时间：2023-06-05 10:30:23
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇求值域的方法，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
高中数学所有章节中，函数作为学习的核心内容，也是高中数学的灵魂，函数的内容辐射面广，其蕴涵的思想方法对其它章节的学习影响深远。而作为函数三要素中的值域，在高考中非常重要，求值域的方法之多，若能够掌握几种典型的求值域问题，由此解决类似问题，便可轻松驾驭求值域问题。函数求值域常以几个重要的函数作为模型，以几种不同思想方法为工具，操作起来便捷有效。本人在长期的教学工作中对反比例函数进行了不断认识，本文通过以反比例函数为模型的实例展现给读者，希望能与大家共同学习与探讨。
一、反比例函数与反比例型函数的图像与值域
反比例函数一般形式为，图像如下：
由图知函数的值域为。
反比例型函数本身不是反比例函数，形式上类似反比例函数，图像可由反比例函数图像变换得到，如：。故其图像如下：
1
-1
故此函数的值域为。
反比例型函数一般形式为
，
而，设，则，故值域为
注：（1）上述过程中，图像是由反比例函数的图像通过“左加右减，上加下减”平移得到。（2）上述化简方法使用了换元法与分离常数法。（3）上述函数定义域为自然定义，没有限制。
二、反比例型函数在限定范围上的值域
例题：求的值域。
应对策略一
【解】设代入原题得，而，
①当时，值域为。②当时，如右图知在时函数单调递增，当时故函数的值域为。
1
-1
③当时，如右图知在时函数单调递减，当 时，故函数的值域为。
1
-1
综上所述：当时，值域为 。当时，值域为。当时值域为。
【注】：此种解法是以反比例函数为模型，以换元法、图像法和分离常数法为工具。换元法必须写清楚换元后变量的范围，然后再找出图像上变量所在范围上的图像，既而求出值域，此种方法是部分换元，另外还可以设，则函数可变为，然后再由图像法求解。应对策略二
【另解】（1）当时，。
（2）当时，，故，得，然后，故得，由，所以，即，所以所以当时，;当时，。
当综上所述：当 时，值域为 。当 时，值域为。当时值域为。
【注】：本题本身不是反比例型函数，但通过简单换元后变成了限定范围上的反比例型函数，采用“逆求法”或“反解法”求解，由题目中反解出自变量关于函数值的函数。根据自变量的范围建立关于函数值y的不等式去解函数值的范围。
一、相关概念
函数y＝f(x)中，函数值是与自变量x的值对应的y值。函数的值域是函数值的集合，是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。分式函数是解析式为分式形式的函数。
二、分式函数的类型及值域解法
（一）一次分式型
一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x（或参数）的一次函数的分式函数。
1.y=cx+dax+b (a≠0)型
例1求函数y=2－3x2x－1的值域。
解析一：常数分离法。将y=cx+dax+b转化为y=k1+k2ax+b（k1,k2为常数），则y≠k1。y=2－3x2x－1=－32+12(2x－1)，y≠－32。
解析二：反函数法。利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。值域为y≠－32（详解略）。
2.y=csinx+dasinx+b (a≠0)型
例2 求函数y=sinx+22－sinx的值域。
分析：这是一道含三角函数的一次分式函数，由于含三角函数，不易直接解出x，但其有一个特点：只出现一种三角函数名。可以考虑借助三角函数值域解题，其实质与y=ct+dat+b（t=sinx）在t的指定区间上求值域类似。13≤y≤3。（详解略）
3.y=csinx+dacosx+b或y=ccosx+dasinx+b (a≠0)型
例3 求函数y=3sinx－32cosx+10的值域。
分析：这道题不仅含有三角函数，且三角函数不同，例2解法行不通，但反解之后会出现正、余弦的和、差形式，故可考虑用叠加法。去分母以后，利用叠加公式和|sinx|≤1解题。
［－58，0］（详解略）。
（二）二次分式型
二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x的二次函数。由于出现了x2项，直接反解x的方法行不通。但我们知道，不等式、函数、方程三者相互联系，可以相互转化，所以可考虑将其转化为不等式或方程来解题。
1.y=dx2+ex+fax2+bx+c (a、d不同时为0)，x∈[WTHZ]R型
例4 求函数y=3xx2+4的值域。
分析：去分母后，可将方程看做是含参数y的二次方程f(x)=0。由于函数的定义域并非空集，所以方程一定有解，Δ≥0(f(y)≥0),解该不等式便可求出原函数的值域。用判别式法，先去分母，得到含参数y的二次方程f(x)=0,根据判别式Δ≥0（Δ=f(y)）,即可求出值域。（详解略）
说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域。
2.y=dx2+ex+fax2+bx+c (a、d不同时为0)，指定的区间上求值域型
例5 求y=16x2－21x+55－4x（x
分析：因为x
三、提炼知识，总结分式函数值域解法
求函数的值域是高中数学的难点之一，它没有固定的方法和模式。但我们可以针对不同的题型进行归类总结，尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法。常用的方法有：
1.反函数法。这是求一次分式函数的基本方法，利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。但要注意看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上求值域。
2.判别式法。这也是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x的二次方程f(x，y)＝0，因为方程有实根，所以判别式Δ≥0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。
3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2ab (a、b∈R＋)，在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑不等式法。用不等式法求值域，应注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”。
4.换元法。换元法是求复合型分式函数值域的常用方法。当分式函数的分子或分母出现子函数（如三角函数）时，可考虑用换元法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。要注意换元后自变量的取值范围。
5.单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域的方法。
关键字：反函数法、值域、复合函数
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函数值域的求解是中学数学的一个难点，也是一个重点。求函数值域的方法有很多，反函数法是常用的方法之一，在一些刊物、丛书，甚至中学教师使用的《教学参考书》中也颇常见。但该法一直以来存在很多争议。本文就反函数法求函数值域发表个人的一些看法。
在这之前先给出反函数的定义：
一般地，设函数 的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到 。若对于y在C中的任何一个值，通过 ，x在A中都有唯一的值和它对应，那么， 就表示y是自变量，x是因变量的函数，这样的函数 叫做函数 的反函数，记作 。反函数 的定义域、值域分别是函数 的值域、定义域。
注：函数存在反函数的充要条件是，定义域与值域之间的映射是一一映射。
一、反函数法合理吗？
反函数法的合理性一直遭到质疑，首先我们看个例子：
例1、 求函数 的值域。
解：去分母，得
即(1)
(2)
再由 得(3)
所以函数的值域为 的实数。
对于例1，文[1]认为由(1)式到(2)式的推导并不充分，所以其推导“缺乏依据”；只有(1)式和(3)式合起来才能推出(2)式这样又“导致循环推理”。对于这个问题，文[2]中已经给出了一种合理的解释。在此，笔者也发表自己的一点看法，反函数的定义域是由原函数的值域确定的，由于反函数与原函数的互相依赖的关系，反过来，在满足一定条件的情况下，当然可以由反函数的定义域来确定原函数的值域了。因此，笔者认为反函数法在理论上是毋庸质疑的。
二、这是反函数法吗？
例2、 求 的值域。
解：为了求值域，由原式解出 ,
得
由此得
所以函数的值域是 。
例2在解题过程中符合反函数法的一般步骤，最后的结果也是正确的。但是我们可以发现在反解的过程中得到的x关于y的表达式 中变量y所对应的x并不唯一，即反解得到的解析式不是中学范畴内的函数解析式，所以不存在反函数。例2的结果虽然正确，但只是一种巧合。既然不存在反函数，当然不能用反函数法。
三、存在反函数就一定可以用反函数法吗？
例3、求函数 的值域。
解1：用配方法
由于
，且y在 上为u的增函数
时， 。
解2：用类似于例1、例2的反函数法
由原函数式解出x，得
由此得
函数的值域是 。
易验证，函数 存在反函数，反函数解析式即为 ，由解析式我们只能得到 ，事实上反函数的定义域为 （解1得出的结果是正确的）。由此我们可以看出，并不是只要原函数存在反函数就一定能用反函数法求值域。
四、什么情况可以用反函数法
由上面的讨论我们可以看出，反函数法在理论上是毋容置疑的，但是又受到种种限制，很容易造成错误的使用。因此在什么情况下可以使用反函数法就变得很有意义。
用反函数法求函数值域需满足两个条件：1题目给出的函数应该存在反函数，2 与 同解。
在中学数学所学的初等函数中满足这两个条件的很多，例如指数函数 的反函数是对数函数 ，一次函数 的反函数还是一次函数 ，反比例函数 的反函数是其本身，所有的奇次幂函数 （其中n为奇数）与对应的幂函数 （其中n为奇数）互为反函数。因此它们都可以用反函数法求函数值域。当然他们的值域教材中都已经作为结论给了出来。
显然，由上述这些类型的函数复合而成的函数的值域都可以用反函数法来求。例如形如 类的分式函数就是由一次函数和反比例函数复合而成。再如：
例4、求 的值域
解：由已知函数得
，
解得： 或 ，故函数的值域为 。
五、小结
反函数法作为一种常用的求函数值域的方法在理论上是毋庸质疑的，它有自身的优势也有很大的局限性，因此在采用某种方法之前，我们应当首先确定题目满不满足使用这种方法的条件。
参考文献
[1]孟德酉.反函数法求函数值域质疑[J].数学通报.1990.4
一、基本理论1
根据对称性知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若对称轴为x=x0，则f（x0-t）=f（x0+t）（其中t为常数）.
推论：对于f（x）=ax2+bx+c，若对称轴为x=x0，则
（1）当a>0时，若|t1-t0|>|t2-x0|，则f（t1）>f（t2）；
（2）当a|t2-x0|，则f（t1）
【例1】已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-3）=f（2），求a与b的关系.
解：f（-3）=f（2），
|-3-b12a|=|2-b12a|且-3
b12a=-3+212.
b1a=-1，即b=-a.
【例2】已知函数f（x）=3x2+2x+b，试比较5+b与b+1的大小关系.
解：由题意可知5+b=f（1），b+1=f（-1）.
又f（x）=3x2+2x+b的对称轴为x=-213，
显然有|1-213|
故由理论可知f（1）
二、基本理论2
若f（x）为[a，b]上的连续函数，且f（a）・f（b）
推论：若f（x）=0为一元二次方程，且x=x1根的范围是a
【例3】若方程ax2-2x+1=0的两根满足条件：较小的根小于1，较大的根在1和3之间，求a的取值范围.
解：设f（x）=ax2-2x+1，则f（x）在（-∞，+∞）上连续，当然在（-∞，1），及（1，3）上也连续，由基本理论2知，必有f（1）・f（3）
评析：本题的解法避免了用判别式的繁杂计算，使解题过程大大简化.
【例4】若方程x2-mx-m+3=0的两根满足条件：一根在0与1之间，另一根在1与2之间，求m的集合.
分析：由上述理论可知，应有f（0）・f（1）
f（1）・f（2）
即（3-m）・（4-2m）
（4-2m）・（7-3m）
解得2
三、利用二次函数图象的对称性特征还可求一些可化为二次函数型的函数的值域
【例5】求函数y=3cos2x-4cosx+1的值域.
分析：若令cosx=t，则y=3t2-4t+1，这是一个关于t的二次函数，从而可求值域.
解：令cosx=t，则-1≤x≤1，y=3t2-4t+1，这是一个关于t的二次函数，从而可利用图象求值域.
由前述理论可知，当t=-1时，ymax=3×（-1）2-4×（-1）+1=8；
当t=213时，ymin=-113.
1. 观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1.求函数y= 的值域。
解：x≠0， ≠0
显然函数的值域是：（-∞，0）∪（0，+∞）。
2. 二次函数法
例2.已知函数f(x)=lg［(a －1)x +(a+1)x+1］。
(1)若f(x)的定义域为(－∞，+∞)，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为(－∞，+∞)，求实数a的取值范围。
解：（1）依题意(a －1）x +(a+1)x+1＞0对一切x∈R恒成立，
当a －1≠0时，其充要条件是
a -1＞0=(a+1) -4(a -1)＜0
即a＞1或a＜-1a＞ 或a＜-1
a＜-1或a＞ 。
又a=－1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意。
故a≤－1或a＞ 为所求。
(2)依题意只要t=(a －1)x +(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，则f(x)的值域为R，故有a -1＞0≥0，解得1＜a≤ ，又当a －1=0即a=1时t=2x+1符合题意，而a=-1时不合题意，1≤a≤ 为所求。
3. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3.求函数y=x -2x+5，x∈［-1，2］的值域。
解：将函数配方得：y=（x-1） +4，x∈［-1，2］，由二次函数的性质可知：
当x=1时，y =4
当x=-1时，y =8
故函数的值域是［4，8］。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例4.求函数y= 值域。
解：由原函数式可得：x=
则其反函数为：y=
其定义域为x≠
故所求函数的值域为（-∞， ）。
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例5.求函数y= 的值域。
解：由原函数式可得e =
e ＞0， ＞0，
解得-1＜y＜1。
故所求函数的值域为(-1，1)。
6. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例6.函数y=x+ 的值域是( )。
A. (－∞，1］
B. (－∞，－1］
C. R
D .［1，+∞）
解：令 =t(t≥0)，则x= 。
y= +t=－ (t－1) +1≤1
值域为(－∞，1］。
答案：A。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后选择恰当的方法，一般优先考虑直接法、函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
参数方程化为标准参数方程：
1、利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x, y的范围。在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。
2、所指定参数不同，方程所表示的曲线也各不相同。从而给出参数方程一般应指明所取参数。
3、在某些特殊情况，消参之后给出x,y的范围也不能说明原曲线的轨迹，这时应用语言作补充说明。
（来源：文章屋网 ）
关键词：函数；值域；教学方法
中图分类号：G623 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）22-0100-02
一、求二次函数式在自然定义域上的值域，一般将函数式y=ax2+bx+c（a≠0）化为y=a（x-m）2+n的形式，这里m=-■，n=■。化成这种形式体现两个优点：①知道图象的顶点坐标（m，n）、对称轴及函数最值；②函数的两个单调区间为（-∞，m]、[m，+∞）。这样，若a>0，其值域为[m，+∞）；若a
求二次函数式在限定区间D上的值域，先考察顶点横坐标m与区间D的关系。如果m∈D，那么一个最值就是n，再通过考察区间D的两个端点对应的函数值就能确定值域；如果m？埸D，那么D必是函数的单调区间，利用单调性就能求出值域。
二、化归思想――通过替换或变形等方法把函数转化为基本函数式或基本函数有联系的形式，进而利用基本函数的图象和性质确定出值域
【例1】：求函数y=■的值域。
分析：此函数式分母变化，分子为常数，其外形就是幂函数y=■，
因此，可通过替换化归为幂函数后就可求出值域。
解：设x2-3x+2=t，则y=■
因t=（x-■）2-■≥-■且t≠0，
如图可知y≤-4或y>0，函数的值域为（-∞，-4]∪（0，+∞）。
【例2】：求函数y=（■）-x■-4x+5的值域。
分析：此函数式底数为常数，指数变化，外形就是指数函数y=（■）x。因此，可化归为指数函数后，就能求出值域。
解：设-x2-4x+5=t，则y=（■）t。因t=-（x+2）2+9≤9，而y=（■）t是减函数，y>（■）9=■，即函数的值域是[■，+∞）。
三、方程思想――一个函数式实际上就是关于自变量x与函数值y的方程，而根据函数的定义可知，这个方程必关于x有解，因此有时我们把函数式变形为关于x的方程后，利用方程有解的条件建立关于y的不等式关系，从而求出值域
【例3】：求函数y=log2ax+2logax+2的值域。
分析：把函数式视为关于x的方程，则这个方程关于x有解，因为x∈（0，+∞），所以logax∈R，这样把函数式看作关于logax的一元二次方程，那么这个方程恒有解，利用一元二次方程有解的条件就能求出值域。
解：因x>0，logax∈R，设logax=t，则函数式可变形为t2+2t+（2-y）=0 由Δ=4-4（2-y）≥0解得y≥1，故函数的值域是[1，+∞）。
四、制约思想――自变量x与函数值y相互依存又相互制约。
【例4】：求函数y=■的值域。
分析：由于y受sinx的制约，而sinx∈（-1，1），因此从函数式解出sinx=f（y），通过-1≤f（y）≤1可求得值域。
【例5】：求函数y=■的值域。
分析：由于y受x2的制约，而x2≥0，因此从函数式解出x2=f（y），通过f（y）≥0能确定值域。
五、几何思想――几何思想即数形结合思想，通过作出函数的图象或根据函数式所表示的意义画出相应图形，进而求出值域
思路一：画出函数的图象，可观察出值域。思路二：由于|x-3|-|x+1|表示数轴上的点到3的距离与到-1的距离之差，因此，通过数轴可知值域是[-4，4]。
【例6】：求函数y=■的值域。
分析：因为函数y=■的几何意义为两点P（-2，0），Q（cosx，sinx）连线的斜率k，而点Q在单位圆x2+y2=1上（如图），
易求得-■≤k≤■值域是[-■，■]。
六、注意留意基本不等式即函数的单调性
【例7】：求函数y=x（3-2x），0
解：把函数式变形为y=■（2x）（3-2x），因为2x，3-2x均为正值，所以y=■（2x）（3-2x）≤■[■]2=■，（x=■时取等号），又y>0
故函数的值域是（0，■]。
除以上基本思想方法外，要注意考察奇偶性与周期性。如果是奇函数或偶函数，我们只求正区间或负区间上函数值的范围，根据对称性就能确定值域；如果是周期函数，只求一周期区间上的值域。
总之，求值域是个较困难且较为灵活的问题，需灵活运用所学，灵活解决。
参考文献：
[1]史海平.一类函数值域的新求法[J].数学教学通讯，1989（05）.
[2]方亚娜.函数值域的求法[J].甘肃教育，1998（11）.
一、函数定义域问题
点评：函数定义域是高考的常考内容之一，一般情况下，函数的定义域就是指使函数解析式有意义的所有实数x的集合，但实际问题的定义域必须具有实际意义，对含参数的函数定义域必须对字母参数分类讨论.在一些具体函数综合问题中，函数定义域往往具有隐蔽性，所以在研究这些问题时，必须遵循“定义域优先”的原则.
二、函数图象问题
点评：由于近年来高考试题加强了数形结合思想的考查，最明显的是高考试卷中函数图象考题的增多.要掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象和性质，在此基础上，理解掌握常见的图象平移、对称及伸缩变换，通过对图象的识别来考查函数的性质.
三、函数求值问题
点评：函数求值问题一直是高考常考不衰的题型，它在高考中的突出地位应引起高度重视，有关函数求值问题大多是通过利用函数的奇偶性或周期性，将未知值转化为已知值问题.
四、函数单调性问题
（1）当01；
（2）是否存在实数a、b（a
（3）若存在实数a、b（a
（2）不存在满足条件的实数a、b.
若存在满足条件的实数a、b，使得函数f（x）的定义域、值域都是[a，b]，
与a
②当a、b∈[1，+∞）时，f（x）=1-1x在[1，+∞）上为增函数，
故此时不存在适合条件的实数a、b.
③当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0[a，b]，
故此时不存在适合条件的实数a、b.
综上可知，不存在满足条件的实数a、b.
（3）若存在实数a、b（a0，m>0.
①当a、b∈（0，1）时，f（x）=1x-1在（0，1）上为减函数，值域为[ma，mb]，
与a
②当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0[ma，mb]，
故此时不存在适合条件的实数a、b.
③当a、b∈[1，+∞）时，f（x）=1-1x在[1，+∞）上为增函数，
点评：函数单调性是高考热点问题之一，在历年的高考试题中，考查利用函数单调性的试题屡见不鲜，既可以考查用定义判断函数的单调性，用反例说明函数不是单调函数，求单调区间等问题，又可以考查利用函数的单调性求应用题中的最值问题.函数的单调性是探索函数值域或最值的常用工具，是函数思想在解题中的具体体现，应当引起重视.解存在性问题的常用方法是先对结论做肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行探索，由探索结果是否出现矛盾来作出正确判断.
五、三个二次问题
例5 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，且|AB|=4，它在y轴上的截距为-3.又对任意的x都有f（x+1）=f（1-x）.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图象都在直线l：y=x+m的上方，求实数m的取值范围.
（2）由条件知，x2-2x-3>x+m，即x2-3x-3-m>0对于x∈R恒成立，
点评：二次函数、二次不等式、二次方程是高中数学的重要内容，它把中学数学各个分支紧紧地联系在一起.以“三个二次”为载体，综合二次函数、二次不等式、二次方程交叉汇合处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考试题出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位.
六、函数应用问题
例6 某公司是一家专做产品A销售的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完.该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图一、二、三所示，其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）.
（1）分别写出国外市场的日销售量f（t）、国内市场的日销售量g（t）与第一批产品A上市时间t的关系式；
函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A. 其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f（x）x∈A}叫作函数的值域. 注意：函数是映射的特例（对应集合为非空数集）.
函数三要素：定义域、对应法则、值域
如果两个函数的定义域和对应法则相同，则这两个函数是同一个函数.
函数定义域的求法
由整体到局部，列出使函数有意义的自变量的不等关系式（组）并求解.常见依据为：
①分式中分母不为0；
②偶次根式（n为偶数）中被开方数x≥0；
③对数logax的真数x>0，底数a>0且a≠1；
④零指数幂x0的底数x≠0；
⑤求抽象函数定义域要认准自变量，如： f（x-1）的定义域为：x∈[2，3），则f（t）的定义域为：t∈[1，2）；
⑥应用题要考虑实际意义等.
【提醒】
①对于函数定义域中的任意一个数x，在值域中都有唯一确定的数f（x）和它对应.
②解定义域不等式组时注意利用图象和数轴等几何工具，确保不疏不漏，且定义域和值域都应写成集合或区间的形式.
③定义域是一个基本且重要的概念，不能只机械地掌握以上所列定义域的求解方法，要深刻理解定义域在函数问题中的作用，把对函数定义域的认识深化到任何与字母范围有关的问题中去，形成求定义域的意识.
易错情景有：解方程忽略方程本身要有意义；求函数解析式、函数值域、函数最值时忽视定义域；判断函数单调性、奇偶性时忽视定义域的影响；代数变形中扩大或缩小了定义域；换元过程忽视换元变量与原变量之间的关系，导致扩大或缩小变量取值范围；忽视新引入变量的取值范围等.
【自查题组】
（1） 已知函数f（x），x∈F，那么集合{（x，y）y=f（x），x∈F}∩{（x，y）x=1}中所含元素的个数有 个.
（2） 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”. 那么函数解析式为y=2x2+1、值域为{5，19}的“孪生函数”共有 .
（A） 10个 （B） 9个 （C） 8个 （D） 7个
（3） 下列四组中，函数f（x），g（x）表示同一函数的是 .
（A） f（x）=（）2，g（x）=x （B） f（x）=（）2，g（x）=x
（C） f（x）=x0，g（x）= （D） f（x）=，g（x）=x-1
（4） 若函数y= f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是 .
知识要点：函数值域的求法
单调函数直接法：直接判断函数在给定区间范围内的单调性，常用于求定义在闭区间上函数的值域. 如：函数f（x）=2x-，x∈[1，3]在给定区间[1，3]上单调递增，所以值域为[f（1），f（3）]，即1，.
复合函数换元法： 将函数中的变量单元看作整体，转化为求常用基本函数的值域.这个过程重在对基本初等函数的模式识别以及换元后变量取值范围的求解和使用.
常见基本函数类型有：二次函数型、幂函数型、指数函数型、对数函数型、三角函数型、双勾函数型.要结合各自的函数图象来帮助记忆函数的性质、特点.
其他常用方法：
①利用导数求高次多项式等非基本函数类型的最值（极值）.（必修不作要求）
②利用函数与方程的思想，把函数转换为方程求解. 如二次函数型可利用一元二次方程求解、三角函数可利用其有界性求值域等.
③利用基本不等式或联系几何意义求解. 如利用均值不等式或根据题意联想斜率、距离等几何意义，含二元变量的问题也可作为线性规划问题来解决.
【提醒】
①求基本函数及其复合函数的值域是很重要的考查类型，采用换元法求值域时注意通过换元所设变量与原变量之间的函数关系，应求出所设变量的取值范围，在此范围内求解.
②求特定范围内的函数值域问题，在不清楚所求范围内的函数单调性情况时，切不可盲目代值求解，应结合函数图象，找出图象的最低点（最小值）和最高点（最大值）.
③形如y=（分式型函数）的最值是高考解析几何等综合问题常考的类型，求解时常常先转化为双勾型函数、反比例型函数或二次函数的形式，再求最值.
【自查题组】
（5） y=2x-5+log3，x∈[2，10]的值域为 .
（6） y=2x+1-的值域是 .
（7） 若函数f（x）=2+log3 x（1≤x≤9），则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值为 .
（8） 用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10-x} （x≥0），则f（x）的最大值为 .
（9） 函数y=+的值域是 .
（10） 函数y=的值域是 .
知识要点：函数图象
两类易混淆的函数图象
①对称函数：若对于一切x∈R，都有f（a-x）=f（b+x），那么函数y=f（x）的图象关于直线x==对称，称为“自身对称”；
函数y=f（a-x）与y=f（b+x）的图象关于直线x=（由a-x=b+x求得）对称，称为“相互对称”.
②周期函数：若函数y=f（x）对于一切x∈R，都有f（x+a）=f（x+b），那么函数y=f（x）是周期函数，a-b是它的一个周期.
常用图象变换方法
①平移：函数y=f（x+a）的图象可由y=f（x）的图象沿x轴向左（a>0时）或向右（a
函数y=f（x）+a的图象可由y=f（x）的图象沿y轴向上（a>0时）或向下（a
②伸缩：函数y=f（ax）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的横坐标长度伸长或缩短为原来的得到；
函数y=af（x）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的纵坐标长度伸长或缩短为原来的a倍得到.
③翻折：y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在x轴上方部分不变，把x轴下方部分沿x轴向上翻折后所得；
y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在y轴右侧部分沿y轴向左翻折覆盖y轴左侧图象，并保留y轴右侧图象所得.
④对称：函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称；
函数y=f（x）与y=-f（x）的图象关于直线y=0对称；
函数y=f（x）与y=-f（-x）的图象关于坐标原点对称.
【提醒】
①识图、辨图类题目，应先找出选项的差异，然后结合函数性质和特征，如单调、对称、特殊点、函数值的正负等来解决.
②在进行函数图象变换时，一定要准确确认变换过程和步骤，尤其是针对自变量多重变换的问题，切记“要变只变自变量”. 如函数y=sin（2x+1）的图象右移1个单位的过程是：y=sin[2（x-1）+1].
③数形结合是解决函数问题的重要思想方法，利用数形结合思想解题时要注意把握所画函数图象的特征点、对称轴（点）、渐近线等关键特征，必要时需要通过运算比较，提高准确性.
【自查题组】
（11） 函数y=的图象大致为 .
（12） 已知函数y=f（x）的图象如图1所示，则函数y=f（x）的图象为
（13） 已知函数f（x）的图象如图2所示，那么f（x）的解析式可以是 .
（A） f（x）=x2-1
（B） f（x）=x2-2x
（C） f（x）=x2-2x
（D） f（x）=
（14） 为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点 .
（A） 向左平行移动1个单位长度
（B） 向右平行移动1个单位长度
（C） 向左平行移动π个单位长度
（D） 向右平行移动π个单位长度
（15） 如图3所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成.若对于所有的x∈R， f（x）>f（x-1），则正实数a的取值范围为 .
【参考答案】
（1） 0或1
（2） B 【x的取值必须满足从{-，}中至少选择一个元素，且从{-3，3}中也至少选择一个元素，组合方法共9种】
（3） C 【关键是分析各函数的定义域】
（4） （0，1）
（5） ，33 【 f（x）=2x-5和 g（x）=log3在x∈[2，10]上均为增函数】
（6） ，+∞ 【令t=，则t≥0，y=2（x-1）-+3=2t2-t+3=2t-2+】
（7） 13 【y=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3，f（x）的定义域为1≤x≤9，则在y中应有x>0且1≤x2≤9，即1≤x≤3，因为log3x为增函数，故当x=3时，y的最大值为13】
（8） 6 【在同一坐标系中分别画出当x≥0时函数y=2x，y=x+2，y=10-x的图象，如图4所示.相关区域内不满足题意的部分函数图象，在图中用虚线表示】
（9） [10，+∞）
（10） -， 【原式等价于y（x2+4）=3x，整理得：yx2-3x+4y=0.当y=0时，得x=0；当y≠0时，关于x的一元二次方程有解，则Δ=（-3）2-4×4y2≥0，解得y∈-，0∪0，.综上可得，y∈-，】
（11） B 【由f（-x）=f（x）可知y是偶函数，图象关于y轴对称，当x∞时函数值趋近于1】
（12） B
（13） B 【由图象知f（0）=0，排除选项A； f（1）>0，排除选项C、D】
一、追问
例如，在高一数学复习中，将必修5第91页习题3（2）改编为求函数y=x2+3x 2+2的值域.
学生1：由基本不等式知，y=x2+3x 2+2=x2+2+1x 2+2≥2.所以函数的值域为［2,+∞).
问：解法正确吗？
学生2：解法不对.因为x2+2=1x 2+2不成立，所以不等式不能取等号.
追问:这里不能使用基本不等式，如何求其值域呢？谁能试一试？
学生3：先证这个函数在［2,+∞)上为增函数，再由函数的单调性求值域.于是得出正确结果：函数y=x2+3x 2+2的值域为322,+∞.
点评：学生3善于观察，联想合理，能把问题化归到函数的单调性这一基本性质中去求解.
追问：还有其他解法吗？
学生4：令t=x2+2，可得t≥2.y=x2+3x 2+2=x2+22+1x2+2-0=t2+1t-0.
这可看成定点A﹙0，-1﹚到动点P﹙t，t2﹚的斜率k，而点P在抛物线s=t2上，注意到这里,t∈［2，+∞).由图可知，k≥322,从而函数y=x2+3x2+2的值域为322，+∞.
点评：学生4想象丰富，巧变斜率；运用数形结合思想解答此题，更加直观明了.
在数学教学中，探究一题多解，就是引导学生从多角度去认识这个问题，全面考虑这个问题，比较各种方法的作用与优劣，引导学生认识解题的核心问题与共同本质，从而达到培养思维的深刻性与广阔性的目的.
二、反问
例如，已知：α，β是锐角，且sinα=55,sinβ=1010，求α+β.
学生1：α+β=π4.
学生2：α+β=π4或α+β=3π4.
反问：为什么两人所得答案不同？
学生3：得到这两种不同的答案，是因为对相同的范围(0,π)，余弦是单调函数,满足条件的解只有一个，而正弦函数则不然.
追问：正、余弦函数的单调性与自变量的取值范围紧密相关.谁能进一步考查α+β的范围？
学生4：事实上，α，β为锐角，由sinα=55
追问：问题得到解决，我们有何启发？
学生4：①要挖掘隐含条件，准确确定函数定义域非常重要.②若角的范围在(0,π)，取余弦函数比正弦函数好.
反问：若角的范围在(-π,π)，取余弦函数与正弦函数哪个好？
学生4：正弦函数好.
追问:选择的根本原因是什么？
学生4:是函数的单调性.更准确地说是在所给区间内函数是否是一一对应的.
关键词：数学；解析几何；求线段最值；曲化直
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）07-0241-01
解析几何中的最值问题是高考中的热点问题，既有选择题又有填空题、解答题，难度中等偏高.考查上述问题时，通常考查函数与方程、转化与化归及分类讨论等思想方法.这就要求同学们对最值问题要做到心中有数，运算准确，争取在此类问题上能够脱颖而出.下面，就常常出现的几类题型介绍一下自己的看法.
例1 已知点A（-3，8），B（2，2），点P是x轴上的点，求当|AP|+|PB|最小时点P的坐标.
【解析】设点B关于x轴的对称点为B1，连AB1交x轴于点P，则易知点P满足|AP|+|PB|最小.可求得直线AB1的方程2x+y-2=0.令y=0，则x=1.故所求点P的坐标为（1，0）.
点评：此题考查直线上一点到直线同侧的两点距离和的最小值，往往转化为对称问题，用直线方程的方法求解.很好地把直线问题与几何问题结合到了一起，难度不大，属于易得分题.
例2 若实数x，y满足x2+y2+8x-6y+16=0，则x+y+1的最大值为________.
【解析】解法一：令x+y+1=t，则依题设圆C：（x+4）2+（y-3）2=9与直线l：x+y+1-t=0有公共点，从而■≤r=3？圯-3■≤t≤3■.故所求最大值为3■.
解法二：因为x，y满足C：（x+4）2+（y-3）2=9，所以可设x=-4+3cosθy=3+3sinθ（θ为参数）.所以x+y+1=3cosθ+3sinθ=3■sin（θ+■）.故所求最大值为3■.
点评：此题考查直线与圆位置关系问题.解法一考虑用圆心到直线距离与半径比较大小，同学们容易想到但要注意计算准确.解法二则巧妙地运用了三角代换方法，简化了运算步骤，是较好的选择.
例3 如图，已知B，C为椭圆■+■=1的两个焦点，A（-2，■）为定点，M是椭圆上一动点，求|MA|+|MC|的最小值.
【解析】根据椭圆定义，有|MA|+|MC|=|MA|+（8-|MB|） =8-（|MB|-|MA|）.为使|MA|+|MC|取得最小值，只需|MB|-|MA|取得最大值，A、B、M三点共线时才可以取得，此时|MB|-|MA|≤|AB|=■，故所求最小值为8-■.
点评：此题考查椭圆第一定义的灵活运用，要熟练掌握转化变形，同时应用了三点共线原理，难度稍大，属于拉分题.
例4 P为双曲线■-■=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2=4和（x-5）2+y2=4上的点，求|PM|-|PN|的最大值.
【解析】根据题意，作出右图.显然，O1，O2为双曲线的两个焦点.要使|PM|-|PN|最大，即要使|PM|最大，|PN|最小，以此作出M，N具置如右图，则容易得出|PM|-|PN|最大值为：|PM|-|PN|=（|PO1|+2）-（|PO2|-1）=3+|PO1|-|PO2=3+6=9.
点评：此题属于综合性较强的题型，既考查了圆的方程，又考查了双曲线的性质.但最终还是回归到双曲线的定义上，充分体现了回归课本的指导思想.
例5 点A（3，2）为定点，点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在抛物线y2=4x上移动，则当|PA|+|PF|取得最小值时，点P的坐标是 .
【解析】抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，设P到准线的距离为d，则|PA|+|PF|=|PA|+d.要使|PA|+|PF|取得最小值，由右图可知过A点的直线与准线垂直时，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入y2=4x，得P（1，2）.
1、分式的分母不等于零;
2、偶次方根的被开方数大于等于零;
3、对数的真数大于零;
4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;
5、三角函数正切函数y=tanx中x≠kπ+π/2;
6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
二、函数的解析式的常用求法：
1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法
三、函数的值域的常用求法：
1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法
四、函数的最值的常用求法：
1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法
五、函数单调性的常用结论：
1、若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)+g(x)在这个区间上也为增(减)函数
2、若f(x)为增(减)函数，则-f(x)为减(增)函数
3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则f[g(x)]是增函数;若f(x)与g(x)的单调性不同，则f[g(x)]是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。
六、函数奇偶性的常用结论：
1、如果一个奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0，如果一个函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0(反之不成立)
2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。