时间：2022-10-28 21:57:20
一、教材分析
列方程解应用题是初中数学教学的重要内容，它既是重点也是难点，在解各种类型的方程或方程组时，都要进行由相应的应用题如何列出这些类型的方程或方程组这一步，这是因为它既是数学联系实际的一个重要方面，又是培养学生分析问题、解决问题能力的一个主要环节。按课本安排出租车计费的内容应放在第一节课与劳力调配问题一起讲，但学生进入中学以来第一次接触“列方程解应用题”，本身接受就有一定困难，如果放到第一节一下讲两个类型，学生更接受不了，练习册中又出现了计算水费问题，也需要进行分段计算，于是，我把这类分段计算的问题单作为一节课，作为一个类型去讲。
二、教学目标
根据新课标的要求，及七年级学生的认知水平我特制定本节课的教学目标如下：
1.学会列一元一次方程解决水费和出租车计费问题；
2.通过分析出租车计费、水费中的数量关系，经历运用列方程的方法解决实际问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
3.能说出列一元一次方程解应用题的一般步骤；
4.培养学生分析问题、解决实际问题的能力；
5.体会数学来源于生活，来源于实践，又服务于生活，认识到学习数学的用处，增强学习数学的目的性和用数学的意识；增强节约用水的意识。
三、教学重难点的确定
教学重点是：列一元一次方程解决水费和出租车费的应用题。
教学难点是：如何分析问题，挖掘题目中的等量关系。
四、学情分析
1.知识掌握上，七年级学生刚刚学习了一节“列方程解应用题”，对列方程解应用题的优越性还没有充分体验到，还停留在愿意用小学的算术方法解应用题上。
2.学生学习本节课的知识障碍。对于列方程解应用题的方法不太理解，因为这些题，学生用算术方法很快就能算出来。所以老师要用找相等关系的方法引导学生列出方程去解。
3.由于我所教两个班的学生好动，爱发表意见，希望得到老师的表扬等特点，所以在教学中，一方面用《北京日报》的报道引入课题，引起学生的兴趣，使他们注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
五、教学策略
学生有时不明白学数学有什么用，本节内容正好与实际联系特别紧密。为了使课堂生动、有意义，我以《北京日报》中的一段报道引出本节课要解决的问题，引起学生兴趣，本节课中水价的计价规定，属于政府行为，目的是提倡节约用水，正好与现在我们大力提倡节约每一滴水联系起来，起到寓教的作用。例2是与水费计价类似的出租车计费问题，也是与学生实际联系特别紧密的应用题。这两个例题学生都非常感兴趣，选择这两个例题，课堂上可充分调动学生的积极性，让他们利用生活中的经验来分析题目，使学生体验到数学与我们的生活联系得是那么紧密，生活中离不开数，数学来源于生活，反过来又应用于生活，认识到学习数学的用处，增强学习数学的目的性和用数学的意识。激发学生学习数学的愿望。
六、教学程序设计：
1.引用报纸上的报道引出本节课的课题
引用《北京日报》的关于“北京市水资源匮乏”、“北京市一年漏掉的水相当于新建一个自来水厂全年的产量”的
报道，使学生将注意力集中到课堂上，“水资源和数学有什么关系？”等问题会充斥很多学生的脑海。于是，我首先问学生：“北京这么缺水，我们应该怎样做？”学生们说出：“应节约用水”、“节水应从我做起”等等。“作为我们每一个公民应节约每一滴水，从政府的角度来讲，应采取一些措施，鼓励居民节约用水。有些城市就采取了阶梯式水价，如果北京市也采取这种收水费的方式你会计算自家的水费吗？”引出例1。
2.分析问题，解决问题
讲解例1时，首先让学生认真读题，明确水费怎样计价，引导学生说出“分段计价”，再问学生按不同的单价计价的水量应怎样表示，尤其是超出标准水量如何表示是关键。分析后，列出表格，让学生填表，从而全面地对例1作出了分析，找出列方程的依据――题目中的相等关系。通过这种分析的方式，让学生体会到分析应用题要分析“问题中都涉及了哪些量？”、“哪些是已知量、哪些是未知量？”、“如何表示已知量和未知量？”“题目中的相等关系是什么？”，列表分析使各个量之间的关系更明确，学生易于接受，这种方法能够帮助学生正确地分析问题，从而列出方程，解决问题。整个分析过程作完后，让学生自己写出整个解题过程，并展示学生的解题过程，从而规范解题格式。
例2是出租车计费问题，因为出租车计费也同样需要分段计算，类似于例1，于是我主要让学生自己去分析，然后老师再根据出现的问题进行指导。两个例题解决后，引导学生根据例题的解决过程总结出“列方程解应用题的一般步骤”。
3.反馈矫正
为巩固本节的教学重点让学生独立完成：练习册P59/1。这个题还是一个分段计价的计算水费的问题。
4.归纳小结，强化思想
本节课的课堂小结设计了两个问题：1.本节课我们共同研究的问题是什么？他们的共同点是什么？（共同点：由于单价的变化，必须要分段计算。）2.通过本节课学习，你懂得了什么？有什么收获？目的是让学生说出自己本节课的收获与体会。我的愿望是让学生说出知识上的收获和节水意识上的收获。
5.布置作业
为面向全体学生，安排如下：
（1）全体学生必做课本P119/2、P134/10
（2）布置一个选做题（分三段计价）：乘某市的出租车起价10元（即行驶4千米以内都需付10元车费），达到或超过4千米以后，每增加1千米加价1.2元（不足1千米的部分按1千米计算）。超过15千米，加收50%的空驶费。现在小红乘这种出租车从甲地到乙地，支付车费34元。求甲、乙两地之间的路程大约是多少？
小学数学应用题中常会遇到需要用方程来解答的问题，列方程解应用题可以帮助我们理清解题思路，正确分析题中的数量关系，化难为易。如何进行列方程解应用题呢？这里我通过二十多年的教学，总结了一些自己教学生列方程解答应用题的方法，供大家参考。
首先，在小学阶段出现列方程解答应用题，应该是五年级的教材内容，教材上的例题少，但牵扯的知识内容比较多，学生学习非常吃力，我就根据学生目前的知识现状，把用方程解答应用题分成五大方面，从简单的知识入手。
第一类：利用公式解答应用题，例如：一个长方形的周长是98平方米，这个长方形的长是33米，宽是多少米？
（长+宽）×2=周长，解：设这个长方形的宽是X米。
（33+X）×2=198，让学生利用所学的长方形周长公式来解答，等量关系是学过的知识，学生容易理解。
第二类：比一个数的几倍多几（或少几）的数，求这个数？
例如：五（一）班有女生28人，比男生人数多2倍少5人，男生人数有多少？把男生看成X人，那么X的2倍少5人就是28，学生很快就可以列出方程：2X—5=28
第三类：相遇问题的应用题。甲乙两辆车同时从两地相向而行，货车每小时行57千米，经过5小时两车相距576千米，客车每小时行多少千米？让学生根据（甲的速度+乙的速度）X相遇时间=两地之间的路程，根据这个等量关系式，把客车每小时的速度设为X千米。这样就很快可以列出方程：（57+X）X 5=576，这样难度降低，很容易理解这类应用题。
第四类：“和倍”、“差倍”应用题。例如：果园有梨树和桃树240棵，梨树的棵树是桃树的3倍，求梨数和桃树各有多少棵？解答这类典题型，通常把一倍数设为X，解：设桃树有X棵，梨树有3X棵，所以很容易得出：梨树+桃树=240棵这个等量关系列出相应的方程式：3X+X=240 ，这样把难题用简单的等量关系划分出去，使学生简明易懂。
第五类：根据大数、小数、相差数等常用的数量关系解答应用题。例如：一辆公共汽车上原有30人，到站牌下去了一些人，又上来了一些人，这时车上有39人，到站牌上来了多少人？这种类型的应用题用方程解答，学生很容易理解，因为关系式明确、简单，学生容易掌握其方法。
第六类：一般的复合应用题，这类型的应用题，变化较多，内容也比较繁乱，它包括了很多数学知识，日常生活中的算术，学生容易掌握，讲解时要培养灵活掌握知识的能力，教会学生举一反三，才能很好的解答出此类应用题。例如：丽丽到商店买东西，买了6个本子，给售货员10元，找回了7元，每个本子多少元？首先要让学生在大脑中形成逻辑思维的能力，那就是：买本子的钱+找回的钱=给售货员的钱。这样学生根据这个数量关系就可以很快的列出方程。
关键词： 初中数学 应用题 方程或方程组
在初中数学里，数、式和方程三部分都占有很大的比重，而数的运算、代数式的变形和运算都是解方程的基础，从某种意义上说，解方程构成了初中数学知识的主线，同时解方程是其他数学知识和进一步学习高中数学必不可少的基础；在学习方程或方程组的不仅可以学习到很多重要的数学思想和数学方法；而且方程或方程组是运用数学知识解决实际问题的重要工具，尤其是列方程或方程组解应用题，可以培养学生的分析问题和解决问题的能力。
列方程或方程组解应用题是运用方程或方程组的知识解决实际问题的重要课题，对于培养学生分析问题和解决实际问题的能力十分有益，它既是数学知识的重点内容，又是数学知识的难点，在初中数学里出现了五种列方程或方程组解应用题，分别是：
（1）列一元一次方程解应用题
（2）列二元或三元一次方程组解应用题
（3）列可以化为一次方程的分式方程解应用题
（4）列用一元二次方程解应用题
（5）列可以化为一元二次方程的分式方程解应用题
关键是通过列一元一次方程和列二元（三元）一次方程组解应用题，得出了列方程或方程组的基本思想、方法和步骤，在此基础上总结了列方程或方程组解应用题的一般步骤：
（1）设：用字母x或y或其他字母表示其中的未知数；
（2）表：用含有未知数的式子表示题中有关的代数式；
（3）列：根据题中已知数与未知数的相等关系列出方程；
（4）解：解出所列方程；
（5）验：判断方程的解是否符合题意；
（6）答：对题目提出的问题作出明确的回答。
通常列方程或方程组解应用题都是按照这六步进行解答，以上六步中，第三步是关键，学习重点为前三步，这是列方程或方程组解应用题成败的关键，当然后三步也不可忽视。
解应用题的前三步是密切相关的，往往是紧密相扣，相互交织在一起的，在教学时应注意以下几点：
（1）首先要引导学生认真审题，分清应用题目中哪些是已知量，哪些是未知量，分清已知量与未知量之间有怎样的关系，这些关系是直接给出的还是间接给出的。对于条件比较多，关系又较复杂的应用题，为了思路清晰可以采用列表或画图的方式，仔细分析、加深理解题意。
（2）其次特别注意和重视“用未知数表示代数式”这一环节的教学，一道应用题中一个问题往往含有多个量，当选择某一个未知量为设的未知数后，依据应用题中题意这个未知数与其他量之间的关系，用含有设的未知数表示出这些相关的量，这一步是分析问题，也是不可忽视的，切不可设完未知数就立即进入列方程的工作。
（3）再次要引导学生分析清楚一些常见的基本数量关系式，并熟悉个数量关系式的变形，这对解决常见的应用问题有很大的帮助。
（4）最后要寻找应用题中的等量关系，这是整个列方程的关键所在，也是学生最薄弱的一环。一般是按应用题中“等量关系语”进行考虑和列方程，通常可以称之为“关键词语”，比如应用题中的“比……多”，“比……少”，“是……倍”等；或者按一些基本公式，如浓度问题、行程问题、工程问题、盈亏问题等考虑，就可以直接利用公式计算，如盐水的浓度=×100%，顺水中的速度=静水中速度+水流的速度。要教学生学会这些基本公式的变形运用，同时也要充分发掘隐藏的等量关系，掌握了这些问题也就迎刃而解了。
总之，列方程解应用题问题只要找出数量间的相等关系，再列式就可以了，但等量关系式变化很多，因此方法较多，从不同的角度找出不同的数量关系式，可以列出不同的方程，主要是让学生真正认识到用方程解题的优势，选择适合自己的一种方法就可以了，并且要养成良好的检验习惯，使学生真正夯实基础知识，善于构建学习模型，注重探究性学习，领悟数学思想方法，真正实现知识向能力的过渡。
关键词： 初一代数教学 列方程 解应用题 解题策略
在初一代数教学中，列方程解应用题是代数教学联系实际的重要课题。它对于培养学生分析问题、解决问题的能力，及逻辑思维能力具有重要的意义，因此它是初一代数教学的重点，由于学生第一次接触用代数法来处理实际问题，因此它又是一个难点。这主要表现在以下几点。
1.受小学算术法思维定势的影响，不习惯于用代数法来分析和处理问题，且分析能力较弱。
2.不知道怎样寻找相等关系，或者有时虽然找到了相等关系，但仍列不出方程。
3.在一个问题里含有两个或两个以上未知数时，不知道该怎样选择一个未知数来设元，审题、分析能力较差。
为了突破上述难点，在实际教学中，我们要不断探索，改革教学方法，把数学教育与素质教育有机结合起来，挖掘学生的潜力，激发学生学习的积极性和兴趣性。我在教学中作了如下安排。
一、通过对比让学生认识到代数法的优越性
初学列方程解应用题时，学生对应用题仍习惯于用算术法，而对用代数法来分析和解决应用题感觉很不适应。因此在实际教学中，我首先通过选择典型的例题分别用算术法和代数法解答，然后指出两种方法的特点，并让学生进行比较，在对比中让学生自己认识到代数法的优越性。
例如：甲乙两列火车从相距350千米的两地同时出发相向而行，甲列车每小时行30千米，乙列车每小时行40千米，问几小时后两列火车相遇?
用算术法解：
①求出两列火车的速度和为每小时（30+40）千米；
②再求出两列火车一共行驶的路程350千米；
⑧根据公式求出火车行驶的时间为350／（30+40）=5（小时）。
用代数法解，按列方程解应用题的一般步骤讲解：
（1）仔细审题，理解题意，找出相等关系。
两列火车出发时的距离及它们的速度，用字母X表示两火车相遇时所用的时间。
（2）正确找出能表示题目的相等关系：甲火车行驶的路程+乙火车行驶的路程=两火车出发时的距离。
（3）根据相等关系，列出必要的代数式：甲火车行驶的路程为30X千米，乙火车行驶的路程为40X千米，即列出方程30X+40X=350。
（4）解这个方程：X=5。
（5）写出答案（略）。
事实上，（1）与（2）式是相同的，但（1）式是从要求的数值反推回去，是由因导果的综合法，它要求找出一个能用四则运算符号把已知数联系起来的综合运算式子，这样难于思考，而且一次性地计算出问题的结果来，学生也难以做到。而（2）式是利用未知数X，将有关的量用含未知数的代数式表示出来，然后依题意列出方程，最后将未知数求出来，这是执果索因的分析法，便于思考，易于列式，且将列方程与解方程分开进行，可以分散难点，化难为易，从而体现出代数法的优越性，促使学生迅速适应并掌握代数法，顺利地实现从算术法到代数法的飞跃。
二、教会学生寻找出相等关系的方法
仔细分析一个列方程解应用题的一般步骤可以发现，列方程中最关键的是怎样在题目中正确“找出相等关系”来。相等关系有两类：一类是题目中给出的条件等量关系，这类关系对应问题中的主要量在一般情况下是变化的，属于“动态”问题，另一类表示各种量之间内存规律固有的等量关系。这类关系对应的问题中主要量在一般情况下处于稳定状态，属于“静态”问题。因此，寻找相等关系的一般方法有如下两种。
1.对于“动态”问题中的相等关系，可在发生变化的事物中找，对于发生量变的事物，可以从“量”的方面来找，也可以从“质”的方面来找。如应用题中的和、差、倍、分问题，等积变形问题，追及问题，相遇问题，货物调配问题,等等,都可以从量的方面按发展的顺序找到相等关系。
例如：有含盐15％的盐水20千克，要使盐水含盐10％，要加水多少千克?
分析：这是一个溶液稀释问题。在这个题目中，由于原来的盐水中只加入了水，没有加盐，因此盐水所含盐的重量在加水前后是没有变化的，这就是说该应用题中含有下面的一个相等关系：加水前含盐重量=加水后含盐重量。
2.对于“静态”问题中的相等关系，可在事物之间的内在联系中找到相等关系，因为处在“静态”问题中的几个事物之间，必然存在着一种数量上的联系，我们要根据这种数量上的联系找到相等关系。
例如：一个两位数，十位数上的数比个位上的数小1，十位与个位上的数的和是这个两位数的1／5，求这个两位数。
分析：这道题中含有这样的一个相等关系：十位上的数+个位上的数=（1／5）×两位数。
三、使学生掌握解应用题常用的分析方法
1.代数式法。在正确分析题意的基础上，将题目中的数量关系，各数量之间的关系，用代数式依次表示出来，再根据各代数式之间的内存联系，找到相连关系，列出方程。此法常用于工程问题、比例调配问题、数字问题等。
2.示意图法。对于一些较直观的问题，可将题目中的条件之间的关系，用简单明了的示意图表示出来，然后根据图示中有关的数量的内存联系，找到相等关系，列出方程。
3.表格法。将题目中的有关数量及其关系填在事先设计的一个表格内。然后再根据表格逐层分析，找到各量之间的内存联系。从而找到相等关系，列出方程。
对以上三种常用的分析方法。在教学时，要通过具体题目教给学生具体的分析方法。通过训练，要求学生能对具体问题作具体的分析，并能灵活运用，不要死记硬背。
四、通过典型例题，引导学生逐步掌握设未知数的技巧
设未知数是列方程解应用题的第一步，也是至关重要的一步。在一个题目中，如果含有多个未知数而又只允许设一个未知数时，到底选哪个未知数来设元，初学者往往难以掌握，教师应利用一些典型例题教会学生设元的方法。一般来讲，设未知数有以下两种方法。
1.直接设元法。即在题目里问什么，就设什么为未知数。这样设元后，只要能求出所列方程的解，就可以直接得题目所求。在多数情况下，都可以采用直接设元法来设元。
2.间接设元法。有些问题中，若采用直接设元法，则不易列出方程。这里可考虑采取间接设元法，即通过间接的桥梁作用，来达到求解的目的。例如，按比例分配问题，和、差、倍、分问题，整数的组成问题，等等，均可用间接设元法来解元。
直埠五小：黄月罗
课堂教学是新课程试验的主渠道，开展有效的教学活动，推进学生学习方式的根本变革，是每个教师必须重视的。新理念的贯彻落实是一个新旧观念激烈碰撞的过程，本人试图从《简易方程》这一单元的学习谈点体会，通过列方程解复合应用题当中获得实惠。
《简易方程》单元中例5至例8是列方程解复合应用题的四道例题。这几道例题就解题步骤来说都是两步或两步以上的；就思维方向来说都是逆向思考的；就数量关系来说都是比较复杂而隐蔽的。为了让学生从整体上掌握列方程解复合应用题的方法，构建列方程解应用题的良好认知结构，本人认为应当着重让学生通过以下三个方面来学习。
一、加强基本训练。
1、根据数量间的关系让学生先讨论列出表示未知数的代数式，使学生会用代数式正确反映复合数量关系。
如：甲数为a，乙数比甲数的3倍还多8，乙数是（
）。又如“工厂要生产5000个零件，甲车间每天加工m个，乙车间每天加工n个，两个车间同时工作（
）天可以完成这批零件，两个车间同时工作2天后，还剩（
）个零件没有做”。
2、要学生根据实际问题的数量关系，沟通已知数与未知数的内在联系，列出代数式。
如“一匹布长34米，用这匹布裁剪了15件同一规格的衣服还剩1米布，平均每件衣服用布x米”。要求学生根据下列问题列出相应的代数式：a.做15件衣服用的布？b.剩下多少米布？
以上两项训练也可以反过来进行，即根据代数式让学生说出数量关系或所表示的数量。如“两个城市之间的公路长256千米，甲乙两辆汽车同时从两城出发，相向而行，4小时后相遇，甲车每小时行31千米，乙车每小时行x千米。”要求学生说出4x表示什么，（31＋x）表示什么，（31×4＋4x）表示什么，（256－4x）表示什么，（256÷4－x）表示什么，256÷（31+x）表示什么。
3、根据实际问题中的某些句子写出或补充数量关系式，帮助学生把列方程解复合应用题的思考重点引向寻找主要数量关系方面。
如：“六年级学生植树的棵数比五年级的2倍少15棵”，要求学生说出以五年级学生植树棵数作为标准，即1倍数，其关系式就是五年级学生植树的棵数×2－15＝六年级学生植的棵数。又如“甲乙两个铺路队共同铺设一条长117千米的路”，要求学生填写完整下面的关系式=117, 117＝（里填所表示的数量，里填运算符号）
二、注意思考方法
从算术法解应用题过渡到方程解是思考方法上的一次转折和飞跃。学生在列出含有未知数的等式过程中，要把未知数和已知数一样看待。这样寻找题中的等量关系就成了列方程解应用题的关键。而复合应用题数量关系较复杂，在多个相关的基本数量关系中必有一个是主要的，那么寻找题中的主要数量关系也就是列方程解复合应用题的关键。另外列方程解应用题又是以算术解法作为基础的，同样需要对数量关系的分析与综合。因此，例5至例8的教学基本点应是：围绕主要数量关系着力引导学生掌握列方程解复合应用题的思考方法。
从整体出发，引导学生先确定题中的主要等量关系。帮助学生掌握分析法列方程的思考方法，运用分析的思考方法列方程一般是在主要数量关系比较明显时采用如例5。
从部分入手，引导学生先根据未知数与已知数，已知数与已知数的直接关系，用代数式或算式表示新的数量，然后找出主要等量关系，把代数式或算式组合为方程，帮助学生掌握综合法列方程的思考方法。
运用综合的思考方法列方程一般可在主要等量关系比较隐蔽时采用。有时可借助图解如线段图，框图，表格图等方法，直观形象地反映数量关系，便于学生寻找主要等量关系。
三、注意一题多解
这四道例题中有两道出现了“想一想”的要求，这就要求我们在学习中应当注意训练学生从不同角度去寻找等量关系，开拓学生地解题思路，引导学生运用不同的方法解答一道题，是用方程解容易还是算术法解容易，掌握两种不同思路，发展学生的思维能力，力求解题时省时。
1、变换主要等量关系式获得不同的方程思路，如例5，当学生得出一种解法后就可引导学生把主要等量变换为①3只热水瓶的钱＋找回的钱＝付出的钱，②付出的钱－找回的钱＝3把热水瓶的钱，由此列出不同方程3x＋29.2＝100和100-29.2＝3x
初一学生的特点是思维活跃、肤浅，思考问题尚欠深刻，综合性较差。而列方程解应用题在“审”“设”“找”“列”“检”“答”的环节须经历抽象、建模等深刻思考才能顺利解题，因此，历来是教学的一个难点。新教材为了分散难点已作了充分的准备。比如，在小学编进了《简易方程》，让学生对列方程解应用题在思维和解法上积累经验；在初一第三章学习了列代数式，让学生能从探索具体问题中的数量关系和变化规律中，掌握用代数式进行表达的方法；新教材还在“认识一元一次方程”中举了大量与生活密切相关的应用题，设出未知数，让学生列出方程。这些举措从心理上有效减轻了学生学习应用题的恐惧心理，也从思想方法上积累了大量解题经验。但是，初中应用题加大了题目的复杂程度，学生在解题上存在如下问题：1.找不出隐含的等量关系。2.不懂灵活地设未知数。3.不懂如何使用等量关系。因此，列方程解应用题依然是教学的难点。费赖登塔尔德提出了再创造理论：数学课堂教学主要是运用问题的解决来启迪、培养和优化学生的思维品质，教师的任务是通过问题的设计为学生的发现和创造提供自由广阔的天地，进一步引导学生探索，自行挖掘其中蕴含的值得深思的问题。因此，我的教学策略是设计恰当的问题，在问题的思考和解决中以突破以上三个问题为抓手，立足于学生思维能力的培训，引导学生思考知识间的内在联系，注重分析过程的思路开拓与规律的揭示，从而感悟数学思想和方法，培养学生分析问题和解决问题的能力。
一、在问题情境思考中寻找等量关系的策略
引导学生思考知识之间的内在联系：方程是含有未知数的等式，有等式必须要有等量关系。因此列方程解应用题必须要学会找等量关系。如何寻找呢？下面通过例题的示范和回放已学过的例子来归纳总结寻找等量关系的策略。
例题示范（教科书中的例题）：某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱（如图1），现对该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m，那么在容积不变的前提下，水箱的高度由原先的4m变为多少米？引导学生思考探索得出：变化前后的不变量就是等量关系――旧水箱的容积=新水箱的容积。根据班级学生的实际情况，对教材进行再创造，丰富学生的数学活动经验，提高思维水平。
链接练习：铜仁市对区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等，如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完，问原有树苗多少棵？
引导学生分析思考：两种假设中道路的长度总是不变的。因此，可设原有树苗x棵，根据两种不同栽树方法的道路长度一样，列方程5（x+21-1）=6（x-1）。通过例题示范和练习的链接让学生明白等量关系的一种找法：变化前后不变的量就是一个等量关系。
下面通过课件回放第一节认识“一元一次方程”的五个引例，引导学生归纳出等量关系的另外两种找法。
题目中有明显的数量关系就是等量关系。回放第三个引例：甲、乙两地相距22km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多走1km，因此提前12min到达乙地。张叔叔原计划每小时走多少千米？引导学生分析思考：题目中明显的数量有“多”“提前”，因此本题等量关系有两个：①实际每小时行走的路程=原计划每小时行走的路程+1km；②实际行走时间=原计划行走时间-12min。引导学生关注题中“和”“差”“倍”“分”等表示数量关系的词语，如“一共”“多”“少”“快”“慢”“提前”“超过”“剩余”“增产”“降低”“上升”等，指出：数量关系的落实在数学运算上具有相对性。注意辨析：“几年后”与“第几年”，“翻一番”与“翻两番”， “是几倍”与“增加几倍”“增加到几倍”“增加百分之几”“增加几分之几”，“除”与“除以”等细节上的表达，要咬文嚼字，分辨清楚，注意细节。
3.挖掘问题中出现的公式，公式本身就隐含着等量关系。回放第五个引例：某长方形操场的面积是5850m2，长和宽之差为25m，这个操场的长与宽分别是多少米？引导学生观察、分析和思考：题中有一个明显的数量关系“差”，有一个公式“长方形的面积”。因此，本题有两个等量关系：①长方形的面积=长×宽；②长方形的长-长方形的宽=25m。通过以往问题的经验归纳和回放引例示范，让学生发现不同类型的应用题中都隐含有不同的公式，如行程问题：路程=速度×时间；工程问题：工作量=工作效率×工作时间；利润问题：利润率=利润÷进价，利润=售价-进价；价钱问题：总价=数量×单价；等等。
二、在解决问题的过程中引出三种设未知数的方法
引导学生思考知识之间的内在联系，方程是含有未知数的等式，因此列方程解应用题必须设未知数，未知数怎样设呢？有几种设法？下面通过例子的讲解感悟未知数的三种设法。
第一种：直接设元法。题目求什么，就直接设什么，然后寻找一个能体现题目主要意思的等量关系，列一个方程即可。这种方法应用最广，学生最爱用，也用得最好，这部分不讲，让学生自主探究，把学习的主动权还给学生。
第二种：间接设元法。有的题目用直接设元法根本无法求出，转而用间接设元法。
例题示范：在我们的身边有些股民，在每一次的股票交易中都可能盈利或亏损，某股民将甲、乙两种股票卖出，甲种股票卖出1500元，盈利20%；乙种股票卖出1600元，但亏损20%，该股民在这次交易中是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？引导启发学生思考：盈利还是亏损都是相对原价而言的，必须知道原来甲、乙两种股票的进价是多少，因此，用间接设元法，设甲种股票进价为x元，乙种股票进价为y元，则根据利润公式：利润率=利润/进价，得到（1500-x）/x=20%，解得x=1250元；（y-1600）/y=20%，解得y=2000。因为1500+1600-（2000+1250）=-150，所以亏损150元。
第三种：设辅助元。有的题目出现未知量，这个未知量我们不需要知道，但与题意关系密切，为了顺利解出问题，这时设一个辅助未知数起桥梁作用。
例题示范：某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况下提价100%，物价部门查处后，限定其提价的幅度只能是原价的10%，则该药品现在降价的幅度是多少？引导学生思考：本题有一个明显的等量关系：药品提价的幅度是原价的10%，可用直接设元法，设降价的幅度为x，本题中原价是多少不知道，也不需要知道，但与题目密切相关，为了顺利列出方程，设原价为a元，这个a就是一个辅助未知数，起个桥梁作用，得（1+100%）a（1-x）=（1+10%）?a。因为a≠0，所以两边同除以a，得2（1-x）=1.1x，解得x=0.65。
通过以上问题的解决，学生在积极思考探索中，积累了活动经验，能根据题目灵活地设未知数，掌握设元的技巧，为顺利解决问题跨出了重要的一步。
三、通过一题多解或借助表格、线段图等形象表征法来领会等量关系的使用情况和注意事项
在北师大2013年6月第二版数学教学用书第225页有一句话“本课时的情况问题与前面的问题相比，数量关系要相对复杂一些，它包含两个等量关系”，这句话不对，在前面例子中只要是求两个问题，题中一定存在两个等量关系，只是列一元一次方程解应用题时，另一个等量关系用于列未知量，一个等量关系用于列方程。示范例子（教学用书第217页例子）：用一根长为10m的铁丝围成一个长方形，使得该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各为多少米？引导学生思考：本题有两个等量关系：①明显的数量关系，即长方形的长比宽多1.4m，所以等量关系为长方形的长=长方形的宽+1.4m；②题目中隐含着长方形的周长是10m，根据长方形的周长方式得等量关系为长方形的周长=2（长方形的长+长方形的宽）。可用直接设元法，设长方形的长为x米，解法1：用第①个等量关系列未知量，长方形的宽等于长方形的长-1.4m，即长方形的宽为（x-1.4）m；用第②个等量关系列方程，得2[x+（x+1.4）]=10，解得x=3.2，则x-1.4=1.8，得出答案。解法2：用第②个等量关系列未知量，长方形的宽等于长方形的周长除以2-长方形的长，即（5-x）m；用第①种等量关系列方程，得x=5-x+1.4，解x=3.2，则5-x=1.8，得出答案。引导学生明析：方法和过程不一样，结果一样，当然这当中有个最优化方案的解法，因题而异。
另注意：在应用题中，使用变化前后不变量作为等量关系时，完全是具体量或待定要求设元的量都不作为等量关系使用。示范例子：已知某铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过桥共用了1min，整列火车都在桥上的时间为40s，求火车的车长是多少米。点拨学生可以借助线段图或表格形象表征法来分析思考：①行程问题可以借助线段图直观形象地帮助理解题意（如图2） ；②在已知量和未知量关系较模糊时可以列表格梳理思路；③引导学生找等量关系。本题是行程问题，根据路程公式本身隐含着一个等量关系：路程=速度×时间①。但题目中除了求车长一个问题外，相关的速度也是未知量，因此，还需一个等量关系。时间是完全具体量，若车长是待定要求设元的量（即用直接设元法），路程又不一样，那就从速度方面找等量关系。根据两种情况不变的是速度，因此还有一个等量关系：第一种情况的火车速度=第二种情况的火车的速度②。用直接设元法，设火车的车长为x米，根据等量关系①列未知量，列表：
路程（米） 速度（米/秒） 时间（秒）
第一种情况 1000+x （100+x）/60 60
第二种情况 1000-x （100-x）/40 40
根据等量关系②列方程得（1000+x）/60=（1000-x）/40，解得x=200。
变式：题目已知条件不变，结果改为求火车的速度。引导学生通过类比思考分析：题目中除了求火车的速度外，相关的车长也是未知量，因此除了等量关系①还需一个等量关系。时间是完全具体量，若火车的速度是待定要求设元的量（即用直接设元法），路程又不一样，那就从车长方面找等量关系。根据两种情况不变的是火车的车长，因此，另一个等量关系是：第一种情况火车的车长=第二种情况火车的车长③。用直接设元法，设火车的速度为y米/秒，根据等量关系①列未知量，列表：
路程（米） 速度（米/秒） 时间（秒）
第一种情况 60y y 60
第二种情况 40y y 40
根据等量关系③列方程，得60y-1000=1000-40y，解得y=20。
一、低年级做好铺垫，打破算术思维定势
从学习具体的、确定的算术数，到学习用抽象的字母表示数；从列算式到列方程；从应用题的算术解法到方程解法，每一步都有转折，都要有过渡。所以在低年级要提前做好铺垫，以转折为契机，使学生在认识上与方法上都能上升一个等次。教师只要细心研读教材，就会发现在低年级教材中已经大量渗透代数思想。比如求未知加减乘除这样类型的题目：有7个橡皮，再放几个，就有11个？在允许学生充分表达自己的想法后，引导学生列出这样的等式：7+？=11。教师借助实物或图片把11个橡皮分成7个与4个，等式就变成：7+？=7+4。教师一定要充分利用了教材中的有效例子，为学生创造“倒着想”的机会，让“=”在学生的头脑中变成“双向”的，这样潜移默化地就把代数思想和算术思维有机地结合在一起，学生思考问题的方式从单一走向多元，打破了传统的单一计算的思维格局。
二、中年级重视指导，培养实际解题能力
1.培养学生构建代数式的能力
根据提供的已知条件，学生能够正确迅速列出代数式，这是列方程解应用题的基础。小学数学教师可以尝试以数学语言为中介对学生进行强化训练，把日常语言转化为代数式，强化构建代数式的能力。比如：“男生比女生的2倍少12人”，先转化为数学语言“比某数的2倍少12”，再转化为代数式，“2x-12”。这样2次转化的实际意义就是学生理解每个代数式都有其实际意义，这样就能够解决了设哪个未知量为X的难题，同时也培养了学生把实际问题抽象为数学问题的能力。
2.培养学生寻找等量关系的能力
分析数量关系是列方程解应用题的关键。因此在教学中着力培养学生寻找等量关系的能力是列方程解应用题教学的重点。比如较为常见的是利用线段图寻找等量关系。通过找线段图，能够比较形象地画出和理清题目中的等量关系。比如：
小王和小张相约到公园，两人以不同的方式出发，经过45分钟相遇。已知两人相距10千米，小王乘坐的公交车每小时行30千米，小张开电瓶车每小时行多少千米？解这样的题目首先要设小张开电瓶车每小时行X千米。通过分析，不难看出多种等量关系，引导学生画线段图，列方程所必须的条件很快呈现在学生面内，学生的视觉也参与了解题过程，最大的好处就是避免了失误。看了线段图后，学生很容易从6个等量关系中找出“公交车的路程+电瓶车的路程=总路程”这一等量关系，并列出相应的“0.75×30+0.75X=10”方程。这个例子也充分证明线段图在列方程解决问题中的实际效用，当然还有其他的方法，目的也就是使得抽象的问题能够更加具体。
3.训练学生列方程和解方程的能力
列方程解应用题常见的有综合法和分析法两种方法，都要和等量关系紧密结合。综合法列方程是常见的列方程的方法，首先假设题目中某一未知数为x，根据这个数与题目中其他的已知数、未知数的关系，列出相应的代数式，然后再找出等量关系，最后就可以列出方程，也就是用“=”连接有这个等量关系的代数式。分析法列方程首先要求学生能够找出题目中最明显的两个等量关系，然后再分析这两个量分别与其他已知数、未知数的关系，再进一步推导出最后一个未知数关系，即假设此未知数为x，带进上式的关系中，就能够得到两个相等的代数式，方程也能够列出。因此，找准等量关系在列方程解应用题中有着非常重要的作用。在实际解方程时，要引导学生充分利用等式的性质，这样就能够提高解方程的正确率。学生一旦掌握了列方程和解方程的方法，自然也就消除做这类题目的障碍，做题目的成功，也能够激发学生学习数学的兴趣。
三、高年级对比强化，感受方程解题的优越性
列方程解应用题能够促进学生的思维发展。在实际教学中，要学生在解题的过程中体会到对自身发展的优越性。在高年级阶段，运用对比、强化训练，能够有效解决这一类题目。对比强化训练有题组的对比，比如男生有20人，女生是男生的几倍，多几人，少几人，求女生的人数。有算术解法和方程解法的对比，比如一个三角形的高是6米，面积是15平方米，底是多少米？算术解法：15×2÷6；方程解法：6X÷2=15。方程是顺向思维。还有列不同方程解题的对比，根据已知条件，可以列出不同的方程，让学生比较其中的解法。通过这样的对比强化学习，学生能够有效掌握了方程的相关题型，知道了方程的思维方式，体验了方程的多样化，拓宽了思维的深度与广度。
列方程解含有两个未知数的应用题，人教版九年义务教育五年制第八册33页例6。
列方程解应用题是在第八册学习列出含有未知数的等式解一步计算应用题的基础上进行教学的。例6的内容，在算术中称为"和倍"和"差倍"问题，由于是逆向思考题，解法特殊，不易掌握，现在用方程来解，不仅思路较简单，而且这两类问题的思路统一，解法一致，既可减轻学生负担又提高了解应用题的能力，是今后小学学习分数等应用题的基础，也是今后到中学继续学习代数方程解应用题所必须具备的知识，必须重视这部分内容的教学。
本节课的教学目标是使学生初步掌握含有两个未知数的应用题的解题思路和方法，会解含有两个未知数的应用题；会用把两个未知数的值代入已知条件看是否符合的方法进行验算；在教学解题思路的同时培养学生初步的分析、综合、比较的能力；在解题过程中进一步培养初步的类推和迁移的能力及养成独立思考的良好习惯。
本节课的重点是正确设未知数和列出方程，关键要找出等量关系，列方程也是教学的难点。创设情境，蔡利琦同学和周旭同学两个人互相询问对方的的钱数并说出两个人之间的倍数关系，来猜测两个人各有多少钱？
由于小学生仍处在从形象思维向抽象思维过渡的关键时刻，所以要考虑怎样做好这个过渡，在教学中采用画线段图帮助分析数量关系。线段图能使数量关系明显地呈现出来，有助于帮助学生用算术方法解这道题，还有利于设未知数，找等量关系和列出方程。
之后引导学生想不同的解题思路，列出不同的方程，就是教学生如何从不同角度思考问题的方法。这些方法对今后继续学习数学是十分必要的。
之后进行检验。虽不要求写在本子上或卷子上，但这是不可忽视的重要步骤，长期要求下去，就可使学生养成良好的检验习惯，增强责任心和自信心，那种做完题不知对错的做法是后患无穷的。首先从方程的角度来检验，然后再让这两个同学把钱拿出来让大家看一下，果真，结果正如我们预料，同学们感到非常有趣，而且兴奋异常，获得了成功的喜悦。
再想一想，还可以怎样叙述两个人的关系呢？有的同学说，我们还可以告诉大家蔡利琦是周旭的5倍，比周旭多8元钱，那么该怎样解答呢？
同学们积极思考，想出了好多的解题方法，并进行比较概括找出自己喜欢的解法。达到了很好的教学效果。然后进行适时的练习，达到巩固教学效果的目的。
本堂课，在对学生的及时评价反馈上，和环节的处理上还有待于进一步的加强，也恳请领导和各位老师能够帮助我，使我能够在今后的教学中，逐渐加强，能够熟练的驾御课堂。
一、题目中含有一个等量关系的方程，能够通过认真读题，分析题目，并根据题意找出等量关系，设未知数，列方程求解
1.一元一次方程问题
例1：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本，如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？
分析：班级学生数是未知数，为了便于表示数量关系，我们先设这个班有x名学生，根据题意：每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，这批书共（3x+20）本；每人分4本，需要4x本，减去缺的25本，这批书共（4x－25）本；这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相等。根据这一相等关系列方程：3x+20=4x－25
2.分式方程问题
例2：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/小时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速为V千米/小时，逆流航行的速度为（20－V）千米/小时，顺流航行的速度为（20+V）千米/小时，根据“两次航行所用的时间相等”这一等量关系，可以列方程：
■=■
二、在学习中，有时还会遇到方程中有两个等量关系式。对于这类问题，学生要恰当选择等量关系，设未知数，列方程
1.一元一次方程问题
例3：把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元，获得一等奖学金的学生有多少？
分析：根据题目，我们可以找到两个等量关系，一等奖学金学生数+二等奖学金学生数=获得奖学金总人数……①一等奖学金总金额+二等奖学金总金额=奖学金总金额……②。这样，我们在解这类方程式时，就会有两种不同方法。
解法1：设获一等奖学金学生数为x人，则获二等奖学金学生数为（22－x）人，根据题意得：200x＋50（22－x）=1400
解法2：设一等奖学金总金额为x元，则二等奖学金总金额为（1400－x）元,根据题意得：■+■=22
2.分式方程问题
例4：八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑自行车学生速度的2倍，求骑车学生的速度？
分析：汽车的速度=自行车学生速度的2倍……①
骑自行车所用时间－■=乘汽车所用时间……②
解法1：设骑自行车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为2x千米/小时
根据题意得：■-■=■
解法2：设骑自行车所用时间为x小时，则乘汽车所用时间为（x-■)小时
根据题意得：■=■×2
3.一元二次方程问题
例5：把100cm长的铁丝折成一面积为525cm2的长方形，则长方形的长为多少cm？宽为多少cm？
解法1：设长方形的长为xcm，则宽为（50－x）cm,根据题意得：x×（50－x）=525
解法2：设长方形的长为xcm，则宽为■cm,根据题意得：（x＋■）=100
三、解应用题的过程中，出现多个等量关系式的解答方法
例6：甲、乙、丙三人共节约用电990度，已知甲、乙二人节约用电度数之比为2∶3，而乙、丙二人节约用电度数之比为1∶3，求甲、乙、丙各节约用电多少度？
分析：通过读题，我们可以发现题目中的等量关系,甲节约用电度数∶乙节约用电度数＝2∶3……①；乙节约用电度数∶丙节约用电度数＝1∶3……②；甲节约用电度数＋乙节约用电度数＋丙节约用电度数＝节约总度数（990）……③。
解法1：利用①②两个等量关系设未知数，等量关系③来列方程,设甲节约用电x度，则乙节约用电■x度，丙节约用电■x度,根据题意得：x＋■x＋■x＝990
解法2：利用①③两个等量关系设未知数，等量关系②来列方程,设甲节约用电x度，则乙节约用电■x度，丙节约用电（990－x－■x）度,根据题意得：■=■
【关键词】解方程；平抛运动；应用
一、引言
抛出物体时，若初速度是一定的，且物体只受重力因素的影响，则此时该物体所处的运动属于平抛运动。在理解平抛运动时，可将其理解为处于水平方向上的匀速运动和处于竖直方向上的自由落体运动。在平抛运动中，物体除了受到重力影响外，还会受到其他合外力的影响，这些影响因素统称为恒力，因此也可以将平抛运动看做是匀变速曲线运动。根据平抛运动概念和特点可知，处于平抛运动中的物体以抛物线的形式展现出来，物体运动时间和其高度有着密切关系，而物体落地时的水平位移则主要受运动时间、初速度等因素的影响。但不管物体平抛运动时间多久、水平位移多长，其方向一定不是竖直向下，而是斜向下。
在高中阶段平抛运动是其他运动的学习基础，比如带点粒子在电场中的运动也利用了平抛运动的思想求解。平抛运动是高考中必考的知识点，为此本文对平抛运动进行了详细的分析。目前平抛运动计算多使用X轴Y轴上的分运动计算，本文将平抛运动与数学知识相结合分析平抛运动，为学生解题提供一种新的思路。
二、平抛运动应用
从位移公式中可以看出水平位移与时间是一次函数关系，竖直方向与时间成二次函数关系，为此用水平位移与初速度解出时间为：t=。将时间代入到竖直位移得到如下公式：y=g（）2。从该公式可以看出水平位移与竖直位移之间是二次函数关系，轨迹为抛物线。下面利用例题对解方程在平抛运动综合题中的应用进行具体说明。
例题：排球比赛过程中，排球运动属于平抛运动，如图1所示。设排球场长度为18米，球网高为2米，排球运动员在距离球网3米的位置处水平击球。求击球位置处于多高时排球会出界或触网（可将排球看作质点，g为10m/s2）。
解析：常规解法为：假设水平击球时其速度为，网高度为，击球高度为，满足这一条件时排球不仅触网，也压线。
由此，排球刚好触网时，H-h=gt12，X1=3=vt1
排球刚好出界时，H=gt22，X2=12=vt2
综上可得出H=m
此时可分为几种情况：
当H
当H
除了上述方法解答外，还可以利用二次函数进行求解。
根据题目结果，当排球既触网，又压线时，则需要满足如图2所示的坐标即A（3，2）、B（12，0）。根据图3可知这一坐标满足的抛物线方程为y=kx2+b，则2=9k+b，0=144k+b，得出k=-，b=m，由此可得出当H=m时，排球既触网，又压线。
此时可分为几种情况：
当H
当H
三、总结
高中物理和数学知识有着十分紧密的联系，很多物理问题都可以利用数学知识进行解决。平抛运动是生活中常见的一种运动形式，同时也是高中物理中的一个重要知识点和常见考点，因此掌握好跟平抛运动相关的题目很有必要。同时，在平抛运动中，最能体现出数学和物理的联系。通过平抛运动概念、特点可知，平抛运动时出现的运动轨迹和数学中的一元二次方程有着类似之处，因此在解决平抛运动相关题目时可运用数学中的解方程思想进行解决。本文在论证解方程在平抛运动中的应用时只举了一个例子，但这个例子很好的对数学思想在物理中的应用进行了论证。通过这个例子可以看出，在解决物理问题时，可以多从数学角度进行思考，运用多种方法进行求解，在解决物理问题的同时，也能对数学知识进行巩固。
【参考文献】
[1]顾春年，张志云.平抛运动的多解与临界问题[J].新高考：高一物理，2013（1）
一
思维受阻一
学生初解应用题未能从题目语言提供的信息进行分析思考，集中表现在“审题”这一环节上，其受阻现象是：1.不审题，未形成“遇题必审”的科学思考方法；2.审题简单化，不清楚审题的基本要求是什么。这样，思维无从发散，结果是审题不全面、不透彻，不能为列方程起到“铺垫”的作用。
排阻办法
强化审题的基本序列，严格坚持每一道例题、习题按照基本序列的要求进行思考。审题的基本序列是：
1.学生在解答应用题时，若不能用自己的语言表达推断，思维往往陷于困境，而当能用自己的语言表达题意时，问题的解决就从这里开始。
2.把题目中已知的未知数量，同类的、不同类的，变化的、不变化的数量一一归类。注意到许多量之间的关系，若用列表法归类，容易发现同类量之间的联系，不同对象之间相关量的联系。
3.寻找要“语”。思维在全部活动中，是以词语为中介的，因此，弄清每一词语的真实含义，是进行正确思维的必要条件。每道应用题所提供的名词、术语必须一一理解，重在领会其数学意义，找出关键性语言及它所赋予的数量关系，落实在施以什么运算上。要申明“要语”多数集中在“和、差、倍、分”上。如“一共”、“多”、“少”、“快”、“慢”、“提前”、“超过”、“剩余”、“增产”、“节约”、“降低”、“上升”等。要指明“要语”落实的数学运算是有相对性的。如“甲数比乙数少几”，以乙数为标准数，则甲数=乙数-几；若以甲数为标准数，则乙数=甲数+几。前者是差的关系，后者是和的关系，这是学生易忽视的地方。要辨明：一些“要语”表面相似而实义不同。如“数”与“数学”，“几年后”与“第几年”，“是几倍”与“增加几倍”、“增加到几倍”，“增加百分之几”与“增加几成”，“翻一番”与“翻两番”等，要咬文嚼字，分辨清楚。
4.联想“关系”。由关键语言提供的数量类型的信息，往基本类型的数量关系进行联想，从而沟通量与量之间的联系，这个联系就是列方程“铺垫”工作的核心。在初中阶段必须熟练掌握的基本数量关系有：路程+速度×时间，工作总量=工作效率×工作时间，质量=密度×体积，总价=单价×件数，溶质=溶液×浓度，几年后的产量=原产量×（1+平均增长率）n，数学定理，公式等。
二
思维受阻二
审题后需要的是从分散的数量关系进行汇集成等量关系，学生不能捕捉一切可组成等量关系的因素，不能挖掘题目中的“不变量”作为列代数式，方程的原始材料凝集成“要言等式”。
排阻办法
1.捕捉“关键词”、“不变量”、“等值量”作为凝成等量关系的桥梁。例如：相遇问题距离之和“是不变量”，锻压前后体积是“不变量”，正比例函数关系的比值是“不变量”，反比例函数关系的积是“不变量”等。
2.语言数学化。新课开始都可安排实际问题语言和数学语言之间互译的训练，例如：3x-2=1.5x，可译为“1.5x比3x少2”，或“3x比1.5x多2”，或“3x减去2的差是1.5x”，或“3x减去1.5x的差是2”，或“比3x少2的数是1.5x”，或“3x减去2剩下是1.5x”或“1.5x增加2就是3x”。
3.强化“以式表数”的正反两练，可安排与例题、习题有关的列代数式的练习。反过来，要让学生说出已列出的代数式所表示的具体意义是什么。抽象思维、逆向思维、也要渗透其中，以使学生不但习惯“以字母表数”，而且习惯以整体的“代数式表示数”。
这样的两个训练，可把有关词、词的意义、相应的符号汇集成一体，使学生列出方程。
三
思维受阻三
学生即使把各类量汇集成相等关系，不一定进而最后列出正确的方程来。
排阻方法
强化“等量”递进为“方程”的序列：
要强化这一入门式必须做好两个转折：由关键语言找出等量关系，把等量关系的语言等式转化为字母等式，组合为方程。举例如下：
例一：（七年级数学上册P79的问题）章前图中的汽车匀速行使途经王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米，王家庄到翠湖的路程有多远？
题中涉及的三种量间的关系是：速度= 。
等量关系：“匀速行驶”即在各段路程的行驶速度都相等。
语言等式：王家庄到青山这段路程的行驶速度=王家庄到秀水这段路程的行驶速度。
等式具体化：
=
再具体化：
=
设王家庄到翠湖的路程为x千米依题意得 =
例二：（七年级上册P108习题3.4第5题）已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个；7台B型机器一天的产品装11箱后还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品，求每箱装多少个产品？
题中涉及的“三种量”间的关系是：
每台1天产品个数= 。
等量关系：每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品。
语言等式：
等式具体化：
-
=1个产品
再具体化：
- =1
设未知数：每箱装有x个产品
列方程：依题意得： - =1
列方程解应用题思维受阻的原因正是小学算术法引起的。教学中要努力克服这种负迁移，要有一个培养训练的过程。指导学生先从一些简单的题目入手练习写“分析”。这种分析方法习惯形成后再进一步做一些较难的题目以强化之，让学生逐步品味这种分析的奥妙，引导学生用方程解应用题。
一、直接设元
例1夏季，为了节约空调用电，常采用调高设定温度和清洗设备两种方法.某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再清洗乙种空调的设备，使得乙种空调每天的节电量是只将温度调高1℃时节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度.求只将温度调高1℃，两种空调每天各节电多少度？
分析：本题有两个等量关系：只将温度调高1℃，甲种空调每天节电量－乙种空调每天节电量＝27度；将温度调高1℃，并清洗乙种空调的设备后，甲种空调每天节电量+乙种空调每天节电量＝405度.根据这两个等量关系式，采取直接设元的方法列二元一次方程组求解比较简单.
解：设只将温度调高1℃，甲种空调每天节电x度，乙种空调每天节电y度.
根据题意，得x-y=27，x+1.1y=405.
解方程组，得x=207，y=180.
即只将温度调高1℃，甲种空调每天节电207度，乙种空调每天节电180度.
二、间接设元
例2太极体育器材厂今年上缴国家利税4600万元，与去年同期相比增加了15%，其中上半年减少了25%，下半年增加了25%.问今年上半年和下半年各上缴国家利税多少万元？
分析：本题已知今年上缴的利税总额，以及和去年同期、上半年、下半年相比变化的百分数，根据这样的等量关系，可以采用间接设元的方法，分别将去年上半年和下半年上缴的利税额设为未知数列方程组，能更方便地解决问题.
解：设去年上半年上缴国家利税x万元，下半年上缴国家利税y万元.
根据题意，得（x+y）（1+15％）=4600，x（1-25％）+ y（1+25％）=4600.
解方程组，得x=800，y=3200.
则今年上半年上缴国家利税为
800×（1-25%）=600（万元），
今年下半年上缴国家利税为
3200×（1+25%）=4000（万元）.
三、直接设元与间接设元结合
例3某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40％后标价出售.春节期间该商场搞优惠促销活动，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售.某顾客购买甲、乙两种服装各一件，共付款182元.两种服装标价之和为210元.问这两种服装的进价和标价各是多少元？
分析：本题已知两种服装的进价和标价的关系，要求两种服装的进价和标价，共四个要求的量，因此可采取直接设元与间接设元相结合的方法，设两个要求的量为未知数，列方程组求解.另外，求解本题还要注意弄清楚打折、标价、进价、利润等商业术语的含义.
解：设甲种服装的标价为x元，则其进价为 元；乙种服装的标价为y元，则其进价为 元.
根据题意，得x+y=210，80％x+90％y=182.
解方程组，得x=70， y=140.
则甲种服装的进价为
=50（元），
乙种服装的进价为
=100（元）.
四、设辅助元
例4甲、乙两个公共汽车站相向发车，两车站发车的间隔时间相同，各车的速度也相同.一人在街上匀速行走，他发现每隔4分钟有一辆公交车迎面开来，每隔12分钟有一辆公交车从背后开来.求两车站发车的间隔时间.
分析：本题是行程问题，要求间隔时间，但与其相关的速度、路程等量都未知，所以需要增设辅助元，使数量关系易于表达，方便求解.
解：设两车站发车的间隔时间为t分钟，公交车的速度为x米/分，人步行的速度为y米/分，同一车站发出的相邻两车开出车站后相距m米.
根据题意，得4（x+y）=m，12（x-y）=m.
解关于x、y的方程组，得24x=4m.
即=6.
