时间：2023-06-16 16:06:58
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇初三数学概率，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
如何做好考前复习，以便学生在复习中做到心中有数，提高复习应考效率呢？
一、中考试卷特点
1.试卷注重基础，体现了基础性和普及性特点
试题全面考查了学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度，内容涵盖了课程标准的全部一级知识点和主要的二级知识点，如数与式、方程与不等式、函数、角、相交线与平行线、三角形、四边形、圆、变换、坐标、证明、概率与统计等主要内容，通过选用恰当的数学知识，考查了数形结合思想、分类思想、化归思想、统计思想、随机思想，以及待定系数法、由特殊到一般的思想方法等初中主要的数学思想方法.
2.试题呈现形式简洁
近几年整卷的文字量比往年减少了很多，题目表述语言简练，干净利索，更多的使用了图形语言，体现了数学考试的特征与测量要求的一致性.使考生避免了阅读量过大而带来的解题障碍或无关信息的干扰，尤其使那些学困生有信心读题，从而给考生留有更多的思考时间，做出准确的解答.
3.专项试题突出能力
近几年试题设计精心，立意凸现了对中学数学的通性通法的重点考查.体现了转化的思想，考查了归纳思想，考查了数形结合的思想，考查了函数思想，用运动变化殊数量关系寻找的研究.这使得整套试卷突出能力立意，试题立意新颖，为初中数学教学指明了方向.
4.注重试题的探究性，关注数学活动过程的考查，倡导研究性学习
试题通过设置观察、操作、探究、应用等方面的问题，给学生提供了一定的思考研究空间，较好地考查了学生在数学思考能力和数学活动过程等方面的数学素养，力求通过不同层次、不同角度和不同视点的设问，实现对数学思想方法不同程度的考查，考查学生能否独立思考、能否从数学的角度去发现和提出问题，并加以探索研究和解决，体现了数学课程标准所倡导的学习方式和教学方式.
二、中考试卷中的重难点分析
（1）初三《代数》包括一元二次方程、函数及其图象和统计初步三章内容，其中一元二次方程一章的主要内容为：一元二次方程的解法和列方程解应用题，一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，以及与一元二次方程有关的分式方程的解法；重点是一元二次方程的解法和列方程解应用题；难点是配方法和列方程解应用题；关键是一元二次方程的解法.函数及其图象一章的主要内容是函数的概念、表示法、以及几种简单的函数的初步介绍；重点是一次函数的概念、图象和性质；难点是对函数的意义和函数的表示法的理解；关键是处理好新旧知识联系，尽可能减少学生接受新知识的困难.统计初步一章的主要内容和重点是平均数、方差、众数、中位数的概念及其计算，频率分布的概念和获取方法，以及样本与总体的关系.
（2）初三《几何》包括解直角三角形和圆两章内容，其中解直角三角形一章的主要内容为锐角三角函数和解直角三角形，也是本章重点；难点和关键是锐角三角函数的概念.圆一章的主要内容为圆的概念、性质、圆与直线、圆与角、圆与圆、圆与正多边形的位置、数量关系；重点是圆的有关性质、直线与圆、圆与圆相切的位置关系，以及和圆有关的计算问题；难点是运用本章及以前所学几何或代数知识解决一些综合性较强的题目；关键是对圆的有关性质的掌握.
（3）初三《代数》和《几何》是初中数学的重要组成部分，通过初三数学的教学，要使学生学会适应日常生活，参加生产和进一步学习所必需的数学基础知识与基本技能，进一步培养学生的运算能力、思维能力和空间想象能力，能够运用所学知识解决一些实际问题.本册教材包括几何部分《证明（二）》，《证明（三）》，《视图与投影》.代数部分《一元二次方程》，《反比例函数》，以及与统计有关的《频率与概率》.
我认为初三数学学习的难点是几何和函数，几何一般是关于圆的，函数是二次函数，当圆和函数结合在一起的时候就非常难了，但这一般是出现在最后一道题里.由于新课标对于圆的知识和难度有所削减，所以中考这种题不会太难，而且近几年来难度确实有所降低，一般来看，将三角形和平行四边形的知识与二次函数结合训练应该作为重点.
一般根据考点，确定13个专题组织复习：（1）代数综合题；（2）几何综合题；（3）面积问题；（4）图形的认识和图形变换；（5）代数与几何综合题；（6）开放探究性问题；（7）数学思想与数学方法；（8）阅读理解与学科整合；（9）动态几何；（10）实际应用问题；（11）统计与概率；（12）易错易漏解分析；（13）选择题解法与应试技巧.
关键词：思维；主线；问题
一、教学背景
本节课初三复习课，从内容上讲，对初中三年六册课本中的概率部分内容进行有效整合，力图提炼出一条引导学生初步认识概率的主线，在这条主线的引领下，努力使学生对概率的定义、常见的概率模型、常见的计算概率的方法、统计与概率之间的联系有整体性的认识。能在具体背景下正确理解概率的意义，并能利用概率知识解决一些关于游戏公平性的问题。
从教学方法上讲，以问题串衔接各部分知识，从方法回顾到实际应用，以师生互动、生生互动为主要特色。
二、教学过程
（一）展示复习课题：《事件与事件的概率》
师：今天我们将要复习初中数学中的一块重要内容――事件与事件的概率，看到这个课题，你会想起什么呢？
（学生思考片刻，有人回答想到了随机事件。这里的问题具有一定的开放性，学生无论想到什么都是对概率知识整体性的回顾。）
师：不妨来看这个问题：考察下列事件，想一想它们发生的机会大小。①地球绕着太阳转；②买一张彩票，正好中500万大奖；③抛一枚普通的正六面体骰子，出现7点朝上；④袋中有2红1白三个球，任意摸2个，必有红球；⑤走出校门，看到的第一辆汽车的车牌照的末尾数字是偶数。
师：给它们分类合理吗？说说你的分类标准。
生1：分三类：①④都是必然事件，②⑤都是随机事件，③是不可能事件。
师：如果希望你分为两类，你怎么分呢？
（学生沉思，继而，有人站起来）
生2：老师，可以分为①③④都是确定事件，②⑤都是不确定事件。
其他学生恍然大悟。
（这个问题的设计，自然而然回顾了随机事件即不确定事件，确定事件即不可能事件与必然事件的概念，通过学生的争辩，对必然事件与确定事件这两个易混淆的概念，进行了有效的辨别。）
（二）研究概率大小的常用方法：1.实验估计法；2.理论预测法
师：在这些事件中我们对什么比较感兴趣？当然是随机事件发生的机会有多大，“机会”的大小在数学中就叫“概率”。那么怎样来研究一个随机事件的概率呢？有哪些方法呢？请想一想。
（这里无需学生回答，也不必自问自答，问题的设计在于启发学生大脑回顾旧知，调集关于求概率的方法。）
师：第一种方法藏在问题1的解答中，请看：
问题1：小明和小亮做游戏，他们先在地上画了两个同心圆，（如图），然后蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小明赢，否则小亮赢，未掷中圈内不算。下表是统计的一组数据。
（1）计算并完成上表；
（2）估计当m很大时，落在“阴影”的频率将稳定在多少。
（3）小明、小亮获胜的机会分别约为多大。
师：（1）请各小组合作，快速计算结果，填表；
（2）观察最后一行数据，你发现了什么？请你估计当m很大时，落在“阴影”的频率将稳定在多少。
（3）说说怎么得知小明、小亮获胜的机会。
师追问：“频率”与“概率”是一回事吗？如果不一样，那两者有什么联系呢？
生4：“频率”与“概率”意义不一样，但借助频率可以估计概率，用大数次实验的频率稳定值来估计它发生的概率。
（这个问题的设计旨在让学生感受统计的意义，能通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率；了解用频率估计概率的必要性和合理性，培养学生的理性精神。由于不受列举法求概率两个条件的限制，所以用频率估计概率的方法更具一般性与普遍性，适用范围更广。）
（关于直接枚举法，课本并未具体介绍，但书后习题出现此类问题，故有必要让学生了解，进而自己去辨别，选取合适的方法解题。）
例2.你还记得吗？七年级的时候我们曾做过一个拼图片的活动，将三张颜色不同的图片对开剪成6张小图片，闭上眼睛随机抽2张，求它们正好拼成原图的概率。当时我们通过反复实验，发现正好拼成原图的频率稳定在0.2左右。请通过理论分析解释，为什么频率会稳定在0.2附近？
（这个问题的设计，让学生体会到，无论是实验估计还是理论分析，都是确定概率的方法，两者是相辅相成，相得益彰的。实验为理论提供了证明的依据，理论的支撑来源于实验，使学生对概率计算方法有了整体性了解，避免支离破碎地理解概率和生搬硬套地应用。）
（4）若小吴在小周掷过骰子后再掷，小吴可能得到玩具吗？若能，小吴第二次掷到玩具的概率是多少？
（5）现在数字6的格子里放的是足球，小吴和小周都想得到它。若小吴在小周掷过之后再掷，那么这个游戏对双方公平吗？为什么？（这里渗透游戏的公平性问题，即双方赢的概率是否相等。）
（游戏是学生喜闻乐见的活动方式，游戏契合了学生的好奇心理，学生们跃跃欲试。由于概率的本质是随机性，将概率的应用设计于游戏之中，再恰当不过了。学生在游戏中体会概率的意义，对随机性的体会非常深刻，至此课堂气氛达到。）
另外，对问题（4）的解答，需要学生有一定的理解题意的能力和一定的化归能力。掷出什么情况小吴就得到玩具了呢？这要受小周掷出的数字的影响，当小周、小吴两个人掷出的数字之和为4或8时，小吴就能得到玩具。这样，小吴第二次掷得到玩具的概率值的大小问题就转化为：掷两枚骰子，求点数之和为4或8的概率值问题。由于解题之前，学生有充分的时间参与游戏，领会游戏规则，故在解决较为复杂的问题（4）时，能够自然地将复杂问题有效进行转化，进而顺利解决问题。
对问题（5），顺势设计游戏的公平性问题，学生感到自然而然，毫不生硬，至此，学生对初中阶段概率部分的主体内容有较为全面整体的认识。
三、教学反思
一节酣畅淋漓的课堂，教师与学生内心产生强烈共鸣，师生同乐，这应该是为师者的最大快慰。上完本节课，学生脸上面带微笑，教者的内心也充满着快乐，一节枯燥的初三复习课，之所以能有这样的效果，我想得益于以下几个方面的努力。
（一）深入研读课程标准，整体把握教材内容
当代美国著名数学家哈尔斯说：“学数学，就是要理解一种结构。”从《义务教育数学课程标准（2011年版）》对第三学段统计与概率内容目标的描述中，我们可以看到统计的课程内容有9条，概率的课程内容只有2条。因此，在初中阶段，统计在课程中所占的比例远远大于概率。在日常教学中，应正确认识概率、统计在初中的定位。概率课程要求通过了解简单的随机事件，形成对随机现象的初步认识，知道简单随机事件可能的结果及频率与概率之间的关系，掌握古典概型及几何概型的概率计算公式。
（二）设计思维主线，以问题贯穿始终
哈尔斯还说过一句经典：“问题是数学的心脏。”对课程标准中初中阶段概率内容及目标的整体把握，是本节课问题设计的核心。从事件的分类到问题1的投掷圆环到问题2的筹码游戏，都是对概率的基本概念、基本计算方法的回顾。对经典例题1的回顾，设计了两次变形，使学生对游戏规则有准确的理解，对经典例题2的回顾，再次让学生感受到统计与概率的密切联系，体会到两种计算概率方法的和谐统一。另外，在提问时，应设计开放性的问题，如，“你可以给它们分分类，说说你的分类标准？”这样才没有限制学生的思维，给学生创设一个自由的空间，学生在这个空间中可以按自己的方式展开想象，才能畅所欲言。
【关键词】初三；数学；考前复习
孔子曰：“温故而知新，可以为师矣。” 初三数学复习是初中数学教学的重要组成部分，复习不只是简单的重复，加强记忆，而是深化认识，从本质上发现数学知识间的联系，提高学生的数学素养，数学应用能力。如何扎实抓好初三复习，仁者见仁，智者见智，以下谈谈本人的粗浅看法，以便砖引玉。
一、制定行之有效的数学复习计划
制定行之有效的数学复习计划，是搞好初三数学复习的关键。制定复习计划时要结合学生的实际情况，认真钻研教材，确定复习重点，制定切实可行的复习计划，并且在实施计划的过程中，可以根据计划实施的效果不断改进复习方法。一般复习计划要经过3轮复习，如全面复习、专项复习和针对性补缺补差复习。第一轮全面复习，以课本为基础，全面复习基础知识，加强基本知识与基本技能的训练。这个阶段的复习目的是让学生全面掌握初中数学基础知识，提高基本技能，记牢所有的公式、定理，掌握解各类试题的基本方法。这阶段一定要以课本为中心，进行系统的单元复习，打好基础。教师在教学时，面向全体学生，因材施教，不搞题海战术，精讲精练，举一反三。第二轮复习，以专题训练为主，加强学生综合应用知识，分析解决问题能力培养。是在第一轮的基础上，总结方法，查缺补漏，学习集中在难点、重点、热点的内容上，侧重培养学生的数学能力和思想方法。对各类题型进行专题复习，如“应用性的函数题”、“不等式应用题”、等类型，让学生熟悉、适应各类题型。第三轮复习主要是通过做模拟试题，检查学习效果，发现不足之处，进行补缺补差。在这一阶段中，重点针对中考进行适应性训练。强化学生对知识的掌握和训练答题速度、节奏、应试心理等方面的经验积累，训练学生的考试能力，增强得分能力。给学生模拟的试卷要有难度，批阅试卷要及时，是在批改完试卷后，教师要认真分析试卷，发现问题并解决问题。
二、依据教材总结归纳数学知识点构建知识结构
在进行总复习时，一定要立足教材，总结归纳数学知识点，引导学生理清知识体系，帮助他们建立起初中数学基础知识的网络。由知识的结构人手，将复习中重点放在理解概念、弄清定义、掌握基本方法上。引导学生对每个章节知识进行系统归类，弄清内部结构，然后让学生通过恰当的训练，加深对概念的理解、结论的掌握、方法的运用和能力的提高。总结归纳知识点时，要注意对基础概念的总结，复习时还要注意到知识的纵横联系，将各部分知识串在一起，弄清它们之间的共同性和区别，弄清它们的联系，可使对知识的学习深人一步。因此，复习时除按课本章节顺序进行外，还可将知识按整体脉络进行归类总结。如初三下学期所学的主要内容有：整式的运算、平行线与相交线、生活中的数据、概率、三角形、变量之间的关系、生活中的轴对称等知识。这些知识既有数，又有形，都是今后学习其他知识的基础。
三、选择典型试题归纳解题方法
在数学复习课教学中，挖掘教材中的例题、习题，选择典型试题，分析试题中的条件和方法，可以“以点带面”，使学生举一反三，触类旁通。目前，“题海战术”的普遍现象还存在，学生整天忙于解题，没有时间总结解题规律和方法，这样既增重学生负担，又不能使学生热练掌握知识灵活运用知识。其实很多复习试题的解题方法和所运用的知识完全相同，如果掌握它们之间的内在联系，遇上形式稍为变化的题，可以举一反三。这就要求我们教师在讲解中，应该引导学生对有代表性的问题进行灵活变换，使之触类旁通，培养学生的应变能力，提高学生的技能技巧，总结解题规律，提高复习效率。初中数学教材中出现的数学方法有很多，如换元法、配方法、图象法、解析法、待定系数法、分析法、综合法、分析综合法、反证法、作图法等，复习时可以采用多种题型进行变换，对学生进行训练，通过训练让学生灵活运用解题方法。
四、联系生活强化数学方法的应用
由于应用意识、创新精神和实践能力，是21世纪合格公民的必备素质。所以我们要立足于掌握和巩固基本知识和技能的同时，还要重视学生的数学学习结果，关注学生数学学习过程，既关注学生思维水平，同时还关注学生的数学活动，关注身边的社会实际，社会热点，学习用所学知识和技能去解释，理解社会和周围发生的事物，提高综合运用能力，分析和解决实际问题的能力。如深圳市南山区中考试题第23题，某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一:(A)计时制:0.05元/分:(B)包月制:50元/月(限一部个人住宅电话上网)，此外每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分。1.请你分别写出两种收费方式下每月应付费用y(元)与上网时间x(小时)之间的函数关系式。2.某用户估计一个月内上网的时间为20小时，你认为采取那种方式较合算?本题是考查学生在特定的数学活动中，通过分析去解决日常生活中所熟悉的电话拨号入网收费问题。
总之，在初三数学的复习中，要依据教材，制定行之有效的复习计划，要帮助学生归纳总结知识点，注意解题的多样性，重视分析比较各种解题思路和方法，提炼出最佳解法，要关注社会强化应用，开发学生的思维空间，真正培养学生的数学素养。
【参考文献】
[1]教育部《初中数学课程标准》
[2]程连松.新课程标准下如何实施初三数学复习,池州师专学报.2005.10
当一个人进入社会之后，还要在工作中不断学习新的知识和技能，这时候，一个人学习效率的高低则会影响他（或她）的工作成绩，继而影响他的事业和前途。那么你们知道关于初三上册期末数学复习资料范文还有哪些呢?下面是小编为大家准备初三上册期末数学复习资料范文，欢迎参阅。
初三上册期末数学复习资料章一
1.通过猜想，验证，计算得到的定理：
（1）全等三角形的判定定理：
（2）与等腰三角形的相关结论:
①等腰三角形两底角相等（等边对等角）
②等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（三线合一）
③有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
（3）与等边三角形相关的结论：
①有一个角是60°得等腰三角形是等边三角形
②三个角都相等的三角形是等边三角形
③三条边都相等的三角形是等边三角形
（4）与直角三角形相关的结论：
①勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
②勾股定理逆定理：在一个三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形
③HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等
④在三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半
2.两条特殊线
（1）线段的垂直平分线
①线段的垂直平分线上的点到线段两边的距离相等
互为逆定理{
②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
③三角形的三条垂直平分线交于一点，并且这一点到这三个顶点的距离相等
（2）角平分线
①角平分线上的点到这个角的两边距离相等
互为逆定理{
②在一个角的内部，并且到这个角的两边距离相等的的点，在这个角的角平分线上
3.命题的逆命题及真假
①在两个命题中，如果一个命题的条件与结论是另一个命题的结论与条件，我们就说这两个命题互为逆命题，其中一个是另一个的逆命题
②如果一个定理的逆命题是真命题，那么他也是一个定理，我们称这两个定理为互逆定理
③反正法：从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件，定理相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，使命题获得了证明
初三上册期末数学复习资料章二
1.平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
性质定理:
（1）两组对边分别相等
（2）平行四边形对角相等
（3）对角线互相平分
判定定理：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2.等腰梯形
定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形
性质定理：
（1）同一底上的两个角相等
（2）等腰梯形的对角线相等
判定定理：
（1）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（2）两条对角线相等的梯形是等腰梯形
定理：夹在两条平行线中间的平行线段相等
3.三角形和梯形的中位线：
（1）三角形的中位线
定义：三角形中任意两边中点的连线，叫三角形的中位线（三角形有三条中位线）
性质定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半
（2）梯形的中位线
定义：梯形两腰中点的连线，叫梯形的中位线，梯形的中位线平行于上底下底
性质定理：梯形的中位线等于上，下底之和的一半
4.矩形→特殊的平行四边形
定理：一个角是直角的平行四边形是矩形
性质定理：
（1）矩形的四个角都是直角
（2）矩形的对角线相等
判定定理：
（1）三个角都是直角的四边形是矩形
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
推论：直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半
逆定理：如果一个三角形中，一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
5.菱形→特殊的平行四边形
定义：一组邻边相等的的平行四边形是菱形
性质定理：
（1）菱形的四条边都相等
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条线平分一组对角
判定定理：
（1）四条边都相等的四边形是菱形
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
面积计算：菱形的面积等于其对角线乘积的一半
6正方形→特殊的平行四边形
定义：每一个角都是直角，并且邻边相等
性质定理：
（1）正方形的四条边都相等，四个角都是直角
（2）对角线互相垂直，平分，相等，并且每一条对角线平分一组对角
判定定理：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形
（2）一组邻边相等的矩形是正方形
（3）对角线相等的菱形是正方形
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形
7.连接四边形各个中点得到
（1）依次连接任意四边形各边中点能得到平行四边形
（2）依次连接平行四边形各边中点能得到平行四边形
（3）依次连接菱形各边中点能得到矩形
（4）依次连接矩形各边中点能得到菱形
（5）依次连接正方形各边中点能得到正方形
第四章视图与投影
1.三视图
主视图左视图
俯视图
（1）主视图与左视图要高平齐
（2）主视图与俯视图要长对正
（3）俯视图与左视图要宽相等
2.投影
①平行投影
②中心投影
视点，视线，盲区
第五章反比例函数
1.定义：y=-（k≠0）
xy=k（k≠0）
y=kx-1（y≠0）
2.性质：y=-（k≠0）
①k>0时，图像在一，三象限，并且在每个象限内y随x增大而减小
②k<0时，图像在二，四象限，并且在每个象限内y随x增大而增大
3.会与一次函数相结合
一次函数：y=kx+b（k≠0）
性质①k>0时，y随x的增大而增大
②k<0时，y随x的增大而减小
b:在y轴上的截距
第六章频率与概率
1.理论概率
（1）只涉及一步试验概率
多次试验得到的试验频率就等于理论概率
（2）涉及两步试验
①树状图
②列表法
（3）试验做估
初三上册期末数学复习资料章三
1.一元二次方程：只含有一个未知数X的整式方程，并且可以化成aX?+bX+C=0（a≠0）形式称它为一元二次方程
aX?+bX+C=0（a≠0）→一般形式
aX?叫二次项bX叫一次项C叫常数项a叫二次项系数b叫一次项系数
2.一元二次方程解法：
（1）配方法：（X±a）?=b（b≥0）注：二次项系数必须化为1
（2）公式法：aX?+bX+C=0（a≠0）确定a，b，c的值，计算b?-4ac≥0
若b?-4ac>0则有两个不相等的实根，若b?-4ac=0则有两个相等的实根，若b?-4ac<0则无解
若b?-4ac≥0则用公式X=-b±√b?-4ac/2a注：必须化为一般形式
（3）分解因式法
①提公因式法：ma+mb=0→m（a+b）=0
平方差公式：a?-b?=0→（a+b）（a-b）=0
②运用公式法：{
完全平方公式：a?±2ab+b?=0→（a±b）?=0
③十字相乘法
例题：X?-2X-3=0
1\/111
×｝X?的系数为1则可以写成{常数项系数为3则可写成{
1/\-31-3
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统计易混易错点1：调查的原则把握不准
何时选择“普查”，何时选择“抽样调查”，选择“抽样调查”的原则是什么？不少同学比较模糊，我们结合例1来看：
例1 小明所在的班级有52名同学，就“是否喜欢看足球比赛”这一问题，小明调查了班上的24名男生，其中12人喜欢，于是小明得出结论：我们班喜欢观看足球比赛的人数占全班人数的一半.你同意小明的结论吗？试说明理由.如不同意，你认为应该怎样改进抽样的方法？
对于这样的问题，不少同学根据做题经验，能够判断小明的结论不正确，不同意小明的结论.但要说明如何改进抽样方法，则无从下手.原因在于对抽样调查方式的原则把握不准.我们做抽样调查时应把握两个原则：一是抽取的数据要随机，有代表性；另一个则是要注意抽取的数据不宜过少，要有一定的普遍性（广泛性）.这里小明之所以结论有误，是因为小明抽取的数据主要来源于对男生的调查，过于片面，数据不具有代表性.因此要改进则需在保证一定数量（20人左右）的基础上随机抽取男女生进行调查.
统计易混易错点2：平均数、加权平均数的概念不清
例2 九年级（1）班和（2）班的人数分别为38人和42人，在一次数学测试之后，两班的数学平均成绩分别为81分和83分，则两班同学本次数学测试成绩的平均数是： 分.
一些同学在解决这个问题的时候审题不仔细，草率地进行了如下计算：[81+832]=82（分），而正确的计算则需要先求出两个班级的本次测试数学成绩总分，再除以其总人数，进而求得：[81×38+83×422]=82.05（分）.
统计易混易错点3：数据分析对象不明
我们发现在不少统计题中会以表格形式呈现数据，而这样的呈现方式又常常会让一些同学对要进行处理的数据对象分析不明，如例3.
例3 某班学生理化生实验操作测试成绩的统计结果如下表：
求这些同学成绩的众数、中位数和平均数.
题目看起来简单，不过一些同学把15作为“众数”的答案则是错误的，这里的数据的分析对象是“理化生实验操作测试成绩”，而不是“人数”，不能看到“人数”为15，一对比是最多，就把15作为众数，而应该是其人数对应的“9分”为众数.
统计易混易错点4：统计图表理解不深
统计在很多中考试题中会结合图表呈现数据，因此读图看表的能力是我们解决此类统计题的基础.读图看表一般需要关注：图表名称、图表中的数据对应关系、图表中需画或填的要求等.
例4 中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中的信息，写出扇形图中a= %，并补全条形图.
这里只呈现这个统计题的一个问题要求，这个要求里需要计算a并“补全条形图”.一些同学理解不深，对图表的对应关系分析不到位，在计算出a之后或是画错条形高度，或是漏画所缺条形.这里需要在计算出a=25%之后，结合扇形统计图的百分比和条形统计图的具体值先计算出总人数为200人[2010%=200（人）]，再根据总人数和测试成绩为6个对应的百分比求出引体向上拉到6的人数为50人，进而补全条形统计图.
统计易混易错点5：实际解释脱离数据支撑
在一些中考试题中，统计题常常会与实际问题相结合，从而考查同学们运用统计知识解决或解释实际问题的能力，渗透应用意识.如在例4中设置问题：根据图表提供的信息，请你提出一条合理化的建议.这里所谓合理，不是简单地说“要加强锻炼”或者“有多数同学已经合格，还有不合格的同学要继续练习”等这样泛泛而谈的建议，应基于数据说话.
统计易混易错点6：统计中数学思想理解欠缺
很多中考统计题中都会渗透数形结合思想、模型思想、样本估计总体和分类思想等，在解决问题中需要我们留意这些数学思想，避免解决问题时出错，如下例.
例5 已知一组数据1，2，3，4，x的极差是4，求这组数据的平均数.
这道题乍一看很简单，极差就是用最大值减去最小值，有的同学答案就是x-1=4，x=5，然后求得平均数为3.他们忽略了一点就是x在此题中并没有说明到底是最大值还是最小值，所以需要分类讨论.除了上述这一种情况，还有一种情况就是x为最小值，即4-x=4，x=0，然后求得平均数为2.因此本题答案应该有两个，即2和3.
概率易混易错点1：判断事件性质时用特例代表常态
中考试题中，有一些考题会涉及对生活中事件的性质判断，常以选择题形式出现.即事件是否属于不确定事件，或是否属于必然事件和不可能事件.我们在考虑这些事件的属性时应以常理常态进行考虑，非常理和常态的特例不能作为判断事件性质的依据.
例1 下列事件是必然事件的是（ ）.
A.打开电视机，正在播放动画片
B.2008年奥运会刘翔一定能夺得110米跨栏冠军
C.某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖
D.在只装有5个红球的袋中摸出1个球，是红球
少数同学会误选A，问其缘由，认为家里电视上一次关机的时候是动画频道，且这次打开电视正好是动画片的播放时间段，所以是必然事件.这里的理解就是以特例代表常态，错误地对一般性事件进行判断.
概率易混易错点2：事件发生的所有可能结果具有等可能性判断有误
例2 一个不透明的盒子中装有3个大小相同的乒乓球，其中1个是黄球，2个是白球.从该盒子中任意摸出一个球，摸到的球有几种等可能情况？
一些同学会错误地认为盒子中有两种颜色的球，所以摸出的球就是两种情况，即：红球和白球.本题需要分析的是摸到几种等可能情况，正确的答案应该是摸到三种等可能情况，即红球，白球1，白球2.
概率易混易错点3：求随机事件概率中“放回”和“不放回”分析不清
例3 北京2008年奥运会吉祥物“福娃”是“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”：将5张分别印有5个“福娃”图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片.求下列事件发生的概率：
（1） 取出2张卡片图案相同；
（2） 取出2张卡片中，1张为“欢欢”，1张为“贝贝”；
（3） 取出2张卡片中，至少有1张为“欢欢”.
求例3中的各事件发生的概率，需要关注所取的两张卡片是如何取的，原题中描述为取出一张记录后放回，这样总的所有可能结果就是25种；如果题目改为抽过的卡片不放回，则总的所有可能结果则减少到20种.在不放回的题目条件下，三个事件发生的概率分别为：P（图案相同）=[15]，P（欢欢、贝贝）=[225]，P（至少有一张欢欢）=[925].
概率易混易错点4：求随机事件概率的方法舍本求末
在分析简单随机事件所有可能结果并计算指定事件发生的概率的时候，我们常用直接列举、列表法和画树状图等方法来分析所有发生的等可能结果.由于使用列表法和画树状图法的频率较高，久而久之，很多同学淡忘了直接列举法，看到题就列表或画树状图分析.而当遇到一些列表和画树状图分析比较困难的题目的时候，往往无从下手.
例4 （2016・南京）某景区7月1日～7月7日一周天气预报如下.小丽打算选裾馄诩涞囊惶旎蛄教烊ジ镁扒旅游.求下列事件的概率：
（1）随机选择一天，恰好天气预报是晴；
（2）随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴.
关键词： 生趣 激趣 藏趣 增趣
兴趣是最好的老师，培养和激发学生的学习热情、使学生产生浓厚的学习兴趣，不但能使学生学好数学，而且还能有利于学生的终身发展，成就孩子们的未来。而教师是文明的传承者、是爱的使者。离开了情感，一切教育都无从谈起。我们要用满腔的热情、宽广的胸怀，唤起学生的学习兴趣、激发他们的学习激情，赢得学生的信任和全身心的参与。从尊重、理解、信任学生出发，合理运用目标激励、情感染化、赏识引导、情景诱导等方式，让孩子在爱的感召下，调动情感体验，真正爱上数学学习。
我认为，学生喜欢某一学科的学习，在很大程度上与他喜欢的那位老师有关。当学生喜欢哪位老师时就喜欢上他所教的课，在课堂上就感到老师讲授的内容生动有趣，以一种积极兴奋的情感去学习。教学实践表明，学生如果对数学知识充满好奇心，对学会知识有自信心，那么他总是主动积极、心情愉快地进行学习。因此，在数学课堂教学中，我们要时刻注意发掘教材蕴涵的智力因素，审时度势，把握时机，因势利导地为学生创造良好的教学情境，激发学生的兴趣，让学生在学习数学中愉快地探索。下面就学生学习数学兴趣的培养，谈谈笔者的见解。
一、让课堂成为激发学生数学学习兴趣的主阵地。
（一）导入要生趣
俗话说：“良好的开端是成功的一半。”一堂课的开头虽然只有短短几分钟，但它却往往影响一堂课的成败。因此，教师必须根据教学内容和学生实际，精心设计每一节课的开头导语，用别出心裁的导语来激发学生的学习兴趣，让学生主动地投入学习。如九年级苏科版中“概率的简单应用随机事件”一课的引入部分，我先要求学生拿出自己预先准备的一枚硬币抛在桌面上10次，来计算正面朝上的概率。通过全班学生的试验与计算使学生懂得了硬币正面朝上的事件是随机事件，各自试验的结果不一定相同，这是为什么呢？这时学生都感到惊奇，教师的答案怎么和他们计算的答案不一致呢？继续增加抛掷次数“探个究竟”的兴趣因此油然而生。
（二）进程需激趣
导入产生的兴趣仅使学生产生了新鲜感，那成功之路，至多只行了一半。还需要在讲授新课中适时地激发学生的兴趣，恰到好处地诱导，充分挖掘知识的内在魅力，以好奇心为先导，引发学生强烈的求知欲。还以“概率的简单应用随机事件”为例，引例后立即给出了：1.判断(1)抛掷两枚硬币，出现两个正面向上的机会比一正一反的可能性少；(2)抛掷一个普通的骰子，出现5向上和不是5向上的可能性是相同的；2.天气预报员说今天下雨的可能性是70%，则该事件是一个――事件，（选填“确定”或“不确定”）来引导学生继续探求，并言之有趣地激励学生：看谁最先发现其中的“奥秘”，看谁能争取到向大家作“实验成功的报告”。这时，学生心中激起了层层思考的涟漪，课堂气氛既紧张又活跃，试验热烈，发言争先恐后。学生增强了感性的基础，而教师此时对随机事件概率的讲解已到了“心有灵犀一点通”的最佳时刻。
（三）设问中藏趣
学起于思，思源于疑。“疑”是学生学习数学知识中启动思维的起点。在数学教学中，作为教师要善于提出具有引发学生思考的问题，使学生见疑生趣，产生有趣解疑的求知欲和求成心。仍以“概率的简单应用随机事件”为例，我的设问如：下列现象中哪些是随机现象,哪些不是?
(1)在课本中随机地选定一个三角形,作其三边的中垂线,它们恰好交于三角形内的一个点；
(2)随意地作一个凸四边形,顺次连接相邻各边的中点得到一个四边形,这个四边形恰好是一个平行四边形；
(3)随机地取一个正数,该数的算术平方根恰好小于该数；
(4)随机地在班上选2个同学,较高的同学其体重恰好也较重；
(5)全班同学抽签决定谁得大奖,小红恰好抽到了大奖。
这道题知识面宽，趣味性强。这里教师通过提出五个具有思考性的问题，层层设疑，使学生探究知识的兴趣波澜起伏，始终处在紧张而又兴奋的学习状态中。
（四）训练中增趣
练习是巩固所学知识，形成技能技巧的必要途径，是教学的一个重要环境。但往往呆板的练习形式、乏味的练习内容，无情地淹没了在学习新知识中激发出来的学习兴趣，使学生愉快的心情、振奋的精神受到严重的抑制和扼杀。因此课堂练习要设计得精彩有趣，教学中教师应根据所学内容，设计不同形式的练习。
1.练习形式要注意层次性。
设计不同类型、不同层次的练习题，从模仿性的基础练习到提示性的变式练习再到拓展性的思考练习，照顾不同层次的学生，使学生始终保持高昂的学习热情。比如
以一句俗语的命题“不怕一万只怕万一”的意思是(?摇?摇)
(A)可能性很小的事件在一次试验中可能会发生
(B)可能性很小的事件在一次试验中一定会发生
(C)可能性很小的事件在一次试验中一定不发生
(D)不可能事件在一次试验中也可能发生。
以上设计，通过有层次的练习，不断掀起学生认知活动的，学生学起来饶有兴趣，没有枯燥乏味之感。
2.练习形式要注意科学性和趣味性。
有位学者曾讲过：“学习的最好刺激，是对所学材料的兴趣。”教学时可适当选编一些学生喜闻乐见的、有点情节又贴近学生生活经验以及日常生活中应用较广泛的题目，通过少量的趣题和多种形式的题目，使学生变知之为乐知。
比如下列说法或做法对吗？说说你的理由：
(1)今天下雨的概率是60%，大于50%，所以肯定要下雨，你出门必须带雨具；
(2)某人设计了一个游戏玩法：任意向上抛掷一个瓶盖，落地后盖面朝上，则甲胜，盖面朝下则乙胜，他说这对甲、乙两人都是公平的；
(3)在1，2，3这三个数中，随机地取一个数，只有两种情况，要么取到1，要么取不到1，所以取到1的频率为1/2；
(4)小王说：由于我前面买的彩票都没有中奖，所以我再买同样多的彩票，中奖的机会就比以前要大得多。
这道练习题集活动、生活、娱乐、数学为一体，让学生在训练中产生了浓厚的兴趣。
二、让老师的关爱成为激发学生数学学习兴趣的强大动力。
关键词 数学复习 轻负高质 变式教学
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2015）13-0071-03
分析近年来各地中考数学试卷，明显发现比较侧重考查学生的探究能力，增加了考查学生思维深度和广度的题目。因此，在初中数学复习教学中应该从一些简单的题目入手，设计一些题型多变的例题和习题，有效实施变式教学，提高学生辨别能力，有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，帮助学生将所学的知识融会贯通，提高数学思维能力，遏制“题海战术”的弊端，提高复习效果，促进轻负高质的实现。
一、巧用变式，奠定双基
1.语言变式，夯实基础
教师在学生初步感知数学知识后，在复习这些数学知识时，需要引导学生对不同的数学语言表述方式进行熟练转换，从而加深对数学知识的理解。例如在复习“等腰三角形三线合一”时，由于学生对定理所阐述的意义理解不深，在推理过程中常出现“张冠李戴”的现象。从本质上看实际上是学生对三种语汇互译能力有欠缺导致的。我们可以进行如下数学语言变式教学：
教师将下面九条语言形态分别制成九张卡片，用磁铁张贴在黑板上，拿取其中任意一张，请同学找出其它相应的两张卡片。相对应的三种自然语言如下：
⑴在等腰三角形中，顶角在平分线垂直平分底边。
⑵在等腰三角形中，底边上的中线也是底边上的高、顶角角平分线。
⑶在等腰三角形中，底边上的高平分底边和顶角。
其对应的三种图像语言如下：
相对应的三种符号语言分别对应如下：
⑴在ABC中，如果AB=AC，∠BAD=∠CAD，则有ADBC，BD=CD；
⑵在ABC中，如果AB=AC，BD=CD，则有∠BAD=∠CAD，ADBC；
⑶在ABC中，如果AB=AC，ADBC，则有BD=CD，∠BAD=∠CAD。
如此反复地练习，学生很快掌握了这条定理的三种语汇互译，为今后类似问题的解决打下了基础。教师应该注重指导学生将现实问题中的文字语言转换成数学的文字语言，再将数学的文字语言转换成数学的符号语言或图形语言。这样坚持进行“语言”变式教学，有利于学生练好数学语言的基本功，提高语言理解能力，进而有效培养学生分析问题和解决问题的能力。
2.巧用变式，自主建构
复习课中用直观化的形式再现知识，那是一种复制式的复习，而适当的运用变式教学能够激发学生的好奇心，用“新瓶”既装“旧酒”，又调配“新酒”，充分调动学生的积极性，让学生主动参与到“知识探究、自主构建”的过程中来。例如一位教师开设了一节“平行四边形单元复习”汇报课。他做了如下的设计。
【画一画】有一天，刘红同学不小心撕去了一张平行四边形纸片，巧的是刚好从A、C两个顶点撕开（如图1所示）。你能帮她补全平行四边形吗？
问题刚一提出，许多学生就跃跃欲试，想表达自己的画法。
方法1：过点A作BC的平行线AE，过点C作AB的平行线CF，交AE于点D，四边形ABCD就是所要补全的平行四边形。（原理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；
方法2：过点A作BC的平行线AE，并在AE上截取AD=BC，连接CD，四边形ABCD就是所要补全的平行四边形。（原理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
方法3：连接AC，取AC的中点O，连接BO，并延长到点D，使BO=DO，再分别连接AD、CD，四边形ABCD就是所要补全的平行四边形。（原理：对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
方法4：分别以点A、 点C为圆心，以AB、BC为半径画弧，两弧交于点D， 连接AD、 CD，四边形ABCD就是所要补全的平行四边形。（原理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；……学生用不同的方法补全了平行四边形，并完成了如下表格的填写：
……
以问题为出发点，唤起学生对知识的回忆，把学生的注意力吸引到复习教学中去，让学生主动参与到“知识探究、自主构建”的过程中来。问题情景唤起了学生对平行四边形的判定方法的回忆，学生积极投入表格的填写。通过填写表格，学生对平行四边形的性质与判定有了整体性的认识，在学生的头脑中烙下了清晰的“储藏图表”，内化成为学生自己的知识结构，让学生感觉到复习不再是知识点的罗列。这样的变式教学复习，既使学生兴趣盎然，又使学生借助表格把所学的零散知识系统化和条理化，进而有效帮助学生自主构建起自己的知识网络，提高了复习课堂的教学效果。
二、变式解题，提炼方法
有些教师经常出现的误区是：在复习课上倾向于多讲复杂的、难度大的综合题，而没有深入引导学生自己去探究解题的方法，及时总结解题的规律，使得学生做了大量题目而数学思维并没有提高多少，导致复习效果不尽如人意。教师应该精心选取比较典型的一题多解、一题多变和多题归一的题目，组织学生分析讨论，激发学生问题解决的兴趣。通过变式解题，促进学生思维发散，加深对所学知识的理解，促进学生探究能力的提高和解题思路的拓展。
教学片段1：在“一元一次方程”复习设计实际问题：
我们学校准备组织七年级学生去实践基地进行社会实践，如果租用45座位的客车，则有15人没有座位，如果租用同样数量的60座位的客车，则除多出一辆外，其余的车恰好坐满。
⑴问七年级共有学生多少人？
⑵已知用45座位的客车每日租金为每辆250元，60座位的客车每日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算？
分析：对于第⑴小题引导学生用两种不同的方法来解决。方法一，设有x辆车，那就可以用两个不同的式子来表示七年级学生人数，抓住人数不变列方程。方法二，设七年级有学生x人，那就可以用两个不同的式子来表示车的辆数，抓住车辆数不变列方程。
解决实际问题是学生普遍感到困难的地方，主要原因在于不能寻找出相关的数量关系，或者即使找到了有关数量关系，也不知道每个数量关系到底能起到什么作用。教师应该根据班级学生的学习实际，选取紧密贴近生活而又比较典型的实际问题进行问题解决教学，有效引导学生进行分析讨论、发现与归纳，自主建构起“表示同一个量的两个式子相等”这样一个能普遍解决实际问题的等量关系。这样的变式教学过程能够有效引导学生进行“一题多解”，深刻感悟数学学习方法，从中提炼出常用的数学思想方法，既激发了学生学习的积极性，又提高了复习效率，何乐而不为呢？
教学片段2：“概率”复习课
例1.甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I，从3个口袋中各随机地取出1个小球。
（1）取出的3个小球上，恰好有1个元音字母的概率是多少？
（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
分析：这个问题中有3个独立的条件，即甲、乙和丙三个口袋，将每个口袋中的小球2个、3个、2个分别看成各个元素。从3个口袋中各随机地取出1个小球。可用下面的树形图表示：
根据树形图可以看出，所有可能出现的结果是12个，这些结果出现的可能性相等。
⑴只有一个元音字母（记为事件A）的结果有5个，所以P（A）=；
⑵全是辅音字母（记为事件B）的结果有2个，所以P（B）==。
例2.甲、乙、丙三人打乒乓球。由哪两人先打呢？他们决定用“石头、剪刀、布”的游戏来决定，游戏时三人每次做“石头” “剪刀”“布”三种手势中的一种，规定“石头” 胜“剪刀”， “剪刀”胜“布”， “布”胜“石头”。问一次比赛能淘汰一人的概率是多少？
分析：此题中的甲、乙、丙三人相当于例1中的甲、乙、丙三个口袋，每人每次可做“石头、剪刀、布”， 相当于例1中每个口袋都放3个标号不同的球。
例3.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，如果这三种可能性大小相同，当有三辆汽车经过这个十字路口时，求下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行； （2）两辆车向右转，一辆车向左转； （3）至少有两辆车向左转。
分析：这个问题中的三辆汽车相当于例1中的甲、乙、丙三个口袋，每辆汽车都有直行，左转或右转3种可能，相当于例1中每个口袋都放3个标号不同的球。
例4.在课外活动时间，小王、小丽、小华做“互相踢踺子”游戏，踺子从一人传到另一人就记为踢一次。
⑴若从小丽开始，经过两次踢踺后，踺子踢到小华处的概率是多少？（用树状图说明）
⑵若经过三次踢踺后，踺子踢到小王处的可能性最小，应确定从谁开始踢，并说明理由。
分析：这个问题中的小王、小丽、小华3人，相当于例1中的甲、乙、丙三个口袋，每个人都有把踺子踢到另外两个人的可能，相当于例1中每个口袋都放2个标号不同的球。对于第⑵小题，要进行分类讨论。
在“概率”的复习课中设计以上四个例子，说明若在一个问题中存在着几个相互独立的条件，在每个条件中都有几个不同的元素，在这些独立条件中各随机抽取一个元素，求组成这些元素符合结论的概率，用树形图解决比较方便。在解题后通过反思和归纳还发现其实这四个例子可以归一成一题， 这一过程引导学生感悟“多题归一”的数学学习方法，从中提炼数学思想方法，就能“以不变应万变“，使学生的解题能力得到真正的提升，这也有助于复习效率的提高。
三、紧扣考纲，突出重点
问题变式要围绕教材重点、难点展开，防止脱离中心，主次不分，要与“主旋律”和谐一致。围绕重点进行变式教学，可以避免平均使用力量，做到脉络分明，达到带动全局的预期目标。所选范例必须具有典型性：一要注意知识之间的横向联系；二要具有延伸性，可进行一题多变；三要注意思维的创造性和深刻性。
例如在“三角形”单元复习课中，三角形全等证明是一个重点，可以从下面的问题出发进行变式教学。已知：如图，C为线段AB上的一点。ACM、CBN是等边三角边。求证：AN=BM。
大多数学生都能完成这道题的证明，但大多数学生完成了本题的证明后，就不再深入地思考还能得到其他别的结论。如果在原题的基础上进一步设问：“根据现有图形，你还可证哪些三角形是全等的？试写出证明过程。”这样，原命题就改变成为一道开放性问题.经过努力，多数学生还是能够证得ACF≌BCG。在完成了这道开放性探索性问题后，学生既锻炼了思维，又有了体验成功的愉悦感受。
四、主动参与，体验成功
问题变式教学中，要让学生主动探索，教师不可包办代替，在教师作出示范性变式时由学生寻求结论，不仅如此，教师还要留下“空白”，留下思维的空间与时间，让学生自我尝试变式，并通过学生之间的合作讨论，真正突出学生的主体地位。例如在复习“多边形的内角和”这节时，为了了解学生知识掌握情况，我试着让学生自己编题进行小测验，效果明显。问题：围绕n边形内角和为180？n-2），请每位同学自编自解三个习题。同学们积极踊跃得到如下许多习题。
编一：求十二边形的内角和？
编二：求十边形的外角和？
编三：已知一个多边形的内角和是1080埃蠖啾咝伪呤？
编四：已知一个多边形的内角和是1000埃蠖啾咝伪呤？无解）。
编五：已知一个多边形，它的内角和等于外角和的两倍，求这个多边形边数。
编题活动激发了学生学习的积极性，使得课堂具有浓厚的研究氛围，学生自编题型覆盖本节课所有知识点，还能够引发出耐人寻味的新问题。
我们都知道：数学的魅力就在于“变”，有“变”才有“活”。教师适时适度地实施变式教学，能够给学生提供数学学习的桥梁，比较自然地引导学生从已知水平向未知水平过渡。有效的“变式”教学，能够避免题海战术的弊端，减少学生低水平的重复练习，从而有可能达到数学复习教学轻负高质的理想效果，并且能够培养学生思维的广阔性、深刻性和灵活性。当然，对概念、公式、定理的教学，特别是解题教学，实施变式教学效果显著，但对原始概念和数学公理的教学不宜采用。并且变式教学在开始实施时会有一些困难，要在反复理解和运用中逐渐内化形成，绝不是一朝一夕可以完成的，教师需要循序渐进地推进。
参考文献：
[1]杨象富，陈振宣.新课标初中数学解题方法全书[M].上海：上海远东出版社，2005，（05）.
一、单元复习课
目前，我们对单元复习课的教法，已初步对比出：根据自己学生的具体情况，整理出一套单元测试题（或有选择地采用课本复习题），以这些习题为主线，通过学生先做，有了基本的一章知识轮廓的基础上，教师再讲解。并在讲解时提出问题：本题考查本章哪些知识点？这套题中还有哪些题涉及此知识点？你用什么方法解决了这些问题？
以问题串形式引发学生归类出知识点，又回归到以各知识点灵活运用的还有哪些题目？引发学生主动思考，学会归纳题型、总结方法，而使复习课既不是简单的知识回顾，又不是单纯的习题课，也把课堂的主动权还给了学生，引发他们课下继续探讨寻找好题的激情，培养他们学习数学的兴趣，激发他们热爱科学的情怀。
二、期中、期末复习课
1.找出各章之间的关联点，进行整合归类
如单元复习的办法，先使学生对本阶段学习的知识点和解题方法有个基本的回顾，起到查漏补缺，细化知识点的作用。
2.专题复习
把一册书中相关典型题或解题方法类似的问题提炼出来，以习题课的方式，加强训练，加强各知识的内在联系，也把看似不相干的问题串在一起。
3.自主复习
要求学生以期中或期末测试题为主线，类似单元复习的方法，不仅归纳出本套题涉及哪些知识点，而且围绕各知识点还见过哪些题型，如何解决的？以四人为讨论小组，各抒己见、扬长避短。既引导了学生学习数学联系对比的方法，又培养了他们互帮互助的精神。
三、中考数学备考及复习方案
1.指导思想
面对中考数学复习时间紧、内容多的严峻形势，我们要在短时间内全面复习初中三年所学的数学知识，轻松应对中考。因此，如何开展数学的教学与复习工作，以及怎样才能更加有效地提高学生的复习效率显得尤为重要。我们认为，在复习阶段应该以《全日制义务教育数学课程标准》为准则，立足教材，立足课内，潜心研究当年中考试题，把握中考命题规律，面向全体，结合学生的实际情况研究复习方法和计划，力求达到全面系统地提高学生的数学技能和分析解决问题的能力。
2.数学命题特点
从历年山东省数学试题分析，试题考查点、形式集成多年来形成的风格，注重基础，突出学科主干，传统中力求创新，情境与形式凸显生活性与应用意识，试题结构包括数与代数、空间与图形、统计与概率三大领域。
3.复习原则
（1）低起点，重课本。通过课本可以使知识更加结构化、系统化。
（2）轻灌输，强过程。培养学生养成独立思考的好习惯，不要过多依赖老师和同学，亲身经历数学知识的形成过程、运用知识形成数学方法的过程、采用合理方法解决问题的过程，在具体的探究过程中内化知识技能与解题策略。
（3）忌零碎，勤归纳。复习过程中，要重视数学思想、方法的归纳与总结，勤于反思，不就题论题，不断地将知识网络体系与数学思想方法体系更新、整合。
（4）复习时，要注意联系社会热点及生活，多用数学的观点分析和感受身边发生的现象，关注社会，注重应用，提高解决实际问题的能力。
（5）适当进行开放探究训练，增强创新意识。
4.复习策略
第一阶段：教材知识梳理
内容多，任务重，既不能像传统方式地一味梳理概念，也不能上成习题课，又要兼顾三年所涉及知识点的全面性。所以整合一套适合学生的阶段复习资料，而又参考其他文献及时进行归类补充。只要前期工作做得足，课堂上就能游刃有余。
第二阶段：热点专题攻略
学生在第一阶段复课后，对初中数学知识有了全面的认识，并且具备了一定的综合解决问题的能力。本阶段课前让学生明确课题，鼓励学生自己寻找相关例题，课堂师生互换角色。
第三阶段：模拟训练
在前面两个阶段复习后，学生对各知识点及中考考试题型和方向有了全面的了解。通过模拟训练及时发现问题，对薄弱类题目有针对性的训练，达到查漏补缺，细化考试题型及各类问题解决方法。
第四阶段：重回课本、查漏补缺
因为整个复习时间较长，有些零碎知识点，不太涉及，学生较易遗忘;中考是以课本为基础，又高于课本，要达到学生考试中能自如地解答题目，基础知识一定要扎实，最后阶段的回归课本就显得尤为重要。
一、理清“中考到底考什么”
1、对于教师，制订复习计划前，首先得想清楚“中考到底考什么，”中考试卷的命题一般遵循以下原则：（1）考查内容要依据《课标》体现基础性。（2）试题素材体现公平性。（3）试题背景要符合学生的现实，所以我们要读懂《课标》，理解《考纲》。其次要注意新旧知识的对比，要特别留意两个问题：①新教材比以往新增了什么内容，怎样复习？②同一专题新教材在要求上是否发生变化？要讲到什么程度才合适？例如（二次根式的分母有理化不作要求；根的判别式考试内容里没有提及；还有正多边形与圆考试内容里也没有提及；解分式方程新教材只要求两个分母的等等）总之，在复习前，我们要读懂《课标》——教材——《考纲》这三维一体，才能理清“中考到底考什么？”
2、对于学生，怎样让他们感知“中考到底考什么”？我是这样做的：在复习前让学生连续做几套中考试卷，然后在老师的指导下解读中考题型，以福建省龙岩市中考试卷为例，即填空题10题，大致考哪些内容，选择题7题，大致考什么内容，第十八题是实数的混合运算，第十九题四种可能（化简求值、解分式方程、解二元一次方程组或解不等式组），第二十题是简单的几何证明（一般涉及全等知识），第二十一题是概率统计题，第二十二题图形设计题（开放性题型），第二十三题应用题，第二十四题是几何为主的综合题，第二十五题函数为主的综合题。这样，学生对中考试卷的大致内容就心中有数了，就不会那么神秘可怕了。
二、第一轮复习时的几点做法
1、第一轮复习必须扎扎实实的打好基础，中考试题一般按易、中、难=8：1：1的比例，即基础分占总分的80%，为了使每个学生对初中数学知识能达到“理解”和“掌握”的要求，我对知识点的复部分采用讲练习结合的教学方法，即一个知识点配一个典型题型。比如：在复习科学记数法这个知识点时，先回顾科学记数法的概念，就是把一个数写成 的形式，其中1≤
2、在第一轮复习中，对学生每天完成的作业，尽量进行全批全改，使学生掌握知识点的情况得到及时反馈，然后根据错误率出现的大小采用集中讲授，或个别辅导，或将问题渗透在以后的教学过程中等手段进行矫正和强化，特别是个别辅导这种做法，一来具有针对性，二来让学生觉得受到老师的关注，提高了学习的兴趣，增强了学生学好这一科的信心，这种坚持，有利于大面积提高数学质量。
三、第二轮复习时的几点做法
第二轮复习是第一轮复习的延伸和提高，它不再以节、章、单元为单位，而是以专题为单位，主要集中在重点、热点、难点的内容上。
1、这个环节目的是让学生形成数学思想和掌握数学方法，这就需要充分发挥教师的主导作用，除了对每个专题进行合理划分，还要对每个专题的题目应进行精选，对每个典例应精讲、讲透，注意解题方法的多样性和问题的变式和延伸，使得做这一道题得到这一类题。
例如：（2010、湖北荆门）已知如图，一次函数 的图象与 轴交于点A，与 轴交于点B，二次函数 的图象与一次函数 的图象交于B、C两点，与 轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S；
（3）在 轴上是否存在点P，使得 是以P为直角顶点的直角 ？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由。
对（2）求 ，直接求比较困难，那就把它转化为好算的图形的面积的和（差），怎么转化呢？有多种方法：
① = ；②过点C作 轴，垂足为F，则 = ；③也可过点C作 轴的垂线进行求解。
对（3）可进行延伸，把使得 是以P为直角顶点的直角 ？去掉改为“使得 为直角 ”？又是怎样解呢？（那就必须进行分类讨论），经常有这样研究解题，不仅在纵向得到了这一类题的解题方法，而且在横向使每一小题尽量采用多种方法，让学生思路更开阔，以后解起题来更轻松，更有类比性。
2、注重解题后的归纳和反思。归纳主要归纳每个专题的解题方法，比如《如何确定几何中的函数关系式》中，若函数 表示的是面积，则一般利用面积公式或面积的和差来寻求其函数关系式，若函数 表示的是线段，则一般采用相似 的比例线段来寻找其函数关系式。再比如《动态问题》分为单个点运动问题，双动点运动问题及图形运动问题，解《动态问题》最关键的是要知道动点的运动方向和理清运动的全过程。只有掌握了通法，就能以不变应万变。反思主要反思每一道好题的解题思路是什么？用到了哪些知识点？能否从不同角度解这个问题？若条件或结论加以改变，又有什么样的结果？等等。
四、第三轮复习的几点做法
第三轮复习是模拟中考的综合练习，查漏补缺，训练答题技巧和答题规范。
1、对每一次的模拟试卷应详细统计边缘生的失分情况，这是课堂讲课内容的主要依据，因为边缘生的学习情况既有代表性，又是提高班级成绩的关键。
2、注重学生的答题规范，具体做法是：（1）平时老师在讲解典型题型时要进行板演；（2）每次考完试后张贴评分标准，让学生模仿体会；（3）对每次测试评分要严，对答题书写潦草，步骤不齐，可得可不得的分不得，让苛刻的评分教育学生，既然会做就要书写规范，按步作答。
3、注意审题，因审题不清出现错误是中考失分的一大因素，有的题目中隐含条件是需要认真审题才能体会到的，有的题目需要多读几遍才能找到问题的突破口的，训练审题的具体做法是：教师在教学中有意识的对学生进行限时训练，就一道题提问学生有用的已知条件是什么？结论是什么？这道题问了我们几个问题？应作答几点。
4、考前让学生多训练易错题，这就要求老师在平时的教学中多收集学生的易错题：比如在考查分式的概念时，学生容易把 当作字母，解分式方程时容易忘记检验等等。
以上是我对初三数学总复习体会最深的几点做法，。总之，教无定法，作为初三教师，只要密切关注中考命题趋势，采用行之有效的复习策略，认真研究中考试题，明确把握命题导向，这样对当前的数学总复习具有重要的指导意义。
参考文献：
《中考命题改革对初三数学总复习的启示》——期刊征文2004（3）
《浅谈中考数学总复习的点滴体会》——魅力中国—2009（29）
《中考数学总复习的几点思考》——中学教学参考—2011（35）
这几年镇江市中考题，能较好地体现课程改革的精神和课程标准的新理念，既重视了中数学教学的时代性，基础性和发展性，又注意了改变课程内容繁、难、偏、旧和课程实施中的死记硬背、机械训练的状况，倡导学生主动参与、乐于探究、生动活泼的学习。能极好地体现数学教学的新走向：数学生活化，数学应用化，学习主人化，细细研读，启示多多。初三现阶段已结束复习，即将转入紧张的中考。复习的效果直接影响到考试的结果，下面谈一些我是如何进行中考复习的体会。
一、注重基础，掌握必须的数学
《数学课程标准》基本理念第一条明确指出：使数学教育面向全体学生，实现人人能获得必须的数学。现在镇江市中考命题的趋向，以基础题为主，有两大题的难度要求略高一些。考题坚持源于教材的基础题（按以前的惯例）有约100分是课本上的原题或《中考指南》上有修改，后面两大题的要求是“高于教材”，但题目的原型是教材中的许多的知识点融合在一起的题目或习题的“变形”，“引伸”、“组合”，建议第一阶段复习应以课本和《中考指南》为主。集中精力把初一实数的运算，分式的运算，分式方程、简单的几何证明如全等，四边形的证明，及概率和简单的数据统计，分式与根式的化简部分的习题，例题等每一个题目认认真真地做一遍。正比例函数、反比例函数的图像和性质，并善于归纳分析数形结合。现在的一份中考试卷要考查学生的数据处理与运算求解的能力、数学推理的能力、抽象概括的能力、初步的空间想象能力和图形处理能力以及阅读材料转化数学知识的综合能力。而许多初三学生一味搞题海战术，整天埋头做大量的课外习题，其效果并不明显，有本末倒置之嫌。
二、重视对基础知识的理解
基础知识即初中数学课程中所涉及的概念、公式、公理、定理等。要求学生能揭示各知识点的内在联系，从知识结构的整体出发去解决问题，要求学生综合运用各种知识于一题。例如初二数学与初三数学中的一元二次方程与二次函数的关系问题。一元二次方程的根与二次函数图形与x轴交点之间的关系，是中考经常考的内容之一，在复习时，应从整体上理解这部分内容，从结构上把握教材，达到熟练地将这两部分知识相互转化。市近几年中考许多题目都与此有关，看似复杂的二次函数还有复杂的图形，如把图形理一理透过现象看本质也就是三角形、四边形放到直角坐标系中利用它们图形自身的性质上的相互关系，进行数学知识与图形的相互转换。许多同学解这类问题时往往要么只注意到外部知识，要么只注意到几何图形一些知识，不会把它们相互转化，如坐标系中，点的坐标与图形中线段的长的关系；坐标系中x轴与y 轴相互垂直与几何图形中的直角、垂直、对称及切线等的关系；函数解析式与图形的交点之间的关系等，建议同学们着重分析几个题目，悉心体会上述的三种关系在题目中如何出现，如何转换。二次函数与几何知识的联系的题目特点非常明显，应掌握其基本解法。很多的地区中考题中反复出现，同时此题也是有一定的区分度，能考出学生的水平。每年的中考数学会出现一两道难度较大，综合性较强的数学问题。解决这类问题所用到的知识都是同学们学过的基础知识，并不依赖于那些特别的，没有普遍性的答题技巧。而主要是知识间的相互融合贯通关系。明白这一点，悟出其中的道理也就没有所谓的“难题”了。
三、重视初中数学中的基本方法
中考数学命题除了着重考查基础知识外，还十分重视对数学方法的考查。同学们在复习时应对每一种方法的实质，它所适应的题型，包括解题步骤应熟练掌握。其次应重视对数学思想的理解及运用，如函数思想，在初中的试题中，明确告诉了自变量与因变量，要求写成函数解析式，或者隐含用函数解析式法去求交点等问题。同学们应加深对这一思想的深刻理解，多做一些相关内容的题目；如方程思想。它是已知量与未知量之间的联系和制约，把未知量转化为已知量的思想。应牢固树立建立方程的思想，比如要求两个量必须根据已知条件建立关于这两个量的方程（或等式）。
四、应注意实际问题的解决和探索性试题的研究
现在各地风行素质教育，呼吁改革考试命题增强运用数学知识解决实际问题之类的试题。在其它省市的中考命题中已经体现，而且难度较大，这一部分尤其是探索性命题在平时学习中较少涉及，希望同学们把近几年其它省、市中考试题中有关此内容的题目集中研究一下，以备无患。中考复习的第二阶段应以构建初中数学知识的结构网络为主，从整体上把握命题的范围和内容。对重点内容应重点复习。首先拟出主要内容，然后有目的有针对性地做这一类型的题目，着重收集主要题型和技巧解法，象小论文式地重组知识，不要盲目地做题，要有针对性地选题。把我们所学的知识有重点的穿到一起像一串美丽的“珍珠项链”使知识融会贯通。
中考已进入最后冲刺阶段,短短时间内如何提高复习效率和质量,是学生和家长都很关心的问题。以下是做好数学复习时的几个步骤。
一、 分析题型掌握动向
2009年课改新教材全面铺开后第三次中考,分析去年的数学中考试卷能帮助大家更好地掌握复习的方向。去年试卷中数与式、方程(组)、不等式(组)这些部分共有52分,约占总分的34.7%。“函数”有30分左右,约占20%,“向量”15分,“概率统计”14分,“圆”(含正多边形)8分,“锐角三角比”10分……预计今年还是会继续突出表现基础知识点的重要性。而去年的几何论证量少,且要求不高;今年“二次函数的应用”并未列入考试要求;“圆”的相关知识点较少,这些都值得关注。
二、排摸考点整理系统
数学学科的知识点多,系统性强。同学们在复习时,首先应该复习基本的知识点。大家可根据《2010年贵州初中毕业统一学业考试手册》中的考试内容及要求,详细列出所有的知识点,然后逐一复习。我们可以对知识点的引入或论证略做回顾,并把每一个知识点所表达的文字语言转化为数学符号。然后,有必要对每一章节都构建一个知识框架图,建立起各知识间的联系。
三、加强基础，强化训练
数学的学习与复习要通过一定量的习题来达到效果。但想要增强效率、提高解题能力,还需要及时反思。首先同学们在每一个练习后,对练习中的每一个错误必须进行分析,列出具体的错误原因和有缺失或有偏差的知识点。如:“不等式两边同时乘以或除以负数时不等号未改变方向(不等式性质3)”、“求正数的平方根时没有加正负(平方根的意义)” ……通过具体的反思,尽量避免同样的错误再发生。当然对于反复出现的错误,一定要寻找同类的题目再练习。
对于综合应用题更加要懂得归纳、整理。题目千变万化,题海战术并不可取。要在有限的习题中注重分析,学习从已知条件中如何寻找解题线索,归纳解题思路中的共同点。
四、稳定心态，合理调控
面临中考,同学们首先要制定一个努力目标,作为自己的动力。然后增加自信也是非常重要的。当心理压力过大或心情不佳时,我们可以和家人、好友多聊天。也可以放下习题而做一些适当的娱乐,如听听轻松的音乐。看一些励志的书应该是个很不错的方法,能很有效地提高自信、降低压力、补充养分。
随着时代的发展，人们对数学教育的价值观发生了深刻的变化，为了我们的数学课堂教学适应今天学生的学习需要。教师首先要更新观念，把新的理念带进课堂，优化学生的学习过程。
一 如何在备课中体现新的理念
1 选择现实的、有意义的素材。
由于教材编写具有时代性，限于当时的社会背景，根据那个年代学生的条件及当时社会对各方面人才需要的要求不同，教材编写的内容及要求只符合一定时期的使用。这就要求我们备课时，在基本不改变教材的编排意图的同时，根据学生身心发展的特征，选择学生身边熟悉的、喜欢的、感兴趣的事物或内容为学习素材。例如：我在讲授初一下册第四章事件发生的可能性时．我编写了这样一道题：海南三亚冬天会下雪吗?同学们都知道不会，因为三亚在祖国的最南端，常年平均温度在20多度以上，同学们对这道题很感兴趣。
2 改变新课的导入方式。
现行教材中的习题．是为新知学习铺路搭桥。其内容一般是与本节课新知识密切相关的旧知识，目的是使学生的思维快速进入新知境界。然而，从新的教学理念看，它恰恰是限制了学生的自主性，缩小了探索空间。在教学中，教师要尽量设计学生熟悉的生活情境导入新课，这样符合学生积极探索的心理需求。
我在上平均数这一节课时，我设置了这样一个问题来导入新课：同学们。你们在电视里看过青年歌手在奖赛吗?那些歌手的最后得分是怎样计算出来的呢?学生马上抢答。这样我很自然地引入了平均数的课题。
二 如何在课堂中体现新理念
1 创设没有精神压抑的学习环境。
学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。要使学生积极主动的参与这一过程，教师的主要任务就是为这一过程创设一个安垒的学习环境。
(1)转变教师的角色。
目前，中学生的心理负荷普遍超重，不利于他们的健康成长。教师要以朋友的身份参与学生学习探索过程，实现由“传遭、授业，解惑”向活动的组织者、合作者转变。全社会都要转变观念，促进学生的全面发展。
(2)教师要用自己的热情感染学生。
在课堂教学中，我们应满腔热情、精神饱满地出现在整个教学过程中，并以自身的工作态度和情感去感染和影响学生，恰当地组织教学。近几年来，海南三亚榆林八一中学为进行教学改革，每年对初三的学生进行分班考试，凭学生的成绩分出一个重点班，其他均为普通班。学校这样做是为了教师分层次教学，但对于普通班的学生来说是一种无形的伤害，其自尊心受到了打击，更多的学生学习上不主动，不积极。实践证明，学校的升学率和优秀率并没有提高。因此，自信心对学生来说非常重要，是数学课堂教学的基础。
2 创设开放式的教学过程。
由于开放式教学过程能给每个学生提供更多的参与机会和成功机会，让每个学生在主动探索中得到发展。
(1)、在数学教学中培养学生的新观念、新思想。
新观念中不仅包含对事物的新认识、新思想，而且包含一个不断学习的过程。为此作为新人才就必须学会学习，只有不断地学习，获取新知识更新观念，形成新认识。
①适当开设数学阅读课，培养学生的学习能力。
数学阅读课就是课堂内，学生在老师的指导下，各自独立地进行学习。教师首先告诉学生阅读的范围．指导学生阅读的思想和方法，私下解答学生提出的疑难。
②注重知识生成过程的教学，提高学生的学习能力。
数学中概念的建立、结论、公式、定理的总结过程，蕴藏着深刻的数学思维过程。进行这些知识生成过程的教学，不仅有利于培养学生的学习兴趣，对提高学生的学习能力也有着十分重要的作用。例如：我在上初一下册第五章探索三角形全等的条件时，让学生做一做，观察两个三角形是否垒等，然后探索出三角形垒等的条件。
(2)、在数学教学中培养学生的创新能力
创新能力在数学教学中主要表现对已解决问题寻求新的解法。数学过程中学生在教师创设的情境下，自己动手操，要让学生自始至终地参与这一探索过程，发展学生创新能力。
①利用教材激发学生创新欲望、创新动机
创新动机是直接推动人们从事创造活动的内在驱动力，它对人的创造行为起着导向。激动和强化的作用要让学生在答对一个问题、完成好一次作业．取得一个较好的学习成绩中获得满足感。
②创设充满生气与活力的课堂氛围。
在数学课堂教学中．教师只有千方百计引导和激发学生积极的情感．努力创设一种师生之间相互尊重，相互激励的课堂氛围．才能充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用。如用现代教学手段增强新奇感(运用多媒体演示篮球运动轨迹引入“抛物线”)、运用实际生活中的现象增加趣味性(用彩票能否中奖引入“概率”)。
(3) 在数学教学中培养学生团队精神
团队精神就是一种相互协作，相互配合的工作精神。数学教师在教学中多设计一些学生互相配合能解决的问题，增进学生协作意识，培养他们的团队精神。
3 设计不同层次的开放性练习题。
为满足学生的不同学习要求，教师要充分利用教材中的练习题或选择密切联系学生现实生活的素材，运用学生关注和感兴趣的实例设计每个同学都有参与机会的开放性练习题，激发学生的求知欲。
练习是数学课堂教学的重要组成部分。教材上传统的习题，可以使学生掌握热练的解题技能，数学教师还应当适当编设一些课堂练习题。(1)改编教材上的习题．使之一题多变，一题多解。(2)设计开放题。
4 利用多煤体教学手段。使课堂教学网络化。
现代教育技术理论认为，要全面实施素质教育，传统教学陈旧的教学手段和简单的教学技术在当今世界的现代化课堂教学中就显得力不从心。计算机多媒体教学可以创设开放式的教学情景；使得教学丰富多采。我在上《摸到红球的概率》这一节课时，我制作了课件，在课件中我插入了图片，同时还下载了歌曲，学生们在轻松，愉快的环境中学到了知识。
