时间：2023-06-15 17:27:45
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇数学公式和定理，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
首先，教师要引导学生掌握基本公式和定理。
1. 准确理解定义、定理、公式。具体地说就是理解概念所指。说明的问题内容。
2. 用归纳的方法掌握定义、定理和公式。 对于定义、定理和公式通过归纳可以系统地掌握，从而提高学生的记忆效率。
3. 通过练、做，解决实际问题方法加强巩固记忆。无论是平时解题还是高考解题都离不开数学中的定义、定理和公式，记住定义、定理和公式是解题的前
提条件，而在解题中怎样应用定义、定理和公式是一个关键的问题，并在应用中怎样掌握好、巩固好， 以为日后的高考作准备。
其次，在掌握定义和公式的基础上，掌握其所适用的题型，以便在实践中和高考试卷上灵活应用。例如三角形面积公式 中 就是 边上的高，它其实就是初中所学的公式 的另一种新的形式.再如学习了祖原理后，让学生把它引申到平面几何的相应命题。再如： （ ）为正数，求证 ，可把基本不等式 变形为 来用.再如求 的值，是将 的公式变形使用.这样，学生应对高考题型，就可以驾轻就熟，有的放矢。
近年来，加强应用意识的培养和考查是时代的需要，是教育教学改革的需要.高考数学试卷继续关注对学生应用能力的考查，与往年的试题相比，还有以下新特点：
（1）精心选材.密切联系社会实际和学生生活实际，许多试题立意深，情景新，思维价值高.
（2）题量增加.各地高考试卷中普遍增加了应用题的题量.
一、在建立概念中应用类比推理
数学概念知识是小学生在数学学习中首先要学到的知识，然而小学生的感性思维让他们容易记具象性的事物，却不容易记住抽象性的事物，这使他们经常不能正确地理解数学概念。为了引导学生学习概念，教师可以用类比推理的方法让学生自己掌握到概念知识。比如教师可以引导学生观察5/10，50%，0.5这几个数之间的关系，让学生总结它们之间哪些性质相似。学生经过教师引导，发现它们之间的关系为：
学生从具体的案体中总结出案例的过程，实际上就是把具体的事物变成抽象事物的过程。学生如果掌握初步的抽象能力，未来学生就能够用抽象的思维看待数学问题，从而学生就能掌握一种重要的数学思想。
二、在理解定理中应用类比推理
定理是指前人通过经验总结下来的一套正确的规律，在证明题中定理是可以当作已知条件应用的。小学生学习定理时，有时不明白为什么一件事物是定理，另一件事物不是定理？学生不能理解定理的特点，有时就会把一些不确定的规律当作定理记住。教师可以引导学生用类比推理的方法了解定理的含义。比如教师引导学生学习长方体的表面积计算时，学生不明白为什么长方体的表面积是四个长方形的面加两个正方形的面积之和。教师可以引导学生实践，让学生用六张纸铺满长方体，学生发现刚好这六张纸就是四个长方体的面积和两个正方体的面积。原来表面积的计算公式是这样得来的。如果学生能够利用类比推理的思路掌握到长方体的表面积计算公式，以后他们就会思考如何利用这个方法计算正方体、圆椎体等其它较为简单的不规则图形的表面积公式。
三、在公式计算中应用类比推理
教师引导学生理解数学公式时，有时学生感觉学习最大的困难就是记不住数学公式，他们觉得自己遇到数学问题的时候不知道该用什么数学公式，有时自己应用数学公式解题时又容易犯下错误。小学生没有掌握数学公式的原因是由于他们用死记硬背的方法学习公式，却没有理解到数学公式背后的规律，所以才会在应用中犯错。教师可以用类比推理的方法让学生自己寻找规律。
比如教师可以引导学生做以下三个数学题：
教师引导学生这三道题的相似之处和不相似之处。学生会发现第一题和第二题之间只有被乘数不同，且只有一个小数点的不同，因为第一题多出一个小数点，所以结果才有十倍的区别；第一题和第三题之间只有乘数有区别，且区别也只有一个小数点，而结果也有十倍的区别。通过类比推理，学生以后就能了解到小数点决定数字的倍数。乘数和被乘数小数点后共有多少位数，乘得的结果小数点后就共有多少位数。学生通过类比和推理，总结出数学计算的方法，他们也就能真正地理解数学公式意义，以后才不会犯下计算的错误。
四、在实践应用中应用类比推理
小学生学习数学时，有时觉得自己虽然学习了很多知识，可是在实际生活中却不知道怎样应用这些数学知识；特别是有些小学生在做应用题时，觉得最大的困难是自己看到应用题中的文字就觉得很混乱，他们不知道该从哪个方面着手解决数学问题。以上的现象均为小学生的逻辑思维性思维还没有建立的原因，小学数学教师可从类比推理的角度引导学生建立逻辑性思维。比如教师引导学生思考以下的应用题：一份工作，熟练的工人单独做30个小时能够完成；新进厂的工人单独做40个小时可以完成。如果两个人一起做，多少小时可以完成？部分逻辑性思维不强的学生不知道该如何分析这个问题。教师可以引导学生思考，如果把总工作量看作1，熟练工人一小时做多少工？通过思考，学生回答为1/30；教师引导学生用类比推理的思路分析新进厂工人一小时做多少工，学生回答为1/40。教师引导学生思考，如果两人一起做，那就是两个人的工作量合为一个人的工作量，他的工作效率又是多少？学生回答为：1/30+1/40。教师引导学生思考，把工作做完要多少小时？学生经过提示得到计算公式为：1÷（1/30+1/40）。教师引导学生用类比推理的思考工作总量、工作时间、工作效率之间有什么关系？学生经过思考得到答案：工作效率×工作时间=工作总量。通过这一个类比推理的例子，学生就能够理解到遇到应用题抽象出已知条件和未知条件得到计算公式得到具体答案的解决数学问题的逻辑思路，以后学生就能够轻松地解决各种数学问题。
【摘 要】数学课程标准指出：教师在数学教学中，要结合具体的教学内容，让学生经历知识的形成与应用过程，从而更好地理解数学知识的意义。然而在当今中职数学课堂中，无论老师或是学生都只重视数学公式、定理和结论的传授和应用，而忽视了知识的形成和应用过程，这种教学行为必将影响学生的数学学习，因此在中职课堂上，我们应注重引导学生体验数学知识的产生过程，让学生在牢固掌握知识的同时形成积极的数学情感与兴趣。
【关键词】中职课堂 数学知识 产生过程 学习兴趣
数学课程标准指出：教师在数学教学中，要结合具体的教学内容，让学生经历知识的形成与应用过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望和信心。对于中职生来说，数学基础不是很好，学生学习数学的愿望和兴趣又不高，所以数学学习成了教学中被应付和忽视的部分，数学被理解为只要会背公式并会套公式或结论做题就行了。所以在当今中职课堂中，无论老师或是学生都只重视数学公式、定理和结论的传授和应用，而忽视了知识的形成和应用过程，学生成了装载数学知识的容器。教学要重视结果，更要重视过程。既要让学生得到必要的传统数学知识，打好扎实的数学基础，更重要是让学生能学到一些数学思维方法。
一、体验知识的产生过程，有助于更好的掌握知识
数学公式和定理揭示了数学知识的基本规律，具有一定的形式符号化的抽象性和概括性的特征，是学生数学认知水平发展的重要学习载体。在很多中职生的眼中，数学就是一个个公式和定理的堆砌，这些公式和定理是孤立的、毫无联系的，是死的，学习数学就是记住它，套用它。这样的数学学习必定是单调的、枯燥无味的，久而久之就缺乏学习的兴趣。数学定理和公式很重要，如果仅靠死记硬背，即使会记住也将不会长久，时间一长很容易发生混淆或者遗忘。其实数学是从来不需要死记硬背的，因为每一个公式定理都不是凭空生出来的，都有它的知识背景和形成脉络。如果我们在学习时能体验这些知识的产生过程，在此基础上进行理解记忆，那么这些知识就不再是孤立的、毫无联系的，死的知识，就会变成了相互联系的一串串活的知识了，学生就会很容易掌握它。比如向量是数学中一个很重要的工具，借助向量可以把很多麻烦的问题简单化。但向量部分的公式却很多很麻烦。如向量内积的计算公式和由它衍生出来的夹角公式、距离公式以及垂直的判定。这些公式如果单个记忆就非常麻烦，后边几个公式是由向量内积公式演化出来的，在此基础上稍加变化或者加上特定条件就衍生出后边的公式。所以只要把向量内积的定义和性质掌握好，就把这些公式都掌握了。
二、在探索知识产生过程中，有助于锻炼学生的数学思维
有人曾说过：不好的教师奉送真理，好的教师教人发现真理。我们可以理解为数学学习不仅是数学知识的学习，更多的是数学思维活动的学习，教师不能单纯地教给学生数学结论。学生在学习过程中碰到障碍或困难，教师应该及时引导学生思维，使之不但掌握数学结论，而且了解结论背后的丰富事实。从而对数学概念法则、公式、定理等结论的形成与发展有充分的认识。在这样的教学过程中，它能唤起学生探索与创造的欢乐，激发认知兴趣和学习动机，展现思路和方法，教会学生怎样学习。因此我们可以说数学教学的价值不仅局限于帮助学生获得和记住书中知识，还要有助于学生的思维训练与认识能力的提高。获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识，以及基本的数学思想方法和必备的应用技巧，学到终生学习的本领。如在学习数列的时候，等差数列和等比数列的求和公式的产生过程就非常重要。数列部分的学习好像是只要会背几个公式，做题的时候套进去就可以了。对于简单题目这样可能也行得通，但是对于一个稍微复杂的数列，如由等差和等比数列复合而成的数列，单纯用等差或等比数列的知识是无法解决的。而我们在推导等差和等比数列的前n项和公式用到了倒序相加法和错位相减法在解决这类问题的时候就会非常方便。如果在学习的时候忽视了这两个公式的推导过程而直接把公式呈现给学生，让学生记住，一方面是公式本身很复杂，离开了推导过程的辅助使得很不好掌握，另一方面也使得这两种重要的思维方法因为缺少体验其产生过程而没有掌握。
三、探索知识产生的过程，有助于锻炼和提升学生应用数学知识解决实际问题的能力
很多的数学问题本身就是人们在解决现实问题中遇到的问题而产生的，因而数学离不开生活实际。但是如果学生学习的数学完全是抽象出来的符号和从实际生活中剥离出来的空洞的理论，那么数学将失去它生存的土壤而变得毫无用处。从学生的认知角度看，把大量的脱落实际的抽象知识讲给学生听，学生被动学习是很难接受。著名数学家兼教育家弗赖登塔尔认为：数学学习是一种活动，这种活动与游泳骑自行车一样，不经过亲自体验仅从书本靠听讲或观察他人的演示是学不会的。建构主义认为，学生日常生活中积累了一些非形式的数学知识，又在课堂上学习了用符号表示的形式数学，形成了个人独特的认知结构，如果教师的讲课不和学生的认知结构相结合，那么数学教学就无意义。因此教师应充分考虑学生的认识学习过程，启发学生自己动口、动手、动脑，让学生经历知识的形成与应用过程。这样的学习过程更有利于锻炼和提升学生应用数学知识解决实际问题的能力，与此同时“数学无用论”也就不攻自破，更激发了学生学习数学的兴趣和信心。如概率和统计初步这一部分的学习，概率和统计本身就是来源于现实的生活问题，而其落脚点也正是生活实际本身。学习概率的时候一定要让学生经历其中概念定理和公式的形成过程，才能他们更加容易理解这些知识的本质，更容易在实际中去应用这些知识。如对概率的概念的理解，必须让学生自己动手操作，并结合历史上许多人做的试验，通过这些试验让学生去理解概率的概念，才能在实际应用中有正确的认知。
总之，在中职课堂上，除了让学生掌握必要的公式和定理，更应该注重引导学生体验数学知识产生过程，让学生更好的掌握知识，锻炼学生的数学思维，提升他们应用数学知识解决实际问题的能力。
作者简介：张松岭（1981-11），男，汉族，助理讲师，主要从事教师继续教育、远程培训、数学等教学工作。
关键词：几何画板 初中数学教学 案例分析
教育事业在我国由来已久，其经过多年发展如今已经拥有了多种教学方式，且新型教育机构也在不断涌现，使得我国整体教育水平有了很大提升。在此过程中，我国教育理念也发生了很大变化，当代社会更加提倡实施素质教育、创新教育以及通识教育等，然而传统数学教学方式已经难以满足当代教育要求和发展趋势，而几何画板恰恰可以弥补此方面缺憾，我国在将几何画板应用于初中数学教学后虽然小有成就，但依然有很大的上升空间。
一、几何画板应用于初中数学教学的优势
几何画板的应用最早由美国兴起，我国在意识到其对数学教学方面的作用后，即将其引入到初中教学中，其独有的优势使得传统初中数学教学中的弊端得以优化，具体可以归纳为以下几个方面：1.将抽象具体化，其形象生动的表现形式，可以将抽象的数学公式展现在学生眼前，如此一来学生即可以提升课堂学习效率，该优势在几何知识方面的作用尤为显著，使得难教难懂的几何知识变得易于理解；2.极具动态感觉，该教学环境的灵活性十足，其可以根据点、线、面不同的特征组成形式各样的几何图形，将数学规律进行动态演示，同时学生也可以根据自身需求拖动、改变几何图形，此种学习方式更加利于开展自主学习，另外，动手操作相较于教师讲解更能促进学生思维能力的提升。
二、几何画板优化初中数学教学的案例分析
（一）函数及图像
函数是初中数学中较为重要的知识，并且对于从未接触过函数的学生而言，若单单依靠教师讲解，很难使学生理解其实际含义，而使用几何画板则不会存在此问题。如在区分y=x+4与y=-x+4时，教师即可以引导学生利用几何画板来帮助自身理解，其所显示的图形中可以看出，y=x+4中，x的值越大，y值越大，可见其为单调递增函数；而y=-x+4中，x的值越大，y值越小，因此此种函数为单调递减函数。学生可以轻易的发现函数单调性的特性，并迅速找到区别其递增、递减的最佳标志，即观察系数，当x前的系数为负，其为单调递减，为正时则为单调递增，另外，当y=-x+4与y=x+4相交时，会出现垂直现象，以上种种知识在几何画板中的显示十分明显，便于学生理解。
（二）勾股定理
勾股定理知识虽然不似函数般难懂，但学生自身理解能力不同，对于数学知识的兴趣程度也有所差异，因此教师很难使学生保持在同一水平，但使用几何画板可以避免或减少此种情况发生，学生在自行操作几何画板的过程中，能够感受到知识的变化，也能感受到自身对知识的理解能力有了很大提升，因此可以增加学生的信心。如在n堂中，教师可以引导学生绘图验证勾股定理，首先绘制三角形，其次将两个直边标为a，b，斜边标为c，然后分别以三个边为基点绘制正方形，Oa，Ob，Oc，最后通过计算即能够发现勾股定理的含义，即Oa面积+Ob面积=Oc的面积。
（三）数学公式
数学公式在数学学科中极为重要，甚至可以说其是学好初中数学的前提，然而由于数学公式往往需要学生死记硬背，很多学生觉得十分枯燥，并且人的记忆时间有限，此种记忆难以维持很长时间，当学习更多知识时会慢慢将其淡忘，对于今后数学公式的运用，已经今后的数学学习而言极为不利。而几何画板的优势使得教师可以将公式内容形象的演示出来，学生可以直观发现公式的规律，同时掌握更多科学依据，此种由理解促进记忆的方式更有意义。如在学习概率知识时，其中包含了许多形式的公式，如排列公式、组合公式或是加法、乘法概率等，此种知识若学生只专注于记忆，却忽略了理解，则很难在实际应用中迅速解答相关习题，几何画板内容的多样性在此方面的作用可以有更好的体现。
三、结语
综上所述，研究关于几何画板优化初中数学教学的案例分析方面的内容，具有十分重要的意义，其不仅关系到我国初中学子的数学成绩，也与我国教育事业发展息息相关。不难发现，使用几何画板可以丰富课堂教学方式，也能充分引起学生学习数学的兴趣，便于学生理解更深一层的数学知识，此种新型教学环境所产生的作用是前所未有的，但不可否认的是，其在实际应用中依然会暴露出些许问题，因此相关机构和人员应加强对此方面的研究，使其能够更加完善。
参考文献：
[1]李健美.几何画板优化初中数学教学之我见[J].读与写（教育教学刊），2015，（09）.
[2]于桂玲.几何画板优化初中数学教学的案例分析[J].中国校外教育，2015，（01）.
关键词：方法；指导；课前；课后；课上；定义；定理；概念
步入了初中，数学内容进一步拓宽、知识更一步深化，从具体发展到抽象，从文字发展到符号，由静态发展到动态……要求学生在认知结构上发生根本变化。为了激发学生学习数学的兴趣，提高学生学习的积极性，下面从“课前、课上、课后”三个方面具体谈谈初中生数学学习方法的指导。
一、课前数学学习方法指导
1.课前预习的方法
学生预习时应要求学生做到：
一看：先粗略浏览教材，了解新课的重点和难点。
二读：对重要概念、公式、法则、定理反复阅读、仔细体会、认真思考，对难以理解的概念作出标记，以便带着问题去听课.
三做：在对预习知识有了一定程度的了解后，要求学生练习包括至少三种不同的题型。
2.明确数学学习要求
学习数学的过程中，总是会遇到大量的概念、定理和公式，一般应从以下方面去理解掌握。
（1）数学概念的学习方法
数学概念是反映数学对象本质属性的思维形式，它的定义方式有描述性的，有指明外延的.下面归纳出数学概念的学习方法：
①读概论，记住名称或符号；
②理解定义，掌握特性；
③举出正反实例，体会概念反映的范围；
④进行练习，准确地判断；
⑤与其它概念进行比较，弄清概念间的关系。
（2）数学公式的学习方法
公式具有抽象性，公式中的字母代表一定范围内的无穷多个数.那么学生在学习数学公式的时候就要从以下几点做起：
①正确书写公式，记住公式中字母间的关系；
②懂得公式的来龙去脉，掌握推导过程；
③用数字验算公式，在公式具体化过程中体会公式中反映的规律；
④将公式进行各种变换，了解其不同的变化形式；
⑤变化公式中的字母所蕴含的内容，达到自如地应用公式。
（3）数学定理的学习方法.
①背诵定理.
②分清定理的条件和结论；
③理解定理的证明过程；
④应用定理证明有关问题；
⑤体会定理与有关定理和概念的内在关系。
二、课上数学学习的方法
课上数学学习主要是“听课”方法的指导.听课方法的指导方面要处理好“看”、“听”、“思”、“记”的关系。
1.“看”就是上课要注意观察，观察教师的板书的过程、内容、理解老师所讲的内容。
2.“听”是学生直接用感官接受知识，应让学生在听的过程中明确：
（1）听新知识的引入及知识的形成过程；
（2）理解教师对新课的重点、难点的剖析
3.“思”是指学生思考问题。学生是学习的主人，在课堂上对于老师的讲解，学生不仅仅只是会做，而且要经常思考；在思考方法指导时，要多思、勤思，随听随思。
4.“记”是指学生记课堂笔记。学生一般不会合理记笔记，通常是教师黑板上写什么学生就抄什么，往往是用“记”代替“听”和“思”。因此在指导学生作笔记时应要求学生：
（1）要结合教材来记，要掌握记录时机；
（2）记要点、记疑问、记易错点、记解题思路和方法、记老师所补充的内容；
（3）记小结、记课后思考题.使学生明确“记”是为“听”和“思”服务的。
三、课后数学学习方法指导
课后学习是数学知识应用和深化的关键过程，是学习的继续和深入.重视课后数学学习方法指导，可以达到知识结构严密化、记忆牢固、思维灵活多样、为学习新知识奠定基础、易产生新的联想等作用。
1.完成作业的方法
初中学生课后往往容易急于完成书面作业，忽视必要的巩固、记忆、复习。以致出现照例题模仿、套公式解题的现象，起不到作业的巩固、深化、理解知识的作用.那么就要求学生每天先浏览教材中所要学习的内容及笔记，回顾课堂讲授的知识、方法，同时熟记公式、定理。然后独立完成作业，解题后再反思。有能力的学生可以适当地进行一题多解，提高自己的发散思维能力。
2.课后复习巩固的方法
（1）适当多做题，养成良好的解题习惯.
我们都知道，要想学好数学，做一定量的题目是必需的，刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高学生的分析、解决能力，熟悉掌握各种题型的解题思路。让学生在解题时做到精力高度集中，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。
（2）细心地挖掘概念和公式
细心一点（由观察特例入手），深入一点（了解它在题目中的常见考点），熟练一点（无论它以什么面目出现，都能够应用自如）.
（3）总结相似的类型题目
当学生会总结题目，对所做的题目会分类，知道自己能够解决哪些题型，掌握了哪些常见的解题方法，还有哪些类型题不会做时，学生才真正的掌握了这门学科的窍门，才能真正的做到“任它千变万化，我自岿然不动”。
（4）收集典型错误和不会的题目
一旦学生开始收集典型错误题，学生就会发现，原来就是这一个错误反复在出现；过去他们认为自己有很多问题都不懂，现在发现原来就这几个关键点没有解决。那么就要求学生做题就像挖金矿，每一道错题都是一块宝贵的金子，只有挖掘、冶炼，才会有收获。
3.培养学生反思的习惯.
教师可以在课上先结合习题给以指导，给时间让学生进行反思，并对反思的结果进行交流，互相学习，不断提高学习反思的能力和自觉性。逐渐地，学生上完课后能够会反思了，也有了些主动性。
4.加强小结或总结的方法
从初一开始就应培养学生学会自己总结的方法。在具体指导时可给出复结的途径。要做到：
一看：看书、看笔记、看习题，通过看，回忆、熟悉所学内容；
二列：列出相关的知识点，标出重点、难点；
三做：有目的、有重点、有选择地解一些各种档次、类型的习题，通过解题再反馈，发现问题、解决问题。
四归：归纳出体现所学知识的各种题型及解题方法。
关键词：挖掘教材；提高；高中数学教学
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2014）07-0184-01
数学是中学的一门重要的的基础学科，它是学习其他理工科及经济各类专业的工具课，在中学基础教育中占有极其重要的地位，在当前高中数学教学中，多数数学教师的做法是搞题海战术，师生疲于奔命，效果甚微，题海战术不仅影响了数学学科教学，占用了大量的时间，还影响到其他学科教学，其原因时题海战术，教学的注意力放在习题的数量上，没有从习题的质量上严格把关，没有注重总结习题的类型，没有总结各类习题的解题规律，学生是机械游离于支离破碎的题海里，永远到达不了题海的岸边，学生的思维在机械的解题中禁锢了，我通过多年的教学实践，执着于这个科研课题，认为提高高中学教学，应抓纲务本，以《高中数学教学大纲》为导向，以教材为蓝本，挖掘课本资源，提高高中数学教学质量，本文谈谈如何高效地运用数学教材，提高数学教学质量。
1.研读教材和大纲，领会精神实质
《高中数学教学大纲》是我们教学的导向，它规定了教学要求和要达到的目的，清楚地指出了学生对知识掌握的能力要求，界定了高中数学教学重点和难点，我们在教学中不能停留在表面上的阅读，仔细研读，熟烂于胸，领会文字背后的精神实质，教材是在大纲的要求下编写，全面体现了大纲要求，是大纲精神的具体化，教材的编写不仅要参照大纲的要求，而且要根据学生心理、年龄特征确定了一个达到大纲的教学目的的最佳、可行的途径，教材的编写科学合理，都是经过众多的资深专家审阅发行教材，既考虑了学生的普遍性又考虑学生的特殊性。但是大多数高中数学教师，为了追求升学率，盲目地进行题海战术，忽视了对课本资源的开发，这是数学教学中的短见做法，本末倒置。所以教师一定树立教材和大纲的至上的教学理念。
2.全面展读教材，挖掘数学思想和培养学生数学思维
要挖掘教材资源，必须要研读教材，不能只满足于读懂为目的，要从教材中挖掘数学思想，如何将生活问题转入数学问题，如何在生活中发现数学问题，如何将数学思想和数学知识运用于生活提出问题、分析问题、解决问题，数学教材给予示范，吸取名家大师的智慧，深化、强化、活化数学思维，如何挖掘课本资源呢？
2.1 研究数学公式、定理的提出和证明。数学概念的提出是数学家长期观察生活，从生活中总结提炼出蕴含空间和数量规律，对生活中计算和推理起到实质作用，揭示了数学的本质特征，体现了数学家对数学直观观察和严谨求证伟大智慧，在数学教学中公式求证，要引导学生从求证背后洞察数学家的创新思维能力，比如三个函数的正玄定理：抓住实质揭示三角形边角关系，数学凭着对数学的特有直观感觉，进行数学猜想，通过严密推证得出结论：我们在教学中不能只满足于a/sinA=c/sinC=b/sinB（注：a、b、c是三角形的三条边，A、B、C是三角形的三个角），我在教学中引导学生从多度，探索出了三种证明的方法：（1）、三角形面积恒等法。（2）向量法。（3）、内接圆法。这样从不同角度思考问题，拓展了学生的思路，开拓了视野，把所学的知识融会贯通，提高了数学知识运用率，如果只是满足于结论的求出，很多数学思维的精髓就忽视中失去了，挖掘教材，把前后知识联系起来，才能打造高效的数学课堂，才能实质上提高数学能力。对数学概念深刻理解内涵和外延，如果在数学取消一个或几个条件，看看数学知识又如何演变。对教材中的定理，我们只满足于对概念的正面理解，还要看看它的逆命题是什么，否命题是什么，逆否命题，这几个命题成不成立，对数学公式要熟悉公式的各种变形，公式的正反两方面的运用，提高对数学公式的运用效率，这才是对教材真正研读，掌握数学的精髓。
2.2 重视课本的例题和习题研究。高中数学教材的例题就是讲的对本堂课所学的数学知识典型运用，解题方法很有示范作用，解题规范，数学思想灵活，逻辑严谨，多数教师只是讲过，没注重研究，教材的示例很符合学生认知规律，学生容易掌握，我们在指导学生做课本习题时，满足于学生把习题解出，在逻辑推理步骤不及教材严谨，我们在开发教材资源时，引导学生把习题分类，总结常用解法和特殊解法，比较解法的优劣，探索各类习题的联系，数学问题结构是如何演变的，理清问题之间的内部结构，对课本的习题尽可能探索多种解法，活跃数学思维，例如教材上要求证明：在三角形ABC中，A、B、C为三角角，a、b、为三边，求证：三角形S=absinC/2。三角形的面积等于任意三角形的两边与两边夹角正玄乘积的一半。在今后解题中可以作为定理用，提高解题效率。
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2009年第3期问题盛宏礼
北大,那人,那魂方春耕
关键词：高中数学；思维培养；学会问；以人为本
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2013）10-0154-01
数学学科是一门思维性很强的学科，如果学生对数学的学习只是按照过于死板的方式学习的话，肯定是学不好的，数学教学的实质就是在教师的引导下，通过数学思维活动的学习，逐渐培养自己的思维模式，并最后发展成为数学思维，使学生形成良好的知识结构，这就要求我们广大一线的数学教师在教学中，不但要重视最后的教学成果，更要重视学生数学思维的培养。
1.转变自身的思想观念
新一轮的课程改革，不仅在理论上更加与国际中学数学教育接轨，而且教学理念更先进、课程设计更科学，更有利于素质教育的大面积推进，这就需要在制定教学目标时，要体现以人为本的新理念，同时，要有利于教师与学生双方面的发展与成长，因此作为面临新课改的高中教师，我们一定要走出以往的经验主义误区，彻底转变思想观念，尽快使自己的教学思想"脱胎换骨"，真正融入数学教改中去，以新的教学理念去适应新的教育形势。
2.提高教师的自身素质
教师怎样提高自身素质呢？
2.1 合理定位教师角色，树立终身学习观念。当终身教育、终身学习成为生活的一部分时，学习成了适应社会发展的必要手段。因此，教师不仅要树立终身学习观念，而且要合理定位自身角色，在新形势下，"教师的职责已经越来越少地传递知识，而越来越多地激励思考；除了他的正式职责以外，他将越来越成为一名顾问，一位交换意见的参考者，一位帮助发现矛盾论点而不是拿出现成真理的人。
2.2 正确对待竞争与合作。竞争本是促进教师积极工作的动力，但过度竞争不利于教师间的团结合作、互相帮助，不利于教师间民主气氛的形成和发展，也会在一定程度上影响到教师的心理健康，间接影响教育教学质量。教师应该积极参加新课改专题研究活动，加强合作与交流，借助集体的智慧来提高自身素质。
3.建立良好的师生关系，关爱学生，增强学生的自信心
数学教师要加强与学生沟通，爱护学生，关心学生，做学生的知心朋友，帮助学生解决生活和学习上的困难，使他们对老师有较强的亲近感、友好感、信任感。当教师把更多情感灌注到数学教学中去，学生就比较容易接受所教的内容。建立和谐的师生关系，学生能够感受到老师的关爱，感受到老师的期待，容易激发学生的求知欲望。职高学生综合素质普遍较差，但是他们渴望进步，具有自尊心、进取心。因此教师只要对每一个学生献出爱心，工作耐心，充满信心，就会取得较好的效果，达到教学目标。教师在教学过程中，要做到教书育人，建立融洽的师生关系。
4.创新教学方式，提高学生学习兴趣
教师要培养学生具有探究合作精神。在教学过程中，教师是引导者、组织者，学生是学习的主体，因此教师要促进学生主动学习，要营造和谐、愉悦的课堂氛围，树立平等民主的师生关系。在传统的课堂教学，缺少应有的互动，教师一个人占有着课堂，信息的传输是单向的，这样就会出现教学效率低下，课堂气氛死气沉沉。教师要努力改变上述状况，应该加强师生互动，采取策略引导学生积极参与课堂活动，改变以讲授为主的教学方式。教师在练习的安排、教学过程的展开、问题情境的设计等过程中，要鼓励全体学生参与，构建出一种愉悦、和谐的教育环境。教师要有意识地尝试合作教学，通过分组操作、查缺互补、集体讨论等方式，锻炼学生的探索精神和合作能力。教师组织学生开展讨论时，要让学生敢于发表自己的看法，让学生充分发挥想象力，展现自己的才能。
5.关注结论推导过程和把握公式定理实质
学生的学习过程是一系列信息加工的过程。是学生认知结构的重组和扩大的过程，而不是单纯的知识积累的过程。数学学科的建立，遵循这样一条路径：人为假设制造出某些公理公理而推导出来原理原理而推导出来公式、定理构建起逻辑性和严密性都很强的学科知识体系。这就导致了数学教育具有两个基本特征：一是数学知识有很强的连贯性，每个知识点都不是孤立存在，它既是旧知的发展，又是新知的基础。二是数学的推理、演绎、归纳、概括是永恒的。让学生学好数学，应遵循数学知识的形成规律，遵循学生的认知规律。一般而言，学生容易接受直观的、形象的、具体的知识，而数学公式的符号化、数学定理的概括化，具有较强的抽象性和规范性，致使学生对准确把握公式、定理所表达的数量关系和运算程序难度较大。因此，在教学过程中，要解决这一难题，我们应关注数学结论的推导过程，引导学生运用已有知识去推导出新的结论，把符号化、规范化、概括化的公式定理纳入到学生已有的知识经验体系之中，成为看得见、摸得着、说得清的数学公式定理，让这些公式、定理运用自如，从而发展学生的数学学习能力。
6.提高课后练习的效率
关键词:高中数学 逆向思维 培养
逆向思维是正向思维的补充,在高中数学教学中,教师应当引导学生逆向思考问题,充分发挥创新能力,调动学生的积极性,扩大他们的思维空间。通过对学生逆向思维的培养,全面加强了学生思维的灵活性和敏捷度,使学生的思维品质和思维能力得到提高。
一、学生逆向思维意识的培养
逆向思维作为思维的一种形式,它克服了思维所具有的保守性,转变人们的思维方式,起到激发创新能力的作用。在高中数学教学中,教师对学生进行逆向思维的培养,首先要以知识作为首要条件,把逆向思维渗透到教学中去,让学生自觉地遵循这个原则。教师在教学过程中,要注意教材的逻辑顺序,由于各种原因,教材的顺序与学生所特有的心理顺序不一致,就会影响到学生的思维能力,使教学无法正常地开展下去。因此,教师在备课时候要充分考虑这个问题,把教材的章节和内容之间的思路理顺,找出矛盾之处,并加以分析。特别是一些章节存在学科之间联系的时候,教师则可以在授课的时候使其融会贯通在一起,便于学生理解。这样既能完善学生的知识结构,也能开阔他们的思维,从而激发他们学习数学的兴趣。
二、在数学公式中注重逆向思维
在现今的数学教学中,一般数学公式都是从左到右进行运算的,也有从右向左运用的时候,也可以说成是正向思维转变为逆向思维的方式。在许多的数学习题解答过程中,会不同程度的出现要求把公式和法则转换来进行解题,然而许多学生在解题时都缺乏相应的自觉性和基本功。因此,教师在数学教学过程中要全面培养学生逆向思维,让他们学习逆向应用数学公式和法则。在讲解完一个应用题或者公式以后,教师可以紧接着寻找一些关于公式逆向应用的例题给学生练习,使他们在练习中掌握逆向应用的方法,给学生留下深刻的印象。下次学生再遇到类似的问题时,可以自己独立解决。在三角公式中,逆向应用所涉及的方面很多,例如诱导公式的逆应用、三角函数关系公式的逆应用等等,这些公式在运算工程中,如果使用正向思考却只能解决一小部分,而使用逆运算则可以充分解决问题。因此,逆向思维在数学公式中的作用是非同小可的,它可以培养学生的思维能力,激发他们的学习兴趣,使学生的主观能动性得到有效的发挥。
三、利用逆向思维完善高中数学的教学方法
在高中数学的教学中,制订一套完整的教学方法是教师成功的关键。逆向思维中的反证法和逆推分析法则是培养学生逆向思维的主要方法。例如在一些几何命题中,教师往往用传统的方法让学生从所要证的结论入手,结合题目中所提到的已知条件和图形分析进行解答,使学生养成独立思考和解决问题的能力。其中反证法也是集中了这种思维方式,教师可以引导学生反向思维,例如一道题无法用正向思维的方式来解决,则可以反过来思维,假设问题不成立,通过层层分析来证明假设是错误的,从而来证明定理是成立的。在高中数学课上,教师在教学过程中,要不断加强学生的逆向思维训练,例如在一组逆向思维题中,教师引导学生对题目进行求证和转换,并把题目变成与原题相似的新题型,让学生能够充分开发自己的思维能力,去研究和解答问题。这种巧妙的逆向思维方法,可以帮助学生解决许多在学习当中无法解决的问题,教师在教学过程中,经常引导学生逆向思维,可以开阔学生的思维,使学生能够更为轻松地学习数学,有效地提高教学质量。
四、总结
关键词： 数学教学 逆向思维 能力培养
逆向思维是指从问题的相反方向着手的一种思维。笔者从教十几年，深感许多学生数学水平一直提不上来，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，拘泥于顺向、单向学习，死板套用公式、定理，缺乏创造能力、分析能力和开拓精神。因此，在训练正向思维的同时，加强逆向思维的培养，犹如周伯通之“左右互搏”，可有效改变其思维结构，培养思维的灵活性、深刻性和双向能力，提高分析问题和解决问题的能力。笔者在培养学生逆向思维方面积极进行了探索和尝试，获得了一定的成效，现归纳如下。
一、指导学生树立正确的数学学习观
很多学生，特别是那些处于中低层次水平的学生常问笔者：“老师，学习数学为什么？”显然，这个问题不解决，逆向思维能力的培养无从谈起。为此，笔者专门答复学生：“高考文理均考语、数、外三门功课，是因为上述三门功课能概括地表现一个学生的能力，语文是锻炼感性思维能力，外语是掌握工具，而数学是通过训练数学逻辑思维，进而培养严谨的理性思维能力。”
这个答复让学生耳目一新，笔者便趁机展开，着重谈思维能力的培养特别是逆向思维的培养，通过介绍逆向思维在日常生活、发明创造等方面的典型运用，激发学生浓厚的学习兴趣，为开展逆向思维的训练奠定基础。
二、帮助学生克服对正向思维的依赖
很多学生患有“正向思维”依赖症，拿到题目，条件反射先设“x”，列出方程后，埋头解方程，久之，解方程能力大大提高，但逆向思维能力严重不足，此类学生往往还自鸣得意，以为解方程乃“一招鲜、吃遍天”。
对此问题，笔者在挑选习题时，故意挑选些解方程难度大的，“逼”学生通过逆向思维解决问题，比如下面这道题：
第一天，往池塘中投入1单位面积绿藻，已知绿藻每过一天分裂一次（即池塘中绿藻第一天为1，第二天为2，第三天为4……），则第17天，该池塘正好布满绿藻，问何时绿藻布满池塘面积的1/4？
题目出后，很多同学不假思索地就设绿藻单位面积为“x”，池塘面积为“S”，意图通过解方程式x+2x+4x+…+216x=S，求出“x”与“S”关系后，再设所求天数为“y”，通过解方程式x+2x+4x+…+2x=（1/4）S，得到所求天数“y”。
显然，上述方程式十分繁琐，班级里几位解方程“高手”都束手无策，笔者见已达目的，从容解答：第17天布满池塘，那么第16天布满池塘的一半，第15天则布满1/4，符合题意。学生心悦诚服。
笔者通过类似“绿藻问题”，有效减少了学生对“正向思维”的依赖，加深了学生对“逆向思维”的理解。
三、采取各种方法开展逆向思维基础训练
培养逆向思维能力，夯实基础非常重要。逆向思维能力的提高，必须建立在对概念、定义、公式、定理深入理解的基础上，笔者在实践中主要侧重以下方面。
1.加强对概念、定义教学中反方向的思考与训练
数学概念、定义总是双向的，在平时的教学中，往往习惯了从左到右的运用，于是形成了思维定势，如果逆用则感觉很不习惯。因此在概念、定义的教学中，除了常规应用外，还引导学生反过来思考，使其能融会贯通，从而加深理解。
2.加强公式逆用的教学
数学公式可以从左到右，也可以从右到左，闪烁着“逆向思维”的光辉。因此，笔者注重数学公式的逆运用，当讲授完一个公式及其常规应用后，“趁汤下面”，即举一些公式逆应用的例子，以此为抓手，开展逆向思维教育，学生容易理解，也容易运用。
3.加强逆定理的教学
每个定理都有它的逆命题，有的逆命题成立，即为逆定理。如：平行线的性质与判定，线段的垂直平分线的性质与判定等，加深对定理的理解和应用，重视逆定理的教学应用对开拓学生思路、活跃学生思维大有益处。
4.结合证明题开展逆向思维训练
每一道证明题都是很好的逆向思维训练题，给出条件和结论，求过程。笔者习惯让学生从结论入手层层推导，直指已知条件。反证法是几何中尤其是立体几何中常用的方法。有的问题直接证明有困难，可反过来思考，假设所证的结论不成立，经层层推理，设法证明这种假设是错误的，从而达到证明的目的。
四、摸索“逆向思维”教学新方法
通过上述训练，许多学生形成了逆向思维习惯，但笔者在实践中发现，还是有部分学生不能随机应变，灵活选用适合题目的解题方法。还是上述“绿藻问题”，笔者稍作改动，很多学生就解答错误。
例如：上述“绿藻问题”中，题目改为：若第一天投入2单位面积绿藻，则何时布满水塘？
很多同学想当然，拿到题目，照例不假思索，投入面积为原来的两倍，时间自然为原来的1/2，回答8.5天。
其实，解法还是利用了“逆向思维”：
解法：已知第一天投1单位面积的话，第二天则分裂为2单位面积，……第17天布满池塘，按题意，可将第二天分裂的2单位面积看成第一天投的2单位面积，所以答案为17-1=16，答：第16天。
在应试教育的影响下，大部分高中数学教师认为学习数学知识更多为了应付考试，在这样的主观思维影响下，导致高中数学课堂教学氛围枯燥乏味。经过调查，当前高中学生之所以无法真正掌握分类讨论思想，最主要的原因是因为教师并没有对分类思想的内涵进行专门的讲解，更多的精力放在对知识本身的讲解。笔者认为高中数学的精髓还是在于让学生形成数学思想，学生一旦有了数学思想，其实很多数学问题都能迎刃而解。
一、教学设计上有意识体现分类讨论思想
分类讨论思想的应用能够让学生形成数学思想，而且分类讨论思想能够让学生在面对数学难题时能够快速找到突破口。因此，高中数学教师应该在教学设计上充分体分类讨论思想，尤其是要重视对分类讨论试题的优化。一般涉及到需要使用分类讨论思想的数学问题都比较复杂，比较难，学生在处理的过程上非常容易出错。教师需要在教学设计上不断优化分类讨论思想试题，同时还需要让学生明白一些数学试题不需要使用分类讨论思想，需要尽量避免。
例如：解不等式>3-2x。对本题进行解析：由于被开方数和算术平方根的非负性。而解决这个问题时会涉及到分类讨论的方法，通常的解法是分3-2x≥0和3-2x3-2x得到{x|x≤0}，其中补集{x|0
从上述数学试题来看，如果使用补集思想能够将题目更加简化。因此，我们在解题过程中需要注意分类讨论思想的应用，尤其要重视对分类环节的优化，从而避免不必要的分类讨论。
二、知识形成的过程中融入分类讨论思想
高中数学知识中有很多的数学公式、数学概念、数学定理以及数学性质，这些知识是学生解题过程中逻辑推理的主要依据。在平常教学汇总，教师要引导学生分析数学公式、数学概念、数学定理以及数学性质中所隐含的分类讨论思想。将分类讨论思想融入到数学概念形成的过程中，能够帮助学生更好地掌握数学概念。通常数学概念对其中的量有着对应的要求与限制，然而利用分类讨论思想则可以解决相关的问题。
因为数学概念本身引起的分类就比较多，如|a|分为a>0，a=0，a0，且a≠1）与对数函数的y=logax（a>0，且a≠1）可以分为a>1和0
高中数学教师可以在概念的形成过程中融入分类讨论思想。例如，数学的n次方根的定义中有关n的计算，要求偶次方根非负，在这里教??可以引入分类讨论思想。
解析：当n为奇数时，n=a，
当n为偶数的时，n=|a|=
有些数学定理、公式、性质其实都是分类给出来的，不同的条件下所给出的结论也不一样。
三、在习题教学中融入渗透分类讨论思想
高中数学解题讲究的是“三分审题，七分解题”。那么在不断“灌输”数学知识的同时，笔者认为教师还应该引导学生面对数学试题时应该如何去思考与分析。所谓审题就是对题目的信息进行研究，将关键信息提炼出来，其实这个过程还包括了对解题方法的选择。关于解决分类讨论思想类的问题时，很多教师习惯给学生各种各样的例子，让学生掌握对已知条件的分类方法。其实在很多情况下，都需要教师进行提点，在提点之后再让学生去独立观察与分析，一味举例只会让学生感觉到疲惫。
例如：从图形的不确定性引入分类讨论思想。在解决很多几何问题时，发现图形的形状、位置以及类型都没有办法确定，基于这样的情况其实就可以用到分类讨论思想。例如，二次函数对称轴位置的变化，还有函数图像形状的变换等等数学问题都可以用到分类讨论思想。
例如，已知tan a=，试求sin a，cos a，cot a。
解析过程：三角形的函数性质受到角的终边所在象限的影响，因此需要对角的终边在不同的象限情况中展开分类讨论。
tan a==>0
a则应试是地狱级或者第三象限角。
如果a是第一象限角，由tan a=知a终边上有一点P（3，4），则x=3，y=4，r==5
这是一种让学生通过多种释疑解难的尝试活动，将所学知识应用于解决实际问题的一种教学形式.这种方法特别注重培养学生的自学能力、探究问题的能力和创新思维能力，为学生终身学习奠定了基础，能够在“授之以鱼”的同时“授之以渔”.
高等职业教育的培养目标是为生产服务和管理第一线培养实用型人才，根据这个目标，高职数学课程的一个重要的任务，就是培养学生用数学原理和方法解决实际问题的能力.为此，在高职高等数学教学过程中，可以采用让学生主动参与教学过程的探究式教学法.其次，原本在微积分中的极限、导数、单调区间与极值、定积分等内容已经成为高中数学的基础知识，学生容易出现因为学过而轻视，还是不能真正理解的情况.因此，有必要通过一些探究式的设问，引导学生重新构建这些概念，以便于更好地理解.下面主要探讨探究式教学模式在高职机电类高等数学教学中的实践.
通过对我院2009、2010、2011级高职机电类开设高等数学课程的学生数学基础的调查分析，了解学生中学时对极限、导数、定积分等内容的掌握情况，分析整理新课改后学习高等数学所缺的内容，编写了基于问题解决的探究式教学的讲稿，并进行教学实践.
1.高职机电类高等数学的教学内容与探究式教学的方式
2.基于问题解决的探究式教学的实践
在高等数学教学中，通过设计合理的教学情境，通过探究式的设问，引导学生构建数学概念、定理和解题方法，让学生形成真正的、深刻的、灵活的理解，使数学知识中蕴含的思维方法转化为学生思考问题的工具.
（1）基于语义探究
有些数学概念可以“顾名思义”.通过挖掘数学概念、定理名称背后的含义，让学生探究概念、定理的详细内容.例如，邻域、最值定理、零点定理等，均能从字面含义探究详细内容.
（2）基于推理探究
实行新课改后，学生们基本上都没有学过反三角函数，而在高等数学的学习过程中，经常会涉及反三角函数的各类运算.在有限的课时内，无法详细介绍反三角函数的相关知识，只能教会学生从三角函数相关知识入手，利用反函数的性质进行推理，自我探究反三角函数的相关知识.
（3）基于公式探究
由于数学概念的抽象性和逻辑性特征，使得众多的数学概念符号化、公式化.因此在高等数学的教学中，应该注重学生数学语言运用能力的培养，引导学生利用数学公式来探究数学概念.例如极限的概念、连续的概念、导数的概念等的教学，都可以借助几何图形，通过探究式的设问，引导学生分析推理出概念表达式，在公式的基础上探究数学概念语言.
（4）基于图形探究
几何图形具有直观性.中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与函数在该区间内某一点的导数之间的关系，是用微积分学知识解决应用问题的基础，同时也是学生较难理解的内容.在教学中，可以通过探究式的设问，引导学生通过观察函数图形得出一些结论，再将这些结论整理成为罗尔定理的条件和结论，在分析探究中让学生完成定理的构建和证明过程.
（5）基于例题探究
有些例题的求解，包含了利用已有知识、加入特殊方法、分析推理探究出新方法的过程.例如复合函数求导法则、第一换元积分法、拉普拉斯变换等，都可以从例题的分析求解入手，通过探究式的设问，引导学生自己探究新方法.
（6）基于思想探究
定积分体现了“近似代替，累加求和”的思想，是定积分应用的思想根源.在教学中，可以基于定积分思想让学生探究求不规则图形面积、旋转体体积、弧长、变力做功等问题的方法.
