时间：2022-08-26 00:01:32
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇一元一次方程教案，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
教学目的
1．使学生会进行简单的公式变形。
教学分析
重点：含字母系数的一元一次方程的解法。
难点：含字母系数的一元一次方程的解法及公式变形。
教学过程
一、复习
1．试述一元一次方程的意义及解一元一次方程的步骤。
2．什么叫分式？分式有意义的条件是什么？
二、新授
1．公式变形
引例：汽车的行驶速度是v（千米/小时），行驶的时间是t（小时），那么汽车行驶的路程s（千米）可用公式
s=vt①
来计算。
有时已知行驶的路程s与行驶的速度v（v≠0），要求行驶的时间t。因为v≠0，所以
t=。②
这就是已知行驶的路程和速度，求行驶的时间的公式。
类似地，如果已知s，t（t≠0），求v，可以得到
v=。③
公式②，③有时也可分别写成t=sv-1；v=st-1。
以上的公式①，②，③都表示路程s，时间t，速度v之间的关系。当v、t都不等于零时，可以把公式①变换成公式②或③。
像上面这样，把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形，公式变形往往就是解含有字母系数的方程。
例3在v=v0+at中，已知v、v0、a且a≠0。求t。
解：移项，得v-v0=at。
因为a≠0，方程两边都除以a，得。
例4在梯形面积公式S=中，已知S、b、h且h≠0，求a。
解：去分母，得2S=（a+b）h，ah=2S-bh
因为h≠0，议程两边都除以h，得
。
三、练习
P92中练习1，2，3。
四、小结
公式变形的实质是解含字母系数的方程，要求的字母是未知数，其余的字母均是字母已知数。如例3就是把v、v0、a当作字母已知数，把t当作未知数，解关于t的方程。
五、作业作业：P93中习题9.5A组7，8，9。
另：需要注意的几个问题
一、素质教育目标
（一）知识教学点
会列二元一次方程组解简单的应用题，并能检查结果是否正确、合理．，全国公务员共同天地
（二）能力训练点
培养学生分析问题、解决问题的能力．
（三）德育渗透点
1．体会代数方法的优越性．
2．向学生进一步渗透把未知转化为已知的思想．
3．向学生进行理论联系实际的教育．
（四）美育渗透点
学习列方程组解应用题时，若能在错综复杂的关系中抓住问题的关键，就能迅速通过相等求解，从而渗透解题的简捷性的数学美，以及解题的奇异美．
二、学法引导
1．教学方法：尝试指导法、观察法、讲练结合法．
2．学生学法：本节主要学习列二元一次方程组和三元一次方程组解应用题的方法，尤其重点要掌握列出二元一次方程组解应用题，其分析方法和解题步骤都与前面学过的列一元一次方程解应用题类似，可在学习中进行类比从而加强理解．
三、重点·难点·疑点及解决办法
（一）重点与难点
根据简单应用题的题意列出二元一次方程组．
（二）疑点
正确找出表示应用题全部含义的两个相等关系，并把它们表示成两个方程．
（三）解决办法
通过反复读题、审题，分析出题目中存在的两个相等关系是列方程组的关键．
四、课时安排
一课时．
五、教学具学具准备
投影仪、自制胶片．
六、师生互动活动设计
1．通过提问，复习列一元一次方程解应用题的步骤，尤其相等关系的寻找问题．
2．师生共同探索新知识—列二元一次方程组解应用题的一般步骤．
3．通过反馈练习，检查学生掌握知识的情况，以便有针对性地进行差漏补缺．
七、教学步骤
（一）明确目标
本节课主要学习列二元一次方程组解应用题．
（二）整体感知
列二元一次方程组解应用题的关键在于通过准确的审题迅速寻找出两个正确的相等关系来列二元一次方程组．
（三）教学过程
1．创设情境、导入新课
（1）根据下列条件设适当的未知数，列出二元一次方程．
①甲、乙两数的和是10．
②甲地的人数比乙地的人数的2倍还多70．
③买4支铅笔、3支圆珠笔共花了1.6元．
（2）甲、乙两工人师傅制作某种工件，每天共制作12件．已知甲每天比乙多制作2件，求甲、乙每人每天可制作几件？
①列出一元一次方程和二元一次方程组解题．
②比较一下，两种方法得到的结果是否相同？是列一元一次方程容易，还是列二元一次方程组容易？
学生活动：第（1）题口答，第（2）题在练习本上完成．
【教法说明】第（1）题为根据相等关系列二元一次方程打下了基础；第（2）题通过两种解法的比较，让学生体会列方程组的优越性，这样引入课题，可以引起学生学习新知识的兴趣．
2．探索新知，讲授新课
例1小华买了80分与2元的邮票共16枚，共花了18元8角，80分与2元的邮票各买了多少枚？
分析：（1）题中有几个未知数？分别是什么？
（2）题中有几个相等关系？分别是什么？
学生活动：观察、分析后回答．，全国公务员共同天地
未知数：80分邮票枚数与2元的邮票枚数．
相等关系（1）80分邮票枚数＋2元邮票枚数＝总枚数．
（2）80分邮票总价＋2元邮票总价＝全部邮票总价．
学生活动：设未知数、根据相等关系列方程．
解：设共买枚80分邮票，枚2元邮票，根据题意得
解这个方程组，得
答：80分邮票买了11枚，2元邮票买了5枚．
强调：（1）选定几个未知数，根据问题中的条件找几个相等关系，这几个相等关系正好表示了应用题的全部含义．
（2）列方程组解应用题时，解方程组过程在练习本上完成．
（3）得到结果后，要检验是不是原方程组的解，是不是符合应用题的实际意义，然后再写答句．
反馈练习：P351，2．（只列不解）
例2小兰在玩具工厂劳动，做4个小狗、7个小汽车用去3小时42分；做5个小狗、6个小汽车用去3小时37分．平均每1个小狗与1个汽车各用多少时间？
仿照刚才分析例1的方法，分析问题．
学生活动：拟题、自由提问，其他学生抢答．
教师根据学生的拟题板书．
两个未知数：平均做1个小狗的时间与1个小汽车的时间
（1）做4个小狗的时间＋做7个小汽车的时间＝3时42分
（2）做5个小狗的时间＋做6个小汽车的时间＝3时37分
解题过程由学生完成，一个学生板演．
解：设平均做1个小狗用分，做1个小汽车有分，根据题意，得
解这个方程组，得
答：平均做一个小狗用17分，做1个小汽车用22分．
【教法说明】例2用拟题训练的方法让学生自己去尝试分析问题，不但能活跃课堂气氛，而且能促进学生积极思维，培养学生分析问题、解决问题的能力．
反馈练习：P353，4．
学生活动：口答、设未知数、列方程组．
3．变式训练，培养能力
用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？
分析：此题的相等关系不明显，应启发学生认真思考，找到第二个相等关系．
相等关系：（1）制盒身铁皮张数＋制盒底铁皮张数＝150张．
（2）盒底总数＝2×盒身总数．
解：设用张铁皮制盒身，张铁皮制盒底，可以制成整套缺头盒．根据题意，得
（四）总结、扩展
我们这节课学习了二元一次方程组的应用，你能简单归纳出列二元一次方程组解应用题的步骤吗？
学生发言后，老师适当补充、纠正．
八、布置作业
（一）必做题：P391，2，3．
（二）选做题：P41B组2．
（三）补充题：给定两数5和3，编一道列出二元一次方程组求解的应用题，使得这个方程组的解就是给定的两数．
参考答案
（一）1．到甲地130人，到乙地70人．
2．有28个队参加篮球赛，20个队参加排球赛．
3．长38㎝，宽16㎝．
（二）解：设一辆大车、一辆小车一次分别可运货吨、吨，根据题意，得
解得
4×3＋2.5×5＝24.5（吨）
九、板书设计
投影幕
例1例2练习
关键词：初中；数学；概念认知能力培养
引言：在传统的初中数学教学中，对概念认知能力的把握是一个弱项。尤其是在应试教育的大环境下，对学生进行抽象的概念指导和深入阐述解读是一个非常浪费时间的事情，比较耗费精力。而在考试中又很少有直接的对概念认知能力的考察，这就造成概念认知能力的教学一直不受重视。不过在初中进行概念认知能力培养对学生后续的学习深造有重要意义，在当前开展教学成果改革的环境下，对初中生开展更加切实有效的概念认知能力培养也就势在必行。
一、初中概念认知能力培养面临的几个问题
1.初中生的抽象思维能力不强，理解不了
数学概念的抽象性是一个共性，也是影响初中生概念认知能力的关键问题。在小学阶段接触的数学概念都非常简单，可以通过直观的数学概念和教学案例演示来引导思维，引导学生理解。学生在小学没有接触过抽象的概念，而在初中，贸然接触抽象性的概念，学生的思维观念还没有适应，不能从直观学习中改换思路，就会遭遇抽象思维能力不强，理解缓慢，理解能力弱的问题，影响了概念认知能力培养的进度。
2.初中生的学习兴趣不浓厚，主动性差
初中数学课堂普遍不受学生的欢迎，其主要原因在于学生的学习压力、学习观念、学习习惯尚未养成。在遭遇较为艰深难以理解的数学问题之后，学生的学习兴趣更加被动、消极，上课不认真听课，课后不注意复习，对数学概念的理解混乱，这种情况普遍存在。在初中数学课堂上，学生的学习动力严重不足，被动接受数学教育，影响了抽象概念的吸收理解，容易引起后续概念混乱和成绩差等一系列消极问题。
3.教师对抽象概念的解读能力不强，缺乏有效性
初中数学老师在教学方法上的单一和枯燥性问题较为突出，这导致在进行概念认知能力培养的过程中，对抽象的数学概念缺乏深入和有效的解读，学生依然听的云里雾里，不知所云。尤其是传统的课堂上通过反复做题来提高数学成绩的做法，有一定道理但并不全面。数学老师需要考虑更多新的尝试来提高对抽象数学概念的解读能力。
二、初中概念认知能力培养的几个尝试
1.培养学生的数学学习兴趣与观念
初中生普遍尚未接触到严峻的就业形势和升学考试的压力，他们在进行数学学习的时候缺乏学习动力，对课堂规范也缺乏正确的认知。要做好概念认知能力的培养，首先需要学生对数学课堂有一个正确的认知，教师要注意灌输一定的数学学习的压力，灌输关于数学概念认知重要性的内容，让学生能够在一定的紧迫感下积极主动的进行数学概念的学习，配合老师做好概念认知能力培养的尝试。
让学生建立对数学概念的研究兴趣是初中学习兴趣培养的重点。鉴于初中数学的概念众多，不妨考虑以鼓励学生了解各种数学概念的不同点为目标，在课堂教学和课下作业中加入关于数学概念比较分析的内容。比如一元一次方程和一元二次方程、有理数、合并同类项、平方差等，将近似的概念或相关性较强的概念进行比较分析，让学生通过口述或回答试卷的形式了解其中的异同。
2.学生逻辑思维和联想能力的训练
抽象的数学概念认知能力培训，需要以提高学生的联想能力和逻辑思维能力为重点。比如二元一次方程组的解题过程，每一个“元”的概念，每一个解题的思路和步骤，每一个步骤之中的逻辑思维都需要在课堂上进行深入的讲解。考虑到学生的主动思维能力的培养，不妨在老师讲解一遍之后，让学生自己深入的解析一遍，以解题的形式罗列出来。
对于联想能力的培养，也是可以遵循这样的思路。比如一元一次方程和一元二次方程，他们之间存在逻辑等方面的联系。那就可以通过讲解一元一次方程的解题过程来引导学生联想一元二次方程的解题过程。通过互相关联的方式来提高学生对两种或多种概念的理解。
3.教师的教学观念要大胆、创新，有所突破
传统的初中数学教学普遍较为死板，仅限于同专业老师之间的一些探讨或者对教案中教学方法的照搬照抄。其实，对初中数学概念认知能力培养的方式要最大限度的突破传统思路的局限，可以考虑找一些初中数学速成培训教材做参考，也可以通过网络找一些数学高效课堂或我国知名学校的初中数学教学方法来做参考。随着目前初中学校多媒体教学系统的普及，通过多媒体来进行更加多样的培训成为一种新的尝试。不妨通过多媒体设备将国内外一些先进的数学概念认知能力培训课程的相关资料比如图片、视频、音频文件等应用到实际教学中，让学生更加直观的了解各种数学概念。
三、总结
在初中数学中进行数学概念认知能力的培养是一个新的尝试，有很多问题需要解决。这就要求数学老师尽量突破原有的教学理念，尝试新的方法，针对性的解决数学概念认知培训中存在的问题，这样才能促进学生对数学概念认知能力的提高。
参考文献：
[1] 伍春兰，吴京涛，王静伟. 北京市初中生数学学习情况的调查与分析[J]. 北京教育学院学报（自然科学版）. 2008（01）
关键词： 初中数学 培优 教学策略 教学案例
数学不仅是一门必修的基础课，更是学生学习其他科目、发展各项能力的工具，学生只有学好了数学才能学好其他科目，实现自身的全面发展。学生在初中数学学习中，知识面得到快速拓展，对学生的逻辑能力、抽象能力提出更高的要求。学习难度的加大会使学生出现两极分化的情况，教师为提高班级的平均成绩只能在课堂上讲授中等难度的知识，学习能力强的学生往往无法得到更好的发展。因此，教师应当采取适当的策略进行班级培优工作，为优秀学生提供更好、更多的发展机会。
一、数学培优现状及问题分析
（一）教师准备不够充分，课堂教学效率较低。
在应试观的影响下，教师将满足大多数学生的学习要求作为课堂目标，从而忽略对优秀学生的培养。虽然偶尔做一定的课堂拓展或者对某一方面的知识加以深入，但是缺乏一定的系统性和明确的目标、策略。优秀学生的余力难以使用、潜力得不到挖掘，学习欲望得不到满足，因此课堂教学效率降低，学生的学习热情逐渐淡化，不利于学生的全面发展。
（二）教学内容不适用。
优秀的学生往往拥有更开阔的思路和更强的逻辑性，因此数学培优的教学内容要基于教材更要高于教材。有些教师盲目地认为培优就是加大难度，因此往往教给学生一些与课本内容相关程度低但是难度高的内容。有的教师则受到教材的限制，没有做出相应的拓展。学生学不会难度大的内容，学习积极性受到打击，或者教学内容缺乏新意，易失去学习兴趣。
（三）缺乏学习方法的教授。
优秀学生对基础知识的掌握往往非常好，数学培优应当注重数学思想、数学方法的传授，使学生产生解决数学问题的独有的思想和策略，提高基础知识的综合运用能力。然而很多教师没有认识到这一点，更多的是对学生采用灌输式的教学方法和题海战术。学生只能被动地接受和机械地使用，无法体会到运用数学解决问题的逻辑美和思想美，在数学方面难以取得较高的成就。
二、提高数学培优的方法策略
（一）利用知识迁移举一反三。
知识迁移一般分为两类：一种是运用后来的知识对前面的学习产生影响，另一种是运用前面所学的知识影响后面的学习，即为正迁移和负迁移。知识迁移是一种常用的教学方法，其能够帮助学生整体地把握所学知识，将前后所学的知识建立联系，进而形成知识系统，对解决问题提供更多更有效的方法。知识迁移主要通过相同题型的举一反三实现。
例如在苏教版八年级《一元一次不等式》的学习中，教师可以将七年级的《一元一次方程》引入课程教学中，通过方程式与不等式之间的联系和运算方法的迁移进行教学。如教师先向学生呈现一元一次方程“3-x=2x+6”，要求学生一步一步地解方程，并且说一说每一步的原理或者规则（移项要变号、合并同类项、去括号等）。然后教师呈现一元一次不等式，要求学生说一说不等式和等式的区别，它们的运算规则是否相同？然后在带领学生一同运用解决等式的运算规则解不等式。最后，将两个式子的结果进行比较，观察相同点和不同点。
数学作为一门基础学科，其中所涵盖的知识点非常广，但是知识点之间的联系非常紧密，可以说是环环相扣的。运用知识迁移可以使学生对数学知识产生新的发现，通过简单理论的结合和交叉解决更复杂的问题，提高学生的整体思维能力。因此，在日常教学过程中，教师不仅要注意知识迁移的运用，而且要注意带领学生对所学知识点进行总结归纳，更要建立知识系统。
（二）基于教材，高于教材的教学内容。
数学培优不是简单基础知识的强化，而是数学思想的传输和数学方法的教导，是基于基础的拓展和延伸；数学培优不是无关知识的强硬灌输，而是对教材内容的统筹把握，是对教学大纲的深化。因此，数学培优的教学内容应当做到基于教材，高于教材。
例如在教学完一元方程之后，教师可以向学生呈现此题进行拓展训练：“如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=24，点P从点A向点B以1/s的速度运动，同时，点Q从点B沿着BC以2/s的速度移动，问几秒后三角形PBQ的面积等于8？”这个题目是一元一次方程与图形面积计算的巧妙结合。学生不仅要使用到学习过的三角形面积求解公式，还要将此公式与方程思想相结合，找出相应的未知数，利用公式建立方程，这就使这个题目的解答有了一定的难度。
难度适宜的拓展题目能够增强学生的自信心，使学生敢于尝试和挑战，不断体验到成功的喜悦，从而提高学习兴趣。
（三）注意数学思想和数学方法的传授。
“授之以鱼，不如授之以渔”。只有将解决数学问题的思想和方法传授给学生，学生才能有所新的发现和尝试。教师在课堂教学中要注意数学思想和方法的总结和讲授。例如教师可以在二次函数的教学中向学生介绍数形结合方法。如：已知二次函数y=ax+bx+c的图像如图所示，若关于x的方程ax+bx+c-k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。如果使用b-4ac解答问题，那么这道题就解不出来。但是，可以通过变形将原方程变为两个方程：y=ax+bx+cy=k，则此题就变成两个函数的交点问题。通过观察图像可以非常容易地判断出只要y=k
三、结语
初中数学培优是初中数学教学的重要任务，教师应当及时更新教学观念，丰富教学方法，针对学生的实际情况进行教案设计，使初中数学培优取得良好的效果。
参考文献：
[关键词]更新观念；明确目标；分析引申
一、转变观念，调整教学策略
受片面追求升学率的影响，教学过程中有些教师有意无意地偏爱优生，对中等生关心不够，致使中等生失去了学好数学的信心。鉴于此，我加强了对教育理论的学习，转变了教学观念，特别是“罗森塔尔”效应给了我很大启示。我认识到，提高全体学生的数学学习质量，不仅要抓好优生，更要抓好中等生，要真心诚意地增加对中等生的情感投入，使他们感受到教师的诚心和爱心，从而产生了学好数学的强烈愿望。
我过去上课多“满堂灌”，学生听得昏昏沉沉，教学效果不好。转变观念后，我注重发挥学生学习的主体作用，尝试采用“自学、精讲、勤练”的教学方法。先指导学生按提纲预习自学，把不懂的问题记下来；在巡视中收集学生自学中的问题，多关注有问题的学生，鼓励他们大胆提出问题并自主解决问题；重点讲解学生难以理解的知识点；把部分课外作业改为当堂练习，及时发现学生学习中存在的问题并解决问题。这种与学生近距离的接触，使教与学能够保持同步，也使学生掌握了学习数学的方法，增强了学习信心，从而提高了课堂学习效果。
二、明确教学目标，加强基本概念教学
教学目标是教学活动的指针，课堂教学活动是围绕教学目标展开的，所以针对教材的知识点、重点、难点和中等生的实际水平，恰当地制定教学目标是教学中十分重要的一环。教案的设计要围绕目标，不能过高或过低。如教学简单二元一次方程组的解法时，我先出示教学目标“掌握转化的数学思想，能够把两个二元一次方程组成的方程组转化为一个一元一次方程”，使学生心中有数，而后让学生解答两个已学过的两个一元一次方程3（y+3）-8y=14和3x+2(2x-3)=8，并说明他们的解题思路，最后，教师提出两个方程组 和 完成转化。
课堂教学中，教师要兼顾到中等生的认知发展规律和心理活动规律，这部分学生上课注意力易分散，较难掌握抽象的知识，因此教学必须具体化、直观化。我在概念教学中尽量联系生活实际，把枯燥的概念形象化、趣味化。新课导入时，根据不同课型的内容采用发现法、联想法、类比法、悬念法、问题法、游戏法、故事法等，把学生的思维引导到教学氛围中。如三角形的稳定性教学，我出示了准备好的四边形，然后将其折成三角形，以此来揭示三角形的稳定性，在我的启发下，学生联想到很多生活中的实例，这样就很容易掌握这一概念。又如教学函数概念时，我是这样导入的：我今天早晨上街买青菜，0.5元一斤，买了4斤，问花了多少钱？如果买6.5斤，买x斤呢？学生能一一回答。我告诉学生，你别怕函数，“函”就是“隐含”，如果把买x斤花的钱设为y元，那么能得到怎样的等式？学生回答：y=0.5x。我又问：花钱的多少怎样变化的呢？在学生弄清楚是随买菜的多少而变化，即y随x的变化而变化后，我再引入书上的概念：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，y就是x的函数；这种关系式是y=f(x),x是自变量，y叫因变量。这样的教学设计能使中等生轻松掌握概念，取得良好的课堂教学效果。
三、注意问题的分析引申，培养思维能力
解题过程可分为分析题意、探寻解题方法、实施解题方案、验证答案等步骤。中等生没有良好的审题习惯和技能，容易出现因性格浮躁、审题不严而“漏题”，因意志薄弱、心慌意乱而“怯题”，因情绪激动、转换印象而“走题”。我在教学中注意培养中等生分析问题的能力。如列方程解应用题时，引导学生列出提纲，找出已知条件、未知条件、隐含条件以及已知和未知的关系（等量关系），培养学生的审题能力。又如解题“已知ABC中AB=10, BC=5, AC=8，求ABC的内切圆半径R”时，我启发学生联想已做过的类似题目“已知RtABC中斜边AB=5，BC=3,求RtABC内切圆半径R”，该题的解法为连接圆心与切点，易得R=（AC+BC-AB）/2=（4+3-5）/2=1。这种解法中，直角三角形面积为两直角边乘积的一半，那么能否利用内切圆半径表示直角三角形的面积呢？通过这样的引导，中等生就能利用等积法求出斜三角形内切圆的半径。
一、素质教育目标
（一）知识教学点：
1．熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况．
2．学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．
（二）能力训练点：
1．培养学生思维的严密性，逻辑性和灵活性．
2．培养学生的推理论证能力．
（三）德育渗透点：通过例题教学，渗透分类的思想．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．
2．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当＞0时，有两个不相等的实数根；当=0时，有两个相等的实数根；当＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．
三、教学步骤
（一）明确目标
上节课学习了一元二次方程根的判别式，得出结论：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当＞0时，有两个不相等的实数根；当=0时，有两个相等的实数根；当＜0时，没有实数根．”这个结论可以看作是一个定理．在这个判别方法中，包含了所有各种情况，所以反过来也成立，也就是说上述结论的逆命题是成立的，可作为定理用．本节课的目标就是利用其逆定理，求符合题意的字母的取值范围，以及进行有关的证明．
（二）整体感知
本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．
（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？
2．将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则＞0；如果方程有两个相等的实数根，则=0；如果方程没有实数根，则＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定值的符号，‘’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．请看下面的例题：
例1已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（1）方程无实数根．
解：a＝2，b＝-4k-1，c＝2k2-1，
b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）
＝8k+9．
方程有两个不相等的实数根．
方程有两个相等的实数根．
方程无实数根．
本题应先算出“”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．
练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．
t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？
学生模仿例题步骤板书、笔答、体会．
教师评价，纠正不精练的步骤．
假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？
练习2．已知：关于x的一元二次方程：
kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．
和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到≥0．由k≠0且≥0确定k的取值范围．
解：＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．
原方程有两个实数根．
学生板书、笔答，教师点拨、评价．
例求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．
分析：将算出，论证＜0即可得证．
证明：＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）
＝4m2-4m4-20m2-16
＝-4（m4＋4m2＋4）
＝-4（m2＋2）2．
不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．
-4（m2＋2）2＜0，即＜0．
（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．
本题结论论证的依据是“当＜0，方程无实数根”，在论证＜0时，先将恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．
本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．
此种题型的步骤可归纳如下：
（1）计算；（2）用配方法将恒等变形；
（3）判断的符号；（4）结论．
练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．
提示：将括号打开，整理成一般形式．
学生板书、笔答、评价、教师点拨．
（四）总结、扩展
1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点：
（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．
（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知＞0，还是要证明＞0．
（3）要证明≥0或＜0，需将恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．
2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．
四、布置作业
1．教材P．29中B1，2，3．
2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．
（2、3学有余力的学生做．）
五、板书设计
12．3一元二次方程根的判别式（二）
一、判别式的意义：……三、例1……四、例2……
=b2-4ac…………
二、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
（1）当＞0，……练习1……练习2……
（2）当＝0，……
（3）当＜0，……
反之也成立．
六、作业参考答案
方程没有实数根．
B3．证明：＝（2k＋1）2－4（k－1）＝4k2＋5
当k无论取何实数，4k2≥0，则4k2＋5＞0
＞0
方程x2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．
2．解：方程有实根，
＝[2（a＋1）]-4（a2＋4a-5）≥0
即：a≤3，a的正整数解为1，2，3
当a＝1，2，3时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2＋4a-5＝0有实根．
3．分析：“方程”是一元一次方程，还是一元二次方程，需分情况讨论：
（2）当2m-1≠0时，
【关键词】初中数学；分层教学；有效性；运用
一、前言
对于初中学生来说，13～16岁的年纪是求知欲和思维最活跃的阶段，学好初中知识，可以为高中打下好基础.而数学作为一门逻辑性极强的学科，对未来生活中的各方面发挥着重要作用.但值得提出的是，和小学数学相比，初中数学更加抽象、理论性强、难度大，学生需要投入更多的精力更多的时间才能学好.面对这样一门如此复杂的学科，不同的学生投入学习的时间精力不同，获取的知识量也不同，所以每名学生的数学水平也不同.笔者从事中学数学教学多年，根据前人提供的教学方法结合自身的教学经验，总结出了分层教学在初中数学教学中的有效运用.
所谓分层教学，最先开始于20世纪初美国，后来流行于欧美中学，到了20世纪80年代开始被引进中国，并逐渐普及开来.分层教学至今没有统一的定义，但各国对它的解释统归为“教师根据学生的不同学习水平，采用不同方法进行任教的一种教学方式”.新一轮课程改革下要求教师注重学生的个性化差异化发展，而分层教学推广的本意就在于根据学生的差异化学习水平使用不同的教学方法，以让学生在学习方面得到相应的提高.从这来看，分层教学顺应了时代潮流，符合新课改下的教学要求.
分层教学最初使用的模式是分班授课，随着时间的推移和实践经验的积累，后人又提出了知识分层教学模式和分组分层教学模式，笔者就个人经验，围绕分班分层、知识分层、分组分层教学模式这三个方面，简要分析其在初中数学教学中发挥的效用.
二、分层教学在初中数学课堂上的有效运用
（一）班级分层教学能针对性提高学生数学水平
上面已述分咏萄ё畛踉诿拦课堂上使用，当时采用的分层教学模式是将不同学习程度的学生进行分班授课.分班作为最原始的分层教学模式，即使在发展的过程中被发现了种种弊端（比如因分班导致学生自卑，分班导致学生父母反对等弊端），但今人在取其精华去其糟粕之后，顺应时代不断更新改善，班级分层教学模式依然适用.班级分层教学模式简单来说就是分班，根据不同学习水平层，不同接受能力层的学生进行A、B、C、D班级分布，教师根据每一个班级的能力水平，制订不同的教学方案.分班的一个有益之处在于，它根据每个班级学生的现有知识水平，制订合理的授课方案，以让学生都能接受听懂知识.比如在初二上学期开学之时，学校根据任课教师提交上来的每名学生的学习水平，根据学生的学习水平高低将学生分成A、B、C、D班级，教师在任课时，对于学习能力较强的班级，可稍微加快讲课进度，添加课外知识丰富学生知识面；对于学习能力较弱的班级，教师可以放慢讲课速度，在备课教案上添加更多的例子，以让学生记忆深刻.
如在初二上册《数学》第十四章14.1节“变量与函数”中，这一章节作为重点内容，教师在准备教案时就需要格外注重.在给接受能力水平较高的班级上课时，学生接受知识能力快，消化知识的能力也快，教师可以减少例子的讲解，注重理论知识的落实，在课本知识已经讲授完结的情况下，给学生科普课外知识，增加学生的知识面.或者让学生提前预习下一节课的内容，提前自主学习.而在给接受水平较低的班级授课时，教师应将学案设计得简单易懂，更加地详细解释，增加讲解变量和函数的例子，以让学生明白什么叫变量，什么叫常量，通过反复提醒训练，加深学生的记忆力.
（二）知识分层教学能由浅至深地丰富学生数学知识
分班是分层教学最初提出的一个教学模式，分层教学在后期发展中，又衍生出了知识分层教学模式.所谓知识分层教学模式，它不需要按照学生的知识水平能力的高低和接受知识能力的高低去进行分班，而是将所授课本知识内容进行由浅入深的划分，给学生授课时亦选择由浅入深地授课，以逐渐填补、逐渐丰富学生的课本知识的一种教学方法.知识分层教学模式比较于分班分层教学模式，一个是对课本知识进行划分，另一个是对学生进行划分，前者减少了学生因为分班而产生的厌恶自卑心理，更降低了学生家长的抱怨投诉心理.比如教师在给学生讲授初一上册《数学》第一章“有理数”和第二章“整式的加减”之时，这两章节是基础章节，为后面的数学知识做铺垫作用，内容比较简单，教师可以加快进程，而在讲述第三章“一元一次方程”之时，学生逐渐接受未知量，为后面的“两元一次方程”做铺垫，教师要详细讲述第三章节，便于为后面所学做铺垫.等到教师在讲述七年级下册《数学》第八章的“二元一次方程”之时，教师可给学生回顾七年级上册《数学》第三章节“一元一次方程”内容，先扎实学生的基础知识，再进行对较难知识的讲解推进.
由浅至深的教学方法除了被使用在授课过程中，在考试时教师也会让学生先选择简单的问题再选择有难度的问题进行答题，这样的做法除了能让学生在考试中拿到基础分数，更是因为容易得分会让学生产生自信心理，在回答难题时更加积极面对，保持冷静心态.知识分层教学法也不外乎如此，由简单到较难再到很难的授课方式给了学生一个缓冲带，简单带来的成就感也会让学生更加有信心积极地面对后面的难点知识.
（三）分组分层教学能全面综合地提高全班学生数学水平
如果说上面提及的分班分层教学模式和知识分层教学模式是单一方向且早已被使用熟练的，那么分组分层教学模式是针对21世纪培养合作型人才提出的一种双向教学模式.所谓分组分层教学模式，指的是不将学生分班级，统一对待学生，却又差别化对待学生，将全班学生进行分组讨论合作学习的一种教学模式.而它的双向性体现在，学生通过教师授课可以获取知识；学生通过学生之间的讨论也可以获取知识.在分组分层教学模式下，教师讲授完一个知识点之后，将学生进行分组讨论，小组成员之间可以分享自己收获的知识，将不同的知识点提出来一起讨论，组别之间也可以交流知识的难点、重点.通过分组分层教学模式，可以极大化地促进知识的传播，极大化地照顾到每一位学生，更统一地提高全班学生的数学水平.比如教师在讲授完七年级下册《数学》第八章“二元一次方程”之后，将学生分组讨论，让组员之间自行解决个人的疑惑，不懂的地方可以跨组询问，最后，由每个组提出最终的大家都认为不懂的难点知识，教师再根据各组提出的问题，进行讲解.
分组分层教学模式更加地注重学生的合作交流能力.新课改下虽然要注重学生的个性化发展，但中国课堂往往是一位教师对几十名学生的局面，在这样的情况下，教师不可能兼顾到每一名学生，也没有那么多时间精力解决每一名学生提出的问题，学生之间能够合作交流，分享知识就尤为重要.分组分层教学模式不仅减轻了教师的负担，更能培养学生的合作能力，除此之外，更能极大化地全面提高全班学生的数学水平，促进全班学生的数学水平平衡发展.
三、结语
分班分层教学模式、知识分层教学模式和分组分层教学模式是现今初中数学教学课堂上最为通用的三种教学模式，在前人积累的经验和后人的完善改进下，这三个模式在初中数学教学中发挥着重大作用.而和分班、知识分层教学模式相比，分组教学模式更加地符合当代课堂，其能极大化地促进全班学生提高数学水平，更能培养学生的合作交流能力.除此，分组分层教学模式给学生提供了一个轻松活跃的课堂氛围，学生通过合作讨论思想的碰撞能产生新理论新观点，有益于培养学生的创新思维能力.
【参考文献】
[1]张卫华.“分层递进”教学法在初中数学课堂教学中的尝试[J].内江科技，2010（9）：208.
【关键词】数学教学 教后记 探索 创新
在教师教案中，有一栏是写“后记”，他越来越引起教育工作者的重视。由“教后记”引发的教研课题，成为教研教改的一个新的切入点，有力的推动了教学改革。现就以下几点谈谈自己的看法，愿与大家商榷。
1 “教后记”是教学的反思
在每一节课前，教师教案中都确定了本课难点、重点，板书设计及教学方法等，但在上课前，并没有得到有效的检验、实践。我们只有通过具体的实践、教学，才能对自己本课所设定的教学目标得到检验。一节课后，我们反思，才发现自己原先设计的各环节可能并不完美，甚至失败。这就要求我们及时记录下本节教学中的得与失、成功与不足，甚至几经反复，又会发现新的问题，它促使我们不断适应学生，吃透教材，尽力找到一种更佳的教学方略。
譬如，初一数学第一册中“绝对值”是较抽象、较难理解的一个概念，我原以为只要弄清楚了绝对值定义，一切有关的问题就会迎刃而解。可在具体教学之后，发现问题并没有那么简单。当a>0，a
2 “教后记”是教训
每一节课后，我们都有一种体会，当自己备好的教案，在课堂四十分钟得到有效地实施，学生课堂气氛活跃，顺利完成教学任务时，教授者就浑身轻松，有一种如释重负的感觉。但有时一节课下来，自己也有压抑，沉闷的感觉，原因在哪？究其原因，很大程度上我们预先设置的教学思路和过程，可能在某环节出了问题，这正是教授者静下心来面对“教后记”地时候，留下自己的教训。例如，我在教授解一元一次方程“去分母”一课中，预先设置的例题，学生已经弄懂，但真正课堂练习的时候，效果并不理想，班上十几个同学做的一塌糊涂。一堂课下来，自己隐隐有一种不爽快的感觉，面对“教后记”，自己留下了这样的字迹“例题地讲解应适当拓宽思路，增强做题的灵活性”。多么有益地教训。
3 “教后记”是经验
我们面对的总是接受能力参差不齐的学生，每一节课都有新内容。我们可能找不到最佳的教学方略，但可以做到更好。在教学中我们有时对某一定义或概念的阐述，并没有按预定的教案进行，而是瞬间的灵机一动，采用了具有创新意识的新方法，而且效果更好，这就要求我们课外及时记录下这来之不易的灵感。在今后的教学中，为自己积累更多经验，争取少走弯路。
引入不是独立的教学环节。而应依据具体的教学内容，教学情绪而定，使学生感到有思考，有回答的必要性和紧迫感。激发学生的求知欲，因此引入的“巧”，应巧在具针对性、启发性、趣味性、知识人性上，其基本做法有：
一、直观引入，吸引注意
在学习多边形内角和这一小节中，可开篇点题：谈谈如何铺设地面砖？这是在住房装修中会遇到的，也是学生们非常熟悉的问题，美丽的地砖铺就出美丽的图案，这些美丽的图案揭示了什么数学原理？是否所有的同一形状的多边形地砖都能铺成平整、无空隙的地面？问题提出，学生被深深吸引，但是口欲言而不能，心欲求而未通，学生们带着疑惑，开始了思维、探索的学习过程。
二、迁移引入、突破新知
在讲解不等式组解意义这节课时，首先让学生们做一个当今世界上很流行的检测学生创新能力与开放性思维的智力题，学生精神为之一振，一艘海轮上载着80头羊，50头牛，试问船长年龄。问题提出，老师遭到围玫，几乎所有学生怀疑题目的不完整性与不合理性，有回答80岁的，有回答50岁的，30岁的甚至有130岁的（很好笑，超级老船长！）显然，学生在蛮横无理地将牛、羊数据与船长年龄牵扯到一起，只有少数同学认为年龄与牛、羊数目无关，经提示后，根据实际经验，船长年龄归结三十岁至六十岁之间，这是一道打破常规的思维训练题，该问题还是要回到课堂里来，年龄在三十到六十之间如何表示，这就涉及到了要讲的不等式组解集的公共部分问题，这道测试题，既是一次对常规思维的挑战，又起到了与新知识挂钩的迁移作用。
三、类比引入，自解新知
上代数第一章用公式解决简单实际问题这节前，教师可故意设疑，给学生布置一道家庭作业，问父母打听自己出生时的身长以及测量现在的身高，现在的学生普遍强调以自我为中心，因此学生特别好奇。第二天带着疑问走进课堂，老师发问，你们能否写出用年龄a与身高h表示的公式？假设每年长高的尺寸相等，每个学生疑中生趣，认为与自己切切相关，动手操作，很快列出了公式，并且每个学生的具体数据不一样，也体现了客观世界的个体性，特殊性。很自然，对书上出售瓜子的售价的实例，同学们触类旁通。这个引入，激发了学生动手尝试，探究新知识的欲望与兴趣，也培养了学生的归纳推理能力。 转贴于
四、设疑上入，激发思维
学习数学的目的，在于能运用数学。在学习全等三角形的判定中，可这样来引入，有一块三角形玻璃打碎成如图两块“ 1 11 ”照样配一块，是否两块都带去？这一问题来源于生活，立即像磁铁吸引了学生的注意力，学生议论纷纷，有说带一块去的，有的说两块都带去。教师说：其实只需带一块，要么带“Ⅰ”，要么带“Ⅱ”？还是随便带哪一块都行呢？这个问题再次引起学生的兴趣与思考，学生的思维进入活跃状态，再问：一个三角形有几个元素？答：六个、三边、三内角；问：带去，带走了原三角形的几个元素？带去，带走几个元素?这时学生思路被打开，全等三角形判定的意义和目的从教师的口中、教案中“搬到”学生的头脑中去了，该问题突出了生活中的“数学”二字，让学生用数学的眼光观察事物；用数学的思维思考问题；用数学的方法解决问题，体验到数学的价值与无穷魅力。
学习兴趣是学习动机外化的表现，数学教师只有深入钻研教材，在课堂中提出与教学内容有关的能引起学生好奇与思考的问题，造成悬念，才能使学生产生探索的欲望，在学习一元一次方程解应用题时，可设计这样一个故事：小明放学路过一人家窗外，听到屋内有人争吵，一人说：“每人分500元，还多240元”；另一人说：“每人分600元，结果少360元……”，机灵的小明意识到这是一批强盗在分赃，他运用一元一次方程很快算出了盗贼人数与被盗现金，马上报警并逮住了强盗。你知道小明是怎样计算的吗？很明显该题不能再利用小学的列算式，必须采纳新知识，故事紧贴教材，激发了学习动机。
在学习有理数的知识交换律与结合律一课中，也可用“高斯童年的故事”引入，讲完后可问：如何快速算出1+2+3+……99+100？奥秘何在，同学们跃跃欲试，该故事为新课讲授做了良好铺垫；而且该问题解决后，一系列如等差数列的和的运算均可迎刃而解了。
六、游戏引入，激趣
关键词：初中数学课改备课方法
古人云“兵马未动，粮草先行"备课重要，不言而喻。如何备好数学课呢?对于这个问题，不得不值得我们每一位教师深思熟虑。老师不能再把课堂当演练阵容的战场，要力求做教练，不做讲师。法国教育学家曾说过2”21世纪最困难也是最有价值的事，是让老师闭上他的 嘴要想出色地完成教师的角色，使学生形成技能，老师就必须吃透课程标准，认真备课，精心设计教学过程，备课这一环节是重要的。
备课，要明确教学目的、任务;把握教学内容重点、难点、课堂教学形式、内容结构等等。备课的目的是为了更好地教学，教学的目的是为了学生掌握知识、技能，掌握的目的是为了更行之有效地运用。由此可见，备课时要注意以下几点:
一、了解知识体系，因材施教
这里所说的了解知识体系，并非让我们掰着手指数这块知识是哪册、哪章、哪节内容，而是要认真研究数学发展的历史，反复考查现有教材的知识体系。主要是指各知识点在整个知识体系中的地位、作用及彼此间的内在联系。
数学教材和其他各科相比，章节之间具有很紧密的联系，公式、法则的推导，定理的引入，数与形的结合等，无一不是普遍联系的经典之作，就"一元二次方程的解法"这一节知识点，前后涉及到的知识面就较多，需要有初一解简单的一元一次方程，完全平方公式的应用和初二的因式分解作为基础前提。同时，为后面学习的方程组及其应用，以及函数也起着启后的作用，所以在备课时要有所侧重。
全面实施因材施教方略，每个学生有每个学生的特点，想用一个教案来将所有的学生"九九归一"，显然是不切实际的。教案必须要面向全体学生，这就要求教案内容要具有相当的"梯度"。这种度最好就是让基础差的学生能"吃得香、不肯走"，让基础好的学生"吃得好，兜着走"，给他们留一些思考性的有新意的问题，以作为课堂内容的延续，不能让授课内容一味的平淡或坎坷。应尽量在一些简单的问题中，让学生找回自信心，拥有成就感。同时，让尖子生在一些有价值的问题中探索、讨论、创新，以寻求更好的发展，"因材施教"，也是能否备好数学课的前提条件。
二、内容与方法的有机统一
(一)合理安排授课内容，优化重组。有道是"书是死的，人是活的"从教育的最终目的来看，学生学的是知识体系的某些方面，而非何种版本的教材，因此备课时，要根据学生的具体情况，将课本中的内容合理安排。例如，在讲四边形的知识时，可以把菱形、矩形的图形、定义、性质、判定组合在一起，通过观察、类比、发现、总结，从而得出结论。
(二)愉快教育，按需分配。学习的过程，是对原有的知识进行整合、更新的过程，更是一个能动的，无法替代的艰苦的心路历程。孔子曾说过"知之者不如好之者，好之者不如乐之者。"所以，为了达到较好的教学效果，在备课时一定要找准"教"与"学"的切入点，能让学生分析的、总结的、思考的，尽量让他们思考，一味地"填鸭式"只能让学生成为一个装知识的容器。
三、正确处理"训"与"练"的关系
要正确处理"训"与"练"的关系，教师必须吃透大纲精神，认真备课，精心设计，了解学生的数学学习实际，对教学环节的安排，教师要弄清每一个教学环节是为了训练大纲规定的哪种能力要求，如何完成这些要求，在练习中可能出现什么问题，如何诱导、解决等。只有这样，学生才能"练"有目的，"练"有兴趣，"练"有提高。知识的掌握固然重要，但获取知识的过程更为重要。要想提高学生的思维能力及创新能力，有计划、有步骤地进行各方面的练习是很重要的。训练并非无目的、无计划的练习。数学题很多，要注重从题中获取更多信息，掌握更多知识，形成更多技能。否则，盲目地练习，就劳而无功。例如:平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形，这部分知识内容多，判定、性质多，易混淆，学生到底如何掌握并能灵活应用呢?多做题并非不是一件好事，平时讲题、练题时，不要局限于结果，明白就行了，要尽量从多角度、多方面去考虑，要注重学生能力的培养。例如"梯形ABCD， AD // BC， AB = CD，∠B=45°，梯形的高是2m， 中位线长是5m，求梯形的面积及上、下底边长。"这道题虽是小的练习题，但教师不要急于讲解，先让各组讨论或自己思考，这道题应如何求解。在学生上台讲完后，在鼓励的同时，要让其他学生再自由发言，结果这道题一共有了三四种方法，对梯形的几种辅助线添加方法加深了理解，训练了学生的思维能力，所以并非题做得越多越好，授课时要精讲巧练，注重一题多解，一题多变，多题一解，因为教无定法，思维更无定法，思维不能僵化。
四、课后反思要及时
一、忌把“简单”变“复杂”
新人教版九年级教材在公式法解一元二次方程一节的练习中安排了这样一题：解方程X2+4X+8=4X+11，整理，得X2=3.此时，若让学生自主去求解，则大多数学生想到的是运用直接开平方.可是某教师在教学时却一律要求用公式法解.于是所有学生的解法都为: a=1,b=0,c=－3,b2－4ac=02－4×1×(－3)=12>0,x =±
从这位教师的教学中，至少可以发现其观念上的两点偏差：一是违背了数学的“精髓”――求简，结果使简单问题复杂化。二是没有以学生的原有认知作为自己施教的基础，对一元二次方程解法的本质没有领会透。
在数学教学中教师首先要领悟透所授知识，然后想办法让学生自主探求解决问题的途径和方法。我们的课堂教学需要求简，需要简单问题复杂化，忌用机械的“模式”去束缚学生。只有这样，学生才能保留个性，课堂教学才有活力、才会真实自然、简单有效。
二、忌把“懂的”变“不懂”
在数学教学中应考虑怎样组织教学才符合学生自然的认知规律。在“有理数减法”一节数学中，由于教师忽视了学生小学的基础，没有站在原有的认知角度去设计教学，只是孤立地强化有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，从而使法则机械化，结果造成学生9－8也不会算了，原来懂的知识却变得不懂了。因为按法则：9－8＝9＋（－8），然后，再用有理数加法法则，异号两数相加……
教师应在学生原有的知识结构基础上进行教学。根据认知心理学的有意义学习理论，一切新的有意义的学习都是在原有的学习基础上产生的，不受学习者原有认知结构影响的有意义学习是不存在的。数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，数学学科的知识结构呈螺旋形、往复递进、非封闭的上升结构。教师的教学应与学生的实际生活和原有的知识点相联系，确保自己的数学能够从已知到未知。让后一步的学习建立在前一步的基础上，前面所学习的知识能为后一步学习打好基础。
三、忌把“通法”变“笨法”
在数学教学中，不能一味地、机械地强化某一个问题的解题方法，教师要注意引导学生进行灵活运用。因为数学思想才是对数学知识的最高层次的概括与提炼，才是适用于数学教学的通法。因此，教师应该站在“数学思想”的高度，把“通法”教活，不可使“通法”变成“笨法”。
例如，在“一元一次方程”的教学中（下面是一个片断）：
师：谁能解方程3x－3＝－6（x－1）？
生A：老师，我还没有开始计算，就已看出来了，x=1（A有点“情不自禁”了，还得意地环视周围的同学）。
师：光看不行，要按要求算出来才算对（老师示意该学生坐下算）。
生B：先两边同时除以3，再……（生B兴趣很浓，正要继续说，被老师打断了）。
师：你的想法是对的，但以后要注意，刚学新知识时，记住一定要按课本的格式和要求来解，这样才能打好基础。
生C（课代表）：先移项，可得3（x－1）+6（x－1）＝0……（感觉到老师并不喜欢这一方法，学生C迟疑了，老师请该生坐下）
看到学生“这个样子”，老师只好亲自板演示范，并特别提醒学生。
师：今天我再讲一遍，别忘了，一定要养成按规定解题的习惯。解方程3x－3＝－6（x－1）时，先去括号，得3x－3＝－6x＋6，要注意符号；再移项，得3x＋6x＝6＋3……所以x＝1。
数学教学强调“通法”和训练扎实的基本功是必要的。在技能形成的初级阶段，让学生套用程式，模仿练习，以熟悉技能也是应该的，但要达到熟练水平，不是每一个学生都需要完成同样多的基础训练，熟练也不一定就能生巧，关键在于领会“通法”的实质，灵活运用。解方程3x－3＝－6（x－1），去括号、移项、合并只是手段而已，目的在于使x的系数变为1，所以学生A和C的解法都是“通法”的活用。一味强调机械套用“通法”，那么，“通法”可能会成为“笨法”，但也不能片面的为了追求“巧法”而放弃对“通法”基础的掌握。
四、忌把“教材”变“教案”
众所周之,教学过程的优化是提高课堂教学质量的关键。那么,如何优化教学过程?我认为重点在于教师对课堂生成的合理调控。对于课堂生成的“非预设思路”采取有效的策略,挖掘和利用学生的“非预设思路”中所具有的价值,从而提高课堂教学的有效性。
一、 发现问题―― “学贵有疑,疑而出新”
课堂教学中教师要善于鼓励学生发现问题,“学贵有疑,疑而出新”。学生有了疑问才会去思考,才会有所发展、有所创造。而在传统的教学中,学生被束缚在教师的教案和课堂的圈子中,其创造性受到压抑和扼制。因此,在教学中我们要鼓励学生自主质疑,大胆发问,创造质疑情境,让学生由过去被动接受知识转为主动探索。
如在学习一元二次方程之时,我设计了这样一个实践活动:请学生用28cm长的细铁丝围成一个正方形,那么能否围出面积等于30cm2的正方形呢?若将这根28cm长的细铁丝剪成相同长度的两段做成两个正方形,那么这两个正方形的面积和能否等于30cm2呢?
师问:如果这根28cm长的细铁丝全部用来围成一个正方形,那么围成的正方形面积是多少呢?
学生集体回答:49cm2。
师问:如果现在面积等于30cm2,请大家列方程解出这个正方形的边长?(引出方程问题)
学生马上列出方程,解出正方形的边长是30cm。
师问:如果围成两个正方形那么每个正方形的边长是xcm,面积是30cm2,你能解出这个x的值吗?
一会儿就有同学回答是:15cm。
师问:能否围出这两个正方形呢?为什么?
生:不能,因为28cm分成八条边每条只有3.5cm,小于15cm。
就在师生基本上认可了他的回答时,我班的数学课代表突然站了起来说:“老师,我好像能够围出来”,他的发现让大家都很惊讶,我也奇怪(因为备课时我没有考虑到)。于是就请他把他的方法讲解一下,其实他的方法很简单只要让两个正方形有一条公共边,那么每个正方形的边长就有4cm(大于15cm),就能围出来了。我当场就表扬了他,同时让大家把他的方法计算一遍,最后鼓励大家寻找另外的围法……师生沉浸在发现的愉悦之中,纷纷动笔开始列方程、解方程。
这个事例说明课堂上教师可以有自己新的独特的发现,但更多时候是学生自己有独特的发现,提出意想不到的问题,打破教师预先设定的教学思想。如果我们在数学教学中能经常鼓励学生大胆生疑,深入生疑,引导学生进入自主学习状态,这样的课堂必定会充满活力和魅力。
二、 顺应出格―― “见风使舵,顺水推舟”
马卡连柯说:教学技巧的必要特征之一就是随机应变的能力。有了这种品质,教师才能避免刻板的公式,才能估量此时此刻的情况特点,从而找到适当的方法并加以正确运用。教学应该是真实自然的,不必刻意追求完美。一旦出现非预设现象,我们应该见风使舵,顺水推舟,合理解决问题,只有这样课堂才是活的。
如在上“概率”这一节课前,课间我发现有一位学生在玩扑克牌。作为班主任的我并未批评他,因为我更明白我同时也是一位数学教师。我即刻顺应学情,改变教学预设,让学生们在他的这些纸牌中做文章(导入新课)。
学生们通过抽牌游戏感受到从一副牌中,任抽一张是红色与抽出一张是黑色的可能性一样大。进而引入本节课的内容:随机事件发生的可能性究竟有多大?如何从数量上去刻画它的大小呢?这些正是本节课要研究的问题。借助抽牌游戏,引入抽象的数学概念,学生学习的兴趣高涨,思考问题变得敏锐而深刻,收到了意想不到的效果。
三、 贴近生活―― “联系实际,创设情境”
在学习代数前,学生可能会以为代数是空洞的符号和繁复的计算。为了纠正学生这种不正确的想法,真正了解代数具有丰富意义且与现实世界有着密切联系的一门基础学科。经过实践我发觉联系学生的实际生活、创设教学情境、生成课程资源对激发学生对代数学习的兴趣有着显著的效果。
短斤缺两的问题在我们生活中时常出现,在学习一元一次方程时,我就选择了这样一个事例:小明和他妈妈拿着菜篮(菜篮重0.25千克)想去市场买5千克鸡蛋,当往菜篮里放秤好的鸡蛋时,妈妈发现这次买的鸡蛋比上次买的5千克要少一些,于是把鸡蛋装进菜篮再秤了一次,秤得鸡蛋和篮共重5.275千克,问你能帮小明算出应向摊主补多少鸡蛋?假如仍然用他的秤来秤的话应再补多少千克鸡蛋?
问题的生成贴近学生的生活实际,更能激发学生学习新知识的欲望,让学生不由自主的参与到解决问题的过程中去,课堂气氛活跃。
又如在学习打折销售问题时,我展示2006年报纸上的一则新闻:“满200减80”顾客损失49元,京城华堂商场被告欺诈(原价618元的羽绒服是打完九五折后才减价的)。展示了这则新闻后,我设计了两个问题:(1)你知道顾客损失的49元是怎么算出来的吗?(618×0.95-2×80)-(618-3×80)=49.1,(2)你认为顾客与商场谁更有理?
数学教学中教师有意识的展示类似的生活情景,从而生成问题,让学生潜移默化地感受到数学是人们生活、劳动和学习中必不可少的工具,从而深刻体验学好数学的必要性。
四、 妙用错误―― “将错就错,变废为宝”
富兰克林有句名言:垃圾是放错了地方的宝贝。因此,从某种意义上说,错误有时也是一种有效的生成性课程资源。教师、学生、教材出错,都有可能是一种宝贵的课堂教学资源。倘若教师能巧妙利用错误,选用有效策略,努力挖掘错误的潜在资源,就能获得事半功倍的效果。
在数学学习的过程中,学生难免会出错,教师应该积极引导,让学生在不断尝试与犯错误的过程中掌握知识。如在讲授a2-b2=(a+b)(a-b)这个公式后,让学生去分解x4-y4。当我在教室里巡视一遍后,宣布只有一半做对时,同学都感到非常吃惊。做对同学的答案是(x2+y2)(x+y)(x-y),两相对照之后,做错的学生发现原来x2-y2还应该继续分解。于是,分解因式要进行到每个因式都不能再分解为止给每个同学都留下了深刻的印象。由此也可以看出,利用学生典型错误进行正确诱导会收到良好的教学效果。
事实上,错误是正确的先导,成功的开始。学生在发生错误、纠正错误的过程中,获得知识、提高能力、增进对数学知识的情感体验。因而,捕捉学生学习过程中出现的错误、发现错误背后隐藏的教学价值,是提高教学有效性的主要途径。
五、 把握学情―― “因生制宜,因时而化”
把握学情,就是要了解学生的生活经验、学习环境和智能发展。课前尽量地预测学情,做到有的放失;课中,根据学情,及时捕捉不断生成的课程资源,为学生的探究架设新的平台,课堂就会变得更加鲜活。
华师版九年级上的“用公式法解一元二次方程”这一节新授课时,按照书本顺序我一开始就提出“如何解一元二次方程ax2+bx+c=0”的问题(部分学生的反应是茫然、不知所措的),接下来我就用配方程推导出了一元二次方程的求根公式。我讲的很顺利也很轻松,但从学生的眼神和表情上,我却发现大部分对我的讲解听不懂,怎么办呢?课堂教学不能再按我预设的计划进行下去了。这时,我意识到学生跟不上公式的推倒过程,是因为那样的推导步子大了些,与学生的基础不相适应。我及时调整原来的教学设计方案,采用缩小步伐的策略,生成了一个过渡性的问题(如何将x2+2ax=b 变形为形如x2=m的方程?)。由于这一阶梯设计适当,引起了学生学习的兴趣,激发了学生学习的积极性。
可见,有效的数学课堂教学,不仅要使教学活动的设计符合新课标理念下的新的教学目标与要求,而且要充分体现“以学生为中心”的教学思想。把课堂还给学生,根据学生掌握知识的情况来组织课堂,随时随地的调整教学思路,从而营造出一个人性化的教学环境。
课堂之所以是充满生命活力的,就因为我们面对的是一个个鲜活的生命体。课堂教学的价值就在于每一节课都是不可预设、不可复制的生命历程。追求生命的意义应成为数学教学的起点和归宿。作为教师要勇于直面学生的非预设生成,积极地对待,冷静地处理,把学生的这些非预设生成尽可能转化为自己的教学资源,化尴尬为精彩。
首先,教师要重视课前的备课。不能错误地认为,既然课堂是生成的,课程改革以后应该简化备课,甚至不要备课。殊不知,没有备课时的全面考虑与周密设计,哪有课堂上的有效引导;没有上课前的胸有成竹,哪有课堂中的游刃有余。所以,课程改革以后不是不要备课,而是给备课提出了更高的要求。在备课中既要关注教材,更要关注学生。要考虑不同的学生会有哪些不同的思考,可能会出现哪些解决的方法。使自己的教学设计更符合学生的认知能力。
其次,教师要转变教学观念,树立正确的学生观。理念决定行为,教师要更新教学观念,树立以学生为主体的意识,要学会尊重和欣赏学生,舍得放弃自己的权威。教师要学会倾听,善于倾听学生的回答。学生会说了,也就得到发展了,这也是课堂教学的最终落脚点。教师还要沉得住起,舍得让学生说,要让学生把话说完,在学生尚未阐述清楚观点时,切莫随便发表自己的看法,这体现了对学生的尊重。更重要的是,要倾听学生发言的背后,他在想些什么,为什么这么想。即使学生说错了,也要分析一下为什么错了,为错找出病因,然后对症下药。