时间：2023-09-14 17:44:18
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇高中数学随机变量及其分布，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
1.联系案例介绍概率的实际应用。概率起源于现实生活，应用于现实生活，教科书无论在背景材料、例题和阅读与思考栏目的选材上都注意联系实际。在介绍古典概型的部分，讨论了摸球问题、生物学的基因遗传规律、抛掷筛子问题、涂色问题等；阅读部分介绍了小概率事件；几何概型介绍了撒豆问题及随机模拟的例题；在互斥事件的应用部分，给出了射击问题等；在超几何分布中重点介绍了通过抽样来分析合格品和不合格品的分布，进而分析产品的质量问题；独立事件介绍了电路问题等。
2.教学要求。新课标要求必修3学习随机事件的概率、古典概型、几何概型及互斥事件有一个发生的概率等内容。教学中不要把重点放在“如何计数”上，特别不要把排列组合的技巧与方法提前应用于等可能基本事件的计数之中，主要是用枚举法。要注意概念的区别与联系，类似的概念不能混淆；注意运用公式时要检查是否符合公式运用的前提条件；注意顺向思维与逆向思维，正难则反。
新课标要求选修2-3学习离散型随机变量及其分布列、超几何分布、相互独立事件、n次独立重复试验模型及二项分布、取有限值的离散型随机变量均值与方差、正态分布曲线等。新课程要求学习两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，而原教学大纲只要求学习几何分布不学习超几何分布；新课程要求学习条件概率，而原教学大纲中不要求学习条件概率。
二、教学的重点与难点
1.在“古典概型”这一节中，从随机事件发生频率的稳定性导入，得出概率的统计定义，进而引出等可能事件的概率。教学中应让学生通过实例理解古典概型的特征是实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性，让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型。教学时不要把重点放在“如何计数”上，计数本身只是方法与策略问题，在具体模型中有很多特殊的计数方法。
2.从古典概型到几何概型，是从有限到无限的延伸。等可能的情况不仅在有限个事件时可以说明，也能拓展到无限个事件的情形。几何概型的教学应抓住其直观性较强的特点，通过实例说明几何概型的特征是实验结果的无限性和每一个实验结果出现的等可能性。
3.在“离散型随机变量及其分布列”这一小节中，两点分布、超几何分布、二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位，因此本节内容的重点是离散型随机变量的分布列。由于随机变量与离散型随机变量不同于从前学习函数时遇到的变量，它是按照一定概率取值的变量，按学生的现有知识和认识水平难以透彻理解，所以教学难点是建立随机变量与离散型随机变量的概念，以及对它们有正确的理解。关键是多考察实际例子，通过它们加深对随机试验、随机变量及离散型随机变量的认识，并熟悉它们的分布列。
4.在“二项分布及其应用”这一小节中，由于条件概率、事件的相互独立性这两个重要概念及相关公式能为独立重复试验中的二项分布做好铺垫，因此本节内容的重点为条件概率、事件的相互独立性、二项分布。由于条件概率以前没有学习过，所以教学难点是建立条件概率的概念公式，关键是多考察实际例子，加深对概念公式的认识。
5.在“离散型随机变量的均值与方差”这一节中，离散型随机变量的均值（或数学期望）与方差应着眼于随机现象的整体和全局问题。因此本节内容的重点和难点是离散型随机变量的期望与方差的求法。关键是分析实际例子，通过它们加深对随机变量的数学期望与方差的理解，并能熟练写出随机变量的分布列，根据分布列正确计算随机变量的期望与方差。
三、注重提高学生的数学素养
1.注重数学知识与实际的联系，发展学生应用数学的意识和能力。在数学教学中，应注重发展学生的应用意识，通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值。要帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学。
2.开展数学实验课，提高学生的创新精神和实践能力。实验课强调学生动手能力的培养，在教师指导下运用所学知识和计算机技术，结合学习和Excel软件的使用方法，分析解决一些实际问题，写出分析报告。在实验课中，通过动手能帮助学生理解该课程中一些抽象的概念和理论，同时让学生利用所学的方法和技巧独立完成研究型小课题，提高其分析问题和解决问题的能力。
【摘 要】文章结合高中数学新课程教学案例，就自主体验式教学作了探讨，旨在通过创设有效问题教学情境，促使学生在自主探究过程中较好地理解和掌握新知，在知情意行的体验过程中，促进学生全面而有个性地发展。
关键词 高中数学；自主体验；教学模式
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2014）33-0051-02
《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。”随着高中数学新课改的深入，体验式学习越来越受到教师的重视。数学学习是以学生为主体，以学生已有的知识和经验为基础的主动学习和自主建构过程。作为教学活动组织者、引导者和合作者的教师应不断创设有利于学生主动学习的问题教学情境，提供贴近生活的实例材料，使学生在自主、合作、探究学习过程中找到新旧知识之间的冲突点、切合点，以便有效理解和掌握新知，让学生真正成为学习的主人，使学生的主体意识、能动性和创造性得到不断发展，从而促进学生全面而有个性的发展。据此，笔者在多年的高中数学新课程教学中，就自主体验式教学模式作了持续地探索和实践。下面结合教学案例谈谈自己的教学感悟：
【案例1】随机变量的均值
这节课的重点与难点是取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义。为此，创设了如下问题情境。
问题情境：甲、乙两运动员，他们射击所得到的环数分别用X1，X2表示，从他们的平时训练中，我们得到X1，X2的概率分布如表1。我们该如何比较甲、乙两运动员射击水平的高低呢？
学生自主探究：
1．直接比较甲、乙射击所得的环数。从分布列来看，甲命中10环的概率比乙大，似乎甲的水平高一些；但甲命中7环的概率也比乙大，似乎甲的水平又不比乙高，可见这样比较很难得出合理的结论。
2．计算甲、乙射击所得的平均环数。学生很容易联想到已学过的求平均数的知识来求解：不妨设甲、乙各射击n次，则甲射击n次的平均环数＝（10×0．7×n＋9×0．1×n＋8×0．1×n＋7×0．1×n）÷n；乙射击n次的平均环数＝（10×0．6×n＋9×0．3×n＋8×0．1×n＋7×0×n）÷n。从解答结果简单来看，运动员乙的平均水平比甲高。这似乎合情合理，但却反映出学生对“概率”与“频率”两个概念存在混淆。
3．引导学生回顾《数学3（必修）》中样本平均值的计算方法：x1p1＋x2p2＋…＋xnpn计算样本的平均值，其中pi为取值为xi的频率值。通过类比，让学生自己总结出离散型随机变量X的平均值，从而得到取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义。然后迁移到该案例，可简单计算得到：
E（X1）＝ 10×0．7＋9×0．1＋8×0．1＋7×0．1＝9．4
E（X2）＝ 10×0．6＋9×0．3＋8×0．1＋7×0＝9．5
由于E（X1）＜ E（X2），即甲射击环数的均值小，从随机变量均值上讲，运动员甲的水平没乙高。
反思：教师通过实际问题的创设，让学生从已有的知识出发，自主探求解决问题的各种不同方法。对于所得的结果，让学生通过相互的交流、学习、合作，从而寻求到解决问题的最优方案，并能用这种经验来找别的方法、解决其他相近问题，这样学生就自主探求到了知识的来源，体验到了知识的归宿。
【案例2】几何概型
这节课的主要任务是理解几何概型的概念，并掌握几何概型的概率计算公式及其应用。既然是几何概型，就离不开几何问题的运用。为此，创设了三个问题情境作为新课导入。
问题情境1：见面问题。老师和小红约定9点到10点在操场见面，不管谁先到，等20分钟后就离开。两人都履行了约定。问：老师和小红见面的概率。该问题在实际生活中很常见，不过却很少引起人们的思考。在这里以概率问题给出，学生凭现有知识无法很快得出答案，这就激发了学生的学习动机。
问题情境2：剪绳子问题。取一根长3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1米的概率有多大？让学生分组合作，通过实践操作来分析问题，通过归纳整理来体验解决问题的过程。
问题情境3：转盘游戏问题。如图1，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区时，甲获胜，否则乙获胜。请讨论甲获胜的概率。
该问题由学生自己来回答表述，自主体验完成。
创设上述3个问题情境作为导入，既可引导学生与学过的古典概型进行比较，又可让学生体验几何概型的运用实例，为学习几何概型的概念、基本特点及其概率的计算方法作了有效地铺垫。
反思：通过创设贴近生活的问题情境让学生自主探究体验，既可提高学生的学习兴趣，又可引导学生多观察生活、体味生活，多动脑筋、多加思考，从而培养学生发现和提出问题的意识，分析和解决问题的能力，在思考、感悟、整合中学习数学思维方法，在联想、类比、反思中建构知识体系。
【案例3】用二分法求方程的近似解
本课的主要任务是二分法基本思想的理解及运用二分法求函数零点的近似值的步骤和过程。
问题情境：为了引入二分法的基本思想，仿照央视娱乐节目“幸运52”中的竞猜价格游戏来创设问题情境。
问题1：教师在纸上写下一个数据，只告诉学生数据的范围，请学生依次来猜所写的数据。该如何来猜才能较快锁定答案？
学生自主探究：
1．随意报出一个数据来猜。显然一个接一个数据毫无规律地来猜是很难猜中的。
2．在教师给出的数据范围，锁定一个新的范围来猜。这样能不断缩小数据所在的范围，直到猜出答案。
猜数据的过程体现了“逼近”的数学思想。将学生猜数据的过程进行总结提炼，就可得到解决此类问题的思想方法：关键是取区间的中点，不断二分，以缩小数据所在的区间。
问题2：借助计算器，如何设计方案来找到方程lgx＋x-3＝0在区间（2，3）内的近似解（精确到0．1）？
学生自主探究：
1．方程与函数的转化。设f（x）＝lgx＋x-3，将方程的解转化为函数的零点。
2．逐步缩小零点所在的区间。
类推过程见表2。由f（2．5）＜0，f（3）＞0，可判断根在区间（2．5，3）内。因2．5625、2．625精确到0．1的近似值都为2．6，所以原方程的近似解为x≈2．6。在这基础上，引入“二分法”就水到渠成了。
反思：教师通过创设有趣且适合学情的问题情境，来营造课堂气氛，鼓励每个学生动手、动口、动脑，积极参与自主学习过程，提高了学生的学习兴趣。在教学过程中，重视知识的形成过程，注重思维和探索方法，以生为本，让学生在主动学习的过程中去体验数学思想和积累数学实践经验，体现了新课标“思想方法比知识更重要”的教学价值观，有助于培养学生自主学习、终身学习的能力。
教育家陶行知提出“生活即教育”的主张，倡导“教学做”合一的思想，可见，自主体验式教学所采取的提出问题、促进参与、积极体验的教学策略是符合做中学，学中思，知情意行相统一的教育规律的，也体现了新课标“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”的理念。在自主体验式教学的探索与实践过程中，教师促进了自己的专业化发展，学生在学习中学会了学习，真正实现了师生互动，共同成长的新课改目标。
参考文献：
【关键词】 “1+1”自主课堂；教学方式改革
中图分类号：633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568 （2014） 22-0125-04
一、教材分析
1.教材内容分析。《独立性检验的基本思想及其初步应用》是人教A版（选修2～3）第三章第二节的内容。本节计划授课约三课时。本节课是第一课时的内容，主要是介绍独立性检验的基本思想、方法以及如何运用独立性检验方法解决实际问题。
2.地位与作用。通过学习本课，学生既能增强对事件相互独立性、概率等概念的理解，又能认识到统计方法在决策中的作用，是高中数学知识中体现统计思想的重要内容之一。近几年，高中概率知识在淡化，统计知识的考查在逐渐加强，本课地位凸显。
3.学情分析。在前面，学生已经学习了抽样方法、事件的相互独立性、正态分布及回归分析等有关知识，为本节课的学习作了铺垫，高二学生具有一定的探究能力。另外我班学生基础较扎实，思维较活跃。
4.教情分析。对于本课知识，很多老师还未予以足够的重视，一般让学生自学。学生带有较大的盲目性且难度较大。
依据大纲的教学要求，渗透新课改理念，并结合以上学情、教情，笔者制定了以下教学目标：
二、教学目标分析
通过探究“吸烟与患肺癌是否有关系”，让学生感知引进独立性检验的必要性；在分析与解决问题的过程中，体会独立性检验的基本方法；建构独立性检验的基本思想理论，同时使学生形成积极的态度、良好的思维品质、团队合作意识及养成良好的生活习惯。
由教学目标和学生的实际水平，笔者确定本节课的重难点如下：
教学重点：理解独立性检验的基本思想，明确实施步骤。
教学难点：（1）了解独立性检验的基本思想。
（2）了解随机变量K2的含义。
关键：数学思想的渗透。
三、教学问题诊断
独立性检验的思想是比较难以理解的，它来源于统计上的假设检验思想，所以教科书上仅从反证法的角度介绍独立性检验思想。我认为，学生在建构独立性检验的思想中，可能会遇到的疑惑有：
1.为什么进行独立性检验？
2.如何解决“判断两个分类变量有关系”这个问题？
3.如何理解独立性检验法中的随机变量K2？
4.检验结果的准确性有多大？
由此，教师需要系统地学习数理统计中的有关知识，针对性地引导，创造性地讲解教材。
四、教学对策分析
本节课教学容量大、实用性强、思维难度高，笔者采用“问题驱动”和“启发探究”的教学模式。通过设置问题串，引起学生的兴趣；通过设置问题串，引导学生分析、解决具体问题并提炼方法；通过设置问题串，帮助学生合乎情理地建立新的认知结构，让数学基本理论自然诞生在学生的思想中，教师仅起到“助产士”的作用。另外，学生需要提前分小组收集数据，教师需要提前设计学案。在讲授的过程中，老师采用多媒体辅助教学，突出活动的组织与思想方法的引导。各小组分组合作，互动探究，搭建平台，与老师一起分散难点。
五、教学基本流程
六、教学过程设计
1. 设置情境。
问题1：吸烟有害健康，这是我们很熟悉的常识，因此我们很自然的认为，吸烟会减损人的寿命，然而也有很多例外，一个吸烟而且长寿的人的例子能说明吸烟对人的健康没有影响吗？为什么？
学生：不能，因为个体不能代替总体。
问题2：为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）
那么吸烟是否对患肺癌有影响呢？
学生：暂时不能解决。
【设计意图】通过这两个问题，引起学生的兴趣并希望学生能回忆起统计的基本原则，即样本容量不能太小，样本的抽取方式应尽量保证随机性。
2. 引出课题。
先介绍几个相关的概念：
分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量。
列联表：像表1 这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.（高中阶段我们只研究2×2列联表.）
思考1：根据列联表中的数据，计算吸烟样本和不吸烟样本中患肺癌的比重各是多少？
学生：粗略估计，在不吸烟样本中，有0.54%患肺癌；在吸烟样本中，有2.28%患肺癌。
因此，直观上可以得到结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异。
将列联表中的数据输入到Excel表格中，借助二维等高条形图进行研究。
思考2：通过分析数据和图形，我们得到的直观判断是“吸烟和患肺癌有关系”，那么这种判断可靠吗，又有多大把握呢？
学生：吸烟样本中患肺癌的频率要高一些，因此直观上可以认为，吸烟更容易引发肺癌。对于判断的可靠性，有多大把握不清楚。
由此，我们有必要探究更加科学合理解决问题的方法（即下面要学的独立性检验的方法）。
【设计意图】借助多媒体进行演示，引导学生观察图形的特征并分析，由此得出结论。
通过学生对列联表、二维等高条形图优劣的认识，体现出引入独立性检验方法的必要性。
3. 合作探究、建构理论。
（1）启发探究。
为了计算的方便和结论的一般性，把表1中的数字用字母代替，得到如下图所表示的列联表：
问题3：如何论证吸烟与患肺癌有关系？
学生1：有多大把握认为“两个分类变量有关系”，这是个概率问题。要研究两个变量有关系可以先研究其没有关系，即相互独立，就是研究其相互独立的概率关系，而我们可以用频率代替概率。
学生2：假设H0：吸烟与患肺癌无关系，用A表示不吸烟，B表示不患肺癌。
若H0成立 事件A与事件B相互独立 P（AB）=P（A）P（B）
问题4：在假设H0成立的条件下，你能将上述等式完全明确化吗，你能推导a、b、c、d有怎样的关系？（鼓励学生从多个角度考虑）
学生： ，其中n=a+b+c+d为样本容量，
即（a+b+c+d）a≈（a+b）（a+c）
即 ad≈bc （从多个角度均可导出ad≈bc）。
【设计意图】要研究两个分类变量有关系是不容易解决的问题，本着“正难则反”的思维方法，借助反证法的思维模式，将问题转化为两个分类变量独立，利用事件独立的概率相关知识，用频率代替概率，利用列联表由学生自己动手推导出，在H0成立的条件下有ad≈bc，进而引出随机变量K2公式中的部分结构（ad-bc）。
（2）新知解读。
问题5：通过上述推导得到ad≈bc，为表示其差异性，将其转化成|ad-bc|，那么直观上|ad-bc|的大小能说明什么？
学生：|ad-bc|值越小，说明吸烟与患肺癌之间的关系越弱。|ad-bc|值越大，说明吸烟与患肺癌之间的关系越强。为了使不同样本容量的数据有一个统一而又合理的评判标准，统计学家们经过研究后构造了一个随机变量
随机变量K2服从卡方分布，它类似我们前面学习过的正态分布。
以K2=6.635为例，P（K2≥6.635）≈0.01，就是说在H0成立的条件下，计算出随机变量K2的观测值大于或等于6.635的概率不超过0.01，也就是说在99%的情况下，其观测值是小于6.635的。
【设计意图】随机变量K2的理解是本节课的难点之一，利用概率知识解读卡方临界值表中数据的含义，有助于学生理解随机变量K2。本环节我没有按照教材的呈现顺序，而是将卡方临界值表提到前面来讲解，这样改变后能使学生首先了解随机变量K2的含义，并能体会到如果K2的观测值很大，就认为两个分类变量是有关系的合理性，为后面引出独立性检验的思想、方法和步骤作好铺垫，这样难点也就突破了。
（3）分组讨论。
问题6：利用卡方临界值表和K2的观测值判断，接受H0：认为吸烟与患肺癌无关系；还是拒绝H0：认为吸烟与患肺癌有关系？
学生：分小组利用卡方临界值表和K2的观测值k进行小组讨论，选择他们认为正确的结论。然后，每一小组选代表回答。
根据列联表1中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值为
因为在H0成立的条件下，P（K2≥6.635）≈0.01，即在H0成立的情况下，K2的观测值超过6.635概率非常小，近似为0.01，是一个小概率事件，而现在K2的观测值k≈56.632，远远大于6.635。所以，在一次实验中小概率事件发生了，有理由断定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”，但这种判断也会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。
【设计意图】让学生自己通过对卡方临界值概念的理解，亲身去体会是接受H0还是拒绝H0，实现教学重点，即理解独立性检验的基本思想。本环节设计是让学生先进行小组讨论，有些学生不会利用所学知识来分析问题，通过小组讨论，用集体的力量来进行知识的学习，能增强学生对独立性检验的了解，并体会到合作的有效作用。
（4）类比升华。
从整体思路上看，独立性检验的思想与反证法的思想有类似之处，请将下列表格补充完整，并体会它们各自的本质及两者之间的区别和联系，并尝试归纳独立性检验的一般步骤。
【设计意图】此问题的设计旨在使学生巩固独立性检验的基本思想，并与所学的反证法思想相对比，顺便归纳整理独立性检验的一般步骤。此问题难度较大，需要学生建立在对反证法与独立性检验的理论、思想及操作全过程都比较熟悉的基础上才能完成。
4. 数学应用、成果展示。
课前各小组收集了你们感兴趣的分类变量的相关数据，如性别与喜欢音乐、性别与晕车等等，利用本节课我们所学的独立性检验的基本思想、方法和步骤进行相关判断，看各自有多大的把握，认为它们之间有关系？
【设计意图】各小组将各自收集的分类变量数据进行独立性检验，并将检验结果展示给全体同学，加深学生对独立性检验思想的理解，体验数学在实际生活中的应用。同时用学生收集的分类变量数据做练习，更能提高学生的参与兴趣。
5. 小结引申、回顾反思。
由学生谈本节课学习的收获，并对所学内容进行归纳。
[设计意图]：理清本节课的知识体系，初步形成以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性。
6. 目标检测设计。
巩固作业：
教材第97页 习题3.2 第1、2题.
【设计意图】通过作业进一步建构独立性检验的思想体系。
7.板书设计。
3.2独立性检验的基本思想及其初步应用
【教学反思】根据教学经历和学生的反馈信息，我对本节课有以下几点反思：
1.本节课我充分调动了学生的兴趣，也体现了学生是探究的主体，培养了学生分析解决问题的能力。
2.在教材的处理上注重“削枝强干”。
3.在探究的过程中，仅从一个方面推导出ad≈bc，而学生从四个方面推导出ad≈bc，这是笔者没有想到的。
“双基”是指“基础知识”和“基本技能”.中国数学教育历来有重视“双基”的传统，同时社会发展、数学的发展和教育的发展，要求我们与时俱进地审视“双基”和“双基”教学.我们可以从新课程中新增的“双基”内容，以及对原有内容的变化（这种变化包括要求和处理两个方面）和发展上，去思考这种变化，去探索新课程理念下的“双基”教学.
一、如何把握新增内容的教学
这是教师在新课程实施中遇到的一个挑战.为此，我们首先要认识和理解为什么要增加这些新的内容，在此基础上，把握好“标准”对这些内容的定位，积极探索和研究如何设计和组织教学.
1.随着科学技术的发展，现代社会的信息化要求日益加强，人们常常需要收集大量的数据，根据新获得的数据提取有价值的信息，做出合理的决策.统计是研究如何合理地收集、整理和分析数据的学科，为人们制定决策提供依据；随机现象在日常生活中随处可见；概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础.因此，可以说在高中数学课程中统计与概率作为必修内容是社会的必然趋势与生活的要求.例如，在高二“排列与组合”和“概率”中，有一个重要内容“独立重复试验”，作为这部分内容的自然扩展，本章中安排了二项分布，并介绍了服从二项分布的随机变量的期望与方差，使随机变量这部分内容比较充实一些.本章第二部分“统计”与初中“统计初步”的关系十分紧密，可以认为，这部分内容是初中“统计初步”的十分自然的扩展与深化，但由于学生在学习初中的“统计初步”后直到学习本章之前，基本上没有复习“统计初步”的内容，对这些内容的遗忘程度会相当高，因此，本章在编写时非常注意联系初中“统计初步”的内容来展开新课.再如，在讲抽样方法的开始时重温：在初中已经知道，通常我们不是直接研究一个总体，而是从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况，由此说明样本的抽取是否得当对研究总体来说十分关键，这样就会使学生认识到学习抽样方法十分重要.又如在讲“总体分布的估计”时，注意复习初中“统计初步”学习过的有关频率分布表和频率分布直方图的有关知识，帮助学生学习相关的内容.另外，在学习统计与概率的过程中，将会涉及抽象概括、运算求解、推理论证等能力，因此，统计与概率的学习过程是学生综合运用所学的知识，发展解决问题能力的有效过程.
2.由于推理与证明是数学的基本思维过程，是做数学的基本功，是发展理性思维的重要方面；数学与其他学科的区别除了研究对象不同之外，最突出的就是数学内部规律的真确性必须用逻辑推理的方式来证明，而在证明或学习数学过程中，又经常要用合情推理去猜测和发现结论、探索和提供思路.因此，无论是学习数学、做数学，还是对于学生理性思维的培养，都需要加强这方面的学习和训练.因此，增加了“推理与证明”的基础知识.在教学中，可以变隐性为显性，分散为集中，结合以前所学的内容，通过挖掘、提练、明确化等方式，使学生感受和体验如何学会数学思考方式，体会推理和证明在数学学习和日常生活中的意义和作用，提高数学素养.例如，可通过探求凸多面体的面、顶点、棱之间的数量关系，通过平面内的圆与空间中的球在几何元素和性质上的类比，体会归纳和类比这两种主要的合情推理在猜测和发现结论、探索和提供思路方面的作用.通过收集法律、医疗、生活中的素材，体会合情推理在日常生活中的意义和作用.
二、教学中应使学生对基本概念和基本思想有更深的理解和更好的掌握
在数学教学和数学学习中，强调对数学的认识和理解，无论是基础知识、基本技能的教学、数学的推理与论证，还是数学的应用，都要帮助学生更好地认识数学、认识数学的思想和本质.那么，在教学中应如何处理才能达到这一目标呢？
首先，教师必须很好地把握诸如：函数、向量、统计、空间观念、运算、数形结合、随机观念等一些核心的概念和基本思想；其次，要通过整个高中数学教学中的螺旋上升、多次接触，通过知识间的相互联系，通过问题解决的方式.使学生不断加深认识和理解.比如：对于函数概念真正的认识和理解，是不容易的，要经历一个多次接触的较长的过程，要通过提出恰当的问题，创设恰当的情境，使学生产生进一步学习函数概念的积极情感，帮助学生从需要认识函数的构成要素；需要用近现代数学的基本语言――集合的语言来刻画出函数概念；需要提升对函数概念的符号化、形式化的表示等三个主要方面来帮助学生进一步认识和理解函数概念；随后，通过基本初步函数――指数函数、对数函数、三角函数的学习，进一步感悟函数概念的本质，以及为什么函数是高中数学的一个核心概念.再在“导数及其应用”的学习中，通过对函数性质的研究，再次提升对函数概念的认识和理解，等等.这里，我们要结合具体实例（如分段函数的实例，只能用图象来表示等），结合作为函数模型的应用实例，强调对函数概念本质的认识和理解，并一定要把握好对于诸如求定义域、值域的训练，不能做过多、过繁、过于人为的一些技巧训练.
三、 加强对学生基本技能的训练
熟练掌握一些基本技能，对学好数学是非常重要的.例如，在学习概念中要求学生能举出正、反面例子的训练；在学习公式、法则中要有对公式、法则掌握的训练，也要注意对运算算理认识和理解的训练；在学习推理证明时，不仅仅是在推理证明形式上的训练，更要关注对落笔有据、言之有理的理性思维的训练；在立体几何学习中不仅要有对基本作图、识图的训练，而且要从整体观察入手，以整体到局部与从局部到整体相结合，从具体到抽象、从一般到特殊的认识事物的方法的训练；在学习统计时，要尽可能让学生经历数据处理的过程，从实际中感受、体验如何处理数据，从数据中提取信息.在过去的数学教学中，往往偏重于单一的“纸与笔”的技能训练，以及对一些非本质的细微未节的地方，过分地做了人为技巧方面的训练，例如对函数中求定义域过于人为技巧的训练.特别是在对于运算技能的训练中，经常人为地制造一些技巧性很强的高难度计算题，比如三角恒等变形里面就有许多复杂的运算和证明.这样的训练学生往往感到比较枯燥，渐渐的学生就会失去对数学的兴趣，这是我们所不愿看到的.我们对学生基本技能训练，不是单纯为了让他们学习、掌握数学知识，还要在学习知识的同时，以知识为载体，提高他们的数学能力，提高他们对数学的认识.
事实上，数学技能的训练，不仅是包括“纸与笔”的运算、推理、作图等技能训练，随着科技和数学的发展，还应包括更广的、更有力的技能训练.例如，我们要在教学中重视对学生进行以下的技能训练：能熟练地完成心算与估计；能正确地、自信地、适当地使用计算机或计算器；能用各种各样的表、图、打印结果和统计方法来组织、解释、并提供数据信息；能把模糊不清的问题用明晰的语言表达出来；能从具体的前后联系中，确定该问题采用什么数学方法最合适，会选择有效的解题策略.也就是说，随着时代和数学的发展，高中数学的基本技能也在发生变化.教学中也要用发展的眼光、与时俱进地认识基本技能，而对于原有的某些技能训练，随着时代的发展可能被淘汰，如：以前要求学生会熟练地查表，像查对数表、三角函数表等.当有了计算器和计算机以后，就能使用计算机或计算器这样的技能替代原来的查表技能.
四、鼓励学生积极参与教学活动，帮助学生用内心的体验与创造来学习数学，认识和理解基本概念、掌握基础知识
随着数学教育改革的展开，无论是教学观念，还是教学方法，都在发生变化.但是，在大多数的数学课堂教学中，教师灌输式的讲授，学生以机械的、模仿、记忆的方式对待数学学习的状况仍然占有主导地位.教师的备课往往把教学变成一部“教案剧”的编导的过程，教师自已是导演、主演，最好的学生能当群众演员，一般学生就是观众，整个过程就是教师在活动，这是我们最常规的教学，“独角戏、一言堂”，忽略了学生在课堂教学中的参与.
为了鼓励学生积极参与教学活动，帮助学生用内心的体验与创造来学习数学，认识和理解基本概念，掌握基础知识，在备课时不仅要备知识，把自己知道的最好、最生动的东西给学生，还要考虑如何引导学生参与，应该给学生一些什么，不给什么、先给什么、后给什么；怎么提问，在什么时候，提什么样的问题才会有助于学生认识和理解基本概念、掌握基础知识等等.例如，在用集合、对应的语言给出函数概念时，可以首先给出有不同背景，但在数学上有共同本质特征（是从数集到数集的对应）的实例，与学生一起分析他们的共同特征，引导学生自己去归纳出用集合、对应的语言给出函数的定义.当我们把学生学习的积极性调动起来，学生的思维被激活时，学生会积极参与到教学活动中来，也就会提高教学的效率，同时，我们需要在实施过程中不断探索和积累经验.
五、借助几何直观揭示基本概念和基础知识的本质和关系
几何直观形象，能启迪思路、帮助理解.因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面.徐利治先生曾说过，只有做到了直观上理解，才是真正的理解.因此，在“双基”教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考、揭示研究对象的性质和关系，并且学会利用几何直观来学习和理解数学的这种方法.例如，在函数的学习中，有些对象的函数关系只能用图象来表示，如人的心脏跳动随时间变化的规律――心电图；在导数的学习中，我们可以借助图形，体会和理解导数在研究函数的变化：是增还是减、增减的范围、增减的快慢等问题中，是一个有力的工具；认识和理解为什么由导数的符号可以判断函数是增是减，对于一些只能直接给出函数图形的问题，更能显示几何直观的作用了；再如对于不等式的学习，我们也要注重形的结合，只有充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关系，才能使学生认识几何直观在学习基本概念、基础知识，乃至整个数学学习中的意义和作用，学会数学的一种思考方式和学习方式.
当然，教师自己对几何直观在数学学习中的认识上要有全面的认识，例如，除了需注意不能用几何直观来代替证明外，还要注意几何直观带来的认识上的片面性.例如，对指数函数y=ax（a>1）图象与直线y=x的关系的认识，以往教材中通常都是以2或10为底来给出指数函数的图象.在这种情况下，指数函数y=ax（a>1）的图象都在直线y=x的上方，于是，便认为指数函数y=ax（a>1）的图象都在直线y=x的上方，教学中应避免类似的这种因特殊赋值和特殊位置的几何直观得到的结果所带来的对有关概念和结论本质认识的片面性和错误判断.
六、 恰当使用信息技术，改善学生学习方式，加强对基本概念和基础知识的理解
关键词：概率统计；教学内容；教学方法；考核方法
中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1671—1580（2013）08—0149—02
概率论与数理统计是大学各专业必修的一门重要的基础课，在经济、管理、工程和农林医各个领域都有广泛应用，是应用最活跃、与人们生活关系最密切的数学分支。概率统计课程在各大学开设的历史久远，教学体系建设方面无论是教学内容还是教学方法、考核方式都形成了相对固定的模式，注重基本概念和理论知识的教学和考核，而轻实践，不能充分发挥概率统计课程本身理论实际密切结合的特点。随着大学教学改革的不断深化，要更好地为经济发展提供数学知识的支撑，必须探讨并实施教学体系改革新模式。
一、 概率统计教学体系现状分析
作为传统的数学课程，概率统计教材尽管林林总总，但内容相对固定，基本都包含随机事件及其概率、随机变量及其分布、数字特征、大数定律与中心极限定理、样本分布、参数估计、假设检验、回归分析等理论教学内容。无论是采用多媒体教学方式还是板书方式，或者是二者的有机结合，都只有课堂理论教学，缺乏实践性的教学环节。在课堂教学中也基本是教师讲授为主，以学生为主体的教学理念不能得到充分体现。考核方式主要是作业、测验和理论考试。传统的教学过程中往往只强调理论的严谨完整，只注重培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，而忽视了学生的动手能力与实践能力的培养，这就造成了学生学完课程后掌握了大量的定义、定理和公式，而在实践中却不会灵活运用课程的思想方法，或者由于统计计算复杂烦琐， 如果不掌握适当的计算机技术和统计分析软件仅通过手工计算难以实现，而使学生失去了学习的兴趣。所以在传统教学模式下，概率统计课程一直是学生认为比较难学的课程。从而导致理论实践严重脱节，影响了实际教学效果[1]。
另外，长期以来，学生只是把概率论与数理统计的学习当作一门考研的课程，于是有考研想法的学生会花很多时间做解题训练，没有考研想法的学生只为拿到学分了事，没有学习兴趣，碰到学习中的难点就出现逃避的现象，而没有体会到概率统计在实际生活和生产实践中的广泛应用。造成这种情况的原因也在于教学中重理论轻实践，学生只是被动接受理论讲授，没有实践环节的训练要求和考核，学生对概率统计的应用性自然就体会不到或体会不深。
二、概率统计教学体系改革模式
1.教学内容改革
自2004年新课标开始在高级中学试点以来，目前已在全国大多数高级中学推广，高中数学教材发生了很大变化，部分原来属于大学讲授的概率论与数理统计的知识内容现在高中已有涉及，高中和大学教学内容重叠部分必须做好新旧内容的过渡和衔接。由于目前大学课程学时都在压缩，这部分重叠内容可以通过快速回放的方式展现给学生，形成学生记忆的唤醒和再现，减少学时。
教学内容上，在基本理论教学中，适当穿插实践内容，将Excel、SPSS、Matlab这些数据分析软件在概率统计方面的应用功能提供给学生，如应用Excel函数功能计算各种分布[2]；在应用数字特征概念进行证券投资组合分析时，应用Matlab求解最大收益[3]；在数理统计假设检验和回归分析应用时利用SPSS[4]。从而引导学生加强概率统计的实际应用，提高学生利用计算机解决实际问题的能力。
在教学用例的选择上，尽量贴近学生的专业。由于概率统计课程是大学理工、财经、农林医各专业的必修课程，一般教材中例题的选择也涉及多个领域，但如果在例题、习题的选择上下些功夫，通过更新例题，将概率统计的基础理论与专业实践相结合，就能更好地激发学生学习兴趣，提高学生在专业领域运用概率统计知识的能力。如对于财经专业学生，在用例选择时可以使用保险理赔、证券投资方面的例题，对于医学专业学生，选择疾病发生、医学检验方面的例题。这项工作的确需要在课程内容准备方面花费更多的精力，有时还需要结合专业期刊的最新研究成果，有时需要教师自己设计题目，但如果做得成熟了，也会促进教材建设工作。
2.教学方法改革
（1）学生自学加讨论教学法
高中教改实施多年，学生无论是自学能力还是对概率统计知识的内容了解程度都有了显著提高，因此，对于概率统计大学高中内容重叠部分，可以提前在网上自学提纲和研讨内容，通过在课堂上以学生为主体的方式解决问题，最后教师总结和做知识点快速回放，从而压缩部分学时，提高教学效率，增加课容量。
对于Excel、SPSS、Matlab这些数据分析软件，由于课程学时有限，也不可能在课堂上花很多时间讲授，只能指明软件的使用方向，由学生通过自学的方式来完成。这部分内容的自学建议以小组学习的方式开展，由学习能力强的学生牵头，带动团队成员完成学习和讨论，最后将学生解决不了的问题和疑问提交给教师。
（2）问题-理论-应用归纳式教学法
概率统计是应用上最活跃的数学分支之一，教学中要充分反映课程本身的特点。在课堂讲授理论时，先提出应用案例，让学生先了解实际背景，然后再给出理论上的解决方法，最后利用理论知识完成案例的求解。[5]如在讲授概率计算时，引入摸奖游戏中奖概率、抽签公平性问题和生日问题；在讲授统计推断中假设检验时，先引入各种检验问题。目的就是引起学生的思考兴趣，加深理论实际应用的印象，同时理论讲授时要注重思想方法的介绍，而不仅仅是结论。这种基于问题的案例教学法要贯穿于理论教学的大部分。
3.考核方法改革
对于概率统计这样的基础课程，理论考核是必要的，但在总考核成绩中所占比重可以缩小，从而增加实践环节的考核。考核方式包含平时作业、实践报告以及期末理论考试。其中平时作业比重可以在10%～15%，期末理论考试比重不超过60%，增加实践报告。
实践报告一般可以结合上述几种工具软件解决一些实际应用，其中包含问题背景、数据分析、结论，建议以小组方式完成。具体实施环节，例如在讲授常用离散型随机变量分布时，安排二项分布、超几何分布和泊松分布结果比较实验，通过利用Excel函数功能实现；在讲授数字特征时，安排投资组合分析实验，应用Matlab或Excel实现，讲授假设检验时，安排SPSS实验。
总之，教学改革的发展对概率统计课程的教学提出了更高的要求，通过教学内容、教学方法和考核方法的不断探索和实践，创新教学模式并付诸教学实践是高等学校教师义不容辞的责任。同时，新的教学模式更加突出了学生的主体地位，更强调学生的主观能动作用，因此新的教学模式的实施也对学生提出了更高的要求，更有利于培养学生的自学能力和解决实际问题的能力，从而使学生在今后的学习和工作实践中具备更强的竞争能力。
[参考文献]
[1]段玉.关于财经类专业《概率论与数理统计》课程体系改革探讨[J].教师，2009（03）.
[2]姚敏.关于大学概率统计课程教学改革的几点思考[J].吉林省教育学院学报，2011（08）.
[3]周晓阳.数学实验与Matlab[M].武汉：华中科技大学出版社，2002.
【关键词】灰色系统；灰色关联分析；建模；语块发展
本文为2016年度国家社科基金项目“基于复杂动态系统的学术英语语块能力发展建模研究”（16BYY097）的阶段性成果之一.
一、前言
数学建模就是在数学的帮助下解决复杂而现实的问题.教育部（2003）在普通高中数学课程标准指出：“数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程”，而实际问题应来自“学生的日常生活、现实世界、其他学科等多方面”.因此，尝试着用数学建模处理外语学习过程中遇到的疑难现象，也是数学应用价值的体现.
在英语写作和口语交流的语言输出过程中，词汇搭配难对外语学习者来说是一个普遍的共性问题，出现了词汇深度习得中的“高原现象”.国内外的研究发现，语块对语言综合能力有很强的预测性，恰当运用语块有助于提高语言交际的流利性和选词地道性，有利于克服“高原现象”（段士平），是针对性解决词汇搭配难的有效途径.语块发展研究一直是二语习得领域热点.由于语块是一个形式、意义和功能结合的复杂语言系统（戴曼纯），学习者的语块发展过程出现了非线性、动态交互性特征（Ellisetal）.因此，找出影响语块能力发展的因素，尽快提高语块能力水平，解决外语学习者英语写作中面临的词汇搭配难这一普遍问题，是摆在我们面前的一项十分重要的任务，对英语写作具有针对性借鉴意义.
语块能力发展是一种抽象系统，包含有众多不同的因素，是这些不同因素共同作用的结果决定了该系统的发展态势.具体而言，影响语块能力发展的多因素包含以下3个维度：（1）语块本体维度：结构类型、韵律、语义透明度等；（2）语境维度：输入频率、母语一致性等；（3）学习者维度：英语水平、性别等.但是，在上述诸多因素中，哪些是主要因素，对语块系统发展影响大；哪些因素是次要因素，对系统发展影响小；哪些因素对语块系统发展起推动作用需要强化发展，哪些因素对系统发展起阻碍作用需加以抑制……这些都是系统分析中人们普遍关心的问题（刘思峰等）.为了取得良好的习得效果，就必须进行系统分析.基于灰色系统理论，本研究试图通过数学建模解决上述问题.
二、传统系统分析方法中存在的问题
系统分析的传统方法大多采用数理统计中的回归分析和方差分析等.回归分析是应用最广泛的一种方法.但是，运用该方法时存在以下问题：
1.要求大量的数据样本，如果数据量少，不满足大样本要求时上述方法未找到图形项目表.均不能奏效；
2.要求“随机不确定”样本呈典型的、较好的概率分布，但是实际情形并非如此；
3.分析的对象是静态的，即各个因素数据与系统特征数据之间呈现线性相关关系且各个因素之间彼此无关.回归分析不能分析因素间的动态关联程度.
另外，采取跟踪研究、提取可靠性数据需要长期的、高密度的跟踪实验.但是，长期的语块能力发展跟踪可靠性实验费时、费力、不易操作.因此，研究和采用正确、恰当而又简单易行的试验方法，不仅有利于保证和提高结果的可靠性，而且能够大大地节省时间、人力和费用.由此可见，用数理统计规律预测具有很大的局限性.
为弥补概率统计方法的不足，克服回归分析的局限性，我们拟采用灰色系统理论.它是一种常用的不确定性系统研究方法，着重研究概率统计难以解决的“少数据”“贫信息”不确定问题，并通过序列算子的作用探索事物运动的客观规律.因此，本文拟从灰色系统的角度出发，运用灰色关联分析和灰色预测模型MGM（1，n）对影响语块能力发展的各个因素进行统一的灰关联分析，根据因素间关联程度的强弱，将具有相同变化趋势的因素视为一个子系统，利用统一描述多变量变化的灰色模型建立该子系统的数学模型，再预测子系统中语块能力的发展态势，旨在为语块能力发展可靠性研究提供一种新的研究方法.
三、灰色系统理论――灰色关联分析
灰色系统属于系统论的范畴.该理论自邓聚龙教授80年代初创立以来，迅速受到人们的高度重视.鉴于现实世界中不确定系统的普遍存在，灰色系统已广泛应用于教育、社会、经济、农业和生态等系统.灰色系统理论是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法，它把随机变量都看作是在一定范围内变化的灰色量.对于灰色量的处理是根据数据处理的方法找数据间的规律，而不是找概率分布，求统计规律.灰色系统理论将随机量看作是在一定范围内变化的灰色量，按适当的办法将原始数据进行处理，将灰色数变换为生成数，从生成数进而得到规律性较强的生成函数.例如，某些系统的数据经处理后呈现出指数规律，这是由于大多数系统都是广义的能量系统，而指数规律是能量变化的一种规律.灰色系统理论的量化基础是生成数，从而突破了概率统计的局限性，使其结果不再是过去依据大量数据得到的经验性的统计规律，而是现实性的生成规律.
该理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“少数据”“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的开发，提取有价值的信息，实现对系统行为、演化规律的正确描述和有效控制（刘思峰）.因此，灰色系统具有建模所需信息少、建模精度较高等特点.目前，灰色系统理论已成功地应用于各个系统领域，并取得了可喜的成就.灰色系统理论有可能通过对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，成为人们认识客观系统、改造客观系统的一个新型的理论工具.
灰色理论包括灰色关联分析、灰色预测GM（1，1）等模型.灰色关联分析是灰色系统理论中的一个活跃的分支，其基本原理是由序列曲线几何形状的相似程度来判断不同序列之间的联系是否o密.其基本思路是通过线性插值的方法将系统因素的离散行为观测值转化为分段连续的折线，然后根据折线的几何特征构造测度关联程度的模型.折线几何越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小.
四、灰色关联分析模型建立与求解
语块能力发展是一个时间序列，通过灰色关联分析，求得语块系统行为反映量与其他影响因素之间的关联度，再结合语块理论，确定出与影响因素关联性强且符合语块习得情况的所有影响因素，则这些因素具有相同的变化发展趋势，将此类因素作为语块一段时期内的一个子系统对待.研究数量较少的子系统的动态变化，即代表了研究所有语块的变化情况.灰色关联分析建模步骤如下：
1.选准反映系统行为特征的数据序列，即找到系统行为的映射量，用映射量来间接地表征系统行为.就语块能力发展而言，基于语料库提取不同时间点学习者正确使用的语块数量，将其作为语块能力发展系统行为的映射量.
2.消除量纲，使系统行为特征映射量与相关因素具有可比性，保证建模的质量和系统分析的正确结果，需要数据初始化，变换数据，通过算子作用，使之化为数量级大体相近的无量纲数据，并将负相关因素转化为正相关因素.本研究的相关因素包括语块的结构类型、韵律、语义透明度、母语一致性以及学习者的语言水平等.由于提取的这些因素的数据量纲不同，需要运用下列模型对数据初始化，转化为大体相近的无量纲数据.
由（2）可以看出，关联度是把各个时刻的关联系数集中为一个平均值，即把过于分散的信息集中处理.利用关联度这个概念，可以对影响语块能力发展的各种因素进行分析.
最后，模型求解.根据以上建立的模型，利用Matlab软件将搜集的相关因素的数据代入进行求解.根据计算出的相关系数可以确定影响语块能力的主要因素的次序.理清诸多变量中哪些因素“完全联结”在一起，便于预测主要因素之间以何种方式进行互动和整合.因此，在语块教与学的过程中，应着重考虑这些主要因素的训练.这样可以减少词汇学习的盲目性，提高语块学习效果.
五、结论
综上所述，从灰色系统出发，运用灰色关联分析建模方法研究英语词块能力的发展是一项新的研究方法，具有广阔的应用前景，克服了数理统计中回归分析的缺陷，基于灰色关联度，确定了影响语块发展的主要因素，有助于后期开展显性聚焦语块能力课堂教学、跟踪搜集反映学生语块能力增长变化的数据、分析刻画教学模式与语块能力之间的关系、拓展前述建模结果的意义、优化模拟数据与测量数据的拟合度，以此来修正模型.
【参考文献】
[1]Ellis N，Simpson-Vlach R，Maynard C.Formulaic language in native and second language speakers：Psycho-linguistics，corpus linguistics，and TESOL[J].TESOL Quarterly，2008（3）：375-396.
[2]戴曼纯.语块学习、构式学习与补丁式外语教学[J].外语界，2012（1）：52-60.
[3]段士平.从词块能力看词汇深度习得中的“高原现象”[J].国外外语教学，2007（4）：27-32.
关键词：重庆；高考数学；纵向比较；复习建议
近五年重庆市高考数学试题紧密结合全市实施课程改革的教学现状，区分度、信度和效度的控制符合考试性质，文理科试题既有联系又有较大差异，有利于高考数学考查目标及数学课程目标的实现；试题立足于学科核心内容和主干知识的考查，就试题的难度来看，无论是文科还是理科有递减的趋势，比如2014年只有重庆卷、北京卷最简单，三份全国卷难度次之，四川、天津、陕西、辽宁、浙江卷较难，江西、江苏卷最难，甚至比重庆理科还难.重庆的这种命题模式成功实现了新旧课标的平稳过渡，值得一提的是2014年理科和文科的第10题、第21题，文科的第15题有一定的创新意识，这也符合“平稳中创新”的高考指导思想.总的来说，坚持了对基础知识、数学思想方法进行考查.试卷有层次、多角度、广视点地考查了考生数学理性思维能力，考生对数学本质的理解能力及考生的数学素养和潜能.试卷对课程中新增内容和传统内容进行了科学、规范的结合，真正体现了新课程理念. 重庆卷与其他各地高考试卷相比有非常明显的特点：注重基础，力图创新；注重思维，考查能力；承上启下，确保稳定. 下面将重庆近五年高考数学做如下分析，力求寻找高考命题规律，达到掌握规律、高效复习的目的.
[?] 近五年重庆高考数学纵向比较分析与2015考点预测
（一）文科数学（见表1）
1. 必考热点
（1）集合的交并补集运算（解一元二次不等式、指数对数不等式）.
（2）等差、等比数列的性质及其通项公式、前n项和.
（3）三角函数的图象与性质（周期性、单调性、奇偶性及最值等），图象变换，三角函数值的计算与恒等变换，利用正弦定理、余弦定理解三角形等.
（4）向量的平行、垂直、数量积公式应用.
（5）概率：古典概率或几何概率（蕴涵线性规划思想）.
（6）双曲线的离心率（近四年均考）.
（7）解一元二次不等式（单独考查或在导数大题中考查）.
（8）利用函数的导数求极值或求切线或单调区间.
（9）直线与圆的位置关系或圆的性质.
（10）立体几何，考查点线面的位置关系，求棱锥、棱柱的体积或面积等.
（11）椭圆与圆，考查椭圆与圆的标准方程，直线与椭圆和圆的位置关系（双曲线、抛物线降低要求，由掌握降为了解）.
2. 新增热点
（1）复数的代数运算（近两年均考）.
（2）程序框图（近两年均考）.
（3）利用几何体三视图求其体积或面积（近两年均考）.
（4）命题关系（近三年均考）.
（5）函数零点（2014年考查，重点考查方程思想、数形结合思想）.
（6）函数奇偶性（近三年均考）.
（7）均值不等式求最值（2010年、2011年、2014年均考）.
3. 考查冷点
（1）线性规划（仅2010年考查，近四年未考，2014年几何概率蕴涵线性规划思想.从2014年全国各地（按照天利38套总结）的18套高考卷来看只有五个省市没考，13个省市均考）.
（2）线性回归（仅2013年考查）.
（3）抛物线（仅2010年考查，近四年未考）.
（4）幂函数（近五年未考），考纲要求：①了解幂函数的概念，②结合函数 y=x，y=x2，y=x3，y=，y=x的图象，了解它们的变化情况.
（5）茎叶图（仅2013年考了茎叶图与概率），作茎叶图、众数、方差、极差近五年未考.
（6）独立性检验（近五年未考，2014年仅安徽、辽宁卷进行了考查，今年重庆高考考试说明中未作要求）.
（7）系统抽样（近五年未考，新课标下考纲新增了对“系统抽样”的考查）.
（8）指对数运算（近五年未考，但2011年、2012年考过对数值大小比较）.
（二）理科数学（见表2）
1. 必考热点
（1）复数相等的充要条件与其加减乘除运算和模的运算.
（2）等差、等比数列的通项公式、前n项和及其性质.
（3）三角函数的图象与性质（周期性、单调性、奇偶性及最值等），图象变换，三角函数值的计算与恒等变换，利用正弦定理、余弦定理解三角形等.
（4）向量的平行、垂直、数量积公式应用. 新课标增加了对含义和意义的理解，要求掌握数量积的坐标表达式，了解数量积与向量投影的关系，能用数量积表示两个向量的夹角.
（5）函数的单调性、奇偶性、周期性与最值.
（6）利用排列组合求概率，求离散型随机变量的分布列与期望.
（7）直线与圆的位置关系或圆的性质.
（8）立体几何，考查点线面的位置关系，求棱锥、棱柱的体积或表面积等.
（9）利用函数的导数求极值或求切线或求单调区间.
（10）椭圆与圆，考查椭圆与圆的标准方程，直线与椭圆和圆的位置关系（双曲线、抛物线降低要求，由掌握降为了解）.
（11）求解数列中的某些指标并证明与之有关的不等式.
（12）集合的交并补集运算（2011年未考，2010、2012、2013、2014年均考）. 增加了“能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题”、“能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算”；要会求集合的交、并、补，能识别给定集合的子集.
（13）常用简易逻辑，命题关系（近四年均考）.
2. 新增热点
（1）程序框图（近两年均考）.
（2）利用几何体三视图求其体积或面积（近两年均考）.
（3）排列组合（近三年均考）.
（4）平面几何中圆的有关性质、极坐标、不等式选讲内容三选二.
（5）向量解法的考查（2013年考了选择压轴题）.文科不再要求向量解法，而理科考纲提高了要求，强化了对向量解法的考查，比如理科学生可强化训练例1.
例1 如图1，AB∥MN，且2OA=OM，若=x+y（其中x，y∈R），则终点P落在阴影部分（含边界）时，的取值范围是_________.
简要分析：
若P在直线AB上，则x+y=1；
若P，O在直线AB同侧，则x+y
若P，O在直线AB异侧，则x+y>1，
所以由终点落在阴影部分得出x，y满足的约束条件为x+y≥1，
x+y≤2，
x≥0，y≥0，接着把变形为=+1，然后由线性规划知识即可求得其取值范围是
，4.
3. 考查冷点
（1）线性规划（仅2010年考查，近四年未考）.
（2）线性回归（仅2014年考查）.
（3）双曲线离心率（仅2014年考查）.
（4）函数零点（仅2013考查）. 函数与方程考纲要求：①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程的存在性及根的个数. ②根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
（5）抛物线（近两年未考，前三年均考）. 理科降低了对双曲线的要求，由“掌握”改为“了解”，文科降低了对双曲线、抛物线的要求，由“掌握”改为“了解”.
（6）均值不等式求最值（近三年未考，仅在2014年导数大题中涉及一步，2010、2011年均考查）.
（7）频率分布（近五年未考）.
（8）有关定积分的选择、填空题（未考）.
理科新增“定积分与微积分基本定理，考纲要求：①了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；②了解微积分基本定理的含义.
（9）幂函数（近五年未考），考纲要求：①了解幂函数的概念；②结合函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=x的图象，了解它们的变化情况.
[?] 2015年高考数学高效复习建议
1. 重视教材，狠抓基础
注意基础知识的全面性复习，立足中低档题目，降低复习的重心，注重复习的过程教学，提高学生的思维能力.
数学试题区分度的增加是必然的，但考查基础的趋势是不会变的，主要是适当增加创新成分，同时又保留一定的基础分. 因此，基础题仍然是试题的主要构成部分，是学生得分的主要来源. 坚持以中低档题为主的训练策略，第一轮复习的要点一是要对准110分，加强低、中档题的训练，尤其是对选择题和填空题的训练；二是在“三基”的训练中，力求过手. 在每个阶段都要做到三个回归，即“回归教材，回归基础，回归近几年的高考题”.
以课本为基础，全面整合知识，总结方法，注意知识点之间的衔接，抓知识点之间的交汇点，这是高考命题的一个特点，也是一个重点. 从基础知识中提炼数学思想和数学方法. 要求做到：
（1）对概念的理解一定要深刻、准确；
（2）明确公式、定理的原理及正逆推导的过程；
（3）掌握好各个知识点之间的相互联系，寻找它们的交集点.
事实上，有很多的高考数学试题都是从课本上基础题目的直接引用或稍作变形而得到的. 第一轮复习一定要重视基础，切忌盲目追求进度，要认真引导学生理清知识发生的本质，如一些重要公式、定理等的来龙去脉，帮助学生构建起高中数学的基础知识网络. 曾记得2010年四川高考数学解答题要求推导两角和的余弦公式让很多考生无从下手，至今让人心有余悸，这给我们既是教训又是经验，必须吃一堑，长一智，争取不再出现复习盲点. 所以必须多阅读教材，以避免一些知识盲点. 同时在复习中必须克服眼高手低的毛病，不要好高骛远，充分以课本中的例题、习题为素材，通过变形、引申、发散等方式形成典型的例题，构建知识块，提炼通性通法，必要时尽量一题多解和多题一解，以帮助学生对基础知识融会贯通，基本技能和思想方法得到充分的训练和培养.
2. 潜心研究，高瞻远瞩
教师要认真学习《考试说明》、《课程标准》，要仔细琢磨历年高考试题的命题特点及其稳定性和变化趋势，明确高考考什么，考到什么难度；明确命题形式、题型分布、知识点的覆盖规律；明确每年命题的创新点、思想方法的切入点、能力考查的力度等，使复习有明确的方向. 要明确当年高考在内容、难度和题型要求上将要发生的变化，哪些内容被删去了，哪些内容降低了要求，哪些内容是增加的，都要做到心中有数. 同时参考全国各地其他省市的高考试题，因为说不定其他省市今年的试题类型就是咱们今后的考题类型. 如表3所列举的就是2014年全国各地文科高考试题中值得师生研究借鉴的题目.
比如陕西省2014年文科高考数学第21题、天津市2014年文科高考数学第19题解法不太常见，又有一些创新之处，很容易出现误解或无从下手，值得师生认真分析和研究，下面做简要赏析.
例2 （2014陕西文科第21题）设函数f（x）=lnx+，m∈R.
第（3）问：若对任意b>a>0，
思路：因为b>a>0，
例3 （2014天津文科第19题）已知函数f（x）=x2-ax3（a>0），x∈R.
第（2）问：若对于任意x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）・f（x2）=1，求a的取值范围.
思路：设A={f（x）
则由题意得A?B，且0?B. 再讨论a的取值范围进行求解.
3. 畅游题海，提炼战术
学生学好数学就必须做题，各种类型题目的训练是必须的，我们不主张题海，但一定要提倡题海战术.要善于在解题后进行归纳总结，达到积累解题经验，提高解题水平的目的.
我们在选题时要注意题目的典型性、注意训练的目的性，要紧扣新课程标准，编写教案，突出重点，注重基础. 注意对题型难度的控制和跟踪练习题的配套使用，在夯实基础的同时做到由浅入深，由特殊到一般，真正做到“解一道题，会一类题”.
帮助学生积累解题经验，注重题型归纳，提高解题水平. 解题经验主要包括：对某种类型的问题我们应该如何思考，怎样解最简捷？比如：如何证明函数的单调性？怎样求函数的最大（小）值？如何证明直线与平面垂直？怎样求直线与平面的角？复合函数的单调性有什么特点？椭圆的通径和焦点三角形有什么特征等等？还有解选择题时首选特值法，解答解析几何大题时，若第二问太复杂可按照固定的程序，联立方程，利用韦达定理写出一些关系式，后边采取直接放弃的战术一样可以得到不菲的分数，等等，这些都是构成高考题的一些基本要素或有效解题的一些基本技巧和结论，都是值得考生认真总结和记忆的内容. 当然不是要陷入题型分类与结论记忆之中，但记忆与把握一些基本思路和常用结论（数据），还是十分必要的，这对提高学生解题的起点和速度，增强看问题的深度十分有益.
4. 数学思想，渗透讲解
主要思想方法有：函数与方程、化归与转化、分类与整合、数形结合与分离、有限与无限、特殊与一般. 在平时的讲解中，无意识地提醒学生注意归纳数学思想. 如当学生做函数题时，可以给学生说：“函数题做不出来时，可以首先画出图形，然后由图形直观感受和理解”，其实体现的是数形结合的数学思想. 当学生做求值题时，可以给学生说：“求值时，可以先假设一个未知数，列一个等式，算出未知数就可以了”，其实体现的是函数与方程的思想. 总之，在平时的教学中教会学生的思维方法，授学生以渔是非常重要的.
5. 通法特技，两全其美
新课标中明确删除了“要从学科整体意义和思想价值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度”这句话. 通性通法，是解决某类问题的基本方法，具有通用性，强调通性通法为的是有利于学生把握相关知识内容最本质的东西，有利于学生形成基础知识的结构和网络，也有利于消除多数学生的恐怖心理，能够增强学生学好数学的信心. 然而通性通法一般解决不了创新题或背景新颖的题型，对优生得高分有很大的阻碍. 所以还得学会一些特殊的方法和技巧，其思维具有一定的发散性，能对学生进行创造性思维训练，有利于调动学生学习的兴趣和积极性，有利于创新型问题的解决.
例4 （2014全国新课标2卷文科第12题）
如图2，设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（ ）
本题是2014年全国新课标高考2卷文科数学选择压轴题，从命题者的角度认为该题能较好地考查考生的转化与化归思想、数形结合思想在解题中的应用及综合分析能力，是一道拔高能力题，难度较大.
常规解法：设出直线MN的倾斜角为α，利用其倾斜角与直线OM的倾斜角θ满足方程α=θ+45°，从而找到其斜率与x0的关系式.
k=tan（θ+45°）===（x0≠1）（当x0=1时单独验证成立）.
而直线MN：y-1=（x-x0），化简得：（x0+1）x+（1-x0）y-（x+1）=0，
则O到MN的距离满足≤1，化简得-1≤x0≤1，故选A.
特殊解法：验证当x0=1成立，可排除B、D，再验证x0=时，由于∠OMN=45°，N点最远在与圆相切位置成为切点. 由ONMN，得OMN应为等腰直角三角形，而由图可知明显ON=MN不成立，所以排除答案C，故只能选择A.
很明显，用常规解法求解太复杂，像平时这样“小题大做”的训练方式可以训练学生的思维严谨性，训练学生的分析问题的能力和运算能力，但高考时，如果这样操作，就太浪费时间. 而特殊解法利用了图形和答案的特殊性，很快得出了答案，充分体现了特值法的优越性. 所以通法特技需灵活应用，争取两全其美.
6. 良好习惯，注重培养
（1）解题速度. 考试讲究的是“任务完，时间到”，而不是“时间到，任务完”，要争分夺秒，复习一定要有速度的训练，避免“小题大做”，如例4.
（2）计算能力. 数学就得做题，做题就得运算，虽然近几年高考试题计算量有所减少，但并不是对计算能力降低了要求.要熟练、准确、简捷、快速运算.
（3）规范表达. 高考以中低档题为主，通过审题后获得正确的解题思路相对容易，如何准确而规范地表达出来就显得重要了，因此，要克服“会而不对，对而不全”的问题，从开始就得注意规范化的表达. 学生因为书写不规范，没条理失分的现象十分普遍，表现在：丢三落四，只求三言两语，无关键步骤（如方程），不求推理有据，更谈不上整齐、清洁、美观. 要求师生在每一节课都要按高考答题格式板书一道题的全部解答过程的做法一定要落实.
