定理),集中展示给学生。
例如定理43:直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。
一划:就是找出定理的题设和结论,题设用直线,结论用波浪线,要求在划时突出定理的本质部分。
如:“直角三角形”和“高线”、“相似”。
二画:就是依据定理的内容,能画出所对应的基本图形。
如:
三写:就是在分清题设和结论的基础上,能用符号语言表达 ,允许采用等同条件。
如:ABC是Rt,CDAB于D(条件也可写成:∠ACB=90°,∠CDB=90°等) ACD∽BCD∽ABC 。
学生在书写时果然出现了一些问题:
①不理解每个定理的条件和结论。学生在书写时往往漏掉条件(如定理19漏掉垂直,定理46漏掉高、中线等);对条件太简单的不会写(如定理3);或者把条件当成结论(如定理12把三线都当成结论)。
②还表现在思维偏差。我们的要求是会用定理,而有些学生把定理重新证明一遍(如定理5、6);或者在一个定理中出现 ××,又××,××的错误。
③更多的是没有抓住本质。具体表现在把非本质的条件当成本质条件(如定理7出现 ∠1 和∠2是同位角,AB∥CD);条件重复(如定理49,结论∠APO=∠BPO已经包括过圆心O,学生在条件中还加以说明);图形过于特殊(如把定理1的图画成射影定理的基本图形);文字过多(一些定理译不出符号语言,用文字代替)等。
⒉ 重新建立表象
从具体到抽象,由感性到理性已成为广大数学教师传授知识的重要原则。“表象”就是人们对过去感知过的客观世界中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形象,具有一定的鲜明性、具体性、概括性和抽象性。由于几何的每一个定理都对应着一个图形,这给我们在教学中提供了一定的便利。我们要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上,而是让学生有意识的记图形,想图形,以形成和唤起表象。我们认为,这对于理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用。
教给学生想形象的基本方法后,我们接下去的步骤是用实例引导学生,下面是一段经整理后的课堂教学主要内容:
⑴ 问:听了老师的介绍后,你怎样回忆垂径定理的形象?
答:垂径定理我在想的时候,脑子里留下“两条等弧、两条相等的线段、一个直角”在一闪一闪的,以后看到弧相等或其他两个条件之一,脑子里就会浮现出垂径定理。
目的:建立单个定理的表象,要求能想到非标准图形。
继续问:看到弧相等,你们只想到了垂径定理,其他的定理就没有想起来吗?
答:想到了圆心角相等、圆周角相等、弦相等……
甚至有学生想到了两条平行弦……
目的:通过表象,进行联想,使学生理解定理间的联系。
⑵ 问:从定理21开始,你能找出和它有联系的定理吗?
答:有定理22(擦短使平行直线变成线段),定理25(特殊化成菱形),定理27……
目的:一般化或特殊化或图形的平移、旋转等变化,加深定理间的联系。
⑶下面的步骤,我们让学生自主思考。学生在不断尝试的过程中,通过比较、分析、判断,进一步熟悉定理的三种语言、定理之间的联系和区别。从学生思考的角度看,他们主要是在寻找基本图形,由于定理之间有一定的联系,在一个基本图形中往往存在着另一个残缺的基本图形,所以学生大多通过连线、延长、作圆、平移、旋转等手段,也有通过特殊化、找同结论等途径把不同的定理联系起来。
下面摘录的是学生自主思考后,得到的富有创意性的结论。
关键词：数学教学； 质疑意识
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2013）02-008-002
“问渠哪得清如许，为有源头活水来。”学生在学习数学的过程中，思维的积极参与是新课程教学目标有效达成的必然要求，因此如何调动学生学习思维，让学生处于一种积极的学习状态，是数学老师需“时刻准备着”的命题。问题是学生思维的引擎，问题是教学精彩的亮点，质疑是达成教学目标的生成点。那么，如何激发学生的质疑意识，活用质疑意识，使之成为教学中的亮点呢？
一、在“生活感知区”激发学生的质疑意识
数学知识源于生活，高于生活，应用于生活。教材知识对学生来讲是无声的、静态的、理性的，每一个概念、定理、方法因抽象而让学生觉得陌生。“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，对所学知识都通过学生的“躬行”来掌握是不现实的。“教育即生活”，“生活即教育”，要让学生有效掌握知识，必须尽可能地依托学生生活的具体景象，把对知识的理解与领会还原到学生的“现实生活感知区”。
教学片段1
1：九年级上册3.2节《圆的轴对称性》，学习的重点是体现圆轴对称性的垂径定理，而垂径定理也是这章的一个重点，但书本上才寥寥数行，看了让同学感到很陌生和抽象、生硬，从心理上就和同学拉远了距离。为了激发学生积极投入到探究垂径定理的活动中去，我特意安排了一个体验式探究活动：
情境1：上课伊始，教师就和同学们先聊对圆的认识，因为圆是同学们从小到大，最熟悉、最有感性的图形之一，同学们很有发言权，“是圆的；有圆心、有半径；会滚动的……”；说了很多，甚至有同学也提到了是中心对称图形、轴对称图形，看上去同学们都很轻松，自信，微笑浮在脸上。
师：随手拿起一位同学桌上的饮料瓶，问：“这盖子为什么做成圆的？”又看到另一位同学桌上有个不锈钢杯子就问：“这杯盖为什么也做成圆的？”
生：同学们先是一楞，心想怎么问这么简单的问题，有的说圆漂亮、美观；有的说加工方便；有的说能在地上滚动；等等，五花八门，但叽叽喳喳说不到要点。
师：又追问：“你想想，很多容器的盖子也是圆的，那为什么呢？”“这其中有什么数学原理吗？”
情境2：这下教室里像炸开了锅，有几个同学抓耳挠腮，脸涨得通红，这么熟悉的东西却答不好，教师的连续追问把同学们逼得恨死了自己，有口说不清，巴不得把心掏出来给你看，同时同学们的眼神里都流露出了强烈的求知欲，头抬得老高，目光炯炯。
情境3：教师轻轻闭上眼睛，左手拿起一个饮料瓶，右手摸起一个瓶盖，很自然地就把瓶盖放到瓶口上，慢慢旋转，转紧，再睁开眼睛，此时教室里非常安静。
师：顿了一下，一字一句地说：“盖子做成圆的，最大原因是使用――方便！”
生：“方便！？”同学们有些诧异。
师：“对，方便，刚才老师闭眼都能完成，你们也能轻松完成，假如瓶盖做成方的，那怎么样？就比较麻烦了。”
生：恍然大悟状
师：“那么这当中蕴含什么数学道理呢？你们看，圆绕它的圆心旋转任何角度，都能跟原来这个圆怎么样？”
生：“重合。”同学们齐声回答到。
师：提高了声音：“这个就是圆的旋转不变性！圆绕它的圆心旋转任何角度，都能跟原来这个圆重合，这是我们今天学习圆的第一条特性。”转身用力在黑板上写下了“旋转不变性”五个字。
师：“那么我们熟悉的圆有没有另外性质呢？”
通过这个体验式质疑探究活动，同学们的思维被激活，一系列追问而无法回答，极大激发了他们探究的欲望，有几个同学抓耳挠腮，脸涨得通红；教师轻轻闭上眼睛，左手拿起一个饮料瓶，右手摸起一个瓶盖，很自然地就把瓶盖放到瓶口上，慢慢旋转，转紧，再睁开眼睛，此时教室里非常安静，顿了一下，一字一句地说，提高了声音等神态动作也强烈吸引了学生的目光，增加了学习兴趣。至此，再安排学生进行垂径定理的探究活动，同学们已经具备了高涨的热情，学习的积极性、主动性充分展现出来。最后，同学们这堂课探究、学习下来，高效地达成了教学目标，抽象的垂径定理在以后的学习实践中也证明掌握得很不错。
二、在书本的“知识生成区”激发学生的质疑意识
教材知识是螺旋式上升或波浪式行进的，在知识的发生发展过程中，知识有自身内在的自然生成地带。在这一地带有多少知识点，哪些是重点、难点、疑点，每个知识点在学科知识链上的作用，老师通过认真备课应先知先觉，其中重点、难点、疑点所在的位置就是笔者所指的“知识生成区”。
教学就是教师通过“教”的行为来指导学生完成“学”的任务。由于学生的认知能力有限，再加上现在的浙教版教材叙述比较简略，学生难以“钻进”教材，看不到知识主要生成区中所蕴涵的“敏感地带”，也难以“跳出”教材，看不到知识主要生成区中可发展的“动感地带”，需要充分发挥教师的教学智慧，教师根据教材的知识情景，依据教学内容向学生提出需要解决的问题，用问题吸引、集聚学生的思维。静态的知识结论建立在动态的思考之上，抽象的知识建立在形象的感知之上，学生在感受知识的产生和发展中，教学重点得以突出，难点得以突破，疑点得以化解。
教学片段2
九年级上册3.2节《圆的轴对称性》的例3，问题情境较为复杂，是本节教学的难点，所以根据昨天生成的知识，先出示一道复习题，以作铺垫。
（1）如图1是一条排水管的截面图，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
生：作OCAB交于点C，由垂径定理得：AC=BC=1/2AB=0.5×16=8
师生：这类问题往往可作弦心距、连半径，关键是通过垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理求解。
（2）例3、1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图2）的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对是弦的长）为37.2m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.23m，求桥拱的半径（精确到0.01m）
师：引导学生读题，观察图片，对题中的一些专有名词作解释，并把图形简化成图3；弧AB表示桥拱，C为弧AB的中点。
师：“凭图3这个图形能解决问题吗？”“这个题与刚才复习题有相似之处吗？”
生：“添辅助线，设桥拱所在的圆的圆心为O，连结OA、OB、OC，交AB于点D（图4）”
师：“哪些线段的长是已知的？”
生：“CD和AB知道，也能算出AD。”
师：“AD长多少，为什么？”
生：“垂径定理，AD=1/2AB=18.51。”
师：“垂径定理往往能构造什么？”
生：“直角三角形OAD，AD知道，设半径为R，OD――”
师：“OD的长能否用R来表示？”得到肯定回答后，追问：“怎么样表示？”（OD的表示是个难点）生：OD=OC-DC=（R-7.23）
师：“怎么求R呢？”
生：“勾股定理呀！”
师：“对，利用方程思想，把勾股定理当等量关系，求出未知数R。”
师生：在RtOAD中，OA2=OD2+AD2，R2=18.512+（R-7.23）2 R≈27.31
（3）变式练习：如图，破残的轮片上，
1）弓形的半径OA为10cm，高CD为4cm，求轮片的弦AB；
2）弓形的弦AB为4cm，高CD为1cm，求直径和弦心距OD。
当新的知识生成后，同学们都比较轻松地完成了变式练习。
三、在“最近发展区”激发学生的质疑意识
日有所学，日有所进。教学在承前启后、继往开来的进程中会不断生成学生的“最近发展区”。
教学片段3
在《二次函数的应用》教学时，教师出示了一道例题：
例：某企业信息部进行市场调研发现：
信息1：如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：yA=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元；
信息2：如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：yB=ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元。
请分别求出上述的正比例函数解析式与二次函数解析式；如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？
情境1：同学们阅读理解了信息1和信息2后，根据已掌握的求函数解析式水平，通过待定系数法，顺利地求出正比例函数解析式yA=0.4x，二次函数解析式yB=-0.2x2+1.6x，解第（2）题时，由于前段时间求二次函数最大、最小值练习较多，比较熟练，有些反应快的同学马上形成一种解法。
生1：（师称之为桂厂长，全班大笑，但很多人马上跃跃欲试）
“先用二次函数顶点公式求得当x=4（万元）时，yB有最大值3.2（万元），本金余下6万元投资A种产品，代入yA=0.4x，求得yA=2.4（万元），即A、B两种产品分别投资6万元和4万元，获得最大利润有5.6万元。”
师：“桂厂长头脑灵活，赚了5.6万元，不少哇！”赢得了不少同学的掌声。
师：“桂厂长B种产品投资4万元，B种产品产生最大利润2.4万元，但A种产品这时是否也产生最大利润？”
生：“yA=0.4x是正比例函数，好象没有最大值。”有同学自言自语。
师：“我们要投资A、B两种产品，是总投资的最大利润吧。”
生2（很快）质疑：“桂厂长（笑）的投资方法，两种投资不一定同时取到最大利润。”
生3：（师称之为羊总）把两种利润yA，yB相加，即
y=yA+yB=0.4x+（-0.2x2+1.6x）=-0.2x2+2x，当x=5（万元）时，有最大利润5万元。
情境2：羊总立即遭到同学们的质疑，否定声一片，两种利润yA，yB的自变量不一样的，不都是x，而且比桂厂长少，同学们的争论不息。
生4：（同学称之为蒋董事长）
y=yA+yB=0.4（10-x）+（-0.2x2+1.6x）=-0.2x2+1.2x+4，当x=3（万元）时，有y最大=5.8（万元），即A、B两种产品分别投资7万元和3万元，获得最大利润有5.8万元。
生：蒋董事长最精明。
师：同学们不用急，只要认认真真做人，踏踏实实学习，都能大有作为。
生：一片沸腾，兴高采烈。
学习就是为了更好地解决生活中存在的问题，更好地体验生活。“桂厂长、羊总、蒋董事长”的称呼，活跃了课堂气氛，也感受了父母的不容易：“桂厂长B种产品投资4万元，B种产品产生最大利润2.4万元，但A种产品这时是否也产生最大利润？”“yA=0.4x是正比例函数，好象没有最大值，有同学自言自语。”教师的巧妙设问，引起同学们的共鸣，产生质疑：“羊总立即遭到同学们的质疑，否定声一片，两种利润yA，yB的自变量不一样的，不都是x，而且比桂厂长少，同学们的争论不息。”“一片沸腾，兴高采烈”等等都为学生“最近发展区”的生成和升华奠定了基础。在这个探究学习过程中，教师作为学习活动的组织者、合作者、引导者，积极组织学生质疑、思考、辩论，相互启迪，通过交流、讨论和评价，通过个人反思、同化或顺应的方式，促进学生这个学习主体进一步梳理自己对知识的感知，使得对知识体验得到进一步深入，使其掌握本质，理解本质，在质疑思考中，得到体验内化，循序渐进，不断形成新的知识发展区。
总之，数学教学目标的达成，离不开质疑意识的激发。提出有质量的具体问题是教师教学智慧之花的结晶，是质疑意识激发的第一步。有质量的问题只有在有质量地运用后，才能充分体现它的价值所在。“学贵有疑，思源于疑”，向最广大的学生激发质疑意识，深入了解学生，顺应学生认知发展的规律，把有效生成问题和有效运用问题结合起来，以所设问题为媒介，开展师生互动或生生互动，在师生思维互动中得到体验，在质疑体验中得到巩固提高，使书本知识得以落实，学生综合能力得以发展，新课程的教学目标才能得以达成。
参考文献：
[1]裴光亚.教学的智慧，中学数学教学参考
[2]张琳龄.问题教学法对学生创造力的培养，选择教育
关键词：建立表象、组合定理、联想定理
教师在教途上并不是一帆风顺的，尤其在农村中学，有时由于教学上的需要，往往到了初三，也会出现面对陌生学生的情况。笔者今年就遇到了尴尬：几何证明题学生会证的，却不会书写或书写不完整；知道步骤的原因和结论，但讲不出定理的内容；更多的学生面对几何题在证明时凭感觉。面对着时间紧、任务重，怎么办呢？经过一番苦思冥想，针对学生基础差、底子薄，决定狠抓“定理教学”。通过一段时间的复习，学生普遍反映在证题和书写时有了“依靠”，也发现了定理的价值，基本树立了“用定理”的意识。
那么，学生在证题时到底是由哪些原因造成思维受阻，产生解题的困惑呢？我们把它归纳为以下几点：
⑴不理解定理是进行推理的依据。其实如果我们把一道完整的几何证明题的过程进行分解，发现它的骨干是由一个一个定理组成的。而学生书写的不完整、不严密，就因为缺乏对定理必要的理解，不会用符号语言表达，从而不能严谨推理，造成几何定理无法具体运用到习题中去。
⑵找不到运用定理所需的条件，或者在几何图形中找不出定理所对应的基本图形。具体表现在不熟悉图形和定理之间的联系，思考时把定理和图形分割开来。对于定理或图形的变式不理解，图形稍作改变（或不是标准形），学生就难以思考。
⑶推理过程因果关系模糊不清。
针对以上的原因，我们在教学中采取了一些自救对策。
一、教学环节
对几何定理的教学，我们在集中讲授时分5个环节。第1、2环节是理解定理的基本要求；第3环节是基本推理模式，第4环节是定理在推理过程中的呈现方式，提出了“模式＋定理”的书写方法；第5环节是定理在解题分析时的导向作用，提出了“图形＋定理”的思考方法。程序图设计如下：
基本要求重新建立表象推理模式组合定理联想定理
二、操作分析和说明
⒈定理的基本要求
我们认为，能正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写，因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我们采取了“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求，并重新整理了初中阶段的定理（见附页，此只列出与本文有关的定理），集中展示给学生。
例如定理43：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。
一划：就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分。
如：“直角三角形”和“高线”、“相似”。
二画：就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。
如：
三写：就是在分清题设和结论的基础上，能用符号语言表达，允许采用等同条件。
如：ABC是Rt，CDAB于D（条件也可写成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)ACD∽BCD∽ABC。
学生在书写时果然出现了一些问题：
①不理解每个定理的条件和结论。学生在书写时往往漏掉条件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中线等）；对条件太简单的不会写（如定理3）；或者把条件当成结论（如定理12把三线都当成结论）。
②还表现在思维偏差。我们的要求是会用定理，而有些学生把定理重新证明一遍（如定理5、6）；或者在一个定理中出现××，又××，××的错误。
③更多的是没有抓住本质。具体表现在把非本质的条件当成本质条件（如定理7出现∠1和∠2是同位角，AB∥CD）；条件重复（如定理49，结论∠APO＝∠BPO已经包括过圆心O，学生在条件中还加以说明）；图形过于特殊（如把定理1的图画成射影定理的基本图形）；文字过多（一些定理译不出符号语言，用文字代替）等。
⒉重新建立表象
从具体到抽象，由感性到理性已成为广大数学教师传授知识的重要原则。“表象”就是人们对过去感知过的客观世界中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形象，具有一定的鲜明性、具体性、概括性和抽象性。由于几何的每一个定理都对应着一个图形，这给我们在教学中提供了一定的便利。我们要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上，而是让学生有意识的记图形，想图形，以形成和唤起表象。我们认为，这对于理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用。
教给学生想形象的基本方法后，我们接下去的步骤是用实例引导学生，下面是一段经整理后的课堂教学主要内容：
⑴问：听了老师的介绍后，你怎样回忆垂径定理的形象？
答：垂径定理我在想的时候，脑子里留下“两条等弧、两条相等的线段、一个直角”在一闪一闪的，以后看到弧相等或其他两个条件之一，脑子里就会浮现出垂径定理。
目的：建立单个定理的表象，要求能想到非标准图形。
继续问：看到弧相等，你们只想到了垂径定理，其他的定理就没有想起来吗？
答：想到了圆心角相等、圆周角相等、弦相等……
甚至有学生想到了两条平行弦……
目的：通过表象，进行联想，使学生理解定理间的联系。
⑵问：从定理21开始，你能找出和它有联系的定理吗？
答：有定理22（擦短使平行直线变成线段），定理25（特殊化成菱形），定理27……
目的：一般化或特殊化或图形的平移、旋转等变化，加深定理间的联系。
⑶下面的步骤，我们让学生自主思考。学生在不断尝试的过程中，通过比较、分析、判断，进一步熟悉定理的三种语言、定理之间的联系和区别。从学生思考的角度看，他们主要是在寻找基本图形，由于定理之间有一定的联系，在一个基本图形中往往存在着另一个残缺的基本图形，所以学生大多通过连线、延长、作圆、平移、旋转等手段，也有通过特殊化、找同结论等途径把不同的定理联系起来。
下面摘录的是学生自主思考后，得到的富有创意性的结论。
①定理16（延长中线成矩形）定理24（作矩形的外接圆）定理34。
②定理51（一线过圆心，且两线垂直）定理36（一线平移成切线）定理47、48（绕切点旋转）定理50。
③如下图，把EF向下平移（或绕A点旋转），使定理37和50联系起来（有同结论∠α＝∠D）：
⒊推理模式
从学生各方面的反馈情况看，多数学生觉得几何抽象还在于几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢？为此，我们在二步推理的基础上，经过归纳整理，总结了三种基本推理模式。
具体教学分三个步骤实施：
⑴精心设计三个简单的例题，让学生归纳出三种基本推理模式。
①条件结论新结论（结论推新结论式）
②新结论（多个结论推新结论式）
③新结论（结论和条件推新结论式）
⑵通过已详细书写证明过程的题目让学生识别不同的推理模式。
⑶通过具体习题，学生有意识、有预见性地练习书写。
这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框架，在具体书写时有一定的模式，有效地克服了学生书写的盲目性。但教学表明学生仍然出现不必要的跳步，这是什么原因呢？我们把它归结为对推理的因果关系不明确、定理是推理的依据和单位不明白。因而我们根据需要，又设计了以下一个环节。
⒋组合定理
基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。
下面通过一例来说明这一步骤的实施。
例1：已知如图，四边形ABCD外接O的半径为5，对角线AC与BD相交于E，且AB＝AE·AC，BD＝8。求BAD的面积。（2001年嘉兴市质量评估卷六）
证明：连结OB，连结OA交BD于F。
学生从每一个推测符号中找出所对应的定理和隐含的主要定理：
比例基本性质S/AS/证相似相似三角形性质垂径定理勾股定理三角形面积公式
由于学生自己主动找定理，因而印象深刻。在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的，也让学生体会到把定理（不排除概念、公式等）镶嵌在基本模式中，就能形成严密的推理过程。此时，可顺势布置以下的任务：给出勾股定理，你能再结合一个或多个定理，构造图形，并编出证明题或计算题吗？
实践表明：经过“模式＋定理”书写方法的熏陶后，学生基本具备了完整书写的意识。
⒌联想定理
分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式，通过作辅助线构造出定理的基本图形，为运用定理解决问题创造条件。图形固然可以引发联想（这也是教师分析几何证明题、学生证题的基本方法之一），但对于识图或想象力较差的学生来说，就比较困难，他们往往存有疑问：到底怎样才能分解出基本图形呢？在复杂的图形中怎样找到所需要的基本图形呢？因而我们从另一侧面，即证明题的“已知、求证”上给学生以支招，即由命题的题设、结论联想某些定理，以配合图形想象。
例：如图，O1和O2相交于B、C两点，AB是O1的直径，AB、AC的延长线分别交O2于D、E，过B作O1的切线交AE于F。求证：BF∥DE。
讨论此题时，启发学生由题设中的“AB是O的直径”联想定理“直径所对的圆周角是90°”，因而连结BC；“过B作O的切线交AE于F”联想定理“切线的性质”，得出∠ABF＝90°。从而构造出基本图形②③。
由命题的结论“BF∥DE”联想起“同位角相等，两直线平行”定理，构造出基本图形④。将上述基本图形②③④的性质结合在一起，学生就易于思考了。
这一环节我们的引导语有：“由已知中的哪一个条件，你能联想起什么定理？”、“条件组合后能构成哪个定理？”、“有无对应的基本图形？”、“能否构造出基本图形？”等。目的是让学生树立起“图形＋定理”的思考方法，把以前的无意识思考变成有目的、有意识的思考。
三、几点认识
复习的效果最终要体现在学生身上，只有通过学生的自身实践和领悟才是最佳复习途径，因此在复习时，我们始终坚持主体性原则。在组织复习的各个环节中，充分调动学生学习的主动性和积极性：提出问题让学生想，设计问题让学生做，方法和规律让学生体会，创造性的解答共同完善。
“没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”（弗赖登塔尔）。我们认为传授方法或解答后让学生进行反思、领悟是很好的方法，所以我们在教学时总留出足够的时间来让学生进行反思，使学生尽快形成一种解题思路、书写方法。
集中讲授能使学生对几何定理的应用有一定的认识，但如果不加以巩固，也会造成遗忘。因而我们也坚持了渗透性原则，在平时的解题分析中时常有意识地引导、反复渗透。
参考资料：
①高三数学第二轮复习的理论和实践孟祥东等《中学数学教与学》2001、3
②全国初中数学教育第十届年会论文集P380、P470
附录：初中数学几何定理集锦（摘录）
1。同角（或等角）的余角相等。
3。对顶角相等。
5。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
6。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。
7。同位角相等，两直线平行。
12。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。
16。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
19。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。
21。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。
22。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。
24。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。
25。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
27。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
34。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。
36。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
43。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。
46。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。
37．圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。
47。切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
48。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。②圆的切线垂直于经过切点的半径。③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
49。切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。
大家常说“数学好的人聪明”这句话的逆命题是“聪明的人数学都好”可现实中这两个事件都是随机事件。那么那些不见得聪明的人又是怎样学好数学的呢？原因是他们掌握了比较好的学习方法。下面给大家以下几点建议：
一、找准“五点”，精心预习
在预习时要有目标，找到本节内容的“重点、难点、知识点、考点、衔接点”。预习中，学生通过阅读教材结合配套练习自己定出本节内容的重点。例如：学习单项式这一部分，教材通过很多的实例得出，像这样的式子就是单项式，并且练习也都是在判断是否是单项式，因此本节的重点就可以定为单项式的概念；在预习中遇见的看不懂的语句、例题定为难点，也就是在预习中找到自学不懂的东西，记下来，第二天听课时带着问题听课，有目标就有了听课的动力；数学的大多数内容中都有新的概念、定理、性质、判定等，这些内容视为知识点.预习时对他们进行剖析，想一想这个概念中哪些字或者词是关键的，它为什么关键。就算定错了关键词也不会是什么坏事。例如：单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，（单独的一个数或一个字母也叫做单项式。）中有的学生就会认为关键的词是“数”和“字母”而错误地认为只要有数字，有字母的代数式就是单项式，而在后面的阅读例题过程中他又会发现，不是这么回事，最终确定出正确的关键词“积”，学生从而体会成功的喜悦；预习过程中完成教材上设计的练习，思考练习的侧重点是练的什么，如上面单项式这一节的练习就是判断下列各式是否是单项式，那么这就是本节的考点。阅读完教材再思考一下，这节内容和我们前面学的什么内容有联系，或者在解决这节的练习中还要用到前面的哪些知识点，将这些定为“衔接点”。
二、把握方法，用心上课
上课时到底要注意什么呢？首先要听，老师讲解概念时，注意听概念的关键点，前提条件，听预习时似懂非懂的还存在疑惑的地方.例如一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，老师会讲到四个关键点：①只含有一个未知数②未知数项的最高次数是2③等号的左右两边必须是整式④前提条件它是方程，听懂了这几个关键点一元二次方程的定义及相关的练习就没有什么问题了；老师讲解例题时听方法技巧，解题思路，数学思想。同时要听同学的精彩回答，巧妙提问；例如证明圆周角和圆心角的关系时，通过老师的引导，学生可以画图得出它们的三种位置关系，证明时老师会重点讲解其中的一种情况，其他的两种情况老师会引导学生利用“化归的数学思想”来解决，期间渗透“分类的数学思想”学生在听课时注重听这两个思想方法，学会的就不是这一道题，而是这一类型的题目的解决方法；然后要看，看老师的解题格式、画图方法；同时，要多想，学会思考，与教师进行思想对话，使自己的思路跟着老师讲课的思路走，在理解上下功夫，要注意把握知识的来龙去脉和“系统”线索；最后要写，记下老师有代表性的补充例题，写教师讲授的重点，抄有价值的板书，跟着老师写计算步骤，证明过程，把问题不要只停留在想和说要进行写和算。会做不代表能做对，很多题目的易错点只有在做后才会发现。很多丢分的题目往往是那些一看就会一坐就错的“简单题”例如在讲解实际问题与二次函数一节的例题：某体育用品店购进一批滑板，每件进价100元，售价130元，每星期可卖出80件，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件，（1）求商家降价前每星期的销售利润；（2）降价后，商家要是每星期的销售利润最大，应将售价定为多少？最大利润是多少？首先要思考这是一个什么类型的问题，当看到问题是求销售利润时，确定利润的等量关系式是利润=售价-进价，总利润=一件的利润×件数，这时只有通过学生自己动手列式，才会发现“降价后的件数”如何表示是一个难点，在老师的讲解时就会带着问题听课。
三、养成习惯， 有效练习
认真独立完成，解题格式正确，步骤完整的前提下，新课的练习题，有针对性的写上本题考察的知识点。例如二次函数y=a（x-h）2的性质的练习中有这样一道题：抛物线y=-2x2向下平移2个单位得到抛物线________， 再向上平移3个单位得到抛物线____________； 若向左平移2个单位得到抛物线_____________，向右平移2个单位得到抛物线_______________.可以写上“Y=ax2通过‘上加下减’可以得到Y=ax2+k形式，通过‘左加右减’可以得到y=a（x-h）2形式的，将‘上加下减，左加右减’结合起来可以得到y=a（x-h）2+k形式的二次函数。其中 ‘上下’移动的是k，‘左右’移动的是h.” .订正时写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，总结出易错点；做发散题时，尽可能多的写出它的结果，培养一题多解、一题多变的能力。复习的练习，要总结归纳各种题型的解题思路，掌握一般的解题规律。再找一些课外的习题，以帮助拓展思维，提高自己的分析、解决问题能力。并且平时要养成步骤完整、验算、规范作图、数形结合的解题习惯。
四、课后复习，形成网络
复习是对知识的识记、掌握、巩固、深化、提高和迁移的过程。通过复习进行总结，归纳章节内容，列出知识之间的相互联系，有助于知识的条理化、系统化，有助于学生逻辑思维能力及综合能力的提高。在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。如在复习“垂径定理时可以总结，垂径定理及推论的四个应用：1.计算线段的长度：常利用半径、弦长的一半、圆心到弦的距离构造直角三角形，结合勾股定理进行计算。2.证明线段相等：根据垂径定理平分线段推导线段相等。3.证明等弧。4.证明垂直：根据垂径定理的推论证明线段垂直。运用所学知识，不断开拓创新。数学有很强的联贯性，新旧知识之间并没有不可逾越的鸿沟。如在复习“图形的旋转”时可以总结到目前为止，我们所学习的图形变换有“平移、翻折、旋转”对它们的相同点和不同点进一步区分。因此借书本知识，进行联想，不但可以增强钻研兴趣，而且能培养创造性思维能力。
老师们常说“教有法而无定法”其实学习也一样。每个学生的背景不同，基础不同，课堂习惯不同，个体都有差异，因此需要根据具体情况找到适合自己的方法，适合的就是最好的学习方法。
1. 点与圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外？圳d>r；点在圆上？圳d=r；点在圆内？圳d
2. 直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交？圳dr.
3. 圆与圆的位置关系
（1）同一平面内两圆的位置关系：
①相离，如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离.
②若两个圆心重合，半径不同，则两圆是同心圆.
③相切，如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切.
④相交，如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交.
（2）圆心距，两圆圆心的距离叫圆心距.
（3）设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则
①两圆外离？圳d>R+r；此时两圆共有4条公切线；
②两圆外切？圳d=R+r；此时两圆共有3条公切线；
③两圆相交？圳R-r
④两圆内切？圳d=R-r（R>r）；此时两圆共有1条公切线；
⑤两圆内含？圳dr）；此时两圆共有0条公切线.
注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆.
4. 切线的性质和判定
（1）切线的定义：直线和圆有唯一公共点称直线和圆相切，此时这条直线叫做圆的切线.
（2）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径.
（3）切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
弧长、扇形的面积和圆锥侧面积
1. 弧长公式：l=·n（n为圆心角的度数，R为圆的半径）
2. 扇形的面积公式S=（n为圆心角的度数，R为圆的半径）.
3. 圆锥的侧面积S=πRl，（l为母线长，R为底面圆的半径），圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积.
1. 如图1所示，O的直径CDAB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为（ ）
A. 25° B. 30° C. 40° D. 50°
答案 A.
考点关键词 本题目考查圆心角定理、圆周角定理以及垂径定理. 由CDAB可知∠AOC=∠BOC=50°，所以∠CDB=25°.
2. 如图2所示，已知AB为O的直径，点C在O上，∠C=15°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
答案 B.
考点关键词 本题目考查圆心角定理、圆周角定理以及等腰三角形的性质.由∠C=15°得∠A=15°，所以∠BOC=30°.
3. 已知圆O、圆O的半径不相等，圆O的半径为3，若圆O上的点A满足AO=3，则圆O与圆O的位置关系是（ ）
A. 相交或相切 B. 相切或相离
C. 相交或内含 D. 相切或内含
答案 A.
考点关键词 本题目考查了圆与圆的位置关系，下面是4种关系，还有其他关系吗？
4. 一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的弧长为________（结果保留π）.
答案 π.
考点关键词 本题目考查了弧长公式.与圆有关的计算一直是中考考查的重要内容，主要考点有：弧长和扇形面积及其应用，扇形弧长可用公式l=求得，由于本题n=90°，r=2，因此这个扇形的弧长为π.
5. 如图4所示，BD是O的直径，OAOB，M是劣弧上一点，过点M点作O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点.
（1）求证：PM=PN.
（2）若BD=4，PA=AO，过点B作BC∥MP交O于C点，求BC的长.
答案 （1）连结OM， 因为MP是O的切线，所以OMMP.所以∠OMD+∠DMP=90°. 因为OAOB，所以∠OND +∠ODM=90°. 又因为∠MNP=∠OND，∠ODM=∠OMD，所以∠DMP=∠MNP，所以PM=PN.
（2）设BC交OM于点E，BD=4，OA=OB=BD=2，所以PA=OA=3. 所以PO=5 . 因为BC∥MP，OMMP，所以OMBC，BE=BC. 因为∠BOM+∠MOP=90°，在RtOMP中，∠MPO+∠MOP=90°，所以∠BOM=∠MPO. 又因为∠BEO=∠OMP=90°. 所以OMP∽BEO. 所以=，进而=，所以BE=. 所以BC=.
考点关键词 本题目主要考查了圆的切线、勾股定理、相似三角形.首先作辅助线OM，证明PM=PN，再利用勾股定理求出PO的长度，最后利用三角形相似列出比例关系即可求出BC的长.
6. 如图5所示，O的半径为1，点P是O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A，B不重合），DEAB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作D，分别过点A，B作D的切线，两条切线相交于点C.
（1）求弦AB的长.
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由.
（3）记ABC的面积为S，若=4，求ABC的周长.
答案 （1）连结OA，取OP与AB的交点为F，则有OA=1. 因为弦AB垂直平分线段OP，所以OF=OP=，AF=BF. 在RtOAF中，因为AF===，所以AB=2AF=.
（2）∠ACB是定值. 由（1）易知，∠AOB=120°，因为点D为ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB=2∠DAE，∠CBA=2∠DBA，因为∠DAE+∠DBA=∠AOB=60°，所以∠CAB+∠CBA=120°，所以∠ACB=60°.
关键词：数学课堂，教材处理
我们备课、上课，都要对教和学的内容进行编排处理，不能照本宣科。教师要像导演，细心琢磨，使演员进入角色，创造性地发挥其表演才能。教师对课堂教学的组织，对教和学的内容的编排，就是要调动起每一个学生的热情，使学生成为学习的主人。
1教材处理的目的和做法
教材处理常基于以下四个目的：启发性、适应性、巩固性、激发性，围绕目的，确定处理方法。
1．1启发性目的
教科书，适宜的叙述方式当然是直述式。而教师，不但要学生掌握知识，更重要的开发学生智力，培养学生的多种能力。为帮助学生寻找正确的思路，架设发现和获取知识的阶梯，这就是处理教材的启发性目的。围绕这一目的，通常是把一些直述式的知识设计成一个个富有启发性的思考题，让学生自己去发现知识。如垂径定理的推论，教科书是直述的，而我们可以从分析垂径定理入手，其题设和结论共涉及五条，其中两条作题设，三条是结论，能不能用五条中的任意两条作题设，都可推出其余三条结论呢？学生就忙着一个个地写出命题，并逐个去论证。这就调动起了学生的思维，并积极参与教学，使他们感觉到是自己发现了这些推论，涌起一股成功的自豪感。
1.2适应性目的
教师的一个重要作用是为学生排“忧”解“难”，而备课中的备教材、备学生，就是把学生学习中的“难”预料在前，根据学生的认知规律，把教材编排得切合学生的学习能力，这就是适应性目的。围绕这一目的，通常是把问题分解成层层递进的几个小问题，设置台阶，减小坡度，分散难点。如等腰三角形“性质的应用”练习设计：已知ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数。本题有一定的难度，又没给出分析，学生会感到困难。可先提出如下思考与练习：①等腰三角形的性质定理是什么？本题，由AB=AC，可得出什么结论，由BC=BD=AD呢？②∠C与∠A有什么关系？ABC各角之间有什么关系？③有了这种关系，能否确定各角的度数？如何求出？这样就把题目分解成了一个个学生能解决的小题，然后让学生通盘考虑整个题目，思路清晰，有了解题的路子。另外，形象的比喻、通俗的例子、直观的教具，也是为实现适应性目的所常用的处理方法。
1.3巩固性目的
每一个知识点，不能只让学生孤立地进行学习，重要的是使学生弄清知识点的因由来源、概念的实质及与其它知识点的关联性，该知识点在所学知识系统中的地位和作用，从而使学生透彻掌握，并逐渐获得发展。这就是教材处理的巩固性目的。围绕这一目的，通常在得出概念或性质后，提出一些有关的思考题，以引导学生对该知识点作进一步的认识和理解。如“梯形”一节，引出概念后，提出：其两底能否相等？为什么？（学生答：不能，若相等，就说明上底和下底同时满足两个条件：①平行；②相等，这就不是梯形了。）这就巩固了梯形的概念，进一步明确了梯形与平行四边形的联系与区别：都有一组对边平等，前者另一组对边不平等，后者另一组对边也平等，是后者就不再是前者。另外，设计辨误练习、变式练习、题组练习，也是为实现这一目的所常用的方法。
1.4激发性目的
学生的思维靠老师去点拨，探究的热情靠老师去触发。将教材处理得使学生爱学，学得主动，注意力集中，随着教师的引导去积极思维，这就是教材处理的激发性目的。围绕这一目的，通常是在讲授新课或重点内容之前，应用一些生动、有趣、通俗、形象、新颖的材料和问题，使学生对将要学的内容发生兴趣。如讲勾股定理，首先提出一个问题：当你向正东走30米，再折向正南走40米，这时你与出发点相距多少米？（画出示意图）这类问题我们暂时还不会解，需要掌握直角三角形有关的性质，而这一性质我国早在三千多年前就发现了，这比西方早一千多年，这就是我们今天要学习的“勾股定理”。这样，从学生关注的实际问题出发，引出古代数学方面的卓越成果，使学生身处自豪感之中，迫切希望知道勾股定理的内容，自觉地投入到学习中去。
2教材处理应注意的几个问题
教材处理除要依据大纲，把握教材，做到重点突出，目的明确之外，还应注意以下几点：
2.1把主动权交给学生
教材处理的目的是为了有针对性地学习，上面提到的垂径定理的推论的教学就是一例。又如讲三角形的角平分线的概念，可让学生画出ABC中的∠A的平分线（射线）交BC于D，将线段AD描一下，或将三角形外的部分擦掉，提出线段AD就是ABC的角平分线，请同学们给三角形的角平分线下个定义。这样，每个学生都动手、动脑，学得活，理解得深。
2．2要顺其自然
教材处理既要遵循学生的认知规律，又要注意知识的前后联系，还要依据教材的逻辑体系，顺其自然地作出处理。如讲平方差公式，先复习旧知，在此基础上设计一组能用这一公式计算的题目让学生去做，再引导看题目的结果，学生就感到惊奇，加以点拨，他们自己就会得出这个公式。这样既巩固了旧知，又使学生自然地发现了公式。
2.3要注意深入理解教材、挖掘教材
一、数学史在高中教学中的价值应用
针对于高中数学教育中的数学史的价值方面它主要分为两个层次：人格教育层与认知教育层.从人格教育层面可以追溯数学史的起源发展，我国古代伟大的数学家层出不穷像祖冲之、张丘建等都在数学教学方面贡献了自己的一份力量，在数学史上留下了浓墨重彩的一笔.我们从数学史的文化中不仅可以了解数学史的发展历史还要从这些古代伟大的数学家身上学习到他们的对知识旺盛的求知欲及勇于探索的精神，就像平时高中数学学习方面难免遇到些困难，这时候不仅需要教师的耐心教导，更需要学生的动手实践.
从认知教育层面，数学史是数学教学的指南，数学史不只是一个简单的历史典故，从概念、公式、定理的演变，高中生可以获取相关知识，对于教师的教学来讲应该重视知识发展过程中的教学，通过数学史带出案例中相关的数学知识，更重要的是，将数学史中体现的数学思想方法教授给学生，学生掌握思想方法后，可以独立进行探索研究.
二、渗透在教学案例中的数学史
1.国际象棋案例分析
国际象棋在数学史上有这样一个故事，相传一位印度国王，他有着至高的权利和巨额的财富，因此国王十分傲慢无理，有一位东方老人来到国王的皇宫，教国王下国际象棋.国王学成后为奖赏老人，允许老人提出任何请求，他一定会满足老人的要求.
东方老人为了挫一下国王的傲气，就用国际象棋棋盘提了一个请求.老人说“只要国王陛下，在64格棋盘的第一个格子放一粒米，第二个格子放两粒米，第三个格子放四粒米，第四个格子放八粒米……以后每个格子放的米粒都是前一个格子放的米粒数的两倍，直到第64个格子，就满足了我的要求.”
国王哈哈大笑，心想不就是小小的棋盘装满米嘛.于是就叫人按老人说的做，结果发现就是将全国的米拿来装都不能够满足老人的请求.
那到底需要多少米粒呢？这是道数学题，有一个计算公式，可以计算出来.公式如下：1+2+22+…+263=264-1.
通过这个等比数列我们可以看出这个算式的计算结果是一个天文数字，这个数字折合成米粒的重量，大约是2587吨.通过这个教学案例，不仅可以补充我们的历史知识还学会了等差数学知识，和相关等差数列知识的求和计算，教师在教学当中也可以由此启发学生对等比数列的探索，通过等差数列和等比数列作比较总结出它们之间的不同.
2.垂径定理的教学案例分析
案例“圆壁埋材”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”
这一历史问题，首先让学生认识什么是垂径定理，还可以了解到垂径定理中的四条重要的线段分别是：弦长、圆半径、弦心距，高.也使学生对于垂径定理有了更加直观的认识，不再抽象化，顺便还巩固了数形结合思想，可以让学生增长历史知识.通过数学史的简单案例探究，教师就可以在寓教于乐中让学生学习到数学知识，与此同时根据垂径定理的相关内容可以延伸到圆的相关数学知识，因为在此之前我们已经了解了弦心距、圆半径，借此可以补充圆心距、圆的周长公式、面积公式的计算算法，将知识加以拓宽整合，也方便高中生的理解.
三、数学史与高中数学问题的解决策略
数学史和数学问题解决在当今高中数学的教育中占据着重要地位，在研究数学史如何应用于数学教育的数学问题的解决中，要结合实际情况和条件进行了解分析.第一，数学史在数学问题教学应用中的切入点和解决问题的具体步骤.第二，数学史在高中数学问题解决中的应用原则.第三，列举历史典故和高中数学问题解决相结合的题目类型进行案例分析.
四、数学史在整合数学问题的解决策略
通过对文献的查阅，我们可以从中看出，数学史和高中数学整合的解决设计仅有一些原则和建议的方法，具体的模式还没有形成，这需要我们进行进一步的求知探索.但是有几个中间的步骤是需要我们遵循的，数学史与高中数学教育的整合方面首先需要教材的设计部分和实验部分，对于教材的设计部分分为准备阶段（选择数学主题-、分析教科书处理方式的不足、收集历史资料、分析历史资料）和设计阶段（介绍整个数学分支的历史、数学概念的引入、数学主题的展开、任务的选择与解决）两个部分.在教材的实验部分为实施阶段（实验、评价、修改），只有这三个阶段的整合才可使教材部分不断得到完善.
五、数学史教育现状的综合分析与建议
1.数学史教育现状的问题
高考是高中生必须面临的问题，因此教师在课堂上讲解的知识都是围绕高考为核心，教师的课时本来就少，加上教学知识多，所以数学史在课堂上的讲解是有限的，教师只是在上课时将数学史作为一个引子，来引出接下来教师要讲的数学知识，甚至对于数学史的教学进行了直接的忽略.由此看来，学生学习数学史的时间也仅限于班会、数学角、数学史知识的选修课中得到了解.
2.数学史教育现状的分析建议
一、培养兴趣，引发学生进行探究活动的热情
1．创设情境，激发学生的自主探究兴趣
布鲁纳说过，学习的最好刺激是兴趣，兴趣是最好的老师，只有激发兴趣，才能集中学生的注意力，激发学生的主动参与意识。教学中，我们应努力营造良好的探究氛围，让学生置身于一种探究问题的情境中，以激发学生的学习欲望，使学生乐于学习。
例如在进行“三角形的中位线”的教学时，我是这样进行的：①让学生动手。每位学生用事先准备好的一把剪刀和三角形进行如下操作：在只剪一刀的情况下，使剪成的两张纸片拼成一个平行四边形。（思考，动手操作）②展示成果。（请学生展示自己的成果）③说明过程（找到三角形的中间一剪，一拼就行了。）④几何表示（用图形来表示出来，D、E两点位置有何特征？）。
教师再作简要的补充强调，从而引出了“三角形的中位线”的概念。通过学生的动手实践，认真讨论，大家学习积极性很高，在轻松、愉快的活动中很容易的掌握了“三角形的中位线”的概念。
2．发散思维，发掘学生的自主探究潜能
我们的教学内容设计应尽量有探究性的，所采用的教学方法也要为学生提供探究的机会。教学过程应变先讲后练为先尝试再点拨，把学习的主动权交给学生。这样，有利于学生主动再创造，有利于学生猜测与验证。
例如在学习三角形全等后，我以此开放题为例如图，在ABC中，已知AB=AC，要使AD=AE，需要添加一个条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
因为此题可从识别ABD≌ACE或ABE≌ACD等着手，所填答案不唯一。
由此，学生可展开激烈的争论，各有各的方法，这样，在自主探究或合作探究中调动起学生的探索热情，激发起学生的创新意识，有助于培养学生的发散思维，发掘学生的自主探究潜能。这样，学生与学生之间自由探究，真正的把学习的主动权交给了学生。教师可适当引导，就可以充分发挥学生潜能。
3．鼓励评价，让学生体验探究成功的快乐
教学中，教师应不断给每一位学生创造成功的机会，对不同层次的学生在探究过程中的点滴成绩，给予及时的表扬鼓励。要正视学生之间的差异，实施有针对性的分层评价。如“你的想法很有价值；你很有创见，这非常可贵；你的思维真活跃，能从不同的角度来思考问题；你知道的真多！知识真丰富；你能用数学的眼光来看待问题，真不错！”……使每个学生都能体验到探究成功的喜悦，从而更能激发学生的主动学习欲望。
二、落实探究过程，学会探究性学习
探究性学习的方法主要有：
1.设疑――教师选择学生已学过的数学知识为基础，以日常生活、生产实际为背景，设置一定容量和开放度的问题，由教师和学生共同提出问题，引起矛盾，激发探究动机，明确探究目标。
2.探究――这是探究性学习的核心。教师有针对性地指导学生围绕目标进行阅读、观察、实验、思考、联想、试探、验证等探究活动，概括出原理、法则，寻求问题的答案。
3.交流――在教师的组织下，学生交流探究的成果、心得与体会，并对一些有疑义的问题展开深入讨论，把学生初探的成果加以提炼，使它更具有科学性。
4.总结――通过师生之间、生生之间的多边探究活动，将探究的结论归纳整理，使之系统化，让学生掌握知识的内在联系，从而解决问题。
5.应用――教师要引导学生将探究归纳出的新知识、新方法用于实践，解决实际问题。
在教学中，教师要教育学生在学习上做有心人。
在提出问题方面，首先应培养学会观察，善于思考，让学生主动参与到学习活动中，能从学习及生活中发现问题，并做好记录，便于及时提出问题。学生开始可能很少发现问题，但随着教师的引导，学生认知水平的提高，他们会发现很多问题，找到比较有探究价值的问题。其次培养学生学会质疑，敢于想像，开发学生创造的潜能。陶行知先生说过：“发明千千万，起点在一问。”因此，教师在课堂上应积极鼓励学生大胆质疑，善于激发学生追本溯源的兴趣，同时培养学生勤学好问的习惯，形成不懂就问、敢于提问的氛围，使学生从一个被动的接受者转变为一个主动的探究者。
在分析、解决问题的过程中，学生要解决数学问题，除了必须掌握基本知识(数学概念、定义、定理、定律、公式等)和运用正确的方法(分析、判断、推理、归纳等)外，还要注意探究形式的应用、教师的适时点拨，以及加强反思等。我们应根据内容的不同，采取不同的组织形式。对概念、定理、例题等的探究，宜全班或分组讨论；对数学知识的引申、应用探究，可分组讨论；正确处理教师的“引”和学生的“探”的关系，应做到引中有探，探中有引，同时还要把握好“引”的度，步步深入地引导学生逼近结论。
关键词： 初中数学课堂教学 导学关系 以导促学 以导引学 导学结合
课堂教学活动，其本质就是教师的“导”和学生的“学”相互配合、相互促进、相互碰撞的发展前进过程。教师“导”的效果，需要通过学生的“学”进行验证和考量；学生的“学”，需要教师的“导”进行促进和提升。随着以学习能力培养为核心价值观的新课程改革的深入推进，初中数学课堂教学活动中，教师的“教”和学生的“学”之间关系的配置，成为一个亟须解决和深入研究的话题。但在实际教学过程中，常出现教师的“教”取代学生的“学”，或学生的“学”脱离教师的“教”等现象，导致教与学之间活动效能事倍功半。下面笔者就科学配置课堂教学中“导”与“学”之间的关系，从三个方面作论述。
一、以导促学，教师的“导”应成为促进学生积极“学”的“推手”
教师在教学活动中的一项重要任务，就是引导和促进学习对象主动学习、深入学习，融入课堂教学活动中，成为教学活动的重要“有生力量”。初中生在学习探知数学学科的进程中，既有着主动进取探索的积极一面，又有着畏惧退缩的消极一面，并且容易受内在和外在“环境因素”的制约，出现消极懈怠的不利局面。教师在课堂教学中不能忽视学习对象的学习情感状态，不联系教学实情，“自顾自”地实施讲解活动。这就要求，初中数学教师要“扬长避短”，成为“医治”初中生消极情绪的“理疗师”，成为“促发”初中生积极情感的“激励师”，借助于丰富多样的教学资源，采用形式多样的教学手段，通过语言激励、积极评判、场景设置等形式，吸引初中生的有意注意，提高初中生的课堂参与度。如“一次函数的图像和性质”一节课教学中，在新知导入环节，教师在与学生的谈话交流中，发现部分初中生的学习欲望不强，积极性不高。针对这一实际，教师对该节课的预设内容进行适当调整，利用该节课教材所呈现的“生活应用”特点，通过设置情境“红旗路小学准备购买银杏和绿松两种树苗共500棵，用来美化校园，已知银杏的价格为25元/棵，绿松的价格为30元/棵，通过询问知道，银杏、绿松成活率分别为95%和90%，如果购买树苗用去了14000元，试问银杏和绿松各买了多少棵？”，诱发初中生的有意注意，吸引初中生的眼球，让初中生切身感受数学教材内容的内在美，从而在有效“导”的进程中，提振初中生主动“学”的精神，增强初中生深入“学”的意识。
二、以导引学，教师的“导”应成为促进学生深入“学”的“指南”
学生的数学学习活动，不是水到渠成的简单活动，而是充满困惑的艰辛“劳动”，经常会遇到“意想不到”的困苦和坎坷，从而影响阻碍“学”的进程和效能。教师作为学生学习活动的“引领者”，需要采用以导引学的方式，指引学生科学探究，认真思考，探析问题，从而逐步掌握和获取数学知识的“精华”和解决问题的“精髓”，让初中生对所获所得既能够“知其然”，更能够“知其所以然”，将初中生学习活动引向深入。这就需要教师正确处理好“导”和“学”之间的关系，既不能以教师的指导取代学生的学习过程，又不能放手不管，让学生自由发挥，脱离教师的可控范围，应该做到“以教导学”、“以导引学”，推进初中生学习探知的进程。如在“如图所示，已知有一个O，它的直径长度为10厘米，弦AB的长度为8厘米，点P是弦AB上的一个动点，试求出OP的长度取值范围”案例教学中，教师就利用教师主导地位的指导特性，采用以导引学的教学方式，组织初中生开展探究、解答该案例实践活动。初中生探知问题条件内容，意识到该案例涉及“垂径定理”、“勾股定理”等数学知识点，初步觉察出解答这一问题案例时，需要借助“圆的性质”、“垂径定理”等数学内容。初中生结合问题解答要求，根据给予的问题条件，其分析过程为：根据问题条件可知，应该采用添加辅助线的方法进行重新构图，根据题意，可以先过O的圆心O作OEAB，连接OB，根据垂径定理内容，可以知道AE=BE=1/2AB，此时构建一个直角三角形，根据勾股定理，从而求出OE的长度，由此得出所需要解答的内容。教师根据初中生的分析过程，强调指出：“在此题解答中，要根据题意作出辅助线，构建出直角三角形。”
初中生在教师指点下开展解析问题活动，教师并有意识地要求初中生总结归纳这一问题的解答方法，初中生针对解析过程中的“构造直角三角形”这一关键环节，在教师的悉心指导下，得到其解题方法为“采用构图法，添加辅助线，构造直角三角形”。
三、导学结合，“导”“学”活动应成为实现师生共进的“利器”
笔者认为，教师的“导”和学生的“学”是一个互补互进、共同发展的有机结合体。初中数学教师应深刻认识教师和学生这二者在课堂教学中的地位和作用，采用导学合一、导学相长的教学理念，将教师的“导”与学生的“学”有机结合，在指导中渗透学生的“学”，在学习中融入教师的“导”，在科学、高效指导下，促进学生深入、有效地学习。同时，以学生的有效学习展示和呈现教师的指导实效。
总之，有效教学活动的取得，需要教师的有效“教”和学生的高效“学”。教师只有科学配置教与学二者之间的内在关系，将教与学之间进行有效渗透，相辅相成，使教师的“教”成为学生主体高效学习、成长进步的科学“指南”，使学生的“学”成为展示有效课堂教学的“明镜”。
参考文献：