时间：2023-08-17 18:04:42
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇导数在经济学中的应用，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
数学在经济学研究中发挥着重要作用，其不仅是解决各种复杂经济学问题的必要工具，同时也给经济学家带来了很多的灵感，从而极大地促进了经济学的进步与发展。本文首先介绍了经济学中应用数学的重要性，然后就数学在经济学中的应用策略及注意事项进行探讨，以期更好地发挥数学在经济学中作用。
关键词：
数学；经济学；应用策略
随着数学理论的不断完善和经济学研究的不断深入，人们越来越频繁地将数学工具应用到经济学研究之中，促使经济学获得了更加科学、精密的发展。如今，数学已成为经济学分析所不可缺少的一门工具，加强数学在经济学中的应用研究，具有重要的现实意义。
1经济学中应用数学的重要性
随着市场经济的出现和发展，人们开始用数学工具来分析、解释一些经济学现象及问题，并逐渐形成了现代经济学这门重要的理论体系。数学在经济学中的应用，主要起到了三点作用：首先，在经济学中，经常需要对一些前提条件提出假设，这时就需要用数学语言进行表述，从而使问题更清晰地呈现在人们面前。其次，利用数学思维分析、论证经济学的某些观点，能够使研究更有逻辑性和条理性。再次，在得出某些经济学结论时，如果用相应的数学统计数据加以说明，将使结论更具可靠性和说服性。
2数学在经济学中的具体应用策略
2．1函数在经济学中的应用：
“函数”是反映量与量之间依存关系的一种数学映衬形式，也是经济学中使用最多的一种数学工具。在经济学分析中，经常涉及的经济量有价格、成本、效益等，当需要分析这些经济量之间的关系时，就要用到数学的思维和方法，结合实际问题进行建模分析，理清该问题中存在哪些函数关系，进而总结出经济学问题的规律和实质。在经济学研究中，主要存在以下经济函数：收益函数、利润函数、成本函数、供给函数、利息函数等。
2．2最值在经济学中的应用：
最值问题是经济学研究中最常见的一类问题，如怎样分配物料才能达到最高产量、怎样安排生产计划才能获得最高利润等，对于此类问题，可从数学角度归结为求函数最值的问题。例如，在研究收入最大化与利润最大化的问题时，假设产品的价格一定，则产量越高收入越多，然而，取得最大收入并不等同于获得最高利润，仅在产量达到某一数值时，才能获得最大利润，这就涉及到函数最值的求解。通过求解函数的一阶导数，找出其中可能出现最值的点，比如驻点、区间端点、不可导点等，再分别比较各点的函数值大小，就能得出最佳利润方案。
导数是因变量变化量与自变量变化量之比，它反映了因变量相较于自变量变化的快慢程度。导数在经济学问题中有着十分广泛的应用，如经济学分析中往往涉及变化率的问题，具体包括瞬时变化率与平均变化率两个方面。其中，平均变化率主要用来描述年产量、成本以及利润等在某个区间内平均变化，而瞬时变化率就相当于数学函数中的导数，在经济学中主要用来分析一些边际问题，如边际成本、边际需求、边际效益等。在一些具体的经济问题中，商家不但要关注边际分析，也要进行相应的弹性分析，例如，原价10元与原价100元的商品同时涨价1元，其涨价幅度是不一样的，虽然变化的绝对量都是1元，但该变化量与原价的比值明显不同，这其实就涉及到了经济学中经常提到的弹性原理。在实际生产中，若商家忽视边际分析而一味的生产，必然导致资源的无端浪费；若商家忽视需求和价格的弹性分析，则很难取得最大利润。而在边际分析与弹性分析方面，最有效的数学工具就是导数，其能够给决策者提供真实、可靠的数据支持，帮助其制定最佳的决策方案。
2．4积分在经济学中的应用：
积分与微分互为逆运算，积分在经济学中的应用主要表现为对已知函数求积分，从而求得总经济量的函数关系。在高中数学学习中，学生能够接触到的主要是定积分这一概念，通过定积分可以求得原函数在某范围内的具体变化量，因此可以用于分析经济学与自然科学中的一些问题。在实际经济问题中，往往要用改变上限的定积分来对总经济量函数的相关问题进行探讨。例如，某产品的价格y随销量x的变化而变化，即y是x的函数，在这种情况下要想求出销量由a变化为b时的收益，便可以采用定积分的方式进行计算。
3经济学中应用数学的注意事项
数学是经济学分析的有效方法之一，也是经济学分析中不可或缺的计算工具，只要掌握了数学这门工具，就能把一些的复杂的经济问题抽象化，从数学角度进行思考和论证，从而大大推动了经济学的进步与发展。但经济学除了数学属性之外，还具有强烈的思想性，因此数学在经济学中的应用不是万能的，而是存在着很多局限之处，必须在经济学的体系框架下分析问题，才能发挥数学的真正作用。具体应注意以下方面：首先，经济学问题不是数学问题的简单叠加，并非所有的经济学要素都可以进行数字化的转化，在分析经济学问题时，必须意识到，经济学属于社会科学的分支之一，其影响因素无处不在，如社会制度、文化哲学、法律道德等都会给经济学研究带来不同程度的影响。其次，经济学的发展必须以经济理论的研究视觉为基础，只有抓住经济学的学科本质，发现现实中的经济规律，方能得出合理、可靠的经济学结论。在这个前提下，可以提出特定条件的假设，并运用相应的数学方法来进行分析，从而使经济问题得到更好的解决。再次，数学不是经济学研究的唯一工具，在分析实际的经济问题时，出了数学建模之外，也要灵活地运用物理、生物等其他学科，以免研究方向的单一化，促使经济学取得更加多元化的发展。
结语：
综上所述，数学在经济学中有着广泛的应用，尤其是随着市场经济的不断发展，数学与经济学之间的联系愈加紧密，对于经济问题的研究越来越离不开数学的帮助与支持。因此，要善于利用数学这门工具，在充分认识到数学重要性和局限性的基础上，全面发挥数学在经济学分析中的优势与作用，为经济学发展提供更有力的支持和保障。
作者：左晋成 单位：山东海阳市中英文中学
参考文献
随着我国经济的飞速发展，金融经济获得了良好的发展平台。金融经济分析中离不开经济数学的应用，其能够提高金融经济分析的准确性，有助于金融经济的良好发展。经济数学的应用，对于金融经济分析具有重要价值。文章分析了数学建模、极限理论、导数、微分方程等经济数学理论在金融经济分析中的应用。
关键词:
金融经济;经济数学;极限;导数
近些年，我国金融经济取得了良好的发展。金融经济分析过程中，单单依靠经济的定量分析是远远不够的，还要有机结合定量分析。经济数学是数学的一门分支学科，其在金融经济分析中的应用比较广泛。经济数学理论的应用可以有效解决金融经济分析中的实际问题，利用经济数学理论，很多难以解决的金融经济问题将得到很好的处理。因此，经济数学理论对于金融经济分析具有重要的价值。
一、函数模型在金融经济分析中的应用
数学的基础理论就是函数，而函数也是金融经济分析中的基础。通过函数建模，可以将金融经济问题转化为数学关系，通过函数关系进而简化分析的过程。比如在研究市场的供需关系时，将问题转化成数学函数关系，将可以使分析更加明确。供需关系的影响因素有价格、商品的可替代性、消费者的价值取向、消费者的购买力等。其中，价格是最为重要的影响因素，那么在分析供需问题时，就可以通过价格为基础，建立有效的函数关系。常用的函数关系有需求函数、供给函数两种。需求函数是一种减函数，需求量随着价格的上涨而逐渐降低。供给函数是一种增函数，供给量随着价格的上涨而不断增加。需求关系变化过程中形成的价格，可以平衡两者之间的关系，进而保证成交的顺利进行。在研究产量和成本之间的关系时，就要利用成本函数进行分析，假设产品生产时的技术和价格不变，产量和成本之间就会存在一定的关系。商品的生产过程中，需要考虑成本与收益之间的关系，收益分析就会用到收益函数。经济数学中的函数关系对于金融经济分析具有重要价值，可以将复杂的问题通过函数关系简化，进而提高金融经济分析的效率。
二、极限理论在金融经济分析中的应用
极限理论是数学中的重要内容之一，其是很多数学理论的基础。极限理论在金融和经济管理、经济分析中的应用比较广泛。极限理论能够反映出事物的增长和衰减的规律，主要体现在人口增长、设备折旧、细胞繁殖等方面。极限理论在金融经济中的应用，主要体现在计算储蓄的连续复利上。极限理论可以计算储蓄连续复利中的本金和利息总和。
三、导数在金融经济分析中的应用
导数理论是数学中比较常用的理论之一，而导数与经济学之间关系密切。通过边际概念构建导数关系，就能将变量替代常量，进而进行经济学研究。导数是经济学中的常用理论，边际需求函数、边际成本函数、边际收益函数等都是经济学分析中的常用理论。导数能够反映出自变量的细微变化，通过自变量变化分析因变量的变化，进而研究函数的变化率。成本函数研究时，商品在固定的产量下，可以计算出边际成本，该成本就是重新生产相同产品的成本，此时可以将平均成本和边际成本对比，进而决定该商品的产量变化。如果边际成本小于平均成本，该商品的产量就要增加。如果边际成本大于平均成本，该商品的产量就要减少。弹性研究是导数应用的另一个方面，函数的变化率需要使用弹性研究。商品的价格和需求量的关系就可以利用弹性研究。利用弹性能够得出一个价格值，商品价格提高的比率要大于需求量减少的比率，则价格提高企业可以获得更多的收益。如果商品的价格比该价格高时，商品价格提高的比率要小于需求量减少的比率，则企业提高价格后收益就会减少。经济最优化是经济分析的重要内容，其也可以利用导数理论进行分析。导数的最值和求极值等知识，能够很好的解决最大利润、最优收入、最佳资源配置等问题。
四、微分方程在金融经济分析中的应用
微分方程是含有函数、微分、自变量的方程，其是解决复杂经济问题时常用的数学知识。如果研究中的自变量较多，可以通过假设一个自变量为常量进行计算，也就是偏导数理论。金融经济分析中常用的还有求近似值的方法，这种计算也会用到微分的理论。数学方法的应用，能够解决金融和经济中的很多实际问题。经济分析中会涉及复杂的经济现象，而其中的很多因素难以量化，需要经济数学中的理论和方法来进行分析。
五、总结
随着经济的不断发展，经济分析成为促进经济发展的关键。经济数学理论在经济分析中的应用，能够将复杂的经济问题通过数学关系进行简化。通过函数建模、极限理论、导数理论和微分方程理论，可以将实际的经济问题转化成数学问题，进而通过数学关系计算出相应的结果，数学的应用对于经济分析具有重要意义，未来我们应该加强数学和经济的交叉，使其能够更好的为金融经济分析服务。
参考文献:
［1］曾金红．浅析金融经济分析中经济数学的应用［J］．吉林广播电视大学学报，2015(04)．
［2］吴清雾．关于数学在经济问题计算中的应用分析［J］．企业改革与管理，2014(20)．
随着社会的发展，经济的进步，经济数学在金融经济中的地位越来越高，对其发展有着重要影响。为更好地发挥数学经济在金融经济中的作用，本文主要针对经济数学中的极限理论、函数模型、导数以及微分方程在金融经济中的应用进行简要分析。
关键词：
经济数学；金融经济；应用市场
经济的不断发展，经济现象的不断复杂化，使得市场经济竞争愈加激烈，如果不能对其进行有效控制，则会对企业的生存发展产生重要影响。经济分析模式影响着市场经济的发展走向，但原有的分析模式无法适应新的市场需求，需要更加严谨的分析模式替代原有的经济分析模式，对金融经济进行科学的分析促进金融经济的发展。数学经济具有一定的严谨性，对结构以及数量关系较为重视，符合当前的经济发展模式。因此将经济数学应用在金融经济分析中是十分有必要的。
一、极限理论的应用
极限理论是数学理论的基础概念之一，在数学经济中应用较为广泛，不仅如此，它还被广泛地应用在金融管理、经济分析等方面。极限理论是对事物的衰竭以及增长规律进行体现，其中包含了人口增长、折旧价值、细胞繁殖等方面的内容。在进行经济分析的过程中，使用极限理论可以更加快速且准确的计算储蓄连续复利，提升金融经济分析的效率。
二、函数模型的应用
（一）供需关系的应用
在金融经济分析的过程中，离不开函数关系的应用，这是使用函数模型就可以快速、有效地解决问题。在对市场的供需关系进行分析时，需要对函数知识有充分的认识与掌握，在此基础上建立科学的函数关系，从而为金融经济分析提供帮助。在市场供求关系上，不同因素都可能会给市场发展带来影响，如消费者的价值取向、商品的市场价格等等。以市场价格为例，在建立函数模型时需要包含需求和供给两种元素。当价格上涨时，供给量呈上升趋势，由此可见其是增函数。反之，当价格上涨时，需求量逐渐呈下降趋势，则说明其是减函数。因此分析人员在对市场经济的供需问题进行分析时，可以根据价格的变化进行研究，最终达到供需双方都满意的效果，从而对市场经济进行合理的调节。
（二）成本与产量的应用
在研究产量与成本的关系时，需要使用成本函数进行分析。在保证生产技术与产品价格不变的情况下，产量与成本会产生一定的函数关系。在生产产品时，分析人员需要对销量与收入、成本与收入之间的关系进行明确，然后根据函数关系进行分析，这样让生产者盈利，而这又会涉及收益函数。研究人员在分析各类函数的过程中发现，将经济数学应用到金融经济当中，可以对目标进行高效率的分析，进而更好的处理经营者以及生产者二者之间的关系。不仅如此，高校在进行经济数学的讲解过程中，如果能够将金融经济融入其中，也会让课堂变得更加生动有趣，提升教学质量。
三、导数的应用
导数在经济学中应用也非常广泛，但在经济学中，导数还有一个概念，被称为边际概念。通常情况下，分析人员会将研究目标从一个常数量引入为变量，它不仅促进了经济学的发展，同时也成了经济学中的典型。在经济学中导数主要包含边际收益函数、边际利润函数、边际成本函数等内容。分析人员在进行分析的过程中，可以根据导数的特征，对自变量中的变化分析因变量的发展走向，从而保证函数研究变化的客观性。对于成本函数，如果需要对其固定产量下的边际成本进行分析，需要计算出平均成本，然后进行对比，进而客观的分析出其变化的情况，确保生产产量的增加或者减少。如果平均成本小于边际成本，则需要减少商品的生产产量，如果平均成本大于边际成本，则需要增加商品的生产产量，确保生产者的经济效益。在分析函数的相对变化率时，可以利用经济分析的弹性特征。例如在需求量和商品价格的关系上，使用弹性特征，可以较为客观的得到一个价格值，如果商品的价格小于价格值，则说明需求减少率应小于价格提升率，反之亦然，这样可以在保证厂家获取效益的同时，使商品价格处于科学的范围之内。
四、微分方程的应用
微分方程是经济数学的重要组成部分，很多经济学中的问题都需要微分方程的帮助才能更加有效的解决。在进行金融经济分析的过程中，常常会存在量与量的关系，这都可以利用函数的关系进行分析解决。而在遇到较为复杂的函数关系时，则需要利用微分方程进行分析解答。微分方程作为函数关系的一种，其包含了自变量、微分、未知函数等内容。分析人员在分析复杂的金融经济问题时，不能使用导数来准确地体现数量关系，所以需要使用微分方程将其直观地展现出来。但由于微分方程难度较高，内容复杂，因此在使用的过程中，需要分析人员格外注意，避免信息的遗漏，从而保证微分方程能够充分发挥出其在金融经济中的作用，为金融经济的研究分析提供帮助。
五、结束语
市场经济的发展，要求金融经济选取更为适合的经济分析模式，经济数学作为一门科学且严谨的学科，可以对金融经济中的各种变量进行分析，将复杂的问题简单化，将抽象的问题具体化，使得金融经济分析变得更加简单，从而保证经济分析的准确性、客观性，为金融经济的健康发展提供理论依据，促进市场经济的健康发展。
参考文献：
[1]杨月梅.经济数学在金融经济分析中的应用浅析[J].廊坊师范学院学报(自然科学版),2013,02:34-37.
[2]曾金红.浅析金融经济分析中经济数学的应用[J].吉林广播电视大学学报,2015,04:7-8.
[关键词] 一元微积分 经济问题 应用
近几年来,我国的经济学界和经济部门越来越意识到用数学方法来解决经济问题的重要性,正在探索经济问题中应用数学的规律。鹤壁职业技术学院李兰军老师在《商场现代化》2008年10月(下旬刊)上作了概率统计在经济问题中的应用研究。实践证明,一元微积分也是对经济和经济管理问题进行量的研究的有效工具。本文将利用一元微积分方法解决一些经济问题,分析生产量、成本与利润和需求量(销售量)、价格与收益的关系,研究怎样确定或变动产品的生产量、销售量,以及商品的价格。
一、微分在经济学中的应用
由微分的定义知,当很小时,有近似公式,而所以,这个公式可用来计算函数在某一点附近的函数值的近似值。
例1设某国的国民经济消费模型为。其中:y为总消费(单位:十亿元);x为可支配收入(单位:十亿元)。当x=100.05时,问总消费是多少?
解令因为相对于较小,可用上面的近似公式来求值。
由此可以通过统计可支配收入来预测总消费是多少,以便确定产品的生产量。
二、最值在经济学中的应用
在经济分析中,经常遇到利润最大,成本最低等问题
1.最大利润问题
利润是衡量企业经济效益的一个主要指标。在一定的设备条件,如何安排生产才能获得最大利润,这是企业管理中的现实问题。
例2某厂生产某种产品,其固定成本为3万元,每生产一百件产品,成本增加2万元。其总收入R(单位:万元)是产量q(单位:百件)的函数,,求达到最大利润时的产量。
解由题意,成本函数为,于是,利润函数
,
令,得(百件).又,所以当时,函数取得极大值,因为这里极值点是惟一的,所以极大值又是最大值,即产量为300件时取得最大利润。
2.最小成本问题
例3 已知某个企业的成本函数为:,
其中C――成本(单位:千元)q――产量(单位:t).求平均可变成本y(单位:千元/t)的最小值。
解 平均可变成本,令,得。
又,所以时,y取得极小值,由于因为这里极值点是惟一的,所以极小值又是最小值。(千元/t),
即产量为4.5t时平均可变成本取得最小值9750元/t.
三、导数在经济学中的应用
导数概念在经济学中有两个重要的应用――边际分析和弹性分析。
1.边际分析
边际概念是经济学中的一个重要概念,一般指经济函数的变化率。当经济函数的自变量改变很小时,经济函数的边际函数是指它的导函数。利用导数研究经济变量的边际变化的方法,称为边际分析方法。
例4设某产品的需求函数为q=100-5p,求边际收益函数,以及q=20,50和70时的边际收益。
解 收入函数为R(q)=pq,式中的销售价格p需要从需求函数中反解出来,即,
于是收入函数为,边际收入函数为,
由所得结果可知,当销售量即需求量为20个单位时,再增加销售可使收益增加;当销售量为50个单位时,再增加销售收益不会增加;当销售量为70个单位时,再增加销售收益反而会减少。
2.弹性分析
弹性分析也是经济分析中常用的一种方法,主要用于对生产、供给、需求等问题的研究。弹性是衡量买者与卖者对市场条件变动反应大小的指标,亦即是衡量需求量或供给量对某种决定因素的反应程度的指标。需求弹性是衡量一种物品需求量对其价格变动反应程度的指标,是需求函数的相对改变量与自变量相对改变量比值的极限。
例5设某商品的需求函数为,求价格为100时的需求弹性。
解 需求弹性,其结果表示:当价格为100时,若价格增加1%,则需求减少2%.即需求变动的幅度大于价格变动的幅度,且变动的方向相反。这时价格上涨总收益减少,价格下跌总收益增加。
四、积分在经济学中的应用
1.不定积分的应用
例6已知某产品的边际收益,求该产品的收益函数.
解 收益函数为边际收益的不定积分.
在实际问题中,人们认为当销售量为零时,收益也为零,即R(0)=0.由此可以确定C=0.于是收益函数为
.
2.定积分的应用
(1)在经济管理中,已知边际函数,求总量函数或某一区间上的总量问题,可利用定积分计算
例7已知某种产品的边际成本为(元/个).
①若固定成本C(0)=7.5(元),求总成本函数。
②求产量从10到15个时总成本的增加量。
解
(元).
(元).
(2)当已知函数的变化率,要求该函数在某一区间上的改变量,也可用定积分计算
例8已知生产某产品q个单位时收益R的变化率是q的函数.
①求生产前200个单位时的收益。
②求产量从300个单位到500个单位时收益的增加量。
解 (元)
(元)
参考文献:
[1]李汝全:高等数学[M].北京: 北京工业大学出版社,2004,9
关键词：微积分；金融；投资
当今时代，经济数学已经成为高等院校经济、管理专业的一门重要基础课程，微积分是学好经济学、剖析现实经济现象的基本工具。高等数学的各种方法在经济学中的运用增强了经济学的严密性和说理性，其重要性显而易见。
一、微积分与金融学的现状和联系
目前，无论是国内还是国外，数学在金融经济领域的应用都很广泛，但是由于国内的研究更热衷于理论技巧，故而我国国内的应用比较粗浅。总体来看，经济研究主要集中在最发达的市场经济国家，这些国家的经济水平相对成熟且稳定，新的经济现象不多，运用微积分学来研究金融领域的各种问题的方法不是特别成熟，对于这样的状况我们今天有必要来论述一下二者的关系。
经济学，从本质上说，就是这样一个数学公式：F(x1,x2…xn)，其中x1,x2…xn是经济生活中的各种变量因素，而F(x)就是这若干因素相互影响、相互联系而最终导致的结果，也就是我们在生活中随处可见的经济现象。金融与数学之所以是密不可分的，是由于数学对于金融来说，是一个透过现象看本质的必不可少的工具。只有结合数学才能使得经济学从一个仅仅对表面现象进行肤浅的常识推理、流于表面化的学科，变为一个用科学的方法进行数理分析，再结合各社会学科的丰富知识，从而分析出深层次的、更具有广泛应用性的基本结论的学科。
二、微积分在金融领域的应用
微积分是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础。如何用微积分的思想看待问题呢·比如，经济学的核心词语“边际”便是一个将导数经济化的概念。“边际效用”是说在多消费一单位产品时，对消费者所增加（或减少）的效用。通过研究各种带有边际含义的经济变量，再赋予一定的样本数值，我们便可以达到生产最大化。例如，关于最值问题。
例：设生产x个产品的边际成本为c(x)=100+2x，其固定成本为c(0)=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大·并求最大利润。
解:总成本函数为C(x)=■(100+2x)dx+c(0)=100x+x2+1000 总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000,
L’(x)=400-2x,令L’(x)=0，得x=200，因为L’(200)
所以，生产量为200单位时，利润最大。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得最大的利润。
除了上述例子之外，还有规模报酬、货币乘数、马歇尔-勒那条件等无数的经济概念和原理是在充分运用导数、积分、全微分等各种微积分知识构建的。这些运用数学知识解决金融学问题的实际例子极大地丰富了经济学内涵，为政府的宏观调控提供了重要帮助。
三、微积分对金融学的作用
首先，对于学生来说，数学学习是一种培养学生综合素质的有效手段。在教学实践中培养学生建立数学模型的思想对学生的综合素质的发展有很大的帮助,与此同时也有助于提高学生的学习积极性。只有学好高等数学知识，才能对现实中纷繁复杂的经济现象进行剖析与研究，在国家宏观和企业微观的不同层面提出经济政策建议，进而为社会提供更好的服务。
其次，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
最后，对于国家宏观调控而言，学好微积分的课程对于宏观经济的预测与调控有至关重要的作用。我们不难想象，一个国家的经济水平随时在发展变化，而制约经济发展的外力有很多种，包括不可抗的外力（如自然灾害、人为灾害等）、人为因素、政治因素等等，这些因素之间也是相互关联的，正如上文中提到的便是我们需找的函数关系式，其中是经济生活中的各种变量因素，而就是这若干因素相互影响、相互联系而最终导致的结果，而运用数学的思维将各种因素联系起来，建立模型，甚至画出清晰的函数图像来给出可靠的分析结论，这是国家宏观调控正确做出经济决策的忠实保障。可见，微积分的学习对金融、经济的作用之大。
微积分作为数学知识的房基,是学习经济学的必备知识。作为新时代的大学数学教育工作者，教会学生运用数学的方法对经济问题进行分析，培养学生将数学中的极限、导数、微分方程知识在经济中运用的理念，都是当下应该完成的教学任务。
参考文献：
[1]聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分[M].北京:中国对外经济贸易出
版社,2003.
Abstract： Advanced mathematics is basis of economic research. Only learning advanced mathematics， can we get a better understanding and analyzing economic phenomenon and master economic knowledge. This paper mainly illustrates the application of advanced mathematics in the economy by using the related knowledge of mathematical analysis， ordinary differential equation， higher algebra， probability and mathematical statistics course.
关键词：高等数学；经济；应用
Key words： advanced mathematics；economy；application
中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1006—4311（2012）27—0225—02
0 引言
数学既是一门理论学科，又是一门应用广泛的工具性学科，在理学、工学、管理学、经济学等各个领域都发挥着重要的作用，如何将抽象的数学理论应用到具体的经济科学实践中去，现主要用数学分析、常微分方程、高等代数、概率与数理统计等课程的相关知识来说明高等数学在经济中的应用。
1 极限在经济中的应用
高等数学与经济学的联系最紧密，与人民大众联系最直接的是利息计算及贷款还款问题.在经济问题中涉及的量常常是离散的量，讨论利息时是按年、月、日、计息，这些都是离散的量。而高等数学中讨论的量大多是连续变量，要借助高等数学的方法讨论解决经济问题必须将经济中的离散量进行连续化处理，连续复利概念的引入就是这样一个例子。连续复利是指按本金计算的每个存款周期的利息在期末加入本金，并在以后的各期内再记利息。
若现存P元，存期一周期（一年）到期后银行支付的利息不被取出，而与本金P一起存入银行，这样到期后获得新的利息，如此持续下去，若存款周期的利率为r，则t个存款期到期后余额为：
At=P（1+r）t，
这样一年分n期计息，每期利率为■，则余额为：
At=P（1+■）nt=P1+■■■。
因为1+■■关于n单调递增，所以n越大，则赚的钱越多，而■1+■■■=ert，当n∞时，此时可理解为每时每刻把利息转入本金进行复利计算。
例：存入资金1000元，年利率为6%，按连续复利计息，20年后可得本利为多少？
解 P=1000，r=6%，t=20，
A20=1000e0.06×20=1000e1.2≈3320（元），
故20年后可得本利约合为3320元。
2 微积分学在经济中的应用
导数在经济中的应用：导数是微积分学中的一个重要概念。它在经济学中的边际问题和弹性问题中，都有广泛应用。下面将导数在这两方面的应用介绍如下：
①边际概念：边际概念是经济学中进行边际分析时，经常用到的一个概念。
边际成本：从经济学的观点来看，边际成本是指成本对产量无限小变化的变动部分。但由于产量最小是一个单位，因此，边际成本是产量增加或减少一个单位所引起的成本变动。
设边际成本C=C（x）变量x改变到x+？驻x时，成本相应改变量为：
？驻C=C（x+？驻x）—C（x）
成本改变率为：
■=■
■■
就可以反映出产量的微小变化时，成本的变化情况。因此，产品边际成本就是：
C′（x）=■=■■=■■
在经营决策分析中，边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算。当企业的生产能力有剩余时，只要增加产量的销售单价高于单位边际成本，也会使得企业利润增加或亏损减少。或者说，只要边际成本低于平均成本，也可降低单位成本。■表示为生产x产品的平均成本。如当产量x=100时，C′（100）=8，■=18，即边际成本低于平均成本，因此提高产量，有利于降低单位成本。
②弹性概念：一个企业的决策者只有掌握市场对产品的需求状况以及需求对价格的反映程度才能作出正确的发展生产的决策。弹性是在需求分析中经常用来测定需求反映程度的一个尺度，弹性的概念用来定量分析各经济变量之间的变动关系。
需求弹性是指需求量变动对价格变动的反应程度，即价格变动的比率所引起的需求量变动的比率。设需求函数为：
Q=Q（P）。
当价格有了变化时，需求量对价格的弹性就是：
？浊（P）=■Q′（P）
就是需求量对价格的弹性（简称需求弹性）。它的大小比较客观的反映了商品需求量对价格的反映程度。
3 微分方程在经济中的应用
利用微分方程可以分析商品的市场价格与需求量（供给量）之间的函数关系，预测可再生资源的产量、预测商品的销售量、分析关于国民收入、储蓄与投资的关系问题等。而微分方程是数学专业一门重要的分支，其解法和理论已经相当完善，可以为分析和求解方程的解提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。
4 矩阵理论在经济中的应用
矩阵理论在经济中的应用十分广泛，利用矩阵方法求解方程组AX=B，由于A可逆，故只需计算X=A—1B即可，在经济中投入产出分析和会计问题正属此类情况。
投入产出分析n个经济部门的需求可以表示为系数矩阵：
A=■，
开放部门的需求可表示为最终需求矩阵：DT=[d1 d2 … dn]。于是，满足n个经济部门的需求问题归结为求产出阵XT=[x1 x2 … x4]，使得（In—A）X=D。若（In—A）—1存在，则X=（In—A）—1D。
参考文献：
[1]蒋兴国，吴延东.高等数学（经济类）[M].北京：机械工业出版社，2009.
[2]万世栋，王娅.经济应用数学[M].北京：科学出版社，2002.
[3]迈克尔.帕金著，张军等译.微观经济学[M].北京：人民邮电出版社，2009.
[4]高鸿业.西方经济学[M].北京：中国经济出版社，1996.
[5]史树中著.数学与经济[M].大连：大连理工大学出版社，2008.
[6]李铮等编著.高等数学[M].北京：科学出版社，2001.
关键词：西方经济学；教学方法；试题库建设；教学实践；案例教学；教学理念；本科教学
中图分类号：H319 文献标识码：A 文章编号：1673-1573（2013）04-0108-03
《西方经济学》是教育部规定的高等院校经济管理类专业核心基础课之一，在经济管理类专业课程中具有重要意义，而且目前较多的理工专业也开设了该门课程，其教学质量将直接或间接影响到其他课程的学习，对管理类与复合型人才的培养具有重要作用。如何改善西方经济学的教学工作，提高教学效率，是高等教育工作者需要解决的问题。以下通过相关学者的研究和经验总结，谈谈如何在教学工作中加强试题库建设，进而促进教学水平的提高。
一、关于西方经济学教学的研究观点
关于西方经济学的教学研究，近年来呈现增长的趋势，主要集中在西方经济学课程的特点、课程教学中存在的问题及相关解决对策。
（一）西方经济学课程的特点
从研究者对西方经济学课程的认识来看，主流的观点认为西方经济学是一门理论性和应用性都很强的课程，课程内容具有广泛性、系统性、抽象性与逻辑性，以数学等其他学科为依托，模型多，其中的数学公式及推导、图形、曲线、规律等比较抽象，而且课程教材具有多样性。
（二）西方经济学教学过程中存在的主要问题
由于西方经济学的特点，使学生感到枯燥、难懂，容易产生畏难心理，教学效果差，效率低。从研究者总结的情况来看，原因主要集中在学生和教师两方面。认为西方经济学教师方面存在的问题主要包括：（1）教师数量不足、年轻化、能力差；（2）案例教学少且联系实际不充分；（3）以期末闭卷考试为唯一的考核和评判标准；（4）缺少实践教学；（5）启发教育方法运用不足；（6）重课内轻课外；（7）教材使用参差不齐；（8）教学研究少；（9）教学基础设施投资不足。
学生学习西方经济学方面存在的主要问题包括：（1）认为课程不实用，学习兴趣不高；（2）期末突击复习，死记硬背；（3）基础知识薄弱，知识结构欠佳。
可以看出，研究者认为西方经济学教学工作中的问题主要在教师方面，学生方面主要是学习态度和学习方法的问题。
（三）改善西方经济学教学效果的主要对策
从研究者提出的解决西方经济学教学问题的对策来看，主要包括案例教学、启发式教学、讨论式教学、提问式教学、对比式教学、辩论会教学、学术讲座或报告教学、多媒体教学、科研项目教学、调查研究式教学、多元化的课程教学质量评价体系、调整教学计划以及增加教学基础设施投资。其中案例教学是研究者认为最重要的解决措施。
二、西方经济学教学方法的几点认识
在西方经济学教学中，既要重视教学方法，又要在实际工作中加强辅助教学手段，尤其是试题库的建设与应用，以下就西方经济学教学工作浅谈几点认识。
以不变应万变。西方经济学中有较多的边际概念（边际报酬、边际成本、边际替代率、边际倾向等），其实质是指一个变量的变动导致另外一个变量的变动程度，因此，教会学生把握边际概念的本质，帮助学生掌握一个边际概念，那么所有的与边际有关的概念和内涵都能理解和掌握了。
举一反三。微观经济学中，预算线、无差异曲线的性质、特点及其曲线与等成本线、等产量线完全相同，所以通过教授一组曲线，辅助讲解另外一组曲线，可以达到举一反三的作用。宏观经济学中，IS-LM曲线，是学生学习的难点，如果把它与需求供给曲线结合起来，就会发现它们具有相同的性质，只是变量不同而已，学生掌握了一组曲线，另外一组就迎刃而解了。
演绎与归纳法结合使用。西方经济学中涉及的理论较多，这些理论都代表了一些观点，是西方经济学家们论证的论点。因此，讲解这些理论时，一些可以采用演绎法，即首先讲解理论，然后再用案例或计算题的方式应用这些理论，帮助学生理解和掌握；有些理论可以采用归纳法，即通过数个案例或现实中的现象，引导学生概括、总结出课本中的理论，如果有偏差，帮助学生修正。
以培养学生逻辑思维能力为中心。西方经济学总是在寻找经济现象的最优。例如，厂商的利润最大化、成本最小化，消费者的效用最大化等，研究极端情况及引入边际的概念，是因为这些理念可以转化为数学，相对容易证明。例如利润最大化问题，引入边际利润的概念以后，如果能建立利润函数，边际利润就是利润函数的导数，而数学中一阶导数为零，二阶导数小于零时就存在利润函数的最大值，也就是把经济问题转化为数学问题。因此，西方经济学教学不仅要帮助学生学习经济理论，更要帮助学生建立逻辑推导的能力，从而形成逻辑思维的意识和理念。
题库与教学同步推进。大学生极少对课程进行预习，他们对西方经济学的理解主要依赖于教师的讲解，但课堂学习不可能完全掌握大量的知识，需要学生对所学内容进行再认识和再理解，通过引入题库，与课程同步，辅助课堂教学，让学生自己解决案例中的现实问题，激发学生的好奇心进而提高学习兴趣，就能达到理论联系实际的目的，但其前提是必须要建立和应用合理、有效的题库。
三、西方经济学题库建设的基本思路
（一）题库建设的原因
基于上述的教学理念，建立与应用西方经济学题库非常必要，因为题库是学生对西方经济学理论的再认识，同时也能巩固和消化学生所学的知识，从而提高学习效率。为了实现上述目的，如何建题库，建立的题库如何与教学紧密结合，尤其是达到拓展学生思维模式的目标，必须采取客观、合理的策略。
（二）题库建设的方法
目前关于西方经济学试题库建设与应用的研究较少，较多的高校没有建立专业的、系统的题库，尤其是在题库的更新与教学结合的方面比较薄弱，加之教材的频繁再版与更换，出现了教学与题库不匹配的现象。因此，必须加快题库的建立与更新，形成题库的编写、分类、归档和纳入教学系统的专业化、信息化与自动化，并且定期对主讲教师进行培训，实现试题库的应用与普及。
为教学工作提供不同难易程度的、覆盖课程全部内容的各种题型的题库，为学生自学、教师讲授使用，从教学方法上也可以改变教学模式，提高教学效果。因此，本项目课程建设的主要内容包括：
1. 题库建设与课程建设、教学保持高度一致。把试题库建设列入课程管理中，授课老师在准备教学文件时必须更新题库和完善题库，同时把教学大纲、讲稿、多媒体演示等与题库内容紧密衔接，不断强化教学重点。结合该门课程各位老师的授课经验，从学生的角度提出和构建试题，把学生需要掌握的知识点以题库形式和教学结合起来，达到教与学同步进行。
2. 试题库建设与应用保持同步。采用理论结合实际的方法，尽可能采用现实中的事例编写题干部分，同时反映经济学的基本原理。题库中编入社会经济中热点讨论的问题，学生与教师共同辩论，增强学生的兴趣。题库中增加利用西方经济学研究经济现象的专题，培养学生运用逻辑思维推理的能力。另外，题库生成后，必须加强与学生的沟通和交流，甚至让学生参与题库的编写，把题库的思想和内容充分运用到常规教学和课后练习中去。
3. 不同难易程度的试题库的构建与归类。运用定性与定量相结合的方法（经济学与数学结合）构建试题库，构建与归类同时进行。西方经济学的核心围绕着边际和均衡，通过定量（数学）的教学，让学生掌握、理解经济学定性的部分。可以通过对西方经济学每一章节编制四种难易（容易、较容易、较难、难）程度不同的试题，并且把试题章节讲解初期至结束分别对应四种难易程度题库。
4. 不同类型的试题库构建与归类。根据学生需要掌握的基本内容和重点内容，构建多种类型的题库，以提高学生的综合学习能力。按照西方经济学课程的特点，构建八种类型（单项选择题、多项选择题、判断题、名词解释、简答题、论述题、分析题、计算题）习题，分配到每个章节并附有参考答案，共享到学校教务处网站，方便学生和教师使用。
5. 不同版本教材的试题库构建与归类。针对不同版本的教材，编撰适应课程的题库，延伸学生学习的视野。根据西方经济学各类教材的特点和内容，把题库尽可能覆盖到所有教材，尤其是教师已经使用或将要使用的教材，按照教材分类编写题库，既可以方便教师授课，又可以帮助学生全面掌握西方经济学的相关知识，提高学生分析、解释和解决国际、国内或局部地区的实际经济现象和问题的能力。
四、总结
目前关于高等教育本科教学的方法研究较为普遍，主要是宏观层面的，针对某一门课程，尤其是西方经济学教学的研究不是很多，关于如何建立西方经济学题库的研究更为少见。希望相关专家学者和从事具体工作的人员，能更多地把各个学校的经验及方法整理出来，供大学教师分享，以提高西方经济学的教学质量。
参考文献：
[1]樊士德.我国高校西方经济学教学方法新论[J].南京审计学院学报，2012，（2）：100-104.
[2]吴宇.“四段式”教学模式在《西方经济学》课程教学中的应用[J].河北大学成人教育学院学报，2012，（3）：118-121.
[3]课题组.当前经济学教育教学面临的形势和今后的任务[J].河北经贸大学学报，2010，（3）：105-109.
[4]汪红梅.关于提升西方经济学教学效果的思考[J].经济研究导刊，2010，（26）：267-268.
关键词：经济学范式，比较静态分析，一线两带，
（一）引言：经济学与科学研究框架
经济学的定义，在诸多经济学理论教科书中，多有陈述。经济学从其研究对象来说，属于社会科学。在诸多社会科学中，经济学又如何同其他社会科学区分？这就要从经济学的研究范式说起。
经济学是不是科学？是科学，就要有其科学性的研究框架(scientificmethod)。物理学是科学无人异议，为什么？因为有其科学性的研究框架。以物理科学为例，科学性的研究框架由三部分构成，首先是对要研究的现象的观察，得到研究对象的信息或数据。比如牛顿观察到苹果掉到地上而不是其他方向。第二是通过对现象的观察，产生普遍性的假设，并根据此假设推导演绎出理论。比如牛顿假设物体有吸引力，并且吸引力的大小与物体的质量成正比，于其间的距离的平方成反比——万有引力定律。第三是对理论按严格逻辑所推演的或暗示的结论，通过具体的某一现象进行检验验证，事实与理论推演的结果一致，理论保留，并等待被进一步检验，否则，假设就是错的，当然由此假设推演的理论也就不成立。比如由万有引力定律所推演的太阳系的行星，其质量等等，都不驳斥其理论，理论被保留。
作为一个理论——科学框架的一部分，它要解释或预测一系列现实世界的各种客观存在，他的结构应包含三个部分：
1．主张或公理（assertions,orpostulates）。可表示为集合A={A1,…,An}，如万有引力定律理论的物体之间有引力，引力的大小与质量成正比等等，经济学理论中的消费者选择遵行效用最大化原则等，他们都涉及到理论构造中的研究对象的普遍，具有不可观测性。
2．假设或实验条件（assumptions,ortestconditions）。可表示为C={C1,…,Cn}，在这一假设下，主张或公理要被检验。假设(assumption)与公理(postulate)不同，假设或实验条件由可观察到的现象构成，而公理是关于抽象事物的广义陈述，不具体指某事物，具有难以观测性。假设连接了理论构造与现实世界，它必须是现实的。一般形式为：如果…（可观察到的行为，现实世界会发生的事件）……
3．事件。可表示为E={E1,…,En}。是根据理论预测到的事件。即：如果发生了（假设）…，则事件就会发生。
简而言之，理论的结构是这样的，主张或公理A（不可观测、抽象的具有普遍性的陈述）意味着如果试验条件C（具体的可观测现象）成立，则事件E（可观测现象）就要发生。用符号可表示为：
A(CE)，或（AC）E（1-1）
箭头表示“意味着”。
理论能否成立的必要条件，首先就是看他是不是具有能被现实世界检验的性质，即其“可驳斥命题(Refubrproposition)”是否存在，具有此性质，才谈得上去检验，不具有此性质，则理论是毫无意义的。
可驳斥命题如何提出，这一类工作，叫做比较静态分析（comparativestatics）。
因此，回答经济学是不是科学，要看其理论结构是不是具有科学性，一个理论能否成立，可驳斥命题的存在是必要前提。当前主流经济学的研究范式，已经满足了这些科学的研究框架的条件，经济学中提出的普遍性的理论，正在被一些具体事实证实或证伪。因此，可以认为经济学是科学。从方法论的角度，对经济学的定义可表述为：经济学属于社会科学的研究范畴，他利用具有普遍性的人类行为假设，利用（逻辑、数学）技术以及在对一具体问题假设其遵行普遍的假设（公理）的基础上，探索人类社会行为假设（公理）的可驳斥的解释（EugeneSilberberg,WingSuen）。
（二）比较静态分析
比较静态分析，是一种（数学）技术，通过这一技术，理论（模型）可以被考察研究，以确定理论的可驳斥假说，如果不能推导出可驳斥命题，则想用现实对其检验就是徒劳，因为无任何数据可驳斥理论（EugeneSilberberg,WingSuen）。
经济学的比较静态分析，是对经济学理论进行检验的一种符合逻辑（通常用数学技术）的仿真（Silberberg,etal）。“静态”在这里是一种误用，我们知道，经济学中的理论，是以某一检验条件或假设的变化来检验经济变量的变化为基础的（Silberberg,etal），比较静态是指不考虑时间因素的对研究变量的变化的经济学预测（Silberberg,etal）。
经济学的比较静态分析，要追溯到十九世纪二十年代。1829年，威廉•维赫维尔(WilliamWhewell)发表了“一些政治经济学说的数学说明”的论文，论文的内容专注于从技术层面说明学说的科学性。在随后的1830年到1850年间，他又先后为此目的发表了一些文章。但直到1871年，其工作才引起经济学家威廉•斯坦利•杰文斯（WilliamStanleyJevons）的注意，并由此开创了经济学的比较静态分析法。
经济学家从事经济研究，要对人的欲求等看不见的行为作一些假定（主张或公理），然后用严格的数学逻辑将这些假定与看得见的行为或现象联系起来（比较静态分析，提出可驳斥命题），证明某种关于看不见的人的行为的假定为真时，则某种看得见的现象就会发生。这种思想试验方法就是制造假说或理论的过程（杨小凯，张永生）。成为经济学的研究范式。
具体讲，比较静态分析是通过逻辑（或数学）运算，模拟理论的可驳斥命题即检验条件是什么，从而为理论的验证提供方法。
经济学将研究变量分为两类，一是决策或选择变量（Decision,orchoice,variables），另一个是参数或外生变量（Parameters,orvariablesexogenoustothemodel）。参数代表理论的检验条件变量。如果用x表示决策变量，用α表示参数，则理论必须表示为（假设为）某一决策变量x是检验条件α的函数。
（2-1）
也就是说，对于一个行为公理A（假说，或理论），如果检验条件C（用α表示）成立，则决策变量（用x表示）会发生。因为经济学家往往不能直接观察到给定某一参数下的实际的选择变量的具体数值，因此经济学的研究范式建立在基于对边际量的观察，即：
（2-2）
通常，经济学的公理（理论）由这一导数的性质来表现，它潜在地表示了经济学的可驳斥命题，所以经济学也被称为边际主义范式。比如，需求理论，价格是参数（外生变量），需求量是选择变量，需求法则（公理，理论）认为，dx/dp<0，即其它变量不变，需求量随价格的上升而下降。因为可驳斥命题是潜在存在的（dx/dp大于零），这一理论可以被检验。
经济学理论，往往涉及看不见的行为，如企业利润最大化公理，要证明其正确性（实际上是证明其不正确性，正确性往往无法证明，但当事实无法证明其不正确时，暂时接受其正确性，而随着时间的推移，其正确性得到普遍接受。），必须借助可观察到的现象。将看不见的假定现象与看得见的现象联系起来，用严密的数学逻辑，推导参数变量与决策变量的导数关系的工作，以确定可驳斥命题，就是比较静态分析。
所以有人说，数学方法在经济学中的广泛应用虽然不能保证分析框架一定正确，但它却使理论更容易被证实或证伪，从而大大加速知识的积累过程（杨小凯等）。这也正是人们预言经济学中数学的应用的深度和广度很快就将超过物理学的重要原因（杨小凯等）。
（三）陕西省“一线两带”发展战略的比较静态分析
陕西省省委、省政府抓住西部大开发机遇，决定实施“一线两带”发展战略，即以西安为中心，以陇海铁路陕西段及宝（鸡）潼（关）高速公路为轴线，加快国家关中高新技术产业开发带和国家关中星火产业带的建设，使关中地区率先崛起，并以此为增长极，辐射和带动陕南和陕北及周边地区的经济发展。这一理论是否为真，是一个不可观测的现象。因为一旦实施，不实施的结果就不存在，无法观测，无法比较。经济学的研究范式——比较静态分析假设理论为真，用具体的事件（比如“一线两带”），推测将会发生什么，如果没有发生，可以肯定理论是错误的。因此，经济学的研究过程如下。
1．模型的构造
关中地区率先发展，即将有限的政府投资，集中用于局部地区（关中）经济建设，使其成为一个增长极，预期产生极化效应，从而带动整个省内的经济发展。之所以集中用于关中地区，这里面隐含着如果将这些有限的资金分散用于各个地区，对陕西省总体的经济产出不会更大。如果地区间的生产函数差异，由分工程度、劳动者技术差异等内生，这一发展战略，用模型可表示为（模型中的变量都是时间的函数）：
（3-1）
其中，Y为全省总产出，F(•)为生产函数，短期符合规模报酬不变，边际产量递减，地区间无差异，K为资本存量，边际产量递减，L为劳动力，边际产量递减，E为劳动效率，与人力资本投资有关，进而与总产出积累或资本存量有关，还是分工的函数，分工与交易费用（在此包含交通、信息建设等政府投资，用G表示）有关，分工会使规模报酬递增，EL表示有效率的劳动力（effectiveworker），下标1表示关中地区，2表示陕西省其它地区。这一最大化问题可图示为：
图1中，市场配置使产量最大化，各地的资本边际产量相等。图2中，对关中地区增加投资，预期产生极化作用，促进产业升级，促进分工，提高生产率，使1沿虚线上升，总产量上升，并带动2产业升级，使2也沿虚线上升，最终使总产量连续跳跃上升。
这一预期是否成立，需要进行检验，如何进行检验，就需要进行比较静态分析，找出这一模型的可驳斥命题。
假设生产函数满足规模报酬不变，关中地区有效率的劳动力占总有效率劳动力比例为m1，其他地区有效率劳动力占总有效率劳动力比例为m2，关中地区劳动力占总劳动力比例为n1，其他地区劳动力占总劳动力比例为n2，即：
且
因为，（规模报酬不变）表示有效率劳动力的人均产出，且f(k)=m1f(k1+g)+m2f(k2),所以生产函数可以写为：
或
E实际上可以看为与技术、分工有关的效率因子。若定义关中地区对其他地区的辐射作用的辐射系数r为：
辐射系数是关中地区产出与其他地区产出的比，总产出可以写为：
（其中令E1L1f=）（3-2）
从图2中可以看出，关中地区若对陕西其它地区具有辐射作用，应能够带动那里的产业升级，即总产出出现拐点（图2中总生产函数1与2之间的转折点），拐点的条件是产出的一阶导数为零、在此条件下二阶导数为零。比较静态分析就是在满足以上条件下，从一阶条件中寻找决策变量（g）与参数变量（r）之间的关系。
2．比较静态分析
这里，产出是有效率的人均资本(k1+g)的函数，参数为r，决策变量为g，比较静态分析就是在模型解中寻找决策变量与参数变量的关系。
求解（3-2），一阶条件为（注意到辐射系数r是k1+g的函数，设ka=k1+g）：
（3-3）
二阶导数为：
（3-4）
由3-3得：
（3-3a）
两边求导得：
（3-5）
将（3-5）带入（3-4）得：
由于一阶条件下，二阶导数为零，所以一阶条件为拐点。
再来讨论一阶条件
3-3
整理后得：，即：
即（这里略去了常数项）
设r(g*)是方程的解，
其中，dE/dg是政府边际投资的效率变化，一般投资促进技术进步、效率提高，df/dg是资本边际产量，大于0，所以，dg/dr>0。即投资速度加快后，辐射系数变大。如果实行率先发展战略，关中地区的经济发展要大于其它地区的经济发展，集中投资于关中地区的战略才不被，如果其它地区本身有自发的发展空间，且势头良好，政府不进行投资改造，促进升级发展，反而将有限的资金投资于大城市，虽然大城市也得到了发展，但其机会成本却很高，将不会取得更好的效果。这一检验条件，就是比较静态分析的结果。
3．比较静态分析后的实证分析
通过对陕西省关中地区及陕南陕北经济发展的情况，计算出辐射系数，并比较辐射系数的变化与政府投资的变化是否满足比较静态分析的结果，不满足时，这一战略一定是错误的。
（四）结论
经济学通过它的研究范式——比较静态分析，证明这一学科的科学性。比较静态分析是一种（数学）技术，通过这一技术，理论（模型）可以被考察研究，以确定理论的可驳斥假说。它是对经济学理论进行检验的一种符合逻辑（通常用数学技术）的仿真。经济学的分析方法包括理论的构造，理论的比较静态分析，理论的事实检验等过程。对陕西省实施的“一线两带”发展战略的比较静态分析的结果为极化地区的经济增量与辐射区的经济增量的比，应随着政府投入的增加而增大。如果在实施战略过程中出现比如陕北经济增量很大，则说明战略是有问题的。
参考文献：
[1]Kim,Jinbang"TheTechniqueofComparative-StaticAnalysisinWhewell''''s"MathematicalExposition"".HistoryofPoliticalEconomy-Volume33,Number4,Winter2001,pp.843-854
[2]EugeneSilberberg,WingSuen,TheStructureofEconomics:AMathematicalAnalysis,3e.ShanghaiUniversityofFinance&EconomicsPress.(2005)
[关键词] 边际分析 边际效用 作用
一、边际的含义
经济学中的边际指的是因变量随着自变量的变化而变化的程度，即自变量变化一个单位，因变量会因此而改变的量。边际的概念植根于高等数学的一阶导数和偏导数的概念。在经济学中根据不同的经济函数, 我们可求不同的边际。如边际成本、边际收入、边际效用、边际消费、边际储蓄等。
二、边际分析特点及对经济学发展的作用
边际分析是马歇尔二百多年前创立的, 它告诉我们人们在作决策的时候, 除了应用绝对量作决策参数外, 更应该运用增量参数进行决策。这种方法有以下几个特点：1.边际分析是一种数量分析，尤其是变量分析，运用这一方法是研究数量的变动及其相互关系。这一方法的引入，使经济学从常量分析发展到变量分析。2.边际分析是最优分析。边际分析实质上是研究函数在边际点上的极值，要研究因变量在某一点递增、递减变动的规律，这种边际点的函数值就是极大值或极小值，边际点的自变量是作出判断并加以取舍的最佳点，据此可以作出最优决策，因此是研究最优化规律的方法。3.边际分析是现状分析。边际值是直接根据两个微增量的比求解的，是计算新增自变量所导致的因变量的变动量，这表明，边际分析是对新出现的情况进行分析，即属于现状分析。这显然不同于总量分析和平均分析，总量分析和平均分析实际上是过去分析，是过去所有的量或过去所有的量的比。在现实社会中，由于各种因素经常变化，用过去的量或过去的平均值概括现状和推断今后的情况是不可靠的，而用边际分析则更有利于考察现状中新出现的某一情况所产生的的作用、所带来的后果。
边际分析法在1870年代提出后，首先用于对效用的分析，由此建立了理论基础――边际效用价值论。这一分析方法的运用可以说引起了西方经济学的革命，具体说它的意义表现为：
1.边际分析的运用使西方经济学研究重心发生了转变。由原来带有一定“社会性、历史性”意义的政治经济学转为纯粹研究如何抉择把有限的稀缺资源分配给无限而又有竞争性的用途上，以有效利用。2.边际分析开创了经济学“数量化”的时代。边际分析本身是一种数量分析，在这个基础上，使各种数量工具线性代数、集合论、概率论、拓扑学、差分方程等，逐步渗入经济学，数量化分析已经成为西方经济学的主要特征。 3.边际分析导致了微观经济学的形成。边际分析以个体经济活动为出发点，以需求、供给为重心，强调主观心理评价，导致了以“个量分析”为特征，以市场和价格机制为研究中心的微观经济学的诞生。微观经济学正是研究市场和价格机制如何解决三大基本经济问题，探索消费者如何得到最大满足，生产者如何得到最大利润，生产资源如何得到最优分配的规律。4.边际分析奠定了最优化理论的基础。在边际分析的基础上，西方经济学从理论上推出了所谓最优资源配置，最优收入分配，最大经济效率及整个社会达到最优的一系列条件和标准。5.边际分析使实证经济学得到重大发展。研究变量变动时，整个经济发生了什么变动，这为研究事物本来面目、回答经济现象“是什么”问题的实证经济学提供了方法论基础。
从平均分析进入到边际分析, 是经济学分析方法的一个重大发展和转折, 意义十分重大它表明数学对经济学的渗透迈出了重大一步。希克斯1946年的《价值与资本》与1947年萨缪尔逊的《经济分析基础》全面总结和发展了边际分析阶段的研究工作, 使边际分析达到顶点, 从而成为经济学史上的两部名著边际分析阶段, 形成和发展了一大完整的微观经济活动行为理论, 提出了一般经济均衡问题, 建造了一般经济均衡的理论框架, 创立了当今的消费者理论、生产者理论、垄断竟争理论及一般经济均衡理论的数学基础，因此 边际革命的影响是深远的。
三、边际分析在经济分析中的两个简单应用
1.应用实例：最佳产量的确定
(1)不计税收下,最佳产量的确定
结论：利润在边际收入等于边际成本时的产量水平上达到极大值。此时的产量水平称为最佳产量水平。
例1 某食用油生产厂的收人函数R()=6140-302（元），成本函数C()=102+60+1200（元）,其中为每周产量（单位：吨）, 求最佳产量和每周预期利润。
解:由已知边际收入R‘()＝6140-60,边际成本C’()=20+60, 由上结论有：6140-60=20+60解得=76,即每周最优产量76为吨,预期利润为L(76)=R(76)-c(76)=219040元。
(2)赋产量税后, 最佳产量的确定
例2：在例1的已知条件下,若每吨产量缴纳t元产量税,求最佳产量和每周预期利润。
解:由已知吨应缴纳 元的税。则该厂利润为：L()=R()-C()-t
由前面结论可得最佳产量为边际利润为零时的产量。即由L’()=0, 解得:。
这样产量税将影响最佳产量水平, 当然对预期利润也有影响, 且赋税越高, 最佳产量水平越低。
2.应用实例――确定白酒储存期
例3 假定有白酒100吨,现价8元公斤,多陈一年可增值2元/公斤,贮存费每年10000元, 因贮存酒积压资金引起机会成本每年增加105p.r,（其中105为酒的贮量,p为当年白酒价格,r为利息率,且假定r=10%),那么这些酒须储存多久效益才最大呢
分析:假设须贮年才最佳,由已知可得如下函数关系；
(1)年增加的总收人函数R()=105×2＝2×105（元）
(2)年增加的贮存总成本C()=10000+×105×10%[(105×8+2×105)/105]=90000+200002（元）
(3)年净增利润函数L()=R()-C()=2×105-(90000+200002)=110000-200002
此时边际收人R’()=2×105,边际成本C’(×)=90000+40000
因为当R’()=C’(×)时利润最大,所以有2×105=90000+40000，即＝2.75（年）
由于驻点唯一,故只有当储存期为2.75年时,企业才能获得最佳经济效益,其最大净增利润为151250元。
由上进一步表明边际分析这种以微积分为工具,以经济现象为内容的数学分析方法已深深融人到了经济学中,并成为经济学的一个重要组成部分
参考文献:
高中理科之间互相都有融合渗透，因为在物理学、几何学、经济学等学科中，一些重要概念都可以用导数来表示.从理科高三接触的微积分来分析，显示的自变量和变量之间的关系可以看出它应用的身影.当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导，这甚至可以被认为高中与高等数学衔接中最基础的定义.高中导数公式的应用过程，是让学生感知瞬时变化率的过程.导数的概念和导数公式的应用，正是实现由初等函数正常推导的过程，是从中规范导数实践教学的过程，也是深度理解和认识导数的过程.
一、用导数判断函数的单调性
在平面直角坐标系中，导数代表的就是某条曲线在某一点处切线的斜率.判断函数的单调性，就可以根据一点处切线的斜率来判定，斜率都大于零，那么可以准确判断出其单调递增的特征.尤其是在简单的一次函数中，当曲线斜率为正时，函数单调递增，反之为负时就是单调递增.
例1 求函数y=x3-3x+1的单调区间.
解析 y=x3-3x+1，y′=3x2-3，当3x2-3=0，即x=±1时，y有极值=-1和3，
因为：x=2时，y（2）=3，x=1时，y（1）=-1， x=0时，y（0）=1，x=-1时，y（-1）=3，x=-2时，y（-2）=-1，
所以函数在（-∞，-1]单调递增，在[-1，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增.
在求解单调函数的递增性上，求解函数单调性，更可以显示导数的价值.在实际应用中，还可以延伸出导函数“二次型单调性问题求解”.
二、用导数求曲线的切线
基本初等函数的导数由12个常用导数衍生出来，成为推导的依据.导数的几何意义就是曲线在某点处的切线斜率，也就是常说的切线方程公式，除了强调曲线上的点外，还体现函数在某点处可导的充分不必要条件.导数在数学中解决的问题就是，以此助推求解曲线切线，其应用价值就体现在函数在某点处可导，曲线在某点处一定存在切线，但是曲线在某点存在切线，却未必可导的特性.
例2 函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0， y=f（x0））处的切线的斜率.在求解中，设曲线y=f（x）在点P（x0，y）处的切线的斜率是f ′（x0），相应的切线方程为y-y0=f ′（x0）（x-x0）.在该例题的切线方程求解中，就是根据导数所体现的几何意义来求解的.
三、用导数求三角函数
三角函数的导数关系、商数关系、平方关系、积化和差、双曲函数等都可以在简单的导数中发现事物的本质，进而衍生出新的解题策略.从sinθ=y/r；cosθ=x/r；tanθ=y/x；cotθ=x/y等基本三角公式出发，推导出复杂三角函数的求解之法.
例3 由sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB导数公式，推导出三角函数积化和差，和差化积问题.
首先画单位圆交x轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点.角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新角A′OD.
A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），A′（cos（α-β），sin（α-β）），
OA′=OA=OB=OD=1，D（1，0）
[cos（α-β）-1]2+[sin（α-β）]2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b）/2与（a-b）/2）.
四、用导数公式求周期函数
例4 试求所有的a∈R，使得f（x）=
sinx+sinax为周期函数.
从函数周期定律f ′（x）为以T为周期的周期函数着手，且f（x）处处有定义，则f ′（x） 当a=-1，0，1时f（x）分别为0，sinx，2sinx，均为周期函数，若a≠0，a2≠1的情况.当f（x）以T为周期时，f ′（x）=cosx+acosax，f ″（x）=-sinx-2asinax，那么f ″（x）也应以T为周期.
于是sinx+sinax=sin（x+T）+sin（ax+aT），sinx+2asinax=sin（x+T）+2asin（ax+aT）对所有x∈R成立.
两式相减，2a≠1，则sinax=sin（ax+aT），有sinx=sin（x+T）.于是aT=2kπ，T=2mπ，k，m∈Z，那么a=k/m为有理数，必要性得证.从实际来看上只要f（x）为以T为周期的周期函数，f ′（x）在其定义域内就是周期函数.在实际应用中，利用导数求解导函数还可以扩大为“不必让f ′（x）处处有定义，实际上只要f（x）为以T为周期的周期函数，f ′（x）在其定义域内就是周期函数.”
关键词：高职高专数学;项目化教学;职业能力
项目化教学是借助“项目”的形式来展开教学活动的。为了能够便于学生顺利地解决问题，因此在设置“项目”的时候要融入多门课程的知识。项目化教学法是指在教师的带领下，学生自己来处理项目。学生自己要独立完成收集信息、设计方案、实施方案以及评价项目这四个环节，在不同的环节，学生要把握好其中的要求。在项目化教学过程中，教师不应该仅仅关注最终的结果，而是应该重视整个项目的实施过程。在整个过程中，不仅要提高学生分析问题、解决问题的能力，还要提高学生的自主学习能力。
一、通过项目化教学来训练数学能力，培养学生的能力
通常情况下要通过以下几个方面来实现数学能力的训练：（1）在学习经济函数的过程中，要求学生从经济学中来寻找与其相关的经济函数，从而计算出单利与复利。（2）不断优化边际函数、经济函数等。（3）给出边际函数的量，得出原经济函数，从而可以将资本现值、投资问题确定出来。（4）在经济领域中要广泛应用线性规划。
针对上面所提出的四个问题，要明确能力目标：（1）分析生活中的经济现象，对需求函数等经济函数进行全面的了解;观察函数性质以及函数图像，将经济函数的分析报告总结出来;计算单利、复利，准确把握函数的变化趋势，全面理解函数极限这一概念;分析函数的图像，将函数连续的概念推断出来，然后在推导出计算复利的公式。（2）在分析函数的过程中要将导数的概念等引入其中，在对函数改变量进行计算的时候，要将计算改变量近似值的方法引入其中，从而可以推断出微分的概念以及计算方法。（3）告知某一个函数的导数，得出原函数的概念、不定积分的概念，同时也得出计算不定积分的方法;接着再计算定积分以及原经济函数，最终可以得出解决资本现值、投资问题的方案。（4）对线性方程组进行求解，带领学生发现n阶行列式的概念。通过设置投资、配方以及运输等多个问题，带领学生从实际问题着手，构建合理的现行规划的数学模型。此外要利用图解法来得出最优解，从而可以确定在经济学中应用线性规划的方案。
二、通过项目化教学来训练数学知识，实现知识目标
在分析了以上四个经济问题后，可以得出解决问题的方法，并且也可以在解决实际问题的时候应用数学知识。通过分析以上四个问题，可以促使知识目标得以顺利实现：（1）在分析经济函数的时候，其中包括了函数的概念、性质等多个方面的知识点。（2）在优化边际函数、经济函数的时候，要对导数的概念、微分的概念进行准确的把握，借助导数的公式以及运算法则来完成运算。（3）在求解原经济函数的时候，要对不定积分的概念与性质、定积分的概念与性质进行明确的把握，还要对积分的运算方法进行剖析，从而将积分运用在经济领域上。（4）在应用现行规划的时候，首先要先计算线性方程组，把握行列式的概念以及基本运算、矩阵的概念以及基本运算，将逆矩阵的秩、矩阵的秩计算出来。通常情况下会借助图解法来解决线性规划问题，并且也可以了解线性规划问题中所包含的经济意义。
三、项目化教学过程中应该注意的问题
项目化教学这一方式可以培养学生的自主学习能力，也可以调动学生学习的积极性以及主观能动性。在传统的教学中，教师往往采用“填鸭式”的教学方法，这会让学生居于被动的学习地位，不利于激发学生学习的兴趣。因此在数学教学过程中，教师要根据不同的专业采取不同的教学方法，激发学生的求知欲。
1.培养学生的自主学习能力
在设计项目的时候，教师要注重培养学生的自主学习能力。比如，当教师要讲解“弹性分析”这一教学内容的时候，可以提前在课下查询关于电视机、手机同时降价100元对消费者影响的数据，通过分析这些数据，引导学生得出弹性分析的公式。这样做既加深了学生对知识的记忆，又让学生理解起来较为简单。
2.培养学生的数学应用能力
一直以来，高职高专数学教学的基础体系是以学科体系为主的。学科体系与高职高专人才培养目标相一致，并且也成为高职院校培养学术型人才的教育模式。数学项目化教学的基础体系是以工作体系为主的，并且要将专业要求作为依据来整合课程。高职院校的项目化教学要与学生的专业结合起来，让学生成为项目的主动实施者，并且在实施过程中学生会真正感受到数学的实用性。通过利用项目教学法，学生处于主动的学习地位，然而教师却起着辅导性的作用，在这一教学过程中既可以让学生掌握丰富的知识，又可以提升学生的综合素质。
总之，要想顺利完成项目，学生就要亲自完成搜集资料、分析问题、解决问题、归纳总结这四项工作。数学项目化教学中既要发挥学生的主观能动性，又要密切联系其他同学与教师，从而促使该项目的顺利完成。然而教师在设计项目任务时，往往要将学生所学的专业、学生的知识、学生的素质作为依据，只有这样做才可以保证教师所设计的项目对培养学生的综合能力具有非常重要的作用。
参考文献：
[1]郑文红，亓伟梅.高职学科教学中实施项目化教学的探索[J].职业时空，2011（10）.
关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值
1导数在经济分析中的应用
1.1边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1边际需求与边际供给
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量,P为商品价格）,则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数,简称边际需求。类似地,若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量,P为商品价格）,则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数,简称边际供给。
1.1.2边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本,其经济意义为：当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
1.1.3边际收益函数
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．
R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
1.1.4边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润,其经济意义是：当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数,C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为10吨时,再增产1吨,利润将增加1万元；当月产量为15吨时,再增产1吨,利润则不会增加；当月产量为20吨时,再增产1吨,利润反而减少1万元。
显然,企业不能完全靠增加产量来提高利润,那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2弹性在经济分析中的应用
1.2.1弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导,函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比,当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率,或称为弹性函数。记为EyExEyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处,弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值,简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处,当x产生1%的改变时,f（x）近似地改变EExf(x0)%。
1.2.2需求弹性
经济学中,把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）),由于价格上涨时,商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数,ΔP与ΔQ异号,所以特殊地定义,需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例2设某商品的需求函数为Q=e-p5,求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1,说明当P=3时,价格上涨1%,需求只减少0.6%,需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1,说明当P=5时,价格上涨1%,需求也减少1%,价格与需求变动的幅度相同。
η(6)=1.2>1,说明当P=6时,价格上涨1%,需求减少1.2%,需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1.2.3收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积,即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以,收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样,就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上,收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1）若η<1,则EREP>0价格上涨（或下跌）1%,收益增加（或减少）(1-η)%；
（2）若η>1,则EREP<0价格上涨（或下跌）1%,收益减少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1,则EREP=0价格变动1%,收益不变。
1.3最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心,各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一,例如,在一定条件下,使成本最低,收入最多,利润最大,费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1最低成本问题
例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px,（常数m>0,n>0,p>0）,（1）问每批生产多少单位时,使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p,C’=2mx-n
令C’,得x=n2m,而C’’(x)=2m>0。所以,每批生产n2m个单位时,平均成本最校
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m),又C’(x)=3mx2-2nx+p,C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以,最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2最大利润问题
例4设生产某产品的固定成本为60000元,变动成本为每件20元,价格函数p=60-Q1000（Q为销售量）,假设供销平衡,问产量为多少时,利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000
L’’(Q)=-1500<0Q=2000时L最大,L（2000）=340000元
所以生产20000个产品时利润最大,最大利润为340000元。
2积分在经济中的应用
在经济管理中,由边际函数求总函数（即原函数）,一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量,则采用定积分来解决。
例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为C0=1000元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000,L’=400-2x,令L’=0,得x=200,因为L’’(200)<0。所以,生产量为200单位时,利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述,对企业经营者来说,对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具,不但可以给企业经营者提供精确的数值,而且在分析的过程中,还可以给企业经营者提供新的思路和视角,这也是数学应用性的具体体现。因此,作为一个合格的企业经营者,应该掌握相应的数学分析方法,从而为科学的经营决策提供可靠依据。
参考文献
［1］聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分［M］.北京：中国对外经济贸易出版社,2003,（6）.
［2］顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用［J］.职业圈,2007,（4）.
