初高中数学公式定理

开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇初高中数学公式定理，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。

第1篇

关键词：新课程 高中数学 学习状况 方法习惯 教学策略

在高中数学新课程实施中，学生的学习方式、学习习惯、学习状况如何？自主学习、合作参与、主动探究的积极性怎样？为了帮助指导学生尽快适应高中数学新课程的学习，对本市部分高中学校的学生进行了高中数学新课程学习状况的调研和座谈，经过总结分析、探讨研究，有几点认识与各位同行交流。

一、学习状况的调查分析

（一）调查对象和方式

我省高中新课改于2010年才启动，现在刚刚走过一个轮回，结合省级课题规划在历时两年多的时间，对本市部分高中学校的学生，按照不同的年级、不同的阶段对高中数学新课程的学习状况进行跟踪调研，调研组成员涉及跨校之间的高中一线教师十多人，参与面广、针对性强，教研成果具有很强的实践性、可操作性和指导性。按照课题组的计划安排，阶段性的深入部分学校随机抽样部分班级，跟踪听课200多节，问卷调查6次，发放收回有效调查问卷6000多份，师生座谈会十多场次，具体调研了高一新生的生源质量情况；高中各年级学生在新课改中的学习模式；学生学习数学的兴趣、信心及动机、学习方法、学习习惯；初高中数学衔接等十二个问题（每个问题又有若干选项），并进行问卷和访谈，各汇总图表从略。

（二）调查结果的分析汇总

通过对调查、座谈情况的汇总整理、探讨分析，有以下一些观点和认识以飨读者，我们在高中数学新课程的实施中应予以足够的重视。

1.目前我市高中的个别学生学习目标不够明确，学习态度不够端正，学习动力不足，缺乏学习的积极性和刻苦钻研的精神。

2.部分学生学习习惯、学习方法不太好，自主学习意识不强，上课听得懂下课作业不会做，学习中疑惑、问题不能及时处理解决，影响到其他内容的学习。

3.由于高一课程增多，每门功课的作业量增大，大部分学生总是采取直接做作业的方式，没有首先对所学知识进行整理、归纳和复习，对数学概念和方法重视不够，学习效率、效果不太好，这反映出大部分学生还没有适应高中阶段的学习。

4.一些学生的学习非常被动，缺乏学习数学的兴趣、信心和动力，学习数学的动机大多数是认为对今后高考考试很重要，数学应用意识、数学思想方法以及创新思维能力都比较欠缺。

5.学生的学习方式没有大的转变，与新课改的理念有一定的差距。学生习惯于教师“牵着手”走路，存在依赖性，缺乏主动钻研、自主创新的精神，有一半以上的学生总是期望教师提供详尽的解题示范，思考、探究的问题期待教师概括、归纳、总结并给出答案。

6.初高中数学知识衔接重视不够。在知识点、学习方式的对接上存在一定的差异，初中数学教师在部分内容的教学上普遍执行课程标准的基本要求，这恰恰对进一步学习高中数学有一定的障碍和影响。

7.针对我校实际（2007年由师范学校转型成普通高中，学生生源质量较差）以及我省2010年才启动的新一轮高中课程改革，结合省级规划课的积极开展和研究（2012年8月获省级优秀课题），特别是我校生源状况进行调研，进一步使基础较弱，学习习惯较差，学习方法欠缺的学生尽快适应高中数学新课程的学习，是数学教学之首要。

二、教学中的方法策略

根据问卷调查和对师生的访谈，针对以上具体情况，特别是部分学生基础薄弱，学习习惯不良，学习信心不足，在高中阶段的学习中存在较多的困难。如何应对这一现状？在新课改的教学实施中采取了如下策略，取得了一定的成效。

（一）及时了解学生的学习状况

由于每个学校教学情况和环境的不同，学生在初中的学习就形成了一定学习习惯和数学思维。进入高中，教师面对的是来自不同学校的各种情况的学生，所以每位教师面对的学生情况存在很大的差异，学习状况更是参差不齐。再加上学生对新的学习环境还需要一个适应的过程，因此在这一阶段给予每位学生更多的关注，及时了解学生的生活、学习状况（学习动机、信心、学习习惯、思维水平），例如，课堂观察、问卷调查、学生访谈、家长访谈等。结合新课改了解学生在初中阶段的学习方式、学习基础状况、数学思维能力水平，以及高一新生的生源情况，了解初中教学的特点，吸取初中教师的长处，沿用一些好的方法，有利于高中阶段的教学和学习。

（二）做好初高中数学教学的衔接

初中阶段的数学教学内容浅，知识点较少，数学公式、定理、法则容易理解掌握，数学知识应用相对比较简单。进入高中，学习内容剧增，难度加大，对学生的能力也提出了更高的要求。由于升学压力和学校之间、班级之间的评比竞争，以及初中数学教学普遍执行课程标准的基本要求，这对高中阶段的学习有一定的影响。高中教师要熟练掌握初中数学课程标准要求，通过课外讲座、预习讨论、课前辅导使得衔接过渡自然有效，克服因知识上和方法上的跳跃而造成的高中数学学习的不利因素，形成稳定、连续、有效的课堂教学。经过调研座谈，我们认为有必要做好以下初中数学知识点和数学思想方法的补充、衔接：

1.数与代数方面。（1）常用乘法公式。（2）因式分解法。（3）分类讨论。（4）二次根式。（5）方程与方程组。（6）代数式运算与变形。（7）绝对值的概念及应用。（8）关于配方法及其应用。（9）一元二次方程根的判别式根与系数关系（韦达定理）初中新课标不要求。

2.空间与图形方面。（1）初中新课标删除繁难的几何证明题，淡化几何证明技巧，减少定理数量，这与高中数学教学中对学生“推理论证”能力的较高要求不相适应。（2）平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、截三角形两边或延长线的直线平行于第三边的判定定理、圆内接四边形的判定与性质（有关“四点共圆”的知识）等初中新课改都不做要求。（3）初中没有“轨迹”概念，高中解析几何会用到的。（4）初中课标只要求通过实例，体会反证法的含义，要求不高。（5）在初中新课标中，两圆连心线的性质，两圆公切线及其相关性质，圆的弦切角定理、相交弦定理、切割线定理，正多边形的有关计算，等分圆周都被删除了。

仅以上事例足以说明教师必须抓好初高中教学的衔接，初高中的数学衔接不仅要从知识与技能的点与点的对接上，还要从学生学习的习惯、学习心理以及数学的认知水平与基本能力等方面去关注和考虑。

（三）培养学生良好的学习习惯

学生的学习需要导航，需要指引，从抓学习习惯、方法入手，从学习的基本环节做起，规范学习行为，良好的学习习惯不但影响学生高中阶段的学习甚至对今后人生受益无穷。

1.开学伊始，是培养学生良好学习习惯的第一个重要时机，从“预习、听讲、复习、作业、问疑、反思”等环节开始，向学生提出养成良好学习习惯的基本要求，只要坚持好这六项常规，抓好检查和落实，正确的数学学习规范就能确立起来，从而培养学生养成良好的学习习惯。

2.学生学习习惯的养成来自教师的指导和培养。习惯养成的几个关键要素：一是让学生真正懂得这一习惯的重要性；二是每位学生认真思考制定合理的学习计划；三是坚持不懈、直到成功，具体实施重在前一个月关键在前三天。

3.针对学习的各个环节，要多鼓励、多帮助、多指导。课前检查学生预习情况，课堂中引导学生认真思考、合作参与、积极回答问题，课后反馈学生学习的状况，作业及时批阅认真讲评。单元小结、复习检测要求学生及时改错反思小结。

持之以恒、耐心细致、逐步走向正规，使学生在学习中真有所悟，从中有所受益。

（四）强化学生学习方法的指导

学生学习习惯的培养，学习方法的指导不是一朝一夕的事，既要有宏观的要求，又要关注具体层面上的指导。课堂教学、作业、试卷分析、章节总结，不同的层面上，都要关注学法的指导。

1.课堂教学中的学法指导。课堂教学中，教师要抓住学生的问题意识，关注学生积极讨论、认真思考、共同参与解决问题，充分暴露学习上的困惑和症结。思考、解疑是一个重要的学习过程，教师要创设问题情境，要指导学生正确处理好听讲和思考的关系。

2.作业处理中的学法指导。首先，指导学生做作业前先回忆一下当天所学的知识和方法，如果有不明白的地方，先复习一下，把当天所学知识梳理清楚。坚持独立思考，遇到不会的题目不能轻易放弃，要多思考，反复琢磨，不得已时再请教别人探讨处理，养成自主学习的良好的习惯。

3.单元总结和试卷分析中的学法指导。每一章学习结束时，指导学生进行单元知识的梳理总结，进行分类评价，通过这样的指导，使学生反思、查找学习中存在的问题和原因，建构条理化、系统化的知识体系，使学生充分理解、科学记忆、灵活应用、提高能力。

4.学习环节方法指导。在预习环节中，学会点、划、批、问。把关键的地方都“点”出来，把重点、公式和结论都“划”出来，把自己的理解、质疑和心得等用三言两语“批”出来，把没弄懂的地方都用问号“问”出来。通过自主学习带着问题听课、提高学习效率。

（五）多元化评价激发学习兴趣

兴趣是学生学习的牵引力，是学生学习成才的动机源和催化剂。在教学中结合学习内容充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用激发学生学习数学的兴趣和积极性。

1.充分利用过程性评调动学生学习积极性，利用课堂观察的评价促进学生参与学习过程、与同伴交流、主动探究的习惯，利用成长记录袋评价激励学生的创新精神、点滴进步，激发学生学习数学的兴趣。

2.善于挖掘学生学习中的“闪光点”激发学习兴趣，利用学生取得的点滴成就激发学生的自信心，充分为学生提供展示才能的机会，赞赏学生的钻研创新精神，使各个层次的学生能有机会展现自我。

3.创设教学情境激发学生的学习兴趣。充分挖掘教材内容，应用或制作教学课件、教具、模型利用电子白板、几何画板等，创设问题情境，激发了学生的学习兴趣。引发学生的好奇心，激发起学习的动机，使他们兴趣盎然地投入学习，变“要我学”为“我要学”。

在课堂教学中，激发学生学习数学兴趣的方法是多种多样的，关键是教师如何去创设能激发学生的学习的积极性，唤醒学生的求知欲，能让学生轻松愉快、主动参与的教学活动情境。

在高中数学新课程的教改实施中，面对基础薄弱、能力较差，学习习惯不太好，学习方法欠缺的学生，我们只有及时了解学情，树立目标信心，加强学法指导，激发学生求知欲，调动学生学习积极性，采用“低起点、小坡度、多反复、小循环”的教学策略，积极引导学生自主学习、积极参与、合作探究，注重学习过程，培养学生的创新思维能力。实行“共同参与、分类指导、全员推进、螺旋上升”的整体提高计划。经过高中新课改一个轮回的探索和实践，我们惊喜地看到：教学中的理念新了，教学方式变了，学生的学习“活”了，教学、学习状态发生了根本性的变化，教学质量得到了稳步提高，2011年我校高考升学率80.5%，2012年高考升学率81.9%，有一名学生被复旦大学录取（文科全省33名，全市应届生第一名），实现了学校转型后在高考中的重大突破，今年高考升学率将有更进一步的提高。

参考文献：

[1]普通高中数学课程标准（实验）解读.数学课程标准研制组编写[M].江苏教育出版社，2004.

[2]蔺霄，李新春等.高中数学新课程模块教学实践研究. 甘肃省教育科学“十一五”规划课题（省级优秀课题）.

第2篇

关键词：类比推理 类比思想 建构 课堂教学

一、类比推理及其特性

1.类比推理: 类比作为一种推理方法，它既不同于归纳推理也不同于演绎推理。应用类比推理可以在两个不同知识领域之间实行知识的过渡，因此，人们常常把类比方法誉为理智的桥梁，是信息转移的桥梁。经常有这样的情况：长时间沉思于某一问题而未得解决，然而在某一时刻，在其沉思圈子之外有一个信息倒起了很大的启发作用，触发信息的过渡，使问题得以解决。这往往得益于类比。正如康德所说：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比，这个方法往往能指引我们前进。”所谓类比是根据两个对象之间的相似，把信息从一个对象转移给另一个对象。类比的实质就是信息从模型向原型的转移。

2.类比的特征：两个对象的某些属性是相同的，或者表面上毫无共同之处，只是在某种观点上或某一抽象层次上是相似的，它的结论不是简单的模仿、复制，而是创造性设想。因此，我们在教学过程中，要有意识地对学生进行直觉思维能力的训练，着重训练学生的类比归纳猜想能力。类比推理是根据个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，是一种非逻辑推理。具有创新性, 主观性,等特征。

二、类比推理的价值和意义

1.类比可激发学生学习兴趣

“兴趣”是最好的老师。浓厚的兴趣和强烈的求知欲望是学生的内驱力，创设数学教学情境是激发学生兴趣的有效方法。

在实际教学中，应多介绍一些大科学家的类比实例，介绍类比在科学发明发现中的重大作用，形成良好的氛围。如计算机的诞生、飞机制造的历史、伽利略的抛物实验、杨振宁的“场论”等等一系列重大发明发现。继而引导学生认识到，在平时解题过程中也有一系列的类比，这样激励学生大胆类比，猜想发现，最后论证。通过类比可以探索出很多新的知识、方法，寻求出与众不同的解题思路，探索数学规律。由于类比是从特殊到特殊的一种猜测、推理，从一个已知的领域去探索另一个领域，而这正符合学生的好奇、去了解陌生世界的心理。因势利导，这样不仅激发了学生类比的欲望，而且提高了他们的类比兴趣，养成良好的类比习惯。让学生去主动地探索、研究新的知识。

2.通过类比可得新知

数学教材中，很多新的知识在很大程度上是在先前的知识上发展而来的，在方法、思想等方面都有着一定的联系。一旦学习的主体发现了这些联系之间存在的相似性和可比较性，那么就可以利用原有的认知结构有效地学习新知识，同时也可以将先后的知识组成一个完整的体系。

3.通过类比提高学生数学思维能力

高中数学课程提出应注重提高学生的数学思维能力，这也是数学教育的基本目标之一。当学生遇到一个陌生的问题时，有了类比的意识，他就会联想一个在形式或方法上较为熟悉的问题来进行类比。发现其内在联系，架起桥梁，沟通知识与知识、方法与方法之间的关联，激活学生的思维，从而去提高学生的思维能力。

4.类比是数学发现与创新的重要手段

类比就是一种大胆的合理的推理，它是创新的一种手段。因为有了类比，在研究一个问题时，学生将跳出一定的框架，不受现有知识的约束，根据其中的思想方法、表现形式等去利用其他的知识、方法来大胆提出设想、来找到具有创新性的解题方法。

三、类比推理的手段

1.通过类比“旧知”，构建知识体系

按照《课标》的要求教材是按照知识发展的顺序来安排。知识和知识之间螺旋上升，构成了完整的体系，知识之间也存在着思想方法等联系，教学就是要利用这种联系让学生利用旧知来探索新知。

在讲授等比数列时，先回忆等差数列中的相关知识：

定义：an＋1－an=d（d为常数），

通项公式：an=a1＋（n－1）d，

性质：an=am＋（n－m）d；

若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq。

通过小组合作，回忆旧知的证明推导方法，来类比得到新知，得到结论，给出证明。这种类比的方法可以广泛地运用，

譬如，平面向量到空间向量的类比，平面解析几何到立体几何的类比等等。当然不仅是知识体系的类比，也可以包括一些常见的结论，如平面向量中“若=λ+μ且λ＋μ＝1，则P、A、B三点共线”，类比空间向量“若=x+y+z且x＋y＋z＝1，则P、A、B、C四点共面”。

2.通过类比“方法”，领会其中思想

教师教学生，不仅是简单地讲解知识，不能仅满足于让学生模仿性地解题。更要让学生学会一种思考的方法，分析问题的能力、迁移解题的能力。

定积分中求曲边梯形的面积,步骤为“无限分割――以直代曲――求和――取极限”,核心为“以直代曲”。在同学们探讨得出方法，理解思想方法之后，我给出思考题：“证明半球的体积为πR3”。同学们通过讨论想出了分割的多种方法，①底面与圆面平行的若干圆柱；②底面与圆面垂直的若干小半圆柱；③圆锥。在讨论中不断克服困难，以高昂的斗志深化、巩固了思想方法。

3.通过类比“形式”，发展创新思维

在解题的过程中应要求学生不拘一格，以发散的思维来观察分析问题形式。问题情境发生了根本性的变化，两个对象在表面上毫无共同之处，但通过观察、创造条件，使两者存在共同点，这种类比不是一种简单的模仿，而是一种创造性。

譬如：（1）已知函数f（x）=ax＋b，3a2＋4b2=12，求证：当x∈[-1，1]时，|ax＋b|≤。

分析：由3a2＋4b2=12的形式联想类比到椭圆的标准形式＋=1，故设a=2cosθ，b=sinθ，

有|ax＋b|=|2xcosθ＋sinθ|≤≤，得证。

（2）解方程2x+xy=y2y+yz=z2z+zx=x

分析：观察每个式子中都有一未知数为一次项，整理得y=z=x=，观察形式类比联想到正切的二倍角公式，

设x=tanθ，θ∈（-，），则y=tan2θ，z=tan4θ，x=tan8θ。

故有tanθ=tan8θ，

所以8θ=θ＋kπ，θ=∈（-，），

即x=tan，y=tan，z= tan，k=0，±1，±2，±3。

四、培养学生类比意识的教学途径

1.教师自身要有完善的知识体系和深厚的专业基本功

要想能顺利地引导、组织学生去运用类比的思想去发现新知和创新解题，教师作为组织者一定要具有完善的知识体系和深厚的专业基本功，否则怎能发现不同板块知识之间的内在联系，怎能有效组织好类比教学，展示数学的内在和谐美，展示数学知识的统一性。因此在平时的钻研中教师必须站在一定的高度去把握知识的结构、去研究透知识表象背后的思想方法，不能思维定势地去思考问题，对问题能有自己独到的见解，通过自身的努力夯实专业基本功。

2.经常创设类比问题情境

要想培养学生的类比能力，教学中的类比问题情境显得尤为重要。数学课堂教学中，教师要恰如其分地创设类比联想的问题情境，暴露数学的思维过程，把每一个环节展现给学生，让学生观察和类比。现在的数学教材中，每章都有引人入胜的章头图，同时在很多小节中也有生活的实例，学生可以从实际问题中类比得到数学知识；同时，新教材在编排顺序上按知识的发展顺序进行，也利于教师在组织教学时进行前后的类比教学。

3.实行变式教学

应该说变式教学是中国教学中成功的环节，通过变式的教学让学生分析、提炼出不同表象后面相同本质的东西，通过长时间的潜移默化的影响培养学生分析问题的意识和能力，从而为进一步的主动类比提供可能。只有这样学生才会在遇到新的问题时站在一定的高度去认识、把握，才能有新的想法。

4.教学过程中注重知识的生成

通过教学发现，学生已有的知识水平对类比能否顺利实施开展起决定性作用，只有有了相关知识作为保障，才有“跳一跳摸得着”的可能。所以在平时的教学中要更多在学生的主体活动中生成知识，教师作为一个组织者和引导者。让学生在自主的活动中感悟到其中的思想方法和内在联系，只有这样学生才能在遇到新问题时浮现出已有的思想方法和不同知识形式来进行类比。否则如果教师只是一味的灌输,那么只是带来僵硬的思维方式。

5.开展小组合作交流

考虑到中学生的思维的不成熟性、不完善性，类比教学有时对学生的要求可能相对较高，凭一己之力可能难以在短时间内发现内在联系去达成目标。所以在课堂教学中可适时采用小组合作探究式，俗话说“三个臭皮匠顶上一个诸葛亮”。通过合理搭配小组的构成，营造轻松的研讨氛围，让平时思维不活跃的学生有勇于表现自己、展示自己的机会，通过小组的合作去提出问题、解决问题、构建知识。在通过展示成果的方式让学生的主体活动充斥着课堂，去批判地接受新知的生成。

五、类比教学中的注意点

1.知识、方法的可类比性

教师在组织学生以类比的方式来学习探究新知的时候一定要注意所给材料和要探究知识之间一定要存在着形式、方法或思想等方面的联系，不能让学生的类比活动毫无头绪，变成无方向的一种所谓的探究，而不是真正意义上的类比。譬如学生可以用类比的思想利用等差数列的相关性质来推导等比数列的相关性质，但你不能要求学生利用等差数列的求和方法来类比探究等比数列的求和方法。

2.类比中的科学性

类比虽然是一种大胆的猜想，但类比不能仅满足于猜想，停留在猜想到的东西，还要进行科学性的验证。笔者在一次复习教学中安排了以下看似相关的两道题，

（1）在椭圆x2＋8y2=8上找一点P，使点P到直线l：x－y＋4=0的距离最小。

分析：把点与直线的距离转移为两平行线之间的距离。

设与l平行且与椭圆相切的直线为y=x＋m，联立得9x2＋16mx＋8m2－8=0，

通过=0结合图象得m=3，从而得到最短距离和切点坐标（即为P点）。

（2）求椭圆x2＋4y2= 4上的点到点（0，5）的最大距离。

学生用类比的思想，想到以（0，5）为圆心作圆，设方程为x2＋（y－5）2=r2，利用圆和椭圆的相切联立求出r2=，即最大距离为__________。

可以看出学生类比其中相切的思想方法，求出了最大距离，感觉一气呵成。但细细一想，若求最短距离，利用同样的方法仍然只能求出r2=，出现了问题。

分析原因，由于在圆锥曲线中x和y有了范围，所以相切只要求联立后的方程只有一解，一个符合范围的解，而不一定=0，所以此处的类比由于范围的原因而不具有可类比性，出现了问题。

六、高中数学教学渗透“类比推理”的现状分析

大部分教师缺乏研究意识，不能充分挖掘类比素材；不能将类比的思想渗透在教学中。

七、高中数学中“类比推理”资源库构建及应用

1.类比推理资源库的构建

从2004年秋季开始实施新课程，本课题开展研究，按“依据课标，紧扣教材；立足基础，适当拓展；纵横联系，突出主干”的原则，构建了以高中数学的主干内容为线索的“类比推理”资源库,其框架如下：

第一部分：实数与集合的类比

第二部分：数与形的类比

第三部分：函数中的类比

第四部分：立体几何与平面几何的类比

第五部分：高维与低维的类比

第六部分：等比数列与等差数列的类比

第七部分：不相等与相等的类比

第八部分：不等式中的类比

第九部分：多元与一元的类比

第十部分：椭圆与圆的类比

第十一部分：椭圆与双曲线的类比

第十二部分：无限与有限的类比

第十三部分：离散与连续的类比

第十三部分：解题方法的类比

第十四部分：高考中的类比推理

第十五部分：高中数学类比推理训练题精编

第十六部分：高中学数学类比思想应用的教学案例

2.“类比推理”资源在数学教学中的应用

类比作为一种思想，同时也是一种方法，类比可以开拓学生的视野，提高创新思维，通过类比的课堂教学也把课堂交给了学生。在数学学习中乃至处理生活中的实际问题所起的作用是不容忽视的。所以，教师在日常的教学中要重视类比思想的渗透和培养。

①在概念的形成过程中培养类比推理能力

数学概念的形成过程，经历了数学家漫长的创造过程，浓缩地将数学家的发现过程暴露给学生，则无疑是教学生学会“数学地思考”，是培养合情推理能力的重要途径。

②在定理、公式发现过程中培养类比推理能力

数学公式和定理的发现过程，是合情推理的经典之作，自然是进行合情推理能力培养的典型材料。

③在解题思路的探索中培养类比推理能力

从条件要达到结论的彼岸,是观察、归纳、类比、猜想、联想、直觉、灵感等合情推理手段的综合运用的过程。

④在复习课中的应用

通过类比，沟通知识、方法间的联系，形成所学内容的整体结构 通过类比，加强横向联系，推广应用。

⑤在研究性学习和课外活动中的应用

类比推理的素材用于研究性学习活动或课外活动中，引导学生提出新问题，解决新问题。

3.克服类比推理的负迁移效应

类比认知是指由已知事物在某些方面相似，去推论这些事物在其他方面也同样相似的一种认知模式，它是思考、学习新知识的一种方式，类比的思维方式是特殊――特殊，是一个猜测的方法。类比是将一类事物所得的研究方法和规律应用于另一类事物，是创造性的联想。数学的某些知识存在相似性，一般表现在数学符号、公式结构和研究方法等方面，数学中采用类比方法，可以有效激活原有知识结构的生长点，顺利搭建新旧知识的思维联系，降低感知的难度，同时激发想象的欲望，唤醒学生的创新意识。由于类比具有偶然性，得到的结论不一定是科学的，往往需要论证，若类比使用不当，可能产生伪科学认知，人为增添知识的矛盾，若教学语言不严谨，还增加后续的教学难度。

迁移认知是学习中的一条重要规律。它是指用已有的知识和技能学习新知识，新技能。已有的认知在学习过程中产生积极影响属于正迁移，对学习新知识起促进作用。例如，学会了骑单车，有助于学习驾驶摩托车。产生消极影响称为负迁移，例如，学会了骑单车，会妨碍学习骑三轮车。一切有意义的学习都是在原有的基础上进行的。即一切有意义的学习必然涉及类比认知和迁移认知，高中数学学习尤其如此。

在新课程改革下，要注意初高中数学新旧知识的衔接，这就要求高中数学教师积极进行引导，克服一些负面影响，从而顺利完成教学任务。那么高中学生在学习数学时的类比认知和迁移认知有哪些表现呢？

第一种表现：学生学习高中数学时，由于缺乏学法指导，加上新教材内容多难度大。部分学生不重视数学概念的理解，在运用类比认知时，错把类比当作逻辑推理方法，对概念之间只有形式的比较，抓不住概念的本质特征，主要表现在：

①没有抓住类比特征。例如实数与集合类比，特征是不等号与包含关系符号类比。

②没有弄清概念内涵。例如数列与函数类比，实际上数列是特殊的函数。

③有些类比对象选择不科学。

第二种表现：知识与知识、概念与概念、技巧与技巧之间，有时彼此类似或有许多共同因素，促成对认知的正迁移，学习轻松自如，事半功倍；有时不同因素难以区分，相互干扰，则会发生负迁移，学生往往分不清主次。主要表现在：

①用错相似形式的数学公式。例如实数运算性质与对数性质。

②错误理解公式。例如向量的数量积，椭圆与双曲线中a、b、c的几何意义。

③错误地推广知识，例如不等式的性质等。

数学教学的目的是使学生运用数学的思想方法解决问题，培养他们的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，为学生的终身服务。这涉及到知识的掌握与运用。但是知识是静止的，方法的运用是动态的，因此，在掌握知识及运用方法上要充分应用类比认知和迁移认知。在高中数学教学中应注意以下几点：

第一，既教猜想又教证明，欧拉从有限到无限的类比使他获得了极大的成功，然而这并不意味着类比总是可靠的。类比既具有引导我们走向成功的一面，也有能把人们引入歧途的一面。因此，我们必须以科学的态度对待类比，既要大胆地使用类比，又要严格证明。在教学中，教师要将“猜想”与“证明”同时进行，即类比的结论，若判断成立，则要给予证明；若判断是错误的,需举反例。

第二，既重类比规律又重特殊性，类比有规律可循，但又不是一成不变的;类比不是万能的，但类比又是十分重要．在类比时,既重类比规律又重其特殊性。

第三，在数学概念的教学中，应恰当地运用类比认知法，不能混淆比喻与类比，要对学生在类比过程中产生的想法，能确定正误及时评价，不能确定的给予方法上的指导。

教材中安排得最多的是类比内容，在讲授新知识的同时，经常联系旧知识，创造条件进行类比，扩展学生的思路，养成学生进行类比的习惯。平面几何的基本元素是点和直线，而立体几何的基本元素是点、直线和平面，如果我们建立如下对应关系：平面内的点对应到空间中的点或直线，平面内的直线对应到空间中的直线或平面，那么把平面几何某些定理中的点换作直线，或把线换作平面，就可以帮助学生“发现”一类相似的立体几何定理。

第四，教师在备课时应充分了解有部分知识学生可能发生负迁移，讲课时应使用各种方法对该知识重点讲解，把它讲清，讲透，把学生的负迁移消灭在萌芽状态。

第五，当有些知识技能发生正迁移时，我们应该运用正迁移的规律培养学生的能力，古人说的举一反三、触类旁通就是指学习中的这种正迁移。

第六，在数学概念的切入点和数学思想方法的应用中，应注意思维的发散性、严密性和逻辑性。要精选例题，精讲过程，精练习题，培养学生多思的解题习惯和灵活的解题能力，切忌“题海战术”，因为大量的做题，使学生建立了数学问题与知识之间机械式的条件反射，形成负迁移，学生遇到问题的第一反应是相应的内容，而不做具体分析，这不利于数学思想方法的理解和应用。“题海战术”还使学生过分强调解题经验，限制了学生的思维，不利于创新人才的培养，更无助于知识与能力的提高。

因此，在教学中，要防止学生根据形式类似，进行类比造成的错误．多了解学生的具体情况，因材施教是法宝，重视类比和迁移对学生的影响，使每一部分的教学顺利地承上启下，使学生正确、牢固、灵活地掌握知识，掌握数学的思想方法，有利于全面提高学生的素质。

八、实验的效果分析

学生数学素养增强，整体成绩提高;发现问题解决问题的能力增强;教师的专业水平得到提升。

“数学学习的过程”是一种“具体化”和“同化”的过程。教师应将自己的“再创造”为学生展现出“活生生”的思维活动，从而帮助每一个学生最终相对独立地去完成数学思维的建构活动。一个好的数学教师应该通过自己的教学使学生受到强烈的感染，从而激发他们对数学的兴趣和热爱，增强他们的数学意识，使学生体会到数学活动的内在乐趣。我们更需要培养学生对数学美的鉴赏和追求，因为对于美的鉴赏正是调动学生学习积极性的有效手段。只有我们意识到类比的教育教学价值，通过类比的教学方法去展示数学的知识，才能让学生拓展视野，以极大的热情去研究、学习数学，认识到数学世界的和谐统一，才能真正实现学生由“学会”到“会学”的转化。巨大的科学发明需要有较强的类比能力，而较强的类比能力正基于猜想与证明的有机结合。对类比的各种状态要给予严格论证，还要捕捉各种类比念头，抓住两系统间的相似之处，利用类比这座雄伟的桥梁，将信息不断地过渡，并不断地证明，使其科学化，从而使学生的创造力不断地在类比成功中得到升华。

参考文献：

1.严运华著: 高中数学“类比推理”资源的构建及应用.2007

2.波利亚著：数学与猜想.科学出版社.1984

3.刘云章等：数学解题思维策略.湖南教育出版社.1992