时间：2023-09-14 17:44:20
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇高中数学求最小值的方法，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词：数学思维;数学;思维障碍
所谓高中学生数学思维，是指学生在对高中数学感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握高中数学内容而且能对具体的数学问题进行推论与判断，从而获得对高中数学知识本质和规律的认识能力。然而，在学习高中数学过程中，我们经常听到学生反映上课听老师讲课，听得很“明白”，但到自己解题时，总感到困难重重，无从入手;有时，在课堂上待我们把某一问题分析完时，常常看到学生拍脑袋：“唉，我怎么会想不到这样做呢？”事实上，有不少问题的解答，同学发生困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无法解决，而是其思维形式或结果与具体问题的解决存在着差异。因此，研究高中学生的数学思维障碍对于增强高中学生数学教学的针对性和实效性有十分重要的意义。
一、高中学生数学思维障碍的形成原因
如果在教学过程中，教师不顾学生的实际情况（即基础）或不能觉察到学生的思维困难之处，而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从;另一方面，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新旧知识中间缺乏必要的“媒介点”时，这些新知识就会被排斥或经“校正”后吸收。因此，如果教师的教学脱离学生的实际;如果学生在学习高中数学过程中，其新旧数学知识不能顺利“交接”，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足、理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题能力的提高。
二、高中数学思维障碍的具体表现
于高中数学思维障碍产生的原因不尽相同，作为主体的学生的思维习惯、方法也都有所区别，所以，高中数学思维障碍的表现各异，具体的可以概括为：
（1）数学思维的肤浅性：由于学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的去理解，一般的学生仅仅停留在表象的概括水平上，不能脱离具体表象而形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质。
（2）数学思维的差异性：由于每个学生的数学基础不尽相同，其思维方式也各有特点，因此不同的学生对于同一数学问题的认识、感受也不会完全相同，从而导致学生对数学知识理解的偏颇。这样，学生在解决数学问题时，一方面不大注意挖掘所研究问题中的隐含条件，抓不住问题中的确定条件，影响问题的解决。如非负实数x，y满足x+2y=1，求x2+y2的最大、最小值。在解决这个问题时，如对x、y的范围没有足够的认识（0≤x≤1，0≤y≤1/2），那么就容易产生错误。另一方面学生不知道用所学的数学概念、方法为依据进行分析推理，对一些问题中的结论缺乏多角度的分析和判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而造成障碍。如函数y=？f？（x）满足f（2+x）=f（2-x）对任意实数x都成立，证明函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称. 对于这个问题，一些基础好的同学都不大会做（主要反映写不清楚），我就动员学生看书，在函数这一章节中找相关的内容看，待看完奇、偶函数、反函数与原函数的图象对称性之后，学生也就能较顺利的解决这一问题了。
三、高中学生数学思维障碍的突破
在高中数学起始教学中，教师可以帮助学生明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教，分别给他们提出新的更高的奋斗目标，使学生有一种“跳一跳，就能摸到桃”的感觉，提高学生学好高中数学的信心。
例：高一年级学生刚进校时，一般我们都要复习一下二次函数的内容，而二次函数中最大、最小值尤其是含参数的二次函数的最大、小值的求法学生普遍感到比较困难，为此我作了如下题型设计，对突破学生的这个难点问题有很大的帮助，而且在整个操作过程中，学生普遍（包括基础差的学生）情绪亢奋，思维始终保持活跃。设计如下：
（1）求出下列函数在x∈[0，3]时的最大、最小值：（1）y=（x-1）2+1，（2）y=（x+1）2+1，（3）y=（x-4）2+1
（2）求函数y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]时的最小值。
（3）求函数y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值。
上述设计层层递进，每做完一题，适时指出解决这类问题的要点，大大地调动了学生学习的积极性，提高了课堂效率。
诱导学生暴露其原有的思维框架，消除思维定势的消极作用。在高中数学教学中，我们不仅仅是传授数学知识，培养学生的思维能力也应是我们的教学活动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、推论等对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。
例如：在学习了“函数的奇偶性”后，学生在判断函数的奇偶性时常忽视定义域问题，为此我们可设计如下问题：判断函数？f（x）=x3在区间[2-3a，a2]上的奇偶性。不少学生由f（Dx）=Df（x）立即得到f（x）为奇函数。教师设问：①区间[2-3a，a2]有什么意义？②y=x3一定是奇函数吗？通过对这两个问题的思考学生意识到函数？只有在a=2或a=1即定义域关于原点对称时才是奇函数。
建构主义源自认知发展的理论。总体来说建构主义是对知识、学习、学生以及教学有着共同的主张和看法，其核心就是：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构，强调学习的建构性、主动性、情境性和社会性等，而这与当前高中数学课程改革恰好是一致的。为适应新的高中数学新课程教学，建构主义在高中数学新课程教学中的应用可以考虑从以下几个方面展开。
一、目标指引，创设情境
建构主义理论认为学习具有目标指引性和情景性，因此，我们在高中数学教学中提出的“目标指引，创设情景”的教学策略。例如高中新教材“二倍角公式应用”，教学上可如下设计问题情景：导入新课教学，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上选择一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边落在半圆的直径上，另两点B，C在半圆的圆周上。已知半圆半径为a，如何选择关于点O对称的点A、D 的位置，可使绿地面积最大?设计如下问题：
问一：问题的本质是什么？（最优化选择或最大值问题）；
问二：解决问题的前提是什么?（确定A、D位置）；
问三：A、D位置是由什么量决定的？（OA或OD的长度）；
问四：什么方法可解决上述问题?（目标函数法）；
问五：你有几种构造目标函数的思路?
这样的问题本身具有现实意义，源于生活，可快速吸引学生注意力。
二、独立探索，积极体验
1.引发主体，主动探索
这是激发学生主动学习的原则。苏霍姆林斯基说：“教给学生能借助已有的知识去获取新知识，是启发学生思考积极性的教学技巧。”教学过程中，创造条件，让学生根据教师提出的目的和途径，运用已有的知识，生活经验，动脑、动手、动口，进行观察、实验、计算、阅读、思考等，主动地研究问题、探索知识。为了充分发挥学生学习的自主性，在课堂教学中教师应尽量引导学生进行探究发现学习。
2.研究认知结构．促进学生主动建构
以求二次函数最值为例，我们可以设计如下一系列问题，循序渐进地对学生进行训练。
复习练习：求函数y=x2+2x+3的最大值和最小值；
拓展迁移：求函数y=x2+2x+3在一l≤x≤0时的最大、最小值；
提高训练：求函数y=x2+2x+3在t≤x≤t+1时的最大、最小值；
强化训练：已知x2-3x≤0，试讨论y=x2+2x+3的最值情况；
能力提高训练：若x≥0，y≥0，x+2y=l求t=x+y2的取值范围。
在教学时充分发挥新旧知识的连接点、不同点，不仅有利于学生主动建构形成良好认知结构，同时也能为后继学习打下坚实的基础。
3.建构解题模式
对指导学生解题，波利亚认为，在解决一个自己感兴趣的问题之后，要善于去总结一个模式(或称为模型)，并井然有序地储备起来，以后才可以随时支取它去解决类似的问题进而提高自己的解题能力。因此，在教学过程中，我们要善于建构解题模式，指导学生解题。在探讨等差数列前n项和时，其中就蕴藏着一个重要的解题模式――逆序相加模式，在教学时可以加强它的运用。我们可以运用这一模式来很好解决这样一道题：求证Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）Cnn=（n+2）2n-1。
三、协作学习，引导民主气氛
建构主义认为学习是具有社会性，在个人学习的基础上开展小组讨论、协商，通过不同观点的交流，以进一步补充、修正和深化对当前问题的理解，而协作的学习环境应该是民主、和谐的，为此在高中数学新课程教学中可以重点运用“协作学习，引导民主气氛”的教学策略。
建构主义理论认为社会性的互助可以促进学习，学习者与社会环境的交互作用，对于学习内容的理解起着关键性作用。学生们在老师的教导和指引下一起讨论和交流，在高中数学课堂中可以采取三四人一组的小组讨论，鼓励学生积极发言，共同建立学习群体并成为其中一员，在协作学习的环境中，整个学习群体一起完成对知识的意义和构建。
参考文献
[1]李长存 构建课堂主体教学模式的探索[J].中小学教师培训，2010，7。
关键词：数学思维 数学思维障碍
高中学生的数学思维的形成是建立在对高中数学基本概念、定理、公式理解的基础上的；发展高中学生数学思维最有效的方法是通过解决问题来实现的。在学习高中数学过程中，我们经常听到学生反映上课听老师讲课，听得很“明白”，但到自己解题时，总感到困难重重，无从入手，事实上有不少问题的解答，同学发生困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无法解决，而是其思维形式或结果与具体问题的解决存在着差异，也就是说，这时候，学生的数学思维存在着障碍。这种思维障碍，有的是来自于我们教学中的疏漏，而更多的则来自于学生自身，来自于学生中存在的非科学的知识结构和思维模式。如果教师的教学脱离学生的实际；如果学生在学习高中数学过程中，其新旧数学知识不能顺利“交接”，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足、理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题能力的提高。学生数学思维障碍的形成，不仅不利于学生数学思维的进一步发展，而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。所以，在平时的数学教学中注重突破学生的数学思维障碍就显得尤为重要。
1. 在高中数学起始教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，尤其在讲解新知识时，要严格遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展学生的主动精神，培养学生良好的意志品质；同时要培养学生学习数学的兴趣。兴趣是最好的老师，学生对数学学习有了兴趣，才能产生数学思维的兴奋灶，也就是更大程度地预防学生思维障碍的产生。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教，分别给他们提出新的更高的奋斗目标，使学生有一种“跳一跳，就能摸到桃”的感觉，提高学生学好高中数学的信心。
例：高一年级学生刚进校时，一般我们都要复习一下二次函数的内容，而二次函数中最大、最小值尤其是含参数的二次函数的最大、小值的求法学生普遍感到比较困难，为此我作了如下题型设计，对突破学生的这个难点问题有很大的帮助，而且在整个操作过程中，学生普遍（包括基础差的学生）情绪亢奋，思维始终保持活跃。设计如下：
1〉求出下列函数在x∈[0，3]时的最大、最小值：（1）y=（x-1）2+1，（2）y=（x+1）2+1，（3）y=（x-4）2+1
2〉求函数y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]时的最小值。
3〉求函数y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值。
上述设计层层递进，每做完一题，适时指出解决这类问题的要点，大大地调动了学生学习的积极性，提高了课堂效率。
二、重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择，它既不是对基础知识的具体应用，也不是对应用能力的评价，数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做，至于做得好坏，当属技能问题，有时一些技能问题不是学生不懂，而是不知怎么做才合理，有的学生面对数学问题，首先想到的是套那个公式，模仿那道做过的题目求解，对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手，无法解决，这是数学意识落后的表现。数学教学中，在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，将数学意识渗透到具体问题之中。如：设x2+y2=25，求u= 的取值范围。
若采用常规的解题思路，μ的取值范围不大容易求，但适当对u进行变形：转而构造几何图形容易求得u∈[6，6 ]，这里对u的适当变形实际上是数学的转换意识在起作用。因此，在数学教学中只有加强数学意识的教学，如"因果转化意识""类比转化意识"等的教学，才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。所以，提高学生的数学意识是突破学生数学思维障碍的一个重要环节。
1. 诱导学生暴露其原有的思维框架，消除思维定势的消极作用。在高中数学教学中，我们不仅仅是传授数学知识，培养学生的思维能力也应是我们的教学活动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、推论等对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。
例如：在学习了"函数的奇偶性"后，学生在判断函数的奇偶性时常忽视定义域问题，为此我们可设计如下问题：判断函数 在区间[2 6，2a]上的奇偶性。不少学生由f（x）=f（x）立即得到f（x）为奇函数。教师设问：①区间[2 6，2a]有什么意义？②y=x2一定是偶函数吗？通过对这两个问题的思考学生意识到函数 只有在a=2或a=1即定义域关于原点对称时才是奇函数。
使学生暴露观点的方法很多。例如，教师可以与学生谈心的方法，可以用精心设计的诊断性题目，事先了解学生可能产生的错误想法，要运用延迟评价的原则，即待所有学生的观点充分暴露后，再提出矛盾，以免暴露不完全，解决不彻底。有时也可以设置疑难，展开讨论，疑难问题引人深思，选择学生不易理解的概念，不能正确运用的知识或容易混淆的问题让学生讨论，从错误中引出正确的结论，这样学生的印象特别深刻。而且通过暴露学生的思维过程，能消除消极的思维定势在解题中的影响。当然，为了消除学生在思维活动中只会"按部就班"的倾向，在教学中还应鼓励学生进行求异思维活动，培养学生善于思考、独立思考的方法，不满足于用常规方法取得正确答案，而是多尝试、探索最简单、最好的方法解决问题的习惯，发展思维的创造性也是突破学生思维障碍的一条有效途径。
当前，素质教育已经向我们传统的高中数学教学提出了更高的要求。但只要我们坚持以学生为主体，以培养学生的思维发展为己任，则势必会提高高中学生数学教学质量，摆脱题海战术，真正减轻学生学习数学的负担，从而为提高高中学生的整体素质作出我们数学教师应有的贡献。
参考文献
1、任樟辉《数学思维论》（90年9月版）
徐 健
（镇江市实验高级中学，江苏 镇江 212000）
摘 要：数列是高中数学的重点和难点，从数列学习中我们可以看到函数知识在孤立自变量中的运用，展现了元素的孤立美．本文从不同的视角去审视数列教学的思想性，旨在分析高三数列复习教学中的数学思想的重要性，意在提高学生分析、解决数列问题的眼界．
关键词：数列；数学思想；函数思想；整体思想
中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：
数列是函数的特殊情形，是一种不连续函数在高中数学中的具体体现．对数列的考查，足以体现学生分析问题的严谨性、整合性，从中可以体会到学生解决无穷数量问题的逻辑分析能力和运算能力，一直是各地高考的重点和难点．
从另一方面来首，我们知道高三复习教学不能仅仅以大量的重复训练为根本复习手段，这样会使学生陷入学习的枯燥情绪和知识的低效运作中，是一种效率极低的教学方式．通过多年教学的经验，笔者认为高三复习教学以一轮复习作为基本，辅以专题形式的总结性训练，诸如：知识点交汇处的专题或思想方法的专题等等，能在一定程度上使学生得到数学解题能力质的飞跃．本文将以高三数列复习中的独特视角，以数学思想方法为载体谈谈数列复习的高效性．
一、函数思想解数列
数列是一种特殊的函数，这表明数列问题至始至终围绕着函数思想进行运作，这就要求我们在解决数列问题时，多多以函数思想的角度思考数列的问题，比如可从函数的三大性一窥某些数列的性质，利用函数图像的分布研究数列的图像特征等，达到转化化归的目的，既运用数学思想解决问题又降低数列问题的解决难度．
例1 已知数列{an}．（1）若an＝n2－5n＋4，①数列中有多少项是负数？②n为何值时，an有最小值？并求出最小值．（2）若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
分析：（1）求使an<0的n值；从二次函数看an的最小值．（2）数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4，f(n)在N*上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性．
解析：（1）①由n2－5n＋4<0，解得1<n<4，n∈N*，n＝2或3，数列中有两项是负数，即为a2，a3．
②an＝n2－5n＋4＝n－522－94的对称轴方程为n＝52，又n∈N*，当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2．
（2）由an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－k2<32，即得k>－3．
说明：（1）我们知道，本题中数列的通项公式显然是以二次函数为背景的，对二次函数图像、性质、最值等基本的研究可以方便我们轻松解决此类数列通项问题，足以体现函数思想在数列问题中的重要运用；（2）值得注意的是，数列不是连续的函数，因此对二次函数对称轴的使用要当心；（3）利用单调性解决数列问题时，要注意自变量的范围，函数与数列是不可分割，但也是有区别的．
二、整体思想解数列
整体思想是高中数学各个章节中贯穿始终的数学思想，其主要体现在能否用整体的眼光去看待一个数学问题，尤其是数学公式的重要运用，有些学生在解决数学问题时往往“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，正是因为其没有用整体思想看待数学公式的使用，导致其解决问题寸步难行．
例2 设等差数列 的前 项和 ，前 项和 ，求它的前 项的和 ．
分析：（1） ，只需求出
即可．（2）由 ， 可以构造出 ，并求出．
解析：方法一：设 的公差为 ，则由 ， ，得 ，
②－①得 ， ， ，
．
方法二：设 ，则 ，
③－④得 ． ， ，
， ．
说明：（1）整体思想是高中数学中凌驾于知识体系思想方法之上的整体性思想方法，其体现在高中数学飞公式运用等重要环节，对本数列问题而言，两种解答均用到了数学的整体思想，其中法一把 看成了一个整体，法二把 看成了一个整体，大大简化了数列的运算量；（2）针对数列整体思想的运用，笔者建议首先要培养学生在公式运算中的整体意识，包括很多数学公式运算中要常常提起整体思想，诸如三角函数公式 的使用就是整体思想最好的体现；（3）对整体思想的运用还需要学生对数学计算的熟练程度，对观察的要求也较高，值得教师在教学中不断进行渗透．
总而言之，数学学习的最高层次是数学思想方法的学习，是数学的心脏，是教师数学教学的核心．
高中数列问题中显示出多种的数学思想方法，以本文为例彰显较为重要的函数思想和整体思想，将思想方法渗透进学生的脑海中，远比大量进行题海训练而巩固学生的知识来得牢固．这就是天津师大教授顾沛对思想方法进行这样的总结：“用训练来巩固学习，是初级的学习方式；而用思想方法看待学习，是一种高端的享受学习．”
因此掌握高中数学思想方法并能在数列问题中熟练运用，得益于教师日复一日的渗透和学生用心的感知．在数列复习教学中还要对其他的思想方面进行全面渗透，诸如数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，考虑到这些常规思想在教学中涉及较多，本文未做详细展开，而是对更全面的两个数学思想进行了结合例题的阐述，通过问题提高学生看待数列本质的能力，使其在掌握扎实的双基的同时，将知识点进行有机的整合，最终上升到思想方法的高度进行提炼，久而久之的磨练可以提升学生的数学能力和数学素养．限于篇幅，本文对两方面的思想方法浅显的做了分析，其他思想方法的研究还不够完善，恳求读者指正补充．
参考文献：
[1]沈恒.运用整体思想求数列[J].中学数学教学参考(上半月),2009,(10).
[2]刘见乐.用函数思想指导高中数学解题[J].中国数学教育,2011,(05).
圆系方程的主要运用方式是将参数与图像相结合，以便于加深学生对题干的理解.在几何题解题过程中，适合既定条件的圆构成了一个圆系，一个圆系的共同形式的方程称之为圆系方程.将圆系方程运用于高中几何题型中，能帮助有效解决几何问题，提高解题效率.因此，有必要对圆系方程在数学解题中的具体应用进行研究和探讨.
一、借助圆系方程求圆的方程
高中数学具有一定的逻辑性和抽象性，学生在学习过程中若不是全身心投入，则很容易将各项概念和性质等混淆，导致教学效率不高.教材中关于求圆的方程式的内容和经典题型比较多，但一般的解题思路是通过已知条件求得圆的半径和圆心标之后，再得出圆的方程式.这种方法的操作比较麻烦，不利于学生在考试过程中使用.并且过长的计算时间容易导致学生在解题过程中出现计算错误或常识性失误等.若借助圆系方程，则可首先假设适合已知条件的圆系方程，列出含有未知数l的相关参数，并依据题干给出的条件进行运算，求出直径l的值，这样，运算量明显减少.
在给出的解题参考中，先对两圆的交点坐标进行求解，再假设方程，将已知的点直接代入，借助待定系数法求得待定系数的值，最后得出圆的方程.相比之下，圆系方程的运用，减少了解题耗费的时间.需注意的是，实际解题过程中，学生切不可不认真审题就直接采用圆系方程求解.使用圆系方程的基本前提是了解题干及潜在解题条件，充分分析完题干，再选择求解方式.
二、求两圆的公共弦或两圆的公切线方程
针对这一类型数学题，一般解题思路是将两圆的方程看做F（x，y）+λG（x，y）=0，取λ的值为-1，则可解答方程，这种解题方式相对比较简单.由于教材中没有涉及具体圆系方程的知识点，可将其转换为一般式方程之后联立，将两个方程式相减，可得到两圆的公切线方程.一般情况下，借助圆系方程解决此类问题，需首先确定两圆的位置关系，再进行下一步的计算.
例2：已知圆C：x+y+2x+8y-8=0，圆C：x+y-4x-4y-2=0，求两圆的位置关系.
根据教材内容可知，两圆存在不止一个公共点.此题的解题关键是确定两圆的位置关系，在清楚了位置关系之后，即可借助圆系方程，求出两圆的公共直线的方程式.此时可知公共弦的方程式为x+2y-1=0.
此时需注意的是，若无法准确判断两圆的位置关系，经过计算所得的直线方程，不能直接将其界定为公共弦，或者公切线方程.学生在实际解题过程中应认真理解题干和要求，有效利用已知条件及蕴含条件进行解题.
通过圆系方程的运用，简化了原本需要联立方程式和计算的过程，大大缩短了解题时间.同时，此题运用圆系方程解题的正确率更高，学生不易由于数字特征而产生常识性失误.
三、借助圆系方程判断直线与圆的位置关系
高中数学中，要求对直线与圆的位置关系进行判断，是比较常见的题型.教材中给出了代数解题法和几何解题法两种，代数法需要对方程进行消元处理，继而得到一元二次方程，这一方法的计算量比较大，学生容易在解题过程中发生计算错误等问题.因此，解题过程中可尽量不用代数法.几何法相对更简单一些，首先求出圆心距直线的距离d，再将半径r与直线d进行大小判断，通过两者的关系确认，进而判断圆与该直线的位置关系.但几何法大多运用于比较简单的问题.针对部分比较难的问题，借助圆系方程进行解答准确性更高，也更简便.
例3：圆系方程x+y+2kx+（4k+10）y+10k+20=0（k∈R，k≠-1）中，求任意两个圆的位置关系.
此题中的圆系方程可转换为x+y+10y+20+k（2x+4y+10）=0；
由方程2x+4y+10=0，以及x+y+10y+20=0，可知该方程表示的直线与圆呈相切的关系.
因此，可得该圆系方程表示的两个圆有一个公共点.
四、借助圆系方程求最小面积的圆的方程
高中数学中，求最小面积或最大面积的圆的方程的题型比较常见，常规的解题方法也相似，即只要知道满足圆的最小面积的半径的方程式即可.而将圆系方程运用于这类题型中，解题过程则更加简单.
例4：求经过两圆x+y=5，（x-1）+（y-1）=16的交点，且面积最小的圆的方程.
此题若采用常见的解题方法，需首先联立方程，求得两圆的交点.再设所求的对象圆的方程，在其中发现各项变量之间的关系，最终获得半径的最小值.这类解题方法有一定的可行性，但解题所需时间较多.借助圆系方程则可减少运算所需的时间，提高解题效率.
两圆相交直线的方程式为2x+2y-11=0，则经过直线2x+2y-11=0与圆x+y=5相交的点的圆系方程为x+y-25+l（2x+2y-11）=0，为了求得最小半径，两圆的相交直线须为所求的圆的直径；
因此圆心坐标为（-1，-1），在弦2x+2y-11=0上，所以l=-，所求的圆的方程表示为（x-）+（y-）=.
需注意的是，在高中数学题中，通常求最小面积的圆的方程与求最大面积的圆的方程的题型比较多，两者有相似之处.
高中数学题一般具有较强的综合性，对学生逻辑思考能力和解题思维都有所要求.将圆系方程运用于高中数学解题过程中，通过简化题干、设已知条件等方式，不仅能够减少解题所耗费的时间，简化解题程序，还能够促使学生能够在更短的时间内完成解题.并且，在不断的训练和解题过程中，学生逐渐养成较强的逻辑思维和解题习惯，进而促进数学成绩的提高.此外，教师应引起注意，积极寻找解决该类问题的途径，从而使学生在考试当中获得理想的成绩.
参考文献：
[1]王慎.圆系方程在高中数学解题中的应用[J].数理化解题研究（高中版），2015，07：12.
[关键词]初高中 数学学习衔接教学
很多学生初中数学成绩尚可，步入高中却普遍认为数学难学，究其原因，主要有以下两个方面：一是教材内容形式不适应，近年义务教育初中教材难度降低较大，而高中教材自成体系，内容形式简单，但实际操作要求很高；二是学习方法不适应。在初中，学生都是在老师的概括归纳下，将老师讲过的东西照搬照套，做熟习题即可，而高中则要求学生勤于思考，善于举一反三，能归纳探索各种规律。然而刚步入高一的新生往往沿用初中那套学习方法，结果感到数学难学。怎样有效地缩短高一新生对高中数学的不适应期， 使他们尽快顺应高中数学的教学活动是每一位高一老师思考的问题，本人在高中教学中探索了一些初高中数学教学衔接问题上的做法。下面，本人就从以下几个方面略述一些浅见。
1 激发学生的学习兴趣，充分调动学生的主动性和积极性。兴趣是进行有效活动的必要条件，是成功的源泉。所以，要使学生学好数学，就要调动他们学习的主动性，使学生认识并体会到学习数学的意义，感觉到学习数学的乐趣。鉴于学科特点，教学时应加强教学的直观性，象物理、化学一样，通过直观性使学生理解概念、性质；另外在教学时，应设计一些接近学生最近发展区的问题，尽量做到问题的提出、内容的引入和拓宽生动自然，并能自然地引导学生去思考、尝试和探索。在数学问题的不断解决中，让学生随时享受到由于自己的艰苦努力而得到成功的喜悦，从而促使学生的学习兴趣持久化，并能达到对知识的理解和记忆的效果。
2 衔接好教材内容。初高中教材内容相比，高中数学的内容更多、更深、更广、更抽象；同时，高中数学更多地注意论证的严密性和叙述的完整性、整体的系统性和综合性。因此在高中教学中，要求教师利用好初中知识，由浅入深过渡到高中内容，起点低，步距小，抚平高初中数学的“台阶”，下面以《二次函数》教学为例谈谈。
具体教学可如下安排：(a)一元二次方程、不等式；(b)一元二次函数的最值及应用；(c)闭区间上二次函数的最值；(d)含参一元一次方程的讨论；(c)含参二次函数在闭区间上的最值讨论初步；(f)一元二次方程根的分布。每节中编入适当练习，例如在(c)节中编入理解性练习：
一边围墙，另三边用50米长的篱笆围成一个长方形场地，设垂直院墙的边长为X米，写出场地面积y与x的函数关系式并说出边长为多少时，面积最大。(初中课本习题)
理解性练习：
函数少=x2+2x+3若其定义域分别为R，[-1，0]，[t，t+1]时，求它的最小值。
巩固性练习：
0≤x≤3：3试讨论y=x2+3x的最值情况。
在(e)节中编入理解性练习：
y=x2+2mx，X∈[－1，1]求它的最小值。
巩固性练习：
y=x(2a-x)在X∈[0，2]时有最大值a2，求它的范围。
讲完上述内容后再进行集合、函数的教学，逐步进入高中数学新领地。搞好二次函数教学首先是对高中数学多角度思维的初次展现，因为初中学习的二次函数通过配方法可解决问题，不需要考虑定义域，而现在要定区间，看图象，讨论对称轴，此举打破了以往“只看前方，不顾左右”的单一思维模式，使学生体会到思维需要更加广阔，促进他们在今后的学习中积极思考，刻苦钻研；其次，搞好二次函数教学可以以此渗透函数与方程的思想、分类讨论的数学思想、转化的思想和数形结合的思想等等。总之，抓二次函数的衔接教学能完善和发展学生的认知结构，有效地缩短初高中数学知识跨度的鸿沟。
一、高中数学解题教学现状
1.解题技巧过于具体
高中数学解题教学中存在解题技巧过于具体化的问题，一些教师过分关注典型题目解法，并且这些题目都给出了几种解题方法，导致这类题的解题思路固定化，使得一部分教师认为没有必要再仔细研究课本.其实课本给出的解题方法才是最基础的、最通用的，只有熟练掌握课本中的解题方法，才能在此基础上探究出很多其他方法.课本中的解题方法虽然不是最典型的、最简单的，但注重学生的基础知识训练，如果忽视了这些，必会带来学生基础的薄弱.
2.过于依赖解题教学
目前，很多高中教师很依赖解题教学，在教学中搞题海战术，认为学生解题能力与数学高分直接挂钩.虽然提高学生的解题能力是高中数学的目的，但题海战术并不是达到这一目的的有效途径.教师常把题目分类，针对各题型例子讲解并做大量的训练，使学生达到
识别模型，熟练套用的效果.这种方法虽有一定的效果，但学生缺乏反思的时间，学生所掌握的是解题步骤的套用，偏重于记忆能力培养，弱化了思维能力培养.
3.缺乏反思解题习惯
高中数学大量的题海训练，使学生少了反思的时间，这不利于学生反思解题习惯的培养.一些学生追求解题数量，很少反思解题中出现的问题，不愿意花时间纠正，不愿意整理自己的解题思路，导致解题中会犯同样的错误，导致解题教学效率低下.解题反思需要调动学生的积极主动性，只有学生主动反思，才能提高解题效率.
4.解题迁移能力较差
数学解题过程中，部分学生虽然了解了要考查的知识点与内容，但由于对知识点的掌握不牢，缺乏解题能力，不能很好地理解解题方法.由于一味的追求解题量，忽视了对基础知识的学习，对数学概念、定理等知识的掌握停留在表层，不利于举一反三能力的培养，不利于数学知识的迁移能力培养.
二、高中数学解题教学的反思途径
1.反思知识点
高中数学解题教学中会涉及到很多知识点，如果学生掌握的知识点不系统，解题中就会出现就题论题的现象，这不利于学生解题能力的培养.因此，解题教学中教师应引导学生积极反思知识点，通过解题使学生对数学公式、定理等知识的掌握更为条理、系统，弄清新旧知识之间的联系脉络，从而提高解题能力.例如：设函数f（x），g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，当x=0时，f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，且有f（6）=0，解关于x的不等式f（x）g（x）>0.这道题注重新旧知识间的联系，学生仔细观察f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0后，很容易就能发现与h（x）=f（x）g（x）的导数有密切关系，所以构造函数h（x），得出当x>0时，h（x）的单调性.学生在解题中通过知识间的联系引入了构造函数法非常好，为了加深学生理解，教师应引导学生深入反思，全面考虑问题.课本中有很多这样的例题，教师教学中应注重引导学生反思知识点，从而引导学生在解题中加深对知识的理解与掌握，提供具体反三的能力.
2.反思题目条件
为了提高学生灵活解题的能力，解题教学中可引导学生反思题目条件开展变式教学，如通过变换题目条件得出新结论，从而使学生掌握更多的知识，拓展学生的知识面.例：点P在椭圆x24+y2=1上运动，求定点Q（0，3）与动点P的距离|AP|的最小值.这对学生来说是很简单的，对这样的题，教师应引导学生变换题目，得出不同的结论.变式的方法多种多样，如结论变式：将求最小值变为求最大值.已知变式：将椭圆改为双曲线x23-y2=1；将定点Q变为（0，t） （t>0），求|AQ|的最大值；将椭圆改相关的圆、抛物线等等.这样反思解题条件，能使学生考虑条件与结论之间的联系，由一题多变提高学生思维的灵活性、深刻性，从而优化解题思路.
3.反思解题方法
数学解题教学中不断反思解题方法，能学会从不同的角度、侧面分析问题，从而拓展学生视野，提高思维的灵活性与深刻性.例：已知等腰三角形腰上的中线长是3，则该三角形面积的最大值是（ ）.对这类题教师应引导学生反思解题方法是否可以推广，因为等腰三角形是轴对称图形，解题中常借助直角坐标系进行研究，采用数形结合思想解决.同时条件中给出了“中线”，求三角形面积时可以运用三角形重心性质.对这一问题有多种解法，能进行多角度的转化，教师先不要列出解题方法，让学生讨论反思，培养学生思维的灵活性与变通能力，从而调动学生积极性.
4.反思结论作用
高中数学解题中，有些题目很简单，但是其结论应用较为广泛.解题教学中如果只是找出解题方法，忽视对结论的探索是很可惜的，因此应反思结论在解题中的作用，比如：证明一个定圆上任意一点到与圆相离的定直线上最大距离是圆心到直线距离加上半径，最小距离是圆心到直线距离减去半径.这个问题很容易证明，但它的结论给了我们很大的启示，例如圆C：x2+y2=1，直线l：x-y+a=0，试讨论圆上有几个点到直线距离等于2.很显然运用刚才的结论，再加以讨论就可以得到.
5.反思易错点
【关键词】二次函数；高中数学；函数关系
初三级教材对二次函数有了基本的介绍，但是由于学习任务的划分，初中阶段并没有要求对二次函数的应用。在以函数为主导高中数学中，二次函数占了很大的比重，高中数学任务强调知识的运用能力，这也就要求高中生对二次函数有更深入的了解，对二次函数的解答和模型建立都有详细的概念和较好的运用能力。
一、二次函数的定义
初中课本中界定，主要从函数关系上说明二次函数：一般来说，如果自变量x和因变量y之间存在着如下关系：均为常数，且，我们就称x是y的一元二次函数。但是高中数学从映射观点上重新解释二次函数：二次函数就是从一个结合A（定义域）到另一个集合B（值域）上的一个映射f：AB，使得集合B中的元素均为常数，且与集合A的元素X一一对应，用函数表示为：为常数，且其中为对应法则，又表示定义域中元素X的象。
二、二次函数定义域和值域问题
定义域和值域问题是二次函数中比较简单的求解问题。
定义域就是函数关系中的自变量的取值范围，如果没有要求，就要根据情况进行自己选定，一般情况下都去全体实数，遇到实际问题模型是，要可以根据问题进行取舍，比如说向实际的生产运输问题，这类要求是x≥0。有时，定义域的取值是间断的几段曲线，比如|x|>2，这是解答时要特别注意端点的取舍问题，有时候我们所得到的解就在端点，但是一个等号的取舍不当可能断送一道题目。求解定义域时，解尽可能写成集合形式，从小到大依次书写，这也可以降低解函数表达式不完整的情况。
值域就是的对应y的取值，在高中数学中，值域的考察还是相当多，值域特别注意的极值问题，在值域计算中，要注意断点和端点的。一般求值域的方法是找到全部的端点和极值点，分别求出对应的数值，同时准确判断出各个点之间的单调性，这样可以罗列出一组取值范围，在这些值中找到连续段和孤立点，然后进行解的集合组合。
三、二次函数单调性和最值问题
单调性就是指函数在某个区间段中呈现出的变化趋势，单调性的求解用来判断函数的最大值或者最小值，也可以用来判断实际函数模型的生产关系。在高中数学中，直接求解单调性的问题不多，大都是通过单调性的判断，进行相关最值、极值的计算。
最值问题是高中数学函数重要的部分之一，最值的求方式有很多，主要有画图法、配方法、因式分解法、到导数分析法，在具体问题分析时，要根据题设要求，选择最简单可行的方法。
四、二次函数的应用
【参考文献】
[1]王刚.浅谈二次函数在高中数学中的应用[J].科技视界，2012，（13）.
[2]张丹文.浅谈二次函数在高中数学中的应用[J].学周刊：A，2012，（6）.
关键词：高中数学 化归思想 解题思路
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）11（b）-0128-02
化归思想是一种常见而又特殊的解题思想，同时，也是一种最基本的思维策略，更是一种切实可行的数学思维方法。简单地说，化归思想就是指我们在解决某一数学问题时，采用某种手段将问题通过变换的形式，转化成简单的、易求解的、具体的、直观的问题，从而解决问题的一种方法。在高中数学例题中，化归思想无处不在，它能有效地减少学生解题的时间，而且还能增强学生解题后获得的成就感，同时，还能锻炼学生解题思维能力。正因如此，化归思想受到了广泛的关注。
1 化归思想分析
1.1 内涵
根据笔者对化归思想的认识，其内涵可以表达为用真命题证明新命题，用现有概念来定义新概念，并以此来处理各种新问题，也正是这种特殊的内涵，使得数学可以通过一定的改造与手段来构建一些新的体系，让数学内容与形式变得丰富多彩。而在高中数学中，化归思想的影子随处可见，如方程求解化归为一元或二元方程求解，立体几何问题通过空间向量转化为代数问题，数列求和问题转化为等差或者等比数列问题，函数问题转化为导数问题等。
1.2 明确内容及模式
在应用化归思想时，应注意明确三项内容：化归的对象、化归的目标以及化归的途径。其中，化归的对象为转化变更部分；化归的目标是将化归的对象转化为能处理的问题；化归的途径是为实现化归的目标所采取的方法。这种途径在我们高中数学里常见的形式有：换元、配方、割补、向量表达等，我们可以将此分为三大类：数量特征的转化、数学形式特征的转化、位置关系的转化。而化归思想的一般模式如图1所示。
1.3 原则
化归思想所要遵循的一般原则有：简单化原则、具体性原则、标准化原则、和谐统一性原则以及低层次化原则。
2 化归思想在高中数学中的实际应用
2.1 不等式直接转化问题
转化问题可谓是化归思想里的核心问题，是将待解决问题转化为易解决的问题，在这个过程中，需要利用一些基本的定义、定理以及熟悉公式或者图形描述，使得问题一目了然，得到快速解决。
例1，（2008年江苏数学试卷）设，，均为正实数，证明：≥。
解题思路：利用高中数学里熟悉的不等式公式，将例一的证明直接转化，即注意到，，均为正实数，可以得到≥，于是≥，倘若能证明≥，那么问题得证，现有不等式≥成立，故，当且仅当时，等号成立，即原问题得证。
当然，也有些数学题是直接利用表1的关系来命题的，例如，已知0≤≤6，为实数，不等式恒成立，试求的取值范围。
2.2 换元法问题
换元法也是化归思想里的一种常见的方法，它是将一些过于复杂的不等式或者方程、函数等化归为比较直观而又简单的问题。在我们高中数学中，基本都是局部换元，即将一些式子视为一个整体，并用某个变量去替换，从本质上来讲，这是一种等量化归思想，即构造元或者设置元使得我们求解的复杂问题逐步简化。
例2，（2008年浙江数学试卷）若，求（）。
（A） （B）2 （C） （D）-2
解题思路：现令，，由可得，而由知，故，联立两个等式得，求得，所以，，因此，答案选（B）。
2.3 数与形的转化问题
在高中数学里，数与形密不可分，两者相互转化，相互渗透，数缺少了图形辅助则便少了主观性，形缺少了数则难以描述，由此可见，作为高中数学里最基本的研究对象，数与形体现了两者在高中数学里最重要的一面，即几何与代数的结合，而从思想方法来看，数与形的转化也更加直接地体现了化归思想。当然，只要我们善于观察数与形之间的关系，并将其具体应用到数学解题中去，那么，我们相信在今后的高中数学学习中，准确而快速的解题方式将大受欢迎。
例3，已知恒等式，试求的最小值。
解题思路：将关于数的问题直接转化为形的问题，即把原问题看作是在求点到点之间的最短距离，也就是求点到直线距离中最短的距离，由我们熟悉的点到直线距离公式便可求得。
值得说明的是，在问题处理上，巧妙地进行了转化，使得代数问题更加直观地化归为平面几何问题，这样做的好处在于它能避开求最值r所要考虑的条件满足问题。
2.4 多维向低维转化的问题
多维向低维的转化，在高中数学里最为常见的就是空间几何问题，如物体的运动轨迹、空间截图等，可以说是将三维空间问题转化为平面几何问题，并在二维平面基础上，应用现有的公式、定义、定理等，最终把待求解问题逐一简化，使我们解题更容易。
例4，如图2所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知，且，现有一物体从点出发，沿着长方体ABCD-A1B1C1D1的表面运动至点，试求物体在这个运动过程中的最短路程？
解题思路：将上述长方体ABCD-A1B1C1D1视为一个正六面体的盒子，并将其最右边平面与最后边平面展开，分别得到如图3和图4的俯视图，由高中数学知识里的平面几何中两点之间直线段最短原理，即可求出该物体运动的最短路程必是、、这三者之一。
通常，求解最值问题基本都是转化为函数形式，但是，该题是空间几何运动问题，且题中并没有告诉已知的函数，故转化为函数形式行不通。然而，平面几何求最值的方法很多，如两点距离最短原理等，因此，通过化归思想将问题化归为二维平面问题，可使求解问题变得更加简单。
3 结语
综上所述，化归思想在高中数学中非常重要，它能帮助我们快速地、准确地将一些复杂的、抽象的问题化归为简单易懂的问题。我们在学习数学知识的过程中，要善于运用化归思想，这样我们的数学思维能力才会得到锻炼和拓展，同时，数学问题也能得到解决。
参考文献
[1] 杨宇.高中数学教学中运用化归思想的案例分析[D].天津师范大学，2012.
[2] 付秀凤.高中数学教学中运用化归思想的案例分析[J].都市家教月刊，2015（10）.
[3] 王平.高中数学教学中运用化归思想的案例探讨[J].数理化解题研究，2015（15）：11.
[4] 刘纯伟.化归思想在初中数学教学中的应用研究[D].上海师范大学，2015.
[5] 蒋瑭涵.化归思想在高中数学函数学习中的运用[J].求知导刊，2015（12）：116.
【关键词】高中数学 教学 实效性 策略
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）09-0138-01
伴随着高中新课程改革的逐步推行，提高课堂教学的时效性开始成为一种新的教学理念。数学作为高中教育的重要学科，新课标的教材呈现出目前数学的教学不能只局限于培养学生的思维逻辑推理能力，而要提高学生丰富深刻的数学文化素养。这为高中数学教学既带来了机遇，也带来了重重的挑战。因此只有提高教学活动的实效性，才能紧跟时代步伐，才能完成新课标下的教学目标，达到教师预期的教学效果。笔者欲结合自己的教学实践，欲从以下几方面入手提高数学课堂教学的实效性。
一、加强教师对学生掌握程度的把握
高中的学生面对高考的压力，学习任务的繁重，加之数学这门学科对学生的知识储备和逻辑推理思维能力要求极高，导致相当一部分学生跟不上老师的讲解，课堂上出现“对牛弹琴”的现象。教师在完成一个新的教学任务之前，需要对学生的知识储备，认知水平及基本推理思维逻辑能力做基本的了解，从中既促进了教学活动的有效进行，又能切实地对学生的学习的状况、态度以及情感价值观念进行指导，顺利地完成了新课标要求的三维教学目标。因此，教师对学生掌握已有知识程度的了解显得十分重要，否则，会导致教师在课堂教学的盲目性，不能较好地完成教学任务和达到应有的教学效果。
二、充分利用教材，突出重难点
教材是教学内容的载体，是连接教师的教和学生的学的纽带。新课标关于教材的处理，对教师提出了新要求，让教师不再像传统教学那样教教材，而是要学会如何运用教材，把手头教材当做一手教学参考资料，对其进行深入挖掘。如何完成对教材的深度挖掘，以便实现高效数学课堂教学？就要求授课教师提高自己的知识储备，能对教材有整体性地把握，能够明确本节课在整本教材和章节中的认识，大脑中能形成网络结构图，呈现出知识结构示意图。同时，教师要吃透教材，对课堂教学要求掌握清楚，要知道自己在本节课中知要涉及到哪些知识内容，这些内容是认识、了解、理解、掌握中的哪一个标准，突出重难点。否则，容易课堂中出现该讲的不讲，不该讲的讲一堆，不能很好地完成课堂教学的实效性。课堂时间是有限的，学生的集中时间更是有限的，教师要善于掌控自己的课堂，头脑灵活，思维便捷，处理课程难点时，要注意技巧，不要让难点困扰了学生的思维，学会引导，使难点不难，抽象不难懂。例如下面一道题关于函数最小值的求法：
y=■+■的最小值
学生看见这道题时，大多数学生肯定第一反应两边平方，但依旧难于解决。这个时候便需要教师引导学生利用“数”和“形”的结合的方式来解决。首先让学生思考：
A（1，1），B（2，4）在x轴上找一点P，使得PA+PB的和最小值并求P点坐标
引导学生探究：如何在x轴上找点P，通过做A点关于x轴对称A1，连接BA1，交x轴于交点，极为所求的点P。学生很快注意到难以下手的问题就这样得到解决。“数”和“形”是数学的两个基本研究对象，在数学函数问题的处理上，通常以“数”解“形”或以“形”助“数”，两者结合的直观性可以使学生更容易理解。问题的解决不仅教会了学生函数最小值的求法之一，还教给了学生研究问题从具体到一般的方法。
三、加强学生数学学习兴趣的培养
新课改打破了传统教学中以教师为主体的教学模式，提出了一个基本核心理念是以人为本，突出学生的发展。新理念的提出，为教师教学工作的开展带来新的挑战。据调查显示，高中学生偏科情况严重，尤其是一些文科生对数学这门学科表现厌倦情绪，提不起兴趣。这种情况下去追求课堂教学的实效性显然是空谈，达不到任何教学预期效果，因此，教师要注意培养和引导学生的数学学习兴趣。教师要善于采用启发式教学，引导学生去发现、探索、解决问题，从而实现学生学习的主动性。例如讲等比数列前n项和公式时，教师可以巧妙地为学生设计问题：
假如你假期去打工，到一家饭店应聘，老板说第一天给你2000元，以后每天你给老板返还1元、2元、4元、8元…… 至少干够20天。
问：你会同意了吗？
然后让学生回答，学生受好奇心的驱使肯定都非常感兴趣，课堂气氛活跃，学生都积极加入讨论之中。在轻松的课堂氛围中，既调动了学生学习的积极性，又完成了教学目标，从而取得了一定的教学实效性。同时，教师也要努力提高自己的专业素养和完善教师的职业素养。幽默风趣的语言，合理丰富的表情，都能打破课堂的沉静，活跃课堂气氛，吸引学生的注意力。
众所周知，课堂教学的“实效性”，就是要求教师在有限的课堂时间内取得最佳的教学效果。对于高中这门逻辑推理要求极强的学科，提高课堂教学的有效性，积极采取不同的策略，实现课堂每一分钟的价值，是每一位高中数学教师不懈的追求。
参考文献：
[1]《高中数学教科书》（必修）[M]. 北京：人民教育出版社，2006.
[2]数学课程研制组.《普通高中数学课程标准（实验）解读》[M].南京：江苏教育出版社，2004.
摘 要：衡量课堂教学效率高低的唯一标准，是学生的参与程度。学生是课堂教学的灵魂，是学科知识教学的重要“媒介”，是新课程目标实现的有力促进“因素”。高中数学教师在课堂教学中，要全力以赴进行教学改革，推进素质教育的发展，切实突出学生的主体地位，构建以生为本的课堂教学，一切教学活动都必须以调动学生的主观能动性为出发点，想尽一切办法让学生去参与课堂教学，把学生变成课堂教学的真正主人。
关键词：构建；以生为本；高中；数学；课堂
新课程改革要求全面突出学生的主体地位，充分发挥学生的创造力，以构建高效的课堂教学。新实施的高中数学课程标准指出：“要重视学生探究、合作、创新等学习能力的培养”，“提高学生运用所学知识解决实际问题的能力”，“实现学生良好学习能力、学习思想及学习品质的养成。”由此可见培养学生多方面、多角度的综合能力成为目前高中数学课堂教学的重中之重。为此高中数学教师在课堂教学过程中必须真正以学生为主体，以学生的学习能力的发展和进步为课堂教学活动的根本出发点和现实落脚点，引导学生自主活动，使学生真正成为认知的主体，参与到课堂教学中去，以提升学生的数学能力品质。我根据自己多年的教学实践体会，粗略谈谈构建以生为本的高中数学课堂的看法，敬请参考。
一、强调主体情感的融入，培养学生学习数学的积极性
高中生身心正处于敏感时期，感情细腻、丰富，是学习知识、掌握方法的特殊群体，在教学目标实施和实现过程中占有重要的地位。当前高中数学教师在教学中很少重视学生学习情感的激发，导致学生在学习过程中，遇到困难时，或受到不良社会习气熏染时，不能产生强烈的“免疫”能力，导致学习不能有序深入地开展。这就要求高中数学教师要注重学生学习状态，特别是学生内在情感的有效激发，善于在教学中围绕学生情感发展的规律和实际特性，引用具有趣味特点、生活特性的教学问题情境，引导和激发起学生学习知识的浓厚兴趣，使学生“主动学习”成为内在要求和动力。如在长期教学实践过程中，广大教师切身体会到教学语言在培养和激发学生学习情感中的作用，因此，教师可以采用准确性教学语言，生动性教学语言，进行课堂知识传授，使学生感受教学语言所传达和蕴含的无限乐趣，促进学生主动学习能力的发展。如在教学三角函数知识时，教师可以结合学生生活情形，根据教学内容，设计出生活性问题情境：“如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y（米）与时间x（秒）满足关系式y=Asin（ωx+φ）+2，则A、ω、φ分别为多少？”引导和激发学生学习知识的内在情感，让学生在学习探知知识活动中感受到数学学科的无穷魅力和“无微不至”，促进学生良好学习情感的树立。
二、注重主体能力的培养，提升学生解决数学的能力
高中数学教师要注重学生综合能力的培养，以提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。新实施的数学课程标准指出，人人学习有价值的数学，人人掌握必需的数学。这就为广大教师开展教学活动指明了方向，也就是要将学生学习能力进行充分的提升、锻炼和运用。因此，教师在教学活动中，无论是教学新知内容，还是进行阶段性复习课教学，都要重视学生学习能力的培养和锻炼，善于在知识学习和问题解答过程中，引导和指导学生学会和掌握学习的根本方法和途径，使学生在“潜移默化”中掌握和形成良好数学解题方法和解题能力，从而有效体现学习能力“实用性”、“实践性”等特点，为学生开展独立学习活动奠定方法和能力基础。 例题1：已知向量=（sinθ，cosθ）（θ∈R），=（，3）。（1）当θ为何值时，向量、不能作为平面向量的一组基底；（2）求|-|的取值范围。例题2：已知向量、是两个非零向量，当+t（t∈R）的模取最小值时，①求t的值；②已知、共线同向时，求证与+t垂直。上述两道例题是在“平面向量”知识教学中，我结合课堂教学目标要求，根据学生学习情况实际，所设置的两道数学应用题。在第一道问题解答过程中，我通过采用“学生合作解答D学生演示D教师讲解D学生修正D总结结论”的教学方法，对问题进行了有效解答，使学生掌握了“运用数形结合方法进行问题解答”的方法。学生在例题1的解答中，根据已掌握的解题方法和解题经验，通过对问题条件的思考分析，发现此问题可以采用“将问题转化为向量模型”的方法M行解答。我在这一教学过程中，充分体现了学生学习的主体特性，让学生有自主学习探究的广阔空间和实践，鼓励学生在自身积累解题经验基础上，开展有效探究问题、思考分析活动，有效提升了学生自主解决问题能力的水平和效能。
三、突出主体思想的发展，增强学生数学学习的有效性
高中数学知识逻辑性、思维性较强，其中所蕴含的数学思想，是学生解题思维能力活动的最高形式，是学生学习品质达到一定程度的具体体现。学生学习能力的发展在一定程度上决定了数学思想形成和发展的水平。教学实践证明，学生数学思想主要包括“函数与方程、数形结合、分类讨论、方程、整体、转化、化归、类比”等。这就要求，高中数学教师更要注重学生学习思想的有效培养和树立，善于抓住问题的关键和要点，开展形式多样的思维创新活动，找寻出进行问题解答的最佳途径和有效抓手。同时，要注重学生学习时间和空间的设置，尽力为学生提供充足的学习时机，引导学生开展思维创新活动，通过互动交流，激发学生思维创新的“火花”，使学生在学习活动过程中逐步树立起良好数学思想品质。如在三角函数知识教学过程中，教师就可以通过对一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性，以及f（x）、f（x）的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等性质的分析和研究，使学生建立起较完备正确的函数思想。又如在“向量的数乘”知识教学时，教师通过引导学生列出所求向量与已知向量之间的关系式，从而建立起分类讨论的思想。
总之，高中数学教师在课堂教学活动中，要严格遵循以生为本的教学原则，始终坚持“为了一切学生的发展”，通过多种教学活动形式，充分调动学生学习的积极性、解题实践性，促进学生在有效教学活动中，能力、品质、思想等方面获得长足的发展和进步。
关键词：高中数学思维障碍 应对措施
随着素质教育的深入和高中新教材改革的实施，对于高中的数学教学和学习提出了更高的要求，思维发展教学仍是我们教学的主要目标，作好对学生思维障碍的成因根源的研究，并对症下药的作好学生数学思维障碍的疏导工作，将是我们教师的一个长期任务。
一、高中数学思维障碍的具体表现
由于高中数学思维障碍产生的原因不尽相同，作为主体的学生的思维习惯、方法也都有所区别，所以，高中数学思维障碍的表现各异，具体的可以概括为：
1.数学思维的肤浅性：由于学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的去理解，一般的学生仅仅停留在表象的概括水平上，不能脱离具体表象而形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质。由此而产生的后果：1〉学生在分析和解决数学问题时，往往只顺着事物的发展过程去思考问题，注重由因到果的思维习惯，不注重变换思维的方式，缺乏沿着多方面去探索解决问题的途径和方法。例如在课堂上我曾要求学生证明：如| a |≤1，| b |≤1，则。让学生思考片刻后提问，有相当一部分的同学是通过三角代换来证明的（设a=cosα，b=sinα），理由是| a |≤1，| b |≤1（事后统计这样的同学占到近20%）。这恰好反映了学生在思维上的肤浅，把两个毫不相干的量（a,b）建立了具体的联系。2〉缺乏足够的抽象思维能力，学生往往善于处理一些直观的或熟悉的数学问题，而对那些不具体的、抽象的数学问题常常不能抓住其本质，转化为已知的数学模型或过程去分析解决。
2.数学思维的差异性：由于每个学生的数学基础不尽相同，其思维方式也各有特点，因此不同的学生对于同一数学问题的认识、感受也不会完全相同，从而导致学生对数学知识理解的偏颇。这样，学生在解决数学问题时，一方面不大注意挖掘所研究问题中的隐含条件，抓不住问题中的确定条件，影响问题的解决。如非负实数x，y满足x＋2y=1，求x2＋y2的最大、最小值。在解决这个问题时，如对x、y的范围没有足够的认识（0≤x≤1，0≤y≤1／2），那么就容易产生错误。另一方面学生不知道用所学的数学概念、方法为依据进行分析推理，对一些问题中的结论缺乏多角度的分析和判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而造成障碍。如函数y= f (x)满足f(2＋x)=f(2－x)对任意实数x都成立，证明函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称.对于这个问题，一些基础好的同学都不大会做(主要反映写不清楚)，我就动员学生看书，在函数这一章节中找相关的内容看，待看完奇、偶函数、反函数与原函数的图象对称性之后，学生也就能较顺利的解决这一问题了。
3.数学思维定势的消极性：由于高中学生已经有相当丰富的解题经验，因此，有些学生往往对自己的某些想法深信不疑，很难使其放弃一些陈旧的解题经验，思维陷入僵化状态，不能根据新的问题的特点作出灵活的反应，常常阻抑更合理有效的思维甚至造成歪曲的认识。
二、高中学生数学思维障碍的应对措施
1.在高中数学起始教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，尤其在讲解新知识时，要严格遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展学生的主动精神，培养学生良好的意志品质；同时要培养学生学习数学的兴趣。兴趣是最好的老师，学生对数学学习有了兴趣，才能产生数学思维的兴奋灶，也就是更大程度地预防学生思维障碍的产生。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教，分别给他们提出新的更高的奋斗目标，使学生有一种“跳一跳，就能摸到桃”的感觉，提高学生学好高中数学的信心。
例：高一年级学生刚进校时，一般我们都要复习一下二次函数的内容，而二次函数中最大、最小值尤其是含参数的二次函数的最大、小值的求法学生普遍感到比较困难，为此我作了如下题型设计，对突破学生的这个难点问题有很大的帮助，而且在整个操作过程中，学生普遍（包括基础差的学生）情绪亢奋，思维始终保持活跃。设计如下：
1〉求出下列函数在x∈[0，3]时的最大、最小值：(1)y=（x－1）2＋1，(2)y=（x＋1）2＋1，(3)y=（x－4）2＋1
2〉求函数y=x2－2ax＋a2＋2，x∈[0，3]时的最小值。
3〉求函数y=x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]的最小值。
上述设计层层递进，每做完一题，适时指出解决这类问题的要点，大大地调动了学生学习的积极性，提高了课堂效率。
2.重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择，它既不是对基础知识的具体应用，也不是对应用能力的评价，数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做，至于做得好坏，当属技能问题，有时一些技能问题不是学生不懂，而是不知怎么做才合理，有的学生面对数学问题，首先想到的是套那个公式，模仿那道做过的题目求解，对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手，无法解决，这是数学意识落后的表现。数学教学中，在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，将数学意识渗透到具体问题之中。如：设x2＋y2＝25，求u=的取值范围。若采用常规的解题思路，μ的取值范围不大容易求，但适当对u进行变形：转而构造几何图形容易求得u∈[6，6]，这里对u的适当变形实际上是数学的转换意识在起作用。因此，在数学教学中只有加强数学意识的教学，如“因果转化意识”“类比转化意识”等的教学，才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。所以，提高学生的数学意识是突破学生数学思维障碍的一个重要环节。
