测度论在统计学中的应用

开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇测度论在统计学中的应用，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。

第1篇

关键词：概率 可能性 测度 公理化定义 教育教学

前言

现代概率统计领域学科交叉纵横，各种分支琳琅满目，随机过程、时间序列、数理统计等等概率统计领域的内容被广泛的应用于社会经济，民生，财政税收，民事调查等，然而在众多分科当中概率是学科的学术基石，概率的概念在支撑起上层学科内容的同时，其抽象性与发展过程也是极其深刻与丰富的，逻辑学家与经济学家杰文斯说过：“概率论是生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，我所作为”，可见概率的重要价值，同时伯努利也认为，“先前的概率都是从主观上去认识”。因此，以下我将从较为基础的角度试图表述我关于概率本质与意义的理解以及对目前概率课教学的一些看法。

1.概率论的发展及概况

数学作为一种科学基础被广泛的应用于各个领域，其大体经过了形成时期，初等数学，高等数学，现代数学四个阶段，而概率论作为数学领域当中一个庞大分支其思想广泛的渗透到数学的各个领域里。概率论起源于一个赌博问题，16世纪意大利数学家卡尔达诺开始研究投骰子等有关赌博的问题，而概率论甚至统计起先确实最先运用于赌博和人口统计模型，随着发展的深入，人们渐渐意识到不确定性的背后隐藏着某种必然规律，从而将这一问题引入数学，并用数学的方式进行研究，从而使概率论从真正意义上成为了一门严谨的学科。在这一过程中，瑞士数学家伯努利创建了大数定律，阐明了频率与概率的关系，从而标志着概率论的诞生。概率论自诞生起至今，被广泛的应用于医疗，金融，军事，自然科学等各个方面。

2.概率的本质特性

在引入概率之前，我先想引入一个极其简单的定义即长度，长度众所周知是度量一个事物的属性概念，而诸如面积体积无不是人为规定的能够反映现实意义的一些量，而这些我们统统都知道他们就是数学上的测度，顾名思义，测度即是测量的量度，而概率其本质仍是测度，通俗的理解是对事情发生可能性大小的量度，对于概率这种测度，其抽象性本身来源于其度量对象的不具体化。从最初的古典概型，到后来的几何概型以及众多分布，都是前苏联数学家柯尔莫哥洛夫的概率公理化定义上的框架范围之内的，尽管这个具有公理地位的定义比较它之前出现的相对片面与狭小的概率定义―古典概型与几何概型还要晚，可是其仍旧在相对前两者更彻底的呈现着概率的本质，更透明更像数学一样的用这个伟大的定义解释着究竟什么是概率，又十分大胆的做出将概率用于一件事情发生可能性大小的度量，即以数字（0与1之间）极富创新的对应“可能性”这一看似根本无法度量的事情，概率对其的量化正是概率的魅力所在，也是概率论区别于一般数学更显“神奇”的地方，而反过头来在看概率的公理化定义与古典概型和几何概型出现时间先后，虽然感觉上“本末倒置”，仔细想想也能理解，他同样符合着由浅显到深刻，由特殊到一般的归纳思维。那么下面对于这种人为给定的测度，包括对于可能性的具体测度值是不是具有客观性，这里涉及更深的理论在此不加讨论，唯一想做出强调的涉及概率本质定义的东西是诸如那些经典的分布，比如二项分布，泊松分布，甚至于正态分布以及数理统计中的三大分布，如果从一个鲜有考虑的视角思索，他们无不都是一种定义，或者说利用测度进行映射的一个整体，而这却是那样与事实符合，甚至可以高度准确的对接下来或者另外的更多的可能性进行预测，那些在脑海中的分布如此根深蒂固以致永远不会使人觉得它们需要证明，它们自然到甚至于不会有丝毫怀疑，而这仅仅全部因为它们在对应现实事情时高度的合理性以及相关联理论的一脉相承性。

概率作为当代数学的一个分支方向，其本身相对于其他数学领域是极富特色的，这种特色，第一是他的研究手段和传统的数学研究手段有所区别，第二他的研究对象―随机现象和数学中经常研究的确定现象也具备本质上的不同，而众所周知，在缤纷复杂的现实世界，大部分情况都是不确定的，都带有一定的随机性，所以这恰恰决定了概率的生命力以及概率研究的无穷魅力。

4.关于概率教学的一些看法

目前高校都开设统计领域的课程，而概率论课程作为这个领域的发展基石更是备受关注，尤其对于数学类专业的学生来说，概率论更是极为重要的，而概率统计方向也随着其在社会各个领域的成功运用而受到越来越多的关注，可是对于大多数关于概率论课的教学都美中不足，主要体现在以下几方面，第一，在开设概率论课程之前并未开设测度论这一更为基础的课程，导致概率上很多至关重要的东西让学生觉得莫名其妙，其二，关于概率论上很多定义的前后逻辑性与定理的证明都不曾涉及也让对概率的本质精髓不能很好把握，所以关于概率论课程的安排个人觉得应该从以下几点有所改变，第一，在开设概率论课程之前应该使学生具备一些知识积累，比如对测度论的基本内容，对分析数学、复变函数中的部分内容都应有所了解，第二，应该较为细致的讲解有关概率这一概念的形成以及概率论的发展史，力求使学生能够将来龙去脉把握清楚，第三，在对概率论深刻内涵与理论的讲解之下注意引入相对具体的例子，从而化抽象为具体，使学生能够对概率有一个更为感性的认识。

参考文献

[1]盛举，谢式千，潘承毅，概率论与数理统计（第三版）北京：高等教育出版社，2011：146-147

[2]毛纲元，概率论与数理统计解题方法技巧归纳[M]，武汉：华中理工大学出版社2000：523-530

[3]茆诗松，程依明，濮晓龙，概率论与数理统计教程[M]，高等教育出版社，2004

第2篇

【关键词】数学教学 人文精神 大学教育

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682（2012）11-0022-02

一、人文精神和人文精神培养的内涵

所谓人文精神，简单地说就是以人为本的精神，也就是一切以人出发，一切以人为本的精神。它是一种以人道、人生、人性、人格为本位的知识意向和价值意向，它包含态度、方法、价值、情感、意志、动机、责任等人文内涵。今天我们提倡的人文精神，是新的意义上的人文精神，哲学家周国平先生将“人文精神”解悟为以下三点：第一是人性，即对人的尊重；第二是理性，即对真理的追求，也就是“科学精神”；第三是超越性，即对生命意义的追求。[1]因而，当代的人文精神培养，亦即对学生进行了旨在促进其人性境界提升和理想人格塑造的教育。

二、我国高校教育的现状分析

从学生层面分析，我国目前正处在社会转型时期，市场经济大潮冲击着传统的价值观念，现代社会个人本位主义、拜金主义、享乐主义盛行，尤其是近年来“读书无用”论的泛滥，大学生受到了极大的冲击和影响，其信念、信仰、理想受到动摇。特别是随着我国高校的扩招，原有的“天之骄子”的地位已不再瞩目，透过教育通向成功之门的压力越来越大，原有的铁饭碗不复存在，巨大的心理落差和沉重的就业压力困扰着当代大学生，他们不知道生命的意义何在，造成严重的心理冲突，人文精神日趋失落。

从教师层面分析，长期以来，高校数学教学重视学科知识教育而漠视人文精神教育，导致在日常教学中，对学科知识以外的学生浓厚的学习兴趣、良好的意志品质、高尚的道德情感、正确的价值取向和高度的责任感等品质的培养缺乏应有的重视，导致高校的数学教学逐渐丧失人文精神教育的功能。一方面由于数学知识难学难懂，助推了学生厌学情绪的滋长；另一方面，由于忽略了人文精神的教育，又反过来阻碍了数学的发展，使我们的数学教学陷入了两难的境地。

从学校层面分析，受市场经济和实用主义的影响，我国的大学教育存在着“重科技、轻人文”，“重专业、轻教养”，“重物质、轻精神”的倾向。许多高等院校以“专才教育”和“实用主义”作为人才培养目标，形成了单一的“专业教育”和“实用教育”的人才培养模式。这一人才培养模式导致了“导向功利化，职业教育化”的教育现状，造成了当代大学生人文精神的严重失落。[2]

三、培养学生人文精神的必要性

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的一门学科。由于现实世界是遵循唯物辩证法的客观规律运动、变化和发展的，数学充满了辩证法的思想因素和实事求是的科学精神。数学自身的发展及数学在其他学科的应用，自然派生出了大量的人文理念，无论是数学内容还是方法都涉及社会、政治、经济、文化和科学技术的各个领域的问题，因而数学本身就是一座人文精神教育的宝库。

随着社会的进步和学科综合化趋势的发展，社会对人才的综合素质提出了更高的要求，社会需要更多的专业知识与人文精神兼备的高素质人才，这就要求每门学科都必须对学生进行人文精神的教育，这不仅是人文学科的任务，也是理工科学科不可忽视的一种功能。因此，在高校数学教学中，我们应建立起科学的人文精神教育观，在教给学生科学文化知识的同时，渗透人文精神的教育，使学生在科学精神与人文精神的协同教育中均衡发展。

四、如何在高校数学教学中培养学生的人文精神

对于高校数学教学中，如何对学生渗透人文精神的教育，笔者做了几点探讨：

1.转变数学教育理念，注重人文精神教育。

要在高校数学教育中渗透人文精神教育，首要的问题就是转变教育观念。我们必须抛弃数学仅仅是一门工具学科的陈旧观念，实现从“应试教育”向“素质教育”的教育理念的转变，把提高学生的综合素质作为教育的根本目的。在“素质教育”的理念下，高校数学教育的任务和培养目标应定位为：使学生拥有良好道德品质和数学素养、能够不断吸纳新知识、适应未来激烈竞争、具有强烈的开拓创新意识。因此，学生的人文素养和文化素质等综合素质的培养是数学教学的一个重要目标，在课堂教学中注重人文精神的教育应成为高校数学的教育理念。

2.大学数学教学应体现“人性”，即对学生的尊重，培养学生以人为本的精神。

周国平先生解悟“人文精神”的第一层含义是：“人文精神首先是人性，即对人的尊重”。[1]大学生是受教育的对象，同时也是一个生命个体，他们应受到施教者的尊重。因此，大学数学教学中教师应尊重学生，不讽刺挖苦学生，根据学生的个性和发展可能开发学生的智力、发展学生能力，从而培养学生以人为本的精神。

首先，在我们的教学活动中，由于某些原因会使学生的学习兴趣未能发挥，因而某些学生会产生厌学、逃学和不完成作业的情况。对此，在教学中我们应始终以饱满的热情倾注到教学活动中，改革我们的课堂教学方式，用学生的语言和思维方式呈现教学内容，竭力唤起学生对数学学习的兴趣。另外，要重视运用数学史来丰富教学，在不同的章节中尝试渗入一些数学史的元素，引导学生从美学和文化的角度欣赏数学，不仅可以丰富课程内容，而且对提高学生学习数学的兴趣和培养学生正面的数学观大有裨益。

其次，学生的求知欲是无限的，学生的创造性也是无限的，对学生求知欲和创造性的尊重，就是对学生学习最大的尊重。在教学中，教师应以课本知识为依托，为学生创造良好的研究环境，创造条件放手让学生参与学习活动，参与知识的发生、发展过程，让学生在活动中自己探索知识、发现结论，鼓励学生有不同的见解。特别地，对某些章节知识的讲授和作业的评讲，可以放手让学生去讲解，教师只是充当观众和亡羊补牢的角色。

总之，从学生的角度出发实施数学教学，不仅可以体现对学生的个性、学生的求知欲和创造性的尊重，同时教师的教育理念也会潜移默化地影响学生，使学生学会尊重他人，进而培养学生以人为本的精神。

3.大学数学教学应体现“理性”，即对真理的追求，培养学生的科学精神。

周国平先生论及人文精神教育的第二个观点说：“人文精神其次是理性，对真理的追求，也就是科学精神。”这其实就是人文主义教育主张的“学习自然科学，扩大课程门类”。这就向我们数学战线的教育工作者提出了一个最具体的人文教育问题，即要求我们要着重培养学生的科学精神。这就要求我们：

首先，应保护和激发学生的好奇心。正如周国平先生所说，无论在人类还是在个人，好奇心都是理性能力觉醒的征兆，它是科学探索的原动力。儿童往往都有强烈的好奇心，而在目前功利主义思想的影响下，随着年龄的增长，学生的好奇心通常会递减甚至泯灭，最终变得循规蹈矩。在数学教学中，我们应保护好学生的好奇心，激发学生的好奇心，让学生始终带着强烈的好奇心去探索未知的世界，这就要求我们的教学不能只注重结果、注重对学生知识的传授，而是知识的发现过程，特别是一些数学思想的诞生等。

其次，应培养学生独立思考，不问个人得失只问是非的科学精神。科学的核心就是“真”，科学研究的目标就是“求真”。数学不像音乐、文学那样天生具有强烈的吸引力，数学学习与探究需要付出艰辛的劳动，在探究的过程中还会常常遇到许多困难，只有通过坚持不懈的努力，才能领略到数学的真谛；只有具有锲而不舍的精神，才能攻破数学上的一个个堡垒，因此数学本身就是培养学生科学精神的最好园地。“求是”是数学科学人文精神的本质特征，因为数学中不存在伪科学，数学的本质要求数学学习者站在公正的立场上，不允许有任何弄虚作假的行为存在；数学中的结论要符合逻辑论证，不会盲从任何一个权威，因此数学教学的过程本身就是培养学生科学精神的重要途径。

最后，数学家的奋斗经历和成就也是对学生进行科学精神培养的良好素材，教师应充分利用这些素材培养学生追求真理的科学品质。如在教学中应结合相关知识介绍一些如伽罗瓦、高斯、华罗庚、陈景润、陈省身等中外数学家的奋斗经历和成就，使学生了解数学家所作的努力、历经的艰辛、付出的代价、获得的经验和教训以及最终所取得的成功等数学家们闪光的心灵和不朽的人生，培养学生不怕困难、勤于思维、对真理追求的百折不挠的科学品质，达到人文教育培养科学精神的目的。

4.数学课堂教学应体现“超越性”，即对生命意义的追求，培养学生正确的人生观和价值观。

周国平先生解释人文精神的最后一层含义是：“人文精神是超越性，就是对生命意义的追求。”一方面，数学发展到今天取得了令世界瞩目的辉煌成就，数学的成就也极大地推动了人类的进步；另一方面，数学上还有很多未解难题，这些未解难题的解决将进一步推动数学的发展进而推动人类的进步。为此启发我们：

不失时机向学生介绍数学在各个领域的作用。如数学在利率、证券、风险投资方面的应用；数学在制造原子弹、导弹和卫星中的作用以及数学家在天文学、航海业、物理学、音乐美术等领域中发挥的重要作用，数学中的线性规划、非线性规划、动态规划、不动点理论、测度论、矩阵论、优化理论、运筹学理论、对策论等在现代经济学研究中的应用，蒙特卡罗方法建立的概率模型在军事科学中的应用，统计学中的试验设计在工农业生产中的应用研究成果等。这不仅可以激发学生学习数学的兴趣，提高学生对数学学习意义的认识，而且可使学生追求生命的意义，帮助学生培养正确的人生观和价值观。

通过数学教学启发、启迪学生“天生我才必有用”的自信心、自尊心和自强不息的人生悟性和人生动力；如结合教材向学生介绍数学发展的趋向和美好前景，体会数学对社会发展、民族兴旺的重要意义；如在教学内容的选材上，结合教材中密切联系工农业生产、社会生活实际、科学技术和人类文明进步的数学知识，引导学生思考社会热点和焦点问题，引导学生关注国家、人类和世界的命运，充分发挥数学中人文思想的教育价值；向学生介绍数学中的一些未解难题以及这些难题解决的重大意义，开拓学生眼界，推动学生对生命意义的思考，激励学生树立为人类进步而努力学习的人生观。

五、结束语

在学校教育尤其是数学教学中，确立人文教育目标是我国高等教育的必然趋势，是社会政治、经济、文化发展的必然要求，这无论是对学生个体还是当前社会都具有极大的意义和价值。作为一名高等院校的数学教师，我们应依据学科特点，突出数学的人文内涵，使学生树立起辩证唯物主义的世界观，养成求真务实、勇于创新、积极实践的科学态度，同时树立为中华民族复兴，为人类文明和社会进步而努力学习的责任感和使命感，成为科学精神和人文精神兼备的新时代所需要的高素质人才。正如周国平先生所说：“教育的目标应远离功利和实用，通过教育应该培养健康的、善良的生命，培养活泼的、智慧的头脑，培养丰富的、高贵的灵魂，如果这样，我们的教育就真正成功了。”[1]

参考文献