时间：2023-06-18 10:46:39
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇对角线的规律，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
--------“中点四边形”的教学反思
广州市47中学汇景实验学校 刘莓
第Ⅰ部分 学案（第一稿）
课题:中点四边形
姓名
班级
学号
一、学习目标：
1、了解中点四边形的概念
2、灵活应用三角形的中位线性质研究中点四边形与原四边形的关系。
二、学习重点、难点
1、重点：研究中点四边形与原四边形的关系；
2、难点：找出中点四边形与原四边形的形状的变化规律。
三、学习过程：
（一）、复习：三角形的中位线性质：利用右图用几何语言表示
（二）、练习：
1．证明：顺次连结四边形的各边中点所组成的四边形（简称中点四边形）是平行四边形。
已知：
求证：
2、与周围的同学交流一下证明方法。
从以上的证明过程中可知：中点四边形的边与原四边形的对角线有密切关系。
3、通过画图猜想：顺次连结矩形的各边中点所组成的四边形是什么形状？
请证明你的结论。
4、回味刚才的证明过程，想一想：要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗？
由此可得：只要原四边形的两条对角线
，就能使中点四边形是菱
形。
5、通过画图猜想：顺次连结菱形的各边中点所组成的四边形是什么形状？
请证明你的结论。
6、回味刚才的证明过程，想一想：要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是菱形吗？
由此可得：只要原四边形的两条对角线
，就能使中点四边形是矩形。
7、讨论一下：要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是
8、小结：
（1）中点四边形最起码是一个
；
（2）原四边形的对角线与中点四边形的边有密切关系：
原四边形的两条对角线相等
中点四边形的邻边也
中点四边形是
形
原四边形的两条对角线垂直
中点四边形的邻边也
中点四边形是
形
原四边形的两条对角线垂直且相等
中点四边形的邻边也
中点四边形是
形
作业：1、顺次连结等腰梯形的各边中点所组成的四边形是特殊的平行四边形吗？
证明你的结论。
2、中点四边形的面积与原四边形的面积之比是
。
第Ⅱ部分 反思
一、教材地位与学案的设计思想
这节课的内容安排在华东师大版教材的九年级下册第27章«证明»一章后的课题学习，这样的安排很恰当，学生刚刚学完了用推理的方法研究三角形和四边形。这节课的内容是三角形中位线的应用，也是对特殊平行四边形性质、判定的巩固，还是对学生研究变式图形能力的训练--------这是一个动态图形的系列问题：无论原来的四边形的形状怎样改变，顺次连结它各边的中点所得的四边形最起码是平行四边形。而且平行四边形又包含了矩形、菱形、正方形，这时，原四边形要作怎样的变化呢？通过这节课的学习，使学生对中点四边形与原四边形的形状的变化规律有一个系统的认识。
学生往往不重视课题学习或找不到方法去研究这个课题。而这节课的学案设计就是为学生研究这个课题在方法上搭建了一个平台。
在使用旧人教版的时候，为使学生对中点四边形与原四边形的形状的变化规律有一个系统的认识，也曾这样设计：
在每个学生一台电脑的网络室利用《几何画板》教师先做两个页面，第一页原四边形设计为平行四边形，第二页原四边形设计为任意四边形。学生只需用鼠标拖动原四边形或中点四边形的一个顶点，就可实现动画。两页都有辅助线（原四边形的对角线）的显示/隐藏按钮。每个同学须填写一份实验报告。实验报告的问题设计如下：
在学生完成前12分钟的实验后，教师利用实物投影仪展示一些同学的证明过程、小结实验情况、对比证明方法，让学生明确“四边形EFGH的形状的变化与原四边形的两条对角线有着密切的关系”----为下一阶段的实验铺路。第二阶段的实验有足够的时间让学生操作，而且绝大多数同学能遵循题目的暗示将中点四边形EFGH进行动画，通过中点四边形EFGH形状的改变来观察原四边形ABCD的变化。所以第1题完成情况良好，又为第二题铺平了道路。最后由同学自荐所出题目，公认最好的作为作业布置。
二、课堂实施情况
对比两种设计方案的实施情况:
①实验报告的设计没有在文字上给学生具体方法的指导，普通班相当一部分学生在实验的第二阶段中不知怎样证明自己所得的结论，也正因为如此给成绩好的学生留下了较大的思维空间；学生不用自己画图节省了时间。但也留下了缺憾------怎样画出符合题意的示意图也是要训练的，而且在画图的过程中还能对题意有更深的理解。当时在重点班的实施效果较好，普通班的实施情况不理想------大约一半学生达不到实验的预期目的。
②学案（第一稿）的设计弥补了实验报告的不足，由于设计时多种情况都让学生从熟悉的图形：矩形、菱形入手，证明它们的中点四边形分别是菱形、矩形。然后通过“回味刚才的证明过程，”让学生注意到在证明过程中运用了矩形、菱形的对角线相等、对角线互相垂直的性质，而没有用对角线互相平分的性质，从而把图形变式，将特殊情况予以推广。这种过渡层层递进，分散了难点，课堂上进行的较为顺利。而且学案的设计由始至终在研究方法上贯穿一条主线：原四边形的对角线与中点四边形的边有密切关系------原四边形的两条对角线若垂直、相等，中点四边形的相邻边也垂直、相等。课堂上，学生的证明方法较为多样，如下图，学生通过证明图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ全等来证明中点四边形是菱形，但大多数学生遵从学案中的“暗示”，连结两条对角线，利用中位线证明。通过讨论和展示多种证明方法既开拓了学生的思路又始终引导学生沿主线展开研究。
在实施过程中，由于要落实画图、写已知、求证及证明，普通班两节连堂方可完成，重点班一节课可完成。
三、课后作业反馈
第1题：
①有少部分学生把课堂小结的图形变化规律当作定理直接应用于证明过程中；
②有少部分学生没有写已知、求证；
③有少部分学生的图形太特殊导致中点四边形是正方形，而在证明时又把菱形的识别当作正方形的识别；
第2题：在课间与学生的口头交流得知，大部分学生知道可用特殊值法并求
出了正确结果，但其中有些学生对于一般情形下的解法是没掌握的。
四、学案改进
给出学案中1、3、5、中的示意图并将写“已知、求证”删去以免冲淡主题；改为要求学生画4、6、的示意图，让学生更好地理解4、6、是3、5、的深入与推广（教师注意巡堂，发现学生画出的是3、5、条件下的图形应予以纠正）。
作业的第2题要求学生交流解法。
第Ⅲ部分 学案（改进稿）
课题:中点四边形
姓名
班级
学号
一、学习目标：
1、了解中点四边形的概念
2、灵活应用三角形的中位线性质研究中点四边形与原四边形的关系。
二、学习重点、难点
1、重点：研究中点四边形与原四边形的关系；
2、难点：找出中点四边形与原四边形的形状的变化规律。
三、学习过程：
（一）、复习：三角形的中位线性质：利用右图用几何语言表示
（二）、练习：
1、已知：如图，四边形ABCD为任意四边形，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形
2、与周围的同学交流一下证明方法。
我们把顺次连结四边形各边中点所成的四边形叫中点四边形
从以上的证明过程中可知：中点四边形的边与原四边形的对角线有密切关系。
3、已知：如图，四边形ABCD为矩形，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA
的中点。顺次连结EF、FG、GH、HE，猜想四边形EFGH是什么形状的四边形。
并证明你的结论。
4、回味刚才的证明过程，想一想：要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是
矩形吗？
由此可得：只要原四边形的两条对角线
，就能使中点四边形是菱形。请画出符合此命题的示意图。
5、已知：如图，四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA
的中点。猜想四边形EFGH是什么形状的四边形。并证明你的结论。
6、回味刚才的证明过程，想一想：要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是
菱形吗？
由此可得：只要原四边形的两条对角线
，就能使中点四边形是矩形。
请画出符合此命题的示意图。
7、讨论一下：要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是
8、小结：
（1）中点四边形最起码是一个
；
（2）原四边形的对角线与中点四边形的边有密切关系：
原四边形的两条对角线相等
中点四边形的邻边也
中点四边形是
形
原四边形的两条对角线垂直
中点四边形的邻边也
中点四边形是
形
原四边形的两条对角线垂直且相等
中点四边形的邻边也
中点四边形是
形
（看屏幕上的动画演示）
作业：1、顺次连结等腰梯形的各边中点所组成的四边形是特殊的平行四边形吗？
证明你的结论。
2、中点四边形的面积与原四边形的面积之比是
摘要：生活中处处有数学，人类离不开数学，人人都能学会有价值的数学。数学又是一门具有较强抽象性的基础学科，学生学习起来普遍感到枯燥无味，缺乏兴趣和动力，因此教学中应着重加强操作活动，创设操作情境，开放课外操作活动，培养探究精神和探究能力，激发学生思维和兴趣。
关键词：操作感知;乐学探究;创新
中图分类号：G633.6 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2012）05-0125-02
数学是一门具有较强抽象性的基础学科，它给学生学习带来了一定的困难，因此在数学教学中加强操作活动，让学生在动手操作中增加感知，在感知中愉快地学习，这对培养学生的数学学习兴趣和欲望，提高数学能力，增强学生综合素质是十分有益的。
1.创设操作情境，激发学生思维
数学教学应勤于思考，敢于探索创新，打破传统观念，创设直观生动的操作情境，不仅激发学生的思维，而且较好地帮助学生概括和理解新的数学知识。例如在教学“轴对称图形”时，让学生把一张纸对折，任意剪出去一些后，把它展开观察图形的特征――关于折线对称。再有意识地引导学生剪一些生活中的图案（如花纹、花朵）让学生体会轴对称的和谐美，这样一下就调动了学生的学习情趣，激发了学习的动力，体验到数学的意义，使学生有强烈的欲望去学习轴对称知识。
又如在进行“相似三角形”一节内容教学时，教师可以充分运用媒体展示图像、实物让学生观察并提出问题：
①DE与BC，DF与BM之间有什么关系？②图中有几组三角形相似？③你还能想到哪些结论？
学生经过合作交流后回答：
①DE∥BC，DF∥BM。②ADE∽ABC，ADF∽ABM；③DE：BC=AE：AC=AD：AB，DF：BM=AD：AB=AF：AM；……
从而加强学生对相似三角形的理解运用。然后组织学生分小组各画一组相似三角形。各小组分别将自己所画的三角形用投影仪展示出来，并指出它们的对应边、对应角，哪些角相等、哪些边对应成比例。通过这种操作活动，使学生见识了各种情形，进一步加深了对相似三角形的认识和理解，激发学生思维发展和学习兴趣。
2.自主操作感知，培养探究精神
为了有效地培养学生的探究精神和创造能力，教师在教学中尽量增加一些学生自主动手操作的探索活动，充分发挥学生的内在潜能。依据课程标准，以学生现有的经验知识技能和实践能力为出发点，提出自主操作课题，让学生自己动手、动脑设计操作，独立思考去探索创新，让学生体验和感悟激发记忆中的有关知识，保持生动活泼的学习态势。这既培养了学生的动手、动脑解决问题的能力，又充分发挥自己的想象力，创造性地综合应用已有知识，并在创作中获取新知识，体验成功的愉悦。
例如在教学“勾股定理”时，指导学生在写小字的方格纸上依据方格线路画一个较小的直角三角形（以纸的大小而定），再以这个直角三角形的三条边分别为边长向外各画一个相应的正方形。然后利用小方格的个数来比较以斜边为边长的正方形的面积与以两直角边分别为边长的两个小正方形的面积的和的大小关系，在学生经过操作活动后，根据学生实际，分别叫不同层次的学生谈谈自己的操作情况和观察到的现象。再组织学生互相合作交流，从而概括归纳出“直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方”的结论，同样收到了良好的教学效果。又如在学习了“勾股定理”后组织学生分成若干小组去测量河的宽度，有的测量、有的记录，他们团结协作共同设计解决实际中遇到的问题，最终得出结论，老师只是巡回适当指导当个配角，这样收到了学以致用，体验了学习的实用性，激发学习动力。
3.遵循认识规律，主动获取知识
初中学生的思维是形象为主，逐步向抽象思维发展的主要阶段。他们对直观的感性知识容易理解和接受，而数学本身所反映的数量关系与空间形式比较抽象。因此，教师在教学中应遵循学生的认识规律，想方设法创设一些操作活动，把抽象的数学知识转化为学生看得见、摸得着、感受得到的具体现象。例如为了使学生掌握“平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分”的知识，教师在教学中让每人都自制一个平行四边形，画出两条对角线和各边，并标明各顶点字母和对角线的交点字母。先组织学生自主操作活动，再分4人为一小组的小组合作操作活动，引导他们将平行四边形的两对角线的交点固定，把这个平行四边形绕着固定的对角线交点旋转180°，观察平行四边形的一部分与另一部分完全重合的情境，这时教师提问，你能说明自己所制的平行四边形中哪样的两条边是对边？有几组对边？哪样的两个角是对角？有几组对角？每小组代表回答后又组织学生操作、交流。接着提问：根据你们的操作观察，能指出手中的平行四边形中，哪两条边相等？哪两个角相等，各有几对相等的量？平行四边形的对角线的交点是对角线的中点吗？为什么？在各小组一一回答后，让学生试着用较精简的语言归纳“平行四边形对边相等、对角相等，对角线互相平分”的结论。
4.开放课外操作活动，培养探究能力
如，由1、2、3、4、5、6、7、8、9 九个数组成的一个三行三列的三阶幻方（如下图所示），使其对角线、横行、纵向的三个数的和都为15，称这是最简单的三阶幻方，其幻和为15。
当然，这种简单的三阶幻方，只要我们想办法、动脑筋，还是比较容易得到结果的。如下：
上面是最简单的幻方，也叫三阶幻方。南宋数学家杨辉概括其构造方法为“九子斜排，上下对易，左右相更，四维突出”，得到了比较简单的三阶幻方的填数方法。我们在其他书上也看到有多种填数的方法，如对称交换法、田格图阵法、推理法、列方程组解法、电脑程序法等等。但是，我在教学实践活动中，经过大量的探索研究发现，这些方法不是最简单的（2n-1）阶幻方（n?着Z）的填数方法，有一种最简单的直截了当的填数方法。这种方法就像我们在做小学数学的加法和减法时，必须用加法和减法法则一样那么简单，加法法则是“数位对齐、从个位加起，满十进一”；减法法则是“数位对齐、从个位减起，退一当十”。其实，按照数学理论讲，加法和减法都不是这样做，只是大家为了简单方便，才采用这样的法则。
根据这一理念，我通过反复实践，终于得出了一种很简单的（2n-1）阶幻方（n?着Z） 的填数方法，那就是一个法则。如下，最小数居上行正中央，依次斜填往上走；走出上框直下填；走出右框直左填；遇见有数紧下填；挨着顺序填下去；填到最后一个便完成；不用思考与计算；横行，纵行，对角线上数的和绝对是一样；要想知道幻和是多少，最好用电子表格按“求和键”便知道，（2n-1）阶幻方一气呵成便填好。
具体操作如下：
一、如果是连续排列的 （2n-1）2（n?着Z） 个数，直接按照以上法则进行填数
例1：将10～18这9个数填在三阶幻方中，使得对角线 、横行、 纵向的三个数的和都一样，其幻和是多少？
按照以上法则直接填数得：
上面是三阶幻方填数走向图，其他阶幻方走向图与其一样。
它们的和是42。
例2：将-10～14这25个数填在五阶幻方中，使得对角线 、横行、 纵向的五个数的和都一样，其幻和是多少？
按照以上法则直接填数得：
它们的和是10。
二、如果不是全部连续排列的（2n-1）2（n?着Z） 个数，但是先有（2n-1）个数是连续排列，中间相距k（2n-1）个数［（k?着Z），也即是（2n-1）个的k倍数这个条件，否则就不满足幻和全一样］，又有（2n-1）个数连续出现，这样重复相距和出现，直到有（2n-1）2（n?着Z）个数为止，也按照以上法则直接进行填数
例3：将0～6、15～21、29～35、43～49、57～63、71～77、85～91这49个数填在七阶幻方中，使得对角线 、横行、 纵向的七个数的和都一样。它们的幻和是多少？（七阶幻方，中间必须是相距七的倍数，否则就无法满足幻和一样，其他（2n-1）（n?着Z）阶幻方也同样与阶数的倍数相距出现）
按照以上法则直接填数得：
它们的幻和是321。
例4：将-9～-7、0～2、9～11这9个数填在三阶幻方中，使得对角线、横行、 纵向的三个数的和都一样。它们的幻和是多少？
按照以上法则直接填数得：
它们的和是3。
三、有些题目出现的数表面上看排列非常凌乱，没有规律，也无从下手，但是只要我们作适当调整，重新以从小到大排列，这样，要么全部是连续排列的（2n-1）2（n?着Z）个数；要么是相距排列的（2n-1）2（n?着Z）个数，因此也按照以上法则直接进行填数，否则就无法解决了
例5：将-1、11、33、-45、-23、13、35、-43、-21、-9、-49、-27、-5、17、39、-25、-3、19、31、-47、37、-41、-29、-7、15这25个数填在五阶幻方中，使得对角线 、横行、 纵向的5个数的和都一样。它们的幻和是多少？
解：从题中表面上看，要解决这个问题非常难。其实，对于这类问题，只要我们按照从小到大的顺序重新排列一下，就得到-49、-47、-45、-43、-41、-29、-27、-25、-23、-21、-9、-7、-5、-3、-1、11、13、15、17、19、31、33、35、37、39这样的25个数。这样的25个数是5个数一组，中间相距一个数，组与组之间又相距10个数。这样排列后，我们还是按照以上法则就可以直接进行填数了。
它们的幻和是-25。
（江苏省南京市溧水区第一初级中学，211200）
常规的教学，往往是教师从预设的教学目标出发设计教学活动，学生在固定的程序中被动参与教学活动。如何才能让学生积极主动地参与课堂活动，提高学生的学习自主性呢？笔者在《中位线》第2课时的教学中进行了一些尝试，获得了许多有益的启示。
一、教学实录
（一）问题导入
（教师出示问题：如图1，在任意四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE。请判断四边形EFGH的形状，并给予证明。）
生四边形EFGH是平行四边形。
师你是如何判断的？
生连接对角线AC、BD；因为E、H分别是AB、DA的中点，所以EH∥BD；因为F、G分别是BC、CD的中点，所以FG∥BD，所以EH∥FG。同理，EF∥HG。根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得到EFGH是平行四边形。
师很好，还有不同的方法吗？
生我也是连接对角线AC、BD。利用三角形中位线定理，得到EF=HG=12AC，EH=FG=12BD；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得到EFGH是平行四边形。
师好的，不错！还有其他方法吗？
生其实，不需要这么麻烦，只要连接一条对角线就可以了。
师哦？说来听听。
生连接对角线BD，利用三角形中位线定理，得到EH∥BD且EH=12BD，同理，FG∥BD且FG=12BD，所以EH∥FG且EH=FG；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到EFGH是平行四边形。
师非常好！
（二）自主探究
师在以上问题的解决中，同学们积极思考，运用不同的方法解决了任意四边形的中点四边形的判断问题。以这个问题为背景，你还能提出什么新的问题吗？
（绝大多数学生茫然，面对教师的眼神时有些躲闪；少数学生蹙着眉，成思考状。等待了一段时间，终于有学生举手。）
生如果把“任意四边形”改成“平行四边形”，此时四边形EFGH是什么形状？
师你是如何想到提出这个问题的呢？
生我注意到题目别指出了“任意四边形”，所以就想到假如是特殊四边形呢，很自然就先想到了平行四边形。
（课堂气氛活跃起来。）
生把“任意四边形”改成“矩形”、“菱形”、“正方形”、“梯形”、“直角梯形”、“等腰梯形”，还有“筝形”。
（教师把学生提到的特殊四边形一一板书下来。）
师好，下面我们就来一一探究。
（学生探究，教师同步板书。对于平行四边形、矩形、菱形、正方形的探究，教师鼓励学生画图、猜想、验证；而对于后4种图形的探究，教师要求学生尝试不画图形，进行猜想，而后验证。探究完成后，最终板书如图2。）
师刚刚大家提出了一组很有价值的问题，而且通过自己的探究，也一一解决了问题。在解决的过程中，你获得了哪些解决问题的方法和经验？
生要判断中点四边形的形状，我们可以先通过画图帮助猜想，然后进行验证。
生其实，我觉得这些问题差不多，都是通过连接对角线，将四边形问题转化为三角形问题，利用三角形中位线定理解决的。
生我发现中点四边形的形状取决于原四边形对角线的关系。
师非常好！大家通过对一组图形的探究，找到了它们之间的内在联系和解决问题的一般方法，体会了类比和转化的思想。
（三）思维提升
师你们还能提出其他问题吗？
（课堂又一次陷入沉静。）
师请大家换一个思考方向。刚才我们都是已知原来四边形的形状，来推断中点四边形的形状，那么我们能不能——
生我们可以反过来想。如果知道了中点四边形的形状，能不能判断原四边形的形状？
师比如说呢？
生例如，知道中点四边形是平行四边形，那么原四边形是什么形状？
师很好！有同学能帮忙解决这个问题吗？
生是平行四边形。
生我觉得也可以是一般梯形。
生我认为是任意四边形。
师有3个答案，到底谁的正确呢？
生我赞同第3个答案，因为虽然平行四边形、一般梯形的中点四边形都是平行四边形，但它们都只是其中的一种情况，并不能代表全部情况，而所有一般四边形的中点四边形都是平行四边形。
（在这个问题的启发下，学生很快又相继提出了一系列问题：“若中点四边形是菱形，原四边形满足什么条件？”“若中点四边形是矩形，原四边形满足什么条件？”“若中点四边形是正方形，原四边形满足什么条件？”在最后一个问题的解决过程中，学生又起了争执——）
生（一位数学成绩不错的学生很自信地）我认为若中点四边形是正方形，则原四边形一定是正方形。
（不少学生纷纷附和。）
师确定吗？一定是正方形？
（学生安静了下来，开始在草稿纸上尝试画图。）
生（画出图3示意）不一定是正方形。比如，拉动正方形的一条对角线，使其与另一条对角线不再互相平分，但其中点四边形依然是正方形。通过前面的探究，我们可以发现中点四边形的形状其实取决于原四边形对角线的关系。所以，要使中点四边形是正方形，只要原四边形的对角线互相垂直且相等就可以了。
师大家赞同他的观点吗？
（学生信服地点头。教师完成板书，如图4所示。）
中点四边形的形状原四边形形状平行四边形任意四边形矩形对角线互相垂直菱形对角线相等正方形对角线互相垂直且相等图4
师很有意思，中点四边形的形状取决于原四边形对角线的关系。那么，中点四边形对角线的关系和原四边形对角线的关系之间，有什么联系吗？
生中点四边形一定是平行四边形，也就是对角线互相平分。我觉得，中点四边形对角线相等等价于原四边形对角线互相垂直，中点四边形对角线互相垂直等价于原四边形对角线相等。
师很好！把问题研究得很透彻！也就是说，中点四边形的形状与原四边形对角线的相等与否、互相垂直与否有关，而与原四边形对角线的互相平分与否无关。
（四）波澜再起
（教师正准备结束新课，一位学生犹犹豫豫地举起手。）
生（将信将疑地）老师，我能不能提一个关于周长和面积的问题？
师当然可以，说不定会是一个很有价值的问题呢！说说看。
生我总觉得中点四边形的周长和面积一定与原四边形有关，但具体是什么关系，现在我还没有答案。
（课堂气氛再一次活跃起来。）
生根据前面的探究，我发现中点四边形的边和原四边形的对角线有直接联系。利用中位线定理，可以得到EF=HG=12AC，EH=FG=12BD，所以，中点四边形的周长就等于原四边形对角线长之和，而与原四边形的周长没有关系。
师这位同学的分析过程大家认可吗？有无错误？我非常认同这位同学的想法，他不仅证明出中点四边形的周长等于原四边形对角线长之和，还大胆地判断出中点四边形的周长与原四边形的周长无关。那么，面积上又存在什么关系呢？
（学生继续探索。）
生老师，如果原四边形的对角线互相垂直就好了。
师为什么呢？
生如果ACBD于点O，那么有SABCD=12AC·OB+12AC·OD=12AC(OB +OD)=12AC·BD；而此时EFFG，所以SEFGH=EF·FG=12AC·12BD =14AC·BD。于是，中点四边形的面积就正好是原四边形面积的一半。
生（激动）又没有告诉你原四边形的对角线互相垂直，你不能用特殊情况代表一般情况！
师如果原四边形的对角线互相垂直，这位同学的分析有没有错误？
生（齐）没有！
师如果原四边形的对角线不互相垂直呢？
（短暂的沉默后，有数学成绩比较优秀的学生举手。）
生还是二分之一的关系。
师哦？不会吧？说来听听。
生真的是二分之一的关系！我利用中位线定理得到三角形相似，所以有SAEH=14SABD，SCFG=14SCBD，于是SAEH+SCFG=14SABD+14SCBD=14SABCD；同理，有SBEF+ SDHG=14SBAC+14SDAC=14 SABCD，所以外面的4个三角形的面积之和等于原四边形面积的一半，那么中间的中点四边形的面积也等于原四边形面积的一半。
师大家听明白了吗？
生（齐）哦。
……
二、教学反思
《中位线》第2课时的教学内容，是三角形中位线定理的应用。这节课的常规教学设计，是教师利用以下3个问题引领学生的思考：（1）顺次连接任意四边形各边中点，得到什么图形？（2）如果将“任意四边形”改为“矩形”、“菱形”、“正方形”呢？（3）如果顺次连接一个四边形的各边中点得到菱形，那么原来的四边形一定是矩形吗？为什么？这样的设计，教学流程环环相扣、层层推进；但是，对学生而言，是否过于包办？如果教师不设计这些问题，学生自己能不能想到？除了这些问题，学生还会不会想到其他问题？针对这些疑问，笔者作了一些探索。
（一）探究，要关注课堂的动态生成
事实证明，只要教师找准教材的空白处、思考的生长点，恰当地挖掘、组织、呈现学习内容，把思考和探索的空间留给学生，激发其自主探究意识，学生的参与度就会不同寻常，从而学习的效果大大提升。本节课中，教师利用中点四边形问题丰富的知识联系和思考内涵，不拘泥于某一个具体明确的问题，而追问“你还能提出什么新的问题吗”，这就为学生提供了更为广阔的思维空间，学生不仅想到了教师预设的平行四边形、矩形、菱形、正方形，还想到了一般梯形、直角梯形、等腰梯形，甚至想到了筝形。此时，学生的探究欲望得到激活，从而自然、持续、深入地提出了更多的富有层次、梯度的问题，而且在解决问题的过程中也表现出了很大的积极性和主动性。
教学过程中，教师应该认真倾听、特别留意学生的思考与探究，及时捕捉、有效利用生成的教学资源——而不是只顾完成预设的教学内容，一味地“牵着学生走”。本节课中，除了第1个问题是教师提出的，其他所有问题实际上都是学生在互动交流中自己提出的。正是因为教师的耐心等待、和顺引导，才生成了学生不断拓展、延伸的思考和质疑，才生成了学生对中点四边形更深入的探究和挖掘。
（二）探究，重在发展学生的思维能力
数学教学的主要目标是发展学生的数学思维能力。本节课中，教师让学生真正经历、审视自己的思考、探究过程，目的也在于此。
1．发展思维的发散性、灵活性。
研究“顺次连接任意四边形各边中点，得到的中点四边形是什么形状”时，教师用“还有不同的方法吗”来引发学生思考。研究完任意四边形的中点四边形后，教师用“你还能提出什么新的问题吗”、“请大家换一个思考方向”来激发学生思考。这样的问题都促使学生打破思维定势，进行广泛联想、发散思维，从而不仅找到了不同的方法和新的问题，更重要的是学会了思维的策略——解决问题时，首先要抓住与条件、结论相关的定义、定理、公式、法则等进行发散；发现问题时，可以从一般到特殊或从特殊到一般进行思考，可以从一个方面的相似到另一个方面的相似进行思考，也可以变换角度和方向（如逆向）进行思考，等等。这样，也使学生认识到要解决或发现问题，首先要经历一个思维先发散后集中的过程，而透彻掌握基本的思维策略、基础的命题及其相应的变化十分重要。
2．发展思维的逻辑性、深刻性。
学生说出原问题的结论后，教师问：“你是如何判断的？”学生解决一系列特殊化的问题后，教师问：“你获得了哪些解决问题的方法和经验？”这样的问题都启发学生深入理解概念、严密分析问题，去粗取精、去伪存真，由此及彼、由表及里，抓住事物的本质与内在联系，认识事物的规律性——从而使得学生认识到，判断中点四边形形状的基本方法是“连接对角线，将四边形问题转化为三角形问题，利用三角形中位线定理”，“中点四边形的形状取决于原四边形对角线的关系”。另外，学生解决一系列逆向的问题以及由形状到周长、面积的类比中发现的问题时，教师都引导学生进行推理说明和比较概括。
3．发展思维的辩证性、批判性。
学生解决一系列逆向的问题时，出现了不同答案和争执。对此，教师没有作简单的肯定或否定判断，而是追问：“到底谁的正确呢？”“确定吗？一定是正方形？”从而引发学生更深的思考，让学生自己对错解进行辨识，剖析错误产生的原因，进而认识到不能以偏概全，以充分条件代替充要条件，体会到解题的乐趣在于“在条件的约束下把结果的范围（可能性）最大化”。这样，有效地提高了学生独立思考、敢于怀疑、全面分析、深度评判、发现不足、调整校正的习惯和能力。
关键词：数学学科；课堂教学；数学思考；教学反思
一、数学思考的内涵及教育意义
1.数学思考的内涵。
数学思考亦即数学思维，顾名思义，指以数学知识为载体和原料的思维活动过程。联合国教科文组织在《学会生存》一书中指出：“教师的职责现在已经越来越少地传授知识，而越来越多地激励思考。”华东师范大学张奠宙教授曾提出，数学教学的目标之一是把数学知识的学术形态转化为教育形态。实际上，数学的学术形态通常表现为冰冷的美丽，而数学知识的教育形态正是火热的思考。
2.数学思考的教育意义。
我们来面对这样一个问题：“学习数学有用吗？”当然有用。因为数学是一种思考方式。学习数学绝对不是无休止的解题训练，我们需要悟到其中的思考方法。若干年后，你可能忘掉了已学过的数学知识，但唯一忘不掉的是数学思考方法。
二、发展数学思考能力的教学实践
1.在体验感悟中进行数学思考。
《数学课程标准》建议教师“让学生在现实情境中体验和感悟数学”。作为数学教师要让学生在体验感悟中进行数学思考，触动学生的生活积累，使学生能有所悟，能自悟自得，并能在实践活动中深化感悟。
在苏教版七年级数学（上）2.1节“比0小的数”一课教学中，通过多媒体展示生活中的“比零小的数”的不同场景，通过这些能够引起学生兴趣的问题引导学生观察和思考，并设置如下问题：①你注意过天气预报吗？屏幕上的天气预报电视画面里，哪个城市最冷？②天气预报电视画面上的“－3℃”表示什么意思？你能说出下面其他图片中带“”号的数表示的意思吗？③这几幅图片中有小学里没学过的数吗？你在其他地方还见过这样的数吗？④你对“0℃以上的气温”与“0℃以下的气温”的感受相同吗？⑤0℃以上的气温用正数表示，0℃以下的气温用负数表示，你能用正、负数表示收入与支出、增产与减产等问题中的具体量吗？借助学生的生活经历和经验，从见过负数，到认识负数的本质，进而运用负数解决相关问题。在这样不断地体验中感悟，在不断地感悟中深入体验，使学生的“数学思考”更趋深刻。
2.在动手操作中进行数学思考。
新课程特别注重学生创新意识和实践能力的培养，在动手操作中找到灵感、激活思维、解决问题，在具体的实践操作过程中进行数学思考。在边动手边思考的学习过程中，使学生的形象思维向抽象思维过渡。
苏教版七年级数学（上）1.2节“活动 思考”的教学，课本安排了三个探索活动，活动一：通过剪纸活动，感受图形的性质。活动二：通过搭火柴棒活动，感受图形的位置关系并探索数量变化规律。活动三：通过观察月历，发现有序排列的数字的变化规律。在教学过程中，一定要把活动落到实处，给学生足够的空间和时间来活动和探索，当然教师要精心组织和引导，有效调控活动的全过程。学期开始，笔者将全班同学分成6个活动小组，每个小组合理分工，2~3人操作，1人做记录，一个人做归纳总结，陈述小组操作结果和对活动的反思。进行活动时，笔者把探索活动分解成五步：第一步取一张长方形纸片，引导学生认识长方形的特征，并设置问题：你会将它剪成一个正方形吗？第二步引导学生进行各种方式的裁剪，并思考剪成的图形是正方形的理由。第三步小组陈述操作结果及理由。第四步根据情况可进一步提出“你还能剪出什么样的几何图形？” 让学生在数学思考中充分发挥想象力与创造力。
3.在解决问题中进行数学思考。
数学学习的过程就是学生不断交替地经历提出问题、解决问题的过程，在经历该过程中，数学思考起主导作用，没有数学思考学生就不能发现数学信息、提出数学问题，更谈不上通过数学思考来提出解决问题的策略。
在苏教版七年级数学（下）“探索n边形对角线的条数”教学中，学生已了解三角形没有对角线，四边形有2条对角线，在此基础上引导学生通过画图发现五边形、六边形分别有5条和9条对角线，接着提出问题：n 边形有多少条对角线？你能发现其中的规律吗？分以下三个层次引导学生思考：①先考虑n 边形的一个顶点，如点A1，看一看从点A1出发能连多少条对角线？②过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线有相同的吗？过顶点A1的对角线与过顶点A4的对角线呢？你发现在n 个顶点所连的对角线都重复计算了几次？③你能归纳出n边形有多少条对角线吗？通过这些分层递进的问题串来启发学生积极思考。
4.在自主探索中利用图形直观，学会数学思考。
数学课程不再只强调提供系统的数学知识，学生会解多少道数学题，而是更关注他们能否从现实背景中“看到”数学、能否应用数学去思考和解决问题。著名教育学家布鲁纳也指出：“探索是数学的生命线。”勇于探索是数学创新学习的前提和基础。
例如：苏教版九年级（上）第五章“中心对称图形（二）”导读中的问题3：如图1所示，4个小圆的面积相等，大圆的半径等于小圆的直径，你能判断图中阴影部分的面积与大圆面积的大小关系吗？笔者为学生创设了自主学习的空间，先让学生独立思考，再选择代表交流。在交流中，大家积极思考，不断探索新的方法，经同学们探究，结果找到了方法一（如图2所示）和方法二（如图3所示）。正当大家还用割补法试图找到更多方法时，突然有位同学发现了一种不用割补法的方法的三（如图4所示），图块A在全图中4片，同样的图块B、C都各有4片，全图由12片这样的图块拼成的，因此，阴影的面积是整个大圆面积的1/4。
通过这样的教学活动，同学在观察、讨论、思考中相互接纳，满足了学生的不同需要，尽显了学生的潜在能力，发挥了课堂教学中的多种交互作用，以“动”激“活”，呈现了课堂教学应有的生机，使师生的生命力在课堂中得到充分的发挥，学生的合作意识、合作能力及交往理念也有了同步发展。更体现了新课标理念：人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。
三、对发展学生数学思考能力的反思
1.耐心等待数学思考。
学习数学离不开数学思考，但是数学思考是一个过程，需要时间来保证。知识是由学生通过思考建构的，别人是无法代替的。因此，学生在思考时，需要老师耐心等待，留给学生充足的时间和空间，这样才能保证学生思考的实际效果。
2.数学思考中老师要善于启发和诱导。
老师像导演培养演员那样，把剧本或角色的基本要求，基本技能
教给演员，让演员自己去进入角色，创造角色。老师在课堂上的地位是配合、积极引导，使同学们投入火热思考，适当点拨使问题解答更完美。
3.鼓励学生提出问题。
有问题才能有思考，提出问题很重要，数学问题是课堂教学的波澜，也是形成课堂教学的前奏。如何使学生自主进行有效数学思考并提出数学问题，是值得数学教师认真探索的。
4.给学生提供广阔的探索空间，让学生在争辩中学会思考。
学生通过猜测与探索、观察与分析、归纳与验证等一系列数学活动，能感受到数学问题的探索性和挑战性，并从中认识到数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，从而培养学生数学知识的迁移能力，提高学生数学思考的能力。
5.要设计一些高质量的问题激发学生数学思考
成就一堂好课，教师除了要研究教材，更要深入了解学生，尽可能地去分析学生的一切，研究学生的所有。不要想当然地教，要多思考学生可能怎样去学？有了问题，思维才有方向，有了问题，思维才有动力，有了问题，思维才有创新。一节好课必然有几个高质量的问题来支撑，这样的课堂才是思考的课堂，才是有价值的课堂，才是促使学生生命力生长的课堂。
【参考文献】
［1］ 杨裕前,董林伟.数学(七年级上册)［M］.江苏:江苏科学技术出版社,2007:3.
［2］ 联合国教科文组织国际教育发展委员会.学会生存［M］.上海译文出版社,1979:120.
操作设计性问题常见的有：测量与计算，剪拼与画图，折叠与变换，镶嵌与设计。
一、测量与计算
测量是最基本的数学实践活动，是课堂知识向课外延伸的具体体现，走出课堂，体验数学价值，改变学习方式，是新课程改革的基本理念之一。
例1 某数学兴趣小组，利用树影测量树高，已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角。
（1）求出树高AB
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，
如图，试求树影的最大长度。
解：（1）在RtABC中，∠BAC=90°，∠C=30°
tanC=■
AB=AC・tanC=9×■=3■（米）
（2）以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时，树影最长，点D为切点，DEAD交AC于E，在RtADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，AE=2AD=2×3■=6■
答：树高AB为3■米，树影有最大值，最大值为6■米。
二、剪拼与画图
剪拼与画图大多联系实际，内容开放，答案不唯一，要求解题者必须进行多方位，多角度多层次探索，以展示思维的灵活性、发散性和创新性。
例2：如图，已知在ABC中，AB=AC，ADBC于D，且AD=BC=4，若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形一个四边形，你能拼出所有不同形状的四边形吗？画出所拼四边形的示意图（标出图中的直角）并分别写出所拼四边形的对角线的长（只需写出结果）。
解：经过适当拼合可以组成以下四种不同形状的四边形
（1）矩形（图1）：此时两对角线长相等，均为2■
■
（2）平行四边形（图2），此时两条对角线的长分别为4和4■。
（3）平行四边形（图3），此时两条对角线长分别为2和2■。
■
（4）四边形（图4）：此时两条对角线的长分别为2■和■。
三、折叠与变换
折叠通常是轴对称变换，其中折痕是对称轴。在实际解题中，恰当地运用图形的变换往往能集中条件，开阔思路，化难为易，出奇制胜。
例3：如图，将矩形纸片ABCD沿直线折叠一次（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），将得到的所有全等三角形（包括实线，虚线在内）用符号写出来。
解：ABD≌CDB，CBD≌DBE，DBE≌BDA ABF≌EDF
四、镶嵌与设计
用几何图形的材料铺地板、墙面，用几何图案装饰居室，建筑物以及作为各种标记，在生活中比比皆是，作为未来的建设者，了解构成镶嵌图的基本规律，图案的鉴赏和设计常识非常必要，它有利于促进学生的动手能力，审美能力和创造能力的培养。
例4：李大爷有一个边长为a的正方形鱼塘，鱼塘四个角的顶点A、B、C、D上各有一棵大树，现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大），又不想把树挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上），若按圆形设计，利用图画出你所设计的圆形鱼塘示意图，并求出圆形鱼塘的面积；
关键词：周期表；短周期元素；反常现象；性质
20世纪以来，周期表和周期律成了近代科学发展的重要基础，也是无机化学家得心应手的工具，它所建立的丰功伟绩无需多说。按照周期律的现代律文：核电荷递增时，元素、原子、电子的周期性变化决定了元素性质的周期性。当把元素按原子序数递增的顺序排列成周期表时，电子构型重复由S1到S2P6的变化，元素性质就呈现周期性。然而，随着对元素和化合物研究的深入，表明元素周期性并不是简单地按一个模式重复，而是表现为复杂的变化规律，在周期性的变化中常常表现出一些“反常”。笔者现将短周期中元素性质的不规则性总结如下：
一、氢的不规则性问题（氢属位置不确定的元素）
1.氢的原子序数为1，电子结构1s1，碱金属电子结构ns1，均可作为还原剂。说明氢与碱金属具有相似性。然而，氢与碱金属的性质差别十分大，这用不着多说。
2.从获得1个电子就能达到稳定的稀有气体结构看，氢应与卤素类似。
确实氢与卤素的某些性质相似，都可作为氧化剂。然而，氢与卤素的差别也很大，表现在下面五个方面：
（1）H的电负性2.2，仅在与电负性极小的金属作用时才能获得电子成为H-负离子。
（2）H-负离子特别大（154 pm），比F-（136 pm）负离子还要大，显然其性质不可能是同族元素从I-到F-即由下到上递变的延续。
（3）极易变形的H-负离子只能存在于离子型的氢化物，如 NaH中。
（4）不能形成水合H-负离子，在水中将与质子结合生成H2 （H-+H3O+=H2O+H2）。
（5）在非水介质中，H-负离子能同缺电子离子， 如B3+、Al3+等结合成复合的氢化物。如：4H-+Al3+=[AlH4]-。
3.若将H的电子结构视为价层半满结构，则H可同C相比：
（1）电负性相近（H：2.2；C：2.5）。
（2）H2同C一样，既可作为氧化剂，又可作为还原剂。
（3）H2与金属形成氢化物，碳与金属生成金属型碳化物。
二、第二周期元素的特殊性（对角线关系）
1.Li
Li的电负性大，Li+半径小、有极强的极化力，其化合物不如其他碱金属化合物稳定。如：
Li2CO3Li2O+CO2 Na2CO3加热不反应
相反，Li+与半径大的、易极化的H-却能形成稳定的共价型氢化物（LiH），而其他均为离子型，易分解。
LiH很稳定，2NaH2Na+H2
但Li与同它成对角线的Mg相似，如：能直接与N2反应生成氮化物，且Li3N稳定；Li、Mg都易生成有机金属化合物，但其他碱金属不具这两条性质。
2.Be
Be、Al相近的离子势导致相近的极化力和酸碱性。如，Be、Al的化合物共价性较强，许多盐可溶于有机溶剂，碳酸盐不稳定，氧化物和氢氧化物呈两性，其盐易水解等。
3.B
B与同族的区别在于它几乎不具金属性，在性质上与对角的Si相似，表现在以下三个方面：
（1）都不能形成正离子。
（2）都能生成易挥发的、活泼的氢化物。
（3）卤化物都易水解：
BCl3+3H2O=H3BO3+3HCl
SiCl4+4H2O=H4SiO4+4HCl
4.F
F在同族中的特殊性尤为突出，它的电子亲合势特别小：
EA（F）=328.18kJ・mol-1 EA（Cl）=348.57kJ・mol-1
原子的半径也很小：
r（F）=71pm r（Cl）=99pm
化学活泼性特别大。通常用贴近F原子的孤对电子间的排斥作用来解释。由于F半径小，导致F的电子云密度高度密集，因而对任何外来的进入F的外层的电子产生较强的排斥作用，从而对F参与形成的键的键能产生削弱作用。在O和N中也出现类似的效应。
总之，第二周期元素与同族其他元素在性质上出现变化不连续的现象，却与第三周期斜对角元素相似，这被称为对角线关系或对角线相似。
同周期从左到右阳离子电荷升高、半径减小，极化力增强；同族从上到下阳离子电荷相同，但半径增加、极化力减弱；处于对角线的两元素，两种变化相互消长。使极化力相近，性质相似。
为什么第二周期与第三周期同族元素性质明显差异？探讨其原因，主要有以下两个方面：
（1）第二周期元素在成键时只限于使用s和p轨道（以s-p的杂化轨道成键）；第三周期元素还可使用3d轨道（如sp3d、sp3d2、sp3d3…杂化轨道成键），共价数前者最大为4，后者出现5、6、7…；
（2）第二周期元素作中心原子时，只以σ键同其他原子键合，而第三周期元素和更重元素除生成σ键外，还能生成p-dπ键。如 SO42-中，S、O之间除生成SO外，还因O原子上有2p孤对电子，而中心S原子有空d轨道，在对称性匹配条件下（如2pz-3dxz）可重叠生成p-dπ键，这样，σ-p键的生成使S-O键的键长比正常的单键短。
综上所述，由于H原子其独特的电子结构，决定了它在周期表中位置的不确定性和性质的特殊性；第二周期和第三周期元素性质差异，一方面由于原子的电子轨道差异（第二周期没有d轨道，无d电子参与成键不生成p-dπ键，只生成σ键）；另一方面由于对角线元素的离子势（Φ=Z+/r+）和电极电势相近，导致同一族的元素性质的不连续，反而与其对角线元素的性质相近。
参考文献：
[1]朱文祥，刘鲁美.中级无机化学[M].北京：北京师范大学出版社，2003.
[2]武汉大学，吉林大学，等.无机化学：下[M].3版.北京：高等教育出版社，1994.
[3]王麟生.化学元素性质数据手册[M].北京：科学技术出版社，2002.
关键词：多边形内角和；教学设计；构想
“中国学生发展核心素养”所指向的“学生应具备的能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”的意蕴和旨趣，彰显教师的教育智慧.数学核心素养要从教学行为与习惯的培养着手.
就拿“多边形及其内角和”来说，不论是概念的得出，还是公式的形成，都蕴含众多“关键能力”的形成要素.更进一步说，若教师舍弃“抓干的、来实的”的习惯做法，力透纸背，深入挖掘教材内容所承载的“关键能力”素材，将教学按照学生的认知逻辑展开，在“去粗取精、去伪存真、由表及里、由此及彼”的过程中，达成核心素养指向下的学生发展目标，课堂就会充溢智慧的霞光，绚丽而多姿.
一、在思辨中形成概念
本节课涉及众多相关概念，但“万物生长靠太阳”，再多的概念总有源头，这里的源头就是“多边形”，其关键点就是“多”.众所周知，“多”与“少”是相对的，此刻就需要教师指导学生认识“多”与“少”的辩证关系.多边形是新学内容，多到什么程度暂且不论，但“少”要少到什么程度呢？这就牵扯概念中的另一个关键字“边”.本节课是从“边”的多少出发研究图形，无边不成形，因此，从理论上讲，边（亦即线段）的数量最少是1，可以是2，学生也学过边数为3的三角形和边数为4的四边形.边数为1和2时，是开放式图形，属于“线段（直线、射线）”和“角”，三角形、四边形等才属于“多边形”意义下的“形”.从“少”出发，学生就会发现：多边形中的“边”，是线段；多边形是封闭图形；边数最少的多边形是三角形.
从“多”出发，学生就会发现，随着边数的增加，多边形中的一些元素也会发生一些变化：顶点增加；内角的个数增加；内角和会发生怎样的变化？有没有规律可循？（此时，学生的经验是三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°）由内及外，那外角和会发生怎样的变化？到此，又会牵扯出另一个问题：当多边形的边数无穷多时，多边形会发生什么样的变化？相关的要素又会发生怎样的变化？显然，这样的思考又是形成和发展极限思想的良好素材.
这样展开的教学，对学生发展来说因嵌入了学生的思考与发现，会比单纯按照学科逻辑（逐一交代概念）展开更使学生兴趣盎然.如果给予学生预习、讨论等“自由”的时间足够长，抑或是让每一个学生都把自己独立而独特的思考展示出来，说不定还能在凸多边形与凹多边形的比较中有更多的发现，求异思维的能力也会顺势得以培养.
有了这样的思考，学生理解教材中的多边形的概念及其相关内容――“在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.多边形按组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形、六边形……由n条线段组成的多边形就叫作n边形”，就会更透彻.同样，多边形的角――内角、外角――连同内角和、外角和以及正多边形、多边形的对角线等，也不会存在理解的难度了.此处不再赘述.
二、在化归中探寻策略
从上述分析可以看出，三角形是边数最少的多边形，随着边数的增多，相关要素都会发生变化.从变化的观点出发，有两种可能：有规律的变化和无规律的变化.这就会生发“多边形的内角和与边的数量”之间存有什么样的关系的思考.对于这样的问题，学生可能会有无从下手的思维症结，就需要从思维的角度出发，找到突破的办法.从思维角度来讲，不论哪个学科，哪个领域，遇到复杂问题的时候，都会采用“复杂问题简单化”这一策略.在科学实验中经常运用的“控制变量法”，就是将复杂问题简单化处置的典型.面对“多边形”这一复杂问题，就要思考“最简单的多边形是什么图形”.前已述及，三角形就是最简单的多边形.这就找到了破解多边形相关问题的思维原点――三角形，这也是解决问题的出发点，由此引发学生去思考“如何将多边形变为三角形”的问题.
三、在类比中突破重点
从三角形出发考虑多边形问题，就要找到多边形转化为三角形的办法.其实，学生在这之前已经接触到解决这一问题办法，那就是求四边形内角和时所采用的“通过连接对角线将一个四边形变为两个三角形”，用这种类比的思想，不难发现，把四边形的对角线一连，就会出现两个三角形，那四边形的内角和就是两个三角形的内角和，即360°；对于五边形，可以通过连接对角线的方式，变为三个三角形，其内角和就是540°；以此类推，个数有限的多边形，其内角和的度数是可以计算出来的.从以上解决方式可以看出，“对角线”以及通过连接对角线而形成的“三角形”，就是解决多边形内角和问题的关键，对角线则是撬动多边形内角和问题的支点.
有了以上分析作铺垫，再让学生完成表1中的要求，学生自然兴趣盎然.
当学生完成这个表格后，多边形内角和的公式也就得到了：n边形的内角和等于（n-2）×180°.
四、在发散中丰富智慧
一个问题的解决，不会只有一个办法，否则，就不会有“条条大路通罗马”之说.唯有从多个角度探寻解决同一个问题的办法，学生的思维才能发散开来，并不断促使学生穷尽思维，进而理顺思维，优化思维，实现由解决一个问题向解决一类问题的突变，达到思维跃迁、智慧丰富之目的，生发不断创新的力量.
前述方法是从对角线出发，找到了一个解决多边形内角和的办法，再探寻其他办法，又应该如何思考呢？这还要回到几何图形的构成要素上寻找突破.
构成几何图形的基本要素，无非就是点、线、面.有的要素一目了然，比如，多边形中的边、顶点，有的要素则隐含在图形中，需要思考才能找到，比如刚才用过的对角线，类似的还有一些图形的高、角平分线、中线等等.上述解决问题的过程中，就是从多边形的一个顶点出发，在不相邻的另一个顶点间画出对角线，从而化归到三角形而找到了解决问题的支点.如此，同样从“点”这一思考原点出发，只是改变“点”的原始位置，比如，选择一条边的任意一个点构造出三角形，或者在多边形内（外）任意一个点构造三角形，都不失为可以采用的办法.这样，原来的“固定点”就会变为“移动点”“任意点”，而中考题中的重头戏，也往往如此选择.限于篇幅，简述如下：
方法二：在n边形的一边上任取一点，把这一点与各顶点联结，把n边形分割为（n-1）个三角形，这些三角形的内角和比n边形的内角和多出了一个平角，因此，n边形的内角和=（n-1）×180°-180，即为：（n-2）×180°.
方法三：在n边形内任取一点，然后把这一点与各顶点联结，将n边形分割为n个三角形，这n个三角形的内角和比n边形的内角和恰好多了一个周角360°，因此n边形的内角和=180°×n-360°，即为：（n-2）×180°.
方法四：在n边形外任取一点，然后把这一点与各顶点联结，将n边形分割为n个三角形，这n个三角形的内角和比n边形的内角和恰好多出了两个三角形内角和，因此n边形的内角和=n×180°-2×180°，即为：（n-2）×180°.
形成了这样的思维习惯，学生在今后的学习、工作、生活中，也会主动寻求“由静到动”“由此及彼”的途径，豁然开朗的就不仅是学习过程，会更多地表现在人生的幸福中.
从以上分析可以看出，本节内容涉及众多利于学生核心素养发展的要素，诸如对立统一、量变质变、有限与无限、个性与共性、一般与特殊、绝对与相对等，都极富哲学意味，若一一展开，必定是一幅幅美丽的风景.
本节课在教学菱形的性质时，要从学生已有的知识经验出发，借助图片、实物模型，通过具体的操作，观察、猜测、验证，获得知识，注重提高学生主动探究的能力。菱形的性质探索出来之后，在应用性质解决问题时，要给足学生思考的时间，在学生有了自己的想法之后，再组织引导学生相互交流想法，以提高学生运用知识分析问题、解决问题的能力。
二、教材地位与作用
四边形是我们生活中常见的图形，它的用途和作用举足轻重。而各种四边形在外形、本质上也各具特点，因此它是平面几何中研究较多的一类，教材把对菱形的研究也列为重要内容。本节课的内容是菱形的概念及菱形的性质，这节课是在学习了平行四边形、矩形之后的学习内容，起着承上启下的作用，也是为以后学习几何知识作必要的知识储备，本节课渗透了“转化、类比”等数学思想方法。
三、教材内容与教材处理
本节课主要学习菱形的概念及性质，为了使学生便于感受、理解和掌握概念的产生和由来，我们可以借助学生生活中熟悉的实物“晾架”、或学生熟悉的图片，让学生在欣赏、观察图片的过程中，发现菱形的特点，再通过引导学生进行猜想、动手度量、折叠、旋转、类比等活动，归纳总结出菱形的性质，使学生加深对菱形与平行四边形性质的辨别。
四、学情分析
学生已经学过了平行四边形、矩形的概念及性质，这为本节课的学习提供了良好的知识和经验储备，对于菱形的性质，学生完全可以通过折叠、旋转、测量、证明等方法得到，但对于菱形与平行四边形的性质的区别与联系，还需通过多种方式辨析。为此，在揭示了菱形的概念及性质之后，再通过练习，让学生加以辨析，以达到灵活理解应用知识解决问题的目的。
五、教学目标
1.知识与技能：
经历菱形的性质的探究过程，理解并掌握菱形的两条性质。
2.过程与方法：
（1）经历菱形的性质的探究过程，培养学生的动手实验、观察推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力。
（2）根据菱形的性质进行简单的证明，培养学生的逻辑推理能力和演绎能力。
3.情感、态度与价值观：
从学生已有的知识出发，通过欣赏观察、动手操作、讨论交流、归纳总结，感受身边的数学，感受合作学习的成功，培养主动探求、勇于实践的精神，同时感受到数学的和谐美、对称美，激发学习数学的激情，树立学好数学的信心。
六、重难点
重点：菱形性质的探求。
难点：菱形性质的探求和应用。
七、教学过程设计
（一）探索一：菱形的定义
1.观察下列图形，说说这些四边形有什么共同特点。
2.用实物模型演示，观察菱形的相邻边。拉、压“上图一”的实物模型，让学生观察，证实自己的判断――邻边相等。
3.播放菱形的形成课件：平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，就得到一个菱形。
4.引导学生给图形起名，得出菱形的定义。
（二）探索二：菱形的性质
猜想1：菱形具有平行四边形的所有性质吗？为什么？
猜想2：菱形除具有平行四边形的所有性质外，还具有哪些自己独有的性质？
（三）验证猜想
教师将事先准备好的菱形的纸片发给学生，让学生利用它类比矩形的性质，看看菱形具有哪些性质，得出结论后，把自己的做法和结论与大家分享。
（这里可以用折叠重合、测量、证明等多种方法来解决问题，鼓励独立思考，合作交流，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。当同学们交流完自己的想法之后，再要求学生规范地归纳出菱形的性质，培养思维的严谨性。）
（四）探索三：菱形的面积公式
菱形的面积可以用平行四边形的底乘以高，还可以用二分之一的对角线的积去求，这里的重点放在对“菱形的面积等于二分之一的对角线的积”的推导，让学生发现：只要对角线垂直的四边形，它的面积就可以用二分之一的对角线的积去求。
（五）理解应用（让学生独立思考后，交流展示、互动质疑）
1.已知菱形的两条对角线长分别为8 cm和6 cm，求菱形的周长。
2.在任意四边形ABCD中，对角线ACBD，且AC=18，BD=10。问四边形ABCD的面积是多少？已知：如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm。
（六）当堂检测（检测情况，形成反馈）
1.已知菱形的周长是12 cm，那么它的边长是 。
2.如下图菱形中，若∠ABC=60度，一条对角线长分别为8 cm，则菱形的面积是 。
3.把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD的形状是什么形？请证明。
（七）课堂小结
本节课你有何收获？还有哪些困惑？
八、设计反思
本节课的设计有以下几个亮点：
1.本节课的设计符合由感性到理性、由具体到抽象的认识规律。
2.注重了突出学生的主体地位，知识的获取都是由学生自己观察、猜测、验证、归纳整理，从而获得知识，再现了知识的形成过程。
【关键词】 行列式；加边法；范德蒙行列式
行列式的计算是线性代数中的一个重要问题，在数学的各类分支中有极为广泛的应用.但行列式的计算方法很多且灵活多变，需要有较强的解题技巧.本文介绍了三类重要算法，并通过实例加以说明.
一、化三角形法
化三角形法就是利用行列式的性质将原行列式化成上（下）三角形行列式[1]计算的一种方法.根据上（下）三角形行列式元素的特点和结果的特殊性，用此种方法的主要过程就是化零元素，对一些特殊的行列式特别适用.
例1 计算爪型行列式[2]Dn= 1 1 1 … 11 2 0 … 01 0 3 … 0 1 0 0 … n .
分析 化此行列式樯先角形的过程就是要把主对角线以下的第一列的n-1个1化为0，但要同时保证主对角线以下的其他零元素不变.这里只有依次做列运算c1- 1 j cj （j=2，3，…，n）才可实现.
Dn= 1 1 1 … 11 2 0 … 01 0 3 … 0 1 0 0 … n = 1-∑ n j=2 1 j 1 1 … 10 2 0 … 00 0 3 … 0 0 0 0 … n
=n！ 1-∑ n j=2 1 j .
二、加边法
加边法又叫作升阶法，即给原n阶行列式加一行一列得到n+1阶行列式并使其值不变.
例2 计算行列式
Dn= 1+a1 1 … 11 1+a2 … 1 1 1 … 1+an .
分析 此行列式的特点是主对角线上的元素是1+a1，主对角线外其他元素全为1，则可加元素全为1的一行，利用性质将其化为例1中的类型.
Dn= 1+a1 1 … 11 1+a2 … 1 1 1 … 1+an
= 1 1 1 … 1-1 a1 0 … 0-1 0 a2 … 0 -1 0 0 … an
=a1a2…an 1+∑ n i=1 1 ai .
三、范德蒙行列式法
著名的范德蒙公式是：
Dn= 1 1 1 … 1x1 x2 x3 … xnx21 x22 x23 … x2n xn-11 xn-12 xn-13 … xn-1n =∏ 1≤j
范德蒙行列式的结构特点是：第一行元素全为1，第二行元素为n个数，第三行元素为n个数的2次方，依此类推，第n行元素为n个数的n-1次方.若行列式的各行（列）中出现有规律的元素的k次方，我们往往都会用到范德蒙行列式法.
例3 计算行列式
Dn+1= an （a-1）n （a-2）n … （a-n）nan-1 （a-1）n-1 （a-2）n-1 … （a-n）n-1 a a-1 a-2 … a-n1 1 1 … 1 .
分析 可将行列式的行依次交换成标准的范德蒙行列式，这个行交换过程共需做n+（n-1）+…+1= n（n+1） 2 次.
Dn+1=
（-1） n（n+1） 2 1 1 1 … 1a a-1 a-2 … a-na2 （a-1）2 （a-2）2 … （a-n）2 an （a-1）n （a-2）n … （a-n）n
=∏ n+1≥i，>j≥1 （i-j）.
矩阵中的很多问题可以借助行列式的计算解决，比如判定方阵的可逆性、求矩阵对应的向量组的线性相关性等，因此，行列式的计算极为重要.在计算行列式时，我们要把握行列式的特点，灵活选用适当的方法进行计算.
【参考文献】
关键词:创新意识;数学;课堂教学;渗透
随着国家新一轮基础教育课程改革的纵深推进，重视创新意识和实践能力的培养已为数学教学的一个重要目的和一条基本原则，就是要培养学生“对自然界和社会中的现象具有好奇心，不断追求新知、独立思考，会从教学的角度发现和提出问题，并用数学方法加以探索、研究和解决。”
一、营造创新教育的环境，萌发创新意识
创新意识是一种发现问题、积极探求的心理取向，贫脊的土壤是生长不出茁壮的禾苗的。在数学教学中，要“唤醒”学生的创新意识就需要营造出自由而不散漫，宽松而不拖沓的课堂人际氛围，建立融洽、和谐、平等、民主的师生关系，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生学习数学的兴趣，使学生从“要我学”转变到“我要学”、“我乐学”上来。
为了营造这样的创新环境，我们可在以下几方面下功夫:①在导入新课上下功夫。在每堂课一开始，利用学生的好奇心理，创设奇异情境，产生悬念，把学生的学习情绪、注意力和思维活动调节到积极状态，如故事导入、实验导入、创设问题情景导入等等。②在追求评议艺术上下功夫。教学过程中，有时教师的一个形象的比喻，几句幽默、风趣的语言，就会引起学生极大的求知欲和好奇心，可以促使学生的学习动机由潜伏状态变为活跃状态。③在教学手段上下功夫。教学过程中，恰当借助电教手段，尤其是多媒体计算机等辅助教学，能把被感知的对象直观地呈现出来，可以通过音响、色彩、动态画面等刺激学生的多种感官，激发学生的兴趣，有利于创新意识的萌发。④在与学生的情感交流上下功夫。教师只有对每一个学生倾注满腔的爱，加强与学生的情感交流，亲近他们，爱护他们，热情地帮助他解决学习中的问题，学生才能充满信心，朝气蓬勃、积极向上地学习，愉快地参加到知识形成的过程中去。
实践证明，在这样且只有这样的师生共同建构的“心理动力场”内，学生才能产生强烈学习欲望，创新意识才有可能“呼之欲出”。
二、创设思维层次，培养创新思维
初中数学教学中，发展思维能力是能力培养的核心。这就要求教师在数学教学中周密设计思维层次的教学，通过对数学问题的观察、联想、转化，以求异思维为侧重点，以多向思维为核心，强化知识间的相互联系与渗透，培养思维的独创性与灵活性;通过对例题的引伸和变通，以发散思维为侧重点，引导学生对问题作深入的思考、深入的研究，在探索中求新，培养思维的深刻性和广阔性，强化创新意识的引导和创造潜能的开发。
例如求证:顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。
教学时，可先让学生自己画图，写出已知与求证，然后引导学生分析证题思路，启发学生画出对角线，把四边形问题转化为三角形问题，最后写出证明过程。证完之后，我们不能仅局限于结论的简单证明，而应在此基础上发掘问题的内涵与外延，适时地拓展学生思维的空间，可以进一步设计这样的思维层次:
(1)若对角线互相垂直，则得出四边形是什么图形?
(2)若对角线长度相等，则得出的四边形又是什么图形?
(3)要使得出的四边形分别是矩形、菱形、正方形，则两条对角线必须满足什么条件?
(4)如果原题中四边形分别是矩形、菱形、正方形和等腰梯形，那么题中相应得出的四边形又分别是什么图形?
通过以上问题的分析讨论，学生不仅能够从中发现决定中点四边形的是原四边形两条对角线之间的关系，而且还能有效地促进他们创新思维能力的发展。
一、合作探究式教学法的内涵
合作探究式是新课标下提出的一种新教学形式，其主张以学生为主体，在教师的指导和协助下，通过小组合作的教学方式，让学生在教学中发现问题、分析问题及解决问题，从而培养学生的实践能力和创造能力。对于合作探究式教学特征，（1）学生可以通过探究活动获取知识；（2）重视知识获得的过程，注重学生的情感体验；（3）采用开放式的教学模式，注重学生之间的合作交流；（4）尊重学生的个体差异，使每个学生都能积极地参与到教学中，学有所得；（5）注重学生知识能力的增长，也注重学生精神生命的成长等，在数学教学中，教师应注重以学生为主体的合作探究式教学，通过设定一定的教学情境，不断激发学生的学习兴趣，充分调动学生的主动性和积极性，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，从而提高数学教学效果。合作探究式教学法在初中数学教学中的实施，首先，需要教师创设一定的情境，并提出问题；其次，采取自主探究和小组合作探究的形式，对数学中的疑难问题作出解答；再次，小组成员之间交流合作，互帮互助，共同进步和发展；最后，评价总结，扬长避短。合作探究教学法对提高数学教学质量具有重要作用。
二、合作探究式教学法在初中数学教学中的实践
在合作探究式数学教学中，首先应组建小组，教师应将学生分成几个小组，通常每个小组为4~5个人，教师应根据学生的个性特点、知识水平合理分配小组，每个小组的优等生、差等生比例相等，以保证每个小组平均水平相差不大，在分配小组过程中，也应分配小组组长和记录员等，每个小组成员可以轮流担任小组组长或其他职位等，从而促进学生全面发展。另外，每个小组应明确分工，共同完成教学任务，当学生对问题进行思考、讨论时，教师应及时观察每个小组的讨论情况，应积极给予帮助和指导，使学生在良好的环境下成长。下面对合作探究教学法在初中数学教学中的实践进行探讨。
1.采取小组合作学习形式，加深对数学知识的理解在小组合作探究数学教学中，应根据学生的专业水平、个性特点合理分工，使每个小组成员在小组中充分发挥自己的潜力和个性，例如，教师可以设计关于计算长度的几何题，如用一根长度为60cm的绳索围成一个菱形，为了使菱形的一条对角线是菱形边长的14，则这个菱形的一条对角线是多少？教师还可以提出更多的问题，如要使长为60cm的绳索围成两条对角线相等的菱形，并且对角线是菱形边长的35，问菱形的面积是多少？通过创设问题情境，让学生针对问题进行交流和讨论，最终得出结果，每个小组可以安排一名发言人上台进行小组的成果演讲，并解释得出结果的过程，其他小组进行评价并吸取经验，从而加深对知识的理解。
2.采用一解多题的形式，注重数学知识的变形探索在数学知识探索中，首选需要弄清问题；然后根据问题拟定任务；再者，通过小组合作讨论和探讨，完成教学任务；最后，总结知识。在数学教学中，教师应将大量的时间留给学生，让学生从多方面、多角度地去思考问题、发现问题、探讨问题、解决问题，让学生寻找数学知识的规律，从而加深对数学理论知识的理解。例如，如下图所示，边EDAC、FCBG为正方形，点C在两个正方形的平面上，点F在DC线段上的中间点，问边长AF、DB长度是否相等，并证明？教师还可以这样提问，若点C位于BA线段的延长线上，问边长AF、DB是否相等，并证明？这样学生可以根据问题进行探究。通过问题的拓展延伸，学生互相讨论和探究，并证明AF、BD长度相等的关系是否成立，由于AC等于DC，FC等于BC，根据勾股定理原理，可以知道AF与BD的长度是相等的，根据第二个问题，首先需要学生合作完成，并画出图形，然后根据几何图的变化规律，证明AF、BD的长度是相等的，采用一题多解的解题方式，不仅锻炼了学生的合作能力和探究能力，也提高了学生的数学成绩。
合作探究教学法在数学教学中具有重要意义，教师应充分利用合作探究教学法的优势，从而提高学生的数学成绩，进而提高数学教学效果。
作者：严伟娟 单位：江苏省扬中市外国语中学