时间：2023-09-19 16:25:43
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇高考重点数学知识点，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词：高考；函数；新热点
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)07-0157
一、引言
函数，作为高中数学的主干知识，起着连结和支撑数学知识的重要作用，一直是高考的重点内容，通常与方程、数列或者不等式等内容渗透或交叉出现。近几年来，随着新课程改革的提出，高考函数随之也在理论和实践上发生了深刻的变化。例如，在向量引入教材后，函数问题便增添了生机与活力，在很大程度上拓展了函数问题的命题空间。在改革的新浪潮下，本文结合高考试题，在以下几个方面深入探讨函数命题的新热点方向：
二、高考函数问题中的新热点
1. 与函数极限、导数的交叉
极限作为一种运算，从历年高考考查来看，基本要求比较低，随着考查力度的增大，它逐步融入到了各知识点当中，这使得函数与函数极限的创新交叉受到高考数学命题者的青睐。
例1. (2006年重庆高考题)：已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex，其中b，c∈R为常数。若b2≤4(c-1)，且lim=4，试证：-6≤b≤2。
证明：由f(x)=(x2+bx+c)ex，得f '(x)=(2x2+b)ex+(x2+bx+c)ex，
所以f(0)=c， f ′(0)=b+c。
于是lim=lim= f ′(0)，即b+c=4。
又因为b2≤4(c-1)，故b2+4b-12≤0。
所以-6≤b≤2。
点评：本题集超越函数、函数极限于一体，灵活地运用导数的定义求极限值是此类题型的关键。
2. 与导数的交叉
以函数为载体，以导数为工具，以考查函数诸多性质和导数极值理论、单调性质、几何意义及其应用为目标，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋势。高考常以函数单调性区间、单调性证明等问题为载体，考查导数的单调性质和分类讨论思想的应用。
例2. (2007年安徽高考题)：设a≥0f(x)=x-1-ln2x+2alnx(x>0)。F(x)=xf ′(x)，讨论F(x)在(0，+∞)内的单调性并求极值。
解：根据求导法则得f(x)=1-+，x>0。故
F(x)=x・f ′(x)=x-2lnx+2a，x>0.
于是F ′(x)=F ′(x)=1-+x>0，
列表如下：
故知F(x)在(0，2)内是减函数，在(2,+∞)内是增函数，所以，在x=2处取得极小值，极小值F(2)=2-2ln2+2a。
点评：对于导数与函数的交叉试题，只要我们把握住导数在其概念、单调性、极值和几何意义等方面的应用，掌握近年来此类试题的考点、常见题型及其求解策略，从而适应高考的要求。
3. 与概率统计交叉
概率与统计试题是高考的必考内容，它是以实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等知识为工具，以考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分布性质及其应用为目标。但概率统计试题的考查与函数创新交叉，也成为高考热点。
例3. (2005年湖南高考题)：某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别为0.4，0.5，0.6，且客人游览哪个景点互不影响。设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。
(1)求ξ的分布列及数学期望；
(2)记“函数f(x)=x2-3ξx+1在区间[2，+∞)上递增”为事件A，求A事件的概率。
解：(1)设A1，A2，A3分别表示客人游览甲、乙、丙旅游景点3件事件，则A1，A2，A3相互独立，且P(A1)=0.4，P(A2)=0.5，P(A3)=0.6。
因为客人游览的景点数可能为0，1，2，3，相应地，客人没有游览的景点数可能为3，2，1，0，所以ξ的取值为1，3。
P(ξ=3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P(1-A1)P(1-A2)P(1-A3)+P(1-A1)P(1-A2)P(1-A3)=2×0.4×0.5×0.6=0.24。
则P(ξ=1)=1-0.24=0.76，于是ξ的分布列为：
数学期望Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48。
(2)当ξ=1时，函数f(x)=x2-3x+1在区间[2，+∞)上递增，当ξ=3时，f(x)=x2-9x+1在区间[2，+∞)上不递增，因此P(A)=P(ξ=1)=0.76。
点评：函数与概率统计的交汇在高考中还是初见端倪,虽然难度不大，但具有内容新、背景新、结构新的特点，预计在今后的高考中将会设计得更加灵活、更能体现知识间的内在联系。
4. 与物理问题交叉
函数的知识是其他学科(如物理学)的必备基础，也是研究和解决各种问题的基础。函数的教学内容蕴含着极其丰富的辨证思想，是对学生进行辨证唯物主义教育的良好素材。函数的思想方法已经广泛地渗透到中学数学的整个过程和其他学科当中了。
例4. (2007年南昌市高考模拟题)：若已知某质点的运动方程为s(t)=-at ，要使t ∈[0,+∞)上的每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于1，求a实数的取值范围。
解：s(t)=-a。
因为s′(x)≤1，所以
-a≤1，
则有
-a≤1
-a≤-1a≥
-1
a≤
+1 ，
当t∈[0,+∞)时，(+1)min=1，所以a≤1。当t+∞时，，且连续递增，所有值都小于1，所以a≥0。
故使在t∈[0,+∞)上恒成立，实数a的取值范围是0≤a≤1。
点评：质点运动函数s(t)的导数s'(t)的物理意义就是质点在时刻t的瞬时速度。利用导数的物理意义列出不等式，根据不等式在t∈[0,+∞)上恒成立，求出a的取值范围。
三、结束语
综上所述，近些年高考试题命题方式呈现出考查基础知识和能力相结合的特点，体现并渗透出新教材的教育理念，结合了新课程中的新思想和新方法，而且以基础知识和综合能力两者为重点，在众多知识点中寻求交叉点，并以此为考点命题，可以提高学生的思维能力、预算能力以及应用能力等。
参考文献：
[1] 李家煜.高考函数问题解读[J].中学数学教与学，2004(2).
[2] 李昭平.高考中函数问题新趋势透视[J].中学数学教与学，2007(1).
当前，《高等数学》作为高职院校的一门公共基础课，存在着内容多、学时少的矛盾。微分学和积分学在现有的高职数学教材中占了大量的篇幅。随着新一轮的高中数学改革，《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称为《标准》）把微分中的导数及导数的应用、积分学中的定积分作为高中学生必须掌握的知识点，也是高考的一个重要考点，所以学生对这部分知识的掌握也相对提高了。然而笔者认为高职数学的教学内容仍然涵盖此内容，并没有任何升华，这就导致传统的内容体系很难满足现在学生发展的需求。因此，高职数学教材的内容体系应逐步更新，即简化微分学和积分学的知识，增加线性代数、概率论和数理统计的知识，以达到高职高专教育的“实用为主、够用为度”的要求，从而体现高职数学的服务功能。
一、高中数学新课标与旧课标内容对比
《标准》将《导数及其应用》这部分内容安排在选修系列1-1的第三章和选修系列2-2的第一章中。虽然是选修内容，但对绝大部分高中学生来说，它依然是必需掌握的知识。选修系列2-2增加了微积分基本定理与定积分的内容，对运算的要求也略有提高。
《标准》对《导数及其应用》的处理与原《大纲》相比，有以下几点变化：1、突出导数概念的本质，原《大纲》把导数作为一种特殊的极限来讲，过于形式化及抽象的概念使学生学习起来比较困难。而《标准》则非常强调对其本质的认识，提高了对导数几何意义以及用导数处理实际问题的要求。教材让学生从随处可见的平均变化率开始，巧妙地通过瞬时变化率引入导数的概念。这样引入能让学生更深刻地理解变量数学的本质，有助于学生对函数这一核心概念的深入理解。2、突出了导数在实际问题中的应用，从导数概念的引入到导数的应用，教材都列举了大量的实例。这些实例恰好是体现导数价值的最好素材，这主要体现在以下几方面：1、用导数求匀变速运动的瞬时速度；2、用导数处理切线问题；3、用导数研究函数，包括用导数研究函数的单调性、极值和最值，方法较以前的简便且具有一般性；4、用导数处理生活中的优化问题等。
二、高职数学教材的现状
现行的高职数学教材从内容展开的层次看，还是按照以前《大纲》的安排：第一章 函数、极限与连续；第二章 导数与微分；第三章 导数的应用；第四章 不定积分；第五章 定积分及其应用；第六章 常微分方程；第七章 向量代数与空间解析几何；第八章 多元函数微分学；第九章 多元函数积分学；第十章 无穷级数。现行高职数学教材中函数、导数的概念和导数的应用、定积分、数理统计等内容在高中《标准》选修系列2-2，选修系列2-3中占有很大的比重，并规定一学期来学习这部分知识，也是高考的必考内容。
高职院校在数学教学课时安排方面，无论是文科学的《经济数学》和理科学的《高等数学》都是把“一元函数微积分”作为所有专业的必修模块，高职院校在第一学期大部分专业开设高职数学，课时定为60学时。第一册内容包括：函数、极限与连续；导数概念及导数的应用；积分学及其应用。教学计划安排16课时讲解函数、极限与连续，24课时讲解积分学及其应用，20课时讲解积分学及其应用。这就重复学习了高中《标准》选修系列2-2，选修系列2-3中的数学知识。第二册的内容包括：多元函数微积分；无穷级数；微分方程；矩阵及其应用。第二学期只有少数专业开设数学课，因此现行高职数学教材内容导致学生浪费大量的时间重复学习高中已经掌握的知识。
三、高职数学教材体系重构的必要性
现行高职数学教材除了导数和定积分概念按惯例简单介绍了产生背景外，基本是沿用传统“定义、定理及证明例题”的固定模式，微积分只在部分章节后介绍一点数学概念的经济意义，片面强调数学技巧，学生无法创造性运用已有的数学知识去解决实际问题。而学生真正需要的与专业知识相联系的数学知识却涉及很少。两者没有达到有机整合，使学生觉得学习数学课程和专业课程无关联，无法激发学生学习数学的激情和兴趣。
高职教育改革的目的是要缓和学校人才培养模式与社会需求之间的差异和矛盾,更确切地讲,是要让高职院校学生能够掌握必需的理论知识与实践技能。就高职数学教育来看,重构数学教材体系的必要性与重要性在于:现行的教材内容的分布不合理，函数、导数概念及导数的应用在高中《标准》中作了详细的介绍也是高考的考点，不定积分的概念在《标准》中也作了介绍，所以学生对这部分知识掌握得比较好。现在高职数学教材中的微分部分又重复的讲解着部分知识。每个学校也安排了大量的课时来学习这部分知识。
四、高职数学教材体系重构的设想
基于上述保持数学的系统性理念及高职数学应该与专业相联系的基本原则，通过大量调研与实际经验的基础上，笔者认为高职数学教材体系重构可以从以下几个方面着手。
(一)“随风而动”保持数学的系统性为突出和体现数学的应用性，将新的高职教育数学课程体系确定为“应用数学”课程体系。整合后的课程内容包含：微积分、线性代数、概率论等。
1、微积分部分：由于高中《标准》对学生掌握微分和定积分知识的要求有所提高，高职数学教材应适当减少这部分内容，不要让学生浪费一学期的时间重复高中学习过的内容。因为，学生在高中的学习过程中都已经掌握微积分的基础理论和常用的计算方法。教材在这部分内容上应从数学方法解决几何、经济等实际问题的能力训练出发，通过微积分部分的学习，逐步培养学生的抽象概括能力、运算能力和综合分析问题、解决问题的能力，从而提高学生学习数学的兴趣。
2、线性代数部分：行列式、矩阵、方程组是线性规划、企业管理等学科的重要基础和工具。此部分的重点是计算方法、计算方法的应用。突出实际案例的选择和编排，达到使线性运算直接用于企业管理之中的目的，让数学和专业知识密切相关。
3、概率论与数理统计部分：概率论从数量上研究随机现象的统计规律性，它是本课程的理论基础。数理统计研究处理随机性数据，它以概率论为基础，建立有效的计算方法，进行统计推断。目前，概率论与数理统计的理论与方法在经济、金融与管理各个领域也有广泛应用。同时，概率论与数理统计的理论与方法又向各个基础学科，产生了一些边缘性的应用学科，是经管类各专业的一门重要的基础课和工具课。此部分重点是介绍数据统计方法，建立有效的统计方法，进行统计推断及假设检验，突出概率计算在统计方法中的应用，使学生掌握概率论和数理统计的基本方法，并具备应用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。
(二)改变模块顺序,增强数学的应用性与传统的经济数学相比，整合后的内容在知识结构顺序上发生变化。由于学生在高中的学习中已经熟练掌握了微积分和定积分的部分知识，所以在高职数学的教材中就应该减少计算性的例题，增加与专业有关的例题。介绍积分的计算既可以传授知识又可以满足学生的求知欲，达到节省学时提高效率之目的。最后介绍积分的应用，让学生把学到的知识用于实际问题之中。
(三)在各模块内容中做好教学重难点的转化教学内容和教学顺序的改变使得教学重难点也应随之改变。重新整合后的教学内容在以下几个方面实现了突破：一是极限理论处理办法是用复习方式一带而过。二是中值定理的处理，中值定理是导数应用的理论依据，但中值定理的结论抽象，其定理证明更是难点。教学时可以用简单的几何解释，使学生直观地理解定理及其意义。三是定积分的运算及定积分的应用采取复习的方式，教材例题增加与专业相关的题型，从而提高学生应用数学知识解决与专业相关问题的能力。四是矩阵的乘法，矩阵的乘法历来是学生学习的重点和难点，复杂的运算，让学生感到困难、无用。在此选取了有代表性的某公司年度预算报表中的实际案例，不仅使复杂的矩阵乘法运算得以轻松的解决，也使学生享受到数学概念在实际工作中应用的乐趣。
五、小结
高职数学作为一门公共基础课，在数学教学中突出应用不但是高职教育的目标要求，而且符合数学教学改革的趋势，因此，在高中数学教学不断改革的今天，高职教师必须对高职数学内容做全面的审视和反思，从高职数学课程设置、教材内容的改革等方面来寻求一种既能满足高职教育的需求，又能有效提高学生学习质量的有效途径。以最大化地体现“实用为主，够用为度”的原则。
参考文献：
[1] 人教版高中数学教材选修2-1[M] 人民教育出版社.2011.
[2] 人教版高中数学教材选修2-2[M] 人民教育出版社.2011.
[3] 胡龙.高等数学(上册)[M].高等教育出版社.2006.
