时间：2023-06-12 14:47:22
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇三角函数变换规律，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
【关键词】 恒等变换 给值求值 给角求值 给值求角 综合运用
【中图分类号】G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(a)-0143-02
三角恒等变换是高考的重点之一,要求掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式;高考对本部分内容的考点:一方面是简单的化简、求值,以客观题为主,难度一般不大,有时以向量为载体出现解答题;另一方面本节内容常作为数学工具常融合三角函数,这时要先对三角函数解析式进行化简、变形,再深入考查三角函数的图像和性质。还需说明一点的是“几个三角恒等式”及积化和差、和差化积公式和半角公式不要求记忆和运用,已经淡出高考范围。本文现从江苏和全国其他各省近几年的高考试卷中精选出一些典型考题与大家一起研讨高考中这部分内容的命题方向和考查方向,希望能起到一个抛砖引玉的效果。
1 高考命题热点一:给值求值问题。
【真题再现1】(2011年全国卷理科第14题)已知,,则
【解析】本题考查了同角三角函数的基本关系式与二倍角的正切公式的运用。
由已知得,则,所以。
规律小结:对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值,关键在于变角,使目标角变换成已知角,若角所在的象限没有确定则应分情况讨论,应注意这部分内容中公式的正用、逆用、变形利用,同时根据题目的结构特征,学会拆角、拼角等技巧,
如,等。
2 高考命题热点二:给角求值问题。
【真题再现2】(2006年江苏卷第14题)
【解析】本题考查了切割化弦、辅助角公式
,倍角正弦公式、降幂公式。原式
=
=
=。
规律小结:给角求值问题,一般给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系。解题时要利用观察得到的关系,结合三角公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而得到解,有时还要逆用、变用公式,同时结合辅助角公式和升幂、降幂公式等技巧。
3 高考命题热点三:给值求角问题。
【真题再现3】(2008年江苏卷第15题)如图,在平面直角坐标系中,以轴为始边做两个锐角,,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为。(1)求的值;(2)求的值。
【解析】本题融合三角函数的定义,考查两角和的正切公式、二倍角的正切公式。由条件得,因为,为锐角,所以=,因此
(1),
(2),所以,因,为锐角则,故=
规律小结:给值求角问题,往往通过间接求出这个角的某个三角函数值,再得出这个角的大小,选取某个三角函数值时可按照下列原则:一般已知是角的正切函数值,则选所求角的正切函数值;已知条件是正弦、余弦函数值,则选所求角的正弦、余弦函数值皆可;若所求角的范围是,则选该角的正弦函数值较好;若所求角的范围是,则选该角的余弦函数值较好。解决给值求角问题分三步:第一步是求该角的某个三角函数值,第二步是确定该角所在的范围,第三步是根据角的范围写出所求的角。
4 高考命题热点四:三角恒等变换与其他数学知识的综合运用问题。
【真题再现4】(2011年重庆卷第16题)设,
,满足,求函数在上的最大值和最小值。
【解析】本题考查融合了三角函数的单调性和最值的性质,考查诱导公式、二倍角的正弦公式、降幂公式、公式
,又考查综合分析问题和解决问题的能力。由已知 ,由得,因此
;由及,解得增区间;由及,解得减区间,所以函数在上的最大值是;又因,则函数在上的最小值为。
【真题再现5】(2009年江苏卷第15题)设向量
,,。
(1)若与垂直,求的值;
(2)求的最大值;(3)若,求证:∥。
【解析】 本题主要考查融合向量的基本概念与向量平行,考查同角三角函数的基本关系式、
二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力、综合分析问题和解
决问题的能力。
(1)由与垂直,,即
,。
(2)4,
,则的最大值是。
(3)由得,即,所以∥。
规律小结:三角恒等变换与其他数学知识的综合运用,大多以解答题的形式出现,它一方面融合平面向量知识考查化简、求值、证明恒等式,学生必须掌握好平面向量知识特别是数量积的运算才能顺利解答问题;另一方面三角恒等变换为数学解题工具,它往往融合三角函数考查三角函数的图像和性质(如周期性、单调性、值域、最值等),这类题突破的关键是能正确快速地对三角函数进行化简,化简的技巧和原则:①采用遇平方降幂的方法使式子的次数尽量低;②采用辅助角公式、切弦互化使式子的函数种类尽量少;③采用已知角表示未知角使式子的角的种类尽量少;④采用通分等变形技巧使式子结构尽量简单,同时还要注意角的范围及三角函数的正负。随着知识的深入还会更多的接触到三角恒等变换与解三角形(正弦、余弦定理)融合的题型。
5 高考的考查特点分析和方向预测。
上面就一些高考中的三角恒等变换知识进行了深入的分析,通观全国各省对三角恒等变换的考查,我们发现有以下特点:
(1)分文理科的地区,两科对三角恒等变换均有考查;文理试题的题目基本相同,难度区分不大。
(2)区分度问题:三角恒等变换部分不会出非常难的题目,一般都是以容易题、中档题出现。
（3）题型方面:全国各省在选择题和填空题中都有所考查,更侧重填空题;在解答题中考查但难度不大;全国各省高考大多数都是考一道填空题容易题和一道解答形式的中档题。
摘要：课堂教学的主体是学生，课堂教学的目的是促进学生的发展。教师在课堂教学中是学生学习的引导者、组织者和帮助者。教师如果能采用恰当的策略，充分发挥学生学习的主动性，激发学生学习的兴趣和热情，为学生的学习指明正确的方向，那么学生就会在课堂的学习中获得长足的发展。
关键词：学生发展 教学策略 三角函数
课堂教学的最终目的是促进学生的发展，学生发展的内涵体现在教学目标上，可细化为“三维目标”：即知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。作为“思维的体操”的数学，在促进学生发展方面起着举足轻重的作用，它可以很好的培养学生能力、夯实学养根基、培养优良个性品质。在高中数学课堂教学中，如何根据不同的教学内容，选择合适的教学策略，促进学生的发展，成为广大教师所关心的热点问题之一，本文以高中数学《三角函数》的教学为例，就此谈点粗浅的认识和体会。
1、注重知识衔接，奠定学生发展的基础
同一知识模块或相关知识，在不同学段有着不同的要求.“螺旋式上升、循序渐进”便成为了新教材编写的重要原则。因此，在课堂教学中，要充分体现这一原则，充分注重知识的衔接，遵循学生的认知规律，为学生的发展奠定坚实的基础。
案例1初、高中三角函数各自内容怎样？两者是如何衔接的？
众所周知，三角函数是中学数学的重要内容，在初中阶段，学生已初步学习了三角函数知识，但只要求学生在了解的基础上会进行一些特殊角的三角函数的计算和化简。在高一教材中则花了三个章节系统介绍了三角函数知识，并且角的范围扩大到任意角，教学要求明显提高，偏重于三角函数图象和性质的研究及应用，内容丰富、抽象、概括性很强，它不是初中内容的简单重复，而是延伸、拓展和提高。因此，我们说三角函数是初、高中数学教学的一个重要衔接内容，正确处理好初、高中三角函数的教学衔接，深入研究彼此潜在的联系和区别，做好新旧知识的串连和沟通，不仅可以帮助学生深化理解三角函数概念，而且更有助于提高学生的思维能力，分析问题和解决问题的能力。
案例2 高中三角函数两章的内容如何分布？又是怎样衔接的？
高中数学三角函数在人教版普通高中课程标准实验教材·数学（A版）中，安排在必修4的第一章《三角函数》和第三章《三角恒等变换》共两章，知识脉络大体为；角的推广任意角的三角函数定义诱导公式图象与性质图象变换简单应用；两角和与差的公式倍角公式简单三角恒等变换.一环扣一环，前面的基础没打好，后续知识就会难以为继.比如：由三角函数定义，我们不难得出各个函数在每个象限的符号，而懂得这个符号规律是我们掌握诱导公式的前提。
在课堂教学中，至于这两章如何衔接，具体处理方式不外乎两种，第一种就按教材顺序进行；第二种第一、三章连着上，然后再上第二章。笔者建议不用“创新”就按教材这种“螺旋式上升”这种方式就行了，先学了《三角函数》之后接着讲《平面向量》，学生先有一种新鲜感，尔后学《三角恒等变换》，再通过三角与向量的简单结合，进一步加深、强化、巩固.这样，更符合学生的认知特点。我们要深刻理解新教材编写的良苦用心，注重同一知识不同章节的衔接，打好知识基础并在此基础上呈阶梯状上升。
2、注重知识生成，提升学生发展的品质
长期以来，高中学生普遍反映数学难、数学枯燥乏味，究其原因是教师在教学中过分重视结论的应用而忽视结论的生成造成的。数学教学是学生在教师的正确引导下通过动手实践、自主探索、合作交流的方式获得广泛数学活动经验的过程，并在这个过程中，逐步提升学生发展的品质，包括主动发展的意识、思维能力、创新行为与成果等。
案例3 三角函数的定义是怎样形成的？
初中锐角的三角函数的定义用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义锐角三角函数用单位圆上的点来定义锐角三角函数利用单位圆定义任意角的三角函数。
四个过程，循序渐进，不断深化，通过有效的铺垫,使之符合学生的认知规律，体现了数学知识的产生、发展过程, 从而激发学生主动探求事物“来龙去脉”的原始欲望，强化主动发展的意识。
案例4 余弦函数y=cosx的图象如何得到？
设问1：用描点法可以作出y=cosx的图象吗？
设问2：用类似于求作y=sinx的方法可以作出y=cosx的图象吗？
设问3：由诱导公式六y=cosx=sin（■+x），你能找到y=sinx和y=cosx的图象之间的联系吗？
三个设问的设计，从思维的角度出发沿着先易后难的方向，从自主探究的过程出发则是先难后易，在课堂教学当中，引导学生先独立思考，后合作交流，这样从正反两个方面不仅让学生得到了y=cosx的图象，还让他们知道正余弦函数图象之间的区别和联系，图象生成之际即为思维能力提升之时。
3、注重学科辩证思想，培养学生发展的素养
“辩证法”作为“放之四海皆准”的通法，会渗透到各个学科各个领域，数学学科亦不例外。三角函数内部之间存在着唯物辨证的关系，在学习三角函数关系中要注意渗透辨证思想，例如常量与变量、运动与静止、特殊与一般、具体与抽象，有助于帮助学生理解和掌握三角函数的知识内容和相互联系，同时通过学习数学知识培养唯物辩证思想，感受数学的美学价值，学习做人做事的基本原则，将来成为社会发展需要的高素质人才。
【关键词】三角函数；教学体会；教学反思；实际应用
当今时代，知识更新速度加快，日新月异.特别是进入21世纪以后，思想活跃，关于数学方面的研究日益深入和丰富.三角函数研究的意义和必要性也日益突出，其中三角函数的教学扮演着重要角色.
三角函数教学的内容、教学目标及教学方法不断发生着变化，而且在我们的日常生活中具有越来越重要的作用.下面让我对高中三角函数教学的心得体会、反思以及三角函数在我们日常生活中的作用做一些详尽的介绍.
一、三角函数教学的心得体会
1.要特别关注和留意教材与大纲内容的变化.认识这一变化，我们才能有目标地学习，了解教学的深度、难度和广度，避免复习中做一些无用功.
2.关注教材编写的新颖之处.
3.强化几何思想，加强几何直观.
4.加强了数学建模的思想.把三角函数作为描述真实生活的数学模型，首先展示大量的背景材料，再分析、概括、抽象，建立模型来解决问题.数学生活化，更容易调动学生的学习积极性.
5.高科技设备的引入和应用.把学生从烦琐的计算中解脱出来，并利用信息技术探索数学规律.
二、三角函数的教学反思
关于三角函数的教学，应注意以下问题：
1.数学知识生活化.让学生自主积极地将数学与生活联系起来，使学生体会三角函数模型的意义.
2.弧度是学生比较难接受的概念，教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的单位，可在后续课程的学习中逐步理解这一概念，在此不作深究.
三、对学生的要求
学生一定要注重三角函数中的基础知识及应用知识.要对三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、化简、求值和最值等重点内容熟练掌握并加以运用.将三角函数与代数、几何、向量的关系加以联系总结，相互融通.在三角函数的学习中比较重要的就是注重知识的总结.
1.熟悉三角变换常用的方法——化弦法、降幂法、角的变换法等，并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明.
2.深入探究正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像性质及对平移变换、伸缩变换的意义.
四、学习三角函数的策略
1.了解差别：深入探究角、函数运算间的差别，即进行所谓的“差异分析”.
2.寻找相关性：通过公式间的相关性，找出差异之间的内在联系.
3.恰当转化：选择合适公式，使得差异转化.
五、三角函数知识的意义和影响
三角函数知识对于锻炼学生思维，培养学生数学思想方面发挥着重要作用.
1.培养学生的函数与方程思想
教师在培养学生的函数与方程思想时，讲授求值域、求最值、求参数等相关的知识和方法，引导学生学习函数和方程的使用，通过指导学生进行解题练习，使学生在实际练习中感悟函数与方程思想的意义，从而使学生的函数与方程思想得到锻炼和培养.
虽然三角变换的技巧多且灵活，但是万变不离其宗，多是通过观察角、名、形、幂之间的差异，进行差异分析，实现异角化同角、异名化同名、高次化底次、弦切互化等的变异求同.
1.变“角”
例1.设α∈（0，），β∈（，），cos（α-）=，sin（β+）=-，求sin（α+β）的值.
【分析】条件角是α-，β+，目标角是α+β，运用转化与化归思想得到α+β=（α-）+（β+）-.
【解答】由α∈（0，）得到α-∈（-，0），所以sin（α-）=-=-.
由β∈（，）得到β+∈（π，），所以cos（β+）=-=-.
所以sin（α+β）=sin[（α-）+（β+）-]=-cos[（α-）+（β+）]=.
【评析】本题可以直接利用和角、差角公式展开cos（α-）=，sin（β+）=-得到sinα，sinβ，cosα，cosβ.这也是一种思路，但是计算量太大.本题的解法通过配角化异求同，沟通已知角与未知角的关系，大大提高了解题效率.但是解题中要注意角的范围，α-∈（-，0），β+∈（π，）是不可缺少的，忽视角的范围限制，容易产生运算错误.
常用的角度变换有：α=（α+β）-β=（α-β）+β，2α=（α+β）+（α-β），（+α）+（-α）=，等等.
2.变“名”
例2.已知函数f（x）=tan（2x+），
（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；
（II）设α∈（0，），若f（）=2cos2α，求α的大小.
【分析】解决三角函数问题要三看，即看角、看名、看式.由f（）=2cos2α得到tan（α+）=2cos2α，这里有复角α+，倍角2α，单角α，首先得消除角的差异，即α+，2αα；其次函数化切化弦.
【解答】（I）易解得定义域为{x|x≠+，k∈Z}，最小正周期T=.
（II）解：由f（）=2cos2α得到tan（α+）=2cos2α，即=2（cosα-sinα），即=2（cosα+sinα）（cosα-sinα）.
因为α∈（0，），所以sinα+cosα≠0，所以（cosα-sinα）=，即sin2α=.
由α∈（0，），得2α∈（0，），所以2α=，α=.
【评析】弦切互化是化函数异名为同名的最常用方法.忽视角的范围限制是产生错误的重要原因.
3.变“式”
例3.求值：tan17°+tan43°+tan17°tan43°.
【分析】非特殊角特殊角，利用公式变形整体求解.
【解答】tan60°=tan（17°+43°）==，所以tan17°+tan43°=（1-tan17°tan43°），所以tan17°+tan43°+tan17°tan43°=.
【评析】在进行三角变换时，顺用公式的情况比较普遍，但如果能根据题目的结构，联想到公式的变形、逆用，那么就会“柳暗花明又一村”.本题的巧妙之处在于将两角和的正切公式变形为tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）.
4.变“次”
例4.函数f（x）=sin（2x-）-2sinx的最小正周期是
？摇？摇？摇 ？摇.
【分析】已知条件中存在次数的差异，应先运用降次、升幂公式消除次数差异.
【解答】f（x）=sin（2x-）-2=sin2x-cos2x-+cos2x=sin2x+cos2x-=sin（2x+）-，所以最小正周期是π.
【评析】通过降次、升幂等手段，为使用公式创造条件，也是三角变换的一种重要策略.常见的降次公式有sinx=，cosx=；升幂公式有：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα.
5.“1”的妙用
例5.已知a，β均为锐角，且tanβ=，则tan（α+β）=
？摇？摇？摇 ？摇.
【分析】已知条件是sinα，cosα的齐一次式，联想到化弦为切，转化为tanα，tanβ的关系.
【解答】tanβ===tan（-α）.又因为α，β均为锐角，所以β=-α，即α+β=，所以tan（α+β）=1.
【评析】在三角变换中，“1”的妙用使问题迎刃而解.常见的有1=sinα+cosα，1=tan.
6.整体处理
例6.已知sinθ+cosθ=，且θ∈[，]，则cos2θ的值是
？摇？摇 ？摇？摇.
【分析】看到sinθ+cosθ=比较容易想到sinθ+cosθ=sin（θ+）=，那么2θ=2（θ+）-，这是一种思路.当然还可以从化同角的角度把单角变倍角，则只需平方即（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=1+sin2θ；或者把倍角转化为单角，则cos2θ=cosθ-sinθ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ），只要能求出cosθ-sinθ，这个问题就解决了.
【解答】法一：sinθ+cosθ=两边平方得（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=1+sin2θ=，即sin2θ=-.又因为θ∈[，]，所以2θ∈[π，]，所以cos2θ=-=-.
法二：sinθ+cosθ=两边平方得（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=-，
又（cosθ-sinθ）=cosθ-2sinθcosθ+sinθ=1-2sinθcosθ=，又θ∈[，]，
所以cosθ-sinθ
关键词：几何画板 三角函数 动态演示
在新课程改革的大背景下，如何充分应用信息技术服务教学成为了我们每个教育工作者必须关心的话题。在传统的三角函数教学中，基本上都是使用常规工具（如粉笔，圆规或直尺等）画图，所作的图形是静态的，具有一定的局限性；而在数学中很多关系和规律是在变化中被发现和掌握的，传统的教学没有变化过程，无法展现图形变化的任意性，从而不利于规律的发现。本文将通过三角函数教学中的两个案例，展示几何画板辅助三角函数教学所具有的独特优势，让三角函数教学"动"起来。
案例1：借助几何画板形象说明y=sinx是以2π为周期的周期函数
在人教版数学必修4《第一章三角函数》这一章中，如何理解"三角函数的周期性"是教学的重点，也是教学的难点，正确理解三角函数的周期性对于学生在三角函数的学习中有着举足轻重的地位。数学概念都是死的，是不能再创造的。传统的教学对三角函数的周期性这一概念往往是让学生死记，再机械应用，但随着时间的推移，学生的记忆就会很快的被遗忘。而事实上，对三角函数的周期性这一概念的教学应该关注学生的学习过程，提供足够的材料、时间和空间，让学生通过观察、比较、交流、讨论等活动来完成。几何画板对于达到上述目标具有先天的优势，借助几何画板的"平移图像"功能，通过数形结合很好的向学生展示了三角函数在每个周期上的函数图像是一样的。
下面以y=sinx为例，向学生展示y=sinx是以2π为周期的周期函数，绘图步骤如下：
①建立直角坐标系xOy，执行"图表-定义坐标系"。在直角坐标系xOy中作出函数y=sinx的图像：执行"图表-定义坐标系"，"图表-绘制新函数-函数-sin-x"。
②在画板中任取点P，以点P为
坐标原点建立新的直角坐标系，如
应用1，作出y=sinx在区间[0，2π]
上的函数图像。选中该图像，执行
"编辑-操作类按钮-隐藏/显示"，
生成按钮显示轨迹。图一
③在x轴上绘制点A(-2π，0)、A（2π，0）。依次选中点P、点O，执行"编辑-操作类按钮-移动"，生成按钮还原；依次选中点P、点A，执行"编辑-操作类按钮-移动"，生成按钮周期1；依次选中点P、点B，执行"编辑-操作类按钮-移动"，生成按钮周期2；
④隐藏所有没必要的对象,如图一。
教学时，点击按钮显示轨迹，函数在区间[-2π，2π]上的图像便以粗体的形式出现在学生面前。拉动点P，再次让学生体会y=sinx在区间[-2π，2π]上的图像。点击按钮还原，则该图像会回到原来的位置。点击按钮周期1和周期2，y=sinx在区间[-2π，2π]上的图像就会分别移动到区间[-2π，0]和[2π，4π]上，此时，学生很容易看出在这三个周期上的函数图像是一样的，依此类推，通过图像的移动等动态演示，从而使学生深刻理解三角函数的周期性这一概念。
案例2：借助几何画板探究函数y=Asin(ωx+φ)的图像
人教版数学必修4《1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像》这一章节的教学中，重点是如何让学生认清楚参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)图像的影响。为此，我们借助几何画板分别作出y=sinx与y=sin(x+φ)、y=sinx与y=sinωx、y=sinx与y=Asinx三组图像，通过改变参数φ、ω、A的值，引导学生观察参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)图像的影响。
下面，我以φ对y=sin(x+φ)的图像的影响为例，谈谈如何借助几何画板动态演示y=sinx的图像转换成y=sin(x+φ)（φ∈(-π，π)）的图像，作图步骤如下：
①作y=sinx的图像:建立直角坐标系xOy，执行"图表-定义坐标系"。作函数y=sinx的图像，执行"图表-定义坐标系"，"图表-绘制新函数-函数-sin-x"。
②作y=sin(x+φ)的图像:在x轴上绘制点M(-π，0)、N(π，0)，作线段MN。选中线段MN，执行"作图-线段上的点"，得到点P。依次选中点P与原点O，执行"变换-标记向量"。选中y=sinx的图像，执行"作图-函数图像上的点"，得到点A。选中点
A，执行"变换-平移-标记"，得到点B。
依次选中点A和点B，执行"作图-轨迹"，
得到y=sin(x+φ)的图像。
③依次选中点P、点A和点B，执行
"度量-横坐标"，得到点P、点A和点B
的横坐标xP、xA、xB，则φ=xP。
④隐藏所有没必要的对象,如图二。图二
在教学中，先将点P移至原点。演示的时候，提醒学生观察参数xP、xA、xB的变化，其中φ=xP。若将点P向x轴的负半轴移动时，函数y=sin(x+φ)的图像向右移动，此时φ=xP0。通过以上动态演示，学生不难得出以下结论:当φ0时，y=sin(x+φ)的图像可由y=sinx的图像向左平移|φ|个单位。
运用几何画板辅助三角函数的教学，不仅让三角函数教学"动"起来，而且还增大课堂容量、优化教学结构，增强学生的学习兴趣，激发学生的探究精神。同时，充分体现了"以人为本"的新课程理念，并且拓宽了数学课堂的教学形式，改变以往单一的教学手段，使数学问题更形象化，更贴近生活，为数学教育开辟了更为广阔的天地。
参考文献
摘要：高中数学的特点是由它的培养目标决定的，学生在学习中不同的学习方法，不同的学习态度会得到不同的效果。教师要加强这方面的训练。
关键词：教育目标 知识网络化 学习兴趣 创新能力
高中数学是高考中的必考学科，它不同于其他学科是由它培养教育目标所决定的。高中数学教育占有特殊的地位，使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰，思考有条理，使学生具有实事求是的态度，锲而不舍的精神，学会用数学的思考方式去解决问题。学好数学对于每一个高中生来讲是十分必要的，特是不同的方法，不同的学习态度会得到不同的效果。教师在教学中有必要加强这方面的训练。
函数部分进行列表比较。一般函数按照定义域、值域、基本图象、单调性、奇偶性、周期性、对称性来进行，特别是要记住一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和函数f(x)=ax+b/x(a＞0，b＞0)的图象和性质。对于函数的一些特殊性质是必须记的且必须会灵活运用，如：函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数；单调函数存在反函数，且其反函数在其对应区间上具有相同的单调性；指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称；由f(a+x)=f(a-x)去找函数的对称性，由f(x+a)=f(X-a)去找函数的周期性。
数列知识对比学习。如等差数列与等比数列可以从定义，通项公式，等差(比)中项，前n项和公式，性质人手，如下标成等差数列的项所构成的数列；间隔相等的数列片断和构成的数列；非零的常数列。记的结论如三角形中的三个内角成等差数列，则其中必有一个角为60°，若是三条边成等差数列，三内角的正弦值成等差数列，两个等差数列中相同的项仍构成等差数列，其公差是已知两数列公差的最小公倍数；在求数列通项公式时要注意相邻两项的比(差)的关系，以及在对已知条件变形(如加常数，取对数，取倒数)转化为等差(比)数列，在求前n和公式时对于等比数列的求法，以及裂项相消法；同时要注意与函数和不等式的联系。
三角函数的学习中要找准一个“变”。在三角变换中有角的变换、三角函数名称的变换、三角函数表达式的变换。要观察差异(角、函数、运算)，1的运用，寻找联系(借助熟知公式、方法和技巧)，特别是在三角函数的周期、最值以及函数图象的变换时，常用降次公式和辅助角公式。同时要将平面向量中解三角形综合起来，将它看作为三角函数在三角形中的运用。尤其是正余弦定理的运用，函数图象按向量平移与一般平移不同。
不等式方面以及导数知识将它们看作为是新的解题方法，是能力的提升。特别是线性规划问题划入不等式的学习中更为有利，一定要将均值不等式成立的条件理解清楚；导数的应用中单调性的讨论以及闭区间上最值的讨论又是对函数性质的补充和扩展。对于导数中判断方程解的个数一定要注意极限思想。
解析几何方面找准曲线的定义，记住曲线的性质。作为这部分知识是数学的思想和方法的提炼，对函数与方程的思想、数形结合思想、化归转化的思想、分类讨论的思想，以及待定系数法、坐标法定义法、相关点法、参数法、交轨法都考查得十分到位的。
立体几何方面一定要夯实基础，弄清概念，学会作图、识图，把知识网络化。对于线线、线面及面面的位置关系(平行与垂直)、两异面直线的判定，三垂线定理，二面角等应精练多练，对于三种角的求法，距离之间的转化要不断总结找规律。要能充分利用好向量这一解题工具，很多时候会解决不易作图问题，但对计算能力要求要高一些。
作为每一部分的内容不是孤立的，在学习中要多找它们的交汇点，如函数与不等式、数列、解析几何等，向量与三角恒等变形，向量与几何，向量与代数的联系，对于应用问题要能建立数学模型(如函数模型、方程或不等式模型、数列模型、排列组合模型、几何模型、图表模型等)，再思考重点是什么；学习中一定要充分利好教材，激发学习兴趣，通过培养问题意识，通过不同数学内容的联系与启发，进行类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，提高数学思维能力，在开发练习、习题的巩固，拓展知识、深化数学理解和应用的功能、精心设计和编排习题中进一步探索研究，培养创新能力。
集合与函数口诀
内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。
复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。
指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数， 大1为增小为减。
函数定义域好求，分母不能等于0 ，偶次方根须非负，零和负数无对数；
正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。
两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称， Y ＝ X是对称轴；
求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。
幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，
奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。
三角函数口诀（一）
三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；
中心记上数字 1 ，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，
顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，
变成锐角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，
将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，
余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。
计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。
逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。
万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；
1 加余弦想余弦， 1 减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；
三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；
利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。
三角函数口诀（二）
三角知识，自成体系，记忆口诀，一二三四。
一个定义，三角函数，两种制度，角度弧度。
三套公式，牢固记忆，同角诱导，加法定理。
同角公式，八个三组，平方关系，导数商数。
诱导公式，两类九组，象限定号，偶同奇余。
两角和差，欲求正弦，正余余正，符号同前。
两角和差，欲求余弦，余余正正，符号相反。
两角相等，倍角公式，逆向反推，半角极限。
加加减减，变量替换，积化和差，和奇互变。
不等式口诀
解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。
证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。
直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。
还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。
数列口诀
等差等比两数列，通项公式N项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。
数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，
取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考：
一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化：
首先验证再假定，从K向着K加1，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。
导数记忆口诀
导数定义要分明，平均变化率记清，增量可正亦可负，但要牢记不为零。
某点导数若存在，函数这点必连续，导数为零请注意，未必都是极值点；
某点导数不存在，切线方程可出现，区间导数大于零，这个区间必递增，
反之不一定成立。可导奇函导为偶，可导偶函导为奇；导数加减分进行，
导数积商记分明，函数可导四者导，两个函数若不导，四者导否难说清。
常数导数记为零，正变余弦不变号，余变正弦前添负，高次导数要记清，
前添次数上减1 。自然对数导真倒，一般对数真倒前，对底不变真变e；
自然指数导不变，一般指数前不变，自然对数底作真，切线斜率几何意。
复数口诀
虚数单位i一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。
对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与X轴正向，所成便是辐角度。
箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。
代数运算的实质，有i多项式运算。 i 的正整数次幂，四个数值周期现。
一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。
利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形，
减法三角法则判；乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩变换模长短。
三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。
辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭，
两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。
排列、组合、二项式定理口诀
加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。
两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。
排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。
不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。
关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。
立体几何口诀
点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。
垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。
方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。
立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。
异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。
平面解析几何口诀
有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。
笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者一一来对应，开创几何新途径。
两种思想相辉映，化归思想打前阵；都说待定系数法，实为方程组思想。
三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。
四件工具是法宝，坐标思想参数好；平面几何不能丢，旋转变换复数求。
解析几何是几何，得意忘形学不活。图形直观数入微，数学本是数形学。
思维体操口诀歌
世上事情多，总想弄明白。
勤做思维操，快乐常相伴。
第一看位置，前后与左右。
根据何而来，要往哪里去。
时间和空间，就是两条线。
目的和对象，分明是界限。
第二看尺度，平衡是关键。
快慢有节奏，松紧不能断。
条件会变化，它变我也变。
流水不争先，和谐是真言。
第三看层面，角度千千万。
里看外也看，眼光要常换。
登高能望远，秋毫也能见。
一层又一层，进出都自在。
第四看动机，矛盾是根源。
一分都为二，要好又要闹。
才有不平事，立刻起波澜。
前因有后果，解决靠实践。
第五看途径，办法有很多。
大处来着眼，小处要细算。
发散与聚合，顺逆都能得。
巧未必胜拙，胸中有主见。
天地有奥妙，万物皆循环。
思维常锻炼，只能算一半。
八风吹不动，意志坚如磐。
关键词：周期性现象模型；感性认识；三角函数
到了高中阶段，三角函数概念摆脱了初中阶段的束缚，产生很大的飞越． 概念提升后，学生认识的角度、深度和广度都要相应地发生变化，对概念的理解才能从初中阶段顺利过渡到高中阶段．从人类认识运动的辩证过程看，首先是从实践到认识的过程． 在这个过程中，认识采取了感性认识和理性认识两种形式，并经历了由前者到后者的能动飞跃． 理性认识是基于感性认识的基础之上的． 感性认识和理性认识相互渗透，相互包含． 感性认识和理性认识在实践的基础上是辩证统一的． 认识运动是不断反复和无限发展的． 数学就是人类通过实践由感性认识上升到理性认识而形成的，并在不断丰富和发展．
初中阶段的三角函数概念，其研究范围是锐角，侧重几何的角度，在一个直角三角形中，研究角和三角形边与边的“比值”之间的内在关系，其研究方法是几何的，研究目的是为解直角三角形服务． 高中阶段，它是在“角的概念的推广”的基础上进行讨论和研究的，研究从“静态”到“动态”，体现了运动变化的观点．通过构造，将给定的角通过直角坐标系研究，提供了用代数方法研究几何的思路，研究平台从初中的平面几何图形过渡到平面直角坐标系，再次体现了数形结合的思想． 任意角的三角函数作为函数概念的下位概念，要强调它是以角为自变量，比值为函数值的函数，由“锐角三角函数”概念扩张到“任意角三角函数”． 三角学的现代特征，是把三角量看做函数，即看做是一种与角相对应的函数值． 正如欧拉所说，“引进三角函数以后，原来意义上的正弦等三角量，都可以脱离几何图形去进行自由的运算”．
三角函数在高中数学教材中自成体系，成为独立的一章． 沿定义出发衍生的基本内容有：三角函数线、三角函数值的符号、同角三角函数关系、诱导公式、一些变换公式以及图象和性质，其内涵丰富，外延广泛． 在经历从锐角三角函数过渡到任意角三角函数定义的推广过程中，学生的理解很难一步到位，往往还是容易陷入于直角三角形中去研究角和三角形边与边的“比值”之间的内在关系． 要克服负迁移，打破思维定式，突破它的下位概念——锐角三角函数的概念的束缚，承前启后，从狭义走向广域，达到概念的内化．
脱离实际的理论是空洞的，会显得苍白无力． 找到感性认识的切入点，通过突出和深化感性认识，提供一些适当的背景，增强学生学习活动的体验，学生能身临其境，伴随着“真情实感”来体验概念的产生、发展过程，逐步过渡到理性认识阶段，水到渠成．
以典型、具体的模型，通过适当的实践让学生从已有的知识经验去认知，明确研究范围的变化，开阔视野，引导学生进行提炼概括，才能揭示由此带来的新问题，加深对新概念的理解，这样的学习才会充满活力．
这里给出两个例子来加以说明．
以和我们日常生活息息相关的交流电为例，它的最基本的形式是正弦电流
如图1所示为发电机的示意图．当线圈在匀强磁场中以角速度ω逆时针匀速转动时，线圈将产生感应电动势． 当线圈平面垂直于磁感线时，各边都不切割，没有感应电动势，称此平面为中性面，如图2所示． 设磁感应强度为B，磁场中线圈一边的长度为l，平面从中性面开始转动，经过时间t，线圈转过的角度为ωt，这时，其单侧线圈切割磁感线的线速度v与磁感线的夹角也为ωt，所产生的感应电动势e′=Blvsinωt． 所以整个线圈所产生的感应电动势为e=2Blvsinωt，2Blv为感应电动势的最大值，设为Em，则e=Emsinωt． 此式为正弦交流电动势的瞬时值表达式，也称解析式． 正弦交流电压、电流等表达式与此相似．
图3
图4
从产生交流电的过程看，对比正弦曲线，此例是一个非常生动和具体的实例．
简谐振动
简谐振动有单摆摆动和弹簧振子运动．
理论和实验都证明，简谐振动物体的位移随时间变化的规律呈正弦函数或余弦函数．
以横轴表示时间t，以纵轴表示位移x，建立坐标系，画出简谐运动的位移—时间图象都是正弦或余弦曲线，振动图象表示了振动物体的位移随时间变化的规律． 由图象可知振动的周期，可以读出不同时刻的位移；根据图象可以确定速度大小、方向的变化趋势；还可以根据位移的变化趋势判断加速度的变化，也能判断质点动能和势能的变化情况．
学生如果能从所熟悉的问题、感兴趣的事物、日常生活中的情景或已熟悉掌握的知识等这些背景出发，不仅把已有的数学现实作为新知识增长点，从现有的知识经验中培养新的知识经验，也将所学的数学知识与他的现实生活联系起来，找到数学知识在实践应用中的切入点，把数学应用于现实世界，服务于当代和新生科学的理论和实践，“把现实的数学与学生个体的现实紧密地结合起来”．
任意角的三角函数反映了自然界中或工程技术中的一个非常重要的周期运动现象，是大量周期性现象的模型，也是为研究客观世界中大量存在的周期性现象服务的．
【关键词】新课改；三角函数；空间解析几何；教学
【基金项目】云南省科技厅应用基础研究青年项目（2013FD052）；文山学院重点学科数学建设项目（12WSXK01）
引 言
《空间解析几何》不仅是大学数学专业的一门重要基础课程，而且也是其他理工科类专业的高等数学中的重要内容，它是数学的重要组成部分，是进一步学习后续课程的重要基础.它包括：向量与坐标，轨迹与方程，平面与空间直线、柱面、锥面、旋转曲面，二次曲线和二次曲面六部分内容，在这些内容中会涉及三角函数和反三角函数的知识.三角函数是高中数学的一个分支，自2009年以来，云南省开始实行新课程改革，数学用的教材是经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过的，人民教育出版社出版的普通高中新课程标准试验教科书，根据普通高中数学课程标准（试验），三角函数部分的知识与以前的全日制普通高级中学数学教学大纲相比，内容和要求上都发生了很大的变化.本文在云南省高中数学新课程改革下，结合大学数学专业及其他理工科专业对空间解析几何知识的要求，研究空间解析几何教学中设计三角函数相关知识的处理方式和技巧.
一、新课改下三角函数的教学要求
在没有实行新课程改革以前，高中数学教学都是以教育部制定的《全日制普通高级中学数学教学大纲》为标准，而实行新课程改革试点后，很多省市的高中数学教学就以《新课标》为标准，对两者在三角函数部分的教学要求进行比较发现，《新课标》有如下几点变化和要求：
1.对弧度的概念，任意角的定义，三角函数式的化简，求值和恒等式的证明，三角不等式的应用，三角函数求角，和差化积、积化和差、半角公式等降低了要求，在画图上更注重应用现代设备（计算器或计算机），不再是单纯的传统的尺规作图.
2.很注重三角函数定义中单位圆的地位及其应用.在《新课标》的说明与建议中明确提出：单位圆可以帮助学生直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式，以及三角函数的图像和基本性质；借助单位圆结合具体实例，教师可以引导学生自主的探索三角函数的有关性质，培养学生分析问题和解决问题的能力.
3.重视与其他学科之间的交叉与联系，也注重学以致用的思想.既可从物理、生物、自然界中的周期现象（运动），也可从已学过的指数函数、对数函数、幂函数等得到启示，例如通过单摆运动、波的传播、交流电、圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型之一，从而帮助揭示一些自然现象，提高学生学习数学的兴趣，还有助于培养学生发现问题和解决问题的能力.
4.在这个模块中，对比新课改前后的教材可知，任意角的反正弦、反余弦、正割、余割、反正切、反余切函数、周期函数，最小正周期和三角函数奇偶性的判定内容被删减了.
二、空间解析几何教材中三角函数相关知识的处理
在空间解析几何教材中，涉及三角函数知识的内容很多，如向量的射影、数量积、向量积、非零向量的方向余弦；平面曲线的方程、曲面的方程和空间曲线的方程；两条直线所成的角、两个平面所成的角、直线与平面所成的角；各种曲面的参数方程以及二次曲线和二次曲面的化简.根据第一部分所述的三角函数的要求，以及高校空间解析几何对后续课程的影响及作用，对该教学内容中涉及三角函数相关知识的处理显得非常重要.
1. 复习、引导和构建
近年来，学生生源的不断减少，但高等教育在不断发展，我国大学的入学率在不断的提高，或多或少会对生源的质量造成一定程度的影响，其中不乏部分数学基础不好的学生被录取，所以在上空间解析几何课程之前，可以先复习中学已经学过的三角函数知识；在教学中，要引导学生用已掌握的知识去推导即将用到的知识；其次，还要用所学知识试图去构建新知识，这样既有利于学生开动脑筋，又能培养学生思考问题和解决问题的能力.
2.熟记、锻炼和提高
虽然现在倡导能力和素质的培养，但也不能忽略培养学生的基础知识和基本技能.在解析几何课程中经常会用到已知三角函数求角，和差化积、积化和差，三角恒等变换公式等，现在国内通用的解析几何或者高等数学教材在涉及这部分知识内容上并没有太大的区别，因此在教学中会多次用到上述知识，可以通过多次强调帮助学生记住这些公式，同时多加以练习，从而不断提高.
3.略讲、转换或不讲
对于数学专业的学生，空间解析几何课程是一门非常基础的专业课，但也是对后续课程有很大影响的课程，对涉及三角函数知识比较多的第二章，可以挑选几个例题介绍用到的三角函数知识的基本思想，或者对所涉及的内容作一定的转换后再讲解，以便于降低学生的难度，同时更有利于学生对知识的理解.对于其他理工科类专业涉及这部分知识的基础好一点的班级可以略讲，基础差的班级可以不讲.侧重于教会学生今后遇到这类问题时怎样去查找资料，考试时可以不做要求.
（1）通过引例让学生经历问题提出过程，激发学生探索数学规律的积极性。
（2）理解两角差的余弦公式及推导过程，并能进行简单的三角恒等变换。
（3）通过公式的探究，培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重点与难点
重点：两角差的余弦公式的探究过程及公式的运用。
难点：探索过程的组织和引导，两角差余弦公式的探究思路的发现。
三、教学准备
教师：将教科书中的引例及图3.1-1，图3.1-2，图3.1-3，例1，例2做成投影片，有条件的可利用多媒体，图3.1-2做成动画形式。
学生：直尺、圆规等。
四、教学导图
创设情景，以实例引入课题 明确探究目标及途径组织学生自主探索例题与练习小结与作业。
五、教学设计
1. 展示实例
课本章头图3.1-1给出的问题，创设情景，引入课题。
设计意图：由给出的情境素材，使学生感受到实际问题中对研究两角和（差）公式的需要。
师生活动：教师――运用投影片或多媒体出示实例。组织学生使，问题数学化。
学生――实例的关键是如何由sinα=，求tan a=（45°α）的值。
教师――可先引导学生用方程的思想分析求解该问题。进而启发学生如何用所学的三角学知识进行分析解决。
师生――将问题一般化，抽象概括出带有一般性的数学问题：探求单角与和角的三角函数值之间的关系，即对任意角α、β如何用α、β的三角函数值把α+β或α-β的三角函数值表示出来？为此，本节学习两角差的余弦公式这一具有奠基性的问题，从而引出本节课题。
2. 你认为= 正确吗？
设计意图：人们由于受思维定势的影响，往往以为此“分配律”成立，通过特意设置这个思考问题，让学生深刻认识到这一“习惯性”的结论的不正确性，从而树立不能想当然、要理性思维的良好观念，并认识到要探索的公式在“恒等”方面要求的意义。
师生活动：教师――提出上述问题，引导学生分析认识到，要验证一个等式是否成立，可以先通过特例进行初步验证，有一个特例不成立，就可断言结论不成立;若找不到反例，则可试着去证明它是成立的。
学生――尝试检验，取一些特殊角进行验证，例如α=60°，β=30°，判断出该“式”不是“恒”成立的。
教师――那么，如何用单角α、β的正弦、余弦值正确表示cos（α-β）呢？通过这个问题引起悬念，激起探索欲望。
3. 运用三角函数定义探索cos（α-β）的表达式
设计意图：通过提出用三角函数定义推导公式，学生会考虑单位圆上如何做出角α、β、α-β的三角函数线，教师利用投影或多媒体，积极引导学生经历“作角找线找等量关系”的探索过程。
师生活动：教师――数学上讲究从特殊到一般，从简单到复杂，对此问题，我们也不妨先从α、β、α-β三个角都为锐角的情形开始研究。我们可以借用的工具是什么呢？回到基础，从定义开始。
学生――在单位圆，作出角α、β的终边，从而做出角α-β的余弦线OM，如图3.1-1。
教师――现在，问题可转化为什么样的问题？只需要探究出来什么就可以了呢？
学生――学生基本能够指出，问题转化为：如何用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM？
教师――带领学生利用几何直观寻找OM的表达式，从而得出表达式。教师进一步指出，刚才的推导是在都为锐角这个特殊情况下进行的，所得结果是否任意角α、β都成立？教师可以用多媒体进行演示，让学生通过演示观察猜测结论。肯定结论之后，具体推广过程请同学们课下完成。
4. 能否利用向量的方法探究cos（α-β）公式？
设计意图：通过多角度分析，培养学生的自主探究能力。使学生对向量的坐标表示，向量的数量积有进一步的理解。同时，培养学生严谨的数学品质。
师生活动：教师――上面通过回归定义，我们推导出了两角差的余弦公式，还有其他办法吗？
学生――在平面直角坐标系xOy中作单位圆，以Ox为始边作角α，β，如图3.1-2，从而能写出交点A，B的坐标，由数量积坐标公式推导出cos（α-β）。尝试推导过程。
教师――引导学生分析整个推导过程，是否有不严谨之处？
师生――根据向量数量积的概念，角α-β必须符合条件0≤α-β≤π，若α-β是任意角，则α-β也是任意角。事实上，α-β=2kπ+，或2kπ-
（k∈Z）.
cos（α-β）=cos=O・O对于，对于任意角α、β都有cos（α-β）。=cos αcosβ+sinαsinβ。
5. 归纳公式的结构特点
设计意图：使学生进一步熟悉公式，了解公式的结构特征，以便运用公式解决一些问题或推导其他公式。
师生活动：师生――共同分析公式结构特点：①任意角，②同名积，③符号反。
教师――此公式称为差角的余弦公式，简记为C（α-β）。
6. 自学例1，并解决思考题
设计意图：初步体验公式用法，增加对公式的理解，培养学生的自学能力。
师生活动：学生――求解过程独立完成。
教师――通过本例及思考题，点评①公式的正用和逆用，②角的拆分的多样性，③诱导公式的运用。并安排如下两个变式练习，来强化公式的记忆和理解。
变式练习：求值：（1）cos53°cos23°+
sin53°sin23°;（2）cos（+θ）cosθ+
sin（+θ）sinθ。
7. 自学例2，并完成P127练习第2～4题
设计意图：进一步理解公式，掌握运用公式应该注意的问题，明确思维的有序性和表达的条理性是三角变换的基本要求。
师生活动：学生――认真审题，求解问题，注意步骤。
教师――对学生表述的步骤，是否规范作出必要的点评和要求。
递进思考：将例2的条件α∈（，
π）改为α∈（0，π），如何求cos（α-β）的值。
训练学生的分类讨论的思想，提高表达能力。
8. 练习：以知α、β为锐角，cosα=，cos（α+β）= ，求cos的β值
设计意图：培养学生灵活运用公式的能力，初步体会角的配凑技巧在三角问题解决中的作用。
师生活动：教师――引导学生比较公式，注意角β与α，α+β之间的关系。
学生――独立思考，不难得出β=（α+β）-β
教师――提问学生说出思路，最后进行解法点评。本题特点：①需要构造角，②需要研究角的范围。
9. 反思与升华
① 总结两角差的余弦公式的探索及证明思路;
② 应用公式求值时应注意问题是什么？
③ 总结本节课所涉及的数学思想和办法。
设计意图：通过总结，使学生对本节课有一个全面的认识，提高学生的数学思维能力，培养学生强烈的求知欲望。
师生活动：师生――探究公式的方法：①有简单到复杂，由浅入深;②由特殊到一般，抓主要问题探索;③进行反思，予以修正完善。
六、作业设计
作业：教课书P137习题3.1 A组第2～4题。
备选练习：1. 若cosα+cosβ=cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，求cos（α-β）的值。
解：cosα+cosβ=-cosγ ①
sinα+sinβ=-sinγ ②
①+②得：2+2+cos（α+β）=-
⒉ 如何用cos（α-β）的表达式来探究（α±β）的其他三角函数？
七、教材设计说明
（1）本设计首先通过章头图实际问题的引入，让学生感受到研究和差公式的必要，这样设计能够引起学生兴趣，引发矛盾冲突，同时明确了探究目标。
（2）本设计重点放在公式的推导上，分三个层次：一是直觉猜想，特殊验证;二是通过α、β为锐角（α>β）的特殊情况进行探究;三是对一般情形进行探究。这样设计符合认知规律，使学生感受到学习过程是不断猜想、不断修正、从特殊到一般的思维过程。通过探究和证明不但培养了学生逻辑推理能力，而且培养了合情推理能力及创新能力，以及优秀的数学思维品质，体现了探究中“大胆猜想、小心求证”的教学思想，使数学的学习过程由冰冷的美丽化为火热的思考。
1.
对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元素各表示什么？
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
3.
注意下列性质：
（3）德摩根定律：
4.
你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
的取值范围。
6.
命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7.
对映射的概念了解吗？映射f：AB，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象）
8.
函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9.
求函数的定义域有哪些常见类型？
10.
如何求复合函数的定义域？
义域是_。
11.
求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
12.
反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
13.
反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
14.
如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？
……）
15.
如何利用导数判断函数的单调性？
值是（
）
A.
B.
1
C.
2
D.
3
a的最大值为3）
16.
函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
17.
你熟悉周期函数的定义吗？
函数，T是一个周期。）
如：
18.
你掌握常用的图象变换了吗？
注意如下“翻折”变换：
19.
你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
的双曲线。
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
由图象记性质！
（注意底数的限定！）
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
20.
你在基本运算上常出现错误吗？
21.
如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
22.
掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）
如求下列函数的最值：
23.
你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？
24.
熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
25.
你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？
（x，y）作图象。
27.
在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。
28.
在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
29.
熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
图象？
30.
熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？
“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
A.
正值或负值
B.
负值
C.
非负值
D.
正值
31.
熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：
（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
32.
正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
33.
用反三角函数表示角时要注意角的范围。
34.
不等式的性质有哪些？
答案：C
35.
利用均值不等式：
值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：
36.
不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。
（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）
38.
用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
39.
解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40.
对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）
证明：
（按不等号方向放缩）
42.
不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“”问题）
43.
等差数列的定义与性质
0的二次函数）
项，即：
44.
等比数列的定义与性质
46.
你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法
解：
［练习］
（2）叠乘法
解：
（3）等差型递推公式
［练习］
（4）等比型递推公式
［练习］
（5）倒数法
47.
你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
解：
［练习］
（2）错位相减法：
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
［练习］
48.
你知道储蓄、贷款问题吗？
零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：
若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足
p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49.
解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不
50.
解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（
）
A.
24
B.
15
C.
12
D.
10
解析：可分成两类：
（2）中间两个分数相等
相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，有10种。
共有5＋10＝15（种）情况
51.
二项式定理
性质：
（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
表示）
52.
你对随机事件之间的关系熟悉吗？
的和（并）。
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。
（6）对立事件（互逆事件）：
（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
53.
对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即
（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生
如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取2件都是次品；
（2）从中任取5件恰有2件次品；
（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），n＝103
而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
（4）从中依次取5件恰有2件次品。
解析：一件一件抽取（有顺序）
分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54.
抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
55.
对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：
（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。
如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。
56.
你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
（7）向量的加、减法如图：
（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
的一组基底。
（9）向量的坐标表示
表示。
57.
平面向量的数量积
数量积的几何意义：
（2）数量积的运算法则
［练习］
答案：
答案：2
答案：
58.
线段的定比分点
.
你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59.
立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线面平行的判定：
线面平行的性质：
三垂线定理（及逆定理）：
线面垂直：
面面垂直：
60.
三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
（三垂线定理法：A∈α作或证ABβ于B，作BO棱于O，连AO，则AO棱l，∠AOB为所求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α影，OC为α内过O点任一直线。
（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。
①求BD1和底面ABCD所成的角；
②求异面直线BD1和AD所成的角；
③求二面角C1—BD1—B1的大小。
（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。
（AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……）
61.
空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：
（1）点C到面AB1C1的距离为___________；
（2）点B到面ACB1的距离为____________；
（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；
（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；
（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。
62.
你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：
它们各包含哪些元素？
63.
球有哪些性质？
（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。
积为（
）
答案：A
64.
熟记下列公式了吗？
（2）直线方程：
65.
如何判断两直线平行、垂直？
66.
怎样判断直线l与圆C的位置关系？
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
67.
怎样判断直线与圆锥曲线的位置？
68.
分清圆锥曲线的定义
70.
在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在≥0下进行。）
71.
会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？
如：
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72.
有关中点弦问题可考虑用“代点法”。
答案：
73.
如何求解“对称”问题？
（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A＇（x＇，y＇）为A关于点M的对称点。
75.
求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。
（直接法、定义法、转移法、参数法）
【关键词】 定位；知识呈现；严格性水平；综合程度；衔接
函数是高中数学知识框架中最重要的支柱，三角函数是函数知识的重要组成部分.大家知道，大学微积分是以函数研究为对象的.因此，三角函数知识的强化或弱化对大学微积分学习影响较大.究竟高中教材对三角函数应做怎样的取舍，才能不对后续学习产生负面的影响呢？我们不妨研究一下香港教材.香港数学教育一向受英美影响较深，很有成绩.
本文研究选取的是朗文香港教育出版社2009年出版的《新高中数学与生活》[1]系列教材，其中与三角函数有关的两本教材是《新高中数学与生活（必修部分）4B》（下文简称《必修4B》）与《新高中数学与生活（延伸部分）单元二――代数与微积分1》（下文简称《微积分1》）.《新高中数学》教材系列在香港影响较大.希望通过我们的研究，能让教材与教参编写者有所借鉴，对一线教师有所裨益.
1 三角函数在高中教材中的定位
香港目前使用的各种版本的高中数学教材，都是依据2007年制订的《数学课程及评估指引（中四至中六）》编写的.教材内容分必修部分和延伸部分.朗文香港教育出版公司出版的必修教材共6本，《必修4B》是其中的一本，包涵了三角函数最基础的知识及简单应用.《必修4B》的序言指出：“为所有学生提供必要的数学基础，配合他们日后在不同领域进修的需要.”延伸部分备有两个选修单元，单元一有教材2本，单元二有教材3本.《微积分1》是单元二的第1本教材，属选修教材，包涵的三角函数知识是《必修4B》所选三角函数内容的加深与拓展，绝大部分知识与大学数学衔接有关联.《微积分1》的序言指出：“集中在更深层次的数学上，为希望学习高等数学的学生奠下巩固的代数与微积分基础”；“冀能对学生日后升学或从事与数学有关联的专业，有所裨益”.从这里可以看出，《微积分1》是供相当于大陆的理科学生选修的.
香港教材将“三角函数”最基础的一部分内容定位为必修内容，将难度稍大且与大学数学衔接的内容定位为选修内容，对以后不同方向发展的学生作了不同的要求.反观大陆2007年编写的“人教A版”高中数学教材，将三角函数定位为必修内容，学生高中阶段所学的所有三角函数知识全编写在《必修4》[2]中.
2 三角函数知识在教材中的具体呈现
《必修4B》中的三角函数内容有132页（每页接近4A纸大小），大约18课时；《微积分1》中的三角函数内容有90页，大约14课时.两本书共有三角函数内容222页，大约共需32课时.
《必修4B》中三角函数知识呈现在第10章“续三角”与第11章“三角学的应用：二维空间”.第10章的具体编排是：基础知识重温；101旋转角：处于标准位置上的角，四个象限；102 任意角的三角比：任意角的三角比的定义，三角比的正负值；103三角函数的图像：y=sinθ的图像，y=cosθ的图像，y=tanθ的图像，三角函数的周期性；104三角方程的图解法；105三角恒等式：（180°-θ）的三角比，（180°+θ）的三角比，（360°-θ）的三角比，（360°+θ）的三角比，（90°+θ）的三角比；106 利用代数方法解三角方程；数学探究：直角三角形的正切值；IT活动：三角比的正负值，利用单位圆绘画y=sinθ的图像；点滴分享知多些：交流电与三角学在港灯电力供应中的应用；答案.第11章的具体编排是：基础知识重温；111 三角形面积：三角形面积，海伦公式；112正弦定理；113 余弦定理；114 三角学上的二维空间应用题：回顾，二维空间的应用题；数学探究：圆内接四边形的面积；答案.
《微积分1》中三角函数知识呈现在第4章“续三角函数（一）”与第5章“续三角函数（二）”中.第4章的具体编排是：41弧度制：度与弧度制的转换，透视弧度法求弧长及扇形的面积；42三角函数：三角函数定义，三角关系，三角函数的图像；43解简易三角方程；答案.第5章的具体编排是：51 复角公式：正弦的复角公式，余弦的复角公式，正切的复角公式；52 二倍角公式；53 积化和差公式与和差化积公式；答案.
《必修4B》介绍了海伦公式：ABC的面积=s（s-a）（s-b）（s-c），教材还不避繁琐用代数方法严格地证明了海伦公式.《微积分1》第4章介绍了y=cscθ与y=secx两个函数.这样，诱导公式中多了1+cot2θ=csc2θ、secθ=1cosθ等公式.这些都是人教A版《必修4》中没有的知识. 《微积分1》第5章介绍了积化和差公式与和差化积公式，并给予了简单的证明.因为有了这些公式，《微积分1》中出现了：在XYZ中，证明sinX+sinY+sinZ=4cosX2cosY2cosZ2这类例题，也出现了：化简
sinπ9cosπ9+cosπ3+cos5π9+cos7π9这类习题.人教A版《必修4》给出了例题： 证明（1）sinαcosβ=12sin（α+β）+sin（α-β）；（2）sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2.这是积化和差与和差化积两个公式，其他6个公式的证明放在习题中，但教材没有配套与这8个公式相应的练习题.
三角方程内容在《必修4B》和《微积分1》中都出现过，由于没有编排反三角函数的知识，三角方程都是比较简单的，若不是特殊函数值就需查三角函数值表来解决.《微积分1》在《必修4B》的基础上，介绍了y=cotx、y=cscθ、y=secx的图像、周期性以及定义域与值域，但没介绍这些函数的单调性.人教A版《必修4》介绍了正弦、余弦、正切三个函数的单调性，并介绍了三角函数更一般形式的单调性的求法.恒等式证明在《必修4B》与《微e分1》中都有涉及.《必修4B》的恒等式证明大多利用诱导公式完成，难度较小；因《微积分1》介绍过积化和差与和差化积公式，所以《微积分1》中给出的恒等式证明题，若从难度上讲，大多比人教A版《必修4》中的恒等式证明题难度要大.
3 知识的呈现模式与严格性水平
3.1 章首与章尾的内容与结构
《必修4B》与《微积分1》呈现的三角内容共有4章.每章章首都标明了学习重点，并给出与本章内容密切相关的一个生活中的实际例子，起提纲挚领及导入新知识的作用；每章章尾附有本章摘要，起归纳总结的作用.以《微积分1》的第5章“续三角函数（二）”为例，章首标明的学习重点有3点；生活中的实际例子是“声波之总和”：在大自然中，声波之传播可以用正弦函数表示.当几个声波交叠r，只要把代表各声音的波加起恚便可得出合波.对于两个相同振幅的声波W1和W2，其合波可写成函数y=sinu+sinv.这样就很自然地连接上和差化e公式.章末有重要词汇与重要概念.重要词汇有4条，均是中英文对照；重要概念包含19个重要公式.知识结构完整，内容前后呼应.
人教A版《必修4》每章章首有类似于导言的文字，章末有小结.“导言”简明扼要，也起到了提纲挚领的作用.章末有小结，包含本章知识结构及回顾与思考两个方面.知识结构一般用框图形式呈现出来；回顾与思考有3点，回顾了本章的重要知识点，还提出了几个相关的问题，这对进一步巩固学生所学知识起到了较好的作用.
3.2 重要概念的引入与公式的推导
《必修4B》与《微积分1》在重要概念的引入上，一般是在旧知识的基础上拓展到新知识，从特殊情形拓展到一般情形.比如任意角的三角比定义，《必修4B》先从锐角θ说起，利用直角三角形写出锐角θ的三角比，再定义一般角θ的三角比：将任意角θ放在坐标平面上，设P（x，y）是角θ终边上的任一点（异于角的顶点），定义sinθ=yr，cosθ=xr，tanθ=yxx≠0，其中r=x2+y2.这种引入重要概念的方法符合学生的认知规律.人教A版《必修4》的做法是，设角θ的终边与单位圆的交点为P（x，y），于是sinθ=y，cosθ=x，定义表述很简洁.比较而言，《必修4B》比人教A版《必修4》在细节的处理上要到位一些.教材中比较清晰地讨论了特殊角0°、90°、180°、270°和360°的三角比，利用数形结合的方法使基础一般的学生能很好地理解与记忆.
在重要公式的推导上，《必修4B》与《微积分1》的做法与人教A版《必修4》有些不同.例如推导复角公式，《微积分1》先推导sin（A+B）的结论：设在OPQ中，过顶点O作ORPQ，R是垂足，并设∠POR=A，∠ROQ=B.利用POQ面积=POR面积+ROQ面积，证明了sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.教材在此处提示了该公式对任意角也成立.因为角A与角B不是任意角，这样的推导过程不够严谨.人教A版《必修4》第三章是先推导cos（α-β）的结论的，证明过程中设α、β是任意角，利用单位圆和向量的方法完成了证明.这样证明难度稍大，但证明过程非常严谨.
3.3 定理、法则与公式的严格性水平
严格性一般划分为四个水平层次：水平1：直接给出理论，没有任何解释或证明；水平2：通过例子解释理论；水平3：较为严格地解释理论的正确性，但不进行证明；水平4：严格地证明理论.
《必修4B》与《微积分1》两本教材中，正弦的两角和公式实际是由特例解释的，算不上严格的证明，达到严格性水平2；诱导公式、海伦公式、正弦定理、余弦定理、弧长公式、扇形面积公式、同角三角函数关系式、正弦两角差公式、余弦的两角和与两角差公式、正切的两角和与两角差公式、二倍角公式、积化和差公式、和差化积公式，均是通过严格证明得到的，达到了严格性水平4.
人教A版《必修4》中，与-α和π-α相关的诱导公式、正弦的两角和与两角差公式、正切的两角和与两角差公式、正弦与余弦的二倍角公式都是直接给出的，没有严格证明，达到严格性水平1；与π2+α相关的诱导公式只给出了严格的解释，并没有证明，达到了严格性水平3；与π+α和π2-α相关的诱导公式、余弦的两角和与两角差公式均通过了严格的证明，达到了严格性水平4.
可见香港教材的严格性水平整体比较高.人教A版《必修4》的不少公式是直接给出，可能编者认为这些公式的证明并不难，学生可以举一反三自己完成.
4 例习题的设置及综合性程度
4.1 例习题的设置比较
《必修4B》与《微积分1》的例习题编写很有特色，层次分明，坡度合理.课内有例题，大多深入浅出，展示不同的数学技巧.紧跟例题后面有即时练习，是些与例题一一对应的题目，以巩固学生的知识，有时后面还配有综合性稍强的跟进练习或课内练习.课后一般配有不少的练习题，按程度分为初阶和进阶，并备有开放式题目.每章末配有总复习题，按程度分为初阶、进阶、多项选择题及公开试题目，并为能力较强的学生提供香港数学竞赛题目.总复习外还配有少量的数学探究题与IT活动题.设置数学探究题的目的是透过富有趣味性的题目，培养学生数学解难题技巧，激发学生探索与研究的兴趣；设置IT活动题的目的是让学生熟悉新技术的运用，帮助学生对数学问题的深度理解.
以《必修4B》的第10章“续三角”为例统计：例题19个，即时练习题19个，跟进练习题15个，课堂练习题5个.课外练习中，初阶练习题53个，其中有4个开放式练习题；进阶练习题48个.本章总复习题中，初阶练习题19个，其中有1个开放式练习题；进阶练习题26个，多项选择题14个，公开试题目5个，香港竞赛题4个，数学探究问题2个，IT活动题目6个.
对应地对人教A版《必修4》第1章“三角函数”进行统计：例题25个，课内习题58个，课外练习A组题61个，B组题15个，探究题7个，IT活动题目1个.由此可见，人教A版《必修4》课内练习还是做的很扎实.课外练习共76个题，比《必修4B》的第10章“续三角”课外练习159个少了83个.
4.2 例习题的综合性程度
例习题的综合性分为四种类型：类型1：与三角领域内其他知识的综合；类型2：与数学其他领域内知识的综合；类型3：与其他学科知识的综合；类型4：与具有实际生活背景的问题综合.
仍以《必修4B》的第10章“续三角”为例，根据上述综合性的分类标准来统计：例题中属类型1有14个，类型2有2个，类型3有2个，类型4有1个；习题中属类型1有159个，类型2有30个，类型3有14个，类型4有12个.由此可见，《必修4B》的第10章“续三角”中的例习题，主要体现了三角知识在三角领域内的运用，突出对三角知识的理解与掌握，同时也兼顾到数学学科内各分支知识的联系，以及三角知识在其他学科上的综合应用.
人教A版《必修4》第1章“三角函数”中，例题中属于类型1的18个，类型2的3个，类型3的2个，类型4的4个；习题中属类型1的61个，类型2的3个，类型3的2个，类型4的6个.可见，人教A版《必修4》主要关注学生对三角基础知识的理解和掌握，也注重三角知识在实际生活中的应用.
5 启示
5.1 香港教材内容丰富详实、系统性较强
相对于英国和美国的三角函数教材，香港教材少了反三角函数内容.但相对于人教A版《必修4》，香港教材多了简单的三角方程、海伦公式、余切函数、正割函数、余割函数等.人教A版《必修4》虽然也出现过积化和差与和差化积8个公式，但因这8个公式只出现在例题和习题中，教材并没有把它们当公式用，也没有编排相应的巩固练习题，加之高考又不考，所以，这8个公式学生学了等于没学，在学生的知识链上没有留下多少记忆的痕迹.这样看，其实香港教材还多了积化和差与和差化积公式.我们常将三角学划分为“三角函数与方程”、“三角恒等变换”和“三角学的应用”.相对于这种划分，香港三角函数教材内容是完整的、丰富详实的，系统性较强.人教A版《必修4》相对于香港教材和2003年前的大陆旧教材，删减内容过多.没有了简单的三角方程，学生连已知三角函数值求角都不会做，因而连一些简单的三角函数应用问题也处理不了；不学积化和差与和差化积公式，若有稍微综合一点的三角恒等变形或证明问题，W生是没办法处理的.我们新的课程标准和新教材编写，要借鉴香港教材对三角函数内容的取舍方法.
5.2 关注三角函数知识与大学数学的衔接
我们都知道，无论是大学文科数学或理工科数学，在学习微积分内容时，都会学习求函数的定义域、值域、极限、微分、积分等知识，都会用到6个三角函数和4个反三角函数的知识及恒等变换技巧.从2003年开始，虽然高校出版的大学微积分教材多少会参照高中的课程标准，但是很少能找到衔接好高中知识的大学教材，因此大多数微积分教材得不到大一与大二学生的认可.由于高校的录取数量逐年增加，参加高考的学生75%以上都能被不同层次的各类大学录取，因此，不少二本或三本大学新生的数学基础并不算好，也不具备自学高中三角函数知识的能力；加之大学没有安排时间补习那些被弱化和被删减的知识，这样，相当一部分学生学学微积分很吃力，甚至不及格.参考英美各国教材和香港的教材，我们要树立长远的课程和教材理念，不要过度弱化或删减高中三角函数核心内容，为使学生学好大学微积分，高中应为他们打好相应的基础.
5.3 进一步凸显习题设置的层次性
习题既是知识的应用，又是知识和能力的再生.从上文研究可以看出，香港教材在习题设置上很有创意，内容丰富、层次感强.这种细化分层具有一定的弹性，照顾到了不同基础学生的意愿，让他们有很大余地去选择课内与课外的练习题；同时，这种细化分层使习题具有很好的坡度，知识点要求从单一到综合，技巧要求从易到难，容易使学生达到巩固和提高的目的.而且书中还附有答案，学生在练习过程中可以得到及时反馈，便于学生自学.我们的教材中习题分层简单，习题量小，因此学生的选择余地就小.不少老师为了弥补这一缺陷，就组织学生去找书商购买课外参考资料.经常因这些参考资料的质量参差不齐，影响了学生的课外学习.我们的教材编写者应该向香港的同行学习，学习他们对习题设置的理念与方法，能使我们的教材进一步凸显习题的层次性，发挥习题应有的功能和价值.
参考文献
