时间：2023-06-15 17:26:07
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇数学除与除以的区别，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
误区一：“单位”、“单位名称”和“名数”混淆不清
在数学教学中，不少教师和学生把名数与单位名称等同起来，其实它们是有区别的。对于列式解决应用题后在计算结果后面需要写上“单位名称”，是在二年级上册教材“加和减”这个单元出现的。“不要忘了写单位”是数学教师经常挂在嘴边的一句话，目的在于提醒学生在列式解决实际问题时，不要忘了写得数后面的单位名称。但细细一想，“单位”是“单位名称”的缩写吗？“不要忘了写单位”这句话在阐述上对吗？说到这里，就不得不提提“单位”、“单位名称”和“名数”这三个概念的含义以及它们之间的关系。
数学中的“单位”一词，是指测量某个物理量时用来进行比较的标准量。比如，测量长度用1米做为单位，计量质量用1千克做为单位，计算时间用1秒做为单位，测量液体的多少用升或毫升为单位。1米、1千克、1秒、1升这些都是“带有名称的单位”，它们的“单位名称”分别是米、千克、秒、升等。
“名数”，是指带有单位名称的数，即量数和单位名称合起来叫做名数。如5升、7千克、6米、13吨20千克等。“名数”有“单名数”和“复名数”之分。“单名数”是只含有一个单位名称的名数，如5升、7千克、6米等；“复名数”是含有两个或两个以上的同类单位名称的名数，如13吨20千克、5小时30分17秒等。
知道什么是“单位”“单位名称”和“名数”，就可以弄清它们之间的联系和区别。有“单位”的数，不一定都有“单位名称”，也不一定都是“名数”。“名数”一定具有相应的“数”和“单位名称”。
因此，在实际应用中要防止混淆概念，不能把忘记写“单位名称”，说成是忘记写“名数”或忘记写“单位”。
误区二：“因数”“约数”的概念不清
小学四年级上册第七单元是“因数和倍数”，这里的“因数”就是指原来的“约数”，新教材中不再出现“约数”这两个字。
其实，在“数的整除性”中，约数和因数是两个重要的概念。在小学数学中，接触因数是在整数乘法时，所有的乘数对于积来说，都是因数。约数是在“数的整除性”中出现的，它与倍数是在“整除”概念的前提下，同时建立起来的概念。以6÷3=2为例，6能够被3整除，也能被2整除，因此，对6来说，3和2都是它的约数。如果换成乘法算式：3×2=6，对于乘积（6）来说，3和2都是它的因数。由此可见，只有在“整除”的范畴内，才能谈得上约数，而在乘法中，因数早已经存在了。
约数与因数的另一个区别，还在于各自的应用范围上。约数的应用范围是有限的，它只存在于“数的整除性”这部分知识当中。因数的应用范围则比较广泛，无论整数、小数、分数、百分数，以及到中学后所接触到的负数，只要出现了乘法，就存在着因数的概念。
例如：在小数中2.4×0.8=1.92，2.4与0.8都是1.92的因数。
为了减少学生不必要的名词记忆，很多新教材中不出现约数这个名词。虽然新教材中不出现“约数”了，但由于一些老教师或家长还是按以前的说法来辅导学生，一些练习册中也要经常出现“约数”，学生还是会混着说的。我们应该尽量去规范学生的说法，但也告诉他们，在遇到“约数”时，应该知道指的是“因数”。
误区三：综合算式的读法不规范
在教学中经常会遇到让学生读出综合算式的情况，例如，34×（45÷9），学生普遍会读成“三十四乘小括号四十五除以九小括号回括”，其实这样的读法已经使这个综合算式在读的过程当中，不能明确地读出它应有的运算规律。我认为我们再让学生读的时候，应该能够通过读来体现综合算式的运算规律，即读作“三十四乘四十五除以九的商”。这样学生在计算类似“78除以2乘13的积是多少？”这类叙述题时，会迎刃而解，不至于忘记加小括号。
关键词：被除数 除数
在除法运算中，被除数与除数在除法运算中，是不可回避的两个重要概念。在除法算式中，由于混淆这两个概念，在实际解题时常常出现错误。学生为什么会对看似简单的概念分辩不清呢？怎样防止学生混淆这些概念呢？笔者以下谈谈自己的粗浅认识。
一、对比除法与减法，重视类比思想在辨析概念中的作用
小学数学中的概念是小学数学的基本知识，必须让学生理解和掌握。然而许多概念的含义相近，本质属性又有所不同，既有共同点又有不同点，学生往往容易混淆。学法之前，学生对减法已经有了比较全面的认识，对被减数与减数这两个重要的概念能够理解并加以辨别。学生在大脑中已经建立起“被减数-减数=差”关系的数学模型结构，甚至部分学生在回答三者的关系时是脱口而出，学生对被减数与减数的认识，会迁移到日后对被除数与除数的认识，所以这是一个重要的时间节点，要让学生真正理解被减数与减数的概念。在学法时，随意列出一个减法算式，让学生辨别出减法中被减数与减数，目的是把被除数与被减数、除数与减数建立起对应的关系，加强学生理解被除数与除数的关系是作用与被作用的关系。被除数是在除数这个条件的作用下，平均分后产生的结果。
二、提高学生的综合素质，建立数学与其他学科之间的联系
小学数学的学习不是孤立的，学生的理解能力直接或间接地影响到学生数学学习的程度，因此，我们要重视学生的语文阅读水平，对学生理解概念以及理解数量之间的关系带来极大地促进作用。前苏联教育家苏霍姆林斯基曾经说过：“学生学习越感到困难，他在脑力劳动中遇到的困难越多，他就越需要多阅读。（《给教师的建议》第51页）”。在语文教学中，把字句与被字句是语文的基本常识，如果学生对被字句中的有关知识掌握得好，也会帮助学生认识被除数与除数之间的关系，加深对被除数与除数的概念的理解。例如，汉语中对被字句的解释：被字句是现代汉语的一种句式，用介词“被”构成的表示被动意义的句子。其陈述的形式一般是：甲被乙怎么样。被字句的成立条件：（1）主语是受事，“被”字后的名词是施事。（2）动词必须是及物动词。有时“被”字直接用在动词之前，即施事者省略，过去被字句一般用于表达不幸或不愉快的遭遇，后来突破了这种局限。口语中常用“叫”“让”“给”替代“被”，仍称被字句。例如，张三被李四打伤了；小飞的衣服被雨水淋湿了等。学生在学法时，如果有了这些知识基础，会对理解除数与被除数的两个抽象概念起到潜移默化的作用。
三、揭示概念的本质属性，深刻理解概念的内涵
在四则运算中，除法的定义是：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。换句话说，若ab=c（b≠0），已知a（或b）与c，求b（或a），这种运算就是除法，用算式表示成：c÷a（或c÷b），其中，c叫做被除数，a（或b）叫做除数，运算的结果b（或a）叫做商。
如果在除法中被动地让学生从除法算式中，死记硬背“÷”前的的数是被除数，“÷”后的数是除数，只是从表面上认识概念，达不到理解除法概念的的本质，日后可能会造成在认识被除数与除数两个概念时的隐患。所以，对除法要有深刻的理解，强调除法是建立在平均分的基础上，除法有两种情况：一是把一个数量等分成若干份数，求一份是多少；一是把一个数量分成若干份，知道其中一份是多少，求分成的份数。这样全面、系统、完整地学法，理解了概念的本质属性，厘清了被除数与除数之间的关系，增强了对概念的辨析能力。
还应该注意，在学法时，不能脱离乘法，单纯地为学法而学习，除法的概念是建立在乘法的基础上。我们常说，除法是乘法的逆运算。为更进一步地增强对除法的认识，教学中要抓住除法与乘法之间的关系，用连线的方法把除法算式中的被除数、除数与乘法中的因数连接起来，让学生充分感受到除法中的被除数、除数与乘法算式中的的因数的对应关系，把新旧知识连点成线、穿线结网，从根本上理解除法中被除数与除数的概念内涵。
四、适时点拨、引导，提高学生的科学认知能力
关键词：概念本质；余数；除数；性质
新改版的人教课标版五年级上第三单元在学习了用四舍五入法求商的近似值后，安排了例10（1）小强的妈妈要将2.5kg香油分装在一些玻璃瓶里，每个瓶子最多可装0.4kg。需要准备几个瓶子？（2）王阿姨用一根25m长的红丝带包装礼盒。每个礼盒要用1.5m长的丝带，这些红丝带可以包装多少个礼盒？根据生活需要，一道题用“进一法”求近似值，一道题用“去尾法”求近似值。教学中首先要让学生清楚这两种方法与“四舍五入”的区别，第（1）小题多数学生都会列式计算：2.5÷0.4=6.25（个），有些学生知道6个不够用，用6+1=7（个），有些学生约等于6个，有些学生就等于6.25个。这时可展开讨论，让学生说说哪种答案正确，为什么，最终大家都能理解6个瓶子不够装，剩下的油不能扔掉，所以需要多准备一个瓶子。但剩下多少油呢？部分学生比较困惑，有些学生认为剩下0.25千克的油，如何让学生理解到底剩多少油呢？我认为可以用以下两种方法：
一种方法可以让学生算算6个瓶子能装多少kg的油，用6×0.4=2.4kg，再用2.5-2.4=0.1kg。另一种可以借助学生刚才的除法算式，观察 余下的0.1才是香油的重量，而不是余下的
0.25kg。同样的方法第（2）小题中，25÷1.5=16.666…的含义是不够17个包装盒，到底余下多少红丝带可以模仿第（1）小题求得。
余数给学生带来的困惑还不止这些，这不禁让我想起在苏州大学培训时徐文斌教授给我们讲的一道有余数的问题：在教授三年级下册“除法”练习课时，补充了“612÷2÷4”一题。同学们的解题方法归纳起来有以下三种：
[解法一] 612÷2÷4=306÷4=76……2
[解法二] 612÷2÷4=612÷8=76……4
[解法三] 612÷2÷4=153÷2=76……1
同样一道题，为什么会有不同答案呢？我一时茫然，按说只是不同的解题方法，答案应该是一样的呀，为什么会出现余数不同的结果呢？以前似乎没有遇到过类似问题，也没有认真思考过，听徐文斌教授讲完才知道，余数是相对于除数而言的，这三个算式余数都是除数的一半，化成分数都是1/2，或小数0.5，其实结果相同，只是表达形式不同而已。如果改成应用题可以更好地帮学生理解余数的意义。612个同学，按三个算式的分法来分，最后余几人是否相同呢？按第一种分法，先平均分成2大组，每组再平均分成4小组，每大组余2人，2大组共余4人。而按照第二种分法，直接分成8组，共余4人。按照第三种分法，先平均分成4大组，每一大组再平均分成2小组时都余1人，4大组共余4人。看来总共余4是一样的。关键是要分清余数是相对除数几而言的，这点非常重要，我们再教学有关余数问题时应引起老师们的注意，除了让学生认识到“余数比除数小”以外，还应该让学生认识到这样一个问题，余数与相应的除数有关，余数随着除数的变化而变化，让学生真正理解余数的本质。
余数问题在小学数学中非常重要且应用广泛，余数有如下一些重要性质需要我们了解：（其中a，b，c均为自然数）
（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，20与14除以3的余数都是2，所以20-14能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，28，21除以5的余数分别是3和1，所以（28+21）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，28，24除以5的余数分别是3和4，所以（28+24）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，28，21除以5的余数分别是3和1，所以（28×21）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，28，24除以5的余数分别是3和4，所以（28×24）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
运用这些性质，可以巧解很多题目，下面我仅举三道实例：
例1.5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到5056=26×79。由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2.有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。因为110÷58=1……52>50，所以58不合题意。所求整数是29。
例3.求478×296×351除以17的余数。
分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。所求余数是1。
由此可见，“余数”知识可以拓展思路，帮助我们思考解题。深刻理解“余数”概念的内涵，探究问题本质，我们任重而道远！真是小小知识点，蕴含大学问啊！
1 演绎推理，是从一般到特殊的推理，只要前提为真，符合逻辑规则，那么结论就可靠。它通常包括直接演绎（由一个前提直接推出结论）和间接演绎（由两个或两个以上前提推出结论）。
演绎推理具有“三段论”的形式，它是由大前提（一般的判断）、小前提（特殊的判断）、结论（最后的判断）这三个判断组成的。例如，一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数（大前提）；258各位上的数字和15是3的倍数（小前提）；所以，258是3的倍数（结论）。
2 合情推理，是从特殊到一般的思想，通过研究一些具体、特殊的情况，达到认识一般规律的目的，它是人们认识未知的一种重要思想。归纳推理就是一种从特殊到一般的推理，它是一种合情推理，是在观察分析问题的几个简单、特殊情况，从中总结规律，发现一般问题的解答的思想方法。
例如，六年级下册第94页第3题，（1）多边形内角和与它的边数有什么关系？（2）一个九边形的内角和是多少度？通过学生思考三角形、四边形、五边形、六边形的内角和，由三角形内角和是180°×（3—2），四边形内角和是180°×（4—2），五边形内角和是180°×（5—2），从中发现多边形内角和与它边数的关系，推出规律：内角和的度数=180°×（边数—2）。这是一种不完全归纳推理，不完全归纳推理是在研究某个事物或现象的某些特殊情况所得到的共同属性的基础上，对这一事物或现象作出一般结论的。不完全归纳推理所得到的结论可能是正确的，也可能是错误的。例如，由4是偶数，4也是合数；6是偶数，6也是合数；8是偶数，8也是合数；推得一切偶数都是合数，这个结论就不正确。虽然不完全归纳推理得到的结论可能正确也可能错误，但是它能帮助人们迅速地去发现事物的规律，提供研究的线索和方向。
有时在解决问题中，从特殊到一般和从一般到特殊这两种思想方法需要结合使用。
例如，3586除以5的余数是多少？如果你一心一意想把586个3连乘，企图得到它们的积，再把积除以5求余数，尽管你的整数乘法基本功很好，也是难以求得答案的，因为这是一个天文数字。正确的思考方法是：1.先把问题一般化：问3n（n表示自然数）除以5的余数是什么？如果能够解答这个一般问题，那么当n=586时，便是本题的答案。2.使用归纳法，从n=1，2，3，……入手，探求一般问题的结论。当，n=1时，31=3，除以5的余数是3；当n=2时，32=9，除以5的余数是4；当n=3时，33=27，除以5的余数是2；当n=4时，34=81，除以5的余数是1；当n=5时，35=243，除以5的余数是3；当n=6时，36=729，除以5的余数是4……从上面可以看出，当，n从1开始按顺序取值时，3n除以5的余数依次以3、4、2、1周期反复出现。这就是上述一般问题的解答。3.使用演绎法，从一般规律求当n=586时本题的解答，因为586被4除余2，所以3586除以5的余数是4。
3 类比思想，从特殊到特殊的思想。人们研究鱼为什么在水中能自由浮沉，设计发明了潜水艇；从鸡蛋壳的结构，发明了薄壳建筑等，这些都是人类模仿生物特性创造发明的成果，使用的思想方法就是类比思想。
类比思想是小学数学常用到的思维方法。例如，由整数的运算定律迁移到小数、分数的运算定律，解决问题中数量关系相近的问题的类比等。小学数学中的类比推理除了能有效地促进知识的迁移，还能进一步加强新旧知识间的联系，引导学生从知识点形成知识链，并进一步形成知识面，完成知识的系统化。例如，整数四则运算与小数四则运算的类比，还能帮助学生有效地掌握运算法则。
类比推理并不是论证，由类比推理所引出的结论并不一定是正确的，例如由“a×3=b×3，则a=b”；类比推出“a×0=b×0，则a=b”，后者就不一定正确，但是类比思想在科学假设中常常能起到很大的作用。
二、从数学间的区别和转化的角度看
1 分类的思想。分类是一种重要的数学思想，分类思想是根据对象本质属性的共同点和差异点，将属性对象按一定的秩序区分为不同种类的思想，它以比较为基础，能够揭示数学对象之间的联系与区别，有助于更准确完整地认识事物。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类（整数、小数、分数：奇数、偶数；质数、合数、1等）、图形的分类（角的分类、三角形的分类等）。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在教学中渗透分类思想时，应让学生了解分类标准是多样的，不同的分类标准会有不同的分类结果。例如，《三角形的分类》一课。制定教学目标时，一方面要求让学生牢固掌握三角形角的特征，另一方面还应重点让学生去感悟抽象或分类的数学思想。教学的具体实施，更要时刻围绕着这样的目标去展开。比如，当学生不能正确分类时，可以引导学生去观察角的特征，使分类得以进行：当学生出现将三角形按角分成直角三角形和没有直角的三角形（斜三角形）两类或直角三角形、钝角三角形、锐角三角形三类时，则可以引导学生去对比其中的联系，使学生认识钝角三角形、锐角三角形都是在斜三角形基础上的细化分类，都完全符合概念分类的原则，都完整地展现了分类的结果。这样不仅直观体现了分类的思想，还能够有效地支撑学生进一步明确概念之间的逻辑关系。
学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决数学问题。例如，等腰三角形中有一个角是80°，它的另外两个角分别是多少度？就要将问题分两类未思考：①当顶角为80°时，另外两个角分别为50°，50°。（②当底角为80°时，另外两个角分别为80°，20°。
2 化归的思想。在许多情况中，我们遇到的数学问题所蕴含的模式难以检索到相关的数学知识，就常常需要将原有的数学问题进行一定的转化，这在数学上称为化归，化归也是普遍使用的一种数学思想。其基本思想就是：把甲问题的求解，化归为乙问题的求解，然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解。其基本方法是：在考察待解决的问题时，能意识到与对象有内在联系的其他诸多对象，将原对象化归为一个较为熟悉的另一个对象，最终达到对原问题的解答。
化归思想作为最基本的数学思想之一，在学习数学和解决数学问题的过程中无所不在。例如，六年级上册的“鸡兔同笼”的教学。由于“鸡兔同笼”问题解决的特殊性，许多问题都可以化归为“鸡兔同笼”问题。人教版教材“做一做”和练习中安排了类似的一些习题，让学生拓宽对“鸡兔同笼”问题的认识，让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的应用。同时这些问题通过转化，都可以将其归结为已经解决的“鸡兔同笼”问题类型，从而进一步求解，这就是化归。
在计算以及解决问题时，有时就需要把条件进行变更、化归，使原问题变更为一个更容易解决的问题。例如，解决问题，某纺织厂甲、乙两个车间去年共织布520千米，今年共织布680千米，其中甲车间比去年增产48%，乙车间比去年增产20%。今年甲、乙两个车间各织布多少千米？这道题中两个百分率所表示的单位1不同，难以下手进行直接转化。但我们可以将原问题进行非等价变形，使它变成一个比较简单的问题，某纺织厂甲、乙两个车间去年共织布520千米，今年甲、乙两个车间都比去年增产20%。今年共织布多少千米？先解化归后的问题，今年共织布520×（1+20%）=624（千米）。现在将结果与原问题进行比较，发现比原问题中少织布680—624=56（千米）。而这56千米的差是由于甲车间增产的48%变为20%所致，所以甲车间今年的织布数为56÷（48%—20%）×（148%）=296（千米），乙车间今年织布数为680—296=384（千米）。非等价变形指化归前后两个问题并不等价。但是，当解决了化归问题之后，就能为解决问题提供解题线索和程序。解题思路是：假设两个车间多织的百分率相同一找出织布千米数的差与对应百分数的差一求出对应百分数所在单位1的千米数。
尽管化归方法在具体运用过程中有各种形式，但它的目标都指向一个，即使原问题化归为一个容易解决的问题，而化归后的问题解答目标又尽可能接近原问题解答的目标，这就是化归法的本质所在。
摘 要：在长期的数学教学中，发现学生的数学思维难以形成，当六年级学生面临小升初时成绩又极其不理想，尤其是对待必考的列式计算学生更是手足无措，无从下手，学习数学的自信心丧失。
关键词：厌学情绪；融会贯通；举一反三
一、数学列式计算问题引发的厌学情绪
我们经常会碰到这样的题目“用20和15的差去除72和35的积商是多少？”对于这样错综复杂的数量关系学生往往是“丈二和尚摸不着头脑”，对于其中出现的关键性词语“差、除、积、和”等复杂的关系网难以理清楚，列式时也是错误百出。如果我们用常规的办法来解决，首先也必须把其中的数量关系一一理清楚，可学生往往也会在理清数量关系,寻找解题方法的同时失去探索的耐心，以至于对列式计算这样的题目失去求解的信心，常常流露出厌学情绪，甚至消极厌恶。在考试中因为列式计算失分严重，使学生对试卷中出现的列式计算问题产生厌恶心理，导致数学成绩不理想，久而久之形成恶性循环，越来越差，进而失去学习数学的信心，更别说是取得优异成绩了。
二、将数学问题和语文知识相结合，融会贯通
小学生的年龄特点使其独立性差，依赖性强，无法融会贯通。如果我们把上面这道题目和语文缩句的知识联系起来求解的话就很简单了，“用20和15的差去除72和35的积商是多少？”应用语文知识缩写句子，这道题目就可以简单改写成“差除积商是多少？”追问“除”所表示的意义和“除以”的区别，那么就可以简单得到算式“积÷差=商”再进而追问积是谁和谁的积？差是谁和谁的差？那么把积和差作为一个整体看待，根据运算法则只需加上括号，这道题目就能简单地列出算式（72×35）÷（20－15）＝商”那么解决这道题目就变得轻而易举，这样既增强了学生学习数学的信心，又将枯燥的数学知识和语文知识相结合，增强了数学知识的趣味性，使学生轻而易举地消灭了试卷中的“拦路虎”并从中重拾学习数学的信心，不再依赖于常规的、简单的解题方法。学生再遇到列式计算问题时也就不会畏首畏尾，不知所措。只要老师把这种方法在课堂上多加练习，加以巩固，学生就会慢慢在练习中体会成功的喜悦，不再有厌学情绪，相反学生会越来越喜欢做这道题目，不言而喻学习数学的热情也会渐渐高涨。我相信这样的课堂绝对不是枯燥乏味的课堂，同时数学学习也将成为学生的特长，而不是负担。总之，数学问题的解决离不开语文知识的导向，只有将两者融会贯通、互相结合，解决数学问题会更加得心应手。
三、举一反三解决数学列式计算问题，提高学生学习的自信心
自信心能增强求知欲，学生在学习数学的过程中会遇到诸多困难。如果有了自信心，便会激发学生的学习兴趣，再加上老师科学的学法指导，就会大大提高学生学习数学的自信心。找对了方法，学生遇到列式计算问题就能得心应手地解决，像这样的列式计算概括为：先利用缩写句子的方法缩写题目，再简单列式，最后求解，问题就能迎刃而解。例如，“求198加82的和与306除以6所得的商的积是多少？”利用上述方法直接缩写句子“和与商的积是多少？”列式“和×商＝积”作为整体的和、商列式时加上括号，所以算式直接列为“（192+82）×（306÷6）=”这种方法既省时又能得出正确的算式，学生不但解决了问题还从中找到了更多学习数学的乐趣。
原来抽象复杂的列式计算问题利用缩句这种方法变得具体简单，学生能很快掌握学习方法，增强数学学习的兴趣。对学习有困难的学生，放低要求，分层训练，逐渐提高对数学学习的兴趣。有了自信心后，继而再提出一些较高难度的题目，当学生熟练地掌握了这种方法后，就会尝到甜头，随之数学成绩也提高了，在考试中就会取得优异成绩。
以上三点是我针对学生遇到列式计算时经常出错所进行的一些思考，发现语文学科和数学学科并不是独立的，在学习中这两者思维往往可以互相理解运用，增强知识的趣味性和学生学习的自信心，使学生爱学、愿学、乐学。
（作者单位 华亭县马峡镇刘店小学）
“数的整除”在“西师版”五年级数学教学中既是一个重点，又是一个难点。其中繁多的概念让学生甚至是教师都无所适从。它不仅涉及到概念之间联系紧密，并且很容易混淆。通过多年的小学数学教学，笔者对这部分内容做了十分仔细的总结和思考，现结合我平时的教学，对“数的整除”这一环节中几个问题做如下分析，以供广大同仁参考。
【问题一】
整除与除尽有什么区别？
解答与分析：
1、整除：整数a除以整数b（b≠0），得到的商是整数，没有余数。我们就说a能被b整除，或说b能整除a，即“整除”的条件是被除数、除数和商都是整数。
2、除尽：两个数（整数或小数）相除，当商是整数或有限小数时，如：11÷5.5=2；3÷16=0.1875；7.5÷2.5=3等，我们就说，这些算式中的“被除数”能被“除数”除尽，或者说“除数”能除尽“被除数”。
显然，上面这些算式，不能说“被除数”能被“除数”整除，这是因为它们不符合“整除”的条件：“被除数、除数和商都是整数”。
例如：40÷8=5，可以说40能被8整除，也可以说40能被8除尽；然而4÷8=0.5就只能说“4能被8除尽”而不能说“4能被8整除”。
整除和除尽两者的关系，还可以用下面的集合图来表示：
【问题二】
为什么不把1也看作质数？
解答与分析：
质数的特征是只能被1和它本身整除，而1也只能被1和它本身——“1”整除。那么为什么不把1也看着质数呢？原因是如果把1也作为质数，那么将给分解质因数带来混乱，破坏结果的唯一性。例如：把12分解质因数，就会出现无限多的结果：
12=2×2×3 12=1×2×2×3
12=1×1×2×2×3 12=1×1×1×2×2×3
………
为了保证分解质因数时结果的唯一性，所以，规定“1”不是质数。这样12以及其它合数分解质因数时就只有唯一的结果了。
【问题三】
怎样快速判断两个自然数是互质数？
分析与解答：
我根据“互质的两个数只有公因数1”这个特点，在教学中总结出如下快速判断两个自然数是否互质的方法：
1、1和任何（非0）自然数互质。（注：教材是在非0自然数范围内研究整除的）
例如：1和8； 1和47等。
2、2和任何奇数互质。
例如：2和11； 2和57等。
3、相邻两个自然数互质。
例如：21和22； 58和59等。
4、相邻两个奇数互质。
例如：11和13； 17和19等。
5、两个不同的质数互质。
例如：17和13； 83和23等。
6、较大数是质数的两个数。
例如：4和23； 79和12等。
7、较小数是质数，较大数不是较小数的倍数的两个自然数互质。
例如：5和27； 11和280等。
8、两个合数，较小数所有的质因数都不是较大数的因数，这两个数互质。
例如：12和35 12=2×2×3 而2、3都不是35的约数。12和35这两个数是互质数。
9、两个合数，它们的差得所有质因数都不是较小数的约数，这两个数是互质数。
例如：24和85,85－24=61,61不是24的因数，所以24和85这两个数是互质数。
〖注〗在判断两个自然数是否互质时，前5中方法使用较多。
【问题四】
质数、互质数、质因数有什么区别？
解答与分析：
在自然数中除了1和它本身以外，没有其它的约数，这个自然数叫质数。（如20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19）
两个自然数，除了1以外，没有其它公因数时，称这两个数为互质。（也叫做“互素”）。互质的两个数叫互质数。（例如：4和15是互质数）
如果一个数的因数，这个因数本身又是一个质数，这样的因数就叫做这个数的质因数。例如：5和11都是55的质因数。
由此可知：
1、质数和质因数本身都是质数，而互质数的两个数却不一定是质数。例如：8和9是互质数，而8和9都不是质数。
关键词：创造欲望；激发思考；创新发展；合作交流
中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2012）-03-0037-01
数学教学对培养学生的思维创新的能力具有无限的空间。数学课堂教学的导入新课，知识的系统总结，概念，定律，性质和法则和归纳，到运用数学基本理论去解答数学题目的整个过程，可以不断地培养学生的创新能力。
一、激发兴趣，唤起学生的创造欲望
为培养学生创造能力，在教学中教师要采用多种形式来激发学生的学习情趣。在课堂教学的导入问题上，虽课堂引入之占几分钟或几句话，但它是教学过程的重要环节和阶段。精心设计的导入，能唤起学生的注意力，启发学生思维的机器，激发学习兴趣。它可以编拟符号学生认知水平富有启发性的问题，能起以石激浪的作用。比如用发问，设疑，设问，悬念等导入。如在“元角分的认识”教学中可以出示储蓄盒，并摇动让学生听声音，问；“这是什么东西，你知道它的名字和作用吗？你们想知道关于它的知识吗？我们一起学习这些内容。再如在“直角的初步认识”的导入中利用所学角的知识，教师让学生在课桌面找角，提出本课要解决的问题；（1）找出角的形状，相同吗?这是什么角？(2)直角的形状，特点是什么？（3）怎样用三角板来判断？（4）怎样用三角板来画角？用悬念激趣导入，可以使学生产生一种探究问题奥妙所在的神秘感，从而激发学生兴趣，拨动学生好奇心，使他们一开课就精神饱满，迫切要求学习。有利于培养学生的探索，创新，发现的能力。
二、以学生为主体，激发创新思考
数学课堂教学以教师为主导，以学生为主体，彻底转变传统的教师一言堂的教学模式，建立学生“自主学习”的教学模式。在教学中要千方百计的激发学生的学习活动，保持创新意识，促使学生积极主动的参与到教学活动中来。如讲小数的除法时，不能全盘脱出，而是引导学生充分发表意见，想法。首先教师让学生自学例题，要求学生看课本例题是怎样计算的，你能发现什么？在学生自主探究的基础上，再组织学生不明白的地方讨论，让他们表达自己的看法发挥学生相互间的作用。学生发现了两种不同的方法，一种是把题目的56.28米和0.67米都换成厘米数，再用整数除法来计算。另一种是把被除数和除数同时扩大100倍，使56.28除以067转化为5628除以67来计算的，并说出第二种方法的依据“商不变的性质”。学生自己动脑，动手，动口，主动探索新知识，明白除数是小数除法的转化成除数是整数的过程，懂得算法，在做完例题，学生已掌握了基本的算理和算法，便会产生试一试的愿望，此时教师直接出示例题，让学生试做，当求知欲激发时，学生的思维相当活跃。此时组织学生汇报，交流各自的想法。如有的学生说：“把被除数，除数同时扩大10倍，变成105除以7.5.”“可是7.5是小数，还不能计算呀”。可以把被除数扩大100倍。问：“把被除数，除数同时扩大相同倍数，向右移小数点。移动的小数位数一谁为准?让学生讨论，学生与学生之间思维互相碰撞，产生火花，让他们比一比，看一看哪种更简单，让学生自己比较，从中选优。由于老师真正把学习的主动权交给了学生，他们的学习潜能能发挥得淋漓尽致。
三、启发学生的创新发展
创新思维是以已有的理论知识为基础，以不同食物的特点为依据，把新旧知识联系起来进行思考，抓住共同点，区别不同处，综合运用。也可以运用这种方法进行导入新课。比如说，针对学生在学习中出现的错误，精心设计有针对性的练习，上课开始让学生练习，再分析，使大家明白自己的错误，为什么错，有什么区别，这样既加深了学生对旧知识的理解,又为学习新知识扫清了障碍。
在教学乘法分配律后，出示23×（60-5）和23×60-23×5两式进行比较，学生通过计算得到结果相同。让他们同乘法分配律进行比较，使同学们抓住相同点和不同点，总结出新的乘法定律，除（a+b）×c=ac+bc外，还有a×(b+c)=ab+bc,这样使教材的内容得到延伸，对培养学生的创新思维能力达到了意想不到的效果。
四、鼓励学生自主探究与合作交流
一、思维的培养要贯穿于整个教学过程
学生的思维发展是一个长期的漫长的过程，低年级的孩子虽然有了一些抽象思维能力，但仍以具体形象思维为主，他们的思维活动大都还是与具体事物和表象联系的。到了中、高年级，他们才逐步学会区分概念的本质属性和非本质属性，能掌握一些科学的概念，学会运用概念、判断和推理进行逻辑思维，但仍需要具体形象的已有经验作为支撑。所以从低年级开始，就应当多给学生提供实物、学具、情境配合动作让学生理解概念，并在大量的具体形象和已有经验的支撑下引导学生总结、归纳，逐渐向抽象的逻辑思维转变。比如在10以内数的认识的时候，就要注意通过快速看点子图，引导学生从一个一个地点数转化成能一眼看出10以内数的多少，培养他们估计的意识，数形结合，从实物中抽象出10以内数表示的具体的事物的个数。这样，到后面学数的组成，10以内的加减法的时候，他们才更容易接受。在教学用一步计算的加减法解决简单的问题时，一定要让学生能在选择算法时能够说出选择这种算法的理由。在低年级段一些看似简单的教学环节里，我们就要注意学生思维的培养，不要到了后面解决比较复杂的问题的时候才来埋怨学生为什么不会思考。
二、多采用小组合作学习的方式激发学生的思维
受教育条件的限制，我们一般都只能采用大班制教学。几十个学生坐在教室里，每节课能表达自己看法的机会最多也就一两次，大部分的孩子就没有机会表达自己的看法。小组合作学习，能让所有的孩子有机会表达自己的意见，更能调动学生的思维积极性。但我们的小组教学不能流于形式，不能只为讨论而讨论，我们应该设计合适的教学情境，先抛出问题，在适当的时候置疑，引发学生的思维冲突，再让他们相互辩论。在教学难点设计这样的讨论，常常能让学生在争辩当中提升了自己的思维能力，加深了思维的深度，留下深刻的印象。
三、引导学生多注意知识的前后联系，培养学生的思维深刻性
思维的深刻性表现在善于抓住主要矛盾的特殊性；善于洞察数学对象的本质属性和内在联系；善于挖掘隐含的条件与发现新的有价值的因素，能迅速确定解题策略和组合成各种有效的解题方法。如果我们在教学的过程中，能引发学生去利用知识的前后联系来学习新的知识，能培养学生的思维深刻性。在教学人教版三年级下册第二单元笔算一位数除两位数三位数的时候，如529除以3，我先让学生动手分小棒，分5个百的时候，我就让学生用竖式写出5除以3的过程，分22个十的时候，我又让学生写出22除以3的竖式，最后分19个一的时候，也把19除以3的竖式写出来，然后我问学生，这样计算简不简便，学生说比较麻烦，我说我有种比较简便的写法，就把529除以3的竖式的写法板书在黑板上，让学生对比观察，小组讨论两种方法相同与不同的地方，以及每一步计算所表示的意思，再说说象这样的计算应该先算什么，再算什么。这样一来，学生比较容易地接受了一位数除以三位数的的算法和算理，而且还学会了如何洞察数学对象本质属性和内在联系。在教解决问题的时候，我经常会让学生观察所做的题和之前哪道题有相似的地方，细微的区别在哪里。
四、培养思维能力要同培养语言表达能力密切联系起来
心理学认为，借助语言人们把获得的感觉、知觉、表象加以概括，形成概念、判断，进行推理。通过语言表达还有助于调节自己的思维活动，使之逐步完善。所以在教学过程当中，我们应该注重学生语言表达能力的培养。课堂练习时，不仅要让学生说出解决问题的方法，还要培养学生说清楚自己的思路。课后的小结，要培养学生用简单明了的语言概括出这一堂课所学的内容，时间充裕的时候，还可以让每一个学生写一写课堂小结。
五、精心设计练习来培养学生的思维能力
不同类型的练习，能培养学生不同方面的思维能力。如不同的开放题，就有不同的功效：不定型开放题，所给条件包含着答案不唯一的因素，在解题的过程中，必须利用已有的知识，结合有关条件，从不同的角度对问题作全面分析，正确判断，得出结论，从而培养学生思维的深刻性。多向型开放题，对同一个问题可以有多种思考方向，使学生产生纵横联想，启发学生一题多解、一题多变、一题多思，训练学生的发散思维，培养学生思维的广阔性和灵活性；多余型开放题，将题目中的有用条件和无用条件混在一起，产生干扰因素，这就需要在解题时，认真分析条件与问题的关系，充分利用有用条件，舍弃无用条件，学会排除干扰因素，提高学生的鉴别能力，从而培养学生思维的批判性；隐藏型开放题，是解题所需的某些条件隐藏在题目的背后，如不注意这些条件容易被学生忽视。在解题时既要考虑问题及明确的条件，又要考虑与问题有关的隐藏着的条件。这样有利于培养学生认真细致的审题习惯和思维的缜密性。缺少型开放题，按常规解法所给条件似乎不足，但如果换个角度去思考，便可得到解决。如果在设计练习时，针对学生的不同情况，选择不同形式的练习设计，就能有针对性地培养各方面的思维能力。
1. 性质与关系的类比
性质与关系的类比是指对象各个属性之间的关系仅仅在于它们都是同一对象的属性,或根据两个对象各自属性之间可能具有的相同因果关系而进行的类比推理。例如:在教学《中心对称和中心对称图形》时,可以将它和《轴对称和轴对称图形》放在一起进行类比教学。
另外,为了弄清“中心对称与中心对称图形的区别和联系”也可以先提问题“轴对称与轴对称图形的区别和联系”让学生在横向上有一个类比。甚至在教学“中心对称作图”时也可类比“轴对称作图”,只要将“垂直、延长、相等”改成“连接、延长、相等”。这样,通过对两个类比对象各个方面的比较,学生就很容易接受新知识,真正是“温故而知新”,起到了一箭双雕的效果。
在数学教学中还有很多教学内容可采用这种类比教学法,如:“分式”可类比“分数”;“余弦”可类比“正弦”;“一元一次不等式”可类比“一元一次方程”;“相似”可类比“全等”。
2. 生活与数学的类比
生活中的一些素材就是活生生的数学模型,教学时利用好这些素材,能起到事半功倍的效果。例如:在教学《数轴》时,借助“温度计”这一生活中的“数轴”,从标有刻度的温度计来表示温度的高低这个事实出发引出数轴画法和用数轴上点表示数的方法。请看以下教学片段:
准备:到物理实验室借了20支温度计带进教室
引入: (师)我们知道正数负数可以表示具有相反意义的两个量,那么你会了解每天的天气预报吗?如零上5度,零下10度,你们可以用正数负数表示吗?
生:零上5度记作+5度,零下10度记作-10度
师:观察温度计你能发现什么规律?
生:温度计上的刻度表示的数可以是正数,负数和零
师:你能用直线上的点表示有理数吗?如何表示?
师:画一条水平直线,在直线上取一点表示0(叫做原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到下面的数轴。
数轴的特征:(借助温度计作对比)原点,正方向,单位长度。
如温度计上必须有一个0度,类似的数轴上规定一个原点,温度计上0度以上为正, 0度以下为负,类似的数轴上规定从原点向右为正方向。相反方向则为负方向,温度计上每1度占1小格的长度。类似的数轴上选择适当的长度作为单位长度。强调数轴的画法,然后观察数轴与温度计有什么相似的地方。
由此可得:任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。通过与温度计的类比认识数轴,并向学生渗透对立统一的辩证唯物主义观点及数形结合的数学思想,可以使学生借助图形的直观来理解有理数的有关问题,也为以后学习实数奠定基础。
像这种利用生活中的素材与数学内容类比教学的例子还有很多,如:通过与天平的类比学习等式;通过与梯子的倾斜程度的类比学习锐角三角函数;通过与电影院里的确定座位的类比学习位置的确定等等。教学中如能正确利用这些素材将起到立竿见影的效果。类比教学还能很好地培养学生学习数学的兴趣。
3. 分式类比
3.1 分式基本性质的类比
在小学里已学过分数的基本性质:“分数的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的数,分数的值不变”。并以此为依据进行分数的约分和通分,从而进行分数的化简与运算。与之类似的,分式的基本性质是:“分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变”。
由此可见,初中的分式运算是小学学过的分数运算的深化。分式的有关概念和性质与分数相类似。例如分式和分数一样分母都不能为0;分式的性质与分数的基本性质相类似;分式的加减法与分数的加减法的运算方法相类似;分式的通分与约分与分数的通分与约分相类似;因此在教学分式的有关概念和性质时可类比分数的有关概念和性质进行教学,这样学生易于理解,便于接受,培养了学生思维的灵活性。
3.2 分式运算方法的类比
分式的加、减、乘、除、乘方运算法则都可由分数的加、减、乘、除、乘方运算法则类比而得。在新教材中,对分式的这五种运算法则都没有过分强调,其原因和用意可能也是可“类比”。
例:
因为:
1[]1×2[SX)]=[SX(]1[]1[SX)]-[SX(]1[]2[SX)],[SX(]1[]2×3[SX)]=[SX(]1[]2[SX)]-[SX(]1[]3[SX)],……,[SX(]1[]2009×2010[SX)]=[SX(]1[]2009[SX)]-[SX(]1[]2010[SX)]
所以:
[SX(]1[]1×2[SX)]+[SX(]1[]2×3[SX)]+……+[SX(]1[]2009×2010[SX)]=[SX(]1[]1[SX)]-[SX(]1[]2[SX)]+[SX(]1[]2[SX)]-[SX(]1[]3[SX)]+……+[SX(]1[]2009[SX)]-[SX(]1[]2010[SX)]=[SX(]1[]1[SX)]-[SX(]1[]2010[SX)]=[SX(]2009[]2010[SX)]
再解答以下问题:
求[SX(]1[]x(x+1)[SX)]+[SX(]1[](x+1)(x+2)[SX)]+……+[SX(]1[](x+2009)(x+2010)[SX)]的值
由已知条件中分数的简便运算方法――裂项法,类比到分式运算中的裂项。
答题要点:
因为:
1x(x+1)=1x-1x+1,
1(x+1)(x+2)=1x+1-1x+2,1(x+2009)(x+2010)=
1x+2009-1x+2010
所以:
求式=1x-1x+2010=2010x(x+2010)
类比分数的运算法则――逆向运用分式的减法法则,将一个分式“分裂”成两个分式,从而寻求到分式运算问题的简便方法。
4. 过三点的圆与两点确定一条直线类比
在课堂教学“过三点的圆”时,可通过类比联想提出以下问题:
第一,确定一条直线的条件是什么?
第二,我们知道,两点确定一条直线,那么对于圆来说,是否也存在由几点确定一个圆的问题呢?
第三,经过一个点A,是否可以作圆?如果能作,可以作几个?
第四,经过两个点A、B如何作圆?能作几个?
第五,经过三个已知点作圆又是怎样的情况?
这样通过类比联想,引入新课,激发学生的学习兴趣,增加学生的求知欲望。
5. 相似三角形与全等三角形类比
相似三角形与全等三角形判断方法有联系。在相似与全等三角形的判定中,有关角的条件都是对应角相等,有关边的调教,全等三角形中是应对边相等,而相似三角形中是边对应成比例,只要把全等三角形判定中的“对应边相等”改为“对应边成比例”,就能相应得到相似三角形的判定方法。全等三角形必须有一组对应边相等,而判定相似三角形时,可舍去此条件。
在概念的区别上,全等三角形是能够完全重合的三角形。包括形状相同、大小也相同来年各个方面;相似三角形只是形状相同而大小不一定相同,即只是对应角想的,而对应边成比例,当对应边的比值等于1时就全等,因此,全等三角形是相似三角形的特例,掌握它们之间的联系与区别,问题就能迎刃而解。
在初中数学中的类似问题还有很多,诸如“圆的内接三角形”和“圆的内接四边形”;“直线和圆的位置关系”与“点和圆的位置关系”等等,它们彼此都有相类似的地方,若能在教学中灵活运用“类比”的方法,揭示这些知识之间的关系,对于学生掌握数学知识,将会收到良好的效果。
综上所述,类比法在初中数学教学中的应用较为广泛,对学生的学习兴趣的培养和思维能力的提高具有显著的作用。教师应在教学实践中进行合理巧妙的运用,并对学生进行相应的启发,以达到素质教育要求下的初中数学教学目标。
参考文献:
[1] 黄殊、林光耀.浅谈中学数学思想方法教学的实施方案[J].福建中学数学. 2004. 12.
【关键词】数学课 导入法 情感
所谓导入，就是教师在讲课之前，围绕教学目标精心设计的一种教学语言与方法，短则一两分钟，长也不过五六分钟，导入要导入本课体现的重点、难点的宗旨，具有的概括力要求具有趣味性，能激起学生的学习兴趣，激起学生的求知欲；具有鼓动性，能调动学生的课堂情绪，使之跃跃欲试；具有启发性，能激发学生的智力活动，引起思索，吸引学生的注意力；有一定的情感性，起到缩小师生之间心理距离的作用。精彩的导入，会使下面的教学活动更加流畅，在“导入”新课中，必须根据教材内容和学生的具体实际设计不同的导入方式。课堂导入的方法多种多样，以下本人就数学教育教学过程中常用的几种导入方法进行一些浅谈。
一、温固知新导入法
温固知新的教学方法，可以将新旧知识有机的结合起来，使学生从旧知识的复习中自然获得新知识。这也是我最常用的方法，例如：在教学“多项式除以单项式”的导入时，我先出示了几组多项式乘单项式，要学生做题并要求说出法则及计算方法。然后我把题中的乘号改为除号，问学生现在属于什么运算。学生回答：多项式除以单项式。这时我便引出课题：你们能借用多项式乘单项式的方法去试算一下今天要学习的知识吗？――多项式除以单项式。于是，学生均跃跃欲试，成功的用学过的乘法知识解决了当天的除法知识，并且在解决过程中学生体会到了成功的快乐。
二、类比导入法
类比就是一种间接推理的方法，类比导入法就是通过两类不同的对象间的某些属性的相似，而从一种具有的某种其他属性就猜想另一种也有这种属性。例如：在教学“分式”的导入时，我先复习在小学时，大家所学的有关分数的一些定义，基本性质及分数的加、减、乘、除等的四则混合运算，这样给出分式的定义和它的一些基本性质和相关的加减乘除运算。这样类比能更好的区别分式与整式。
三、实践导入法
实践导入法是组织学生进行实践操作，通过学生自己动手动脑去探索知识，发现真理。例如：在教学“等腰三角形”的导入时，我和学生一起拿出一张长方形纸片，从中间对折，然后剪下一个三角形把它展开。让学生观察此三角形有什么特点。此时激发了学生强烈的求知欲，然后很自然的引入新课――等腰三角形。
四、走近生活的导入
日常生活中包含许多数学知识，联系生活实例的导入是采用学生所熟悉的生活实例引入新课。例如：在教学“反比例函数的意义”的导入时，我将课本“思考”中的三个问题改成如下：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数解析式表示？这些函数有什么共同特点？①海南东环铁路全程为308km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化；②黎苗族的盛会“三月三”即将到来，琼中县政府决定要在广场摆放一个面积为200m2的矩形花坛，花坛的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化；③已知我校的总面积为3800平方米，人均占有的土地面积S（单位：平方米/人）随全校总人口n（单位：人）的变化而变化。请同学们认真思考并写出它们的函数解析式。通过这熟悉的生活实例引入反比例函数，学生很感兴趣并能很快地进入新课的探究。
五、设置悬念导入法
设置悬念导入法是根据中学生追根求源的心理特点，一上课就给学生创设一些疑问，创设矛盾，设置悬念，引起思考，使学生产生迫切学习的浓厚兴趣，诱导学生由疑到思，由思到知的一种方法。例如：在教学“三角形全等的判定”的导入时，我拿出准备好的三角纸板说：我有一块三角形的玻璃不小心碎成了两块，如果想重新到玻璃店割一块同样大小的玻璃，有几种拿法？这时学生都纷纷说出三种拿法：①把两块都拿到玻璃店去，②只拿第一部分，③只拿第二部分。我接着让学生思考：哪种方法不能买回新玻璃，哪种方法最聪明？激发了学生的学习热情，调动起了学生的求知欲，学生议论纷纷。这时我向学生说；要解决这个问题就要用到三角形的判定，现在我们就先来学习――全等三角形的判定。这时学生很期待答案，都很认真地学习，本章学生很用心去学。
六、教具导入法
教具导入法能使学生把抽象的东西，通过演示教具形象、具体、生动、直观地掌握知识。例如：在教学“勾股定理的逆定理”的导入时，我事先准备了一根打上等距离的13个结的绳。分别演示围成几组不同边长的三角形，让学生判断哪个是直角三角形，是直角三角形的这三边有什么关系，从而引入勾股定理的逆定理。
七、数学史引入法
数学史引入法是指在讲授数学概念、定理、方法时，首先给学生介绍一些有关的、有趣味性的数学家的传记或数学史实，从而导入新课的一种方法。这种方法可以通过榜样的力量去感染学生，增强学习毅力和创新精神，增强爱国主义精神，于德育于智育之中。例如：在教学“勾股定理”的导入时，向学生介绍毕达哥拉斯，也可以介绍我国古代的数学家，并介绍其发现的艰苦历程，激起学生学习的热情与积极性，进而导入新课。
八、开门见山导入法
直接导入法是一上课就把要解决的问题提出来的一种方法。例如：在教学“乘法公式――平方差公式”的导入时：我们在上节课学习了“整式的乘法”――多项式与多项式相乘，本节课我们将运用它的法则来学习“乘法公式――平方差公式”。
九、强调式导入法
【关键字】数学 课堂教学 美育
一、数字美，计算中的美
阿拉伯数字看似枯燥，但它是从无数具体的物体数量中抽象得出，在让学生认数、写数的同时让学生喜欢数学，有着丰富的美的蕴含。1像根木棒也像火柴，2像小鸭，8像葫芦……数学计算中，也有很多美的地方，如11×11＝121，111×111＝12321……，计算结果是回文数，正着读与倒着读完全相同，而且还以中间数为基准对称。尤其它还有十分巧妙、简单的简算方法等等。又如循环小数商的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断的重复出现，犹如万里长城绵沿不断，又似大海波涛，生生不息，给学生以广阔的想象空间。
二、图形美
在教学平面几何初步认识时，通过操作、观察、度量、绘制等，让学生领悟直线美、曲线美和对称美。对称是指整体的各个部分之间的匀称和对等。对称性是最能给人以美感的形式。对称美是一种形态美，数学的对称美是侧重于形态的。德国数学家魏尔曾经说过“美与对称性密切相关”。对称，展示整体的和谐与平衡美。长方形、正方形、等腰三角形等都是轴对称图形。
三、结构美
数学知识的系统性比较强，许多知识前后联系密切，通过由此及彼的转化，能促使知识的正迁移，方便学生掌握新知，并由此感受数学知识的内在美。如在教了基本平面图形的面积计算后，采用图示方法，将新旧知识间的内在联系用图表示出来，从而使学生懂得，只要掌握了长方形的面积计算方法，就可以通过运用割补、拼合等方法得出其他图形的面积计算公式。又如在教学由商不变性质到分数的基本性质，再到比的基本性质；除数是小数的除法转化为除数是整数的除法；异分母分数加减转化为同分母分数加减等等时，充分利用知识间的内在联系，促使学生产生正迁移，学生在增长知识的同时，从中深切感受到数学知识蕴含的内在结构美。
四、简洁美
数学的简洁性是指数学理论体系的结构和表达形式的简洁，并不是指数学内容本身的简单。它既是数学结构美的重要标志，也是数学形态美的重要内容。例如，在教学加法结合律时，先让学生对加数相同、运算顺序不同的两道加法算式分别进行计算，使学生初步直观感知它们的运算顺序不同，但所得的和却是相同的。在这两道算式中，一道是先把前两个数相加，再和第三个数相加，而另一道是先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变，这就是加法的结合律，这样的运算定律文字叙述冗长，学生记忆困难。如果这三个加数分别用字母a、b、c来表示，那么这个加法结合律就可以用字母表示为(a+b)+c=a+(b+c)，这是一个多么简洁的数学表达形式，它表达了加法结合律这个概念的丰富的内涵和全部的外延，它把加法结合律表达得再也简洁不过了，真是太美了。
五、统一与和谐美
数学知识本身充满着对立统一的观点，如加与减、乘与除、精确与近似、有限与无限等等，到处充满着矛盾。如乘和除是对立的，但学生了解了分数乘除以后，又可把两者统一起来，即除以一个数不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。自然数的个数是无限的，而每一个具体的自然数又都是由有限个基本单位“1”组成的，这说明“有限”包含在“无限”之中，而“无限”又从“有限”中得到发展……在教学中，通过提示知识间这些有限与无限、合与分，变与不变等等对立统一的关系，指出它们的联系和区别，使学生在潜移默化中领悟到数学知识的和谐美。
六、表现美、创造美
在小学数学教学中，轻松愉快的课堂气氛，民主和谐的师生关系，生动具体的教学过程，紧张激烈的学习比赛，饶有情趣的数学故事，富有魅力的数学知识，无不给学生以美的体验。在数学中要让学生在感受美、体验美的同时具有充分地表现美、创造美的空间。例如，在教学轴对称图形的认识一课后，我布置了这样一道课外作业：请学生用一张长方形纸，设计一幅美丽的轴对称图形图案。学生积极性很高，设计了一张又一张，直到自己满意为止。然后师生一起进行评比，评出最佳作品和优秀作品展览表扬。这样既达对轴对称图形的巩固认识，又通过设计、评比、展览使学生提高审美素质，更满足了学生表现美、创造美的欲望。
一、数和量
凡是可以测量、计数、计算的东西，都叫量。例如：一张桌子好看不好看，实用不实用，是不能量，不能数，也不能算出来的。但是桌子的长短和高低，是可以测量的。这是我们就说：美观、实用不是量而长短和高底是量。同一类的量是可以比较的。为了准确的比较，我们就从同类的量中，取定一个度量单位，来度量其他的量的大小，度量的结果就得到数。量和数的区别还在于对于同一个量，用不同的度量单位来度量时，可以得到不同的数。例如一张长90cm的桌子，用米两度量是0.9m，用毫米来度量则是900mm.所以我们在解决实际问题时，必须注明单位才算完整。
0和没有
无在数量上可以用0来表示，这源于数物体个数的的过程，自然数是“有”的符号，它是对数量的肯定；而在实践中我们也经常会遇到一个物体也没有的情况，这是就用“0”来表示“没有”，是对数量的否定。长久以来，人们经常用0来表示“没有”，于是就误以为0只能用来表示没有。其实这只是0的意义的一个方面，0还有丰富的内容：
1、0是一个独立的数字，它是整数，但不是自然数，它是唯一一个非负、非正的中性数。它小于一
切正数，大于一切负数，是正数和负数的分界点。在数轴上原点“0”比任何正负数的点都更为重要，它对应于数轴上的一点，便决定了其他各点的位置。
2、温度是0℃表示一个特定的温度，不能说没有温度。它表示了水的冰点这样一个确定的量，就是在
一个大气压下，水在这个温度开始结冰。
3、在近似计算中，0的作用也很重要。比如1.8和1.80的含义就不同：1.8表示精确到0.1位，而
1.80则是精确到0.01位，因而不能把1.80后面的0理解为可有可无，随意化去。
4、0的了不起还在于：它在参与计算时，任何一个数与0相加仍得0；任何数减0，它的值不变；任
何数与0相乘，积得0；0除以一个非0的数，商等于0；此外，0是一个偶数，是任意自然数的倍数，0不能做除数，因为它作除数是无意义的或者说得不到确定的商；0的相反数是0，0的绝对值是0等随着我们知识的扩充，对“0的认识也将更加全面。”顺便说明一点：在足球比赛时记分牌上出现的3：0等等，同学们一定觉得很奇怪，后项是零的比，分母是零的分数，除数是零的算式都是无意义的，其实它们只是借用数学符号的写法，并列起来加以比较的意思，与数学无关。记分牌上出现的3：0是表示一方得3分，另一方没得分，两者之间相差3分。再如记分牌上8：2则表示一方得8分，另一方得2分.两者之间相差6分。记分牌上的“几比几”不是数学中“比的含义，两者不是倍数关系。”如果把记分牌上的8：2按数学中“比” 的含义化简为“4：1”，比赛双方原来比分相差6分，现在相差3分，赢的一方能同意吗？ 正负号与加减号
符号是中学和小学数学的区别之所在，学生计算时最容易出错。“+”和“-”在表示数的性质时叫做正号与负号，而在表示数的运算时则叫做加号与减号。举个例子来说明：（-11）-（-7）+（-9）-（-6）在这个式子中在11，7，9，6前面的（+）和（-），是表示数的性质的，叫性质符号，又叫正负号。在括号之间的“+”和“-”号，是表示数的运算方法的，叫运算符号，分别叫加号和减号。根据减法法则可以统一成加法运算：（-11）+（+7）+（-9）+（+6）.这时省略所有的加号可得：-11+7-9+6，此时除第一个数是性质符号外，都转化为运算符号，这种写法叫代数和，读作“负11，加7，减9，加6，或读作负11、+7、-9、+6的和。这个例子说明，在一定的条件下，性质符号和运算符号是可以相互转化的。在实际应用时，一定注意他们的区别与联系。
乘方和幂
在数学课上，老师有时把an读作“a的n次方”；有时读作“a的n次幂”。学生就会搞不明白，为什么同一个符号an会有两种不同的读法？
这是因为乘方和幂既是两个不同的概念，又是两个有关联的概念。乘方是求相同的因数的积的运算，是乘法的一种特殊的运算，从运算来考虑，可以把an读作“a的n次方”；而幂是乘方运算的结果，那就只能读作“a的n次方”。这就好像我们学过的加法、减法、乘法、除法等运算，每一种运算结果都有一个专门的名称。加法运算的结果叫做和，减法运算的结果叫做差，乘法运算的结果叫做积，除法运算的结果叫做商一样，乘方运算的结果叫做幂。
