高中数学等差数列总结

开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇高中数学等差数列总结，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。

第1篇

要想灵活应对数列的拔高问题，解决问题的思想方法很重要。针对数列是一种特殊的函数，我们要把研究函数的思想方法迁移到数列中。

从一次函数角度研究等差数列的通项公式，挖掘公差与一次项系数的关系；从二次函数特征观察等差数列的前n项和公式，根据一个数列的前n项和的表达式，判断该数列是否为等差数列；从指数型函数形式对比等比数列通项公式，研究等比数列的递增和递减规律，并强调公比不能是0。在研究问题时，在考虑一般情况的同时，也不能忽略特殊情况。尤其是常数列和数列通项公式是分段函数这两种形式。另外，根据函数单调性求最值，放缩法证明不等式，这些方法也经常被应用到解决数列问题中。下面我就求数列通项公式及前n项和两个方面谈几种方法。

一、求数列通项公式

求数列通项公式，常见类型有三种：

第一类问题是利用公式求通项。

（一）根据等差数列定义或等差中项公式，判断该数列是等差数列，直接代入等差数列通项公式求通项。

（二）根据等比数列定义或利用等比中项公式，判断该数列是等比数列，直接代入等比数列通项公式求通项。

第二类是根据数列的递推关系式求通项。

二、求数列前n项和

在数列求和中，常用的方法有以下六种：

（一）公式法。如果数列是等差等比，则直接代入公式即可。

以上这些是在解决数列问题时，具体在求一些数列的通项公式及求它们的前n项和中，经常用到的方法。在解决数列问题时，只有掌握这些方法，才能做到融会贯通，游刃有余。

三、总结

近几年，高考数学中的数列问题一直作为一个考试的热点，虽然很多数学老师在数列解题上有一些独到的见解，但大多数局限于具体题目的讲解和分析，系统性不强，分析点也不全面。本文首先介绍了高中数列相关的基础知识，在以高考为背景的前提下，分析了数列在高中数学中的重要性，系统阐述了从小学到高中数学中数列循序渐进的过程。在案例部分，对高中数学中的数列问题进行了全面的概括，将常见的数列问题进行了一一分析。主要涉及：（一）求数列通项公式常见的三种类型：第一类问题是利用公式求通项，第二类是根据数列的递推关系式求通项，第三类是根据混合递推关系式求通项。（二）求数列前n项和，常用的方法有以下六种：一是公式法，二是倒序相加法，三是错位相减法，四是裂项相消法，五是分组转化求和法，六是并项求和法。并针对以上问题进行归类总结，给出针对高考数列解题的策略和建议。将近几年来高等数学的思想、方法和观念在高中数学中逐步渗透，并积极探讨，进一步说明了高中数学中数列学习和应用的必要性。本文对高中数学中的数列问题的分析是笔者在教学期间实践研究的初步成果，希望广大同仁对本文提出宝贵意见，将有助于进一步促进该领域的教学研究，笔者在今后的工作中也会不断实践，继续进行不懈研究。

参考文献：

第2篇

关键词：高中数学;数列;解题技巧

在学习高中数学的过程中，有关数列题型的解题技巧也一直备受教师和学生关注，它不仅是高中数学教师们谈论的重点内容，也是学生们学习的重要内容。有的同学对数列的知识还存在一些欠缺，没有完全领会其中的知识点，这对平时的解题会造成一定的困难，所以需要我们平时多多摸索，找出解题技巧，促进我们更好地学习，本文就对关于数列的解题技巧进行一些阐述。

一、对数列基本概念的探讨

在解决高中数学数列试题的过程中，通项公式和求和公式需要被直接运用到一些试题上来进行计算。相对来说，这种类型的数列题目是没有什么详细的解题技巧的，而是需要我们熟练掌握公式，将公式运用到具体的题目中进行解答。比如：己知等差数列{an}，Sn是前n项的和，并且n*属于N，如果a3=5， S10=20，求S6。根据题目中的已知条件，我们可以结合等差数列的求和公式和通项公式，首先把数列题目中的首项和公差计算出来，然后根据已知的条件，把所得的结果直接代入求和公式中，这样便可以得到正确的结果。这种类型的题目主要是考察我们对基本概念的理解，所以，在学习过程中，我们一定要注重数列概念的掌握。

在近些年的高考中，对通项公式的考察也很多，对数列求和也是需要掌握的重点，所以这里着重再说一下通项公式。对数列进行求和的方法有好几种，这里介绍错位相减法、合并求和法、分组求和法、通项求和法。

二、高中数学数列类题型的解题技巧

1.合并求和法

在对数列试题进行考察时，一般情况下有一些数列会比较特殊，如果将其中的个别项单独进行组合，那么我们可以找到它特殊的地方。当我们面对这种类型的题目时，我们的解题技巧是，首先把数列试题中可以进行组合的项列出来，接着计算它们的结果，最后进行整体的求和运算，这样我们就可以计算出正确的结果。比如说这样的题目，a1=2，a2=7，an+2=an+1-an，求S1999。首先我们进行初步计算，会发现这个数列不是等差的数列，也不是等比的数列，但是我们可以得到的是a6m+1=2，am+2=7，一直到a6m+5=-7，a6m+6=-5，因此得出S1999=0，也就是a1999=a1999+0，得出a1999=2 ，所以题目的最后结果就是a1999=2。

2.分组求和法

在我们做数列相关题目的过程中，会发现其中有一些数列在本质上是不属于等差数列的，也不在等比数列的范围，但是将它们拆开，我们可以将它们其中的一部分划分到等差数列和等比数列中，我们在对这类数列进行求和时，可以先使用分组求和法来对其计算，然后把它们拆分成简单的求和数列，进行分别求和，再将其得出的结构合并，这就是我们想要的结果了。比如：己知数列{an} ，n为正整数，通项公式是an=n+3n，要求计算出该数列前n项的和Sn。首先进行初步计算我们可以得到，此数列非等比非等差，再对其进行仔细观察，我们不难发现，n+3n的前半部分是等差数列，后半部分则是等比数列，所以我们可以将等比和等差部分分别进行计算，得到结果之后进行相加就可以得出正确的结果。

3.错位相减法

在对数列进行推导求合时，我们经常用到错位相减法，这种解法经常被运用到数列前n项和的求和中。比如在等比数列或等差数列的前n项和的求和中，采用错位相乘法，首先算出数列的首项、差比或公比，再利用等差公式或者等比公式来算出相应表达式，采用错位相乘法就可得到结果。我们在学习时，要多注意解题思路，做到对题进行总结，举一反三。

4.通项求和法

在使用通项求和法时，关键是能够把一个数值拆分成两个数值，以便把遵循一个规律的数值集合一起进行求解，达到事半功倍的效果。求解1+11+111+1111+…+1…11之和，第n项的数值的位 数是n，因为1…111=1/9（9…999）= 1/9（10k -1）（k等于1… 111的位数），所以数列1+11+111+1111+…+1…11=1/9（101 -1）+ 1/9（102 -1）+ 1/9（103 -1）+ 1 /9（104 -1）+…+ 1/9 （10n -1）。进行分组求和后，1+11+111+1111+…+1…11=1/9（101 +102 +103 +104 +…+10n ）-1/9（1+1+1+1+…+1）（1的个数是n）= 10/81（10n -1）- n/9 =1/81（10n+1 -10-9n），这样就能够很快计算出数列的和。

三、结语

综上所述，我们可以知道，高中的数列题型因为它的特殊性，它是和其他的数学知识分不开的，为了能够更好地学习这部分内容，我们在平时的学习中一定要注意对数学基本概念的掌握，以及相关解题技巧的总结，达到融会贯通的境界，才能更好地提高我们的数学能力。

参考文献：

第3篇

关键词： 高中数学教学 数列章节 学习能力 培养策略

“教人求真，学做真人”，是学科教育教学的根本任务和要求，也是有效教学的本质要求.学习能力作为学生个体探知新知识，解答新问题，分析新矛盾的根本技能，学习能力的培养已成为学科教学的重要目标和任务.学生良好学习技能的养成，能够对学习进程的有效发展和学习效能的有效提升起到重要推动作用.随着新课改要求的贯彻落实，能力培养已成为高中数学有效教学活动开展的重要内容，学习技能水平已成为衡量高中数学教师教学能力水平的重要评定因素之一.通过对新课程标准的研析，可以发现，合作互助学习能力、动手探究能力、创新思维能力等已成为高中生必须具备的重要学习能力.基于现状，学习能力的培养势在必行.下面我结合数列章节的教学实践体会，对高中生数学学习能力的培养策略进行论述.

一、利用数列章节内容的生动性，在适宜情境中培养互助合作能力。

数列章节是高中数学学科知识体系架构的重要组成部分，它是刻画离散现象的数学模型，在现实生活中会遇到如存款利息计算、房屋折旧等日常生活问题，数列模型的有效运用，能够很好地帮助我们解决这类问题.而互助合作学习活动的开展，需要适宜情境的外在因素和积极情感的内在刺激，才能实现互助合作学习能力的有效培养.因此，高中数学教师在数列章节教学中，应注重数列知识生活性、趣味性等适宜教学情境的创设，通过设置贴近学生生活实际、符合学生认知规律的教学情境，将学生引入到“互助合作”学习活动“轨道”上.如在“等差数列的前n项和”教学活动中，通过对该节知识点内容的分析，我确定等差数列的前n项和公式的推导、等差数列的前n项和公式的性质等内容为该节课的教学重点和学习难点，于是决定采用互助合作教学策略，让学生通过合作探知的方式学习新知识.我在教学导入环节，设置了“在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.请问第9圈共有多少块石板？”的生动有趣的教学情境，让学生初步感知体会等差数列的前n项和的知识内容，使学生感受到教学情境的趣味性、生动性，合作互助的学习情感得到显著增强.

二、紧扣数列章节案例的典型性，在案例教学中培养探究实践能力。

探究实践是学生获取知识内涵、解题策略和学习技能的重要方式，也是学生学习能力锻炼和发展的重要途径.数学问题作为数学学科知识体系及内涵要义的生动概括和体现，具有典型性、深刻性和探究性.这就为学生探究实践能力培养提供了有效平台.在数列章节问题案例教学活动中，我深刻体会到，设置典型性问题案例，对高中生探究能力培养尤其重要.因此，在数列章节问题案例教学中，应抓住知识点要义，设置典型、生动的问题案例，引导学生开展探知活动，即时归纳总结解决问题策略，逐步提高学生的探究实践能力.

如在“有关求等差数列的前n项和最值”问题案例教学中，根据“有关求等差数列的前n项和最值”的知识关键点，则该数列的前多少项和最小？”问题案例.此时，我采用探究式教学策略，学生通过探析问题条件及要求，认为该问题案例在解答过程中，主要是解决等差数列的前n项和最值问题的基本思想.此时，我与学生结合所学内容进行共同探析，得出其基本思想是“利用前n项和公式与函数的关系来进行解决问题”.在解题过程中，有的学生利用二次函数进行解答.这时，我向学生提出，能否采用其他方法进行解答.学生此时进行再次探析活动，找出了利用图像内容，或通过求等差数列的前n项通项公式进行求解.最后，教师向学生阐述该问题案例解答的策略有“二次函数法”、“图像法”、“通项法”等解决策略.这样，学生既掌握了探究问题的策略，又提高了探究问题的能力.

三、抓住数列章节内涵的深刻性，在变式问题中培养创新思维能力。

高中数学数列章节是高中数学学科的重要内容，数列问题以其多变的形式和灵活的求解方式备受高考命题者的青睐，历年来都是高考命题的热点，卷面分值较以前呈现上升的趋势.通过数列章节知识体系及内涵的分析，发现数列章节与函数、方程、不等式等章节内容存在密切联系，同时，数列命题也已经逐步与函数、方程、不等式和几何等知识进行综合，以中、高档题目“面目”进行呈现.这就需要高中生具有创新思维、综合分析的能力水平，这也成为教学的重要内容和目标.

第4篇

数列是高中数学学科知识结构体系的重要内容和构建体“分枝”，通过对数列章节内涵中等差数列、等比数列等相关知识点的分析和研究，可见，数列章节知识内容是刻画离散现象的数学模型，在我们的日常现实生活中有着广泛的应用，如存款利息的计算、购置房屋贷款的计算、工厂生产机器的折旧等问题，都与数列章节内容关系密切.数列问题在其表现形式以其多变的形式和解题方法上的灵活多样的特性，成为高中数学问题案例的经典问题.

一、利用数列章节的直观特性，培养学生数形结合的解题思想

数列章节知识内涵丰富、生动、形象，能够通过深刻、直观的函数图象进行有效展示.在数列问题解答中，图象在数列问题案例的解答过程中，有着具体而又广泛的运用.等差数列、等比数列等问题案例分析、解答过程中，很多时候都要借助于函数图象的背景进行研究分析.

二、利用数列章节的推导特性，培养学生归纳的解题思想

如，在数列的通项公式、等差数列、等比数列的概念以及前n项和公式的得出和推导过程中，通过对相关内容要义的观察、猜想、发现、归纳、概括、总结等归纳和体验的学习过程，都强调了归纳思想的具体应用.因此，教师可以利用数列问题在此方面的特性，设计如求等比数列、等差数列的通项公式方面问题，引导学生分析问题案例，归纳问题解法，提炼问题策略，提升学生的归纳解题思想.

问题：已知有四个正数，且他们之间成等比数列，现在知道他们之间的积是16，且中间相邻两个正数的和为5，求这四个数及公比.

三、利用数列章节的严密特性，培养学生分类讨论的解题思想

在实际问题解答过程中，通过问题分析、研究活动，在探寻符合问题解题要求的条件过程中，符合要求的条件不止一个，两个，这时就需要通过分别研究、分析的方略，对符合条件的内容进行全面客观的分析，甄选出最为确切的问题条件，从而进行问题有效解答活动.在数列章节教学中，教师可以设置具有此方面特点的问题，引导学生进行分类讨论活动，从而逐步树立分类讨论思想，实现思维活动严密性和全面性.

四、利用数列章节的函数和方程特性，培养学生函数和方程的解题思想

数列实际上是特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，学生在进行问题解答过程中，由已知条件或数列的性质内容，通过列方程的形式，所求出的量的过程，其中就蕴含了函数与方程的解题思想.

问题：若数列{an}是等差数列，a15=8，a60=20，求数列a75的值.

分析：这一问题案例解答时，可以采用先由a15=a1+14d=8，a60=a1+59d=20，列出方程组，求出a1和d的值，然后再求出a75的值，或者可以根据性质：{an}为等差数列，a15，a30，a45，a60，a75这四个数之间成等差数列，利用等差数列的相关性质进行解答活动.解题过程略.

解题策略：在等差数列问题案例的解答中，项数成等差的项仍为等差数列，可以通过采用列方程的形式进行解答，或应用通项公式的变形公式an=am+（n-m）d求解.

第5篇

【关键词】高中数学 数列 分析

引言：数列，是一种典型的离散型函数，是高中重要的教学内容之一，在生活中很多方面发挥着重要的作用。高中数学教师在具体的教学过程中，往往通过对数列知识的讲解，具体例题的分析和课后练习题的巩固，来培养和提高学生分析、思考、归纳数学知识和自主学习的能力。使学生在课后的练习过程中，在解决数列问题的时，可以对其他类似的数学题进行触类旁通的解决。这就要求教师充分的重视数学数列的教学过程和方法[1]。对教学设计不断的进行优化创新，对数列的基本公式和概念进行有效的传导，并要结合实际情况对数学数列方法进行深层次的探究，重视学生是教学活动中的主体，使学生们养成良好的学习习惯，形成系统性的创新思维模式。

一、高中数学数列的应用简析

作为高中数学教学内容的重要组成部分，数列蕴含着灵活多样的教学理念和方法。在人们的日常生活中也发挥着重大的作用，具有极高的运用价值。例如，结合现代人们的生活需要，数列知识可以解决很多实际问题：生物细胞分裂、中国人口增长及密度、产品规格的设计等都会涉及到数列的应用。通过对数列的学习，有利于提高学生的运算速度和能力，有利于培养学生的逻辑思维能力。高中数学教学在具体的教学过程中，一定要足够的重视数列教学方法，不断的探究、创新数列教学方法，采用最有效最快捷的教学方式，使学生在熟练地掌握数列概念的同时，能够充分、灵活的对其进行应用。教师不仅要让学生们在课堂的学习中有紧迫感，成就感，还要让其在课下进行深刻的思考和分析。

二、高中数学数列教学的创新

（1）数列教学设计的优化。数列、一般数列、等差数列、等比数列是是高中数学数列教学的主要内容。其中，等差数列和等比数列是数列教学内容中的重点。主要包括对数列的定义、基本特点、通项公式、分类方法、具体应用等知识点的学习。传统的教学观念中，教学设计作为一种系统化过程，是用系统的教学方法将数列教学理论，同学习理论原理进行转换，使之成为教学活动和教学资料的具体计划。创新理念的数列教学设计解决了"教学成果"；"教学方法"；"教学目的"等问题，通过教学设计来解决教学问题，探究总结问题的解决方法和步骤，形成新的教学方案。并在新的教学方案实施以后及时的对教学效果进行分析，规划操作其过程程序，判断其实施的价值。这一过程也是教学优化的的过程，能够提高教学成果，创造出更加合理高效的教学方案。比如在学习等比数列前n项和这节课时，首先设置一个具有趣味性的问题：有一个印度国王想要奖励国际象棋的发明者，问其有什么要求，这个发明者说：请在棋盘上的64个格子中的第一个格子放入1粒麦粒，然后在第二个格子中放入2粒，第三格放入4粒，第四格放入8粒，以此类推，每一个格子都需要是前一个格子的2倍，国王听了就答应了，同学们你们知道国王应该给这个发明者多少粒麦子吗？然后带着问题进行学习数学，不仅能够激发学生学习的主动性和积极性，提高教学的有效性[2]。

（2）创新理念下的"数学概念"。对数学对象本质属性进行反映的思维方式，是数列的数学概念。它的定义方式有两种，一种是指明外种延的，一种是描述性的。对一个数学概念的学习，应记住其名称、了解其涉及到的范围、简述其本质属性并运用其概念进行判断。数学概念包括等差数列、等比数列、通项公式和数列。在对这些陈述性概念进行设计时，设计者应对上述概念体现的概念特点进行表明。并且在高中数学数列学习中，为了能够激发学生对数列学习的兴趣，体会数列实际应用的价值，则可以通过将生活中实际的问题引入到课程教学汇总，从而将抽象的数学知识转变为实际需要解决的问题，使学生学生对所要研究的内容心中有数。并且在数列学习中可以结合其他知识点进行学习，比如数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系.在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，"次序"便是函数的自变量，相同的数组成的数列，这样不仅能够引导学生通过多方面解决问题，而且对提高学生运用知识的能力也具有重要的意义[3]。

（3）创新理念下的教学设计是以关注学生的需要为基础的。为学生服务是教学设计的最终目的。教师应当认识到，教育的主体是学生，学生与学生之间存在着接受能力、对同一数列概念的认识水平、认知结构等方面的差异。对于那些接受能力较弱的学生，单单的让他们自己去探索、发现数列的运用规律及特点是不行的。在这样的情况下，传统的教师讲授式教学方法更适合他们。不但可以尽可能的缩短教学时间，让他们掌握数列教学的基本内容，还可以通过课后有关数列的习题的练习，强化其对基本知识的记忆[4]。对于接受能力不算很好的学生来说，简单的数列习题应适当的留给他们，让其自行的解决，对于一些有一定难度的习题，老师可以直接的进行讲解，并帮助学生们分析。从学生的具体需要出发的教学方式的创新，才能够有较好的教学效果出现[5]。

结语：数列教学活动的创新，数列教学方法的改进，没有永恒的教学模式规定。教师运用那种教学方法，以什么样的方式形式呈现出来，需要数学教师灵活的掌握。以学生为教育主体，不但要对教学内容特点特征进行考虑，还要考虑到学生的整体素质，照顾到弱势群体。总之，综合考虑各个方面的因素，根据实际情况的需要，选用合适的教学模式。积极探究创新高中数学数列的教学方法，使其既可以达到传授知识的目的，又对学生学习能力的提高有帮助。

参考文献：

[1]朱达峰.新课程背景下高中数学有效课堂教学引入的十种方法[J].数学学习与研究

第6篇

[关键词]：高中数学解题 函数思想 作用

函数思想在高中数学解题中的应用效果较好，学生对不同类型的函数已较为熟悉，对于各个类型的函数应用也十分熟练。教师在教学的过程中，应该加强培养学生的函数思想意识，使学生可以灵活地应用函数思想解决具体问题。可以将较多的复杂问题更简洁化，还可以将常规方法不能解答的问题找到突破，促使学生的解题技巧明显提高。

一、不等式中函数思想的运用

函数思想在不等式中能够充分的应用，绝大部分的不等式证明问题，需要将问题灵活的转化，在发现常规的解题思路不能解决的过程中，通常说明此种解题思路是错误的，教师需要使学生掌握良好的思维能力，通过合理的思维转化把问题变得更简单。绝大部分的不等式问题均能够利用函数给予分析，从而得到针对性的答案。教师应该指导学生对不同类型的函数与之间的转换关系充分了解，促使在函数构建的过程中，可以很容易找到适宜的类型找，同时，可以更快、更准的将问题解决。

例如，已知：不等式x2+mx+3>4x+m恒成立，同时，0≤m≤4，且x的取值范围。在对次不等是分析与解决的过程中，可以将x作为自变量，随后建立函数图像，也就是y= x2+（m-4）x+3-m，于是，将不等式转变成y>0恒成立，同时m∈[0，4]，再对x的取值范围进行求解。此中方法就是根据方程的方式将问题解决，解题过程相对较麻烦，一旦将其转变为f（m）=（x-1）m+（x2+-4x+3）>0，且m∈[0，4]恒成立的过程中，就能够很容易将x的取值范围求出，也就是x

二、方程中函数思想的运用

在数学方面来看，方程与函数是具有紧密的联系，函数中具有方程中全部的内涵，而方程也是函数中的重要组成部分，因此，将函数思想在方程问题中应用，是一种切实可行与便捷的方法。

例如，已知方程（x-d）（x-c）=2，其中方程的两个根为p与q，同时，c

三、数列中函数思想的运用

数列在高中数学可以是一种较特殊的函数，通项公式即函数解析式。数列的核心指根据自变量获得离散数值的一种特殊函数。因此，在对数列问题解答的过程中，可以把函数模式与函数性质合理应用，其有利于对数列的含义、通项与等差、等比数列中的单调性等相关问题更好的理解与掌握。

例如，在对{an}等差数列中，将d=（an-ap）/n-p，公差d的几何意义为坐标中表明此等差数列中每一项点所在直线的斜率；随后，等差数列的求和公式Sn=na1+1/2n（n-1）d在求解的过程中，可以将此等式转变为Sn=1/2dn2+（a1-1/2d）n，在d≠0的情况下，就转变为关于n的二次函数。

四、最优解问题中函数思想的运用

最优解问题是高中数学中较为常见的一种类型，此种考察模式在绝大部分的问题中都较为常见。最优解问题，是一种最为常见的应用函数思想辅助解决的一种问题。一旦没有合理的构建函数问题，一般情况下其解答过程较复杂，严重的时候回出现没有解题思路的现象，根据题设条件科学的构建函数，问题除了可以变得更直观、更清晰以外，解题过程也会更简化，所以，数学教师在数学教学过程中，需要对此类问题给予充分的重视，加强对其的练习，除了可以促使学生感受到函数思想的应用方式以外，还可以便于对此种方法更好的掌握，使学生了解到函数思想的应用，可以将实际问题更好的解决。

最优解问题十分典型，如在人们日常经济活动中，如何根据最低成本与最短的时间，获取经济效益的最大化，是每个领导者与经营决策者都需要考虑的首要问题，对于此种问题，在数学中将其称为最优化问题，针对此种问题，一般情况下应该选取较好控制的一个因数作为自变量，同时，合理建立函数模型针对此问题进行解答。在对此类问题解析的过程中，通过分析尽可能的将部分实际问题列出内在的函数关系式，随后根据函数存在的有关性质，科学的函数模式的构建，可以促使最优解问题更直观、更简化，同时，也有有利于问题更快、更准地解决。

五、总结

由此可见，教师在高中数学教学中应用函数思想，是一项系统性与长期性的工作，其除了可以更好地使学生认识问题与理解问题，还可以促使课堂教学效率的不断提高，对高中教学的发展具有促进作用。

参考文献：

[1]张百香.用函数思想指导高中数学解题[J].考试周刊，2014，（82）：59-60.

第7篇

【关键字】高中数学；数列；求和；转化

中图分类号：G633.6

数列是一种特殊的函数，其应用在高考中占有重要的地位，考察了同学们的逻辑思维能力、推理能力、谨慎性以及灵活性。笔者作为教学中的主导，在教学过程中引导同学们探究数列求和的技巧与关键，促进教学目标高效的完成。

一、叠加叠乘，引导转化

数列求和有很多求解的方法，包括倒序相加法、拆项重组法、裂项相消法、错位相减法、叠加法、叠乘法等等。为了深化同学们对每一种求和方法的应用，在教学时可以开展专题性的讲解，本文以叠加叠成这一专题教学为例，重点进行探讨。

在数列的学习中，等差数列与等比数列是可以直接根据公式进行运算的，借助公式能够使运算变得非常简单。对于一些特殊的数列，同学们通过叠加或叠乘这样转化，能够将递推盗凶化为可以直接应用公式的等差或等比数列，或一些求和简单的数列，根据其通项公式进行求解。然而同学们总是不能避免走一些弯路，没有进行正确转化，造成运算非常复杂，解题思路不对。因此，我通过让同学们练习一系列的求和问题，去领悟运用叠加叠乘的方法及相关类型数列的特点。例如，已知a1=1，an+1=an+2n，求数列的和Sn。对于这道问题，直接利用递推公式求解Sn是非常困难的。首先应当根据递推公式求出an的通项公式，这里就用到的是叠加法。由递推公式可得a2-a1=2，a3-a2=2*2，a4-a3=2*3，……，an-an-1=2n-1，将这n-1个式子相加可得an=1+2+2*2+2*3+……2n-1，化简得到an=1+2（1+2+3+……n-1）= n（n-1）+1=n2-n+1。Sn=（12+22+32+ ……+n2）-（1+2+3+……+n）+n=n（n+1）（n+2）/6-n（1+n）/2+n，得解。通过对若干运用累加法求和问题，我引导同学们去探究总结其中的规律，最终同学们发现，对于an+1=an+f（n）这种形式的递推数列，应当通过叠加法求其通项公式，当f（n）是一个常数时，数列是等差数列。同样的方式，我再引导同学们进一步探究叠乘法的应用。

在上述教学活动中，我通过展开专题讲解，引导同学们去深入探究每一种求和的方法，有助于促进同学们扎实基础，落实基本功，从而灵活的运用这些方法解决综合性问题，提高解决问题的能力。

二、自行编纂，凸显层次

教师的教学要注重层次性，每个同学的理解能力有高有低，对知识的吸收程度不同，因此教师在让同学们进行习题练习时，也要注重层次性，从易到难，从浅到深，使不同层次的学生都有所收获。

比如，我通过自行编纂习题，充分注意题目的难易程度，使同学们一步一步的获得能力提升。最开始我会要求同学们能够充分的理解与运用等比数列及等差数列的公式，严格遵守公式应用的条件。例如在求等比数列的和时，如果公比不是一个已知的常数，那么同学们在求和时一定要分为公比为1和公比不是1这两种情况。接下来同学们需要学会通过进行一定的变形进而应用等比数列或等差数列的求和公式求解。例如一些数列既不是等差数列，也不是等比数列，但是通过将数列进行适当的拆分，可以分为几个等差数列、等比数列或者常见的数列，这种方法即为分组求和法，是比较简单的变形。其次还有错位相减求和这一方法，同学们通过设置错位，相减之后得到一个等式，等式一边是含有Sn这一参数的简单式子，通常为（1-x）Sn，等式右边可以利用等比数列求和公式进行化简，最终得到Sn。接下来同学们需要掌握一些复杂的变形求和，例如裂项相消法的运用。

在上述教学活动中，我通过有层次性和递进性的开展教学内容，使不同水平的同学都尽可能的学到知识，水平低的同学可以掌握求和的基本方法，会求解简单例题，而水平高的同学在教学中不断地获得提升，很大程度上提高了课堂的效率。

三、高度预见，对症下药

根据历年的教学经验，教师是可以预见性的估计同学们可能会出现问题，发现那些知识是同学们的薄弱之处。教师通过有针对性的对症下药进行设计，可以有效的促进同学们攻克重点难点，提高数学知识水平。

比如，在对数列的求和问题进行教学时，我发现同学们对数列的性质掌握的并不是很好，经常会混淆。为了使同学们充分的吸收这部分知识，我对症下药，就这部分知识有针对性的进行了备课，以帮助同学们有效的梳理。我首先出了一道典型例题让同学们自主解答，例如，等差数列的{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和。通过观察同学们的解题过程，我发现有部分同学果然按我所预计的，将通项性质与前n项和的性质混淆了。我采用不点名的方式将其错误答案在黑板上板书出来，让同学们来分析一下错误之处。错误答案如下：由于Sm，S2m，S3m成等差数列，所以2S2m=Sm+S3m，S3m=2*100-30=170。同学们纷纷回答是错的，Sm，S2m，S3m并不成成等差数列。我对同学们说 ：“那同学们能用具体的数据告诉我为什么不成等差数列吗？”同学们是通过举例的方法说明了这一问题，Sm=m（a1+am）d/2，S2m= 2m（a1+a2m）d/2，S3m=3m（a1+a3m）d/2，给m、d、a1赋予具体的数值可以计算出三者并不成等差数列。我继续提问：“那么这道题应该怎么做呢？”同学们回答到，Sm，S2m-Sm，S3m- S2m成等差数列，公比为m2d，所以2（S2m-Sm）= Sm+S3m- S2m，代入数值得S3m=210。为了让同学们都能深入的理解这一性质，我引导同学们再一次证明了 Sm，S2m-Sm，S3m- S2m为何成等差数列，以及公差的公式，有助于同学们对其产生更深的记忆。

在上述教学活动中，我通过设计问题，让同学们先出现错误，然后对其进行针对性的讲解与指导，使同学们意识到求和问题的关键，从而产生更深的理解与认识，高效的达成了教学目标。

综上所述，教师在教学过程中，通过对重点的求和方法进行专题讲解、选配具有层次性的典型例题进行训练、对可能出现的问题进行针对性的设计等策略，能够有效的提高教学效率，让同学们更好的吸收和运用数列求和的知识，实现高效的数学课堂。

参考文献：

第8篇

关键词：高中数学；情境式教学；有效教学；学习情感；教学效能

教育学认为，情境式教学是指教师在教学过程中结合教学目标要求，有计划、有步骤地创设出贴近学生生活实际或情感特性的活动情境，利用生动场景与教育因素帮助学生理解教材，使学生内在情感得到教育和进步的一种教育方法。孔子的“相机教学”著名论断、孟母的“断织教子”经典故事都是情境式教学的典型范例。高中数学教师应激发学生的学习积极性，引导和激发学生在自主探索和合作交流的过程中掌握数学知识与技能，主动去探讨，去学习。可见，情境式教学策略是激发学生主动学习、探知的“一剂良方”。

一、利用数学学科生活性特点，创设生活性教学情境，使学生愿意“学”

数学学科是一门生活性的基础知识学科，与现实生活紧密相连，“源于生活，服务于生活”是它的生动表现。“解决问题”是数学学科教学的核心。实验心理学认为，不同阶段的学生群体都对现实生活问题充满“亲切感”，充满探知的“欲望”。高中数学教师可以采用以景激情的方略，抓住数学生活性特征，设置贴近学生的生活问题，变抽象数学问题为现实生活问题，使学生在现实问题教学情境中，内在情感得到“熏染”，学习潜能得到“激发”，愿意学习成为现实。

如在“向量”章节复习课教学时，由于该章节知识点内容较多，重难点较难掌握，以往学生学习该节课知识时经常表现出“消极”情态。教师在该节课教学时，采用“情境教学法”，在新知导入环节就设置出了“一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈。记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：d=Asin（ωt+φ）+k（A>0， ω>0，

二、发挥数学问题丰富性特点，创设探究性教学情境，使学生勤于“探”

高中生在数学问题解答过程中，实践探究能力、思维辨析能力以及创新求异能力等方面能够得到有效的锤炼和培养。众所周知，探究问题的过程是克服思维缺陷、解题阻碍的复杂过程，它需要学生良好探究情感作为“保证”。而数学问题在表现形式上具有多样性，在解答方法上具有灵活性，在能力培养上具有丰富性等特性，这就为学生探究情感的引导和激发提供了良好平台。

如在“等差数列的前n项和”问题教学中，教师为提升学生探究问题的积极性，根据教学目标要求和学生解题实际，设置了“等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12=84，S20=460，求S28的值”问题。在该问题案例教学中，教师将问题解答的任务交给学生，要求学生根据所掌握的“等差数列的前n项和”知识内涵，进行问题分析探究活动，学生在对该问题案例教学情境的探知活动中，发现该问题实际是一道一题多解的发散性数学问题，该问题是考查等差数列前n项和公式的灵活运用的问题案例。此时，教师引导学生开展解题思路探究活动，学生在分析问题条件过程中，得出了：（1）应用基本量法列出关于a1和d的方程组，解出a1与d，进而求出S28的值；（2）因为此数列不是常数列，所以S28是关于n的二次函数且常数项为零，可设Sn=an2+bn，代入条件可求得a，b，进而求出S28；（3）因为S12，S20，S28都是关于a1与d的二元一次式，所以可设S28=AS12+BS20，再结合已知条件求出A，B进而求出S28（4）由Sn=na1+可知{}是一个等差数列，，因为2×20=12+28，所以根据等差数列的性质有2×=+，从而求出S28的值。这时，教师让不同探究学习小组学生运用不同方法进行问题解答，其解题过程略。最后，教师对学生所提出的各种解题过程进行总结，给予积极性的评价，并对学生的解题思路进行梳理归纳，从而使学生在享受探究成果的基础上，更加主动积极地参与问题探究活动。

三、放大教学过程连贯性特点，创设评价性教学情境，使学生乐于“思”

学生是学习活动的主人，高中数学教师在教学活动中，要将学生主体特性渗透到整个教学活动始终，利用教学过程的连贯性特点，在教学不同环节设置体现学生主体特性的评价性教学情境，让学生在评析活动中，积极思考，主动思考。

如在教学“一元二次不等式”教学“巩固反馈”教学环节，教师在学生解答问题基础上，设置了“解不等式≥2”数学问题，并展示了“解：先将原不等式转化为-2≥0，≥0，所以≤0，由于2x2+x+1=2（x+）2+>0，不等式进一步转化为同解不等式x2+2x-3

第9篇

关键词：学习兴趣；主动参与；学习方法

数学是一门抽象且多样化的学科，数学教学并非是传授知识的过程，而是教学生学习方法的过程. 因此，在实际教学中，教师必须改变传统的教学理念，以学生为主体进行教学，重点考虑学生的终身发展.

高中数学教学现状

数学是一门抽象、难懂的学科，高中数学尤为突出.目前很多高中生胆怯学习数学，对数学没有兴趣，加之在考试中得了低分，使其对学好数学更没有自信.高中生压力较大，导致学生失去了学习数学的兴趣，并且有一部分学生为考试而学，不能将所学知识灵活运用. 如今高考成为教师和学生的教学与学习目的，这种现象仍然存在.加之课堂时间有限，有些教师选择只讲与考试相关的内容，学生也只练习这些题型，最终导致学生机械化学习，没有掌握良好的学习数学的方法，数学的学习不再是在分析和探究中进行，并且学生感受不到学习数学的实用性，最终导致学生学习数学越来越艰难，同时教师教学也越来越困难.

以学生为主体，如何确保课堂教学有效性

（一）深入了解实际情况，找准教学重点

教师在进行新课教学设计时要深入了解学生，了解其对要学的新知识点掌握多少，教学目标中的哪些知识点已经掌握，哪些还没有掌握，有多少学生掌握，他们掌握到哪种程度. 了解学生的这些情况在教学时是非常必要的. 因为课上时间较为紧张，教师需将绝大多数时间放在重点上，而不能将所有知识点“一视同仁”. 因此，教师只有深刻了解学生学习的实际情况，才能确定哪些知识点重点讲解，哪些非重点讲解或者可以省略不讲，提高课堂教学效率，同时这样也能够让学生感受到课堂上的充实感.在实际教学中，学生掌握新知识的程度远远超过教师的想象.

如在学习《数列》时，由于在很多趣味题中都涉及了数列，很多学生都对数列已经有一个初步的认识和了解，因此，在上课之前，很多学生都能够了解数列的定义，此时教师就不需要在数列定义上花费太多时间和精力，而将时间用于其他知识点的讲解上，如通项公式、实质等.

（二）与实际结合，提升学生学习兴趣

数学这门学科较为抽象，且逻辑推理性较强，而高中阶段学习数学主要是以题海战术来进行，这就进一步加大了数学的抽象性. 为了将抽象简单化、形象化，高中数学教师需要将数学知识与生活密切联系起来，使学生对其有个初步认识，深知学习它的重要性和实用性，进而提升学生学习兴趣.

如在学习《等比数列》时，教师首先通过多媒体显示“计算机病毒传播问题”，让学生写出计算机病毒传播所构成的数列，在教师的引导下，学生写出一个无穷等比数列：1、20、202、203、204、…，通过此问题的提出和解答，学生惊讶计算机病毒如此厉害，传播速度如此之快. 此时教师通过多媒体显示“银行存款利息问题”，并列出5年内各年末的本利和，并写出计算过程，在学生的相互讨论下，写出了各年末本利和：10 000×1.019 8、10 000×1.019 82、10 000×1.019 83、10 000×1.019 84、10 000×1.019 85，此问题一解决，学生们不仅对等比数列有一个更深入的认识，发现等比数列的相同点，他们因能够解决银行存款利息问题而更有成就感. 此时，教师通过多媒体显示“某种细胞分裂的模型”，并让学生写出每次分裂后细胞的个数，将其写成一个数列，此时学生很容易写出来，学生因数学能够与生物相连而感到神奇，他们对数学的重要性和实用性有了更深层次的了解，大大提高了他们学习数学的兴趣.

在实际教学中，教师要鼓励学生将所学知识运用到解决实际问题中去，这样不仅能够激发学生学习兴趣，而且还能够培养学生应用数学的能力，让学生能够感到成就感，增强自信心.

（三）巧设问题，提升学生的主动参与性

新时代课堂教学的主体由教师已经转为学生，课堂教学已经不再是教师独自的舞台，知识传授也已经不再是“教师讲，学生听”的方式，而是“以学生为主体，教师为主导”的课堂教学方式. 以学生为主的教学方式给学生提出了更高要求，要求其需要积极参与课堂教学，积极思考问题，主动提出问题，总之，学生要成为课堂教学的主角. 虽然以学生为主，但是教师还必须发挥好其主导作用，引导学生主动参与到课堂中，给学生时间和空间去思考、分析、想象、提问.

如在学习《点、线、面之间的位置关系》中“平面”时，教师列举了一些生活中常见的给我们以平面的印象的物体，并让学生自己列举生活中哪些物体给我们以平面的形象，教师在上课刚开始就以问题的形式引导学生观察、思考，激发学生参与的积极性. 经过学生们的观察、思考和讨论，在讨论和回答问题过程中可以看出学生都开动脑筋，积极参与.教师通过提问的方式引导学生思考，并逐步引入几何中平面的概念和特性，这使学生能够在形象的事物中理解抽象的平面. 又如在复习《圆与方程》时，教师通过多媒体显示一道有关圆的方程的题，并给出解答过程（此解答过程不完整），让学生讨论此题解题过程是否正确. 一般都是教师讲评学生的解题过程，现在转变成学生讲评教师的解题过程，此时学生的主动参与性立刻提高. 教师在学生回答的基础上，引导学生对《圆与方程》的其他知识点进行回顾，这样在激发学生参与性的同时，也节省课堂教学时间，提高教学效率.

（四）一题多解、多变，培养创新思维能力

高中数学知识前后紧密相连，教师在教学时应整体把握教材内容，弄清知识间的联系，有意识地引导学生一题多解，让学生运用所学的知识采用不同的方法来解题，进而培养学生创新思维能力.

如教师给出一道这样的题：已知Sn是等比数列的前n项和，S3，S6，S9成等差数列，证明：a2，a5，a8成等差数列.

此证明题并不难，学生基本上都能证明出来，但是从学生的证明过程来看有所不同. 教师让采用不同方法证明此题的学生将其证明过程写到黑板上，发现学生分别从三个角度出发，采用三种方法来证明.

学生1：利用等比数列求和公式和等差数列的性质，即由Sn=和S3+S6=2S9，得出1+q3=2q6关系式，再证明结果.

学生2：利用等比数列的另一种求和公式和等差数列性质，即由Sn=和S3+S6=2S9，得出a3+a6=2a9，再证明结果.

学生3：利用等比数列求和的推倒公式和等差数列的性质，即由S2n=Sn（1+qn），S3n=Sn（1+qn+q2n）和S3+S6=2S9，得出q3的具体值，再证明结果.

可以看出，这三位学生运用题中已知条件，分别采用不同的公式，无论学生采取哪种方法，此题的目的都是检验学生对等比数列和等差数列的掌握程度. 通过练习，使学生对等比数列和等差数列相关公式和性质有了一个系统了解，在此基础上，对学生的发散创新思维进行培养，进而使学生解决实际问题的能力有所提升. 在练习时，有简单的证明方法，也有稍复杂的证明方法，无论是哪种方法，教师都要给予鼓励，激发学生的创造性思维能力，同时鼓励学生从多个角度去思考问题.

另外，教师引导学生进行一题多变的训练，进而培养学生思维的创新性. 在高中数学教学中，教师适当运用一题多变的方式，可激发学生创造欲望，训练学生能够灵活运用知识，能够熟练运用数学方法，从而培养学生的创造性思维能力.

如已知sinα=，且α是第二象限角，求tanα.

对于此题，在教师的引导下，学生能够顺利解出.

变式1：已知sinα=，求tanα.

变式2：已知sinα=m（m>0），求tanα.

变式3：已知sinα=m（|m|≤1），求tanα.

通过对例题多角度的变换，学生能够了解到这类题型所使用的解题方法和思路相同，并且加深学生对所学知识的深刻理解，引导学生掌握学习方法，开阔学生视野，增强学生解题的应变能力，发散学生思维，培养创造性思维能力. 总而言之，创新性思维能力的培养是一个复杂的系统工程，需要在实际教学中循序渐进，需要教师的不断总结和探究.

（五）注重反思，培养反思意识

反思能力对学生掌握知识起到认知的重要作用，其不仅仅只是对知识的回顾，更是对所涉及知识、思路和方法的一个探究. 学生在解题时只注重解出题，基本上不会对自己的做题思维和思路进行反思，导致在解题时常出现解题思路单一、方法不当等现象，这种现象明显表现出学生思维的不灵活.

如在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 __________.

在教师的引导下，学生很顺利解出此题.此时并不是教学的终点，教师还要引导学生进行反思. 教师可以以提问的形式来引导学生反思，如本题主要考查哪些知识点，考查了哪些思想，解决本题的关键是什么，解决此题是否还有别的方法和思路等等，通过思考、回答这些问题，通过反思，无形中使学生总结归纳所涉及的知识点，进一步发散学生思维，扩展学生解题思路. 由此可见，在实际教学过程中，教师引导学生反思，培养其反思意识，掌握反思方法，并让学生在反思中体验成就感，体验快乐.

第10篇

关键词：基础学科 学困生 存在问题 转化方法

现阶段，在高中阶段的学习中，大多数学生感到数学知识比较抽象，数学学习比较枯燥。由于高中阶段学生的学习压力较大，学生之间的数学基础也存在着差异，使得一部分学生感到数学是高中学习中最难学的学科。在这种情况之下，这些学生逐渐对数学学习失去了兴趣，如果教师不及时对这些学生加以引导，他们学习数学的困难会进一步加大，最终他们会放弃学习数学学科。

数学不仅是高中教育中的一门基础学科，在我们现代社会的发展中也起着重要的作用。只有学好数学知识，才能更好地适应社会的需求。可见，在高中数学教学中，教师关注学困生对学生的发展具有重要的作用。

怎样才能在高中数学教学中成功转化学困生呢？下面结合自己的教学实践谈几点看法。

一、高中数学学困生存在的问题

1.学生自主学习能力低，数学基础普遍较差。

高中学习压力大，学习时间紧张，学困生因学习成绩较差，在自主学习上也存在着一定的惰性。学困生在课堂教学中，一般不能主动参与进来，对于知识也不能及时掌握并灵活运用。他们不能自己合理分配时间进行自主学习，需要教师去督促。

数学作为一门基础性的学科，在高中数学学习阶段，学困生普遍表现为基础知识差，在初中阶段就没有学好数学知识，导致他们在高中数学的学习中，对基本概念不能理解，更不能准确运用。

2.学生抽象思维能力较差。

高中数学所要学习的内容更多，知识也比较抽象，想要学好高中数学需要学生有良好的抽象思维能力。大多数学生的抽象思维和逻辑推理能力较差，尤其是那些在初中阶段数学就比较差的学生，由于他们本身在数学学习上就存在着多种问题，致使他们在高中数学学习中当不能看到具体的实物时，就会不知从何入手。

二、高中数学学困生的转化方法

1.从简单知识入手，让学生感受到学习数学的轻松。

大部分学生感到高中数学枯燥、乏味，但是在高中数学中也充满了规律性和趣味性。这就需要每一位教师去探讨、去挖掘。教师在教学中要充分利用数学中的规律性、趣味性，发挥好其应有的作用，从简单的数学知识入手，让学生感到学习数学的轻松、有趣，增强学生学习数学知识的信心。

例如：在对《数列》的知识进行学习时，教师可以引导学生把同一类的数列题目综合在一起，通过观察、研究，总结出它们的基本原理。比如"等差数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列s m、s 2m -s m、s 3m -s 2m 、s 4m -s 3m……仍为等差数列"，"等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q"，通过引导学生自己观察，总结规律，让学生在自主探究中得出了答案，这样给学生留下了更加深刻的印象。

2.平等对待每一位学生，和学困生之间也要建立融洽的关系。

良好的师生关系是课堂教学顺利进行的一个重要因素。教师要和学生建立平等的师生关系，并且在对待学生时要做到一视同仁，对于优等生和学困生不能区别对待。学困生在学习上经常会感到迷茫，没有自信心，这就需要教师对于学困生更加关心。教师不能因为学困生的成绩不好，就对他们挖苦、讽刺，当他们有问题是就感到不耐烦。教师只有尊重学困生，经常和他们沟通，当他们有问题耐心讲解，才能得到学困生的信任，他们才能够向我们敞开心扉，才会愿意和我们交朋友，爱上我们的数学课，对数学学习产生兴趣，从而提高数学成绩。

教师可以利用课余时间，多关心学困生，经常和他们谈心、沟通，鼓励他们去学习数学知识，增强他们的自信，使他们放下自卑。教师只有做到从内心深处去爱我们的学生，才能帮他们主动参与到数学教学中，提高课堂的教学效率。

3.教师要降低对学困生的要求，对学困生要做出积极的评价。

数学是高中学习中一门较难的学科，以此想学好数学并不是一朝一夕的事情，尤其对于学困生来说更不是一件易事。因此，教师要降低对学困生的要求，不能急于求成。在对学困生的转化过程中，教师首先要了解每一位数学学困生的基本情况，找到合适的教学方法，做到因材施教。只有针对学生的具体情况去进行教学，才能起到积极的作用。在教学中，要多鼓励学生，适当减少学习内容，放慢教学节奏，这样学困生才能逐步掌握数学知识，体验到成功的喜悦，增强学困生的自尊心和自信心。

第11篇

关键词：数列求和问题；高考重要内容 ； 高中数学；技巧和解法； 总结点评

数列是高中数学的重要内容，并在高考中占有重要的地位。其中的“数列求和”是数列知识体系的重要内容，常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起，以它复杂多变、综合性强、解法灵活等特征而成为高考的中档题或压轴题，但是逐年淡化。然而，2011年高考，数列求和、求通项有了回归趋势。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大多数数列求和的问题都需要一定的解题技巧和方法。

一、利用常用公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、等差数列求和公式：Sn=n（a1+an）2=na1+n（n-1）d22、等比数列求和公式：Sn=na1（q=1）a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q≠1） 3、Sn=1+2+3+…+n=12n（n+1）4、Sn=12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）5、Sn=13+23+33+…+n3=[12n（n+1）]2【总结点评】通项an=kn+b，利用等差数列前n项和公式直接求解；通项an=a·qn-1，利用等比数列前n项和公式直接求解，但要注意对公比q是否等于1两种情况进行讨论。

二、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可以分为几个等差、等比或者常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例1、已知数列an的通项公式an=3n+2n-1，求数列an的前n项和Sn.解：Sn=a1+a2+a3+…+an=（2+5+…+3n-1）+（2+22+…+2n）=n（2+3n-1）2+2-2n+11-2=12n（3n+1）+2n+1-2例2、求数列5，55，555，5555，…的前n项和Sn.解：an=59（10n-1）Sn=5910-1+102-1+…+10n-1？=5910+102+…+10n+-1·n=59101-10n1-10-n？=508110n-1-59n【总结点评】用分组法求和，常见的题型为：an=bn±cn，数列bn，cn是等差数列或等比数列。

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排序，再把它与原数列相加，可以得到n个a1+an。例3、设fx=12x+2，求f-5+f-4+…+f0+…+f5+f6的值。解：f1-x+fx=121-x+2+12x+2=2x2+2·2x+12x+2=2x22+2x+222+2x=22设S=f-5+f-4+…+f0+…+f5+f6，则S=f6+f5+…+f0+…+f-4+f-5，两式相加得2S=12×22，S=32。例4、求证：C0n+3C1n+5C2n+…+2n+1Cnn=n+12n.证明：设Sn=C0n+3C1n+5C2n+…+2n+1Cnn（1）把上式右边倒序过来得Sn=2n+1Cnn+2n-1Cn-1n+…+3C1n+C0n由Cmn=Cn-mn得Sn=2n+1C0n+2n-1C1n+…+3Cn-1n+Cnn（2）（1）+（2）得2Sn=2n+2（C0n+C1n+…+Cn-1n+Cnn）=2n+1·2n于是Sn=n+1·2n.【总结点评】用倒序相加法求和，常见的题型有以下几种：①fx+fn-x=α（常数）型；②数列an中，ak+an-k=α（常数）型；③与Cmn有关的式子求和。

四、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an·bn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列。例5、求数列12，34，58，…，2n-12n，…的前n项和。解：通项an=2n-1·12n，数列2n-1是等差数列，12n是等比数列Sn=1×12+3×122+5×123+…+2n-1×12n12Sn=1×122+3×123+5×124+…+2n-1×12n+1上两个式子相减得：12Sn=12+2×122+2×123+…+2n-3×12n-2n-1×12n+112Sn=12+2（122+123+…+12n）-2n-1×12n+112Sn=12+2×141-12n-11-12-2n-1×12n+1，整理得：Sn=3-2n-32n.例6、求和Sn=1a+2a2+3a3+…+nan.解：由通项an=nan知，1an为等比数列，其系数构成数列n成等差数列，于是：当a=1时，Sn=1+2+3+…+n=n1+n2；当a≠1时，Sn=1a+2a2+3a3+…+nan（1）两边同乘1a得1aSn=1a2+2a3+3a4+…+nan+1（2）（1）-（2）得（1-1a）Sn=1a+1a2+1a3+…+1an-nan+1，即Sn=a（an-1）-n（a-1）an（a-1）2.综上所述得，Sn=n1+n2a=1a（an-1）-n（a-1）an（a-1）2a≠1  【总结点评】如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项的乘积组成，则求此数列的前n项和Sn，一般用乘以其公比然后再添加不可缺少的式子错位相减法，要注意对字母的讨论。

五、裂项相消法求和

第12篇

关键词：等差；等比；前 项和；性质

数列是特殊的函数，是高中数学的重点内容，也是与高等数学内容的接轨之处，因而深受高考命题人青睐，是每年高考的必考内容。

纵观近几年的高考数列试题，我们可以看出高考命题主要围绕以下方面进行考查：

（1）数列自身内部问题的综合考查（如与的关系问题、递推数列问题的考查一直是高考的热点，求数列的通项与求数列的和是最常见的题目，数列求和与极限等综合性探索性问题也考查较多）。

（2）构造新数列思想，如“累加、累乘、错位相减、倒序相加、裂项求和”等方法的应用与创新.

（3）数列与其他知识的交汇综合考查，如数列与函数、方程、不等式、数学归纳法、三角、解析几何等知识的综合.

（4）数列的应用问题，主要是增长率、分期付款等数列模型.

等差数列、等比数列是数列中的两个特殊数列，高考中考查的非等差数列、等比数列问题，主要是将其转化为这两种数列，进而得解，其核心思想是转化与化归.在高考中，文科试题与解方程、求特殊数列的和有关，理科试题中数列与函数、不等式、数学归纳法等的综合问题是热点，复习过程中要加强逻辑思维能力与推理能力的训练与培养.对于等差数列与等比数列混合交汇的综合问题，突破的关键是熟练掌握并灵活应用其定义、性质、通项、前项和，并能熟记相关的“二手结论”.本文通过几道考查数列性质的题与高考题目链接对比来分析数列在高考中的基本考向.

例1（人教A版必修5习题2.3B组第2题）已知数列是等差数列，是其前项的和.求证：，，也成等差数列。

这是一道反映等差数列基本量思想的题目，利用通项与前项和的公式很容易解答，体现了由特殊到一般的数学思想.由此得出的结论具有典型性和代表性：“已知数列是等差数列，是其前项的和，设，则有，，也成等差数列”.在选择题、填空题中可作为“二手结论”直接使用，在高考中有不少试题可以体现.

既然等差数列有这样的结论，类比到等比数列，请问：等比数列是否也有类似的结论呢？通过类比引导学生再回顾课本，可得到等比数列也有类似的结论。

人教A版必修5习题2.5B组第2题就蕴涵着等比数列前项和的这一重要性质：已知等比数列的前项和为，求证：，，也成等比数列.

链接高考：（2010年高考数学安徽卷理科第10题）设是任意等比数列，它的前项和、前项和、前项和分别为，则下列等式中恒成立的是（ ）

A.B.

C.D.

此题可以直接用上面提炼出的结论，，（）也成等比数列，代入、化简、整理即可解答.由此可以看出高考试题并不神秘，很多试题都直接或间接来源于课本，或是原题，或是变式题，或是直接由课本题提升而得的结论.这说明我们在高考复习中要紧扣教材、回归教材、抓纲务本。

例2：成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。

此题充分将等差数列等比数列进行了交汇结合.要解答此题，就需要引导学生分析入手点，即如何设出满足条件的数列，可技巧性的设成等差数列的三个数为，直接求得.这不仅训练了学生已知三个数的和且成等差数列的技巧设法，而且将基本量思想和方程思想也进行了综合训练.由此让学生归纳总结出一般规律：

（1）若已知奇数个数成等差数列并知道其和，可设这个等差数列为…，，…（公差为）；

（2）若已知偶数个数成等差数列并知道其和，可设这个等差数列为…，，…（公差为）；

再启发引导学生思考：若已知个数成等比数列并知道其积，又如何设该数列呢？

例3：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，求这四个数.

这是一道有关等差数列、等比数列的综合问题，可以让学生体会在等差数列、等比数列中方程思想的应用.可根据前三个数成等差数列设其为；或根据后三个数成等比数列，设其为；或设其为等，让学生感受利用等差数列、等比数列的有关知识灵活设元而得到的不同的解法.然后由学生比较、总结，得出简洁合理的最优化运算途径，以此培养学生运用数学概念分析问题、解决问题的能力，既培养学生思维的发散性，又培养学生思维的聚合性.

链接高考：（2011年高考数学湖北卷文科第17题）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列中的.

求数列的通项公式；

数列的前项和为，求证：数列是等比数列。

本题涉及等差数列，等比数列及其求和公式等基础知识，同时训练学生的基本运算能力和推论论证能力，难度适中，是一道好题.解题的关键是寻找如何设出此数列，找到突破口问题就简单多了.基本量法求解等差数列、等比数列的有关问题是基本功，必须过关，其求解的基本思路是：需要紧扣等差数列与等比数列的概念、性质，做出合理的分析与比较，根据他们的五个基本量（）的内在关系及题目中的条件建立方程（组），通过解方程（组）寻找突破口求解相关问题。

例4：有两个等差数列，，，求.

解：设等差数列，的前项和为，.

此题看似平凡，实则是一道难得的好题，它将等差数列的通项、前项和及性质进行了综合复习，并体现了转化与化归思想和构造法，体现了数列与函数的综合.解法1用的是构造法，要注意性质“当时，”的正确使用；解法2用的是待定系数法，充分利用了等差数列前项和是关于的二次函数形式；解法3利用了等差数列前项的和与通项之间蕴涵的一个关系：是等差数列，，此式在选择题、填空题中可作为“二手结论”直接使用。

由此题再启发学生思考：设等差数列，的前项和为，，且满足（1）如何求？（2）如何求？进而得出一般性结论：