时间：2022-02-21 18:05:21
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇数学难题，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
“按照他的理论，好像破了千古之谜”
近日，我随丰都县中学资深高中数学教师刘华一起，来到了丰都县高家镇文昌路柿子梯道12号“海峰”的住所。一位穿着旧解放鞋的老农倚在门口，他就是“海峰”――今年已经62岁的残疾农民李亚明。
李亚明的家是移民后的还建房，仍保持着“清水房”的样子。在他妻子的卧室里，有一台小彩电和一台崭新的电脑，也是他家里唯一值钱的东西。
“这些就是我毕生的心血。”李亚明从自己的卧室里抱出一个塑料口袋，小心翼翼地从里面掏出一摞上千页的材料。上面画着密密麻麻的几何图形，并配有大量演算过程的图示。随后，他从里面掏出一本名为《中国环球尺规学》的论文说：“我所有的结论就在这上面了。”
刘华看后解释称，李亚明研究的是“三等分角、立方倍积、化圆为方”这三大难题。据介绍，这是著名的古代几何作图难题，早在2400年前《几何原本》问世之前就提出了，至今仍无人能解。
“按照他的理论，好像是破解了这千古之谜。”刘老师沉思着说，“李亚明在破解的过程中，用了一套自己研发的‘工具’，然而这套‘工具’是否有价值，现在还不好说，需要专家进行相关论证。”
“稿纸装了11麻袋，占了大半间卧室”
回忆起自己为何痴迷数学研究，李亚明称，自己在初中刚接触几何学时，就听数学老师说起了《几何原本》中的三大难题，至今无人能解。那时年仅16岁的他就有了这个想法：要学好数学，将来一定要解开这个谜。
李亚明念完初中就不得不放弃学业，开始下乡。1975年，李亚明在生产队一边工作，一边找来高中数学教材自学。次年他与冉启兰结为了夫妻。全国恢复高考后，成绩优异的他却因是已婚身份导致无法上大学。无奈之下，李亚明找来大学数学教材，一边务农，一边自学。“研究这几个难题需要一套完整的数学体系，我必须自学大学数学。”李亚明称，由于当时没人教，周围没人懂，自己只能琢磨着自学，最终花了3年时间将大学数学全部学完。
由于贫穷，纸用完了没钱买，李亚明就拄着棍子到当地政府门口收旧报纸，用来当草稿纸。笔用完了，李亚明就跑到学校找学生施舍……镇政府里的人都以为他喜欢读报，没有要他的钱。而当地的学生则将他当成一个疯子，看他可怜就送一支铅笔给他。
冉启兰称，在移民搬家前，李亚明所用的稿纸装满了11个麻袋，几乎占据了他大半间卧室。
“研究数学就像吸毒一样，欲罢不能”
李亚明的第一个研究成果就是发明了“无穷极等分线段”和“无穷极等分弧段”。“这两个理论的研究成功，是我破解千年难题的关键。”李亚明眼里闪过一丝兴奋，他称，当时自己连续三天三夜没有睡觉，饿了吃口馒头，渴了喝口水。研究成功后，自己还央求妻子炒了一盘回锅肉来慰劳自己。
“我研究数学这件事，除了家人，没给任何人提起过。”李亚明表示，由于自己研究的数学跟通常学校里教的不同，周围的人都不懂，完全无法沟通。于是李亚明只能在家独自画图研究。
在李亚明的家里，找不到任何一本数学大家的著作。李亚明称，首先是没钱买，其次是几何上的三大难题由于千年来都无解，买书来看也没用。
35年的时间里，李亚明一直沉浸在自己的数学世界中。“研究数学就像是吸毒一样，每天都让我欲罢不能。”李亚明称，如果一个问题没有解决，自己就会整晚睡不着，喝醉酒、吃安眠药，都无济于事。在他的卧室看到，除了一张床和一盏昏暗的吊灯，只剩下几个泡菜坛子和几大麻袋焦炭。夏天，李亚明就趴在草席上彻夜画图，冬天就蜷缩在被子里进行研究。
现在，李亚明几乎每天都要研究数学到次日凌晨3点，然后早晨6点起床去地里除草，顺便放松头脑。午饭休息一阵后，又继续投入到数学研究中。
刘华对此表示，李亚明可亲自将其送往西南大学数学研究协会或者北京的中科院数学研究所，让专家们对其进行论证。
1、解方程：180-α-290-α= ( )1⨯180 ，则α3
2、用10%和5%的盐水合成8%的盐水10kg ，问10%和5%的盐水各需多少kg ？
3、已知5x +2k =3的解为正数，则k 的取值范围是
4、（2）若⎨⎧x -2a 〈1的解为x ＞3，则a 的取值范围
⎩2(x +1) 〉11-x
（3）若⎨⎧2x -a 〈1的解是-1＜x ＜1，则（a+1）（b-2）=
⎩x -2b 〉3
（4）若2x ＜a 的解集为x ＜2，则a=
（5）若⎨⎧2x -m ≤0有解，则m 的取值范围
⎩4x +16〉0
5、已知⎨⎧3x +2y =m +1，x ＞y ，则m 的取值范围 ； 2x +y =m -1⎩
6、已知上山的速度为600m/h，下上的速度为400m/h，则上下山的平均速度为？
7、已知4(x +y -3) +x -y =0，则，； 2
⎧3x +5y +3z =08、已知⎨（z ≠0），则x :z = ，y :z = ； 3x -5y -8z =0⎩
9、当m= 时，方程⎨⎧x +2y =6中x 、y 的值相等，此时x 、y 的值= 。
⎩2x -y =3m -10
10、已知点P(5a-7,-6a-2)在二、四象限的角平分线上，则a= 。
⎧x +2y =3m 1211、⎨的解是3x +2y =34的解，求m -。 m ⎩x -y =9m
12、若方程3m (x +1) +1=m (3-x ) -5x 的解是负数，则m 的取值范围是 。
13、船从A 点出发，向北偏西60°行进了200km 到B 点，再从B 点向南偏东20°方向走500km 到C 点，则∠ABC= 。
14、⎨⎧3x +5y =a +2的解x 和y 的和为0，则a= 。
⎩2x +3y =a
1
15、a 、b 互为相反数且均不为0，c 、d 互为倒数，则(a +b ) ⨯5+
a 、b 互为相反数且均不为0，则(a +b -1) ⨯(b 2-cd =。 a 3a +1) = 。 b
a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x =2，则10a +10b +cdx = 。
16、若m
m （填“＞” 、“＜”或“=” ） =1，则m 0。
4n 17、若m +5与(n -2)互为相反数，则m =
18、有23人在甲处劳动，17人在乙处劳动，现调20人去支援，使在甲处劳动的人数是在乙处劳动
的人数的2倍，应调往甲乙两处各多少人？
0019、 如图, 已知: 等腰Rt OAB 中, ∠AOB=90, 等腰Rt EOF 中, ∠EOF=90, 连结AE 、BF. 求证:
(1) AE=BF; (2) AEBF.
20、如图示，已知四边形ABCD 是正方形，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上一点，AF=1AB ， 2
已知ABE ≌ADF.
（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使ABE 变到ADF 的位置；（3分）
关键词：解题技能；联想；把握问题实质
每年中考数学题，一般都把试题分为容易题（基础题），中档题以及难题。近年中考数学题中，难题一般都占全卷总分的四分之一强，难题不突破学生是很难取得中考好成绩的。初中数学中考中的难题主要有以下几种：1，思维要求有一定深度或技巧性较强的题目。2，题意新或解题思路新的题目。3，探究性或开放性的数学题。
有些老师认为，对全班进行面上的复习只要复习到中等题就行，不必进行难题的复习，那些智力好的学生你不帮他们复习他们也会做，那些智力差的学生你教他们也白白浪费时间。其实，学生有一定的数学知识和基本的解题技能也不一定能解出难题，这是因为从数学基础知识出发到达中考的难题的答案，或者思维深度要求较高――学生思维深度不够，或者思路很新――学生从来没有接触过。但很多有经验的初三毕业班的老师的多年的实践证明，针对难题进行专题复习是很有必要的，只要复习得好，对中等以上学生解难题的能力的提高作用是较大的。对此，我们在第二阶段复习中要对学生针对难题进行思维能力的训练和思路拓宽的训练。当然，这种训练也要针对学生的“双基”情况和数学题型，这种训练要注意题目的选择，不只针对中考，也要针对学生思维的不足，一定量的训练是必要的，但要给出足够的时间给学生进行解题方法和思路的反思和总结，只有多反思总结，学生的解题能力才能提高。老师要注重引导，不能以自己的思路代替学生的思路，因为每个人解决问题的方法是不一定相同的。
对难题进行分类专题复习时，应该把重点放在对学生进行对数学难题跟基础知识的联系的把握能力的训练以及引导学生迅速正确分析出解题思路这一点上，并从中培养学生解题的直觉思维。应当先把难题进行分类。然后进行分类训练。
我认为可以将初中数学中考题的难题分以下几类进行专题复习：
第一类：与一到两个知识点联系紧密的难题
例1已知：O1与O2相交于A，B两点，若PM切O1于M，PN切O2于N，且PM>PN.试指出点P所在的范围。
教学引导：
（1）先画图，试判断，并尝试去证明。
（2）看看可能有几种情况。
（3）出示右图，要求学生指出点P的范围（点P在直线AB的O2的一侧，且在O2外），学生指出点P的范围后，要求学生证明。
（4）学生证明有困难时，作点拨：若点P在直线AB上时可以证得什么？（PM=PN），如何证明？
（用切割线定理：PM2=PA*PB，PN2=PA*PB，故，PM=PN）现在可以应用切割线定理来证明PM>PN吗？
（5）学生还不能证明时，作提示：
连结PB，交O1于点C，交O2于D，用切割线定理
（证明：PM2=PC*PB，PN2=PD*PB，因PC>PD，所以PC*PB>PD*PB，即PM2>PN2，所以PM>PN）
评议：本题关键是引导学生用切割线定理来证明，并且进行分类讨论。
第二类：综合多个知识点或需要一定解题技巧才能解的难题。
这类难题的教学关键要求学生运用分析和综合的方法，运用一些数学思想和方法，以及一定的解题技巧来解答。
例2在三角形ABC中，点I是内心，直线BI，CI交AC，AB于D，E.已知ID=IE.
求证：∠ABC=∠BCA，或∠A=60°。
教学点拨：本题要运用分析与综合的方法，从条件与结论两个方向去分析。 从条件分析，由ID=IE及I是内心，可以推出AID和AIE是两边一对角对应相等，有两种可能：AD=AE或AD≠AE。
例3某公司在甲，乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆。已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元。
（1）设从乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y的关于x的函数关系式；
（2）若要求总运费不超过900元。问共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
教学引导：
（1）先把题目的数量关系弄清楚。
引导学生把本题数量关系表格化：
（2）引导学生写出y与x的函数关系式后，运用函数的性质解答题目的后两问。
第三类：开放性，探索性数学难题。
无论是开放性还是探索性的数学难题，教学重点是教会学生把握问题的关键。
例4请写出一个图象只经过二，三，四象限的二次函数的解析式。
教学点拨：二次函数的图象只经过二，三，四象限，就是不能经过第一象限，即当x>0时，y0时y
第四类：新题型（近年全国各地中考题型）
例5电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”。现为了生产某种CPU芯片，需长，宽都是1cm的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为10.05cm.问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由。（不计切割损耗）
分析：本题解题的关键是①一排一排地放小正方形，②利用圆的内接矩形的对角线就是圆的直径的知识。
可能我们都有这样的经验：我们讲解难题的时候，学生都能理解，但让学生再做另外一些难题的时候，学生又做不出来。这是因为，我们只是把结果告诉学生，学生解题的思维方式没有得到训练。在难题的教学中，我们不能只把结论告诉学生，更重要的是要让学生知道解题的思维方式，我们不要急于把题目的解法告诉学生，应当引导学生自己去解题，在解题的过程中寻找解题思路以及训练思维能力和创新能力。
参考资料：
[1]《初中数学复习专辑》（《中学数学研究》2003年10月）。
[2]《广州市中考数学试题分析与测评》（广州市中学数学教研会编）。
一、建立模型，提取共性
专家刘振航在《数学模型》中提出数学建模就是从生活中各种杂乱无章的现象里抽象出一定的数学关系，组建成一个数学模型，也就是说，建立模型必须要在各种生活现象中抽取出共性来。教师在教学的过程中可以组织学生围绕各种生活现象和问题情境来抽象出一定共性，并尝试建立模型。
例如在指导学生掌握平行的几何概念的时候，教师就可以让学生先从生活中观察到的现象中抽象出平行的概念，让学生通过感知火车铁轨、双杠、五线谱等事物，在观察中感知平行的概念。但是只是单纯观察还无法让学生从中抽取共性，建立模型，教师还要给学生一些启发，让学生提高认知，将关注的焦点从单纯的两条直线上升到注意两条直线之间的距离。教师可以让学生尝试建立模型，并围绕模型思索一些问题，如两条直线在什么时候永远不会相交，尝试量一下两条平行线之间的距离，观察一下这些垂线之间有什么关系。同时再将问题回归到社会生活中，让学生思考，在生活中，铁轨是平行的，那么人们又是通过什么方法确保铁轨之间一定是平行的呢？在思考这些问题的过程中，学生所建立的数学模型会越来越清晰，他们可以从模型中提取共性，那就是当两条直线没有任何公共点的时候，它们是平行的，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
小学低年级学生接触的数学模型是类似线段图这样的直观模型，而高年级之后也会接触符号类的抽象数学模型，教师不仅要指导学生如何提取共性，建立模型，还要培养学生养成建模的习惯，深度地提高对数学模型的认知。
二、调整模型，尝试推理
学者史宁中认为数学发展过程中所依赖的本质有三个，那就是抽象、推理和模型。在指导学生运用建模思想解决数学问题的过程中，光光建立模型还是不够的，教师还要指导学生学会在推理的过程中调整模型，提高他们的合情推理能力。
在学习小数乘法的问题时，教师可以让学生尝试模拟超市购物的真实场景，在游戏活动的过程中逐渐建立数学模型，并在推理中调整数学模型。在活动的时候，学生可以根据讨论来设定每种商品的价格和购物的总价，然后设定参与购物活动的基本规则，然后便可以在设立模型的基础上尝试参与到这个活动中来。在进行活动的过程中，学生可能会发现自己事先设定的模型有问题，例如在设定购物的总价时出现了问题，总价太大，超过了全部商品价格的总和。教师要让学生在设立模型的过程中收集大量的信息，然后根据具体情况来删除一些无用的信息，并添加一些有用的信息，将数学模型进行合理调整，并尝试运用自己设立的数学模型来进行计算。这样的学习方式使得数学模型的设定外延得以扩大，也能让学生更好地感受到数学模型在生活中的实际用途，让学生养成实事求是的严肃态度，同时也对学生的创新精神有所促进。
教师可以培养学生养成观察事物的良好习惯，并尝试通过简单猜想的方式来调整自己设定的数学模型，从而更好地提高自己的建模能力。
三、应用模型，培养能力
学者吴长江提出数学建模能力是对各种问题进行数学化，创建相应数学模型，并最终解决问题的能力，在小学数学教学中，教师要提高学生的数学建模能力就要让学生尝试应用模型来解决各种难题。小学生要学习如何运用公式、图表、法则等来解决实际问题，提高自己的数学求解能力。
教师要让学生明白，建立了数学模型之后是要用来解决各种实际问题的，他们要尝试运用各种变式来解决现实问题。例如“鸡兔同\”是一个十分典型的问题，很多小学的应用题都可以转化为“鸡兔同笼”类的问题，学生可以尝试用假设法、方程法、抬腿法等各种方法来解决这个问题，更重要的是要学会解决这个问题的基本思路，这样才能将其抽象为数学模型，并运用其规律来解决现实生活中的其他数学问题。例如教师可以让学生尝试参考“鸡兔同笼”的问题来进行其变式的练习，尝试解决：“在一个班级中，一共有46个同学一起去参加游艺场的活动，大家选择了海盗船的游戏，大家一共乘坐12艘海盗船，其中大海盗船每一艘坐5个人，小海盗船每一艘坐3个人，问大海盗船和小海盗船一共有多少艘？”要解决这个问题就要熟悉数学模型，然后尝试运用该数学模型来解决此问题。这样的练习对于提高学生应用数学模型的能力有很大帮助。
【关键词】解题技能 联想 把握问题实质
每年初中数学会考，一般都把试题分为容易题（基础题），中档题以及难题。近年初中数学中考中，难题一般都占全卷总分的四分之一强，难题不突破学生是很难取得会考好成绩的。
初中数学中考中的难题主要有以下几种：①思维要求有一定深度或技巧性较强的题目。②题意新或解题思路新的题目。③探究性或开放性的数学题。
针对不同题型要有不同的教学策略，无论解那种题型的数学题，都要求学生有一定的数学基础知识和基本的解题技能（对数学概念的较好理解，对定理公式的理解，对定理公式的证明的理解；能很熟练迅速地解答出直接运用定理公式的基础题），所以对学生进行 "双基"训练是很必要的。当然，初三毕业复习第一阶段都是进行 "双基"训练，但要使学生对数学知识把握得深化和基本技能得到强化，复习效果才好。
有些老师认为，对全班进行面上的复习只要复习到中等题就行，不必进行难题的复习，那些智力好的学生你不帮他们复习他们也会做，那些智力差的学生你教他们也白白浪费时间。其实，学生有一定的数学知识和基本的解题技能也不一定能解出难题，这是因为从数学基础知识出发到达初中中考中的难题的答案，或者思维深度要求较高――学生思维深度不够，或者思路很新――学生从来没有接触过。但，很多有经验的初三毕业班的老师的多年的实践证明，针对难题进行专题复习是很有必要的，只要复习得好，对中等以上学生解难题的能力的提高作用是较大的。对此，我们在第二阶段复习中要对学生针对难题进行思维能力的训练和思路拓宽的训练。当然，这种训练也要针对学生的 "双基"情况和数学题型，这种训练要注意题目的选择，不只针对会考，也要针对学生思维的不足，一定量的训练是必要的，但要给出足够的时间给学生进行解题方法和思路的反思和总结，只有多反思总结，学生的解题能力才能提高。老师要注重引导，不能以自己的思路代替学生的思路，因为每个人解决问题的方法是不一定相同的。
过去，有些初三毕业班的老师，在中考复习中，找来各地各区的模拟题对学生进行一轮轮的训练，练完讲，讲完练，师生都很辛苦，但效果却不很理想，这是因为这种题海战术式的复习方法没有做到因材施教，老师的教学对学生的知识技能及思维能力和对数学题型的针对性都不足。学生没有体现学习的主体性，也没有足够的时间进行总结和反思。因此，学生的解题技能和思维能力没有真正得到提高。
有些老师觉得，中考难题难度大，考试题型新而难以捉摸。对难题的专题复习就是把今年会考难题以及当年各地各区的模拟考试题中的难题讲练一次。这种以题论题的复习也难以使学生解难题的能力有实质性的提高。
初中数学中考试题的命题者的命题目的是考查我们初中毕业的学生对初中数学基础知识的掌握情况，试题当然都离不开初中的基础知识。所谓难题，只是笼上几层面纱，使我们不容易看到它的真面目。我们老师的任务就是教会我们的学生去揭开那些看起来神秘的面纱，把握它的真面目。程咬金用三道板斧能在战场上取胜，我们的学生已经掌握了所有初中数学的基础知识，有一定的解题技能，只要我们对学生的引导和训练得当，我们的学生一定能在考场上取胜。关键是，我们对学生的复习训练能使学生对知识融会贯通并强化学生的解题技能，同时，我们老师的得当的引导，学生训练后的反思总结，对知识的自主构建，从而把握各类数学难题的实质――跟初中数学基础知识的联系。
对难题进行分类专题复习时，应该把重点放在对学生进行对数学难题跟基础知识的联系的把握能力的训练以及引导学生迅速正确分析出解题思路这一点上，并从中培养学生解题的直觉思维。应当先把难题进行分类。然后进行分类训练。在课堂上不必每题都要学生详细写出解题过程，一类题目写一两题就行了，其他只要求学生能较快地写出解题思路，回去再写出详细的解题过程。我认为可以将初中会考中的难题分以下几类进行专题复习：
第一类： 与一到两个知识点联系紧密的难题
例1：在O中，C是弧AB的中点，D是弧AC上的任一点（D与 A、C点不重合），则（ ）
（A）AC+CB=AD+DB （B）AC+CB
（C）AC+CB>AD+DB（D）AC+CB与AD+DB的大小关系不确定
教学引导： 与线段大小比较有关的知识是什么？（三角形任意两边之和大于第三边或大边对大角等）
如何把AC+CB与AD+DB组合在一个三角形中比较大小呢？
评议： 本例教学关键是引导学生把AC，CB，AD，DB这些线段构造在一个三角形上。
第二类： 综合多个知识点或需要一定解题技巧才能解的难题
这类难题的教学关键要求学生运用分析和综合的方法，运用一些数学思想和方法，以及一定的解题技巧来解答。
例2：在三角形ABC中，点I是内心，直线BI，CI交AC，AB于D，E.已知ID=IE.
求证： ∠ABC=∠BCA，或∠A=60°
教学点拨：本题要运用分析与综合的方法，从条件与结论两个方向去分析。 从条件分析，由ID=IE及I是内心，可以推出AID和AIE是两边一对角对应相等，有两种可能： AD=AE或AD≠AE.
从这可以推得∠ADI与∠AEI的关系。 从结论分析，要证明题目结论，需要找出，∠ABC与∠ACB的关系，∠ADI=1/2∠ABC+∠ACB，而∠AEI=1/2∠ACB+∠ABC.从条件和结论两个方面分析，只要找出∠AEI与∠ADI的关系就可以证明本题。
例3：某公司在甲，乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆。已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元。
（1）设从乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y的关于x的函数关系式；
（2）若要求总运费不超过900元。问共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
教学引导：
（1）先把题目的数量关系弄清楚。引导学生把本题数量关系表格化；
（2）引导学生写出y与x的函数关系式后，运用函数的性质解答题目的后两问。
第三类：开放性，探索性数学难题
无论是开放性还是探索性的数学难题，教学重点是教会学生把握问题的关键。
例1：请写出一个图象只经过二，三，四象限的二次函数的解析式。
教学点拨： 二次函数的图象只经过二，三，四象限，就是不能经过第一象限，即当x>0时，y0时y
第四类：新题型（近年全国各地初中会考中才出现的题型）
初中会考题型再新也离不开初中的基础知识，所以解这类题的关键是从题意中找到与题目相关的基础知识，然后，运用与之相关的基础知识，通过分析，综合，比较，联想，找到解决问题的办法。
例1：五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图。经过多年开垦荒地，现已变成如图一所示的六边形ABCMNE，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图一中的折线CDE）还保留着。张大爷想过点E修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多。请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案。（不计分界小路与直路的占地面积）
（1）写出设计方案，并在图二中画出相应的图形；
【关键词】解题，策略，能力，反思，总结
数学离不开解题，解题离不开解题策略。面对着一个比较综合、有一定难度的数学问题，怎样才能引导学生迅速地找到其突破口，打开学生的解题思路呢？俗话说妙计可以打胜仗，良策则有利于解题。只有掌握了一定的解题策略，才会在遇到问题时，找到问题的思考点和突破口，迅速、正确地解题。因此在教学中我们要适当加强数学解题策略的指导，优化学生的思维品质，提高解题能力。基于以上的认识，我在教学实践中进行了对学生解题策略指导的尝试探索，获得了一些初步的体验。
策略一：认真审题，理清思路。
正确深入地审题就等于做对了一半。教师必须逐步引导学生学会有条理有根据地思考问题：条件是什么？问题是什么？要解决这个问题，需要哪些条件？条件是否齐全？还缺哪些条件？
策略二：画图、列表帮助分析。
画图可以帮助学生列举所有的情况，能帮助学生直观地理解题目内容，能帮助学生分析数量之间的关系，从而学生能迅速地搜寻到解题的途径。
小学低年级可用一些符号画图，帮助分析题意。如“小朋友站成一排，从前面数，小红是第五个，从后面数小红是第四个，这一排一共有多少个小朋友？”对于此类的题目，可以让学生用任意符号代替小朋友，如、、、等，让学生画一画，这样问题就迎刃而解了。
小学中高年级数学解题中多用线段图示法。像行程问题、分数应用题等等，很多题目都适合画线段图分析。线段图示法是将应用题内在关系表象化、直观化、是对学生已浓缩的文字进行符号化。长期训练能极大地简化、加速思维过程。
列表可以帮助学生整理信息，进行推理，帮助学生分析数量之间的关系，寻找规律。如很多逻辑推理问题适用此法分析。
有一些问题,按常规方法求解比较麻烦,但如果将问题看作一个整体,这样解题效果特好。
策略三：化零为整。
例：李林喝了一杯牛奶的一半,然后加满水又喝了一杯的一半,再倒满水后又喝了半杯,又加满水,最后把一杯都喝了,李林喝的牛奶多还是水多?
思路点拨:此题若按常规方法分步算出李林每次“喝”的牛奶和水的量很麻烦,不妨采用整体思维方法，换个角度，从“倒”的角度来考虑:李林前后喝了四次,牛奶正好喝了一杯,与此同时,三次所倒的水共1(杯),也全部喝完,故结论是李林喝的水和牛奶一样多。
策略四：连估带猜。
例：五位老人的年龄互不相同，其中年龄最大的比年龄最小的大6岁。已知他们的平均年龄为85岁，其中年龄最大的一位老人是多少岁？
思路点拨：根据题意，我们先估计年龄最大的老人的岁数在87~90岁之间。
若最大的为87岁，则最小的为81岁，由“年龄互不相同”可知，其他三个老人最多分别为86岁、85岁、84岁。但如果是这样，五人的平均年龄不足“85岁”，所以最大的老人一定比87岁大。
若最大的老人为89岁，则最小的为83岁，其余3人岁数至少分别是84岁、85岁、86岁。但如是这样的情况，五人的平均年龄超过“85岁”，所以岁数最大的老人应比89岁小。
这样的话，年龄最大的老人应该是88岁。
策略五：巧妙设数。
例：水果店有甲乙丙三种水果，梅梅所带的钱如果买甲种水果刚好可以买4千克，如果买乙种水果，正好可以买6千克，如果买丙种水果则可买12千克。梅梅决定三种水果买一样多，那么她带的钱能买三种水果各多少千克？
思路点拨：题中梅梅所带的钱及三种水果的单价都不知，使得问题变得复杂化了，我们可以设梅梅带了12元，那么问题就简单多了。12元钱能分别买4千克甲种水果、6千克乙种水果、12千克丙种水果，那么甲、乙、丙三种水果每千克分别为3元、2元、1元，显然，梅梅买三种一样的水果，能各买12÷（3＋2＋1）=2（千克）
策略六：变换角度。
有些问题，若顺着所求的问题去苦思冥想，往往非常困难，有时甚至无法得解。这时如果我们变化一下分析思考的角度，就会感到“眼前猛然一亮”，从而巧妙获解。
例：在1~111这些自然数中，既不是5的倍数，又不是7的倍数的数，共有多少个？
思路点拨：我们从问题的另一面去想，在这111个自然数中，5和7的倍数共有多少个，除去这些数，不正是问题的答案吗？
有些问题，涉及的某一数量反复多次地变化，若按一般由先到后的变化顺序去分析解答，往往非常困难，有时甚至会钻入牛角尖而无法回头。怎样解答这类问题呢？有一个巧妙的方法，就是从问题和结果入手“倒着”去推算。
例如：一条小虫，由幼体长到成虫，每天长一倍。10天能长到10厘米。那么，它长到2.5厘米时，长了多少天？
策略七：学会反思，总结方法。
反思是指解完一道题后，回过头来认真地再做一番思考。但大部分学生只是为了完成任务而解题，只要能做对答案就行，对自己的解题方法和解题过程从来不加以反思和总结，错过了归纳数学思想方法，感悟由经验上升到规律，以感性上升到理性的机会。长此以往，学生解题思路狭窄，思维的灵活性必得不到提高。因此，培养学生反思解题过程，寻找最佳解题方案，提高学生的解题能力，也是教师关注的一个重要方面。学生解题后，教师提出问题要求学生反思，如：想想这道题是怎样做出来的，回忆一下你思考的全过程，为什么要这样做？还有没有其他的方法，如果有，哪种方法更好？是否能变换成另一种形式等等，帮助学生进行反思。
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数学史上有个20棵树植树问题，几个世纪以来一直享誉全球，不断给人类智慧的滋养，聪明的启迪，伴随人类文明几个世纪，点缀装饰于高档工艺美术的百花丛中，美丽经久不衰、与日俱增且不断进步，不断发展，在人类文明的进程中更加芬芳娇艳，更加靓丽多采。 20棵树植树问题，源于植树，升华在数学上的图谱学中，图谱构造的智、巧、美又广泛应用于社会的方方面面。20棵树植树问题，简单地说，就是：有20棵树，若每行四棵，问怎样种植（组排），才能使行数更多？20棵树植树问题，早在十六世纪，古希腊、古罗马、古埃及等都先后完成了十六行的排列并将美丽的图谱广泛应用于高雅装饰建筑、华丽工艺美术（图1）。进入十八世纪，德国数学家高斯猜想20棵树植树问题应能达到十八行，但一直未能见其发表绘制出的十八行图谱。直到十九世纪，此猜想才被美国的娱乐数学大师山姆·劳埃德完成并绘制出了精美
的十八行图谱。
进入20世纪七十年代，两位数学爱好者巧妙地运用电子计算机超越了数学大师山姆·劳埃德保持的十八行纪录，成功地绘制出了精湛美丽的二十行图谱，创造了20棵树植树问题新世纪的新纪录并保持至今（图
3）。
跨入21世纪，20棵树植树问题又被数学家们从新提出：20棵树，每行四棵，还能有更新的进展吗？数学界正翘首以待。随着高科技的与日俱进和更新发展，期望将来人类的聪明智慧与精明才干能突破现在20行的世界纪录，让20棵树植树问题能有更新更美的图谱问世，扮靓新世纪。（摘自重庆邓开朋——中
国教育在线：数学世界三大难题）
20棵树的问题可以排成23行
分析前人和计算机的成果，我认为20棵树植树问题可以突破20行，原因是前人和计算机有两个问题没有解决好。一是：外围点尽量少的问题；二是中心点的移动问题，也就是要解决单一的轴对称和中心对称问题。通过研究，我解决了上述的两个问题：外围的点由12个减少到4个。由单一的轴对称和中心对称变成中心点可以移动的复杂图形，成功的绘制了十六到二十三排各种图谱，下面的（图4）和（图5）是二十二和二十三行的图谱，这两个图谱具有代表性，稍加变化可以得到其他不同的十八到二十二行图谱，所
关键词：高中数学；构造法；解题
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常规的解题思维就是根据数学问题中已经给出的条件，向结论方向进行定向思考，然是目前很多数学难题通过常规的思考方法很难得出最后的正确的答案，尤其是某些数学难题在常规解题思路之下甚至会毫无头绪。这就和我们走路一样，遇到障碍清除继续行走是常规的思维方式，但是有些时候有些障碍没有办法清除，那么就需要一个新的方法进行解决，才能更好的通行。面对无法用常规的解题方法进行解题的情况时，我们可以尝试新的思路，例如：构造法，能够帮助学生将抽象的数学知识、数学公式巧妙的结合起来从而寻求新的解题思路将数学题解决。
一、构造法在数学解题中的应用基础
目前，构造法在解决数学难题中所展现出来的作用非常明显，但是如果要熟练的使用构造法解决数学难题，学生必须要有丰富的数学知识作为基础，还有学生具有一定的观察能力，形成一定的数学思维，能够看出和挖掘出已知条件与结论之间的内在关系。使用构造法解决数学难题，还要求学生必须具备一定的综合能力，能够灵活运用数学中的方程、几何等等数学知识，同时还需要培养学生一定的创造能力，这样是学会使用构造法的关键之处。在利用构造法解决数学难题时，可以发现题中有很对形式多样的对象能够用来进行构造，根据这些对象的特点将之划分为图形、方程、函数等等。还需要注意的是利用构造法解决数学难题时，不能生搬硬套，其实我们需要先了解什么是构造法，才能在实际解题的过程中更好的运用构造法。简单来说，构造法本身是没有特定的套路的，这是一种非常灵活的解题方法，所谓构造法重点在于怎么构造，构造没有通用的法则，但是凡事都有一定的规律可循，构造法也不例外。构造法首先必须要明确构造的目标，其次就是要分析问题，掌握问题的特点，然后再根据具体的情况，明确构造的方案，从而解决相应的数学难题。
二、构造函数应用
函数是高中数学中非常重要的知识，高中学生一般能够对函数知识灵活运用的话其实可以解决很多数学难题。若要灵活运用，首先得掌握函数的基本特征，函数特征中含有的界性、单调性、周期性、连续形象、复合函数、反函数等等，这些特性都必须掌握才能在实际解题中灵活的运用。通常我们在解决数学难题时，可以根据题目中已经给出条件的特征与结论的特征，对函数的特性进行灵活的使用，从而构造出相应的函数，将一些不等式证明等等问题转变为函数的特征进行分析，能够将所解问题简单化，还能一定程度上提升解题的效率和解题的准确率。需要特别注意的是，利用构造函数的方法解决数学问题有这些难点：第一，数学题多种多样，如果要分辨出那种题型比较适合运用函数构造法来进行解决，对于高中学生目前来说难度还是很大的。第二，使用构造法本身具有较高的难度，学生具体使用过程中需要教师进行引导。第三，解题过程中，哪一个阶段要使用构造法学生也很难分清楚，有些数学题一开始需要进行构造，还有一些数学题解到一半才需要构造，这些客观的因素也就体现了构造法的难度。例如：已知a、b、c∈（0，1），求证a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）0，f（1）=（b+c-1）+（bc-b-c+1）=bc>0.而f（a）是一次函数，图形是一条直线，因此，当a∈（0，1）时，恒有f（a）>0，也就是（b+c-1）a+（bc-b-c+1）>0，整理之后得出：a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）
三、构造方程应用
对于高中学生来说方程已经不陌生，所谓方程就是含有未知数的等式，解方程就是求未知数的值，或者求未知数的表达式。实际解题过程中，我们知道很多数学问题当中有很多未知的条件，为了更好的避免逆向思考，可以直接将方程式列出来，可以将未知数利用数学符号来进行替代，从而列出等式，然后根据等式之间的关系来求未知数，这样可以提高解题的效率，还能省去很多不必要的麻烦。高中很多数学题计算量比较大，而且未知量的数量增加与未知量之间的关系变化也是非常的复杂，如果利用常规的方式去解答很多时候学生感觉无从下手，但是通过分析题目中给出的条件与结论之间的关系，构造对应的方程，不仅能够让问题更加简单，还能开阔学生的思维，培养学生的观察能力与数学知识灵活运用的能力。例如：（m-n）2-4（n-x）（x-m）=0，求证：m，n，x为等差数列。针对这道题如果直面思考，感觉很难下手，经过观察可以发现这个等式与解方程式的 中的b2-4ac的格式是一样的，正好就可以利用这个特征，构造对应的方程（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0，设W=（m-n）2-4x（n-x）（x-m），w=0，所以构造的方程两个实数根是相等的，从而得知（n-x）+（m-n）+（x-m）=0，得知t=1，也得知另外一个根等于1，然后根据韦达定理，m+n=2x，由此解出m，x，n都是等差数列。
综上所述，构造法就有一定的创造性，将这种创造性思维融入到解题思维当中，能够解决更多数学难题。构造法还可以运用更多的数学问题当中，在实践中不断提高学生利用构造法解决数学难题的能力。构造法能够发散学生的思维，让学生对所掌握的数学知识进行融会贯通，一旦真正让学生掌握了这种方法，笔者相信很多问题都能够迎刃而解。因此，在高中数学教学中加强培养学生使用构造法的能力是值得深入研究的重要课题。
参考文献：
[1]项启威. 浅论高中数学解题过程中构造法的运用[J]. 考试周刊，2016，10：55-56.
针对不同题型要有不同的教学策略，无论解哪种题型的数学题，都要求学生有一定的数学基础知识和基本的解题技能（对数学概念的较好理解，对定理公式的理解，对定理公式的证明的理解；能很熟练迅速地解答出直接运用定理公式的基础题），所以对学生进行“双基”训练是很必要的。当然，初三毕业复习第一阶段都是进行“双基”训练，但要使学生对数学知识把握得深化和基本技能得到强化，复习效果才好。
有些老师认为，对全班进行面上的复习只要复习到中等题就行，不必进行难题的复习，那些基础好的学生你不帮他们复习他们也会做，那些基础差的学生你教他们也白白浪费时间。其实，学生有一定的数学知识和基本的解题技能也不一定能解出难题，这是因为从数学基础知识出发到达初中会考中的难题的答案，或者思维深度要求较高――学生思维深度不够，或者思路很新――学生从来没有接触过。但很多有经验的初三毕业班的老师的多年的实践证明，针对难题进行专题复习是很有必要的，只要复习得好，对中等以上学生解难题的能力的提高作用是较大的。对此，我们在第二阶段复习中要对学生针对难题进行思维能力的训练和思路拓宽的训练。当然，这种训练也要针对学生的“双基”情况和数学题型，这种训练要注意题目的选择，不只针对会考，也要针对学生思维的不足，一定量的训练是必要的，但要给出足够的时间给学生进行解题方法和思路的反思和总结，只有多反思总结，学生的解题能力才能提高。老师要注重引导，不能以自己的思路代替学生的思路，因为每个人解决问题的方法是不一定相同的。
一、课内重视听讲，课后及时复习
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特别重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
二、适当多做题，养成良好的解题习惯
要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。在平时要养成良好的解题习惯，让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。
三、调整心态，正确对待考试
首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪。特别是对自己要有信心，永远鼓励自己，除了自己，谁也不能把我打倒，要有自己不垮，谁也不能打垮我的自豪感。
在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，切忌考前去在保证正确率的前提下提高解题速度。对于一些容易的基础题要有十二分把握拿全分；对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要学会尝试得分，使自己的水平正常甚至超常发挥。
初中数学会考试题的命题者的命题目的是考查我们初中毕业的学生对初中数学基础知识的掌握情况，试题当然都离不开初中的基础知识。所谓难题，只是蒙上几层面纱，使我们不容易看到它的真面目。我们老师的任务就是教会我们的学生去揭开那些看起来神秘的面纱，把握它的真面目。程咬金用三道板斧能在战场上取胜，我们的学生已经掌握了所有初中数学的基础知识，有一定的解题技能，只要我们对学生的引导和训练得当，我们的学生一定能在考场上取胜。
关键词：小学数学；解题策略；有效提高
一、小学数学解题策略的重要性
1.解决问题的实际意义
在小学数学中，学生会经常遇到自己不会做的题目，在这时，大部分学生不去理会，忽略此类型题目，长久下来，学生遇到的难题越来越多，解决问题的思路也就变得越来越窄，从而使得学生对数学的学习丧失自信心。解决问题就是指教师在课堂教学中做好引导的角色，引导学生自己去思考问题，让学生能在学习中准确地知道生活中有哪些类似的应用，找到解决此类问题的方法，培养学生自主思考问题的能力。通过解决问题，学生可以掌握不同的解题思路，可以在任何问题下都充满自信，特别是在数学的学习中有困难的学生，自信对他们很重要，自信可以让他们在不断地解决数学问题的过程中提高解题能力。
2.小学数学解题策略的特点
在小学数学教学中，解决问题策略的教学方法与传统的教学方法相比是不同的，解题策略的教学方法更具有灵活性。在小学数学解决问题策略的教学中，教师依然是根据学生的特点，在课堂里巧妙地引进一些生活中常见的含有小学数学知识的实际物体作为解决问题的教学材料，这样会给学生一种亲切感，从而致使学生对问题进行思考，给学生足够的思考空间。其实，生活中所涉及的小学数学的知识点也是十分广阔的，学生在遇到问题时可以发挥的空间很大，所要考虑的知识面广，在这种情况下，教师可以把学生分组，巧妙地使课堂形成辩论赛的形式，让学生对问题进行辩论，在辩论中学生可以听到与自己不同的见解，也可以找到自己在看待问题时的不足之处，并且弥补自己的不足。通过辩论，学生不仅增加了数学的知识量，还有效地提高了学习能力，使得学生有效地克服数学难题。然而传统的教学方法就不免有些古板，没有创新性，教师在授课时，可以选择的教材很少，因此，使得教师在课堂上可以发挥的范围狭窄，不能够调动起学生的学习积极性，使得课堂效果不佳，没办法有效地解决学生在小学数学中的解题问题。所以，教师在课堂教学中要适当地加一些教学情境，调动学生学习的积极性，然后对学生加以引导，打开学生对问题的思路，让学生自己去思考问题，找到解决问题的方法，从而有效地解决问题。
二、小学数学解题策略有效提高的措施
随着网络媒体技术的发展，多媒体教学逐渐走进课堂，在课堂教学中被广泛应用，并起到非常重要的作用，方便了教学。小学数学教学有了多媒体这个辅助教学工具，就有了更多的教学资料来指导学生，给学生更多的启发，为学生打开思路，找到解决问题的技巧。其实，教师在教学过程中，并不仅仅是单纯地帮助学生解决一道或者两道不会的数学难题，而是，要运用一些方法培养学生自主思考问题的习惯，从而，在遇到数学难题时，先是自己对问题思考分析，在思考分析中找到解题思路，然后通过自己对问题的思考分析，学生发现原来数学题也没有那么难，就会慢慢地掌握解题技巧，以方便以后的做题。在小学数学的教学中，教师还可以运用一些教学方法来帮助学生解决问题，例如，情境教学、加强实践、处理信息、体验策略等，通过这些教学方法来帮助学生掌握解题策略。（1）情境教学。即教师在课堂教学中利用谈话的方式创设生动的课堂情境，良好的开端是成功的一半，教师和学生轻松的谈话可以有效地缩短师生之间的距离，在生活中教师应多与学生接触，多了解学生，多与学生亲近，减少学生对教师的惧怕感，从而使学生在心理上可以轻松的和教师交流，这样一来，学生愿意和教师做朋友，就不会出现以前课堂上学生不敢发言的现象，从而轻松自在的在课堂上和教师交流数学问题。例如，一个人花了8元钱买了一只鸡，9元钱卖掉了，然后他觉得不划算，花10元又买回来了，11元卖掉了，问，他赚了多少钱？利用这样简单有趣的数学题目激发学生内在的数学潜能，引导学生找到解题思路，从而有效地提高解题效率；（2）加强实践。即学生在学习数学时，仅仅只掌握课堂内容是远远不够的，只有在实践中学生才能够知道自己还有哪些不足，还需要在哪些方面进一步强化训练，因此，学生应在课下找一些与课堂内容相关的题目进行实践训练，在这样真实的题目下，学生主动思考问题、分析问题、解决问题，在这个过程中，可以使学生更充分地认识数学知识，增加对知识的记忆度，也让学生更充分地认识自己，从而促进解题能力的提升；（3）处理信息，体验策略。即学生在遇到数学难题时，教师一定要细心地指导学生，让学生学会处理数学信息，首先要理解问题，很多学生遇到难题就放弃，主要是因为学生没有理解题目，所以，教师要告诉学生如何去理解问题，找到问题的主干，然后进行分析，只要学生亲自去体验这样解题的过程，相信，学生很快的就能将方法应用在不同的题目上，从而解决数学难题。
在小学数学教学中，使学生掌握解题技巧并能够熟练应用，这并不是一天的事情，冰冻三尺，非一日之寒，因此，教师可以循序渐进地教导学生，让学生慢慢地领悟解决问题的策略，逐渐掌握解决问题的策略。总之，只要学生愿意学习，主动地去学习知识、思考问题，我相信，学生便能够很快掌握解决问题的技巧并且能够熟练应用。
参考文献：
[1]汪华.小学数学解题策略多样性研究[J].中国科教创新导刊，2013（18）.
初中数学中考中的难题主要有以下几种:1．思维要求有一定深度或技巧性较强的题目.2，题意新或解题思路新的题目.3，探究性或开放性的数学题.
针对不同题型要有不同的教学策略，无论解哪种题型的数学题，都要求学生有一定的数学基础知识和基本的解题技能(对数学概念的较好理解，对定理公式的理解，对定理公式的证明的理解;能很熟练迅速地解答出直接运用定理公式的基础题)，所以对学生进行 “双基”训练是很必要的.当然，初三毕业复习第一阶段都是进行 “双基”训练，但要使学生对数学知识把握得深化和基本技能得到强化，复习效果才好.
我认为可以将初中中考中的难题分以下几类进行专题复习:
第一类 综合多个知识点或需要一定解题技巧才能解的难题.
这类难题的教学关键要求学生运用分析和综合的方法，运用一些数学思想和方法，以及一定的解题技巧来解答.
例1 某省公路建设发展速度越来越快，通车总里程已位居全国第一，公路的建设促进了广大城乡客运的发展．某市扩建了市县际公路，运输公司根据实际需要计划购买大，中两型客车共10辆，大型客车每辆价格为25万元，中型客车每辆价格为15万元．
（1） 设购买大型客车x（辆），购车总费用为y（万元），求y与x之间的函数表达式;
（2） 若购车资金为180万元—200万元（180万元和200万元），那么有几种购车方案？在确保交通安全的前提下，根据客流量调查，大型客车不少于4辆，此时如何确定购车方案可使该运输公司购车费用最少;
解 （1）y=25+15（10-x）
=10x+150
(2)有题意，得 10x+150 180
10x+150 200
解得 3 x 5
x是非负整数，
x=3，4，5.
共有三种购车方案：
第一种：大型客车3辆，中型客车7辆，不合题意;
第二种：大型客车4辆，中型客车6辆；
第三种：大型客车5辆，中型客车5辆；
第二种方案的购车费用为25 4+15 6=190（万元）；
第三种方案的购车费用为25 4+15 5=200（万元）.
即符合客流量要求并且购车费用较少的购车方案是购买大型客车4辆，中型客车6辆．
第二类 新题型(近年全国各地初中中考中才出现的题型)
（2006 宁夏卷）为了提高土地的利用率，将小麦，玉米，黄豆三种农作物套种在一起，俗称“三种三收”，这样的种植方法可将土地每亩的总产量提高40%．下面是这三种农作物的亩产量，销售单价及种植成本的对应表：
现将面积为10亩的一块农田进行“三种三收”套种，为保证主要农作物的种植比例，要求小麦的种植面积占种植面积的一半．
（1） 设玉米的种植面积为x亩，三种农作物的总销售价为y元，写出y与x的函数关系式；
（2） 在保证小麦种植面积不变的情况下，玉米，黄豆的种植面积均不得低于一亩，且两种农作物均以整亩数种植，三种农作物套种的种植亩数，有哪几种种植方案？
（3） 在（2）中的种植方案中，采用哪种套种方案，才能使总销售价最高？最高价是多少？
（4） 在（2）中的种植方案中，采用哪种套种方案，才能使总利润最大？最大利润是多少？（总利润=总销售单价-总成本）
解析：此题信息量较大，数量关系较复杂，因此需仔细阅读，分析，弄清楚各种数量关系，才能找到解决问题的方法．
解（1）y=[5*400*2+x*680+(5-x)250*2.6]*1.4
（2）方案如下表：
（3） 根据函数关系式可知，随的增大而增大，所以采用方案四，即小麦5亩，玉米4亩，黄豆1亩，可使总销售价最高，最高价为10318元．
（2） 总成本c与x的函数关系式为c=5*200+x*130+50*(5-x)=80x+1250
总利润与的函数关系式为y-c=42x+10150-(80x+1250)=-38x+8900
她长着浓眉大眼，骨瘦如柴的身材让我们不得不觉得她很柔弱，但是她的特点三天三夜也说不完。其中最明显的特点就是：坚持不懈，思维敏捷，乐于助人。
坚持不懈的她
这次运动会，我们班走了一名“飞将”——刘雅丽，成功的希望不大了，我们把希望全都寄托在洪洋身上。在800米和400米比赛中，洪洋像一匹奔驰的骏马，不过随着体力的消耗，洪洋的速度渐渐慢下来。一个人追上了她，两个人追上了她……她望着那些超过她的对手，速度又加快了，旁边的啦啦队又喊起了响亮的口号，她终于坚持的跑到终点了，她终于超越自我了。
思维敏捷的她
坚持不懈的她是运动场上的强手，而思维敏捷的她又是学习中的佼佼者。
记得在一堂数学课上，老师给我们出了一道难题。我们冥思苦想，还是不知道从哪儿下手，这是洪洋举手了，并顺利回答了。洪洋真是我们班的“数学家”呀！
乐于助人的她
思维敏捷的她不仅爱解决数学难题，她还爱帮助同学解决数学难题。
就拿这个单元的百分数来说，对我们可算是难题了！因为我们总找不准单位“1”，所以总是出错。有一次，我又遇到难题了。洪洋见了，便给我详细解说，难题就不翼而飞了！
这就是那个坚持不懈的她，这就是那个思维敏捷的她，这就是那个乐于助人的她！
洪洋，你是好样的！
塘下镇第三小学
六（3）班
