时间：2023-06-06 09:39:24
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇新高考数学，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
【摘要】新课程标准在我省已经实施了四年多，谈到教学改革，大多数老师认为那是高一、高二教学阶段的事情，进入高三后往往科学实验采用传统的教学模式。那么面对新的课程标准、新的高考，传统的教学模式还能适应吗？
【关键词】新课程，复习，有效教学
2011年陕西省高考数学卷中“叙述并证明余弦定理”这道来源于课本的例题，给传统的高三数学复习模式敲响了警钟。这道高考题目一度成为学生、教师、家长议论的话题，也给我们高三数学课的教学提出了新的要求。作为高三数学任课教师，怎样才能使自己教学适应新课改、新高考？作为一名高三数学教师，结合自己的教学实践，谈一些感受与体会。
1.更新教学理念，改革教学方法
新课程标准理念要求教师从片面的注重知识传授转变到注重学生学习能力的培养。教师不仅要关注学生学习的结果，更重要的是要关注学生的学习过程，促进学生学会自主学习、合作学习，引导学生探究学习，让学生亲历、感受和理解知识产生和发展的过程，培养学生的数学素养和创新思维能力，重视学生的可持续发展，培养学生终身学习能力。高三数学复习课是高三数学教学的重要环节。它不是简单的对已学知识的回顾、重复，而是按照课程标准和高考大纲的要求，重新梳理、整合学生高中阶段所学知识，挖掘、提炼数学思想和方法，进一步完善优化学生的知识结构，真正提高学生解决问题的能力。对于数学概念的复习，应加强对概念的准确理解。对于数学公式、定理的复习要熟悉其推导过程，弄清公式、定理中限制条件及适应范围；掌握公式、定理的应用，使我们的复习始终体现“现实问题情境——建立数学模型——解决实际问题”这一新课改理念。因此，在课堂教学中，我们要以知识的发生、发展过程为重要环节，以学生为主体，注重学生数学思维的展开和深度参与。
2.深化解题教学，提高学生解题能力
数学解题教学是高三数学复习课的重点和核心，是提高学生解题能力的关键环节。在平时教学中，大多数老师都尽可能地多讲几道题，或都让学生多做几道题，以加强教学效果。然而如果课堂题量过大，将会使学生忙于应付解题，无暇分析、总结解题方法和题目所涉及的知识点，不利于学生消化吸收，更不可能做到举一反三。从数学教学根本目的来说，教师不仅要教学生怎么解题，更重要的是要努力启发思维的灵魂性，不断提升他们的思维品质，完善思维能力。因此，解题教学必须体现：读题、析题、解题、变题、悟题这五个环节。在五环节中，由于课堂时间紧，教师往往忽略了“变题”“悟题”这两个重要环节“变题”就是将题及条件与结论进行适当的变形，使之成为一个新问题，以达到新旧知识相互作用的功能；“悟题”就是解题后的反思，还能否用别的方法来解？能否把此结论或方法用来解决其他问题？此结论能否推广为一般性的结论？因此，平时解题时教师应带领学生一步一步地尝试整个过程，不断提高学生的解题能力。
3.紧扣教纲，回归教材
高考数学试题的命题向来有“依据课本”的要求。近几年的高考数学试题中，源于课本的典型例题、练习题、习题或复习参考题的数量和分值都达到了较高的比例。特别是2011年陕西省高考数学试题“叙述并证明余弦定理”就是源于课本的例题。因此，在高三数学复习中，教师应当充分重视教材，研究教材，讲活教材，做好课本中典型问题的收集、分析、归类、研究和小结工作。既要使学生牢牢掌握课本中的有关知识，又要使学生掌握课本中解决问题所采用的方法和技巧。在此基础上认真探究高考数学试题与课本例题、练习题和复习题的结合点，必要时再将这些问题做恰当的分析或整合、延伸或拓展，努力使课本知识更加丰富鲜活。只有这样，才能有效地吸取教材的营养价值，真正发挥课本的重要功能。
面对高三数学复习课的教学，我们必须大胆地进行教学方法改革，会对不同层次的学生，采用行之有效的教学方法，使教师成为组织者、引导者、促进者和参与者，充分发挥学生的主体作用，使学生参与到课堂解题过程中来，回归教材，才能适应新的课程标准和新的高考改革，才能不断提高高三数学复习课的教学效率。
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例1 (1) O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λAB+AC|AB|+|AC|，λ∈［0,+∞)，则P的轨迹一定通过ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)
(2) P是ABC所在平面上一点,若PA・PB=PB・PC=PC・PA,则P是ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)
(3) 点O是ABC所在平面内的一点，满足AB2+OC2=AC2+OB2=BC2+OA2,则点O是ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)
(4) O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λAB|AB|sinB+AC|AC|sinC，λ∈［0,+∞)，则P的轨迹一定通过ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)
(5) O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP=OA+
λAB|AB|cosB+
AC|AC|cosC，λ∈［0,+∞)，则P的轨迹一定通过ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)
分析:对于问题(1), 先将OA移过来, 再利用向量加法的平行四边形法则和向量共线的充要条件就可以了. 对于问题(2), 先移项, 并利用减法的意义, 可以得到两个向量垂直的结论,对于问题(3)可以向问题(2)实现转化.
解: (1) AB|AB|是AB上的单位向量, AC|AC|是AC上的单位向量, 则AB|AB|+AC|AC|的方向与∠BAC的角平分线的方向相同, 而OP－OA=AP,所以P的轨迹一定通过ABC的内心.
(2) 由PA・PB=PB・PC得PB・(PC－PA)=0,即PB・AC=0,所以,PBAC,同理,PABC,PCAB, 所以, P是ABC的垂心.
(3) 由AB2+OC2=AC2+OB2得AC2－AB2=OC2－OB2,即(AC+AB)・(AC－AB)=(OC+OB)・(OC－OB),所以BC・(AC－OC)+BC・(OB－AB)=0,即BC・OA=0,所以OABC,同理,OBAC,OCAB, 所以, O是ABC的垂心.
(4) 由正弦定理|AB|sinC=|AC|sinB,所以|AB|sinB＝|AC|sinC, 于是AP＝μ(AB+AC), 所以P在以AB,AC为邻边的平行四边形的对角线(过点A)上, 所以P的轨迹一定通过ABC的重心.
(5) 因为AP＝λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC，所以AP・BC＝λAB・BC|AB|cosB+AC・|BC||AC|cosC＝
λ|AB|・|BC|cos(π-B)|AB|cosB+
|AC|・|BC|cosC|AC|cosC＝λ
(-|BC|+|BC|)=0
，所以APBC，于是P的轨迹一定通过ABC的垂心.
延伸:ABC的三条边长BC＝a, CA＝b, AB＝c,若三顶点A、B、C, 对于某定点O的位置向量为OA,OB,OC, 且aOA+bOB+cOC＝0,则点O是ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)
解:记∠BAC的平分线与BC交于点P, 则BP＝cb+cBC＝cb+c(OC－OB),所以,AP＝AB+BP＝OB－OA+BP＝OB－OA+cb+c(OC－OB)＝
bb+cOB+cb+cOC－OA＝1b+c(bOB+cOC)－OA＝1b+c(－aOA)－OA＝－a+b+cb+cOA,所以AP与OA共线,即O在∠BAC的平分线上,同理, O在∠ABC和的∠BCA平分线上,即O是ABC的内心.
注:本例（1）是2003年全国高考数学试题，（2）同2005年全国高考数学试题.
例2 （1） 在ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足PA＝2PM，则PA・(PB＋PC)等于_____.（2009年高考数学试题）
（2） 在ABC中,O为中线AM上一个动点,若AM＝2,则OA・(OB＋OC)的最小值是_____.（2005年江苏省高考数学试题）
解:(1) 由PA＝2PM知,P为ABC的重心,根据向量的加法,PB＋PC＝2PM,则PA・(PB＋PC)＝2PA・PM＝2|PA||PM|cos0＝2×23×13×1＝49.
(2) 因为OB+OC＝2OM，所以OA・(OB+OC)＝2OA・OM＝2|OA|・|OM|cosπ
＝－2|OA|・|OM|，而|OA|＋|OM|＝2，所以，|OA|・|OM|＝|OA|・(2－|OA|)＝－(|OA|－1)2+1≤1，于是OA・(OB＋OC)的最小值是－2.
变形：如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上
不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，
则(PA＋PB)・PC的最小值为_____.
例3 设两个向量a＝(λ＋2,λ2－cos2α)和b＝(m,m2＋sinα),
其中λ,m,α为实数.若a＝2b,求λm的取值范围.（2007年天津市高考数学试题）
解:由于a＝2b,所以
λ+2=2m, ①
λ2-cos2α=2m2+sinα. ②
设y＝λm, 则λ＝ym, 代入①得ym+2＝2m, 显然, y≠2, 所以m＝22-y,λ＝2y2-y.
把它们代入②得2y2-y2－cos2α＝22-y＋2sinα,
所以2y2-y2－22-y＝cos2α＋2sinα.
而f(α)＝cos2α＋2sinα＝1－sin2α＋2sinα＝－(sinα－1)2＋2,
因为－1≤sinα≤1, 所以－2≤f(α)≤2,于是
－2≤2y2-y2－22-y≤2. ③
解得－6≤y≤1.
例4 已知圆O的半径为1，PA，PB为圆O的切线，A，B为切点，则PA・PB的最小值是_____.（2010年全国高考数学试题）
解法一:设PA＝PB＝x，∠APO＝∠BPO＝α0＜α＜π2，则PO2＝x2＋1，从而PA・PB＝|PA||PB|cos2α＝x2(2cos2α－1)＝x22x2x2+1－1＝
x2(x2-1)x2+1＝
(x2+1-1)(x2+1-2)x2+1＝(x2＋1)＋2x2+1－3≥2(x2+1)・2x2+1－3＝－3＋22.当且仅当x2＋1＝2x2+1,即x2＝2－1时等号成立，即当x＝2-1时，PA・PB取最小值－3＋22.
解法二：由平面几何知识得|PA|＝|PB|，设∠APO＝∠BPO＝α0＜α＜π2，则
PA・PB＝|PA||PB|cos2α＝
|PA|2(1－2sin2α)＝(|OP|2－1)(1－2・1|OP|2＝|OP|2＋
2|OP|2-3
≥2|OP|2・2|OP|2-3=-3+22.
当且仅当|OP|2＝2|OP|2
，即|OP|＝42时等号成立，即当|OP|＝42时，PA・PB取最小值－3＋22.
解法三:由平面几何知识得|PA|＝|PB|，如图，建立直角坐标系，设∠AOP＝θ0＜θ＜π2，则点A（cosθ，sinθ），B(cosθ，－sinθ），过点A作x轴的垂线，垂足为C，则由射影定理得OA2＝OC・OP，知点P的坐标为1cosθ，0
PA＝cosθ－1cosθ,sinθ，PB＝cosθ－1cosθ, －sinθ)，于是
PA・PB＝
cosθ－1cosθ2－sin2θ＝
cosθ－1cosθ2－(1－cos2θ)＝2cos2θ＋1cos2θ－3
≥22cos2θ・1cos2θ－3＝
－3＋22.当且仅当2cos2θ＝1cos2θ，即cosθ＝142时等号成立，
即PA・PB取最小值－3＋22.
例5 设点O是ABC的外心，AB＝17，AC＝15，则BC・AO＝_____.
解法一：BC・AO＝－(OC－OB)・OA＝OA・OB－OA・OC
＝OA2+OB2-AB22-
OA2+OC2-AC22=
AC2-AB22=-32.
解法二：取BC的中点D, 则BC・AO＝BC・(AD＋DO)＝BC・AD＋BC・DO＝BC・AD＝(AC－AB)・12(AC＋AB)＝12(AC2－AB2)＝－32.
例6 给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为定值120°. 如图所示, 点C在以O为圆心的圆弧AB上变动. 若OC＝xOA＋yOB, 其中x, y∈R, 则x＋y的最大值是_____.（2009年安徽省高考数学试题）
解法一:设∠AOC＝α(0≤α≤2π3)，则
OA・OC=xOA2+yOA・OB,
OB・OC=xOA・OB+yOB2.
即cosα=x-12y,
cos(120°-α)=-12x+y.
x＋y＝2［cosα＋cos(120°－α)］＝cosα＋3sinα＝2sinα＋π6≤2，
所以当α＝π3时, x＋y取最大值2.
解法二:建立图示直角坐标系，设∠AOC＝α0≤α≤2π3，则OA＝(1，0)，OB＝－12，32，由OC＝xOA＋yOB得(cosα，sinα)＝x－12y，32y，
即cosα=x-12y,
sinα=32y.
x＋y＝cosα＋3sinα＝2sinα＋π6≤2，所以当α＝π3时, x＋y取最大值2.
解法三:由OC＝xOA＋yOB－12≤x, y≤1,两边平方得x2＋y2＋2xyOA・OB＝1，因为OA・OB＝－12，所以x2＋y2－xy＝1，即(x+y)2+(x-y)22－(x+y)2-(x-y)24＝1，也就是(x+y)2+3(x-y)24＝1，所以(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2，所以当x＝y＝1时，x＋y取最大值2.
例7 已知a,b是两个给定的向量,它们的夹角为θ, 向量c＝a＋tb(t∈R), 求|c|的最小值, 并求此时向量b与c的夹角.
分析:求|c|的最小值, 就是求|c|2的最小值, 于是将问题化为关于t的二次函数, 通过配方可以求出|c|的最小值.
解:因为c＝a＋tb,所以
|c|2＝|a＋tb|2＝|a|2+2ta・b＋t2|b|2＝|b|2t2＋2|a|・|b|・cosθ+|a|2
＝|b|2t+|a|・cosθ|b|2＋|a|2－|a|2cos2θ≥|a|2－|a|2 cos2θ＝|a|2sin2θ.
于是,当t+|a|・cosθ|b|＝0,即t＝－|a|・cosθ|b|时,|c|2取最小值|a|2sin2θ.即|c|取最小值|a|sinθ.
此时b・c＝b・a－|a|・cosθ|b|b＝a・b－|a|・cosθ|b|b・b＝|a|・|b|・cosθ－|a|・cosθ|b||b|2＝|a|・|b|・cosθ－|a|・|b|・cosθ＝0, 所以bc,此时向量b与c的夹角为90°.
说明:本例有很深的几何背景，请读者考虑. 以下三道试题都是根据本例改编的.
(1) 若向量a与b不共线,a・b≠0,且c＝a－a・aa・bb, 则向量a与c的夹角为π2.
解:因为a・b≠0,c＝a－a・aa・bb, 所以, a・c＝a・a－a・aa・bb＝a・a－a・aa・b・(a・b)＝0, 所以向量a与c的夹角为π2.
(2) 已知向量a≠e,|e|＝1,对任意t∈R, 恒有|a－te|≥|a－e|, 向量e与a－e的夹角为_____.
解:设向量a与e的夹角为θ, 则|a－te|2＝t2－2|a||e|cosθ+a2＝t2－2|a|cosθ+a2＝(t－|a|cosθ)2
+|a2|sin2θ, 所以|a－e|＝|a|sinθ, 即e(a－e).所以向量e与a－e的夹角为π2.
(3) 已知ABC, 若对于任意t∈R,|BA－tBC|≥|AC|,则∠ABC＝_____.
解:令∠ABC＝α，过点A作ADBC于点D. 由|BA－tBC|≥|AC|得
|BA|2－2tBA・BC+ t2|BC|2≥|AC|2.
令t＝BA・|BC||BC|2，代入上式得|BA|2－2|BA|2cos2α|BA|2cos2α≥|AC|2，即|BA|2sin2α≥|AC|2，
也即|BA|sinα≥|AC|,从而有|AD|≥|AC|,由此得∠ACB＝π2.
例8 设向量a＝(4cosα,sinα),b＝(sinβ,4cosβ),c＝(cosβ,－4sinβ).
(1) 若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2) 求|b＋c|的最大值;
(3) 若tanαtanβ＝16, 求证：a∥b.（2009年江苏省高考试题）
解:(1) 由a与b－2c垂直，得
a・(b－2c)＝a・b－2a・c＝4(cosαsinβ＋sinαcosβ)－8(cosαcosβ－sinαsinβ)＝0,
即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0, tan(α＋β)＝2.
(2) 因为b＋c＝(sinβ＋cosβ, 4cosβ－4sinβ),所以
|b＋c|2＝(sinβ＋cosβ)2＋16(cosβ－sinβ)2＝1＋sin2β＋16(1－sin2β)＝17－2sin2β,从而当sin2β＝－1,即2β＝2kπ－π2,β＝kπ－π4(k∈Z)时, 17－2sin2β取最大值是32,因此当β＝kπ－π4(k∈Z)时|b＋c|的最大值是42.
(3) 由tanαtanβ＝16得4cosαsinβ＝sinα4cosβ, 所以a∥b.
说明:问题(1)将a・(b－2c)拆成a・b－2a・c运算量减少,问题(2)将b＋c的坐标算出后,再计算|b＋c|2也使运算量减少,读者可以细细体会.
例9 如图，在RtABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角θ取何值时BP・CQ的值最大?并求这个最大值.
分析：一种思路是通过向量运算将BP・CQ朝着PQ与BC的运算上靠拢; 另一种思路通过建立直角坐标系,将问题化为坐标运算实现转化.
解法一：因为ABAC，所以AB・AC＝0，因为AP＝－AQ，BP＝AP－AB，CQ＝AQ－AC，所以BP・CQ＝(AP－AB)・(AQ－AC)＝AP・AQAP・ACAB・AQ＋AB・AC＝－a2AP・AC＋AB・AP＝－a2＋AP・(AB－AC)＝－a2＋12PQ・BC()＝－a2＋a2cosθ.
故当cosθ＝1，即θ=0(PQ与BC方向相同)时，BP・CQ的值最大，其最大值为0.
解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系. 设|AB|=c，|AC|=b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0,b). 且|PQ|=2a，|BC|=a.
BP＝(x－c, y)，CQ＝(－x, －y－b)，BC＝(－c, b)，PQ＝(－2x, －2y).
所以BP・CQ＝(x－c)(－x)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by.
因为cosθ＝PQ・BC|PQ|・|BC|＝cx-bya2，所以cx－by＝a2cosθ.
BP・CQ＝－a2＋a2cosθ.
故当cosθ=1，即θ=0(PQ与BC方向相同)时，BP・CQ的值最大，其最大值为0.
说明：向量的几何运算可以通过坐标运算向代数问题实现转化, 这是解决向量问题的常用方法, 应该掌握.
例10 在ABC中，已知AB＝463，cosB＝66，AC边上的中线BD＝5，求sinA的值.
解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=12AB=263,设BE=x，
在BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2－2BE・EDcos∠BED，
5=x2+83+2×263×66x.解得x=1或x=-73(舍去).
故BC=2,从而AC2=AB2+BC2－2AB・ BCcosB=283, 即AC=2213.
又sinB=306,故由正弦定理得2sinA=2213306,sinA=7014.
解法2:以B为坐标原点，BC为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.由sinB=306,则BA=463cosB,463cosB=43,453,
设BC=(x,0),则BD=4+3x6,253.
由条件得|BD|=4+3x62+
2532=5,从而, x＝2, x＝-143(舍去). 故CA=-23,453.
于是, cosA＝AB・AC|AB|・|AC|
[关键词]高考 数学试题 评析与体会
[中图分类号]G427 [文献标识码]A [文章编号]1006-5962（2013）07（a）-0006-01
看到试题，第一个感觉就是基本上和去年保持一致。不过做后就会发现题目看似简单，实际上对学生数学思维品质的考查更加深刻，彰显出高考试题在平淡无奇中体现深刻与创新。另外试卷巧妙地处理了广度和深度的矛盾，知识点覆盖全面且重点突出，难点考查梯度明显层层递进。全卷涵盖了大部分知识点，针对性强，注重考查通性通法，有效检测了考生对知识掌握的程度。同时对支撑高中数学学科体系的主干内容也做到了重点考查，对于考纲中要求较高的三角函数、立体几何、概率统计、数列、函数与导数的应用、圆锥曲线等主干知识均以解答题形式出现，并都达到了一定的考查深度
1.下面具体谈一谈试卷的一些具体特点：
1.1立足基础，难易有度
本次考试体现在试卷紧扣考试说明，在试题的类型、试题的知识点分布上体现高中数学的主干知识，与往年一样立足基础，但是也有一些细微的调整。试卷的第1至7、13至15都是很常规的题，没有偏难险怪，平淡无奇但都是必须掌握的考点，突出了高考对双基考查的宗旨。解答题中的前三个小题分别是解三角形、立体几何和概率，不偏不怪有，利于大多数考生的正常发挥。这些考点全都是立足于考察学生的基础知识。
1.2稳字当先，灵活创新
创新是数学今后考查的趋势。今年高考试题考查结构合理稳定，稳中求变。在题目的设计方面，也有着诸多的亮点和创新。比如第8、11、12题，以函数图象和性质为依托，巧妙地利用了数形结合、函数与方程的思想，对考生的思维水平要求较高。第16题是在基础中创新，考查了对新定义的理解判断能力。试题形式新颖，作为填空题的最后一题，也有着一定的难度和较好的区分度。这三道题为考生留足了发挥的空间，能够体现考生的数学思维水平。解答题方面，今年的第20题数列题目，以常规形式考查数列的两大问题，即求通项公式和求和，从本质上挖掘了二者的内在统一性，体现了基础中的创新，更体现了试题源于教材而又高于教材。
1.3注重概念，深化能力
今年的选择题入手较易，注重对概念本质的考察，都有通法。比如9题简单的考察直线方程；10题考察排列组合。但同时又突出以能力立意，如11题，根据定义及几何意义入手，利用数形结合，很容易得出正确答案，既准确又省事。概念题入手虽易，但是想做完整难却很难。函数及其导数的应用是历年高考重点考查的内容，今年对导数的应用有所创新。如21题把函数的单调性、极值、零点存在性的证明以及导数的应用有机地结合在一起，第二问的难度明显加大。有些题目层层递进，体现了选拔的本色，如第22题，三问是层层增加难度的，区分度很明显，体现了压轴题的本质特点。要想在规定的时间内完整地解答出来，需要相当好的解题速度和运算能力。这两道题较好地考查了考生的数学素养和数学洞察力，具有较高的区分度，使得不同水平的考生在此各显身手，获得与自己的真实能力和水平相对应的成绩。
总之，今年高考试题看似平淡却也回味无穷。
2.针对近几年高考试题走势，为了搞好下一届的系统复习，对新高三复习特提出以下要求
2.1狠抓基础
复习中要强调对数学基础知识、基本技能、基本思想方法的学习，同时又要注重知识内在联系，不刻意追求知识的覆盖面。要正确理解基本概念、定理、法则、公式等基础知识。高考试题大部分都是基本题，但不等于是简单的题，而是利用基本方法、知识和技能解决基本的问题。从这几年的高考来看，只有在基本功过关的情况之下，你才可以谈综合能力。
2.2注重能力
数学能力包括运算求解、数据处理、空间想象、抽象概括、推理论证等能力以及应用能力和创新能力。考纲中的基本理念决定了高考数学命题必须突出能力立意，在注重考查基础的同时，着重考查数学思维能力，及发现、分析和解决问题的能力。所以注重数学思维能力的培养，既有利于提高解题能力，又对以后继续学习打下坚实的基础。
2.3善于总结
要培养学生对数学进行剖析和分类，对于做过的题，要好好的反思它属于哪类题，用这样的方法还可以解哪种题。但是也不能盲目的做题，要有针对性。更需要掌握一些比较基本的模型，这也是在教学中需要去体会和加强的。我们所学过的知识点很多，考了这么多年，还是这些东西，但需要做的是要把平时训练的题型弄清楚，洞察出每一个题型的模式，这对于高三的复习是非常重要的。对于平时练习来讲，如果是从知识点比较低的角度考虑，要上升到题目的话，这个距离会比较大，需要慢慢的反思和领悟。
㈠层次分明，任务明确
高三数学复习周期长、任务重，合理安排好复习时间至关重要。我们把高三数学复习分为三个阶段：2005年9月～2005年2月底（ 俗称第一轮复习）、3月初～4月初（俗称第二轮复习）、4月初～5月底（俗称第三轮复习），三个阶段的复习内容分为三个层次，每个阶段的任务各有侧重。
第一轮复习阶段，根据教学大纲，结合考试说明，以课本为本，通过系统地整理、优化知识结构和思维结构，通过月考及周练的手段，使基础知识网络化，达到提高学生素质，并为高考打下坚实的基础。这一阶段我们所选的讲仪是以课本为主，辅以《 优化设计 》 。所练作业以小题和中档题为主，从以前高考的成绩看，这一轮复习是成功的。
学生通过第一轮的复习，已有一定的数学基础，因此第二轮的复习应以高考为目标，从以单元块的纵向复习为主到综合性横向发展为主。为此，我们辅以优化设计二轮讲义，分专题进行复习。一是数学方法和数学思想的系统介绍，主要是：配方法、换元法等方法，以及函数与方程思想、分类讨论思想、等价转换思想和数形结合思想等；二是根据《教学大纲》列出高中数学教材中的重点内容；三是根据《考试大纲》和前几年的高考试卷列出高考频率较高的热点问题。与此同时，还要指导学生如何利用排除法、特例法、估算法、图象法、逆推验证法等方法准确、快速地解选择题和填空题，并提出较高要求：选择、填空平均只能错在2。5个之内。在这个阶段，除正常布置作业外，每周安排一次以选择、填空题为主的课堂练习和一次综合练习，并做到及时评讲，迅速反馈。
通过前两轮复习，学生的数学素养有了很大的提高。如何使学生在高考中最大限度地发挥水平，这是我们在高考前最后阶段所要做的主要工作。而这一阶段复习一直是我校探讨的地方，以往几届主要是搞几套外地试卷进行练习评讲，效果不太理想。为此，2006届高三我们加大力度，力争在前两轮的基础上有所升华。因此，我们自编模拟试卷8套，做到精练精讲。精练力求做到精心选择题目，精心编写试卷，精心研究每题的训练功能和评分标准，精心组织考试，做到以少胜多，不盲目地搞题海战术，影响学生宝贵的复习时间；精讲则力求做到对共性问题分析透彻，对个别问题也不能轻易放过，须个别指导。同时把考试技巧教给学生，让学生学会考试。总之，通过测试要能反映出问题，而通过评讲要提高学生驾驭问题的能力，并逐步适应高考的氛围环境。
㈡普遍撒网，重点捞鱼
教师指导学生复习，一般是一种全面的、普遍的复习。这是由于《考试说明》所给出的内容均为必考内容，出于课时所限，教师总是指导学生一遍遍的全面复习，即便是讲一些专题，也是针对学生测试中出现的问题而授课。因此，在平时，要指导学生针对教师教学中的不足做好以下两点：
1。进行诊断性练习，找出问题早日补缺
学校进行的测试，一般都是让学生做成套完整的模拟题，在这种测试中解错的题目很难说明出现的错误具有普遍性。只有将10套题中的选择题、10套题中的填空题、10套题中的解答题放在一起比较，才能诊断出你的学生是哪一类题容易做错，这就是诊断性练习。只有找出错误和不足，才能及时进行查漏补缺，帮助学生把将问题解决在考前。
2。注意知识的交叉点和结合点
数学知识之间存在纵向和横向的有机联系，这些联系的交叉点和结合点往往是高考命题的“热点”，同时也可能是教师平时教学的“弱点”。因此，在复习中要注意知识的交叉点。例如，函数和不等式，函数与导数，函数与方程，函数与数列；又如，三角函数与数列，三角函数与立体几何；再如，平面向量与函数，平面向量与解析几何，平面向量与物理等等。教师在复习时要有意识地评讲一些此类试题，让学生积累解此类题的方法与经验。
㈢注重高考试题的新特点
⒈增加对个性品质的要求
《考试大纲》在2006年《考试说明》知识要求，能力要求的基础上，增加了对“个性品质”的考查要求。主要指考生个体的情感态度、
和价值观，要求具有一定的数学视野，试题融知识、方法、思想、能力于一体，注重展现数学的科学价值和人文价值。
⒉突出对主干知识的把握
2006年高考数学试题突出了高中数学重点内容和主干知识的考查。代数中的函数、数列、不等式、三角基本变换；立体几何，解析几何，新课程增加内容中的向量、概率以及概率与统计、导数等在近几年高考数学试卷中始终作为重要的考查对象，保持较高比例，而且也达到必要的深度，成为试题的主体。这些数学的重点内容和主干知识在2003年高考试卷中比例高达85。3%，2005年高考数学必然有所沿袭。
《考试大纲》对知识的要求由低到高分为三个层次，且高一级的层面要求包含低一级的层次要求。考生必须对每个层次的知识要求十分明了，还必须对每个知识点属于哪个层次的要求清清楚楚，以增加最后一段复习的针对性。注重学科知识的内在联系和知识的综合。
⒊以能力立意作为命题指导思想
《考试大纲》对能力方面的考查，全面考查思维能力、运算能力、空间想象力、实践能力和创新意识。强调探究性、综合性和开放性，
注重通性通法，淡化特殊技巧。运算能力是思维能力和运算技能的结合，它不仅包括数的式的运算，特别是要考查以含字母的式的运算为主，兼顾对算理和逻辑推理的考查。要提高解答数学问题的运算效率，要能够以图助算，通过识图和绘制草图，列出表格
⒋强化数学思想和数学方法
《考试大纲》引导强化数学思想方法的复习，营造自主探究环境。数学思想和方法的考查分三个层面：首先是具体方法的考查，如配方法、换元法、消去法、割补法、待定系数法、数学归纳法（理工类要求）；然后是一般的逻辑方法，如分析法、综合法、类比法、归纳法、演绎法、反证法等；最高层次是数学思想，如函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，转换与化归思想，运动与变换思想等。
⒌注重理性思维的考查
《考试大纲》倡导理性思维，以甄别数学素养。要注意培养空间想象、直觉猜想，归纳抽象，符号表达，运算推理，演绎证明和模式构
建等进行思考判断，形成和发展理性思维能力。
⒍突出考查实践能力增加应用型和能力型的试题。
基于以上认识，在《考试大纲》指导下，建议做好“五抓”：
1、抓学习。抓对《考试大纲》的学习。当学生也能够按《考试大纲》的精神来复习时，复习才会是高效的。
2、抓基础。在复习中一定要巩固和掌握基础知识，基本技能，基本思想和方法。
3、抓训练。精选习题（选题原则是具有新颖性、灵活性、综合性、代表性、发展性），强化思维训练，提高探索创新能力。
4、抓落实。不怕难题不得分，就怕每题都被扣分。
5、抓反思。要抓好审题的反思、思维定势的反思。解题后的反思，充分挖掘每道习题的智力价值，变盲目性为自觉性。
㈣关注新课程的新重点
对比新老两种数学课本的教学内容，不难看出简易逻辑、平面向量、线性规划、空间向量、简单几何体中的正多面体、
概率与统计、极限、导数均为新内容 由2005年试卷不难看出，这部分内容已占有一定的分值。因此，要重视此类题目的复习。
我国2003年颁布了《高中数学课程标准》，2007年广东、海南、山东、宁夏四省区率先进行新课程高考，2008年江苏省也进入新课程高考，2009年就有10个省市实行新课标高考命题，到2010年发展到15个省市。本文从几个不同方面对2007～2008年新高考数学试题算法内容进行了调查分析，表3.4.1和表3.4.2分别是2007年广东、海南、山东、宁夏四省算法高考题调查表和2008年广东、海南、山东、宁夏、江苏五省算法高考题调查表，管中窥豹可见一斑，借此体会高考中的算法考查情况。
省份 文/理 题号 题型 分值 考查内容
广东 文 7 选择 5 程序框图（循环）
理 6 选择 5
海南 文 5 选择 5 程序框图（循环）
理 5 选择 5
山东 文 10 选择 5 程序框图（循环）
理 10 选择 5
宁夏 文 5 选择 5 程序框图（循环）
理 5 选择 5
表3.4.1
省份 文/理 题号 题型 分值 考查内容
广东 文 13 填空 4 程序框图（循环）
理 9 填空 5
海南 文 6 选择 5 程序框图（条件）
理 5 选择 5
山东 文 13 填空 4 程序框图（循环）
理 14 填空 4
宁夏 文 6 选择 5 程序框图（条件）
理 5 选择 5
江苏 文（理） 7 填空 5 程序框图（循环）
表3.4.2
从这两个表中我们可以看出无论是2007年还是2008年，新课标高考都考查了算法内容，而且随着越来越多的省市实行新课程改革以后，都对算法进行了考查，足可见算法是近年来新课标高考的热点内容；其次，像广东、海南、山东、宁夏这四省2007年已经对算法进行了考查，次年的高考依然把算法内容安排在了高考试卷中；再次，我们还可以从表发现无论文科还是理科对算法的考查都只有一道题，并没有过多的出此内容的题目，因此，高考对算法的文理科要求是一致的，理科也并没有对算法有更多的要求。
从题型来看，考查形式都是选择题或者填空题，试题难度中等偏下，属于对基础的考查，考生得分率较高。由于江苏省在新课标高考题型中只有填空和解答，因此算法以填空的形式出现在高考试卷中；其次从分值上看，数学高考试卷以150分为满分（除江苏省），各省对算法的命题都是4分或者5分，所占比例基本相同，而且在文理科试卷上的题型安排都相同，可见每年的试卷都统一安排，算法均以相同的题型出现，紧扣数学课程标准，主要让学生体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性。
从考查内容来看，算法初步的高考题均以程序框图的形式呈现，而顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构，因此条件结构和循环结构就成了高考中考察的两个基本结构，循环结构是在条件结构上的进一步加深，它必定包含了条件结构，正因为它有重复性，因此现实生活中一些有规律的重复运算常常要使用循环结构。新课标高考对算法的命题，体现高考命题对新课程的支持，而且从中我们不难发现算法中的循环结构是高考复习中的一个重点。
逐年来越来越多的省份在高考中考查算法知识，综述来看，主要分成两种考察形式，一种是直接考察对框图的理解，另外一种是结合统计考框图。
例 （2007年广东卷（理））.
图3.4.1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如A2表示身高（单位：cm）（150，155）内的学生人数）.图3.4.2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
A. i
图3.4.1图3.4.2
本题要统计160～180的学生人数，由图3.4.1可以看出A4、A5、A6、A7四部分之和，分析图3.4.2，用的是当型循环，其循环体是S=S+Aii=i+1，因为i的初始值是4（i=4），s的初始值是0（s=0），所以条件框内应填i
1 数学研究性学习
数学研究性学习是学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手动脑主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动。它能营造一个使学生勇于探索争论和相互学习鼓励的良好氛围，给学生提供自主探索、合作学习、独立获取知识的机会。数学研究性学习更加关注学习过程。
用于数学研究性学习的材料应是建立在学生现有知识经验基础之上，能够激起学生解决问题的欲望，体现数学研究的思想方法和应用价值，有利于营造广阔的思维活动空间，使学生的思路越走越宽，思维的空间越来越大的一种研究性材料。
数学研究性学习的材料不仅仅是教师自己提供的，而且教师应鼓励学生通过思考、调查、查阅资料等方式概括出问题，甚至可以通过日常生活情景提出数学问题，进而提炼成研究性学习的材料。在研究性学习的过程中，学生是学习的主人，是问题的研究者和解决者，是主角，而教师则在适当的时候对学生给予帮助，起着组织和引导的作用。
数学研究性学习的评价不仅仅关心学习的结果，而且更重要的是关注学生参与学习的程度、思维的深度与广度，学生获得了哪些发展，并且特别注意学生有哪些创造性的见解，同时对学生的情感变化也应予以注意。为了使评价能够真实可靠，起到促进学生发展的目的，因此要充分尊重学生自己对自己的评价以及学生之间的相互评价。既要有定量的评价也要有定性的评价。
2 数学研究性学习课题的选择
数学研究性学习课题主要是指对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。要充分体现学生的自主活动和合作活动。研究性学习课题应以所学的数学知识为基础，并且密切结合生活和生产实际。新高中数学新教材将按《新大纲》的要求编入以下课题，供参考选用，当然教学时也可以由师生自拟课题。提倡教师和学生自己提出问题。
新高中数学新教材研究性学习参考课题有六个：数列在分期付款中的应用；向量在物理中的应用；线性规划的实际应用；多面体欧拉定理的发现；杨辉三角；定积分在经济生活中的应用。 其教学目标是：（1）学会提出问题和明确探究方向；（2）体验数学活动的过程；（3）培养创新精神和应用能力；（4）以研究报告或小论文等形式反映研究成果，学会交流。
3 数学开放题与研究性学习
研究性学习的开展，需要有合适的载体，即使是学生提出的问题也要加以整理归类。作为研究性学习的载体应有利于调动学生学习数学的积极性，有利于学生创造潜能的发挥。实践证明，数学开放题用于研究性学习是合适的。
自上世纪70年代，日本、美国在中小学教学中较为普遍地使用数学开放题以来，数学开放题已逐渐被数学教育界认为是最富有教育价值的一种数学问题，因为数学开放题能够激起学生的求知欲和学习兴趣，而强烈的求知欲望浓厚的学习兴趣是创新能力发展的内在动力。上世纪80年代介绍到我国后，在国内引起了广泛的关注，各类刊物发表了大量的介绍、探讨开放题的理论文章或进行教学实验方面的文章，并形成了一个教育界讨论研究的亮点。
高考命题专家也敏锐地觉察到开放题在考查学生创新能力方面的独特作用，近几年在全国和各地的高考试题中连续出现具有开放性的题目。例如高考数学题中，2003年的存在性问题，2004年的信息迁移题，2005年的结论探索性问题，2006的主观试题客观化，2007年填空题选择化，2008的条件开放题，2009年的结论和条件探索开放。
数学开放题的常见题型，按命题要素的发散倾向分为条件开放型、方法开放型、结论开放型、综合开放型；按解题目标的操作摸式分为规律探索型、量化设计型、分类讨论型、数学建模型、问题探求型、情景研究型；按信息过程的训练价值分为信息迁移型、知识巩固型、知识发散型；按问题答案的机构类型分为有限可列型、有限混沌型、无限离散型、无限连续型。
数学开放题体现数学研究的思想方法，解答过程是探究的过程，数学开放题体现数学问题的形成过程，体现解答对象的实际状态，数学开放题有利于为学生个别探索和准确认识自己提供时空，便于因材施教，可以用来培养学生思维的灵活性和发散性，使学生体会学习数学的成功感，使学生体验到数学的美感。因此数学开放题用于学生研究性学习应是十分有意义的。
4 数学研究性学习中开放题的编制方法
无论是改造陈题，还是自创新题，编制数学开放题都要围绕使用开放题的目的进行，开放题应当随着使用目的和对象的变化而改变，应作为常规问题的补充，在研究型课程中适合学生研究性学习的开放题应具备起点低、入口宽、可拓展性强的特点。
关键词：交汇；高中数学；试题；分析；研究
伴随着新课程改革的发展与进步，衍生而出了一个全新的名词――“交汇”，它是在高中数学试题编制过程中的一种类型，它的提出有其存在的必然性和合理性，在追求数学学科的高度和思维价值的探索中，“交汇”体现出了对高中数学知识的全面而突出重点的考查，具有其特殊的优越性。
一、研究的提出
在新课程改革背景下，试题的“交汇”形式成为研究的潮流和趋势，通过探究其提出背景，我们不难看到，在高中数学的“交汇”式试题分析研究中，重点是着眼于高中数学试题的交汇类型和交汇特点，教师也普遍认同“交汇”试题的分析和研究可以更为系统地把握数学知识，而且可以实现数学思想方法的渗透，促进数学专业全面发展。然而，我们还应当从交汇的背后探寻“交汇”特殊的编制分析与研究，它是对交汇类型的特殊到一般的归纳与思考，注重其交汇思想的指导性，并有益于高中数学思维的强化与巩固。
二、“交汇”高中数学试题的分类分析与研究
高中数学试题的“交汇”研究，可以从隐性和显性两个层面来看，它们各有侧重，但是都是基于高中数学知识的“交汇”分析与研究，关于高中数学高考试题“交汇”分类研究，我们可以从以下几个分类来探寻：
1.高中数学基础知识的“交汇”。高中数学基础知识是学习的重点内容，在各模块基础知识的学习中，其交汇试题数不胜数，如：函数与导数的交汇试题中，函数贯穿高中数学，而导数是新课程中重要的衔接内容，是研究函数性态的工具，对交汇试题的函数与导数综合考查中，可以将导数内容与不等式和函数的单调性、方程根的分布、几何中的切线等知识点进行融合，创新高考试题内容。
例题：已知双曲线C：y=m/x（m
试题交汇性分析：这个例题要求熟悉掌握导数的几何意义，并利用导数求函数的极值、单调区间等数学方法进行求解，用交汇的理念连接了函数与数列、曲线的桥梁。
2.立体几何知识的“交汇”研究。高中数学的立体几何重点研究物体在三维状态下的特征，包括：形状、大小、位置等，立体几何的符号与图形成为表达其特征的途径，在高考高中数学试题中也展现出交汇的类型。
例在四棱锥P―ABCD中，底面为矩形，PA垂直于底面，E为PD的中点。求证1：PB平行于AEC；求证2：设二面角D―AE―C为60°，AP=1，AD=1.33，求三棱锥E―ACD的体积。
试题交汇分析：这一例题考查立体几何的知识与概念，要将立体几何与平面几何进行有机的联系，进行交汇的思考与问题的探析，实现由平面几何向立体几何的过渡与交汇。
3.解析几何知识的交汇分析与研究。解析几何是高中数学的重要知识点，它以平面几何为基石，以代数的思维进行几何问题的解析，这是综合性较强的高中数学考试题目，体现出代数与几何知识的交汇。
例题：如果不同的两个点P、Q，它们的坐标分别是（a，b），（3-b，3-a），那么线段PQ的垂直平分线l的斜率为多少？圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线L对称的圆的方程是什么？
交汇解析：解析几何是高考数学常见的试题，它是融合多个知识点的试题内容，涉及不同的相关知识，体现了数学知识的系统特性。
三、高中数学交汇试题的编制分析与研究
对高中数学交汇试题的分析离不开对交汇试题的编制研究，高中数学的交汇形式试题编制的原则，主要是依据以下几个原则：
1.依据性原则。高中数学的考试试题编制要根据其考查的目标不同而加以区分，如：高考试题目标下的试题要具有层次化的差异特点，而期末考试目标下的试题要根据不同学期的数学教学内容加以确定。
2.课程性原则。高中数学是一门思维性和逻辑性较强的学科课程，我们要充分体会高中数学抽象性的特点，用高度概括的语言，对数学知识加以描述和学习，并在广泛的社会应用中加以充分的利用。在高中数学试题编制中，要充分考虑数学课程的学科特点，展示出数学学科课程中对于事物的抽象性知识和概括性理解，用文字语言、符号语言、图形语言表达其课程的学科价值与应用。
3.精准性原则。高中数学是一门严谨的课程知识，它借用不同的符号语言和图形语言，表达其数学的内涵与精要，我们必须在数学试题编制的过程中，准确把握数学符号语言和图形语言，寻找出符号、图形、字母之间的关联，从而准确地把握试题的主旨。
4.综合性原则。高中数学的交汇试题编制要寻找数学知识的交汇点，这就体现出数学试题的综合程度，随着其交汇的重复应用，数学知识的综合性与交叉性则越为明显，显现出更高层次的交汇思维。
5.适宜性原则。在高中数学交汇试题编制的过程中，要注重试题的“精要”把握，避免出现交汇过多或选择“偏题”“怪题”的现象。
四、结束语
总而言之，高中数学的交汇试题要注重自然、系统和综合的特点，要把握高中数学知识的内在关联，避免混乱无章的状态，要在数学知识的交汇过程中，体现出高中数学知识体系的完整性与科学性，通过对交汇试题的知识内化与迁移，可以增强学生灵活运用数学知识的能力，促进学生的数学发散思维和想象，用较高的层次把握高中数学试题的形式与内涵，不仅在交汇试题中展现出较强的解题技巧，而且培养解题的数学思维，真正达到数学知识与思想方法的统一。
一、课堂教学片段
问题呈现：(2013·连云港调研改编)如图1，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E在BC上，且BC=4BE，F在AC1上，且AC1＝4AF.求证：EF∥平面ABB1A1。（黑板上画出图形）
教师：这个题目要证明线与面平行，同学们想想课本上哪些定理或结论能够证出线与面平行？这道题我们可以采取什么方法来解决？下面自己独立思考两分钟，然后小组内进行讨论。
设计意图：从结论出发，引导学生回归课本。
教师：讨论结束.能找出相对应的定理或结论来证明线与面平行吗？
学生1：一个是线面平行的判定定理，另一个是通过面面平行也可以证明。
教师：你能说出这两个定理吗？
学生1（很有自信）：一个是线面平行的判定定理，另一个是面面平行的性质定理1。
教师：具体内容呢？
学生1：线面平行的判定定理是：如果平面外一条直线平行于平面内的一条直线，那么该直线平行于这个平面。面面平行的性质定理1：如果两个平面平行，那么其中一个平面的直线平行于另一个平面。
教师：很好！（给予及时的评价与鼓励）这两个定理简称是？
教师：结合上面的定理，你有哪些方法将这道题证明出来吗？下面小组进行讨论，然后汇报你们所讨论的结果。（5分钟过后）
学生2：我们可以从面面平行来证得，（请这一位同学到黑板上作出辅助线，并且同时讲解）取AC的四等分点H，使
教师：嗯，很好！这位同学是构造了一个平面EFH，然后利用的面面平行的性质定理1。还有其他方法吗？（继续抛出问题）
设计意图：在知识的转折点处，应该引导学生从多角度去思考问题。及时引领学生探究的契机，抓住问题的本质和核心，提出合理的探究性问题。
教师：他们都讲得非常好！刚才学生3和学生4都是通过找线线平行来证得，你能发现他们又什么共同点吗？
学生5：他们都是在三角形中利用比例关系找出线线平行的。
教师：证法很巧妙！还有其他类似的证法吗？
教师：他们都讲得非常棒！方法也很独特！刚才学生6和学生7也都是通过找线线平行来证得，你能发现他们有什么共同点吗？
学生8：他们都是先构造平行四边形，然后利用平行四边形对边平行找出线线平行的。
教师：很好！（板书：线线平行线面平行方法二：构造平行四边形，利用对边平行的关系来构成线线平行）
教师：从这个例子中我们可以看出证明线面平行可以有两种途径：一个是利用面面平行，另一个是用线线平行。其中利用线线平行，我们又两个途径：一个是在三角形中找，还有一个是在平行四边形中找。总的来说是：两种途径，三种方法。
设计意图：让学生自己进行课堂总结，将所学知识及时得到消化，进而转化为自身的知识。最后老师给总结来一个升华，这样让学生对知识有一个比较全面、系统地认识，形成完整的体系。
二、教学体会与反思
以上是“线面平行的判定复习课”的片段，整个过程，学生的主体性已经充分凸显，同时教师的主导性也体现在倾听，追问，点评，总结等几个方面。“满堂灌”这传统的教学方式已经被时代所摒弃，如何上好每一节数学课，如何使每一节数学课都能成为高效课堂？这一系列问题成为当下教育热门的话题，下面笔者结合自己所上的这一节课，谈谈自己的体会。
首先，备好每一节课。备课备什么？不光是备教材，备教法等，而最最主要的是备学生。教师应根据学生的水平，尽可能设置一些学生感兴趣的，趣味性的数学问题,积极地提供学生自己来解决问题的机会。如果能够经常性地调动学生积极性，发现数学美，自然而然课堂的效果就会越来越好。
其次，创造探究性的课堂。学生是自我发展的主体，教师只是组织者，引导者。在教学过程中，教师要充分地信任学生，认真倾听学生的想法，根据学生的思路，去引导他们，启迪他们的思维，调动他们学习的积极性，不要把自己的东西强加给他们。要让学生们在课堂上充分地交流与合作，更要让他们充分地展现自己(本节课中所涉及到的解法都是由学生在黑板上详细扮演的)。同时对每一位学生的思路给予及时地评价，尽可能地找到闪光点，对其放大，以赏识和激励为主，让他们感受学习数学的乐趣。
最后，教师要对同一类问题要及时地归纳与总结，让学生形成知识的体系。在本堂课中以“两种途径，三种方法”来突出这节课的重点。“教师的责任不在教，而在教学，而在教学生学”。课堂不是走过场，每一节课结束后，学生要有所得，而不是纯粹的会解题.对同一类型题目，教师要引导学生归纳出适合自己的结论与方法。当然学生自己总结出来的结论不一定都是正确或者是合理的，那么这个时候教师要及时给学生指引方向，通过师生的共同合作，让课堂达到最高的升华。
（山东科技大学基础课部，山东 泰安 271019）
【摘 要】《高等数学》是一门理工科、经管等有关专业必须开设的公共基础课。因其数学概念、思维方式和教学内容具有高度的抽象性和逻辑性，一直以来是大学基础课中学生感觉比较难学的一门课程。在分析《高等数学》教学现状和存在的问题的基础上，提出了基于专业的高等数学教学改革探索。
关键词 专业；高等数学；教学改革
基金项目：山东科技大学群星计划项目。
作者简介：边平勇（1971—），男，博士，山东科技大学基础课部教师，主要从事数学教学与科研工作。
高等数学是高校的一门重要的公共基础课，其教学效果对于学校的发展和学生综合素质的提高有着深刻的影响，是大学生学习后续课程的基础，也是全国研究生入学考试必考科目，学好高等数学对培养大学生的逻辑思维能力和提高综合素质有着深远的意义。
为了满足社会需求，高校的专业结构和培养方式在不断进行调整，但有些教师的教育观念不能及时更新，原有的高等数学教学已经不能满足现有的教育需求，因此有必要进行高等数学教学改革，将高等数学专业化教学观念运用到教学各环节，丰富教学内容，使来自不同专业的大学生都能体会到《高等数学》这门公共基础课的重要性，从而调动他们的学习积极性，为学生接下来的专业课学习以及继续深造打下坚实的基础。
1 高等数学教学现状和存在问题
1.1 高等数学课作用的定位不准确
高等数学作为一门公共基础课，有些人把它简单的看成是一个工具，过分看重它为专业课服务的功能，忽略了高等数学的逻辑推导、思维缜密对学生综合能力和数学素养的提高，导致学生仅仅把数学看成是工具，学习掌握以“必须、够用”为原则，忽视了高等数学课的培养学生数学素养和综合能力的重要功能，没有意识到学生数学文化的培养和终身学习的需求。
1.2 学生基础较差，目标不明确
随着高校招生规模的扩大，生源总体质量有所下降，学生数学基础较差，数学素养参差不齐，学生高考数学成绩差距也较大，有些学生中学没有养成良好的数学学习习惯和学习方法，高等数学是纯理论课，定义、定理、公式较多，比较枯燥，有些学生学习起来有一定难度，特别是多元函数微积分学部分，有很大一部分学生基本放弃，高等数学不及格率也居高不下。部分学生学习目的不明确，态度不端正，对于数学的要求，仅限于考试及格即可，缺乏进取心和学习兴趣。
1.3 教学方法单一，不能与专业结合
有的教师在高等数学的讲授过程中依旧采用传统的教学方法，教师在讲台上认认真真地讲授高等数学的内容，台下学生枯燥无味地被动地听，更有甚者玩手机。教学方法和授课内容过分强调理论的严谨性、科学性、逻辑性，而忽略学生专业学习的需求；知识点背景信息介绍，相关例题、习题、作业的选取，教学内容的编排，概念定理的叙述证明，都缺乏创新意识，各专业都一样，没有体现专业特色；重视推导、计算，忽略大学生解决专业实际问题的能力培养；重视解题能力的训练，忽略了大学生数学思想方法的熏陶。
1.4 教学内容陈旧，没考虑学情
现有高等数学与中学数学在教学内容上有些地方衔接不好，比如反三角函数，极坐标、参数方程等等知识中学并没有讲解，但大学教师认为中学已经学过，高等数学教材中也没有进行补充和解释，这就造成高等数学与中学数学教学内容存在脱节现象，导致高等数学部分内容学习效果不好；同时将高等数学的部分内容下放到中学数学中讲授，部分教学内容重复，引不起学生的学习兴趣，殊不知他们只知其然不知其所以然，比如简单的导数和积分计算等。另一方面，教材体系一成不变，多选用同济大学《高等数学》[1]，内容显得有些陈旧。
2 基于专业的高等数学教学改革
2.1 制定与专业课相结合的教学计划
数学教师要多与专业任课教师加强联系，可以通过调查问卷、座谈会、专题会等方式，深入了解各专业所需的高等数学知识点，如在哪些专业课中用、用到哪些高等数学知识、哪些数学知识学生掌握的不好不够用、还需补充哪些知识、哪些问题要用到数学知识解决等等。掌握这些情况后，教研室可根据专业课的需要和特点，在遵循教学大纲要求和教材完整性、科学性、系统性的前提下，适当的调整部分教学内容。通过与专业任课教师的沟通交流，兼顾学生实际和专业特点，有目的制定合理的高等数学授课计划。专业课教师（课程负责人或教研室主任）要积极配合数学教师的工作，将专业课中好的数学案例提供给数学老师[2]，并重视数学教师的反馈意见，认真吸收高等数学教材中好的思想与方法，将专业课中所用到的数学定理、公式等通过讲授能引起学生的共鸣，共同提高教学效果。在内容上增加来自于专业的实际案例，使数学更加生动和富有吸引力，调动了学生学习数学能动性。
2.2 改进教学方法，激发学习兴趣
高等数学这门课有点抽象，逻辑性强，知识构架严密，部分学生学习起来有些难度。在课堂授课过程中，如果教师只是重视分析概念、定理、证明公式，学生学起来比较枯燥，必须选择适合的教学方法。教师应积极利用先进的多媒体技术和自制的课件进行教学，以此提高学生对高等数学的学习兴趣，以便于学生掌握教材中的难点和重点，弥补传统教学方式在视觉、立体感和动态意义上的不足，使一些抽象、难懂的内容易于学生理解和掌握。教学过程中，需要用到研究性、探究式和讨论式等教学方法，可以让学生参与到高等数学教学环节的全过程之中，发挥学生的主体作用。条件成熟还可以让学生当小老师，讲授某些知识点或某个例题，教师做点评。
2.3 引进具有专业背景的例题，提高学生的数学应用能力
在高等数学的课堂教学过程中，例题的选取也很有学问，例题的设计要慎重，要把某些专业知识或公式提前介绍一下。为了体现数学对于专业课学习的重要作用，教师在授课时，多采用一些与专业课有关的例题。比如经管专业讲解导数时，可以引入成本函数与边际成本的关系，工科专业讲解二重积分应用时可以引入理论力学[3]中质心坐标计算的例题、习题或试题等[4]。还可以将数学建模的思想引入到高等数学课堂教学中[5]，往年典型赛题可以充实到教学内容中。让学生体会到高等数学对于他们的后续专业课的学习至关重要，从而提高学生的学习积极性。教学中所用到的例题不仅要符合教学内容和教学目的的需要，而且要兼顾学生的认知水平，有利于大学生掌握教学内容，能够为学生运用所学数学知识解决实际问题打下基础。
2.4 教师要树立高等数学专业教学意识
教师要及时更新高等数学教学观念，考虑学生的专业背景，体现学生专业化的要求。教师在教学过程中在强调高等数学理论知识体系的完备性的同时，还要重视高等数学与专业课相结合培养学生的综合能力；不仅要注重数学知识的传授，还要重视数学应用能力的培养，提高学生专业应用能力。
3 结论
总之，高等数学的教学各环节要与学生的专业背景紧密结合，加强高等数学与各专业课之间的密切联系，让学生端正学习高等数学的目的，培养大学生的职业创新能力。数学教师应该多与专业课教师交流，学习专业知识，完善自己的教学经验，寻找专业教学案例，加强高等数学的实际应用能力，在教学中体现高等数学的实用性和有效性，提高教学效果。
参考文献
［1］同济大学．高等数学[M].6版．北京:高等教育出版社,2006.
［2］张民杰．案例教学法:理论与实务[M]．兰州:甘肃文化出版社,2005:15-17.
［3］哈尔滨工业大学,主编.理论力学[M].北京:高等教育出版社,2002.
［4］边平勇.力学形心坐标计算对高等数学教学的启发[J].河南科技,2013.
