时间：2023-06-18 10:46:43
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇勾股定理的研究，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
在我国所颁布的《数学课程标准》，无论是义务教育阶段还是普通高中阶段，都有与数学史相关的要求。《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》第四部分“课程实施建议”，每一个学段的“教材编写建议”都有“介绍有关的数学背景知识”这一条目。而《普通高中数学课程标准(实验)》认为“数学课程应适当反映数学发展的历史、应用和趋势”“应帮助学生了解数学在人类文明发展的作用，逐步形成正确的数学观。”同时在选修课程中开设“数学史选讲”，并提供了若干可供选择的专题。
勾股定理是平面几何中具有奠基性地位的定理，是解三角形的重要基础，也是整个平面几何的重要基础，其在现实生活中具有普遍的应用性。因此勾股定理几乎是全世界中学数学课程中都介绍的内容。这是因为勾股定理不仅对数学的发展影响巨大，而且在人类科学发展史上意义非凡。从某种意义上说，勾股定理的教学是数学课程与教学改革的晴雨表。20世纪五六十年代数学课程的严格论证，后来提倡的“量一量、算一算”“告诉结论”“做中学”，直到现在的探究式等，在勾股定理的教学中都有各自的追求。数学教学要培养学生数学计算、数学论证乃至数学推断等能力，勾股定理的教学正是一个恰当的例子。
“勾股定理”是初中数学中的一个重要内容，具有悠久的历史和丰富的文化内涵，《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中指出勾股定理的教学目标是让学生体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的问题。勾股定理的内容出现在八年级，而八年级又是学生学习数学的一个重要发展阶段，由具体思维向形式化思维转变的重要时期，但勾股定理的教学却始终是一个难点，虽然勾股定理的证明方法据说超过400种，但是真正能够让学生在思路上比较“自然地”想到的证明方法是困难的，而从让学生体验知识的发现过程的角度来讲，要让学生“再发现”勾股定理更是难上加难。
那么，教师如何教学才能使学生体验勾股定理的探索过程呢?笔者认为教师应该以勾股定理的历史文化发展为线索来设计课堂教学更为合适。
1. 教学目标
（1）使学生在探索中“发现”勾股定理；
（2）使学生从勾股定理的历史背景中体验勾股定理；
（3）使学生从不同文化对勾股定理不同的证明方法中感受数学证明的灵活和数学美，感受勾股定理的丰富文化内涵；
（4）使学生运用勾股定理解决实际问题；
2. 课时安排 本节安排三课时，第一课时讲到勾股定理的证明，第二课时讲授证明方法，第三课时讲授勾股定理的应用。
3. 教学过程
3.1 从文化传统入手使学生“发现”勾股定理：
教师在课前需要做好形式多样的三角形的模型，既有直角三角形又有非直角三角形（为方便起见，使得每一个直角三角形的两个直角边的长度均为整数）。将全班学生分若干个小组，发给每个小组两个直角三角形和一个非直角三角形，让每个小组同学利用直尺测量三角形的三边长，并记录数据（教师可利用几何画板进行集体演示）。然后，教师提出问题：
(1) 你手中的直角三角形的三边的平方之间有什么关系？
(2) 这种关系对于非直角三角形是否任然成立？
通过计算，和小组内讨论，每个小组选出一位“发言人”代表本小组陈述本组的结果。教师在一旁进行指导，并根据学生的回答，给出正确的结论：
问题(1)：任意直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是我们要学习的勾股定理的内容。这里的“勾、股”指的是直角三角形的两个直角边，斜边叫做“弦”。
问题(2)：任意非直角三角形都不存在这种关系。
中国传统数学非常重视测量与计算，这是古人发现问题和解决问题的主要方法之一，同时也是学生很熟悉的学习方法。这样引入课题符合从特殊到一般的思维规律，能够带动学生的学习积极性。
3.2 向学生介绍勾股定理的历史背景：
据史书记载，大禹治水与勾股定理有关。
大禹在治水的实践中总结出了运用勾股术(也就是勾股的计算方法)来确定两处水位的高低差。可以说，大禹是世界上有确切文字记载的第一位与勾股定理有关的人了。
《周髀算经》是中国历史上最早的一本算术类经书。周就是圆，髀就是股。上面记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的文字记录，即＂勾三股四弦五＂，亦被称作商高定理。卷上另外一处记述了周公后人荣方与陈子(约公元前6、7世纪)的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：
“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并几开方除之，得邪至日。”
可见，在我国西周时期已经开始利用勾股定理来测天量地，于是勾股定理又叫“商高定理”。
而在西方，人们认为勾股定理的第一个证明是毕得格拉斯给出的，因此将勾股定理又叫做“毕得格拉斯”定理。相传毕得格拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，一次就宰杀了一百头牛祭神庆贺，于是也把“毕得格拉斯”定理称为“百牛定理”，不过迄今为止还没有毕得格拉斯发现和证明勾股定理的直接证据，而且宰牛庆贺一说也与毕得格拉斯学派的素食主义相违背。不过尽管如此，人们任然对毕得格拉斯证明勾股定理的方法给予了种种的猜测，其中最著名的是普鲁塔克(Plutarch,约46-120)所给出的面积分割法。从毕得格拉斯时代到现在，人们对勾股定理给出了各式各样不同的证明方法。在卢米斯(E·S·Loomis)的《毕氏命题》一书第二版中，作者收集了勾股定理的约370种不同的证明方法，并对它们进行了分类。
3.3 向学生展示历史上勾股定理的不同的证明方法：
勾股定理在几何里具有非常重要的地位，是解三角形的重要基础，也是整个平面几何的重要基础，其在现实生活中也具有普遍的应用性. 在数学教科书中，勾股定理一般出现在八年级，而八年级被认为是学生学习数学的一个重要发展阶段，也即具体思维向形式化思维转变的时期. 所以可以说，勾股定理教学也处于学生数学思维转折阶段. 但另一方面，勾股定理的教学却始终是一个难点. 虽然勾股定理的证明方法据说超过400种，但是让学生能够在思路上比较“自然地”想到证明方法是困难的；而且，从让学生体验知识发现过程的角度讲，要想让学生“再发现”勾股定理更是难上加难.[1]所以有人说，看一个国家的数学教育水平，只要看看勾股定理，他们的教材是怎样编的，他们的教师是怎样教的，就可略知一二.
对于勾股定理的教学，黄荣金博士从上海和香港所做的19个勾股定理教学的现场实录，以及由第三次国际数学和科学重复录象研究项目提供的12个勾股定理教学录象（包括实录文稿）中，选取澳大利亚、捷克、中国香港和上海四地勾股定理的课堂教学进行研究，其研究表明澳大利亚是把勾股定理作为一个事实（已知）告诉学生，只字未提证明，捷克和香港虽然介绍了多种证明方法，但事实上只是通过演示手段，让学生直观地确认所发现的关系. 文[2]表明沪港两地教师在教学中对勾股定理证明的处理有许多不同之处：香港课堂主要通过直观或具体的活动来确认定理的真实性，而上海教师至少介绍一种数学证明，而且四分之三多的教师介绍 2 种以上方法；上海教师比香港教师更加紧扣教科书，而香港教师使用的教科书可以是不同的；香港教师总是将探索问题的过程或证明的步骤程序化.
教师通常依据教科书来进行教学，教科书的不同很有可能影响到教师的教学. 由此，本文从微观层面来考察沪港两地数学教科书“勾股定理”部分的编写. 上海的教科书，我们选取华东师范大学出版社《数学》（事实上，此套教材在内地被广泛使用），而香港教科书我们选取Oxford University Press的《Exploring Mathematics》[3].
2 《数学》和《Exploring Mathematics》中的“勾股定理”
《数学》第十四章为《勾股定理》，包括14.1《勾股定理》和14.2《勾股定理的应用》，其中14.1由《直角三角形三边的关系》和《直角三角形的判定》两小节组成. 《Exploring Mathematics（2ndEdition）2B》第10章为《勾股定理（Pythagoras’ Theorem）》，该章有三节为勾股定理的内容：10.2《勾股定理(Pythagoras’ Theorem)》，由《直角三角形三边的关系（Relations between the Three Sides of a Right-angled Triangle）》、《介绍勾股定理（Introduction to Pythagoras’ Theorem）》和《数学的美妙：勾股定理的证明（The Beauty of Mathematics:Proofs of Pythagoras’ Theorem）》三小节组成；10.3《勾股定理的应用（Applications of Pythagoras’ Theorem）》，由《简面图形的应用（Applications to Simple Plane Figures）》和《现实生活应用（Real Life Applications）》两小节组成；10.4《勾股定理的逆定理及应用（Converse of Pythagoras’ Theorem and Its Applications）》. （10.1和10.5分别为平方根和无理数. ）
本文从勾股定理的发现、勾股定理的证明、勾股定理的逆定理和勾股定理的应用四个方面对两种教科书进行介绍，而这里的介绍涉及对两种教科书的简单比较.
2.1 勾股定理的发现
《数学》通过三个活动引导学生发现勾股定理. 第48页安排了“试一试”：
测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、b、c之间的关系.
笔者认为，这个活动设计得并不十分合理. 因为一块任意的三角板，它的三边长很可能并非整数. 让学生由三边长分别为3、4、5或者5、12、13的直角三角形猜想勾股定理，就已经不是十分容易的事（比如，学生容易得到3+5=2×4而不易得到32+42=52；也有学生由32=4+5和52=12+13猜想a2=b+c），更何况来猜想三个非整数之间的平方关系. 第49页安排了“试一试”，通过数或计算三个正方形的面积来寻找直角三角形三边长度之间的关系. 这个活动比前面那个活动目标明确、步骤清晰、难度降低，学生容易找到要求的关系. 第50页又安排了“做一做”. 由这三个活动概括出勾股定理.
《Exploring Mathematics》的处理方式似乎与《数学》有些类似，事实上又有很大的区别. 教科书安排了两个“班级探险（Class Exploration）”，第一个活动是出示一个直角三角形，要学生测量三边的长度，然后计算三边的平方，再思考a2+b2与c2的关系. 第二个活动是让学生填表格，已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，8和6，15和8，画出图形，测量斜边，计算a2、b2和c2，再确定a2、b2和c2之间的关系. 很显然，这两个活动的目标很明确，而且台阶已经铺好，学生只要依次一步步做下去，就可以得到答案.
总之，两种教科书都通过若干个活动引导学生发现勾股定理. 从难度上讲，《Exploring Mathematics》比《数学》要小，因为已经把“探索问题的过程或证明的步骤程序化”.
2.2 勾股定理的证明
《数学》在勾股定理的证明这一环节安排了“试一试”：将四个完全相同的直角三角形拼成一个正方形，然后计算边长为c的正方形面积，通过运算得到勾股定理，这是一种代数方法. 拼法有两种，第一种拼法（图1）有运算c2=(a+b)2-4×1/2ab=a2+b2，第二种拼法（图2）有运算c2=(a-b) 2+4×1/2ab=a2+b2. 这里的图2是历史上赵爽“弦图”的简图，教科书随后在“读一读”中对其做了简单介绍.
此外，第54页习题14.1的第1题其实是勾股定理的总统证法，第58页的“读一读”其实是勾股定理的“风车证法”，而本章的最后安排“课题学习”：勾股定理的“无字证明”. 可以说，《数学》对勾股定理的证明非常重视，通过不同的活动形式展现给学生；而且更多地，不是直接告诉学生方法，而是引导学生自己去探索，去查找资料主动获取证明方法.
《Exploring Mathematics》在《数学的美妙：勾股定理的证明》这一小节中，给出两种“简单而优雅的证明（two simple and elegant proofs）”. 证明1通过四个直角三角形拼成正方形的两种不同摆放形式（图3），从直观上验证定理（没有代数运算），这是一种几何方法. 证明2与《数学》“试一试”中的第二种方法一致，通过代数运算来证明；而且教科书在证明2旁边也放了一则“历史注解（Historical Note）”简单介绍赵爽的弦图及其证明方法. 不过除了这两种证明方法，教科书中没有再出现其他的方法.
总之，两种教科书对勾股定理证明的处理有一致也有区别之处. 《数学》“试一试”中的两种方法都是代数方法，而《Exploring Mathematics》采用一种几何方法和一种代数方法. 而且，两书的第二种方法都与赵爽的弦图有关，都配有简要的数学史知识. 此外，与《Exploring Mathematics》不同，《数学》还涉及其他证明方法，其中第58页“做一做”中的“风车证法”也是一种几何方法.
2.3 勾股定理的逆定理
对勾股定理的逆定理，《数学》用古埃及人画直角的方法来引入；而《Exploring Mathematics》则开门见山，提出问题：交换勾股定理的条件与结论，“如果a2+b2=c2，那么∠C=90°”，这个结论成立吗？然后学生探索，验证，得到结论. 《Exploring Mathematics》也用“历史注解”的形式简单介绍了古埃及人画直角的方法.
2.4 勾股定理的应用
对于定理的应用，两种教科书都给出了一定数量的例题和习题. 我们来看两书中的典型题目. 《数学》14.2《勾股定理的应用》例1：
如图14.2.1（图略），一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径. 一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.
比较有意思的是，这一题目我们可以在内地其他版本的教科书中看到. 比如，人民教育出版社《数学》第十八章《勾股定理》复习题的第8题就是类似一题；北京师范大学出版社《数学》八上第一章《勾股定理》第3节就以“蚂蚁怎样走最近”为标题，研究这个“蚂蚁问题”. 为什么这些教科书都采用这一题目，它有什么深刻背景吗？事实上，它是由一道历史名题改编而来的，原题为：
如图4，在一个长、宽、高分别为30、12、12英尺的长方体房间里，一只蜘蛛在一面墙的中间离天花板1英尺的A处，苍蝇则在对面墙的中间离地面1英尺的B处，苍蝇是如此地害怕，以至于无法动弹. 试问，蜘蛛为了捉住苍蝇需要爬行的最短距离是多少？（提示：它少于42英尺）
这一“蜘蛛与苍蝇”问题最早出现在1903年的英国报纸上，它是H.E.杜登尼（Henry Dudeney，1847-1930）最有名的谜题之一. 杜登尼是19世纪英国著名的谜题创作者，他创作的这一问题对全世界难题爱好者的挑战，长达四分之三个世纪.[4]这就不难明白，教科书为什么对这“蚂蚁问题”偏爱有加了.
除例1外，《数学》还安排3个例题. 在例2下面有一“做一做”，其实是证明勾股定理的“风车证法”，与上下文似乎没有太大的联系，放在这一节里并不合理.
《Exploring Mathematics》中例题和习题给人的第一感觉是，离学生的生活很近. 比如《现实生活应用》这一小节一开始安排了“班级探险”：
假设一艘小船离开大屿山的梅窝码头，航行2.8公里达到喜灵洲码头. 然后左转90度并航行3.1公里到达坪洲码头. 寻找一种可以获知梅窝码头到坪洲码头的直线距离的方法.
大屿山是香港的一个岛（迪斯尼乐园就建在这个岛上），喜灵洲和坪洲是大屿山附近的两个小岛，它们都是香港学生熟悉的. 所以这一题设计得非常好，它取材于学生的现实生活，给人一种“身边的数学”的感觉，富有生活气息. 把现实中的问题转化为数学问题，让学生通过数学化和数学地思维去解决问题. 解决了这一问题，又能让学生感觉到数学不仅是有趣的而且还是有用的.
再比如，同一小节的例7，大意是说Patrick从学校到公交车站要穿过一个长124米宽93米的足球场，那么他走最短路线要走多远. 其后练习10C的14题又把场景放到一个篮球场，David沿边跳，John沿对角线跳，然后问他们跳的路程差. 10.4《勾股定理的逆定理及应用》中的例9关注两位学生的家与学校的距离，这样的情境让学生感觉到很亲切. 相比而言，《数学》第58页的例2，卡车通过工厂的大门，这样的问题情境就不是十分贴近学生的生活.
总之，《数学》取材于历史数学名题，《Exploring Mathematics》在问题情境的设计上下足工夫，两书各具特色. 此外，从习题数量上看，《Exploring Mathematics》明显要比《数学》多，而且每一个例题都标明它属于水平1还是水平2，其后的习题也按水平1和水平2分开编排；《数学》除章末的复习题按难度和水平分成A、B、C三组，其他的例题、练习和习题没有标注其对应的水平.
3 两种教科书引发的思考
通过对《数学》和《Exploring Mathematics》在“勾股定理”内容的考察、比较和分析，也引起了我们对一些问题的思考.
3.1 弱化对定理的发现
对于定理的发现，笔者认为可以做弱化处理，没有必要让学生在此太花精力. 引导学生探究而发现勾股定理，处理不当，容易导致学生盲目的探究. 在实际教学中，教师虽有探究式教学的理念，但在师生行为的设计上存在着困惑：通过度量直角三角形三条边的长，计算它们的平方，再归纳出a2+b2=c2，由于得到的数据不总是整数，学生很难猜想出它们的平方关系，因此教师常常把勾股定理作为一个事实告诉学生. 如何处理这一困惑，一条途径就是教科书直接把勾股定理呈现在学生面前，而更多地把空间留给介绍与勾股定理相关的数学史料上，借此拓宽学生的视野. 第二条途径是参考顾泠沅、王洁等人的工作：运用“脚手架”理论，通过“工作单”进行铺垫，为学生的学习提供一种教学协助，帮助学生完成在现有能力下对高认知学习任务的难度的跨越. 这样的处理也具有一定的可行性. 不过，笔者更倾向于第一条途径，弱化发现，而强化证明、重视应用，把重点放到其后定理的证明和应用上，这样处理也许对学生的思维更有利.
3.2 呈现多种证明方法
我们看到《Exploring Mathematics》只介绍了两种证明方法，而且第一种更多的是借助直观的几何验证；而《数学》则涉及到好几种证明方法. 这也可以从某种程度上解释前文所提及的两地课堂教学上的差别. 笔者认为，对于定理的发现，我们可以做弱化处理，而证明则应该强化. 一方面，勾股定理的证明可以训练学生精致的数学思维；另一方面，勾股定理的证明方法是体现多元文化数学的极好题材. 正如前文所述，勾股定理的证明方法据说超过400种，而且不同的方法与不同的文化、不同种族的思维方式紧紧联系在一起. 我们认为数学教科书中呈现多元文化数学的内容是数学教科书编写的发展方向. 通过对不同时期、不同地域数学成果及其思想方法的比较，可以使学生明白，数学并不只属于某个民族、某种文化. 数学教科书和数学教学引导学生尊重、分享、欣赏、理解其他文化下的数学，借此拓宽学生的视野，加深对数学知识的理解，培养开放的心灵. 那么，在《勾股定理》中，教科书应以适当的方式呈现若干种经典证法. 比如欧几里得《原本》的证明方法就很值得向学生介绍，与赵爽的方法做一对比，学生能体会到古希腊人对理性的追求；对相关背景做介绍，学生意识到不同的文明产生了不同的数学. 欧几里得方法可能对学生而言比较难，不是那么容易理解，教师可以做适当的处理，比如借助计算机做动态演示，一般学生还是可以接受的.
3.3 问题情境的设计应贴近学生的生活
两种教科书对定理的应用都非常重视. 学习了勾股定理，学生必须会用这个定理，否则学习它就没有多大意义了. 教科书都安排了不少例题和习题. 在笔者看来，《Exploring Mathematics》的最大特色就在于问题情境的创设上. 数学问题本身就来自于生活，数学方法应应用于现实生活. 数学并不远离学生的现实世界，相反，它就在我们身边. 《Exploring Mathematics》中的例题和习题，就取材于学生周围的世界，学校、自己家的房子、球场、公交车站、居住的岛屿，这些都是学生熟悉的场景. 这些熟悉的场景放进数学题里，学生就有一种亲切感. “学数学”不仅是“做数学”，而且还是“玩数学”，让学生在一种轻松愉快的情境中解决数学问题，而这个过程是充满乐趣的. 教科书中的数学问题不能单纯围绕数学而编写、杜撰. 比如说，我们在内地某教科书中看到这样一个问题：
强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处. 旗杆折断之前有多高？
这个问题设计并不科学、合理，因为横向的“12米”是容易测量的，那么纵向的“9米”又是如何得到的呢？如果可以通过直接测量的话，那么折断部分的15米应该也不难测量（唯一难测量的情况就是尺子的长度大于12米而小于15米）. 所以，它看似是来自于一个现实生活的问题，实则是很典型的“为数学而问题”. 从数学角度讲，它也许是严谨的、完美的，但它却远离了学生的现实生活. 香港教科书在问题情境创设上对我们很具启发和借鉴意义.
参考文献
［1］ 鲍建生,王洁,顾泠沅.聚焦课堂――课堂教学视频案例的研究与制作［M］.上海:上海教育出版社,2005. 180.
［2］ 黄荣金.香港与上海数学课堂中的论证比较――验证还是证明［J］.数学教育学报,2003,12(4):13-19.[ZK)]
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C
【文章编号】 1004―0463（2015） 10―0119―01
数学教学中应深入挖掘教材，在传授数学知识的同时，充分展示其内在功能.本文对八年级上册第一章中“勾股定理的逆定理”的运用价值作一探讨分析.
一、展示数学辩证统一思想
数学知识是一个有机整体，许多知识点有着内在辩证统一的联系，而“勾股定理的逆定理”是在“勾股定理”研究的基础上形成的.两个定理不但组成一对完善的互逆定理，而且在研究过程中亦展现了数学知识内部发展、运动的辩证统一关系.数学教学中，要充分地揭示两定理的互逆性和统一性，加深学生对勾股定理本质的认识，进而亲身体验矛盾转化的美感.
例1 如图1，ABC中，CD是边AB上的高.
（1）若∠ACB=90°，求证：CD2=AD・BD;
（2）若CD2=AD・BD，求证：∠ACB=90°.
证明：（1）由勾股定理得
（AD2+CD2）+（BD2+CD2）=AD2+2CD2+BD2…… ①
又AC2+BC2=AB2=（AD+BD）2=AD2+2・AD・BD+BD2…… ②
由①、②可得：CD2=AD・BD
（2）由已知，AB2=（AD+BD）2=AD2+2・AD・BD+BD2=AD2+2CD2+BD2=AC2+BC2.由勾股定理的逆定理可得∠ACD=90°.
二、渗透数学建模思想
数学建模思想是连接数学与现实的桥梁，是学生领悟数学“源于生活，又用于生活”的理想途径.教学中应结合教材，把数学建模思想融合于知识学习之中，使知识点的内在价值得到充分体现.
例2 古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图2那样钉成一个三角形，其中一个角便是直角.说明这种做法的根据.
例3 已知ABC中，三边长分别为a，b，c，且a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n>0），求证∠C=90°.
由例2可见，数学建模思想自古有之，是人类长期实践的结晶，是人类灿烂文明的一部分，数学中应将它发扬光大.而例3作为一个几何命题，实质上给出了勾股数的一个数学模型，由此可轻而易举地完成练习：“除3，4，5外，再找出五组勾股数”.由上面两例可见，数学建模思想在数学与非数学领域的导向性价值，亦可见课本编者匠心所在.
三、强化数形结合思想
华罗庚教授指出：“数缺形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休.”如何使学生接受、理解并掌握数形结合思想，进而在分析问题、解决问题中能较熟练的运用，向来是数学教学的重点和长期任务之一.
例4 如图3，ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm，求证：AB=AC.
由例4证明过程知，根据勾股定理逆定理，对ABC三边进行精确的数量运算，并结合图形，可得∠ADB=∠ADC=90°.先由RtACD图形的直观特征，用勾股定理计算出AC=13cm，最后由数的关系得到图形相等关系AB=AC.
四、 “问题解决”的综合实践思想
“问题”是数学的心脏，而“问题解决”是数学永恒的主题.初中学生在数学学习过程中，时刻在感受、体验“问题解决”的内涵.如何紧扣教材知识点，组织形成“问题情境”，使学生参与到“问题解决”的过程中，从而提高数学思维能力，已经成为教学重要任务之一.而该章“勾股定理逆定理”所隐含的极有价值的有关素材，正可不失时机地加以挖掘和应用.
例5 在ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2， 求证：∠C=90°.
略证：作A′B′C，使∠C′=90°，BC=a，AC=b，则由勾股定理得：A′B′=c=AB，所以ABC≌A′B′C′.由此∠C=∠C′=90°得证.
例6 如图4 ，已知∠1=90°，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，求证：∠D=90°.
略证 RTABC中，由勾股定理可得AC=5，在ADC中由勾股定理可得∠D=90°.
1由中国结到勾股定理的证明方法
中国的文化既悠久又丰富，中国的民间艺术丰富，其中中国结就是中国民间艺术的智慧结晶.中国结从头到尾都是用一根丝线编结而成，每一个基本结又根据其形、意命名.把不同的结饰互相结合在一起，或用其它具有吉祥图案的饰物搭配组合，就形成了造型独特、绚丽多彩、寓意深刻、内涵丰富的中国传统吉祥装饰物品.勾股定理的发现可以从中国传统的吉祥装饰物品中体现出来，同样这种数学元素也反映在非洲的装饰品中[1]，如此一来，这一素材又反映了数学多元文化的特点.具体地，图1展现了“结”的前后表面形状，图2是“结”形状的轮廓，包括可以看见的线条以及不可见的线条，由此可以看出中间是一个近似的正方形.
如果按照这个中国结的编织图形（图3）进行分割，通过截取变化（图4）便能得到并证明结论：SC=SA+SB.（图5）
2由纸风车到勾股定理的证明方法
纸风车是一种来自民间的折纸艺术，做法简单，制作后的纸风车形状具有数学对称美，而其形状又成为了证明勾股定理的良好素材.通过观察可以看出纸风车的形状成中心对称，将纸风车中的结点连接，大正方形被分割成一个小正方形和四个全等的四边形（图6）.将图6中的几何图形进行如图7的拼接，可以巧妙地证明勾股定理.
3文化素材的教学应用
多元文化数学的进一步挖掘会使数学的教与学变得更加丰富多彩[2]，从教学的角度思考勾股定理的教学，将上述的文化素材切入勾股定理的学习，将数学融入文化，并从学生认知规律出发设计一堂生动有趣的数学文化课堂.具体而言，上述文化素材可以通过两种方式加以应用.
一是在形成了有关勾股定理的猜想之后，展现中国结与纸风车等文化素材，通过数学化，将生活形状抽象为几何图形，然后再利用拼图游戏来直观化地验证勾股定理.这样做的目的有三.首先，适应学生的几何认知水平.荷兰学者范希尔夫妇经过理论和实践两方面的长期探索，指出学生的几何思维存在5个水平：直观（Visualization）、分析（Analysis）、推理（Inference）、演绎（Deduction）、严谨（Rigor）[3].初中学生的逻辑思维能力还不是太强，因此需要通过直观、操作等手段帮助学生理解抽象的几何关系与演绎逻辑.而借助中国结、纸风车等为载体抽象出来的几何图形，通过拼图能直观地验证勾股定理，这对于数学学习基础尤其是抽象思维能力较弱的学生而言是极为重要的，降低了思维难度，但同时又提高了学生的参与度、兴趣与信心.其次，密切数学与生活的关联.在很长一段时间里，学生学校的数学学习与其生活是相互割裂的.这样的学习也造成了很大的教育问题，即学生的数学学习未能被正当地赋值，甚至有人还提出数学无用论.因此，在教学中需要借助学生生活中常见的素材，并由此学习这些素材中蕴含的数学元素与数学关系，这也即是“数学生活化”的教学设计逻辑[4].这即是指，教师首先确立的是“勾股定理”这一数学维度上的学习目标，然后寻找到如中国结、纸风车等生活中常见的素材，并使之融入到教学之中，以实现“数学生活化”.再次，为了学生文化浸润式的学习.除了密切学生的现实生活与数学之间的关联之外，还要让学生体会到数学的文化厚重感.即借助富有中国传统特色的中国结、流传历史悠久的纸风车来学习数学，能让学生产生历史厚重感.
二是在学生已经学习了勾股定理之后，向学生展现中国结和纸风车图片，要求学生抽象出其中的数学元素，并由此探索这些数学元素之间的数学关系.与前一种将文化素材作为验证勾股定理的载体不同，这里将其后置到定理学习之后作为拓展性的问题让学生探索.这种用法的价值除了具有前述“密切数学与生活之间的关系”、“为了学生文化浸润式的学习”等两个方面之外，还有以下意义.首先，为了知识的巩固与活化.学生在学习了勾股定理之后，除了常规的练习之外，事实上更重要的是要将知识迁移到类似的但又不那么封闭与明确的情境之中.后者不仅在于巩固知识，同时也使知识得到活化.因为，无论是中国结还是纸风车，都需要学生作一定程度的数学化，并将不熟悉的问题化归为刚刚学习的勾股定理相关的问题，显然这就不仅仅是知识的巩固了.其次，从教育目标的角度来看，这种做法还期待培养学生“生活数学化”的能力.关于数学价值，不同的人也许有着不同的理解.但显见的是，在数学上研究越深入的人越能认识到数学的内在价值.造成这种现象的一个重要原因在于，数学的价值有时是非常内隐的，甚至很难为人所感知的.如果在教学中不去挖掘数学的内在价值，有时就会产生误导，甚至会认为数学只是用于计算.也正因如此，我们强调这些文化素材在数学教学中加以应用，就是希望所培养的学生能逐渐拥有用数学思考问题的意识和习惯，拥有用数学更好地组织生活的能力.就本案例而言，中国结与纸风车都是我们文化生活中所常见的，但我们更习惯于用工艺品（或艺术品）的角度来理解，而很少会从数学的角度研究这类物品.但事实是，当我们用数学的角度来理解生活中的这些事和物的时候，往往能带来惊喜：原来我们身边处处有数学.再次，有助于培养学生的数学学习习惯.过去我们所理解的数学学习习惯往往指的是学生伏在案头学习数学的习惯.我们认为，数学学习习惯除了上述方面外，一个更高的层次是学生随时而自然地会想着用数学的角度思考问题.后者当然是理想的状态，但教学中的有意识培养也能帮助学生朝着这个方向前进.其中一个重要的培养策略就是让学生尝试探索也许表面上与数学风马牛不相及的素材中的数学元素，除了中国结、纸风车，还有包括建筑物等素材.需要进一步说明的是，与前一种用法相比，这种用法对学生的数学要求也更高，当然所培养的探索能力也会更强一些.
总之，数学文化的观念已引起人们越来越多的关注，关于数学文化与数学课程教学的整合也是研究的热点问题之一.但关于富含数学元素的民俗文化的挖掘与教育学转换还比较有限，本文也是在这一方向上的一种努力.
参考文献
[1]张维忠.数学教育中的数学文化[M].上海：上海教育出版社，2011：233.
[2]唐恒钧，张维忠.民俗数学及其教育学转化-基于非洲民俗数学的讨论[J].民族教育研究，2014（2）：115-119.
关键词：和谐；黄金数；勾股定理；对称美
随着数学的深入发展，人们逐渐地认识到：数学的发展与人类文化休戚相关，数学一直也是人类文明的文化力量。在数学教材中，蕴涵着丰富的数学美，认识数学的美，有利于提高学生学习的兴趣，能增强学生的数学解题能力和数学思维。
一、黄金数
两千多年前，古希腊数学家欧多克斯发现：如果将一条线段(AB)分割成大小两段(AP、PB)，若小段与大段的长度比恰好等于大段长度与全长之比的话，那么这一比值等于0.618…，用式子表示就是PB：AP=AP：AB=0.618…
建筑师们对数字0.618…特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都是与0.618…有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618…处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618…处，能使琴声更加柔和甜美。因此大画家达芬奇把0.618…称为黄金数。
黄金分割在几何作图中有很多应用，如五角星的各边就是按照黄金分割划分的，圆的内接正十边形也能归结为黄金分割。关于黄金分割还有很多应用，如摄影、建筑设计、音乐、艺术等。
二、古老的勾股定理
勾股定理是初等几何中的一个基本定理，是人类最伟大的十个科学发现之王，西方国家称之为“毕达哥拉斯定理”，但远在毕达哥拉斯（公元前580或568—公元前501或500）出生之前，这一定理早已为人们利用，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。希腊著名数学家毕达哥拉斯曾对本定理有所研究，故西方国家均称此定理为毕达哥拉斯定理。我国又前也叫“毕达哥拉斯定理”，上世纪50年代曾开展关于这个定理命名问题的讨论，最后确定叫“勾股定理”。
3500年以前，巴比伦人就知道三边长为下列各数的一些三角形为直角三角形：
120，119，169； 3456，3367，4825； 4800，4601，6649； 13500，12709，18541； 72，65，97； 360，319，481；2700，2291，3541； 960，799，1249；
然而，当时为什么列出这些三角形，至今还是个谜。
勾股定理是欧氏平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，开普勒称“几何学两个宝藏”：一个是勾股定理，另一个是黄金分割。中国著名数学家华罗庚曾建议用一幅反映勾股定理的数形关系图来作为与“外星人”交谈的语言。就勾股定理本身而言，它在直角三角形的三条边之间建立了固定关系，从而将原来对几何学的感性认识精确化，真正意义的几何学才可以确立。尤其是其中体现出来的“数形统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何及三角学的建立，使数学的几何与代数两大门类结合起来，为数学进一步的发展开拓了宽广的道路。勾股定理以及处理数据的数学方法、思考模式和现代天体物理学思考模式一致。第一宇宙定律就是通过对勾股定理的说明影响人们思维方法的平直时空观。
在人类借助宇宙飞船设法寻找“外星人”的时候，曾经碰到了一个难题：一旦人类遇到“外星人”，该怎样与他们进行交谈？显然用人类的语言、文字、音乐等是不行的。我国著名数学家华罗庚建议，用一幅数形关系图作为与“外星人”交谈的语言。
这幅图中有边长为3、4、5的三个正方形，它们又相互联结围成一个三角形，三个正方形都被分成了大小相同的一些小方格，并且每条边上小方格的个数与这条边长度的数字相等，两个小正方形的小方格数分别为9和16，其和为25，恰好等于大正方形的小方格数，整幅图反映了“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方”。这就是勾股定理，西方人称它为毕达哥拉斯定理。
勾股定理是—条古老而又应用十分广泛的定理。据说四千多年前，中国的大禹就是用勾股定理来确定两地的地势差，以治理洪水的。古埃及人也是运用勾股定理，以绳子打结的方法来确定直角，并用这种办法确定金字塔的正方形底的。勾股定理在现代的应用范围更为广泛。木工用三、四、五放线法确定垂线或直角。在计算屋架所需木料以及起重机工作高度时，都需要用勾股定理来帮助计算。而勾股定理在科学、技术、工程上的应用更是多得不胜枚举。事实上，勾股定理在现代的应用范围是任何数学定理所不可比拟的。
三、美妙的对称
自古以来，人们就已经讨论对称原理之一——左和右之间的对称（还有上、下、前、后等之间的对称）了。对称的概念源于数学（更确切地讲是欧氏几何）。对于对称在生物中的研究，始于1848年的巴斯德的工作，对称在天文学（甚至自然界）上的研究，则始于两千多年前的古希腊人。20世纪的物理学家们研究中发现：对称的重要性在与日俱增，这从某个方面也说明了希腊人想法的合理性。
闹钟、飞机、电扇、屋架等的功能、属性完全不同，但是它们的形状却有—个共同特性——对称。
在闹钟、屋架、飞机等的外形图中，可以找到一条线，线两边的图形是完全一样的。也就是说，当这条线的一边绕这条线旋转180度后，能与另一边完全重合。在数学上把具有这种性质的图形叫做轴对称图形，这条线叫做对称轴。电扇的叶子不是轴对称图形，不管怎么画线，都无法找到这条直线。但电扇的—个扇叶，如果绕着电扇中心旋转1 80度后，会与另一个扇叶原来所在位置完全重合。这种图形在数学上称为中心对称图形，这个中心点称为对称中心。显然闹钟也是一个中心对称图形。
人们把闹钟、飞机、电扇制造成对称形状，不仅为了美观，而且这有一定的科学道理：闹钟的对称保证了走时的均匀性，飞机的对称使飞机在空中保持平衡。
对称也是艺术家们创造艺术作品的重要准则。像中国古代的近体诗中的对仗、民间常用的对联等，都有一种内在的对称关系。如果说建筑也是一种艺术的话，那么建筑艺术中对称的应用就更广泛。中国北京整个城市的布局也是以故宫、天安门、人民英雄纪念碑、前门为对称轴两边对称的。对称还是自然界的一种生物现象。不少植物、动物都有自己的对称形式。比如人体就是以鼻尖、肚脐的连线为对称轴的对称形体，眼、耳、鼻、手、脚都是对称生长的。眼睛的对称使人观看物体能够更加准确；双耳的对称能使所听到的声音具有较强的立体感，确定声源的位置；双手、双脚的对称能保持人体的平衡。
对称在数学上的表现则是普遍的。几何上，平面的情形有直线对称（轴对称）和点对称（中心对称），空间的情形除了直线和点对称外，还有平面对称。比如，正方形既是轴对称图形（以过对边中心的直线为轴）、又是中心对称图形（对角线交点为对称中心），圆也是。正六面体（立方体）、球等都是点、线、面对称图形。
从命题的角度去看：正定理与逆定理、否定理、逆否定理等也存在着对称关系。而且，数学推理的内在的优美，以及由此而来的用数学推理法去揭示物理学结论的复杂性和尝试，是鼓舞物理学家不断进取的源泉。当代美国数学家赫尔曼韦尔指出：“对称，尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想。”对称原理乃是数学中“最有力量和最优雅”的解题方法之一。
综上所述，数学中处处充满着各种各样的美，正是这些美构成了完整的数学美，也正是这些美激发了学生的学习兴趣，提高了学生的思维能力和解题能力。数学美能减轻学生的心理压力，伴随着美感的学习是一种享受，而非一种负担，可使学生学习从“苦学”为“乐学”。这样不仅使学生陶冶了情操，又获取了知识，开发了智力。让学生发现、感受到数学的美，为数学本身的魅力所吸引，通过领悟奇妙的数学美，使数学真正成为锻炼思维的体操。
参考文献
关键词：自主学习；协作学习；混合学习
新课程指出，引导学生建立以“主动参与，乐与探究，交流与合作”为特征的学习方式。学生的合作意识受到了关注，都倡导协作学习，不少教师都在尝试协作学习。然而，现在的小组合作流于形式，课堂上热热闹闹，却没有多少效果。小组协作，是激发学生的创造力的有效途径，能培养学生的合作能力。然而，“学而不思则罔”，在学习上独立思考必不可少。数学是发展学生思维的殿堂，需要独立思考，也离不开同学之间的互相帮助。勾股定理是初中数学的重要内容，是数形结合的完美体现，本文以验证勾股定理一课为载体，研究合自主学习和协作学习两者怎样结合能使学生的收益更大。为此我上了一堂课题研究课――验证勾股定理。
在这一课中，我设计了课前、课中、课后三个环节，我备课时设计的一份“课题学习单”上，有三个内容：
活动一：课前，布置学生根据课题学习单上的要求完成以下学习任务：（每人都要完成）
1.查阅电脑或书籍，收集关于验证勾股定理的方法。
2.研究你查阅到的方法，进行初步自学。
3.把你收集到的这些方法记录下来或打印下来。
4.想一想怎样让你的组员理解这些方法。想出办法，并写下来。
5.根据你写的方法选择展示的方式，如PPT，小黑板、拼图、剪纸、投影片等形式都可以。
在这一环节中这样设计是当我们遇到一个问题时，首先肯定是自己去面对，去想办法解决问题，现代社会，电脑网络成了知识百科全书，大家一有问题只要“百度”一下就能知道答案，让学生自己上网或查阅书籍，培养了学生收集、整理资料的能力。因为学生是独立的个体，都有自我学习的能力，所以学生自己研究查阅到的方法，进行自学，可以让学生把查到的知识内化为自己的。“想一想怎样让你的组员理解这些方法。想出办法，并写下来。”目的是为了小组合作交流做准备，小组交流不是随随便便围在一起讨论几分钟就算了，小组交流也要作准备的。让大家先自己想想怎样跟组员讲解验证方法，等到小组交流时可以不至于浪费时间，比较有效。小组合作交流也是学习，只有作好准备，才能有高质量的发言。
在小组交流时，每个学生都准备充分，大家讨论很激烈，有的拼图，有的写计算过程，有的在图形上讲解，同学讲的时候，组员听讲都很认真，效率确实很好。在小组充分讨论的前提下，每个小组完成“课题学习单”上的活动二。
活动二：展示验证勾股定理的方法，把小组交流得出的验证方法写下来，同时写出展示方式、发言形式、研究过程与存在问题等，便于小组在课堂上进行汇报和课后的继续学习。
上课时，首先花2分钟时间同伴说说勾股定理的内容，这是为了复习前一节课的内容――勾股定理。然后每组派代表讲解小组中得到的验证勾股定理的方法，在小组代表汇报中，我发现，他们像小老师一样，有的用实物投影，先在图形上分析，然后在图形旁或黑板上写出计算过程，有的用PPT展示了动画，有的制作了教具进行拼图……在小组汇报中，当然有讲的不周到的地方，其他同学补充，从而使得学习的内容不断完善。这些孩子的能力是无穷的，我们以前只注重让学生听老师讲，做题，偶尔请学生回答一下问题，原来学生的自学能力和语言表达能力这么强，完全可以自己完成这些任务。有学生讲解到这样一种方法，是我国魏晋数学家刘徽的证明方法――青朱出入图，我在备课时总想学生就是在网上找到这种方法也看不懂，我已经在预设教案中准备讲解这种方法了，可是却有学生讲解到了这种方法，而且讲解得非常到位。为后面让学生自己拼图验证勾股定理做了很好的铺垫。
学生代表讲解完后，我顺利地引导到比较困难的用拼图割补的方法验证勾股定理，引导学生以直角三角形三边为边长向直角三角形内或外作正方形，把两个边长为a、b小正方形进行割补拼到边长为c的大正方形中，如果正好拼好，那么说明能验证勾股定理。接下来，就让学生自己进行割补拼图。同时告诉学生，你通过拼图验证勾股定理的方法分别是18世纪英国的一位业余数学家佩里哥尔发明的验证勾股定理的方法，清代数学家华蘅芳的方法及清代数学家梅文鼎的方法等。也就是说，学生不经过教师讲解，自己探索出了验证勾股定理的方法，与古代的数学家可以媲美。
在这节课的课后，让学生完善课题学习单上活动三。
活动三：我们小组的亮点，让学生写一些这次学习活动中自己小组在学习方法、个人学习、小组活动等方面做得好的地方。并张贴于教室展板上，便于课后再一次自主学习，最后把你会了几种验证勾股定理的方法一一写下来。
在验证勾股定理这节课活动后，我发了一份调查问卷，经调查发现：1.对数学的学习90%有兴趣，10%没有什么兴趣不兴趣的，只为学习而已；2.不喜欢数学的原因是数学成绩差经常挨批； 3.你在数学课堂上一般的做法是：A.听老师讲，一般不回答提问也不参加讨论占17% ； B.听老师讲，也回答问题或讨论占31% ；C.听后思考老师提出的问题，积极参与讨论占48% ；D.不太愿听老师讲，愿意自己看书、思考或参与讨论占2%； 4.在课堂或小组讨论中，不发言，不想说也不会说的有6% ，不发言，想说，但缺少勇气占4%，有的时候发言，但听人家说更好占73% ，积极发言，敢说也会说，光听人家说没意思占17%； 5.这节课与传统的数学课相比，觉得更深刻，同学讲的更容易理解占58% ，还可以，一般般占 23% ，有的同学讲的听不懂，需要老师再讲一下32% ；6.这样的课堂与传统课堂相比，对学习数学的兴趣有没有提升有提升占85% ，有一点点作用占10% ，没有提升占4% 。问卷调查说明，这样还给学生的课堂能激发生绝大多数学习数学的兴趣，同学之间的交流能使问题更容易理解。
一、确立主题、设计教案
华师大版八年级下册第19章第二节安排了勾股定理内容的学习，在教材的阅读材料中，有《九章算术》中的“葭生池中”的问题，这道题很有趣，能够调动学生的兴趣，因此，我决定给大家呈现一节利用勾股定理解决生活中实际问题的研究课，探讨教师应如何设计教案、把握教学，提高学生学习数学的积极性。
我们准备好教案后去请教两位数学特级教师，听取他们的意见和建议。两位专家对我们的教学设计给予了充分肯定，认为课题设计非常新颖，课程内容人文价值丰富，很好地体现了数学与生活的密切联系。两位专家还就讲课过程的设计给我们提出了中肯的意见。我们参考专家的意见和建议对教案进行了修改。
二、上课和观课
1.第一次上课
教学环节一：复习
①勾股定理的历史及内容（学生回答）；
②勾股定理的变式（多媒体展示）；
③应用勾股定理的必备条件，没有条件的话，如何解决？（学生回答，教师补充）
教学环节二：新课引入
①出示例题：名题鉴赏――“莲花戏水”（板书：勾股定理在生活中的应用）；
12世纪的印度数学家婆什迦罗（Bhaskara）的著作中有一道“莲花戏水”的问题：
波平如镜一湖面，半尺高处出红莲。
亭亭多姿水中立，劲风吹来斜一边。
偏离原地两尺远，花贴湖面似睡莲。
请你动脑想一想，池塘水面多深浅？
②展示示意图，让学生思考并说出题目已知什么、要求什么（板书分析过程）；
③挖掘图形中线段之间的关系；
④设未知数，根据勾股定理列出方程，求解；
⑤总结解决问题的方法：先将生活实际问题转化为数学问题，再利用勾股定理列出方程，解方程。
教学环节三：练习
应用归纳的解题方法，自己解决问题（学生朗读、思考后提问）
《九章算术》中的趣题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？”（注：1丈=10尺）
教W环节四：小结和作业
①小结（提问）：今天你学到了什么知识？你的哪方面能力得到了提高？
②作业：练习2。
2.听课教师评价
听课教师普遍认为课题设计新颖，以古代题目为背景，用优美的诗词创设问题情境，拓展了学生的思考空间。教学中渗透了应用意识，具体包括三层转化：一是实际问题转化为数学模型，即把实际问题数学化；二是把不可解的问题转化为可解的问题，构造直角三角形；三是把几何问题转化为代数问题，利用勾股定理构造方程。
3.在反思中发现课堂教学得与失
针对第一次试教的不足，我们把教学目标定位为“让学生成为学习的主人”，让学生经历知识发生、发展的过程，在实际问题数学化的过程中，学会学习、学会发现、学会创造。第二次教学对学生来说具有一定的挑战性，课堂的时空得到开放，学生的主体作用充分体现。课堂教学环环相扣，巧妙创设情境，注重与学生的情感交流，充分调动了学生的自主性和积极性。
三、分享成果
课例研究校本教研活动体现了教师的主体地位，使教师真正成为教研活动的组织者、建构者和创造者。每一位教师自始至终都融入研究活动中，与同伴合作，或讨论，或反思，提高了发现问题、分析问题、解决问题的能力，提高了实施新课程的能力。校本研修使教师产生了共鸣，激发了教师的教研热情。
［关键词］视障；勾股定理；教学设计
勾股定理的探索和证明蕴含着丰富的数学思想和研究方法，对数学发展具有重要作用。但是对于视障孩子来说，过于抽象，难以理解，学习起来比较困难。为了激发视障孩子的学习兴趣，拓展学生的思维，培养他们的创造性思维，我尽可能地把发展空间留给学生，鼓励学生勇于探索，引导学生学会观察、探索、分析、归纳，让学生在玩中学，学中玩，变“苦学”为“乐学”。本节课具体设计如下：
一、准备活动：智力拼图游戏
让学生用硬纸板动手剪四个完全一样的直角三角形，然后用这四个直角三角形拼外形是正方形的图形，要求三角形不能叠加，拼成的正方形中间可以有空隙。（动手剪直角三角形是为了让学生通过亲自操作感知直角三角形的特征，为动手拼正方形作准备。通过动手操作，一是发展学生的逻辑思维能力、动手操作能力、空间想象能力，发展其智力；二是为引入课题及本节课证明勾股定理作准备。）
二、创设情景，导入新课
多媒体显示2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会徽，让低视力学生观察大屏幕上会徽图案，引导学生寻找与会徽上的图案一样的拼图。这就是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时用的图。学生思考：为什么用此图案作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会徽？此图还曾被我国数学家华罗庚提议发射到其他星球，以此试探其他星球“人”是否存在，他认为只要宇宙人是“文明人”就能识别这个图形。学生思考：这又说明了什么？引出课题“勾股定理”，勾股定理是研究什么内容的定理呢？引发学生思考、探究欲望。（“好的开始是成功的一半”，在课程之处，迅速集中学生的注意力，把他们带进特定的学习情境，激发学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲，这对这堂课教学的成败起着至关重要的作用。运用多媒体展示这一有意义的图案，可有效地开启学生思维的闸门，激发联想，激励探究，使学生的学习状态由被动变为主动，在轻松愉悦的氛围中学到知识。）
三、探究发现（探究特殊的直角三角形三边关系）
1.观察邮票上的图案探究特殊直角三角形的三边关系，同时介绍古希腊数学家毕达哥拉斯。通过让学生触摸纪念毕达哥拉斯的盲用邮票图案，学生观察得到：这个特殊直角三角形的三边关系32+42=52。即这个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。2.对比古希腊数学家毕达哥拉斯并介绍我国勾股先师———商高。（由学生触摸西方国家邮票上的图案，发现此图案反映了直角三角形三边的数量关系。学生活动从“数小方格”开始，起点低、趣味性浓。学生在伟人的故事中进行数学问题的讨论和探索，在平淡无奇的现象中发现隐藏的深刻道理。让学生了解勾股定理的古老与神奇，激发了学生强烈的求知欲，激发了学生探究知识的愿望。）
四、巧设疑共探究（探究一般的直角三角形三边关系）
由特殊的直角三角形具有的特点抛出问题：是不是所有的直角三角形都具有这样的特性？让学生通过自己拼出的图形利用面积法自行探究任意直角三角形的三边关系，探究发现四个完全一样的直角三角形拼成一个中空的正方形，大正方形面积等于小正方形面积与4个三角形面积之和。四个完全一样的等腰直角三角形拼成的正方形等于四个三角形面积和。最后小组交流探究结果，得到勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（学生利用自己拼出的图形证明交流，发展学生的发散思维能力、逻辑思维能力、合作交流能力。同时抛砖引玉介绍赵爽弦图，赵爽用几何图形证明代数恒等关系，具有严密性、直观性，是中国古代以形证数、形数统一的典范。“赵爽弦图”表现了我国古代人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国数学的骄傲。通过中西方证明方法，让学生欣赏丰富多彩的数学文化，展示五彩斑斓的文化背景，激发了学生的爱国热情。
五、课堂小结
课堂小结是对学习内容的回顾，是对数学思想、方法的总结。让学生畅谈本节课的收获与感受，让学生注重知识体系的建构过程，培养了学生的良好反思习惯。
六、布置作业
初中数学勾股定理教学创新在最新出版的《初中数学新课标》中明确指出：“教师应多采用多媒体技术来丰富自己的课堂，使自己的课堂能够通过多媒体的帮助变得更加生动有趣，使学生能够在多媒体教学中循序渐进的接受学习内容、思考学习内容并运用教学内容。”由此我们可以看出，多媒体技术在实践教学中的应用，已经得到教育部的认可。下面以“勾股定理”这一传统教学内容为例，探讨如何在实践教学中如何更灵活、更有效的使用多媒体技术。
一、通过多媒体例子切入勾股定理
切入点是教师上好一堂课的关键，俗话说“万事开头难”，面对一节课的开始，教师如何设计能让学生更清晰的认识教学内容，教师如何设计能让学生更对教学内容感兴趣，成为目前教师教学时首先要考虑的一个问题。初中生正处在一个各方面都在成长的阶段，他们自身对待多媒体有一种强烈的好奇心，如果教师在课堂上能够利用学生对多媒体的好奇心来引入知识点，学生将会更加自然的进入到学习当中。例如在课堂上教师先为学生播放下面的一组视频：“第一个视频：依据中国铁路乘坐法规定，乘客不能携带长度超过2米的物品，一次小刚手持一根2米2的竹竿上火车，乘警却‘视而不见’，这是为什么？第二组视频：小明家今天搬家，当搬到一个橱柜时遇到麻烦了，橱柜非常高，垂直抬进去肯定不可能进去，但是斜着抬能否抬进去呢？小明经过测量后很快得出答案，可以抬，经过实践，顺利将其抬入家中。”两组视频播放完毕后，教师询问大家：“大家有没有发现视频中和我们同龄的同学非常聪明啊，谁知道他们是运用了什么原理呢？其实不难，只要大家认真听我今天讲的内容，大家也可以很轻松的像他们一样厉害。”通过这种方法，学生自然对本节课要学习的内容产生极大的兴趣和好奇心，于是就会让学生在之后的学习中更加仔细和认真，从而牢固地将学习内容掌握住。
二、借助多媒体将抽象的勾股定理具象化
尽管目前在初中检测学生学习优异的标准是以考试成绩这一结果来判断的，但实践表明在初中教学中，学生学习的过程比结果更为重要，学生只有在学习过程中对学习内容感兴趣、努力掌握并研究学习的相关技巧和方法，才能将一个好成绩延续下去，而如果一个学生一直持有考试以“蒙混过关”的方式取得好成绩的话是不现实的，即使有一次取得一个好结果，也不会持久下去，为此我们一定要重视对学生学习过程的培养。
勾股定理作为一个抽象的、静止的理论知识，在教学中却具有很强的灵活性，有时它会和很多其它的知识点综合起来，这对学生来说掌握起来是非常困难的。而要想让学生有所突破，将这一原理具象化、形象化成为一个很好的办法，在实践教学中，我们可以通过多媒体技术将声音、图像、文字与数学计算公式完美的结合在一起，将教学内容变得更为形象，从而促进学生进一步理解勾股定理的含义及具体应用，渐渐地使他们在原有的基础上逐渐将这一原理的知识结构渐渐积累起来。比如，在讲授勾股定理的证明这一重点环节时，传统的教学方法是老师在黑板上给大家演算计算过程，学生在下面用心听讲即可，这种教学方法相对比较枯燥，学生有时听不懂也不敢提问。而当我们在课堂上使用多媒体教学时，完全可以把这种枯燥的验算过程具象化，比如我们将课本上证明勾股定理的图片事先准备好，然后用播放Flash的方式让学生一步步的理解勾股定理的证明方法，这样既节省了时间，又提高学生对勾股定理的学习兴趣。
三、通过多媒体技术实现生本教育理念
生本教育是最近几年中国教育提出来的一个新理念，它的宗旨在于将课堂完全还给学生，一切以学生自主学习为主，彻底改变过去教师讲课，学生听课的被动思想，让学生在主动探讨、积极学习、创新学习的过程中逐渐掌握教学内容，并能够将教学内容更灵活地进行利用。初中学生本身对多媒体有着极强的好奇心，因此我们可以尝试着使用多媒体来实现生本教育。
首先，在上课前，教师可以先布置这样一道题目：“一棵大树在一次暴风雨后被吹成两半，已知折断的大树底端与大树树根的举例为30厘米，折断的大树高为40厘米，问这课大树有多高。”随后教师可以这样引导学生：“大家看下这道题应该如何解答，被折断的大树与地面和树干呈什么形状，而要想求大树的高度，我们首先应该获取哪些信息？”“折断大树的长度”学生纷纷回答，“对那么如何求被折断的大树的长度呢？这需要运用到我们今天要学的原理。”其次，教师可以让学生进行分组讨论，讨论时可以利用教师分配给每个小组的电脑进行资料的查询。当学生们一起学完勾股定理的相关内容后，教师可以将自己事先准备好的题目通过网络传到每组的学生电脑中，每组学生根据电脑中题目的内容共同探讨并尝试进行解答，并将答案通过网络传给教师，教师根据学生的答案给予批阅，并对做得最快、最好的小组进行表扬。教师通过上面的方法可以将孩子对多媒体的好奇心完全转化为学习的动力，每个小组的同学通过电脑不仅可以掌握勾股定理，还可以相互之间进行更多的交流，以达到灵活掌握和学以致用的效果。比如，学生之间如何进行有效磋商，如何说服彼此，如何表达意见，如何做出让步等等，这些技能在传统课堂中难以学到。
四、总结
总之，随着社会的迅速发展，世界逐渐步入电子时代，电脑及其相关多媒体技术成为这一时代的代表，将它们合理地运用到初中数学课堂中，能够为学生还原一个异彩缤纷的具象世界，让原本抽象的数学内容变得更加具象，让学生对数学充满学习兴趣。另外，多媒体技术可以让学生更轻松的感受到学习之外的内容，学生可以在网络上浏览所学内容的历史概括，了解不同人对这一数学原理的认识程度，更重要的是可以通过多媒体锻炼自学能力，逐渐养成一种自我钻研学习知识的能力。勾股定理这一知识点在初中数学中是一大重点和难点，学生能否熟练掌握并灵活应用将会对以后学习有极大的关系。勾股定理是一个几何知识，学习这类知识必须在一个较为具象的环境中才能够更加轻松，因此利用多媒体技术讲解这一原理，将更有利于学生灵活掌握，所以初中老师不妨可以多尝试着使用新技术进行教学。
参考文献：
\[1\]曾喜萍.浅谈多媒体在高校数学教学中的运用\[J\].广西工学院学报，2005，（1）.
数学课每一个数学老师都能上，但要做到让学生感兴趣、学而不厌，却不是那么容易。上课是一门学问、是一门艺术，这需要我们老师精心的研究、精心的准备，让学生把学习的积极性充分发挥出来，我认为课前都应明确：这堂课要让学生了解什么、理解什么、掌握什么、会什么、达到什么要求等，绝不能糊里糊涂的去上课。老师不明、学生不清，学生哪还有什么兴趣可言。我认为，要让学生对数学感兴趣应做好如下几点：
一、要让学生对数学感兴趣，课前准备是关键
上课就象打仗一样，要打就要打胜仗，不能打败仗。上课就要上好课，不能上低效课。前提条件就是要备好课。怎样备？我认为，最切合实际的备课就是首先了解学生、了解每个学生的学习能力、学习态度、家庭背景、行为习惯等。不了解学生的备课就等于纸上谈兵、空中楼阁，没有一点实用效果。根据学生的年龄特点，发挥学生自身的主动性、积极性和创造性，创造最佳的教学方式和方法，要让学生学会：学生帮学生、学生教学生。要设置适当的起点与层次，让不同的学生都有不同的收获、不同的发展，充许学生有差异。一堂课要让学生知道什么、了解什么、理解什么、掌握什么、学会什么等，课前做到心中有数。对课标的要求要清楚，让学生一堂课围绕重点去学习，以它为中心，引导学生开展活动。做到心中有重点、讲中有重点、练中有重点，才能使整个一堂课有个灵魂。教学过程中把握难点、突破难点。所谓难点，就是学生不易理解和掌握的知识点。一定要注重分析，认真研究，抓住关键，突破难点、分散难点。让学生感觉不到有什么难以解决的问题。
二、备课是排练、上课就是表演。
通过对学生的了解和分析，从中发现什么、掌握什么，在备课中多用功思考，把每一个问题都变得有吸引力。譬如说初二教材上册，勾股定理这一节，一开始我们可以创设一个能吸引学生的情境，或用一些鼓励性的语言把学生的学习积极性调动起来，以积极的态度对待这堂课。如一开始手拿一直角三角形纸板让学生看这是什么？等学生回答后提问：你对直角三角形的有关知识了解多少？学生这时可能把所学的有关知识答一遍。接着问：除此之外还有其它性质吗？譬如，直角三角形的三条边有没有存在某种关系？学生可能无言。那么接下来就可以把学生引入到勾股定理的探索研究活动中去了。在这一环节中，通过学生的观察、计算、发现、自我得出结论。在这一探索的过程中涉及的难点是：利用方格求直角三角形斜边上的正方形面积。对此引领学生看卡通图，从而掌握了割补法解决问题，总结出勾股定理。再通过让学生操作验证活动，得出只有直角三角形三边具有这种关系。有了这种关系，让学生试着求一些简单的直角三角形边长问题。初步了解它的用处。这节课一切都在学生的活动中积极的、活跃的完成任务，学生有成就感。
三、承上启下为下节课作准备
完成了本节任务后，我们还应该想到如何让学生很好的完成下节内容。因此提出课题让学生课后研究，譬如勾股定理这一节，可向学生提出：1、勾定理是人类文明的成果，几乎所有拥有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所研究，我们叫它为勾股定理，而在外国可不叫勾股定理，他们叫做毕达格拉斯定理，上网查一查，看到底是谁最先发现的？2、到目前勾股定理在国内外有400百多种验证法，我们的教材上也提供了几种证法，课后你可以研究一下，或上网查一查有关勾股定理的一些证法？希望下节课你能向大家展示你的证法等。这就是说要给学生自学的空间，预习的空间，为下节课顺利的完成教学任务作准备。
四、根据学生的年龄特点及爱好扮演好自己的各种角色
我觉得，一个好的老师要让学生相信自己、喜欢自己、亲近自己是学生喜欢学你这科的重要因素。只有这样，学生学习上有了困惑才可以大胆的向你发问，和你交流，不会掩饰自己不会、不懂的问题。因此我们要扮演好各种角色，即老师的角色、父母的角色、朋友的角色，从各个方面关心他们、爱护他们、鼓励他们、贴近他们，我们不光要关心他们的学习，还要关心他们的身、心健康。还要关心他们的物质生活、和文化生活。对学生不好的行为习惯要注意观察、引导、纠正，想学生所想，急学生所急，这样才能让学生真正感到老师既是良师，也是益友。让学生的个性在自然、和谐愉快的环境中得到释放，这样才能展现出学生学习数学的生命活力。过去我们过多地强调学生知识的记忆、模仿。学习采取压制性，最终使教学变得机械、沉闷、低效。因此，我们不能让学生在课堂上做“听客”和“看客”，要让学生做课堂的主人，动口、动手、又动脑，亲身参与课堂的探索实践活动。切记，凡是能由学生思考解决的，应由学生去做；凡能由学生提出的问题，不要由教师提出；凡能由学生解的题，不要由教师代劳解答；凡能由学生表述的，不要由教师代说。数学课堂不再是过去的教师“一言堂”，要让学生成为课堂上的主人。
总之，我的感悟是：要让学生对数学有兴趣、对学生产生吸引力，要注重课堂教学的不断改革和优化。要注重课堂教学的科学性、客观性和实用性。在情感方面要发展学生的自信心，进取心；要注重学生对课堂教学的内心体验和收获；要注重学生知识、智能、情感和行为的表现，从而激发学生的学习兴趣，提高数学的学习成绩。
［关键词］ 教学；勾股定理；设计；反思
教材简析
（使用教材：上海教育出版社出版九年义务教育课本数学（试用本）八年级第二学期）
勾股定理是平面几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在生产、生活实际中用途很大. 它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛应用.
勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值. 本节课是在学生已具备了直角三角形的有关知识，积累了一定的观察、操作等活动经验，具有一定的说理能力和初步推理能力的基础上学习的. 本节课可通过丰富的拼图实践活动，让学生经历验证勾股定理的过程，感受解决问题的方法的开放性，激发数学探究兴趣，享受数学思维的快乐，对培养学生良好的思维品质起重要作用.
设计理念
现代教学论认为数学课应该加强学生的数学活动，学生是活动的主人. 如果学生能在活动中把概念、定理、性质、公式等，通过自己的努力去发现和创造出来，这就是我们课堂教学中追求的最高境界，也是课程改革的迫切要求. 心理学家皮亚杰曾说过：“一切真理都要让学生自己去获取，由他重新发现，而不是草率地传授给他. ”
可是，长期以来，我们的数学课堂教学过于重视结论，而轻视了过程. 为了应付考试，为了使学生对公式、定理应用达到所谓的“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用“题海战术”进行强化. 在数学概念、公式、定理的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用“程式”的解题机器，这样的学生面临新问题时就会束手无策.
数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体. 新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验. 我意识到：在数学教学中，要让“教”和“学”和谐统一，形成感性到理性的认知过程，促进学生的全面发展. 教师的“教”应体现在创设情境、激发兴趣、组织探索、引导发现上，学生的“学”则应体现在操作讨论、探究发现、归纳结论上.
基于以上认识，在设计本节课时，我所考虑的不是简单地告诉学生勾股定理的内容，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现定理、证明定理. 从发现定理的过程中让学生体会到：定理并不是凭空产生的，发现定理并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也可以做一些好似数学家才能完成的事. 在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到了充分发挥，能极大地激发他们的学习兴趣，提高他们提出问题、解决问题的能力，同时培养他们的创新能力，这正是新课程所倡导的教学理念.
教学目标
通过本节课的学习，力求达到：
1. 理解和掌握勾股定理的内容及简单的应用.
2. 通过学生的动手操作及探求勾股定理的发现、证明过程，初步体会用面积法解决几何问题的基本策略，了解从特殊到一般的推理方法及数形结合的数学思想方法，初步培养学生探究问题的能力，增强逻辑思维能力.
3. 通过介绍我国古代学者发现及应用勾股定理的成就，感受祖国文化的悠久，激发学生的民族自豪感和爱国热情.
4. 通过活动讨论，增强合作意识，初步培养探索的精神，并体验探索成功的乐趣.
教学重点、难点
重点：勾股定理的内容及简单的应用.
难点：勾股定理的拼图证明.
教学过程
（一）创设情境？摇 导入新课
【电脑演示】
情境1？摇1995年希腊发行的一张邮票（图1）和ICM2002年国际数学家大会会标（图2），并出示问题：为何以这个图案发行邮票？以这个图案作为会标？
情境2
学校操场上，呈现升旗仪式场面照片，最后定格在旗杆照片，并出示问题：如何测算出学校操场上旗杆的高？
【设计意图：设疑激趣，明确目标】
新课标强调数学应返璞归真. 在教学过程中，要贯彻“生活即数学，生活即教材”的理念. 从生活中引出问题，从问题中引出课题. 通过创设恰当的情境，培养学生用数学的意识，教会学生观察生活，领悟生活中的数学因素.
问题是思维的出发点，通过有意识地设置问题情境，提出思考要求，能激发学生强烈的好奇心和求知欲.
（二）师生互动？摇 探究新知
【电脑演示】
实验猜想：给出三个具体的直角三角形.？摇用一把尺度量各直角三角形的三边，得到下列数据：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17.？摇？摇
引导学生对数据进行分析，猜想三边关系. 由32+42=52，52+122=132，82+152=172的关系式，学生可能会得出：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.
进一步引导学生：由特殊到一般的推理只是一种猜想，是否正确还须通过证明.
提出问题：对于一般的直角三角形，是否都有a2+b2=c2（其中a，b为直角边，c为斜边）？
【设计意图：探索发现，揭示新知】
从具体的图形入手，通过测量出具体的数据，经过计算、观察，发现结论，进而提出猜想，这种处理方法，一方面，符合学生的认知规律和心理发展规律，另一方面，也符合知识的发生、发展规律，有利于让学生经历知识的形成过程，有利于加深学生对数学学习的体验.
1.？摇证法探究
给出一套拼板（如图3，四个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形） ，请学生从中选出几个，拼成组合图形，要求学生设法利用组合图形的面积来证明上述结论，即证明a2+b2=c2（其中a，b为直角边，c为斜边）.
采用小组合作探究的方式，给学生充分的时间进行拼图、思考、交流. 教师巡视，适时介入小组讨论. 当有小组找到解决方法后，请该组派一位同学代表上讲台，展示拼图方法，交流证法. 然后，教师借助电脑进行动态演示. 学生可能会通过以下几种组合图形的面积得到结论.
方法1
如图4，由AFE≌DEH推出∠AFE=∠DEH. 又因为∠AFE+∠AEF = 90°，所以∠DEH +∠AEF = 90°. 于是可得∠FEH = 90°. 同理可得∠FGH =∠GHE =∠EFG =90°，所以S四边形EFGH？摇= c2. 而S正方形ABCD=S四边形EFGH+4SAEF，即（a+b）2=c2+4×ab，a2+2ab+b2=c2+2ab，所以a2+b2=c2.
方法2
与方法1的证法类似. 如图5，因为（b－a）2+4×ab=c2，即b2－2ab+a2+2ab=c2，所以b2+a2=c2. （介绍赵爽弦图及“演段算法”）
方法3
如图6，因为（a+b）（a+b）=2×ab+c2，所以a2+2ab+b2=2ab+c2，即a2+b2=c2. （介绍此证法与美国第二十任总统珈菲尔德的证法一致）
【设计意图：激活思维，加深体验】
《数学课程标准》指出：“数学教学活动必须向学生提供充分从事数学活动的机会. ”这就是指，学生在教师的引导下参与教学活动，体验、发现、归纳，即在教师的引导下发挥学生的主观能动性，体验数学的再创造过程. 这里设计拼图活动就是基于上述思考.
利用拼图证明勾股定理是一种开放性的探究活动，其起点低，层次多，目前已发现的证法有四百多种，学生易于下手，每个学生都有解决问题的机会，它促进学生智力因素与非智力因素的同步发展，激发学生的创造意识.
2. 定理推出
【板书勾股定理，介绍勾股定理，揭示课题引入时的问题】
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
【设计意图：数学文化，德育渗透】
我国古代的学者，对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理（比西方要早500多年），而且使用了许多巧妙的方法证明了它，尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家数学的影响很大，这些都是我国人民对人类的重大贡献. 通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，有利于激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，有利于培养他们的民族自豪感，并激励学生奋发图强，努力学习. 寓思想教育于学科教学中，这也是新课程所追求的.
3. 简单应用
【电脑演示】
例1 在等腰三角形ABC中，AB=AC=13 cm，BC=10 cm（如图7），求ABC的面积 .
（教师板书解题过程，解题过程略）
例2？摇 有一旗杆，升旗用的绳子沿旗杆放下时，绳子下端有一部分在地面上，将地面上的这部分拉直后，量得绳子的下端点到旗杆底端的距离为0.2米，再将绳子拉直且下端点放在地上，此时量得绳子的下端点到旗杆底端的距离为2.2米. 问旗杆高度是多少？
【设计意图：内化新知，反馈调控】
这一环节是学生巩固知识、形成技能、发展智力的重要阶段. 例1是勾股定理的简单应用，通过例1的学习有利于学生加深对勾股定理的理解与掌握，强化基本技能，落实本节课的教学重点. 例2是一道实际素材背景的应用题，并与课题引入时的“情境2”首尾相顾，前后呼应，形成一个整体. 学生应用所学的知识，很快就能解决“课题引入”时的问题，不仅可以让学生经历勾股定理的应用过程，还可以让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的愿望与信心.
（三）自主小结？摇 深化提高
【以学生为主，教师与学生一起进行归纳小结，同时，电脑演示四个“一”】
一个定理……
一次探索……？摇？摇
一个思想……？摇？摇
一份自豪……
【设计意图：回顾整理，总结提升】
小结是对一节课的回顾与整理，也是落实学生主体地位的一个重要环节. 在教师的引导下，可让学生自己进行总结或师生合作，体现教学的民主性. 这样，不仅有利于培养学生的归纳、概括能力，帮助学生理清知识脉络，将所学的知识纳入知识体系，形成良好的认知结构，深化本节课所学的内容，还有利于引导学生反思学习过程，认识自我、增强信心、巩固兴趣，让学生在愉悦的、学有收获的心境下结束本节课的学习.
（四）分层作业？摇 发展个性
必做题：教材P56练习1、2、3；练习册A册第23页 25.4（1）.
选做题：你能否将图8（两个正方形拼成的）剪两刀，拼成一个大正方形，使它的边长正好等于以a，b为直角边的直角三角形的斜边的长度？
【设计意图：学以致用，巩固提高】
通过作业，深化新知，可以检验学生掌握知识的情况，发现和弥补“教”与“学”中的遗憾与不足. 作业采取“必做题”与“选做题”的处理，为不同程度的学生提供了更为广阔的探求空间. 一方面，尊重了学生的个体差异，有利于满足学生多样化的学习需求，“让不同的人在数学上得到不同的发展”，充分落实因材施教的原则；另一方面，选做题具有前瞻性，可引导学生自学探究，将学习由课堂延续到课外.
设计说明
1． 本节课教学设计力求以学生发展为本，以探究活动为核心，师生转换角色，营造良好的学习氛围，培养学生的探索精神，充分调动学生的积极性.
2. 学起于思，思起于疑，无疑则无知. 教育家托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是唤起学生强烈的求知欲望，激发学习的兴趣”，因此，新课引入时，充分利用多媒体教学的直观性，创设问题情境，能引发学生的思考和探究热情，能自然导入新课.
3． “平面几何在中学数学教学中的真正价值在于它的训练性，即教育学生探索几何事实的过程远比其获得的几何事实有价值得多. ”本节课从直角三角形三边关系的猜测，面积方法的证明，到勾股定理的应用，始终为学生提供自主、合作探究的平台，始终以激励学生自主探索为主，教师辅以适时的引导. 学生通过动手操作，探索解决问题的多种途径，能激发学习数学的兴趣，培养探索几何事实的能力.
4. 数学蕴藏着丰富的文化内涵. 本节课设计了数学家的介绍，力求挖掘数学的文化宝藏，学生在生动的爱国主义教育中提高了文化修养.？摇
5. 勾股定理的应用方面，本节课设计了两个例题. 一个是课本中的一个练习，让学生掌握简单的应用；另一个问题来源于学生熟悉的学校操场，是学生身边的问题，学习将实际问题转化为数学问题. 安排这两个例题可以有效地帮助学生巩固知识，培养学生学数学、爱数学、用数学的意识.
6.？摇教学流程：
教学思考
1. 数学教学过程是教师引导学生进行数学活动的过程
《数学课程标准》特别指出：“数学教学是数学活动的教学. 学生要在教师的指导下，积极主动地掌握数学知识、技能，发展能力，形成积极主动的学习态度，同时使身心获得健康. ”数学教学过程是数学活动的教学，主要体现在：首先，数学活动是学生通过实践、思考、探索、交流、掌握和运用数学知识的活动. 简单地说，整个教学过程应该充分发挥学生的动手、动脑进行数学思维. 为了使学生的数学活动能够顺利进行，教师要创设学习环境，为学生提供进行数学活动的机会，并在学习活动过程中给予适当地指导. 其次，数学活动是学生在教师引导下自我建构数学知识的活动，即在数学活动过程中，学生与教材、学生与教师之间产生交互作用，自我建构数学知识结构，形成技能和能力，发展情感态度和思维品质. 教师要意识到学生是数学知识主动探索的“建构者”，决不是被动的接受者. 教师教学工作的目的就是引导学生进行有效地建构数学知识的活动.
2. 数学知识的“过程教学”与“结论教学”相统一
《数学课程标准》把对知识的“过程教学”作为课程目标的重要组成部分，从而突出了数学知识探究过程教学的重要地位. 传统的数学教学只注重数学知识结论的教学，学生学到的是一些现成的数学概念、公式、法则，及一些枯燥的数学符号，而对这些概念、公式、法则等的形成过程却很少过问. 这种教学把数学知识形成的生动过程变成了呆板的知识记忆，一切都是现成的，它排斥了学生的思考和个性，这实际上是对学生智慧和思维个性的扼杀、压制. 当然，对数学知识结论的学习也是必要的，因为这些数学知识结论（概念、原理体系）表征了数学探索的结果，是学生进行数学思考以及学习更高一级知识的基础. 但数学教学更为关键的是使学生在掌握知识结论的过程中学会数学思维和数学思想，会用数学思想解决问题. 因而，数学课堂教学既要求注重知识结论，又要求重视知识的形成过程. 根据数学的特点，在教学中注重知识探究过程的教学有着很重要的教育价值. 不仅仅是因为数学概念、原理、公式等体系依赖于探究过程，更主要的是数学知识的探究过程体现了数学多样化的思维和认识方式，并且包含了一系列的质疑、判断、选择、比较、分析、综合、概括等多种认知活动. 学生正是在知识的学习过程中培养了运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，进而解决日常生活问题的能力，增强了运用数学的意识，了解了数学的价值，增强了学好数学的信心，也通过探索知识过程的经历和获得知识的体验，进一步培养了学生的数学解决能力和创新精神. 所以，在教学活动中应尽可能地为学生创造自主探索的机会，使学生在自主探索的过程中真正理解一个数学问题是怎样提出来的，一个数学概念是如何形成的，一个结论是怎样探索和猜测到的以及是如何应用的.
3. 数学教学要从学生出发，以学生为本，关注学生创新思维的发展和学习价值观的形成
教师的教学是为了学生的发展，学生才是教师的“本”. 特别是数学学习，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性，每个学生在数学学习过程中都会表现出各自特有的学习方式和理解方式，那么教师的教学就不仅仅是按照课本进行知识点的讲解、习题的操练，更多的应该是从学生实际出发，注意其在数学学习中正确数学观的确立与数学能力的形成. 具体的教学设计方式可以是就同一问题情境提出不同层次的问题或开放性问题，以便使不同的学生都能得到不同的发展；课堂例题、习题以及课后练习的设计编排要突出层次性，可以设置巩固性、拓展性、探索性等多种层次，在全体学生获得必要发展的前提下，让不同的学生获得不同的体验与发展.
一、教材依据
苏科版 八年级（上册）2.7勾股定理的应用（1）.
二、设计思路
1.设计理念
本设计旨在有效整合教材编排的例题，使零散的例题系统化，使学生掌握解决一类问题的方法！同时彰显学生的个性，充分体现学生的主体地位，有效培养创新能力.
2.学生的认知起点分析
学生通过前面的学习已全面了解了勾股定理，掌握了勾股定理的三边关系，已做好了知识上的准备.另外，学生也初步了解了诸如类比等数学思想方法，积累了总结的经验，这使学生能主动参与本节课的操作，探究成为可能.
三、教学目标
1.通过类比例1、例2的教学，培养学生运用类比转化的思想方法解决问题的能力.
2.探求例题之间的相互联系，使零散的例题系统化，使学生掌握解决一类问题的方法.
四、教学重点
1.以“三点”为主线，串联例题，建立知识网络图，深刻揭示知识间的相互关系；
2.培养学生思维的深刻性、广阔性等品质，从而提高学生的探究能力.
五、教学难点
例2的拓展引申.
六、教学准备
学生准备：复习勾股定理的三边关系；
教师准备：查阅资料，准备相关例题.
七、教学过程
【第1阶段】由点到线，数（学）实（际）互换.
教师：同学们认识“点”吗？（教师黑板画一点）你对数学上的“点”的实际意义有哪些认识？
学生（七嘴八舌地）：某处（即地点），物体等.
教师（适时地）：两点形成的线段呢？
学生：路段！
教师：好！现在有三点（分别代表三个地点）！而且这三个地点有点特殊，它们之间的“路段”大致成直角三角形，见下面例题：
例1如图1，南京玄武湖东西向隧道与中央路北段及龙蟠路大致成直角三角形.从B处到C处，如果直接走湖底隧道BC，将比绕道BA（约1.36 km）和AC（约2.95 km）减少多少行程（精确到0.1 km）？
设计意图：从学生熟知的最基本的“点”入手，有效的激发了学生的学习兴趣，也巧妙的实现了数学知识与实际问题的“转化”，这种转化非常自然，不生硬，不“生搬硬套”，使学生在不知不觉中形成学习数学的方法，即赋予数学符号一些实际意义，数学就有了生命，就实现了数学与生活的有机衔接，有效消除数学与实际生活的“隔阂”，使学生初步体会到学有所用.
【第2阶段】拓展引申，巩固强化
教师：同学们对“线段“的实际意义还有哪些认识呢？
学生：梯子！
教师：好！现在有一架梯子斜靠在墙上，即下面的问题：
例2长为10 m的梯子 AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑0.5 m，那么它的底端会发生什么变化？与同学交流.
引申1：在上面的情境中，如果梯子的顶端下滑1 m，那么它的底端滑动多少米？是否也滑动1 m？
引申2：如果梯子的顶端下滑2 m，那么它的底端滑动多少米？是否也滑动2 m？
引申3：从上面所获得的信息中，你对梯子下滑的变化过程有进一步的思考吗？
设计意图：引申问题将探究逐步引向纵深，促使学生能主动积极地从数学的角度思考实际问题.教学中学生可能会有多种思考，让学生进行充分的交流，使学生逐步学会运用数学的眼光去审视客观世界，从不同的角度去思考问题，获得一些研究问题的经验和方法.
说明：教师的预想跟学生的生成不一定一致，学生如果对“线段”的实际意义有其他的认识教师要鼓励，并要学生发挥小组功能自动进入第3阶段.
【第3阶段】自编问题，发展能力
教师：同学们对“线段“的实际意义还有哪些认识呢？请你跟同学交流一下，小组编一道能应用勾股定理的题目，并给出具体的解答.一会儿小组选派代表在黑板展示.
设计意图：学生很可能提出荷花问题、芦苇问题等，通过小组合作，使学生对勾股定理在实际生活中的应用体会更加深刻，通过解答从“细节”上培养学生的解题能力；由于大家看事物的角度不同产生的想法也不尽相同，在同学的交流中启迪思维，有效拓展知识面.
说明：学生会有很多奇思妙想，在教学中要善于发现并适时鼓励.
【第4阶段】小结
我们知道勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边就可以依据勾股定理求出第三边.从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系 看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把实际问题转化为解方程.
八、教学反思
1.数学跟实际生活密不可分，数学来源于生活又高于生活，是实际生活的高度概括.在教授完数学知识点后，我们要从“高处”向“低处”走，即赋予抽象的数学符号具体的实际的意义，以起到“高屋建瓴”之功效，从而有效地实现数学与实际生活的有机统一.要想达到此目标，需赋予数学上的点、线以“灵魂”，给它们一些实际含义.在本部分“点”的实际意义可以理解为：地点、物体的停留处等，“线段” 的实际意义可以理解为：路段、树木、荷花、梯子、芦苇等.