时间：2023-06-14 16:21:23
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇数学中的分析法，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词：结构分析法;数学;教法;学法;运用
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1005-1422（2015）02-0064-03
收稿日期：2015-01-20
作者简介：陈海滨（1967-），男，广东省梅州农业学校讲师，大学本科。研究方向：数学教育。（广东 梅州/514011）
在数学的教学活动中，教师往往侧重于“教法”的积极探索而忽视对学生的“学法”的研究指导，造成整个教学过程脱节。于是，出现一个怪现象：课上教师尽所能、展才智充分调动学生积极性、激发学习兴趣，学生听得懂，叫好，而课后学生复习、练习、作业、考试时又感到不理解、不会做、考不好，叫苦，只开花不结果。那么怎样才能使“教法”寓于“学法”，“学法”源于“教法”，将二者有机地结合起来，既开花又结果呢？这就要求教师要从不同的角度全方位地进行教学设计。笔者认为，教师是导演――统揽全局，也是演员――把握精辟，还是观众――期待效果。从教师的角度“导”出“教法”;从学生的角度“演”出“学法”;从家长的角度“观”出效果。正是本着这样的理念，经过多年的教学积累探索出一种教与学的通用之法――结构分析法。经过多年的实践检验表明，此法特别适合代数教学。本文就以代数教学为例进行阐述。
所谓的“结构分析法”就是依据数学的换元思想，通过观察分析数学概念、公式、法则等数学知识结构形式的特点，对其结构形式进行分解――确定“可变”与“不变”两个部分，用中括号[ ]代替“可变部分”找出规律，揭示出其本质特征，从而深刻地理解其内涵，灵活地掌握和运用数学知识解决问题，提高教学效率的一种方法。
一、结构分析法在数学“教”的过程中的运用
（一）在数学概念教学方面的运用
例1.“函数概念”的教学分析。
函数是数学中十分重要的概念，是数学各个分支理论的重要基础之一，在各个领域都有着广泛的应用。由此可见，深刻地理解函数概念是至关重要的。然而，学生普遍感到较难理解“函数概念”，尤其是对用抽象符号：“y=f（x）”表示函数的理解感到一头雾水。现在就从这里入手，运用“结构分析法”进行分析。
观察，函数y=f（x）的结构形式进行如下分析：
这样，学生容易片面地理解函数的概念：误认为x就是自变量，y就是因变量，而解析式表示的就是函数。缺乏对函数概念的深层次地理解，导致在学习过程中遇到有关函数问题时，就问题多多。
现在，我们对上述结构形式进行分解，确定“可变”部分为x和y所在的位置，余者不变。用中括号[ ]代替“可变”部分――x和y所在的位置，就不难发现对于一个确定的函数，无论是具体的还是抽象的都可以理解如下：
显然，在函数的构成要素中，最重要的是函数的定义域和对应法则，最难理解的就是“对应法则”（不变部分）。事实上，对于一个确定的函数其对应法则是不变的、抽象的。
现在，通过几个例子加以说明如何运用结构分析法揭示出对应法则的本质特征。
例如，二次函数f（x）=3x2+2x+1的对应法则f的本质特征是：f[ ]=3×[ ]2+2×[ ]+1
函数值：当x=2时，有f（2）=3×22+2×2+1=17
当x=t时，有f（t）=3×t2+2×t+1=3t2+2t+1
对应法则f：[ ]内取2，则有f[2]=3×[2]2+2×[2]+1=3×22+2×2+1=17
[ ]内取t，则有f[t]=3×[t]2+2×[t]+1=3×t2+2×t+1=3t2+2t+1
显然，f（2）=f[2]，f（t）=f[t]
再如，复合函数g（x）=lg（3 x2+2x）的对应法则g的本质特征是：g[ ]=lg（3×[ ]2+2×[ ]）
函数值：当x =2时，有g（2）=lg（3×22+2×2）=4lg2
当x=t时，有g（t）=lg（3×t2+2×t）= lg（3t2+2t）
对应法则g：[ ]内取2，则有g[2]=lg（3×[2]2+2×[2]）=lg（3×22+2×2）=4lg2
[ ]内取t，则有g[t]=lg（3×[t]2+2×[t]）= lg（3×t2+2×t）= lg（3t2+2t）
显然，g（2）= g[ 2 ]， g（t）= g[t]
这就说明了对应法则的本质是理解时抽象而运用时又具体的一种对应关系。学生就容易理解函数f（t）=3t2+2t+1与函数f（x）=3x2+2x+1是同一个函数;函数g（x）=lg（3x2+2x）与函数g（t）=lg（3t2+2t）也是同一个函数。自然认同x、y只是一个记号，习惯用之而已。从而更加容易理解“每一个函数都有其对应法则，并且每一个自变量的取值按其对应法则都有唯一的因变量的值与之对应”的内涵。这样，使学生通过“抽象――具体――抽象”的认识过程，进而深刻地理解函数概念的内涵。
像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其复合函数，还有抽象函数等函数概念都可以运用“结构分析法”进行数学概念教学，使学生更加容易把握数学概念的本质特征，提高教学效果。
（二）在数学公式教学方面的运用
例2.三角函数中“诱导公式”的教学分析。
常用的诱导公式有9组36个公式，若要求学生死记硬背难度大且用时易错，用“结构分析法”教学，可以概括出“口诀”，易记、好用、准确。
诱导公式中角的形式有9种：“2kπ±α（k∈Z），π±α，0-α，π2±α，3π2±α”。 观察分析这9种角的结构形式发现：“2kπ，π，0”角的终边都在横轴上;“π2，3π2”角的终边都在纵轴上。
（因篇幅所限，选几组加以分析）
sin（π±α）=sinα
cos（π±α）==cosα
tan（π±α）=±tanα
cot（π±α）=±cotα公式（一）
可变部分“±”， 余者不变
sin（3π2±α）==cosα
cos（3π2±α）=±sinα
tan（3π2±α）=cotα
cot（3π2±α）=tanα
公式（二）
可变部分“±”、“名称”， 余者不变
sin（π±α）=[ ]sinα
cos（π±α）=[ ]cosα
tan（π±α）=[ ]tanα
cot（π±α）=[ ]cotα
sin（3π2±α）=[ ][ ]α
cos（3π2±α）=[ ][ ]α
tan（3π2±α）=[ ][ ]α
cot（3π2±α）=[ ][ ]α
首先，确定函数“名称”的变化规律。
观察分析公式（一）、公式（二）两边的函数名称发现：公式（一）名称不变，且π角的终边在横轴上，公式（二）名称改变，且3π2角的终边在纵轴上，由此概括出函数“名称”的变化规律：“纵变横不变”。
其次，确定“±” 符号变化规律。
观察分析公式（一）、公式（二）两边的函数值符号发现：等式左边的函数值符号都是正的，而等式右边的函数值符号是变化的，若把α看成是锐角时就会发现：由“π±α，3π2±α”角的终边所在的象限确定的函数值符号排布规律与右边函数值符号排布规律一致，这说明右边的函数值“符号”是由左边的“π±α，3π2±α”角的终边所在的“象限”确定的函数值符号排布规律决定的。由此可以概括出符号变化规律：“符号看象限”。
这样，可以得到诱导公式的口诀为：“纵变横不变，符号看象限”。
例3.三角函数中“二倍角公式”的教学分析。
许多数学公式在理解和运用时，学生常常忽视它们内在成立的“条件”或者运用的“条件”，而片面地理解数学公式，导致用时易错、缺乏灵活性。若用“结构分析法”教学，则可以使学生深刻理解公式的内涵，提高灵活运用的能力。
以“二倍角公式”的教学为例进行分析：
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α-sin2α
=1-2sin2α
=2cos2α-1
tan2α=2tanα1-tan2α
可变部分“2α，α”
sin[ ]=2sin[ ]cos[ ]
cos[ ]=cos2[ ]-sin2[ ]
=1-2sin2[ ]
=2cos2[ ]-1
tan[ ]=2tan[ ]1-tan2[ ]
观察分析上述公式的结构形式发现“可变部分”是2α，α，余者“不变”，从而揭示出公式成立的“条件”：左边角的“形式”是右边角的“形式”的二倍，公式成立，反之亦然。于是，可以得到许多常用的结论：
如：sinα=2sinα2cosα2sinα2cosα2=12sinα;
sin2α=1-cos2α2 （降幂扩角公式）;
sinα2=±1-cosα2 （半角公式）
等等，这些在求三角函数的周期、最值等问题时常用。
由此看来，运用“结构分析法”进行数学公式教学，更加容易抓住数学公式的本质特征。若能概括出“口诀”，揭示出“条件”，就会使学生对数学公式的深刻理解和灵活掌握得到很大程度的提高，从而提高教学效果。
二、结构分析法在数学“学”的过程中的运用
（一） 触类旁通，掌握新知识
1.引导学生学会概括数学公式（法则）的“口诀”，提高记忆效果和学习效率。
例4.引导概括：三角函数中“加法定理”的口诀。
sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ
cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ
tan（α±β）=tanα±tanβ1tanαtanβ
引导学生类似“诱导公式”的分析方法，观察分析上述公式的结构形式，发现角的排布规律明显――先α后β。
首先，观察分析上述公式的三角函数名称的排布规律发现：正弦、余弦名称“改变”，正切名称“不变”。由此可以概括为：“弦变切不变”。弦变之意为：“正弦正在先，名称交替出现;余弦余在前、名称重复出现”。
其次，观察分析上述公式的“±”号的排列规律发现：正弦左右一致;余弦左右相反;正切分子一致，分母相反。由此可以概括为：“符号有顺逆”。顺逆之意为：“弦正顺余逆;切上顺下逆”。
因此，可以得到加法定理“口诀”为：“弦变切不变，符号有顺逆”。
这样，就抓住了数学公式的本质特征，在理解掌握数学公式时就会感到：易记、好用、准确、高效。
2.引导学生学会揭示数学公式（法则）的“条件”，提高理解运用的准确性和灵活性。
例5.引导学生学会揭示重要极限limx∞1+1xx=e的“条件”。
引导学生类似“二倍角公式”的分析方法，观察分析上述公式的结构形式发现：“可变部分”是1x与x，且成倒数关系，余者“不变”。即limx∞1+[ ][ ]=e，于是，公式成立的“条件”是：小括号内的[ ]与小括号外的[ ]的结构形式成倒数关系且与x有关，当x∞时，小括号外的[ ]∞，公式成立。
再如，limx0sinxx=1limx0sin[ ][ ]=1。成立的“条件”是：[ ]内的结构形式一致且与有关，当x0时，[ ]0，公式成立。
这样，在运用数学公式时，就能准确、灵活、快速地解决问题。
（二） 举一反三，解决新问题
学以致用，举几个例子看一下由“结构分析法”得出的结果在数学解题中的应用。
例6.已知函数f（x）=x2+2，g（x）=2x+1，求f（g（x2））
解：g（x2）=2x2+1， g[]=2×[]+1 （对应法则g）
f（g（x2））=（g（x2））2+2，f[]=[]2+2（对应法则f ）
=（2x2+1）2+2
=4x4+4x2+3
例7.求函数y=sin（kx-π6）sin（kx+π3），k≠0的最小正周期。
解：y=sin（kx-π6）sinπ2+（kπ-π6）
=sin（kx-π6）cos（kx-π6） 纵变横不变，符号看象限（诱导公式口诀）
=12sin（2kπ-π3）
左边角是右边角的一半，二倍角公式成立（条件）
最小正周期为：T=π|k|
例8.求limx∞2x+32x+1（x+1）
解：原式=limx∞1+22x+1x+12 +12
=limx∞1+1x+12x+121+1x+1212
=e・1=e 1x+12与x+12成倒数关系，公式成立（条件）
综上所述，“结构分析法”在整个教学活动中，体现了二法合一的内在统一性。一法二用，不仅能使学生易于接受“教法”，理解知识，听得明白，又能使学生利于掌握“学法”，学会思考，解决问题，还能使学生对数学概念、公式、法则等数学知识的深刻理解和灵活掌握得到很大程度的提高。从而能灵活多变地快速解决问题，提高学习效率，达到“授之以渔”的教学目的。
参考文献：
皮亚诺数学归纳法，产生了与其相对的皮亚诺数学分析法。现代数学沿着这种归纳、分析的相对逻辑性，发展成了现代数学体系。那么，世界上只能有这一种皮亚诺数学归纳法与依据这个原则产生的分析法吗？
首先，我们来看一下什么是数学方法。因为无论是归纳法还是分析法，它们都是数学方法。
那么，现代数学是如何来定义数学方法的呢？现代数学的数学方法指运用数学的概念、理论、技巧对研究对象的数量、结构进行分析、描述、计算和推导，揭示对象运动规律的方法。
显而易见，数字方法的特点是具有抽象性、精确性和普遍适用性。现代数学的数学方法主要有数学模型方法和公理化方法等。
那么，传统文化中的数学方法又是什么呢？我们在前面讲到了形貌的具体性与属性的抽象性，讲到了数值的绝对精确性与属性形貌的相对混沌性，讲到了事物形貌与属性的普遍存在性与事物内外形貌与属性的特殊结构性。也就是说，中国传统数学所表达的认识方法是在数值、形貌、属性三个内容上的共同体系。而现代数学则仅仅是表达数值的纯粹量值观。
所以，现代数学需要概念、理论、技巧的模型或者公理的先行置入。并不具有数学科学的可实验性与从实践中产生的具体过程表达性。它首先需要数学上的圣人来建立模型或者发现公理。并在圣人创立的模型与公理中去继续发扬光大。
而中国传统数学是建立在界说与道说两个理论体系下的形貌属性数值理论体系。界说有面界、线界、点界、体界、系界五种认识论与方法论，道说有数值、数字、数位三种认识论与方法论。界以示形，道以示数。量、形、意、数，式、态、型、势浑然一体。全体认识、整体认识、总体认识合而为一，孤物独识、格物致知、博物辨识清晰可分。数理、物理、界理、道理、四理合一。显而易见，它已经再也不是现代数学所指的狭义数学方法了，已经超越了对研究对象的数量、结构进行分析、描述、计算和推导，揭示对象运动规律的方法定义范畴了。而是所整个世界作为一个变化的事物，来进行一体化的研究了。也就是说，它所描述的数学对象首先应该是大自然中的一个具体事物。揭示一个描述对象的运动规律，并不是揭示研究对象的本身运动规律，而是在大自然运动规律之中的运动状态。而且这种运动状态必然与大自然的整体运动抑扬、更相动薄存在必然的规律性。它必然随着大自然的运动变化规律而变化。
这样，中国传统数学方法，就不能是孤物独识的数学归纳法，它必然是一个描述对象与大自然整体环境与描述研究对象统一的一个数学体系。所以，单纯的量值数字性表达已经远远不能适应于这个认识层面上的需求。
那么，如何通过数学归纳法与分析法表达出中国传统数学中的认识论与方法论呢？
所以我们需要一个新的数学归纳法与新的数学分析法。
在现代数学中，归纳法与分析法是两个分科科学的研究范畴。而在中国传统文化中，归纳法与分析法则是一个不可分割的体系。那么，这个文化体系的理论，是从哪里来的呢？有人说：来源于易经。因为中国传统文化自易经之后，易经之前的所有认识论与方法论都在商周文化断档中莫明其妙的消失了。与易经后天八卦最具有关联关系的内容就是先天八卦了，但是，除了先天八卦的四版本卦符仍然在民间有流传之外，已经没有具体说明其科学理论或者数学理论的文字著作了。
关键词：技术支持；高中数学；教学行为
中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）04-0046-02
DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2017.04.027
随着新一轮课程改革的进行，教师在教学过程中发现了非常多的问题，教育现状不容乐观，传统的教学模式不能满足新课标的要求，教学模式的改革势在必行。教师进行教学时要与学生的实际学习和发展情况相结合，根据学生的学习水平和思维方式展开教学，这样才能使学生在学习过程中找到适合自己的学习方法，顺利地进行自主学习，实现学生个性化的发展。
一、教学行为的涵义
教学经验是进行教学行为研究的重要基础和前提。教师在以往的教学行为研究的过程中，没有建立起一个相关内容的知识体系，研究的内容集中教学方法、模式等上，但是重视的程度却非常不够。随着教育教学改革的深入，教学行为的研究才从其他研究中独立出来，越来越受到重视，其在教学中的重要性得到认可，教学行为的研究成为了一项专门的研究项目。
当前，我们国家的基础教育进行了一轮又一轮的改革，教育界人士对课堂教学有了更多的关注，在课堂教学中教学行为是至关重要的一项内容。随着改革的不断深入，人们对于教学行为的关注程度也在不断上升，教学行为的研究范围在不断拓展，研究深度也实现了新的突破。教学行为是课堂活动非常重要的载体，对教学水平和教学质量有很大的影响。在教学行为的研究和实施中，教师和学生作为其中的两大主体，发挥着不可小视的作用，教师和学生要不断地进行沟通和交流，在沟通和交流的过程中所呈现出的特征就是教学行为。对教学行为的发展规律进行研究和探索，可以在最大限度上帮助教师做好教学，实现教学效率和水平的提高。除此之外，还可以推动整个教育行业的发展，完善教学实践活动，从而实现学生学习效率的提高和个性化的发展。从对课堂教学行为的分析和探索中，可以看出教师教学的质量和水平，同时也为相关教学行为的研究提供了参考。
课堂教学行为的研究随着教育教学改革的进行越来越受到重视，教师等相关教育人士进行了一轮又一轮的探索。通过研究教学行为方法对课堂教学行为进行分析是非常准确的，而且研究的角度多种多样，进而能够实现对课堂教学效率更加深入的分析和研究，从而提高教学效率和实现教师自身的发展。不过，教学行为的研究包含非常复杂的内容，研究的难度非常大，如果不借助于专业的分析研究工具，是很难完成高中数学课堂教学行为的深入研究。教师在研究的过程中发挥着至关重要的作用，我们在使用课堂教学行为分析法对教学质量进行研究时，要与课堂教学的相关实例结合起来，将其中的相关数据作为研究基础，进行深入研究。很多科目的教学行为研究都将提高教师的教学效率和水平作为目标。同时，研究中还加入了相关的教学指导，通过这个过程，力求实现教师自身能力的提高。
新一轮的课程改革中教学目标发生了变化，更加突出学生的主体地位，加强学生的自主学习和个性化的发展。在教学过程中，为了实现这一个目标，教师一定要起到引导和启发学生的作用。教师还要重视知识输入和输出的过程，不是将相关的知识完全灌输给学生，而是充分发挥学生的自主学习能力，让学生利用自己的思维方式对相关知识进行研究和理解。这样做能够为学生营造一种积极愉悦的课堂教学氛围，调动他们的学习积极性，激发他们的学习的兴趣。教师要及时与学生进行有效的沟通和交流，激发学生获取知识的欲望。
二、教学行为研究所用到的方法
（一）s-T分析法
在教学行为研究的过程中，发挥最大作用的一种研究方法就是s-T分析法。这种分析方法能够直观地对课堂教学效果做出相应的判断，在对教学相关内容进行定量的分析后，能够获取教学质量的客观数据。教师和学生是教学中的两大主体，这种分析方法对教师和学生的行为进行了划分，T代表的是教师在视听方面的信息传递，而s代表的是教师在视听方面的信息以外的内容。对这两种教学行为进行相应的编码，然后对课堂行为进行准确的描述。这种分析法的核心是对教学质量和课堂行为特点的分析。
（二）问题类型分析法
问题类型分析法存在着与s-T不同的部分，那就是问题类型分析法往往要将课堂上教师向学生提出的问题进行相关的记录，然后根据记录的内容进行分析，是一种聚焦式的观察法。教师提出问题之后，学生要对教师提出的问题进行探讨，找出解决问题的方法，这个过程能够将教师的教学和学生的学习紧密结合在一起。教师在课堂上提出的问题分为四类：第一，与生活实际结合起来的问题；第二，定律或法则问题；第三，解决方法类问题；第四，假设性问题。
（三）对话分析法
最后一种方法是对话分析法。这种分析法也是一种聚焦式的观察法，即根据课堂上教师和学生之间的语言交流记录，进行分析的方法。这种分析法包含了三个方面的内容，分别是教师选择的回答方式、学生回答方式和教师回应方式。
三、结语
本文对课堂教学行为进行了相应的分析，通过对它的分析，我们对于高中数学课堂教学行为的相关涵义和内容有了一定程度的了解。虽然在教育教学改革的过程中，我们对教学行为的研究已经有了一定程度的重视和改善，但是，高中数学课堂教学行为研究的道路还是存在很多难关，相关的教学工作者要充分发挥自己的影响力，运用不同的研究方法，推动教学行为的研究进程，实现教师教学水平和教学质量的提高。
参考文献：
一、引导学生熟悉所学的数学公式
初中数学教学中，教师会教授很多的数学公式，可以说数学公式是学好数学、解决应用题的关键，但是学生并不一定对所有的公式了如指掌，因此教师应该引导学生熟悉所学的数学公式，要让学生一看到题目，就应马上反应出题目中相关量的基本关系.举例来说，关于行程问题的公式――路程=时间×速度；关于工程问题的公式――工作总量=工作效率×工作时间；关于税率问题的公式――利息=本金×利率×期数，等等.这些数学公式搞清楚了，学生就能够了解到应用题中运用哪些思路来解决，因此教师一定要事先为学生解释清楚，让学生在做应用题之前内心有数.
二、细致审阅题干，对未知数进行精准确定
所谓的审阅题干，便是要求学生通过审阅题目的活动，对题干的内容实现全面理解和把握.学生依托对题干内容的细致审阅，将实现对已知数和未知数情况以及二者之间关系的清晰界定.通过审阅题干，使学生能够使用“x”对未知数进行表述.初中阶段学生所接触到的一些应用题难度较为适中，因而教师可以使学生领会通常只要将所需要求得的数值设定为未知数“x”即可进行求解.例如，一次期中考试的试卷中有这样一道题：“学校图书馆里科技书的本数比文艺书的2倍多47本，科技书有495本，文艺书有多少本？”在这道题目中只有“文书的数量”不知道，所以只要设“文艺书的数量”为未知数x就可以了.因此，学生在列方程解应用题的时候，一定要细致审阅题干，对未知数进行精准确定，方便进行下一步.
三、把握好数值等量关系
借助方程式的解题方式实现对应用题的求解具有多种方式，如列表分析法、译式分析法、线示分析法、逆推法等.这四类方法在使用方程式进行应用题求解时较为常见.下面我们分别就这四种方式一一展开探究.
1.列表分析法.此种方法乃是使用表格对应用题之中的已知量与未知量加以表述，其后借助表格实现对不同量的比较，进而列出方程式进行求解.这种方法的优势在于便于学生进行操作，同时因为表格能够直观地呈现出不同量之间的关系，因而便于学生理解.
2.译式分析法.此种方法乃是把应用题中的关键词转换成代数式的形式，即将题目中的文字语言转换为数学语言形式，进而实现对不同量之间关系的确定，通常此种方法在实践应用中遵循下述步骤：首先，数学教师必须耐心地引导学生进行未知量的设置，即使学生具备将未知量由文字语言转换为数学语言的能力；其次，数学教师应当使学生对应用题中的属性量加以领会，进而将已知量与未知量组成代数式的形式；最后，数学教师应当引导学生实现对等量的转换，唯有如此，方才能够正确进行方程式的列式.
3.线示分析法.此种方法通常针对相遇问题较为适用，便于帮助学生快速发现应用题中涵盖的等量关系.
4.逆推法.此种方法即通常所说的还原法.即通过逆向思维对问题进行还原，此种方法对于一些较为复杂的应用题求解极其有效，能够使学生获得全新的计算推理体验.
此外，教师应该引导学生，在找准等量关系列出方程求解应用题时，还要注意以下几个问题：第一，未知数的作用；第二，对未知数补充条件的探讨；第三，单位换算，有些问题中已知条件的单位不同时，必须先化成相同单位；第四，方程两边的代数式表示同一个属性量.掌握好以上四个方面，有利于学生更好地解答应用题.
1.归纳推理
近几年高考特别注重对归纳猜想的考查，主要形式是根据已知条件归纳出一个结论，若是解答题，再用演绎推理对结论进行证明。归纳推理的注意点：①归纳推理是依据特殊现象推断一般现象，由归纳推理得到的结论超越了前提所包容的范围，因而必须立足于观察、检验、实验的基础上；②用归纳推理归纳结论时，切记不要以偏概全，不能根据几个特殊情况就得到一般性结论，需再用所学知识去证明结论是否正确，所以要慎重。
2.类比推理
类比推理在近几年的高考中屡有出现，且不断翻新，不但考查考生对联想、类比等方法的掌握情况，还考查考生的演绎（逻辑）推理能力。类比推理的注意点：①类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认知为基础，类比出新的结果；②类比推理是从一种事物的特殊属性推测到另一种事物的特殊属性，是由特殊与特殊的推理；③在几何问题的推理中，通常情况下，平面图形中的点、线、面可类比为空间图形中的线、面、体，平面图形中的面的面积可类比为空间图形中的几何体体积。
3.演绎推理
演绎推理的一般步骤：可根据具体问题灵活选择推理步骤，但几种推理规则基本都遵循“条件——推理——结论”这样的三步式。演绎推理的注意点：①在数学中，证明命题的正确性都是用演绎推理，而合情推理不能当作证明；②演绎推理中的三段论推理中的大前提在具体问题的推理过程中有时可以省略，但是必须明确大前提是什么。
4.直接证明
综合法与分析法是两种思路截然相反的证明方法。综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，实际上是要寻找上一步的必要条件。而分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，实际上是要寻找使上一步成立的充分条件。分析法和综合法各有其优缺点：①从寻求解题思路来看，分析法有利于思考，方向明确，思路自然；综合法往往枝节横生，不容易达到所要证明的结论。②从表达过程而论，分析法叙述繁琐，文辞冗长；综合法形式简捷，条理清晰。也就是说，分析法利于思考，综合法宜于书写。因此，在实际解题时，常常把这两种方法结合起来使用，即先用分析法探索证题的途径，然后用综合法写出证明过程，这是解决数学问题常用的一种重要方法。
5.间接证明
使用反证法证明数学命题的一般步骤为：（1）分清命题的条件与结论；（2）做出与命题相矛盾的假设；（3）由假设出发，应用正确推理的方法，推出矛盾；（4）断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接证明原命题成立。
6.数学归纳法
用数学归纳法证明的关键在于两个步骤要做到“递推基础不能少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”。因此必须注意以下几点：（1）验证是基础。数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找到一个数，这个数就是我们要证明命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题。（2）递推乃关键。数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程，必须把假设“n=k”作为条件来导出“n=k+1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次。（3）正确寻求递推关系。我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的，如何寻求递推公式呢？①在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推公式是有帮助的。②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置。③在书写f(k+1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，除此之外，多了哪些项、少了哪些项都要分析清楚。
二、常见方法、技巧及注意点
1.使用反证法证明问题时，准确地做出反设（即否定结论）是正确运用反证法的前提，常用的“结论词”与“反设词”列表如下：
2.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾。常见矛盾有三类：
（1）与假设矛盾；（2）与数学公理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；（3）与公认的简单事实矛盾。
3.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑，如果只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误。
4.运用数学归纳法常见的错误：
隐性知识 排球教学 评价指标 评价方法
目前，我国学术界在呼吁加强对知识测度问题的研究。因此也非常有必要加强对隐性知识评价指标与方法问题的研究。只有对个体含有的隐性知识进行相对合理地评价和测度，才能用利益驱动隐性知识的流动和转化。然而，由于隐性知识具有个体性难以模仿性和路径依赖性，对其直接量化和评价显得非常困难。
一、排球教学中隐性知识的具体评价指标
1.知识的广度和深度
一个人的知识的广度和深度，直接量化很困难，可以采用显在的相对变量来测量。把知识的广度和深度看作是隐性知识含量的函数。不妨我们可以这样假设，个人知识广度可根据项群理论的系谱，考虑其熟悉项目之间的跨度和分布状况来加以确定。一个人的知识深度和广度，可以根据他在排球领域掌握的情况来相对加以评估，包括技术、战术、教学训练方法、体能训练的一般理论与方法，以及竞赛组织与编排和裁判法等，还可以进一步再细分其指标由同行专家共同确定。
2.取象比类的能力
取象比类是一种独特的领悟隐性知识的方式，是隐性知识显性化较为有效的一种表达方法和工具。学识渊博之人能够旁征博引，通过隐喻、类比、模型等方法把问题阐述清楚明白，能使受众得到更大的启发和效益。这里关键在于选择精巧的比喻的能力。这是可以由专家、同行和受众明显感受和评价的。
3.运用意象的能力
在排球教学中，考查学生运用隐性知识的过程是十分重要的。其中明显的表现是他能够熟练地应用技战术，并能自由地驾驭。例如，在排球教学比赛中，学生在比赛的瞬间决定采取合理的技术动作，是评价其成绩好坏的关键指标。学生完成技术动作的知识绝大部分是隐性知识。因此，我们可以把运用知识的能力作为评价隐性知识丰富与否的指标之一。在同等条件下，熟练应用知识的人当然比不熟练应用知识的人具有丰富的隐性知识。
4.隐性知识的相对绩效
5.知情意相贯通的能力
研究表明，非正式交流是隐性知识获取的重要途径。在排球比赛中，知情意相贯通的能力在传播隐性知识中起着重要的作用。具有较多隐性知识的人，应该有更强的知情意相贯通的能力，能够将显性知识和隐性知识有机结合，在认知活动中恰当地发挥情感因素的作用，创设适于接收、交流以共享隐性知识的氛围，使隐性知识的获取和运用保持开放态势。
二、排球教学中隐性知识的具体评价方法
1.层次分析法
层次分析法是美国匹兹堡大学萨蒂提出的将现实生活中存在的许多复杂、模糊不清的关系转化为定量分析的方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，能有效地应用于那些难以完全用定量方法解决的课题。
层次分析法是多目标决策的一个科学方法，它以严谨的分析方法、深刻的数理背景和应用方便等特点，这些满足了对于排球教学中学生隐性知识测评特殊性的要求。本文已经论述了排球教学中隐性知识的因素、维度，正是运用了层次分析法，确定一些具体的指标来评价学生的个体隐性知识，包括知识的广度和深度、取象比类的能力、运用意象的能力、隐性知识的相对绩效和知情意相贯通的能力。在学生隐性知识测评中，层次分析法通过定性分析和定量计算相结合，既考虑了隐性知识维度及其要素的权重，又避免了测评过程中主观性的出现。
2.模糊综合测评法
作为定性分析和定量分析综合集成的一种常用方法，模糊综合测评已在工程技术、经济管理和社会生活中得到广泛应用。模糊综合评价方法是模糊数学理论在实际问题的应用。由于模糊数学突破了传统精确数学绝对不允许模棱两可的约束，使得那些与数学关系不大的学科都有可能用定量化的数学方法加以描述和处理，这样数学的应用范围大大扩展。
在实际问题中，人们往往选择多个因素或多个指标来对一事物进行测评，如对教师知识能力测评等。对这样事物的测评受到两个方面的制约，一方面，该测评对象本身具有不确定含义，具有模糊性；另一方面，它常常受到多种随机因素的影响，也具有模糊性。为了提高测评的科学性和准确性，需要采用多个指标和多个因素的综合测评方法。而模糊综合评价方法就是这样的测评方法。它运用模糊变换的原理，对某一研究对象进行全面地评判，能比较顺利地解决传统方法难以解决的“模糊性”评判与决策问题，是一种行之有效的辅助决策方法。
因此，模糊综合评价法的特点满足了排球教学中学生隐性知识测评的要求，在用层次分析法确定学生隐性知识各要素、维度对总目标的贡献率的基础上，运用综合模糊测评法对学生隐性知识进行了定量分析，能够有效地区分不同学生个体隐性知识水平等差异。
三、结语
个体隐性知识的评价和测度是一项全面的系统工程。本文通过对排球教学中隐性知识的认识，初步提出了评价学生个体隐性知识的5项指标。当然，这5项指标的具体内容和具体算法还有待进一步细化和研究。通过建立各级指标，采取层次分析法确定各评价指标的权重，组织专家、同行、受众对学生个体的隐性知识含量进行打分，运用模糊评估法，构造评价对象矩阵，能够对个体隐性知识的含量得到相对的结果，对于如何实施这有待于进一步研究和验证。
参考文献：
[1]高宝龙.对高等体育院校排球教学中学生隐性知识积累的探索与思考[J].安徽科技学院学报，2009，24（3）.
例题：某书店老板去批发市场购买图书，第一次购书100元，按定价2.8元出售，很快售完。由于该书畅销，第二次购书时每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购数量比第一次多10本，求该老板第一次购书的批发价。
第一，理解题意，学会分析
数学应用问题都是用文字来表述的，要理解题意，学会分析就必须疏通文字。
一是要注意题目中的关键词，如“增加3倍，增加到3倍，增加了3倍”，这些常出现的字眼，必须明确意义。
二是要看好题型，掌握基本关系式。若是行程问题，就必须懂得:路程=速度×时间；若是工程问题，就要明白：工作效率×工作时间=工作量；若是买卖问题，须知道：总金额=单价×数量；若是存款问题，须知道：利息=本金×利率×存期。
三是要学会分析的方法。常用的分析方法一般有直接分析法、线图分析法和表格分析法三种方法。根据题目的需要，有时可以综合运用这三种方法把问题分析得更加透彻。
上述题目属于买卖问题，可以用直接分析法和表格分析法结合进行，首先必须理解书的定价、售价和批发价的意义，弄清楚在个关系式：
①第二次购书的批发价=第一次的批发价+0.5元
②第二次购书的本数-第一次购书的本数=10本
购书的本数=实用现金总额÷每本书的批发价
再借助于下表帮助分析：
■
第二，根据题意，恰当设元
解决数学实际应用问题，设未知数是其中的一个重要环节，能否处理好这个环节对实际应用问题的解决起着重要的作用，一般有三种设元方法：
⑴直接设元法：就是把要求的未知数设为“X”，这种设未知数的方法称为直接设元法。简言之，就是题目问什么，设什么。
⑵间接设元法：有些实际问题，如果“问什么，设什么”难以求解,这时应进一步弄清楚题目中量与量之间的关系，把与所求的量有关的量设为未知数“X”，即找出一个间接的关键的量作为未知数，这称之为“间接设元法”。
（3）辅助设元法：某些实际问题，题目中的已知条件较少，特别是列代数式时需要的量往往没有给出，可以把这些量和待求的量一起设为未知数，使之参与到问题解决的过程中去，并在解题过程中逐步将它消去，这种方法通常称为辅助设元法。
根据题目的特点，灵活恰当地设元，能收到化难为易、事半功倍的效果。上述例题可采用直接设元法，设第一次购书的批发价为X元，那么第二次购书的批发价为（X+0.5）元。
第三，建立模型，正确求解
通常把现实生活中的实际问题加以提炼，用数学语言概括的一种数学结构，称为数学模型。数学模型可以是方程、不等式、函数，或其他数学形式。
建立数学模型的大体过程是：（1）分析研究实际问题的对象和特点，确定数学模型的类别；（2）选择具有关键性作用的基本数量关系，并确定其间的相互关系；（3）用数学概念、符号表达事物的对象及其相互关系。
一般情况下，常用的数学建模方法有：对现实生活中普遍存在的等量关系应建立方程模型；对不等量关系应建立不等式模型；对变量关系应建立函数模型；涉及数据的收集、整理、分析时应建立统计模型；涉及图形时应建立几何模型。上述题目可建立方程模型，某学生的解题过程是：
解：设第一次的批发价为X元，根据题意得：
■-■=10
整理得：2X2-9X+10=0
解得：X1=2，X2=2.5
经检验：X1=2，X2=2.5都是所列方程的根。
答：第一次购书的批发价是2元或2.5元。
由此看到第一次购书的批发价有两个，即2元或2.5元，这能合乎题意吗？因此还必须进一步验证。
第四，回扣原题，验证作答
解答有些题目，学生容易忽视限制条件，或者没有发现隐含条件，从而导致解答不完全正确。因此，应当教育学生，问题解出后一定要把求得的结果代入到原题中去进行验证，把不符合题意的答案舍去，最后写出结论。
关键词 S-T分析法 教学效果 教学性格
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkz.2015.07.027
Finite Analysis of ST Analysis in the Diagnosis
of Teaching Effectiveness
――Take Yueyang No.1 high school Grade One Chinese
Language Lesson "Border Town" as an example
LI Jing
（Hu'nan Normal University School of Education Science， Changsha， Hu'nan 410000）
Abstract With the deepening of information technology in education and the new generation of teachers to carry out the subject， the teacher is more eager to expand their classroom teaching and in-depth reflection of rationality， ST quantitative analysis method is simple， visual conclusion， it represents teaching through visual graphics character. Because there is a correlation between teaching character and teaching effectiveness， ST analysis is also sometimes used for diagnostic teaching. In this paper， Yueyang No.1 high school Grade One Chinese language lesson "Border Town"in ST analysis， found that for non-interactive distinguished speaker， ST information can not be associated with teaching effectiveness analysis， which is ST Analysis in the diagnostic analysis and prescription recommendations congenital defects.
Key words S-T analysis method; teaching effects; teaching character
1 问题的提出
教师在教学反思中，除了采用传统的定性研究手段外，定量的分析方法逐渐崭露头角，例如能简单记录教学过程数据并直观反映教学性格的S-T分析法，再如运用多种分析图表来详尽直观表现教学结果的弗兰德分析法。①S-T分析法的行为仅分为两类，学生行为S和教师行为T，这种划分方式最大程度减少了人在教学过程行为分类中的模糊性。此外，一堂课的教学性格在S-T分析法中是以图形表示的，没有复杂的计算，便于推广与实施。
正是因为S-T信息分析只对教学行为进行简单的定量处理，通过它判定教学性格也必定只能观察到局部的教育现象，其反映出的结论也必定是有限的。笔者对湖南省第一中学以小说《边城》为教学内容的一堂高一语文课进行S-T数据采集，分析数据得出该堂课的教学性格为传统的讲授型，但教学效果却异常出彩，丝毫不亚于练习型、混合型、对话型教学模式。不由得思考，通过S-T分析法来诊断教学性格并评定教学效果存在一定的局限性。
2 实例分析
2.1 采集数据
表1
这是一节45分钟的高一语文课，采样时间间隔为1分钟，听课时记录45分钟内的教师行为和学生行为。S行为包括学生的回答、讨论、自主探究等，T行为有教师的讲授、提问、板书等。若一分钟内S行为大于T行为，记为S，若T行为大于S行为，记为T。将每段采样点的行为类型填在S-T数据记录表格上，每一行9个格子记录9分钟内9个行为的编码，5行就表示一段45分钟的连续观察。根据实际课堂观察记录，得出如数据采集表（表1）。
2.2 进行技术分析，形成S-T曲线图
各项参数：片长45分钟，采样间隔1分钟，S个数为8个，T个数为37个。
图1
2.3 形成数据
采用 S-T 分析技术对本节语文课进行分析，很容易记录四十五分钟的客观教学过程的S、T行为排列。分析计算课堂观察数据记录表，本节课师生行为转换率Ch=17.8%，教师行为占有率 Rt=82.2%，学生占有率 Rs=17.8%。根据教师行为占有率Rt、行为转换率Ch的计算与Rt-Ch图，因为Ch0.7，我们可以很容易判定本节课教学性格为讲授型。①
图2
2.4 评价反思
本节课教学内容为沈从文小说《边城》节选，教学性格为讲授型。这种教学模式给大家的第一印象是传统的“满堂灌”教学，师生之间少有互动，学生参与率极低，本堂课看似教学效果一般，师生互动质量亟待提高。
然而，根据其它听课教师的定性评价，虽然整个教学过程以老师侃侃而谈为主，与学生互动较少，但老师的讲解充满感情、细腻入微、引人入胜，他将故事的情节发展娓娓道来，从风光秀丽的湘西城，到善良质朴祖孙俩，到情窦初开的翠翠与傩送的邂逅，到天保的死与傩送的离去，到爷爷在风雨之夜去世后，留下翠翠孤独守船痴心等待傩送。老师整个叙述过程既注意故事细节的阐述又很好的把握了语调的轻重缓急。许多同学都被这个故事打动而眼含泪水，可以说这堂课的教学效果非常理想。
S-T图通过客观的数据、直观的图形描述出这堂课的教学性格为传统的讲授型，但我们无法评判该堂课的成败，因为教育是高度情境化和生活化的， S-T分析法却忽视了非口语行为，诸如学生思考或做练习时的表情和动作。教师的行为也没有过多的细分，教师是在简单进行提问还是在引导学生回答问题，是在单纯的灌输还是正用唯美奇妙的语言引领学生接纳美好的知识世界，这些均不得而知。众所周知，S-T分析法能对课堂教学性格进行分类，且教学性格和教学效果具有相关性，但S-T分析法不能有效反映出一堂课的教学效果。对于非互动型的杰出演讲家，一种不太受推崇的教学性格可能带来极佳的教学效果。
3 运用S-T分析法的局限
首先，S-T分析法因其简单易用且便于手工分析而大受欢迎，但是当数据量较大时，手工分析同样费时费力，S-T分析法不适合现场分析，通常是现场录制教学过程的视频，课后再分析，教学视频录制的拍摄角度可能会限制分析者全面观察课堂，例如当视频集中于教师说话的画面，分析者观察不到学生的反应。
其次，教学信息具有模糊性的特点，界定S、T行为自然带有主观性。在一个采样间隔时间内可能既有S行为又有T行为，如这一刻是老师在讲课，下一刻学生就在思考或做题了，这就妨碍了教育信息的处理，到底该如何抉择这些不可避免的模糊状态，有赖于提前商量统一的行为界定方法。S-T分析图能让我们清楚地看到师生行为分别占总采样数的比例和行为发生时间，但我们无法界定他们的具体行为动作和行为产生的效果。
再者，对于教师而言，判定其授课的教学性格固然重要，但是反思课堂教学中存在哪些问题并改进更有现实意义，而S-T分析法在处方建议方面显得势孤力薄。它简单的行为划分注定它只能得到有限的的结论，反映课堂教育信息的指标多种多样，例如教师在讲授、提问、引导、媒体操作、表扬或批评，学生在被动应答、主动提问、讨论交流、思考、记录和练习。这些不容忽视的教育信息在S-T分析法处理后都荡然无存了。
最后，教育信息具有隐含性，教师的言谈举止、人格魅力无法测量，教师的教学策略、教学内容组织方式等隐含信息难以测量的。所有的这些信息蕴含于教师与学生的深层意识中，教师学生能彼此感知，我们却难于表征。
本文中对岳阳县一中高一语文课的案例分析表明，对于非互动型的优秀演讲家，S-T信息分析法不能反映教学效果的好坏，分析者更不能简单的关联教学性格与教学效果。通常来说，S-T 分析法更适合用作支持教学反思与研究，并不适合作为教学评价的依据。
4 教学分析法
教学分析大致可分为两个取向：一是量化分析法，以数学形式和系统的规则来进行分析。另一种是质化分析法，一种具有弹性的分析技巧，结合人的主观意识分析复杂的现象。为保证教学分析的深度和广度，理应整合“量化分析法”与“质化分析法”，形成一个更加完整的分析设计。②
类似于S-T 分析法的还有美国学者内德・弗兰德在1970年成功研制出的FIAS分析法，FIAS的编码系统将课堂上的语言互动行为分为教师语言、学生语言和沉默或混乱三类，其中教师语言又分为间接影响（接纳学生的情感、表扬和鼓励学生行为、采纳学生的主张和意见、提问）、直接影响（讲授、给予指导和指令、批判）两大类共7种，学生语言有学生回答教师提问、学生主动发言和提问2种，沉默与混乱作为一种，共计10个分类。弗兰德斯的师生语言对话分类表可以分析师生在课堂上的对话频次，分析者可据此进一步分析教师的教学方式和教学态度。②
（下转第69页）（上接第58页）
不过，基于互动信息技术的FIAS同样也有不完善之处，例如许多语言行为还没有细分，第十个行为“沉默”就仁者见仁智者见智。此外，提问没有区分问题的性质，是开放性问题还是封闭性问题？是与教学相关的问题还是无关问题？学生发言是主动说话还是被动说话？此外，弗兰德分类类别中未涉及各种媒体。
正如世界上不存在万能的教学媒体，教学分析方法也是各有千秋，弗兰德语言互动分析系统将编码数量增加至10个，分析的结果就更加精确，所反应的问题也就越深刻，但S-T分析法无需复杂的计算，方便教师应用于日常教学。由此可见，具体分析目的和分析要求决定了适合的分析方法。兼顾质和量的分析才能得出最为合理和公正的分析结果，满足分析者最真实的需求，质的研究与量的研究是相互依存、相互渗透、相互补充的，双剑合璧方能所向披靡。
5 结束语
教育信息的复杂性、模糊性和主观性决定教学分析是一个复杂的过程，我们不能用堆积如山的数学符号或是通过简单的臆想去评定一个教学过程，任何单独的定量或定性的教育分析法也难以做到绝对的客观。教师唯有综合运用质与量的反思与研究方法，以人为本多角度对教学过程进行综合评价，感性认识与理性分析并重，方能发现课堂教学中的规律与真谛，成为真正的专业化教师和研究型教师。
注释
关键词：思维能力；创新教育；学科特点
中图分类号：G622.0 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2012）06-0056-02
当今教育越来越重视培养学生的思维能力和创新教育，学生是否具有这种能力也成为衡量教师教学成功的标准。以小学数学为例，数学思维与创新教育的探究，既是一门重要的学习方式，又是数学教学的一门重要内容，它始终贯穿于整个小学教学的全过程。我觉得在教学中培养学生的探究能力，必须利用好学科特点有效地整合学科资源，才能有利于学生创新能力的培养。
一、好奇心是培养思维能力和创新能力的闪光点
今日的小学生视野宽，接受的信息量大，好奇心强，好奇心是学生出现创新能力的闪光点。平日的课堂教学中，学生往往会提出许多有趣的问题。如，有的学生问：为什么我们使用的课本叫数学？零为什么是自然数？最大的数是几？最小的数又是几？直线存在于什么地方？射线存在于什么地方？天上的星星和地面上的人一样多吗？无论学生提出的问题是对还是错，教师都应从正确的方面引导学生，使学生积极思考，同时鼓励学生大胆说出自己的疑难问题。这样做，学生的好奇心得到教师的爱护和培养，时间一长，学生的好奇心、自尊心和创造性就会自然地结合在一起，形成初步的数学创新意识。如果我们对学生提出的不与课本相关的问题或超出课本以外的可笑问题，或不闻不问或加以呵斥，学生的自尊心很容易受到挫伤，不利于学生个性心理的健康发展。随着时间的推移，学生的懒惰情绪就会逐渐表现出来，自信心缺乏，更谈不上有自信能力。这样的学生怎么能有思维和创新能力呢？教师及时发现学生中出现思维与数学创新能力的闪光点并加以爱护和引导，学生的数学创新意识会逐渐加强。
二、依照学科优势，培养学生的思维与数学创新兴趣
要使学生具有一定的数学创新能力，首先要使学生具有数学的创新兴趣。数学教师要依照学科优势，培养学生的创新兴趣。如学完长方形后，引导学生用长方形的面积公式推导出圆的面积公式或者推出平行四边形的面积公式，由平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式，最后由这几种面积的运算得出组合图形面积的计算，学生会感悟到数学中推导的兴趣。学过面积的运算后，让学生回家测量计算出家中住房的面积，学生会感悟到数学转化到生活的无穷乐趣。
三、分析方法的培养是对学生进行思维、创新教育的基础
培养学生分析问题的方法是学生正确认识事物、具有创新能力的基础。正确分析方法的培养要在平日的基础教学中处处体现出来，从而使学生对问题做出正确的判断推理。
有这么一道练习题：一筐西红柿上午卖出42千克，每千克卖1.1元，下午按每千克1元卖完，这筐西红柿每千克卖多少元？
首先使学生弄清楚题意，并找出已知条件和所求的问题各是什么，然后用分析法引导学生分析。分析法的思路如下：要求这筐西红柿每千克卖多少元？它与哪两个问题有关？有什么关系？这必须是学生首先要考虑的问题。在弄清问题之间的关系后，引导学生理清分析的整个过程。过程如下：
从而可列式（1.1×42+1×8）÷（42+8），这样，从所求的问题一直推想到已知条件的思路，便为分析法的思路。反过来的思路是从已知条件出发，推想到要求的问题的思路过程便为分析法的过程。分析法与综合法的协同运用，提高了学生分析问题的能力，奠定了学生数学思维与创新能力的基础。
四、想象力的培养是对学生进行思维、创新教育的不竭源泉
教师在平日的课堂教学实践中，要善于抓住能引起学生想象力的想象点，不失时机地引导学生展开联想，使学生的知识面在一定的时间内向更宽、更高的方向发展。丰富的想象力是学生进行创新活动的不竭源泉。数学课本中编有一道按比例分配的应用题，我在教学中把课本中的应用例题改为“甲乙两人承包装修工程共得10000元钱，按一个月两人出勤天数30天、25天分配工钱，你能给他们两人分配工钱吗？”学生根据所学的知识很容易掌握本题。但如果能及时引导学生做以下几个过程的练习，那么学生的创新意识及创新能力会有一定的提高。
A：一个三角形的三个内角的度数比为3∶5∶4，这个三角形的内角各为多少度？
B：一个直角三角形的两个角度数的比为5∶4，它的两个角各为多少度？
一、结合实际情景，帮助学生理解题意
许多学生解答应用题的能力差是因为他们的文字理解能力差，准确地说是他们对应用题文字叙述的理解力差，就是读不懂题，导致读完应用题学生根本不知道各个数量的确切含义，或者对题目中关键句子的含义把握不准。针对这种情况，教师可以通过引导学生把应用题的情景思维注入到实践中去思考。例如，在教用钱买东西这一类应用题时，学生往往会被题目中的数字所迷惑，脱离实际去想，把题目理解得一塌糊涂。其实用钱买东西，是最常见的事情，但当把这一幕买东西的情景叙述成应用题时，学生往往会完全脱离买东西这一现实情景，只是题目中的数字在脑海里打圈圈。如果能把实际情景与应用题叙述的情景联系起来，学生就会比较容易地把应用题解答出来。例如，第四册数学中有这样一类题目：小诗拿5元去1支钢笔和5本练习本，钢笔2元一支，练习本3角一本，售货应找回多少钱？此题对于二年级的小学生来说，一看题目就感到难做。我讲课前，布置学生用5元把题目中的文具买回学校用，在讲课时结合实践引导，学生通过实践活动，会把实际情景与题目叙述的情景联系起来想，他们会知道“1”支钢笔的“1”字不需要列入算式计算，这时学生就比较容易地把题目解答出来：3×5=15角=1元5角（买练习本用的钱），2元+1元5角=3元5角（买钢笔和买练习本总共用的钱），5元-3元5角=1元5角（售货员应找回的钱）。
二、根据应用题的特点，让学生掌握一定的解题技巧
应用题虽说是题目变化多端，种类繁杂，但大多还是有章可循的。不同的题型，有不同的解题思路与方法，教师如果在日常的教学中经常性地帮助学生总结归纳解题方法，学生在答题时会少走弯路，解题效率会大大提高。下面介绍几种小学数学应用题中常用的解题方法。
1.分析法和综合法
分析法就是从题目的问题入手，逐步推得需知条件，直至均为已知条件为止。综合法从题目的已知条件入手，逐步推得可求什么，直至得出题中问题为止。例如，客车从甲地开往乙地去时每小时速度是45千米，4小时到达乙地，回来时比去时每小时多走15千米，回来时用了几小时？这时就可用分析法：回来的时间=回来的路程÷回来的速度，回来得路程=去时的路程=去时速度×去时的时间，回来的速度=去时速度+每小时多走的，就可从问题推导到已知条件，也可用综合法。分析法和综合法可综合运用，由条件向问题或由问题向条件或同时进行，这样就较容易找到解题的方法。
2.方程法
方程法有助于学生顺向思维，寻找等量关系、理清思路，从而达到解题的目的。在解题的过程中，要灵活选用方法解题。例如修路队修一条路，第一周修这条路的1/3，第二周修这条路的1/4，第二周比第一周少修8千米，这条路有多少千米？这道题用算术方法找分率对应的具体量就比较难找，如果用方程找出等量关系第一周修的量-第二周修的量=少修的8千米，就易于接受。在用方程解应用题时让学生尝试列出不同的方程，从不同的角度出发分析数量关系，可以列出不同的等量关系，引导学生对不同的方程加以比较，从中找出简便解法，培养学生思维的灵活性，提高解答应用题的能力。
3.图示方法
图示方法是通过画简单的示意图来揭示问题的实质，显示数量关系的一种策略。常用的有线段图、几何形体的切割等。例如，笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头；从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？运用图示可使一些抽象的问题变得直观形象，错综复杂的数量关系变得清晰明了。画8个圆表示全是鸡，圆上画两个线段表示鸡脚（式子为2×8=16），与题意相比少了十只脚（26-16=10），因为每只鸡兔相差两只脚（4-2=2），在圆上再画两条线表示兔子就要画五个圆（10÷2=5），这种简单示意图与算术方法相结合使问题更直观化，更易于理解。
三、将数学问题生活化
仔细审题，理解题意
小学数学应用题多为抽象方式，许多小学生不能很好理解数学应用题，所以，理解题意是当今小学数学应用题教学亟待解决的一大难题。不能对应用题进行正确、充分的理解，是因为小学生的文字理解能力有限，比如他们对数量等词汇不能充分理解。
教师在进行教学时，要学生在审题过程中，清楚问题是什么、条件是什么、有哪些数字、哪些数字是干扰的等。学生要边读边想边记，比如：一件上衣45元，裤子比上衣便宜12元，买一套衣服要多少元？学生在读题的过程中，可以把数字“45”“12”及文字“便宜”圈起来。
学生读题时，简单的标注、图画等都可以直接提高审题效率，为下一步解题提供精准保障。良好的学习习惯是成功的基础，解题的第一环节和前提是审题，即理解题意，所以教师在教学中要非常重视对学生仔细审题的培养。
分析特点，掌握技巧
虽然小学数学应用题题目繁多，类型也较多，但是他们都有一定出题规律与特点，所以在教学实践中，要教会学生找出解题规律与技巧。教师在备课过程中，要对应用题特征进行分析研究，将它们分类整理，对每一类题目都归纳出相应的解决方案与方法，较大程度地提高学生的解题能力。
教师可以采取以下方法：①画图法。应用题的表达具有一定的抽象性，画图法最能将抽象变为直观，利于小学生理解。在教学时，教师可以将应用题中相关的数据用线段或简笔画表示出来。例如小学一年级的题目中有：小苹种7盆红花，又种了同样多的黄花，两种花共多少盆？在讲解过程中，教师可以用红色和黄色粉笔分别画出车的简笔画，使学生可以较为直观地理解题目。②分析法与综合法。分析法是从应用题的问题出发，从题目中分析有哪些条件，需要哪些条件。综合法是指先分析题目中的条件，综合怎样解决问题。分析法与综合法是两个相对的概念。比如：从甲城到乙城的铁路长560千米，一列火车以每小时118千米的速度从甲城开往乙城，3小时后能到达吗？分析法是指先确定问题，需要知道时间、路程和速度3个条件，由条件解决问题；综合法是将以上3个条件搜集起来，提出问题。
学生只要掌握了以上出题特点及解题技巧，才能按照正确的解题步骤来解答应用题，进一步推出正确解题方法，提高学生的解题速度与正确率。
联系生活，提高兴趣
数学来源于生活，是生活的产物，这在《小学数学课程标准》已有体现，它强调了数学与生活具有紧密的联系，提出小学数学教学要培养学生解决实际生活的问题，在生活中有效利用数学知识解决问题。数学中单调的公式与数字，容易使学生产生厌烦心理，影响学生对数学的学习兴趣，教师要帮助学生创造生活情境，来学习数学知识，提高学习兴趣及解决应用题的能力。
在购物的应用题中，许多小学生没有独立购物的经验，不能将题目与实际情境相结合，导致他们不能充分理解题意，解答题目能力不强。比如小明有24元钱，买下列物品：8元的玩具熊、4元的钢笔、6元的文具盒、3元的笔记本，所带的钱刚好用完他可以买哪些东西。在讲解这类应用题时，教师可以为学生提供模拟情境，比如提前布置课后作业，让学生独立购买学习用品。这样，在下节课讲解题目时，学生因为具备了购物的相关经验，所以就能较为容易的理解题意。小学教师要引导学生在生活中多运用数学知识解决问题，提高数学的应用能力及兴趣。应用题是将数学知识应用到实际生活中，在课堂教学中，教师要善于将应用题教学与学生的实际生活结合起来，不仅可以使学生体会数学的存在价值，也可以提高其探究兴趣，为理论知识应用于实际生活奠定基础。
结束语
Abstract: In accordance with different subjects of study, western economics are divided into microeconomics and macroeconomics, and the microeconomics is the basis of macroeconomics. However, in the specific contents, they are strictly divided into two parts again, and they remain independent, and basically do not matter in content. For example: in the theory of the firms profits maximization, it only studies the conditions of a single firm's profit maximization (resource utilization), but does not contact macroeconomics to consider the issues about resources allocation and does not contact the consumer behavior theory to consider the utility maximization problem of consumers and does not contact price elasticity of commodity price to consider the issues about decision of makers. This article intends to explore these issues.
关键词： 厂商理论；利润最大化；边际分析法；思考
Key words: manufacturer's theory；profit maximization marginal analysis；thinking
中图分类号：F73 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）08-0138-02
0引言
传统西方经济学依据高等数学中关于连续函数取得最大值的必要条件，论证了生产者（厂商）实现利润最大化的必要条件是MR=MC，对此结论，本文有不同的看法，本文认为：对厂商利润最大化理论的分析和探讨，除必然需要站在生产者的角度分析外，还需要把它放在更加广泛的环境中考察，这样才可能得到更加客观和更加实际的结论。
1传统生产者行为理论的具体内容
1.1 传统厂商利润最大化理论边际分析法的基本推导西方经济学中的厂商利润最大化理论主要探讨厂商如何在投入（成本）既定的情况下获得最大的利润（产出）。具体包括了边际成本分析法和边际收益分析法。边际分析法利用高等数学中原函数（总利润函数）的一阶导函数（边际效用函数）的值为零时，原函数可取到最大值的原理，论证了生产者在投入（成本）即定的前提下（假定货币的边际效用不变）生产某种商品要取得总利润最大（即：TR-TC的值最大）的原则是MR-MC=0，亦即MR=MC，实际上，（TR）′=MR，（TC）′=MC。也就是说，能满足MR=MC时的商品生产量能够保证生产者实现利润最大化。
1.2 传统厂商利润最大化理论边际分析法的基本分析框架西方经济学把生产者生产商品所付出的所有投入称为总成本（TC），把生产者每增加一单位产量所增加的总成本称为边际成本（MC）；把生产者销售商品所得到的所有收入称为总收益（TR），同时，把生产者每增加一单位的销售所增加的收益称为边际收益（MR）。依据传统厂商利润最大化理论，以下（如表1）是一个生产者生产（销售）一种商品的短期均衡表（以垄断市场的短期均衡为例）。
单纯从数学角度分析：当一个连续函数的一阶导函数的值为零时，该函数能够取到最大值［实际上，MR=（TR）＇］。按照这一数学结论，在假设TP函数为连续函数的前提下，TP要取得最大值，即TR-TC的值要最大的必要条件是MR-MC=0,亦即当MR=MC时，厂商的总利润TP为最大。从表1的情况来看，当厂商的生产（销售）数量为5时，边际收益等于边际成本，厂商得到最大的总利润60。
1.3 基本作图根据以上表格，传统教课书作出了MR,MC曲线和TP曲线，如图1。
从图1可以看出，当销售量Q=5时，MR曲线与MC曲线有唯一交点，此时MR=MC，同时，TP取得最大值60。
2对传统厂商利润最大化理论的思考及修正
2.1 对厂商利润最大化时的生产量（销售量）和TP曲线图形做法的思考及修正依据上表1可知，实际上能满足总利润TP的值为最大的销售（生产）量可以是4也可以是5，亦既在(生产)销售量为4到5这个阶段存在一个总利润保持最大值的平台期。所以，严格来讲，TP函数的图象不是一个严格意义上的抛物线，而是在抛物线的顶端应该有一条平行于Q轴的线段AB，如图2。
图2才真正反映了表一中厂商销售（生产）量、边际收益、边际成本和最大利润之间的相互关系。
2.2 对厂商利润最大化条件的思考和修正从表一和图二能够看出，厂商利润最大（60）时的销售（生产）量可以是4也可以是5，但是从不同的角度并把宏微观经济学其他理论结合起来分析，利润最大时的销售（生产）量则有不同的结论。
2.2.1 单纯从厂商的角度来考虑，最优生产（销售）量应该为4。这是因为在保证总利润TP为最大的基础上，厂商生产（销售）更多的产品意味着厂商在生产技术不变和其他要素投入不变的前提下需要增加一种要素的投入，这意味着生产成本的增加，同时也意味着固定资产（机器设备）的更大损耗。我们知道，西方经济学假设厂商生产的根本目的是利润最大化，而利润最大化首先要满足的必要条件则是成本最小化。正是从这个意义上来说，单纯从厂商角度考虑，其最优的生产（销售）量为4，而并不是大多数传统教材中认为的5。
2.2.2 从商品价格弹性理论和厂商所生产产品的可替代程度的角度来考虑，如果该厂商生产（销售）的产品需求弹性很小甚或无弹性，并且该产品的替代品（包括完全替代品和不完全替代品）很少甚或没有，则意味着该厂商有能力在产品质量不变的前提下向市场（消费者）索要更高的价格，牟取更大的超额利润。显而易见，在这种情况下，厂商最优的生产（销售）量应该为5。
2.2.3 单纯从消费者角度来看，厂商的最优生产（销售）量应该为5。这是因为当厂商生产并向市场投入更多的产品时，既市场供给量加大时，依据供求定理，产品的价格会有一定程度的下降。而产品价格的下降意味着在消费者收入既定的条件约束下，花费相同的收入会取得更大的效用（即收入效应：产品价格下降，消费者收入不变但其实际购买力增加）。
2.2.4 抛开以上三种考虑角度，单纯站在宏观经济学资源配置的角度来分析，厂商的最优生产（销售）量应该为4。这是因为在销售量为4时，厂商已经取得了总利润TP最大。如果厂商继续生产，不但意味着厂商自身生产成本和固定资产损耗加大，而且意味着资源配置的低效和无效。多生产一单位产品（生产量从4增加到5）而投入的生产要素可以在正确的宏观经济政策调控下配置到能够更有效利用（或更需要）该生产要素的生产上去，最终实现资源的合理有效配置。
综上所述，对西方经济学中厂商总收益最大化问题的探讨不能仅仅局限在厂商自身的角度来思考，而应该同时结合宏微观经济学中的其他相关理论综合进行考虑，这样才能不断促进宏微观经济理论的融合，不至于让人们产生宏观经济学和微观经济学完全割裂和西方经济学中各个理论相互割裂的印象。也只有这样，对具体经济问题的分析，才能得到更加客观和更符合实际的结论。
参考文献：
