时间：2023-06-15 17:27:04
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇数学拓展知识，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词：试卷讲评课；知识联系；拓展
数学知识是高中知识较为困难的一部分，也是学生必须掌握的知识，如何提升学生的数学能力，是高中教师十分关注的问题之一。高三数学试卷讲评课是高三复习的常见课型，内容涵盖了整个高中的数学知识，具有一定的复杂性。本文对试卷讲评课的知识联系与拓展研究，注重分析学生对试卷讲评课的认知水平，着重分析了教师如何实现知识联系与拓展，从而促进学生数学学习能力的提升。
一、通过设置问题，为知识联系与拓展创造契机
高三数学教学过程中，试卷讲评课十分重要，是高三教学过程中较为重要的一环。在进行试卷讲评过程中，教师应该注意问题的设置，让学生通过对问题的思考，想出解决问题的办法。在试卷讲评过程中，问题的设置，就是知识联系与拓展的一个契机，合理有效地进行问题设置，有利于提升学生对知识的理解能力，并且可以更好地促进学生解决问题能力的养成。
例如：已知ABC的外接圆半径为1，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=（a，4cosB）与n=（cosA，b），并且满足m∥n，求cosA+cosB的取值范围。
关于这道题的解题思路，其实大家并不陌生，这道题主要涉及向量知识、三角函数知识、正余弦定理知识等。教师在讲解时，则可以询问学生有什么样的解题思路。在解决问题的过程中，学生可以很明确地得出a=2RsinA=2sinA，a2+b2=4这些解题步骤，那么教师就可以进行知识联系与拓展的问题设置。例如：“同学们，你们考虑一下，这个a+b和a2+b2是否有什么联系呢？a2+b2=4，你们又可以联系到什么图形呢？”经过教师的问题设置，学生就可以轻易联想到所学的知识点，从而轻松地解决问题。
二、发挥鼓励引导的作用，提高学生学习的积极性
如上述所说，教师在进行例题讲解的过程中，要充分发挥学生的主观能动性，注重学生学习主体地位的体现，使学生在解题过程中，能够积极动脑，通过自己思考，最终找出解决问题的关键。教师在进行试题讲解课时，要为学生解决问题创造良好的思维环境，将知识联系与拓展相结合，把握学生思考问题的方向，经过合理的引导，让学生进行自主探索。
发挥鼓励引导作用，可以增强学生的自信心，增强学生解决困难的勇气，使其能够迎难而上。学生在学习知识的过程中，有时候并不是对知识不了解，而是缺少解决问题的方式和方法，缺少对理论运用的方法。所以，教师在进行试题讲解的过程中，应该注意鼓励学生，并且通过引导的方式让学生自己找到解决问题的方法，发挥学生的主观能动性，进行自我探索，最终解决问题。
三、注重课堂总结，将知识联系与拓展的过程转化为教学成果
发挥学生主观能动性的同时，不要忘记教师在教学中的主导作用，学生在对问题进行思考之后，可以找到解决问题的方法，完成对问题的解答。在这一过程中，教师应该针对学生的问题，进行课堂总结，这样一来，可以加深学生的印象，更好地记住问题的特征，使学生反思自己在解决问题的过程中，采取了什么样的解决方式。例如，针对于本文中的例题，教师可以这样总结：“同学们，其实做这道题并不难，这道题主要考查了我们对表达式Acos（wx+t）的实际应用，明确圆和三角形的关系，通过m，n的平行关系，将cosA+cosB转化为Acos（wx+t）这种形式。这样一来，问题就可以迎刃而解了。
高三数学是高中较为困难的学科，教师要注意总结规律，发掘问题所在，为学生提供良好的解题思路，使学生能够举一反三，再遇到这样的习题，能够正确地解答。同时，知识的联系与拓展是密不可分的，教师在进行试题讲解过程中，联系之前所学的知识，以及对知识进行拓展，找出解题思路后，要注意进行总结，将自己如何进行联系和拓展的过程传授给学生，让学生了解解题的思路，而并非是最终的结果。总结过程，就是将知识联系与拓展过程转化为正确答案的过程，这一点，教师在实际教学过程中必须认真把握。
总之，高中数学试卷讲评课要注重以“学生”为本的发展模式，注重教师在教学过程中的主导作用，充分体现学生在学习过程中的主体地位，实现教学效果提升，更好促进学生创造性思维的发展。在进行高三数学试卷讲评过程中，教师应该注重挖掘学生的学习潜能，将联系密切的知识进行有效结合，开拓学生解题思路，促进学生数学学习成绩的提升。
参考文献：
其实在初中数学课堂中的拓展是必须的，但是必须尊重其原则性，本文就初中数学拓展的原则性进行探索，目的是为了更好地服务于数学教学的有效提升和拓展，而不是盲目地为了应试而拓展，为了竞赛而延伸.
第一，目的性原则
在数学课堂教学过程中的拓展，我们必须注重这点，无论是数学的新授课还是习题课，或是复习课堂，我们的教学目标必须明确，而目标的制定要结合以下三点：
1.结合课程标准.数学教学的课程目标是为了让学生获取适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想和基本数学方法.而我们的课堂拓展是为了更好的达成这个目标，比如基本技能方面，我们通过课堂拓展，在一元二次方程的解法中，我们的延伸是为了让学生更熟练地掌握解一元二次方程的方法，并提升学生的解题速度，而在多种解法中，且能熟练辨别哪种方法是最适合最简便的，达成有效筛选的能力.
2.结合教材设计.无论是哪种版面的数学教材，它的设计和生成都得到专家的认可和教育一线的有效实践和理论指导.那么，在我们的课堂拓展中，我们必须结合教材的设计，因为教材的设计是适合整个教学过程的循序渐进的，而不是满足个别学生个别知识点的需求和发展的，那么在教学过程中，我们必须充分分析教材在达成课程目标中的实施意见和重点、难点突破技巧.而后，我们要配合教材，适当提升.
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3.结合学生本位.无论要拓展到什么样的深度和广度，学生始终是课堂的主体，而在拓展的情况下，我们必须了解学生的原有知识基础和基本技能的掌握情况，比如，在
“判别一元二次方程根的情况”过程中，我们学生要能从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系.而具体题目的难易程度就是学生突破难点的关键所在，所以本处拓展的前提就是学生对具体题目的分析能力和对一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况辨别能力，从而才能确定我们的拓展的深度和广度，只有确保学生的本位的前提下，我们的课堂拓展才是有意义的，有效果的.
第二，方法性原则
1.注重联系生活.义务教育阶段数学教学的目的就是为了学生更好的发展，更好的服务社会.因此，而我们的拓展必须结合学生的实际社会生活，让学生通过课堂中教师的巧妙引导和点拨，产生进一步探究和学习的兴趣，从而把相应的知识点运用到实际社会中，在解决的过程中提升学生对数学深层的兴趣.
例1 学校为了美化校园，准备在一块长32 m，宽20 m的长方形场地上修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与设计，现在有两位学生各设计了一种方案（如图1），根据两种设计方案各列出方程，求图中道路的宽分别是多少，使图甲、乙的草坪面积为540 m2 ？
在数学中，类似的例子还有很多，我们可以把这些例子在课堂中适当延伸，把相关的拓展内容留给学生去课后设计，再比如，我们学好中心对称和轴对称以后，我们可以让学生去设计自己班级的班徽，班旗等，让学生学会运用中提升自己的数学审美鉴赏能力.
2.注重方法引导.古话说“授人以鱼不如授之以渔”，其实在数学课堂拓展中，我们更主要的是拓展学生的数学思想和学习数学知识解决实际问题的数学思维技巧，因而在数学课堂中，我们真正要拓展的不是更深更难的数学题目，而是延续我们所学的知识或技能去解决相应问题的总结和归纳，让学生的逐渐形成自己的运用知识的技能，并通过适当的课堂点拨、课后巩固训练得到提升.
3.注重学科互通.数学是一门工具学科，数学的学习不是仅仅为了解决数学题目而学习的，我们更好的学习是为了全面落实数学的工具性，就初中数学学习而言，我们的数学对物理、化学都有很大的帮助，而我们就要让学生在各学科中互相渗透，让数学真正帮助其他各科的学习，让学生在学习中体会到数学学科的重要性，并在运用解决其他学科问题的过程中，提升学生的综合运用数学知识解决实际问题的能力.
例2 一支温度计刻度均匀，但读数不准，在一个标准大气压下，将它放入沸水中，示数为95 ℃；放在冰水混合物中，示数为5 ℃.现把该温度计悬挂在教室墙上，其示数为32 ℃，教室内的实际气温是 .
一、合理把握“深与浅”——深度适“群”
既是拓展延伸，就一定有提高的要求，和基础题目比较，挑战性会更突出。因此，“深浅度”的把握是教师首先要考虑的。太“浅”，缺乏真正的数学味，不能体现数学学习的思考价值，如同“排排坐，分果果”，不是“跳一跳，摘果子”，失去了拓展的实际意义。太“深”，只适合于极少数的优秀学生，使得拓展延伸成为优秀学生的“专利”，后进生乃至成绩一般的学生，对拓展延伸望而却步。因此，“深度适群”是拓展教学有效的必要保证。“深度适群”的意义是指：“拓展延伸”需要的知识基础一定要适合绝大多数学生，至少可让绝大部分学生尝试解决。
1. 立足群体认知水平——适当提高。如同一位优秀的歌手找准每一节的音调一样，优秀教师在拓展环节也必定会找准全体学生的认知起点，充分考虑全体学生已有的生活知识经验与学生当前学习水平，让拓展的问题努力靠近维果茨基的“最近发展区”。设计的挑战题力争达到“趣”、“近”、“小”三个要求。“趣”就是符合学生的兴趣；“近”是要和本节课的知识紧密联系；“小”是指目标不是太高，跳一跳，能摘果。
例如，在教学长方形和正方形的面积计算这课内容，最后的拓展环节出示以下两个问题供学生思考：
（1）一块正方形的菜园，有一面靠墙，用长24米的篱笆围起来，这块菜地的面积是多少平方米？
（2）图中每个小方格表示1平方厘米，你能计算出下面长方形的面积吗？
在拓展延伸时，紧紧扣住长、宽、边长与长方形、正方形的面积、周长的关系，设计了多层次、多方位的问题。这些问题的解决都建立在利用面积公式的基础上，但又略高于简单的运用公式；都需要学生“跳一跳”，但又远离偏、难、怪，就在学生的最近发展区内为学生创设了一套“思维训练操”，实实在在地让大部分学生都得到了锻炼，获得了全面和谐、可持续的发展。练习1是求长方形周长的一道变式题，在解决时，要引导学生想到24米实际上并不是周长只是三边的长度，这是解决问题的关键。通过这样的练习，学生对长方形和正方形的面积计算必有了进一步的认识。如果说习题1是对生活的延伸，那么习题2就是对本节课所学的探究方法的拓展。在解决这个问题的过程中，学生要运用到本节课开始所用的操作探究的思路，然后经过分析知道1平方厘米正方形的边长是1厘米，经过综合知道长方形的长、宽，从而求出长方形的面积。在一系列的思维转换中，学生对长方形、正方形的面积与长、宽、边长的关系又有了辩证的掌握，为以后学习其他平面图形的面积计算打下了基础。
2. 关注群体发展需要——整体提升。尊重每一个课堂中的生命，尊重每一个生命拥有的课堂权利，所以课堂拓展环节也应该是属于每一个学生的。从这个意义上来讲，教师设计的拓展就不能是点缀，不能是形式，更不能是属于某一部分人的“舞台”，所以它一定不能是太深太难的，需要适合群体的发展。比如，在《能被3整除数的特征》教学中设计这样的拓展题：比一比，赛一赛，看谁能最先判断出下列各数是不是3的倍数。
（1）93963 （2）97263155
第（1）题，利用各数字之和的方法判断出93963是3的倍数，适合全体学生解决。“看谁能最先判断”就要求学生思考更简洁的方法，“因为这个数是由9、6、3这3个数字组成的，而9、6、3这3个数字都是3的倍数，所以我判断这个数是3的倍数”。不少善于观察、思考的学生会站起来这样说，在他们的启发下，其余学生随即会恍然大悟，欣喜地接受这个方法。第（2）题的解决，各层次的学生可以有不同的方法，可以加一加求和来判断，可以去掉其中的9、6、3再求和判断，最高层次的思考是：先把9、6、3去掉，因为7与2的和是9，也是3的倍数，所以也可以同时去掉，同样也可以同时去掉1和5，只剩下一个5，5不是3的倍数，所以这个数不是3的倍数。这样的提高练习，具有很强的基础性、层次性、灵活性、趣味性，可以激励全体学生积极参与、努力进取、不断提升，从而体现“不同的人学不同的数学”的理念。
二、适度把握“宽与窄”——点面适“宜”
知识的学习过程就是一个不断联系的过程，有教育专家说，“课堂学习不求多但求联”，就是强调知识学习联通的重要性。因此，我们看到很多老师在教学的拓展环节会把知识延展开，以期学生学习的面更广、知识的联通更透、解题的技巧更活。那么，这个延展的“宽阔度”该如何把握？联系太多太广，漫无边际，费时费力，教学效果事倍功半。联系太少太窄，原地打转，理解欠联，教学效果不尽如意。因此，适度把握知识联通的“宽”与“窄”是拓展教学有效的必要保证。
1. 注重知识体系。在把握知识“宽窄”度的时候，教师首先要明晰知识体系，根据体系在拓展环节做好“量身定裁”的设计。在一些公开课上，有些教师设计的拓展练习其实是课本接下去一课时（或后几课时，甚至是后年级）的教学任务，就是把知识前移作为拓展，这是非常不可取的。因为学段、学年、学期、单元、学时都有其特定的教学任务，知识前移既增加教学难度也打乱教学秩序。
例如，有教师在执教《小数乘以小数》时，在拓展环节安排了这样的两道练习题：（1）算一算，比一比，你发现了什么？0.48×1.3= 0.48×1= 0.48×0.7= （2）巧妙计算：23.4×0.9= 3.8×10.1= 事实上，第（1）题探究积与因数的关系教材做了合理的安排，安排在练习一中呈现，而第（2）题的巧妙计算是教材接下去安排的“整数乘法运算定律推广到小数”中的教学内容。教师安排这样的两道题目作为拓展，一是会占据不少课堂的时间，势必影响小数乘以小数的基础练习，二是给学生增加了不小的学习难度，三是打乱了教材安排的教学体系，这显然是不可取的。
在《小数乘以小数》这一课时，其中的一个教学重难点是积的小数点处理，所以这节课的拓展可以紧扣这个知识点的纵深去思考设计。比如，可以是完成类似（ ）×（ ）=0.48这样的练习，或者是安排一些小数点“安家”的拓展练习，让学生进一步明晰小数乘法和整数乘法的相互关系以及积的小数位数变化规律。
2. 讲究点面适宜。不同的课型，学习的目标不同，当然拓展的思路也会不同。新课学习是“点”位知识，对它的延伸应该是在顺应知识脉络的那条线上生长。如果是“面”上的知识，虽说相互知识有联系，但知识点总是不同的，学生学来费时费力，而且对本课新知的学习也有干扰。如，本文前面的案例中，把多边形的内角和知识作为三角形内角和知识的拓展，就是从知识“点”拓展到了知识“面”，起不到对三角形内角和知识的巩固、深化作用，反而因为需要花费时间来研究多边形内角和的知识，挤占了三角形内角和知识的探究时间和练习时间。如果沿着“三角形内角和180度”这个知识“点”设计这样的问题：小明不小心把一块三角形玻璃摔成了两快，一块只有原来的一个角，另一块有原来的两个角，他想重新买一块，可以用什么方法配到和原来一模一样的玻璃？这样的拓展让学生既有兴趣，又有挑战性，而且也是围绕着知识“点”作纵深的挖掘，起到巩固和发展的作用。相反的，练习课或者是复习课的拓展设计，则需要更多地把知识从“点”、“线”拓展到“面”和“体”上，以架构起知识的网状结构。如，复习平面图形面积，最后的拓展可以通过改变梯形“上底为0”变三角形，“上底和下底一样”变平行四边形，及进一步变成长方形、正方形，把各种平面图形的面积计算统一成（上底+下底）×高÷2，帮助学生完善知识网络的建构。
三、艺术把握“取与舍””——取舍适“需”
每一位优秀的教师，“生本”理念是他走进课堂应具有的最基本的教学思想。他们时刻意识到数学课堂教学要以生为本，以学为根，做到一切教学行为都只为教学实际需求服务。这种依实际需求而教的理念也体现在课堂拓展环节的取舍上。
1. 取舍适需。数学拓展延伸环节是课堂学习的延伸与发展，是课堂教学的补充，但它却不是课堂的必备环节。它的存在，首先由教学内容确定，一些对后继学习关联大、数学思维含量高、生活联系紧密、有利数学素养养成的内容需要拓展。例如，在学习了基本的数量关系后，可以熟悉商场的购物发票，熟悉“单价、数量、总价”，让学生根据自己家的实际情况“当一回家”，增强学生应用数学知识解决生活中实际问题的能力等。而有些教学内容就不一定非要拓展，比如低年级中一些内容比较浅显的，再加之学生认知较少，拓展太多太深反而会使学生学习数学的自信心受挫。还有一些初步认识的教学起始课，它的教学目标就是初步感知，后继将进行系统的学习，也不宜太多太深的拓展等等。其次，拓展延伸环节是否需要以及所达到的程度如何要看授课班级学生的学习能力，整体能力突出，可以拓展多点深点，整体能力不是很好，抓好基础更重要，适当提高促发展。综言之，数学课堂拓展环节的教学应该在学生扎实掌握和落实基础知识和基本技能的基础上，立足文本、立足生本、立足发展，进行或知识、或文化、或实践的拓展延伸才是需要的，才是可行的，才是有效的。
2. 学会放弃。课堂教学的时间是个常数，学生学习的历程也不会都是一帆风顺的，磕磕碰碰中时间就悄然而过了。也许，等到可以对所学的知识拓展延伸的时候，时间却不充裕了；亦或许，根本就没有时间了。这个时候，不要走过程，不要走形式，更不能为保证课堂的完整而让你设计的拓展延伸“紧急上场，仓促下阵”，只留下一个“羞答答”的“身影”。比如，同样是教学口算乘法，笔者在自己任教的班级上课，可以按教学设计顺利完成，但送教下乡到一个乡镇小学，由于学生的认知起点较低，在前面的算理和算法的理解中磕磕碰碰，于是，笔者果断地放弃了后面解决问题和拓展应用环节。正因为放弃，学生有足够的时间把口算乘法的算理和算法理解透彻，后面的计算就很顺利，学生学习的积极性也被充分调动。大哲学家书格拉底说：“千鸟在林，不如一鸟在手”，这句话也让我们感悟到有时放弃就是最明智的选择。简言之，数学拓展延伸环节的教学要根据课堂教学的实际做到“取舍”合理。
四、有效把握“学与用”——选材适“切”
实用主义教育家杜威曾提出“如何使学校教育与儿童的日常生活相联系”的重要问题。因此，在拓展环节的教学中，教师要有意识地联系学生的生活实际，设计一些贴近学生生活的拓展练习，让学生尝试着运用所学的知识去解决自己身边的问题，并且指导他们如何寻找生活和数学的联系。
1. 内容贴切。学生生活的环境不尽相同，个人的成长道路亦有差别，这就造成了学生情况的复杂性。因此，拓展延伸时，教师需要综合考虑授课班级学生的各方面因素，比如年龄特征、生活经验、地域特色、特长喜好等，设计的拓展练习尽量选用与学生密切相关的或直接尝试过的数学材料，这样学生才有学习兴趣和动机，才有解决问题的基础，才有探索的价值。比如，学习“折线统计图”的时候，可以虚拟一个股市行情图让孩子模拟演示。
2. 内涵丰厚。课堂的拓展延伸可以使课堂呈现全方位的开放，可以从教材走向生活，从学习走向文化，从感悟走向哲理，这种全方位的开放既丰富了课堂的知识含量，又凸显了数学文化的内涵。因此，课堂拓展延伸的材料选择除了要与学生的生活实际相贴切，还需要追求内涵的丰厚。
请看经典案例——特级教师张齐华《圆的认识》。
新课程改革倡导培养学生学会学习、促进学生学习方式的转变，《数学课程标准》指出：“学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。”在这样的课程理念下，我们开展基于在数学拓展课中转变学生的学习方式课题研究。
数学拓展课学生的学习方式可以是多种多样的：课前通过网络自主学习，课堂自主探究，小组合作交流，课下参加社会实践等，改变了以往数学课学生被动接受为主的学习方式；同时数学拓展课的学习方式是灵活的，不同的拓展课学习方式的选取也不同。拓展课学习内容贴近学生的学习、生活，以活动、探究、实践等多种形式将有趣的实用的数学呈现出来，具有一定的开放性，具有动脑、动手的特点，学生学习过程不再是枯燥的，而是在教师的引导下，积极探索、合作交流、主动创造，所以，数学拓展课既培养、激发和发展学生的数学兴趣爱好，又有利于实现学生的学习方式从被动接受到自主探究，合作交流的转变。
本文将通过展示数学拓展课的教学实践，反映在“依托数学拓展课，积极引导学生学习方式的转变”的教学理念下数学课堂中教师教学方式的变化和学生学习方式的变化。
一、构建学习小组，开展小组合作学习。
我们把班级学生分为6人一组，其中二名优等生，两名学习困难生，二名中等生，要求小组总体水平基本一致，小组每位成员按各自能力与专长各自有明确分工和任务，组内异质为互助合作莫定了基础，而组间同质又为保证全班各小组间展开公平竞争创造了条件。
二：网络环境下的自主学习。
比如我在九年级上期“初中数学化归思想”这节拓展课前，给学生布置了上网查资料的自学任务：
课前自主学习的设置帮助学生建立对化归思想的认知，同时也为课堂合作交流打下基础。给不同层次的学生提供“自主学习”的时间和空间，为转变学生学习方式提供外部条件。
二、课堂展示交流，增强学生自信心，形成和激发学生自主、探究学习的原动力。
适当的小组展示不仅是对前一阶段任务完成情况的检查，更是对后一阶段学习学生学习动机的无形激发。教师在落实学生自学完成情况的同时，了解到学生已有的知识经验，找准学生的起点，创设具w的教学情，激发学生的强烈兴趣，打开思维的闸门，为下一阶段自主探究顺利进行打下基础。
三、课堂上的动手实践、独立思考、自主探究、合作交流。
还以拓展课“初中数学化归思想”为例
四、动手创造，将数学知识应用到生活中去。
比如，我在七年级下期拓展课“利用轴对称进行图形设计”带领学生衣服。
学生穿着自己亲手做的衣服，真切的感受到数学在生活中的应用，感受到数学不是枯燥的，感受到数学知识还可以在“玩”中学到，转变了学生以往学数学的方式和观念。
五，激发兴趣，拓展学生视野，鼓励学生主动去求知。
我在七年级上期拓展课“数学中的数字黑洞现象”中，带领学生感受课本以外的数学知识。学生在了解“123”黑洞， “水仙花”黑洞， 验证角谷猜想之后，感受到数学的奇妙，增长了知识，同时也增强了学生的意思品质。有一位同学在做“3x+1”游戏时，选取数字25进行验证，结果经过26次运算时，终于找到“421”黑洞，极大地增强了学生的自信心、细心、耐心。这节数学拓展还激发了学生对宇宙黑洞产生了兴趣，为什么会有“黑洞”？“黑洞”是怎样形成的？为什么黑洞的吸引力极强？学生充满好奇。数学拓展课开阔了学生视野，激发了学生主动求知的欲望。
六、在数学拓展课中转变学生学习方式效果明显
【P键词】数学拓展式；习题课；变式问题；教学策略
自2016年4月起，山东师范大学第二附属中学在专家的引领下，确立了《初中数学拓展式课堂教学探索》的研究课题，现已全面进入实施探索阶段.
所谓数学拓展式课堂教学，是指教师依据数学课程标准和教学目标，整合、优化数学教学内容，深入挖掘数学思想方法，对数学知识、数学思维过程和方法以及数学文化进行适度的拓展和延伸，以优化教学过程，提升学生数学素养的教学活动.
数学拓展式课堂教学旨在丰富学生的数学视野，加强对数学教学内容的深入理解，在深度和广度上培养学生的数学探究意识和兴趣，建立科学的思维方法和探究方法，在提出和发现数学问题、分析与解决问题的能力上得到提高，促进学生均衡而有个性地发展，提升学生数学素养[1].
随着《数学课程标准》（2011年）的贯彻实施，如何全面提升学生的数学素养，已成为当前数学课堂教学改革与发展面临的重要课题.拓展式的数学课堂教学已成为数学课堂教学的重要组成部分，它不同于传统教学只注重知识的传授，而是从更高的层次对教师和学生提出了要求.
在数学拓展式课堂教学理念的指引下，数学习题课的教学方法也在不断改进、创新.数学拓展式习题课不应局限于一个狭窄的知识点的训练，应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用所学的知识举一反三，应用数学习题“变式问题”的教学策略和方法是十分有效的手段.
所谓“变式问题”，就是指教师通过精选有价值的数学问题或精心设计问题情境，并有目的、有计划地对问题进行合理的转化[2].即教师可不断更换问题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的多种环境，但应保留好对象中的实质性因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性.
运用“变式问题”教学，能促进学生学习的主动性的提高，有助于培养学生的创新精神和学生思维的深刻性.变式问题教学可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通、拓展和延伸，从而让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学和应用数学的乐趣.
分析根据已知易得ABM∽DCM，可得对应高BH与HD之比，易得MH∥AB，可得MDH∽ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可.
解答因为AB∥CD，所以ABM∽DCM，所以BHHD=ABCD=1015=23，（相似三角形对应高的比等于相似比），因为MH∥AB，所以MDH∽ADB，所以MHAB=DHBD=35，所以MH10=35，解得MH=6.
答：点M离地面的高度MH为6m.
点评本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，利用BHBD+DHBD=1是解题的关键.
此题证明三角形相似的前提条件是AB∥CD∥EF，而本题该条件的获得是依靠AB、CD、EF都与BD垂直，所以本题的条件可以放宽为AB∥CD∥EF.于是有下面的变式练习：
图2变式1如图2，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，若AB=2，CD=3，则EF=.
分析利用比例的性质以及相似三角形的性质进而求出BEBC=EFCD=25，求出EF即可.
解答解：因为AB∥CD∥EF，所以BFE∽BDC，AEB∽DEC.因为AB=2，CD=3，所以ABCD=BEEC=23，所以BEBC=EFCD=25，所以解得：EF=65.
故答案为：65.
点评此题主要考查了比例的性质以及相似三角形的判定与性质，正确把相似三角形的性质是解题关键.
题目条件放宽为AB∥CD∥EF后，图形在变化的过程中，AB，CD，EF三条线段的长度在不断的变化，但三条线段BF，DF，BD之间满足关系BF+DF=BD，那么这一关系会不会导致AB，CD，EF之间产生特殊的关系呢？为了培养学生的探究精神，激发学生的学习兴趣设置了下面的变式练习2：
（1）求钢索AD和钢索BC的交点E处离地面的高度.
（2）若两电线杆的距离（CD的长度）发生变化，点E离地面的高度是否随之发生变化？说明理由.
解答（1）作EFCD于F，因为ACCD，BDCD，所以AC∥BD∥EF.所以DEF∽DAC，CEF∽CBD，所以EFAC=DFDC，EFBD=CFDC.所以EFAC+EFBD=DFDC+CFDC=DF+CFDC=1.因为AC=30，BD=20，所以EF30+EF20=1，解得EF=12（m）.即钢索AD与钢索BC的交点E离地面的高度是12m.
（2）若两电线杆的距离（CD的长度）发生变化，点E离地面的高度不发生变化.
因为从（1）中可知，CD为任意长时总有：EFAC+EFBD=1，EF（1AC+1BD）=1.所以EF=AC・BDAC+BD.
故EF的长度与CD的长度无关.
通过这一个变式题的练习，学生体会到EF的长度与AB与CD之间的距离无关，为了进一步的探索线段AB、CD、EF之间的本质关系设置变式练习3：
分析前面已证EFAB+EFCD=DFDB+BFDB=1.等式两边同时除以EF可得1AB+1CD=1EF.
解答因为AB∥CD∥EF，所以DEF∽DAB，BEF∽BCD，所以EFAB=DFDB，EFCD=BFDB，所以EFAB+EFCD=DFDB+BFDB=1.所以1AB+1CD=1EF.
通过这一变式练习，学生发现AB，CD，EF三条线段之间的数量关系，进一步深化了对三者之间关系的认识，抓住了三者之间的本质联系.为了巩固认识，熟练知识，设置了下面的巩固练习：
巩固练习
A.aba+b米B.a+bab米
C.a+b2米D.跟m的值有关
图6综上所述，教师通过精选一个问题，在课堂教学中合理运用三个变式，两个巩固练习的设计，进行拓展式教学，学生对这一问题的认识逐渐提高，思维的深度和广度逐渐加深，既提升了对图中线段关系的认识，又提升了数学思维的品质、领略了数学的魅力，从而激发了学生数学学习的热情和兴趣.
在数学拓展式课堂教学理念指导下，传统的数学习题课的课堂教学也将会迎来新的变化.教师要不断更新观念，精心设计问题，因材施教，继续完善好数学拓展式习题课“变式问题”的教学模式，最终达到提高习题课教学质量的目的，并为学生学好数学、用好数学，全面提升学生的数学素养打下良好的基础.
参考文献
[1]傅海伦，权奎，孟庆玲，刁桂兰.数学拓展式课堂教学及案例分析[J].中学数学杂志.2016（8）：14-17.
传统意义上的小学数学教学模式面临着很大的不足，主要表现为生活实际与数学教学相脱离，学生的学习效果与实际应用数学的能力比较差。在生活实际中，时时处处少不了数学计算。因此，为了提高学生的学习效果与实际应用数学的能力，实现小学数学教学的生活化变得十分迫切，与此同时，这也是社会发展的要求。下面，笔者对新课改下的小学数学生活化教学的有效策略进行了简要分析。
一、通过现代化的教学方式，实现小学数学教学的生活化
大部分的数学知识都是抽象的，倘若借助单一的教学方法，不注重教学知识的生活化，那么将难以提高教学效率与教学质
量。这就需要教师在备课的时候，认真分析每一部分的教学知识跟学生生活实际间的联系，借助先进的现代化教学设施，设置关于学生生活实际的教学知识。例如，教师在教授“图形的变换（轴对称）”这部分内容的时候，通过传统的教学方法难以使学生学习和理解这部分知识，而教师能够结合学生实际生活中能够看到的事物，像蝴蝶和树叶的图片，通过多媒体教学课件呈现给学生，且将蝴蝶和树叶的对称轴用虚线标注出来，这样学生在观察的过程中能够将这些图片跟自身的生活实际相统一，从而使复杂的知识变得简单化。总之，教师在教学的过程中应当通过现代化的教学方式进行，进而实现教学结构与教学知识的调整，让学生的数学学习跟实际生活相接近，最终实现理想的教学效果。
二、关注学生平时生活的点滴，激发学生的数学学习兴趣
数学知识源自实际生活，实际生活当中到处都有数学的影
子。可以说，在实际生活当中的任何角落都少不了数学知识，并且实际生活也是数学实际价值的体现来源。数学教学注重学生的实际生活感受，倡导有效地统一生活情境与数学知识，在解决实际生活问题的基础上，让学生巩固和复习数学知识，从而增强学生的数学应用技能。在平时的小学数学教学中，教师应当启发学生对实际生活当中的一些数学问题进行观察，体会实际生活跟数学知识之间的密切联系。例如，教师在讲解“长度单位”的时候，能够要求学生自己动手测量教室的长度、黑板的宽度、手指的长度、课桌的高度等等，如此一来，学生可以明确在精确测量中长度单位的重大作用。并且，学生在潜移默化中能够更加容易地学习和接受数学知识，不再感觉到数学知识是单调、乏味的，而是富有灵性、魅力的，跟实际生活不可分割，从而能够激发学生持久的数学学习兴趣与动力。同时活跃了课堂教学的氛围，从而使小学数学教学课堂焕发生机。
三、注重小学数学教学延伸和拓展的生活化，实现数学教学的升华
除课堂教学的生活化外，教师也应当注重小学数学延伸拓展的生活化。在教学课堂上，有效地统一实际生活与数学知识，能够促使学生真实、深刻地认识到数学知识的实用价值。而延伸拓展的生活化能够让学生更进一步感受到在具体生活问题中数字知识的意义，如此一来，学生不但巩固了学到的数学内容，而且还激发了学生的思维意识。教师可以要求学生通过写数学日记的方式记录下买东西过程中用到的数学知识有哪些，以及应用的整个过程。这样学生不但能够积极主动地探究实际生活当中的数学，而且也懂得了实际生活当中时时处处都有数学知识，从而增强学生“学习数学和应用数学”的观念。教师还可以要求学生自主地归纳学习数学的心得体会，这不但能够让学生系统地思考、梳理数学知识和数学问题，而且还能够推动学生更进一步分析数学知识。除此之外，教师还可以要求学生通过《我与数学》作为题目，编写一些小故事等。总之，借助归纳与概括性的数学课外延伸拓展练习，学生不但能够更进一步地学习和掌握数学知识，而且还能够切实体会到自己的身边就有数学知识。
总而言之，对于小学生而言，小学数学教学的生活化有着十分关键的作用，不但可以激发学生的数学应用意识，而且可以激发学生的思维能力。教师在小学数学教学中，应当有效统一现代化教学方式与实际生活，关注学生平时生活的点滴，注重小学数学教学延伸和拓展的生活化。只有如此才可以确保小学数学教学切实实现生活化，从而激发学生持久的数学学习兴趣与学习动力，提高学生的数学学习成绩。
一、巧用学习工具，玩转“三角板”的魔术
学生的学习工具有很多，三角板是其中一种。三角板上蕴含的数学知识很丰富，但教材中涉及的甚少。教师可根据学生的学习实际，把有关三角板的零碎知识点串联起来，进行恰当的拓展。
课始，用数学猜谜的游戏引导学生将注意力聚焦到三角板上，在“用一副三角板能画出多少度的角”的问题引领下，学生通过拼合、分割等方法将所有能画出的角度一一列举，从而引导学生主动发现规律：度数只要是15的倍数都能用一副三角板画出来。然后把探究的视角拓展到“边”，通过用两块一样的三角板拼接，引导学生主动发现每个三角板的边与边之间的关系，利用这一重要发现紧扣学生的思维，帮助学生熟练地解决相关的实际问题。
重要的数学发现引发了学生更为强烈的探究，在接下来的动手操作环节，学生充分体验到了三角板的魅力，他们用三角板拼接四边形（如下图）。在对几种四边形的观察与
比较中，学生得出怎样拼的周长最长或最短。接着，教师出示一段拓展资料介绍：“三角板从古希腊时期就有，它是对两种基本图形分割而成的。当把正三角形与正方形对半切割时，便得到了两种直角三角形，这正好是我们所用的一副三角板的形式。古希腊数学家柏拉图认为，这两种三角形是最完美的形式。”这样把整节课的气氛推向了，让学生充分体验了三角板神奇的魅力，学生的数学素养也在这种“魔力”下悄然提升。
二、搜寻生活材料，折出“一张纸”的精彩
其实，日常生活中的许多元素像时钟、红绿灯、电视等都包含着非常有价值的数学信息，我们可以从中选取一些合适的素材，根据学生学习数学的实际情况，为学生量身定做“数学大餐”，这样的拓展更具价值。
如一张白纸，首先了解这张纸的基本数学信息。以A4纸为例，让学生主动从数学的角度来研究其周长、面积、厚度、重量等。研究中学生了解到包装袋上标明“70GSM”的实质含义，这一发现让学生充满了自豪感。其次，探究的重点是“用一张纸做长方体”，要求做无盖和无底无盖的长方体。通过小组合作探究，学生根据要求想出了多种方法（如下图）。
苏霍姆林斯基说过：“儿童的智慧在手指尖上。”通过探究学生折出多种长方体，却没有因“折好”而停止数学探究，他们主动地用正确简便的方法计算出每种长方体的体积，并在体积大小的比较中发现同一张纸怎样折的体积最大。
这一生活素材所引发的数学拓展学习，给学生带来了无穷的乐趣。学生在了解信息中拓宽了知识面，在折长方体中锻炼了动手操作能力，更在折后的计算、比较、发现规律中提高了数学思维能力，使数学思考在生活中得以延续。
三、结合时代因素，感受“钱生钱”的魅力
时代变迁，数学学习的某些知识往往随着时代因素的变化而变化。结合六年级教材中的利息、折扣、税率等问题，一节“钱生钱”的课例油然而生，让我们一起去领略它的魅力吧！
在帮助学生认识几种投资理财方式后，教师创设情境引导学生体验随着时代变迁张叔叔在几种投资理财方面的变化。首先，张叔叔开花店，他采取了多种促销方式，如“打折”“买四送一”等，在引导学生讨论哪一种方式比较合算的过程中，提高学生解决问题的能力。于是花店盈利，张叔叔不仅履行了交税的义务，并将部分积蓄存入银行。学生在参与储蓄等问题的过程中，熟练地解决了纳税、利息等实际问题。接着通过对银行利率、税率变化资料的介绍，让学生了解因时展而变化的社会现象。最后，适应时展，张叔叔买了一些股票，学生在计算盈亏的过程中，明白股市有风险。
这一主题的拓展，巧妙地抓住了符合时代因素的素材，借助情境将折扣、利息、炒股等投资项目中的数学问题进行提炼，引领学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维理解世界，意在让学生能逐步达到通过数学学习生长出自己的个性思维和思想。
[关键词]诊断拓展性作业 “三个维度” 体验 数学思考
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）01-047
“学为中心，先学后教”的课堂教学改革正在我校如火如荼地开展。“以生为本”的课堂通过“独立预习作业”“尝试探究作业”“诊断拓展性作业”这三类作业，改变着教师“先教后学”的教学方式，力求让学生先学、能学和会学。其中“诊断拓展性作业”既是对课堂数学学习目标是否达成的检测，又是拓展学生思路、激发学生学习兴趣的主要手段。对如何让“诊断拓展性作业”更具科学性，我从以下三个维度进行了探索与实践。
一、拉伸知识长度，让学生在不断体验中获得更多的知识经验
在“先学后教”的教学实践中，教师都有一个简单的认识：学生自己能学会的，教师坚决不教。这样的课堂总会让人质疑：学生自己学的会不会仅仅是这个知识的结果？他们亲身经历过这个知识获得的过程吗？在获得这个知识的过程中，他们的思维是否有提升？课程标准明确指出：“教育应由传统的‘单一目标’转向‘多维目标’，强调教师不应唯一地关注数学知识和技能的学习，还应帮助学生学会思维，并能逐步发展相关的情感、态度和价值观。”在“诊断拓展性作业”这一环节中，教师设计的作业不仅要具有检测学生是否理解知识形成过程的作用，还应具有促进学生积累数学方法和发展思维的作用。
策略一：变“以练固基”为“重温过程”
传统的课堂练习更多的是关注教学功能，通过对基础知识的反复练习，达到熟练和形成技能的目的。而“先学后教”模式下的课堂练习更注重学生的体验，让学生在活动中经历知识的形成过程。
例如，在“除法”的练习中，传统的教学模式是直接出示类似“612÷3=？”这样的算式让学生进行练习，以达到熟练和掌握计算技能的目的。如今，在新课改的大背景下，我所在的教研组对“除法”练习做了如下设计。
出示“416÷4=104”的两种计算竖式（如图1），要求：（1）借助图形或学具，说一说每个竖式的意义;（2）用笔圈一圈、连一连，来分一分小方块;（3）说一说两个竖式之间的区别与联系。
这里是借助竖式这一情境，让学生重温分物的经历，感受算理与算法的一致性。
策略二：变“重复练习”为“以练提思”
提升学生的数学思维能力是数学教学的重要目标之一。课堂作业既反映教师对教学目标的追求，又承载着发展学生数学思维，帮助学生积累解题方法，提升学生数学学习能力的使命。
“相差问题”的练习中，传统的教材是这样设计的（如图2）;在教研组活动中，我们做了这样的改进（如图3）。
传统练习呈现的是静态的结果，学生一连线，很快就能知道多出来的数量。改进后的练习杂乱无序，让学生觉得烦恼，产生使之有序的迫切愿望，使得学生自觉通过操作，重新排序分类。在这个过程中，学生能体会到数学的思考方式，逐渐提高思维水平。
二、拓展知识宽度，让学生在不断伸展中找到知识点之间的联系
在练习与整理的过程中，“诊断拓展性作业”通过引导学生回顾、总结、提炼思考方法和解题规律，使其深入挖掘不同知识间的内在联系，逐步完善数学知识结构。
例如，在教学“平行四边形、三角形和梯形面积”后，教师可给出下面这道练习：
请在图4中画出高为4厘米、面积为20平方厘米的平行四边形、三角形和梯形各一个。（每个小方格的面积为1平方厘米）
师：在高相等的情况下，要使面积都等于20平方厘米，你是怎样画它们的高的？
生：这些图形的高都是4厘米，平行四边形的底就等于面积除以高，得5厘米;三角形的底等于面积乘以2再除以高，得10厘米;梯形的面积乘以2再除以高就是上底和下底的和，只要保证上底与下底的和是10的就可以了。
师：它们的面积计算公式之间有什么联系呢？
（课件演示：为使梯形保持面积20平方厘米、高4厘米不变，上底每缩短1厘米，下底就增长1厘米。当拉到上底与下底相等的时候，梯形就变成了一个平行四边形;继续拉动上底，当上底变成0厘米时，梯形就变成了一个三角形）
生：其实梯形面积计算公式是通用公式，三角形、平行四边形的面积都可以用它来计算。
教师通过提问与追问，不断挖掘各知识点之间的联系，把散乱的知识串成了一串，激起了学生的求知欲，活跃了学生的思维，为学生理清了脉络，便于学生理解与记忆。
三、提升知识高度，让学生在不断攀登中获得学习的乐趣
研究表明，真正的学习往往来自挑战后的成功。对于“诊断拓展性作业”的设计，教师要学会把知识“掩埋”起来，让学生慢慢挖掘，收获成功的。
例如，五（1）班学生参加社团活动的情况如下表所示。
（1）参加围棋、乒乓球和足球社团的学生共占全班人数的几分之几？
（2）参加（ ）社团的人数最多，五（1）班至少有（ ）人。
这道题考查的是分数加减法、分数大小比较及最小公倍数等知识点，同时考查学生收集信息、处理信息的能力，问题由易到难，层次分明。尤其是最后一问，更需要学生充分联系生活实际，结合具体情境综合分析，才能解决问题。这样的题型看似很难，但只要找准思考点，就会有茅塞顿开之感。
又如，教师在教学“分数乘除法”后设计这样的练习：
在抛出“得数等于开始数的奥秘在哪里？”这个问题后，教师可继续出示下面这两道题，让学生判断对错后说明原因。
这样寻找迷宫出口式的题型，能激发学生的做题兴趣和求知欲，使得课堂教学顺利开展，并收获显著成效。
关键词： 数学 拓展 趣味
在十几年的数学教学生涯中，虽然无论是问题的引入，还是课题的展示、规律的认知、内涵的挖掘、方法的总结等我都层层推敲，但是学生的数学成绩远远没有达到预期的目的，对数学的学习兴趣也几乎没有。究其原因，在数学教学中教师往往重知识的传授，轻对学生兴趣的培养。学生只是机械地学习数学知识，完成教师留给的大量习题，毫无兴趣可言。如何激发学生的学习兴趣，我认为一要让学生参与到教学之中，二要在课下让学生自己探究数学的趣味和魅力。为此在数学教学中我采取了一些方法，也收到了一些效果。
一、延伸适度，注重知识的联系
数学的系统性决定了数学教学的连续性。在一节数学教学过程中，教师既要知道怎样和前面已学过的知识联系，又要兼顾知识的外延拓展。这说明数学前后知识联系比较紧密。课堂上，教师可采用设置一些悬念、提一些问题等一系列措施，将前后知识联系起来。
在教学的过程中，教师讲解的内容并不都是有效知识，只有那些学生原来不懂、不知的新观念、新材料、新思想、新方法，经过教师的讲解之后有所得、有所感、有所获的内容，才能称为教学中的有效知识。有效知识是学生对它们有直接兴趣的内容。如果一节课的有效知识的数量大，学生就会觉得收获很大，感到满意、充实；反之，如果一节课的有效知识量很小，学生就会觉得收获不大，感到失望、不满。在数学教学中，通过对具体实例的分析、综合、比较，抽象概括出新的概念；在定理、公式、法则的讲解过程中注意揭示前后知识之间的联系，揭示蕴含在过程中的数学思想和数学方法；讲解例题时注意介绍知识的类化和应用；在解决问题的过程中介绍怎样根据问题中的条件来收集和组织有关信息，沟通条件与结论之间的逻辑联系，等等，都能有效地提高教学中有效知识的数量，增强教学的魅力。
例如讲完“边角边定理”之后，教师应提出一些问题，像除了利用边角边定理证明三角形全等外，是不是还有其它方法呢？让学生在课后思考、探究，这可为下节课讲“角边角定理”教学做铺垫。
必要的铺垫是后续教育的一个必要环节，使得前后课之间的衔接自然，同时又可促使学生探索、思考。
二、拓宽加厚，开阔学生的视野
数学课外活动作为课堂教学必要的补充和完善，其功能主要体现在两方面：（一）延伸课堂教学，（二）拓宽学生视野。因此课外活动内容的选择必须考虑到教材实际，同时兼顾学生的发展。有一些在教材中涉及的内容，在课堂不便拓宽加厚，但为了满足一些学生的求知欲，可在课堂上设置一些问题，提出见解，让学有余力的学生课后让其思考，让其在课外活动中进行讨论，并给予解答。
人教版《几何》第二册第159页的习题12：求证：正方形对边中点的连线将正方形分成四个小正方形。
分析：如图，要证明四边形AEOH为正方形，可先证它为矩形，再证AH=AE。学习此题，视野一定要开阔，思维要全面，可进行横向拓展，将命题作如下变形，得出类似的正确结论。
1.平行四边形对边中点的连线将平行四边形分成四个小平行四边形。
2.矩形对边中点的连线将矩形分成四个小矩形。
3.菱形对边中点的连线将菱形分成四个小菱形。
对于这些问题，有余力的学生在课后可以有选择地思考，在数学课外活动中分组讨论，各抒己见，最后由教师引导得出结论。事实表明，课堂上留有余地，可激发学生兴趣，激励他们不断追求新方法，得出新结论，是一种行之有效的手段。
三、培养学生集体讨论，交流学习的习惯，提高其思维能力
课堂学习也是一种创造性的活动，在这个过程中，学生会对某些问题产生兴趣并发表不同见解，产生自己探求问题答案的勇气和激情，或是对课堂上所学知识归纳总结，或是数学思想方法和技巧的运用，或是结论的推广、规律的探求，或是对某一问题的思考、猜测或证明等。教师应引导他们，让他们课下做深入的分析和探求，在适当时机组织交流，让学生真正感受到所做的工作是一项创造性活动。教师再引导学生通过小论文的形式总结自己的感受，发表自己的见解，会收到良好的效果。
四、让学生尝试亲自动手，体验数学的趣味
我们平时课堂教学也好，教材也好，形式化的东西太多了，以至于学生在课堂上不敢越雷池半步，总是循规蹈矩。但是单靠逻辑演义和形式化了的东西，数学是无法发展的，还会使学生望而生畏，觉得枯燥无味，因此有必要引导学生在课后采取更多更丰富的手段学习数学，体验数学。
例如：在学过了“黄金分割”后，我们可以布置学生亲自设计一件日用品或工艺品的宽和长，使其宽与长的比近似为0.618,和一般物品的宽与长比较看哪个更具有美感。在实际制作过程中，学生既熟悉了黄金分割的概念，同时又体验到生活中处处有数学，从而将数学与生活结合起来，这样使得数学的学习更有现实意义、更有趣味性。
随着社会的不断进步，科学技术的不断发展，生活水平的不断提高，教学辅助设施也不断更新，教师在课后可以让学生通过自己制作课件来演示、验证书本上的定理及结论，如引矩形定义时，可让学生利用几何画板软件，在计算机上画一个平行四边形ABCD，改变∠B的大小，当且仅当∠B是直角时，才给我们以矩形的形象，通过这一操作，使学生对矩形这一定义记忆就更深刻了。这是为什么呢？有余力的学生会通过制作过程发现新的问题。
综上所述，在课堂教学中给学生留有余地，既能促进学生自主学习意识的提高，又能拓宽其创造性学习的渠道，从而使所有学生学到更多、更好、却又有区别的数学，让每一个学生真正地参与数学学习，体验数学的魅力。
参考文献：
在高中数学教学中，有些教师抓不住教学的切入点，即不了解应从哪个方面引导学生学习数学知识.本文提出了数学纲领这一概念，即教师要围绕数学纲领开展课堂教学活动.
一、引导学生学习数学基础概念
数学概念知识，是学生必须要掌握的数学基础知识.学生只有了解了一个数学新概念，才能了解这一数学知识可以应用在哪个数学领域中，它的性质是什么、演变出来的公式是什么……在数学教学中，教师要重视数学概念的教学，帮助学生打下良好的数学基础.例如，在讲“等比数列”时，教师可以引导学生填写下表，同时引导学生思考等比数例概念.学生总结出等比数列的概念后，教师提出几个拓展问题：假设现在数列{an}、{bn}是项数相同的等比数列，那么{an+bn}是不是等比数列？那么数列{pan+qbn}（p、q为常数）是等比数列吗？为什么？这样，教师引导学生通过表格看数学问题，让学生从体验案例的角度理解等比数列的概念；当学生结合数学体验初步整理出等比数列的概念后，教师再通过提问引导学生完善数学概念，避免数学概念总结出现漏洞.这是经典的数学概念教学案例，取得了良好的教学效果.因此，在数学概念教学中，教师不能直接告诉学生要学习的数学概念是什么，而要为学生创设情境、引导学生体验数学案例、从数学案例中抽象出数学知识、引导学生验证学习的成果.教师只有这样开展数学概念教学，才能让学生深入理解数学概念知识.
anbnan・bn（an・bn）
是否等
比数列例3×23n-5×2n-1-10×43n-1是自选1自选2二、培养学生学习数学知识的能力
学生掌握数学概念知识后，需要应用学习的新知识来解决数学问题.有些学生表示，虽然学过很多数学知识，可是在解决数学问题时常常不知道从哪个角度来解决数学问题.实际上，这是教师没有引导学生掌握数学思想的缘故.在高中数学教学中，教师要强化数学思想的训练，培养学生学习数学知识的能力.例如，在讲“函数”时，教师可以引导学生学习一道数学例题：求函数y=3+2-3x的值域.有的学生应用数形结合的思想先画函数图象，再解数学习题.教师引导学生思考：能不能根据这道数学题的特征运用更简单的方法解数学习题呢？在教师的引导下，学生把这道题与算术平方根的特性结合起来，认为算术平方根有双重非负性.如果结合这一特性来看待这道数学问题，就能把数学问题变得简单.于是学生再次解这道习题：由已知可得2-3x≥0，从而可得：3+2-3x≥3，于是函数的值域为[3，+∞）.这就是类比推理思维的应用.做这道习题后，学生了解到：遇到数学问题时，要仔细观察数学问题的特征，尽可能地找出最简单的解题方法.
三、促使学生尝试拓展数学知识
在高中数学教学中，教师要引导学生主动找经典的习题、开放式的习题来学习，让学生在做习题时自主验证知识结构的缺陷.这是教师在教学中要让学生养成的一个学习习惯.例如，在讲“向量”时，教师可以引导学生做如下的习题：已知向量OP1，OP2，OP3满足：OP1+OP2+OP3=0，OP1=OP2=OP3=1，求证P1P2P3是正三角形.这是一道数学基础题.只要学生熟悉了向量的概念及向量的计算方法，就能迅速解答这道题.学生解出这道题后，教师把这道数学题延伸，继续提出问题：P1P2P3为正三角形，它的中心为点O；那么OP1+OP2+OP3=0是否成立……教师以一道数学题为基础，延伸出数学问题时，学生就能了解到数学知识的变化，感受到学习数学知识的乐趣.因此，在高中数学教学中，教师要引导学生建立一个数学习题薄，让学生记录易错题、开放题、经典题，使学生在学习中经常回顾这些习题，同时与其他学生分享这些数学习题.这种学习方法，如果变成学生的学习习惯，就能提高学生的学习兴趣，促使学生尝试拓展数学知识.
总之，所谓的纲领问题，就是一件事物最根本的问题.如果教师不能把握住数学教学的纲领，就会出现教学目标不明晰、教学方法针对性不强的问题.在高中数学教学中，教师要引导学生学习数学基础概念，培养学生学习数学知识的能力，促使学生尝试拓展数学知识，从而提高教学效果.
关键词: 职业学校数学教学 教案设计 分组教学模式
教育家第斯多惠曾说:“一个坏的老师是奉送真理,一个好的老师是教人发现真理。”叶圣陶先生也曾说:“教,是为了不教。”这些都是我多年来的教育信条。我想,每一个教育工作者的身体里都流淌着责任的血液,都努力将教学中的每一个环节做精做细,做优做强,让其理论化、层次化、系统化、实践化、创新化,使自己成为学习型、研究型、育人型的教师。
一、数学教师要有大局观,全局观。
《数学课程标准》指出:数学教学是数学活动的教学,是师生之间、生生之间交流互动、共同发展的过程。教师要向学生提供充分的从事数学活动的机会,引导他们在自主探索与合作交流的过程中,真正理解和掌握数学知识与技能,思想与方法,思维模型,从而学习有价值的数学。以下用整章案例说明。
(一)教材使用简介
书名:数学(第二册);作者:《数学》编写组;责任编辑:宋强、主编:叶惠英;出版发行:疯狂出版传媒集团、江苏教育出版社;版次:2011年2月第一版;书号:ISBN978-7-5499-0439-6;电话:0515-88153008.
同时这本教材也是五年制高等职业教育21世纪课程改革规划新教材。
(二)教案流程
1.写好设计说明(根据教学大纲结合自己的设想,可以结合本文说明设计理念和模式等);
2.9.1向量的概念,9.2向量的坐标表示及其运算,9.3向量的数量积;
3.向量前三节复习课,拓展实践活动课《挑战自我熔炼团队》(体育场进行);
4.9.4复数的概念,9.5复数的表示形式,9.6复数的运算,9.7向量与复数应用举例;
5.第九章复习课与习题课,摄影知识讲座(数学在摄影中的美)。
(三)教案设计模式
1.讲授型教案:教师讲授新知,启发为主,学生分组讨论学习为辅。例如,章节9.1.1向量的概念,9.3.1向量的数量积定义等概念性的内容的课型。主要目的是体现数学的精准和魅力,让学生喜欢数学。
2.分组合作型教案:学生分组讨论学习为主,教师引导,启发为辅,教会学生学会学习,合作意识、扩展思维等。例如章节9.1.2-1向量的加法,9.5.3复数的三角形式(二)等概念与计算混合型的课型。主要目的是让学生体验学习的乐趣和团结的力量。
3.导学型教案:学生分组讨论自学为主,教师引导,启发精讲为辅,教会学生学会思想方法,锻炼意志品质、拓展思维、培养兴趣等。例如9.1.2-1向量的减法,9.6.1复数的四则运算(代数形式)等章节带有迁移,计算的内容的课型。主要让学生掌握学习方法,学会学习。
4.自学型教案:以学生自主学习为主,教师因材施教,培养自学习惯,利用知识迁移,开拓学生思维。例如章节9.1.3向量的数乘,9.4.3在复数内解实系数一元二次方程等延续性、迁移性、简单性的内容课程。主要目的是培养学生学习习惯,提高学生学习能力。
5.拓展与讲座教案:增进师生、生生交流,丰富知识内涵等。如《挑战自我熔炼团队》拓展户外活动,《数学在摄影中的美》讲座。主要目的是增进师生情感交流,进一步拉近师生的距离,让课堂变得丰富多彩。
二、数学教师对学生要有教学观,育人观。
职业高中学生是经普通高中“筛选”后才入读职业中学的,甚至有一部分学生初中没毕业或没有参加中考就入学的,学生数学基础差、厌学,大部分学生对数学无兴趣。首先,学习目的不明确,学习主动性差,依赖性强。此类学生从小娇生惯养,事事由家长包办。因此,学习无计划,无恒心,意志力薄弱,缺乏自制力。其次,信心不足,畏难、厌学情绪严重。多数学生自卑心理较强,总觉得自己学习不如别人,被人看不起,对前途不抱太大希望。有的甚至得过且过,对学习有抗拒感。这种消极心理极易形成学习障碍,对学习尤其是数学学习产生厌恶、畏难情绪。再者,上课注意力不集中,课后作业不交或迟交,知识遗漏多,知识衔接困难,久而久之,就被动地应付学习和考试,甚至放弃学习。
怎样才能解决以上问题呢?这就要求老师们不能只教不育或只育不教。这在教案设计中已经得到解决,每种教案模型都有对应的体现,而且又都能相辅相成,只要掌握内涵,就会发挥其作用。
三、教案设计体现理念观、思想观。
(一)展现自我教育理念:“没有爱就没有教育,没有兴趣就没有学习。”教育的爱是建立在师生相互信赖的基础上的,教育就是要培养学生的学习兴趣。
(二)体现出自我教学思想:快乐学习,学习快乐——“教中学,学中做,做中会,会中乐”,“情中思,思中悟,悟中益,益中育”。以教学内容为外线,运用适当的教学方法、学法与手段达到教学目标的要求。以情感教育为内线,通过拓展活动、励志故事、激励言语,丰富课堂,达到情感教育目标,让枯燥的数字变成美丽的音符,让学生从情感内心深处接受不一样的数学课。
(三)采用的教学原则:主要应用的是叶圣陶先生所讲的教学原则:“教,是为了不教。”教师不可能教学生一生,他们需要独立。
(四)拥有独特的教育技能:拓展活动训练思维、励志故事活跃气氛,让数学课堂有血有肉,丰富多彩,充满生机。
(五)主要教学策略:思维比知识更重要。完善学生的知识结构体系,构建数学认知结构,建立学生数学思维模型;运用拓展小活动,发散思维,利用励志小故事讲道理,活跃课堂气氛。开展室外拓展实践活动,建立师生,生生之间更深感情基础,进行摄影讲座,丰富学习内涵,让学生喜欢数学老师,进而喜欢数学课,培养学习兴趣。
四、分组教学模式体现实用观、创新观。
数学分组教学中的分组设计:班级09物流47人。
1.分组:分成8组,每组六人,第八组5人,
2.规则:按照班级数学成绩排名1—47,按蛇形排列成8组,每组取一个响亮且有寓意的名字。
充分发挥学生的主体作用,把自交给学生,尊重每位学生的选择。比如分小组,也可以不按成绩分组,就按照学生的兴趣爱好分成“数学故事组”“数学游戏组”“数字推理组”“图形推理组”等。每个成员还可以不定期地换到其他组去。这样同学间相互交流合作的机会增多了,知识丰富了,活动的舞台更宽广了。随着活动的深入开展,我深刻体会到只有和学生多交流,才能了解学生所需要的,才能开发出学生感兴趣的课程,这样才能真正激发他们的学习兴趣。
五、结论与感悟
关键词：你知道吗；教学；思考
中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2013）06-0281-01
"你知道吗"是介绍数学背景知识、传播数学文化的重要载体，为学生数学素养的形成提供了一个非常好的平台。"你知道吗"与教学内容联系紧密，是教材的有机组成部分，是传承数学文化的有效载体。它的呈现形式生动活泼，图文并茂，有利于培养学生的阅读兴趣。只有合理运用"你知道吗"栏目提供的学习材料，才能让学生接受数学文化熏陶，体会其丰富价值，激发学生数学学习的兴趣，培养其独立观察、思考、解决问题的积极性和主动性。
1.准确分类――胸有成竹
"你知道吗？"这一神秘而又充满诱惑的话语到底包含了哪些我们急欲探求的知识，蕴藏了多少我们未曾探知的精彩呢？在通读了数学课程标准试验教材中"你知道吗"部分内容后，大致将其分为以下几个部分。
1.1 相关数学概念。例如五年级上册介绍了"循环节"的概念，让学生知道什么叫做循环小数的"循环节"，循环节可以怎样表示；六年级上册介绍了"扇形"和"圆心角"的概念，让学生初步懂得弧、扇形和圆心角之间的关系。此外，"你知道吗"还在很多地方介绍了诸如图形的符号表示方法，单位、公式的字母表示方法等，如四年级上册介绍了我国"量和单位"国家标准规定的写多位数的方法，直线、射线和线段怎样用字母表示，平行和垂直如何用符号表示等。学生了解这些数学概念的通用标准，有利于与中学数学学习接轨和避免在课外阅读时造成理解障碍。
1.2 数学史内容。例如三年级讲述了"+"、"-"、"×"、"÷"符号的由来；五年级介绍了"方程的由来""分数的发展史"；六年级下册展示了"负数的发展史"等。教科书中或用文字，或用图示向学生展现了数学发展的历史知识。
1.3 数论的知识。例如五年级上册中的什么是"数学黑洞"；五年级下册中的"完全数"等，让学生尝试着了解神奇的数字世界。
1.4 数学家的故事。例如三年级的"曹冲称象的故事"；四年级的"高斯的故事"等，用数学家的故事激励学生去探寻数学中的神秘宝藏。
1.5 数学名题。五年级的"哥德巴赫猜想"，六年级的"七桥问题"，让学生感受数学抽象中的扑朔迷离。
1.6 有趣的解题方法。例如四年级上册提出的"格子乘法"；五年级上册介绍的"出入相补"求面积的方法为学生提供了与众不同的解题思路，开拓了学生的视野。
1.7 数学中的美。数学中有很多种类的美：简洁美、对称美、统一美、奇异美……教材中展示了黄金比，斐波那契数列等匪夷所思的数学现象，让学生倾倒于数学的无限魅力。
2.寻找策略――有的放矢
教材中"你知道吗"编排的知识涉及面很广，教师要善于用好这个资源，使学生在学好数学知识的同时，激发主动学习探究的兴趣，学会用数学的眼光观察事物、从数学的角度提出问题、用数学的方法解决实际问题的能力，切实提高学生的数学素养。如何把握教材"你知道吗"所呈现的学习内容、教学策略？仅仅是让学生读一读、了解一下知识，还是精心安排活动、拓展学生的学习能力和数学文化？下面本人结合实践，从以下几个方面谈谈对"你知道吗"这一拓展内容的教学策略。
2.1 注重阅读，品味数学思想。数学作为文化课程还承担着传承文明的功能，"你知道吗"中有关数学家的故事、数学趣闻与数学史料，可以帮助学生了解数学知识的产生与发展。我们可利用活动课开设数学阅读，组织学生进行专题阅读和主题交流，帮助学生系统地了解数学的悠久历史、独特思维和广泛应用。数学史料有助于培养学生的动态的数学观、数学文化价值观，通过对历史的了解，学生可以在心理上缩短接受某一观念的时间，有助于学生了解数学形式化、抽象化、精确化的过程。因此在教学这一部分时，一定要让学生充分阅读材料，并说说自己的阅读体会，主要是让学生从中了解数学知识的形成过程，同时帮助学生体悟其中的数学思想，培养学生像古代数学家那样用数学的方法解决问题的意识。
2.2 整合教学，凸显教学价值
2.2.1 巧设情境导入，引出新知。在情境中学数学，是学生最感兴趣的；贴近生活去学数学，是最能调动学生学习积极性的。因为有效教学情境的设置，有利于解决数学的高度抽象性和小学生思维的具体形象性之间的矛盾，还原知识的形成和应用的生动场景，从而使定性的知识呈现灵动的状态。它为学生提供从事数学活动的机会，激发对数学的兴趣，促使学生学好数学。而此种类型的"你知道吗"恰恰具有这种条件。因此我们可以把一些"你知道吗"转化成一道情境问题，用以激发学生学习新知的兴趣，来充分调动学生参与学习新知的积极性。
2.2.2 用于新课讲授，加深理解。很多"你知道吗？" 的内容具有实际使用价值，并且与新授知识联系紧密。我就把它有机融合在新课教学中。比如我们在推导"三角形面积计算公式"时，适时介入"你知道吗"栏目中古代数学家刘徽利用出入相补原理把一个图形经过分割、移补，而面积保持不变，来计算出它的面积的知识和《九章算术》中的"方田章"中说的："方田术曰，广从步数相乘得积步"、"圭田术曰，半广以乘正从"的知识。让学生不仅多掌握了一种推导方法，又能感受到数学发展的历史。再比如我们在教学"鸡兔同笼"时，可以在课中让学生来阅读"你知道吗"中古人是怎样解决"鸡兔同笼"问题的，让"你知道吗"成为开启学生另一种思维方式的钥匙。
2.2.3 课尾需求内化契入，星火燎原。在基础知识与基本技能的教学目的达到后，我们更应该关注知识内涵的进一步深化与拓展。
比如我们在教学完圆的面积时，可以适时引入"你知道吗"中有关"弧、扇形、圆心角"的知识点，然后再顺势向学生抛出"那么扇形的周长、面积又该如何计算呢？"的问题。一石激起千层浪，学生需求等级会再次提高，一种跃跃欲试的感觉会瞬间弥漫全身，一种因探究成功而产生的快乐会让他们更加清晰地感觉到数学的魅力。再如在计量单位的教学后，让学生阅读"你知道吗"中有关"质量单位、长度单位、面积单位"的字母书写方式，从而引发学生对更多用字母来表示单位的学习兴趣，并在学习过程中感受数学的简约美。
2.3 尝试练习，绽放智慧火花。数学阅读材料"你知道吗"中的内容有些不仅可以让学生去读一读，也可以让学生去做一做。
2.4 积极实践，拓展思维能力。有的"你知道吗"内容比较深，也有一定的实用性，需要教师作为专题介绍。因此我们还可以将"你知道吗"作为一个切入口，抛给学生一个问题，让学生以实践作业的形式进行研究、汇报。这样，既拓展了学生的知识视野，也发展了学生的数学思维能力。
六年级教材中的"你知道吗"关于税收的介绍很简单，我就布置学生去收集税法的一些常识，收集生活中用到的税收知识，如纳税、税率、个人所得税如何计算等。对学生而言，这样的数学活动既是税收知识的普及，又是一次关于税法的公民教育。再如"比"教学后安排"黄金比"的调查，学生挖掘到了"人体中的黄金比"、"植物中的黄金比"、"建筑中的黄金比"、"摄影、绘画、乐器制作中的黄金比"……在分享这些的同时，大家知道了0.618这个黄金数，知道了"最完美的人体：肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=0.618"；"最漂亮的脸庞：眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618"。更由此知道了黄金分割所代表的和谐、完美与赏心悦目。此时，学生得到的不仅仅是数学知识，而且受到了数学素养、数学思想和数学文化的熏陶。
2.5 挖掘材料，发挥德育功能。在小学数学教材中，大部分思想教育内容的要求并不明显，这就需要教师认真钻研教材，充分发掘教材中潜在的德育因素。教材中的一些"你知道吗"恰好蕴涵着德育教育功能。如下册教材第82页的"你知道吗"中关于陈景润的故事等，可指导学生课后去阅读，也可要求写一些短小的读后感，并进行交流，这样既可以拓展学生的知识面，又可增强学生的民族自豪感、自尊心和自信心，同时也可以培养学生不畏艰难、刻苦钻研的精神，可以说是一举多得。
当下，对"你知道吗"的思考与实践还是一片未充分开垦的领地。我们深知：对于数学文化的内容例如"你知道吗"，现有的教材还只是作了补白性的简介，它催生我们要进行更多的教学实践。它呼唤作为新课程的实践者和开发者的教师要自觉地行动起来。无论是日常课堂中
数学文化元素的有效渗人.还是数学文化课上的专题学习，首先我们自己要有丰厚的数学文化素养，为教学做好充分准备。教科书承担着向学生传递数学文化的重任，我们也应承担起向学生传播数学文化的重任.组织多种形式的数学学习活动，让学生充分地熏习陶冶。感受数学的文化力量，丰富他们对数学的感性认识，提高各自内里的理性精神。
参考文献
[1] 曹玉珍.你足够重视它吗？"你知道吗"教学之我见.小学教学设计（数学），2012.5.
[2] 袁凤珍.让"你知道吗"成为数学教学的亮点.教育研究（教学天地），2010.11.
[3] 袁忠."你知道吗"不能是被遗忘的角落.江苏教师，2012，6.
