时间：2023-06-06 09:30:40
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇统计与概率，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
1. 能根据具体的实际问题或者提供的资料，运用统计的思想收集、整理和处理一些数据，并从中发现有价值的信息，在中考中多以图表阅读题的形式出现.
2. 了解总体、个体、样本、平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差、频数、频率等概念，并能进行有效的解答或计算.
3. 能够对扇形统计图、频数分布表、频数分布直方图和频数折线图等几种统计图表进行具体运用，并会根据实际情况对统计图表进行取舍.
4. 在具体情境中了解概率的意义，能够运用列举法（包括列表、画树状图）求简单事件发生的概率，能够准确区分确定事件与不确定事件.
5. 加强统计与概率之间的联系，这方面的题型以综合题为主，将逐渐成为新课标下中考的热点问题.
下面举例对本部分内容所涉及的概念进行辨析：
一、 总体、个体、样本和样本容量的概念辨析
例1 为了了解某地区初一年级7 000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法中正确的是（ ）.
A. 7 000名学生是总体 B. 每个学生是个体
C. 500名学生是所抽取的一个样本 D. 样本容量是500
【辨析】总体是考察的对象的全体，个体是组成总体的每一个考察对象，样本是从总体中抽取的一部分个体，样本容量是样本中个体的数目，主要关注“考察对象”，本题应该选D.
二、 平均数、中位数、众数的概念辨析
例2 某班第二组男生参加体育测试，引体向上成绩（单位：个）如下：4，6， 9， 11， 13， 11， 7， 9， 8， 12，这组男生成绩的平均数是_______，中位数是_______，众数是_______.
【辨析】相同点：都是为了描述一组数据的集中趋势.不同点：所有数的总和除以总个数是平均数（所有数都参与计算），一组数据先按大小顺序排列，中间位置上的那个数据（如果中间有两个则求它们的平均数）是中位数（可能是原数据中的数，也可能不是原数据中的数），众数是出现的次数最多的数据（一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数，如果有众数，一定是原数据中的数）.本题答案分别为9 ，9 ，9和11.
三、 极差、方差、标准差的概念辨析
例3 甲、乙两人各射靶5次，已知甲所中环数是8、7、9、7、9，乙所中的环数的平均数为8，方差s2乙=0.4，那么，对甲、乙的射击成绩的正确判断是（ ）.
根据上述信息完成下列问题：
（1） 求这次抽取的样本的容量；
（2） 请在图②中把条形统计图补充完整；
（3） 已知该校这次活动共收到参赛作品750份，请你估计参赛作品达到B级以上（即A级和B级）有多少份？
【分析】条形统计图和扇形统计图是一种基本的统计图表，通过条形统计图可以看到各个对象或多个因素的绝对统计数据，能反应具体的数据；通过扇形统计图可清楚地表示出各部分数量占总量的百分比.本题背景新颖，首先考查了同学们的“图表”阅读能力，其次考查同学们根据图表中反映出的数据解答有关问题的能力.要注意两幅图之间的对应关系，首先由A级24人对应20%，可求得样本容量为24÷20%=120（人），所以C级为120×30%=36（人），D级为120-24-48-36=12（人），则可把图②中条形统计图补充完整. 由A、B两级所占的比例（24+48）÷120=60%，可知750份的参赛作品中B级以上的作品为750×60%=450（人）.该题在中考中还经常出现像求D级（图①中）所占的圆心角一类的问题，要学会分析和转化.
例2 （2012·江苏常州）在一个不透明的口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球2只，红球1只，黑球1只，它们除了颜色之外没有其他区别.从袋中随机地摸出1只球，记录下颜色后放回搅匀，再摸出第二个球并记录颜色.求两次都摸出白球的概率.
【分析】本题是典型的概率计算题，同学们在做该类型摸球的题目时首先要明确是否有放回，其次要用序号来区分相同颜色的球，这样就不容易重复和遗漏.画树状图或列表如下：
例3 （2008·湖北天门）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B. 转盘A被均匀地分成3等份，每份分别标有1，2，3这三个数字；转盘B被均匀地分成4等份，每份分别标有4，5，6，7这四个数字.有人为小明，小飞设计了一个游戏，其规则如下：① 同时自由转动转盘A和B；② 转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），用所指的两个数字相乘，如果积为偶数，小明胜，否则小飞胜.
（1） 请你用列表或树形图求出小明胜和小飞胜的概率；
考点1 全面调查（普查）、抽样调查
例1 （2011年桂林卷）下面调查中，适合采用全面调查的事件是（ ）?郾
A?郾 对全国中学生心理健康状况的调查
B?郾 对我市食品合格情况的调查
C?郾 对桂林电视台《桂林板路》收视率的调查
D?郾 对你班同学身高情况的调查
解：选D?郾
温馨小提示：当调查的对象很多又不是每个数据都有很大的意义（如全国学生的心理健康情况），或者调查的对象不多，但带有破坏性（如食品的合格率、炮弹的杀伤力），应采用抽查方式；如果调查对象不需要花费太多的时间又不具有破坏性，或者生产生活中有关安全隐患的问题，就必须采用普查的方式进行?郾
考点2 总体、个体、样本、样本容量
例2 （2011年内江卷）为了解某市参加中考的32 000名学生的体重情况，抽查了其中1 600名学生的体重进行统计分析?郾 下面叙述正确的是（ ）?郾
A?郾 32 000名学生是总体
B?郾 1 600名学生的体重是总体的一个样本
C?郾 每名学生是总体的一个个体
D?郾 以上调查是普查
解：本次调查是抽样调查，总体是32 000名学生的体重，个体是每名学生的体重，样本是抽取的1 600名学生的体重，样本容量是1 600?郾 选B?郾
温馨小提示：总体、个体、样本都是针对考察对象而言的，是一种“数量指标”（如身高、体重、使用寿命等），而总体强调“全体”，样本强调“部分”，个体强调“每个”?郾 另外，样本容量是数目，是不带单位的?郾
考点3 平均数、中位数、众数
例3 （2011年威海卷）2011年体育学业考试增加了跳绳测试项目，有一组（10名）同学的测试成绩（单位：个/分钟）如下：
176 180 184 180 170 176 172 164 186 180
该组数据的众数、中位数、平均数分别为（ ）?郾
A?郾 180，180，178?摇?摇 B?郾 180，178，178
C?郾 180，178，176?郾8?摇?摇 D?郾 178，180，176?郾8
解：将数据从小到大整理如下表：
从表中可以看出180出现3次，因此众数为180；中位数是■=178；平均数为：■=176?郾8 ?郾 选C ?郾
温馨小提示：众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是把一组数据中的数由小到大排列后，处在最中间位置的一个数（数据总个数是奇数个时）或两个数的平均数（数据总个数是偶数个时）；把一组数据先求和，再除以总个数就是平均数?郾
考点4 极差、方差
例4 （1）（2011年龙岩卷）一组数据10，14，20，24，19，16的极差是 ?郾
（2） （2011年衡阳卷）甲乙两台机床生产同一种零件，并且每天产量相等，在6天中每天生产零件中的次品数依次是：甲：3、0、0、2、0、1；乙：1、0、2、1、0、2 ?郾 甲、乙两台机床中性能较稳定的是 ?郾
解：（1）在这组数据中，最大的数是24，最小的是10，
这组数据的极差是24-10=14?郾
（2）■甲=■=1，■乙=■=1，
S2甲=■=■，
S2乙=■=■，
■>■， 乙机床的性能较稳定?郾
温馨小提示：极差=最大值-最小值，极差反映了一组数据的变化范围；一般情况下，在平均数接近的情况下，方差越小，波动越小，稳定性越好?郾
考点5 频数、频率及频数分布直方图
例5 （2011年湘潭卷）2011年我市体卫站对某校九年级学生体育测试情况进行调研，从360名学生中抽取了部分学生的成绩（成绩分为A、B、C三个层次）进行分析，绘制了频数分布表与频数分布直方图（如图1），请根据图表信息解答下列问题：
（1）补全频数分布表与频数分布直方图；
（2）如果成绩为A等级的同学属于优秀，请你估计该校九年级约有多少人达到优秀水平？
解：（1）根据频数分布表中C组的频数与频率可知，总人数=10÷0?郾10=100（人），则B组的频数=0?郾50×100=50（人）；A组的频率=40÷100=0?郾40 ?郾 补全频数分布表与频数分布直方图略?郾
（2） 0?郾40×360=144（人），
该校九年级约有144人达到优秀水平?郾
温馨小提示：解答这类问题要注意两点：（1）每个对象出现的次数叫做频数，各个对象的频数之和等于数据总数；（2）频率=■，所有对象的频率之和等于1?郾
考点6 必然事件、随机事件与不可能事件
例6 （2011年徐州卷）下列事件中，属于随机事件的是（ ）?郾
A?郾 抛出的篮球会下落
B?郾 从装有黑球、白球的袋里摸出红球
C?郾 367人中有2人是同年同月同日出生
D?郾 买1张彩票，中500万大奖
解：选D?郾
温馨小提示：确定性事件包括必然事件和不可能事件，随机事件是指事先无法肯定会不会发生的事件，也就是该事件可能发生，也可能不会发生?郾
考点7 直接用P （A）=■求简单事件的概率
例7 （2011年淄博卷）在1，2，3，-4这四个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y=■的图像在第二、四象限的概率是（ ）?郾
A?郾 ■?摇?摇 B?郾 ■ C?郾 ■?摇?摇 D?郾 ■
解：由反比例函数的图像在第二、四象限，得k＜0?郾 而任选两个数相乘，共6种不同的结果，分别是2，3，-4，6，-8，-12?郾 其中使得k＜0的有3种结果， 概率是■=■?郾 选B?郾
温馨小提示：在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，我们可以用P（A）=■求事件A发生的概率?郾
考点8 用列表法或树形图法求概率
例8 （2011年内江卷）小英和小明姐弟二人准备一起去观看端午节龙舟赛，因家中临时有事，必须留下一人在家，于是姐弟二人采用游戏的方式来确定谁去看龙舟赛?郾 游戏规则是：在不透明的口袋中分别放入2个白色和1个黄色的乒乓球，它们除颜色外其余都相同?郾 游戏时先由小英从口袋中任意摸出1个乒乓球记下颜色后放回并摇匀，再由小明从口袋中摸出1个乒乓球，记下颜色?郾 如果摸到的乒乓球颜色相同，则小英赢，否则小明赢?郾
（1）请用树形图或列表法表示游戏中所有可能出现的结果；
（2）这个游戏规则公平吗？请说明理由?郾
解：（1）列表格如下：
（2）由上表可知，游戏中所有可能出现的结果共9种，小英赢的概率为■，小明赢的概率为■，所以不公平?郾
温馨小提示：一般地，求两步的随机事件的概率，既可以用列表法，也可以用画树形图法，求三步或三步以上的随机事件的概率，通常用画树形图法?郾 游戏是否公平，就是看游戏双方获胜的概率是否相等?郾
考点9 统计图表的综合应用
例9 （2011年福州卷）在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排60课时用于总复习，根据教学内容所占课时比例，绘制如下统计图表（图2～图4），请根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）图2中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度；
（2）图3、4中的a= ，b= ；
（3）在60课时的总复习中，唐老师应安排多少课时复习“数与代数”内容？
解：（1） 1-（40%＋45%＋5%）=10%，
“统计与概率”所在扇形占圆的面积的10%.
“统计与概率”所在扇形的圆心角度数为：360×10%=36?郾
（2）由图3可知，“数与代数”包括“数与式、方程（组）与不等式（组）、函数”?郾
“数与代数”所在扇形占圆的面积的45%，
“数与代数”在初中阶段380课时的数学内容中占的课时数为380×45%=171（课时），
即67＋a＋44=171， a=60?郾
由图4可知，“方程（组）与不等式（组）”包括“A一次方程，B一次方程组，C不等式与不等式组，D二次方程，E分式方程”.
a=18＋13＋12＋b＋3=60. b=14 ?郾
1. 在一次学校举行的演讲比赛中，10位评委给其中一位选手打分如下：9.5，9.6，9.3，9.8，9.4，8.8，9.6，9.2，9.5，9.6，则这组数据的众数和中位数分别是（）.
A. 9.45，9.6 B. 9.5，9.6
C. 9.6，9.5 D. 9.55，9.6
2. 一组数据从小到大排列为：1，2，4，x，6，9，这组数据的中位数为5，那么这组数据的众数为（）.
A. 4 B. 5
C. 5.5 D. 6
3. 图1是某班学生外出时乘车、步行、骑车的人数分布直方图和扇形分布图（两图都不完整），则下列结论中错误的是（）.
A. 该班总人数为50人
B. 步行人数为30人
C. 骑车人数占总人数的20%
D. 乘车人数是骑车人数的2.5倍
4. 某学习小组共有8人，在一次数学测验中，得100分的1人，得90分的2人，得74分的4人，得64分的1人，那么这个小组的平均成绩是（）.
A. 82分B. 80分C. 74分D. 90分
5. 有下列事件：① 抛掷一枚硬币100次，第100次正面向上；② 两次抛掷正方体骰子，抛掷得的数字之和小于13；③ 煮熟的鸭子飞了；④ 打开电视机，正在播出广告.其中为可能事件的是（）.
A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④
6. 随机投掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（）.
A. 1B.C.D.
7. 如图2所示的两个圆盘中，指针落在每一个数字所属区域的机会相等，那么两个指针同时指向奇数的概率为（）.
A.B.C.D.
8. “从一个口袋里随机摸出1枚围棋子，恰好是黑子的机会是 ”，这句话的意思是（）.
A. 摸25次一定能摸到7次黑子
B. 摸25次其中18次一定是白子
C. 如果摸足够多次，平均每25次有7次摸到黑子
D. 口袋里一定有18枚白子和7枚黑子
二、填空题
9. 在航天知识竞赛中，包括甲同学在内的6名同学的平均分为74分，其中甲同学得了89分，则除甲以外的5名同学的平均分为______.
10. 已知在一个样本中，50个数据分别落在五个组内，第一、二、三、五组数据的个数分别为2，8，15，5，则第四组的频数为______，频率为______.
11. 下表是一个文具店6~12月份某种铅笔销售情况统计表：
观察表中数据可知，众数是______，中位数是______.
12. 若事件A发生的概率为P，则事件A不发生的概率为______.
13. 一只袋内装有2个红球，3个白球，5个黄球（这些球除颜色外没有其他区别），从中随机取出1球，则取得红球的概率为______.
14. 小红、小明、小芳在一起做游戏时需要确定先后顺序，他们约定用“剪刀、石头、布”的方式确定，则在某一回合中三个人都出“剪刀”的概率是______.
15. 甲、乙两台机器分别灌装每瓶质量为500 g的矿泉水，从甲、乙灌装的矿泉水中分别随机抽取了30瓶，测得它们实际质量的方差是 =4.8， =3.6，那么______（填“甲”或“乙”）灌装的矿泉水质量比较稳定.
16. 一个口袋中有12个白球和若干个黑球（除颜色外，其他完全相同），在不允许将球倒出数的前提下，小亮为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：先从口袋里每次摸出10个球，求出其中白球与10的比值，再把球放回口袋里摇匀，不断重复上述过程5次，得到白球与10的比值分别为：0.4，0.1，0.2，0.1，0.2.根据上述数据，小亮可估计口袋里大约有______个黑球.
三、解答题
17. 某公司人事部准备从内部招聘一名管理人员，对甲、乙、丙三名候选人进行专业知识测试，成绩如下表所示.依据录用的程序，还要组织200名职工对三人进行民主评议投票，三人得票率如图3所示.（没有弃权票，每位职工只能投1票，每得1票记作1分）
（1） 请计算出三人的民主评议得分.
（2） 根据招聘简章，人事部将专业知识、民主评议两项得分按6 ∶ 4的比例确定各人成绩，成绩优秀者将被录用，请通过计算说明谁将被录用.
18. 为了备战运动会，某射击队对甲、乙两名队员进行了10次测试，成绩如图4所示.
（1） 根据图中提供的信息填写下表：
（2） 如果你是教练，你会选择哪位运动员参加比赛？请说明理由.
19. 将正面分别标有数字1，2，3并且背面花色相同的3张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上.
（1） 随机抽取1张，求抽出的卡片上的数字是奇数的概率.
（2） 随机抽取1张作为十位上的数字（不放回），再抽取1张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？恰好为23的概率是多少？
20. 如图5，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成两个面积相等的半圆，小明和小红用这两个转盘决定谁能获胜.游戏规定：将两个转盘各转1次为1次游戏（指针指在边界线上视为无效，重转）
（1） 小明说：“如果两个指针所指的数字之和为6或7，我获胜，其他情况你获胜.”请你用列表或画树状图说明两人获胜的可能性各是多少.
（2） 小明定的规则是否公平？如果不公平，请你设计一种公平的游戏规则.
参考答案
一、1. C 2. D 3. B 4. B 5. B 6. D 7. B 8. C
二、9. 71分 10. 20 0.4 11. 200 300 12. 1-P 13. 0.2 14. 15. 乙
16. 48
三、17. （1） 甲、乙、丙的民主评议得分分别为70，68，62.
（2） 甲被录取.甲的最后成绩为71.8；乙的最后成绩为71.6；丙的最后成绩为65.
18. （1） 甲的众数为6，方差为1.2；乙的平均数为7，众数为8.
（2） 从平均数来看甲、乙一样；从众数来看乙优秀的次数多；从稳定性来看，甲成绩较稳定；从发展的角度来看乙的成绩在不断提高.选乙.
19. （1）. （2） 12，13，21，23，31，32.能组成23的概率为 .
20. （1） 小明获胜的可能性为 ，小红获胜的可能性为 .
1 直接考察有关概念的意义
例1（南安市）下列调查方式，你认为正确的是()
（A）了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查方式
（B）了解南安市每天的流动人口数，采用抽查方式
（C）要保证“神舟6号”载人飞船成功发射，对重要零部件采用抽查方式检查
（D）了解南安市居民日平均用水量，采用普查方式
分析 学习统计的目的应能通过实验“收集数据描述数据分析数据”，并根据这些数据作出合理的决策，因此我们必须对为了获得实验数据而进行的各种调查有明确的判断. 这样的题目可培养学生的分析判断能力，养成严肃认真、一丝不苟的良好习惯.
本题中，正确的调查方式应为B.
例2 （福建泉州市）在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球3个、白球1个. 搅匀后，从中同时摸出2个小球，请你写出这个实验中的一个可能事件:________
分析 学习概率的有关知识，必须了解随机现象，根据事件发生可能性的大小正确判定出给定的事件到底是确定事件、不确定事件及可能发生的事件. 这样的题目对于培养学生分类讨论的思想意识有着积极的意义.可能事件有两个：（1）摸出2个红球；（2）摸出的2个球中有一个红球和1个白球.
2 关于基本统计量的计算与应用
例3 (江苏扬州市）某校九年级(1)班积极响应校团委的号召,每位同学都向“希望工程”捐献图书,全班40名同学共捐图书320册. 特别值得一提的是李扬、王州两位同学在父母的支持下各捐献了50册图书. 班长统计了全班捐书情况如下表(被粗心的马小虎用墨水污染了一部分)：
（1）分别求出该班级捐献7册图书和8册图书的人数；
（2）请算出捐书册数的平均数、中位数和众数,并判断其中哪些统计量不能反映该班同学捐书册数的一般状况，说明理由.
分析 本题主要考查平均数、中位数和众数的意义、计算及应用. 要求同学们能掌握这些概念和计算方法，正确理解样本数据的特征，能根据计算结果作出准确的判断.
（2）捐书册数的平均数是8，中位数是15，众数是6. 显然中位数和众数不能反映该班同学捐书册数的一般状况. 原因省略.
3 概率的计算与运用
例4 （福建泉州市）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如下图所示. 游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜.
（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由.
分析 此题关注问题情境的趣味性，体现了课标的精神和要求. 着重考察概率的求法和运用概率的意义解答生活中的实际问题. 这种让学生在轻松愉快而又现实的背景中解答趣味问题的做法有利于促进学生良好数学观的形成.
解 （1）（法1）画树状图（见下图）：
由上图可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结果有6种. 所以P（和为奇数）=0.5.
（法2）列表如下：
由上表可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结果有6种. 所以P（和为奇数）=0.5.
（2）因为P（和为奇数）=0.5，所以P（和为偶数）=0.5，所以这个游戏规则对双方是公平的.
4 利用统计图表提供的信息解决生活中的实际问题
由于这样的问题是考察学生的综合能力，所以类似下面的例题随处可见，它们涉及到我们生活的方方面面.
例7 （山东枣庄市）某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如上图所示，每得一票记作1分.
(1）请算出三人的民主评议得分；
(2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用（精确到0.01)?
(3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4∶3∶3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？
考点明晰
1. 能通过具体实际问题辨认总体､个体､样本､样本容量这4个基本概念.
2. 理解平均数､样本方差､样本标准差､中位数､众数本身所反映的实际意义,并且要掌握它们的计算方法,会用样本估计总体的思想方法解决此类实际应用题.
3.能够整理一组数据列出频率分布表,会画频率分布直方图,能根据所提供的信息补全频率分布表和频率分布直方图.
4. 掌握扇形､条形､折线统计图的画法,明确它们之间的关系,掌握它们各自的优点,特别要掌握如何从这些统计图中获取信息,再将所获得的信息应用到具体问题中.
5.能够利用概率知识解决现实中的实际问题.
考题精讲
例1(2006年山东考题)某单位欲从单位内部招聘管理人员一名,对甲､乙､丙3名候选人进行了笔试和面试两项测试,3人的测试成绩如下表所示:
根据录用程序,组织200名职工对3人利用投票选举的方式进行民主评议,3人得票率(没有弃权票,每位职工只能推荐1人)如图1所示,每得1票记1分.
(1)请计算出3人的民主评议得分.
(2)如果根据3项测试的平均成绩录用人选,那么谁将被录用(精确到0.01)?
(3)根据实际需要,单位将笔试､面试､民主评议3项测试得分按4:3:3的比例确定个人成绩,那么谁将被录用?
分析:本题需要同学们运用所学统计知识,收集准确信息,结合实际要求,综合处理社会生活中的实际问题,作出合理判断.
解:依图形得甲:200×25%=50; 同理乙:200×40%=80; 丙:200×35%=70.
(2)甲的平均成绩为:(75+93+50)/3=72.67(分);
乙的平均成绩为:(80+70+80)/3=76.67(分);
丙的平均成绩为:(90+68+70)/3=76.00(分);
由于76.67＞76.00＞72.67,所以,候选人乙将被录用.
(3)如果将笔试､面试､民主评议3项测试成绩按4:3:3的比例确定个人成绩,那么甲的个人成绩为:（4×75+3×93+3×50）/（4+3+3）=72.9(分);
乙的个人成绩为:（4×80+3×70+3×80）/（4+3+3）=77(分);
丙的个人成绩为:（4×90+3×68+3×70）/（4+3+3）=77.4(分).
77.4＞77＞72.9,即丙的个人成绩最高,所以候选人丙将被单位录用.
例2(2006年重庆考题)学习了统计知识后,班主任王老师让班长就本班同学的上学方式进行了一次调查统计.图2和图3是班长收集数据后,绘制的两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息,解答以下问题:
(1)在扇形统计图中,计算“步行”部分所对应的圆心角的度数.
(2)该班共有多少学生?
(3)在图2中,将表示“乘车”的部分补充完整.
分析:本题是扇形统计图和条形统计图共同反映的一个现实问题,两个图形所收集的信息可以互补.
解:(1)(1-20%-50%)×360°=108°.
(2)20÷50%=40(人).
(3)如图4所示,根据计算得出乘车人数为40-20-12=8(人).
例3(2006年上海考题)某市在中心城市范围内,选取重点示范路口进行交通文明状况满意度调查,将调查结果的满意度分为:不满意､一般､较满意､满意和非常满意,依次以红､橙､黄､蓝､绿5色标识.今年5月的调查结果中,橙色和黄色标识路口之和占被调查总数的15%,结合未画完整的图5所示信息,回答下列问题:
(1)此次被调查的路口总数是___________.
(2)将图中绿色标识部分补画完整,并标上相应的路口数.
(3)此次被调查路口的满意度能够作为该市所有路通文明状况满意度的一个随机样本吗?
解:(1)因为调查结果中橙色与黄色标识路口数之和占被调查总数的15%,所以,结合图形提供的信息:(1+8)÷15%=60,即被调查路口总数为60.
(2)又根据图形所示绿色标识的路口数为:60-(1+8+41)=10,即可将图形补充完整.补图略.
(3)不可以,因为此次调查的都是重点示范路口,不具有代表性.
例4(2006年南京考题)学校有A､B两个餐厅,甲､乙､丙3名学生各自随机选择其中一个餐厅用餐:
(1)求甲､乙､丙3名学生在同一餐厅用餐的概率;
(2)求甲､乙､丙3名学生中至少有一个在B餐厅用餐的概率.
分析:所有可能出现的情况如右表:
(1)从上表中可以得出甲､乙､丙3名学生在同一个餐厅用餐的概率为1/4.
(2)甲､乙､丙3名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率是7/8.
例5(2006年盐城考题)某中学为了了解某年级1200名学生每学期参加社会实践活动的时间,随机对该年级50名学生进行调查,结果如下表与图6:
(1)在这个统计中,众数是__________,中位数是_________.
(2)补全频率分布表和频率分布直方图.
(3)请你估算这所学校该年级的学生中,每学期参加实践活动时间不少于9天的人数约有多少人?
分析:此题考查同学们对中位数､众数的理解与求法以及用样本估计总体的思想方法.同时要知道各小组的频率之和为1,各小长方形面积等于该小组的频率,它们的和也是1,并能够根据所给的一些信息来补全频率分布表和频率分布图.
解:(1)根据定义可知,众数为11,中位数为11.
(2)频数:18, 因为50-6-14-9-3=18.
频率:0.28,因为1-0.06-0.18-0.36-0.12=0.28.
补全的频率分布直方图如图7所示.
(3)1200×(0.28+0.12)=480(人)
答:不少于9天的有大约480人.
例6 (2006年苏州考题)如图8,电路图上有4个开关A､B､C､D和一个小灯泡,闭合开关D或同时闭合开关A､B､C都可使小灯泡发光.
(1)任意闭合其中一个开关,小灯泡的发光概率为多少?
(2)任意闭合其中两个开关,请用树状图或列表法求出小灯泡发光的概率.
分析:本题就是利用概率知识,解决现实生活中的具体问题.
解:(1)很明显,任意闭合电路中的一个开关,小灯泡发光的概率为1/4.
(2)正确画出树状图如图9所示.
所以,任意闭合其中两个开关的情况共有12种,其中能使灯泡发光的情况有6种,小灯泡发光的概率为1/2.
例7(2006年安徽考题)方案决策:两人要去某风景区游玩,每天某一时刻有3辆汽车开往该风景区(票价相同),但是他们不知道这些车的舒适程度,也不知道汽车开过来的顺序,两人采用了不同的乘车方案:甲无论如何总是上开来的第一辆车,而乙则是先观察后上车.当第一辆车开过来时,乙不上车,而是仔细观察车的舒适状况,如果第二辆车的状况比第一辆好,他就上第二辆;如果第二辆不比第一辆好,他就上第三辆.如果把这3辆车的舒适程度分为上､中､下三等,请尝试着解决下面的问题:(1)3辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能?(2)你认为甲､乙两人采用的方案,哪一种方案使自已乘坐上等车的可能性大?为什么?
解:(1)3辆车开过来的先后顺序有6种可能:(上､中､下),(上､下､中),(中､上､下),(中､下､上),(下､上､中),(下､中､上).
(2)由于不知道任何信息,所以只能假定6种顺序出现的可能性相同,我们来研究在各种可能性的顺序下,甲､乙二人分别会上哪一辆车.(列表如下)
通过观察表格不难得出:甲乘上､中､下3辆车的概率都是1/3,而乙乘上等车的概率是1/2,乘中等车的概率是1/3,乘下等车的概率是1/6,所以乙采用的方案乘坐上等车的可能性大.
分析:这是一道概率应用题,第(1)小题通过罗列出3种不同顺序的所有可能结果不难求得;第(2)小题在第(1)小题的基础上借助于概率的定义来解决,假定6种顺序出现的可能性相同,通过列表得出甲乘坐上等车的概率为1/3,乙乘坐上等车的概率为1/2,从而得出结论:用乙采取的方案乘坐上等车的可能性大.解题关键是将乘坐上等车可能性的大小转化为比较概率的大小.
备考方略
统计与概率中的解题方法较多,有些是以公式出现的,如平均数､方差等,有些是以图表表现的,例如列表法､画频率分布直方图､条形图､扇形图､折线统计图､树状图等.在运用以上方法时,要理解各自的概念､定义,在运用这些概念､定义解决问题时,回归定义是统计初步的一种重要方法,如计算一组数据的中位数､方差､平均数等.
在具体的统计题中,往往是多个概念的组合体,因此,同学们在运用统计方法解题时,不仅要准确把握各个概念的定义,而且要准确把握这些概念之间的区别和联系.
当计算一组数据的平均数或方差时,由于数据太多或太大,计算时比较麻烦,应根据数据特点选择计算公式,这样,不仅节约时间,更能提高准确率.
一、“统计与概率”课程标准设计特点
小学数学中的统计和概率既有普通特点，又有其特殊性，与小学生的认识规律有关。
1. 它强调“统计与概率”过程性目标。让学生全身心投入到统计过程中，在统计过程中发现问题，运用数据处理方法处理问题（统计图表或统计图形），用图表或图形分析数据，发现规律，从而得到结果。与同学分享，取长补短优化个人处理方法，这种处理过程是学生形成数据观最有效的方法。
2. 它强调对统计表特征和统计量实际意义的理解，并且注意与现代信息技术结合。小学生已经开始计算机课程，计算机和计算器的普及，为统计和概率学习提供了方便。计算机可以大大提高数据整理和显示的效果，在建立、记录和研究信息方面，为学生提供一个良好的工具，可以使学全有充足的时间来探究统计的实质。将计算机模拟应用到学生实验中，让学生的实验结果得到充分的印证。因此，复杂的数据通过工具完成，避免过多精力用到数据处理上，从而使学生更多的掌握方法和思路。
二、“统计与概率”教学中应注意的几个原则
在小学阶段，“统计与概率”的教学应注意从儿童的认知特点出发应该强调以下原则：
1. 实践性原则。统计和概率的研究对象是生活常见的东西或事件。如学生喜爱的对象：花草树木、水果，比较熟悉的一些动物的奔跑速度；濒临灭绝的物种及数学的出生年月，戴眼镜的人数，一天的体温变化记录。
2. 过程性原则。一些著名的河流的长度；班级同人的身高、体重、臂长等，气温、雨量记在教小学阶段的各个概念计的结果。在经历收集数据、应该注重形成概念的全过程，而不是统的方法处理数据的过程中学习收集同时也培养以随机的观点来理解世界的观念、处理及描述。
3. 趣味性原则。因为是在小学阶段乏味的、繁琐的数据处理，我们不能把“概率与统计”的教学变成枯燥无味，而应以有趣的方式呈现。
为了比较好地体现上面的三个原则，我们在对统计表统计量的学习时，可参照竺可桢日常生活中各种各样的实例，在经历收集、整理、描述、分析数据的过程中加深对有关概念的理解。另外，由他们收集或在教科书上数据信息必须与学生的日常生活相联系，以有利于他们对数据近行分析和解释、发表对数据信息的理解、推理和判断。
三、“统计与概率”学习活动中的应用
1. 指导学生设计统计活动，检验某些预测。设计统计活动是统计知识的综合运用，它包括设计的主题，实施的方法以及数据的整理、分析等。在指导学生进行这一活动时，要注意以下两点：
（1）设计统计活动的主题要与学生的生活密切联系。调查的范围也在同一个班内，学生容易实施。在调查前，以小组为单位，先设计一个调查表，就能实施调查。在生活中这样的实例很多，例如，调查班内某个同学上学在路上所用的时间，上学所用的交通工具，每天做家庭作业所用的时间等。教师在组织学生进行设计时，经常运用他们身边的实例作为主题，学生就比较容易掌握统计活动的设计方法。
（2）设计统计活动应与预侧相结合。预测是判断某一事物，判断是否精确，他与判断中的知识和掌握的数据有密切关系。学生预测能力的提升，对于以后的学习有着重要的作用。为了达到提高学生预测能力的目的，教学中需要设计统计活动，先进行预测，再统计论证。以生活中常见的白色污染（塑料袋）调查为例，在学生调查活动开始之前，先预判一下调查结果，然后再公布调查数据，从而验证调查结果。预测结果出来后，让学生分析预测对于错的原因，从而得到预测应该注意的几个问题。
【关键词】 数学课 统计 概率 方法
一、内容呈现形式上要强调数据统计的过程
对事件发生概率的体验与刻画学生只有投入到数据统计的过程中，才能更好地体会和理解数据统计的思想和有关概念，因此，这部分内容在呈现形式上要强调数据统计的过程，加强数学活动过程的展现，在活动过程中，自然地引入概念，使学生认识相应概念的意义和作用。例如，频数分布图的制作不应只给出程序化的步骤，而要提供具有现实意义的背景，使学生在解决问题的过程中熟练频数分布图的制作方法。例，针对本市14岁学生最喜欢看的电影，一家报纸开展调查活动。为什么以下的样本不能较好地代表全体14岁学生的意见？⑴全市合唱团中所有14岁成员；⑵某一学校全体14岁学生；⑶周末14：00～15：00到某家影院访问所有遇到的14岁儿童。教学设计中可以在适当的地方提出一些问题来促使学生投入数据统计的全过程。例如，解决这个问题需要收集数据吗？需要抽样吗？如何选择合适的图表来展示数据？从这些数据中你能得到什么结论？你能证实和反驳这个结论吗？教学设计的呈现方式要有利于学生对概率意义的进一步体会。因此，教学设计应当提供机会让学生利用列表，作树状图，制作面积模型，做实验，或者应用简单的计算等多种方法来获得事件发生的概率，在多样化的活动中，使学生体会概率的意义及其刻画方法。
二、选择具有现实意义、体现统计与概率思想方法的素材
统计与概率的内容具有非常丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的应用。因此，教学设计中应提供足够的生活实例，着重于对现实问题的探索，理解概念的实际意义，解决一些实际问题。现实生活中有多种渠道可以提供有意义的问题，我们要充分挖掘适合学生学习的材料，既可以从报刊杂志、电视广播、计算机数据库等许多方面寻找素材，也可以从学生的生活实际中选取。例如，有关学校周围道路交通 （运输量、车辆数、堵塞情况、交通事故等）状况的调查，本地资源与环境的调查，对自己所喜爱的体育比赛的研究，讨论有奖销售等问题。这样的素材能使学生更好地认识现实世界，对现实世界中的许多事情形成自己的看法，满足学生了解这个世界的好奇心。例，调查学校附近一个人行横道的人流情况，就这个人行横道的安全和便利你能提出改进意见吗？分小组设计一个调查方案，然后以小组形式调查，并将调查和分析结果写成一个调查报告，在全班进行交流。编写教学设计时，应当注意选取具有一定数学价值、能体现统计与概率思想的素材。第三学段中一个重要的方面是出现了样本的概念，通过对样本的分析来推断总体的特性。对这一思想学生比较陌生，教学设计中一定要选择来源于现实生活的、反映这一思想的素材，使学生在熟悉的情境中逐步体会和理解抽样的必要性。
三、教学设计要留给学生充分探索和交流的空间
初中阶段学生独立思考和探索的愿望逐渐强烈，并能在探索的过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法。教学设计时要注意体现这个特点，要留给学生充分思考的空间。所选题材和呈现方式要使学生能亲身参与对有关数据的收集、处理、分析、解释以及对可能性的探索和体验的活动，以此培养学生的参与意识和探索精神。教学设计可以提供一系列开放性的问题，用多种多样的尝试与想法，提供大量供学生思考讨论的材料，使学生在探索的过程中进一步理解有关概念的意义。教学设计可以通过安排课外活动、社会调查等为学生拓展探索的空间。例如，可以收集报纸、杂志、电视中公布的数据，分析它们是否是由抽样得到的，有没有提供数据的来源，是否可靠；全班合作，分别统计一本文学书和科普书一章中出现的最常见的10个字的次数；查阅资料，请教专家，了解降雨概率的情况；等等。这样，学生就能将数学与社会相联系，把统计与概率当作了解社会的一个重要手段，并提高自己处理问题、解决问题的能力。
四、对专业化的术语要提供丰富的背景
避免单纯的计算这部分内容中出现了一些专业性术语 （如样本、频数分布、样本方差等），教学设计应为这些术语提供丰富的背景，使学生体会它们的意义，而不要给出形式化的定义。初中阶段还要通过一些实例，丰富学生对概率的认识，这些例子可能会涉及几何概型、互斥事件、独立事件等方面知识，但引入实例的目的在于开阔学生的视野，至于术语本身则无须出现。计算样本方差、作频数分布图等都是重要的活动，但是要把它们放到问题情境中去，不能处理成纯计算和记忆公式的内容。在教学设计中，要尽量避免在没有实际背景的情况下给出已知数据，然后借助这些数据进行计算和作图表等内容。
五、重视与其他领域的联系以及统计与概率之间的联系
【关键词】 等可能性；机会；概率；随机；变量数学
信息社会，人们每天都面对着大量的数据和信息，常常需要在不确定情景中，根据大量无组织的数据，作出合理的决策，如票、降雨概率、买卖股票的收益、统计部门大量的数据统计及决策等. 概率与统计正是通过对数据的收集、整理、描述和分析以及对不确定现象和事件发生可能性的刻画，来为人们更好地制定决策提供依据和建议.
部分中小学生会对概率统计产生某些错误概念，概率概念高度抽象，随机现象很难把握，尤其是概率说理有一个特殊的问题，那就是它有时会与因果的、逻辑的、确定性的思维形成冲突. 如，在教“三角形任意两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半”时，只需作图，并稍作推理，学生就能接受这一事实，但若教“抛掷一枚匀称的骰子，掷得一点的概率为”时，教师却不能在数次或几十次实验后，保证学生能观察到这一事实. 而且要让学生接受，要用大数次观察的频率作为一次试验概率的估计值这一观点更非易事，这正是造成概率概念难教难学的原因之一.
李俊博士对中小学概率统计的研究为我们制定教学策略提供了宝贵的依据和深刻的启示：
分析产生错误认识的原因尽管是多方面的，比如，每名学生的数学现实与生活经验不同，不同文化的影响，题目中的数据和背景，等等，但更重要的一点还在于学生从小学到中学学习常量数学所形成的片面地、孤立静止地看问题的思维方式和习惯，不适应于随机变量数学的学习. 为此，相应的概率概念的教学策略应是：
第一，引导学生用全面的、联系的、运动变化的观点看问题，学会辩证思维.
概率与统计和微积分等变量数学进入中小学，彻底打破了以往常量数学长期独占天下的格局，片面地、孤立静止地分析和解决问题的思维方式与习惯已完全不能适应新数学课程的学习. 学生必须学会用全面的、联系的、运动变化的观点分析和解决问题，在学会概率思维的同时学会辩证思维，教师要引导帮助学生逐步树立辩证唯物主义的世界观和方法论.
比如，“比例数”是静态概念，“概率”是动态概念，古典概率计算体现了“动”与“静”的辩证观. 例如，“静态”地看，一颗骰子奇数点所占的比例数为■；“动态”地讲，任意掷一次出现奇点的概率为■. 不难看出，在“静态”向“随机”转化时，“比例数”相应于“概率”. 然而，概率思维与比例推导却是基于两种截然不同的心智模式.
第二，以具体直观教学活动把握随机性理解抽象概念，培养学生的随机性数学意识.
数学思维活动建立在直接感知具体形式的基础上才能形成生动的直观和活泼的想象，概率概念教学应通过真实的活动、真实的数据和直观模拟，让学生在做中学. 教师要创造问题情境鼓励学生检查、修改和更正他们对概率的信念和常发生的错误认识，帮助学生分析和发现产生错误认识的原因，采取探究式的学习策略学习概率概念知识，结合实验教学，让学生通过实例认识到机会可以被量化，大量重复试验会使频率趋于稳定，接受用频率估计概率的思想，逐步引入概率的公理化定义.
关于随机性数学意识的培养，我们可以从以下三个方面着手：（1）改进教学方式. 我们应注重确定性数学与不确定数学的联系，统计与概率的联系，概率统计知识与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系；注重学生的实践，使教学的视野延伸到广阔的社会中去；还应该注重学生的合情推理和逻辑推理.（2）转变思维方式. 概率可以用频率近似代替，但频率是变数，而概率是定值，这里有变与不变的辩证关系；小概率事件虽然有发生的可能性，但概率太小，我们就认为是不可能事件，这又体现了可能与不可能的辩证关系. 当然，思维方式的转变绝非一朝一夕之事，在此过程中，应首先学会学会“返璞归真”，即当所学的新知识在原认知结构中没有恰当的知识与之同化时，就必须以原始的初级的思维方式重建认知结构，以形成顺应. 其次是学会“合理利用”，即当思维回到原始状态时，认知结构中一些看似已没有价值的经验却是可供利用的最好的工具，因为它已塑造了个人的数学修养，而数学修养是从“原始”走向“文明”的催化剂. （3）改进学习方式. 学生在学习中应该逐渐形成“用数学”的意识. 在学习中，一方面要不断地丰富“模式库”，另一方面还要不断提高创建模式的能力. 如果在学习的过程中不断地努力创建模式来解决新问题，就能在丰富模式库的同时，不断提高解题能力.
第三，培养模型意识和应用能力.
见于有些错误的发生常与题目中的数据和背景有关，因此，概率教学中要有意识地训练学生用不同的替代物来模拟同一个概率问题，使学生认识到怎样由现实随机问题抽象出概率模型，并能举例说明某一概率模型的若干现实原型.
总 结
在教学中根据学生的各种错误概念，科学地设计实例实验，就等于为学生搭起了脚手架，提供了有利的学习环境，才可以保证学习活动的有效性. 如何更好地实施教学实现2001版《标准》中的要求，给出以下几点建议：
（1）突出统计思维的特点和作用；
（2）统计教学应通过案例来进行；
（3）注重从数据中提取信息；
（4）重视对概率模型的理解和应用，淡化繁杂的计算；
（5）注重对随机现象与概率的意义的理解；
关键词：概率统计；教学；分析能力
“概率统计”作为现代数学的重要分支，在自然科学、社会科学和工程技术的各个领域都具有极为广泛的应用，特别是随着计算机的迅速普及，概率统计在经济、管理、金融、保险、生物、医学等方面的应用更是得到长足发展。通过这门课的学习可以培养学生的抽象思维和推理的能力，由于此门课程的概念较多，公式推导也比较复杂，要记住的东西较多，学生掌握起来较困难，有的学生对学习失去兴趣，学习效果不是很理想。所以提高概率统计的教学质量，使学生对概率统计这门课感兴趣是至关重要的。本文就提高概率统计课程的教学质量谈几点认识。
1. 尽量使用较少的数学知识，避免过于数学化的论证
近年来，正是概率统计的这种广泛应用，使得它今天成为各类专业大学生的重要的数学必修课之一，概率统计有别于其他数学分支的重要一点在于，初学者往往对一些重要的概率统计概念的实质的领会感到困难。考虑到这个原因以及概统计应用很强的特点，所以我建议尽量少的数学知识（只限于微积分）避免过于数学化的论证。但保持叙述的严谨性。用较多的篇幅对基本概念特别是统计概念的理论或处的解释，来帮助学生正确领会概念内涵。特别注意举例的多样性，如：工业、农业、医疗、保险等各领域的许多例子，以便帮助同学们从不同的侧面理解概念，掌握方法。这样可以进一步启发学生的学习思想和学习热情，激发学生学习概率统计学的积极性，而且还进一步加强了学生理论联手实际的能力。
2.抓难点、重点，多做练
课堂教学时，抓住难点、重点，多做例题，特别是说服力很强的练习。注意归纳总结。特别是一些逻辑性性、抽象性很强的内容。要精讲多练，注重应用。注意学生对于内容及其叙述的可接受性。比如，某人进行射击，设每次射击命中的概念为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概念。我认为将一次射击看作是一次伯努力试验，所以400次射击命中的概率为X。即（X≥2）为所求概率。让学生们知道每次射击是相互独立的，射击的下一格与上一枪没关系，不要把题目考虑的太复杂。
对于概率论学中某些内容，特别是一些抽象的概念、结论和证明，要直观地解释入手，多举例题，进行分析讨论，比如，连续型随机变量与离散型随机变量如何判断，区别是什么要举实例说明，使学生非常明白如何判断两类随机变量的题目。即，其分布律为P{X=XR}=PR R=1，2，… 随机变量Y=g（X）于是，Y的所有可能值为YK=g（xk），则Y是离散型随机变量，而分布函数和密度函数分别为FX（X）和fx（X）随机变量Y=g（x）为连续型随机变量，让学生自己去比较思考它们的区别，是用哪种方法，老师可以对学生进行引导，通过对学生的从抽象到实际的教学过程，学生对学习概率也有了 更进一步的明确目标，学生的学习效果也达到了。
3. 典型习题启发学生
要想提高教学质量，应该上好习题课是重要的环节。概率论这门课程学生不多做习题是无法掌握的，这些题不论数量上和质量上都要合理的选择。习题数量要做到少而精，精讲多练，对于实际的应用要切合实际，对于选取的题目，要有明确的目的。而且难易合适，要让大多数同学掌握所学的内容，我们还要看学生反映的情况选择针对性的题目进行研究解答，让学生对题目真正的理解和掌握，例如，关于极大似然估计法，有以下直观想法：固定样本观察值X1、X2、……Xn，在θ 的可能取值范围内挑选似然函数L（X1、X2、……Xn；θ）达到最大的参数值，作为θ的估计值。这种方法重点突出所学内容的重点，达到收到更好的教学效果。
要让学生学会举一反三，在课堂上不断地提出问题，从不同的角度对每一个例题阐述个人观点，使学生自己感觉对解题的思路是否已经清晰。例如，有事件 A1、A2、A3 相互独立，
现求P（A1UA2UA3）可有两种方法，使学生自己体会哪种方法容易即①P（A1UA2UA3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）-P（A1）P（A2）-P（A1）P（A3）-P（A2）P（A3）+ P（A1）P（A2）P（A3）②P（A1UA2UA3）=1-P（1）P）2）P（3）使学生明白后者的计算量更小，通过比较后对二者看似不相干的内容，通过找它们的内在联系，达到了掌握所学公式的目的。
4. 精讲，多练，当堂消化
成人大学生工作比较忙，抽出业余时间学习是一件非常辛苦的事情，他们课下很难安心地做作业，特别是概率这门课是非常抽象地需要极强地思维能力。这样教师在教的过程中一定要多举实例，与他们工作有关的例子，使他们容易接受。教师在讲课过程中，要精讲，不要过多地追求理论，用通俗易懂的方法，让学生明白，尽量在课堂上多出例题，多做练习，及时发现问题，当堂讲解。也可以让学生到黑板上做题及时发现问题，开展讨论，讨论时要鼓励他们进行独立思考，各抒己见，引导他们逐步深入，深入浅出地对问题进行实质性分析。然后教师继续出练习，让学生趁热打铁，及时消化，不要让他们带着问题回家，争取在课堂上当时解决。
总之，成人大学生学习概率论是一件不容易的事，教师在教的过程中要针对学生的特点备好课，他们基础差，底子溥，工作时间长，教师在教的过程中要善于举一反三，启发式教学，决不能“填鸭”式教学，对本堂课的内容要多取其精华，要通俗易懂，让学生接受起来较容易，目的是要学生喜欢这门课，培养学生学习的方法和动力。
[参考文献]
[1]韩明. 概率论与数理统计（第二版）. 同济大学出版社
[2]杨惠元 教学的理论与实践北京语言大学出版社
1中学与大学内容衔接的思考
通过高中教学大纲及新课标教材中有关概率部分的要求，与大学现行课本的主要内容对比发现，中学教学中的随机事件与概率、古典概型与几何概型、条件概率与事件的独立性等内容和大学概率中第一章的部分内容有所重复，而且这些内容在高中教学的过程中学生已经学习的比较深了。因此，在大学的本科教学中，对于第一章的教学中完全可以有轻有重的进行教学。比如，对于古典概型的教学只需浅举几例，作为复习高中的知识来学习，不必花费过多的学时；再如，有关离散型数学期望的知识也可以略讲，而对于连续的数学期望以及方差作为重点讲解。在统计中，中学教学过程中重在对抽样的实际问题的解决，对于总体和个体以及样本的相关概念，学生已经有所了解，而在大学的统计部分教学中，参数的估计已作要求，而且要求较高，那么在大学教学过程中，便应将此部分作为教学的重点与难点。因此在大学本科教学中，如何做好与中学教学的衔接，对于大学概率论的教学具有极其重要的意义。
2寓教于乐，注重教学实例的引入
在概率与数理统计的教学过程中，学生经过高中部分的重复知识学习后，慢慢就进入枯燥，乏味的学习时期，此时，作为教师要积极调动学生学习的积极性，调节课堂气氛，否则将会出现不想学不愿学，越来越退缩的状况。比如在学习条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式的时候，由于是大学概率论的新知识，部分学生便出现不愿思考的苗头，这个时候一定要扼制住这种苗头。一方面，强调此部分的重要性；另一方面，据实际的例子来说明理论。笔者在这部分教学中恰当举了“吃西瓜”的例子，取得了不错的教学效果。在讲全概率公式的之前先讲解了划分的概念，此时开始举例：把一个西瓜分成若干份，每位同学一份，这样就很实际的把划分的两个条件讲清楚了；接下来每名同学开始“吃”一口，让大家思考整个西瓜“被吃”的那部分占整个西瓜的比例，这个比例应该如何求解呢？这个时候就可以恰当的引出全概率的公式；然后又给大家一个问题：这个西瓜“被吃”的这部分来源于我们同学的力量，那么现在思考一下由张三（其中一名同学）吃的那一口占整个“被吃”西瓜的比例，这个时候就可以完整的推出贝叶斯公式。通过这个实际的例子，学生不仅记住了公式，还了解了这些公式在实际中的作用。
3适时补充知识，及时对比归纳总结
在概率论的教学过程中，连续性随机变量的知识点要用到定积分、变限积分、二重积分等知识，由于学生在整个高等数学的学习过程中，学习不够扎实或者有些知识已经有所遗忘，这个时候适时补充高等数学的相关知识，对概率论的教学会有重要作用。作为学生在学习知识，作为一个社会人在社会上生存，都是在不断总结前面的经验，不断对比过去的人，过去的事，过去的自己的一个过程。而在整个概率论的教学过程中，运用对比教学手段，将会使学生对知识有一个前后系统的认识。进行对比学习，同时给学生点播人生的一点哲学，这将对学生的一生都会受益。比如，在多维随机变量的数学期望的教学过程中，采用纵向一维离散与连续型随机变量数学期望求法的对比、横向一维与多维随机变量数学期望求法的对比。通过这些对比不仅能很好的掌握本节知识，还能更好的复习了前面所学的知识。
4注重实际应用，多元化教学
时代的发展需要更多的高素质人才，他们除了要学好丰富的理论知识之外，还必须学以致用，这样才能推动时代的发展，我们学数学的目的是为了应用它去解决实际问题。因此，增强数学应用意识，培养学生数学应用能力，是素质教育的重要内容，也是数学教学的任务之一，因此培养学生的数学应用能力刻不容缓。
由于教学场地和实际教学操作的限制，对于概率与数理统计的教学依旧采取的是理论教学为主，实际应用为辅的教学方法。但是与日俱增的社会需求，要求本科教学中必须转变的态度，而与此同时，概率论与数理统计这门课程又是一门既有较深的理论，又同时有很强的实用用途。因此，作为本科教育工作者，应更加注重实际应用，而适当降低理论证明，这样才能达到本科教学目的。比如，在对经济专业的学生教学过程中，笔者适时补充一些有关经济应用方面的内容，以股票中数据为例，把这些数据通过一些模型的分析，做出一定的预测，并结合预测的结果，进行修正，再次预测，这样使得学生对统计中的估计理论又有了新的认识。培养学生数学应用能力解决实际问题，单纯依赖课堂是不行的。
课内还需结合课外，才能更好地促进学生应用能力的提高。可以是教师布置些课外实践活动要求，或是教师将学生带出校门，让他们面对实际问题，学会解决方法，增强能力。在概率与数理统计的教学中，充分利用多媒体教学，比如加入部分科学家的头像，一些分布图形的示意，一些统计数据的展示，这些都能使得教学内容的多样化。
作者：丁箭飞李旭红单位：中原工学院理学院
大家好！我是来自初中数学知识板块中的“统计与概率”解题策略与方法，“统计与概率”在中考数学的考查中约占15%的分值，可不能忽视我哦！今天，我们就来聊一聊“统计与概率”这部分解题的策略与方法.
先一起看统计部分的内容，想要攻破y计的题，需要会计算一组数据的平均数、中位数、众数、加权平均数，会计算简单数据的方差，还要能分析统计表中的数据，我们通过例题来分析.
例1 已知一组数据0，1，2，3，x的平均数是2，求这组数据的极差、方差.
【剖析】本题考查的是数据的平均数、数据的极差与方差.
[平均数：[x]=[x1+x2+…+xnn]；
极差：最大值与最小值的差；
方差：s2=[1n][（x1-[x]）+（x2-[x]）2+…+（xn-[x]）2].]
因此，本题应先利用平均数求出x，得到一组完整的数据即0，1，2，3，4，想要求极差，找出数据中的最大值是4，最小值是0，所以极差=4-0=4，方差s2=[15]×[（0-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（3-2）2+（4-2）2]=[15]×（4+1+0+1+4）=2.
例2 （2016・盐城）甲、乙两位同学参加数学综合素质测试，各项成绩如下.（单位：分）
（1）分别计算甲、乙成绩的中位数；
（2）如果数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按3∶3∶2∶2计算，那么甲、乙的数学综合素质成绩分别为多少分？
【剖析】本题考查的是计算甲、乙成绩的中位数以及加权平均数.从本题中的“中位数”“3∶3∶2∶2”“甲、乙的数学综合素质成绩分别为多少分”这三个关键字段回顾中位数和加权平均数的概念.
[中位数：将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数.
加权平均数：衡量各个数据的“重要程度”的数值叫做权.]
（1）中求一组数据的中位数，由上表可将学生甲的成绩排序为：89，90，90，93，一共有四个数，因此取[90+902]=90作为学生甲成绩的中位数.
（2）中数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按3∶3∶2∶2计算，说明数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的“重要程度”不一样，它们在总成绩中各占[33+3+2+2]，[33+3+2+2]，[23+3+2+2]，[23+3+2+2].因此甲的成绩=90×[33+3+2+2]+93×[33+3+2+2]+89×[23+3+2+2]+90×[23+3+2+2]=90.7（分）.
【答案】（1）90分，93分；（2）90.7分，91.8分.
【总结】例1与例2计算了算术平均数、极差、方差、中位数、加权平均数，除此之外还有众数（一组数据中出现次数最多的数），其实我们只要理清概念，熟记知识点，问题就能迎刃而解.
例3 （2016・扬州）从今年起，我市生物和地理会考实施改革，考试结果以等级形式呈现，分A、B、C、D四个等级.某校八年级为了迎接会考，进行了一次模拟考试，随机抽取部分学生的生物成绩进行统计，绘制成如下两幅不完整的统计图.
（1）这次抽样调查共抽取了 名学生的生物成绩，扇形统计图中，D等级所对应的扇形圆心角度数为 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校八年级共有600名学生，请估计这次模拟考试有多少名学生的生物成绩等级为D.
【剖析】本题考查了从统计图中分析数据的能力，要求计算样本容量、扇形圆心角的度数、用样本估计总体.（1）根据A等级的人数为15人及A等级所占的比例为30%，即可求出总人数，进而可得出扇形统计图中D等级所在的扇形的圆心角的度数.（2）根据D等级的人数=总数-A等级的人数-B等级的人数-C等级的人数，补全条形统计图即可.（3）先求出D等级人数所占的百分比，然后即可估计出总体中等级为D的人数.
【答案】（1）50，36；（2）5，补全统计图略；（3）60名.
【总结】我们要具备从统计图中分析处理数据的能力，要能读懂统计图中蕴涵的数据信息，提取出信息来解决问题.在解决统计问题的过程中，体会用样本估计总体的模型思想，理解数形结合的数学思想，提升逻辑推理的数学素养.
看完统计部分的内容，我们继续来看概率部分的内容，我们要能从数据中提取信息并进行简单的推断；能通过列表、画树状图等方法，列出简单随机事件的所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事情发生的概率，会求简单随机事件及其发生的概率.下面通过例题来分析.
例4 将分别标有数字1、2、3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上.
（1）随机地抽取一张，求抽到奇数的概率；
（2）随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，恰好是“32”的概率为多少？
【剖析】本题考查了通过列举法列出简单随机事件所有可能的结果，了解事件的概率.（1）随机地抽取一张，可以理解为实验一次，要求抽出奇数的概率，可用P（A）=[mn]（n表示所有等可能出现的结果数，m表示事件A发生可能出现的结果数.）直接解决.（2）随机地抽取一张作为十位上的数字，再抽取一张作为个位上的数字，可以理解为实验两次，可通过列表、画树状图列出所有等可能的结果以及事件A发生的所有可能的结果，求出恰好是“32”的概率.一定要注意的是题目中的关键词“不放回”.
【答案】（1）[23]；（2）[16].
【总结】画树状图或者列表分析是求概率的常用方法，列举的结果看起来一目了然，清晰明了.利用列表、画树状图可以帮助我们不重复、不遗漏地列出所有等可能的结果，既直观又条理分明.
例5 （2016・徐州）某乳品公司最新推出一款果味酸奶，共有红枣、木瓜两种口味.若送奶员连续三天，每天从中任选一瓶某种口味的酸奶赠送给某住户品尝，则该住户收到的三瓶酸奶中，至少有两瓶为红枣口味的概率是多少？（请用“画树状图”的方法给出分析过程，并求出结果.）
【剖析】本题考查了通过画树状图列出简单随机事件所有可能的结果，了解事件的概率.题目中“若送奶员连续三天”可理解为实验三次，因此可以借助树状图列出所有等可能的结果.
可能出现的结果有8种，并且它们出现的可能性相等.至少有两瓶为红枣口味（记为事件A）的结果有4种，所以P（A）=[12].
【总结】当一次试验要涉及两个因素（两组量，或者1组量操作两次），并且可能出现的结果数目较多时，可以采用列表法；当一次试验中涉及3个因素或更多因素时，通常采用画树状图不重不漏地列出所有等可能的结果.
例6 一套书共有上、中、下三册，将它们任意摆放到书架的同一层上，这三本书从左到右或从右到左，恰好成上、中、下顺序的概率是多少？
【剖析】想要把共有上、中、下三册的一套书任意摆放到书架的同一层上，可以借助枚举法列出所有等可能的结果.
【答案】将一套书上、中、下三册任意摆放到书架同一层上所有可能出现的结果有：（上，中，下），（上，下，中），（中，上，下），（中，下，上），（下，上，中），（下，中，上），共有6种，它们出现的可能性相同.所有的结果中，满足“从左到右或从右到左，恰好成上、中、下顺序”（记为事件A）的结果只有2种，所以P（A）=[13].
【总结】对于本题可以直接用枚举法列出所有可能的结果，求出概率.列表、画树状图的目的都是为了列出所有等可能的结果，有时我们也可以通过枚举法直接列出所有的可能的结果.
好了，看了这么多典型的例题，相信同学们对“统计与概率”这个部分的题目，可以更加从容自信了吧！找到解决“统计与概率”典型题的策略与方法了吗？
此致
敬礼
“统计与概率”解题策略与方法
