时间：2023-06-12 14:45:25
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇数学学习路径，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词：数学;提高;兴趣
古今中外，对学习兴趣的重视几乎是一致的，对兴趣促进学习的正向作用也是不谋而合的，可以肯定，兴趣的培养是学生学习并学好一门学科的重要前提。特别是在高速发展的信息化社会，推进素质教育的今天，根据现代教学理念和素质教育观，成功的教学不应是强制性的，托尔斯泰说“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。”激发学生的学习兴趣，培养学习热情和主动性，使其表现出对学习的一种特殊情感，学起来乐此不疲，才能专心听讲，积极思考，就会变被动接受为主动学习。
前苏联教育家斯卡金也有相似观点，他认为，教育效果取决于学生的学习兴趣。对于小学生而言，兴趣就是最好的老师。对数学学科的迷恋往往也是从兴趣开始的。著名教育家孔子曾说“知之者不如好之者，好之者不如乐知者。”，很难想象，若是没有兴趣为起点和支撑，让小学生学好一门学科是难上加难的。
小学数学具有直观性，其呈现的数字、符号和抽象的概念、公式具有抽象性和很强的逻辑性，一环紧扣一环，缺一不可。数学教学尤其需要激发和培养学生的学习兴趣，培养学生运用所学的知识，解决日常生活中实际问题的能力，从而产生愉快的情绪体验进而在学习中产生兴趣，在兴趣中去理解、掌握、应用、巩固，取得最佳效果。
培养小学生数学学习兴趣的过程是帮助他们认识数学之美、发现数学之美的过程。需要融课堂内外，双管齐下，方有成效。
首先，小学生数学课堂教学中需要高度注重情境创设，以激发学生学习兴趣。所谓创设情境就是老师在课堂上有针对性和目的性的在教学内容和学生求知心理之间制造一种悬念和不协调，进而把学生引入一种与问题有关的情境的过程。因而在学生心理上造成一种念想，从而使其注意力、记忆、思维凝聚在一起，以达到智力活动的最佳状态，富有情趣地把学生引入学习的情境，引发学生探求知识奥秘和愿望。创设良好的课堂教学氛围，不仅有利于调动学生学习的兴趣，培养学生的思维能力，而且能保证教学目标的顺利完成。
在数学教学情景创设中，还要特别注意创设开放的人文情境，实施民主教学，允许和鼓励学生提出不同意见，给予学生充分的关注和期望，这样可以调动学生的学习热情，使他们主动参与学习。其次要善于把握数学知识与生活的联系点，善于从学生熟悉的、感兴趣的现实生活中寻找数学知识的原型，并指导学生运用所学知识去解决实际问题。比如在教学时，学生自己便会积极思考起来，急于想找到答案的好奇心，产生跃跃欲试的主体探索意识，诱发出了强烈的学习兴趣，教师在这时展开新课教学，就能使教学效果较佳。
其次，体现情境性，还需要注重数学来源于生活，又服务于生活的效用，回归生活化的数学课教学，应该是生机盎然、妙趣横生的。教师应用数学教学本身的艺术魅力去感染学生。教师应创造性地使用教材，更多地联系儿童的生活实际，让数学与学生生活紧密结合。强调从小学生已有的生活体验出发，将教学活动置于真实的生活背景之中，使学生真切感受到“生活中处处有数学”，这样“身临其境”地学数学，为他们提供观察、操作、实践探索的机会。让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生对数学理解的同时，在思维能力、情感态度、价值观等方面得到进步和发展。调动了学生学习数学的积极性，增强了学生对数学的亲切感，体会到数学就在自己自边，感受了数学的趣味和应用价值。例如对于应用题的教学，就可让学生将生活中的有关信息及时收集、整理，在实际的生活中解决问题，从而达到事半功倍的效果。
再次，强化学生动手实践能力是提高小学生数学学习兴趣要求和方法。著名教育学家皮亚杰有过这样的阐释，儿童的思维是从动作开始时，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。由此可见，要解决数学知识的抽象性和小学生思维的形象性之间的矛盾，就有必要多方位积极组织学生进行动手实践操作，以“动”来启发学生的思维，让他们产生更多的新问题、新想法，进而活跃课堂气氛，带动学习兴趣。其实，老师还应该积极引导学生认识到数学是有血有肉有重要实际意义的科学，数学是美的，数学是需要生活实践的，这就要求教师在组织学生践行数学的同时，善于用形象生动的语言让数学变得有生活气息，学生自然会对数学产生浓厚兴趣。
最后，创设师生情感纽带是维系学生学习兴趣的心理基础。对于小学生认知来说，他们往往因为喜欢一个老师而热衷于某一门课程。老师应该创设师生情感纽带用关爱和呵护去感染每一位学生。比如老师可以常用课堂作业的评语与学生交流感情，对课堂上或作业中有独特见解的学生及时并恰到好处的给予肯定、鼓励和赞扬，小学生在看到这些溢美之词时，也会深切感知到老师对他的信任和期待，从而深受鼓舞和感染，逐步对数学老师产生好感，上数学老师的课也倍加用心，表现积极。亲其师，信其道。一位学生喜欢、爱戴的老师才能使他们产生学习动机和兴趣，教师要用一颗赤诚的心，唤醒无数颗喜爱数学的兴趣。
值得一提的是，课堂感性直观呈现方式和课堂小结，这是延续兴趣的重要举措。如老师的语言魅力是对学生形成感性直觉刺激的最主要课堂形式，幽默风趣、轻松活泼、富有意境的语言是吸引学生课堂注意力和引领思维走向并保持兴趣的良好方法。课堂中实物图片、音像资料的运用，小组讨论、头脑风暴等互动形式也是必可不少的。一堂高效有序的数学课不仅要做到课伊始趣已生，课进行趣已浓，而且还要实现课结束趣延续的效果，如此方能使学生融课堂内外，真正产生对数学学习的兴趣。
总之，激发小学生对数学的兴趣可以通过课堂内外的有效措施得以进行，而维系和培养对数学学科的长期兴趣和学习动力，则需要学生在学习中感受数学之美，延续数学之美。学生是主体，教师是主导，只要双方以积极有效的方式互相配合，教必有法，学必有趣。
参考文献：
[1]陈旺根.浅析小学数学教学兴趣培养的重要性，《教育教学论坛》，2014.
关键词 初中数学 顿悟 数学思维
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkz.2016.10.052
Abstract Education in our country in continuous reform and progress， in the process of deepening the reform of compulsory education， pay attention to student's quality education and training， mathematical as an important subject of curriculum reform of quality education to pay attention to student learning in Mathematics in mathematical thinking ability in the process of training， teachers should not only teach mathematics knowledge and mathematics concepts， laws， should guide students in mathematics learning and thinking in Mathematics， can make full use of Epiphany， guide the students in mathematical thinking in the process of analysis and reflection， so as to inspire the students' mathematical intelligence， improve students' inquiry ability and innovation spirit.
Keywords junior high school mathematics； epiphany； mathematics thinking
初中数学的学习是一个复杂的过程，它体现了学生在数学学习过程中的直觉感知和逻辑思维。这两个思维过程是数学学习的前提和基础，同时也是数学学习顿悟的基础，它可以在数学学习过程中起到一个引导的作用，对学生的抽象逻辑思维能力和想象力都有较高的要求，在应用顿悟的过程中，可以使学生的数学认知架构不断由低到高，实现质的飞跃。
1 初中数学教学中顿悟的功用
数学教学中的顿悟是指在数学解题和知识教学的过程中，突然获得了解决数学问题的方法和思路，而这个方法和思路并不是凭空产生的，不是想象而来的，而是在特定的数学教学环境下因偶然的因素而造成的，也可以认为是创造性思维的数学教学内容，对学生的数学思维活跃性和开放性有重要的推动作用。顿悟在初中数学教学中的功用主要表现为以下几个方面：
（1）顿悟可以提升中学生对数学语言材料的理解和感悟。在初中数学的解题和知识学习过程中，汉语材料可以帮助学生进行理解和感悟。在一些数学解题过程中，有时不须严密的数学逻辑思维和推断，可以根据数学习题中的语言，分析数学问题，从而提升初中生对数学习题的读题速度，增强对数学语言材料的感悟能力。
（2）顿悟可以提升学生数学学习的主动性和开放性。在数学学习活动中，学生的参与程度，在较大程度上影响了数学知识的学习效能，传统的数学教学注重数学概念和规律的传授，而对学生数学思维的培育较少，而顿悟可以让学生的主动性合理地调动，并且可以在一定程度上活跃数学课堂氛围，增强学生主动思维的能力，提升数学学习效果。
（3）顿悟有助于学生创新思维能力的培育。初中数学教学不仅要传授数学知识，还要培养学生的数学创新思维能力，运用顿悟式教学方法，可以让学生进行手脑并用的思考和分析问题，在不经意间产生顿悟，培育出学生的创新思维能力。
2 初中数学教学中顿悟的开放性研究及探索
2.1 注重学生在数学情境中进行多层次的数学解答
在初中数学的知识学习过程中，学生要具有良好的数学知识结构，要具备足够灵活的双向产生式知识和层次分明的解题意识，在条件前提和数学结构的知识储备之下，进行多层次、多角度的数学问题解答和探索。在运用顿悟的数学教学过程中，实现多层次的数学问题解答，需要从以下几个方面加以考虑：
2.1.1 要注重数学知识的触发条件
数学概念和数学定理可以用于解决相应的数学问题，然而，这些数学概念和数学定理在情景条件发生变化的情况下，学生不会灵活地运用数学概念和定理。这就需要考虑数学知识产生的触发条件，在多层次的知识产生链的结果之下，要注重每一个知识点的触发条件，要建立数学知识和数学问题之间的丰富联结，并将数学知识镶嵌在具体的数学问题情境之中，试探学生在数学问题情境之中对条件信息的识别状态，并由此引发的数学学习活动。
例如：在对已知条件得知三角形是直角三角形的识别产生条件下，学生可以作出反应，并判定：斜边的平方等于两条直角边的平方之和，在这个勾股定理的检索信息之中，学生还没有将其具体应用于数学问题情境，还需要溶入个体数学活动的体验，并在数学问题信息提取、分析和整理的过程中，实现知识的迁移。
2.1.2 要建构数学知识的组块体系
在运用顿悟策略和方法的数学学习过程中，要将学生长时记忆的数学知识储存在有序的认知结构之中，在对数学问题进行分析的过程中，要从不同角度对数学概念和数学命题进行梳理，在逐步完善数学认知结构的条件下，形成数学知识组块体系，为多角度、多层次的数学问题解答提供条件和前提。
2.1.3 探索开放性数学问题情境之中的多层次解答
在数学顿悟教学的方法之中，要以探索为数学教学的生命线，在开放性的答案解答过程中，对问题进行验证和修正，使学生在探究性的数学研究过程中进行多层次的解答，体验如何“做数学”，并实现对数学问题的“再创造”。
例如：有一个边长为a的正方体ABCD-EFGH（图1），在底部的A处有一只猫，在A的对角顶点处有一只老鼠，猫可以沿着什么路线前进，可以在最短的时间内抓住老鼠（假设前提条件为老鼠在G处不动），试画出有多少条路径？
习题解答：教师可以启发学生将这个问题进行转化，设计成由A-G处的最短路径问题，学生思考后对这个问题进行解答：在A和G处的两点之间的连线最短，它们之间连线的路径可以进行计算得知。
T：这条路径虽然最短，然而，我们的前提条件是猫不会飞，这条路径事实上并不存在。
S：可以沿着正方体的对角线和棱边往前行，有A-B-G，A-E-G，A-D-G……将其进行路径的计算可以得出最短路线。如图2所示：
T：为了启发学生的数学领悟能力，教师可以对学生进行启发：沿着正方体面比沿着棱进行前行的距离更短，学生请思考，还有什么更佳的选择？
S：（停顿、领悟并思考）
T：让学生预备好正方体纸盒，做好相应的字母标注，观察并交流，当学生在正方体上画线或者将正方体纸盒沿底面展开之时，学生获得了顿悟：原来将正方体沿底面展开，可以使解题思路变得豁然开朗。
S：从A处到G处的路径，明显在平面上可以看出AG的路径小于A-C-G的路径，也即由A到CD的中点再到G点是最短的路径。
T：由此可以进行规律性的总结：由A处―G处的路径在以A和G为顶点的两个正方形的表面上且经过这两个相邻正方形的公共边的中点。
2.2 注重初中数学思想和方法在学习中的运用，激发学生的顿悟
数学思想和方法是重要的教学内容，它可以激发学生的数学学习兴趣，领悟到这些关键数学思想的实践应用，并在独立自主思考的前提下，进行新知的探究和发现、分析，从而创造性地解决数学问题。为了正确地运用好数学思想和方法在实践解题中的应用，要遵循学生的认识规律，分层次地渗透归纳和演绎等数学学习方法，使学生形成良好的数学思维习惯，培养学生自我提炼、揣摩和概括数学思想和方法的能力。
2.2.1 分类思想在数学教学中的实践运用
初中数学分类思想渗透于数学概念性的内容以及数学证明题和计算题中，它在代数和几何的教学中，可以极大地提升学生的条理性思维和数学逻辑思维。从几何角度而言，分类思想可以运用于比较线段的大小问题。
例如：在两条线段之中，可以讨论并比较线段AB和CD的大小。运用分类思想，进行三种不同情况的分类讨论：（1）当点B在CD线段之上时，ABCD。
2.2.2 数形结合思想在数学教学中的实践运用
在初中数学解题过程中，通常运用数与形的结合，在“以形助数”和“以数解形”的过程中，可以使复杂的数学问题简单化、抽象的问题直观化，分析数学问题的题设和结论之间的关联，从而快速解决数学问题。它对培养学生的图形感和数感有极大的辅助作用，并在学生的形象思维和抽象思维的综合利用方面，有一定的促进作用。
例如：“空间与图形”中的数形结合。如图3，有一根12m长的铁丝，围成一个矩形空地，如何才能使围成的面积最大？围出面积的长宽度如何？
解题思路：要从“最多”的条件中进行数学思维的启发，引导学生进行顿悟，结合二次函数，以面积为等量关系，解决这道最值问题，在数形结合的解答过程中，培养数学解题思维。
即：当面积的长为3，宽为6时，面积最大，透光最多。
2.2.3 函数与方程思想在数学教学中的实践运用
函数与方程是初中数学教学中的重要内容，对学生的数学解题思维具有深远的影响，它在探索、归纳、提炼的解题过程中，运用数学思想和方法，在掌握这些数学思想的特性的前提下，进行反复的渗透和训练，在适当的引进策略下，引导学生进行知识的顿悟和体会，从而对数学知识进行反思、提炼和归纳。
解题思路2：运用数学函数的知识点，要让学生在方程向函数转化的顿悟之中，借助于两者之间的关系，发现求方程 + = 0的解也即二次函数 = + 的图像与轴的交点，同时，由于抛物线开口向上，因而只要满足 = 1时，
2.3 从学生的直觉思维角度，激发数学学习中的顿悟
数学顿悟的产生需要学生的知识储备前提和良好的数学认知结构前提，在此条件之下，教师才能引导学生进行想象、联想、发散和求异，从而产生数学顿悟。在初中生的思维结构和认知水平之中，可以首先从学生的直觉思维角度，进行顿悟的激发，培养学生的数学知识理解能力和运用能力。
例如：如图4，已知在 ABC之中，AD、BE、CF分别是BC、AC、AB边上的中线，G是重心，AG = 6，BG = 8，CG = 10，试求 ABC的面积为多少？
教师在教学过程中，可以利用学生的直觉思维，明白这个习题中的实质即：三个数据6、8、10也正是勾股数，在这个直觉思维的导向之下，使学生产生顿悟，获得解题思维的训练和强化，以6、8、10为长的三线段构造一个直角三角形，延长线段GD至G’，并使G’D=GD，连结G’C，这样可以较为容易地获得证明：GG’=AG=6， GDB≌ G’DC，由此可得，G’C=BG=C， GG’C是直角三角形， GG’C的面积为6？？=24， ABC的面积为72。
2.4 从学生的逻辑思维角度，激发数学学习中的顿悟
在数学思维的产生过程中，学生的逻辑思维较直觉思维而言，具有更高、更为复杂的层次，为了揭示数学知识的本质特征和规律性联系，可以引导学生在逻辑思维的构建中，产生数学顿悟，提升数学思维能力和解题能力。
例如：请解析下列方程组：
解题思路1：方程①去分母，再采用代入消元法，进行解题，显然这是一种较为繁琐的解题方法。
解题思路2：两个方程的左边系数相同，因而可以考虑将+（9/）和+（4/）视同为一个整体，将方程②的左右两边都除以，并把方程②变形为（+9/）（+4/）=24，然后再将方程①变形为（+9/）+（+4/）=10，假设+9为A，+4/为B，这样，方程组就可以转化为A+B=10，AB=24，后续的解方程组就变得容易许多了。
在上述的数学解题过程中，对“两个方程的左边系数相同”的敏感思维也即顿悟过程，在强化逻辑训练的过程中，激发学生的顿悟，提升数学解题能力。
2.5 充分挖掘学生的猜想和联想能力，拓展数学学习的顿悟
在数学的顿悟产生过程中，要经历一个初步认识―逐步提高―进一步深化的过程，也即数学猜想和联想的过程，由数学条件或结论的外表猜想到内在的定理或图形，从而获得顿悟，寻找到解题灵感。
例如：有一条流水线上的N台机床在工作，要设计一个零件供应站点P，为了使N台机床与零件供应站点P之间的距离总和最小，可以将P点设置于何处？
解题思路：在这个解题过程中，由于N是一个抽象值，要引导学生获取具体值，就需要引导学生对正确的解法进行猜想和假设：
当N=2时，P点应位于何处呢？当N=3时，P点又位于何处？N=4，N=5呢？
在引导学生进行归纳的同时，可以得到怎样的猜想？
当N为奇数时，P点在第（N+1）/2台处时，距离之和最小。
当N为偶数时，P点在第N/2和（N/2+1）台之间的任何一点时，距离之和最小。
3 结束语
在初中数学教学中，要培养学生独立自主思维的能力，要结合学生的形象思维和抽象逻辑思维，运用数学思想和数学方法，进行数学问题的主动探索和创新，在对数学问题进行知识分析、推理和归纳、概括的过程中，启发学生的顿悟，从多角度对数学问题进行探索，可以培养学生在数学思维中的灵活性、独立性，增加对数学解题的深度和广度，运用顿悟教学的原则，全面提升数学学习能力。
参考文献
[1] 张彬.提升学生数学迁移能力的教学策略探析[J].数学教学通讯，2016（12）.
[2] 余飞.农村初中数学课堂提问的策略探析[J].语数外学习（初中版中旬），2014（11）.
[3] 丘立峰.课堂组织艺术在数学课堂教学中的渗透[J].现代阅读（教育版），2013（3）.
关键词：高中；数学教学；路径
一、高中数学教学有效性的含义
教学的有效性是一个外来的理念，关于这一理念的认识存在着很多的认识，其中最普遍的认识就是指根据教学将要实现的目标所实施的一系列的教学活动，并通过这些教学活动达到预期的教学目的，这样的教学活动就被视为是实现了有效的教学活动。与之相反，如果在教学的实施过程中，教学活动的开展没有达到教学目标的预期，则被视为是教学缺乏有效性。有的学者对于教学的有效性存在着不同的认识，这部分学者评判教学活动的有效性是以学生的学习活动作为教学是否有效的出发点与落脚点，认为只要教学的实施达到了学生在学习活动中应该达到的学习目的就被视为是教学具有实效，相反，如果学生在学习过程中没有达到学习的目的就被视为是学习缺乏实效，这种教学有效性的认知是以学生作为认知对象的一种理解。还有一种认识教学有效性的观点，这种教学有效性的观点是根据经济学的认识来理解的，经济学认为有效的经济活动，是以经济效益的最大化作为经济活动实施的根本目的，通过对不同经济活动的不断优化，而最终实现其预定的经济目标，就可以视为实现了经济活动的有效性。以经济学的角度理解高中数学教学的有效性，主要是指通过对不同高中数学教学活动的优化以实现教学效率的有效提升的同时，也促进了学生学习实效性的发挥。
二、高中数学教学有效开展的路径
1.开展有效教学不要忽视基础知识教学
众所周知，数学学科是一个逻辑性非常强的学科，前面的数学知识与后面的数学知识联系非常紧密，只有掌握前面的数学知识，后面的数学知识才能够得到很好的掌握，也只有夯实数学知识基础，数学教学才能够真正的有效开展。在传统的高中数学教学活动的开展过程中，教师往往对数学基础知识教学缺乏应有的重视，尤其是对数学的定理和概念重视不够，教师一般认为数学的定理和概念都是比较容易理解的，它对数学问题的解答没有太大的帮助，要实现数学教学的有效性，就要让学生做更多的习题，通过习题的解答提升数学能力，实现高中数学教学的有效开展。但是，事实并非如此，不重视定理与概念的理解，而只重视通过让学生做大量的习题来提升教学效率，不仅不能够提升数学教学的效率，相反，还在一定程度上影响了数学教学实施的效果，不利于教学的有效开展。因此，在开展具体的高中数学教学时，教师不能忽视基础知识的教学，要在教学的实施中加大对数学定理与数学概念的教学力度，教师要针对具体的教学内容，精心设计基础知识的教学环节，通过对基础知识教学的精心设计提升高中数学基础知识教学的效率，以基础知识教学的有效实施更好地实现高中数学教学的有效开展，促进高中数学教学效率的提升。在实施数学基础定理与概念的教学中，教师不仅要在教学中进行讲授，要尽可能地将数学的定理与概念和解题实践进行巧妙的结合，两者要相辅相成，相得益彰，对于数学概念和定理的深入理解可以更好地帮助学生提升解题的能力，同时通过问题的深入思考与完美解决也可以更好地促进学生对数学基础知识的理解，以此促进高中数学教学的高效实施。
2.教师要重视培养学生的数学观察能力
数学应该是一门非常抽象的学科，高中数学知识的呈现方式也是非常抽象的，乍一看去好像与生活实践没有太大的联系，其实不然，高中数学教学内容中的抽象知识是源于生活实践的，是对生活实践内容的抽象化的概括。因此，要想在高中数学教学中提升教学的实效性，只是以抽象的教学方式开展教学活动显然是不行的，要想在高中数学教学中取得实效，教师就必须重视在教学中将抽象的数学知识与生活实践的内容紧密地结合起来，只有这样的数学教学才能够真正地发挥数学教学的实效性。要实现这样的教学目的，就要求教师在教学中，重视将理论知识的教学与生活实践紧密的联系起来，同时也要重视培养学生的数学观察能力，通过培养学生的数学观察能力可以更好地提升学生理解抽象数学问题的能力，以此，促进高中数学教学的高效开展。
3.要加强合作教学的实施
在传统高中数学教学的实施过程中，教师是高中数学教学的真正权威，在教学中是教学活动开展的主体，高中数学教学活动的实施都要围绕着教师数学教学活动的开展，在教学中学生更像是一场课堂大戏的观众，只能够作为高中数学课堂教学的旁观者和服从者，学习的主动性与积极性没有被有效地调动起来，学习的热情不高，数学学习的信心不足，教学的实效性不强。在传统的高中数学教学中学生更多的是各自为战的开展学习活动，缺乏彼此之间的有效合作，教师在教学活动的开展中，没有为学生提供更多的合作学习机会，学生都是通过单打独斗的方式开展各自的学习活动，这样的数学学习活动的开展很难实现预期的学习目标。面对这样的高中数学教学现状，就要求高中数学教师要根据具体的高中数学教学的内容，根据预先设定的高中数学教学的目标，以及学生数学学习的实际需要，为学生提供更多的合作学习机会。
开展高中数学教学有效开展的路径研究对促进高中数学教学效率的提升具有不可忽视的作用，现阶段高中数学教学的实施依然面临着许多的不足，因此，本文以此为视角对相关问题展开了实效性的研究。
小学是学生数学学习的基础阶段，小学数学教育对人的数学素养的形成与发展起着重要作用。然而，对实际的小学数学课堂教学进行深入的观察、分析、研究，从“教”的角度，我们发现教学实践中很多教师的课堂教学目标单一，只关注知识、技能等显性目标的落实，不关注数学素养等其他方面目标的承载与实现，以“知识的吸收与技能的操练”代替了数学素养的培养；也有的教师“有心无力”，想关注小学生数学素养的培养，但因缺少实施策略而难以在教学实践中落实，教学方式单一，大量机械的练习、重复操练现象依然存在，一些有趣的数学知识，被淹没在“大量人为编造、脱离实际的应用题”和“各种各样解题模式或解题技巧的训练”中，从而失去了数学应有的魅力。从学生“学”的角度，学生虽然学到了一些具体的数学知识和技能，却没有领悟到数学内在的本质和魅力，学生的学习方式单一，往往陷入“题海”之中，导致很多学生不喜欢数学，甚至对数学产生了负面情感。因此，着手研究小学生数学素养的内涵及其培养路径，并探索教学实践中落实的路径，有助于教师在教学实践中有效培养学生的数学素养，推进数学课程改革的深入实施。
一、小学生数学素养的内涵解构
对于数学素养的解释，目前尚没有一个严格的、统一的定义。随着时代的发展，人们对数学素养的认识也在不断变化。美国全美数学教师协会（NCTM）1989年的《中小学数学课程与评估标准》提出了把培养学生的数学素养作为数学教育改革的目标，并提出了“数学素养”的基本内涵：懂得数学的价值，对自己的数学能力有信心，有解决数学问题的能力，学会数学交流，掌握数学的思想方法。国际学生评价项目PISA对数学素养的界定为：数学素养是一种个人能力，学生能确定并理解数学在社会所起的作用，得出有充分根据的数学判断和能够有效地运用数学，这是作为一个有创新精神、关心他人和有思想的公民，适应当前及未来生活所必需的数学能力。《数学课程标准》（2011年版）也增加了“数学素养”的阐述，指出：“数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。”国内多名专家学者也撰文阐述了数学素养的内涵。结合小学生的年龄特征和数学教育的特点，我们认为，数学素养是在人先天素质的基础上，受后天环境、数学教育等影响，通过个体自身的认识和实践活动，所获得的数学知识与技能、数学意识、数学能力和数学价值观等融于身心的一种比较稳定的心理品质。数学素养一旦养成，它将超越数学学科知识的范畴，并发挥长期、实在的功效。
数学素养内涵丰富，对小学生来说，由于特定的年龄、认知发展特点以及已有的知识水平，他们的数学素养及发展有自己的特征。通过研究，逐步厘清了小学生数学素养的内涵要素及其关系，小学生的数学素养是由数学基础知识与基本技能、数学意识、数学能力和数学价值观等四个方面要素构成的，具体如下图所示：
小学生数学素养构成要素结构图
数学素养的构成要素之间存在着内在的联系，四个方面的要素相互依存、相互促进，共同构成了数学素养的整体。良好的数学基础知识和基本技能是数学素养形成与发展的基础，一个人如果不具备必要的数学知识和技能，就谈不上发展数学意识，提高数学能力，更体会不到数学的价值。数学意识是数学素养的内在品质，是一种内化的心理特征，直接影响人的思维和行为方式，使学生遇到问题能够自觉地从数量、形状等方面进行观察和思考，形成一种量化、抽象概括的思维习惯。数学能力是数学素养的外在表现和重要标志，是顺利完成数学活动所必须且直接影响其活动效率的一种个性心理特征，决定着学生能否有效解决问题。数学价值观是数学素养的内在动机因素，是对“数学有什么用”“为什么要学习数学”等数学价值的认识，影响着学生的数学学习信念、学习数学的信心和毅力等。
二、小学生数学素养的培养路径与操作要点
数学素养的形成是一个长期的、渐进的过程，是在长期的数学学习和生活经验累积中内化而成的。如何将小学生数学素养的培养落实到教学实践中，把培养策略变成每一位小学数学教师的具体实践，必须明晰教师能够认同、把握、践行的路径与操作要点。通过研究与实践，逐步明晰了课堂教学的改进、数学综合活动的开展、学习评价的实施三方面的培养路径，促进小学生数学素养的发展，具体如下图：
路径之一：课堂教学改进——落实数学素养培养的基本途径
数学意识的发展、能力的提高、价值观的形成，均是以数学教学实践为基础的。课堂教学是学生数学学习的主渠道，也是实施小学生数学素养培养策略的基本路径。我们从学习目标确定、学习任务设计、学习过程组织等方面确定操作要点，落实数学素养培养策略，有效促进学生数学素养的发展。
关键词：小学数学；反思；学习习惯；路径
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2016）13-0047-01
反思习惯对于学生学习成绩的提升和良好的学习习惯养成，是非常重要的。学生正处在渴望学习、容易教育的阶段，如果能够养成良好的反思习惯，对其以后的生活和学习必定会有很大的帮助。当前，数学教学现状并不乐观，很多地方依然采用陈旧的教育方式和内容，在课堂上一味地进行填鸭式教学，课后布置海量的练习题目，学生很难有独立思考和主动探究的时间。这种教育方法已经没有太积极的作用，不利于培养学生的实际能力。
一、培养学生数学学习反思习惯的意义
学习数学是一个重要的积累过程，只有不断将知识进行积累，逐步提高，才能真正掌握数学的学习方法。其实，在这种不断积累的过程中，就需要不断进行反思，温故而知新才能牢固掌握知识内容。培养学生数学学习的反思习惯，其意义主要体现在以下几个方面。
（1）有利于培养学生良好的学习习惯。每个学生学习习惯的养成都不是天生的，而是从小通过教师、家长的言传身教逐渐形成的。因此，良好的学习习惯能够对学生未来的学习提供良好的帮助，而坏的学习习惯则可能会对学生的一生产生不利的影响。青少年学生正处于学习习惯养成的重要阶段，因此，要积极引导学生形成良好的学习习惯。数学学习的反思习惯就是良好的学习习惯之一，同时，培养学生的反思习惯又很大程度上对其他习惯的养成起到积极的促进作用。
（2）有利于锻炼学生的思维能力。数学教育本来在一定程度上就对学生的思维能力的提升有很大的帮助，比如通过数学学习能够让学生充分掌握知识的同时，对该问题进行深刻思考，促进其大脑的活跃，进而有利于开发其智力。数学学习的反思能力培养也是如此，通过反思习惯的培养，能够让学生在学习新知识的同时，对过去的知识进行反思，不断从旧知识中找到新的内涵，同时也可以结合当前新知识进行一些思考，对于其思维的连贯性和全面性都具有极大的促进作用。
（3）有利于新课改对人才培养目标的落实。新课改强调培养合格的现代化人才，注重创新精神和学生自主学习习惯的培养，而培养学生的反思习惯是其中一个重要的内容。在这一过程中，学生通过探究性学习，深刻地掌握数学知识，在不断反思中解决所遇到的问题，提高实际能力，增强自身的素质。
二、数学学习反思习惯的培养路径
教育工作者应该注重学生反思习惯的培养，在数学教学活动中积极引导学生进行反思。反思活动应该渗透于数学教学活动的方方面面，以教学内容为基础，积极调动学生的主观能动性。在具体的教学过程中，如何培养学生的反思习惯、如何引导学生反思、反思哪些内容呢？根据当前数学教学情况，以及对学生学习成长情况的探究，认为应当从以下三个方面进行反思：预习反思、课后反思、单元反思。
（1）注重预习之后的反思。低年级学生升入高年级之后，面临的学习内容和学习压力有明显提高。此时，要求学生通过预习的方式提前掌握书中的内容，对于课堂上充分理解教学内容是非常重要的。在预习之后，需要注重引导学生进行反思。在预习之后学生虽然对一些知识有了一定的了解，但因为毕竟是新知识，其掌握的程度和理解的深度都很不够。此时，教师或者家长就应该引导学生进行一定的反思，不仅要求学生对预习的基础知识进行反思，而且应当对基础知识之外的内容进行思考，这样才能更加全面地掌握知识，锻炼其思维能力。
（2）注重教学之后的反思。课堂上的讲课依然是学生学习的重点所在，通过教师在课堂上的讲解和指导，能够帮助学生充分掌握数学知识。但是，在教师讲课之后依然要做到常反思。这种反思，主要针对课上内容进行反思，不断思考教师讲课的内容，结合学习中自己的所思所想以及遇到的各种疑惑，不断提出新问题，深化对数学知识的理解。这是一种查缺补漏的方法，同时也是不断强化知识的连贯性和全面性的手段。
（3）注重单元学习后的反思。一般而言，学生在学习每个单元后，应该对单元内所有的学习内容进行反思。在进行单元反思时，教师应该让学生们把以前的作业或练习册拿出来，对错题进行整理。最好每一个学生能有一本自己的错题本，借助学生整理的错题本，教师应该组织学生进行单元学习后的反思，剖析每一道错题的原因，找出解决的方法，防止以后的考试、做题中出现类似的问题。
三、结束语
鼓励学生养成反思习惯的同时，也要充分注意到学生的性格特点。部分学生的自主能力较差，教师要进行适当的帮助，适度地鼓励学生进行反思。如果学生能够养成良好的反思习惯，就能主动地去探究知识，解决学习中遇到的困难，从而在学业上不断进步。反思习惯的养成，能够提高学生的思维能力，培养学生的创新意识，带动学生全面发展，使得学生对自己充满信心，勇于迎接挑战。
参考文献：
[1]唐红芳.培养数学反思学习习惯的思考[J].基础教育研究，2009（05）.
[2]蔡桂荣.数学反思性学习的实施策略[J].教学与管理，2010（05）.
李建英
（南康市唐江中学，江西 赣州 341411）
摘 要：高中数学课在进行习题课教学时应该摒弃传统教学思想中不适合数学学科发展现状的理念与做法，以更为灵活开放和发展的眼光去看待高中数学习题课的存在与利用。基础概念类习题、问题探索类习题、综合应用类习题的讲授各有侧重点，要注意灵活使用策略。
关键词：高中数学；习题课；教学策略
数学习题课在高中数学的课堂体系中占有十分重要的地位。数学的学习主要要求学生在数学知识、数学基本能力以及与数学相关的素养的提升。而习题课的设计就是为了让学生在知识上得到巩固，在能力上得到灵活运用，在素养上形成热爱数学、研究数学和运用数学的习惯和态度。高中数学课在进行习题课教学时应该摒弃传统教学思想中不适合数学学科发展现状的理念与做法，以更为灵活开放和发展的眼光去看待高中数学习题课的存在与利用。
习题是围绕一定知识结构为学习者提供的，可以供练习和实践的具有参考答案的问题。习题课则围绕着一定的知识点设计的习题，以多种形式进行呈现，在教师的引导下由学生自主探讨实现解决问题、发展能力、拓展思维等一系列教学目标。数学习题具有基本的知识传递功能以及学习评价功能。此外习题课还具有隐性的德育功能。由学生在习题课的讨论和解答疑难问题的过程构成的学生学习氛围能够在一定程度上培育学生认识世界的积极态度和思想方法和求真务实的精神。高中数学相较于义务教育阶段的数学学习具有一定的深度和难度，习题课的存在和利用要发挥挖掘思维、拓展视野、转换思考方式、培养正确的学习态度的作用，做到合理设计并实施。
一、 基础概念类习题的讲授
基础概念类习题的设计目的是在新课传授之后用于巩固学生对所学知识的记忆与简单运用。同时也考察学生对新学概念的理解和掌握。这类习题的讲授和新课传授中的例题讲授有所不同，习题课上对学生的要求会相对较高，不仅要求学生能够解好题，还要解释为什么这样解，能否运用其他方法解答等。可以说，基础概念类习题的讲授是“抛砖引玉”的过程。我们用基础型习题的“砖”引出学生思维拓展和知识深化的“玉”。尤其是在一题多解、多题一解等思维训练的过程中，学生不仅能够学到知识，还能在解题的过程中锻炼思维，养成良好的数学学习习惯。例如在讲授《集合》的相关知识时，对集合概念的理解正确与否直接决定了学生在集合知识上的学习。一般地，由在一定范围内确定的、不同的对象的全体组成一个集合。其重点核心在于确定的和不同的对象。那么在确定这两个核心理解点后，教师可以设计一些简单的概念性试题，供学生判断以检测学生对知识的理解程度。例如
下列各组对象能够构成集合？
1 个子比较矮的人
2 大于2013的数字
3 与123十分接近的数字
4 在平面直角坐标系中第一象限内的所有点
5 {1,2,1}
以上题目是由概念延伸出来的试题，试题主要考察学生能否透彻的理解“集合”这个概念。如果学生对集合的确定性特点无法把握，那么第一小题就会很可能判断错误；如果学生对“不同对象”这一特点无法准确把握，那么第五小题也会判断错误。通过这种较为简单但又深刻反应学习效果的基础性概念题，教师应引起重视并合理设计，唯有在数学基础知识打牢的基础上才能实现更高层次的进阶。
二、 问题探索类习题的讲授
问题探索类习题是对概念基础类习题的进一步提升。在熟悉了基本概念和定义之后，教师需要以问题为导向，锻炼学生分析问题解决问题的能力。毕竟数学的应用是以问题为开端的，只有让学生学会认识问题，找到问题解决的路径，方可实现数学学习的目标。数学解题的过程往往是不断的转化、联想。学生学会将多个命题进行重组，或在不同的情境下进行关联，就可以实现思维结构的建构。这种思维结构在解题时起到了至关重要的作用。看似复杂的问题都是由最基本的问题叠加，组合而来，只要学会剖析，用多元化的视角结合各方面的知识，以合理的路径去思考就可以实现对难题的攻克。
例如已知x>0，y>0，x+y=1，求 的最小值
这类题属于常见题型，考察的是基本不等式的应用。实际上在依靠传统的解题方法解决的同时可以利用题型转化的方式对原题进行转化，或者另辟蹊径的找到其他类似的解题思路。例如，本体实际上可以将条件和结论进行互换，就变成了
已知x>0，y>0， ，求x+y的最大值。
同时教师还可以指导学生利用部分小学数学奥数题的解题思想、解析几何式的解题方法、三角函数的解题方法等对本道题进行变式并解答。
三、 综合应用类习题的讲授
综合应用类习题是数学习题中难度较大的习题类型。难就难在习题的综合性强，需要学生同时动用多种知识，并发挥联想和创新能力，充分发挥知识结构的作用。综合型习题的联系不应该采用题海战术，否则就会陷入“会解一道题，但不会解答一类题”的怪圈当中。教师要从单类型题目入手，逐步深入到综合题，运用一题多变、一题多解等解题模式让学生适应综合性题目的提醒和解题思路，丰富解题路径，并在解体后及时进行总结，尤其是对解题过程中涉及到的思维性的东西要积极点拨和传授。其实综合类习题的难度被学生在某种程度上夸大了，学生由于对所谓“大题”所存在的固有的恐惧而使得很多学生在应试时选择放弃。实际上教师如果在教学过程中注重学生综合知识的运用能力的培养，抛弃题海战术的教学思路，就可以为学生解决综合类数学问题打下基础。“万变不离其宗”，扎实的基础知识和科学的解题思维就可以成就对数学问题的解决。
参考文献：
[1]李军生.谈高中数学习题教学的五项原则[J].教育探索,2008,(5).
关键词： 初中数学教学 逆向思维 培养实践
初中数学学习需要锻炼学生的思维，只有在学生数学思维激发和培养的前提下，才能引导学生进行数学学习，而在初中数学教学中可以采用逆向思维的培育方式，立足于初中学生的数学基本素质，以提高学生的数学知识和数学智力为切入点，通过对初中数学的概念、定理、法则等内容的解析和运算，使学生的逆向思维能力得到培育和锻炼，它不同于常规思维。常规思维状态使学生围囿于既定的问题情境和思维定势，导致学生缺乏灵活的数学变换能力，不利于学生数学思维的创新发展，也不利于学生数学思想的全面建构。下面从初中数学的逆向思维概念入手，根据初中数学知识内容进行逆向思维能力的培养实践。
1.逆向思维的定义
逆向思维也即由果求因、知本求源，它是一种相反方向的思维方式，具有反向性、批判性和悖论性的特点，它与常规思维不同，是一种相反的思维方式。它引导学生在数学知识的学习过程中，从相反的角度进行问题情境的思索，从而在寻求解题路径的过程中加深对数学概念、定律、法则的理解和记忆，这也是我们常说的“换位思考”，对于学生的数学智能提升有着极大的推动作用，可以较好地发展学生智力，培养学生创新和创造能力。
在数学教学中，通常采用“证明定理、定理的应用”方式，对学生进行数学知识的建构，而这种思维方式是正向的，我们需要对数学知识由正向转为逆向的思维，要引导学生从反向的角度，对数学知识进行解析和理解，从实质上对数学知识加以理解。
2.初中数学教学中逆向思维能力的训练
2.1初中数学概念、公式、定律的逆向思维训练
在初中数学的定律和法则中，有许多“相反相成”的数学概念，它可以引导学生建立数学正反向的联结，在知识得以联系和补充的状态下，提升学生的数学智能。
2.2初中数学概念的逆向思维训练
初中数学的概念之中，涉及一个“相反数”的概念性知识，它是理解逆向思维的知识之一，根据数的概念，可以举例进行“相反数”的理解和认知，如：8的相反数、-4的相反数、-0.8的相反数等。又如：初中数学中的“绝对值”概念，让学生进行“绝对值”概念的逆向思维锻炼，如：|6|=？摇？摇？摇？摇；|-6|=？摇？摇？摇？摇，将这个概念进行逆向思维的训练，让学生思考：某数的绝对值为6，那么这个数是多少？
2.1.2初中数学公式的逆向思维训练
初中数学公式的理解和记忆，通常学生都是由左至右进行公式的记忆和运算，而对于由右至左的逆用方式，则感受无所适从。因而，我们要对初中数学的公式进行逆向思维训练，使学生熟练地由右向左进行公式逆用，这需要在日常练习中加以强化训练。例如：在初中代数公式中，就有这样的逆向公式运用
又如：在平面之内，如果有两条直线都与第三条直线相平行，那么这两条直线也相互平行。对于这道习题的分析，可以采用反证的方法，从上述结论的反面“不相互平行”进行逆向思维的分析，从而得出这两直线必须相交，而直线相交必有交点，这样，在平面内过一个点即有两条直线和第三条直线平行，这与数学公式相矛盾，从而得出假设不成立的推论，那么假设的反面“相互平行”就无可争议地得出成立的结果。
3.结语
由上可知，初中数学教学过程中，教师要善于采用逆向的推导方式，引导学生对于数学概念、法则、定律等知识内容，进行逆向思考，尤其是在解题过于繁琐或者解题思路不清晰的情况下，可以通过逆向思维的反向思考方式，降低数学解题难度，巧妙地获取数学习题的解题结果，从而增强学生的逆向思维能力，在有意识、有目标、有步骤的初中数学学习过程中，达到提高教学效率、发展学生思维的目的。
参考文献：
关键词 让学 潜能 引思 思考力 会学善思
一、让学――学生才是课堂的真正主人
“让学”是德国哲学家海德格尔提出的教学理念，它与新课程倡导的“生本”教学理念是有异曲同工之妙。“让学”是指在某一时段老师安排学生进行自主学习的课堂行为。有问题有学标，这种学习环节有别于传统的常态教学或导学，更强调发挥学生的主体能动性和创造的积极性。
1.适时让学，培养学生的自主行为能力
一课，哪些时段可以由学生自主学习初步达成学习目标呢？可以在老师的课堂引入后利用10分钟时间完成自主探究新知；也可以在师生共同探究新知后，自主尝试完成例题学习；还可以在问题的拓展延伸中，让学生在小组合作中交流、讨论，共同完成同级异式训练。
例1，第10章“分式”（苏课版八下）10.3“分式的加减”。按照以前的教学方式，老师为学生创设教学情境：
教师的意图是引导学生通过类比的学习方法获得同分母方式加减运算法则。笔者认为可以打破常规，作课堂“让学”设计：先请四名同学到黑板前做如下小题，通过批阅评价复习10.2“分式的基本性质”中的约分和通分的概念。
接下来，老师在黑板上写出自主学习内容（时间预设10～15分钟）：
（1）类比分数的加减法则探索分式的加减运算法则；
（2）阅读学习例1，例2；
（3）自主训练108页练习1；
（4）在探索分式的加减运算法则过程中遇到了哪些困难？
至此，本节课前期的让学环节就比较完整地呈现出来了。最后老师把同学们在解题中发生的错误以及学习中遇到的困难罗列在黑板上，以备师生共同分析解决。
设计意图：同学们已经有了分式的基本性质、约分和通分的知识储备，学习本节内容就显得比较容易，有一定学习经验的学生出现问题也可以尝试自行解决。
2.关注主体，发展学生的合作交流能力
作为课堂的主体，学生应该是课堂上最聚焦的主角，如自主阅读、动手实践、思考质疑、合作交流等，老师都应该鼓励学生积极参与，并在有效的时间内获求最佳发展。通过下面的纸片折叠问题训练，可以培养同学们的合作学习能力。
学习要求：
（1）自主探究（可动手实践折叠纸片）；
（2）画出对应图形，进行相关计算；
（3）尝试合作，并交流相关结论。
例2，如图1，在RtABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上移动，将纸片PCB部分沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程中对应点D所经过的路径长是 。
课堂上笔者观看了学生的折纸情况，又收集了部分学生的所画图形（如图2、图3），发现很多学生的探索思路是清晰的：通过三次折叠寻找三个对应的D点（包含特殊点）；根据点D的分布情况，断定D点所经过的路径是圆弧；根据相关条件，计算出弧长就是D所经过的路径长。
基于教师对学生的信任，在课堂教学中经常设计“让学”环节，可以给学生提供先自主探究后合作交流的良好契机，体现了学习方式的多元化，凸显了课堂的主体性，培养了学生合作学习、交往学习的能力。
3.培养自主，挖掘学生的数学学习潜能
脑科学的研究表明，人脑的常态意识约为10%，潜在意识约占90%，说明人的思维潜能是巨大的。“每一个孩子都是一座金矿”，他们都有极大的潜能，都有各自的智能组合[1]。在教学中我们涉及到的规律问题、新概念问题及初高中衔接问题等，都能有效地激发学生的数学学习潜能。
例3，我们将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（如圆的直径就是它的“面径”）。已知一个矩形的两边分别是3和4，则它的“面径”长x范围是 。
如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1∶2两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”。当“协调边”为6时，它的周长为 。
以上两题，虽然以“新概念”的方式呈现，但是编者没有为学生设计审题障碍，同学们只要根据题意画出图形，便能直接求解，因为学生的大脑有探索好奇和模仿实践的超大潜能。
在“让学”环节中，当学生出现难以解决的问题时，教师可以用适当的方式进行“补白”[2]，以解决因思路断档而产生的停滞现象，从而使学生能够继续保持自主学习的信心和热情。教师能否通过适当的方法“补白”，反映教师对学生的关爱度及教学智慧。学生在自主学习的过程中，要学会自觉体验、感悟、总结，形成适合自己实际的学习方法，激发出学习的原动力，才能实现自主学习[3]。
二、引思――思维才是数学的核心灵魂
数学离不开思维，数学是思维的体操，思维是数学的灵魂。“引思”是指老师引导学生对问题进行分析和思考，包括如何审题、寻找解决问题的入口，猜想、论证和总结解题经验等。教师设计课堂引思，是为了及时对学生激思，使学生会思、善思。只有一定深度的数学思考才能上升为高阶的数学能力――分析和创新。
1.顺藤摸瓜，呈现数学思维的延展性
数学问题中的信息量较多时，有时只要借助一两个信息就能因势利导，这种思考问题的方法俗称顺藤摸瓜，由此及彼式展开联想，张开思维的翅膀，可以自由“任性”地寻找下一条线索。
例4，如图4，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC。
（1）如图①，过点A作AFAB，并截取AF=BD，B接DC、DF、CF，判断CDF的形状并证明；
（2）如图②，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个定值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由。
问题（1）根据三角形全等的有关知识容易判断CDF的形状是等腰直角三角形。问题（2）图形中无明显全等三角形，条件CE=BD又不好直接运用，这时应该怎么思考呢？老师要引导学生：问题（1）中的解题思路对问题（2）往往是有启发的，甚至解题方法是可以迁移延用的，所以可以从构造三角形全等进行尝试，这种由此及彼、顺向思考的联想学习法也是一种常用的数学解题策略。
2.倒扒鱼鳞，借力数学思考的可逆性
如果一味地采用正向思考方式，可能出现双线并行方向不明，此时如果尝试逆向思考，即要想A成立，就必须B成立，要想B成立，C必须满足什么样的条件，这种思考方法俗称倒扒鱼鳞。
例5，如图5，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若SBDE∶SCDE=1∶3，则SDOE∶SAOC的值为 （ ）
先逆向思考：要求SDOE∶SAOC的比值，只需DE∶AC的值，借助DE∥AC的信息，DE∶AC=BE∶BC。再顺向生成：由SBDE∶SCDE=1∶3得到BE∶EC=1∶3，进一步得到BE∶BC=1∶4，此时刚好呼应对接。再运用性质“相似三角形的面积比是相似比的平方”，选出（D）。
“倒扒鱼鳞”法通常是与“顺藤摸瓜”法相结合的，特别是信息量较大的题，“倒扒鱼鳞”法应优先考虑。备课时老师在解题过程中遇到的曲折和错误不能随演算纸一同丢弃，应适当地与学生分享其中的艰辛与快乐。让学生明白顺逆自如、左右逢源绝不是一日之功，是在摸索和碰撞中成长的一种慢过程。
3.培养悟性，增强数学思考的深刻性
悟性是指对事物的感知力、思考力、洞察力。学习数学的悟性指学生在数学学习的活动过程中，对所研究的数学问题，凭借类比、迁移、联想、想象等思维活动，触发灵感，引发领会、理解，继而解决问题的一种能力。根据美国教育学家布鲁姆认知理论，这种对问题的理解能力和分析能力属于高阶数学思维。
例6，图6，AC是矩形ABCD的对角线，O是ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG。点F、G分别在边AD、BC上，连结OG、DG。若OGDG，且O的半径长为1，则下列结论不成立的是 （ ）
老师：题中有数据，你们能猜测到什么信息呢？
学生1：我们凭直觉相信图中∠ACB为30°。
老师：你怎么知道的？
学生1：你教过我们的，可以借助数感、图感进行问题直观猜想。
老师：四边形ABCD是矩形，根据图形，你能得到什么结论呢？
学生2：对边平行且相等，四个角为直角。
老师：O是ABC的内切圆，且半径长为1，你能想到什么关系量呢？
学生3：直角三角形内切圆半径与其三边关系：（AB+BC-AC）=1。
老师：图中有折叠变换，且OGDG，你又能想到什么呢？
学生4：折叠变换联想到图形全等，如DFG≌OFG，DGC≌OEG。
老师：本题从选择支看，都是判断两条线段和与差的数量关系，因此可以根据你们的解题经验或者灵感，继续寻找线段关系，比如运用三角形全等、相似等方法。
学生5（我班的数学王子）：老师，通过构造辅助线，连接OM（M为切点），我又发现一对三角形全等：OMG≌GCD，这样可以得到GC=OM=1，MG=DC=AB，所以BC=2+AB，再联立另一个关系式（AB+BC-AC）=1，看是否得出其他结论？
老师：这位同学凭借对数学的悟性，巧妙打开灵感之窗，发现一条通往山顶的无名小道，只要你们沿着这条小道不放弃前行，你们将会欣赏到很多的美景。
本题图形复杂信息量大、审题量大、计算量也大，是一道训练学生综合分析能力和数学思维悟性的好题。首先通过排查、搜索信息寻找解决问题的入口，然后是通过三角形全等以及勾股定理的有关知识对C、D进行判断，最后再次构造直角三角形，计算DF长度，判断A、B是否正确。这种思维追踪体现了数学思考的深刻性和学生良好的思维能力。
在课堂教学中教者用心设计“让学引思”活动环节，一定可以逐步提高学生的数学核心素养――自主学习能力和数学思考能力。值得注意的是，部分同学如果长期没有达到预期的学习目标，也会产生消极认知，因此教师应为数学学习中习得性无助感进行教学干预[4]，努力激发学生对问题探究的好奇心，培养学生学习的主动性和参与合作的积极性，把教师的“让学引思”转变为学生的“会学善思”。
参考文献
[1] 沈茂德.我的教育乌托邦[N].江苏教育报，2016-04-08.
[2] 张克玉.一次优秀课展示中的问题分析与思考[J].中学数学教学参考，2016（1-2）.
【关键词】 数学课堂；问题设计；数学思维
一、引 言
数学问题是启发数学思维的动力，也是数学课堂教学中师生进行双边活动的重要形式. 科学的数学课堂问题设计方法不仅有助于巩固课堂教学知识，激励学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维，而且可以帮助学生建构相对完整的数学知识体系，提升学生的心智发育与语言表达能力. 当前教师在数学课堂提问设计的过程中尚存在各种问题与理解误区. 例如，脱离学生的现实生活和学生的家庭背景来设计问题；问题提出的层次肤浅，脱离课堂教学内容；问题的难度设计使得学生无法回答，导致课堂气氛沉闷；教师通常偏好提辅和记忆性问题，探讨启发式问题较少. 因此探讨初中数学教学中的课堂问题设计原则与实施路径，有助于激发学生学习的积极性与能动性，提升数学课堂教学质量.
二、数学课堂问题设计的原则
1. 数学课堂提问设计应确立以学生为本的理念
初中数学课程改革的基本导向是通过全面推进素质教育，以实现包括数学教育在内的基础课程教学的以学生为本的教学新理念. 当前初中数学教学指导纲要暨《数学课程标准》中指出，“有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，应体现以人为本的理念，促进学生的全面发展”. 通过促进师生积极参与、交往互动、共同发展的课堂问题设计建设，有效激发学生学习兴趣，调动学生学习积极性，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，实现学生通过数学思考及问题解决的方式达到数学知识与技能水平的全面提升目的. 这要求初中数学教师树立以学生为本的课堂问题设计新理念，将学生从传统教学模式下的被动接受者转变为学习的主体，将教师从传统教学模式下的课堂主导者转变为支持学生发挥主动性的学习引导者. 实行启发式教学有助于落实学生的主体地位和发挥教师的主导作用. 在初中数学课堂的问题设计中，教师运用启发式授课法来创设问题情境，并引导学生在交流合作的基础上循着问题线索积极探索数学奥秘，推动学生逐步成长为积极的学习主体.
2. 数学课堂提问设计应确立知识与技能培养并重的理念
初中阶段的数学教育是基础教育的核心构件，数学知识与技能的培养是促进学生发展数学思维能力的基础，因此教师应当将教学重心放在培养学生理解并掌握基础性数学知识与基本技能上.
其一，在知识教学进程中，数学教师应当引导学生充分理解数学知识，并在不断的数学训练过程中巩固和强化对数学知识的内在关联性的理解. 由于初中学生尚处于心智发育阶段，其思维特点中的感性成分大于理性成分，教师应当从那些与学生生活密切相关的情境中提取问题设计灵感，在课堂上运用数学问题来推动学生积极思考，实现数学知识与学生生活的密切结合.
其二，在数学技能训练教学进程中，数学教师不仅要清晰阐述数学技能的做题方法，而且应当使学生掌握支撑做题方法背后的基本道理. 例如，在数学的幂运算教学中，教师不仅要教会学生掌握幂运算的基本计算方式，而且应当理解支持幂运算方法的基本原理. 教师应当注意数学课堂上问题设计的强度和数学训练的效果，回避机械的重复式训练，确保学生通过完成适度的问题式数学技能训练，达到对数学技能的方法及原理的充分认知.
三、数学课堂问题设计的实施路径
1. 数学课堂问题设计的营造情境
数学家费赖登塔尔指出：“数学源于现实又寓于现实，数学教学应从学生所接触的客观实际中提出问题，然后升华为数学概念、运算法则或数学思想. ”因此，教师在设计数学课堂问题时，应当根据生活实践营造解决数学问题的情境，将枯燥的数学问题转化为学生容易理解的形象化的生活现象，从而有效地增加了数学教学与学习的趣味性，提升了学生的学习兴趣. 例如，在讲授“合并同类项”时，教师可以事先准备若干张不同面值的小额纸币，然后让学生用不同的方法点数这些纸币的总金额. 一组学生采用逐张点数并计算总金额的方法，另一组同学采用先将这些纸币进行分类后点数再计算总金额的方法. 教师则在学生点数纸币的同时对两组学生分别计时，并在两组学生完成任务后向全班学生提出“哪一组学生点数的方法更好，为什么那一组的计算方法更好？”的问题，由此自然地引导学生进入了同类项概念的学习情境中.
这种情境营造的教学方法的成功之处在于教师的情境营造贴近学生的生活，问题设计的素材直接取材于学生日常所接触的货币，问题设计的实现方法简洁明快，从而有效调动了学生参与解决问题的积极性与能动性. 情境式问题解决方法的路径是教师引导学生沿着基于生活经验解决数学问题，并从数学问题解决过程中获得数学知识，随后运用所学数学知识来解决实际问题. 教师的营造情境教学法使得数学的教与学都更贴近学生的日常生活，从而将学习过程生动化、有趣化，提升学生运用数学知识指导生活实践的能力.
2. 数学课堂问题设计的教学模式
数学课堂问题的教学模式是教师安排数学学习方法的具体策略，是用以规划教案并指导教师课堂教学行为的范式. 教学模式不具有普适性，任课教师必须以特定的教学目标为导向，并根据外部社会环境、学生性格特点及教学目标的条件来选择相应的教学模式. 数学课堂问题设计中的教学模式主要包括如下内容.
其一，数学课堂的问题设计可以采用互动式游戏教学模式. 教育部在《基础教育课程改革纲要》中指出，“教师在教学过程中应与学生积极互动、共同发展，要处理好传授知识与培养能力的关系”. 该模式是指在教师的引导下组织并动员学生参与数学活动，并在活动中设置与数学教学内容密切相关的游戏式问题，使得学生在生活化的游戏活动中掌握数学知识并形成数学思维的一种教学法. 互动式游戏教学模式包括师生互动、学生间互动等内容. 该模式的实施步骤按照三个阶段展开. 首先，由教师讲授课程内容，并辅以学生的思考与提问，促使学生掌握展开互动式游戏活动所必备的知识基础，激发其对所学知识的思考和深入探讨的兴趣，但是此阶段的学生对所学知识尚存疑问. 其次，在教师的引导下组织学生参与教师预先设置的游戏活动，并鼓励学生通过交流合作方式开展游戏活动. 最后，由教师对本次活动进行总结，指出学生在活动中可资嘉奖之处，并指出不足之处.
其二，数学课堂的问题设计可以采用重难点突破式问题设计. 学生对重点与难点知识的理解力较差问题是初中数学课堂教学工作的难点. 教师可以通过围绕重难点设计问题的方式将重难点知识形象化，以便于学生理解和掌握. 例如“抛物线”一课的教学重点是通过绘制二次函数图形并据此给出函数概念及其性质的认知. 其中该图形的绘制要求能够体现对函数性质的归纳性. 教师在指导学生绘制图形时，可抓住学生易犯错的若干绘制方法给出如下问题供学生思考. “自变量x的取值范围是多少呀？在你绘制的图形中，函数y与自变量x之间存在一一对应关系吗？把下面这个函数的这几组x与y的取值画在坐标系上，并把那些点连成一条好看的线，然后说一下你画出的图形的特点. ”教师以问题驱动学生思考并解决问题的教学方式有助于将潜伏在诸多知识点中的重点及难点知识有效放大并凸显出来，不仅有助于学生克服在数学学习过程中的概念理解与技能锻炼的难题，而且锻炼了学生独立思考和自主学习的能力.
3. 数学课堂问题解决的评价与反馈
在帮助学生完成数学课堂问题的解决任务后，教师还应当对学生的问题解决能力与表现作出客观评估，并用于指导下一阶段的教学工作. 教师对数学课堂问题解决过程中的学生能力与表现作评价时应当关注如下问题：
其一，教师应当针对学生解决问题的能力作出有效评估. 教师应当重视考查学生对教师所提出的问题的理解力，学生在给出的解决问题的策略的创新力，学生在参加小组解决问题活动时的积极性与能动性，学生是否具备根据教师的问题展开进一步思考并提出新问题的能力等方面的内容.
其二，教师还应当针对学生解决问题所运用的思维作出有效评估. 教师不仅应当将课本知识传授给学生，还应当培养学生解决问题的独立思维能力，引导学生积极运用形象思维与抽象思维相结合的方式解决数学问题. 对于学生在解决问题的过程中运用发散思维和创造性思维给出的不同见解，教师不应当打压，而应当积极引导学生正确运用这两种思维能力，有效激发学生内在的数学学习潜能.
数学课堂的问题设计是初中数学教学工作的有益探索，在实施过程中难免出现各种问题. 教师应当在数学课堂的问题设计教学过程中持续积累教学，并积极反思教学过程中暴露出的诸多问题并作出有效改进，在实践中摸索出更加适合学生发展的问题设计实现方式，有效提高学生的学习积极性与能动性，提高数学课堂的教学效果.
【参考文献】
[1] 施林其. 浅谈培养初中学生数学问题意识的必要性[J]. 数学学习与研究（教研版），2009（4）：120.
案例所选择的活动内容是“引导幼儿学习8的分合”。活动过程的设计是这样的：以“复习7的分合”引入，然后为每个幼儿提供8个双色圆片（一面为红色，一面为绿色），让幼儿玩“撒圆片”的游戏，要求把撒出的结果（几个为红色，几个为绿色）写在记录单上。撒一次记录一次，重复的结果不记录。操作完成后。教师与幼儿一起归纳出“8有7种分法”，并进一步引导幼儿观察、分析记录单上分合式中数字递增、递减的规律。
但是在实际教学过程中。幼儿的操作出现了这样的意外情况：刚开始，有幼儿按照教师的要求撒圆片作记录，但是撒过一两次后，大部分幼儿已不再玩这个游戏。有的改为自己逐个翻圆片，翻一次记录一次，有的索性撇开圆片，开始扳手指头推算，有的甚至直接在记录单上写出了另外几种分法。
这是一个典型案例。活动结束后，笔者对68位在现场观摩的教师进行了问卷调查，其中65位教师（占被调查者的95.6%）都赞同让幼儿通过实物操作学习数的分合，60位教师（占被调查者的88.2%）曾在从5开始（有的甚至从2开始）到10的分合教学中都采用了类似方法。即5的分合是这么教的，6、7、8、9、10的分合也是这么教的，只不过可能会换个不同的情景或操作材料。但是也有53位教师（占被调查者的77.9%）反映：“数的分合”教学难以激发幼儿的学习兴趣，刚开始幼儿还能投入地进行操作，但后来由于同样的操作要求出现在多次集体教学活动中，幼儿便不再感兴趣了。
当然，从教学现场和活动后的调查中，我们能欣喜地看到，绝大部分教师已不再要求幼儿机械记忆数的各种分合式，开始关注幼儿自主操作的学习过程了。这反映出教师在教学观念上已发生重大转变。但问题是，在教学实施过程中，有些教师还基本停留在“知其然，不知其所以然”的阶段，只会不断套用一种教学形式，不知道幼儿学习数的分合的特点与路径，不知道幼儿在不同的阶段学习数的分合究竟需要什么样的操作，为什么要这样操作。以至于在实际教学中幼儿所做的是在原有水平上重复操作，从而失去了学习的兴趣。
由此可见，虽然在理念层面教师们已普遍认同教学要基于幼儿的现有水平，要“以学定教”，但在实践层面，具体到“数的分合”教学，很多教师还是未能准确把握教学的实质，对幼儿的学习路径并不了解，仍然强调结果（有几种分法、分别是什么），而没有看到帮助幼儿达成教学目标过程中所蕴含的发展价值。
那么，幼儿到底是怎么学习“数的分合”的呢？虽然幼儿在数学发展水平上存在很大的个体差异，但某一年龄段幼儿对“数的分合”的理解、掌握过程有严格的心理发展顺序，基本上都要经历以下五个阶段，走过相同的学习路径。
第一阶段：积累“量的分合”经验
在理解“数的分合”之前，幼儿需要积累大量的相关经验。尽管中大班幼儿在生活和游戏中都有过分东西的经验，但刚开始他们并不真正理解“数的分合”的意义，并不知道数是一个可分可合的集合。大班幼儿抽象思维开始萌芽，但从上述“数的分合”教学案例中看，幼儿的学习远没有达到抽象的水平。“智力始于动作”，幼儿对“数的分合”的理解也是从动作水平的摆弄开始的，幼儿需要通过自身的操作体验去发现数的分合规律。只有基于动作水平上的“量（实物）的分合”经验。幼儿才能真正理解什么是分，什么是分两份，体验一个量可以分成两个部分量。理解这一点，是幼儿学习“数的分合”过程中的重要一环。美国著名幼儿数学教育专家金斯伯格曾指出，一开始耍鼓励幼儿运用非正式的方法（如数数）去探索和解决数的分合问题，尽量让他们运用已有的知识经验来理解和解释当前的问题。生活中一些“量的分合”方面的游戏，可以作为幼儿原有经验和正式的“数的分合”学习之间的桥梁。如游戏“谁的糖果多”（方法是幼儿用自己手中的糖果去匹配放在果盘格子中的糖果，数一数合起来等于指定的数量，便可取出）就是幼儿喜欢的、有利于积累经验的游戏。案例中的“撒圆片”也是很好的帮助幼儿积累前期经验的数学游戏：“分合”不是幼儿有意识操作验证的结果，而是在“撒”的过程中自然出现的，幼儿只需通过数数即可感受到不同的分法。这些游戏在中班末期就可以让幼儿玩了，以让幼儿在玩的过程中体验量的分合。
幼儿进入大班后，教师要有意识地在教学中为幼儿提供大量操作机会。例如，教师可以让幼儿从5开始学习数的分合。一方面，因为5是单数，不能平均分成两份，有助于打破幼儿固有的均分观念：另一方面，对大班幼儿来说，5的数量是能够目测的，一般不会出现计数上的困难。在具体活动设计上，教师可以为每个幼儿提供25个相同的实物，让幼儿每次取5个实物，并将其分成两份，想想可以怎么分，有哪些不同的分法。在幼儿基本掌握了5的分合后，再让幼儿运用5的分合经验，通过实物操作去探索学习2～4的数的分合。
只有在参与了大量的操作活动，使用了大量的材料，通过操作获得了大量的感性经验并经常与他人交流、讨论自己的观察和发现的基础上，幼儿才能较好地掌握数的分合概念。
第二阶段：从“量的分合”
皮亚杰在强调动作对幼儿思维发生发展的重要性的同时，更强调对动作进行抽象概括的必要性。因为数理逻辑知识是从人们对客体所施加的动作中抽象出来的。如前所述“智力始于动作”，但动作本身不是获得数理逻辑知识的充分条件。要让幼儿掌握数理逻辑知识，教师必须保证幼儿在对物体施予动作的同时还会对动作本身进行反思和抽象。通过第一阶段的经验积累，幼儿虽然能够理解量（实物）的不同分法，但要让他进一步理解抽象的“数”也有这些分法就难了。刚开始接触“数的分合”活动时，幼儿并不理解分5个苹果和分5个梨子本质上是一样的，所以教师需要提供不同的材料让幼儿操作，除了分苹果外，还可以分梨、分香蕉、分橘子……再至分豆子、分玩具、分勺子等，让幼儿发现虽然具体分的东西不一样，但都是将5个东西分成两份。只有在操作诸多“量的分合”的基础上，幼儿才能逐步抽象出“数的分合”这一知识，而不是停留于具体“分东西”的行为上。
第三阶段：领会数的分合关系
幼儿在积累大量操作经验的过程中，会发现两个以上的东西有多种不同的分法，逐步学会有序分合，从而穷尽所有的分法。也即知道每个数有几种分法，继而发现数的分合中存在的规律。
如果在教学中，幼儿已通过操作学习积累了5以内数的分合经验，那么，从学习6的分合开始，教师就应进一步引导幼儿进入对“数的分合规律”的学习，帮助幼儿归纳出已有的分合经验，并进一步解决下列问题：从2到5，怎样对每个数进行有序的分合？每个数的分法有几种，和它自身比有什么规律？2至5的分法的递增规律是什么？如果掌握了这些规律，幼儿就可以借助它们自主学习6至10的数的分合，而无需教师再一个数一个数手把手地教了。在此过程中，可能会有少数幼儿跟不上集体学习的进程，教师可以针对他们的个别需求，继续帮助他们掌握6-10的数的分合。
第四阶段：掌握数的分合关系
只有基于以上各阶段的学习，幼儿才能逐步理解分合中“总数”和“部分数”之间的包含关系（例如，2和5合起来是7，7包含了这两个部分数），以及两个“部分数”之间的互补关系（例如，从1和6变到2和5，左边多1、右边少1，合起来还是7个）和互换关系（例如，3和4、4和3都是7的分法，两个部分数相同但位置互换）。皮亚杰指出，对儿童来说，“包含关系”的掌握是一个难点，因为儿童一注意部分就会忘了整体。同时，幼儿在理解“数的分合”中隐含的互补关系、互换关系时也有很大困难。而这些关系恰恰是幼儿能否真正理解“数的分合关系”的关键所在，也是我们教学中的重点和难点。
针对这一问题，教师可以引导幼儿在体验分合有序性的同时，观察两个部分数之间的互补、互换关系，帮助他们去发现：一个部分数增加几个，另一个部分数就会减少几个；有相像的分合式（两组部分数相同，总数相同，但部分数位置可互换），并从其中一个分合式推断出另一个分合式。应该强调的是，在“数的分合”教学中，重点在于让幼儿理解上述三种逻辑关系，至于幼儿是否会说“一个数可以分成几和几，几和几合起来就是这个数”，则不是教学的目标和重点。
第五阶段：用推理的方法学习分合
幼儿也可以通过已经掌握的数学知识推断出更多的“数的分合”规律。或通过掌握一些数学的基本规律来进一步学习和理解互补、互换等规律。推理方法的掌握，不仅可以简化解决问题的过程，还可以促使幼儿运用更有效的思维方法，避免死记硬背。金斯伯格认为，在“数的分合”的教学过程中，教师要鼓励儿童运用多种有意义的方式，如数数、扳手指、推理、游戏等，来加强对数的分合的理解。在“10的分合”的教学中，如果幼儿已经较好地掌握了分合的三种逻辑关系，就完全可以让他们运用推理的方法直接写出10的9个分合式。从本案例中我们也可以看出。部分幼儿已经达到了这个水平。当然，我们要关注幼儿的个体差异，允许幼儿采取适合自己水平的方式。如借助分实物来直接感知，将操作与推理结合起来，等等。
弄清了幼儿“数的分合”的学习路径，我们再回到本案例来，就能较客观地解释教学过程中幼儿的表现了。“撒圆片”活动其实并不能体现幼儿当前思维发展的水平，不利于幼儿思维能力的提升。既然幼儿已经有了前期分合操作的经验，幼儿的抽象水平也在逐渐提高，“8的分合”教学就可以通过纸笔练习或其他抽象程度更高的操作活动来进行了。
在“数的分合”教学中，教师关键是要通过观察和分析，判断幼儿处在学习路径中的哪一个阶段，这样才能将“以学定教”真正落到实处。才能有效促进幼儿的学习和发展。
参考文献：
[1]皮亚杰.儿童智力的起源[M].高如峰，陈丽霞，译.北京：教育科学出版社，1990.
[2][5][6]周欣.儿童数概念的早期发展[M].上海：华东师范大学出版社.2004.
[3]周希冰.幼儿数学教育操作活动浅谈[J].教育导刊：幼儿教育版，1999，（5）.
【关键词】初中数学，智慧课堂，构建路径
提高初中生学习数学的兴趣，构建良好的教学环境，一直是初中数学教师探索的问题。很多中学数学教师开始关注构建智慧课堂，那么，如何构建呢，教师应当做些什么，怎么做，作者带着这些问题结合多年的教学经验，提出了以下建议，供同仁参考。
一、智慧课堂概述
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（1）智慧课堂是智慧教育、智慧学习赖以发生的条件基础，旨在培养学生个性化学习，有创造性的学习能力，让学生能够进行智慧的学习。
（2）智慧课堂需要一个能够引导学生进行智慧型学习的数字化环境。该环境应当能够支撑学生进行有效的泛在学习、移动学习等新型学习方式，满足学生随时随地学习的需求。
（3）智慧课堂应当将新的信息技术、新的教学媒体以及新的教育、教学资源纳人教学中。“新”不只是一种手段，更是一种方向，它能够激发学生的创新型思维能力。学习不能在一成不变的内容、环境中进行。
二、初中数学课堂教学现状问题
（一）“教”方面的不足
“教”方面的不足表现在：其一，教师缺乏对教材的研究，没有理解教材思想，备课不充分，没有课程进行精心设计；其二，沿用传统的“填鸭式”“满堂灌”的教学模式，导致课堂效率低下；其三，教师没有充分尊重学生学习主体的地位，教学中缺少与学生的互动，学生自主探究、讨论、思考的时间较少，使学生对知识的掌握不够牢固，数学思维得不到充分锻炼。
（二）“学”方面的问题
目前初中生多为独生子女，怕吃苦、贪玩，加之初中生年龄较小，自我控制能力较差，容易出现学习态度不端正，缺乏学习主动性等问题，势必影响课堂学习效率，主要表现在：其一，对课堂知识没有兴趣，开小差，对老师提出的问题不闻不问，不积极地进行思考和记忆；其二，对知识的理解较浅薄，只能单纯记忆公式、定理，却不能灵活运用知识解题，应付式地听课和学习。
三、初中数学智慧课堂的构建路径
（一）在创设情境中体现智慧
在数学教学过程中，创设生动有趣的情境，是学生自主探究教学知识的起点和原始动力，是培养学生学习数学和应用数学的一种有效手段、
1.创设问题情境，引发学生的好奇心
问题是数学的心脏，问题是学生的思维动力、一个好的问题情境的创建，可以激起学生把自己融入课堂活动中去，积极地、热情地参与学习，问题情境的创建是教师讲授内容和学生求知心理之间搭建一座“桥梁”，将学生带入所学习的问题的情境中；创设问题情境要谨慎，应避免绚丽多彩、牵强附会、热闹浮躁的问题充斥课堂，我们所设计的情景要与教学内容完美融合。
2.创设生活情境，激发学生的学习兴趣
如果学生不明白数学的应用性，就会觉得数学很枯燥，离生活很遥远，学习起来很被动，更不会有兴趣，而兴趣是最好的老师，我们不难发现，那些数学成绩优秀的孩子对数学有浓厚的兴趣，有的甚至达到痴迷的程度，而那些数学成绩落后的孩子总觉得生活中根本用不着数学，有时我们甚至在数学试卷上看到学生写的牢骚，因此，作为数学教师应善于创建生活情境，将数学知识与现实生活有机联系起来，让学生明白数学产生的原因，让学生在生活中看到数学的存在，提高他们的学习兴趣。
（二）在分层教学中彰显智慧
1.分层指导
教师对不同的学生给予不同的指导、学优生数学基础相对比较扎实，有较好的学习兴趣和学习方法，所以授课内容要适当加深拓宽；指导他们多做难度较大的题目，如课本中的思考题，课外辅导书中的综合题；中等生能够掌握基本知识，也掌握一定的学习方法，但往往缺乏勤奋好学的精神和独立思考的习惯，对这类学生可以按常规的教学方法进行教学活动，注意及时指导，及早发现问题，争取有更多的学生向优等生靠拢，同时注意防范学生的退步；学困生普遍缺乏自信心，知识欠缺多，通常没有良好的学习习惯，对这类学生主要是要抓好预习、听课、作业、复习等几个环节，适当进行重点辅导，对他们要注重基础知识、基本技能的传授，进度略慢，必要时进行反复讲授，从而帮助学生掌握学习方法和培养良好的学习习惯。
2.分层练习
为了鼓励全体学生都能参与课堂活动，使课堂充满生机，教师应有意识地编拟三个层次的问题、有难度的由学优生回答，简单问题由学困生回答，中等问题则可由中等生来回答。分层教学中根据学生练习速度参差不齐的现象，为学生设计不同层次的练习，即基础题、综合题和创意题；因人施教，调动起所有学生的学习积极性，使每个学生都在原有基础上得到不同程度的提高。
（三）培养孩子的综合学习能力
在当前的初中课堂教学中，为了能够有效地形成一种师生间的互动，教师也转型互动式的教学。以学生自身发展为重点通过学生的自身努力形成数学学习能力，怎样由数学学习带动其它各科的学习，变的越来越重要。数学的思维能力往往能够带动其它学科的学习。比如数学中的一元一次方程所研究的重点行程问题也是物理学习的一部分，若是数学方面接受的好那么物理方面也会觉得简单。此类的例子比比皆是。数学的思维能力一旦形成则生活中的许多问题也会被解决。构建智慧课堂的魅力就在此处，万变不离其中，方法学习会了，能力形成了，最终才会形成综合的学习生活能力。
结束语
新课程理念认为，课堂教学不是简单认识数学的过程，它是师生共同成长的生命历程，是不可重复的激情和智慧综合成长的过程。在初中数学教学中我们要做的还有很多，超越知识教育，从知识走向智慧，从培养知识人转为培养智慧者。这是我们一生追求的目标。在今后的教学中，教师应当继续遵循新课标的要求，努力创新，认真教学，争取让学生在新的教学目标中得到更好的发展。
参考文献：
一、对教学现象的思考
教师讲解例习题常采用“老师分析、提示思路、板书演示、学生模仿” 的教学形式. 数学教师经常存在这样的困惑：一些例习题，教师讲了多遍，而学生却总是不能掌握，题目稍加改变，学生更是不知从何入手. 如何才能提高学生分析问题和解决问题的能力？如何才能培养学生自我纠错、自我反思的能力呢？
学生的数学学习需要一个充满灵动的活动空间，《数学课程标准》在课程目标中也指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，通过义务阶段的数学学习，学生能获得……基础知识、基本技能、基本活动经验. ”
我们一直在探索一种以学生为中心的数学课堂，引导学生走上讲台讲题就是其中之一. 在学生讲题的过程中，可以把学生的思维过程暴露无遗，让解题思路更清晰、深刻，从而积累活动经验，提高学生的反思能力、纠错能力、探究能力和解题能力，是提高课堂效率的有效途径.
二、引导学生讲题的实践
数学课堂中让学生讲题是一个师生互动、生生互动的过程. 教师的有效引导，让学生参与讨论、交流、质疑、反思、优化解题的过程就显得尤其重要. 笔者结合教学实践，积极引导学生讲题的一些尝试呈现如下，与同行们交流.
1. 通过提出有启发性的问题，引导学生讲题
案例1 在配方法的新授课中，学生学会开平方法后，小组探讨怎样解方程：x2-10x+16=0. 设置如下问题：（1）能用开平方法或因式分解法解吗？（2）能化为用开平方法解的形式吗？
小组围绕问题交流后，引导上讲台学生讲题.在学生讲解过程中，教师追问：（1）为什么要移项？（2）为什么两边加25？
在追问中让学生理解配方的实质，而不仅仅停留在模仿上，再加以配方练习，规范解题格式，可取得不错的效果.
在关键处提出有启发性的问题，引导学生思考、交流，有助于学生讲题时抓住知识的本质，完善认知结构.
2. 利用学生对例题的不同理解，引导学生讲题
案例2 在证明四边形内角和定理时，教材给出连结对角线BD，转化为三角形内角和为180°来证明（如图1），引导基础较弱的学生讲题，并通过追问的方式得到这种证明方法的本质：把四边形问题转化为三角形问题来解决.
老师提出“还有其他的转化方法吗？”让学生思考，有学生提出连结两条对角线转化为四个三角形的内角来解决（如图2），得：180°×4-360°得四边形内角和为360°.
教师追问：这个点一定要是对角线的交点吗？学生再次深入思考后得出：这个点可以为四边形内任何一点，都能起到转化为四个三角形的内角和减去一个周角的作用.
此时，有学生提出更深层次的问题：其实，这个点可以在四边形内，也可以在四边形的边上或四边形的外面，都可以把四边形转化为三角形（如图3、图4）.
教师表扬后引导学生小结：（1）四边形问题，常可以转化为三角形问题来解决；（2）此题中实质上是在四边形所在的平面内任取一点，然后连结各顶点，就把求四边形内角和转化为求三角形内角和来解决，图1是点恰好取在顶点，方法最优.
利用不同层次的学生对例题的不同理解，能使学生积极参与讲题活动，在讲题交流中，解答问题时的不同角度突破了学生的认知障碍，丰富了学生的解题经验. 教师的适时点拨与讲评，让不同的认知得到及时转化，促进学生的认知水平不断提升.
3. 呈现做题过程中的典型错误，引导学生讲题
案例3 如图5，在菱形ABCD中，AB=2，∠C=
60°，菱形ABCD在直线l上向右做无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作，菱形中心O所经过的路径总长为（结果保留π） .
笔者先让学生独立思考，然后与同桌交流，如发现解题中的问题，由学生上台讲他认为正确的答案，并指出错误的地方. 然后全班同学讨论，最后由教师总结，进行现场讲题指导.
错因归类1：不能准确地找到点O的运动轨迹而出错. 主要有下面两种情形.
学生错题讲解①：如图6，圆弧的半径为■，点O在菱形运动中的路径看作是2次操作为一周期，得到了路径总长度为12■π.
学生错题讲解②：如图7，误将第2次操作和第3次操作间的路径看作是平移，路径是一条线段，得到规律为3次操作为一周期，得到总路径长为8■π+12.
错因归类2：计算出错，主要有以下三种情形.
学生错题讲解③：如图8，虚线部分是菱形中心O的运动轨迹，大圆弧的半径为■，小圆弧半径为1，翻滚3次为一周期，总路径长为14π.
学生错题讲解④：如图8，大圆弧的半径为2，小圆弧半径为1，翻滚3次为一周期，故总路径长为20π.
学生错题讲解⑤：如图8，虚线部分是菱形中心O的运动轨迹，大圆弧的半径为■，小圆弧半径为1，故总路径长为■π.
学生通过讲例题中的典型错误，向同伴充分暴露自身的解题障碍，并及时得到师生的帮助，从而修正自身的认知结构，同时也让基础较好的学生更深层地认识自身的解题方法，促使其优化.
4. 通过习题的一题多解和一题多变，引导学生讲题
案例4 如图9，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD. 求证：EFAE.
学生在条件∠FAE=∠EAD的启发下，大多数同学形成以下思路：过点E作EGAF，垂足为G（如图10），先证得ADE≌AGE，得出∠AED=∠AEG，再证EGF≌ECF，得出∠GEF=∠CEF即可得证.
在第一位同学讲好题后，教师作如下引导：点E是边CD的中点，可以怎样作辅助线？
学生依据以往解题经验及和同学交流后，得到如下方法：如图11，延长AE交BC的延长线于点G，先证ADE≌GCE，得AE=GE，再根据等腰三角形的三线合一，即可得证.
提出新的问题：如果将条件中的正方形改为矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形、梯形、任意四边形……这个结论还成立吗？若成立，以上两种方法还适用吗？
通过这种能一题多解、一题多变的问题，能很好地“引爆”学生的思维，学生愿意积极地参与课堂的讲题，学生掌握的不是一道题的解法，而是一类题的思考方法，从而积累经验.
5. 通过习题的深入拓展，引导学生讲题
尝试以一道题为背景，层层深入进行拓展，让不同的学生能找到讲题的素材，在教师和同伴的引导下，通过讲题交流活动，提升数学思维品质.
案例5 如图12，已知抛物线y=-■x2+x+4与y轴交于点C，与x轴交于点A，B.
（1）求点A，B，C的坐标.
（2）求ABC的面积.
（3）在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得MAC的面积最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
（4）若点P是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点P，使PBC是直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
（5）在直线AC上是否存在点F，使得FBC是等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由.
（6）若点M是抛物线上的点，是否存在这样的点M，使以M，A，C三点为顶点且AC为直角边的三角形与BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
（7）你能提出其他的问题吗？
问题（1）至问题（7）都是以抛物线y=-■x2+x+4为背景通过多次变式而得，问题（1）（2）起点低，问题（3）为常见的面积最大值问题，问题（4）（5）（6）为直角三角形、等腰三角形、相似三角形的分类讨论，解题方法多，在讲题过程中，为学生提供了更好的展示平台，并可以得到最优化的解题方法，问题（7）让学生提问，能让不同层次的学生参与讲题，适应了不同层次的学生需求，且有前6个问题的铺垫，他们提出问题会变得比较深刻.
在复习课中，由一道题层层深入的呈现形式，能很好地吸引不同层次的学生参与讲题活动，同时不同层次的学生能通过讲题暴露出对问题的不同理解和解决方法，在教师的适时点评和同伴的互助下，能很好地帮助学生对问题的理解趋向深刻，提升思维能力.
三、反思与体会
让学生走上讲台讲题，正是体现“学为中心”理念的一种探索，能激发学生学习的自主性，能在课堂进行真正的有针对性的教学互动，能为学生积累活动经验和解题经验，能发挥例习题讲评的最大功效.
