时间：2023-06-07 09:10:53
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇垂直与平行教学设计，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
数学是一门注重培养学生逻辑思维的学科，因此数学教学要充分体现严密的逻辑性.章建跃认为，数学教学要以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程中学会思考.立体几何中，研究线、面的位置关系——不同位置关系所研究的问题、思路和方法具有一致性，教学中应利用这种一致性，培养学生的独立思考能力，使学生学会学习.本文以“直线与平面垂直”为例对此进行探讨.
一、挖掘教学内容之间的逻辑关系
“直线与平面垂直”是直线和平面相交中的一种特殊情况，是空间直线与直线垂直位置关系的延伸，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的桥梁，同时它又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一，在教材中起到承上启下的作用.
教材对线面位置关系的安排，先研究“线面平行”，再研究“线面垂直”.因两者内容的相似性，因此在教学策略上完全可作类比，让学生明确如下过程：
这个层层递进的教学流程，是研究一个几何对象的基本套路，对于学生掌握认识和解决问题的方法很有用，也是提高学生逻辑思维能力的载体，在教学中要给学生明示.让他们在了解之后，能明确探究方向，增强学习主动性，促进自主学习能力的提高.
同时，从“线面平行”到“线面垂直”还应体现数学思想方法上的连贯性.如“空间问题平面化”，“平面问题空间推广的可行性”等，都体现了化归思想、类比思想等等.这些思想方法的恰当应用，就能在教学中突出重点，并使学生更容易地突破认知难点.
本课例中，构建“线面垂直”定义是教学难点.因为学生能直观感知，能意会，但要准确描述定义则比较困难.因此要让学生增强体验，多观察，多操作，多举实例.如以校园中的旗杆为例，让学生课间绕旗坛四周观察，使其能获得这样的体会：无论从哪个方向看旗杆都是直的.抽象成数学语言即是：旗杆垂直于地面上任何方向的直线.再结合课本的圆锥生成的例子，进一步感知直线与平面垂直位置关系，可以转化为该直线与平面内直线的垂直关系.至此线面垂直的定义已是呼之欲出了，学生就能够自行概括得出了.
另外，从本节课的教材内部结构来看，不仅知识之间存在显性的逻辑连贯，而且思想方法上也存在直接的关联性.
如在给出定义后，教材出了一个证明题：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
笔者认为，这个例题有两个意图：一是体会定义证法，二是为研究判定定理作铺垫.这样理解的缘由是，定义证法是把“所有”等价为“任意”，其转化过程不易想到.而“任意性”又连接了“不确定性”，给学生证明带来了操作上的难度，为此有必要探寻具有“确定性”、“可操作性”的判定定理.可惜的是，这个暗含的逻辑关联被许多教师忽略，问题一带而过，另起炉灶去研究判定定理.这种教学上的割裂让人感觉东一榔头西一棒，学生只能是被教师牵着鼻子走.
二、分析学生认知基础，找准逻辑关联点
数学概念教学，在把握学生认知基础后，要从学生思维最近发展区出发设计问题，层层推进，这样既顺应了学生原有的认知结构，又能逐步改变学生的认知图式，从而使学生顺利实现新概念的建构.
学习“线面垂直”的认知基础，教师普遍认为有两方面：一是学习“线面平行”的经验，其研究方法可以迁移到“线面垂直”中来；二是在空间两条直线位置关系的认识中，已从“相交垂直”拓展到了“异面垂直”.但实际情况并非如此.下面看解决例1时学生的思维过程.
例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直这个平面.
为引发学生思考，把它改成探究性问题：在平面几何中我们知道，如果两条平行直线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线.现把“垂直于直线”改为“垂直于平面”，这个结论成立吗？
为充分暴露学生思维过程，课堂上让学生自行研究.下面是探究后的课堂交流.
学生甲：设直线a，b与平面α分别交于点A、点B，连接AB.
因为直线a⊥α，直线ABα，故有a⊥AB.因为a//b，所以b⊥AB，故有b⊥α.
教师：证明直线b垂直平面α的依据是什么？
甲：线面垂直的定义.
话音未落，就有同学提出异议.定义要求直线b与平面α内的任意一条直线都垂直，你只证了与一条具体的直线垂直.
教师：如何改进？
不一会儿，学生乙建议，把直线AB改成仅过A点的一条直线l，类似地可证直线b垂直过点A的直线l.由此即得证b⊥α.
“此法可行吗？”教师启发大家思辨.
学生丙：还有缺陷.虽然直线l相比直线AB是有了任意性，但它仅仅是过点A的一条直线，任意性不够，因为平面内还有许多不过点A的直线.
学生乙：不过点A的直线，可以通过平移让其过点A.由垂直的平移传递性，同样可证得这样直线与b垂直.
学生丁抢答：那不如就在平面α内画任意一条直线得了.
教师追问：“可行吗？”
一番研究后，得到证明.
显然，课本上三言两语的应用定义证明，对学生而言并非易事.因为学生的认知基础是：对相交垂直根深蒂固，异面垂直始终有悬空之感.展示他们的思维过程，就能抓住思维中的漏洞，不断完善，由此促进学生对定义及其应用条件的理解.这种研究方式也为学生今后的学习提供了很好的范式.
综上所述可见，学生的认知基础确实存在差异，而差异的消除过程正是培养学生思维连贯性的过程.
三、体现逻辑连贯的教学设计
基于上述分析，下面给出教学设计.本设计的核心是以问题串诱发学生主动探究，在解决问题的同时，学会新知，提升能力.
1.复习旧知、引入课题
问题1 直线与平面有几种位置关系，已经研究了哪几种？直线与平面相交，特殊的位置关系是什么？
揭示课题：直线与平面垂直
设计意图：复习回顾，唤醒旧知，明确学习任务.
2.创建情景、探寻定义
问题2 能否举一些“线面垂直 ”的实例？（估计学生会提出“旗杆与地面垂直”）
追问：
（1）观察“旗杆与地面垂直”，思考一个现象：绕着旗坛一圈，无论从哪个方向观察旗杆，它都是直的.上述现象说明了什么？
（2）观察圆锥形成过程，思考：轴与底面半径的位置关系是什么？轴与底面任一直线的位置关系又是什么？
问题3 通过上述实例和分析，能否概括线面垂直的共同特征？
设计意图：充分举例，让学生对“线面垂直”有足够的感性认识.剖析实例，观察思考，让学生悟出隐含在现象背后的数学道理.
3.数学建构，认识定义
（1）让学生试说定义，引导学生剖析、完善定义.
（2）辨析定义，说出定义中的关键词.追问：能否把“任意一条直线”改为“无数条直线”？
（3）画出图形，并用符号语言表示定义.
（4）揭示定义的双重性：可以判定“线面垂直”；通过“线面垂直”又可以得出“线线垂直”的性质.
设计意图：定义让学生自己建构，师生逐步共同完善.延用研究“线面平行”的基本套路进一步认识“线面垂直”，体现研究方法的连贯性.
4.尝试解决，深化认识
例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
提示：画出几何图形，并用符号语言写出已知、求证.
引导性问题：条件和结论都涉及线面垂直，两者如何建立联系？目前研究线面垂直的方法有哪些？
让学生思考之后，先尝试证明，再以学习小组为单位进行课堂展示，其他组进行评价、质疑，提出合理的意见和建议.
设计意图：教材安排例1的目的是定义应用.本例是学生自主探究的好素材.探究的过程可以让学生体会到定义证明的困难之处，在于平面内任意一条直线的不确定性，由此引出研究判定定理的必要性.
5.操作验证，感知判定
（1）操作、观察并思考
问题4 怎样让一张矩形纸片折叠后竖直放在桌面上？
观察：此时折痕与桌面有怎样的位置关系？
追问：考察旗杆与地面是否垂直时，需要考察几个方向？
（2）探究判定定理
问题5 上述两例，对研究线面垂直的判定定理有何启示？你能从中归纳出判定线面垂直的方法吗？
让学生试说线面垂直的判定定理，然后完善，画出图形，并用符号语言表示.
设计意图：沿用探索立体几何定理的常用方法，即“感知实例，确认判定”.让学生在动手操作、观察分析的基础上，形成判定定理的雏形.在此基础上，通过探讨交流得出判定定理.由于现行教材对判定定理证明均不作要求，因此必须要强化探索过程.
6.应用新知，解决问题
引导性问题：
（1）目前证明线面垂直有些什么方法？
（2）你觉得采用哪个方法较好？
（3）条件中的正方体提供了许多线线垂直和线面垂直，怎么与BD联系起来？
例3 应用线面垂直判定定理再证明例1.
设计意图：两种证法作比较，体会判定定理的价值.
7.总结反思，完善认知
问题6 （1）本节课学习了哪些知识？它们之间有何联系？
（2）我们是如何研究的？
（3）试比较“线面平行”与“线面垂直”有哪些异同点？
设计意图：回顾所学知识，意在形成知识框架，进而完善学生的认知结构.数学思想方法的提炼，使学生能在理解的基础上达到有效迁移.而“线面平行”与“线面垂直”异同点的比较，不仅体现了类比思想，更体现了逻辑连贯.
四、从逻辑连贯反思教学实施
根据上述设计进行的课堂教学，在定义形成阶段，由于提供了丰富的实例，让学生观察、思考、分析，因此得出定义相当顺畅.
辨析定义有一定障碍，特别是探讨“任意一条直线”能否改为“无数条直线”？费了周折.原因在于问题的提出者是教师，学生还没有深入思考到这个层次.那么这样的辨析是否有价值？很难有定论，关键看其是否能激发学生的认知冲突.事实上，学习一个新概念，学生对其认识不可能一步到位.因此，如果把这一辨析放在课堂小结，也许是画龙点睛之举.
课本例1的教学实施，与预想基本一致.课本如此简练的证明对学生而言却并不是一蹴而就，如前所述，学生之间相互质疑、探讨很激烈.由此使他们体会了应用定义证明的难度，也就激发了探究判定定理的强烈愿望，教材的逻辑意图不言自明.
通过“直观感知，操作确认”，并强化了探索过程，判定定理的得出似乎顺利.但判定定理的应用则有些出乎意料.巡视学生证明例2，有一种证法令人意想不到，但却有一定的代表性.
一、 “前概念”推测与调查
一般地，教师对学生“前概念”的把握，主要依据教学经验或教育心理学理论，即主要来自于主观的推测，但这样的推测往往是单薄的、片面的，甚至是错误的。因此，即使有丰富教学经验的教师，也要在对学生的“前概念”做出主观推测的基础上，组织有效及有针对性的调查。
（一） “前概念”推测
“前概念”推测是指教师依据自己已有的教学经验，对学生的“前概念”做出的主观推测。一般地说，“前概念”推测可以从学校数学学习基础、学生生活经验和概念名称解释三个方面展开。
1. 从数学学习基础角度的推测
根据学习的迁移性，学生已有的数学知识、学习经验与学习方式等都会对新概念的学习产生影响。所以当一个新概念出现时，学生会用已有的数学学习基础做出自己的推测。
例如，当要求学生解释“平行”时，学生可能与三上学习的辨认“平行四边形”相联系，根据在辨认“平行四边形”时对平行的直观思考来理解平行。而“垂直”则可能会与直角相联系，认为像直角那样就是垂直。很显然，新概念的学习离不开已有的数学学习基础，但同时，用这样的基础解释新概念，也可能是错误的。
从数学学习基础角度做“前概念”推测，需要教师熟悉教材体系，分析知识结构，找准新概念与原有知识的连接点。
2. 从生活经验角度的推测
许多数学概念学生在日常生活中已经有了初步的感知。如“相交”，在日常生活中随处可见，学生会用“交叉”这个词来形容“相交”的情况。但是，从生活经验角度积累的“前概念”可能不全面。
从生活经验的角度推测“前概念”，需要教师平时与学生多交流，并去“成人化”思考，用学生的视角去解释学生的行为。
3. 从概念名称角度的推测
概念名称是概念特征的抽象，学生可能通过概念名称望文生义形成“前概念”。如“平行”，是一个带有动态色彩的概念名称，“平”会联想到水平的，因此学生可能会认为水平的一条直线或两条直线的关系才可能是“平行”的。显然，从概念名称的角度解释概念，会与数学概念的本质含义有很大区别。
从概念名称的角度推测“前概念”，需要教师从学生的理解水平出发去解释字面意思，区分可能出现的各种歧义。
（二） 调查题设计
“前概念”推测有可能与学生的认识基础相吻合，但也可能有很大出入。因此，编制调查题，进行“前概念”调查显得十分重要。
“前概念”调查题不同于习题，不是为了简单地判断学生会还是不会、对还是不对，而是要通过学生对调查题的解答，真实地展现出学生的认识状态。因此，编制主观问答题作为调查题较为合适。
如笔者为“相交”“平行”与“垂直”的“前概念”分别编制了下面三个调查题。
什么叫两条直线相交？请你用图或语言来描述。
什么叫两条直线平行？请你用图或语言来描述。
什么叫两条直线垂直？请你用图或语言来描述。
同时，也可以根据第一次调查结果统计中发现的新疑问，设计第二轮调查题。如在第一轮调查中发现极大部分学生把“相交”等同于“交叉”，大多用画“×”来表示，因此笔者编制了第二轮调查题。
下面的三组直线中，是相交的打“√”。
调查学生是否能把第三组题也看成“相交”，从而判定学生所理解的“交叉”与数学概念中的“相交”是否同一意义。
（三） 调查对象确定
作为一线教师进行的“前概念”调查，样本不宜过大，同时，可以根据调查的目的灵活选定对象。
（四） 调查活动组织
调查一般以纸笔作答为主，利用课余时间完成。一轮调查时间一般控制在15分钟以内。
二、 “前概念”分类与分析
调查题的主观性与开放性使得学生的回答丰富多样。为了便于统计，教师要从回答的差异性中找到相似性，并进行合理的分类；然后再对每一类进行细致分析，从相似性中辨析学生回答的差异性。在进行“前概念”分析时，对有疑问的调查结果，教师还可以进行个别访谈。
（一） 调查结果分类
调查结果分类的标准在于区分不同的回答中所体现的不同的学习水平或思维状态。
分类时，先找出具有相同意思的典型例子，从这些典型例子中概括出它们的共同点作为某一类的特征。如对“平行”的调查结果中，笔者选取了以下三个典型的例子。
这三位学生的图示虽然位置不同，并都用“互不相干”来表述“不相交”，但与“平行”的数学定义相一致，所以可以把它们归为：正确描述或绘画。
依据这样的分类方式，笔者把“平行”的“前概念”分为以下四类：正确描述或绘画、平行是一条平的线、画平行四边形和不回答。
（二） 调查结果统计
把调查结果分好类后，就可以对学生的回答进行分类统计。“前概念”的调查结果统计一般只要统计出每一类学生的回答数和每一类人数占整体的百分比就可以了。
（三） 调查结果分析
调查结果分析是指依据学生的回答情况，对学生的“前概念”做出归因分析。一般可以分为整体分析、个体剖析与访谈追问等三个方面。
1. 整体分析
整体分析，指对调查结果统计所获得的数据进行比较与归因分析。如从“平行”前概念的调查统计数据中，笔者发现学生的“平行”前概念是有差异的。从“有31%的学生画平行四边形或长方形表示平行”可以判定，三上学习的“认识平行四边形”对于理解平行具有一定的迁移作用。“有32%的学生认为‘平行’就是一条平平的线”则反映出这部分学生更多地从“平行”的字面意思来解释平行。
2. 个体剖析
个体剖析，就是在每一个类别中抽取具有典型意义的学生回答进行细致的推测与剖析。如为什么有部分学生只把“平行”想成一条线，而且是一条“平的线”？这可以从以下两个方面做出解释：首先是从“平行”的字面意思来看，“平”可以解释成“平的”“水平的”，“水平地走”不就是一条直的线了吗？其次是在认识直线时，教师为了让学生直观地理解直线的本质特征，会出示方向不同的直线（如下图），问学生：这些都是直线吗？
在比较总结得出这些都是直线的同时，学生会认为直线有三类位置：平的直线、斜的直线和竖直的直线。其中“平的直线”就是“平行”，就产生了负迁移。
3. 访谈追问
访谈追问，是指为了进一步了解学生答题时的操作或思考的过程，有针对性地选取部分学生进行面对面交流的过程。如在表述“平行”时，有学生正确地画出了平行线。那么，学生是如何画出平行线的？从不同画法中可以推测出怎样的“前概念”？为解答以上疑问，笔者抽取了其中的八位学生，请他们重新画一画。八位学生有以下两种基本的画法。
画法一：平移法。用直尺先画一条直线，画好后再把直尺平移一段距离后再画另一条直线。
画法二：描画法。把直尺平放到纸上，再把直尺的两边描画下来。
从画法一中可以看出，学生已经初步感受到“平移”与“平行”的联系。
从画法二中可以看出，学生已经能够发现实物中线与线的平行关系。
总之，上述三个方面着眼于“前概念”的不同分析视角。“整体分析”着眼于“前概念”的差异度，“个体分析”着眼于“前概念”的差异处，“访谈追问”着眼于“前概念”的差异点。由面及点，形成全面而又细致的分析体系。
三、 对教学的启发
通过透析学生的“前概念”，教师可以改进前期教学中存在的问题，重组优化教学结构，从而进行较好顺应学生学习心理的教学。
（一） 改进前期教学中的问题
在“前概念”调查中可以发现学生的一些错误认识，可能是在前期教学中所导致的。因此，教师就要反思原来的教学，找到改进的策略。
如在调查“平行”前概念时，有31%的学生用“画平行四边形”的方法来解释“平行”，这可能就跟三上学习的“初步认识平行四边形”有一定联系。
下图是人教版“认识平行四边形”的教材内容。显然，学生说出了图例的名称，并不意味着对图形的本质有全面的认识，更不能说对其中的从属概念有所感知。因此，在学生已经初步认识平行四边形之后，为了让学生对其中的从属概念进行进一步研究，教师可以设计以下两个相关联的问题。
（1） 为什么叫平行四边形？
（2） 平行是什么意思？
引导学生在初步认识的基础上，发现还有一些平行四边形的属性没有认识，需要大家进一步进行研究的问题，体现数学概念学习的阶段性与发展性。
（二） 重组后续教学时的结构
不同版本的数学教材对于同样的数学内容编排结构不尽相同。教师该选择哪一种结构组织教学更合理？通过“前概念”的调查与分析可以找到答案。
如“垂直与平行”的编排，人教版先安排垂直与平行的概念，再设置它们的画法；北师大版先安排平行与画平行线，再设置垂直与画垂线。北师大版的编排有利于概念本质、画图方法的整体学习，但是不能形成如人教版第一课时的概念结构。如何改进，形成更加合理的教学结构？笔者借助于“前概念”调查发现了线索。
在“垂直”的前概念调查中发现，学生在学习垂直之前，并没有把“垂直”看成是“相交”的一种特殊情况，因此教师就可以如北师大版编排的那样进行教学。再综合“相交”与“平行”的前概念调查分析，认为相交与平行应该是反映“同一个平面内两条直线位置关系”的一组概念。因此，教师可以把教学结构调整为“平行与相交”“垂直与距离”两个部分，具体如下：
与前面两个版本的编排相比较，概念结构更严谨，学习过程更切准学生的思维生长点。
（三） 组织顺应学生思维的教学
“前概念”的调查与分析，可以让教师全面真实地了解学生的思维状态。因此，在教学时，教师就能做到紧扣学生的“前概念”，组织材料，设计问题，顺应学生的思维状态组织教学。
如在“垂直”的前概念调查中发现，没有一位学生能正确地表述垂直的概念，却有67%的学生认为垂直就是“一条竖着的直线”（如图1）。也就是说，大部分学生把垂直等同于日常用语中的“竖直”。如何在课堂中暴露错误，发现错误，并通过分析比较，形成正确的垂直概念？笔者进行了如下教学。
教师出示一组特例（见图2）。学生认为两幅图的区别是左边的是“斜的”，右边的是“直的”。
接着教师出示图3，问：这两幅图哪一幅是“直的”，哪一幅是“斜的”？学生通过反思比较，发现“直的”应该是相交后的角是直角，“斜的”应该是相交后的角不是直角。
教师根据学生回答，把垂直的两幅图圈到一起，并说明：像这样相交后成直角的两条直线，叫做互相垂直（如图4）。
教师最后出示下面的图形，请学生判断哪几组表示两条直线互相垂直。
综合上面的研究过程，可以发现，在数学概念教学设计前，通过学生“前概念”的调查研究，可以真实地了解学生的思维起点，真切地把握新概念的生长支点。这样的实践研究植根于学生，有利于形成教师自己的教学特色。
源起：
午休时间，一位五年级的数学教师和我交流：“‘平行四边形的面积’一课教学出问题了，有一道题目很多学生都做错了。”这位教师一脸的无奈，苦恼之情溢于言表。我说：“我们先问一问学生，再看看教学设计，分析讨论，查找原因。”
1．练习题：一个平行四边形相邻的两条边分别是10厘米和6厘米，其中一条边上的高是8厘米，这个平行四边形的面积是（）平方厘米。
①48 ②60 ③80 ④480
2．练习对象：某班38名五年级学生。
3．统计结果如下表。
4．和学生交谈（没有向学生公布正确答案）。
师：这道题你选择哪个答案？为什么？
生1：我选答案③。因为平行四边形的面积＝长×宽，10乘8等于80，所以选择答案③。
师：你为什么选择答案②？能说说当时你是怎么想的吗？生2：我也认为平行四边形的面积＝长×宽，没看仔细，就直接把10和6相乘，然后就选择②了。
师：你为什么选择答案①？
生3：平行四边形的面积＝底×高，如底是10厘米，邻边是6厘米，那么8厘米肯定不是10厘米这条边上的高，因为高肯定比斜边要短，所以应该选择用6和8相乘，答案是48平方厘米。
……
我和该教师交流：“能说说你的教学设计吗？”该教师说：“先出示教材中的主题图，让学生提出问题‘谁的面积更大’；接着用数方格的方法，引导学生得出求平行四边形面积的方法；再引导学生通过割补法将平行四边形转化成长方形，总结出平行四边形的面积计算公式；最后练习巩固，让学生应用所学知识解决问题。”听完该教师的教学设计，我们又重新研读教材，分析学情，并思考：（1）“平行四边形的面积”一课的教学起点是什么？（如面积的概念、平行四边形的特征、对垂直和平行的认识、长方形和正方形的面积公式推导过程等）（2）在“平行四边形的面积”教学中，知识要素有哪些？（正确理解平行四边形的底和高）（3）除了关注基础知识的教学外，培养学生的基本能力和获得广泛的活动经验的目标该如何落实？再反思原来的教学设计，学生练习为什么出错的原因就浮出了水面：学生缺乏空间观念，没有正确认识平行四边形的高，对平行四边形的底和高还停留在浅层次的认知表象上，没有整合成一个整体。
寻找到了学生的错误根源，我们重新设计此课的教学。
教学流程：
一、巧借对比，顺势导入
师（出示一个长方形框架）：它的长是6厘米，宽是4厘米，面积是多少平方厘米？（根据学生的回答，师板书：长方形的面积＝长×宽）
师：如果老师将长方形的两个对角顶点向外拉，现在变成了什么图形？
生：平行四边形。
师：你认为这个平行四边形的面积该怎么算？（预设：可能有些学生还认为是6×4，也有些学生认为不是6×4，初步感知到面积发生了变化）
师（进一步拉斜平行四边形）：现在平行四边形什么发生了变化，什么没有变化？（预设：让学生进一步感知平行四边形的四条边没有发生变化，但它的面积却在不断地变化，直观感受到平行四边形的面积变小和它的高不断变小有关，培养学生的空间观念）
师（小结）：用两条邻边相乘求平行四边形的面积是不可取的，因为平行四边形的面积和它的底与高有关，这就需要我们进一步研究平行四边形的面积与它的底和高有什么关系。
二、自主探索，逐步感悟
1．探索平行四边形（图1）的面积，底为6厘米，高为4厘米。
（1）师给学生提供方格纸、平行四边形：方格纸的每格长度是1厘米，平行四边形的面积是多少平方厘米？（学生独立尝试解决）
（2）师（小结）：刚才大家用数方格的方法求出了平行四边形的面积，你们还有什么疑问吗？你能肯定它的面积就是24平方厘米吗？（预设：有些格子不是整格的，怎么处理？）
（3）师：刚才有的同学在数的时候采取把不够1格当半格的方法数出了平行四边形的面积，那有没有办法变成都是整格的呢？如果都是整格的就没有歧义了。（引导学生主动思考，建立前后图形的联系，尝试用割补法进行探究）
（4）师：将平行四边形沿着高剪下后拼成长方形，面积有没有变化？（没有）你是怎么知道的？（预设：大部分学生只关注转化后的长方形，并借助格子图数出长方形的面积，通过追问引导学生思考割补前后两个图形之间的联系）
2．探索平行四边形（图2）的面积，底为8厘米，高为4厘米。
（1）不提供格子图，让学生再次尝试探究。
（2）学生操作、交流，感悟方法。
师：现在没有格子图，你怎么知道拼成的长方形的长是8厘米、宽是4厘米呢？（预设：引导学生通过进一步操作，明白拼成的长方形和原平行四边形之间的关系，即长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高）
（3）观察思考割补后的长方形与原来的平行四边形之间的联系。（预设：①引导学生明白平行四边形的底与高和割补后的长方形的长与宽之间的关系；②观察原来另一条邻边割补后的位置，理解高小于邻边的原由）
3．师：有一个平行四边形很大，老师不能把它画下来，但它的底是12米，高是6．5米，你知道它的面积吗？（引导学生积极想象，抽象出平行四边形的面积计算方法，推导出平行四边形的面积计算公式）
三、层层递进，深化拓展
1．算一算。
层次（1）：计算平行四边形的面积。
层次（2）：出示隐去底和高的平行四边形，让学生量出有效的数据进行计算。
2．想一想。
活动（1）：拉动细木条钉成的长方形框架，观察前后面积和周长的变化。
活动（2）：将长方形框架与剪、拼、移后的平行四边形进行对比，总结规律。
……
反思：
第二次教学后，我们进行教学后测，发现学生解答原来错题的正确率有明显提高。通过两次教学的对比、分析，我们不禁思考：一节课的教学该从哪里开始？如何在课堂中有效落实“四基”，实现教学高效的目的呢？
1．找准起点，准确定位
“平行四边形的面积”教学是平面图形面积教学中的一个拓展内容，为学生思维的发展、基本活动经验的获得提供了有效的材料。本节课的教学应在发展学生空间观念的基础上，引导学生对所学知识进行理解和运用。因此，第二次教学中先让学生进行“平行四边形的面积和什么有关”的猜测，从而给学生的探究指明思考的方向，然后通过动手操作引导学生理解平行四边形面积与底和高的关系，为平行四边形面积计算找准学习的起点。
2．丰富感知，提升思维
在学生理解平行四边形面积和底、高的关系后，引导学生通过操作探究平行四边形的面积和邻边长短的关系，使他们进一步获得感知经验。可先让学生在方格纸上对平行四边形进行割补，感知它与割补后的长方形之间的联系；接着不提供方格纸，引导学生通过割补进一步感知平行四边形与割补后的长方形之间的联系；最后通过对平行四边形的想象操作，发展学生的空间观念，使他们形成完整的活动体验，掌握平行四边形面积的计算公式。
关键词：面面平行；教学设计；教学反思
[?] 设计意图
立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，这其中当然也就包含了研究空间点、线、面之间的位置关系. 而面面位置关系是点、线、面之间位置关系中的最高层次. 面面平行是两平面位置关系的一种，它在日常生活中被广泛地利用，所以我们有必要深入地去研究它. 面面平行这一节主要内容是研究面面平行的定义、判定与性质定理，而这些定义、定理的内容非常抽象，只利用黑板很难将这些问题表述清楚，也很难理解其中的本质，这是本节课的难点，也是重点. 因此，要想更深刻地理解这些问题，就必须借助实物模型，通过大量的观察、实验、操作和思辨论证，使学生逐步理解，必要时还要辅助多媒体动画演示，使问题的本质得到真正的理解，从而达到掌握本课内容的目的.
本节课从具体问题入手，以问题为中心及背景，按照“问题情境――教学活动――意义建构――数学理论――数学应用――总结与反思”的顺序结构对问题逐一展开，这样使问题的本质得到了探究，这也正是新课标所需要的理念.
[?] 内容分析
本节内容在立几学习中起着承上启下的作用，既是前面线线及线面关系的自然延伸，又是为后续学习面面垂直关系奠基. 本节知识点主要为：两平面位置关系，面面平行的定义、判定、性质. 在处理这些内容时，先引导学生通过观察实物模型，类比线面平行的相关知识，归纳总结出面面平行的相关知识，再运用理性思维加以证明和运用，将合情推理与演绎推理有机结合. 通过本节的学习，进一步培养学生空间想象能力与逻辑推理能力以及书面表达能力.
[?] 学情分析
1. 学生已有知识基础：空间两直线位置关系，直线与平面的位置关系的判定与性质.
2. 学生已有学习经验：将线面位置关系转化为线线位置关系研究.
3. 学生学习可能有的困难：线面平行判定定理的归纳不准确和应用线面平行判定定理证明书写不规范.
[?] 学习目标
1. 知识与技能
通过对本节课的学习，了解空间两平面位置关系有哪些；理解并掌握两平面平行的定义、判定定理和性质定理.
2. 过程与方法
①能准确使用文字、图形和符号三种语言表述定理、证明及其应用；
②学会通过“类比”的方法研究新问题；体会“从特殊到一般”的思想的运用.
3. 情感、态度与价值观
通过本节课知识的学习，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的探究能力；通过学生与学生、教师与学生的共同探讨，充分激发学生的合作精神.
[?] 重难解读
重点是定理的引入与应用，并能在应用中总结出处理这些问题的一般方法与思维方式.
难点是定理的证明、应用以及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维、书面表达能力的培养.
[?] 学法指导
1. 通过类比直线与直线，直线与平面的位置关系来研究平面与平面位置关系，体会“类比思想”在数学中的重要作用；
2. 通过线线、线面、面面之间的相互转化来体会“转化思想”；
3. 学会通过具体实例来归纳一般结论，深刻理解“从特殊到一般”这一研究数学问题思想方法的重要性.
[?] 内容探究
（一）复习引入
引导学生归纳面与面的位置关系有平行和相交两种，并让学生类比线面平行的定义给出面面平行的定义.
注：通过PPT展示两种面与面位置关系的符号语言和图形.
设计意图：复习线面相关知识，体会类比的思想.
（二）新课讲解
1. 面与面平行的判定定理
（1）建构活动1
教师：若平面α内有一条直线a平行于平面β，则能保证α∥β吗？
学生：不能.
教师：一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？
学生：不一定，若这两条直线相交，则结论成立，否则不然.
教师：因此我们能给出两平面平行的判定定理吗？
学生：（面与面平行的判定定理）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
思想方法：平面与平面平行关系?线面平行关系?线线平行关系
空间问题?平面问题
注：这里设计了动画（见PPT）
设计意图：让学生主动构建线面平行判定方法，体会转化的思想和降维思想.
（2）判定定理的理解与应用
①概念辨析
A. 若平面α内的任意直线都平行于平面β，则α∥β吗？
B. 若平面α内有两条相交直线与β内两条相交直线分别平行，则α∥β吗？
设计意图：加深对判定定理的理解.
②例题探究
教师：通过刚才的小组展示，哪位同学能总结一下构造面面平行的具体措施是什么？
学生：（小结）构造面面平行的具体措施是：一个平面图形的两相交边平行于另一平面图形的两相交边.
设计意图：一、让学生掌握面面平行的判定方法，并且能够操作；二、让学生体验小组合作学习的乐趣；三、通过上台展示，增强学生的自信心.
2. 面面平行的性质定理
（1）建构活动2
教师：如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行吗？
学生：平行.
教师：分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？
学生：不一定平行.
教师：为什么？
学生：两平面平行?两个平面没有公共点?α内的任何一条直线与β都无公共点?α，β内任何两条直线都没有公共点
注：这里设计了动画（见PPT）
教师：我们能否将刚才的两个结论归结为一般性定理？
学生：（性质定理1） 两个平行平面中一平面内直线与另一平面平行.
A. 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等吗？你能证明吗？
注：这里设计了夹在正方体两底面间两平行线段的平移动画来帮助学生思考.
B. 如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的所有点到另一个平面的距离相等吗？
C. 如果一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行吗？
D. 如果一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行吗？
设计意图：加深对性质定理的理解.
3. 课堂练习
练一练：
分析：一、通过构造线线平行来证明；二、通过构造面面平行来证明.
设计意图：一、让学生掌握证明线面平行的两种常用方法；二、再次体现转化思想方法.
4. 课堂小结
1. 两个平面的位置关系：相交、平行.
2. 判定两平面平行的方法：a. 使用“两个平面互相平行”的定义；b. 两平面平行的判定定理.
3. 两平面平行的性质：
a. 面面平行转化为线面平行；
b. 面面平行转化为线线平行.
4. 数学思想方法：
a. 类比的思想；
b. 由特殊到一般的思想方法；
c. 转化的思想.
[?] 教学反思
1. “满堂灌”的教学方式已被越来越多的教师所摒弃，“满堂问”的教学方式形似启发式教学，实则为“教师牵着学生，按教师事先设计的讲授程序”所进行的接受性学习. 这两种教学方式实际都是教师在台上传授，学生在座位上接受，只不过前者学生接受的是教师的知识，后者学生接受的是其他学生的知识. 基于以上考虑，本人期望在教学中能尝试使用“小组合作探究”式教学模式进行教学，使学生们的“知识的获得过程”不再是简单的“师传生授”，而是让学生主动地参与到活动中去，在活动中依据自己已有的知识、经验和在学生的帮助下建构知识体系，让学生在快乐、合作中学到知识，体验到合作的乐趣，增强集体荣誉感. 通过上台展示，让部分学生有了展示自我的机会，提高了语言表达能力，增强了在公众面前展现自己的勇气，增强了他们的自信心，让他们体会到成功的喜悦.
[关键词] 电教手段、数形结合
当前，信息技术飞速发展，知识经济已见端倪，我们已经进入了21世纪，面临人类文明史上的又一大飞跃--由工业化社会进入到信息化社会。21世纪，既为我们带来新的机遇，也为我们带来新的挑战--世界各国将迎来更为激烈的国际竞争。21世纪的竞争，是经济实力的竞争，科学技术的竞争，归根结底是人才的竞争，而人才的竞争取决于教育。为此，世界各国对当前教育的发展及信息技术在教育中的应用都给予了前所未有的关注，都试图在未来的信息 社会中让教育走在前列，以便在国际竞争中立于不败之地。如此的竞争态势是对教育的严峻挑战，现代教育技术在迎接这场挑战中将起到关键的作用。因此，我国教育部不失时机地提出：要把现代教育技术（主要指电教手段）当作整个教育改革的"制高点"和"突破口"。
应用电教手段改善和提高教学效果是当前教学改革的一个方向，一方面它提供外部刺激的多样性有利于知识的获取，另一方面人机对话有利于激发学生的学习兴趣和认知主体作用的发挥。
影响数学学习的心理素质主要有：求知欲望、意志力、动机和兴趣、自信心等，因此，在课堂教学中运用电教手段进行教学，可有效地开启学生思维的闸门，激发联想，激励探索，为一堂课的成功铺下基石。
1、电教手段的应用有利于体现数形结合的数学思想方法
高中解析几何是综合运用代数和几何知识的一门综合性的学科，其特点之一是数和形的紧密结合，即利用方程的性质来研究相应的几何图形的特点，使几何图形及其研究实现了"代数法"。反之，如果给代数问题以几何解释，那么可以理解代数问题的直观意义，解析几何的另一个基本特点是把曲线（包括直线）看作是按一定的几何条件运动的集合，以运动、变化的观点来研究它的性质，所以具有数形结合的思想，运动变化的辨证观点是学好解析几何的关键。
电教手段应用于解几教学应是在教学过程中充分揭示教学内容中内在辨证关系，逐步使学生养成运用上述思想和观点去分析和解决问题的习惯，从而深刻地理解和掌握教学内容的实质。基于此，应主动有效地设计出"数、形动态"演示特点，赋予它特有的魅力。即能够迅速改变变数，同步达到屏幕图形的变化，或屏幕图形的渐变；窗口同步显示变数的变化，并且演示过程可以根据需要进行控制，演示速度可任意调整；可以随时看到各种情形下的数量变化或不变，图形的动或静，把"数"和"形"的潜在关系动态地显示出来。这样教师根据呈现的内容有针对性地加以讲解或组织讨论，引导学生根据内容提出的各种变数来观察、验证、对比、寻找一般规律和特殊属性。使学生能加深对几何图形的感知，敏锐地抓住变化特征，真正地将现代科技应用于辅助教学。
比如线段的定比分点概念的教学，对此概念的学习主要要引导学生深刻认识到定比分点的概念的成因是为了有效地确定线段的唯一分点P的位置，和引入λ值的意义，即在直线、线段上唯一分点P使得有向线段的比值λ与实数对形成了一一对应的关系，进而理解定比分点的实质是通过线段的比"代数化"来确定P点的位置。可让学生积极寻找、分析、修正各种解决问题的方案。设计思路：在屏幕上显示有向直线l，在l上设置两固定点P1、P2和一个动点P，开设变化值λ窗口，对于特殊点的位置，如P1、P2点，预先设置λ对应值（0及不存在）。动点P可用鼠标拖动，动态显示时，窗口同步显示相应λ数值。拖动的速度可自由控制，可快可慢，可停留于某个点。学生可亲手动手演示操作，使直线l时间各种特殊点：P1点、P2点、P1P2中点、P1P2的各种内分点、外分点等的位置与λ值关系显露出来。这样分点变化引起线段的比的变化特征，确实是直观、明显、连续、完整、精确，充分地揭示"形"（线段）与"数"（线段比）的一一对应关系。
2、电教手段的应用有利于突破教学难点
这种精巧的构思辅助教学的方式既是进行验证、探索的极好工具，又是创设"情景"的好帮手。它使数学许多内容推陈出新，教学面貌焕然一新，重点善于把握、难度易以突破、关键易于抓住。
比如在上抛物线的定义这个概念之前，我们认真研究了三个问题：①教材是怎样引进概念的，怎样扩展内容的 ；②怎样设计具有启发性的问题，引导学生积极探索新知；③怎样有效组织获取知识过程的教学。
因此，对此课件的设计着力于展示概念的形成、发展过程，揭示本质属性。对此概念的学习主要要引导学生形象地认识到抛物线的概念的成因，即其是由到定点的距离与到定直线距离相等的点组成的集合。其设计思路大致如下：先设置一定点及与该定点有一定距离的定直线，然后截取一段段长度不等的线段，作为"距离"d，作出以该定点为圆心，以该距离d为半径的圆，此即到该定点距离为d的点的轨迹；再作出与该定直线平行，且到定直线距离也为d的两条直线，此即到该定直线距离为d的点的轨迹上的一点；不断变换线段的长度，即改变d的大小，就可得到不同的点，将这些点连接起来，即为符合到定点的距离与到定直线距离相等这一条件的点就是这条曲线。可以通过动画显示得出该轨迹的形状的过程，由此可引出抛物线的轨迹图形。
3、电教手段的应用有利于动态地显示给定的几何关系
例题的教学设计着力于萌发解题灵感，启迪良好的思维策略。且有助于让学生领略数学美感，激发学习兴趣。例如在立体几何的教学中，利用电教手段就能够动态地显示给定的几何关系。
例如：例题：四边形ABCD是正方形，PA面ABCD，则图中七个平面中，有几对平面互相垂直？
设计思路：这道题大部分学生都可以找到部分互相垂直的平面，但是要把所有互相垂直的平面都找出来并不是一蹴而就的事，因此，根据立体几何中判断两平面互相垂直的定理"如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。"在设计过程中首先先依次显示图示中能与已知平面垂直的线段：PA、AB、AD，再显示CD、AB，最后显示BC、BD，边显示这些线段，边分析该线段所在的平面和其分别垂直于哪些平面，将这些平面分别用不同的颜色动态显示出来，就可清晰的判断出哪几个平面互相垂直了。最后，再排除掉重复的，就可得出正确的答案。
这样，形象地应用电教手段，培养学生的逻辑思维能力和空间观念，较能够根据学生的认知规律和心理特点，在对知识的讲述上又可贯穿启发式思想，充分调动学生的学习主动性。
学习是一种劳动，学习是需要付出一定代价的。多利用电教手段进行教学，可以让学生更主动、愉快地学习，并能使课堂教学形式更加活泼多样，更易以激发学生的学习兴趣，使学生通过认真、努力的学习，变"苦"为"乐"，体验到"领悟"的欢乐。
4、充分利用电教手段安排课堂教学结构，有助于发挥学生的主体作用。
学生获得知识，一是从被动接受中获得，二是从主动学习中获得。我们应提倡让学生在教师的启发、诱导下，主动地获取知识。这就要求教师注意研究学生的学习规律，改变重视"教"而忽略"学"的现状，适当的应用电教手段进行教学，可以对学生加强学习方法的指导，使学生在老师的指导下，从不知到知，从知之较少到知之较多，并在学会数学知识的同时学会学习的方法。
为了在实际教学中体现突出学生的主体作用这一特点，我们在考虑课堂教学结构的设计时，重点应研究四个方面：①科学安排一节课的各组成部分进行的顺序；②合理分配和使用时间；③精心设计安排练习；④要根据不同的教学内容和教学要求，有计划有步骤地引导学生进行各种认识活动，如操作、观察、测量、画图、解题等，引导学生在活动中思考，逐步放手让学生自己去探索。而电教手段的应用，可以节约传统的板书、画图等的时间，从时间上使有限的课堂四十分钟的时间"变长"了，使学生的主体作用可以得到更加充分的发挥。
5、运用电教手段进行教学，可创设愉快的课堂教学气氛，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢数学，爱学数学。
兴趣是学习的动机和动力，在学习活动中起着十分重要的作用。教师要认真钻研教材和组织教材，用数学本身的美去感染学生以提高兴趣，用巧妙的课堂教学安排去唤起学生的学习兴趣，用多样的教学手段去激发学生的学习兴趣。学生获得知识，一是从被动接受中获得，二是从主动学习中获得。我们应提倡让学生在教师的启发、诱导下，主动地获取知识。这就要求教师注意研究学生的学习规律，改变重在"教"而忽略"学"的现状，加强学习方法的指导，使学生在老师的指导下，从不知到知，从知之较少到知之较多，并在学会数学知识的同时学会学习的方法。
横看成岭侧成峰，这可以说是对电教手段进行教学的最佳写照。的确，电脑技术的加速发展，正逐渐改变人们的思维、表达、沟通方式，乃至改变人们长久以来形成的生活方式。
[参考文献]
1 何克抗，《现代教育技术》，北京师范大学出版社，1998年
关键词：新课程；高中数学教学；教学方法
一、转变教学观念
新的课程标准强调教学过程中的师生互动，在互动的过程中构建新知识。要求在教学中以师生的共同经验为基础，达成师生互动，不断丰富和生成新的内容，所以传统的教育观念和教学模式已经不适应这种要求。这个转变要求教师改变传统教学观念，认真领会课程改革的理念，改革教学方法。
首先应明白“教”什么的问题。新的高中数学教学标准要求“努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”。意思是数学课除了教给学生知识和解题技能外，还应该在教学中让学生感受知识发生、发展的过程，培养学生的创新意识和探究能力。新课程背景下，不仅要求教师教会学生掌握数学知识和解答数学题的技巧，还应教给学生学习数学的能力，为学生的长远发展奠定基础。
其次弄清楚怎么“教”。自主探索、合作交流等学习方式是新课程标准提出的要求，学生的学习过程就是在教师的指导下进行再创造。因此，要求教师在课堂上给学生留出充足的学习时间，让学生有机会将课堂上的数学与现实生活中的数学结合起来，让他们自己认识、理解并运用数学。与此同时，教师应为学生创设学习的条件和氛围，精心设计问题，引导学生经历知识“再创造”的过程。
二、深入钻研教材
教师钻研、理解教材的过程是形成教学能力的过程，只有深入钻研、理解教材才能领会新课程的理念，掌握教材编排的意图，确定相应的教学方法。要做到深入钻研教材，可以从以下两点入手：
1.课程内容的基础性
高中数学的课程内容具有基础性和发展性，一方面是学生进一步学习数学和其他学科的基础，一方面要有适应社会和科学技术的发展，重视基础知识和基础智能的内涵。新课程的教材内容是螺旋上升的结构，考虑到人的全面发展，体现了以学生发展为核心的基本理论。
2.新课程内容的系统性
新课程标准按知识的发展顺序将教材分成几条主线，并形成有机整体。如新课程立体几何知识，在讲点、直线、平面的位置关系的内容中，穿插介绍了直棱柱、正棱柱、正棱锥等内容，直线与平面、平面与平面的平行和垂直等位置关系，遵循了“整体—局部—整体”的原则。
三、提高课堂教学的效率
课堂教学是教师传授知识、学生获取知识的重要环节，不仅是传授知识、培养技能的过程，也是师生情感、思想交流的过程。教师应努力营造良好的教学氛围，使课堂教学信息实现最优化的传递与转换，创造出教学的良好效果。
1.培养学生的学习兴趣，引导他们体验成功的快乐
教师是课堂教学的指导者，在教学中应坚持以人为本，突出学生的主体地位，留给学生充足的学习时间，引导他们自主学习，并在这个过程中体验成功的快乐。激发学生的学习兴趣，给予学生适当的鼓励，调动他们的积极性，并增强学生的自信心。注重在引导学生解决问题的过程中，学习新知识，巩固旧知识，培养他们良好的解题习惯。
2.构建和谐的师生关系，倡导探究式自主学习，培养学生的实践能力和创新精神
新课标以学生作为课堂的主体，教师作为指引者，应与学生构建和谐的师生关系，并进行平等交流。教师注意明确教学目标，结合教学大纲的内在要求，充分了解教学内容在整个学科体系中的位置，并根据教学内容和学生实际，在教学过程中灵活采用多种不同的教学方法，突出知识的重难点。教师在教学中还应全身心融入学生中间，关注每一个学生的发展，给予适当的鼓励和表扬。同时，要给学生留出自主探索的时间和空间，鼓励学生自主探索、讨论、质疑并交流，提高学生自己解决数学问题的能力。
3.注重教学反思
新课程标准下教师进行教学设计应注重反思的意义。不仅要教授学生知识，还应在知识建构的过程中深化学生的思维层次，提高他们的思维能力。这就要求教师在教授每个知识点时，关注对学生“知识生成过程”的反思，“授之以鱼，不如授之以渔”。因此，教师在进行教学设计和课堂教学的过程中不仅要注重教学结论的总结，更要关注解决问题的方法。在传授知识的基础上，帮助学生掌握科学的思维方法，实现传授知识、培养能力的目的。
4.联系实际，将数学知识与生活实际相结合
学习知识的目的是为了应用，在进行教学时，应加强数学与实际生活的联系，使学生感受到数学的实用性，培养学生运用所学知识解决问题的能力。让学生感觉到自己所学知识可以帮助解决很多生活实际问题，产生学习的兴趣，不再认为数学枯燥无味，从而积极主动学习，能够有效地提高数学教学的效率。
四、小结
【关键词】初中数学；习题课；教学设计；教学效率
随着新课程教学和研究的不断深化，教师对教材、教法以及学法的研究取得了许多成果，在概念课教学、命题课教学等设计中更加重视有效性，但对于习题课的教学设计却不尽人意.如何在有限的时间内使习题课的教学更加有效，是教师一直关注和研究的课题.习题课教学目标主要有：巩固核心知识、优化技能方法、提高解题能力、拓展数学思维[1].本文拟以北师大版“§43探索三角形全等的条件”习题课设计为例，谈谈如何进行有效的习题课教学设计，希望能给您带来启示.
1总体设计说明
“§43探索三角形全等的条件”习题课是北师大版《义务教育教科书・数学》七年级下册第四章“三角形”第3节“探索三角形全等的条件”教学之后安排的一节习题课，目的是巩固前面学过的判定三角形全等的几种方法，以增强解题的灵活性和针对性，提高学习效率.课前笔者收集了学生在新授课学习及作业中存在的主要问题，有针对性地安排了3道例题，以讲练结合的方式进行教学，并准备根据课堂反馈情况进行及时调控.
为了顺利完成本节课的教学任务，结合学生的实际，体现有效教学，设计如下流程：复习检查、例题探究、巩固练习、课堂小结、课后作业.力图通过本节课的教学，使学生熟练掌握判定两个三角形全等的方法，并引导学生总结出判定两个三角形全等时思考问题的方法和规律以及两个三角形全等的条件.在教学中注重渗透数形结合思想、转化思想等数学思想方法.
2教材分析
在前面的学习过程中，学生已对线段、直线、射线、角等基本元素进行了详细的学习和研究，并能初步应用所学知识进行简单的推理.全等三角形是对前面知识的综合运用和延伸拓展，对于发展学生的空间观念有着十分重要的作用.全等三角形也是今后研究其它几何图形的重要工具，还是证明线段相等、角相等以及两直线互相垂直、平行的重要依据.因此，必须熟练掌握并能灵活运用.同时，全等三角形在实际生活中也有着非常广泛的应用，是培养学生数学应用意识的好素材.
3教学目标及教学重难点
3.1教学目标
1.向学生展示几何图形的变换过程，使学生能够熟练地从几何图形中找出全等三角形及其对应元素，发展学生的空间观念.
2.进一步验证三角形全等的条件，并进行归纳、总结，使之形成条理清晰的知识脉络.
3.能够利用全等三角形的知识探索几何图形中相关元素的关系，提高利用三角形全等探索问题的能力.
4.在探索问题的过程中发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力.
3.2教学重点
1.掌握判定全等三角形的方法和利用全等三角形的知识解决问题.
2.发展学生的推理能力和有条理的表达能力.
3.3教学难点
1.要善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形.
2.运用全等三角形的知识进行合情推理，解决问题.
4教学设计
4.1复习检查
1.全等三角形对应元素的寻找方法？
2.作图并说明判定全等三角形的方法？
3.“边边角”和“角角边”是否是判定全等三角形的方法？
教师巡回指导，学生小组交流、讨论.
设计意图通过学生动手、动脑，操作、思考，发现规律，培养学生思考、发现问题的能力.此环节重点关注学生的作图过程，以及与别人合作交流的情况.
4.2例题探究
例1（1）如图1，已知AB=AD，AC=AE，ABC与ADE是否全等？
（2）如图2，已知AB=DE，∠B=∠DEF，ABC与DEF是否全等？
（3）如图3，已知在ABC中，AD是BC边上的高，ABD与ACD是否全等？
设计意图通过提出问题的方式，引导学生对前面所学的知识进行梳理回顾.学生先独立思考，再与同桌或小组交流思考.此环节重点关注学生运用所学知识解决问题的能力，培养学生用简练的语言，有l理地说出解题过程的能力.
例2如图4，已知ABD≌CDB，你能得到哪些结论？
利用几何画板向学生展示图形由图4到图5的变换过程，以帮助学生了解图形之间的联系及其变化规律，进而提高学生的识图能力.
设计意图让学生在开放性题目中进一步巩固全等三角形的判定和性质，并能进行猜想进而证明.通过本题，说明利用全等三角形可以证明角与线段的相等关系，使学生体会全等三角形全等知识的应用，对变式题目要注意引导学生用不同的方法解决，培养学生的发散思维能力.
把分析的过程倒写下来，就是证法[3].
证明因为AB=AC（已知），所以∠B=∠C（等腰三角形两底角相等）.同理∠2=∠1.
又因为AD=AE（已知），所以CAD≌BAE（AAS），所以CD=BE（全等三角形对应边相等）.
所以CD-DE=BE-DE（等量减等量，差相等），即BD=EC.
设计意图运用所学知识解决具体问题并写出规范化的证明过程，是学生必备的素质之一[4]，如何进行几何证明题的教学，是数学教学值得探讨的一个课题.本题在探寻解题思路时，采用的是逆推分析法，也就是由结论倒推条件，再把分析的过程倒写下来，就是证法[5].这是一种常用的解决问题的方法，应熟练掌握.
4.3巩固练习
5教学思考
习题课在日常教学中是常见课型，与新授课区别较大，与复习课相比也有较大的区别.习题课常常安排在新授课或一节教学内容之后，目的是查缺补漏、巩固提高.现在很多习题课往往是随意找几个题目讲一讲、练一练，这样是达不到目的的.笔者认为，习题课如果认真设计，可以大大提高教学的有效性.这就要求我们首先要了解近期教学中存在的问题是什么？学生学习中的漏洞产生的原因是什么？这样才能在教学设计中明确这节习题课的教学目标、贯穿全课的主线、重点关注的学生的群体，也才能使预设与生成达到和谐统一.
5.1明确设计主线
就习题课教学设计而言，应当特别关注有效目标的达成，形成一条主线.习题课不需要面面俱到，应当重点突出.重点就是学生在这一阶段学习中存在的问题、教学过程中的漏洞等，以突破这些问题为教学设计的最终目标，无论是例题还是习题，都应围绕如何讲解这条主线展开.
5.2填补教学漏洞
本节课是在学习了第四章“三角形”第3节“探索三角形全等的条件”之后安排的，主要原因是新授课学习了全等三角形的判定方法，但不够系统，相当一部分学生在解题时不能灵活运用.因此，用一节专门的习题课来补漏显得尤为迫切.通过本节课的学习，不仅达到了预期的目标，而且还规范了学生的解题思路，很大程度上促进了学生进行有条理思考和合理推理能力的提高.
5.3关注学生活动
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动.”这就要求教师将习题课的教学内容设计成富有挑战性的学习内容，以激发学生的学习热情，在教学中充分暴露学生的思维过程、展示学生的解题方法，让学生比较不同的解法和不同思路的优缺点，在愉悦的学习氛围中获取知识.
总之，通过本节课的教学，我们发现习题课的教学设计还有很多需要深思和研究的内容，相信只要大家共同来研究习题课的教学设计，必定会有更多的真知灼见，习题n的有效教学设计定会层出不穷.
参考文献
[1]马复.初中数学教学策略[M].北京：北京师范大学出版社，2010.
[2]杨幼池.中学数学习题的教学研究[M].武汉：华中师范大学出版社，2007.
[3]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.
关键词：实践；综合运用；小学数学；教学意义
伴随着当前新课程改革进程的逐步深入，教学模式及教学方法也出现了较大的变化，作为小学数学老师，就需要及时转变自身的思想，实行“实践与综合运用”的教学方法，从而调动学生们的自主意识，增强学生们的探究能力，培养学生们的发散性思维及创新才能，从而为学生以后的学习及成长奠定扎实基础。以下简要探讨了小学数学教学的相关内容，仅供参考。
一、小学数学教学中推广“实践与综合运用”的意义
对于“实践与综合运用”来讲，其是由应用题演变而成的。因为以往课本内收录的应用题不但数量关系较为明确，同时已知条件也较为精准，全部的问题都存在答案，并且答案是单一的，所以，教职人员并没有终点对学生们的实践能力进行训练，较少会为学生讲解关于教学定义、理论知识的背景及使用价值，不讲解数学同生活、同其他科目的关联，从而使学生形成一种错误的认识，即学习数学就是套用题型、套用公式。尽管教师及学生在数学上花费了大量的时间及精力，然而依旧无法使学生灵活应用数学知识求解现实问题，以至于让学生感觉学习数学毫无用处，丧失了数学学习及热情与积极性。而在小学数学教学期间应用“实践与综合运用”的方法可以调动学生们的学习热情，让学生掌握数学同生活间的关联，从而更主动的进行学习。由广义方面来看，数学实践活动指的是学生在形成数学知识结构，创建数学意识的过程中自身动脑、动手、动口的行为。实践活动需要始终贯穿到教学的全过程。对于实践来讲，其是综合应用的前提，反之，综合应用是实践的目的。所以，作为小学数学老师，应重点培养学生们应用数学的能力，从而帮助学生完善自身发展。
二、小学数学教学中推广“实践与综合运用”的措施
（一）调动学生们的学习积极性
常言道：兴趣是孩子们最好的老师。如果学生对学习产生浓厚的兴趣，则学习积极性就越高，记忆越扎实，教学质量越好。所以，作为小学语文老师，应利用多种多样的教学方法激发学生们的学习积极性。当学生掌握一定的书本理论知识后，应带领学生进行课外学习，从而丰富学生们的见识、增长学生们的知识储备。作为小学数学老师，需要为学生创建一个轻松、欢快、民主的学习环境。例如：定期举办“数学小警察”、“我会处理问题”等活动，并且进行丰富的数学笔记活动，调动学生们的兴趣爱好，让学生更主动的参与教学活动，在潜移默化中提高教学质量。
（二）基于生活层面上开展“实践与综合运用”
在数学教学期间，开展实践与综合运动的重要目的就在于使学生了解数学知识与生活的关联，建立正确的数学思想。想要让学生掌握数学的应用价值及文化价值，缩短学生同数学间的距离，就需要在教学期间强调数学同生活间的关联，依据学生们的自身情况及心理特点，在教学的第一、第二阶段以讲解数学同生活的关联为主，在第三阶段思考数学同社会的关联。例如：教师在进行第一阶段的教学期间，需要由学生们了解的生活情境入手，创建一系列活动，帮助学生了解数学的意义。例如：收集一些生活中较为常见的数字，在课堂上列举出，探讨数字的单位、现实意义等。从而增强学生们的学习积极性，促使学生主动进行学习，提高教学质量，为学生以后成长夯实基础。
（三）将数学各领域的知识进行综合应用
教师在讲解课程内容时，应注意各个内容间的关联，全面发展学生的综合应用才能。“综合”运用包含两部分内涵：其一，指的是数学各个知识点与表达方法间的综合；其二，数学科目同其他科目间的综合。“实践与综合运用”是基于“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”前提下创建的，是利用数学形式进行表现的。学生普遍了解的数学形式有：数字、方程式、函数、表格、图形等，其各类数学表达形式之间都存在紧密的关联。一般来讲，与实际生活相关的数学，通常是以不同科目互相交织表现的，数据的收集需要应用调查的方法进行统计，数据的处理需要应用数字、方程式、图形、函数、表格等知识点，问题的处理需要应用证明、计算、推理等内容，从而获取结果。处理实际问题就是将不同知识点融合在一起应用的过程，极少会使用到计算。所以，作为小学数学老师，在教学期间，不但需要对该一阶段的知识进行总结、归纳，同时还需要同以前的内容形成联系，从而全面突出数学的实践价值。例如：教师可以同学生一起做一个“小商店”的游戏，在游戏过程中，帮助学生掌握人民币，了解100以内的加减法。利用这种学生熟悉的环境，不仅可以提高学生对知识点的掌握水平，同时还可以锻炼学生们的数学应用才能，提高教学质量，为学生以后成长奠定基础。
（四）锻炼学生使用多种方法解决题目的才能
作为小学数学老师，在应该“实践与综合运用”进行教学期间，应多采用鼓励、表扬、肯定的方法，帮助学生树立自信心，培养学生的独立能力，同时，教师应给予学生足够的尊重，同学生进行交流，从而提高教学质量。例如：教师可以为学生出一些发散性思维的题目，将学生划分成小组进行讨论，每一小组选出代表进行发言。从而激发学生们的学习积极性，促使学生主动参与教学活动，提高教学质量，帮助学生完善自身发展。
总结：
总而言之，作为小学数学老师，想要提高教学质量，就需要及时转变自身观念，紧跟时展的步伐，推行“实践与综合运用”的教学措施，调动学生们的学习积极性，基于生活层面上开展“实践与综合运用”，将数学各领域的知识进行综合应用，锻炼学生使用多种方法解决题目的才能，从而提高教学质量，为学生以后的学习及发展夯实基础。
参考文献：
[1] 杨豫晖.小学数学教学设计中存在的问题与对策[J].海南师范大学学报（自然科学版），2009（01）.
1注重实质，少做面子
那些花哨的课件表面看能激发学生的兴趣，实际上说明了制作者不懂心理学规律，因为它们只会分散学生的注意，使教学效果大打折扣。特别是在 公开教学或评优活动中，许多教师认为功能用得“多”一点、“花”一点，“档次”就会高一点，教学评比俨然成了“功能展示会”。举个简单的例子：鼠标的形状为何要用鞋子，或是小蜜蜂？大量的三维动画服务一个课件，画面背景复杂，按钮繁多，一会小鸟飞过，一会火车轰响，令人目不暇接。如果过多的追求这些“花哨”就会适得其反，这不仅不能增强教学效果反而干扰学生的思维，干扰课堂教学，削弱课堂教学效果。用电脑辅助教学应把解决数学教学中的问题放在第一位，应追求内在本质，而不是外在的所谓“美”。使用多媒体时，一定要从实际出发，突出、强化教学重点；突破、解决学习难点；不能让教学为白板服务，坚决反对不顾实用原则和实际效果片面追求“技术含量”。
2实用为本，讲究实效
在教研活动中，发现许多教师在利用电脑进行辅助教学时，为了用电脑而用电脑，有时所谓的多媒体的效果反而不如普通的传统课堂教学效果好。以“教”为主的教学设计多，而以“学”为主的教学设计少。如教学“三角形内角和”时，有这样一个课件，三角形的撕一撕，拼一拼，老师在用课件演示时，三个角拼的过程像掷飞镖似的就拼在了一起，过程没有很好的展示给学生，这种脱离教学实际的“多媒体”是没有生命力的。计算机辅助教学作为一种现代化教学手段是用来支持教学工作，帮助教师突破重点、难点，主要用来解决一些传统教学中不易解决的实际问题。既然传统教学存在一定的局限性，那我们就应首先从这方面入手，利用电脑辅助教学解决这些局限，这样现代教育技术的优势才能体现出来。比如，在教学平移和旋转时，传统教学因为缺乏直观性，很难演示，而使用电脑展示教师精心制作的带动画的课件，问题就迎刃而解了。
初中数学理性知识成分太重，传统的教学只片面强调逻辑思维训练，缺乏充分的图形支持，缺乏供学生探索的环境，于是只能靠学生的死记和教师的说教了。比如，学习九年级几何“点的轨迹”一节后，学生最终会知道“轨迹”是一些直线或射线，但对“轨迹”是毫无想像力的。《几何画板》能有效地解决这一问题，它显示的“点”一步步动态有形地组成直线或射线，旁边还能显示轨迹中“点”的条件，这种动态的有形的图形是十分完整的、清晰的，它远远超出教师的“把轨迹比喻成流星的尾巴”。
初中数学的概念教学是教学中的难点，学生几乎被动地从教师那里接受数学概念，只有靠强化记忆知道概念的共性和本质特征。九年级代数中的“函数”是一个典型的概念教学，教学时关键是让学生“对于x的每一个值，y都有唯一值与它对应”，有一个明晰直观的印象。运用多媒体的直观特性，分别显示解析式y=x+1，《数学用表》中的平方表，天气昼夜变化图像，用声音、动画等形式直观地显示“对于x的每一个值，y都有唯一值与它对应”，最后播放三峡大坝一期蓄水时的录像，引导学生把水位设为y，时间设为x，就形成了y与x的函数关系。这不仅能引起学生的自豪感，而且让学生对函数概念理解的非常透彻。
运动的几何图形能更加有效地刺激大脑视觉神经元，产生强烈的印象。初中几何《圆》这一章，各知识点都是动态链接的，许多图形的位置发生变化，图形间蕴藏的规律和结论是不变的。其实像“垂经定理”、“圆心角、弧、弦、弦的弦心距关系定理”等等，需要用“翻折”“旋转”“平移”等知识证明的定理，都可用《几何画板》动态揭示知识的形成过程。有些题目，不经意用鼠标移动一个点，图形变化了，结论仍然成立。比如用《几何画板》讲解《直线和圆的位置关系》可以使直线转动，产生与已知圆的相离、相切、相交的各种动态的位置关系，并在旁边显示圆的半径（R），并动态的显示圆心到直线的距离（d），学生们可以一目了然的动态的了解到直线与圆的位置关系，与圆的半径（R）与圆心到直线的距离 的数量关系，使学生在观察实验的同时，推出圆的位置关系，与圆的半径与圆心到直线的距离之间的关系，
相离R
相切R = d
相交d
学生的脑海里只要一提到直线和圆的位置关系，就想到旋转着图像。
类似这样的课件还有《垂直平分线的性质》、《平行四边形的判定》、《圆和圆的位置关系》等。
计算机辅助教学的一个重要出发点是更好地实现教学目标，突破重难点，提高课堂教学效率。九年级代数“频率分布”，在传统的教学中，教师引着学生在“60名女学生身高”数据中，找最大值，最小值，再分组，一个一个地数出每组中数据的个数，计算频率，绘频率分布表，画频率分布直方图，既繁琐又费时。
用计算机辅助教学，简洁明了，把60个数据输入Excel，排序，最大值和最小值，各组中的频数，一目了然，用Excel还能方便地绘出柱状图，类似频率分布直方图。若教师重点讲透步骤、方法和道理，把非智力过程交给计算机处理，这样才能提高课堂效率。培养学生运用信息技术的能力，是信息社会对基础教育的需要，也是教育面向现代化的需要。
3学科整合，提升课堂效率
关键词：课题研究；分层教学；分层培养
一、问题的提出
《义务教育数学课程标准》指出：数学要面向全体学生，让不同的人在数学上得到不同的发展。而现在的教学方式都是相对传统的教学方法，由于学生之间的认知水平有较大的差异，如果教师都按照传统教学方法上课，长期下来必然会造成好学生学习没动力，而学习困难的学生连最基本的知识也掌握不了。因此，我们年级数学组的四位老师于2009年3月起开始尝试“分层教学”模式的课题研究，探索在学生学习能力有较大差异的班级里如何提高教师的教学质量，达到教学目标。
二、分层教学的理论
当前，我们正在实施的新课程从课程目标到课程内容都体现了我们必须要尊重学生的个体差异，因此我们数学组四名教师一致认为教师在教学过程中要因材施教。分层教学就是教师首先根据学生的实际情况，把学生分成几个层次，然后针对不同层次的学生提出不同的教学要求，使每名学生都能得到发展。它是因材施教的一种很好的实施方式。
三、分层教学的实施
1.学生分层
分层教学的一个基本的要求和目的就是根据不同学生的具体情况和知识结构进行教学设计，因此我们首先根据学生对数学知识掌握水平的现状将每班的学生都分成了高、中、低三个层次，也就是A、B、C三个小组。我们深知对学生分层是实施分层教学的第一步，而迈好第一步是教学成功的关键。
2.分层备课
我们四名教师在分层备课这个环节，将每节课的教学目标都分成不同的水平层次，且每个层次都有不同的侧重内容。例如：在对人教版数学八年级上册12.3.1“等腰三角形的性质”进行备课时，我们制定的教学目标是：
（1）要求C组学生能说出等腰三角形的性质，并能应用性质进行简单作答；
（2）要求B组学生能理解掌握等腰三角形的性质，并能熟练地加以运用；
（3）要求A组学生能理解掌握等腰三角形两条性质的推理过
程，并能灵活地运用性质。
在应用性质计算、证明时，对解题思路和方法进行总结，切实提高分析问题、解决问题的能力。
3.分层授课
在课堂教学过程中，我们对A、B、C三组的学生掌握本节课的基础知识都进行了统一要求、学，时间分配大约在三分之一的时间。余下时间对各个小组的学生进行分层指导。例如在对人教版数学八年级上册14.2.2“一次函数”的教学中，我首先对A、C组学生经过学，使他们了解一次函数的图象及其画法即可布置练习。然后对B组学生进行一次函数的性质的教学，教学完成后布置相应的练习内容，时间分配大约也在三分之一的时间。最后再对A组学生进行更高要求内容的教学，如通过一次函数的图象和性质的研究，体会数形结合的数学思想在问题解决中的作用并布置相应的练习任务，时间大概也是三分之一的时间。
4.分层提问
为了鼓励全班学生都能积极参与课堂活动，使课堂气氛活跃，我会有意识地设计三个层次的问题用于课堂提问。问题一般都是由浅入深、由易到难。例如：在讲授人教版数学八年级下册19.2.2“菱形的判定”内容时，我设计了三个层次的问题：
（1）判定命题“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的真假；
（2）说出该命题的逆命题；
（3）判定逆命题的真假。
实际上，第一个问题是针对C组的学生设计的，而第二、三个问题是对B、A组的学生设计的，使他们通过大胆的猜想和类比，
主动地发现问题和解决问题。
5.分层作业
针对教材大纲要求和学生实际学习水平，我们数学组的四名教师每节课都分层次准备了巩固性练习、拓展性练习和综合性练习。要求C组学生能完成课本上当堂课后练习和布置的巩固性练习，B组学生能完成书上全部练习和布置的拓展性练习，A组学生能完成布置的综合性练习。这些练习都可以从相配套的学习资料（如练习册等）中选取。这样既节约了时间，又使各层次的学生得到最大限度地训练。
6.分层辅导
我们数学组的四名教师平时都会利用自习课和课余时间对学生进行分层辅导。其中，对C组学生辅导主要是激发他们的数学学习热情和学习兴趣，选取一些基础题让他们巩固练习；对B组学生的辅导主要是增加一些综合性习题的训练，鼓励他们向A组同学看齐；对于A组学生主要进行数学竞赛的辅导，培养学生思维的深刻性、广阔性、灵活性、独创性、敏捷性和批判性。对学生进行分层辅导之后，各个层次学生学习都有了显著提高。如：我所任教班级的A组学生管政就荣获了“2010年全国初中数学联合竞赛江西省一等奖”的好成绩，其他几位老师所任教的班级中也有学生在竞赛中取得佳绩，这和我们在教学中实施分层教学的策略是分不开的。
论文摘要:建构主义关于学习的一系列新的主张，深刻地影响着人们对于人类学习机制的理解，并正在成为世界各国进行教学改革的一种主导理念;建构主义学习理论对成人教学改革也具有十分重要的指导意义;在成人教学改革中，教师理应正确地对待知识;更新教师教学观念;构建和谐的师生关系;实施多元化评价。
在科学技术飞速发展的20世纪，学习理论在发展中出现过不同的流派，它们各自在不同时期主导着世界范围的教育研究和教学实践。从20世纪80年代以来建构主义学习理论成为主流，该理论指导下的教育观以学生为主，提倡学生主动学习，重视学习结果的质量。建构主义关于学习的一系列新的主张，深刻地影响着人们对于人类学习机制的理解，并正在成为世界各国进行教学改革的一种主导理念。建构主义学习理论对成人教学改革也具有十分重要的指导意义。
一、建构主义学习理论的基本观点
(一)建构主义知识观
建构主义认为，知识不是对现实绝对准确的反映，它只是一种解释或假设，它不是问题的最终答案，它必将随着人们认识程度的深入而不断地变革、升华和改写，出现新的解释和假设。知识的运用也是需要根据具体的情境，不可能是一用就准，一用就灵，而是需要针对具体问题的情境对原有知识进行加工和再创造。另外，建构主义认为，知识不能以实体的形式存在于个体之外，尽管语言符号赋予了知识一定的外在形式，甚至还得到了普遍的认可，但这不意味着学习者对这种知识有同样的理解。真正的理解只能是由学习者自身基于自己的背景经验而构建起来的，取决于特定情境下的学习活动过程。Clasergf e1d1990年甚至认为，应该用“生存力”( viability)来取代“真理”一词，只要某种知识能帮助我们解决具体问题，或能提供关于经验世界的一致性解释，那它就是适应的，就有了类似于适者生存的“生存力”了，而不必追求经验和客体的一致。
(二)建构主义学习观
建构主义认为，学习是学生主动建构自己知识的过程。学生新旧经验之间是一个双向交互作用的过程，即通过同化和顺应两种途径来建构意义的过程。学习就是一个同化、顺应，再同化、再顺应的循环往复的过程。同时，学习是一种带有反思性色彩的智慧活动，这种活动使学习者能够应用先前经验来理解或评价当前所处的状态，进而影响未来的活动，形成新的知识，即学习是再创造的(教育)活动。可以看出，这个定义包含了三个要点:.(1)学习是利用已有的经验及意义对相关的新的知识进行的积极的处理(再构)，并且这个过程的实质是对相应的观点、技能、思维等的整合;(2)学习是对过去、现在、未来的联系，并不总是呈现出线性关系;求知和再知是一个不断循环往复的过程;(3)学习是一个动态的变化过程，它会根据情境的变化而变化。
(三)建构主义教学观
建构主义的教学观与传统教学观在教学观念、教学目的、对教学环境的认识上都有所不同。在教学目标方面强调发展学生的主体性。在教学观念上首先强调教学的理解性，其次是重视教学的情境建构，第三是重视活动与主体的交往，第四是在师生观上建构主义认为学生必须树立经验世界的丰富性和差异性，要善于建构知识，要充分认识到自己具有发挥主体性的潜力，应学会自我管理，培养自我控制学习过程的技能和习惯;而教师的职责与任务是提供给学生现实世界复杂的真实间题，为学生提供一定的辅导，在于为学生创设良好的学习环境，其角色从权威角色转变为学生学习的辅导者或高级合作者。同时在教学设计上要充分考虑学生的认知主体作用，要求发挥学生的主体性。
二、建构主义学习理论对成人教学改革的启示
(一)正确地对待知识
建构主义的知识观尽管不免过于激进，但对传统的教学和课程理论提出了巨大挑战。建构主义的知识观认为知识是灵活的，而不是死的教条，不是最终的定论。知识并不是对现实世界的绝对正确的表征，不是放之各种情境皆准的教条;课本知识只是一种关于各种现象的较为可靠的假设，而不是解释现实的模板。而且，更重要的是，这些知识在被个体接受之前，它对个体来说是毫无权威可言的，不能把知识作为预先决定了的东西教给学生，不要用我们对知识正确性的强调作为让个体接受它的理由，不能用科学家、教师、课本勺权威来压服学生，学生对知识的接受只能靠他自己的建构来完成。另外，知识在各种情况下应用并不是简单套用，具体情境总有自己的特异性，所以，学习知识不能满足于教条式的掌握，而是需要不断深化，把握它在具体情境中的复杂变化，使学习走向“思维中的具体”。
(二)更新教学观念
建构主义从认识论上指出学习活动的认知规律，强调学习的建构性、社会性和情境性，提倡创造性，提倡批判精神，关注教学主体的有效学习，对人们革新传统教学观念，实现主动、开放、有效地教学具有重要的指导意义。所以，在成人教学中，教师要关注以下几个问题。(1)开发学生研究性学习能力。传统的学习方式过分强调了学生要掌握多少知识(书本知识)，即“知什么”( know what)，掌握已表述的陈述性知识。教师也围绕此目的来展开教学，结果是课堂教学满堂灌。学生死记硬背，学习成了复制知识的过程。而教师则成了真理的化身，知识权威的代表。而建构主义的知识观则认为知识是“知如何”(know how)，知道怎样去做某事，是操作性、实践性知识。知识内涵也从静态的结果性知识向动态的过程性知识转化和发展。因此，学习不仅是接受和掌握已有知识，还应该是发现、探究、解决和创新的过程。建构主义认为，知识只能由每个学生依据自己已有的认知结构来主动地加以建构，学生是学习的主体，学习的主人。因此，教学活动必须充分发挥学生的学习主动性和学习自主性，培养和开发他们的研究性学习能力。(2)培养学生的批判意识。罗杰斯认为传统教育的主要特征是:教师是知识的拥有者，学生是被动的接受者;教师是权力的拥有者，学生是服从者;教师可以通过各种方式支配学生的学习，从教育政治这个角度来看，这是一种“壶杯”教育理论(a "jug and mug" theory of education)。教师(壶)拥有理智的和事实性的知识，学生(杯)是消极的容器，知识可以灌人其内。因此，罗杰斯提出要废除传统意义上教师(teacher)的角色，以促进者(facilaator)取而代之。③这样的教学模式将会禁锢学生的思想，窒息学生的思维和智力，使学生失去进取性和创造性。因此，教师在教学过程中要打破传统垂直给予性的教学，展开平行探讨性的教学，重视学生创造能力、思维能力和理解能力的培养，尊重学生在教学活动中的主体地位，鼓励学生独立思考、大胆质疑、不盲目尊祟权威，不盲目崇拜，敢于打破习惯性的思维方式，敢于另辟蹊径和别有新意地寻找一个问题的不同答案。鼓励发散思维，让学生在已有的知识基础和认知能力水平上自由地畅想。(3)创设良好的教学情境。建构主义认为，知识的获取不是被动吸收，反复练习和强化记忆的过程，而是一个以学生已有知识和经验为基础，通过个体与环境的相互作用(同化和顺应)来主动建构意义的过程，学生要在已知的知识平台上通过不断激活原有的知识经验，在平衡—不平衡的认知活动中搭建新的思维活动。在建构主义学习环境下，情境创设是教学设计的重要内容之一。因此，教师在教学活动中应尽可能地把学习任务置于能够更有效地适应社会的学习中，从现实生活寻找、挖掘符合学生心智水平，与现实生活息息相关的真实材料，新旧知识之间建立起链接，使学生能利用原有认知结构中的有关经验去同化和顺应当前所学的知识。
(三)建构和谐的师生关系
和谐的师生关系可以形成良好的教学氛围，可以为学生营造轻松愉快、生动活泼、合作竞争的学习环境。师生关系主要体现在教师与学生、学生与学生、教师与教师三个方面和谐关系的建立上。首先，教师与学生之间的互动与交流，可以增进相互理解，形成平等、民主的师生关系。当然，师生之间的交流，不只是认知信息方面的，更主要的是情感信息方面的。其次，由于经验背景的差异，学生对问题的看法和理解经常是千差万别的，而这些差异本身就是一种宝贵的学习资源。学生与学生之间的合作与竞争，可以使学生在学习动机和创新思维上相互激发，信息资源上相互补充，情感上相互感染，技能操作上相互协作，学习结果上相互评价，从而促进学生学习的良性互动机制的形成和建立。第三，教师与教师之间的合作与沟通，可以更全面地了解学生，为学生创设更为宽松的学习环境，形成一个强有力的学习支持系统。
(四)实施多元化评价
关键词：创设情境教学原则特性方式案例
课堂教学是实施素质教学的主阵地，提高学生的素质是课堂教学的重要内容，怎样将“应试教育”向“素质教育”转轨,怎样变单纯的“知识输入”为“能力培养、智力开发”，如何大面积提高中学的数学教学质量，这是摆在我们广大数学教师面前的一个重大课题。在众多教学改革的原则中，主体性是素质教育的核心和灵魂．在教学中要真正体现学生的主体性，就必须使认知过程是一个再创造的过程，使学生在自觉、主动、深层次的参与过程中，实现发现、理解、创造与应用，在学习中学会学习．使学生产生明显的意识倾向和情感共鸣，乃是主体参与的条件和关键．
情境教学具有一定的代表性，它以优化的情境为空间，根据教材的特点营造、渲染一种富有情境的氛围，让学生的活动有机地注入到学科知识的学习之中。它讲究强调学生的积极性，强调兴趣的培养，以形成主动发展的动因，提倡让学生通过观察，不断积累丰富的表象，让学生在实践感受中逐步认知知识，为学好数学、发展智力打下基础。简言之，情境教学以促进学生整体能力的和谐发展为主要目标．结合本人十多年的教学经验和近几年在数学教学实践中的探索，谈谈情境教学的一些体会
创设情境教学的原则
创设情境的方法很多，但必须做到科学、适度，具体地说，有以下几个原则：
①要有难度，但须在学生的“最近发现区”内，使学生可以“跳一跳，摘桃子”．
②要考虑到大多数学生的认知水平，应面向全体学生，切忌专为少数人设置．
③要简洁明确，有针对性、目的性，表达简明扼要和清晰，不要含糊不清，使学生盲目应付，思维混乱．
④要注意时机，情境的设置时间要恰当，寻求学生思维的最佳突破口．
⑤要少而精，做到教者提问少而精，学生质疑多且深．
重视创设情境教学的特性
一、诱发主动性：
传统教育的弊端告诫我们：教育应以学生为本。面对当今新时期的青少年，服务于这样一种充满生气、有真挚情感、有更大可塑性的学习活动主体，教师决不可以越俎代庖，以知识的讲授替代主体的活动。情境教学就是把学生的主动参与具体化在优化的情境中产生动机、充分感受、主动探究。如在复习函数这节课时，教师可以创设以下的教学情境：
案例:“我”在某市购物，甲商店提出的优惠销售方法是所有商品按九五折销售，而乙商店提出的优惠方法是凡一次购满500元可领取九折贵宾卡。请同学们帮老师出出主意，“我”究竟该到哪家商店购物得到的优惠更多？问题提出后，学生们十分感兴趣，纷纷议论，连平时数学成绩较差的学生也跃跃欲试。学生们学习的主动性很好地被调动了起来。活势形成，学生们在不知不觉中运用了分类讨论的思想方法。
曾有人说:“数学是思维的体操”。数学教学是思维活动的教学。学生的思维活动有赖于教师的循循善诱和精心的点拨和启发。因此，课堂情境的创设应以启导学生思维为立足点。心理学研究表明：不好的思维情境会抑制学生的思维热情，所以，课堂上不论是设计提问、幽默，还是欣喜、竞争，都应考虑活动的启发性，孔子曰：“不愤不启，不悱不发”，如何使学生心理上有愤有悱，正是课堂情境创设所要达到的目的。
二、强化感受性：
情境教学往往会具有鲜明的形象性，使学生如入其境，可见可闻，产生真切感。只有感受真切，才能入境。要做到这一点，可以用创设问题情境来激发学生求知欲。创设问题情境就是在讲授内容和学生求知心理间制造一种“不和谐”，将学生引入一种与问题有关的情境中。心理学研究表明：“认知矛盾时动机的根源。”课堂上，教师创设认知不协调的问题情境，以激起学生研究问题的动机，通过探索，消除剧烈矛盾，获得积极的心理满足。创设问题情境应注意要小而具体、新颖有趣、有启发性，同时又有适当的难度。此外，还要注意问题情境的创设必须与课本内容保持相对一致，更不能运用不恰当的比喻，不利于学生正确理解概念和准确使用数学语言能力的形成。教师要善于将所要解决的课题寓于学生实际掌握的知识基础之中，造成心理上的悬念，把问题作为教学过程的出发点，以问题情境激发学生的积极性，让学生在迫切要求下学习。
案例：在对“等腰三角形的判定”进行教学设计时，教师可以通过具体问题的解决创设出如下诱人的问题情境：
在ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下了一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形重新画出来？学生先画出残余图形并思索着如何画出被墨水涂没的部分。各种画法出现了，有的学生是先量出∠C的度数，再以BC为一边，B点为顶点作∠B=∠C，B与C的边相交得顶点A；也有的是取BC中点D，过D点作BC的垂线，与∠C的一边相交得顶点A，这些画法的正确性要用“判定定理”来判定，而这正是要学的课题。于是教师便抓住“所画的三角形一定是等腰三角形吗？”引出课题，再引导学生分析画法的实质，并用几何语言概括出这个实质，即“ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC”。这样，就由学生自己从问题出发获得了判定定理。接着，再引导学生根据上述实际问题的启示思考证明方法。
除创设问题情境外，还可以创设新颖、惊愕、幽默、议论等各种教学情境，良好的情境可以使教学内容触及学生的情绪和意志领域，让学生深切感受学习活动的全过程并升化到自己精神的需要，成为提高课堂教学效率的重要手段。这正象赞可夫所说的：“教学法一旦触及学生的情绪和意志领域，这种教学法就能发挥高度有效的作用。”
三、着眼发展性：
数学是一门抽象和逻辑严密的学科，正由于这一点令相当一部分学生望而却步，对其缺乏学习热情。情境教学当然不能将所有的数学知识都用生活真实形象再现出来，事实上情境教学的形象真切，并不是实体的复现或忠实的复制、照相式的再造，而是以简化的形体，暗示的手法，获得与实体在结构上对应的形象，从而给学生以真切之感，在原有的知识上进一步深入发展，以获取新的知识。
案例：在学习完了平行四边形判定定理之后，如何进一步运用这些定理去判定一个四边形是否为平行四边形的习题课上．我先带领学生回顾平行四边形的定义以及四条判定定理：
1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2、平行四边形判定定理：
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
(2)对角线相互平分的四边形是平行四边形。
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
分析从这五条判定方法结构来看，平行四边形定义和前三条判定定理的条件较单一，或相等、或平行，而第四条判定定理是相等与平行二者兼有，如果将它看作是定义和判定(1)中各取条件的一部分而得出的话,那么从定义和前三条判定定理中每两个取其中部分条件是否都能构成平行四边形的判定方法呢?这样我创设了情境，根据对第四条判定定理的剖析，使学生用类比的方法提出了猜想:
1.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形。
2.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且对角线交点平分某一条对角线的四边形是平行四边形。
4.一组对边相等且对角线交点平分某一条对角线的四边形是平行四边形。
5.一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形。
6.一组对角相等且连该两顶点的对角线平分另一对角线的四边形是平行四边形。
7.一组对角相等且连该两顶点的对角线被另一对角线平分的四边形是平行四边形。
在启发学生得出上面的若干猜想之后，我又进一步强调证明的重要性，以使学生形成严谨的思维习惯，达到提高学生逻辑思维能力的目的，要求学生用所学的5种判定方法去一一验证这七条猜想结论的正确性。
经过全体师生一齐分析验证,最终得出结论:七条猜想中有四条猜想是错误的,另外三个正确猜想中的一个尚待给予证明。学生在老师的层层设问下,参与了问题探究的全过程。不仅对知识理解更透彻,掌握更牢固,而且从中受到观察、猜想、分析与转换等思维方法的启迪,思维品质获得了培养,同时学生也从探索的成功中感到喜悦,使学习数学的兴趣得到了强化，知识得到了进一步发展。
四、渗透教育性：
教师要传授知识,更要育人。如何在数学教育中，对学生进行思想道德教育，在情境教学中也得到了较好的体现。法国著名数学家包罗•朗之万曾说:“在数学教学中，加入历史具有百利而无一弊的。”我国是数学的故乡之一，中华民族有着光辉灿烂的数学史，如果将数学科学史渗透到数学教学中，可以拓宽学生的视野，进行爱国主义教育，对于增强民族自信心，提高学生素质，激励学生奋发向上，形成爱科学，学科学的良好风气有着重要作用。
教师应根据教材特点，适应地选择数学科学史资料，有针对性地进行教学
案例:圆周率π是数学中的一个重要常数，是圆的周长与其直径之比。为了回答这个比值等于多少，一代代中外数学家锲而不舍，不断探索，付出了艰辛的劳动，其中我国的数学家祖冲之取得了“当时世界上最先进的成就”。为了让同学们了解这一成就的意义，从中得到启迪，我选配了有关的史料，作了一次读后小结。先简单介绍发展过程：最初一些文明古国均取π=3，如我国《周髀算经》就说“径一周三”，后人称之为“古率”。人们通过利用经验数据π修正值，例如古埃及人和古巴比伦人分别得到π=3.1605和π=3.125。后来古希腊数学家阿基米德（公元前287~212年）利用圆内接和外接正多边形来求圆周率π的近似值，得到当时关于π的最好估值约为:3.1409<π<3.1429；此后古希腊的托勒玫约在公元150年左右又进一步求出π=3.141666。我国魏晋时代数学家刘微（约公元3~4世纪）用圆的内接正多边形的“弧矢割圆术”计算π值。当边数为192时，得到3.141024<π<3.142704。后来把边数增加到3072边时，进一步得到π=3.14159，这比托勒玫的结果又有了进步。待到南北朝时，祖冲之（公元429~500年）更上一层楼，计算出π的值在3.1415926与3.1415927之间。求出了准确到七位小数π的值。我国的这一精确度，在长达一千年的时间中，一直处于世界领先地位，这一记录直到公元1429年左右才被中亚细亚的数学家阿尔•卡西打破，他准确地计算到小数点后第十六位。这样可使同学们明白，人类对圆周率认识的逐步深入，是中外一代代数学家不断努力的结果。我国不仅以古代的四大发明-------火药、指南针、造纸、印刷术对世界文明的进步起了巨大的作用，而且在数学方面也曾在一些领域内取得过遥遥领先的地位，创造过多项“世界纪录”，祖冲之计算出的圆周率就是其中的一项。接着我再说明，我国的科学技术只是近几百年来，由于封建社会的日趋没落，才逐渐落伍。如今在向四个现代化进军的新中，赶超世界先进水平的历史重任就责无旁贷地落在同学们的肩上。我们要下定决心，努力学习，奋发图强。
为了使同学们认识科学的艰辛以及人类锲而不舍的探索精神，我还进一步介绍：同学们都知道π是无理数，可是在18世纪以前，“π是有理数还是无理数？”一直是许多数学家研究的课题之一。直到1767年兰伯脱才证明了是无理数，圆满地回答了这个问题。然而人类对于π值的进一步计算并没有终止。例如1610年德国人路多夫根据古典方法，用262边形计算π到小数点后第35位。他把自己一生的大部分时间花在这项工作上。后人为了纪念他，就把这个数刻在它的墓碑上。至今圆周率被德国人称为“路多夫数”。1873年英国的向客斯计算π到707位小数，1944年英国曼彻斯特大学的弗格森分析了向克斯计算的结果后，产生了怀疑并决定重新算一次。他从1944年5月到1945年5月用了一整年的时间来做这项工作，结果发现向克斯的707位小数只有前面527位是正确的。后来有了电子计算机，有人已经算到第十亿位。同学们要问计算如此高精度的π值究竟有什么意义？专家们认为，至少可以由此来研究π的小数出现的规律。更重要的是对π认识的新突破进一步说明了人类对自然的认识是无穷无尽的。几千年来，没有哪一个数比圆周率π更吸引人了。根据这一段教材的特点，适当选配数学史料，采用读后小结的方式，不仅可以使学生加深对课文的理解，而且人类对圆周率认识不断加深的过程也是学生深受感染，兴趣盎然，这对培养学生献身科学的探索精神有着积极的意义。
五、贯穿实践性：
情境教学注重“情感”，又提倡“学以致用”，努力使二者有机地统一起来，在特定的情境中和热烈的情感驱动下进行实际应用，同时还通过实际应用来强化学习成功所带来的快乐。数学教学也应以训练学生能力为手段，贯穿实践性，把现在的学习和未来的应用联系起来，并注重学生的应用操作和能力的培养。我们充分利用情境教学特有的功能，在拓展的宽阔的数学教学空间里，创设既带有情感色彩，又富有实际价值的操作情境，让学生扮演测量员，统计员进行实地调查，搜集数据，制统计图，写调查报告，其教学效果可谓“百问不如一做”，学生产生顿悟，求知欲得到满足更加乐意投入到新的学习情境中去了。同时对学生思维能力、表达能力、动手能力、想象能力、提出问题和解决问题的能力，甚至交际能力、应变能力等等，都得到了较好的培养和训练。
案例:“三角形内角和定理”就可以通过实践操作的办法来创设教学情境。学生的认知结构中，已经有了角的有关概念，三角形的概念，还具有同位角、内错角相等等有关平行线的性质。这些都是学习新知识的“固着点”，但由于它们与“三角形内角和定理”之间的逻辑联系并不十分明显，大部分同学都难以想到要对三角形的三个内角之和进行一番研究，这种情况下，我们可以创设这样的数学情境:首先，在回顾三角形概念的基础上，提出:“三角形的三个内角会不会存在某种关系呢？”这是纲领性提问，对学生的思维还达不到确定的导向作用，学生可能会对角与角的相等、不等、两角之和(差)与第三个角的大小比较等等问题进行研究，当发现这些问题只对某些特殊三角形有意义时，他们的思维可能会指向“三个内角的和是否有一定的规律？”我适时地提出:“请同学们画一些三角形(包括锐角、直角、钝角三角形)，再用量角器量出三个角，观察一下各三角形的三个内角有什么联系。”经测量、计算，学生发现三个内角的和都在180°左右。我再进一步提出:“由于具体测量会有误差,但和数都在180°左右，三角形的三个内角之和是否为180°呢？请同学们把三个角拼在一起，看一看，构成了一个怎样的角？”学生在完成这一实验后发现，三个内角拼在一起构成一个平角。经过上述两步实验，提出“三角形的三个内角之和为180°”的猜想就水到渠成了。接着，我指出了实验操作的局限性，并要求学生给出严格的逻辑证明。在寻找证明方法时，我提出:“观察拼接图形，从中能得到什么启示？”学生可凭借实践操作时的感性经验，找到证明方法。实践操作不但使学生获得了定理的猜想，而且受到了证明定理的启发，显示了很大的智力价值。又如：我在初三复习列方程解应用题时，为了让学生明白学数学的主要目的是要培养思维和掌握解决问题的能力，在课的最后出了一道开放型命题：
将一个50米长30米宽的矩形空地改造成为花坛，要求花坛所占的面积，恰为空地面积的一半。试给出你的设计方案（要求：美观，合理，实用，要给出详细数据）。这题是一道中考题，是应用数学的典型实例，既培养学生解决问题的能力又开发他们的创新思维。学生讨论得十分激烈，不断有新的创意冒出来，有的因无法操作而被别人否定，也有不少十分不错的设想。通过这次讨论，我觉得每个学生都是有潜力可挖的，解决问题的能力虽有强弱，但我们教师更应该多培养多点拨多激励，以增强学生学习数学的自信心。
创设情境教学的主要方式
一，创设应用性情境，引导学生自己发现数学命题（公理、定理、性质、公式）
案例1在“均值不等式”一节的教学中，可设计如下两个实际应用情境，引导学生从中发现关于均值不等式的定理及其推论．
①某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价．有三种降价方案：甲方案是第一次打p折销售，第二次打q折销售；乙方案是第一次打q折销售，第二次找p折销售；丙方案是两次都打（p＋q）／2折销售．请问：哪一种方案降价较多？
②今有一台天平两臂之长略有差异，其他均精确．有人要用它称量物体的重量，只须将物体放在左、右两个托盘中各称一次，再将称量结果相加后除以2就是物体的真实重量．你认为这种做法对不对？如果不对的话，你能否找到一种用这台天平称量物体重量的正确方法？
学生通过审题、分析、讨论，对于情境①，大都能归结为比较pq与（（p＋q）／2）2大小的问题，进而用特殊值法猜测出pq≤（（p＋q）／2）2，即可得p2＋q2≥2pq．对于情境②，可安排一名学生上台讲述：设物体真实重量为G，天平两臂长分别为l1、l2，两次称量结果分别为a、b，由力矩平衡原理，得l1G＝l2a，l2G＝l1b，两式相乘，得G2＝ab，由情境①的结论知ab≤（（a＋b）／2）2，即得（a＋b）／2≥，从而回答了实际问题．此时，给出均值不等式的两个定理，已是水到渠成，其证明过程完全可以由学生自己完成．
以上两个应用情境，一个是经济生活中的情境，一个是物理中的情境，贴近生活，贴近实际，给学生创设了一个观察、联想、抽象、概括、数学化的过程．在这样的问题情境下，再注意给学生动手、动脑的空间和时间，学生一定会想学、乐学、主动学．
二，创设趣味性情境，引发学生自主学习的兴趣
案例2在“等比数列”一节的教学时，可创设如下有趣的情境引入等比数列的概念：
阿基里斯（希腊神话中的善跑英雄）和乌龟赛跑，乌龟在前方1里处，阿基里斯的速度是乌龟的10倍，当它追到1里处时，乌龟前进了1／10里，当他追到1／10里，乌龟前进了1／100里；当他追到1／100里时，乌龟又前进了1／1000里……
①分别写出相同的各段时间里阿基里斯和乌龟各自所行的路程；
②阿基里斯能否追上乌龟？
让学生观察这两个数列的特点引出等比数列的定义，学生兴趣十分浓厚，很快就进入了主动学习的状态．
三，创设开放性情境，引导学生积极思考
案例3直线y＝2x＋m与抛物线y＝x2相交于A、B两点，________，求直线AB的方程．（需要补充恰当的条件，使直线方程得以确定）
此题一出示，学生的思维便很活跃，补充的条件形形．例如：
①｜AB｜＝；②若O为原点，∠AOB＝90°；
③AB中点的纵坐标为6；④AB过抛物线的焦点F．
涉及到的知识有韦达定理、弦长公式、中点坐标公式、抛物线的焦点坐标，两直线相互垂直的充要条件等等，学生实实在在地进入了“状态”．
四，创设直观性图形情境，引导学生深刻理解数学概念
案例4“充要条件”是高中数学中的一个重要概念，并且是教与学的一个难点．若设计如下四个电路图，视“开关A的闭合”为条件A，“灯泡B亮”为结论B，给充分不必要条件、充分必要条件、必要不充分条件、既不充分又不必要条件以十分贴切、形象的诠释，则使学生兴趣盎然，对“充要条件”的概念理解得入木三分．
五，创设新异悬念情境，引导学生自主探究
案例5在“抛物线及其标准方程”一节的教学中，引出抛物线定义“平面上与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线”之后，设置这样的问题情境：初中已学过的一元二次函数的图象就是抛物线，而今定义的抛物线与初中已学的抛物线从字面上看不一致，它们之间一定有某种内在联系，你能找出这种内在的联系吗？
此问题问得新奇，问题的结论应该是肯定的，而课本中又无解释，这自然会引起学生探索其中奥秘的欲望．此时，教师注意点拨：我们应该由y＝x2入手推导出曲线上的动点到某定点和某定直线的距离相等，即可导出形如动点P（x，y）到定点F（x0，y0）的距离等于动点P（x，y）到定直线l的距离．大家试试看!学生纷纷动笔变形、拚凑，教师巡视后可安排一学生板演并进行讲述：
x2＝y
x2＋y2＝y＋y2
x2＋y2－（1／2）y＝y2＋（1／2）y
x2＋（y－1／4）2＝（y＋1／4）2
＝｜y＋14｜．
它表示平面上动点P（x，y）到定点F（0，1／4）的距离正好等于它到直线y＝－1／4的距离，完全符合现在的定义．
这个教学环节对训练学生的自主探究能力，无疑是非常珍贵的．
六，创设疑惑陷阱情境，引导学生主动参与讨论
案例6双曲线x2／25－y2／144＝1上一点P到右焦点的距离是5，则下面结论正确的是（）．
A．P到左焦点的距离为8
B．P到左焦点的距离为15
C．P到左焦点的距离不确定
D．这样的点P不存在
教学时，根据学生平时练习的反馈信息，有意识地出示如下两种错误解法：
错解1．设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，由双曲线的定义得
｜PF1｜－｜PF2｜＝±10．
｜PF2｜＝5，
｜PF1｜＝｜PF2｜＋10＝15，故正确的结论为B．
错解2．设P（x0，y0）为双曲线右支上一点，则
｜PF2｜＝ex0－a，由a＝5，｜PF2｜＝5，得ex0＝10，
｜PF1｜＝ex0＋a＝15，故正确结论为B．
然后引导学生进行讨论辨析：若｜PF2｜＝5，｜PF1｜＝15，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝20，而｜F1F2｜＝2c＝26，即有｜PF1｜＋｜PF2｜＜｜F1F2｜，这与三角形两边之和大于第三边矛盾，可见这样的点P是不存在的．因此，正确的结论应为D．
进行上述引导，让学生比较定义，找出了产生错误的在原因即是忽视了双曲线定义中的限制条件，所以除了考虑条件｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，还要注意条件a＜c和｜PF1｜＋｜PF2｜≥｜F1F2｜．
通过上述问题的辨析，不仅使学生从“陷阱”中跳出来，增强了防御“陷阱”的经验，更主要地是能使学生参与讨论，在讨论中自觉地辨析正误，取得学习的主动权．
总之，切实掌握好创设情境教学的原则、重视创设情境教学过程的特性，合理应用创设情境教学的方式，充分重视“情境教学”在课堂教学中的作用，通过精心设计问题情境，不断激发学习动机，使学生经常处于“愤悱”的状态中，给学生提供学习的目标和思维的空间，学生自主学习才能真正成为可能．在日常的教学工作中，不忘经常创设数学情境，引导学生自主学习，动机、兴趣、情感、意志、性格等非智力因素起着关键的作用．把智力因素与非智力因素有机地结合起来，充分调动学生认知的、心理的、生理的、情感的、行为的、价值的等方面的因素，让学生进入一种全新的情境境界，学生自主学习才能达到比较好的效果．这就需要在课堂教学中，做到师生融洽，感情交流，充分尊重学生人格，关心学生的发展，营造一个民主、平等、和谐的氛围，在认知和情意两个领域的有机结合上，促进学生的全面发展．
参考文献：
1、皮连生《学与教的心理学》（华东师范大学出版社1997年）
2、柳斌《学校教育科研全书》（九州图书出版社，人民日报出版社1998年）
3、肖柏荣《数学教育设计的艺术》（《数学通报》1996年10月）
4、章建跃《关于课堂教学中设置问题情境的几个问题》（《数学通报》1994年6月）
5、盛志军《今天，我没有完成授课计划》（《数学教学》2004年第11期）
6、冯克诚《中学数学研究：3+x中学成功教法体系⑧、⑨》（内蒙古出版社，2000年9月）