时间：2023-08-16 17:28:43
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇微分方程在化学中的应用，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词：微分方程；模型；应用
对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或变化速度、加速度以及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个（偏）微分方程或方程组。所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等。
一、微分方程数学原理解析
在初等数学中，方程有很多种，比如线性方程、指数方程、对数方程、三角方程等，然而并不能解决所有的实际问题。要研究实际问题就要寻求满足某些条件的一个或几个未知数方程。这类问题的基本思想和初等数学的解方程思想有着许多的相似之处，但是在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面依然存在很多不同的地方，为了解决这类问题，从而产生了微分方程。
微分方程是许多理工科专业需要开设的基础课程，微分方程与微积分是同时产生的，一开始就成为人类认识世界和改造世界的有力工具，随着生产实践和科学技术的发展，该学科已经演变发展为数学学科理论中理论联系实际的一个重要分支。随着数学建模活动的日益活跃，利用微分方程建立数学模型，成为解决实际问题不可或缺的方法与工具。
而数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构.简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
二、微分方程模型应用于实际问题的方法和流程总结
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
一般用于求解微分方程的方法或形式有三种，分别是求解析解、求数值解（近似解）和定性理论方法。而建立微分方程模型的方法通常也有三种，其一是利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型；其二是利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律；其三是在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
在建立数学微分方程的流程上，我们通常第一步是对具体实际问题进行分析，找出问题中的变化量和变量关系，接着进行模型假设，将实际问题的元素用数学概念代替，然后进行符号设定，简化计算，从而建立模型，进行求解，最后用求解的结果对之前的问题分析和模型假设进行验证，验证合理后进行模型的应用和评估。
三、微分方程模型应用领域归纳和具体案例分析
从应用领域上讲，微分方程大方向上的应用领域主要分社会及市场经济、战争微分模型分析、人口与动物世界、疾病的传染与诊断和自然科学这五个方面，如果细致来讲，其中社会及市场经济方面又包括综合国力的微分方程模型、诱发投资与加速发展的微分方程模型、经济调整的微分方程模型、广告的微分方程模型、价格的微分方程模型；战争微分模型包括军备竞赛的微分方程模型、战争的微分方程模型、战斗中生存可能性的微分方程模型、战争的预测与评估模型；人口与动物世界领域包括单种群模型及进行开发的单种群模型、弱肉强食模型、两个物种在同一生态龛中的竞争排斥模型、无管理的鱼类捕捞模型、人口预测与控制模型；疾病传染与诊断领域包括艾滋病流行的微分方程模型、糖尿病诊断的微分方程模型、人体内碘的微分方程模型、药物在体内的分布与排除模型；自然科学领域包括人造卫星运动的微分方程模型、航空航天器翻滚控制的微分方程模型、非线性振动的微分方程模型、PLC电路自激振荡的微分方程模型和盯梢与追击问题的微分方程模型等。
尽管从上述微分方程应用领域的罗列和总结上，我们会觉得比较复杂，其实所有微分方程建模问题的流程都是严格按照问题分析、模型假设、符号设定、建立模型、模型求解和验证模型这一流程进行的，下面就结合一个案例来具体分析：
比如弱肉强食微分方程模型。生活在同一环境中的各类生物之间，进行着残酷的生存竞争。设想一海岛，居住着狐狸与野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之丰富，兔子们无无食之忧，于是大量繁殖；兔子一多，狐易得食，狐量亦增，而由于狐狸数量增加吃掉大量兔子，狐群又进入饥饿状态而使其总数下降，这时兔子相对安全，于是兔子总数回升。就这样，狐兔数目交替地增减，无休止的循环，遂形成生态的动态平衡。那么，如何用建立数学模型描述并预测下一阶段情况呢？在这个问题上，某一时刻兔子数量和狐狸数量就存在变量关系：
其中ax表示兔子的繁殖速度与现存兔子数成正比，-bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度；-cy表示狐狸因同类争食造成的死亡速度与狐狸总数成正比；dxy表示狐兔相遇，对狐狸有好处而使狐狸繁殖增加的速度。
四、结语
微分方程模型的应用让很多现实中难以具体计算的问题迎刃而解，通过对事物发展规律的掌控进行科学建模，是数学应用于生活的发展趋势，作为广大在校进行数学专业学习的同学来说，掌握好专业基本功，是将来就业工作，实现自身价值的重要途径。
参考文献：
[1]肖静宇. 几类分数阶微分方程的数值方法研究[D].哈尔滨工业大学，2013.
[2]付树军. 图像处理中几何驱动的变分和偏微分方程方法研究[D].北京交通大学，2008.
关键词：常微分方程；教学方法；教学效果
常微分方程是基础数学的重要分支之一，它是研究客观世界量与量之间关系的重要工具，广泛地应用于物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融等领域。常微分方程课程是我校应用数学系的一门专业基础课，同时又是数学分析的后继课程。这门课程不仅可以让学生领略到丰富的数学知识，而且引导学生用新的视角认识世界，对培养学生的数学思维起到了非常重要的作用。
如何在常微分方程的教学中，提高学生的积极主动性，发挥教师的主导作用，使教学方式由教学投入，即以教学内容、学习年限为导向，转变为教学产出，即以学习效果为导向，是教学改革中大家比较关注的问题。在常微分方程课程的教学过程中，笔者有以下的构想和尝试。
一、“任务式”教学――突出学生主体，体现教师主导
目前，课堂教学的一大弊端是教师包办和代劳太多，而学生的学习兴趣不高，“学生的主体作用”和“教师的主导”体现得都不明显。学生习惯被动地接受知识，而不是主动地学习和探索知识，很难从学习中感受到快乐。为了改变这一现状，教师在教学过程中，有意识地布置一些学习任务，要求学生去完成。这个任务绝不局限于课后的习题。
比如，常微分方程第一节绪论课，主要介绍微分方程的背景知识和基本概念。常规为两课时，课堂上能够介绍的内容非常有限。教师在教学中布置学习任务：
了解常微分方程在生产生活中的应用；
了解常微分方程的发展历史和关键人物；等等。
学生可以利用各种资源，主动查找和学习相关的资料，以作为课堂内容的有效补充。为了督促学生完成任务，教师要求学生在规定时间内以论文、PPT、影像资料等多种形式提交学习成果，并及时记录和交流，任务完成情况作为学习成绩的一部分加以体现。教师则在有限的课堂时间内，重点讲解“数学单摆”“人口模型”“传染病模型”等几个非常经典的微分方程模型，使学生了解和认识应用微分方程“思考问题--建立模型―解决问题”的过程。这样的设计，突出了教师讲解画龙点睛的主导作用，也调动了学生学习的主动性，充分发挥其主体作用。
课后学生分两次完成作业，找到了鉴别名画的真伪、测定考古发掘物的年龄、深水炸弹在水下的运动、物资的供给、红绿灯问题、需求与物价之间的关系、减肥的数学模型等诸多课本上没有的例子；制作了精美的PPT，介绍常微分方程的发展历程；从方法论的角度出发，学习和总结利用常微分方程建模的常用方法。通过学习，学生对常微分方程背景知识和广泛的应用性有了更充分的认识，对应用这个工具解决问题的方法有了更加深刻的理解。这样的作业，突破课堂限制，不仅使学生学到了知识，更主要的是，在学习的过程中学会了资料的搜集与整理以及论文撰写的基本知识与格式，提高了协作完成任务的能力。这样的学习方式，使学生成为学习的主角，而教师在学习活动中的主导和组织作用也得到了充分的发挥。
二、构建以教材为中心的“辐射式”教学内容体系
除教材知识外，“辐射式”构建本课程学习内容，建设一个以教材为中心，以资料为辅助的教学内容体系。微分方程的发展历久弥新，是一门前沿性非常强的课程。教材知识虽然经典，但是比较陈旧，不能体现这门课程前沿性的特点。为此，教师在授课过程中应给学生提供比较恰当的、既结合学习内容又比较新或者比较经典的论文资料，供学生阅读学习。在搜集资料的过程中，注重提供一定比例的外文资料。通过阅读与学习这些资料，使学生提高了学习兴趣，开阔了视野。同时，积累了专业词汇，培养了阅读外文学术文献的能力，提升了学习品质，为今后的学习奠定了良好的基础。这个教学内容体系，随着教学与科研的发展不断更新和补充“新鲜血液”，经过几轮的积累，就会形成一个丰富的、动态的常微分方程课程资料库。
不仅如此，还应要求学生学习Matlab、Maple、Mathematic等常用的工具类数学软件，并且能够把它应用到常微分方程课程的学习中，解决一些基本问题，如画相图、积分曲线（面）、求各类常微分方程的近似解等。
三、“过程化”教学――注重学习过程的管理和引导
为了体现学生是学习的主体，改变单一的考试办法，应分阶段分任务进行考核。考核内容有：
第一，期中、期末考试。
第二，作业考核。
过程考核分课内作业和课外作业。课内作业是常规的课后习题；课外作业有课堂笔记、文献阅读、本课程相关资料整理等。
第三，课外学习内容考核。
主要有数学软件学习、实验课内容学习和操作等。各类学习内容在考核中都占有一定的比例，以此调动学生学习的主动性，使得总评成绩能够比较全面地反映学生的学习情况。
在考核方式的比例分配和成评定过程中，引入学生的意见，甚至部分展示内容中可以让学生的评分占一小部分。
四、“建模化”教学――突出应用，提高能力
微分方程来自于实践，主要解决实践中遇到的各种问题，建模是利用微分方程解决问题的第一步，也是关键一步。常微分方程教学应该尽可能地体现这一特点。
笔者在每一部分的教学中都尽可能引入实例，展现建模过程。完成知识点学习之后，每一章也都以解决一个实例问题作为结束。
在教学过程中，笔者根据教学进度，设计了四节“实验课”内容，体现出微分方程课程的实用性的特点。比如，在学习了解对初值的连续依赖性之后，为了使学生了解参数变化对方程解的影响，教学中增加了关于“混沌”的实验内容。通过对经典的Logistic模型数值解的计算，在计算机上让学生看到混沌现象的发生。在学习了微分方程组之后，增加了以了解微分方程组的应用和求解为目的的实验课――“盐水浓度计算”。在这个试验中，一个复杂过程被拆分成较简单的子系统，一个独立的微分方程描述一个子系统，于是一个微分方程组描述整个系统。
实验课环节比较完整地体现了问题的提出、分析、建模、解决等过程。学生使用计算机软件进行模拟或者近似解计算，提高了解决问题的能力。
五、“开放式”教学
学生的学习不拘泥于课堂，除了前面介绍的几种方法外，笔者还注重营造学术氛围，使学生感受到研究学习的乐趣。
一是请校内外专家为学生作比较通俗的学术报告，介绍微分方程领域的前沿工作、发展动态、趋势和应用，以及学习数学的方法等。通过这些学术活动，使学生在了解前沿的数学知识的同时，能够感受数学与数学家的魅力，寓教于乐、寓教于趣。
二是组织小型“学术活动”，通过分组学习，对于作业完成比较好的学生，在课堂上留5～10分钟时间，请他们给班级同学介绍成果。这项活动极大地激发了学生的学习热情和表现欲望，效果非常好。
六、“研究式”教学――通过师生的科研活动，促进教学，培养兴趣
微分方程课程是一门前沿性非常强的课程，即便是基本的知识点，也可以挖掘出可以研究的科研课题。
首先，在教学中，引导学生选择课题，参与科研活动，发现和完成一些小的科研任务，学生的创造力得到了很好的开发和提高。比如：课题组教师指导学生完成论文《幂级数法求解微分方程的近似解》《一类双反馈系统正解的稳定性研究》《人口流动对传染病的影响》等，基于课堂教学，又高于课本经典内容，这些研究成果的整理发表，极大地激发了学生的学习热情。
其次，我们认识到科研活动是教师保持创造性的重要保障，教师应该科研与教学并重，教学相长。只有知识渊博，富有创造性的教师，才有可能培养出具有创新精神的人才。只有富有教育责任感和工作热情的教师，才有可能引导学生进行富有成效的学习。在工作中，常微分方程教学团队的教师成立有非性分析研究所，每个人都主持有省部级或者国家级科研项目，为不断提高这门课程的教学质量提供了重要保障。
总之，经过几年的教学实践，我校努力践行“学生为学习主体、教师为学习主导”的原则，以课堂教学为核心，同时突破课堂有限的时空限制，通过各种教学形式，促使学生主动学习，积极探索。在鼓励和帮助学生获得知识的同时，培养学生的学习能力、分析解决问题的能力，获得了有效的学习成果。同时也真正体现出教师在教学过程中引导、指导、主导的作用。
参考文献：
[1]张伟年.本科数学专业常微分方程教学改革与实践[J].高等理科教育，2003（1）：19-21.
[2]赵中，陈莹.应用型本科高校“常微分方程”教学模式改革与探索[J].鞍山师范学院学报，2014，（2）：11-13.
[3]周玉兴，蒋心学，韦新.《常微分方程》课程教学改革的探讨[J].数学教学研究，2013，32（12）：63-65.
[4]王锐.应用型高校常微分方程教学模式改革[J].阴山学刊（自然科学），2017（1）：120-121.
[5]唐玉萍.常微分方程教学模式转变初探[J].四川文理学院学报，2015（2）：66-68.
常微分方程是基础数学的一个重要组成部分，常微分方程在整个数学大厦中占据着重要位置。自然科学（物理、化学、生物及天文）中的许多一般规律，用常微分方程的语言来表达最为自然。因此，常微分方程是探索实际问题的重要工具。但是该课程在目前的教学中还存在一些问题：（1）本课程包含一些冗长烦琐的计算公式和定理推导，而教学课时数普遍较少，因此在使用传统教学方法和手段授课时，使得有些内容不能深入细致地讲解，导致教学效果不佳。（2）受传统教学模式的影响，忽略了教学过程中师生的交流和学习效果的验收，使学生陷入思维的惰性中，限制了学生的批判性、创造性思维能力。因此，如何改革传统的教学模式，用新的思路去改进现有教学方法，以培养学生的创新能力，对作为基础课程的常微分方程显得尤为重要。本文从教学内容、教学方法和教学手段等方面探讨常微分方程课程的教学改革。
一、更新教学内容
（一）合理选配教科书和参考书
关于常微分方程的教材有很多，如何合理地选配教科书和参考书是搞好教学改革的关键一环。事实上，给学生指定一些参考书，让他们在课余时间对照课堂上教师讲授的内容进行学习，有助于学生进一步加深对常微分方程这门课程的了解，从而让他们从单纯的课堂中走出来。对于不同层次的学生，由于培养目标和教学计划的差异而有所区分，因此应根据学生具体情况的不同选取教材。
对于基础较好的学生，可选择理论内容较为丰富的教材[1-2]。对于此类学生，他们不但要掌握一些基本的计算方法和推导公式，如一阶微分方程的初等解法、高阶微分方程的求解公式及线性微分方程组的求解公式等，还要知道这些公式、方法的具体来源，推导过程。这就需要教师在教授过程中注重这些公式、原理的理论分析与证明，因此对教材的选取，应以理论侧重为主。对于特别优秀的学生，可直接选用国外原版教材[3]，让学生在学习之余提高阅读外文文献的能力。对于基础一般的学生来说，侧重于使之掌握相关公式的应用，对于相关理论的含义，只需了解其内容并能熟练应用即可。在教学上应侧重使学生领会公式的推导原理和方法，熟练掌握公式的具体运用，淡化理论证明为主。因此，可选用理论与计算兼而有之，侧重于计算为主的教材[4]。
（二）精心选取教学内容
像常微分方程这样的基础课，其教学内容比较经典成熟，但仍应该根据科学和社会发展的需要，用现代数学的思想、观点为指导，重新审视教学内容，与时俱进地吐故纳新，加入一些最新的前沿性知识。例如，近几十年来动力系统及其非线性科学得到了迅猛发展，极大地促进了力学、物理、生物、地理等领域的发展，如果能将这方面的新理论新方法同常微分方程中的一些知识结合起来进行讲授，将会起到很好的效果。
对于具体的教学内容还应在选定教材后，根据学时等的安排合理选择教学内容。当学时较少时，可适当删减一些复杂且将来会随着深造而进一步学习的内容，如文献[1]中的第六章非线性微分方程中的第五、第六节，以及第七章一阶线性偏微分方程。在学时较充裕的情况下，可增加一些当今微分方程中的热点问题。例如，加强Picard逼近法及解的存在唯一性证明，将它们同运用等价积分方程建立迭代推导关系同后面动力系统思想联系起来，不但给出了存在唯一性的相关证明，更对当今动力系统中的一些思想和观点给出一定的介绍和阐释[5]。这样，不但可以让学生学到的知识具有前瞻性，而且还可以帮助他们开阔思维，拓展视野，培养兴趣，增加学习积极性。
二、改进教学方法
（一）传统教学法与现代教学法相结合
教学方法一般是指与一定教学目标和任务相关的具体操作程序，是完成教学任务所使用的方法。我们可以把现行的教学方法大体分为传统教法和现代教法。站在形势发展需要的角度看，传统教法有其弊端：教师的主要精力在于讲授教材，学生的学习是被动的、消极的。可是它毕竟是在人类社会发展的历史中流传下来的，到如今仍有它合理性的一面，有的仍是教师教学中不可缺少的方法，所以不能一概否定。新方法的出现，是随着社会发展的需要、社会的变革产生的，是积极的，它与传统教法的出发点不同，是从灌输知识为主转变到启发学习为主。在教学观念上倡导适应个别差异、因材施教，强调把教学的重心从怎么“教”转到怎么“学”上。若能结合这两种方法，在教学实践的应用中做全面的、客观的分析，深入研究，总结效果，会大大提高教学效果。
在常微分方程课程的讲授中，有许多公式定理需要推导。若教师只是灌输式地教学，学生只是被动地接受，将会逐渐失去对这门课程的兴趣和积极性。因此，在讲授课程的同时，可将启发式、对话式教学引入课堂。例如，在讲完一阶微分方程的初等解法后，我们可以引导学生自己考虑几种常见的一阶微分方程的类型之间的关系，从而引出微分方程中的“化归思想”。在教学过程中将讲授式与启发式教学结合起来，不但能增加学生的学习兴趣，让他们在教师的引导和自己的主动思考中拓展思维空间和知识结构，更能让他们较为全面地掌握系统的理论知识。
（二）注重考核方式的多元化
恰当、正确的考核方式可以及时反映教师的教学效果，因此，制定适当的考核方式是了解学生对所学知识掌握情况的有效手段之一。对此，我们将考核分成三个部分：学习态度考核、随机口试考核、期末考试[6]。
学习态度考核是由教师和课代表平时详细记录每一个学生的出勤、上课表现、作业完成情况等方面，学期末由课代表和主讲教师共同评定成绩。随机口试考核则是由教师事先准备一系列的问题，在课堂或课后由学生随机抽取一道题目作答。这种方式可以引导学生注重常微分方程的基本概念和重要思想，使教师能直接掌握学生对知识细节的熟悉度以及学生的思维能力和综合运用知识的能力。期末考试以闭卷的方式进行，其内容包含本课程的主要理论知识，应突出考查学生对知识的理解程度和运用能力。在试题的选定过程中，应以考查学生对基本概念、基本理论的理解度以及对知识的综合运用度为基本原则。通过这三方面的考核，不但使教师较全面地把握学生对所学知识的掌握程度，也能增进学生与教师之间的学习和交流。
三、运用多样化的教学手段
（一）引入多媒体教学
使用多媒体教学是一种新型的教学模式，需要在教学过程中不断总结与交流，努力将传统教学模式的优点和现代教学模式的长处有机地结合起来。实践证明：两者结合得好坏是新型教学模式成败的关键，传统教学模式讲得好的教师往往使用现代教学模式也更加成功，原因在于保持了传统教学模式的优势[7]。随着计算机技术的发展，多媒体教学具有传统教学模式无法取代的优势。
图文并茂，从直观上展示公式、定理的意义，并激发学生学习微分方程的兴趣。多媒体教学利用图像和图形的结合，能够给学生更多感官上的刺激。变抽象的定理内容为具体，这就使学生更容易理解和掌握教学内容。节省课堂时间，提高教学效率。常微分方程课程涉及大量复杂烦琐的公式计算和定理的推导，如果只使用黑板加粉笔的传统教学模式，将在板书上花费过多的时间和精力。若能合理地运用多媒体教学，把需要的教学内容制作成简洁、生动的课件，并直接在课堂上播放，便能大大减少教师花在板书上的时间，使教学内容变得紧凑而有条理。
（二） 充分利用网络资源
1李关于切触变换的研究
1.1李研究切触变换的缘由受到普吕克尔几何思想的影响，李接受了将直线看作空间基本元素的做法，并将线几何看作是对几何学，尤其是笛卡尔(R.Descartes，1596～1650)创立的解析几何学局限性的哲学思考。李在1872年的博士论文前言中写到:本世纪几何学的快速发展与笛卡尔几何性质的哲学观点有着紧密联系，并严重依赖于此，也就是普吕克尔在早期的数学研究中所阐述的具有最一般形式的哲学观点。那些深刻地理解了普吕克尔数学工作本质的人，对将任意的三参数曲线当作空间基本元素的想法，不会感到陌生。但据我所知，没有人将这种想法付诸实施，原因有可能是人们很难看到这样做能带来的直接好处。在这方面我已经进行了广泛而一般的研究，从而发现通过一种比较奇妙的变换方式①，可以将通常的主切线理论转变成为相应的曲率理论。(［18］，156～157页)深刻地理解了普吕克尔的几何思想，李构造出和普吕克尔的线几何类似的球几何，即李球几何。在这种情况下，新构造的几何系统与原有几何系统的关系就至关重要。李试图去证明这些几何系统都是相容的，甚至在某种意义下是等价的。这就需要在射影意义(乃至更广泛的意义)下空间元素之间的“等价”变换，其实就是广义的“对偶原理”。于是，李开始研究各种空间元素之间的变换，如点和直线的变换〔彭赛莱(J-V.Poncelet，1788～1867)等研究过的对偶变换〕、线球变换等，这方面的研究直接导致李创立了一般意义上的切触变换。另一方面，早在1872年李就将几何变换与微分方程紧密地联系在一起。数学中经常用坐标变换来化简微分方程，用来证明一类微分方程等价于某一标准形式或典范形式。在此过程中，切触变换是主要的实现方法。在李群理论发展初期(1870～1880)，李的研究主要集中在切触变换和一阶偏微分方程。他在1874年创立了切触变换的不变量理论，逐渐建立起了系统的变换群理论，并于1888年到1893年出版了三大卷两千余页的《变换群理论》。这三卷本《变换群理论》常被列为该领域主要原始文献和参考书目。但在这三卷巨著中，我们很难发现李创立李群理论的主要动机，也无法领略到李的几何思想。对此李的好友、德国数学家克莱因(C.F.Klein，1849～1925)在1893年的演讲中有着精辟论述，他说:“要全面了解索福斯•李的数学天赋，我们不能去看他和恩格尔新近共同出版的著作，而是要去看他在科学研究生涯初期发表的文章，那些显示出李是一个纯粹的几何学家。”［19］其中“新近出版的著作”指的便是李和恩格尔在1888年到1893年间出版的三大卷《变换群理论》。李也曾在Math.Ann.杂志发表文章说:我在偏微分方程和切触变换方面的数学研究，可参见发表在本杂志第九卷的文章，这是我最好的文章之一。其次可以参考我在本杂志第八卷上的文章，接下来是本篇文章①。(［4］，464页)对此笔者认为，要详细了解某一理论的诞生过程，就必须探寻能体现该领域最初思想和方法的早期论文，而不应仅局限于后期系统专著。因此，本文对李在切触变换方面的研究主要集中于他19世纪70年表的几篇文章，即参考文献［2］、［3］、［4］。
1.2对切触变换的定义文献［2］中，李对切触变换给出若干定义，有的用文字描述方式给出，不甚严谨。如其中一个定义为:(1)很明显古尔萨的定义局限于曲线和二元函数范围，李的定义更为广泛和一般，并不仅限于二元函数。(2)古尔萨根据“曲线相切”的先验条件定义了切触变换，并将其理解为保持曲线间的相切关系不变的变换。李则从微分方程出发，根据雅可比(C.G.J.Jacobi，1804～1851)的理论，在微分方程不变性限制下得出了充要条件，由李的条件可以推出古尔萨的条件。(3)造成以上不同的原因是多方面的，与数学家的知识背景、研究方法都不无关系。古尔萨是法国分析学派的典型代表，他从纯粹分析角度来定义切触变换，其观点仍然是处理与变量密切相关的函数及其关系等问题，属典型的分析学派。而正如克莱因所言，李是几何学家，受到普吕克尔几何思想的影响，他不再拘泥于坐标间关系的限制，并将普吕克尔的线几何推广为李球几何。李定义的切触变换使一般的平面几何、普吕克尔的线几何和李球几何具有了切触变换意义下的等价性和相容性。
1.3李对切触变换的研究在文献［2］的第一部分中，李专门研究了切触变换(［2］，218～248页)。这一部分共八节，前六节分别为:§1.切触变换的定义§2.任意的切触变换的确定§3.将x1，…，xn，p1，…，pn的函数变换成x''''1，…，x''''n，p''''1，…，p''''n的函数的切触变换§4.特征的某种关系的确定§5.齐次切触变换§6.无穷小的齐次切触变换以上这些均以切触变换本身为研究对象，其中很大一部分都是特殊的切触变换，如齐次切触变换、无穷小齐次切触变换等。将李关于切触变换的工作与前人比较，我们发现:(1)李所创立的切触变换与前人的定义保持了某些统一性。从历史上看，勒让德(A.M.Legendre，1752～1833)引入勒让德变换将欧拉—拉格朗日方程化为线性方程，普法夫(J.F.Pfaff，1765～1825)则将n变元的偏微分方程变换为2n变元的方程。雅可比也得到了与普法夫类似的结果，并创立了雅可比第一方法。从勒让德、普法夫、雅可比给出的变换到李所给出的定义，变换形式越来越一般，而应用范围却越来越广。更重要的是李将前人关于切触变换的零星的特殊研究统一起来，使进一步的研究及统一结论成为可能。(2)在研究目的、定义方式、研究方法等方面，李的切触变换与前人有着明显不同。在李的研究出现之前，切触变换只是被当作一种应用工具，很少有数学家去关注其自身性质，而只是在某种实际问题的特殊要求(为了使微分方程更好求解，或为了使微分方程具有某种一致的对称性等)下，寻找某种特殊变换;即使所得到的变换具有某种一般性，但既没有出现统一定义，也没有体现出统一性质。李对切触变换的研究则与前人迥然不同，体现在以下方面。首先是研究目的不同。李最初研究切触变换的目的也是寻求偏微分方程的某种不变性，但在给出切触变换的定义后，李转而研究其自身性质，其目的是变换自身的某种不变性，而不仅是其他数学对象在切触变换之下的不变性。这种转变是最本质、最具决定性的。其次是定义方式不同。李之前的各种切触变换定义带有明显的应用特征，李不仅真正给出切触变换严格的现代定义，还给出了切触变换的充要条件。其定义更基本、更一般，涵盖范围也更广泛。第三是研究方法不同。李依据将特定偏微分方程化为全微分方程的条件，确定能够实现这种转化的切触变换，分析该切触变换满足的充要条件，并由此开创了一整套研究方法。
1.4李群理论的诞生背景一般认为，真正将李引导到连续变换群的是他1869～1872年的工作以及和克莱因的一些合作［21］。现有研究文献，或以人物及其工作为研究主线，如［15］，或从不同数学分支分述，如［16］，或两者并重，如［22］，但少有文献注意到切触变换基础上无穷小变换与微分方程的关系。其实切触变换和无穷小变换与微分方程都有密切联系，在李的变换群理论创立中起着举足轻重的作用。早在1871年克莱因和李就开始研究无穷小变换及其形成的“封闭系统”(［23］，54页)，并首次将无穷小变换与微分方程联系起来。对于齐次微分方程引入变换yx=t，则方程变为可分离变量方程，并可通过积分求解。克莱因和李对于方程的这种性质非常着迷，认为容许一个变换才是该方程化为可分离变量方程的真正原因。他们写到:我们想要探寻方程具有这种性质的真正的内在原因。(［23］，81页)1876年李连续发表了两篇文章“变换群理论”(I，II)［6，7］，给出了无穷小变换的具体表示，并得到了微分算子Ak(f)=∑ni=1Xkifxi及微分算子的关系式:Ah[，A]k=∑lclhkAl。后来他直接将微分算子Ak(f)称作无穷小变换dxi=Xkidt(1≤i≤n)的“象征”。(［7］，165页)不久便将微分算子Ak(f)本身称作“无穷小变换”(［24］，588～589页)。另外，切触变换理论和无穷小变换通过微分方程发生了联系，进一步促使李产生了变换群的思想。1876年李证明每一个r-参数群包含了r个相互独立的无穷小变换，并用如下的记号来表示一个无穷小变换:如果一个变换可以写为x''''i=xi+δtX(x1，…，xn)，其中δt为一个无穷小量，则将该变换称为无穷小变换。我们经常将上方程写为δxi=δtXi(x1，…，xn)。(［7］，155～156页)
2李创立的变换群理论
1872年10月克莱因发表了爱尔兰根纲领(ErlangerProgramm)，主要讨论了几何图形在变换群之下的不变性质，不仅一举解决了当时若尔当(C.Jordan，1838～1922)考虑的问题，还将其结果纳入自己的研究纲领，开创了用群论研究几何的新时期。李的变换群理论也正肇始于此时期。本部分以切触变换为中心，从变换群概念的诞生方面进行论述。
2.1“群”的观念其实李早就有了群的观念，只是在早期研究中没有给出“变换群”的定义，也没有对“群(Gruppe)”加以定义和说明①，而仅是研究了满足某些带有“群”的特征的集合。1870年李首次使用了“群”这个术语，但并没有事先定义“群”的概念。这里的“群”和现代意义上的“群”相去甚远，仅指对应某一线丛的几何图形的全体，大多数情况下仅具有“集合”的意义［25］。在1871年的论文中［23］，李和克莱因用“封闭系统”来表示满足封闭性的某种变换的集合。这时他们已经有了变换群的观念，并研究了群的某些性质，只是由于概念和工具限制②，他们的理论缺乏一般性而难以推广。在1872年的文章中［26］，“群”出现了10次，同样李也没有定义和解释“群”的概念，“群”的含义与1870年的情形大致相同。在1874年的文章中李明确给出了“群”的概念，该文第二部分的标题就是“群论”(TheoriederGruppen)(［2］，248页)。但他定义的“群”只是满足一定条件的变换的集合，并没有特别强调该集合应该满足的封闭等性质。因此，从“群”的角度来说，将1874年文章第二部分出现的“变换群”称作特殊的“变换组”则更为合适一些。1874年到1880年李发表了十几篇关于变换群的文章，这里的“群”充其量只是具有了封闭性的特殊函数或某些变换的集合，并不能真正称得上“群”。在李看来，连续变换群概念必须要满足以下性质:(1)它是一类切触变换;(2)在此种切触变换下，偏微分方程具有某种不变性;(3)这种切触变换最好是由一个无穷小生成的变换或称作与一个无穷小增量所对应的变换;(4)所有切触变换的集合依赖于r个参数，就形成了一个连续变换群。正因为连续变换群承载了如此多的含义和作用，真正意义上的“连续变换群”概念的产生必然是一个缓慢而渐进的过程。
2.2变换群概念的出现众所周知，群中单位元素(在变换群里即为恒等变换)和逆元素(在变换群里即为逆变换)的存在非常重要。由于要研究在合成作用下稳定的所有变换的集合，李逐渐意识到恒等变换与逆变换的重要性。1876年李认为能够证明在具有封闭性的变换的集合中必定先验地存在恒等变换及一个无穷小变换，并假设所研究的变换群总可以成对的表示为变换及其逆变换。［6］1880年李正式给出了“变换群”的定义，不过这里给出的定义也仅仅是满足了合成法则的特殊的变换组。他给出的变换群的定义如下:众所周知，置换理论中已经证明:一个置换群的元素与其逆元素可以认为是成对出现的。而置换群和变换群理论的不同点仅在于，前者含有有限元，而后者则包含有无限个变换。不过很自然(将上述做法推广)认为变换群的一个变换与其逆变换也是成对出现的。(［28］，444～445页)1884年恩格尔构造了一个有限连续群，不包含恒等变换，其元素也并不总能成对的表示为变换及逆变换(［11］，174～175页)。由此李意识到之前假设是错误的，并证明引入新的参数以及解析延拓后，总可以达到他最早给出的论断。(［16］，414页)定义了变换群后，李进一步定义了两变换群相似的概念。随后，李和恩格尔于1888～1893年出版了三大卷的《变换群理论》，在第一卷总结得到了李代数的三条基本定理，给出了李群的局部特征的表示。此外，李也研究了连续变换群的分类和同构问题，最早尝试对李群进行分类，为基灵(W.Killing，1847～1923)和嘉当(.Cartan，1869～1951)李代数结构的研究开启了大门。
3切触变换在李群理论中的作用
本部分我们试图对以下问题进行初步探索:李创立连续变换群的主要目的是什么?或者说出于什么动机?李是沿着何种路线如何达到这些目的?切触变换在其中究竟起到什么作用?
3.1以微分方程为中心的研究目的李曾在克里斯蒂安尼亚大学(今奥斯陆大学)受教于希罗(P.L.Sylow，1832～1918)。希罗则是当时欧洲大陆能够读懂伽罗瓦理论的少数数学家之一。李意识到了伽罗瓦理论强大的力量，希望将代数方程的伽罗瓦理论推广用来解决微分方程，并考虑偏微分方程的解在切触变换下的不变性。他自豪地宣称要将连续群的概念应用到微分方程上去。(［27］，60页)众所周知，伽罗瓦理论的一个基本结果为:代数方程可根式解的充要条件是该方程的伽罗瓦群是可解群。与此相类似，在皮卡-韦西奥理论中，引入了线性齐次常微分方程的伽罗瓦群，并将之称作微分伽罗瓦群，而线性齐次常微分方程可用积分解的充要条件就是其微分伽罗瓦群是可解群。李则更多地从分析的角度来考虑问题，即:对于一个给定的微分方程组，考虑使该微分方程组保持稳定的底空间的微分同胚群，也就是考虑该微分方程组的解的置换。布尔巴基曾比较贴切地评论道:实际上，对李来说，变换群的理论就像是微分方程的积分工具一样，就像代数方程中的伽罗瓦理论一样重要。(［16］，416～417页)尽管李的目的和出发点受到伽罗瓦理论的强烈影响，但他对伽罗瓦理论的理解却值得我们思考。在李1874年写给迈耶(A.Mayer，1839～1908)的信中说:在伽罗瓦之前，代数方程理论的问题是:是否方程可以根式解，如何解?伽罗瓦之后的问题是，用根式解方程的最简单方法是什么?…我相信是时候应该在微分方程领域也进行类似的工作了。(［24］，586页)在李看来伽罗瓦理论对代数方程的最直接影响是给出了根式解方程的最简单方法，这与我们现在的看法多少有些不同。现在认为:对代数方程来说，伽罗瓦理论最要紧之处是给出代数方程可解性的判据。另一方面，对“群结构”的不断探索深化了人们关于“抽象群”的认识，李在这方面也作出了尝试。1880年他写道:我们的问题可以表述为:确定一个流形的所有r参数群。(［28］，443页)。他将自己的目标描述为:发展出一套关于变换的一般理论，并将其应用到微分方程上去。一方面要寻找能将一个给定的微分方程或者是解析表达式变成给定形式的变换的存在条件，另一方面则在其存在时求出该变换。(［29］，538页)事实上，用变换来研究给定微分方程的方法已出现在欧拉(L.Euler，1707～1783)、拉格朗日(J-L.Lagrange，1736～1813)和勒让德的著作中。但这些数学家从未想过研究这些变换的自身性质，也没有建立包含所使用的特殊变换的一般理论，更很少对这些变换分类。他们只是将变换当做解微分方程的一种工具，更不要说从群的角度来研究微分方程。李的研究动机和目的显而易见，即:将连续变换群应用到微分方程上去，为微分方程发展出一套积分理论，其中包含了一种变换理论，它可以判断一个微分方程能否变成给定的形式，并求出该变换。正是通过这种变换理论，李发展出了解微分方程的理论，该理论通过寻求微分方程在变换下的不变性而简化求解过程。在这个过程中，切触变换和无穷小变换两个概念起重要作用，这也正是他研究的出发点。
3.2以切触变换为基础的研究方案在1884年的文章中，李详细的介绍了他的思路:首先建立切触变换的理论基础，然后引入无穷小变换的重要概念。首要目标是建立切触变换的不变量，也就是说研究微分方程在所有切触变换(或所有的点变换)之下的不变性。第二步是建立带有有限参数的连续变换群理论，并建立将其应用到微分方程上去的一般理论。(［29］，538页)在此基础上，李研究了微分方程在切触变换下的不变性和该不变性与无穷小变换的关系。1871年他开始研究使得微分方程不变的无穷小变换，并考虑了可交换的变换及其形成的群，这就有可能“或者由此得到一些积分方法，或者可以将问题分成几个更简单的问题。”(［29］，547页)首先，李将对微分方程的研究转变为对使该方程不变的切触变换的研究;借助无穷小变换与切触变换的关系，形成变换群的概念。由此对于微分方程的分类就相当于对变换群的分类。对此，李认为:给定任意阶的两变量的微分方程，它可能容许一个将自身变为自身的切触变换，而这些切触变换形成的群一定属于上面列出中的某一个。在此基础上，可以对这些方程进行分类，……也就给出了对其进行积分的一个正确理论。(［4］，541页)作为应用，李将一个平面切触变换的所有有限连续群化为典范形式，同时研究了属于这些群的一阶、二阶和三阶微分方程的不变量。以此为基础就可以原则上解决微分方程的分类问题，从而大大简化微分方程的积分理论。(［4］，529～542页)由此我们总结得到李的研究方案，并得出切触变换在李群创立过程中的中心作用:(1)研究切触变换，建立切触变换的不变量理论，研究微分方程在切触变换下的不变性;(2)将无穷小变换的概念与微分方程联系起来，探寻微分方程在切触变换下不变性的真正原因，并将结果应用于微分方程的积分理论的研究中;(3)将微分方程所容许的变换与无穷小变换结合，产生有限参数的连续变换群的概念;研究将任意的变换群化为典范形式的方法，或研究能否将典范群变换成给定的变换群，在此基础上构造典范群的不变微分方程，对变换群进行分类;(4)将有限参数的连续变换群的性质归结为无穷小变换的性质;通过相互独立的无穷小变换的个数对变换群分类，从而对微分方程分类;在此基础上建立微分方程的系统理论。
4结语
关键词：数值分析；数学建模；数学实验；教学改革
一、引言
“数值分析”是为我校机械工程、电气工程、材料工程和化学与环境工程等专业的硕士研究生开设的一门学位课程，通常需要学生在本科阶段学习过“高等数学”“线性代数”及“常微分方程”三门课程。“数值分析”课程又为后续的“数学模型”“软件工程”和“算法设计与分析”等课程奠定知识和方法论基础。该课程涉及内容较多，并具有很强的理论性和实践性。随着现代计算机技术的迅猛发展以及社会对硕士人才培养提出的更高要求，如何采用有效的教学方法，提高教学质量已成为“数值分析”课程教学任务中不可回避的重要问题。为了培养和提高学生发现、分析以及解决问题的能力，为今后能够顺利担负科研任务打下坚实的基础，根据该课程的特点，融入数学建模和数学实验的教学法，不仅可以激发学生的学习兴趣，使其对教学内容掌握得更加扎实，讲解和实践的案例还可以成为学生在将来从事科研活动时的重要参考资料。
二、“数值分析”课程的特点
国内外为硕士生开设的数值分析理论及类似课程所采取的讲授方法基本类似。教学模式或者较为注重计算公式的推导，或者偏重于具体算法的应用。从教学方式上看，传统的“注入式”教学模式仍占主导地位，这严重影响了研究生的个性培养、创新思维的训练。总体来说，该门课程的特点可以概括为以下两点：（1）具有理论数学的抽象性与严密科学性；（2）应用的广泛性与实践的高度技术性。
三、融合数学建模和数学实验教学法的内涵与实例
（一）教学法的内涵与作用
结合“数值分析”课程教学的特点，可以作出如下定义：融合数学建模和数学实验教学法是指在教师的策划和指导下，基于教学创新理念，以提高学生分析解决问题的能力为目的，并以数值分析课程的知识结构为主线，组织学生通过对具有代表性的数值分析模型的提出、原理的解释、应用领域的分析、思考、讨论和交流等活动，引导学生自主探究，加深对知识理解等的一种特定的教学方法。
该教学法是一种理论联系实际，启发式的教学过程。通过教师采用数学模型引导来说明理论知识，通过实验仿真，激发学生的学习兴趣，提高学生分析解决问题的能力。采用该教学法可以克服传统教学中“教师主体”的模式缺点，使学生成为教学的中心，不仅不必强记定理公式，而且能够使学生了解到实际问题的多选择性和不确定性，激发学生的创新精神。
目前，我校进行了研究生培养模式的改革，提高了要求，在这种情况下，传统的培养方式及教学方式必须进行改革，该教学法具备上述优点，是一种非常适应现代教学现实的方法。
（二）教学法的实例
目前的数值分析理论课程教学，只是在分析已有的模型，而对于模型的提出过程讲授得较少，因此造成了学生的分析能力强于综合能力。而学生在未来的科研工作中，对于综合能力的要求要高于分析能力。所以讲授数值分析模型的提出过程对培养学生的综合能力是十分有益的。在此笔者列举教学实践中的典型例子说明该教学法的优点。
应用实例：
在讲授教材中“常微分方程初值问题数值解法”这部分的内容时，教材上只是给出了微分方程的几种数值方法及其对应的误差估计、收敛性和稳定性，内容较为晦涩难懂，学生往往不能理解常微分方程来自于哪些实际问题，特别不理解数值解的内涵，于是笔者在讲授该部分内容时融入了数学建模的思想。为使学生理解数值解的内涵，借助C++、MATLAB或MATHEMATICA等软件做程序的编写，完成数值解的求解及几种方法解的图形显示，加深对该部分内容的认识和比较。
提出数学建模问题：食饵捕食者问题。
意大利生物学家D’Ancona发现：第一次世界大战期间意大利阜姆港捕获的鲨鱼的比例有明显的增加，如表1所示。
事实上，捕获的各种鱼的比例代表了渔场中各种鱼的比例。战争中捕获量会下降，而食用鱼会增加，以此为生的鲨鱼也同时增加。但是捕获量的下降为什么会使鲨鱼的比例增加，即对捕食者更加有利呢？
他无法解释这个现象，于是求助于他的朋友，著名的意大利数学家Volterra。Volterra建立了一个简单的数学模型，回答了D’Ancona的问题。
模型假设：
1.食饵增长规律遵循指数增长模型，相对增长率为r；
2.食饵的减小量与捕食者数量成正比，比例系数为a；
3.捕食者独自存在时死亡率为d；
4.食饵的存在使捕食者死亡率的降低量与食饵数量成正比，系数为b。
通过上述教学案例的使用，使学生在学习常微分方程问题数值解的理论后，对一些实际问题，能够建立微分方程组模型，并动手实验给出方程组的数值解，加深对数值解的认识，对数值解收敛性、误差情况和稳定性有具体的认知，并进一步通过图形等方法对结果进行验证、解释和分析。
通过3个教学循环的教学经验和多年的科研实践经验，如果采用新教学法，可以显著提高教学效果，并且可以引入现代科研领域的一些前沿内容，推动教学改革的进行。
在数值分析理论课程的教学活动中引入了数学建模和数学实验的教学法，对教学内容及实践活动进行了总结，教学实践活动表明该教学法能够提高学生的独立思考能力，解决问题的能力，使学生在理论知识和实践能力方面达到了学以致用的效果，教学质量得到了明显提高。
参考文献：
[1]赵景中，吴勃英.关于数值分析教学的几点探讨[J].大学数学，2005，21，（3）：28-30.
关键词： 《矩阵论》教学 教学改革 教学内容 教学方法 考核方式
矩阵论作为数学的一个重要分支，其矩阵理论和方法表达简洁、刻画深刻，是一种重要的数学工具。矩阵理论在数学学科和其他科学技术领域都有非常广泛的应用。随着电子计算机及计算技术的发展，矩阵理论的应用前景更为广阔。
本课程主要讲授线性空间与线性变换、范数理论、矩阵分析、矩阵分解、特征值估计、广义逆等内容。
一、教学改革的背景
虽然矩阵理论有着广阔的应用背景及前景，但是，在工科院校理科专业《矩阵论》教学过程中出现的问题恰恰因为课程理论内容与实际应用联系不密切。
理科专业课程设置中的《数学分析》、《高等代数》等也都注重培养学生逻辑思维能力，对于应用能力的培养比较欠缺。理科学生对于理论知识的实际的应用，单从教材中，接触到的非常少。在理科专业课程教学中出现了一个很突出的问题：学生学习了大量的理论知识，计算能力得到大量的训练，但是这些理论知识有什么背景？具体有什么用呢？这个问题困扰着大部分的理科生，他们看不到理论知识的来源和具体应用，只是在机械地进行着推理和计算。教材或者教师的讲解中很少有涉及所学的理论知识在物理或者经济或者工程等方面的背景，理论知识可以解决哪些实际问题。单一的逻辑思维能力和计算能力的培养大大降低了他们的学习主动性和学习兴趣。
《矩阵论》课程中的矩阵理论与方法与实际应用有着密切的联系，但是教材中应用的分析很少，即使有也是脱离实际的问题。如何针对该课程的特点和授课学生的特点，调动学生学习积极性，培养学生浓厚的学习兴趣成为教师思考的主要问题。
课程以期末笔试为单一的考核方式，注重考查学生对基本运算的掌握，没有考查相关解决实际问题的能力，这也是造成学生学习兴趣不浓厚的原因。
二、教学内容改革及其实践探讨
1.教学内容上补充理论知识在其他学科中的应用。
矩阵理论在数学学科与其他科学技术领域，诸如高等数学、数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、运筹学、控制论、系统工程等学科都有广泛的应用。但是教材中具体应用的例子较少。针对这一情况进行教学内容上的改革，具体实践如下。
（1）行列式应用：求过定点的曲面曲线方程，微积分中的证明。高等数学中的内容可以用行列式的理论进行求解和证明。
（2）矩阵的秩：判别曲面的位置关系。矩阵作为数学学科的一个重要工具，可以解决很多问题，高等数学中曲面的位置关系及判别直线是否共面等，都是利用了行列式的几何意义。
（3）矩阵对角化：求解微分方程组。可对角化的矩阵在矩阵中是非常特殊的一类，对这类矩阵的研究理论的应用简化了问题的解决过程，在微分方程中可以化某些一阶常微分方程为可分离变量的方程来求解。
（4）正交变换：判断二次曲面类型，最优化问题。正交变换因为其保持了内积、夹角、长度等性质，在计算时对于误差不会变化，从而利于优化问题的计算机计算。
（5）矩阵的正定性：求解函数极值。正定矩阵对应的标准形中的平方项系数都大于零，利用标准形解决高等数学中函数极值问题。
（6）二次型：多元函数极值。二次型的标准形中只含有平方项，从而在求解最值或极值问题时易于求出多元函数的极值和极值点。
（7）广义逆：最小二乘问题。多元线性方程组有时没有解，如何求出符合要求的最接近的解，利用广义逆解决不相容的方程组的求解问题。
（8）线性变换：电工学理论（线性网络的输入输出看成线性变换，网络的串联就是线性变换的乘积）。线性变换作为线性代数中的工具，可以由矩阵表示，从而用矩阵理论解决相关的问题。
2.教学内容上补充理论知在实际应用中的案例。
数学来源于实践，而数学的发展又要推动实践。向学生介绍有趣的幻方和hanio塔问题及其简单的求解。幻方问题古老而有趣，利用矩阵的知识可以构造幻方。hanio塔问题可以用矩阵理论求解。该问题具有很高的挑战性，曾经作为很多大公司的面试题目，可以激发学生计算机编程的兴趣。
化学：配平化学方程式，复杂体系的平衡问题。化学方程式可以用矩阵来表示，从而利用矩阵的运算来配平方程式。
生物：遗传问题，减少遗传病研究。遗传病问题也可以用矩阵表示。
信息：编码问题。利用可逆矩阵作为加密的密钥对信息加密，其逆矩阵就是解密密钥，这只是一类非常简单的线性编码问题。利用多项式可以进行多项式的编码，以及检错纠错等过程。
数学规划：最优化问题，多元方程组。矩阵理论的发展一直推动着最优化理论的发展，其中矩阵的分解理论、校正理论、特殊矩阵理论在大规模问题的计算中占有重要的地位。
图像传输：数字水印，图像压缩（矩阵分解）。图像压缩在传输中非常重要，矩阵的分解理论给图像压缩提供理论支持。
矩阵对角化：机械振动，线性电路分析，自动控制理论（状态变换的解耦问题）。
3.教学内容上补充理论的背景知识简介及前沿发展介绍。
在讲解广义特征值问题时，简单介绍振动理论，在讲解矩阵值函数时介绍线性控制系统等，使学生能了解问题的背景及其前沿发展，激发学生的兴趣。
在教学内容的改革实践中，部分内容采用教师简单介绍，部分内容采用详细讲解，部分内容以讨论课题目形式出现，引导学生查找相关资料，激发学生的学习主动性并培养学生的学习兴趣。
三、教学方法改革及其实践探讨
教学方法上采用教师讲授为主，逐步结合学生搜集相关应用资料、组织报告讨论，介绍数学软件Matlab，引导学生学习使用数学软件解决问题。
矩阵论作为重要的数学工具，其理论知识具有系统性和非常强的逻辑性，理论知识的讲解应该以教师讲解为主，教师在讲解的过程中引导学生深化理解，形成完整的理论知识体系，使学生在学习其他课程和进行科研工作时打下扎实的矩阵理论基础。
为培养学生学习的主动性和学习兴趣，教师应在讲授之外，以讨论课或小论文的形式布置与理论相关的应用型题目，培养学生查找资料的能力，使学生在自己动手动脑解决问题时，发现理论的应用，并利用所学理论解决实际的问题，培养学习兴趣，从而激发学习的主动性。
数学软件的使用，在很大程度上解决了计算的大规模问题，利用数学软件解决数学或者实际应用问题是学生在以后科研或者工作中的主要方向。比如教师在讲解矩阵分解时，介绍相关的Matlab指令，学生进行相应操作练习。逐步开设实验课，与教学内容紧密联系，锻炼学生应用数学软件解决问题的能力。
四、考核方式改革及其实践探讨
考核方式上采用笔试结合小论文或者专题报告，期末成绩和平时成绩相结合。平时成绩中包含出勤、讨论表现、作业、小论文或者专题报告的撰写，其比例不超过20%。
本次理科矩阵论教学改革主要针对教学中理论与实践联系不足的问题，在教学内容中增加理论知识在其他学科和实际中的应用，理论知识的背景及前沿介绍；教学方法中教师以理论的背景出发讲授课程内容知识，并给出相关的应用，课堂讲授结合学生查阅相关资料进行报告，介绍数学软件Matlab；考核方式上理论知识的考试结合学生的报告和撰写的小论文。通过教学改革，使学生深切感受到理论知识的具体应用，从而避免单一的理论教学，激发学生认识到矩阵论理论和方法在实际问题中的应用，提高学习主动性和能动性。
经过教学改革的实践，学生对矩阵理论的应用有了初步的了解，并撰写了相应的论文，对矩阵理论的学习兴趣有了很大的提高。
参考文献：
【关键词】MATLAB；内轮差；数学建模；事故防范
Optimal Analysis in Difference of Radius Between Inner Wheels
FAN Shuo
（School of Mechanical and Power Engineering， East China University of Science and Technology， Shanghai 200237， China）
【Abstract】Traffic accidents caused by the existence of difference of radius between inner wheels always occur. The problem is particularly severe with large vehicles and narrow roads condition. By establishing mathematics model and with the help of MATLAB， the path of front and back wheels of vehicles when turning can be simulated， the animation of vehicles when turning can also be made， so that relationship between different parameters of vehicles and difference of radius between inner wheels can be concluded. What’s more， solutions which aiming at reducing and eliminating the occurrence of traffic accidents caused by difference of radius between inner wheels can be proposed.
【Key words】MATLAB； Difference of radius between inner wheels； Mathematical model； Prevention of accidents
0 引言
车辆内轮差指车辆转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差。通常车辆前内轮的转弯半径大于后内轮，这也就意味着如果车辆的车头部分以较小的转弯半径转弯时，车辆的中、后部分会以一个更小的转弯半径转弯，即车辆在转弯的过程中会向圆心方向的空间不断靠近。而这种在转弯过程中的变化通常难以被驾车司机察觉，造成司机的“视觉盲区”。容易理解，倘若在“视觉盲区”内存在行人或是其他机动车辆，事故发生的可能性将大大提高。实际上，由于内轮差的存在而造成的交通事故屡见不鲜。对于大型车辆或是狭窄转弯路况而言，此问题尤为严重。
若结合生活经验定性的思考一下内轮差问题，不难想象对于同一类车型，转弯的幅度越小，内轮差越小，反之相反。而对于不同的车型，当转弯的幅度相同时，轴距大的车型内轮差大，反之相反。但是从经验角度没有办法推出一个具体的内轮差数值概念。本文希望通过建立数学模型，借助MATLAB，定量求解内轮差问题，增加人们对于内论差的认知。在建模的过程中，与其他转弯问题研究一样[1，2]，我们忽略离心力所引起的侧滑与轮胎变形所引起的侧向偏离对运动轨迹的影响。
1 内轮差建模
1.1 模型一
假设1：汽车整体为一刚体，转弯的过程中不会发生变形；
假设2：车辆在转弯过程中，内前轮与内后轮的轨迹均为圆弧，且两圆弧圆心重合。
当rD为车辆的最小转弯半径时，对应的D即为该车的最大内轮差。最小转弯半径的数值可以从车辆参数表中方便的获得，因此利用式（3）可以快速估算车辆的最大内轮差。
但由于真实条件下车辆的转弯轨迹并不是严格的圆弧，因此上述公式实际上计算的是车辆内轮差的近似值。不过有研究表明[3]，利用该公式计算的结果与实测数据的误差小于10%。因此，上述公式不失为快速估算内轮差的好方法。接下来寻找更为精确的建模方法。
1.2 模型二
假设1：汽车整体为一刚体，转弯的过程中不会发生变形；
假设2：汽车内前轮的运动轨迹为圆弧，内后轮的轨迹由前轮的运动而定；
在模型一中我们将内侧前、后轮的轨迹都假定为圆弧，但由于在车辆转弯过程中只有前轮起导向作用，所以实际上后轮的运动轨迹是受前轮带动而被动确定的，并不是按圆弧运动。因此在模型二中我们只假定前轮的转弯轨迹为圆弧，借助其他条件求解后轮的轨迹。
首先，车辆在转弯过程中轴距并不发生改变，即内前轮（A）、后轮（B）之间的距离不发生改变，因此有：
此微分方程系统我们可以借助MATLAB快速求解、绘图。
现假设汽车内侧前轮按xA=7cost；yA=7sint运动，汽车的轴距l为4米。MATLAB给出的转弯轨迹如下：
图2 模型二MATLAB作图结果
从图2中可以看出，内后轮的轨迹并不是圆弧。图中两条曲线所夹区域即为由内轮差造成的转弯过程中车辆发生的偏移区域，也即“视觉盲区”。倘若行人或其他车辆出现在此区域，则事故发生率将大大提高。在MATLAB辅助下，内轮差问题变得形象而直观。前后轮的轨迹方程可以通过MATLAB进行拟合获得，进而可以计算如盲区面积等其他信息。
下面尝试用控制变量的方法，首先控制车辆的转弯半径相同，在同一幅图中绘出不同轴距车辆的内轮转弯轨迹，如图3（a）所示。再控制车辆的轴距相同，在同一幅图中绘出不同转弯半径车辆的内轮转弯轨迹，如图3（b）所示。这两幅图再次说明：内轮差随轴距和转弯幅度的增大而增大。这也从理论上更为形象的阐明了为何如公交车、渣土车等长轴距车更容易在转弯的过程中酿成事故。
（a）不同轴距汽车以相同转弯半径转弯的内轮轨迹图
（b）相同轴距汽车按不同转弯半径转弯的内轮轨迹图
图3
借助模型二，对参数已知的车辆（转弯半径及轴距），我们可以利用MATLAB快速模拟绘制出车辆转弯过程中所形成的“视觉盲区”，拟合轮胎运动轨迹方程，计算盲区面积等。广大车辆驾驶员若能由此建立起转弯过程中的警惕意识，将对事故的预防具有积极的意义。广大群众由此也应得到相应的启示：切忌距离转弯车辆过近，尤其是长轴距车辆或是急转弯车辆。
不过模型二与真实条件相比依然存在缺陷。在模型二中我们假设前轮的运动轨迹为圆弧，但是实际上在转弯的过程中司机通常进行的是“先打轮，再回轮”的操作，也就是说前轮的转弯半径应是先减小而后增大的，并不保持定值。因此在模型三中我们将尝试对模型二进行改进，重新假定前轮的运动轨迹，并验证模型二中建立的微分方程系统是否依然适用。
1.3 模型三
假设1：汽车整体为一刚体，转弯的过程中不会发生变形；
假设2：汽车内前轮的转弯半径按一定规律变化，不保持定值。内后轮的轨迹依然由前轮的运动而定；
根据车辆内前轮在转弯过程中曲率半径先增大后减小的规律，我们在模型二的基础上假定内前轮的运动轨迹为：
经分析可知，该函数在0≤t≤π/4的区间时，随着t的增大，函数的曲率半径逐渐增大，并在t=π/4时达到最大值。当π/4≤t≤π/2时，函数的曲率半径随t的增大而减小。其变化规律与实际汽车转弯曲率半径变化规律一致，因此以该函数作为汽车内前轮的轨迹方程做进一步分析。
图4 模型二与模型三内前轮轨迹对比图
仿照模型二建立微分方程系统，借助MATLAB求解并绘制在该种假设下内侧前、后轮的轨迹图，将其与模型二所绘车轮轨迹进行比较：
图5 模型二与模型三内轮转弯轨迹对比图
理论上模型三所示轨迹更接近于车辆实际转弯过程中的内轮轨迹。模型三的建立也同时说明了模型二中所使用的微分方程系统具有很好的可迁移性。因此，倘若需要实际条件下准确的车辆内轮轨迹，通过记录车辆转弯过程中的车轮位置信息，拟合出内侧前轮的轨迹方程，套用模型二中的微分方程系统，即可实现。
此外，笔者除利用MATLAB模拟绘制了车辆内轮的转弯轨迹外，还借助其动画制作功能制作了内轮差形成的动画。笔者认为通过动画可以更加形象的帮助理解由于内轮差的存在而导致的内侧前、后轮轨迹的形成过程。若未来能将动画或是轨迹图像应用于针对内轮差问题的相关教学中，将会收到很好的效果。
2 总结
文章中所建立的三个内轮差模型各有特点。模型一可方便的对内轮差进行估算，而在MATLAB的辅助下，模型二和模型三则可以更加准确的描述内轮差问题。但需注意的是，本文中的三个模型只针对可视作刚体的车辆。
通过查阅几类车型的汽车参数表，利用MATLAB绘制了车辆轴距与内轮差的关系图（图6），从图中可以明显看出：随轴距增大内轮差也增大。同时还绘制了车辆轮距和最小转弯半径与内轮差的关系图（图7、图8），可以看出内轮差随轮距和最小转弯半径的增大也呈现出明显的增大趋势。
图6 车辆轴距与内轮差关系图
图7 车辆轮距与内轮差关系图
对内轮差问题的研究主要是为了更好的预防由于内轮差而引起的交通事故的发生。经估算，对轴距不超过3m的小型车而言，其内轮差一般不会超过1m，约为0.8m至1m；对轴距在3m至5m的中型车而言，其内轮差增大，约为1m至1.5m；对于轴距超过5m的大型车而言，其内轮差则可能达到2m甚至以上。掌握这些数据对避免事故的发生有着重要意义。于行人而言，应尽量远离正在过弯中的车辆，尤其是公交车等大型车辆，并至少保持2m以上的安全距离。于驾驶者而言，应充分考虑到所驾车型轴距，最好估算出所驾车型内轮差，提前观察转弯内侧是否有其他机动车辆或行人活动，控制车的转向角度。尤其是行驶在傍山险路或是临崖路段，若忽视内轮差后果将极为严重，相关事故曾有过记载[4]。此外有研究指出[5]，车速对驾驶者的视野会造成影响：车辆静止状态下，驾驶员双眼的视野范围约210°；40km/h，双眼的视野范围约100°；70km/h，双眼的视野范围约65°；100°km/h，双眼的视野范围只约40°。因此转弯的过程中减速慢行也更有利于驾驶者观察路况，避免交通事故的发生。
图8 车辆最小转弯半径与内轮差关系图
此外，借助该问题的研究，可以发现MATLAB对于求解微分方程系统的极大帮助。不只是运动学，诸多领域中的系统，如生物反应过程、化学反应速率、电子系统等都可以通过微分方程进行描述，这也就意味着可以利用MATLAB辅助研究这些问题。通过计算机编程，不仅可以方便的计算复杂的实际问题，同时可以将结果可视化[6]。因此，MATLAB作为强大的数学软件，无论对于工程实践或是教学都具有很高价值，应当更加普及与推广。
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在步入21世纪的时刻，作为高等院校的基础课程之一的高等数学在其他各个领域及学科中发挥出越来越大的作用。数学不但深入到物理、化学、生物等传统领域，而且深入到经济、金融、信息、社会等各领域中。传统的数学教育正在向以培养学生数学素质为宗旨的能力教育转变。在这种转变下，改革和创新高职高等数学教学模式，使原本初等数学基础较差的高职学生特别是文科学生摆脱对学习数学的恐惧，学会用数学的思维方式观察事物，用数学思维方法分析和解决实际问题，成为数学教育工作者特别是从事高职高数的教学教育工作者关注的问题。高职文科高等数学教育不同于普通高校理工类高等数学的教育，不应过多强调其逻辑的严密，思维的严谨，而应将之作为专业课程的基础，强调其应用性，学生思维的开放性，解决实际问题的自觉性。因此，高职高等数学教育应遵循“以应用为目的，以必需够用为度”的原则，体现“联系实际，深化概念，注重应用，重视创新，提高素质”的特色。目前高校传统的课堂教学仍然是实施教育的主渠道，改革教学方法则是推进创新教育的关键之一。以下就高等数学课堂教学中如何培养学生创新能力作一初步探讨。
1.化繁为简，激发学生学习高等数学的兴趣。
高职学生特别是文科类学生数学基础普遍较差，因而对学习数学缺乏兴趣，学习缺乏主动性、探究性、联系性，这样学生在学习过程中难以体会到学习的乐趣，因此造成一种恶性循环，渐渐对数学产生厌学情绪。而“兴趣是最好的老师”，没有学习的兴趣，何谈培养数学素质。因此，改革教学方法，提高学生学习兴趣是高等数学教学改革的关键。数学，尤其是高等数学，向来以抽象著称，有机会学习高等数学的都不是“常人”，是“精英”。而职业教育使这种“精英教育”变成了“大众教育”，受教育的对象是企业未来的“高级蓝领”。所以职业教育中的高等数学教学，不在于教师的理论水平有多高，对数学公式、定理的论证多么完美，重要的是学生学到了什么，是否会应用。教师所要做的就是把抽象、繁琐的理论直观化、简单化，让学生易于接受。如地球表面是一个球面，可为什么我们平常看到的却是平面呢?其实这就是以直代曲。曲面上微小的局部可以认为是一平面，一条弯曲度很小的曲线也可以认为是直线。这样就给学生一个具体的可供想象的空间，使他们懂得用这一数学理论解释生活中的现象，结果，不仅加深了学生对这一概念的理解，而且也利于培养他们对数学的兴趣。
数学世界是一个充满美的因素并令人神往的世界，数学中的许多公式、定理从内容到形式都给人以强烈的美感，如高数中的牛顿-莱布尼茨公式、格林公式都充分显示了数学的简洁美、对称美及和谐美，其丰富的内涵令人称奇。定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分也都具有对称性。在教学中揭示这种数学的美,可以大大提高学生的学习兴趣,加深对内容的理解。
针对文科专业专科生的实际情况，课堂上不必做繁琐的定理证明，不必强求理论严密与体系完整，尽量简明扼要阐述一些观点和方法，让学生容易接受和掌握数学工具，重在介绍数学思想、方法和实际计算的技能。在内容上着重基本概念的描述，如对微分中值定理、函数单调性和曲线凹凸的判别定理，定积分和二重积分的性质等均可采用图形直观解释；对洛必塔法则，二元函数可微的条件以及格林公式等均可采用定性的方法，向学生强调能运用这些定理即可；对极限概念的处理，可改变以往教材中的定义方式，注重直观，注重对微积分实际意义的理解，力求掌握思想实质。采用直观定性的几何图形的描述方法来定义，强调极限的工具作用。对连续、导数、微分和定积分以及二重积分等概念的教学，在每次讲到一个新概念时，就复习前一个概念的方法来比较其抽象过程，使学生对这些概念形成一条网络线，使学生的思维始终贯穿于这些网络线的形成过程中，从而训练学生从实际问题抽象出数学问题的形象思维，为以后学习数学建模打下基础。此外，还要尽量从周围现实事物出发讲清数学概念和理论，举些日常生活中例子，让学生学起来轻松自在，容易理解。比如在讲解定积分定义时由曲边梯形面积问题引入定积分定义，这时适时介绍美国著名的麻省理工学院在圆形大礼堂的弯曲屋顶下有许许多多近似矩形（曲边梯形）的玻璃窗，十足体现了定积分的一项基本概念——求曲线下面积的办法，即“分割、近似代替、求和、取极限”，从而也巧妙地表明了这所名牌大学是何等重视数学并付诸实际。这样使学生对求曲线下面积的方法加深了理解。
2.启发引导，增强趣味性
一个人的数学素质，不仅仅是掌握了多少数学知识，更重要的是看他能否善于思考，用正确的思维方式解决问题。因此，在教学中，教师应重视问题的启发，以数学问题为载体，通过有目的、有重点地暴露解决问题的思维过程，帮助学生真正参与教学，抓住思考问题的本质，掌握正确的思维方法，从而提高数学素质和数学创造性思维能力。如在讲解洛必达法则时，考虑无穷大比无穷大或无穷小比无穷小，这看起来是不能解决的问题，但如果考虑无穷大可以从它们增长的趋势来进行分析，也就是可以从它们的导数之比来分析，问题就可以解决了，这就是洛必塔法则的威力之处。
同时，教学中要注重使学生对基本概念的理解和方法的掌握，抓住概念的内在联系进行讲授。例如定积分、重积分、线积分、面积分等都是从不同的具体原形抽象概括出来的，但它们之间却有着本质的联系，即都是“分割取近似，求和取极限”的思想方法。又如不定积分与定积分，不定积分的几何意义是求原函数族，而定积分的几何意义是求曲边梯形的面积，但当上限为变量的定积分时，此时的定积分就是被积函数的一个原函数，从而说明了定积分与不定积分概念的内在联系，这种联系还体现在运算上，如牛顿———莱布尼兹公式f(x)dx=f(b)-f(a)就建立起了定积分与不定积分的桥梁关系。这样学生就能轻松地领会，要计算f(x)在［a,b］上的定积分,可先求出f(x)的不定积分f(x)dx=F(x)+C然后再计算差值F(b)-F(a)就可得到所要求的定积分值。这种揭示内在联系的辩证思维能逐步提高学生的认知能力，发展学生的思维能力，把学生培养成具有良好数学素质的人才。
3.以严谨的教学态度感染学生
教师的教学态度直接影响到学生听课的注意力和思维的活跃程度。因此，教师要有计划地科学地将培养学生独立思考能力落实到每堂课的每一个教学环节中，时刻要思考“如何让学生用自己的脑子读书”，克服思维惰性。首先应让学生在听课中产生“共鸣”，使教师的教与学生的学融为一体。譬如高等数学第一节绪论课除了介绍高等数学在现代科学中的基础地位和特殊的重要性外，还可以讲些激励的话，使他们树立起学好数学的信心和勇气。同时在介绍高等数学方法论的同时让学生调整好从中学到大学的心理过渡，使学生有一定时间进行心理调整。而教学计划宜采用“先慢后快”，设置一个由中学到大学的坡度，最终使学生能尽快的适应新的教学模式，完成从中学到大学的心理过渡。实践证明此法是行之有效的。
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Abstract： Based on the bubble dynamic equation under the consideration of liquid surface tension, viscosity and radiative resistance, this essay adopted numerical simulations to investigate single cavitation bubble dynamics with different kinds of acoustic driving frequencies and bubble initial radiuses.
关键词： 超声空化；空化气泡；数值分析
Key words： ultrasonic cavitation；cavitation bubble；numerical analysis
中图分类号：G30文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）01-0196-02
0引言
随着科学技术的发展，超声已在众多领域得到了广泛的应用，在这些应用中，超声空化是引发各种物理、化学和生物效应的主要机理，这些效应与瞬态空化气泡崩溃时所产生的高温高压等现象有关。在研究单一空化气泡动力学过程的方法中，数值分析是除理论和实验方法之外的一种研究方法，至少有两方面原因表明它是必要的。首先，由于气泡运动过程中高度的非线性，使得从理论上建立能够精确描述空化过程的方程实际上是不可能的，其次，微米级大小的空化气泡半径和持续时间为微秒至纳秒级的气泡运动周期使得实验测量也难以进行。本文基于考虑了液体表面张力、液体粘滞性和辐射阻尼的气泡运动方程，采用数值分析中Runge-Kutta方法研究在不同声场频率和气泡初始半径条件下单一空化气泡的运动过程。
1气泡动态的数值分析
考虑了液体表面张力、液体粘滞性和辐射阻尼的单一空化气泡运动方程：
R+=P+-P-P-
-+P+-P（1）
方程（1）是二阶常微分方程，使用Runge-Kutta方法求解时应当用替换法化为形如y′=f（x，y）的一阶微分方程组，再加以使用。方程（1）可化为下列一阶方程组：
y=R′y′=f（t，R，R′）=-（R′）+P+-P-P--R′+P+-PR?佐=R，y?佐=R′?佐=0
若设时间步长为h，则使用Runge-Kutta方法求每个离散时间点上对应气泡半径大小Rn的递推公式为：
R=R+hR+k+k+kR=R+k+2k+2k+kk=hft，R，Rk=hft+，R+R，R+k=hft+，R+R+k，R+k=hft+h，R+hR+k，R+k
设声场激励波形为P=Psin（ωt），若声压P
f=P+-（2）
同时假设气泡运动过程为等温过程，即方程（1）中的泡内气体多方指数n=1。计算时与液体相关的各参数取值分别为：液体密度ρ=1000kg/m3，液体表面张力系数σ=0.076N/m，液体粘滞系数μ=0.001kg/（m•s），液体中声速c=1481m/s，液体中的静压P=1.013×105Pa。
下面研究单频声场激励下，声场频率f和气泡初始半径R对气泡动态的影响。具体为计算f和R在不同的取值条件下，空化气泡半径随时间的变化曲线，即R（t）曲线。
1.1 声场频率对气泡动态的影响给定气泡初始半径R，通过改变声场频率f的大小，讨论fa的变化对气泡动态的影响。设声场激励为P=-Psin（2πft），P=5.0×105Pa，R=0.6μm，由公式（2）得到其自然共振频率f=7.55MHz。若取f=20MHz，则反映气泡动态的R（t）曲线为图1所示，气泡在多个声波周期内做复杂振荡。
若取f=7MHz，则R（t）曲线为图2所示，气泡在一个声周期内即趋向崩溃。需要指出，这里所说的趋向崩溃是指气泡半径在增大到最大值后急剧向R=0趋近。
气泡在不同声场频率激励下其趋向崩溃的程度是不同的。图3显示了声场频率从4MHz变化到10MHz时，气泡在趋向崩溃时的半径与其初始半径之比R/R0的变化趋势。
通常认为:当超声波频率与气泡的自然共振频率相等时，超声波与气泡之间就达到了最有效的能量耦合，气泡将迅速崩溃。但数值计算的结果表明，当f=f时，气泡半径在通常所指的崩溃阶段趋向0，但不为0；当f小于f至一定限度时，气泡半径才在10-5数量级上趋向0，这时可以认为气泡彻底崩溃；当f大于f至一定限度时，气泡可在多个声波周期内稳定振荡，且振荡波形复杂无规律。
同时大量实验研究表明，随着频率升高，声空化过程变得难以发生。对这种现象的定性解释为：频率增高，声波膨胀相的时间相应变短（如f=20kHz，其膨胀时间为25μs；如f=20MHz，其膨胀时间为25ns），气泡核来不及增长到可产生效应的空化气泡，或者即便空化气泡可以形成，但由于压缩相时间也短，空化气泡可能来不及收缩至发生崩溃。为使在较高频率下产生空化，可以提高声强，即空化阈值将随频率升高而增大。此外，从声波的传播特性可知，频率升高，声波的传播衰减将增大，这也使得空化强度减弱以及可能发生空化的区域减小。
1.2 气泡初始半径对气泡动态的影响给定声场频率f，计算气泡取不同初始半径R时的动态曲线R（t）。设P=P=1.013×105Pa，f=20KHz，这是超声工业清洗及声化学中较常使用的频率，按照公式（2）与其对应的共振气泡半径为R=150μm。图4为R从60μm变化到160μm气泡趋向崩溃时R/R的变化趋势。同样可以看出，当声场频率一定时，在该频率上自然共振的空化气泡并没有彻底崩溃，而是那些半径小于自然共振半径至一定限度的气泡才趋向彻底崩溃，半径大于该自然共振半径的气泡将持续振荡若干周期而不崩溃。
一般情况下，当时，计算得出下述结论：对初始半径大于共振半径的气泡，将发生复杂的持续振荡，一般不会崩溃；对初始半径小于共振半径的气泡，随着声压负压相的到来而不断增大，当声压正压相到来时，气泡先因惯性继续生长到最大半径，然后迅速收缩，直到崩溃。
2结论
本文采用Runge-Kutta数值分析方法研究在不同声场频率和气泡初始半径条件下单一空化气泡的运动过程，数值分析结果表明，当给定气泡初始半径大小时，声场频率在小于气泡自然共振频率至一定限度时，气泡将迅速崩溃，而大于该共振频率时，气泡将持续振荡而不崩溃，即随着声场频率升高，声空化将难以发生；当给定声场频率时，只有其半径小于与该频率对应的气泡自然共振半径至一定限度的气泡才会彻底崩溃，半径大于该自然共振半径的气泡将做持续振荡。
参考文献：
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[3]李信真，车刚明，欧阳洁，封建湖.计算方法[M].西安：西北工业大学出版社，2000.
摘要：计算方法这门课程既有数学类课程理论的严谨性和抽象性，又有针对解决实际问题的实用性和实验性，是从事工程设计和科学研究工作的必备技能之一。文章针对作者所在学校计算机专业开设的计算方法课程教学中遇到的问题，根据学生实际情况，从教学内容、教学方法和学习方法三个方面探讨教学实践中的一些尝试。
关键词：数值计算方法；计算机专业；教学内容；教学方法；学习方法
一、引言
目前，理论、试验、计算是人类进行科学活动的三大方法，许多实际的科学与工程问题的解决都离不开科学计算，如：核武器的研制、导弹的发射、气象预报等。计算方法也称为数值计算方法或数值分析，是数学、计算机科学与其他学科交叉的产物，注重理论与实践紧密结合，应用范围广泛，如：计算物理、计算力学和计算化学等，是工程和科学技术工作者的必修课之一。计算方法作为笔者所在学校计算机专业的选修课，其教学目标是构建数学与计算机之间的桥梁，使学生掌握数值计算的基本方法，对算法进行程序设计及理论分析。在教学实践过程中出现了一些问题，如内容多学时少、学后容易忘、重理论轻实践、考核方式单一等，基于以上问题，笔者结合自身的教学经验和学生情况，对教学过程中所涉及的内容及问题进行一些探讨。
二、课程教学实践
1.教学内容。要想做一名优秀的教师，就需要不断地学习，树立终身学习的理念，这是教师发展和成长的必由之路。不断地加强专业知识的学习，熟悉教材及教学内容，掌握重点、难点，是对学生授业的前提，此外还要拓宽自己的知识面，了解专业最新的动态，授课时才能旁征博引。如果教师自身知识储备都不够的话，如何给学生讲授？学高方能为师。计算方法课程所涉及的内容较多，首先需要学习高等数学、线性代数、微分方程及泛函分析等基础课程。要根据计算机专业的培养目标选择合适的教材。作为笔者所在学校计算机专业的选修课，计算方法只有32学时，受学时所限，为了突出重点，着重讲解插值与拟合、数值积分与微分、线性方程组的直接解法和迭代解法、非线性方程数值求解和常微分方程数值解。快速傅里叶变换、矩阵特征值和特征向量的计算以及偏微分方程等是选学内容，可以对其做一些简要的介绍，让学有余力或感兴趣的同学课下探讨，还可以补充一些新的研究成果，如求解非线性方程的New-ton型迭代法[1]。计算方法这门课程有两条主线，一条是算法设计，一条是误差分析。这两条线除了概念的介绍和理论的推导，还应注重实践教学，在以后的教学过程中，要逐步地解决实验课问题，重点关注如何将数值解法的迭代公式及计算过程转化为计算机算法，进而编制程序，这样不仅能培养学生动手解决实际问题的能力，而且还能避免沉陷于纯数学理论的推导而使课程变得枯燥乏味。结合计算机专业的特点，除了理论课程的学习，还应该增加实验课，把学校的实验室资源充分利用起来，以培养学生的编程、上机操作能力。2.教学方法。随着高等教育从精英化迈向普及化以及学生自身多元化需求的增加，学生的基础及需求存在差异，如果想吸引学生，就要了解学生，做到“以学生为本”、“因材施教”，才能充分挖掘学生的潜能，促进学生的成长、成才[2]。教学中单纯地写板书或念PPT比较枯燥乏味，复杂的计算公式难以记忆，很难提起学生学习的兴趣，这会造成学生注意力分散，跟不上节奏，而数学类课程的逻辑性又很强，一步跟不上步步跟不上，容易造成“跟不上—听不懂—不想学”的恶性循环。如果想取得较好的教学效果，充分利用每个课时，教师就应掌握多种教学方法，如：启发式、讨论式、自主式和探讨式[3]，利用灵活多样的教学形式，充分利用互联网资源，以激发学生学习的兴趣。例如，在插值法这一章开始，可以首先回忆高等数学课中的泰勒公式，比较泰勒公式与牛顿插值多项式，比较泰勒公式的余项与插值多项式的误差，用板书证明插值多项式的存在唯一性。例如，讲到数值积分时，可以用生动形象的图形来演示矩形公式、梯形公式和辛普森公式。例如，讲解线性方程组的迭代解法时，可以用Matlab软件演示设计的雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法和逐次松弛迭代法，并对结果进行分析，比较这三种方法的收敛性及误差。可以鼓励学生参加全国大学生数学建模竞赛，将教学与数学建模结合起来，将课堂中所学的理论知识应用到实践中，加强课后的实践，让学生切身地体会计算方法的实用价值。课程的考核不是目的，而是教学方法，是为了引导、督促学生学习，以培养学习习惯，锻炼学习能力。笔者所在学校计算方法课程的考核方式单一且传统，只有平时考勤、课后作业以及期末考试，这种考核方式容易让学生形成为了考核而考核、上课人虽到而心未到、课后抄袭作业、期末盼老师画重点、考前临时抱佛脚等弊习。课程考核方式改革是教育教学改革的重要一环，可以尝试以“多元化—重过程—考能力”为指导思想[4]，把基础理论知识的考核和知识的理解运用考核结合起来，加强对学生能力的考核，使学生重视平时理论的学习，还要重视培养自己的分析问题和解决问题的能力。例如，根据专业特色，精心设计大作业[5]，一次作业中可以涵盖插值、拟合、解方程等多个内容，让学生写成小论文的形式，以培养学生对所学知识的综合运用能力。3.学习方法。学生在大学二年级课程比较多，也有很多的社团活动和社会实践，要想高效地利用课堂时间，学习方法就变得尤为重要，“授人以鱼，不如授之以渔”，可以建议学生合理规划自己的学习和生活，探索适合自己的学习方法，鼓励学生充分利用互联网资源，养成独立学习和研究的习惯，为以后的工作或进一步的学习打下坚实的基础。结合计算方法课程的特点，可以向学生介绍“从问题出发，以最优为导向，利用互联网”这样的思路来学习。例如，在插值法这一章中，利用问题教学法，从原始的问题出发，寻找解决的方法，发现方法的不足，以最优为导向，进一步地改进方法。问题是：通过实验或观测得到一组数据，用什么函数？怎么用函数来表示其内在的规律？根据节点及节点处的函数值可以直接写出拉格朗日插值多项式，但当节点个数增加时，拉格朗日插值多项式必须重新计算，这也是其不足之处。而牛顿插值多项式在节点个数增加时只需要在原多项式基础之上增加一项即可。牛顿插值多项式需要计算插商，在计算插商时可能会导致误差，为避免这种情况发生，得到了其改进形式即等距节点情况下的牛顿前插公式和牛顿后插公式。为了增加插值函数的光滑性，又进一步学习埃尔米特插值。而当节点个数较多时，这三种插值方法会出现龙格现象。为了避免这种情况发生，在插值时就应该选择低次插值，而低次插值的精度较低。为了提高计算精度，又进一步给出分段低次插值，为了增加分段插值时插值节点处插值函数的光滑性，又给出三次样条插值。最后，充分利用互联网资源，搜索与插值法相关的课件、视频以及这些算法的Matlab程序，进行阅读和上机操作实验，此外，还可以了解插值法在各个领域的应用，以激发学生的学习兴趣和拓宽其知识面。
三、结语
本文就计算方法作为计算机专业的选修课，结合教师和学生实际情况，讨论了一些教学实践过程中遇到的问题，结合培养应用创新型人才的要求，从教学内容、教学方法和学习方法三个方面对课程教学改革进行了初步的探究。教学实践表明，这些尝试有利于学生掌握科学计算的精髓，有利于提高学生运用理论知识分析和解决实际问题的综合能力，教学效果显著。但教与学的成功不是一蹴而就的，是一项长期的工程，需要老师们不断地努力，不断地尝试创新，还需要学生们积极地配合。
