时间：2023-06-12 14:44:44
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇探索平行线的条件，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
本节课是人教版义务教育课程标准实验教科书七年级数学（下册）第五章第3节内容第一课时――探索平行线的性质，它是直线平行的继续，是后面研究平移等内容的基础，是“空间与图形”的重要组成部分。
《数学课程标准》强调：数学教学是数学活动的教学，是师生之间、生生之间交往互动与共同发展的过程；动手实践，自主探索，合作交流是孩子学习数学的重要方式；合作交流的学习形式是培养孩子积极参与、自主学习的有效途径。本节课将以“生活・数学”、“活动・思考”、“表达・应用”为主线开展课堂教学，以学生看得到、感受得到的基本素材创设问题情境，引导学生活动，并在活动中激发学生认真思考、积极探索，主动获取数学知识，从而促进学生研究性学习方式的形成，同时通过小组内学生相互协作研究，培养学生合作性学习精神。
二、案例教学目标
1.知识与技能：掌握平行线的性质，能应用性质解决相关问题。
2.过程与方法： 在平行线的性质的探究过程中，让学生经历观察、比较、联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程。通过探究平行线的性质，使学生形成数形结合的数学思想方法，以及建模能力、创新意识和创新精神。
3.情感态度与价值观：在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和团结合作、勇于探索、锲而不舍的精神。
三、案例教学重、难点
1.重点：对平行线性质的掌握与应用
2.难点：对平行线性质1的探究
四、案例教学用具
1.教具：多媒体平台及多媒体课件
2.学具：三角尺、量角器、剪刀
五、案例教学过程
（一）创设情境，设疑激思
1.播放一组幻灯片。
内容： ①供火车行驶的铁轨上；
②游泳池中的泳道隔栏；
③横格纸中的线。
2.提问温故：日常生活中我们经常会遇到平行线，你能说出直线平行的条件吗？
3.学生活动：针对问题，学生思考后回答――① 同位角相等两直线平行； ② 内错角相等两直线平行； ③ 同旁内角互补两直线平行；
4、教师肯定学生的回答并提出新问题：若两直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？从而引出课题：7.2探索平行线的性质（板书）
（二）数形结合，探究性质
1、画图探究，归纳猜想
教师提要求，学生实践操作：任意画出两条平行线（ a ∥ b），画一条截线c与这两条平行线相交，标出8个角。（统一采用阿拉伯数字标角）
教师提出研究性问题一：
指出图中的同位角，并度量这些角，把结果填入下表：
教师提出研究性问题二：
将画出图中的同位角任先一组剪下后叠合。
学生活动一：画图―度量―填表
――猜想
学生活动二：画图―剪图―叠合
让学生根据活动得出的数据与操作得出的结果归纳猜想：两直线平行，同位角相等。
教师提出研究性问题三：
再画出一条截线 d，看你的猜想结论是否仍然成立？
学生活动：探究、按小组讨论，最后得出结论：仍然成立。
2.教师用《几何画板》课件验证猜想，让学生直观感受猜想
3.教师展示：
平行线性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。（两直线平行，同位角相等）
（三）引申思考，培养创新
教师提出研究性问题四：
请判断两条平行线被第三条直线所截，内错角、同旁内角各有什么关系？
学生活动：独立探究―小组讨论―成果展示。
教师活动：评价学生的研究成果，并引导学生说理
因为a ∥ b （已知）
所以∠ 1= ∠ 2（两直线平行，同位角相等）
又 ∠ 1= ∠ 3（对顶角相等）
∠ 1+ ∠ 4=180°（邻补角的定义）
所以∠ 2= ∠ 3（等量代换）
∠ 2+ ∠ 4=180°（等量代换）
教师展示：
平行线性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。（两直线平行，内错角相等）
平行线性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。（两直线平行，同旁内角互补）
（四）实际应用，优势互补
1.（抢答）课本P13 练一练 1、2及习题7.2 1、5
2.（讨论解答）课本P13 习题7.2 2、3、4
（五）课堂总结
这节课你有哪些收获？
1.学生总结：平行线的性质1、2、3
2.教师补充总结：
⑴ 用“运动”的观点观察数学问题；（如我们前面将同位角剪下
叠合后分析问题）
⑵ 用数形结合的方法来解决问题；（如我们前面将同位角测量后分析问题）
⑶ 用准确的语言来表达问题；（如平行线的性质1、2、3的表述）
⑷用逻辑推理的形式来论证问题。（如我们前面对性质2和3的说理过程）
（六）作业
课本P5 1、2、3
六、教学反思
数学课要注重引导学生探索与获取知识的过程而不单注重学生对知识内容的认识，因为“过程”不仅能引导学生更好地理解知识，还能够引导学生在活动中思考，更好地感受知识的价值，增强应用数学知识解决问题的意识；感受生活与数学的联系，获得“情感、态度、价值观”方面的体验。
这节课的教学实现了三个方面的转变：
① 教的转变：本节课教师的角色从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者。教师成为了学生的导师、伙伴、甚至成为了学生的学生，在课堂上除了导引学生活动外，还要认真聆听学生“教”你他们活动的过程和通过活动所得的知识或方法。
② 学的转变：学生的角色从学会转变为会学，跟老师学转变为自主去学。本节课学生不是停留在学会课本知识的层面上，而是站在研究者的角度深入其境，不是简单地“学”数学，而是深入地“做”数学。
关键词：教学案例；教材分析；学情分析
一、教材分析
“平行线的特征”是北师大版七年级数学（下册）第二章第三节的内容。它是在学生已经初步了解并且学习了平行线的概念、平行线的判定等内容的基础上进行教学的。它是直线平行的继续，是空间与图形领域的基础知识，是后面学习和研究平移、三角形内角、三角形全等、三角形相似以及平行四边形等知识的基础，所以学好这部分内容至关重要。
二、学情分析
1.学生的知识技能基础
通常，平行线的基础学习在小学阶段已经开始，因此，学生对其特征有一定的了解，只是还不够深入。在学习“平行线的特征”之前，学生已经学习了平行线的判定方法，并能够利用其解决一些问题，让学生对同位角、内错角和同旁内角的概念及应用有了一定的了解，这些知识储备为学生接下来的平行线特征学习奠定了良好的知识技能基础。
2.学生的活动经验基础
在前面知识的学习过程中，学生已经经历了一系列的数学活动，积累了初步的数学活动经验，具备了一定的图形认识能力、借助图形分析能力和解决实际问题的能力，并且初步掌握了在直观认识的基础上进行合情说理和直观与简单说理相结合的方法，初步感受到推理说明的必要性与作用。同时，在以往的数学教学中，学生已经经历了多次合作学习的过程，具备了与同学沟通交流的能力，积累了相当多的合作学习经验。
三、教学目标
从整体上看，数学课程教学目标包括结果目标和过程目标。结果目标使用“了解、理解、掌握、运用”等术语表述，过程目标使用“经历、体验、探索”等术语表述。
1.知识与技能
通过本章节的学习，要让学生充分掌握平行线的特征，能利用其特征解决相关数学问题。
2.过程与方法
在平行线的特征教学过程中，要让学生经历观察、猜想、比较、联想、分析、归纳、概括的全过程。通过对平行线的特征的学习，使学生逐渐形成数形结合的数学思想，以及提高学生的建模能力、创新意识和创新精神。
3.情感态度与价值观
在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，增强学生学习数学的兴趣和热情，培养学生团结协作的精神，激发学生探索未知知识的欲望。
四、教学重点和难点
本章节的教学重点是平行线特征的探索及应用。教学难点是平行线特征的探究和平行线的判定与特征的区分以及综合应用。
五、教学设计
《义务教育数学课程标准》强调：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程；动手实践，自主探索，合作交流是孩子学习数学的重要方式；合作交流的学习形式是培养孩子积极参与、自主学习的有效途径。”本课堂将以“生活・数学”“活动・思考”“表达・应用”为主线开展课堂教学，以学生看得见、感受得到的基本素材创设问题情境，引导学生活动，并在活动中激发学生认真思考、积极探索，主动获取数学知识，同时通过小组内学生相互协作探讨，培养学生的合作性学习精神。
六、教法和学法
为了避免传统的单向灌输式教学带来的不良后果，教师要注意转变观念、转换角色，让学生真正成为课堂的主人，在课堂中选用引导探索、自主探究、合作交流等教学方法，希望通过这些教学方法，让学生形成自主学习、合作学习的良好习惯。
在学习方法上，教师要注意引导。俗话说：“老师引进门，修行靠个人。”因此，学生要主动动手画图、测量、对比，主动动脑猜想、讨论、分析、思考，在自主探索的活动过程中形成自己独有的观点，逐步培养学生勤于动手、乐于思考、勇于表达的学习习惯，提高学生的学习能力。
七、教学设备和教辅用具
在数学教学前，必要的工具准备是必须的，比如，多媒体、相关课件、三角尺、量角器、剪刀以及其他纸质模型等。
八、教学过程
1.创设情境，设疑激思
（1）提问导入
首先，教师可以在教授知识前，设置一个导入性的问题。譬如：“日常生活中我们经常会遇到平行线？能说出直线平行的条件吗？”学生思考后回答时可能说出以下答案：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。如果学生不能完整地回答，教师应当做一些适当的补充。
（2）深入再问
这是导入问题后的第二个步骤，在第一个问题的基础上再一次提出问题。接下来，可以结合图形提问，例如，“如图1是在三星堆考古工作中发掘出的一个残缺玉片，工作人员复原后发现其形状是梯形（如图2），并且已经量得∠A=115°，∠D=100°。你能不能求出另外两个角的度数？”带着这个问题，教师就可以引出本课堂的内容，即平行线的特征（板书在黑板上），由此引出课题。
设计意图：通过复习平行线的判定和生活中的实例来引入新课程，一是温故知新，促使学生实现知识思维的正迁移；二是提高学生的学习兴趣，激发学生探索知识的热情，使学生认识到数学来源于生活，又服务于生活。
2.数形结合，探究特征
（1）画图探究，归纳猜想
教师提要求，让学生实践操作。比如，让学生任意画出两条平行线（a∥b），画一条截线c与这两条平行线相交，标出8个角（注：统一采用阿拉伯数字标角）。接着教师可以提出研究性问题一：请指出图中的同位角，并度量这些角，把结果填入下表：
紧接着教师提出研究性问题二：将图中的任意一对同位角剪下后叠合。
学生活动一：画图―度量―填表―猜想
学生活动二：画图―剪图―叠合
让学生根据活动得出的数据与操作得出的结果归纳猜想，如两直线平行，同位角相等。
最后，再提出研究性问题三：再画出一条截线d，看你的猜想结论是否仍然成立？
学生活动：探究并进行小组讨论，从而得出结论仍然成立。
（2）展示平行线的特征
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记为：两直线平行，同位角相等。
设计意图：此环节为本课堂的重点内容，所以给学生留有充分的操作和探索空间，让学生通过测量、剪拼、猜想、讨论、归纳概括出平行线的特征，让学生在充分的活动中能发挥自己的聪明才智，用不同的方法来验证结论，开拓学生的思维，培养学生的创新能力，也让学生体会从特殊到一般的数学思想。当然，最重要的是培养学生的操作能力，为以后探究更多更复杂的图形性质打好基础，积累经验。
3.合作探究，归纳结论
教师提出研究性问题四：请判断两条平行线被第三条直线所截，内错角、同旁内角各有什么关系？
学生活动：独立探究―小组讨论―成果展示。
教师活动：评价学生的研究成果，并引导学生进行简单的
说理。
如图3，因为a∥b（已知）
所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
又因为∠1=∠3（对顶角相等）
所以∠2=∠3（等量代换）
又因为∠1+∠4=180°（邻补角的定义）
所以∠2+∠4=180°（等量代换）
教师展示：
平行线的特征2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相
等。简记为：两直线平行，内错角相等。
平行线的特征3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记为：两直线平行，同旁内角互补。
设计意图：通过学生的自主探究和师生之间的合作交流，让
学生体会与他人合作的重要性，体会转化、归纳的数学思想。在说理和归纳的过程中，鼓励学生大胆发表自己的见解，培养学生的推理能力和语言表达能力。
4.辨析关系，加深理解
教师提出研究性问题五：平行线的判定与平行线的特征有什么区别和联系？
学生活动：独立思考―填写下表―成果展示。
教师活动：归纳总结――证平行，用判定；知平行，用特征。
设计意图：通过表格的填写，让学生从结构特征上明晰平行线的判定和特征的区别与联系，加深对结论的理解，明确在解决具体问题时如何选择运用判定和特征。
5.实际应用，深化理解
为了深化和巩固所学知识，教师应当举一些典型的例子进行讲解。
例1.如图4，已知AD∥BC，AB∥DC，∠1=100°，求∠2，∠3的度数。
例2.如图5，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4。（1）∠1，∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？（2）反射光线BC与EF也平行吗？
设计意图：例1是特征的直接应用，例2是判定与特征的综合应用，题目的难度都不大，主要是让学生体会知识的应用和推理论证过程，感悟推理的依据和结论之间的关系，养成合情推理的习惯。例2要求学生进行小组讨论、综合分析、自主提高，使学生能够灵活应用平行线的判定和特征来解决问题。
6.练习巩固，应用提高
课后教师应当布置一些练习题目，比如，1.解答本课堂前面提出的“残缺玉片”问题；2.课本随堂练习。
设计意图：通过布置练习题的方式，既巩固了新知，又训练了学生思维的灵活性与开阔性，还能让教师及时发现问题，做好评讲纠正工作。
7.梳理反思，感悟收获
最后教师可以进行总结性的提问，如：谈谈本课堂你的收获？
（1）学生总结：a.平行线的特征；b.平行线的判定与特征的
异同。
（2）教师补充总结：a.用“运动”的观点观察数学问题（如我们前面将同位角剪下叠合后分析问题）；b.用数形结合的方法来解决问题（如我们前面将同位角测量后分析问题）；c.用准确的语言来表达问题（如平行线的特征表述）；d.用逻辑推理的形式来论证问题（如我们前面对特征2和3的说理过程及例题的解答过程）。
设计意图：引导学生对知识进行再回顾，加强理解，形成知识体系，为运用打牢基础。
8.分层作业，培养能力
进行总结性发问后，教师还要布置适量的作业，并把作业分成必做题、选做题以及实习作业等，这就是检验学生是否将知识消化的措施。
设计意图：学生可以根据自己的学习水平去自行选择选做
题，减少不必要的作业负担，使不同层次的学生得到不同的发展。通过作业进一步巩固所学知识，使之学有所用。
数学教学要注重引导学生探索与获取知识的过程，而不仅仅是注重学生对知识内容的汲取，因为“过程”不仅能引导学生更好地理解知识，还能够引导学生在活动中思考，更好地感受知识的价值，增强应用数学知识解决问题的能力；能够感受生活与数学的联系，获得“情感、态度、价值观”方面的体验，让学生亲身体验到数学知识来源于实践，从而激发学生的学习积极性。同时，课堂设计为学生提供了大量操作、思考和交流的机会，学生通过“操作―思考―交流”的过程层层深入，最终得出了平行线的三个特征。通过这样的过程，学生逐步体会到数学知识的产生、形成、发展与应用的过程。另外，在教学过程中还需要注重引导学生在具体操作活动中进行独立思考，鼓励学生发表自己的见解。通过自主发现问题、探索问题、获得结论的学习方式，还有利于培养学生独立思考的能力。当然，笔者的教学方式也有一些不足之处，驾驭课堂的能力还有待加强。
参考文献：
[1]董彩君.初中数学“情境―问题―讨论―反思”教学模式的实践研究[D].华东师范大学，2008.
[2]孙雅琴.渗透数学基本思想的初中数学课堂教学实践研究[D].重庆师范大学，2012.
[3]耿岩.初中数学课堂情境探究式教学模式的应用探索[D].扬州大学，2011.
[4]牟丽华.几何画板优化初中数学教学的案例研究[D].重庆师范大学，2012.
[5]张力琼.初中数学教学中渗透数学思想方法的教学策略研究[D].西北师范大学，2007.
[6]尤如龙.从一次课堂上的教学案例来认识初中数学教学[J].数学学习与研究，2011（6）：80.
[7]聂芬.初中数学教学中“支架式”教学模式的应用研究[D].西北师范大学，2012.
关键字：初中数学；问题主导；自主学习
学生自主学习能力的培养是新课改的重点之一，初中数学作为基础教育的重要组成部分，在学生自主学习能力培养中发挥着重要的推动作用。笔者认为，引导学生自主学习的重点在于调动学生的积极性和参与度，让学生无论是在课堂还是在课外都能够有章可循，实践自主学习，因此，笔者倡导以问题为主导建立自主学习模式，让科学的引导和有效提问帮助学习提升学习能力。本文以“探索平行线的性质”一节内容的学习为例，对问题主导模式下学生自主学习进行详细分析和探究。
一 从课前启迪入手，动手动脑探思路
即便是新课程改革的热潮中，很多教师也都轻视甚至是忽略了课前预习这一步，多数教师只是草草将该部分带过，由于没有恰当的指示和引导，学生并不知道预习的重点在哪里，只能盲目粗读一遍教材，走马观花一般，难得实效。
笔者认为，预习阶段是问题主导模式下自主学习的第一步，它是引导学生自主学习的开始，更是课堂有效进行的保障。有效的课前预习应该充分体现自主学习的精髓，以教师的科学指导为主线，融教材内容和学生的实际生活为一体，以发挥学生的主动性为主要目的，指导学生实践预习实效。教师要以问题来诱导学生展开课堂预习，让学生既能够充分熟悉课堂内容，还要发挥学习主动性，动手寻找相关资料，并且在这个过程中有意识地提出一些问题，发现数学学习的乐趣所在。
教学实录
课前，我提了这样几个问题以便给学生的预习提供思路：
（1） 通过阅读课本，你是否能明白什么是平行线？
（2） 在生活中，你能发现哪些地方利用了平行线？
（3） 想一想，我们怎样进一步了解平行线？
这些问题层层深入，给学生进行预习指明了方向，让课前预习不再是蜻蜓点水，为接下来的课题学习做好了准备。
二 以课堂教学为重，层层深入巧引导
传统的数学教学模式过于强调数学的抽象性、完美性和唯一性，无形中束缚了学生的思维，也在一定程度上打击了学生积极性和主动性。然而，自主学习模式下的数学课堂却强调学生探索和创新能力的培养，鼓励学生在教师的引导下大胆想、主动做，实现思维和行动的双向突破。笔者认为，教师要放开教学思路，在把握好教学内容和课堂进度的基础上，大胆引进新颖多变的教学方式，提出探究性的问题，搭起讨论大舞台，为自主学习有效引路。
1关注个体差异，合作教学先行
初中生理性思维仍在发展之中，往往很难独立完成探索的全过程，所以合作教学极为必要。每个学生对数学的理解和感知能力都不同，有的学生善于思考，有的学生精于观察，有的学生动手操作能力强，这些差异正是合作教学的基础，教师要充分关注学生间的差异，以优势互补的原则将全班学生分为几个合作小组，以小组为单位进行自主学习的探索，每个人都能在小组中扬长避短，找到自己的定位，相互合作，共同进步。由于初中生的好胜心多半很强，合作学习还给不同小组间创造了竞争的条件，能够有效激发学生的竞争意识，从另一个方面促使自主学习的动态生成。值得一提的是，这样的学习小组最好是相对稳定的，固定的合作关系能够培养学生之间的相互默契，几次合作后学生就会轻车熟路，无需教师再多加指导便能够自觉和同伴一起进行课堂探索。
2 课堂教学“趣”当前，铺开自主学习路
“兴趣是最好的老师”，在课堂上引导学生自主学习的关键就是要引起学生无限的学习兴趣，只有在兴趣的引领下学生才能够有欲望进行课堂探索。所以教师要利用课堂导入和问题的提出进行巧妙诱趣，为自主探索做好铺垫。
根据多年的教学经验，笔者总结出几条有效的诱趣方法：（1）创设问题情境融趣。问题情境能够将数学问题植入生动、具体、有趣的环境中，将抽象的数学语言转化成学生容易理解的文字、图像、符号等，降低理解难度，有效引起学生对数学问题的关心；（2）巧用学科特性引趣。数学学科的生活特性是一大潜在的兴趣因素，教师要迎合学生的心理，从生活中找寻学生所感兴趣的问题并将其与课堂内容巧妙衔接，在真实还原数学生活本质的同时，让学生感受到数学知识的趣味性，吊起他们对数学学习的“胃口”，实现自主学习能力的有效提升；（3）多媒体教学酿趣。多媒体教学具有图文并茂、声色俱佳的特点，大大降低了数学的抽象性，符合学生的认知规律。在教学过程中教师不妨适当利用多媒体教学，将课堂变得生动活泼，让学生在轻松愉悦的环境中习得知识。
教学实录
（为了引起学生对平行线学习的兴趣，在课堂伊始，我首先提出问题）
教师：经过课前的调查和研究，你们发现了生活中存在哪些平行线现象？
（由于课前做好了充分的准备，学生纷纷踊跃回答）
生1：供地铁行驶的铁轨。
生2：游泳池中的泳道隔栏。
生3：作业本中的横格线。
生4：书架上的隔板。
。。。。。。
教师：同学们回答得非常好，这些都是生活中的平行线现象，那么大家想一想为什么平行线的应用这么广泛呢？如果没有平行线，生活中的这些现象会是什么样的景象呢？
（学生开始饶有兴趣地小声讨论，想象着会发生什么有趣的现象）
教师：老师也和你们一样想象着没有平行线我们的生活该是什么样，而且还在课前制作了一条1分钟的动画，现在就请大家观看动画。
（教师利用多媒体播放动画，学生看得津津有味）
（由于动画生动、具体并且幽默地表现了生活中的各种平行线现象并且假想了一些没有平行线的情况，让学生直观地感受到平行线永不相交的重要特性，在欢声笑语中燃起了继续学习探索的兴趣）
3教师睿智引导，动手探究促学习
浓厚的探索兴趣只是自主学习的开始，却远不是重点，引导学生自主动手、动脑探索才是自主学习的心脏。问题主导模式下的自主学习要求教师能够提出有效的问题帮助学生开拓思路，更要采用有效方法引导学生自主探索。
在进行探索的过程中，教师要引导学生从不同的角度进行观察、比较，教会学生正确运用猜想和验证的方法，全面分析和探索的同时产生对知识间的联想，加深对知识的理解，在探究的过程中全面提升学生的数学能力。与此同时，还要帮助学生在全面参与探索的过程中获得亲自参与研究的情感体验，感受到成功的乐趣，并让学生形成合作学习、勇于探索的习惯，进一步增强学习的热情。
教学实录
教师：现在请大家用你们手中工具画出两条平行线，然后画出一条截线，同学们可以看到这条截线与两条平行线交出八个小于平角的角，请同学们动手量一量这八个角的角度，看看发现了什么。
（学生动手操作，教师也在黑板上画出平行线，跟学生一起探索）
生1：有些角的角度相同，有些互补。
生2：是呀，老师你看，这边的∠1和∠3和∠5都相同，但∠2和∠4互补。
生3：那么重新画一条截线会不会也有同样的结论呢？
教师：看来大家已经发现了一些东西，你们提出来的质疑也很好，那么现在就请你们再画另外一条截线，看是不是也有同样的结论？
（学生再次动手操作，开始验证，发现结论一致）
教师：我们刚才的出来的结论是不是正确的呢？用一种方法可不行，请同学们想一想还有没有另外一种方法来证明刚才的结论？
生1：能不能把角减下来拼凑一下呢？记得我们当初学习角的时候就是这么做的。
生2：我也记起来了，这方法应该是可行吗？
教师：你们的想法可真好。到底能不能行试一下不就知道了么？
（学生再次动手探索，将角剪下来，同位角、内错角相拼重合，得到同样的结论，经过此番探索，学生深刻理解了平行线的性质，无需教师再多费口舌，费心讲解，课堂效果格外好）
三 让课后延拓继续，自主学习不间断
课后延拓是完整的课堂自主学习的深化和拓展。课堂上学生接受了大量的信息，有些并不能立刻就领会其中的深意，还需要课后细细琢磨，方能融会贯通。
布置具有针对性的作业是帮助学生课后自主学习的有效方法，作业从不在多，只在乎精，教师不能照搬课本上的习题，而是要结合教材习题，并参考辅导书，再在准确把握学生的具体学情和教学内容的基础上亲自为学生设计作业，着眼于数学方法的积累和应用，让学生在复习课堂内容的同时，加深对知识的理解，并树立起应用意识。
教学实录
在课堂即将结束之际，我再次提出问题：通过今天的学习，我们了解了平行线的特征，那么我们该怎样利用这些特征来解决实际问题呢？从今天的学习中你得到了什么启示？今后我们该如何进行数学知识的探索？
这些问题具有很大的开放性，学生可以根据自己的情况在课后自由发挥，自主寻求突破点，由自己感兴趣的地方出发，更深层探寻数学的奥秘，让数学学习由课堂延续到课外，不断加强自主学习能力。
总之，问题主导模式下的自主学习以科学的数学问题为主线，以学生主动参与为特点，兼顾课堂内外，将课前预习、课内学习与课后延拓巧妙衔接起来，全面调动学生的参与意识，提高学生的自主学习能力。
一、优化教学过程，采用多种教学组织形式
数学教学的组织形式是多种多样的，既可以是教师讲授分析来完成教学任务；也可以是学生自主探究、合作交流、实践研究等来实现教学目标；还可以是师生讨论、师生自制教具等来完成教学要求；或是引入生活实例、数学模型、图片资料等开展课堂教学；亦或利用多媒体课件、几何画板、交互白板等现代化手段进行辅助教学。选择这些组织形式，需要根据教学内容、学生实际、教学条件而定，并优化组合，以增强数学教学趣味性，让学生在愉悦的氛围中主动思考，轻松学习，深刻理解数学知识，学会应用实践。
如教学“探索平行线的性质”这一内容时，教师可基于“生活·数学”、“活动·思考”以及“表达·应用”的主线进行新课的教学，选用同学们熟悉的基本素材，结合多媒体技术，设置问题情境，组织学生进行学习活动，同时巧用这些活动来培养学生积极思考与主动探究的良好学习习惯，使他们自主地获得数学知识，养成研究性学习的习惯。另外，利用小组互相协作研究，促进学生形成合作意识。
具体实施如下：1.巧设情景，设疑引思：展示幻灯片，如横格纸中的线；游泳池中的泳道隔栏；火车铁轨等。提问：在日常生活中，平行线是十分常见的，那么直线平行有什么样的条件呢？学生思考后回答各异。对于学生的各种答案，教师予以肯定，但不直接告知学生结果，而是继续引导：如果两条直线平行，猜猜同旁内角、内错角、同位角分别有着怎样的关系？于是将学生引入新知探究活动中。2.数形结合，探索性质：（1）画图探究，归纳猜想：先随意画两条直线平行a与b，再画一条截线c和a、b相交，并用阿拉伯数字标出各个角。然后提出研究性问题：①指出同位角，并度量角的大小，填写结果。
②从所画的图形中任意剪下一组同位角，然后加以叠合。学生活动1：先画图，再度量，而后填表；学生活动2：先画图，再剪图，然后叠合。然后引导学生依照活动而得的数据以及操作而得的结果，进行猜想：若两条直线平行，那么同位角相等。
③作出另一条截线d，验证猜想是否依旧成立？学生通过小组讨论与探究后，可看出结论依旧成立。（2）借助“几何画板”来验证猜想，帮助学生更直观地体会猜想，加深知识理解，把握平行线性质1：两直线平行，同位角相等。3.拓展与思考。研究性问题④：若两平行线被第三条直线所截，同旁内角、内错角又分别有着怎样的关系呢？要求学生先独立思考、自主探究，然后小组讨论交流，最后展示小组研究成果。而教师则对学生研究成果加以评价，引导学生说理，并总结归纳，得出平行线的另外两条性质。4.实际应用，优势互补：呈现相关的习题，要求学生抢答或者讨论解答。
二、强化知识体验，引导学生进行探究活动
初中生具有争强好胜、好动好玩的个性。因此，在初中数学教学中，教师可设计丰富多彩的探究实践活动，以调动学生的参与积极性，使他们动手操作，自主探究。同时，在探究过程中，体会成败，体验探究与实践的乐趣，为今后的数学学习奠定良好的心理基础，使其敢于应对各种学习困难，学会灵活运用所学的数学知识来解决问题，从而增强学习信心。
如教学“展开与折叠”这一知识时，教师可设计多种学生活动，引导学生自主探究新知。探究活动1：要求学生拿出准备好的正方体，然后在其表面沿几条棱剪开，展开使之成平面图形。小组讨论：可以获得哪几种平面图形？学生实践活动，教师则注意巡视指导，关注学生活动情况，鼓励各组学生展示本组的制作成功，比比哪组的剪法，并整理学生作品，获得更多的展开平面图形。探究活动2：你们是否可以展开正方体，使之变为如下图所示的图形？
作为数学教师要有这样一种认识，完善学生的素质和提高学生的成绩，是一种相辅相成的关系。教师要舍得花时间来完善学生的综合素质，这不仅不会降低学生的成绩，反而会大大提高学生的成绩。而数学学科的大部分时间都是在讲题做题，所以在做题中提升学生的素质是使单元教学目标和课程目标相统一的很好的一个途径。
例如，在讲解“三角形内角和定理”时，传统上很多教师是按书中例题的证法进行证明之后，马上让学生练习定理的应用。如果只是这样，不和其他知识相互联系，这一知识就成为了孤立的知识，就不能使学生多方面的素质得到提升。
可以从以下几个方面对学生的综合素质进行提升。
1 联想能力
从启发学生寻找证明思路上，训练学生联想能力。要证明内角和是180。，要让学生知道应该联想所学过的与180°相关的知识。通过联想可知目前学生所学过的与180°相关的知识只有两个：①平角，②两平行线间的同旁内角。这种联想能力和意识非常重要，几乎在每一道题中都会用到，联想是解决问题的突破口。要告诉学生这种数学联想方式，在解决生活中的问题时同样适用，这样就把数学思维和生活紧密地结合起来。
2 创造能力
虽然联想到了平角和同旁内角，但这三个内角的位置既不是平角，也不是同旁内角，这时就需要创造条件，引导学生用“运动的思想”，想办法搬动角使三个角构成平角或同旁内角，而我们学过的可以通过构造等角使角“运动”的方法，只有两直线平行内错角或同位角相等，这样学生就逐渐地想到了以下的方法(生活中也是这样通过创造条件缩小理想和现实之间的差距)：
通过探究，可以得出以下几种辅助线的作法：
①如图1，延长BC得到一平角∠BCD，然后以CA为一边，在ABC的外部画∠1=∠A。
②如图1，延长BC，过C作CE∥AB。
④如图3，过C作CD∥AB。
⑤如图4，在BC边上任取一点P，作PF∥AB，PE∥AC，
学生可能还有其他画法。
通过以上分析、研究，让不同做法的学生讲解依据。
①根据平行线的判定及性质，利用同位角把三角形三内角转化为一个平角。
②根据平行线的性质，利用内错角和同位角，把三角形三内角转化为一个平角。
③根据平行线的性质，利用内错角，把三角形三内角转化为一个平角。
④根据平行线的性质，利用内错角，把三角形三内角转化为两平行线间的同旁内角。
⑤根据平行线的性质，利用内错角、同位角或同旁内角把三角形三内角转化为一个平角。
3 思想提升
探索到这里就结束这节课应该说上得也不错，但如果到此为止学生的思路和思维还远远没有得到充分的提升，我们还应从探索的过程中继续寻找教育的契机。通过观察探索可以向学生讲解“广义对称的思想”(机会均等、利益均沾)：因为对三角形的三个顶点和三条边来说所处的地位和拥有机会是一样的，因此在点A能办到的事，在点B、C也一定能办到，在边AB能办到的事情是其余两边也能办到，这样辅助线的添加位置还可以找到很多。在继续深入换角度联想，在顶点能办到的事，在边上是否可以做到，在边上可以做到，在边外可不可以做到，在三角形内可以做到的事，在三角形外是否可以做到。有了这样的思考，这道题还可以找到很多平移角的方法。关键是通过这样的探索打开学生的思维，学习分析问题的方法，使学生的思想认识得到提升。
4 广泛联系
这道题还可以用特殊化或极限的思想来探索三角形内角和的趋势走向。比如在几何画板上拖动三角形一顶点A，使其接近对边，会发现当角A接近180°时另两个角的度数将近于0°，由此可猜测三角形内角和的度数可能为180°。有了这样的思想，在探索三角形的外角和多边形的外角和定理时，不少学生会用这种思想很好地猜测出多边形的外角和是360°，这为今后的学习奠定了非常好的基础，也为高中的学习做了铺垫。
5 多解归一、多题归一
那么如何寻找合适学生学习数学概念的切入点，让学生更轻松地学习新概念，更容易理解新概念，下面就谈谈本人的一些做法。
一、通过生活的感性材料，给学生直观形象地引出新概念
我们的日常生活处处有数学，在进行数学概念教学时，要善于把日常生活中熟悉的事物作为感性材料，引导学生通过对这些感性材料进行认真观察、仔细比较、深入分析并且总结归纳，从而去获取新概念。
如，要指导学生学习“平行线”的概念，首先可以让学生观察生活中的牛奶盒、食品袋、窗户、桌子、椅子等带有对应的两条边的“平行线”生活用品。这些生活用品其实就藏着关于“平行线”的数学信息，这些数学信息或分散或隐蔽，但都切切实实存在于我们身边，需要我们在进行“平行线”概念教学时引导学生去观察、去比较。在比较分析了牛奶盒、窗户、桌子、椅子上下边的属性的基础上，引导学生找到这些物品上下边存在的关系：两条直线，在同一个平面内，两条边可以无限延长，永不相交，等等。在师生的共同比较分析总结中让学生发现它们的共同属性：可以抽象地看成两条直线；两条直线在同一平面内；彼此间距离处处相等；两条直线没有公共点；等等。最后抽象出本质属性，得到平行线的定义。
通过感性材料入手归纳新概念，是建立在学生已有的生活经验的基础上开始概念教学的，教师要善于从生活中的感性材料入手，引导学生从表到里进行观察并分析，这样就能让学生轻松地从熟悉的事物中找出事物的共同本质属性，从而帮助学生形成概念。
二、运用旧知识，引导学生归纳总结新概念
在进行数学概念教学时，要善于运用学生已经掌握的一些相关的旧知识来讲授将要学习的新概念，这样学生是比较容易接受的。数学知识不是独立存在的，它们是相互联系的，教师就要充分运用学生已学的旧知识来引出新概念。
例如，从求几个数的“倍数”引出与旧知识“倍数”有关的“公倍数”、“最小公倍数”等新概念。上课初始，给出“分别求出2、4、8、16这几个数的倍数”，让学生把这些数的倍数列出来：2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……4的倍数有4、8、12、16、32……8的倍数有8、16、24……16的倍数有16、32、48……列出数据后，再让学生通过对这些数据的分析，谈谈自己的发现，从而让学生在已有概念“倍数”的基础上，归纳总结出“公倍数”、“最小公倍数”的概念。这种体验过程是学生锻炼自己的观察能力、分析比较能力、归纳概括能力的过程，也是学生从已有的知识出发，在旧知识的基础上学习新知识的过程，这是建立数学概念的一种很有效的教学方法。
因此在进行新概念的教学时，教师就要在备课上下工夫，先分析要学习的新概念与学生已掌握的哪些旧知识有着内在的联系，再运用这些内在的联系进行从旧概念引出新概念的教学。把已有的旧知识作为学生学习新知识的基础，用旧引新，再化新为旧，循环往复，促使学生明确了概念，又掌握了新旧概念间的联系。
三、通过学生的动手实践，揭示新概念
概念是思维的基本形式之一，数学概念是构成数学知识的基础，是对客观事物的数量关系、空间形式或结构关系的特征概括，是对一类数学对象本质属性的真实反映，让学生形成概念，最好能让学生动手实践后再揭示新概念。
让学生动手实践是小学数学教学中最常见的教学形式，对学生学习新知识起着很大的作用。动手实践能使学生积极主动参与教学过程，能让学生自己通过观察、实践、探索发现新学知识的规律，揭示新概念的本质。
例如在进行“梯形的面积计算公式”的讲解时，教材在编排上不同于平行四边形和三角形面积的计算，没有用数方格的方法来求出梯形的面积，而是直接给出了一个梯形，引发学生思考怎样用求三角形面积的方法把梯形转化为已学过的图形来计算面积。在教学中，我鼓励学生大胆地动手操作，允许学生把自己手中的2个梯形任意剪拼、摆拼，通过动手实践，探索梯形面积的计算。回顾操作过程，师生共同总结出：根据长方形、正方形是平行四边形的特例，两个完全一样的梯形可以拼成平行四边形。所拼成的平行四边形的底＝梯形上底＋梯形下底，所拼成的平行四边形的高＝原梯形的高。因为平行四边形的面积＝底×高，而它又是所拼的等腰梯形面积的2倍，所以等腰梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。
这样的教学方法为学生提供了一个更大的创新思维空间，使学生的创造力得以发展，不仅学生理解了所学的新概念，而且动手操作能力也得以提高。
四、重视概念中字词的教学，让学生准确理解新概念
在数学概念中，重要的字、词就是一个条件，教师在教学中应从多个层次、多个角度去引导学生分析概念，从而帮助学生准确地去理解概念。
如何重视概念教学中的重要字、词？教师在教学时，应尽可能使用平实的语言去分析关键词语。例如，在指导学生理解平行线概念的教学中，我就注意抓住课本中“像这里的几组在同一平面内永不相交的两条直线互相平行”这句话，利用这句话对平行线描述的关键词“同一平面，两条直线，不相交，互相平行”进行教学。首先运用教学课件出示不相交的情况的图形，然后教师讲述“像图中的几组在同一平面内永不相交的两条直线互相平行。”，着板书：“同一个平面内，不相交的两条直线互相平行。”结合板书提问：“为什么要说互相平行呢？”让学生理解互相平行的意思：平行是相对的，是同一平面内，一条直线与另一条直线的相对位置关系。接着提问：“我们能把一条直线叫做平行线吗？”引导学生说出：其中一条直线是另一条直线的平行线。根据前面学生的理解，教师继续紧抓概念中的关键词语不放，追问：“你认为平行线这个定义中，哪些词是关键词，缺少某个关键词行吗？为什么？”从而再次强化了关键词：同一平面、两条直线、不相交、互相平行。这样，学生对平行线概念的理解也就更清楚准确了。
实践证明，把概念逐层解剖，抓住概念中的关键词进行引导，才能让学生认清概念的本质属性，对概念有清晰、准确的认识。
关键词：新课程；沟通；自主探究；合作学习
新课程标准中指出，数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。课堂教学作为教师活动的主阵地，是学生学习科学文化知识的主渠道，也是学生获得知识与技能的主要途径。怎样才能较好地提高数学课堂教学质量?笔者根据多年的教学经验认为：关注学生的学习状况，激发学生的学习兴趣，增进师生之间和生生之间的良好沟通，让数学课堂焕发生命的活力，是提高数学课堂教学质量的关键所在。
一、创设问题情境。增进师生和生生之间的多向沟通
问题是数学的心脏，问题是思维的起点。创设有助于学生自主探索的问题情境，是学生课堂沟通探究的首要条件。教师要根据教学内容的特点，结合课堂教学实际，精心设计能激发学生的好奇心和求知欲的问题，使学生积极思维与探究。
例如，引入“探索三角形全等的条件(一)”时，教师设计问题情境：为了创建文明和谐的校园环境，学校决定在进行校园绿化时，在道路两旁增设两个全等的三角形草坪。施工单位已经完工，校方想验证这两个草坪是否符合要求，你认为该如何检验呢?谈谈你的想法。问题一提出，立刻引起了学生的讨论、猜测，使学生产生浓厚的兴趣，这就激起了学生已有的认知结构和当前研究课题的认知冲突，促使学生从不同角度探索解决问题的办法。
问题的创设可从实际生活中取材，数学来源于生活，又服务于生活，实际问题与学生生活密不可分，学生面对这些问题往往跃跃欲试，想学以致用；问题的创设也可以从趣味问题、数学家的故事、典故等引出，这样可加强对学生科学精神的培养，激励学生坚持真理，勇于创新；问题的创设还可从巩固旧知识上引发新问题，用知识的联系来启发思维，培养学生转化、类比等数学思想……问题的创设应注意从学生生活实际出发，与教学的内容紧密联系，并且还应有适当的难度，否则就不能激发学生沟通的兴趣。
二、营造动手实践、自主探究与合作交流的氛围。为学生沟通创造有利条件
新课程标准中指出数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会、技能、数学思想与方法，获得广泛的数学活动经验。而且事实上学生通过在做一做中探索发现规律并与同伴沟通交流，达到学习经验共享，长期坚持可以培养学生的合作意识与交流能力，在交流中锻炼自己，把思想表达清楚，并听懂、理解同伴的描述，提高表达能力和理解接受能力。
例如在七年级上册的第三章“字母能表示什么”中，先给出图形。
(1)按照图1所给的方式，搭1个正方形需要几根火柴棒?搭2个和3个正方形各需几根?
(2)搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒?
(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒?你是怎样得到答案的?
(4)如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒?
让学生通过动手搭正方形，通过亲身操作与思考找出正确答案，让每个学生都有成功的体验。同时，在经历探索正方形的个数与火柴棒的根数之间的规律的过程中，通过小组合作交流使学生运用自己的语言表达自己的方法，让学生体会探索一般规律的必要性，最终形成符号表达式，形成初步的符号感。在这一过程中，每个学生都有机会发表自己的观点和看法，无论这看法正确与否。其次在设计小组合作学习的步骤时，应由易到难，让不同层次的学生都有所思、有所得。
三、构建以学生为中心的数学课堂教学活动，让学生在沟通中发展
学生是课堂的主体，教师是数学学习活动的组织者、引导者和合作者。数学新课程提倡在课堂上生与生、师与生之间沟通互动、共同发展。教师的教学活动过程大致是：(1)精心设计教学过程，完善课程设计，积累教育素材，提高教育水平；(2)提供背景材料，引导、布置探索内容，参与讨论；(3)协调学生之间的交流；(4)完善评价体系和实施评价。学生应进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。在这些过程中，数学教育从“文本教学”回归到“人本教育”，教师不再是真理的化身、绝对的权威，而是学生的朋友和伙伴，是智慧的指路人。教师主动走进学生的心灵，一方面要“尊重”、“保护”、“关爱”学生，另一方面又要“唤醒”、“激励”、“发展”学生。教师要像对待荷叶上的露珠一样，小心翼翼地保护学生幼小的心灵、智慧的火花。
在北师大版九年级上册“池塘里有多少条鱼”的教学中，教师引导学生进行模拟实验：
问题1：一个口袋里装有8颗黑棋，20颗白棋，任意摸出1颗，摸到黑棋的概率有多大?若任意摸出l0颗，你能推断这l0颗中可能有几颗黑棋吗?为什么?(教师演示后，学生顺利作答。)
问题2：一个装有若干围棋子的口袋里，只知道有8颗黑棋，那么有没有办法估计口袋里的白棋数?(关键条件：其中已知有8颗黑棋，其余均为白棋。学生分组讨论。)
师提示：根据规则，棋子不能全部摸出来数，也就是说，棋子可以摸一颗后放回，也可以摸一部分后放回(教师可以做一些动作演示)。
(由学生分组讨论，确定一名中心发言人交流。)
经过各组的讨论总共有三种方法：
生1：可以从口袋中每次任意摸出一颗棋子，记下颜色后放回，多摸几次后，以黑白次数比估计全体黑棋与全体白棋的数目比，从而推断口袋中的白棋数目。
生2：可以从口袋中每次任意摸出一把棋子，记下黑白数目比后放回，以黑棋或白棋出现的数目与总实验次数的比来估计全体黑棋或白棋与总棋子的数目比，从而推断口袋中的白棋数目。
生3：取8颗棋，称一下其重量，放回后，再称一下棋的总重量，根据其比例关系就可估计出白棋的数量。师：三个组的同学的回答都非常精彩，请大家思考一下，这三组同学分别用了什么样的思想方法来解决问题。
把学生的结论上升到理论高度，让学生知道方法正确与否必须有理论的支持。最后大家得出结论：生l组的方法是利用频率来估计概率的方法；而生2组是利用抽样，即通过抽取样本进行分析来估计全体的方法；生3组是对重量估计也属于抽样的方法，该方法在物理和化学实验中应用比较广泛，在摸棋子实验中可行，但换作其他重量不等的实物时，该方法有一定的局限性，不属于本节课研究的方法，但对学生能融会贯通各科知识要加以肯定。
师：为了鼓励他们，我们就用他们的名字命名这两种方案，分别称为“生1法”和“生2法”，大家说好不好?
生齐答：好。
师：那大家想不想分别用这两种方法试验试验?
生：(跃跃欲试)
师：那好。首先我们试试“生1法”(实验一)再试试“生2法”(实验-)
因此，要把学生作为课堂学习的主体，把理解学生的学习过程的基本规律作为教学策略的基础，把师生的和谐沟通作为引领和促进学生学习的基本过程，让学生在沟通中发展。
四、合理调控活动过程
合理调控活动过程，对学生探究性学习至关重要。例如在教学北师大版数学七年级上“平行”一课时，教师在创设问题情景引入后引导学生讨论理解平行的定义，可以进行如下设计和课堂调控：
生：在同一个平面内永不相交的直线叫做平行线(其他学生补充)
师：“不相交的两条直线叫做平行线”，这一句话是否正确?(或者问：去掉“在同一平面内”是否可以?)引导学生思考，小组合作交流。
生：小组讨论，并回答，用两只笔演示直线既不相交也不平行的图形。
最后教师强调说明“在同一平面内”，因为在空间里存在既不平行也不相交的直线，同时强调平行线定义包含的三层含义：(1)“在同一平面内”是前提条件；(2)“不相交”就是说两条直线没有交点；(3)平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段。
教师板书：“平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。”
生：(体会记忆)
师：在空间里存在既不相交也不平行的两条直线——异面直线。
反馈调控预设：若反馈出学生对定义中“在同一平面内”的理解仍不够透彻，可使用多媒体直观展示正方体、立交桥等实物图形引导学生理解空间里既不相交也不平行的直线的存在方式。
师生总结：在同一平面内，两直线的位置关系是：相交或平行。
反馈调控预设：如有学生提出重合或垂直的位置关系，教师应及时指正。并举例说明在同一平面内，两直线重合应看作是一条直线；两直线垂直是两直线相交的特殊情况。
教师的指导与调控指的是数学课堂上的师生互动。
人教版数学四年级上册第四单元“垂直与平行”。
教学目标
1.认识同一个平面内两条直线的两种特殊位置关系，初步认识垂线和平行线
2.通过学生自主探究、合作交流，感知平行与垂直的特点，培养学生的空间观念和空间想象能力，以及抽象概括的能力
3.培养学生合作探究意识，感受数学与生活的密切联系
教学重点
正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念。
教学难点
理解“同一平面内”“不相交”。
教学准备
三角板、磁钉、白纸、塑料棒、直尺。
教学过程
一、复习旧知，引发新知
师：同学们已经认识了直线，谁能说说直线的特点？
生：直线能无限延长。（出示课件演示直线无限延长）
二、画图感知，激发兴趣
1.感知平面
师：大家拿张纸平放桌上摸一摸。我们是不是摸到一个平平的面？（感知平面）
2.学生画图
师：同学们我们现在把纸张轻轻地捧在手中，闭上眼睛，想象一下，这张纸放大，再放大直到无穷。纸张上出现了一条直线，又出现了一条直线，他们将会是怎样的关系？请大家睁开眼，用彩笔把你所想象的两条直线的位置关系画在这张纸上。
三、观察分类，自主探索
1.学生动手画图
师：画完的同学举起来互相看看，相同吗？（不相同）
师：谁把自己画的两条直线展示给大家？
2.作品展示
师：同学们的想象可真丰富，想出了这么多不同的画法，现在我们选几组有代表性的直线来分析。
教师选出几幅有代表性的作品展示在黑板上。
师：你能根据黑板上每幅作品中两条直线的位置关系将他们分类吗？
3.学生上台尝试给作品进行分类，并说出这样分的原因
师：你能根据直线的位置关系把这些作品分类吗？（为了方
便，我们给他们编上序号后，指名上台分）
师：你能说说这样分的原因吗？
师：刚才老师听到一个词“交叉”，两条直线“交叉”了，用数学语言应表述为两条直线“相交”了，我们一起来说一遍“相交”这个词。（板书：相交不相交）
4.引导学生分类
师：大家对他的分法有不同意见吗？
（1）学生质疑，教师引导验证
重点：①对于看似不相交的，这两条直线无限延长后真的会相交吗？
②学生动手验证。
师：这两条直线无限延长后真的相交了，可以和相交的分为一类。
③小结：这种看似相交，实际不相交的情形，在判断的时候，要注意把它延长后再判断。
5.展示课件
师：在同一平面内，两条直线的位置关系有两种情况，相交和不相交。
四、动手验证，揭示概念
1.平行线
（1）教师指着不相交的一类，质疑：这两条直线是暂时不相交，还是永远不相交？你能用手中的工具验证一下吗？
（2）动手验证。
指名上台量，说出结果。引导学生说出：两端的宽度相同。
（3）揭示平行线的概念。
师：像这种在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。（板书：互相平行）。
师：知道为什么要加“互相”吗？
生：必须有2条或2条以上的直线，才说互相，一条直线不能说互相平行。
①强调：在同一平面内。
（出示模型）师：同学们，这是什么？有几个面？这条直线在哪个面上？这条呢？这两条直线会相交吗？为什么？那么平行吗？看来，平行线必须在同一平面内，并且不相交（板书：在同一平面内）
师：谁能说一说什么是互相平行呢？
②指着黑板上的作品和关键字引导描述。
③出示课件：指名读，齐读。
师：两条直线互相平行必须具备哪些条件？
生1：直线。
生2：同一平面。
生3：不相交。
2.垂线
师：我们已经研究了两条直线不相交的情况，现在我们来研究两条直线相交的情况。
（1）师指着相交的一类，质疑：在同一平面内，两条直线相交形成了什么？（角）都形成了哪些角？
（2）动手验证。
师：太棒了。同学们这么快就判断出这四个角是直角，但是数学很严谨，我们不能凭眼睛就认定是直角。那有什么办法能让我们可以很肯定地说这四个角是直角呢？
生4：（作思考状）对了，可以用上直角三角板。
师：（作好奇状）怎么用上直角三角板？你能给大家演示一
下吗？
学生拿着三角板量角，确定四个角中的一个角是直角。
师：老师发现还有同学举起了小手，他一定还有话要说。那我们请这位同学说说他的想法吧。
生：还可以用量角器量。
师：同学们真不简单！（板书：成直角不成直角）
（3）揭示垂线的概念。
师：像这样的两条直线，我们就说它们互相垂直。（板书：互相垂直）。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
①指着黑板上的作品和关键字引导描述。
师：用自己的语言说说什么是互相垂直（学生试说后指名回答）
②课件出示互相垂直的概念
师：像这种在同一平面内，相交成直角的两条直线叫做互相垂直，两条直线互相垂直必须具备哪些条件呢？
生1：直线。
生2：相交成直角。
生3：同一平面。
3.联系实际，找一找
（1）在教室中找出平行与垂直的例子，交流。
（2）（出示课件）师：你能在操场上找到平行与垂直吗？（学生思考，相互交流。）
（3）生活中的垂直与平行（出示课件）。
五、巩固练习，深化理解
游戏：我说你摆
师：拿出一根绿色的小棒，再拿出两根红色的小棒，把它们都摆成和绿色小棒平行，这两根红色小棒是什么关系？
小结：如果两条直线仅都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
（课件演示）
师：拿出一根绿色的小棒，再拿出两根红色的小棒，把它们都摆成和绿色小棒垂直，看看这两根小棒是什么关系？
小结：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。
（课件演示）
六、欣赏图片，畅谈收获
师：生活中垂直与平行无处不在，它装点着我们美丽的世界，让我们共同去感受平行与垂直的美，出示生活中蕴含的垂直与
平行。
七、全课总结
1.揭示课题并板书（垂直与平行）
师：今天我们研究了同一平面内两条直线的什么关系呀？（板书：垂直与平行）
2.谈收获
一、 学会看书，带着求知思考
特别是七年级的新生，在小学时没养成看书的好习惯，或看书很马虎，只会按照原有的知识来想。如初中的整数，有很多的学生对整数的理解还停留在小学阶段，只记住正整数，忘了还有负整数。这时我们应提示学生看书时让他们带着求知思考、比较，这样学生才能真正掌握知识。思考就是要求学生在理解数学各种定义、定理的基础上，对于比较类似的概念加以类比、区分。如“半径”和“直径”，“圆心距”和“连心线”等概念。通过文字、图形的区别，类比加深对概念的理解，运用自如，这一系列的活动就是思考。有意识（或有目的性）的思维比无意识的思维所达到的效果要好很多，记得更牢。教师通过平时在课堂上经常性的点拨、启发、引导学生形成这些思维活动的模式，养成会思考的习惯。
二、学会审题，带着问题思考
这一点相信每个老师都很有感触吧，我们经常会在考试后就听到学生在说：“糟了…某道题又看错啦”“我对应用题也理解错了”。平时教师就应该培养学生的审题能力，让学生带着问题思考。如新教材中一例题：小张从位于南北方向路上的学校出发，先走了50米，又走了80米，问这时小张在学校的什么位置？（内容有稍改）这题看似简单，有的学生立即回答道：北面130米。马上有学生反驳说：不一定，还有其它答案。关键在于审题，首先问题中的位置包括方向与距离，再者“先走了…又走了…”没有指明方向，因而有两种情况。对于这种情况，教师应在平常就要有意引导学生在审题时，要注意一些字、词、句的意思，认真分析题目可能出现的情况，或者是题目（图形）所隐含的条件，养成带着问题思考的习惯。
三、学会发现，带着疑惑思考
这是课改中要求学生要会分析，加强动手操作能力，从实践中发现其内在联系，找到规律。通过启发学生对数学问题的观察、分析、综合、抽象和概括，归纳出一般性结论，使知识达到条理化、系统化，形成 “试验——猜想——归纳——论证”的学习模式。如观察下列等式：
2=2=1×2
2+4=6=2×3
2+4+6=12=3×4
2+4+6+8=20=4×5
…
①可以猜想，从2开始一直加到2n(n为自然数)，这n个连续偶数的和是多少？
②当n=10时，从2开始加到第10个连续偶数的和是多少？
教学中首先应让学生思考：从上面这些算式中你能发现什么？让学生经历观察（每个算式和与积的特点）、比较（不同算式之间的异同）、归纳（可能具有的规律）、提出猜想的过程。教学中，不要仅注重学生是否找到了规律，更应关注学生是否进行了思考。如果学生一时未能独立发现其中的规律，教师可以鼓励学生相互合作交流，进一步探索，教师也可以提供一些帮助，以使学生从数与形的联系中发现规律，进而鼓励学生推测出一般的情形：1+3+5+7+9+…+19=102；2+4+6+8+…+20=10×11；1+3+5+7+…+（2n-1）=n2；2+4+6+8+…+2n=n×（n+1）.当然要发现规律，学会自己分析、归纳，这将是一个长期的过程。在平常要多相信学生，多多鼓励他（她）们说出自己的想法，大胆猜想，由浅入深，循序渐进，再慢慢加强，完善。
四、学会总结反思，自我检验
课堂提问的方式很多。只有对提问巧妙运用，才能产生积极作用，达到良好的效果。下面就如何对课堂进行提问，浅谈几点：
一、激趣性提问
数学课不可避免地存在着一些缺乏趣味性的内容。若教师有意识地提出问题，激发学生的学习兴趣，以创造愉悦的情境，则能使学生带着浓厚的兴趣去积极思考。
二、发散性提问
发散思维是一种创造性思维。教师若能在授课中提出激发学生发散思维的问题，引导学生纵横联想所学知识沟通不同部分的数学知识和方法，对提高学生思维能力和探索能力是大有好处的。
三、启发性提问
有的教师往往把启发式误认为提问式，认为问题提得越多越好，其实问题并不在多少，而在于是否具有启发性，是否是关键性的问题，是否能够触及问题的本质，并引导学生深入思考。
四、悬念猜想式提问
在数学教学中，培养学生的猜想能力是提高学生创造能力的一条有效途径。因此，我们应鼓励学生敢于猜想。教师提出问题后，可先不作答复，而是留给学生一个悬念，以此来激发学生的求知欲望。
五、铺垫性提问
在讲授新知识之前，教师可以提问课本所联系到的旧知识，为新知识的传授铺平道路，以达到顺利完成教学任务的目的，为学生积极思维创造条件，同时又能降低思维的难度。
六、设疑性提问
一、证明线面平行
在教材中，我们证明线面平行需要三个要素：两线一面。线面平行的定理是：平面外一直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。因此在证明上学生就会直观地以正面思维的方法找取直线.
例：如图，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是矩形，E、F 分别是PB，PC的中点，证明：EF∥平面PAD。
分析：根据定理的证明，要证明EF∥平面PAD，应在平面PAD上找一直线与EF平行，可以得出，EF∥BC∥AD，而CD是平面PAD上的直线，则证明成立。
但我们知道，要证明线面平行，必须在平面内找一直线与平面外直线平行，但有时平面内那条直线没有直接给出，需要自己选取，很多学生在选取这条直线有些困难。因此，在教学中让学生用逆向思维方式思考是必要的。主要方式有两种：
（1）把结论当已知的逆向思维思考方式：要证明a∥α，如果a∥α成立，由线面平行的性质定理得：如果过直线a作一个平面，与平面α交于直线b，则有a∥b。可得直线b必是我们所找的直线。那么如何恰当地过直线a作平面与平面α相交呢？有代表性的作法有两种：1. 一点一线确定一个面：在平面上找确定的点与已知直线构造平面，延伸与已知平面相交；2. 两平行线确定一个面：过已知直线中的两点作两条平行线确定一平面，与已知面相交。下面根据两种作法举例论证：
例：如图，已知平行四边形ABCD与平行四边形ABEF共边于AB，M、N分别在对角线AC、BF上，且BN:NF=CM:MA．求证：MN∥平面ADF。
方法一：
分析：无法直接在平面ADF内找一直线平行于MN。可根据把结论当已知逆向思维方式，用性质定理确定直线。用代表性作法一确定平面，如，F点和MN确定一平面，延伸FH交B点，连接BM交AD于P点（如下图）。则平面BFP与平面ADF相交于FP，可确定直线FP∥MN。根据推理可简单证明：
因为BC∥AD，所以BM:MP=CM:MA；又因为BN:NF=CM:MA，所以BM:MP=BN:NF，则MN∥FP，得 MN∥平面ADF。
方法二：
分析：无法直接在平面ADF内找一直线平行于MN。可根据把结论当已知逆向思维方式，用性质定理确定直线。用代表性作法二确定平面，如，过M、N两点分别作平行线确定一平面，作NG∥AB，MH∥AB，则平面ADF与平面MNGH相交于GH，可确定直线GH∥MN。根据推理可简单证明：
因为NG∥AB，所以NG:AB=FM:FB；同理，MH:CD=AM:AC；又因为BN:NF=CM:MA，所以FM:FB=AM:AC；所以NG:AB=AM:AC；又因为AB∥CD，AB=CD，所以NG∥AM，NG=AM，所以四边形NGHM为平行四边形，所以MN∥GH，得MN∥平面ADF。
（2）运用面面平行性质定理的逆向思维思考：要证明a∥α，根据面面平行的性质定理得：如果过直线a的一个平面β与平面α平行，则a∥α。可有时直线a所在的平面却没有直接给出，需要我们自己去构造，如何构造面面平行呢？主要作法是：两相交线确定一个面，过已知直线的一点作已知平面的平行线（若结论成立，构造一直线平行已知平面，则构造的平面必然与已知平面平行）。
方法三：
分析：过点M作AD平行线，即MQ∥AD，连接NQ（如图），则要证明MN∥平面ADF，即证明平面MNQ∥平面ADF。简单证明如下：
因为MQ∥AD∥BC，所以BQ:AQ=CM:MA；又因为BN:NF=CM:MA，所以BQ:AQ= BN:NF，所以NQ∥AF，所以平面MNQ∥平面ADF，所以MN∥平面ADF。
二、证明线线垂直
在教材中，证明线线垂直，直接证明这两条直线垂直，角度证明或是勾股定理的条件往往不足，令证明存在困难，甚至于无法直接证明。因此，在教学中让学生根据证明线面垂直的判定定理（一直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直），以及运用线面垂直的定义（直线与此平面垂直，则该直线垂直于平面上的任何直线），解题中考虑把结论当条件逆向思维方式去思考，推导条件，这样比较容易解决问题。
例：如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA平面ABCD，再过A作AESB交SB于E，过E作EFSC交SC于F，求证：AFSC。
分析：要证明AFSC，直接证明无法解决，换个思维方式思考，若结论AFSC成立，而从条件中发现EFSC，可得出SC平面AEF，则由线面垂直的定义可得结论成立。即证明线线垂直，可先证线面垂直，再由线面垂直可推得线线垂直。
因此可从结论逆用推导结论，简单分析证明如下：要证明AFSC?坩（即证）SC平面AEF?坩已知条件EFSC，结论只作思考，但证明的必须是另一直线AE，即证明AESC?坩AE平面SCB?坩已知条件AESB，结论AESC只作思考，但证明的必须是另一直线BC，即证明AEBC?坩BC平面SAB(AE所在的平面) ?坩条件矩形ABCD可得BCAB，SA平面ABCD可得BCSA。
由上面的分析证明，我们知道直接得到AFSC存在困难，也无法直接一步解决问题，而必须运用结论的思考，根据垂直判定定理和垂直定义的逆向思维运用与结合：线线垂直?圳线面垂直，从而得出结论，难以直接解决问题，用逆向思维的思考方式显得简单明了。
一、添置辅助线及其作用
学生在思维时要做到概念明确、判断恰当、推理有逻辑性、论证有说服力,这是最起码的要求。因此在教学中,教师必须加强学生逻辑思维能力的培养,使学生发挥想象能力,正确地添置辅助线;学生必须准确牢固地掌握概念及定理的来龙去脉,同时还要理解添置辅助线的作用。
辅助线起着连接推理步骤的桥梁作用,使思维借助直观而增加其形象性。其作用具体可归纳为四个方面:
(一)变位
将已知线段、直线或角改变原来位置,便于找出图形间的内在联系。
例1:求证对角线相等的梯形是等腰梯形。
如图1,我们可作DE∥AC交BC的延长线E。
(二)转换
将已知条件转换为辅助线的性质,从而建立图形间的新联系。
例2:已知AD、BC为平行线,AB为其间的斜线,AC为BC的垂线,引直线BED交AC于E,交AD于D,且ED=2AB,如图2。
求证:∠DBC=∠ABC。
分析:O是ED的中点,连结AO。
AO=ED
OA=AB
∠3=2∠4,∠2=∠3
∠2=2∠4
∠ABC=3∠DBC。
(三)关联
将分散的条件集中起来,以辅助线为媒介,取得联系,从而发现图形间的内在联系。
例3:已知四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,延长BA、CD与直线EF交成∠1与∠2,如图3。
求证:∠1=∠2。
分析:可连结AC,G为AC的中点,再连结FG、EG,
∠2=∠3,∠1=∠4,∠3=∠4
∠1=∠2。
(四)构形
通过辅助线将已知图形构成新的图形,从而可以利用新的图的性质进行推证。
例4:已知ABC的内角平分线AD延长后,交外接圆于E,如图4。
求证:AB∶AD=AE∶AC。
分析:连结CE,
∠E=∠B,∠1=∠2
ABC∽AEC
=
=
即=。
二、辅助线的作法及其寻求方法
在教学中,教师要使学生对所学知识的应用形成技能和技巧。就是在教师的指导下,学生能运用所学的知识自觉地完成某种活动,这就形成了相应的技能,而技能再经过系统、反复的练习,达到熟练的程度,便形成了技巧。学生只有掌握应用的技能和技巧,才能进一步学得知识。因此,学生还要掌握辅助线的作法类型和辅助线的寻求方法。
(一)辅助线的作法类型
1.连结法(包括先取点再连结)
例如,三角形的中线、中位线,四边形的对角线,圆的半径和弦相交,两圆的公共弦等。
2.延截法
有关中线的问题多用此法。例如,延长一线段与已知直线相交,得到新图形,或者延长并截取一线段等于已知线段等。
3.过线外一点作平行线
如平行移动一线段构成三角形或平行四边形,梯形的对角线或腰,作平行线形成比例线段或相似形等。
4.作垂线
如作三角形的高,由角平分线上的点向边作垂线,或作角平分线的垂线,作梯形的高,圆的弦心距,过半径的外端作切线等。
5.作角的平分线
利用其对称性质。
6.作一个角等于已知角
如已知直线为一边作一角等于已知角,在圆弧上取一点作圆周角或弦切角。
7.作两圆的公切线
(二)辅助线的寻求方法
在掌握辅助线的基本作法后,辅助线的寻求就基本有法可循了。思维方法一般有三种情况:
1.综合法
从已知条件出发,根据给出的图形的基本性质选择辅助线。
例5:已知ABC的两高是BD、CE,外接圆中心是O,如图5。
求证:AODE。
分析:过A作O的切线。
AFOA,只要DE∥AF即可。
从图上可知B、C、D、E四点共圆。
∠2=∠BCD,且∠1=∠BCA
∠2=∠1
AF∥ED
AOED。
2.分析法
从结论出发寻求证题思路,相应地作出需要的辅助线,如上面的图4的题目。
3.利用图形的变换寻求辅助线
(1)平移
将已知线段平移构成平行四边形。如图1的题目。
(2)对称变换
轴对称(反射),中心对称。角平分线的问题很多时候都会用到反射的知识。
例6:在直线的同旁有两点,如图6,求在直线上一点到这两点的距离最小。就是选出A的对称点A,连结AB就得到与直线相交的点P。
(3)旋转。特别适用于正方形、正三角形一类有关的题目。
例7:已知P为正ABC外接圆劣弧BC上一点,如图7。
求证:PB+PC=PA。
分析:若ABP以A为中心旋转60°即可证明。
