时间：2023-09-15 17:41:12
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇高三数学数列求和，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
高三阶段的学生面临高考的压力以及知识难度加大的压力，因而，很多高三学生都能够积极投入到数学的学习中。但是虽然很多学生在课堂上能够理解知识，却仍是不会应用。这种现象不仅阻碍了学生学习能力的提高，还影响数学课堂的教学效率。因而，高三数学教师应该深入研究产生这种现象的原因，并根据原因采取科学、合理的措施提高学生的学习效率。
一、造成学生“懂而不会”现象的原因
1.教学方法的错误
在教学课堂上，多数学生处于被动接受知识的状态，学生所谓的听懂知识也是明白了某道题目的解法，而并没有深刻理解其中的内涵。而且被动接受知识还阻碍了学生的思维发展，使得学生缺乏举一反三的能力。
2.学生的差异性
每个学生的理解能力、创造力、实践能力都是不相同的。但是很多数学教师并不重视层次教学的重要性，使很多学生无法跟随教师的思路。这也就造成了学生学习能力不足、思维拓展能力不强的问题。
二、改善学生“懂而不会”现象的措施
1.转变教学理念，创新教学方法
在数学教学中，教师应该根据学生实际和教材内容，科学设计教学过程，以突出学生的主体地位，使学生从被动接受知识转变为主动学习知识。另外，高三阶段的学生除了学习新知识以外，还要巩固旧知识。因此，数学教师应该选择一些具有典型特征的例题。
教师可以借助多媒体以及其他教学辅助工具增强课程的趣味性、生动性，从而激发学生的学习兴趣。如，教师在进行数列的复习过程中，在课堂的开始可以将与数列有关的知识通过多媒体展示给学生，如等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质、数列求和、证明数列的方法。然后再将平常会用到的解题方法展示给学生，如，基本量法、特殊数列转化法、极限法等。接下来教师可以通过范例来教会学生如何应用。
如，已知数列{an}，a1=1，求满足下列条件的通项公式。①an+1=an-3；②an+1=2an；③an+1=2an-3；④an+1=an-n。在这个过程中，教师可以让学生自由组合，进行小组合作学习，这样既能充分调动学生学习的积极性，又能培养学生的团结协作能力。设计该题的主要目的是让学生能够分析出等差、等比数列的递推形式，从而掌握求通项的方法。可见，教师在高三数学的教学中应转变教学理念，充分创新教学模式，并借助多媒体等设备来改变传统数学课堂枯燥、无味的学习氛围，从而使学生能够充分掌握数学知识。
2.促使学生养成良好的学习习惯
很多学生在学习时，对数学问题知识一知半解，但是又不好意思请教老师、麻烦其他学生，久而久之，学生的数学能力就会逐渐下降。另外，也有很多学生在遇到一些比较难的数学题目时，就会放弃不做，而当遇到自己擅长的知识时，就能够坚持下去。这种坏习惯会严重影响学生学习成绩的提高。
高三数学教师应该重视培养学生的良好学习习惯。首先，应该促使学生养成反思的习惯，反思自己为什么找不到思路解题，解这种类型的题目时又应该注意些什么，如果题目变换已知条件，是否还能够解出。如例题：已知集合A={1，2}，而集合B满足A∪B={1，2}，那么集合B的个数有几个？这道题的重点是巩固学生之前已学过的集合知识。虽然较简单，但是却很典型。这道题目可以变形为①已知集合A有m个元素，那么A的子集是（ ），真子集是（ ）。②已知集合A={1，2}，而集合B满足A∪B=A，那么A与B的关系是（ ）。可见，反思能够培养学生的创新思维能力，提高学生的学习效率。
除此之外，教师还应该培养学生一题多解的解题习惯。这样在学习一道题目时，学生就会自动发掘出题目中蕴含的数学知识，并加以融会贯通。如解不等式3
综上所述，高三数学教师应该改变教学方法，充分发挥学生的主观能动性，促使学生主动吸收数学知识。在此基础上，教师还应该重视培养学生正确的学习习惯、科学的解题方法以及举一反三的能力。总之，教师应该让学生理解，并会运用，这样才能真正提高教师的教学效率。
参考文献：
[1]常晋珉.对高三数学教学中学生“懂而不会”现象的思考[J].新课程（中学），2014（2）：33.
关键词：2014年；陕西高考；高考试题浅析
一、回归课本，体现了试题的基础性
课本是高考命题的生长地。纵观陕西近几年的高考试题，发现每年都有几道明显的课本原题或改编题，2014年更是如此。如，文理科选择第7题是由数学必修1第77页第三章B组第4题改编而来；理数填空题的第14题，直接取之于选修教材2-2的“归纳推理”第一节的例1，将著名的欧拉公式设计为考题进行考查，秉承了考课本定理的陕西特色。再回首，2011年余弦定理的证明，2012年三垂线定理的证明，2013年等差等比数列求和公式的证明，都取之于教材，题目难度不大，得分却不高。试想，如果从课本选了一个稍难的题目，没见过很可能想不到，而学校又没复习到，那老师的责任就大了。这就给我们一再敲响警钟，高考备考想要扎实全面，回归课本是很关键的一条。
二、命题出其不意，体现了创新性
2014年的高考命题，大刀阔斧地改头换面，出其不意，让人意外。首先肢解了数列的内容，没有出现单独的数列解答题，这是解答题布局的新动向。17题的立体几何与三视图相结合，以线面平行的性质定理为考点，让人意外，但又在情理之中。18题的向量独成大题，开创了陕西高考命题设计的先河，第2问将向量与线性规划相结合，一反常态，充分考查了学生的考场应变能力。还有，21题的第1问，应用数列的归纳推理①求通项，并且结合了数学归纳法证明；选择题的第5题考查了几何体的外接球；第9题代表的统计，没有考抽样和频率分布直方图，而是考查了平均值与方差的运算性质等，都是陕西新课改后的首例，令人耳目一新，也是今年高考试题的亮点所在，充分体现了新课标探索创新的特点。
三、多元知识结合，体现了试题的综合性
今年的高考试题，极力地体现了交汇命题的原则，充分考查了考生应用所学知识分析问题和解决问题的能力以及思维的灵活性。具体表现在试题的综合性更强，涉及的知识面更广。如理数的16题将解三角形、三角变换、等差等比数列的性质以及均值不等式紧密结合；18题将向量的运算和线性规划连为一体；19题将常规的函数应用题与概率相结合；21题导数、数列继11年结合应用，今年再创新高，难度更大。凡此种种，表明数学成绩的提高、数学能力的培养，短期很难见效，这也是很多平时不学习的学生突然狂学一两个月，可数学成绩并不见提高的原因。
四、命题贴近生活，体现了数学的实用性
知识源于生活，又用于生活。今年的高考试题很好地诠释了这一点。文理科数学选择题的第10题，从基本函数式的选择中，体现了将现实问题转化为数学模型的技能。理科数学的19题，与实际生活中常见的利润问题结合，考查了概率和分布列。文科数学的第9题以单位员工的工资为背景，考查了平均数与方差的运算性质；19题以车辆保险为背景考查了概率。而纵观每年高考试题，不难发现每年都至少有两道以上以实际生活为背景的题目。试题贴近生活，体现了数学与实际生活的密切联系以及数学的实际应用性。
五、隐含高数背景，体现了试题的选拔性
纵观陕西各年高考试题，时常会涉及一些高等数学里的著名函数、定理以及研究方法，而今年尤为突出。如理数21题的第2问的恒成立问题，解法之一就是分参之后结合洛必达法则，避免了繁琐的分类讨论，解法简洁而流畅；第3问本质是数列和的不等式证明，有着高等数学里调和级数的影子，而且证法之一是应用了面积法，巧妙地将题中各式转化为一些图形的面积，快捷简便，令人惊叹。这种方法中隐含了定积分中的“分割、代替、求和、取极限”的部分思想。而这种思想是高数里面非常重要的一种数学思想方法。当然，这些题目的解决也有通性通法，只不过相对于通性通法而言，以上方法更巧妙、更快捷。因此，试题充分体现了高考是一种选拔性考试，考查了学生进一步学习的潜能。
应当说，2014年的试题设计符合陕西的考情，杜绝了偏题、难题、怪题，有利于广大考生数学水平的正常发挥，为今后高三的数学备考起到了良好的引导作用。而我们高三老师在备考中，也应该把学生带出资料，回归基础，走进课本，关注真题，面向全体学生，着眼思维活动，致力于学生思维能力的培养。只有基础扎实了，思维灵活了，我们才能以不变应万变，在高考中稳操胜券。
参考文献：
【关键词】高中数学；复习；高考；归纳与整理
进入了高三，无论是老师还是学生都感觉到了时间的紧迫性.随着高中数学课程的改革，高中数学课的教学时间更加紧迫、任务更加繁重，而高三数学课复习效率的高低将直接影响学生在高考中的成绩.由此可见，提高高三数学复习课的效率势在必行.
一、教师重视指导学生对知识点的归纳与整理，助帮学生形成知识体系
在平时的数学学习过程中，我们所掌握的知识一般都是比较零散的，没有形成一个体系，这样就使得学生在解题的过程中，不能很好地对数学知识进行灵活的运用.在高三数学复习的过程中，教师就应该对我们平时所学习的、零散的知识点进行归纳和总结，帮助学生对知识形成一个整体的认识.这样学生在数学解题的过程中才能更好地融会贯通、灵活运用知识，从而有效提升数学解题的效率.
为此我罗列了我比较喜欢的几种方法.（1）运用构图记忆法.这种形象的方式可以将那些抽象的知R点以及知识之间的层次关联通过画图表方法直观地表示出来，帮助学生把知识点以及知识之间的关联性形成长久记忆，做到不依赖课本教材也能牢固地掌握，做到及时提取应用.（2）学会进行知识串联，建立知识联系机制.知识之间都是相互联系的，只有找到知识之间的关联纽带，使其具有综合性，才能跳出章节的限制，建立清晰的知识网络，构建完善知识体系.例如函数、不等式、方程、数列以及抛物线等可以建立联系机制，加快记忆，加深理解.再如sin2θ+cos2θ=1，可与圆标准方程、圆和椭圆的参数方程、三角换元等联系，二次函数可与一元二次方程和不等式、等差数列、解几中的抛物线等联系，使学生跳出书本单一背景的限制，从而走向知识交汇和综合.（3）利用问题纽带，建立知识动态联系.利用问题激发学生思考，用思想方法建立知识联系，帮助学生对知识再认识，产生新知，完善健全知识体系.
在复习数列这个知识点的时候，指导学生对等差数列与等比数列的性质进行归纳并且进行对比，而对于由递推关系求通项的方法进行整理，归纳出累加法、叠乘法、待定系数构造等差等比数列法、取倒数法、Sn与an法、对于数列求前n项和问题有公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、并项求和法.在复习抛物线时把抛物线的四种情况的标准方程、图像、顶点、对称轴、焦点、准线、焦半径归纳小结.
二、研究考试纲要，总结高考基本规律
作为高三教师，如何让学生少走弯路，提高复习的效率，让学生们打场有把握的仗是教师们面对的严峻挑战，对此，教师们要仔细研读《普通高中数学课程标准》以及省内的考试说明，明确思路，有针对地开展复习工作.同时，教师还要明白高考命题方向，如近几年高考大纲坚持难题不怪的出题原则，注意学生对通法基础的掌握，减弱了对学生高难度思维技巧的考查，所以教师要本着扎实基础，掌握通法的原则制订复习方案，立足于课本教材，从基础知识抓起，梳理知识、搭建完善知识体系，着重挖掘例题涵盖的内涵，熟练掌握通法解题技巧，并且针对重点、难点进行技能强化训练.
三、建立实效思路，制订高效复习方案
复习方案在复习过程中起到了至关重要的作用，所以如何制订一个好的复习方案是教师们面临的挑战，但由于学生的基础参差不一，增加了方案的制订难度.所以教师首先让学生们做好“战斗”的思想准备，让学生们知道高三一年的学习计划，并督促自己按照计划施行.
第一轮高考复习教师要注意计划的可实施性，合理科学，以教材为依托，根据学生的实际情况，设计难度、深度适中的方案，做到方案可行、合理、周密；第二轮的复习方案要因人而异，选择一套适合自己的复习资料，并且根据实际情况，制订一套最适合自己的复习方案；最后一轮复习则是以大量的“实战练习”为主了，能有效摸清学生的真实状况，查漏补缺，完善自己的不足.
四、教给学生方法，促使学生通过自主探究完成对知识点的回顾
对高三学生，主要的做法是教给学生方法，让学生对一些典型题进行自主探究解题后的反思、发散和提高，举一反三，触类旁通，力争让学生的数学复习达到一个新的高度.
例如，已知ABC，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，其中边长c为定值，请你建立适当的坐标系，并添加适当的条件，求出点C的轨迹方程.学生们主动探寻，大胆创新，所添条件丰富多彩，现展示部分如下：
（1）添加条件：a+b=m（m>c）.
（2）添加条件：a-b=m（0
（3）添加条件：顶点C到两个定点连线斜率的乘积是定值k（k≠0）.
（4）添加条件：ABC的面积是定值m（m>0）.
（5）添加条件：∠B=2∠A.
（6）添加条件：a，b，c成等差数列.
……
数列是高中数学中一个非常重要的知识点，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有很重要的地位，也是高考数学必考的内容之一.其主要考查学生对数列的公式记忆能力、理解能力、逻辑推理能力、思维分析能力、运用知识解决实际问题的能力.在解决数列这类问题时，我们常运用方程或不等式组的思想、函数的思想、化归思想，所以我们必须重视数学思想方法的探究.著名的数学教育家弗赖登塔尔说过：与其说是学习数学，还不如说是学习数学化；与其说是学习公理系统，还不如说是学习公理化；与其说是学习形式体系，还不如说是学习形式化.由此可以发现，数学思想方法对我们认识世界相当重要.下面我就结合数列的学习，简单地阐述数学思想方法的教学.
一、运用方程或不等式组的思想解决有关数列问题
等差数列有两个基本量a■、d（等比数列是a■、q），等差（等比）数列的两个基本问题a■、S■，都可以用两个基本量表示，所以我们可以列出有关方程组（或不等式组）来求解，这种方法可称为方程法（或不等式组法）.
例1：在等差数列{a■}中，已知a■=10，a■=25，求a■.
思路一：由题意，可求出a■和d，然后由等差数列的通项公式，便可求出a■.
解法一：设等差数列{a■}的首项为a■，公差为d，则由题意得：a■+4d=10a■+14d=25
这样就转化成以a■和d为未知数的方程组，可解得a■=4，d=■.
这个数列的通项公式为：a■=4+■×（n-1），即：a■=■n+■，a■=40.
思路二：如注意到a■与a■，可求出a■，后直接用关系式a■=a■+（n-m）d，可简化运算.
解法二：由题意可知：a■=a■+10d，即25=10+10d，10d=15.
又a■=a■+10d，a■=40.
思路三：如注意到在等差数列{a■}中，a■，a■，a■也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a■的值.
解法三：在等差数列{a■}中，a■，a■，a■成等差数列，2a■=a■+a■，即a■=2a■-a■，a■=40.
例2：一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？
解：由23+（6-1）d>023+（7-1）d
[练习]在等差数列{a■}中，若a■+a■+a■=12，a■a■a■=28，求{a■}的通项公式.
答案：a■=-■n+■.
总之，数列的通项公式与前n项和的公式都紧密联系a■，d，q，a■，S■五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算.因此方程或不等式组的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法.
二、运用函数与数形结合思想解决有关数列问题
数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前项求和公式都可以看成是函数，特别是等差数列的通项公式可以看成是一次函数，因此许多数列问题可以用函数的思想进行分析.
例3：若数列{an}为等差数列，a■=q，a■=p，求a■.（如图）
分析：不妨设p
数列的项以函数上的点的形式给出，将数列和函数的性质相结合，究其本质，依然还是对数列的基本知识进行考查.在本题中，利用函数的性质，将本来没有太多关系的数列转化成一次函数图像上一些点，从而使问题显得明朗而简单.
三、运用化归与转化思想解决有关数列问题
在处理数学问题时，我们将待解决的问题通过化归与转化的思想，使问题转化成较容易的问题，这是数学学科特有的思想方法，化归与转化思想的核心是把生题、难题转化为熟题、易题，将复杂问题转化为简单问题，将未解决问题化归为已解决问题.
例4：（2009年莱阳高三理）若数列{a■}满足■-■=d（n∈N■，d为常数），则称数列{a■}为调和数列.已知数列{■}为调和数列，且x■+x■+…+x■=200，则x■+x■=？摇？摇 ？摇？摇.
分析：根据调和数列的定义，可以看出其倒数数列符合等差数列的定义，由此可以转化，利用等差数列的定义求出前n项和.
关键词：新课程；高三；教学措施；思考
对于高三数学来讲，其重点就是抓复习，教师的主要作用就是带领学生进行知识汇总，为学生穿针引线，组建知识网络体系，让学生在复习的过程中不断提升自身的学习能力。但是现阶段很多教师在教学时都是被复习资料牵着走，脱离课本，也不从学生的实际情况出发，当然也难以有效解决学生存在的问题，最后就出现与新课程背道而驰的情况，这些都违背了新课程的标准和要求。
一、抓重点，解决难点
高三学生的课程教学中也会遇到一些没见过的重难点问题，教师在教学的过程中不能够笼统的讲解，还应该针对某个重点，某个难点问题展开针对性的讲解。因为教师讲得太笼统，学生就会有种摸不着头脑的感觉，长时间下去，学生就会不知所云，教师讲得筋疲力尽、口干舌燥，教学质量非常低，倘若要转变这种情况，就需要依照新课程的相关要求，因材施教。例如，在复习三视图及空间几何体的计算时，首先学生应掌握画图的基本要求：正俯一样长，侧俯一样宽，正侧一样高；其次解决由三视图确定几何体的形状并求表面积或体积时要知道遵循：先确定几何体的大致轮廓，然后利用三视图中的实线和虚线通过切割、挖空等手段逐步调整，得出几何体的形状，最后利用相关公式计算即可。学生只要把上述所讲弄明白了，解决这类问题的重点和难点也就突破了，再通过练习让学生去体验、思考感悟，相信最后教给学生的是方法更是钥匙。
二、鼓励学生及时对知识点进行归纳总结
对于高三的学生而言，他们已经掌握了一定的数学基础知识，但是在考试解题时总是找不到突破口，当教师为学生解答之后，学生也总是会说“我当时怎么就没有想到呢？原来这么简单”。那么学生为什么会出现遇到各种解答题的时候无法下手，找不到突破口呢？就是因为学生在做完一个题型或者是老师讲述完一个题型后没有对其中的知识点和解题突破点进行总结，缺乏解题的经验和手段。所以每遇到一个不同的题型他们就觉得解答起来很吃力，那么怎样总结知识呢？本文主要阐述了以下几点：
第一，从知识层面上来讲，看题中有无可以直接看出来的概念、公式等，对于这些出现在题中的概念、公式，解题时是怎样应用的。第二，从方法层面上面来讲，教师在解答这些题型时，用到了什么解题方法，为什么教师能够想到用此法，自己有无掌握教师的解题方法和解题技巧。第三，学生拿到题目后，首先应该观察这属于哪种题型，平常我们在解答这一题目时都用了什么解题方法。学生在总结题型的过程中，教师不能够不让学生思考就自行帮助学生归纳总结，这样会让学生养成不自己动脑思考的习惯，教师还应该让学生跨过门槛，自己总结这属于什么题型。例如，在高三的一次数学课堂上，在复习数列这一章的内容时，数列的求和是困惑学生的知识难点，那么教师就应该多找出几个数列方面的例子，让学生根据这些例子，先从解答简单的题型，再到困难题型的解答，将这些知识点归纳总结起来，寻找其解题突破口。
例如：
1.设x+1，5成等比数列，求x+1中的x=？
2.求数列中各项的和。
3.设a为一常数，那么求数列中a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和。
要求学生将这些题型中最简单的一道题型解出来，然后再“依葫芦画瓢”，最终都取得了较好的解题效果，倘若此时学生都已经将题的答案解答出来了，此时教师的重要任务就是鼓励学生总结知识，并总结在解答此题时所用到的方法，那么下次再遇到同样的问题，学生就会胸有成竹了。
三、精讲细练，从实践中掌握知识
教师在为学生复习某个知识点或者讲述某个新知识点的过程中，应该做到精讲细练，并鼓励学生多做练习，教师还可以依照知识点的难易程度等为学生寻找一些练习题，从简单到困难，还要要求学生在解题时不仅要寻求速度，还要寻求质量。因为在高考时，时间不等人，不能够像平常解决问题时那样可以思考半天，当学生将这些例题完全解答后，教师再为学生讲解习题答案时，学生也要积极、主动地响应教师，而不是教师在上面滔滔不绝，学生在下面沉默寡言。解答结束后，教师还应该让学生对所解的题进行归纳、总结。倘若学生解答错了，要帮助学生寻求错误点在哪里，下次遇到此题时就知道该怎样解答了。
总之，对于高三数学来讲，除了要复习旧知识，还要不断学习新方法，在新旧交替学习的过程中归纳、总结知识点，增强学生的学习质量和效率，提升学生的学习能力。不过在这过程中，除了以上所说的几点之外，教师还应该教会学生灵活运用各种解题方法。例如配方法、定义法、换元法、反证法等。与此同时，在用这些方法解题时还要不断培养学生的空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，数据处理能力以及应用意识和创新意识等，这样才能不断满足新课程的标准和要求。
参考文献：
1.童先峰.高三数学复习课开放性教学设计的探索与实践[J].中学数学研究，2013（9）：6-8
在这次高考中，我的数学单科考了138分，虽然个人对结果不是很满意，但是还是对得起自己高三一年来的付出，没有辜负家长与老师的期待.而今年八月，我们又将迎来新的一届高三，迎来新的太阳.因此，我想借这个机会，和大家分享一下自己在高三一年中复习的心得与体会，希望自己的绵薄之力能帮助学弟学妹们充实而顺利地度过高三，取得自己人生的辉煌.
一、善于联想
拿到题目后的第一眼，若不能很顺利地产生思路，就需要进行联想.这个联想，可以是迁移，可以是转化.举一个简单的例子：设函数f（x）= 上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若 = （ + ），且点P的横坐标为 ，若Sn=f（ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（ ），求Sn.我们可以轻易地得出当x1+x2=1时，有f（x1）+f（x2）=1，我们又看到 + =1，故f（ ）+f（ ）=1，但是前n-1项的项数到底是奇数还是偶数呢？是不是还要分奇偶来讨论呢？如果分奇偶讨论的话，当n-1是奇数时，那奇数项中的中间项又该如何表示呢？如果顺着这条路想下去，不难发现，我们将陷入死胡同当中.那么，该怎样利用这么巧妙的条件呢？如果我们仔细回忆并展开联想，就会发现在学习数列求和的时候，推导前n项和的公式所利用的方法是倒序相加法，其中a1+an=a2+an-1=…，这不恰恰与f（ ）+f（ ）=1类似吗？那么如果我们将倒序相加法迁移到这道题上来，这道题目便迎刃而解了.其实这种联想的方法不仅仅适用于数学，在其他学科的学习上，甚至于生活中，联想也是十分重要的一种思维方式.
二、善于总结
总结方法，总结规律是学习数学的良方.那数列求和的常用方法来举例：倒序相加法、裂项相加法、错位相减法、累加累乘法、待定系数法等方法，很多同学把他们搞得很混乱，不知道什么情况或题型该用什么方法.其实，通过观察与总结，我们可以大致得出下面这些较为粗略的规律：当通项的表达式是一个分母为多项式乘积的分式时，使用的一般是裂项相加法；当通项是等差与等比的乘积时，一般使用错位相减法；当通项的表达式是相邻两项之间的比例关系，那么多用累乘…通过总结方法，我们可以将不同题型的解题思路熟练的掌握并熟练的运用，做到“思路如泉涌”，一下子就能打开思路，找到正确的解题道路.
三、善于反思与回顾
很多同学肯定听说过错题本法，但是又觉得这个方法过时老套且耗费大量的时间来摘择题目，那么我便介绍一种较为“新颖”的方法：一择二藏三浏览.一择是指将自己认为有价值的题目精选出来.有些同学会将自己做错的题全部都摘择出来，但是其实不需要，因为有些题目可能是粗心或者不小心而做错的，这些题个人觉得完全没有必要选择出来，如果选择出来反而可能会浪费时间；二藏是指将其进行标注（觉得有必要的同学可以将他剪下来，贴在自己的数学本中，个人觉得这样更有利于复习）；三浏览就是经常回顾复习，浏览自己曾经摘择下来的题目，在此基础上在反思.反思的内容可以包括以下几个方面：1. 当初做这道题的思路以及正确的思路，通过这样可以看到自己解题思路的不足或是不完善的地方，以此来完善、改进；2. 标注出解题步骤中的疑难点或是难以想到的步骤，并写上难以想到的原因，这样可以加深印象；3. 方法总结.很多同学的错题本只有题目和答案，没有自己的思考和总结，这恰恰是不当的行为.因为人的记忆是有遗忘规律的（刚刚记忆完毕，100%；20分钟，58.2%；1小时后，44.2%；8-9小时后，35.8%；1天后，33.7%；2天后，27.8%；6天后，21.1% ），如果不是印象很深刻的题目，即使有了答案，回头看的时候也难免会生疏.这个时候，同学们可能又会拿着错题本去找老师，这样便浪费了时间.所以，我们可以在摘择的错题旁边，写上自己对这种解题方法的理解和认识，如果你思考得够深入，说不定还能想到其他好解法呢！而且通过自己的诠释，可以更好地理解、记忆.通过这样的复习，我们可以将自己曾经不懂的或者自己认为有价值的题目收入囊中，将解这道题的方法变为自己的“法宝”.
四、善于构造
数学是一门注重逻辑与思考的学科，它却不死板.每一次逻辑的“转弯”都充满了美感和乐趣，这需要你细心的观察和霎时间的灵感激发，特别是创造性的思维.用下面一道题目来举例：设a1，a2，a3，…，an为互不相等的正整数，求证：a1+ + +…+ ≥1+ +…+ .初看这条题目，我们觉得无从下手，左边的似乎可以利用错位相减法，但是又不知道{an}是一个什么样的数列，而且分母也不是等比数列.而且条件十分简单，那么我们该怎么办呢？在脑海中似乎也没有相关的解法能让我们挪用，但是仔细观察可以看到：左边的式子若将分母全部提取出来便变成：1+ +…+ ，和右边的1+ +…+ 十分相像，只需将左边各项开方即可，那么在我们的知识体系中，有什么是开方的呢？这样一联想，我们便自然而然地想到了基本不等式.但是，若要这样利用基本不等式，便要消掉分子上的a1，a2，…，an等数，那么该如何消掉呢？这时候，我们便想到了解基本不等式题时常用方法：乘一个数值为一的多项式来达到运用基本不等式的目的.那么我们便可以如下假设：设A=a1+ + +…+ ，B= + +…+ ，则A+B=（a1+ ）+（ + ）+…+（ + ）≥2（1+ +…+ ），因为a1，a2，…，an为互不相等的正整数，所以B≤1+ +…+ ，因此A≥1+ +…+ ，故原不等式成立.
关键词：中等生；例题教学；有效性
问题的提出
2011年有幸观摩了一堂高三有关不等式问题的复习课. 教师用PPT显示一组题，让学生分小组进行讨论，然后小组派代表来阐明解题思路，教师只略微点拨，最后进行练习. 整堂课学生情绪高涨，思维活跃，练习准确率也很高.
引例 已知函数f（x）=8x2+16x+m（其中m∈R），g（x）=2x3+5x2+4x.
（1）对任意的x∈［-3，3］，都有f（x）≤g（x）成立，求m的取值范围；
（2）存在x∈［-3，3］，有f（x）≤g（x）成立，求m的取值范围；
（3）对任意的x1，x2∈［-3，3］，都有f（x1）≤g（x2）成立，求m的取值范围；
（4）对任意的x1∈［-3，3］，存在x2∈［-3，3］，使得g（x2）=f（x1）成立，求m的取值范围.
笔者觉得这个例题很好，将不等式中似是而非的问题串起来了. 回校后，笔者也用了这些题和这样的教学模式在自己的高三（3）班上进行教学，但教学效果不尽如人意.但在高三（4）班进行教学时，做了一些调整，收效很好，80%以上学生明白每小题之间的本质区别与联系.
调整后的教学过程如下：
例题中每个小题是通过PPT一个个地展现的，若5个小题全部显示，会分散学生的课堂注意力. 因为题（1）是学生接触较多的题型，教师让学生自己解答，然后将题（1）的详解展示在PPT上.
解：（1）任意的x∈［-3，3］，f（x）≤g（x）恒成立，即m≤2x3－3x2－12x在x∈［-3，3］上恒成立. 记h（x）=2x3－3x2－12x，由题知m≤hmin（x），x∈［-3，3］. 因为h′（x）=6x2－6x－12，令h′（x）≥0，得x≥2或x≤－1，所以y=h（x）在［-3，-1］上递增，在［-1，2］上递减，在［2，3］上递增.
又h（－3）=－45，h（2）=－20，
所以hmin（x）=－45，从而m≤－45.
学生进行校对，然后教师和学生一起总结：题（1）恒成立问题化归为求函数的最值问题.
展现题（2），留给学生思考时间，学生必会将题（1）与题（2）进行对比思考. 学生在原有知识基础上能判断出题（2）是存在性问题，即是不等式有解问题，学生能做到将题（2）化归为m≤h（x）max，x∈［-3，3］. 在题（1）基础上，易知h（x）max=7，得m≤7.
展现题（3），留给学生思考时间. 教师引导学生将题（1）与题（3）进行对比思考，学生在教师有目的的引导下，感受到题（1）中不等式f（x）≤g（x）两边的x是同时取相同的自变量的值，而题（3）中不等式f（x1）≤f（x2）两边的x1，x2的变化是互不影响的. 学生随即将题（3）化归为求使f（x1）max≤g（x2）min，x1，x2∈［-3，3］成立的m的取值范围问题.
解：当x∈［-3，3］时，f（x）=8（x+1）2+m－8，则fmax（x）=120+m.
又g′（x）=6x2+10x+4，令g′（x）≥0，解得x≥－或x≤－1；
于是g（x）在［-3，-1］递增，在－1，－递减，在－，3递增；
又g（－3）=－21，g－=，
故gmin（x）=－21. 由题知，只需120+m≤－21，得m≤－141.
?摇?摇展现题（4），留给学生思考时间，在题（3）的基础上，学生明白等式g（x2）=f（x1）两边的x1，x2的变化是互不影响.笔者观察学情后，让数学基础好的学生来说明解决此题的关键在于如何理解任意的x1∈［-3，3］，存在x2∈［-3，3］这两个条件在题中的作用，只要f（x）的值域包含于g（x）的值域即可. 教师将学生的表述润色为，此问题可化归为f（x）的值域是g（x）的值域的子集.在题（3）的基础上可得f（x）∈［m－8，120+m］， g（x）∈［－21， 111］，于是只需m－8≥－21，120+m≤111，解得－13≤m≤－9.
教师运用相同的例子对两个同等水平的班级采取了不同的教学方式，得到了不同的教学效果，为什么会这样？究其原因，问题的关键在于例题的后一种教学方式更适合本校学生的学情. 心理学家维果茨基关于“最近发展区”的理论认为，学生有两种发展水平：一种是现有发展水平，即已经达到的发展水平；另一种是潜在发展水平，即可能达到的发展水平，主要包含在教师指导下，通过自己的努力才能完成的智力任务. 原单位生源好，教师在平时的教学中也常强调这种解题方式，学生对问题的分析、对比和转化能力强. 经过学生相互之间的讨论，绝大多数学生对问题的认识能够更上一层楼. 而高三（3）班学生数学水平中等，这些问题本来就不是很清楚，堆在一起就更晕了，题组所需要的数学思维和能力已经超过了（3）班学生的“现有发展水平”，不能把学生的潜在发展水平进行开发，因此笔者的点拨只对部分学生起了作用，导致小组讨论失败了. 而在高三（4）班的例题教学很好地运用了“最近发展区”理论，笔者从学生熟悉的知识出发，引导学生层层转化.通过题与题之间的对比，让学生认清了题与题之间的区别与联系，使学生更好地将其内化成自己的知识. 笔者成功地将学生的现有发展水平不断向前推进，激发了学生的潜在发展水平.
高三的数学复习往往是围绕着例题教学展开的，例题教学在于精，不在于多. 美国著名的教学设计研究专家马杰（R.Mager）指出，教学设计依次由三个基本问题组成：首先是“去哪里”，即教学目标的制订；接着是“如何去那里”，包括学习者起始状态的分析、教学内容的分析与组织、教学方法与媒介的选择；最后是“如何判断已经到达了那里”，即教学评价. 也就是说，教学设计首先要解决的是“去哪里”即“教什么”的问题，也就是教学目标的定位；其次是“怎么教”，即方法和策略的问题. 因此，例题教学是否科学，是否合情合理，直接关系着高考目标实现的高低.
以中等水平为本的例题选编策略
1. 研究教材，严格以纲为纲，不超纲
教学有效的一个有效检验标准是考试分数的高低. 近几年来高考试题稳中求新，稳中求变，个别试题的灵活度有所加大，但从未超纲. 万变不离其宗，其所考查的内容和范围都以《考纲》为凭，其考查的要求和说明都是以《考试说明》为依据的. 《考试说明》是由国家教委考试中心颁发的高考法定性文件，规定了考试性质、内容、形式等，特别是明确指出了考试内容和考试要求，也就是说要考的知识点及各知识点要考到什么程度均有明确规定. 现在不少学校的数学教师在高二期末会选择一本高三复习用书，到高三复习阶段就以这本辅导书为数学复习的主要教材，表面上复习得很到位了，却不知犯了以偏概全的毛病. 原因主要有两个：①每本教辅书的编写者往往是以他自己的观点来编写参考书的，存在片面性. 有的教辅书更甚至于翻印了前几年参考书或其他出版社的参考书的部分内容，也不管是否超出本省的《考纲》和《考试说明》的范围. ②为了对每一个孩子公平，每年各省出高考的专家们都是以高中课本、《考纲》和《考试说明》为参考书进行高考试题的编写. 因此教师应以课本为本，以《考纲》和《考试说明》为依据，在备课前应该认真研读《考试说明》和《考纲》对数学每一章节的要求和整体要求，明确“考什么”“考多难”“怎么考”；也要学会借鉴当年各地各校编写的教辅资料，集众家之力量， 结合自己学生的学习情况，缺什么就补什么，缺多少就补多少，进而确定“选编什么例题”，使其对中等生的高考更加有效.
2. 研究高考
仔细推敲近几年，特别是近三年的高考试题的命题特点，熟悉高考试题的题型和要求，明确高考试题形式、题型分布、知识点的覆盖规律、每年高考试题的创新亮点、思想方法考查的切入点、能力考查的力度等，对了解高考命题方向、把握高三复习方向有很好的指导作用. 例如2009年之前，全国有关函数高考压轴题常考求函数的单调区间，或用函数的单调性解参等. 而2009年浙江高考命题组突破常规，考查了函数在区间上的不单调问题. 有些学校这一题的得分情况很好，一方面反映了该校学生灵活的解题能力，另一方面也反映了该校的教师很好地在研究各地的有关函数高考题的情况，并在2009年高考复习时已经选编过这类题型. 又如2010年浙江数学高考理21题与2006年湖北数学高考理21题是惊人的相似，浙江卷命题组教师在湖北卷基础上，结合本省的《考试说明》推陈出新. 因此，教师应通过研究高考，帮助中等水平的学生能攻克80%左右的经典题和重点题，帮助他们反复对比，并将其内化成自己的知识.
3. 研究学生
例题教学的起点是学生的学情现状. 笔者执教学校学生的总体水平在杭州属中等，近几年该校的数学理科高考平均分约在108左右. 每年浙江省高考卷常考常新，背景新颖、设问创新，但绝大多数试题，至少80%，新中见旧，属于旧题翻新，形变质不变；而真正意义上的创新试题不足20％. 而该学校的主要目标是使学生能很好地答完高考试卷的80%，剩下的部分尽可能多拿分.中等学生的思维特点主要有：（1）对公式的理解片面，顾此失彼. （2）运算过程中，观察对象不仔细. （3）思考问题时，忽视问题的特殊性. （4）面对多种情况，忽视分类讨论. （5）解决问题时，用特殊代替一般. （6）面对隐蔽问题，不会挖掘隐含条件. （7）缺乏逆向思维，考虑不周全. （8）思维不严谨，解题粗心马虎. （9）概括能力差，缺少反思和归纳. （10）对数学问题的数学本质认识不足. 通过几届高三教学，笔者一直在思考一个问题：如何对中等生进行有效的例题教学，使其更灵活地应用于高考？
以中等生为本的课堂教学策略
任何一名学生都是喜欢思考问题的.中等生已经掌握了较多的解题方法，其不能灵活地应用或掌握的知识是支离破碎的，当教师点明题意或引导思考时，中等生能从学过的知识中找出解题的方法. 教师对例题教学想说明什么问题，学生会在例题求解中出现怎样的状况，教师应该用怎样的问题引起他们的思维，教师要有一个预见性的诊断. 教师应针对学生的理解困难，以知识的“再发现”为线索，预设置一些好的“脚手架”，引导学生独立思考和探索，建构知识的发生、发展过程. 让学生在这个情景中去体验、思考数学问题，去感受挑战困难、战胜困难的愉悦. 如果教师只是自己理解了知识，却不知道以什么方式将这种理解传达给学生，那么知识就只是不可言传的“个人特技”. 因此要开展有针对性的课堂教学模式，力求逐个突破.
1. 淡化形式，寻求本质，突破难点
数学问题千变万化，例题教学归根到底是为了提高学生分析问题和解决问题的能力，是为了培养学生能较为迅速地寻求和发现走哪条路达到目标可能是最近的意识和能力. 寻到问题的本质，复杂问题总是由简单问题组成的. 在例题教学时，要注意引导学生想想它的简单情形，可以考虑或转化成熟悉的等价命题，或主动元与被动元互换等，从而把较复杂的问题转化为一个简单的问题. 这样就能以解决简单的问题作为跳板，从中寻找方法或受到启发，再“进”到复杂问题.正如数学家华罗庚所说：善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍. 在这一“退”一“进”之间，挖掘问题的本质.
例1 （2008年浙江理10）如图1，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）
A． 圆 B． 椭圆?摇
C． 一条直线?摇?摇 D． 两条平行直线
图1
例2 （2010年浙江理22题）已知a是给定的实常数，设函数f（x）=（x－a）2（x+b）ex，b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点．（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）略.
例3 （2009年浙江文21）已知函数f（x）=x3+（1－a）x2－a（a+2）x+b（a，b∈R）.
（Ⅰ）略；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（－1，1）上不单调，求a的取值范围.
针对中等生的思维特点：对数学问题的数学本质认识不足；缺乏逆向思维，考虑不周全等，设计了以上例题. 通过例1，教师传授一种解题思路：通过主动元与被动元互换，将主动元点P在被动元平面α上形成的轨迹转换成被动元平面α截以AB为旋转轴，主动元点P到直线AB距离为半径的圆柱体形成的轨迹，抓住了问题的本质，简化了形式. 教师也适时指出该问题的知识来源于课本（选修2-1）P42探究与发现（为什么截口曲线是椭圆），让学生明白高考既源于课本，又略高于课本. 利用例2的教学，教师让学生体会到，面对题型熟悉而常规求解无法进行时，可以通过等价条件将问题转化，即“x=a是f（x）的一个极大值点”等价于“x=a处左边附近f（x）单调递增，右边附近单调递减”，或等价于“y=f′（x）在x=a处左边附近函数值为正，右边附近函数值为负”，或等价于“方程f′（x）=0根的分布问题”，即“方程［x2+（3－a+b）x+2b－ab－a］=0有两个实根，一个大于a，另一个小于a”. 当然，中等生对f（x）=（x－a）2（x+b）ex的求导往往是将其先展开成多项式和再求导，使得整个解题后续工作无法进行. 此时教师需要引导，并展现整个解题过程以便中等生能理解和掌握. 利用例3的教学，教师引导学生学会正难则反的思维方法.要求解原问题，可以通过反面“函数f（x）在区间（－1，1）上单调”来解决，即等价于“方程f′（x）=0至多有1个实根”. 教师适时指出这三道题在当年高考时学生的得分都很低，其实如果我们学会抓住问题的本质，难题也变可解题、容易题. 这种题型的教学可以鼓舞中等生的士气，激发学生的兴趣.
2. 例题呈现方式，突破知识零散性
高二结束，学生已经学完了考纲中规定的高中全部数学课程，学生对数学概念、定理、公式、基本数学方法已较好地掌握，但较分散. 针对学生存在的思维特点，要想在有限的时间内进行有效的复习，教师要帮助学生对已掌握的零碎的数学知识进行归类、整理、加工，使之规律化、网络化；对知识点、考点、热点进行思考、总结、处理，使学生掌握的知识更为扎实、更为系统，让学生更具有实际应用的本领，更具有分析问题和解决问题的能力. 同时将学生获得的知识转化成为能力，从而使学生做到：总复习全面化，普通的知识规律化，零碎的知识系统化. 教师在例题教学中可以常用题组教学、变式教学、知识交汇点教学、专题教学等形式，将知识进行有机的整合，逐渐完善中等学生的思维.
（1）题组教学
教师选择题组进行有效教学，能让学生真正弄懂形同质异或形异质同题的求解问题，改善中等生思维上的不足，如概括能力差，缺少反思和归纳；思考问题时，忽视问题的特殊性；对数学问题的数学本质认识不足；面对隐蔽问题，不会挖掘隐含条件等. 如引例中的几个小题，这类函数问题是常考常错，在高一、高二的教学中，很多时候都是分开教学，学生并没有真正理解这一类题目. 在高三教学中，将这几个题有效地组织在一起教学，可以提高中等生的分析概括能力. 求参问题也是中等生很头痛的问题，如下例.
例4 1. 已知方程2sin2x－cosx－a=0有实数解，求实数a的取值范围.
2. 已知函数f（x）=（a∈R），在x∈（－∞，1）时，f（x）有意义，求实数a的范围.
3. 已知函数f（x）=lg（a－ax－x2），若f（x）>0的解集为（2，3），试求实数a的取值范围.
教师利用例4题组对比教学，让学生明白：第一，无论是在闭区间上方程的有实根问题来求参数还是不等式恒成立来求参数，往往都可用分离变量法将其转化成两函数的交点问题；第二，不等式的解集问题本质上是方程的根的问题，只要通过代入根就可求解参数.通过这类问题的集中教学，可以使学生认清问题的本质. 当然，教师也要强调，题中涉及换元时要注意新元范围的变化，以改善中等生思维不严谨性.
再如在导数概念及其几何意义的复习课中，数学《大纲》要求：理解导数的几何意义. 根据高二时学生在这个知识点上常见的错误，笔者为学生选编以下例题.
例5 曲线y=4x－x3在点（－1，3）处的切线方程是________.
课堂练习：1. 直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线，则实数b=________.
2. 过原点作曲线y=ex的切线，则切线的斜率是________.
3. 已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程为________.
通过例题和课堂练习让学生理解：1. 在某点处的导数的几何意义为过该点的切线的斜率；2. “在某点处的切线”与“过某点的切线”是不同的概念，“在某点处的切线”中的点就是切点，“过某点的切线”的点并不一定是切点.
（2）变式教学
变式教学作为一种传统的、典型的数学教学方式，不仅有着广泛的经验基础，而且还具有很好的实践性. 在高三数学复习课教学中，选择变式教学，也是必需的. 教师通过变式教学，有意识地把教学过程转变为学生的思维过程，让学生多角度地理解数学定义、定理、公式，进而提高学生独立分析和解决问题的能力.
如均值不等式≥（x，y∈R+，当且仅当x=y时，“=”成立）是高中数学的一个重要知识点.但学生在使用时，很容易疏忽定理使用的条件，一正二定三相等. 为了让学生更好地巩固知识，笔者以课本（必修5）P114练习1为原题设计了以下变式教学：
例6 已知x>0，当x取何值时，y=x+有最小值？最小值是什么？
变式1：当x∈R时，函数y=x+是否有最小值？
变式2：已知x>5，求f（x）=4x+的最小值.
变式3：当x≥2时，y=x+的最小值是2吗？
通过例5的变式教学，一方面巩固了学生对均值不等式使用条件的掌握；另一方面，教师从图象向学生说明为什么要有这样三个条件，因而加深了中等生对定理的理解.
又如数列是高中数学中的一个重要知识，但也是令中等生头痛的问题，特别是通过递推数列求解数列的通项公式，进而研究数列性质.笔者以课本（必修5）P35例题为原题设计了以下变式教学：
例7 已知数列｛an｝满足a1=1，an=2an-1+1（n>1），求an.
变式1：已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=an+n（n∈N*），求an.
变式2：已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=an+2n-1（n∈N*），求an.
变式3：已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=2an+2n-1（n∈N*），求an.
变式4：已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=（n∈N*），求an.
变式5：已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=an（n∈N*），求an.
通过以上变式教学，归纳出数列中利用递推关系式求数列通项这一类题型的常见用法，如叠加、叠乘、迭代等方法，将其化归成等差、等比数列来解决，提高中等生对问题的化归能力及对不同条件下数列问题的处理方法. 中等生在处理有多少项或者是否从第一项开始就满足求解出来的通项公式这些问题上往往会考虑不全，因此教师要在解题过程中一步步讲解清楚，如何确定项数或通项公式. 如在完成变式5后，笔者将变式5中条件“an+1=an”改成“an+1=an”，再让学生进行解答.
（3）知识交汇点教学
全国各地的高考总会在知识交汇点出题，这势必要求学生能从知识交汇点处抓出主干条件，进行有效解剖. 但中等生在这方面能力都较弱，因为这不光需要学生对每一章节知识的熟练掌握，而且还需要学生有很强的综合处理问题能力. 其实知识点交汇题型中，不少题目中某个知识点只是一个点缀，这需要教师在教学中有效培养和训练学生抓“点缀”的本领. 如圆锥曲线综合题是高考命题的重点内容之一，也是考生普遍感到困难的一种题型. 圆锥曲线与向量、圆锥曲线与圆、圆锥曲线与平面几何、圆锥曲线与数列等知识的交汇，只要挖掘下去，去掉枝叶大多都转化为直线和圆锥曲线的方程的根的问题，或坐标关系问题. 当然这类题型计算量很大，针对中等生的计算能力弱的特点，课堂上应挪出更多的时间让学生来进行演算，提高学生的计算能力和体验知识交汇题的不可怕，并感受综合题的解题方向往往会在计算的过程中豁然开朗，领悟教师归纳出的结论.
例8 （2010浙江理21）已知m＞1，直线l：x－my－=0，椭圆C：+y2=1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线l过右焦点F时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，AF1F2，BF1F2的重心分别为G，H. 若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．
此题考查椭圆的几何性质与方程，直线与圆锥曲线的位置关系. 问题的突破需要借助于两个三角形中涉及的重心，需要学生用数形结合的思想把重心转化为坐标式满足x=，y=，把几何问题转化为代数坐标运算． 教师指出点在圆内除了利用点到圆心的距离小于半径外，还可利用点在圆内侧点与直径端点所成的角∠GOH为钝角，而钝角则可转化为向量・
练习：（2010年北京理19）在平面直角坐标系xOy中，点B与A（－1，1）关于原点O对称，P是动点，直线AP与直线BP斜率之积等于－.
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP与BP分别与直线x=3交于点M，N. 问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
通过以上练习，加强学生处理综合问题的能力，增强中等生的信心. 当然教师也要通过问题1中
“・=－”与“x2+3y2=4”的区别，改善中等生考虑问题的马虎性.
（4）专题教学
在高三第二轮复习时，对于一些高考中的重难点知识、数学思想方法等，教师要针对中等生的特点，应用专题教学方式，对中等生掌握的知识再次进行有效整合和提升. 如在立体几何教学中，笔者发现正方体用处非常大，为此在第二轮复习时设计了一节“构建正方体解题”专题课.
案例：“构建正方体解题”专题课
1. 正四面体与正方体
例1 在棱长为1正四面体ABCD中，E为AD的中点，试求CE与平面BCD所成的角得余弦值．
2. 正方体与球
例2 （2008浙江理14）如图2，已知球O的面上四点A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于________．?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇
图2?摇
3. 正方体与不规则图形
例3 （2007浙江理19）在图3所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CMEM；
（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．
图3
作业：1. 如图4，正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________.
2.平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BDCD将其沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A'BD平面BCD. 四面体A′－BCD顶点在同一个球面上，则该球的表面积为________.
3.如图5，ABCD为矩形，AD平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF平面ACE.
（1）求证：AE∥平面BFD；
（2）求证：AE平面BCE；
（3）求平面BDF与平面ABE的交线，并求平面BDF与平面ABE所成的二面角正弦值.
教师对“构建正方体解题”进行专题设计，从另一视角向中等生传授了求解这类问题的方法. 浙江卷的试题分布情况，立体几何占19分左右，其中一道14分的题布置在第二或第三解答题处，前三道解答题的得分情况直接影响中等生数学分数的高低及考试心态. 中等生在立体几何解答题中往往会出现以下三种情况：1. 表述不完整；2. 立体几何的定理、公理等的条件结论搞混或乱用；3. 方法没有掌握或掌握单一，不能灵活应用. 所以在立体几何题的证明时，教师应将例题详解展示在黑板上，提炼思路、常见解题方法及叙述定理，起一个良好的示范性作用.
当然，为了使例题教学更有效，还要选配“合身”的练习. 做到：每天反馈性练习保证及时、每周巩固性练习保证系统、每阶段综合性练习保证滚动和模拟性练习保证全面，对学生易错易混的地方，教师要有意识地多次重复，反复强调.
3. 突出学生主体地位，处理好“扶”、“放”、“收”三者关系
关键词： 情境式设问；启发式设问；探究式设问；高效课堂；反思
《数学课程标准》中指出：“教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作对话的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”为了避免出现数学教学中“只学其形不见其神”的“伪数学问题”，我在2012年3月23日长郡中学面对全省开放的骨干教师高效课堂探究课上，以数列与函数为题，做了一个尝试，考虑到学生函数和数列知识的一轮复习已经结束，因此设计这节课的着力点放在函数与数列的交汇及函数思想的运用上，充分利用学生已形成的知识体系，通过运用知识解决综合问题产生的矛盾冲突中激发学生的探究热情，最终形成用思想指导方法的思维习惯，从而实现由有效课堂到高效课堂的转变，现将本节课的教学设计与反思呈现如下，以期与同仁交流。
一、教学实录（片段）
课堂引入：请简单概述数列与函数的关系。
生：数列是一种特殊函数，是刻画离散过程的重要数学模型。
师：数列的定义域是什么？
生：正整数集或它的子集。
师：它的图象有什么特点？
生：是一系列孤立的点。
师：我们可以把研究函数的方法迁移到数列中来吗？
生：可以，但同时要注意数列本身离散的特征。
案例1. 已知数列{an}通项公式an=-n2+kn+2，若对n∈N*，an+1
A.k
C.k>-2 D.k>-3
生1： f（n）=-n2+kn+2（n∈N*）？圯f'（n）=-2n+k≤0？圯k≤2
发现没有答案，感到困惑（同学们在思考，老师不急于表态）
（约一分钟有同学举手）
2
师：罗佳伟同学利用数列单调性定义实施了参变量分离，使问题得到轻松解决，同时他还对刘天蓉同学的错误给出了剖析，很好。（鼓励其他同学积极思考，并未马上对生1的方法做出结论。马上又有同学举手）
师：任晓昀同学透过函数看问题，并借助函数图象，以形助数，很好。
至此，我们可以判断，生1的做法仅仅是找到了问题的充分不必要条件，所以得到的范围是B的子集。
师：利用导数法研究数列的最值问题，从运动变化中认识数列，再一次凸显了数列的函数背景。
师：我们先来复习等差数列的通项公式和求和公式（因为an与sn的关系是数列的重要知识内容，应引起高度重视）
师：公差不为0的等差数列通项是n的一次函数，前n项和数是n的二次函数，且不含常数项，已知数列的前n项和Sn能否求出数列通项an？
师：用性质解题是技巧，用an与Sn的关系求解是通法。
变式二：等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，若存在自然数P≥10，使得Sp=ap，则当n>p时，Sn与an的大小关系是（ ）
A. an≥Sn B. an>Sn
C. an≤Sn D. an
有了前面的热身，此题给学生足够时间思考讨论，完全放开，学生思维开始活跃。经过共同讨论，形成四种方案：
画出Sn的草图，是开口朝下，零点为x1=0，x2=p-1的抛物线。
当n>P>P-1时，Sn递减， Sn-1
师：比较四种解法，我们不仅要会算，还要会简算。生8用到数形结合的思想，使抽象的问题直观化，图形要求准确，只凭主观想象，则会造成错解。
案例3. 已知函数f（x）=2x-1（x≤0）f（x-1）+1（x>0）把函数g（x）=f（x）-x的零点按从小到大排成一个数列{an}，则它的通项公式为
（ ）
解析：x≤0时，g（x）=f（x）-x的零点只有一个x=0a1=0。
x>0时，函数值呈现重复出现的形式，每次推进一个单位，所以一段一段讨论0
1=2x-1。
此时g（x）=f（x）-x的零点即2x-1=x的解，观察得x=1a2=1，排除B、D。1
f（x-2）+2=2x-2+1，此时g（x）=f（x）-x的零点即2x-2+1=x的解，观察得x=2a3=2，排除A。
师：此题由特殊到一般进行归纳猜想，步步为营。归纳猜想是解决数列问题的一种重要的方法，应当引起重视。
生9：可否用放缩法？
对一切正整数n都能成立，所以a的最小正整数的值为2013。
师：大家对唐同学的解法有何看法，不妨直言不讳。
……
生10：我觉得此题用放缩法不对，这是一个恒成立问题，一边是参数，一边是变量，参数大于变量，应大于变量的最大值。
所以a的最小正整数的值为2012。
师：构造函数解决数学问题是函数思想的核心，其实质是把所求问题转化为以函数为背景的问题，再利用函数的有关知识来解决。陈同学就是通过巧妙构造函数，使数列问题函数化。
师：（步步为营）那么唐同学的做法究竟错在哪呢？（对出现的问题有反思有总结才会提高）
生11：我觉得放缩法难以把握放缩的度，是放大了还是放小了？
师：提得非常好，正因为如此，所以放缩法的难度相对大些，更主要的是我们在这里要找的是一个界，而不是一个范围，所以此题用放缩法不合适。
课堂小结：本节课我们进一步探讨了数列与函数的关系，解决数列问题常常有两条途径：一是利用数列内部的知识来解决；二是透过函数看问题，利用函数知识解决数列问题。
二、教学反思
1. 有效问题串的结构与设计
设计问题串是一种教学策略，意图是搭建一个思维台阶，把学生推到解决问题的前沿，问题串的设计要针对学生实际，问题串设计的连续性（对某一数学概念、方法、思想而搭建的呈现内在联系与逻辑关系的系列问题）和层次性（以适应不同认知水平的学生的学习要求）不仅能营造轻松的教学氛围，还有利于激发学生的求知欲，培养学生的发散性思维能力和提炼归纳能力。
2. 用思想方法引领学生解题
新的教育理念要求变教师会“教”为学生会“学”，教师在教学上的作用是引领，引导学生在自然的探究中去领悟隐含于题目当中的数学思想方法，并自觉运用到今后的解题中去，最终达到用思想指导方法的思维习惯。
3. 不足之处
关键词：教学课堂；问题解决教学；策略
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）06-068-2
教师角色能否转变到位是决定课堂能否真正发生根本性变化的关键！问题探究和解决能否激发学生求知欲是决定教学教学质量能否大幅度的提升根本！
数学课堂设置了多少个问题，有多少学生展示，解决了多少问题，知识得到怎样的升华，能力得到怎样的发展，均涉及“问题解决教学”，由此，本人经过多年高三毕业班教学总结出数学课堂“问题解决教学”的五大核心策略。
一、主体发展策略
在课堂教学中，强调发挥学生学习的主动性，充分体现学生的主体作用。在课堂教学设计的过程中应充分发挥教师的主体作用，组织并落实多种形式的课堂实践活动，使学生在活动的参与过程中，提高认识能力和增强情感体验、情感控制能力，发展个性特长。
例如，讲评高三数学试卷，通常有两种做法：第一，老师精讲，学生认真听；第二，学生板演，学生展示。前一种方法老师讲得累，学生听得累，讲的问题有的学生没错，还有错的教师没讲；后一种方法不错的学生得以展示，学生有时间反思，较难的压轴题需要学生整理、感悟，可将试卷上所有的问题解决，还可以另外加餐。
二、动机激发策略
在课堂教学中，教师应该把学生吸引到有兴趣的、有挑战性的学习活动中，让学生体验成功所产生的愉悦和成就感，学会正确地对待挫折，从正、反两方面来有效地激发学生的学习动机。
数学课经常出现假热闹、简单的问题频频出现的现象浪费宝贵的时间，使得学生晕头转向，无法有效地激发学生的学习动机。简练、择机、挑战性的提问是高效课堂的追求。
例如，函数f（x）=x2+2x+ax，对于任意的x∈[1，+∞）时，f（x）>0，则a∈
析：只有问：本题的中心在函数？还是不等式？这样学生不仅可两方面思考，还可有所侧重思考。（函数、不等式是高中数学的两大热点章节。）
若转化不等式即为：x2+2x+a>0在x∈[1，+∞）上恒成立，转化函数即为f（x）=x2+2x+ax的最小值>0。
三、层次设计策略
在课堂教学中，教师应该从“自主、合作、体验、发展”等层次为学生提供概念、定理的实际背景，设计定理、公式的发现过程，让学生体验分析问题、解决问题的思考过程，领悟寻找真理、发现规律的方法和思想。
例如，不论m为何值，抛物线y=x2+（m-1）x+m+1（m为参数）恒过一定点，并求出定点坐标。
析：假设原抛物线系过定点，则对于抛物线系中的任意两条抛物线的交点即为定点，于是令m=1、-1。得y=x2+2
y=x2-2x，解得x=-1，y=3。所以抛物线系y=x2+（m-1）x+m+1（m为参数）恒过定点（-1，3）。
这还不够正确，如果m取-1、1以外的值呢！能否也保证其他的抛物线也过此点呢？所以，教师应该补充说明一下，将点（-1，3）坐标代入y=x2+（m-1）x+m+1，得0m=0恒成立，故问题得证。
可以将抛物线的方程按m进行降幂排列，得（x+1）m+x2-x-y-1=0，因为上式对m∈R恒成立，即关于m的一次方程的解集为R，所以（1）x+1=0
x2-x-y-1=0解得x=-1，y=3。所以抛物线系y=x2+（m-1）x+m+1（m为参数）恒过定点（-1，3）。
变：求证：不论m为何值，抛物线y=mx2+2x+m+1（m为参数）不过定点。
上述证法需要考虑方程组无解，则曲线系恒不过定点。那么若该方程组有无数解，则曲线系可化为形如f（x，y）g（m）=0形式，结论会怎么样呢？
一般地，对于所给曲线系F（x，y，m）=0（m为参数），若能化为m的降幂排列形式，即f0（x，y）mn+f1（x，y）mn-1+…+fn（x，y）=0，则曲线系F（x，y，m）=0（m为参数），过定点问题转化为方程组f0（x，y）=0，f1（x，y）=0，…，fn（x，y）=0，是否有解的问题。
四、变式训练策略
问题应从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变，真正把学生能力的培养落到实处。学生也不需要大量、重复地做同一样类型的题目，切实从题海中走出来，实现真正的减负与增效。
例如，已知a1=3，且an+1=an+2（n∈N*），求数列{an}的通项公式。
变式1：已知a1=3，且an+1=an+2n（n∈N*），求数列{an}的通项公式。变式2：已知a1=3，且an+1=3an+2（n∈N*），求数列{an}的通项公式。变式3：已知a1=3，且an+1=3an+2n+1（n∈N*），求数列{an}的通项公式。变式4：已知a1=3，且an+1=3an+（12）n（n∈N*），求数列{an}的通项公式。
析：原题是直接运用基本数列等差数列列的公式即可；变1，利用累加法求通项，方法是推导等差数列通项的方法；变2，式子两边同除3n+1，转化为变1的解法；变3、变4，式子两边同除3n+1，累加后还需再求和，可总结为已知递推关系an+1=kan+f（n），再求通项。
五、探究创新策略
在课堂教学中，教师应该为学生提供动手实践的机会和探究的时间，指导学生大胆质疑，鼓励学生敢于发表不同意见和独特见解。
例如，我曾给学生介绍过“洗衣问题”：
给你一桶水，洗一件衣服，如果我们直接将衣服放入水中就洗；或是将水分成相同的两份，先在其中一份中洗涤，然后在另一份中清一下，哪种洗法效果好？答案不言而喻，但如何从数学角度去解释这个问题呢？
我们借助于溶液的浓度的概念，把衣服上残留的脏物看成溶质，设那桶水的体积为x，衣服的体积为y，而衣服上脏物的体积为z，当然z应非常小与x、y比可忽略不计。
第一种洗法中，衣服上残留的脏物为yzx+y；
按第二种洗法：第一次洗后衣服上残留的脏物为yzx2+y；第二次洗后衣服上残留的脏物为zy2（x2+y）2；显然有yzx+y>zy2（x2+y）2。
这就证明了第二种洗法效果好一些。
事实上，这个问题可以更引申一步，如果把洗衣过程分为k步（k给定），则怎样分才能使洗涤效果最佳？
一、《2015年普通高等学校招生全国统一考试大纲（文科/理科）》及《2015年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（文科/理科）》（以下总体简称考纲）解读
依据考纲，2015年高考数学学科的命题指导思想是坚持“有助于高校科学公正地选拔人才，有助于推进普通高中课程改革，实施素质教育”的原则，在命题中体现普通高中课程标准的基本理念，以能力立意，将知识、能力和素质融为一体，以全面检测考生的数学素养，发挥数学作为主要基础学科的作用，考查考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平以及进入高等学校继续学习的潜能。
今年高考，我区将第一次使用高考课标卷，依据《考纲》，今年的课标卷与往年我区使用的大纲卷相比，有诸多不同：①考点改变较大，例如概率统计部分及导数部分（文科）明显增多。②考试内容排序及要求改变。③更重视过程与方法，更注重理论与实践相结合。④题型及难度改变：文理科相同试题减少，如立体几何、概率统计解答题的选材文理科均有不同要求;三角函数部分难度降低;增加了选考题;数列、立体几何和解析几何难度下降;等等。
鉴于以上情况，总体建议：已降低要求的内容，教师在复习时不要再拔高;已删除的内容，教师不要再增补。下面，我们对新旧教材的内容做个大盘点，以便于教师准确把握《考纲》对各部分内容和要求的具体变化。
二、明确试卷结构，分析近年主干知识命题特点及备考策略
（一）依据考纲，解析2015年的考试内容及试卷结构
2015年的数学高考仍采用闭卷、笔试形式，有第Ⅰ、第Ⅱ卷，满分150分，考试时间为120分钟。第Ⅰ卷为必考内容，含12道选择题。第Ⅱ卷含必考和选考两部分，皆为非选择题：必考部分有4道填空题、5道解答题;选考部分从选修系列4中的“几何证明选讲”“坐标系与参数方程”“不等式选讲”3个内容中各命制1道解答题，考生从3题中任选1题作答，多做则按所做的第一题给分。
综观全卷，共有选择题、填空题和解答题3种题型，其中：选择题是四选一型单项选择题;填空题只需填写结果，不必写出计算或推证过程。三种题型分值分布：选择题40%左右，填空题10%左右，解答题50%左右。以上试题，按其难度分为容易题、中等难度题和难题，总体难度适中。
（二）高考数学卷的命题规律及2015年备考策略
根据全国课标卷近几年主干知识的考点分布特点，我们可大体分析出数学卷的命题规律，并对2015年的考点作出简单预测。
（1）函数、导数与不等式
通常对这部分内容的考查包括2道客观题、1道主观题，分值为22分。题目将不仅对函数知识自身进行显性考查，而且会将函数知识与其它主干知识（数列、不等式、解析几何、导数等）结合起来进行隐性考查。命题的热点包括函数的表示、函数值域与最值、函数的图象与性质，利用导数研究函数的切线、单调性、极值最值问题以及导数在实际问题中的应用，线性规划、不等式恒成立求参数的取值范围、函数不等式、数列不等式的证明等。
预测2015年的函数与导数试题仍将是两小一大，客观题考查函数的图象、性质以及导数的几何意义、零点等。建议特别关注姊妹不等式ex≥x+1与ln（x+1）≤x及其变式应用。
（2）三角函数和解三角形
以三角函数图象和性质为基础，掌握三角函数的性质及图象的平移、伸缩变换;以诱导公式、同角关系及和、差、倍角公式等为基础，掌握化简、求值及三角恒等变换的方法技巧;以正弦定理、余弦定理、面积公式为基础，掌握解三角形时边、角的求值及其综合应用。
备考建议：①高考对三角恒等变换能力要求较高。解答三角函数考题的关键是进行必要的三角恒等变形，其解题通法如下：从角度、函数、运算入手发现已知和未知的差异，通过套用、变用、活用公式来寻找联系并合理转化。解题技巧包括项的分拆与角的配凑、化弦（切）法、降次与升次、辅助角公式等。②《考纲》中不作考查要求的内容不要随意添加，如万能公式、和差化积、积化和差公式等。
预测三角函数每年必考，一般为1大1小或3小，分值在17分左右，难度在容易和中等难度之间。考题考查角度是从基础到能力。另外，三角函数的定义域、值域、解析式、图象与性质、三角函数的概念及同角三角函数关系式，一般难度不大，主要是考查基础知识和基本技能，这种趋势在今年高考中预计仍将继续;而三角函数的图象和性质、三角恒等变换的内容在主客观题中都有可能出现。解三角形问题在教材中的地位和考试中的地位都有很大幅度提升，必须引起足够重视。
（3）数列
课标卷对数列的考查有所降低，主要是等差、等比数列。考查方式包括2道客观题或1道主观题，分值一般为10―12分。从考查的知识点看，重点是两类数列（等差与等比数列）、数列求和（裂项求和法、错位相减求和法等）和两类综合（与函数、不等式的综合），整体难度中等，个别试题属于压轴题。从命题思路看，虽然也有综合型问题和探索型问题，但仍以基础知识、基本方法为主，而且更加注重知识的基础性和应用性。
备考策略：①切实掌握等差、等比数列的概念、性质、通项公式及前n项和公式。②灵活应用通项与前n项和的关系以及数列的递推关系来解决相应问题。③注重基础，强化落实，切实提高运算求解能力。掌握常用的求和的基本方法：分组法、错位相减法、倒序相加法、裂项法、累乘法、累和法等;掌握常用的简单递推式的变换技巧。
预测会有1―2道客观题或1道主观题，以等差、等比或简单的递推关系为考查方向，也可和函数知识结合起来考查数列不等式。
（4）概率统计
通常这部分的考查为1道客观题、1道主观题，分值一般为17分。
从知识点上看：算法中主要包括两类，一是求程序框图的执行结果，二是确定条件结构中的条件与循环结构中的控制变量;统计中主要考查随机抽样中的系统抽样与分层抽样，样本的平均数、频率、中位数、众数、方差，频率分布直方图、茎叶图，变量间的相关关系中的线性回归分析及独立性检验的基本思想及其初步应用;概率中主要考查两个计数原理、二项式定理、古典概型、几何概型、条件概率、离散型随机变量的分布及其均值方差等。
从命题思路上看：在算法方面，条件结构与分段函数相联系，循环结构与数列、统计等知识相联系;在统计方面，分层抽样中的计算，相关系数中回归方程的应用，频率分布直方图、独立性检验与概率相结合;在概率方面，注重知识的基础性和应用性。这几年试题难度中等，试题背景新颖，选材变化较大，主要考查考生运用数学知识解决实际问题的能力。
备考策略：掌握用样本估计总体的方法，会阅读或制作图表;关注统计与随机变量相结合的题目，对于独立性检验也要引起重视;重视几何概型题。
预测选择、填空题有2题10分，内容包括排列组合与概率、二项式定理、抽样、回归方程、相关关系、正态分布等。解答题以应用题形式出现，共12分，内容包括期望与方差、直方图、茎叶图、数字特征、线性回归等。命题趋势：二项式定理必考，解答题部分出现形式是与统计、直方图相结合，概率与分布列、期望、方差、回归方程为独立性检验。
（5）立体几何
考查的重点和热点是简单几何体的三视图、表面积与体积的计算，空间的位置关系证明、空间角的计算以及空间向量在立体几何中的应用。
考查一般为2道客观题、1道主观题，属中等难度题。客观题中，三视图为必考内容，球与几何体关系中涉及面积、体积的计算也是常考的题目;主观题常以锥体、三棱柱为载体，考查垂直、二面角、线面角，难度适中。文科涉及体积、距离的运算;理科突出向量方法解决，对构建空间直角坐标系及利用空间向量解题提出了一定的要求。在“综合法”与“向量法”的平衡中，理科有“向量法”渐强的趋势，文科不学向量法。
备考策略与预测：把基础知识、基本技能、基本方法的试题练习到位，解题步骤以高考评分标准为依据加以规范。预测会有2道客观题、1道主观题，共22分。三视图的考查难度加大，可能以组合体形式出现。主观题仍注重空间位置关系的证明、空间角与距离的计算以及空间向量在立体几何中的应用。
（6）解析几何
一般考查1―2道客观题、1道主观题，分值在17―22分之间。圆、椭圆、双曲线、抛物线四种曲线至少考两种。客观题突出考查圆锥曲线的概念、方程与性质的应用，解答题突出考查直线与圆、椭圆、抛物线的位置关系的综合应用。客观题难度中等，主观题文科侧重椭圆与圆的综合题;理科侧重椭圆、抛物线与圆、双曲线问题中的最值及性质中的定点、定值等相关结论探究。预计2015年高考主观题仍然以椭圆为主进行考查。
从命题思路看，仍以基础知识和基本方法为主，包括直线、圆锥曲线的有关概念、方程及性质，重点是灵活运用圆锥曲线的知识和解析法探究定值、定点、最值以及存在性等问题的思想与方法。
备考策略：掌握以下重点问题的解决方法――中点弦问题，常用设而不求法（点差法）;焦点三角形问题，常用圆锥曲线的定义及正、余弦定理解题;直线与圆锥曲线的位置关系问题，基本方法是解方程组，在转化为一元二次方程后再利用判别式、韦达定理、弦长公式、不等式等知识解决问题;圆锥曲线中的有关范围（最值）问题，常用代数法和几何法解决，如有明显的几何关系可用图形的性质来解决，否则用函数求最值或范围，在已知曲线类型求曲线方程或轨迹问题时可用待定系数法，未知曲线类型时可用求曲线方程的常见方法，如直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等。
三、总体备考攻略
（一）明确各轮复习的侧重点
（1）第一轮复习策略是立足“三基”（基本技能、基本知识、基本思想和方法），夯实基础，弄清每一个知识点的来龙去脉，完善知识体系。例如在等差数列an中，若m+n=p+q，则必有am+an=ap+aq;数列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也是等差数列。像这样的基本知识和基本技能都很重要，但教师不能将这些知识和技能直接告诉学生，而应安排一定的时间（课内或课外）给学生自己证明，让学生弄清它的来龙去脉，同时将这些内容在复习时纳入等差数列的知识体系。
（2）第二轮复习策略是培养提高能力，避免题海战术。专题复习要突出对专题的重要思想方法的培养：通过解一定量的综合题，使学生由对单一知识的认识上升到对知识交汇处的重点知识的认识;可以选取课标卷真题或者模拟卷典型例题进行教学。①（2014年高考全国课标Ⅱ卷理科数学17题）已知数列an满足a1=1，an+1=3an+1（I）证明an
+是等比数列，并求an的通项公式;（II）证明++……+<本题考查等比数列定义、求数列通项公式以及不等式的证明等综合问题，难度适中，属于常规问题。解题思路：第一问直接配凑一个等比数列，利用定义法证明;第二问可从第一问计算出的结果中看出数列的通项公式为等比数列与常数之和，这样的通项不能取倒数求和，这种情况下只能采用放缩成等比数列后再求和、放缩后裂项相消求和或通过放缩直接证明不等式。本题的解法较多，体现在数列求和与不等式证明综合，考查的是考生的分析问题和解决问题能力。②三角函数专题中的经典题求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx的最值。其解题思路是设t=sinx+cosx，则t∈[-，]，且有sinxcosx=，化为求二次函数y=t2+t-1（t∈[-，]）的最值问题。本题考查三角函数的图像和性质、二次函数在闭区间上求最值的基本知识和基本技能，突出对运算求解能力以及换元和转化思想的考查，是在三角函数和二次函数的知识交汇点设计试题。
（3）第三轮复习策略是加强综合训练与考前模拟，全真模拟训练，重点是查漏补缺，加强教学诊断。可重点选取使用课标卷省份的名校模拟试题，最好是使用自编的试题。年级统测之前务必安排两名教师先把试卷认真做一遍，确保试题的科学性，考完即公布答案;教师要及时批改，争取第二天便予讲评。试卷讲评课的重点是抓住典型问题集中剖析。
（4）第四轮复习策略是回归课本基础，个别心理疏导。考前10天左右，让学生认真看看以前做过的试卷，纠正做错的题目，或者阅读教材。教师每天可自编课本上一些简单题目，以一节课能完成的题量为标准;另外安排每三天利用一个下午完成一套完整试卷，练完马上公布答案，不用讲评。
（二）明确主观题评分标准，指导学生规范答题
在第二、第三轮复习中，教师要引导学生规范解题的过程与方法，让学生知道试题评分的标准，提高学生的抢分意识。以2013年高考数学（理）全国大纲卷18题第Ⅰ问为例：设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，（a+b+c）（a-b+c）=ac（I）求B;（II）若sinAsinC=，求C该题的解题过程及评分标准如下：
解：（I）解法1 （a+b+c）（a-b+c）=ac，a2+c2-b2=-ac2（2分）
由余弦定理得cosB=2（4分）
=-1（5分），
B=120°1（6分）
解法2 由正弦定理得（sinA+sinB+sinC）（sinA-sinB+sinC）=sinAsinC
sin2A-sin2B+sin2C+sinAsinC=02（2分）
sinC=sin（A+B）≠0且sin2A-sin2B=（sinA+sinB）（sinA-sinB）=sin（A+B）sin（A-B）
sin（A-B）+sin（A+B）+sinA=0，
2sinAcosB+sinA=0.
0<A<p sinA≠02（4分），
cosB=-1（5分），
B=120°1（6分）
根据我区近年来的高考阅卷方法，计算题的给分惯例如下：①准确写出必要的公式，一般可得2分，如上题中写出余弦定理cosB=即可得2分。高考试题中常考的公式还有等差、等比数列的基本公式，数学期望公式，立体几何中向量法求角时的法向量夹角公式，求导公式等。②有一定的化简过程即可得1分。③计算结果正确得1分。几何题的给分，通常是做好图，得1分;写出必要的推理论证过程，得2分;计算过程及结果，得2分。鉴于存在以上给分惯例，在完全不懂如何答题的情况下，答题区域最好还是不要留空：如是立体几何考题，可以在图中作出一条连线并用文字予以说明;如是计算题，可以正确写出一条有关的公式。总之，考生要树立拿分意识，对真题的评分标准要了然于胸。
（三）关于选考题，重点突破坐标系与参数方程题型
平面几何需要添加辅助线，不等式绝对值的题目需要分类讨论，不等式证明题需要构造法，这些对学生来说都有一定的难度。相比之下，坐标系与参数方程题更容易获得解题思路，所以建议考生重点突破该题型。
坐标系与参数方程题的特点是“方法多样性，优势互补”。如极坐标方程应用的例子（绕极点旋转问题）：已知曲线C1的参数方程是x=2cos?
y=3sin?（?为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为2
，求点A，B，C，D的直角坐标。
解：A
2cos，
2sin，
B2cos
+
，2sin
+
，
C2cos
+π，2sin
+π，
D2cos
+
，2sin
+
，
则A1
，，B-
，1，
C-1，
-，D
，-1.
又如连线过极点问题的距离的例子：在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2cosα
y=2+2sinα（α为参数），曲线C2的参数方程为x=4cosα
y=4+4sinα（α为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
解：曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.
直线参数方程应用的例子：在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x
=6+t
y
=t（t为参数）;在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=10cosθ，曲线C1与C2交于A，B两点，求|AB|.
解：在ρ=10cosθ的两边同乘以ρ，得ρ2=10ρcosθ，则曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=10x;将曲线C1的参数方程代入上式，得6+
t2+t2=106+
t，整理，得t2+t-24=0.
设这个方程的两根为t1，t2，
则t1+t2=-，t1t2=-24，
|AB|=|t2-t1|==3.
其余问题都转化为普通方程，用熟练的解析几何方法解决。因此，重点是熟练掌握各种方程的相互转化。
口诀：极化直、参化普，其实都是老朋友，画出图形老办法;线上距离用直参，最值问题用参数;旋转中心是极点，ρ不变来θ加减，两点连线过极点，距离可用ρ加减。
（四）分层备考，有效指导五种类型的学困生
下面以2015年南宁市第一次模拟考学生答题情况为例说明。
（1）基础薄弱类型
这类学生因基础知识没掌握好，导致平时记忆及解题错误率较高。图1为某文科考生17题的部分答卷。显然，该考生对于二倍角余弦公式和正弦定理的推论已经忘记，这里明显是乱用公式。这类学生应强化基础训练和基本技能，多做一些课本上的习题，力争小步快跑有效学习。
（2）缺少思路类型
这类学生看到题目往往不知从哪里下手，想不出命题者的思路，审题过程与知识严重脱节，缺乏解题技巧。图2为某文科考生21题的部分答卷。方程组虽然列对了，但运算思路混乱。这类考生应多建“母”题，强化审题意识，培养发散思维能力。
（3）粗心大意类型
这类考生知识结构和解题思路比较成熟，能找到解题要领和方式，但往往因偷工减料导致丢分。图3为某理科考生21题部分答卷：因为简单的一元一次不等式解错，导致严重丢分。这类考生应强化答题规范训练，规范答题，养成良好的答题习惯。
（4）知识生疏类型
主要表现为学习时间不够或不熟悉各章知识点。图4为某文科考生21题的部分答卷：该考生对椭圆的离心率公式已经很生疏了，导致解题无法进行。这类考生应多背多练、重获自信。
（5）一做就错类型
因对容易题掉以轻心，漏题丢分;对中档题分析不清楚，似是而非;对复杂题缺乏分析能力，知识结构和解题技巧不到位。图5为某文科考生20题的部分答卷：该生因忽略了函数的定义域，且解一元二次不等式的技能不熟练，导致大面积丢分。这类考生应加强解题模块构建，多做相似题型，仔细做题，触类旁通。
总之，要有效应对我区高中课改后的第一次高考，我们的备考原则是在抓好“三基”的同时培养学生的解题能力，在落实常规的同时抓好学生的分层辅导，在强化训练的同时精选试题，在关注整体推进的同时特别关注临界生成绩的提高。我们应该以更加宽广的视野，在重点内容、方法和思想相对稳定的前提下，注意调整试题考查的方式和角度，使选材更加多样化。另外，各校应加强对年级组与备课组的统一领导，充分发扬团队合作精神，在备课组统一行动的同时适当展示班级个性。后面的100天时间，备课组要统一命制试题，每周安排晚上50分钟的时间统一训练16道小题或3道解答题，隔周安排2小时统测一套卷子，并形成制度，以更好地激发学生的斗志，形成良好的备考氛围。
[本文系广西教育科学“十二五”规划2014年度广西考试招生研究专项课题“广西高中生数学学业水平等第划分标准的研究”（立项编号：2014ZKS006）的部分研究成果。]
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学新课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.4
[2]教育部考试中心.2015年普通高校招生全国统一考试大纲（理科）[M].北京：高等教育出版社
[3]教育部考试中心.2015年普通高校招生全国统一考试大纲（文科）[M].北京：高等教育出版社
[4]教育部考试中心.2015年普通高校招生全国统一考试大纲的说明（理科）[M].北京：高等教育出版社
[5]教育部考试中心.2015年普通高校招生全国统一考试大纲的说明（文科）[M].北京：高等教育出版社
[6]李成祥，杨万舒.在新课标下高考数学复习的几点思考[J].课程教育研究，2014，（2）
爱好:解数学题。曾多次参加全国数学问题有奖征答活动并获奖。
Part 1:本期主讲
上期我们针对一类常见的数列不等式综合题,总结出了一种行之有效的解法,即“一分为N,函数证明”.可是有些题目中不等号的另一边并不是关于n的函数,而是一个常数,这类不等式能够用这种方法处理吗?如果能,“N”怎么分?更棘手的情形是,万一题目没有给出结论,而是要求我们自己探索并证明,怎么办?
例 (2009年高考数学四川卷(理)第22题) 设数列{an｝的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立,记bn=(n∈N*).
(1) 求数列{bn｝的通项公式;
(2) 记cn=b2n-b2n-1 (n∈N*),设数列{cn｝的前n项和为Tn,求证:对任意正整数n,都有Tn< 成立;
(3) 设数列{bn｝的前n项和为Rn,已知正实数λ满足:对任意正整数n,Rn≤λn恒成立,求λ的最小值.
一、 第(1)问解答
令n=1,由an=5Sn+1可得a1=-;联立an+1=5Sn+1+1,an=5Sn+1可得:an+1-an=5an+1,即an+1=- an. 故{an｝为等比数列,首项a1=- ,公比q=- . an=- n,则bn= .
二、 第(2)问解答
(一) 难点突破
由第(1)问可知bn=4+ ,则cn=b2n-b2n-1= + = . 我们的任务是要证明{cn｝的前n项和Tn< ,可{cn｝的通项公式较复杂,直接求和显然不可行.如果按“”,将 “分为N”: = +0+…+0,显然是徒劳;又或者写成 = × ,同样毫无意义,因为首先第一项c1= = < • 就不能恒成立!
那么我们应该如何寻求解题的突破口呢?前几期“挑战”的经验告诉我们,解题灵感首先源于“眼睛”(观察题目),其次就是“手”(运算).对付数列题更应当从第一项算起,边算边观察各项的变化规律:c1= ,c2= ,…仔细观察c2的分母,其展开式162×162+3×162-4中,“大头”是162×162,3×162-4相较而言就有些微不足道,舍弃它,可以大大简化运算,因此可知c2< = ,而cn= < = . 随着n不断增大, 将快速减小.让我们试着从第二项起用 来替代cn,则Tn< + +…+ = + × < + × = < ,第(2)问由此得证.
(二) 换位思考
接下来我们换个角度分析第(2)问的结论.通过估算,我们发现{Cn｝虽然不是等比数列,但其各项快速下降的规律非常类似于等比数列,那么能否像上期那样,将右边的 看做某个等比数列c1,c1q,…,c1qn-1,…(0
由于 + × +…+ × = × < ,要证明Tn< ,只需证明c1+c1+…+cn≤ + × +…+ × (①)即可. 要证①式,即证 ≤ × = ,放大左边,改证 ≤ ,也即证 ≥ ,该式显然成立,故Tn< .
从以上两种解法可以看出:cn= < 的放缩使题目难度瞬间降低,要迈出这一步,我们就要在计算时留意主次,大胆取舍.
三、 第(3)问理解及解答
现已知bn=4+ ,数列{bn｝的前n项和Rn不易求解. 题目要探求一个对任意正整数n,Rn≤λn均成立的最小正实数λ,这是什么意思?一方面,Rn不得超过λn,就是说λ要尽可能地大. 例如,若有Rn≤5n成立,则必有Rn≤6n恒成立.另一方面,在所有使得Rn≤λn恒成立的λ中,要选最小的λ值,也就是说λ要尽可能小. 通俗地讲,第(3)问就是要找出一个最佳的正比例函数λn,来作为Rn这个复杂的前n项和的替代者. 假如λ=6,那我们就可以认为数列{bn｝的前10项之和R10约等于60. 看来,本题的用意在于化繁为简,类似于“化曲为直”的数学思想.
实际上,数列的前n项和无非是每一项的叠加. bn=4+ 中,“占大头”的是4,这个数列的奇数项都小于4,而偶数项均大于4(如b1=4-1,b2=4+ ,b3=4- ,b4=4+ ,… ). 当n足够大时,奇数项小于4的部分跟偶数项大于4的部分可以相互抵消,各项的平均值向4靠拢,由此我们可猜想λ=4. 接下来我们就要证明以下结论:
①对任意正整数n,Rn≤4n恒成立;
②若λ
要证结论①,在推测λ=4的过程中,其实我们已找到一条思路――奇偶相抵,因此我们可以来计算一下(b1+b2),…,(b2k-1+b2k) (k∈N*),看看其中的每一对数之和是否都不超过8. 令b2k-1+b2k=8+ + =8-f(k), 其中f(k)= - = >0(k∈N*),故b2k-1+b2k
要证结论②,显然要用反证法,即假设存在某个λ
由{bn｝的通项公式可见,n越大,bn就越接近于4. 设n=2k,如前所述,R2k=8k-[f(1)+f(2)+…+f(k)],其中f(k)= - < , f(1)+
f(2)+…+f(k)< • < 8k-2. 即对于n=2k,总有Rn>4n-2.
假设存在λ
上述证明中,我们再次利用了放缩法,如f(k)= - < 等.事实上, 的存在注定了f(1)+f(2)+…+f(k)是有限的. 在放缩过程中,“大度方可从容 ”,只要不失大局,舍弃“毫厘”,既可简化运算,又可暴露问题的本质.
Part 2:上期思考题解答
等比数列{an｝的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r (b>0,b≠1) 的图象上.
(1) 求r的值;
(2) 当b=2时,记bn=2(log2an+1),证明:对任意的n∈N*, • •…• > .
解析: (1) 由题意得Sn=bn+r,则a1=S1=b+r;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(b-1)•bn-1. 由{an｝是等比数列, 可知r=-1.
[关键词]高三数学 复习课 课堂教学
高三数学一轮复习是整个数学复习的基础工程,其主要任务是在老师的指导下,让学生自己对基础知识、基本技能进行梳理,使之达到系统化、结构化、完整化;在老师的组织下通过对基础题的系统训练和规范训练,使学生准确理解每一个概念,能从不同角度把握所学的每一个知识点所有可能考查到的题型,熟练掌握求解各种典型的通性、通法。为了达到这样的目的,采用什么样的课堂教学的模式显得尤为重要。本人谈论了我校实际制定一轮复习的几种课堂教学模式,仅供参考。
一、复习课的模式
1.先介绍知识点并穿插小题练习――然后讲解典型例题――再进行巩固练习。这种模式比较适合数学基础较弱的学生,所复习的知识点碎采用较为适宜。如复习等差数列这部分时,等差数列的定义、通项、求和、性质、内容较碎,可先构建知识框架、再逐一用小题巩固每个概念及性质让学生先激活这部分的记忆,再通过一些典型例题深化对每个知识点的理解,再通过练习达到强化巩固的目的。
2.先进行练习――然后总结提炼知识点――再讲解例题――巩固练习。这种模式针对一些知识点相对较少、且学生相对熟悉的内容较为适宜。如在复习基本不等式时,这部分内容平时使用频率较高,可以让学生先通过几个较简单的题目的练习进行感悟,激活思维活动,教师再进行点评提炼出这部分的知识点、再通过典型的例题的学习强化运用、最后进行巩固训练和教师讲评弄清解题中的一些注意点、常见题型的处理方法、面孔生的题目如何进行等价转化等。
3.课前先让学生预习找出自己的薄弱环节――再进行针对性复习与教学――再学习重点例题――最后巩固练习。这种模式适宜章节复习结束时采用,如函数部分快要复习结束时可安排一节这样的课,课前先让学生回顾这部分内容、平时所做的一些讲义,各人找出自己的薄弱环节。教师再从中找出一些共性的问题设计一些问题加以解决,在课堂上可以报出某某同学的问题是……。这样也就拉近了教师与学生的距离,提高了课堂的效率。当然这种模式需要教师在课前做大量细致的工作,准确把握学生的薄弱之处,精心选择或编拟课前预习、重点例题、巩固练习中相关内容。
4.先通过一些小题引出这部分的一些知识点――构建知识框架――再用典型例题深化――再总结提炼――再练习反馈。这种模式针对学生基础相对较好、且知识点不太碎的内容较为适合,如复习函数的单调性的证明时可直接通过例题复习一下两种方法定义和导数法,再提炼出证明单调性的方法,再练习巩固。
5.课前先让学生练习――课上以纠错为主。针对一些高考要求不太高的知识点可用此法。如简易逻辑、四种命题、量词、推理、证明等部分,可选择一些典型题让学生课前先练习,再针对一些共性的错误进行纠正。
复习课不管采用何种模式都要力求做到:(1)系统性:滚动复习,知识前后衔接,梳理归纳成串。(2)综合性:纵横联系,知识内外交叉,多角度、多层次。(3)基础性:着眼双基,中档为主,面向多数。(4)重点性:突出主干知识,详略得当。(5)发展性:传播方法,知识迁移,学会自学。(6)启迪性:深挖教材,发散思维,多角度考虑问题。
复习中忌讳的是:(1)“大而全”。也即一堂课力求知识点、题型、方法全、容量大、没有重点的做法。(2)教学方式单一,老样子,如:讲―练―讲,始终如此,学生易产生疲劳感。
二、试卷或作业讲评课的模式
1.先按知识点、错误类型归类、或按考查的数学思想方法归类、后相对集中纠错,中途可适当采用投影仪暴露学生解题中的典型错误进行点评,再总结提炼出一份试卷的重点问题所在,问题处理的一般方法,注意点。
2.按试卷暴露出的问题的大小、主次顺序进行评讲,一般先大后小,先主后次。对于主干知识、通性、通法、学生易得分的知识点进行重点评讲,而对一些技巧性的、能力要求较高的、过难或过易的题目要略讲。
讲评课无论采用何种模式都要力求做到:(1)针对性:讲其所需,释其所疑,解其所难。(2)诊断性:诊痛析因,指点迷津,传授方法,诊防结合。(3)辐射性:以点带面,画龙点睛,举一反三。(4)启发性:启发思维,点拨思路,发散开拓。
讲评课切忌的是不做任何分析就对答案或讲评时直接从第一题到第N题,没有重点没有主线、不能突出学生练习、作业、考试中存在的主要问题。
