时间：2023-09-15 17:30:33
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇高中数学椭圆焦点，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词：极坐标；高考题；推广
题目（2007重庆）如图1，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线为x=12.
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上任取三个不同的点P1，P2，P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，证明：++为定值，并求此定值.
图1
解析首先容易求得椭圆的方程为+=1. 为了证明（2），以F点为极点建立如图2所示的极坐标系. 由=12和c=3，可得e==；又p=－c=9，故椭圆的极坐标方程为ρ=. 设P1，P2，P3的坐标分别为（ρ1，θ），ρ2，θ+，ρ3，θ+，则++=++=2－cosθ+2－cosθ++2－cosθ+.
因为cosθ+cosθ++cosθ+=cosθ+cosθcos－sinθsin+cosθcos－sinθsin=cosθ－cosθ－sinθ－•cosθ+sinθ=0，所以++=++＝•6=为定值.
上述试题（2）可叙述为：在椭圆上取三个点，使每相邻两点与同一焦点连线所夹的角均相等，那么这三个点所对应的同焦点的焦半径的倒数之和是一个常数，即=?摇（是一个只与3有关的常数）.
显然，由e=，p=9，可得==.
上述命题还可推广为：
在圆锥曲线上取n个点，使每相邻两点与同一焦点连线所夹的角均相等，那么这n个点所对应的同焦点的焦半径的倒数之和是一个只与n有关的常数（即当n确定之后，这些焦半径的倒数之和是一个常数）.
证明如图3，在曲线上取n个点M1，M2，…，Mn（n≥2），使每相邻两点与焦点F的连线所成夹角均相等，即∠M1FM2=∠M2FM3=…=∠MnFM1=，那么点M1的极角为θi=（i－1）•+θ，MiF=.?摇所以==－•cos（i－1）+θ. 因为n≥2，所以sin≠0. 所以cos（i－1）+θ=•2cos（i－1）+θ•sin=•sini－+θ－sini－+θ?摇=sinn－+θ?摇－sin－•+θ=•2cos+θ•sinπ=0. 由此得到=（是一个只与n有关的常数）.
（1）求证：MNAB；
（2）若弦PQ过椭圆的右焦点F2，求直线MN的方程.
注：2012年全国高中数学联赛贵州省预赛
题目2：如图：已知A，B是圆x2+y2=4与x轴的两个交点，P为直线l：x=4上的动点.PA、PB与圆x2+y2=4的另一个交点分别为M、N.求证：直线MN过定点.
注：20111年全国高中数学联赛河北省预赛第10题。
题目3：设点A（-1，0），B（1，0），C（2，0），D在双曲线x2 -y2=1的左支上，D≠A，直线CD交双曲线x2 -y2=1的右支于点E.求证：直线AD与BE的交点P在直线x=12上.
注：2011年全国高中数学联赛安徽省预赛第12题。
通过求解、对比、联系，发现如下结论：
结论一：A、B是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点，C、D是椭圆上异于顶点的两点，AC、BD相交于点P，AD、BC相交于点Q。则有性质1：PQx轴；
性质2：若直线CD交x轴于点M（m，0），那么直线PQ的直线方程为x=a2m；
性质2推论：若PQ的方程为x=a2m，则直线CD过定点M（m，0）.
即直线PQ的方程为：x=a2m；
性质2推论：
若PQ的方程为x=a2m，则上面等比性质可得2a（y2 -y1 ）2（x1 y2 -x2 y1 ）=2x3 2a
设点M（m，0）则kCD=kCM，直线CD和直线CM斜率相同又通过相同点C，故C、D、M三点共线，即无论C、D如何变化其恒经过点M（m，0）.
证毕由此，我们利用结论一的方法，可以证明题1的第一问；易得第二问MN的方程为x=a2c；题2中的圆是特殊的椭圆（a=b=1），我们可得定点M为（1，0）。
若将把这个结论推广拓展到双曲线仍然适用：
结论二：
A、B是双曲线x2a2-y2b2=1（a>b>0）的左右顶点，C、D是双曲线上异于A、B的两点，AC、BD相交于点P，AD、BC相交于点Q。
性质1：PQx轴；
性质2： 若直线CD交x轴于点M（m，0），那么直线PQ的直线方程为x=a2m；
性质2推论：反之若PQ的方程为x=a2m，则直线CD过定点M（m，0）.
证明方法和步骤和椭圆相同，略。
利用结论二，则可以将题目3也得到解决。
参考文献：
[1]（2012）高中数学联赛备考手册，华东师范大学出版社
圆锥曲线方程是高中数学中重要的基础知识点，其在高考数学中占有重要比重。本文通过对高中数学中常见的数学类型题目，分析圆锥曲线参数方程在高中数学中的应用，为学生学习成绩的提升打下坚实基础。
关键词：
圆锥曲线参数方程；高中数学解题
圆锥曲线定义中，通过椭圆定义、双曲线定义、圆锥曲线上的点与两个焦点之间的关系进行解题。在解题的过程中，需要对上述三者有个清晰的认识，树立等价转换思想，加强数形结合的建设，由点到面，促进教学层次的深化，从而提升学生在圆锥曲线参数方程上的理解，进而为有效解决数学难题提供重要支撑。
一、创新性思维：利用圆锥曲线方程解决高中数学题中常见的最值问题
传统的数学学习方式是通过广泛地做题，不断进行数学题型的训练，从而获得学习成绩的提升。目前，针对学生学习特点与学习进度，通过设计典型习题，注重培养创新思维，从而举一反三，快速提升学生对于数理认识，加强对数学的感知能力，使数学成绩得到提升。后者更加注重人性化，以学生为中心，避免数学题练习的低质量与低学习效率。椭圆一个内接四边形ABCD，其各边与坐标轴平行，求此四边形的最大面积与最大周长。由题目可以进行推断，将思路不要仅仅限于局部，启用创新性思维，不断与其他知识展开联想，打开解题的突破点。
二、探索性思维：采用定义与正余弦定理求焦点三角形
高中数学中，存在一定数量难点，对于学生的学习能力提出了新的要求，要求学生在实际的解题过程中，能够充分发挥探索性思维，通过总结与小组合作，提升数学解题能力。在圆锥曲线参数方程的应用解题中，单一性题目较少，复合型、复杂性题目较多，难度系数也随之增加。如何充分发挥探索性思维，需要学习不拘于形式，通过对基础知识的深度理解，正确把握解题的精髓。
三、自主学习能力提升：采用圆锥曲线参数方程解决范围问题
高中学习阶段，强调自主学习与合作学习相结合，通过自主学习发现自身存在的问题，并采取有效措施加以解决，从而促进自身学习水平的提升[4]。在高中数学解题中，通过对科学思维的合理运用，能够对数学习题轻松解答。学生在自主学习过程中，面对疑难问题时不应立即求助，依据自身对基础知识的掌握程度，发挥自出探究精神，对疑难问题提出挑战，从而提升自身数学解题的能力与水平。
四、圆锥曲线参数方程应用过程中应注意的问题
圆锥曲线参数方程在应用中强调对各种知识的综合运用，通过合理运算思维与结构，实现对数学问题的求解。在此过程中，要求学生掌握基础知识的基础上，更加注重对知识的灵活运用。因此，学生在学习圆锥曲线参数方程相关基础知识时，应注重多写、多问、多记，打下扎实的基本功，从而能够在解题中，摸透数学题目的内涵，快速解题。五、结语：高中数学在高中教育体系中占据着极为重要的位置，需要教师在教学活动中，在加强对基础知识的教学时，注重学生对基础知识的运用。通过典型题目的专题讲解，促进学生成绩的提升。
参考文献：
[1]毛芹.圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用[J].理科考试研究：高中版，2014（21）.
[2]陈尧明.直线参数方程教学设计[J].教学月刊：中学版，2011(23).
[3]李淑燕.用圆锥曲线的参数方程解题例谈[J].数理化学习：高三，2011(7).
[4]陈传熙.“圆锥曲线的参数方程”的教学困惑与对策分析[J].数学通报，2010（49）.
一、高中数学概念教学的重要性
概念具有高度抽象和高度概括的特点，是数学命题的基本单位，概念的实际应用可以帮助我们理解复杂的事物，将其简化、分类或概括.概念从我们固有的内在经验出发，建立新的情境并分类，我们能够发现新的知识或事物的本质.
学生在学习数学概念时可以锻炼自己的空间想象能力和思维能力，又可以达到理解数学概念进行实际应用的目的.高中数学概念是高中数学基础知识的主体与核心，它的基础性地位是学生进一步学习的前提.对学生的思维能力、空间想象能力、学习能力是一种锻炼.
二、高中数学概念的特点
⑴普遍性.通常数学概念是代表一类事物而不是一种事物的.例如，“长方体”这个概念是代表所有长方体物质的抽象概念，而不是具体指某一个长方形物体的大小、颜色和质料.
⑵形式化.数学概念多是用数学符号来表示的，比较形式化.例如，用“S”表示三角形面积、用“∑”表示求和等.所以在教学中要注意数学符号在数学概念中的应用.
⑶简明化.数学概念是高度抽象和概括的，而且其中包含了很多的数学符号，所以形式或结构非常简明，易于记忆和理解.
⑷辩证性.数学概念具有个别和一般、具体和抽象的辩证统一的特点.
⑸系统性.多个数学概念可以整理为一个系统概念，例如，将整数、分数和小数概括整理为有理数.
三、高中数学概念教学的现状
高中数学的教学特点使得教师的教学任务重，教学方法单一.很多教师在实际教学中重视解题技巧而忽视数学概念，往往是将数学概念简单地教给学生，重点放在将数学概念的实际应用和解题上.这种本末倒置的做法使得学生对概念理解不清、认识模糊，通过死记硬背将这些概念机械地记忆下来，在解题过程中无法很好地使用数学概念，学习能力提高不上来.在遇到新的数学题型时就束手无策，无法独立将数学概念运用自如.
很多老师意识不到数学概念教学的重要性，认为学生最重要的是解题能力的提高，但是解题能力和理解能力是建立在掌握数学概念基础之上的.对于这种简单的数学概念教学模式急需进行教学改革.
四、高中数学概念的教学方法
（1）多角度剖析数学概念
高中数学概念多数由数学公式、图形、文字、数量关系等组成，所以对这些定义的理解非常重要.教师要从这些方面入手，多角度的帮助学生吃透数学概念.
首先，可以从数学公式、文字和图形入手.例如，在学习立体几何时，对“二面角”的学习就可以从图形、文字和公式三方面层层递进来学习.如图1所示.
图1
其次，可以从数量关系和位置来分析数学概念.在学习椭圆的相关概念时就可以画图，分别将焦点在x轴上和y轴上的椭圆方程展现出来.椭圆标准方程为x2/a2+y2/b2=1（焦点在x轴）和y2/a2+x2/b2=1（焦点在y轴），其中，a>b>0.从数量关系和图形位置来帮助学生将抽象概念具体化，激发他们的学习兴趣，提高他们的思维能力.
（2）明确数学定义，扩展外延
首先，在学习某一数学概念时将这个概念的基本属性教给学生，并注意进行外延的扩展，提高学生的学习能力.例如，在学习“函数”概念时，要让学生明确与函数相关的定义域和值域，以及函数图象和对应法则等.
其次，对数学概念进行适当的扩展，引导学生深入理解并提高解题能力.在学习函数时，还要对常见的函数单调性、周期性和奇偶性进行扩展和练习.
（3）创设情境，帮助学生理解
数学概念的抽象性和形象性使得它仅凭语言解释或枯燥的黑板教学是不能让学生全面掌握的，还要为学生创设相关的情境，从而加强概念引入，激发学生的学习动机.利用学生身边实际发生的事或经常接触到的物体进行概念教学.例如，在学习“四面体”时，对它的一些抽象概念进行情境创设，将学生们常见的四面体拿到课堂上来或让同学们想象自己在接触四面体时的感受，并进行分析和总结.
（4）加强变式训练
概念学习关键是要会运用，很多数学题型都不是对数学概念直接的运用而是数学定义的变式，教师要加强对学生变式解题能力的锻炼和拓展.例如，对二项式定理的变式，将（a+b）n中的a、b、n进行替换来出题训练学生对概念的深层理解能力.
【关键词】高中数学 解题策略 解题能力
在进行高中数学的教学过程中，解题教学为其核心的组成部分。所以在进行教学时就要求教师应该对每部分教学内容所涉及到的相关知识点进行分析，并将其涵盖的数学思想以及解题方法进行抽象的概括总结，然后将这种积极的思想贯彻给学生们，使其在进行学习时能够找到思想的精髓，并将这种抽象的事物进行形象化，将涉及到的知识合理应用在具体的习题解答的过程中，最终有效培养学生掌握高中数学解题策略，提高其思维能力与数学习题解答的能力。
一、重视审题训练
想要有效提高解题的效率并保证解题的正确性，最为关键的就是审题。要求学生应该在准备解题之前，首先对题型进行认真分析，能够找到问题的关键点与重要的条件，并且找到与问题有关的信息，将其进行收集，之后进行正确地分析研究，最终找到问题的突破口。
例如我们在学习函数基偶性的判断之后，对有关题目进行解析时，如函数y=x3，x∈[-1，3]，判断此函数的奇偶性。往往许多的同学在面对这类问题时，都没有进行仔细地审题，因此就注意不到x的取值范围，只机械套用函数的奇偶性，最终将公式进行化简后得到y=x3，最后直接定义此函数为奇函数；但是如果学生在解题前能够仔细解题，最后在判断函数的奇偶性时就会参考x的取值范围来进行解题，首先要判断此函数的图像是否关于坐标原点中心对称，如果不对称则说明此类函数不具有奇偶性，所以正确的解题过程应该为：因为2满足定义域，但是-2不在定义域的范围内，所以可以判断此函数图像关于坐标原点不对称，最后判断此函数为非奇非偶函数。
在针对这种类型题的解题时，一定要注意首先要仔细进行审题，在进行审题的过程中不仅能给解题带来一定的思路，更能挖掘出问题的关键与隐含的重要条件。所以对学生进行审题训练显得至关重要，只有这样才能够有效提高学生的解题能力。
二、数形结合思想
在高中数学众多的解题思想当中，数形结合为其最基本的思想，并且也为数学的核心思想。将形象直观的图形与比较抽象的语言进行有效结合，最后就可以将抽象的概念进行形象化，数形二者之间进行了有效结合，这就会对学生在解题的过程中给予一定的启发，能够将复杂难懂的习题进行有效简化。在高中数学的教学过程中，数形结合通常体现在以下几种形式：方程和曲线二者的对应关系；实数与数轴上点的对应关系；函数与图像二者的对应关系等。
（一） 用图像解决问题
当学生在解题的过程中遇到困难时，应该教会学生能够合理利用图形来进行解题。此外，当遇到了更为复杂的运算时，也可以利用图形来将问题简化，最终能够有效解决，最后在检验结果时，同样可以通过图形来进行检验。
例如：求函数最大值与最小值。
在解答此题时，就可以画出函数图形对其进行有效解决。经过一系列的分析，其函数图像可以表示如下：
其中Q代表的是（cosx，sinx），P为（-2，0），Q所形成的轨迹为一个单位圆，可以在图形上看出，最后可以判断出，。这样就可以得出用图像有效将三角函数的最值问题进行解决，通常采用的方式就是用两点求斜率的形式。
（二） 正确分析利用数量运算
对题目中的一些数量进行正确的运算，之后对其进行有效利用。以这种方式来进行解题也非常有效。在解决高中数学题的过程中，学生通常都会采用用图像来解决问题的方法，所以就忽视了通过数量运算来解决问题的方法。要求教师在进行教学的过程之中，对这种方法也要认真讲解，并且对学生们加强训练，最终使学生掌握更多的解题策略，提高解决问题的能力。
三、方程思想与对称思想
在教师渗透解题思想的过程当中，也需要要求同学们利用方程思想与对称思想来进行数学的解题。对于数学的方程思想而言，它主要就是要求学生应该在方程的角度上进行充分思考，最终可以正确的将数学的问题转化为方程的问题来进行有效解决。目前来看，方程在高中数学中占有着不可替代的位置，可是仍然有多数的同学不能合理的利用方程思想来解决数学问题。
例如：对于椭圆，设F1、F2分别为其左右两个焦点，此时在椭圆上部存在一个动点P，（一）问的最大值与最小值是多少。（二）如果经过点M（0，2）存在着一条直线L，与椭圆相交，交点分别为A、B，∠AOB为锐角，设O是函数的坐标原点，这样在直线上斜率k的取值范围为多少。当遇到这种问题时，利用方程来解题就会将其简单化，最终能够正确解决。
此外，对称的思想也同样重要，利用这种思想来进行解题也非常有效，也是应用比较普遍的一种方法。对高中的诸多数学习题进行分析后发现，也同样存在着一些形式非常优美并且结构比较均匀的问题。
例如：将甲乙丙丁戊排成一排，乙一定要在甲的右边，但是不可相邻，这样有多少种排列方式。利用对称思想就可以将其进行有效解决，最后得出，所以一共有60种排列方式。
四、总结
对于高中数学的解题策略而言，其方式多种多样，所以就要求教师在进行具体教学的过程中，应该依据所进行教学的内容及其特点来进行设计与规划，找到具体的教学方法来有效引导学生进行解题，并且培养学生能够在分析习题时具有举一反三的能力，最终形成自己的解题策略体系，这样当在解答习题遇到类型题时，就可以运用自己的解题策略对其进行快速准确地解决，不仅拓展了学生的解题思维，也提高了学生的解题能力，最终有效提高了教师的教学质量。
参考文献
[1]马进.浅析高中数学解题的思维策略[J].数学教学通讯
自主教学法是新课改下所倡导的一种新的数学教学方法，目的是打造出以生为本的数学课堂，以培养学生的自主学习能力，进而为构建真正高效的高中数学课堂奠定坚实的基础。因此，在新课程改革的大背景下，我课题小组针对《课堂教学方法与手段在教学中的功效研究》这一课题进行了研究，目的是选择有效的教学方法和手段来保障课程目标的最大化实现。本文是笔者针对自主教学法在高中数学教学中的实践应用进行论述，以确保学生真正成为数学课堂的主体。
一、先学后教有效应用自主教学法
先学后教是相对于先教后学模式而言的，也是有效应用自主教学法的重要方式，更是确保高效课堂顺利实现的关键。所以，在高中数学教学过程中，教师要结合教学内容有效地将自主教学法应用到高中数学教学活动之中，以确保学生在主动求知中轻松地掌握基本的数学知识，提高能力。
本文以先学后教模式在教学“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”中为例来进行自主教学，首先，引导学生明确本节课的学习目标，即：由两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；掌握两角和与差的三角公式的结构特点与功能等等。并引导学生带着目标进行自主学习，同时，将遇到的问题反馈出来。之后，组织学生练习相关的试题，比如：（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°=_______；（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°=______；组织学生自主练习上述问题，并从中发现问题。最后，进入后教环节，我针对上述两个环节中存在的问题进行有针对性的讲解，比如：公式之间的转化问题等，以帮助学生突破本节课的难点，提高学生的学习效率。同时，这样的过程对学生自主学习能力的锻炼也起着非常重要的作用，进而在确保自主教学法有效应用的同时，也为高效课堂的顺利实现奠定坚实的基础。
二、对比活动有效应用自主教学法
对比活动的开展是自主教学法有效应用所开展的活动之一，也是发挥学生自主学习能力，提高学生数学学习效率的关键。所以，在应用自主教学法时，为了确保学生真正成为数学课堂的主人，也为了帮助学生养成自主学习的良好习惯，我们要结合教材内容，鼓励学生在对比活动中进行自主学习，以大幅度提高学生的学习效率。
例如：在教学“双曲线”时，为了有效地应用自主教学法，也为了凸显学生的课堂主体性，在授课的时候，我组织学生将“双曲线”与“椭圆”的相关知识进行自主对比学习。首先，回忆椭圆教学时的学习步骤、学习方向、学习内容等等，之后，组织学生将双曲线和椭圆中的“标准方程、焦点、定义、顶点坐标、对称轴、离心率”等方面的内容进行对比学习，以确保学生在对比中巩固之前所学的椭圆知识，同时，也能加强对双曲线知识的理解，提高学生的学习效率，进而为学生健全地发展做好保障工作。
总之，在高中数学教学过程中，教师要更新教育教学观念，要认识到学生自主学习能力的培养对学生健全发展的重要性，要组织多种教学活动来有效应用自主教学法，以确保学生在自主学习、主动探究中掌握基本的数学知识的同时，对高效课堂的顺利实现也起着非常重要的作用。因此，在课改下，教师要认真贯彻落实“以生为本”的教学理念，以确保学生在自主高效的数学课堂中获得更好的发展。
参考文献：
王清波.高中数学如何实施自主探究式教学[J].教育艺术，2011（03）.
关键词：高中；数学例题；选择
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）28-218-01
对于高中数学来说，不仅仅是对初中数学进行一个简单的强化，同时还是在数学方面进行有效地延伸。在高中学习数学的过程中，数学例题对学生来说，具有决定性的影响。从表面上看，学优生一般都是在大量的练习中促进成绩的提升，但在教育工作者看来，要想学好高中数学知识，重点环节在于例题。从客观上来说，例题是对某一个课程或者某一个知识点综合性的讲解与融合，如果能够有效地掌握例题，那么在面对其它试题时，就能够应对自如。本文就如何进行高中数学例题的选择进行一定的讨论。
一、例题选择的原则
1、选择例题要具有针对性
高中数学的每一个知识点是相对独立的，教师在讲解每一个知识点的时候，都是一节新课，如果学生细细思考，就会发现很少有教师在讲解新课的时候会联系到原来的知识。在这一点上，如果要选择例题，就一定要有针对性，综合性的例题要尽量避免，否则会对学生产生一定的误导。比方说在讲解《集合》这一课时，所有的例题都要围绕集合来讲解，尽量不要出现几何一类关联程度较小的例题，否则会让学生的思维分散。相对之下，方程和抛物线就非常适合，不仅能够为今后的学习埋下伏笔，同时能够让学生更加明确《集合》的相关概念和知识点。
2、选择的例题要符合学生的实际情况
对于学生来说，现阶段的教学已经告别了硬性的灌输式教学，教师的地位已经不再是独一无二的领导性地位。在高中数学的教学中，学生成为主体，教师需要根据学生的实际情况来进行讲解，在例题方面也要适合学生的实际理解能力、记忆能力、空间想象能力，这样才能在总体的效果方面较为理想。比如，高中生具有一定的抽象思维能力，在讲函数时就可以安排一些抽象函数的例题，但在初中教学中就不能选择这样的例题。从客观的角度来说，高中函数比较复杂，而且需要将前后的知识点良好地结合，才能达到解题的目的。在讲解函数的过程中，可以先让学生温习一下过去所学习的知识，这样教师就会对学生的情况有一个大概的了解，在逐步深入讲解的过程中，通过不断提问的方式将学生的疑惑解开，在选择例题方面，尽量选择书本与学生的练习册相结合的方式，因为书本上的例题也不是唯一的，学生的选择同样值得参考。
3、选择的例题要有助于师生互动
对于高中数学来说，并没有想象中那么枯燥乏味。相反的，某些课程会让学生和教师良好的沟通、交流。因此，在今后的教学中，教师所选择的例题要有助于师生互动。比方说在学习《概率》的过程中，不仅仅可以应用书上的一些例题，同样可以结合实际生活中的利益，如教师提供给学生一些已知条件，让学生计算一下买彩票中奖的概率是多少。教师与学生同时计算，这样不仅可以活跃课堂的气氛，同样可以让学生和教师有一个较好的交流，在客观上实现了教学的互动。
二、选择例题的方法
1、形似质异，勿忘对比
高中数学例题在某个层面上决定了学生的数学成绩，因此选择例题的方法至关重要。在选择例题的方法中，本文认为，形似质异，勿忘对比是一个重要的方式。从表面上，很多的例题都一样，无论是计算的方式，还是最后所得到的效果，都没有太大的差别。但教师依然会不厌其烦的给学生出题，原因在于，这些例题在本质上具有很大的区别，有些是考察点不同；有些是应用概念不同；有些是运用思维方式不一样。总之，在例题方面，一定要避免雷同的现象出现，否则会对学生学习高中数学产生一定的不良影响。
2、一题多解，以点带面
高中数学的特殊性是不言而喻的，在日后的教学中，如果能够良好的运用一题多解、以点带面的例题选择方法，相信能够获得一个较大的成就。例如某题：在椭圆上，求一点P，使它与两焦点的连线互相垂直。在本文中，解题方法有以下几种：
（1）通过已知条件，我们可以运用两直线垂直，通常用斜率乘积等于-1来表示。这是一种较为简单的方式，应用也比较普遍，而且能够在最短的时间内解答出来。
（2）由于P是椭圆上的点，那么我们就可以将这个点看作是在以为直径的圆周上运动，也就是说，可以看成是两条曲线的交点，这样就可以求得点P的坐标。这种方法主要是运用到了一定的定理，同时结合了一些过去的知识，在解题的过程中，有效地避免了思考的单一性。
（3）在这道例题中，除了上述的两种方法以外，还可以借助向量的知识点来解答。因为两条直线垂直关系可以用向量来表示，换言之，两个向量的数量积为零。因此，我们可以构造向量来解题。此种方法运用的知识点虽然比较单一，但是解题思路明确、清晰，不易出现失误。
（4）在这道例题中，我们对斜边已经有了一些了解，如果两条直角边能用点P表示，那么就可以运用勾股定理来解决，同时可以利用焦半径来表示。这种方法运用到了初中的知识点，而例题本身属于高中，因此达到了回顾过去、思考现在的目的，在客观上实现了一题多解、以点概面的效果。在今后的例题选择中，依然要像这一类例题看齐，同时在解题方法上也要不断地探究，这样才能强化学生的理解能力、逻辑思维能力和学习能力，在高中数学的学习过程中，才会有较大的发展。
总结：本文对如何进行高中例题的选择进行了一定的讨论，从现有的情况来看，高中例题的选择是至关重要的一环，绝对不能片面地进行。很多教师认为难度较大利于学生发展，但本文认为，循序渐进才是最好的方式。
参考文献：
[1] 朱锦华.浅论数学课堂有效教学的构成要素[J].科教文汇（中旬刊），2007（9）.
【关键词】 高中；数学；教学；多元化；模式
高中数学教学正处于转折时期，经过初中数学课程的过渡，学生将要深入学习不等式、函数、解析几何以及微积分的知识，不仅难度较大，容易产生的学习“瓶颈”较多，如何帮助高中生用积极主动的态度吸收数学知识，很大程度上来源于教学模式的改革与创新。
一、高中数学多元化教学模式的提出
随着新课改的日益深入，高中数学教学的改革也取得了可观的成果，教材内容生动形象，教学环境步入多媒体，广大学生对数学学习的主动意识明显增强，但值得注意的是，高中数学的教改不仅仅是教材和教学环境的形式变革，更重要的是教学模式的根本性革新，才能将书本知识转化成高中生的自有资源。数学教学本身就存在枯燥的弊端，如果教学模式始终停留于课堂讲解，学生的数学逻辑思维能力与应用意识仍然变化不大，在此背景下，高中数学课堂的多元化教学模式成为解决问题的关键。
在这里首先要明确的是“课堂”的广义概念，一般情况下，师生对课堂的认识局限于传统的教室，但实际上课堂的广义概念是指任何能够向学生传递知识、激发学生学习潜能、培养学生应用能力的环境，这些都可以被视为课堂。广义的课堂具有多元化的形式，因而催生了多元化的教学模式，在不同的课堂形式下，师生可以采取相应的教学活动，高中数学课堂的多元化教学模式旨在强调将数学知识用学生易于接受的方式进行讲解。取得事半功倍的教学效果。
二、多元化教学模式在高中数学课堂中的应用形式
高中数学课堂的多元化教学模式划分为不同的层次，每一个层次的教学活动都具有特定的优势，随着层次的递进，学生也开始将书本知识转向应用层面，进而形成主动探究的学习意识。具体来说，多元化教学模式包含以下内容：
第一，基础课堂讲解。教师对高中数学课本的落实需要以课堂讲解为依托，课堂教学是多元化教学模式的基础，它的优势在于以教师为主导，系统讲述重点、难点，针对性强，学生可以与教师互动，提出自己的问题。现代信息技术是活跃课堂讲解的重要保障，虽然高中数学知识吸收难度大，但每个知识点都具备历史研究的积淀，也是在实践应用中总结出的成果，所以教师在基础课堂教学环节尤其要注重将静态知识用动态的多媒体软件辅助转述，借助视觉效果加强学生的感官认识。例如，在解析几何教学中，教师应将德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的和焦点的发现、意大利科学家伽利略发现投掷物体沿着抛物线运动的案例运用多媒体软件展现，引领学生步步深入驾驭解析几何的解题。
第二，动态互动课堂。高中数学知识的吸收需要学生在动手实践的过程中得到升华，由室内走向室外，在宽松的互动环境中动手操作，模拟练习，才能领会数学知识的博大精深，强化兴趣，走向主动学习。例如，教师可带领学生开展丰富多彩的实验活动，选取一定的实验空间，运用工具进行作图比较，领会函数运动规律，学生将静态书本知识在动态环境中加以检验，有利于深刻认识定理的认识，而在解析几何教学中，更是需要各种实验活动来解答困扰学生的问题。
第三，延伸教学课堂。在教学课堂的改进基础上，教师还应努力延伸教学课堂，为高中生提供随时互动交流的平台，使越来越多的学生参与到数学知识的应用探讨活动中来。例如，网络博客的应用就是适合师生互动的延伸教学环境，教师可将书本以外的静态资料和动态资料上传至博客，特别是颇具吸引力的视频资料深受学生欢迎，学生也可将学习中的困难以及期望上传至博客，在宽松愉悦的氛围当中加强对高中数学知识的消化。
三、多元化教学模式在高中数学课堂中的应用方法
为了更好地促进多元化教学模式在高中数学课堂中的应用，教师应运用科学的方法，将教学模式的改革落到实处。
第一，完善多元化教学模式的配比。无论是传统的课堂教学，还是互动课堂，以及延伸课堂，都应当依据师生需求科学划分时间占比。高中数学教师应当针对不同年级、不同教学内容，将课堂教学的比重作为核心，每周、每月都合理安排一定数量的实验课程，有效建立教室、实验室、延伸教室教学活动的衔接，一环扣一环，让学生时刻期盼下一个教学环节。
第二，制订有的放矢的校本教材。校本教材是从学校实际出发，结合现有资源制定的辅助教材，高中生使用的课本很大程度上停留在静态知识的传授，校本教材正是立足这一现实问题，将实验互动课堂、延伸教学课堂的需要纳入到教学计划当中，真正落实多元化教学模式的应用。
一、离心率在双曲线中的应用
高考数学试卷当中，部分填空题也涉及了有关圆锥曲线的知识，部分学生往往按照解答题的方式解答，导致学生需要消耗大量时间，解题效率不高.解决该类型题目，需要学生认真分析题目给定条件，选取合适且简便的方法，解答问题.双曲线是圆锥曲线中的一种，在填空题当中出现频率较高，学生应熟悉如何运用离心率e解决相关问题.
例1
（2015衡水四模）设存在椭圆，其中心为原点，该椭圆同双曲线的焦点相同，设左右焦点分别为F1、F2，在第一象限内，两条曲线的交点为点P，PF1F2为等腰三角形，以线段PF1作为底边.若|PF1|=10，椭圆离心率设为e1，双曲线离心率设为e2，求e1・e2的取值范围.
题目分析针对该题目，学生应先设定椭圆以及双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n（m>n）.
因为PF1F2是等腰三角形，且将线段PF1作为底边，若|PF1|=10，则有m=10，n=2c.
根据椭圆定义可知m+n=2a1.
根据双曲线定义可知m-n=2a2.
即：a1=5+c，a2=5-c，且c
再利用三角形两边之和大于第三边这一定理，可知2c+2c>10，
即c>52，即有52
根据离心率公式可得e1・e2=ca1・ca2=c225-c2=125c2-1.
因为1
则e1・e2的取值范围便是（13，+∞）.
圆锥曲线是高中数学极为重要的知识点，而离心率则是大部分圆锥曲线解题的关键.故而，学生应熟悉如何在解题过程中灵活运用离心率进行问题的解答，以便提高自身解题能力以及效率，从而提高自身成绩.
二、离心率在双曲线中的应用
例2（2014年辽宁）已知椭圆C：x29+y24=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=.
题目分析根据三角形中位线定理把求|AN|+|BN|的大小问题转化为求|PF1|+|PF2|的大小问题，再利用椭圆的定义可求得|AN|+|BN|的值.
设线段MN的中点为P，左右焦点分别为F1、F2.又因为F1为线段MA的中点，F2为线段MB的中点，所以|AN|=2|PF1|，|BN|=2|PF2|.则|AN|+|BN|=2（|PF1|+|PF2|）.由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，所以|AN|+|BN|=4a.又因为a2=9，所以a=3，所以|AN|+|BN|=12.
三、离心率在抛物线中的应用
例3（2014年大纲）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=54|PQ|.（1）求C的方程；（2）略.
题目分析可以利用待定系数法.先利用抛物线的定义结合已知条件求得含有p的点P的横坐标，再将点P的坐标代入抛物线方程，即可求得p的值.
设Q（x，4），直线y=4与准线交于H.因为抛物线的准线为x=-p2，则由抛物线定义知|QF|=|QH|=x+p2.又因为|PQ|=x，|QF|=54|PQ|，所以x+p2=54x，解得x=2p，则Q（2p，4）.代入y2=2px，得16=2p・2p，解得p=2.
一、开放式教学的意义
开放式教学就是通过一个有利于学生自主学习的开放性环境，在课堂上让学生自己多角度地思考和探索，课后就是对这种能力的运用，从而全面提高学生的素质.课堂上，师生间的互动是开放式教学的具体体现，在互动的过程中，不仅能激发学生的学习兴趣，还能促进师生间的关系.同时开放式教学还能锻炼学生的发散性思维，因此在数学教学中起到了很重要的作用.
在开放性数学教学中，活跃、民主的课堂气氛有助于激励学生主动参与教学活动.开放性问题具有一定的挑战性，有较强的刺激因素，能调动学生的学习兴趣.开放性问题涉及的知识是学生已经具备的，解决方案是多种的，没有固定的模式可循，要求学生构建解决问题的思路和策略而不是简单的答案，使学生能够充分地展现自我，要促进学生全面和谐的健康发展，开放性教学必不可缺.
二、尊重学生的主体地位
开放式教学与传统的数学教学相比，更强调学生的主体和教师的主导作用.我们要把主动权交给学生，充分调动学生的主体性、积极性、创造性.把“问的权利、读的时间、讲的机会、做的过程”交给学生，尽可能地给予学生更多的时间和空间，充分体现他们的主体作用.
三、开放式教学在高中数学中的应用途径
1.创造开放性环境，激发学生学习兴趣
开放式教学关键就是充分调动学生的学习积极性，因此，在课堂上教师要尽可能地调动课堂气氛，激发学生的学习兴趣.首先，“亲其师才能信其道”，师生间应有教与学的互动，交流彼此的情感、知识、理念，这样不仅能激发学生的学习兴趣，还能融洽师生关系.其次，要针对不同学生的兴趣爱好进行教学，使他们能更快融入到学习中.最后，赞美是开放式教学的重要手段，通常教师一句不经意的赞美，一个美丽的微笑对学生都有很大的鼓励作用，并能深入他们的思维，更能是他们对课堂产生浓厚的兴趣.
2.培养学生的思维创新能力和发散性思维
首先，在教学过程中，教师要对学生进行引导，让学生自己发现问题、分析问题、解决问题.
其次，教师应有针对性地对学生进行辅导，借助学生的兴趣爱好把比较难记的公式和概念编成歌曲或绕口令等，从而提高他们的创新能力.
最后，在高中数学学习过程中，很多题目都是开放性的，解法有时也不止一种，这时，教师可以从这些开放性的题目中培养学生的发散性思维，让有不同解法的学生把他们的想法在课堂上讲解出来，从而培养学生多角度、多方面对问题进行分析的能力.
例如，抛物线的顶点O（2，0）及焦点F（5，0）分别是椭圆x225+y221=1的右焦点和右顶点.（1）求抛物线及其准线L的方程；（2）过抛物线的焦点F作倾角α（α≠0）的直线交抛物线与两点P、Q，过点Q作抛物线对称轴的平行线交准线L于点M，求证：三点M、O、P在同一条直线上.
解析：（1） 因为椭圆x225+y221=1的右焦点是和右顶点O（2，0），右顶点是F（5，0），所以，以O为顶点，F为焦点的抛物线方程是y2=12（x-2），准线L的方程是x=-1.
（2）当α=90°时，PQ的方程为x=5，P、Q关于Ox轴对称，由PF=12PQ，OF=12MQ，知POF∽PMQ，故M、O、P三点共线.
当α≠90°时，PQ的方程为y=（x-5）tanα，把它与y2=12（x-2）联立，得：tanαy2-12y-36tanα=0，设P、Q两点的坐标为（x1，y1），Q（x2，y2），则M的坐标为（-1，y2），y1y2=-36，所以三点共线.
证明三点M、O、P共线，有多种不同的途径：
证法1：证明点M在直线PO上；
证法2：证明直线PM与OX轴的焦点是O；
证法3：证明点M到直线PO的距离d=0；
证法4：证明把O看作PM的等分点，证O分PM的比值相等.
通过以上多种证明方法培养学生的发散性思维，使他们学会从不同的角度进行分析，深化所学知识.
数学教育的基本目标是数学思维能力的培养，本文从几个教学实践案例进行研究探索，便于学生建构新的知识理论系统，可以从中抽象出数学思维方法，培养自己的数学思维能力。
【关键词】
数学思维能力；高中数学教学案例；教学优化
在课程改革级时展的背景下，时代和学生对数学教学提出了更高的要求。《高中数学课程标准》中提到:“中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用”。而思维能力的培养往往出现两种误区，其一过分注重数学解题的过程步骤，忽略其本质的思维品质与方法，其二在数学思维品质的培养过程中过分的给予“自由”给学生，导致学生无从下手，似懂非懂。
1.通过构建知识整体结构，便于学生自主添加知识脉络，促进学生思维能力发展
案例一：在算法初步这一章内容中，课标强调现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合。教学目的应是计算机算法中的数学逻辑程序思想方法，体会数学语言文字程序化。所以我在这一章的教学中应用电脑技术手段，通过简单的程序演示，激发学生兴趣，并通过错误语句是学生体会计算机语言条理化、法则化、逻辑化。随后给出并讲解了算法的几大结构，1顺序2条件3循环，再给出了这一张的知识整体结构之后再让学生进行自主探究学习便能够更加明确出学习的内容及方法，降低了学生学习理解的难度。学生可以按照从文字语言到计算机语言的逻辑思维过程学习理解教材知识内容，体会计算机语言的编写过程。尤其是在算法初步的第一章，第一节的学习当中，学生仅仅觉得语言步骤可以这样，对其没有深刻的认识，没有深刻理解程序化思想。
2.通过类比相似知识内容，便于学生推导知识内容，促进思维能力发展
案例二：在数学必修一的第二章基本初等函数《对数函数的基本性质》这一课时的教学内容当中由于之前已经学习了函数的概念及基本性质，指数函数的基本性质之后，可以通过了类比指数函数性质及其研究方法，使学生自主研究对数函数的性质来调动学生的积极性，提升学生的类比推理的思维能力，体会数学知识的研究发现过程，而不仅仅是知识的简单传达与被动接受。具体操作：事先已与学生一起得到了对数函数的定义，要求学生在不看课本本节内容的前提下参照指数函数归纳对数函数性质，得到图表。学生不仅快速准确的得到了对数函数的性质，还体会到了数学发现的过程，通过联想类比加深了记忆，在下课前的抽查中，学生都能回答出性质内容。在性质得出后紧接着提出问题：（1）为什么对数函数与指数函数性质极其相似?（2）可以从两者的图像和指数与对数的运算发现什么？通过两个问题引出指数函数与对数函数互为反函数便于学生关联记忆理解。通过问题的思维难度的提升有利于学生的思维发展，也防止过多的同一层次的问题不利于学生注意力的集中和兴趣的保持。随后给予充分的时间进行习题的练习讲解。由于课堂内容安排较为合理，思维训练难度适度，学生参与度高，课后检测效果良好。
3.通过抽象问题具体化，便于学生抽象出数学知识方法，促进思维能力发展
案例三：在选修1-1第二章第一节椭圆的概念教学中如何使学生理解椭圆概念，产生兴趣许多教师都会使用课本中的导入方法，即把绳子固定在两点用粉笔拉紧绳子画出椭圆这可以使椭圆的抽象概念具体化、形象化，学生对照可使学生深刻理解定义概念本质。但是在教学中发现学生对于到两个焦点F1F2的距离和大于焦距||认识理解不深，仅限于推导过程中开方为正，故在教学过程中做出如下改进。具体操作：是学生在使用绳子做出椭圆请上四位同学，改变两个定点的距离，其中两个学生可做出椭圆，焦距一长一短，其余一人焦距与绳子等长，一人焦距小与绳子长让学生体会绳长大于焦距的重要性。学生通过这样的学习过程，即便与抽象概念方法的构建，也锻炼了抽象思维能力，促进学生思维品质的发展。
4.通过问题设置阶梯化，便于学生理清思维过程和数学本质，促进思维能力发展
案例四：在必修5等比数列练习题中有这样一道题“已知等比数列{}的前5项和为10，前10项和为50，求这个数列的前15项和。”很多同学开始都走了这样一条路：由题得到，即，进一步解出和q，最后利用和q，求出。但是此题的出题目的以及老师拿出来的目的是为了得到这一结论，许多老师往往就设置还有没有其他方法这一个问题造成学生思维困难，或者直接给出结论造成了学生的思维水平没有一点提升。我对于这一问题给出了如下策略，即采用阶梯式的提问方式及降低了学生思考问题、理解问题的难度，又是学生的思维能力得到了锻炼，让学生即有收获有没有产生畏难的心理。具体问题设置如下：我把“”写在黑板上，(1)观察的关系?(2)第一问中的三项可以写出怎样的关系式?(引导学生得出)(3)有怎样的关系？（4）能否得到的关系？（5）能否得到的关系并证明结论？这样设计问题及有效的引导了学生，也使学生认清了数学结论的理论本质和思维方法。我通过实践研究，充分感受到加强数学思维培养的重要性。课堂教学的优化设计对学生知识理解思维发展，提高教学效率的重要，如何从心理学、教育学的角度来研究课堂问题的设计，这是每一位老师应重视的问题。以上只是我对高中数学课堂教学中学生数学思维培养的一些浅显看法。在接下去的教学实践中，我继续努力研究思考这一问题，力争使自己的看法更加客观完善。
作者：张肖俊 单位：山西省大同市浑源县第五中学 山西师范大学教育科学研究院
一、问题案例设置要典型精当
问题案例设置是问题教学活动取得实效的前提和基础.笔者以为，问题案例设置是问题教学活动的“先决条件”，应切实做好问题案例设置这一工作，将典型、精当的问题案例呈现给学生，让学生通过案例之“一叶”窥得教材要义之“秋色”.首先要紧扣教学重难点设置典型案例.如在“同角三角函数关系”问题教学中，教师抓住该节课“同角三角函数的基本关系式以及基本关系式的运用”的教学重难点，设置“已知关于x的方程x2-（3+1）x+m=0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈[0，2π）.求（1）sinθ/（1-cotθ）+cosθ/（1-tanθ）的值；（2）m的值”问题，引导学生探析问题解答方法，让学生能够通过问题案例巩固所学知识、掌握教学重难点内容.其次要针对学生认知易错点设置典型案例.如在“两角和与差的正切”问题课教学中，教师针对学生解题时忽略角的取值范围错误探析现象，设置“已知tanα，tanβ是方程x2+33+4=0的两根，且α，β∈-π2，π2，求α，β值”易错案例，组织学生探析问题活动，暴露分析解答过程不足，组织学生共同研析，深刻认识到“此问题解答错误的重要原因在于忽略了题目中的隐含条件，也就是tanα+tanβ=-330条件，解题时应对角的取值范围进行讨论”，从而帮助学生深刻认知存在缺陷根源，掌握有效解决路径，树立正确解析习惯.再次要紧扣高考政策，在阶段性问题课教学中，设置精当高考模拟试题.如在“平面向量的坐标运算”一节课问题教学中，教师通过研析近年来高考政策在此方面的要求，设置出“已知点A（1，-2），如果AB与a=（2，3）同向，AB =213，那么点B的坐标是多少？”高考模拟题，使学生通过典型模拟试题，准确掌握高考政策对此节课知识内容的学习要求.
二、问题教学过程要体现双边互动
双向性、互动性，是教学活动的根本特性.问题教学活动是教师与学生之间深刻交流、深入探讨的互动过程.高中数学教师问题教学时，不能“一言堂”，让教师成为“主角”，应该将学生引入其中，参与教学活动，通过师生之间、生生之间的“双边”活动，开展高效解题活动.如在“已知函数f（x）是R上的一个增函数，并且过（-3，-1）和（1，2）两点，集合A={x|f（x）2}，关于x的不等式122x>2-a-x（a∈R）的解集为B.求集合A”问题案例教学中，教师采用互动式教学模式，先让高中生个体之间围绕问题要求，组成合作探析小组开展问题条件探析活动，学生探析问题条件后认为，该问题主要是关于考查学生对“交集及其运算”等知识点的运用.教师此时引导学生结合解题要求，进行师生交流探析解题思路活动，得到其解题思路为：“要求集合A，可以根据函数f（x）是R上的增函数这一条件以及（-3，-1）和（1，2）两点坐标内容，然后结合A中f（x）的范围，在求出x的范围基础上即可求得”.学生在进行小组讨论寻找问题解决的思路过程中，教师应走到小组中与学生共同探讨，帮助学生进行必要的指导和点拨，最后，教师组织学生结合探析思路以及解题过程，共同来总结判断归纳出上述问题的解题方法.学生总结归纳得出解题方法.在此过程中，教师发挥主导作用，通过谈话、讨论等双边活动，引导学生探析问题条件，探寻解题思路，总结解答方法，切实提升了学生解答问题效能.
三、问题教学活动要突出技能培养
新课改以后为了适应学生学习能力培养这一目标的变化，问题教学活动应遵循渗透能力培养为第一要务的教学理念，提供学生探析实践有效载体，组织学生通过分析、探究、思考、归纳、判断、推理等数学实践活动，让学生在掌握解题方法要领的同时，掌握和提升数学学习技能.
问题：已知有一个椭圆C：x2a2 +y2b2=1（a>b>0），它的离心率为e=22，点F是这个椭圆的右焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，并且MF・FB=2-1.试求出这个椭圆C的方程.
教师在此问题教学中，采用探究式教学模式，设计如下教学过程：
学生自主探析问题条件，小组合作找寻解题思路：根据题意可以得到点F、点A、点B以及点M的坐标分别是（c，0），（-a，0），（a，0），（0，b），由此可以得到MF的向量为（c，-b），FB的向量为（a-c，0），这样可以推导出c2 =1，a2=2，b2 =1，从而求出椭圆C的方程.
教师引导学生梳理分析过程，明确解答问题思路.
学生书写解题过程，教师让某学生运用数学语言阐述推导过程，教师用投影仪展示解题过程，引导学生完善补充解题过程.
