时间：2023-09-15 17:32:39
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇高考数学归纳法，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
数列问题是每年高考数学中的热点和难点内容，它能考查学生对数学知识的综合运用能力和对数学基本思想方法的掌握程度。纵观历届有关数列的考题，形式多样，解法不一。但透过现象看本质，我们依然可以对各种题型进行归类，寻找规律，对它们的解法进行探讨.数列中第n项a与前n项和S的关系式S=a（n=1）S-S=a（n≥2）是一个基本关系式，它常与递推关系一起出现在各种考题中，下面我们就这一类数列问题的类型与求解进行详细的探究.
类型一：给定数列前n项和S，求通项a.
例1：若S是数列{a}的前n项和，且S=n，则{a}是（）.
A.等比数列，但不是等差数列
B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列
D.既非等差数列，又非等比数列
解析：这类题较为简单，一般出现在填空题或选择题中，利用a与S的关系就可直接得出.
a=S=1，
当n≥2时，
a=S-S=n-（n-1）=2n-1
即a=2n-1（n∈N），故选B.
类型二：给定数列前n项和S的递推关系，求通项a.
例2：已知数列{a}的前n项和S为，S=1，且S=S（n≥2），求通项a.
解析：常用方法是由S的递推关系式求出S，再由a与S的关系求出通项a.
S=S
S=S
S=S
……
S=S
上面各式左右两边分别相乘得：S=
所以a=S=1，
当n≥2时，
a=S-S=-=
即a=（n∈N）
类型三：给定含有S与a的混合型关系式.
这一类问题较前面两种要更为复杂，是常见的综合题型之一.这类题型的求解要结合类型一和类型二的解题思想来处理，常用的方法有以下三种.
（1）变形为关于S的递推关系转化成类型二求解.
例3：在各项均为正数的数列{a}中，数列前n项和S满足S=（a+），求通项a.
解析：可利用a=S-S（n≥2），将所给的递推关系式变为只含有S和S，求出S后再求出a.
由a=S，S=（a+）得S=1，
当n≥2时，
将a=S-S代入S=（a+）得：
S=［（S-S）+］
即S-S=1
所以数列{S}是首项为S=1，公差为1的等差数列，得：
S=1+（n-1）•1=n
因为a＞0，所以S＞0，有S=,
所以a=S-S=-（n≥2）
综上可得：a=-（n∈N）
（2）变形为关于a的递推关系求解.
例4：设数列{a}的前n项和为S，求通项a.
解析：根据题目所给的条件，可将递推关系式化为关于a的式子来求解.
因为S+S=2a①
S+S=2a②
②－①得：
a+a=2a-2a
即a=3a（n≥2）。
由S+S=2a得：a=2a=6
所以{a}是从第二项a=6起，公比为3的等比数列，得：
a=a•3=2•3（n≥2）
所以a=3 （n=1）2•3 （n≥2）
显然，此题也可用方法（1）求解，这里不再赘述.
（3）归纳猜想出a，采用数学归纳法证明.
例5：设数列{a}前n项和为S，且S=a，a=求通项a.
解析：这里可先根据条件求出数列前几项的值，寻找规律猜想结果，再用数学归纳法证明.
由S=a+a=a，a=，得a=0
同理，S=a+a+a=a，得a=-
S=a+a+a+a=a，得a=-
S=a+a+a+a+a=a，得a=0
S=a+a+a+a+a+a=a，得a=
S=a+a+a+a+a+a+a=a，得a=
……
由此猜想a=sinπ，下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，a=sinπ=，a=sin=0成立.
（2）假设n≤k+1时成立，当n=k+2时
a=S-S
=a-a
=sinπ-sinπ
=2cosπ•sin
=cos（+）
=-sin
=sin（+π）
=sinπ
=sinπ
所以当n=k+2时成立.
因此，对n∈N，a=sinπ成立.
对于类型三，选择何种方法由题目给出的条件而定，不应拘泥于某种思路.但数学归纳法是最基本，也是最重要的方法之一，归纳、猜想与证明是数学发现的重要途径.
例.[2012年全国高考大纲卷理科数学第（22）题（本小题满分12分）]函数f（x）=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4，5）、Qn（xn， f（xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标。
（1）证明：2≤xn
（2）求数列{xn}的通项公式。
考查目标：本题考查递推数列的意义、等比数列的概念、数列的通项公式、数学归纳法的应用，综合考查考生运用数列知识进行运算求解和推理论证的能力。
试题评价：试题不落俗套，大胆创新，没有直接给出数列{xn}的递推关系，而是巧妙地以过两点P（4，5）、Qn（xn， f（xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标给出{xn}相邻两项之间的关系。第（1）问中，要求证明不等式，实际上是证明数列{xn}的增减性和取值范围，根据题设条件，只能用数学归纳法解决问题。同时，归纳法也为第（2）问求数列{xn}的通项公式奠定了基础。与以往的求递推数列的通项公式的试题相比，该题没有给出辅助数列，对于所求数列的通项完全需要充分发挥考生的主观能动性，这也是本题一大亮点所在。这是近十年高考数列通项公式的最高要求，看似超出了中学教学要求的范围，实际上正是新课程改革理念中所倡导的实践精神和创新意识的体现，这也是专家的匠心独在。该题对高考选拔高素质的创新人才具有很好的检测功能。
思考：高考备考不是一朝一夕的事。打好高考这一硬仗，与平时扎实有效的学习是分不开的，十年寒窗，功到自然成。仔细分析今年的高考数列解答题，如果剥去该题的外壳，我们还有似曾相识的感觉，那就是2010年高考全国卷一理科数学最后一道压轴题：
已知数列{an}中，a1=1，an+1=c-■，a1=1，an+1=c-■。
（1）设c=■，bn=■求数列{bn}的通项公式；
（2）求使不等式an
如果把上边例题中的第（1）问和第（2）问的设问顺序换一下，在解答时就可以按照常规思维，且求数列{xn}的通项公式时考生就可以联想类比2010年的这道考题，并且可以借鉴其解法做如下变式：
2012年全国高考大纲卷（22）题变式：函数f（x）=x2-2x-3。定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4，5）、Qn（xn， f（xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标。
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）证明：2≤xn
解题思路：（1）先由已知条件得出数列{xn}的相邻两项之间的关系，再通过巧妙构造新数列，化归转化成我们熟悉的等比数列，进而求出数列{xn}的通项公式。（2）既可以利用第（1）问数列{xn}的通项公式的结论，利用数列的通项公式证明其单调性，确定范围；也可以应用数学归纳法证明。
解题过程：
解：（1）过两点P（4，5）、Qn（xn，f（xn））的直线PQn的直线的斜率k=■=■=xn+2
则直线PQn的方程为：y-5=（xn+2）（x-4）
令y=0得：x=4-■，即xn+1=4-■
其中x1=2（n∈N+），从而有xn+1-3=1-■=■
令bn=xn-3，则有■=■=■+1，■+■=5（■+■）
则数列{■+■}是首项为-■，公比为5的等比数列故■+■=-■·5n-1，即■=-■·5n-1
-■，bn=■
所以，数列{xn}的通项公式为xn=3-■
（2）从数列{xn}通项公式出发，证明数列{xn}的单调性，并确定xn及范围xn+1的范围。
xn+1-xn=-■+■=
■>0，xn
由xn=3-■及{xn}的单调性知xn≥x1=2
xn+1=3-■，当n+∞时，■0，因此xn+1
综上有：2≤xn
关键词：归纳法；应用数学；教学
中图分类号：FG633.6 文献标志码：A 文章编号：1673－291X（2011）14－0304－02
数学归纳法是高中数学中一种常用的论证方法，它虽然有一定的局限性，只适用和正整数有关的命题，但它在中学数学中的作用是不可或缺的。因此，它不仅是高考数学的一个考点，也是一个难点。在看似简单易懂，形式固定的外表下，它却使得很多学生不能真正掌握，难以理解其实质。有些同学仅仅只是生硬的记忆和牵强的套用，没有真正体会到数学归纳法的核心思想。我们应该怎样理解数学归纳法，在高中数学中又有哪些方面的应用？在哪些类型题上使用可以更加方便？数学归纳法又有哪些局限性？我们应该怎样具体问题具体分析，更好的学习和利用数学归纳法呢？
在本文中通过对数学归纳法基本形式理解的基础上，进一步论述了在解决很多和自然数函数有关的整式、不等式、整除和几何等问题时数学归纳法的应用。当然数学归纳法，在很多时候也会使解题变的复杂繁琐，因此我们要理解其实质，真正掌握正确运用数学归纳法的能力。
数学归纳法的基本形式：
（1）验证当n取第一个值时，命题正确：
（2）假设n＝k时命题正确，证明n＝k+1时命题也正确：
（3）根据（1） （2）断定命题对于全体自然数都正确。
例1： 证明n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）＝（2n-1）2（n∈N*）
证明：（1）当n＝1时，左边＝1＝右边，等式显然成立。
（2）假设n＝k时等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）＝（2k-1）2
那么，当n＝k+1时，有
（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）
＝[k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）]
＝（2k-1）2+8k＝（2k+1）2＝[2（k+1）-1]2
即当n＝k+1时，等式也成立。故对于任意正整数n等式都成立。
通过数学归纳法基本形式和例题可以看出其原理就是递推思想，其中（1）是递推的基础，没有它归纳假设就失去了依据，后面递推就没有了奠基。（2）是递推的依据是数学归纳法证明最根本的一步，是整个数学归纳法证明的核心，只有通过它无限次递推成为可能，人们的认识才达到了质的飞越――通过有限认识无限，所以数学归纳法的两个步骤缺一不可。
数学归纳证题的两个步骤虽然都很重要，但在证题时第一步较易，第二步较难。学生往往感到很困难，绞尽脑汁都难以完成这一步，到底我们应该怎样转化，不同的问题我们又应该怎样去解决？下面我们来探讨一下数学归纳法在中学数学中的应用。
一、应用数学归纳法证明恒等式
应用数学归纳法证明的恒等式，包括与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、组合数公式及其恒等式等，证明过程中只要实现等式左右两边相等即可。
例1：用数学归纳法证明： n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）＝（2n-1）2（n∈N*）
证明：（1）当n＝1时，左边＝1＝（2×1-1）2＝右边，等式成立。
（2）假设n＝k时，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）＝（2k-1）2
那么，当n＝k+1时有
（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）
＝[k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）]+8k
＝（2k-1）2+8k
＝4k2+4k+1
＝（2k+1）2
＝[2（k+1）-1]2
即当n＝k+1时，等式也成立，故对于任意正整数n，等式都成立。
二、应用数学归纳法证明不等式
应用数学归纳法证明不等式，分为严格不等式和非严格不等式两种，严格不等式的证明，只要保证原不等式中的“＞”或“＜”成立即可。对于非严格不等式而言，情况略显复杂。
例2：已知x1，x2，x3，…，xn都是正数，试证：
+++…≥x1，x2，x3…，xn
证明：（1）当n＝1时，因为＝x1，所以原不等式成立（取等号）
（2）假设当n＝k时原不等式成立，即
+++…≥x1，x2，x3…，xk
那么，当n＝k+1时，不等式的左边
+++…+＝（+++…）-++≥x1+x2+x3+…+xk++（*）
显然，只要证明
+≥xk-1
原不等式即可得证。但此式难以直接证明，经仔细观察发现，原不等式关于变量x1，x2，x3…，xn是轮换对称的，于是不妨设xk-1＝max｛x1，x2，x3，…，xk，xk-1｝，则xk-12-xk2＞0。
+≥+＝＝xk-1
故当n＝k+1时，不等式也成立。即原不等式对于所有自然数都成立。
三、应用数学归纳法证明整除问题
应用数学归纳法证明整除性问题，是数学归纳法的重要应用之一。这类问题涉及到整除性的知识，如果a能被c整除，那么a的倍数ma也能被c整除，如果a，b都被c整除，那么它们的和或差a±b也能被c整除，从整数的基本入手，通过添项去项进行”配凑“，使之能够获证。
例3：证明f（n）＝5n+2•3n+1能被8整除。
证明：（1）当n＝1时，f（n）＝5n+2•3n+1＝8显然能被8整除，命题成立。
（2）假设当n＝k时，原命题成立，即f（k）＝5k-1+2•3k+1能被8整除，那么，当n＝k+1时，f（k+1）＝5k-1+2•3k+1
＝5•5k+6•3k+1+4•3k-1-4•3k-1
＝5•5k+10•3k-1+5-4•3k-1-4
＝5•f（k）-4（3k-1+1）
这里第一项由归纳假设能被8整除，第二项中3k-1是奇数，则3k-1+1是偶数。故第二4（3k-1+1）能被8整除，由整除性质可知，它们的差也能被8整除，这就是说：当n＝k+1时命题也成立。即原命题对所有自然数n都成立。
四、应用数学归纳法证明几何问题
应用数学归纳法证明几何问题是数学归纳法的一个重要应用。数学归纳法是证明与正整数有关的命题的重要方法，但是运用它只能证明命题的正确性，而不能指望由它发现命题。有很多与正整数有关的几何问题，可以用数学归纳法证明，但在证明之前要找出规律，获得公式，而后才能应用数学归纳法证明结论。
例4：证明凸n边形的对角线的条数f（n）＝n（n-3）.（n≥3）
证明：（1）当n＝3时，f（3）＝0，因三角形没有对角线，所以原命题成立。
（2）假设：当n＝k（n≥3）时命题成立，即凸k边形的对角线条数为f（k）＝k（k-3）。那么当n＝k+1，凸k边形的k个顶点增加一个顶点Ak-1成为凸k+1边形时，由顶点Ak-1与它不相邻的另外k－2个顶点A2，A3，A4，…，Ak－1可画出k－2条对角线，同时原来凸k边形的一条边A1Ak变成一条对角线。这样从凸k边形到凸k+1边形一共增加了k-1条对角线。由此凸 边形的对角线条数为：
f（k+1）＝f（k）+（k+1）
＝k（k-3）+（k-1）
＝（k2-k-2）
＝（k+1）（k-2）
＝（k+1）[（k+1）-3]
这就是说，当n＝k+1时，命题也成立。
需要指出，虽然数学归纳法是一种论证与自然数有关的命题的重要方法，但并非结论是自然数的函数的命题都适合用数学归纳法证明。有些题目应用数学归纳法进行证明，过程相当繁琐，尤其是由n＝k到n＝k+1的变化过程很多，不易操作。事实上，很多与正整数有关的命题，若能避开数学归纳法的思维定势，利用其命题本身的特点，采用非数学归纳法的证明，则能避繁就简。
例5：n∈N*，求证1+++…+＜2。
证：令bn＝2，则bn＝b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）
当n≥2时，bn-bn-1＝2（-）＝＞＝，从而1+++…+＜b1+（b2-b1）+…+（bn-bn-1）＝bn＝2
即1+++…+＜2。
通过以上例题，只是想说明对于有关自然数的命题的证明，不一定都采用数学归纳法这一种方法而应该针对题目本身的特点，选择适当的方法达到简化证明过程的目的。从另一个角度来讲也能克服学习中的思维定势，使知识融会贯通，灵活运用。
以上我们对数学归纳法的基本形式，及在中学数学中和自然数函数有关的整式、不等式、整除问题和几何问题等，一些常见题型中的应用做了简单的举例，并通过相应的例题对这几种方法进行了解析，使学生对数学归纳法有了更进一步的了解。纵观科学技术迅猛发展的当今时代，我们对数学归纳法的研究已经取得了很大的进步，对于它的更加优越的性质和更广泛的应用仍需要我们继续努力钻研。深入探讨数学归纳法的相关性质，究竟何时使用归纳法何时不使用，中学数学归纳法还有哪些应用，还有待同学仔细研究和探索。
参考文献：
[1] 刘世泽.数学归纳法的另外两种形式[J].数学通报，1994，（1）.
高考数学的评分标准应能体现考生对数学知识、数学思想方法的掌握程度和能力水平, 能客观反映出考生解题的思维过程, 区分出考生的不同层次.所以,高考给分的基本原则是按照解题过程分步给分, 按所用数学知识, 数学思想方法要点式给分,全国卷以往公布的评分标准,近年来全国各省市高考实际在用的评分标准,都遵循这样的给分原则.因此,解答时必须步骤清,要点明,格式齐.
1.立体几何的解题过程,一般可分为作证、计算两部分.评分细则按作证、 计算两段分别给分,各段中又按要点给分.如1998年全国卷23题、1999年全国卷22题,都有3个小题,在公布的高考评分标准中(以下引用的全国卷评分标准都是公开的,不再强调),给出每小题4分,其中作证2分,计算2分.解答立体几何时,书写格式可先作证,后计算两部分.作证过程能反映出逻辑思维能力,必须写清怎样作,证明主要写清两点：①空间位置关系判断推理的依据(立几课本中公理、定理) ②什么是空间角和距离及理由(紧扣角和距离概念).特别要注意,没有写清角、距离要扣分.计算过程的书写一般是解三角形,因此要写清三角形中的条件,由此解三角形得出的结果.用等积法解题时,按找出等积关系及计算分段给分.
又如 2010年浙江卷第(1)题,若用向量法求角,则每个面的法向量得3分共6分,结论用向量数量积公式计算正确得2分,若用面积法cos θ=s1s2,按每个面积分别给分.在实际评卷中,即使做不出来,但只要能画图指出二面角的平面角,或者指出了二面角是平面法向量的夹角而没有计算法向量,或者写出了可用cos θ=s1s2计算求得而没有计算出面积,以上三种任何一种出现均给3分.二面角就算找错,过程分还是会尽量给的.
所以在应试答题时,吃不准的答案不要随意放弃,约束条件即使算不出,也要写上,能写出的都要写上,改卷时是直接寻找正确的答案部分,答卷上有正确的要点就会给分.
2. 综合题的评分是按问题解答的过程,分步给分,在每个步骤中又按要点给分.如 2000年全国卷文科22题,在高考评分标准中,建立坐标系,由对称性知 C 、D关于y轴对称,2要点得2分.设点坐标,依题意 E分AC 所成比为811,由定比分点公式得E点坐标xE , yE,3 要点得 3 分, 设双曲线方程,由题设条件 C、E在双曲线上,直译为方程组,3要点得 5分,解方程组消去h2b2,解得e,2 要点得4分.
又如2010浙江卷文科22题,第(1)小题3要点得5分,在实际评分中,只要见到p=m2,p2=2,p=4,y2=8x这四者中的任何一个就给满分5分,如果这些都没有,则只要出现F(p2,0)既得2分.第(2)小题按重心、d>r两步分别给5分和4分,每步再按要点细分为联立方程、重心坐标用m表示、圆心坐标、半径及结论正确分别给分.
再如2010浙江卷理科19题,第(1)小题按概率和期望两步给分,每步细分为概率p1,p2,p33点共6分,Eξ的式子和结论2点共2分.概率计算错而Eξ的表示对,或者概率对而Eξ的表示是错的,都适当给2分.特别是概率p1,p2,p3计算错误,但Eξ和P(η=2)方法都对,能将错误数据计算到底(将错就错)的,整个题目也给8分.
因此解综合题时,要尽可能把过程分步写出来,尽量不要跳步.根据题意列出关系,译出题设中每一个条件,增加分步按要点得分的机会,对于不会做的(做不到底的)题目,也不要轻易放弃,写出些知识点、公式、表示出些要点,就会有些分数,千万不可交空白卷.
3.推理论证题,三角恒等变形、分类讨论题等,按证明格式,推理变形步骤给分.如从定义出发证明函数单调性、奇偶性,用数学归纳法证明与自然数有关的命题,都有格式分.分类讨论题按所分类分别给分,加上综上归纳的格式分. 如 1996年全国卷理科20题解对数不等式,评分标准按 a>1 和0
又如2010年高考湖北卷21题第(3)小题,用数学归纳法证明数列不等式,评分标准按①当n=1,②假设n=k,证明n=k+1及根据①和②可得,分别给分.所以即使不会证明,也要写出当n=1,假设n=k的式子,证明n=k+1两边靠拢,写完整数学归纳法的格式,写得接近天衣无缝的就能近似得满分.
三角恒等变形中,每用一个公式,朝目标推进一步就给分.如 2000年全国卷理科17题,在高考评分标准中,y=12cos2x+32sin xcos x+1 变形到y=12sin(2x+π6)+54,用了 三个三角公式,3要点得6分.
解答论证题要按定义、步骤、规范证明格式,细化变形过程.即使推理证明不出,宁可缺中间,跳过去,也要套用格式,从条件、结论两个方面推理往中间靠,写完成格式,这样可以少扣分.
参考文献
摘要：本文以数学中体现的各种美为主线，不仅从美的角度解读各类高考试题，还从本质上探讨了高考数学试题的优美之处．
关键字：数学美；和谐美；统一美；简洁美；简约美；残缺美；极限美；奇异美；创新美
1. 数学美概说
数学美是一种真实的美，是美的高级形式，是理论思维与审美意识交互的产物． 数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性等． 数学美在中学课本里均有体现，例如在解析几何中，不同的圆锥曲线、椭圆、双曲线和抛物线可以用一个统一的定义，即平面上到定点和到定直线的距离的比为常数的动点的轨迹． 如此和谐统一，让人不得不赞叹数学的美妙！在数学教学中我们要充分挖掘教材中美的因素，让学生领略数学中的美丽风景． 数学的美学思维就是从美学的角度观察、思考和分析数学问题,从而达到解决问题的目的．
2. 从“美学”角度解读高考题
2.1 用数学的和谐美、统一美探寻高考数学的解题思路
数学是和谐美的殿堂，数学是一个严密的科学体系，各部分知识间有机联系和高度完善，无论形式还是本质都是和谐的，所以我们说数学是和谐的殿堂． 由于数学的和谐性，形成了数学各部分知识的交汇点、网络点、联结点． 而高考数学正是从学科整体意义和这些知识的交汇点来设计试题的． 因此，高考数学考查的是考生的系统化的、相互联系的、和谐的数学知识． 那种一知半解，没理解数学本质，只知支离破碎的、零散的数学知识的考生在数学高考中是不能取得好的成绩的．
一个严谨的高考试题是一个有机的整体，其各个部分之间具有和谐性，但是这些和谐关系的外部表现形式可以是多种多样的，有的甚至是繁杂的，包括试题中条件与结论的和谐、数与形的和谐、数学思想与思维的和谐、解题方法与思维策略的和谐等． 另一方面，数学中的矛盾,如正与负、等与不等、数与形、有理数与无理数、常量与变量、逻辑思维与非逻辑思维等和谐共生，实现对立统一和相互转化．
例1（2006重庆）若a，b，c>0，且a（a+b+c）+bc=4-2，则2a+b+c的最小值为（）
A．－1B． +1
C． 2+2D． 2－2
解析我们发现条件式a（a+b+c）+bc和结论式2a+b+c都有不和谐的地方，这样我们就要消除不和谐因素，以达到和谐一致之目的. 式子2a+b+c变形为（a+b）+（a+c），从而找到了条件与结论的联系，即（a+b）（a+c）=a2+ac+ab+bc=a（a+b+c）+bc，结合均值不等式即得解题思路. 所以2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2=2・=2－2.
2.2 用数学简洁美、简约美获取高考数学的解题佳径
简洁美是数学美的本质体现，无论是数学语言还是数学证明（解答），处处体现着数学的简洁美． 就数学语言的简洁性，我们从爱因斯坦的质能方程E=mc2就可见一斑，这一公式表达了深刻而复杂的理论，换用其他诗的语言、散文的语言、通俗的大白话都不能很好地或者很准确地表述． 又如欧拉公式eiπ+1=0． 这个公式把数学里既富有魅力又具备霸权的三个量（e是自然对数的底，i是虚数单位，而π是众所周知的圆周率）居然统一在如此简洁的一个明晰爽朗的式子里，这个公式让e，i，π，1，0五朵金花并立，更令其显得玉立娉婷！
例2已知椭圆方程为+y2=1，过D（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点M，N，且M在D，N之间，设=λ，求λ的取值范围．
[x][y][D][M][N][O]
图1
解析本题作为解答题较难，若利用直线与圆锥曲线的位置关系进行求解，则有一定的计算量；若从数形结合的角度思考，则可得简捷的解答． 如图1直线MN是过点D的直线系，当直线MN与x轴垂直时，|DM|最小而|DN|最大，这时得到λ的最小值为，当直线MN与椭圆相切时，这时M，N重合，λ=1，又|DM|
，1.
2.3用数学的残缺美、极限美，打破高考数学的常规思路
在美学史上，一些艺术家试图给维纳斯接上断臂，结果达不到很好的艺术效果． 这说明维纳斯的断手给我们无限的想象空间，这就是残缺美、极限美． 数学中直线、平面等也都给我们无限想象的空间． 如三条侧棱两两垂直的三棱锥P-ABC，在解题中，如果我们把这样的三棱锥想象成长方体的一只角，就能自然地解决一些问题．
例3 （2001全国）一间民房的屋顶有如图2所示的三种盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜. 记三种盖法屋顶面积分别为P1，P2，P3． 若屋顶斜面与水平面所成的角都是θ，则（）
A． P3>P2>P1B． P3>P2=P1
C． P3=P2>P1D． P3=P2=P1
① ② ③
图2
解析 该题以民房的建筑形式为背景，把立体几何与住房建筑形式结合起来，情景新颖真实，是数学大众化、平民化和生活化的典范． 本题也常规思维是用立体几何二面角公式cosθ=来思考，可得P3=P2=P1=，选D． 本题可以用极限思想来思考，若θ无限接近0，则得P3=P2=P1． 这一方法打破常规思路，另辟蹊径，得到简捷解法．
2.4 用数学的奇异美、创新美破解高考数学压轴题
数学的奇异美是指数学中原有的习惯法则和统一格局被新的事物（思想、方法、理论）所突破． 它显示出客观世界的多样性，是数学思想的独创性和数学方法新颖性的具体体现． 它常常给人一种新颖、新奇的美感． 它往往打破常规思维，另辟蹊径、别出心裁，从意想不到的角度出发得到一些简捷的妙解． 压轴题多数要用奇异美、创新美思维解决问题． 这种题更多地要使用逆向思维、极限思维、由特殊到一般思维、猜想证明思维、数形结合等思维，或妙用公式定理破解高考难题．
例4（2005重庆）有一个塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图3所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）
A． 4B． 5C． 6D． 7
图3
解析本题考查空间想象能力，若直接把每个正方体的表面积算出，然后相加，运算量大，容易出错． 利用空间想象思维，所有正方体上底面在底面的射影恰为一个最大正方体的一个底面，现只须考虑各正方体的侧面积和最大正方体的底面积． 从下到上各个正方体的边长依次为a1=2，a2=，a3=1，a4=，a5=，…侧面积依次为b1=16，b2=8，b3=4，b4=2，b5=1，…所以各层塔形的表面积为侧面积之和加8. 这样可分别求出k层塔形的表面积分别为S1=24，S2=32，S3=36，S4=38，S5=39，所以该塔形中正方体的个数至少是6层，选C. 本题创造性地利用射影的相关知识，给人一种清新、新奇的感觉，它常能激发学生的好奇心和求知欲，它突破了常规思维，将有效地培养学生的创新意识和创新能力．
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2.5 用数学的自然美、自由美思考解答高考数学题
人类是自然的一部分，自然美是美之最． 数学教育作为一种社会现象，也就有希望依傍自然，适应人的自然性，借助自然的伟大力量去得到美好的现实． 因而我们的数学教育如果依托自然之力，就会势如破竹，左右逢源，当前数学教育的许多问题将会一顺百顺，进而人的数学素养就会自然形成． 自由在于根据对自然界的必然性的认识来支配我们自己和外部自然界，因此它必然是历史发展的产物. 对高考数学解题规律掌握后，我们就获得了数学解题的自由，这时就给我们一种海阔凭鱼跃，天高任鸟飞的感觉． 对解高考数学题来说，我们也可从不同的角度来理解高考数学题，用不同的方法来分析高考数学题．
例5 （2004全国Ⅰ）从1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）
解析本题是排列组合和概率问题． 但它既不用分类计数与分步计数原理，又不用排列与组合的知识，而是回到最原始、最自然的直排方法，达到解决问题的目的． 按首位为1，2，3，4，5分类，如图4所示满足条件的三位数分别有3，4，5，4，3，共有19种． 所以所求概率为．
例6 （2007重庆）设b是1-a和1+a的等比中项，则a+3b的最大值为（）
A． 1B． 2C． 3D． 4
解析 本题的背景是等比数列，但本题可从多角度理解和分析其解题思路. 只要你用能想到的知识，就都有可能成功. 思考解答本题可使思维自由驰骋，思想得到大解放，掌握不同知识的人都有机会获得成功． 由题意得a2+3b2=1，本题可从三角知识出发思考；从构造一元二次方程，利用判别式思考；从平面向量知识思考；从不等式一章中练习题结论思考（柯西不等式）（a1b1+a2b2）2≤（a+a）（b+b）；从导数的知识思考． 选B.
2.6用数学的含蓄美、蒙胧美发现高考数学题的隐含条件
与文学艺术一样，数学也有含蓄美、蒙胧美，这是由数学的抽象性决定的. 数学概念、公式和定理都有其深刻的几何意义、数的意义、生活意义、物理意义等． 在高考数学中，我们要善于发现数学背后的深层含义，挖掘隐藏在概念、公式和定理中的本质．
例7（2006重庆）已知函数f（x）=（x2+bx+c）ex，其中b，c∈R为常数.
（1）若b2>4（c－1），讨论函数f（x）的单调性；（2）若b2≤4（c－1）且＝4，试证:－6≤b≤2.
解析（1）观察题目所给出的条件，发现条件形式与一元二次判别式相近，联想一元二次方程根的判别式，由导数与单调性的关系得解．
（2）由于所给出条件是极限形式，而导数定义就是极限给出的，经过联想和变形发现这一条件隐含着的是导数的知识． ==f ′（0）=4，即f ′（0）=b+c=4，结合b2≤4（c－1）得b2+4b－12≤0，解得－6≤b≤2． 在高考考试中，要十分重视一些题中的深层含义，挖掘隐含条件．
2.7用数学的严谨美、理性美完备高考数学解题过程
严谨是数学的一种独特之美，利用数学的严谨美、理性美，可以完善解题过程．
例8 （1994全国）已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则cotθ的值为．
解析sinθ+cosθ=⇒1+2sinθcosθ=⇒sinθcosθ=－⇒=－，所以
=－⇒cotθ=－或cotθ=－． 本解答初看没什么问题，但仔细分析其答案是错误的，错误原因就是过程不严谨，没有挖掘题中隐含条件，合理取舍． 由sinθ+cosθ=，sinθcosθ=－知sinθ，cosθ是方程x2－x－=0的两根，解方程得x1=，x2=－，因为0
2.8用数学的对称美、非对称美理解高考数学试题疑难
对称是数学美的重要特征． 在现实世界中处处有对称性，既有轴对称、中心对称和镜像对称的空间对称，又有周期律的时间对称，还有与时空无关的更为复杂的对称，如宫殿、庙宇、教堂、纪念塔、城门、剧院常是镜像对称，24小时的昼夜循环在时间上显现出具有周期性的平移对称，函数与反函数关于直线y=x对称． 我们如果在思考高考题时利用这些对称性，常能收到简单、奇异的解题效果．
例9 （2005重庆）连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是． （填写所有正确选项的序号）
①菱形 ②有三条边相等的四边形
③梯形 ④平行四边形
⑤有一组对角相等的四边形
[D][B][C][A]
图5
解析圆锥曲线是最优美的曲线，它们对称、统一、简明，给人无穷的想象空间． 因菱形既是轴对称图形也是中心对称图形，平行四边形是中心对称，而抛物线是轴对称，所以选项①④不可作，选项②③易作，在抛物线上任找两点A，B作线段AB的中垂线交抛物线于C，D两点，则∠DAC=∠DBC，所以⑤可作．
2.9用数学的秩序美、顺序美找寻解高考数学的有效方法
自然数的顺序性是数学秩序美的基础，因为数学中一切序的规律都可以同自然数的子集建立一一对应的关系． 自然数序列何其简单，但在简单中却蕴含着征服人心的力量和神韵，自然数的序关系使自然数具有可比性、无限性、后继性；奇数与偶数的交替变化赋予它鲜明的节奏；各种进制表示使它显示出风格各异的周期性．秩序美是众多数学方法的灵魂． 逻辑推理方法及公理推理方法，其本质就是顺序关系． 顺序性使递推法、迭代法、数学归纳法等数学方法在数学解题中显得优美、简洁而富有成效．
例10（2007四川）已知函数f（x）=x2－4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（x））处的切线与x轴的交点为（xn，0）（n∈N*），其中x1为正实数.
（1）用xn表示xn+1；（2）求证：对一切正整数n，xn+1≤xn的充要条件是x1≥2；（3）若x1=4，求数列｛xn｝的通项公式.
解析本题是函数、导数、数列和不等式的综合题． 字数寥寥，题意叙述简洁明了，体现了数学简约之美． （1）容易得xn+1=+；（2）本问由于涉及顺序问题，结合（1）的结论，可用数学归纳法和基本不等式证；（3）这一问没有现成的公式或方法可用，只有对（1）这一递推式进行探究，摸着石头过河． 但我们可以一步一步由未知向已知转化．
xn+1=+==－2⇒xn+1+2=.
同理xn+1－2=，所以=
2，令an=⇒an+1=a，由（2）an>0，
关键词：高考；数学复习；备考
实际上，数学高考试题对于高三数学备考就有非常好的导向作用。借助对以往高考试题进行分析，能够让教师做出反思，促使在教学实践中进行修正、调整、改进高三的备考计划。
一、研究考试说明，把握备考方向
研究高考考试说明目的在于摸清高考命题的指导思想、需要检验的知识点、考卷题目的类型、试题的难易度与比例以及检验水平的层次要求等。此外，在高考复习活动中数学教师与学生还应该反复地研究，找准各个阶段的复习目标，并随时根据需要调整备课方向。
目前，高考数学试题重点在于考查考生的数学能力，也就是说在考查高中生基础知识、基本技能及基本方法的前提下科学地检测高中生继续深造所需具有的数学素质。尤其注重对高中生是否具有接受与揉和数学信息的能力、分析和处理数学问题的能力、探究能力这三方的能力进行考察。在高考备考过程中，应该仔细分析这一系列能力要求的内在含义，借助精选题实施有目的的训练。应以考试说明为中心加以复习，将精力集中用到所需的地方，从而实现事半功倍之功效。
二、基本知识的复习要立足于对概念的深挖掘
在高考试题里边有很多的题目都是源自于课本内容，是一种对课文例题和习题的再造与引伸的活动，其目的是检测考生对数学基本概念及基本公式的了解程度与掌握程度，考查考生的基本功底。譬如，在必修4《向量》这一章中，关于向量基底的概念，高中生不但应理解定理知识，还应该对概念进行深层次挖掘。其定理的内容是：若用平面内不共线的一对向量
、作基底，可将该平面内的任一个向量表示出来，即：。就这一概念而言，高中生不但应掌握系数x和y的涵义，还必须知道这一公式在问题解题过程中的运用。通常情况，该等式最少都有以下多个方面的运用：①借助向量分解式的唯一性来解答问题。②借助三点共线来解答问题。③借助向量终点的区域探求动点的轨迹，还可以借助点的变化探求向量终点的轨迹等来解决问题。
三、习题的选择要关注知识点的交叉、整合
正如我们所知，高考试卷中题目有限，但考点甚多，因此高考试题中的很多问题都涉及了几个知识点的揉合，求解的重点在于应弄清各个知识点之间的内在关联。在处理一些综合性的问题的时候应该拆作多个简单性的问题，进而寻求解题的切入点。以知识点交汇处而命题的考题也是分为3个层面来检验的：检验基础知识理解程度、是否具备数学思想与方法以及综合应用数学知识处理问题的水平与能力。以上3个层面属于递进式关系，以数学知识作为载体，把数学方法作为核心，将数学能力作为检验的目的。在进行复习的过程中，就例题的选择方面应该注重下列数学知识点的交叉与整合：①三角函数和向量；②三角函数和导数、积分；③解析几何和向量；④几何概型和积分；⑤概率和方程；⑥函数、导数和不等式、积分；⑦函数、数列和不等式等。
四、强调数学思想及数学方法的学习
高中数学当中蕴含了极为丰富、多样的数学思想和数学方法。关注对高中生的数学思想和数学方法的检验，已经是我国高考数学命题一直以来所注重的方向。中学阶段基本性的数学思想和数学方法，借助各种不同层次与不同形式渗透在高考试题当中，通过检验高考生对数学思想和数学方法的主动应用，进而区分高考生所具有的数学能力。因此，在高考备课的过程中，数学教师应该着重考虑高中阶段的这一系列的数学思想和数学方法的应用方法以及应用过程都具有那些特点与规律等。譬如，数学数形结合这一思想运用较多的地方是在选择与填空题当中；而函数思想、不等式思想以及方程思想往往会运用于处理不等式恒成立问题之中。此外，分类讨论这一思想就近些年来看，其在高考试题中出现的频率相对较普遍，所涉及到的试题的范围也相对较广，进行分类讨论这一思想的检验，可以很好地增加高考试卷的难度，促使高考试题具有比较明显的区分度。譬如，在2010年度的高考试题中，该卷中填空题的压轴题第12题及全卷的压轴题第21题之中便运用到了分类讨论这一数学思想。所以，分类讨论这一思想在理解和掌握的过程中具有相当的难度，因而需要进行着重训练
在高中这一学习阶段运用的相对较多的数学思想有以下几种：函数和方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化和化归思想、特殊和一般思想、有限和无限思想、必然和或然思想、推理和类比思想。在解题过程中，常用的数学方法可以划分为以下3大类：①代数学习中用到配方法、换元法、待定系数法、公式法、分离常数法等；②几何学习中用到平移、对称、伸缩、分割、补形等方法；③逻辑推理证明中主要有综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法等。
五、结语
总而言之，在高考数学备课的过程中，教师应该结合高考生的实际，与时俱进，革新教育教学理念，及时调整备课方法。无论老师还是学生，都不必一味盲目迷信复习资料，而应该回归课本，用扎实的基础赢得高考的胜利。
参考文献：
[1] 李志强.浅析初中数学应试策略[J].中国科教创新导刊2011（6）.
[2] 孙金霞.石海峰.浅谈高中数学考试技巧[J].新课程（教研）2011（11）.
关键词：构造； 辅助数列； 等差数列； 等比数列
数列的通项公式，揭示了数列的项与序号之间的内在联系，并以一个函数的形式概括出一般规律。数列的通项公式是数列概念的重点内容，依据一定的条件求数列的通项公式则是数列概念的难点。
已知数列的递推关系式求其通项公式，除了采用等差、等比数列的定义和“归纳―猜想―证明”的思路外，通常还可以考虑对递推关系式进行恒等变形、化简，构造辅助数列，从而转化成等差、等比数列或容易求出通项公式的数列来求解。另外，也可以考虑将递推关系式变形，利用叠加法、叠乘法求得。其中，“归纳―猜想―证明”的思路的第三步必须用数学归纳法进行证明。但是，数学归纳法在近几年高考中的考察力度降低，有弱化的趋势。而利用等差或等比数列的定义求通项公式又比较简单。因此，由数列的递推关系式求通项公式，应重视后两种思路。
借助辅助数列求数列的通项公式，实际上是通过换元将问题转化成等差、等比数列或容易求出通项公式的数列问题，充分体现了数学中非常重要的换元、转化和化归思想。
下面，我通过几个例题来谈一下构造辅助数列求数列的通项公式的方法。希望各位老师批评指正。
题型一：
递推关系式形如 或 （其中p，q是常数，且 ）的求通项公式问题，当 时，数列 是等差数列；当 时，用待定系数法构造以 为公比的等比数列，将等比数列的通项公式变形即得所求数列得通项公式。
例1.已知数列 满足 ，且 ，求 .
解：设 ，即 ，
与已知 比较知c=1.
，
数列 是以 为首项，3为公比的等比数列。
，故 。
点评：一般地，形如 的递推公式，当 时，可转化为 .从而构造出以 为公比的等比数列 .
另外，也可将 与 作差，再构造出以 为公比的等比数列，同样能得出结果。如以下的解法二：
解法二： ①
②
②-①得：
设 ，则
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列。
，即
，整理得： .
例2. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：设 ，则
.
与已知 相比较得 ，故
.
及 ，则 .
数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列，
，故 .
例3.设数列 满足 ，求 .
解：设 则 将 代入递推式 ，
取 ①
则 ，又 ，故 代入①得： .
说明：若 二次式，则可设 .
题型二：递推关系式为 （p，q均为常数， ）可先在原递推关系式两边同除以 ，得： ，构造辅助数列（其中 ），得： ，再应用题型一的方法解决。
例4. 已知数列 中， ，求 .
解：在 两边乘以 得：
，
令 ，则 ，
应用例1解法得： ，
所以
点评：求解该题型的问题，也可以考虑直接用待定系数构造等比数列。
题型三：递推关系式为 （其中p，q是不为0的常数），则用倒数法将递推关系式变形，再构造等差或等比数列求数列通项公式。
例5.数列 中，若 ， ，求 .
解： ，
，
即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
，即 。
例6.在数列 中，若 ， ，求 .
解： ，
，
令 ，则 ，
利用题型一的方法知， ，则
点评：该题型的问题中，注意分式的分子比分母简单，所以考虑等式两边同时取倒数，再用通分的逆运算整理等式，最后构造辅助数列即可。
题型四：递推关系式为 （其中p，r为常数，且 ），用对数法构造等差、等比数列求数列通项公式。
例7.在数列 中，若 ， ，求 .
解： ，
，
对 两边取以3为底的对数得
，
数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
，即 。
点评：应用对数的运算律，巧妙的将次数转化为系数。
题型五：递推关系式由 与 的关系给出，可利用 构造等差或等比数列求数列通项公式
例8.已知数列 的前n项的和为 ，且满足
，又 ，求 .
解： 时，有 ，
由 ，得
即 ，亦即 ，
数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，
，则
故当 时，
显然上式对 时不成立，则
点评：该例题中，先构造出等差数列 ，再通过前 项和 求出通项 。
著名数学家、教育家波利亚有句名言：“掌握数学就意味着要善于解题。”数学的学习要通过解答问题来培养学生思维能力、运算能力和空间想象能力，以逐渐形成运用数学知识来分析问题和解决问题的能力。另外，还要注意培养学生的观察能力、记忆能力和理解能力等等。已知数列的递推公式求其通项公式，应用到的方法非常多。在具体问题中，我们要引导学生根据具体问题中已知的递推公式形式、特点等进行认真分析，然后选择合理的变形，巧妙地构造辅助数列，往往能收到意想不到的效果。
参考文献
[1] 唐国庆等.高中数学巧思精解专题训练[M].长沙：湖南教育出版社，1999.
[2] 单文海.中学数学解题思想方法技巧[M].西安：陕西师范大学出版社，2006.
[3] 刘增利等.高中数学教材知识资料包[M].北京：北京教育出版社，2007.
[4] 陈树礼.数列通项公式的三种求法[N].考试报高考数学，2006-2007.
【关键词】高考数学;复习策略
随着科技的高速发展，现代的教学技术有了很大的提高，有了多媒体、交互式电子白板等辅助教学工具，但我们的学生也有了学习机这样的好东西.现代的学生，依赖性很强，曾有这样一名学生，提了这样一个问题：老师，恒成立问题f（x）≤bx-2是求f（x）min≤bx-2还是求[f（x）-bx]min≤-2？我当时只有一种感觉：他们的心是空的.我们经过了一年的高考复习，难道培养出来的学生像“空心砖”？为什么？我们怎么做才可以把这块“砖”填满呢？为此，我谈一谈我的看法：
一、熟悉基础
数学不同于其他学科，尤其是高中数学，知识丰富，要求理解的东西很多.我们常说“熟能生巧”，其实，不熟如何能生巧，不生巧怎么能算熟.不会做就表示不理解，不理解怎么会做？高中学生有一个通病：上课听懂了，下课不会做，过两天就忘了，更不会做了.在学生心中，觉得自己通过高一、高二的学习已经熟悉了基础知识，但实际上不是，我们所谓的熟悉，和学生心中的熟悉是不同层次的两种：学生所谓的熟悉在我们这里仅限于“了解”，知道有这么回事，但具体是什么，说不出来，更不要说做了;而我们所谓的熟悉是“理解”，能够学以致用.这需要高一、高二扎实的功底.所以，我们一般用一学期的时间进行第一轮复习：从整体上把握知识，熟悉知识.
二、深入基础
通过第一轮细致、透彻的复习，学生才真正发现，高中数学的知识虽然多，也是有脉络的.但在复习过程中，受学生基础、教学进度等多方面的影响，一轮复习很难达到我们期待的效果，从而我们进入第二轮复习.因为第一轮的特殊现象，第二轮的时间就变得很有限.我们如何在有限的时间（20天左右），更好的完成第二轮的复习，这是很关键的，可以概括为六个字：精、少，有针对性.
众所周知，数学高考题的模式至今基本未变，新课标全国卷是有5个解答题必做，然后是三选一.在各个地方都会在3月初举行第一次大型的摸底考试，之后就进入第二轮复习，但第二轮复习的资料一般很难完成，其实，我们可以针对考试题型和知识，设计9个专题，前6个专题：三角函数、数列、概率与统计、立体几何、解析几何、带参函数单调性为必讲内容，后三个专题：几何证明选讲、参数方程及其应用、绝对值不等式根据需要选择.在专题复习时，采用“问题”链式设计，将某一专题知识的常考点融入一题或多题.例如：一个线性规划问题，我们可以给出一个不等式组，提出与距离、斜率、积分等有关的多个问题，使学生能更加透彻的明白与线性规划问题有关的题目是什么样子，或者说线性规划解题的方法能够渗透到哪些方面.将这9个专题作为课堂复习的主线，然后配备综合的限时训练，以强调配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合、特殊于一般、类比于归纳、数形结合、转化与化归、函数与方程、分类讨论等作为限时训练的依据.即是让每个限时训练能够覆盖所有知识点.这样，既能够完成专题复习，又能够实现综合训练，而且综合类限时训练相对于专题性的限时训练要来的简单、基础，覆盖面广，有助于学生及时检测自己遗忘的知识.如果我们把数学比喻成一棵“树”，这6个专题就像从这棵“树”的树干长出来的6个主要“枝桠”，其他的知识就是相应“枝桠”上的“小枝桠”或者“树叶”，这样，我们的每名学生的心中都可以培养出一棵“参天大树”.
三、整合基础
经过紧张有序的总复习，一般认为，结果已成定局.但，我们也清楚，高考数学也讲究应试技巧.当然，要取得好的成绩，也需要有扎实的基础知识，熟练的基本技能和长年累月的刻苦专研中培养起来的数学能力.从进入高三，到第二轮复习结束，很快就进入第二次统一模拟考试，我们可以把第二次模拟考试前的1周或2周纳入第三轮复习.我们知道，第二轮复习结束，未经过综合训练的学生与经历了综合训练的学生，在第二次模拟考试中的结果是不同的.他们的知识虽然经历了两轮复习，但始终是零散的.所以，我们有必要在第二次统一模拟考试之前，进行必要的综合训练.第三轮复习，一般就是以综合测试为主，通过试卷讲评，让学生暴露弱点，突破难点，使原有知识得到再一次提升.
在整个复习过程中，把那些零碎的、散乱的知识串联起来，并将它系统化、综合化.在此期间，学生的身心压力很大，为了能够使学生在有效的时间内掌握更多的知识，教师需要转变以往的题海战术，做到精讲精练，张弛有度.高三的这三轮复习，起到了循序渐进的作用，如果跳过某一轮复习，很容易出现“高原反应”，以致厌倦，如同“空心砖”，一无所知.
随着课程改革的全面推进，高中数学内容繁重，呆板，给学生的感觉是实用性不强，没有兴趣，这对现代数学教师的要求也就提高了.怎么样能够让学生体会、明白，其实数学无处不在，我们每天都在接触数学，甚至是应用数学，不仅仅是买菜、卖菜这么简单，这需要我们数学老师的生活积累，不断的观察和学习.如今的课程改革，再到接下来的高考改革，无疑是对教师的一种新考验.
【参考文献】
[1]宋海永，严东泰，陆静芬.试卷讲评 注意四性[J].中学数学教学参考，2012（12）上：40―42.
[2]陈英凯.回归课本是高考复习的有效措施[J].数学通讯，2014（5、6）上：78―81.
【关键词】高考数学；数列复习；思想方法；有效策略
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。近几年来，主要有以下三个方面的命题：（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其他知识的交汇结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。那么对于高三课堂，如何才能在不增加学生负担的前提下，更有效地复习好数列呢？
一、紧扣课本，夯实基础知识
对于一名高三教师，应该认真学习研究《新课程标准》与《考试说明》，明确数列的考查要求，突出两种基本数列（等差、等比数列）的复习，从历年数列考题可以看出，多数问题解决最终均化归为等差或等比数列求解。在复习中，我们教师要注意难度的把握，等差、等比数列的基本量计算是个常考点，常涉及“知三求二”题型，对于该题型的训练我们要强化，使学生熟练掌握，又要适度，不要人为做那些太难、太繁题目，这样不仅增加学习负担，而且还淡化了数学本质；同时还应适当关注等差、等比数列的性质在化简运算方面的作用；等差、等比数列的判定（定义法，中项公式法等）以及数列求和也是高考的另外两个常考点，我们应通过适当的练习训练来加深学生对数列求和方法（公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等）的正确运用，并注意引导学生关注易漏、易错、易混点，培养学生的认真、严谨的思维品质，避免不必要的失分。例如，（2012高考重庆理1）在等差数列{an}中，a2=1，a4=5，则{an}的前5项和S5=（ ），本题可采用基本量法，也可利用数列的相关性质解决问题。
二、把握基本思想，提高解题能力
数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式等有着密切的练习，在数列综合问题中涉及很多数学思想方法，如函数思想、方程思想、分类讨论思想、转化与化归思想、递推思想与数学归纳思想等。在复习中若能灵活应用这些数学思想方法，将会取得事半功倍的效果。
（1）函数思想。数列是一种特殊的函数，等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，而等比数列的通项公式，则要弄清它与指数函数之间的关系，因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析，加以解决。例如，设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13
（2）方程思想。数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量a1，n，d（q），an，sn，“知三求二”是一类最基本的运算，根据题设条件，结合数列通项公式和求和公式构建方程或方程组求解，方程思想贯穿于数列学习和解题的始终。例如，已知等差数列{an}的公差是正数a3a7=-12，a4+a6=-4，求前n项的和sn。此题利用了a3+a7=a4+a6这一性质构造了二次方程巧妙的解出了a3=-6，a7=2，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与an+am=ap+aq（或an・am=ap・aq）找出解题的捷径。
（3）分类讨论思想。数列中渗透分类讨论的思想。在运用等比数列求和公式时，若公比q没有明确给出，需要分q=1和q≠1讨论；在数列求和中有时需要进行奇偶分析讨论；有些数列的通项公式是分段表示，解题过程需要讨论；在数列解题中有时根据过程需要进行讨论。
（4）递推思想与数学归纳思想。递推是数列的本质性的内涵，是数列的一大特色。数列中涉及n，an，sn之间的关系问题，常采用递推思想来解决，其中主要使用公式法、累加法、累乘法、迭代法、构造法、数学归纳法等思想方法。例如，设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）a-na+an+1・an=0（n=1，2，3…），求通项an。对于此题，通过化简已知等式，得到（n+1）an+1-nan=0，然后利用累乘法或累加法都可以解决问题，对于一些有些不易直接化成等差或等比的数列，经推理可以寻求特殊关系的，可以把它转化为可求通项的特殊数列再求解。
三、关注交汇内容，做好融会贯通
数列除了考查本身知识内容，还常与程序框图、对数、三角结合、一般函数、不等式等知识相结合进行交汇考查。
例如，在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an=lgTn，n≥1
①求数列{an}的通项公式；②设bn=tanan・tanan+1，求数列{bn}的前n项和Sn。
【关键词】分析问题；解决问题；能力
分析和解决问题是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现。纵观近几年的高考，学生在这一方面失分的普遍存在，这就要求我们教师在平时教学中注重分析和解决问题能力的培养，以减少在这一方面的失分。本文就分析和解决问题能力的组成及培养谈几点看法。
1. 分析和解决问题能力的组成
1.1 立足新教材，注意挖掘教材的内涵。
我们认为，新教材更加注重学生的认识规律及学生的学习兴趣。新知识的引入借助实例，不仅有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，更能激发学生的求知欲望，集中学生的注意力，提高课堂效率。教师应在吃透教材的基础上，精心选择出课本中的典型题目，并努力创设出问题解决的各种情境，激发学生主动参与到问题解决活动的过程中，让学生在发现、猜想、探索、验证等思维活动过程中受到不同层次的思维训练。要善于从日常的教学中教会学生学习的方法，培养他们的能力，这就是新教材“新”的地方。
1.2 合理应用知识、思想、方法解决问题的能力。
高中数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、复数、立体几何、解析几何等内容；数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等；数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方法．只有理解和掌握数学基本知识、思想、方法，才能解决高中数学中的一些基本问题，而合理选择和应用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速、顺畅。
1.3 数学建模能力。
近几年来，在高考数学试卷中，都有几道实际应用问题，这给学生的分析和解决问题的能力提出了挑战。而数学建模能力是解决实际应用问题的重要途径和核心。因此，建模能力是分析和解决问题能力不可或缺的一个组成部分。
2. 培养和提高分析和解决问题能力的策略
2.1 重视通性通法教学,引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法。
数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位。它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决。只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、别人的知识技巧才会变成自已的能力。
每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论，如分类讨论思想可以分成：（1）由于概念本身需要分类的，象等比数列的求和公式中对公比的分类和直线方程中对斜率的分类等；（2）同解变形中需要分类的，如含参问题中对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等。因此，在数学课堂教学中应重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识一种“思想”或“方法”的个性，即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题有效。从而培养和提高学生合理、正确地应用数学思想与方法分析和解决问题的能力。
2.2 加强应用题的教学，提高学生的模式识别能力。
高考是注重能力的考试，特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是考查的重点，而高考中的应用题就着重考查这方面的能力。数学是充满模式的，就解应用题而言，对其数学模式的识别是解决它的前提．在高中数学教学中，不但要重视应用题的教学，同时要对应用题进行专题训练，引导学生总结、归纳各种应用题的数学模型，这样学生才能有的放矢，合理运用数学思想和方法分析和解决实际问题。
2.3 适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面。
要分析和解决问题，必先理解题意，才能进一步运用数学思想和方法解决问题。近年来，随着新技术革命的飞速发展，要求数学教育培养出更高数学素质、具有更强的创造能力的人才，这一点体现在高考上就是一些新背景题、开放题的出现，更加注重了能力的考查。由于开放题的特征是题目的条件不充分，或没有确定的结论，而新背景题的背景新，这样给学生在题意的理解和解题方法的选择上制造了不少的麻烦,导致失分率较高。因此，在高中数学教学中适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面是提高学生分析和解决问题能力的必要的补充。
2.4 重视解题的回顾。
在数学解题过程中，解决问题以后，再回过头来对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与研究，是非常必要的一个重要环节。这是数学解题过程的最后阶段，也是对提高学生分析和解决问题能力最有意义的阶段。
一、试题特点
1.着眼教材,注重基础,考查灵活
“注重试题的基础性、综合性和层次性”,“从学科整体意义和思想含义上立意,注重通性通法,淡化特殊技巧”——这是《2012年湖北高考数学科考试说明》的要求.在这一导向下,2012年湖北高考数学理科卷有相当一部分试题对基本概念、定理、性质等基础知识和通性通法进行了多角度、多层次的考查,如:1~7题都是直接对基础知识进行考查的中低档试题,试题设计灵活,对基础知识的考查呈现多角度性.第1题,没有按常规方法给出式子来考查复数运算,而是以求实系数的一元二次方程的复根形式呈现来考查复数概念及运算;第2、3、5题直接考查基础知识的应用;第6题则是考查取等条件,注重对细节的考查;第7题考查等比数列的性质、幂的运算和对数运算,但是试题是以“保等比数列函数”这个新定义为背景的.
很多试题在教材中可以找到原型,如第13题回文数取材于必修3第51页的B组第3题;21(I)就是以选修2—1中第41页中的例2和第50页B组第1题为背景改编而成的,考查了相关点法求轨迹方程以及分类讨论的思想.整套试卷无偏题、怪题,包括压轴题22(III)“利用数学归纳法证明推广了的命题”这一问,解答中最关键一步——变形技巧,其能力要求虽然很高,但我们在选修4—5的第52页的例4中也还可以看到影子.
2.考查全面,重点突出
全卷涵盖了《考试说明》列出的全部知识板块,涉及到的知识点达60余个,覆盖率高.
新课标相比以前的大纲版在教学内容上新增了很多内容(如算法、微积分、三视图、条件概率、合情推理,不等式选讲,几何证明选讲,坐标系与参数方程等),这些内容很好地展示了对数学进行深入探究的思想方法、提供了数学学习的新工具,也丰富、开拓了学生的数学视野.今年的高考对大部分的新增考点都进行了考查,在整个试题中占了很大的比例,考查难度适中,符合《考试说明》的要求.
从下页表可以看出考点分布广泛.今年的试题在考查全面的同时,又突出对支撑整个数学体系的主干知识(函数与导数、三角函数与解三角形、数列、概率统计、立体几何、解析几何等)的考查.如考查函数与导数的题目有:3、9、22题;考查三角的题目有:11、17题;考查数列的题目有7、18题;考查概率统计的题目有:8、20题;考查解析几何的题目有14、21题;考查立体几何的有4、19题.总分值多达一百多分,保持了比较高的分值权重.
3.注重本质,考查思想方法和能力
整个试卷在考查基础知识和基本技能的前提下,突出试题的能力立意,注重对数学本质、思想方法、能力的考查.如第1题直接考查复数的概念,第7、13题直接考查对新定义的理解,突出对数学本质和理性思维的考查.第15题和17题考查了转化与化归的思想;第18题和第21题考查了分类讨论的思想;函数与方程的思想在第9、17、18、19题中得到体现;对数形结合思想的考查更是贯穿整个试卷的始终,第2、4、14、15、19题都涉及到数形结合的思想.
整个试卷重视图形语言和几何直观,其中第4题直接考查根据图形想象直观形象的能力;第14题虽然是解析几何的题目但是平面几何的味道很浓,完全可以不用解析法做出来; 第15、19题是在动态的几何过程中设置问题.
第8题也是一个考查对图形进行分解、组合,区分有效的好题.一般解法是用比较常规的方法求两个圆公共部分的面积的一半——弓形的面积,从而求出非阴影部分的面积,再用对立事件的概率求解,这种解法对思维能力的要求不是很大,但是计算量略大.如果考生的图形分析能力较强,想到对阴影部分的割补构造规则图形求解,则计算量大为减小.
第21题第2问的两种解法,也体现出对考生的图形处理能力、计算能力和逻辑推理能力的考查.其中解法一:直接计算,用k,m,x1来表示向量PQ,PH,最后转化成■=0对任意的k,x1>0恒成立m有没有解的问题.考查计算能力,逻辑推理能力,转化能力,同时还利用点在直线上的特点实现设点时减少变量的技巧.而解法二:抛开直线的斜率为k这个干扰量,采用设而不求的方法给出P,Q,H,N的坐标,直接列出两个变量x2,y2的关系,根据式子特点计算得
kPQ·kPH=■·■=■·■=-■,而PQPH等价于kPQ·kPH=-1,即-■=-1,又m>0,得m=■.解法二的计算量比解法一要少,但对考生的能力要求如挖掘信息的能力、目标意识、数据观察处理能力都比解法一要高.
第22题为压轴题,入手容易.该题求证层层铺垫,难度层层递进,知识的综合性强并且能力要求高,对考生推理能力,类比能力及思维的灵活性、创造性提出了很高要求,需要考生具有较强的数学分析能力.
4.在试题构成上有创新
相比于湖北前几年大纲版的高考,今年的高考理科数学增设了选考内容,填空题由5个必考题变成了4个必考题和2个选考题.选考题难度相当,考生两选一做解答.这种题型的引入,一定程度上扩大了试题的容量,也为不同偏好的学生提供了不同的答题选择,便于考生展示自己的最好水平.
与其他很多新课标省份将不等式选讲设为选考内容不同,湖北根据自己的实际教育情况将不等式选讲归为必考内容,这样更便于函数、导数、不等式知识的融合,在各板块交汇处设置试题,尊重了学科知识点的内在联系.
二、对高三复习的启示和建议
1.落实“双基”,形成系统的知识体系
一、分析和解决问题能力的组成
1、审题能力
审题是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究，它是如何分析和解决问题的前提。审题能力主要是指充分理解题意，把握住题目本质的能力；分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力。要快捷、准确在解决问题，掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的。
2、合理应用知识、思想、方法解决问题的能力
高中数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、复数、立体几何、解析几何等内容；数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等；数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方法。只有理解和掌握数学基本知识、思想、方法，才能解决高中数学中的一些基本问题，而合理选择和应用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速、顺畅。
3、数学建模能力
近几年来，在高考数学试卷中，都有几道实际应用问题，这给学生的分析和解决问题的能力提出了挑战。而数学建模能力是解决实际应用问题的重要途径和核心。
在该题的解答中，学生若没有一定的数学建模能力，正确解决此题实属不易。因此，建模能力是分析和解决问题能力不可或缺的一个组成部分。
二、培养和提高分析和解决问题能力的策略
1、重视通性通法教学，引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法
数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位。它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决。数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段。只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、别人的知识技巧才会变成自已的能力。
每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论，如分类讨论思想可以分成：（1）由于概念本身需要分类的，象等比数列的求和公式中对公比的分类和直线方程中对斜率的分类等；（2）同解变形中需要分类的，如含参问题中对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等。又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等。
2、加强应用题的教学，提高学生的模式识别能力
数学是充满模式的，就解应用题而言，对其数学模式的识别是解决它的前提。由于高考考查的都不是原始的实际问题，命题者对生产、生活中的原始问题的设计加工使每个应用题都有其数学模型。在高中数学教学中，不但要重视应用题的教学，同时要对应用题进行专题训练，引导学生总结、归纳各种应用题的数学模型，这样学生才能有的放矢，合理运用数学思想和方法分析和解决实际问题。
3、适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面
要分析和解决问题，必先理解题意，才能进一步运用数学思想和方法解决问题。近年来，随着新技术革命的飞速发展，要求数学教育培养出更高数学素质、具有更强的创造能力的人才，这一点体现在高考上就是一些新背景题、开放题的出现，更加注重了能力的考查。由于开放题的特征是题目的条件不充分，或没有确定的结论，而新背景题的背景新，这样给学生在题意的理解和解题方法的选择上制造了不少的麻烦，导致失分率较高。
4、重视解题的回顾
