高中数学的基本不等式

开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇高中数学的基本不等式，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。

第1篇

关键词：高中数学；不等式；教学方法

一直以来，不等式都是高中数学的一个重要组成部分，也是高中数学中最为经典的内容之一，它是构成数学知识结构中必不可少的一部分，同时也是最难的要点之一。不等式反映了事物在量上的区别，是数学教学中的重要内容。同时不等式与很多其他知识也具有紧密的联系，在很多涉及量的范围以及最值的内容上基本都会用到它。结合自己的教学经验，提出几点关于高中数学课堂不等式教学的建议。

一、把握好不等式内容的教学要求

在高中数学课堂的不等式教学中，首先要准确地把握好教学要求，不能随意地提高教学要求，而是应该在数学标准的具体要求下严格控制教学的深广度。在课程标准的要求上，教材都给出了详细的概括，对几个教学内容都给了极为明确的教学要求，例如，在解含有绝对值的不等式时，只要求学生可以解几种特殊类型的不等式即可，而不要求学生能够解所有类型的含绝对值的不等式。同时在用数学归纳法证明不等式的时候，也只要求学生会证明一些简单的问题等等。另外，在不等式以及数学归纳法的很多问题中，常常需要使用一些具有极强技巧性的恒等变形。教师在这个环节的教学中，应该控制这方面的教学要求，不能使整个教学陷于一种过于形式化且较为复杂的恒等变形之类的技巧之中去。此外，还不能对学生的要求过于高，不能以专业的水平来要求学生。对于绝大多数学生，需要通过一些极为简单的问题使他们懂得这个知识的应用。

二、加强在教学方式方面的改进

现在的高中数学教学中仍然存在着一些极为严重的问题，对学生而言，最为主要的就是学习比较被动，一般都是通过接受式的方法进行学习，而作为教师一般都选择灌输式的教学方式，这样就使得教师在教学中对学生的引导和启发不够，学生的探索意识不强，不能主动地去发现新问题，不能用很好的方法去解决问题。这就要求教师在教学中应该注重引导学生学习。例如，在对基本不等式讲解时，教科书中就提出了一个让学生自己思考的问题——“对于三个正数会有怎样的不等式成立呢？”在学生证明了关于三正数的均值不等式后，又提出了一个关于一般均值不等式的解法；在证明完二维和三维的柯西不等式后，就出现了一个具有探究性的问题——“对比二维形式三维形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式吗？”又如，“一般形式的三角不等式应该是怎样的？”等等，这些具有探究性的问题在整个教材中随处可见。教师就应该充分地利用这些问题，去引导学生在自己探究的过程中理解知识的应用过程。

三、借助几何方法，使学生对不等式的理解更为直观

不等式是通过数量关系来对整个现实世界进行刻画的，因此，我们一般是通过用代数的方法来证明不等式的。要通过代数进行证明，一般需要经过一系列的变形，而其中的数量关系人们往往是不能直接看出来的。此时，就需要借助几何方法，把不等式中的有关量恰当地用图形中的几何量表示出来，这样，就能很好地表示出不等关系，使学生能够很直观地从几何的角度理解很多重要的不等式的几何背景。我们教科书中所呈现的不等式的几何背景，往往能够帮助学生很好地理解不等式的几何本质。例如：绝对值的三角不等式是通过借助向量以及三角形的边长关系表示的；柯西不等式是通过借助向量运算表示出来的等等。教师应该通过这样的方式来引导学生在面对数学问题时能够从几何的角度进行思考，从而找到解决问题的方法。

四、注重数学思想方法

之所以强调数学思想方法的运用，是因为数学思想方法是通过思维活动对数学结构形式进行认知的核心。其中既包括知识内容的最基本的表象概念，也包括需要掌握一定知识所需要的思维方式。就高中数学而言，最为常用的数学思想方法主要有化归、模型、递推、分类、数形结合、函数与方程等，这些不仅是学生学习数学中不可缺少的数学方法，同时还是教师教学中的重要方法。高中数学中最为常用的思想方法有：分类讨论思想、数形结合思想、转化（化归）思想、函数与方程思想等，这些方法都可以在不等式教学中进行渗透。

1.分类讨论思想

分类讨论思想是根据数学对象的本质属性的异同点把数学对象分为不同种类的具有一定的从属关系的数学思想方法。掌握分类讨论思想对提高学生的理解能力以及对知识的整理和独立获得有重要帮助，同时还可以帮助学生形成较为严密的知识网络。

2.数形结合思想

数形结合思想是通过用数解形或以形助数来处理数学问题。数形结合思想在整个高中数学教育中都是可以使用的。这一思想的具体运用体现在数轴、三角法、复数法、计算法和几何题、向量法、图解法、解析法等等。这些都是用数形结合思想使抽象问题具体化，复杂问题简单化，使问题更简单地被解决。在不等式的教学中，教师更应充分地利用图形以及图象让学生更清楚地理解知识。这些不等式问题的解决，如果利用数形结合思想，将不等式中的抽象思维和形象思维加以结合，就能使不等式的问题化困难为简单。

3.转化（化归）思想

转化思想是将已有的相关知识经验，通过观察、联想以及类比等方式，把问题变换、转化成容易解决的问题的思想方法。这个方法是让学生形成一种化归意识，在平时的学习中熟练地掌握各种知识的转化，将复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。例如，可以将多元方程通过转化思想转化为一元方程，将钝角三角函数转化为锐角三角函数，把高次的方程化为低次的方程等等。学生能将新学的知识运用到旧知识中去，在学习了新知识的同时又巩固了旧知识。

4.函数方程思想

函数方程思想是在解决有些数学问题时，通过构造适当的函数或者方程将问题转化为函数或者方程的思想，函数与方程之间是互相联系的。例如，证明不等式离不开换元以及函数的单调性，函数方程思想有助于加深对数学知识的理解，对数学教学具有重要意义。

不等式在整个高中数学中的作用极其重要。作为教师，在对不等式进行教学时，要引导学生逐步地学会自我学习，这样有助于知识更容易被吸收，也更牢固。通过以上高中数学不等式教学方法的探讨，希望可以给教师的授课以及学生的学习带来帮助。

参考文献：

［1］高修库.一类“函数不等式成立”的“最值”问题解析策略［J］.中学数学参考，2012（05）.

［2］张希运.浅谈高中数学中关于最优化的函数模型［J］.新校园：理论，2010（11）.

［3］陈业.高中数学不等式解法及应用［J］.黑河教育，2010（11）.

［4］郑珺影.教学思维在高中数学不等式教学中的作用［J］.考试周刊，2008（40）.

［5］彭永中.由一道绝对值不等式题看初高中数学衔接教学［J］.新课程：教育学术，2011（04）.

［6］靳国林.浅谈高中数学的解题策略［J］.高中数理化，2012（10）.

第2篇

关键词：疑探式；高中数学；情感教学

疑探式教学是通过疑问与探究相结合而形成的环节固定的教学方法，有助于增强学生主动提出问题、独立思考问题、合作探究问题的能力，有助于增强学生敢于质疑、认真倾听、不断反思、善于表达、勇于评价等良好品质。

一、疑探式教学简介

（一）设疑自探

在高中数学中实施疑探式教学，教师先要根据教学目标，创设问题情境，确定自探问题。自探问题可以由教师直接确定，也可以在学生发散性提出之后，教师进行归纳、补充。在学生自探的过程中，教师要予以一定的方法指导、信心鼓励、时间规定，同时要让学生感受到教师的关注与期望，无论教师采取何种关注形式，都不能打断或干扰学生的思路。

（二）解疑合探

这一步主要是以师生、生生互动方式有效检验自探情况，并就自探中无法解决的问题合作解决。一般而言，可以通过提问与评价的方式进行，从而使学生学会表达、思辨、评价、倾听，可以通过讨论的方式进行。对于易混易错的问题，教师也要参与到讨论中，当学生在讨论中没有解决掉问题时，教师要予以讲解。

（三）质疑再探

这一步主要是让学生根据自己所学的知识，确定一个层次更高的疑难问题，进行进一步探究。当学生无法进行较好的质疑的时候，教师要按照课程完成情况予以示范，从而引导学生提出有价值的问题。在设疑自探、解疑合探、质疑再探的每一个环节，教师与学生都要增强自身对数学的良好情感，即学生要掌握良好的学习方法，从而拥有学好数学的信心，教师要增强自身对数学的热爱。

二、高中数学疑探式教学中实施情感教学的措施

（一）有效创设数学情境

高中数学疑探式教学中，教师要增强对创设数学情境的重视，从而更好地激发学生的情感，所以教师要在充分尊重学习目标的基础上，将情境创设作为自觉设计的产物。教师可以充分利用学生爱动手操作、探索、自我发现的特点，让学生根据学习目标自主确立探究问题，并通过多种形式对问题进行自主探究，最终实现对问题的理性认识。例如，在学习高中数学《常用逻辑用语》中的充要条件时，由于这是高中简易逻辑关系的重要概念，也是难点问题，所以要想使学生增强对其了解需要进行有效的问题创设。可以充分利用电路图，其中开关A的闭合是条件，灯泡B亮是结论。学生通过对电路图的观察，便能对充分不必要、必要不充分等四个概念有一个深入的理解。这种情境的创设有助于调动学生对数学的兴趣，从而达到理想的教学效果。

（二）结合数学本身的内在美

教师只有让学生体验到数学的内在美，让他们认识到数学不是枯燥的符号，才能使学生产生主动探究数学的热情。所以，数学教师要进一步增强学生对数学美的鉴赏力。例如，在学习几何图形的对称性的时候，教师要引导学生感受其轴对称、旋转对称等，让学生体会到对称美、和谐美。当教师帮助学生将这种激情转化成稳定情感的时候，学生便能通过体验数学学习的成功形成一种自信心，从而更好地学习数学.

（三）增强数学探究意识

教师在教学的过程中，要注重引导学生探究问题，增强学生的创新意识，最终深化学生对数学的情感。高中数学教材中有很多定理、公式。很多教师总是将结论直接告知学生后再进行证明，这种方式在一定程度上制约了学生理解、感受数学，因此教师要通过创设教学情境让学生通过探究发现结论。例如，在讲授高中数学基本不等式abba2的过程中，教师可以让学生观察第24届国际数学大会的会标，同时与学生共同确定以下探究问题：（1）图形中面积存在什么关系？是否可以用数量表示？如果某些出现变化，会形成什么不等关系？（2）如果不等式a2+b2＞2ab的正实数a、b变为实数a、b，则a2+b2与2ab之间的关系是怎样的？（3）在上面不等式中，a、b∈R，当a＞0，b＞0，使用b、b代替a、b，将形成新的不等式2abba（a＞0，b＞0），怎样依据上面的方法对这一不等式进行有效证明？通过这道例题，学生会借助图形确立数学问题，形成相应的解决方案，同时学生的观察能力、独立思考能力、数学表达能力都将得到有效增强。疑探式教学属于一种新的学习方式，能够帮助学生对数学概念进行了解、对结论产生过程进行操作，从而体验到数学创造的激情，增强学生独立思考、勇于质疑的良好习惯，使学生具备发现、提出、解决问题的能力。而情感教育在教育过程中占据重要地位，是教师帮助学生形成较强的情感控制能力和个性品质的重要途径。只有当数学拥有了较强的情感性时，才会更具趣味性和魅力。因此，高中数学教师作为学生学习活动的组织者、引导者，在设计教学活动中应该全面考虑，精心设计教学活动，确保疑探式教学在课堂中的灵魂地位，同时要为学生营造一种积极平等的课堂氛围，促进学生发挥情感因素。只有这样，才能实现数学学习的成功。

参考文献：

[1]徐敏.布疑分层融合—在学生参与中实现数学课堂教学的优化[J].数学大世界(中旬版),2016(7):54.

第3篇

一、初等函数中“整体换元”的简用

指数函数、对数函数、幂函数等的复合函数的求解问题中，常将“内层函数”看做一个整体来处理，通过“整体换元”，简化结构形式，便于试题分析，提高解答的速度与正确性。

案例1：求函数y=+ x∈[2，4]的最大值？

整体换元，令t=，所以原函数化为y=t+，因为x∈[2，4]所以t∈[1，2].根据y=t+“双钩”函数特征知函数在t∈[1，2]中是单调递减，也可通过求导判断函数y=t+的单调性可得原函数在x∈[2，4]的最大值为t=1时的值5。通过整体换元后，简化了等式方程的结构，提高了答题效率。

二、目标函数中“整体代换”的变用

线性约束条件下，常将目标函数“整体代换”，或调配目标函数结构，充分利用约束条件做整体代换，令我们的解题思路豁然开朗，解题中产生耳目一新的感觉和收获。

案例2：（2015全国卷）若，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为____________。

通解通法;做出可行域，变形目标函数y=-x+z.平移y=-x获取直线图形截距最大值，即x=1，y=时zmax=。解法虽得当，但解题繁琐，用时过长，作为一道填空题，是否有更简捷实用的解题方法？观察线性约束条件特点，调配目标函数，做整体代换。z=x+y=（x-2y）+（x+2y）Q×0+×2=

当x-2y=0，x+2y=2，即x=1，y=时zmax=。

比较两法第二种解法简便，给人全新的解题感收。同时启发我们，能否变形线性条件，利用不等式性质得出目标函数最值？

三、二元函数中“整体代换”的巧用

二元函数最值问题在近几年的高考中频频出现，常见的方法有将二元转变为一元法、不等式放缩法、基本不等式法、转化为线性目标函数最值法等，而“常值整体代换”与重组后“整体代换”是求二元函数最值的主要方法。

案例3：（2015南通、扬州、等地高三调研试题）

已知正实数x、y满足x++3y+=10，则xy的取值范围为？

本题可用整体代换将二元函数式转化为一元式，设k=xy，得y=代入x++3y+=10化简整理成关于x的一元二次方程。然后根据方程在x取值范围内存在两个正实根的条件得出xy的取值范围。我们也可对已知二元等式进行重组变形，做整体处理，利用基本不等式放缩法求得xy的范围。10= x++3y+=（x+）+（+3y）R2化简可得;（3xy-8）（xy-1）≤0，解不等式得xy的取值范围是。通过常值整体代换与重组后整体代换使二元函数最值的求解峰回路转，迅速获得了解题的途径方法。

四、三角函数中“整体代换”的互用

三角函数中广泛应用整体法求解，如：求函数对称轴、对称中心、单调区间与最值，均可将看做一个整体，进行整体代换，再利用y=sinx的性质进行处理，在解三角形中也可将正弦公式、余弦公式，整体互代，化简已知，简便求解。

五、导函数求解中“整体求导”的活用

第4篇

关键词： 构造法 不等式 解题途径

什么是构造法，又怎样去构造？构造法是运用数学的基本思想经过认真考察和深入思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决的一种数学思想方法.构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以问题的特殊行为基础，针对集体的问题特点而采取相应的解决办法。其基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法.在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，就可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想，拓宽自己的思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有帮助.下面我们通过举例来说明通过构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新.

证明不等式的方法有很多，构造法就是其中的一种，其实只是将不等式进行等价转化，它以构造方程、数列、图形作为常用手段.

1.构造方程

有些数学题，经过观察可以构造一个方程，从而得到巧妙简捷的解答.

不等式成立

②tanγ-tanα≠0

当x=-1时

（tanγ-tanα）+2（tanα-tanβ）+（2tanβ-tanγ）=0

x=-1是方程（*）的根

2.构造数列

数列和不等式是高考的两大热点也是难点，数列是高中数学中一个重要的内容，在高等数学也有很重要的地位.不等式是高中数学培养学生思维能力的一个突出的内容，它可以体现数学思维中的很多方法，当两者结合在一起的时候，问题会变得非常灵活.

3.构造图形

在解题时若以数形结合的思想作指导，对于某些较复杂问题，通过构造图形启发思维，借助于图形的直观来解题往往能使解题方法简捷.在证明不等式中，我们把已知条件或要证不等式中的代数量直观化为某个图形的几何量，构造出一个符合条件的几何图形，便可应用图形性质及相应的几何知识证明不等式.

所以不等式成立.

4.构造函数

函数在中学数学中占有相当重要的地位，学生对于函数的性质也比较熟悉.选择烂熟于胸的内容来解决棘手问题，同时也达到了训练学生的思维，增强学生思维的灵活性、开拓性和创造性.有些不等式的证明，也可以构造函数模型，利用函数性质来解决，往往要比常规的方法容易找到证题途径.

分析：本题可以用比较法、分析法等多种方法证明.若采用函数思想，构造出与所证不等式密切相关的函数，利用函数的单调性来比较函数值而证明，则思路更为清晰.

5.构造平面向量

平面向量具有数和形的双重性，因此用构造平面向量的方法在证明不等式有时能给你一个意想不到的“惊喜”.

在解不等式或证明时，除了掌握其基本不等式外还要把握题目的特点寻找简便的方法，而本题就是运用平面向量解题的简便方法.

通过上面的例子，我们知道在解题的过程中要善于观察，善于发现，在解题过程中不墨守成规，大胆去探求解题的最佳途径.创新思想是整个创新活动的关键，敏锐的观察力，创造性的想象，独特的知识结构，以及活跃的灵感是其基本特征.这种创新思维能保证学生顺利解决问题，高水平地掌握知识，并能把知识广泛地运用到解决问题上来，而构造法正从这方面训练学生思维，使学生的思维由单一型转变为多角度，显得积极灵活，从而培养学生的创新思维.

参考文献：

第5篇

关键词：高中数学；新教材；适应性

高中数学新课标改革实验已在我国全面实行，重庆市高中数学新课改已经历了近四个学期的教学实践，这场集数学理念、教学内容、教学方法为一体的新课程改革实验如春风，为我国的基础教育注入了新的活力．数学教材内容更有趣，贴近现实生活，教师更关注学生的学习过程与全面发展，数学课堂更加生动，富有深刻的数学思考……但新教材在高中数学课堂教学实践中也暴露出许多问题，特别是数学新教材的适应性问题，更是显得十分突出． 这主要表现在以下几个方面：

教师对新教材的适应性问题

新的教材承载着新的教育理念，和传统教材有着颠覆性的差别，这需要有不同于传统教学的教学方法与之相适应． 虽说在前期经过了大量的培训工作，教师对于新教材也有一些认识，但是由于经验的欠缺，在实际教学过程中出现了许多偏差，这主要表现在以下两个方面．

一是受传统教学方法的影响太大，对新课标缺乏足够的认识；对教材内容的变化、重难点的分布不清楚；对教材的各个部分要求的难度不能把握；新瓶装旧酒、穿新鞋走老路，对新教材的教学只是简单地进行内容调整，没有从根本上改变教学理念，往往对教学内容要求过高、过深、过难，这就是许多教师反映课时严重不足，不能按时完成教学目标的主要原因． 比如对教材中立体几何的教学处理，以湘教版为例，教材把立体几何这部分内容分为了必修和选修两个模块，和原来的教材比较，新教材增加了三视图、台体、棱柱体等内容，新教材强化了对学生空间想象能力的要求，弱化了传统的逻辑推理证明，强调了空间向量的工具性作用． 教师应该充分理解新教材的编写意图，对教学重难点做一些适当调整． 然而实际情况是，许多学校的教师在进行这部分教学时，无法走出自己熟悉的老的教学框架，依据老教材补充了大量的内容，大大地加重了学生的学习负担．

二是矫枉过正，一味否定传统教学方式，不分课型，不看内容，堂堂课都是活动、实验、讨论，对一些明明学生理解起来并没有难度的内容，也要花上许多时间让学生去实验、猜想，将新课标的要求浅化、表面化、形式化，严重低估学生的理解能力，使得课堂效益低下，丧失了提升学生数学能力的机会．

教材本身存在一个需要不断修正和完善的问题

重庆市高中新教材主要有三个版本，人教版、北师大版、湘教版，是按照《基础教育课程改革纲要（试行）》的精神和要求，以《普通高中数学教材课程标准》为依据，反映了时代特征、体现数学文化、体现了新的教育理念的高中数学教材；但正是由于教材的“新”，在它众多优点的背后，也存在许多“瑕疵”：

各个模块之间的衔接问题：一是知识内容冲突，前面学习的内容涉及后面没有学习的内容．比如湘教版必修一在讲函数的定义域时，要求学生求解函数f（x）=的定义域，而此时学生并没有学习一元二次不等式的解法；二是内容累赘重复，比如湘教版的选修2-2第六章“推理与证明”中的“分析法与综合法、反证法、数学归纳法”与选修4-5内容重复；必修五中线性回归与选修2-3的线性回归重复；选修4-5中不等式的性质及基本不等式与必修四中内容重复等．三是模块之间内容矛盾，比如湘教版在选修2-2第六章“推理与证明”中讲“反证法”时说：“反证法是一种间接证法，是证明它的反论题为假……”而在选修4-5中（23页），教材说：“应用反证法证明数学命题，实际上是用证明逆否命题成立来代替证明原命题成立．” 这两种讲法是相互矛盾的，后一种明显是一种错误的说法．

各个版本教材之间的衔接问题：由于重庆市高中新教材主要使用了三个版本，人教版、北师大版、湘教版，同一个内容这三个版本的教材讲解也有一些不同，这给后续的交流与评价带来不小的麻烦，特别是给高考命题带来一定的影响． 比如：对于周期函数的定义，湘教版必修2第38页这样定义：“一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，x±T都有定义，并且f（x±T）=f（x），则这个函数y=f（x）称为周期函数，……”但人教版是这样定义的：“对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．” 这显然是两个差异很大的定义． 再比如，讲解“算法与程序框图”时，三种版本使用的计算机程序语言都不相同；另外还涉及一些公式的符号的差异……

教材重难点分布不均的问题：在高一上学期，教学内容是集合与函数，这既是高中数学的重点，也是难点，而此时恰是学生处在初高中学习的转换期，学习的难度和压力特别大． 而到了第二学期，学生学习概率统计时，由于必修内容很简单，再加上大部分内容在初中都学习过，比如“平均数”、“方差”等概念和初中讲解的难度和深度基本一样，学生又显得有点“无所事事”，而且这部分内容到了选修2-3时还要再次讲解！可能你会说这是为了“螺旋式上升”，但这并不是高中数学中最难的内容，有这个必要吗？你也可能会说这是为了文科学生，因为他们并不学习选修2-3，那为什么不可以将文科要学的内容放入选修1系列呢？

总之，一本好的教材是需要在实践中不断修正和完善的，要提高数学课堂的有效性，首先必须要有一本比较完善的教材，并创造性地用好教材． 所以，我们必须要在使用教材的过程中，认真研究教材优缺点，并积极形成反馈信息，为教材的再编提供有价值的参考意见．

学生学法方面的问题

对于学生的学习方法，也有一个适应新教材的问题，随着新课改的深入开展，学生的学法也存在比较大的问题，传统的学法比较单一，动不动就是题海战术，学生一有时间就沉入到题目的中不能自拔，我们有必要研究如何去指导学生新形势下的新的学习方法，课堂教学本来就是由教和学构成的，要想很好地提高课堂有效性，我们也必须要研究课堂教学中学生学习活动的类型、方式及其意义．

总之，随着高中新课程改革深入开展，如何把握教学的难度，如何把握教学的针对性，如何根据不同的课型设计学生的活动，更好地激发学生的主观能动性，……，如何更好地贯彻新课标理念，完成新课标要求的教学目标，这是新课改进程中值得我们长期研究的课题．

摘 要：本文以重庆市高中数学新课改教材的教学实践为线索，探讨了在新课改中教师在更新教学观念、合理设计教学以及学生的学习方法上应注意的几个问题．

关键词：高中数学；新教材；适应性

高中数学新课标改革实验已在我国全面实行，重庆市高中数学新课改已经历了近四个学期的教学实践，这场集数学理念、教学内容、教学方法为一体的新课程改革实验如春风，为我国的基础教育注入了新的活力．数学教材内容更有趣，贴近现实生活，教师更关注学生的学习过程与全面发展，数学课堂更加生动，富有深刻的数学思考……但新教材在高中数学课堂教学实践中也暴露出许多问题，特别是数学新教材的适应性问题，更是显得十分突出． 这主要表现在以下几个方面：

教师对新教材的适应性问题

新的教材承载着新的教育理念，和传统教材有着颠覆性的差别，这需要有不同于传统教学的教学方法与之相适应． 虽说在前期经过了大量的培训工作，教师对于新教材也有一些认识，但是由于经验的欠缺，在实际教学过程中出现了许多偏差，这主要表现在以下两个方面．

一是受传统教学方法的影响太大，对新课标缺乏足够的认识；对教材内容的变化、重难点的分布不清楚；对教材的各个部分要求的难度不能把握；新瓶装旧酒、穿新鞋走老路，对新教材的教学只是简单地进行内容调整，没有从根本上改变教学理念，往往对教学内容要求过高、过深、过难，这就是许多教师反映课时严重不足，不能按时完成教学目标的主要原因． 比如对教材中立体几何的教学处理，以湘教版为例，教材把立体几何这部分内容分为了必修和选修两个模块，和原来的教材比较，新教材增加了三视图、台体、棱柱体等内容，新教材强化了对学生空间想象能力的要求，弱化了传统的逻辑推理证明，强调了空间向量的工具性作用． 教师应该充分理解新教材的编写意图，对教学重难点做一些适当调整． 然而实际情况是，许多学校的教师在进行这部分教学时，无法走出自己熟悉的老的教学框架，依据老教材补充了大量的内容，大大地加重了学生的学习负担．

二是矫枉过正，一味否定传统教学方式，不分课型，不看内容，堂堂课都是活动、实验、讨论，对一些明明学生理解起来并没有难度的内容，也要花上许多时间让学生去实验、猜想，将新课标的要求浅化、表面化、形式化，严重低估学生的理解能力，使得课堂效益低下，丧失了提升学生数学能力的机会．

教材本身存在一个需要不断修正和完善的问题

重庆市高中新教材主要有三个版本，人教版、北师大版、湘教版，是按照《基础教育课程改革纲要（试行）》的精神和要求，以《普通高中数学教材课程标准》为依据，反映了时代特征、体现数学文化、体现了新的教育理念的高中数学教材；但正是由于教材的“新”，在它众多优点的背后，也存在许多“瑕疵”：

各个模块之间的衔接问题：一是知识内容冲突，前面学习的内容涉及后面没有学习的内容．比如湘教版必修一在讲函数的定义域时，要求学生求解函数f（x）=的定义域，而此时学生并没有学习一元二次不等式的解法；二是内容累赘重复，比如湘教版的选修2-2第六章“推理与证明”中的“分析法与综合法、反证法、数学归纳法”与选修4-5内容重复；必修五中线性回归与选修2-3的线性回归重复；选修4-5中不等式的性质及基本不等式与必修四中内容重复等．三是模块之间内容矛盾，比如湘教版在选修2-2第六章“推理与证明”中讲“反证法”时说：“反证法是一种间接证法，是证明它的反论题为假……”而在选修4-5中（23页），教材说：“应用反证法证明数学命题，实际上是用证明逆否命题成立来代替证明原命题成立．” 这两种讲法是相互矛盾的，后一种明显是一种错误的说法．

各个版本教材之间的衔接问题：由于重庆市高中新教材主要使用了三个版本，人教版、北师大版、湘教版，同一个内容这三个版本的教材讲解也有一些不同，这给后续的交流与评价带来不小的麻烦，特别是给高考命题带来一定的影响． 比如：对于周期函数的定义，湘教版必修2第38页这样定义：“一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，x±T都有定义，并且f（x±T）=f（x），则这个函数y=f（x）称为周期函数，……”但人教版是这样定义的：“对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．” 这显然是两个差异很大的定义． 再比如，讲解“算法与程序框图”时，三种版本使用的计算机程序语言都不相同；另外还涉及一些公式的符号的差异……

教材重难点分布不均的问题：在高一上学期，教学内容是集合与函数，这既是高中数学的重点，也是难点，而此时恰是学生处在初高中学习的转换期，学习的难度和压力特别大． 而到了第二学期，学生学习概率统计时，由于必修内容很简单，再加上大部分内容在初中都学习过，比如“平均数”、“方差”等概念和初中讲解的难度和深度基本一样，学生又显得有点“无所事事”，而且这部分内容到了选修2-3时还要再次讲解！可能你会说这是为了“螺旋式上升”，但这并不是高中数学中最难的内容，有这个必要吗？你也可能会说这是为了文科学生，因为他们并不学习选修2-3，那为什么不可以将文科要学的内容放入选修1系列呢？

总之，一本好的教材是需要在实践中不断修正和完善的，要提高数学课堂的有效性，首先必须要有一本比较完善的教材，并创造性地用好教材． 所以，我们必须要在使用教材的过程中，认真研究教材优缺点，并积极形成反馈信息，为教材的再编提供有价值的参考意见．

学生学法方面的问题

对于学生的学习方法，也有一个适应新教材的问题，随着新课改的深入开展，学生的学法也存在比较大的问题，传统的学法比较单一，动不动就是题海战术，学生一有时间就沉入到题目的中不能自拔，我们有必要研究如何去指导学生新形势下的新的学习方法，课堂教学本来就是由教和学构成的，要想很好地提高课堂有效性，我们也必须要研究课堂教学中学生学习活动的类型、方式及其意义．

第6篇

必修1

函数单调性的证明，由于还没学习不等式的性质，有些题目做差之后不好比较大小.新教材删掉“含绝对值的不等式解法”，导致很多学生不会求解含有绝对值的不等式.把“简易逻辑”放到选修系列是否有点不合理？简易逻辑贯穿了高中数学教学过程，却被后置，导致学生对“和”“并且”“或”“交集”“并集”等词不能很好地理解，写解集的时候经常不知所措，不知道用“和”还是“或”.

未学解不等式就学指数、对数、幂函数，造成函数的定义域、值域等问题难以解决，特别是复合函数.当然，造成这种情况也有教师自身的因素，总想把每一个知识点讲深讲透，提升了知识点的难度，让学生理解起来有困难，还影响了教学进度.部分教师对于“螺旋设置”的模块课程还不能很快适应.

必修2

几何内容先安排了“空间几何体的结构”，学生没有接触过点、线、面的位置关系，也缺少较强的空间想象的能力，所以对几何体的认识不是很清楚.长方体、平行六面体、直平行六面体等内容也没有学习过，练习册有时又出现与之有关的题目.在“空间几何体的表面积与体积”的教学中，学生不会找物体的高，影响了体积的计算.并且由于没有学习必修5的“解三角形”，学生不会用正弦定理和余弦定理，不能计算一般三角形的边长和面积，这样所有的题目都是特殊图形，不是等边三角形，就是特殊的直角三角形，而高考立体几何的题目并不都是特殊三角形.

“点、直线、平面之间的位置关系”的教学中，应该先学习点、直线、平面的符号表示和图形表示，以及怎样用图形和符号表示点、直线、平面的位置关系，然后学习四个公理，再进行平行和垂直的判定和性质，这样教学效率是否会更高一些，教学效果会更好一些？

在“倾斜角与斜率”中讲解k=tanα的公式时，对于倾斜角是90°的直线没有斜率不能从三角函数的定义来解释，只能用坡比的定义来解释.学生也无法理解角函数出现负值的情况，对于诱导公式tan（180°-α）=-tanα，教师只能说后面会学习的，暂时先了解一下.没有学习三角函数，学生对公式k=y2-y1x2-x1的证明理解起来也有困难.在“两直线平行与垂直的判定”教学中也出现了诱导公式tan（90°+α）=-1tanα，学生在下面只能感叹数学有多么的神奇，根本不知道怎么回事.

“空间直角坐标系”的出现好像有些突然，并且这部分内容很少，只是简单地介绍直角坐标系，而且与后面的选修内容相隔时间过长，对于这一章的内容安排是否妥当，是否放置到选修的位置，还有待我们进一步思考.

必修3

“算法初步”这一章内容相对独立，位置比较容易安排，是否放置在其他位置更为合适，这还需要和其他的模块相互协调.只是算法需要信息技术的支持，很多学校无法完成把算法编成程序后在计算机上运行的目标.

众数、中位数、平均数、极差、方差在初中已经学过，高中又安排了课时，只不过多了个标准差.必修2中的“空间几何体的三视图和直观图”也是这种情况.“两个变量的线性相关”一节中最小二乘法似乎太难，学生根本不理解，只能记忆公式，高考对于公式的证明也没有要求，那还有没有安排证明过程的必要？而且对于利用计算器进行教学，大部分学校都是达不到的，学生无法用计算器来解决数学问题.

“概率”一章，由于没有学习排列组合，概率的计算都比较简单.如果是理科生，这种要求又过低，讲解太深入则有超纲之嫌，讲解太过简单又提不起师生的兴趣，还浪费了时间和精力.对于文科生来说，一些题目如果不用排列组合的内容，而采用列举法，或者画树状图，又比较麻烦，是否文科生也了解一些排列组合的内容？以前概率的教学绝大多数都是在学习了排列组合之后进行的，教师对这种改变有点不适应.

必修4

老教材三角函数的内容分为两部分，新教材按照“螺旋设置”把教学内容分为三角函数、三角恒等变换、解三角形三部分.必修4的知识点与老版教材第一册下相比大体相同，只是把“解三角形”放在了必修5，所以必修4在教学过程中遇到的问题相对比较少.美中不足的是物理课教学力的分解与合成时需要相应的三角函数和解三角形的知识，数学教材中出现的晚了一点，是否考虑把三角函数的模块前移.

必修5

第7篇

一、“不等式”考查凸显多样性

例1已知函数f（x）=log2x，x>02x，x≤0则满足不等式f（f（x））>1的x的取值范围是___________.

解：由f（x）>1x>0log2x>1或x≤02x>1x>2，所以f（f（x））>1可得f（x）>2

x>0log2x>2或x≤02x>2x>4，从而满足不等式f（f（x））>1的x的取值范围是x>4.

点评：本题为一道解不等式题，解不等式的考查多以分段函数为主，在解题时要将不等式等价转化为不等式组来解，如能在解题时多注意观察，则能化繁为简.此题中当x≤0时2x≤1，从而由f（x）>2可直接转化为x>0log2x>2.

例2各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d>0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4—a1=88，则q的所有可能的值构成的集合为___________.

解：设a1，a1+d，a1+2d，a1+88，其中a1，d均为正偶数，则（a1+2d）2=（a1+d）（a1+88），

整理得a1=4d（22—d）3d—88>0，所以（d—22）（3d—88）

当d=28时，a1=168，q=87，所以q的所有可能值构成的集合为{53，87}.

点评：本题通过挖掘隐含条件，建立不等式夹出d的所有可能的取值，一一列举就能得到答案.这种利用隐含条件建立不等式破解问题的题目屡见不鲜.

二、一元二次不等式考查凸显灵活性

一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间紧密相连，在解题时要灵活地进行三者之间的相互转化，寻找理解的最佳切入点，寻求解决问题的最佳突破口.

例3已知a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为集合M和P，那么“a1a2=b1b2=c1c2”是“M=P”的___________条件.

分析：当a1a2=b1b2=c1c2时，若a1·a2

点评：此题全方位地考查了一元二次不等式的解法，既包括二次项系数的正负，也包括Δ的正负，既要考虑一般情况，又要注意特殊情况，稍有不慎，极易因考虑不全导致错误.

三、线性规划考查凸显载体性

例4设实数n≤6，若不等式2xm+（2—x）n—8≥0对任意x∈[—4，2]都成立，则m4—n4m3n的最小值为___________.

解：不等式可化为（2m—n）x+2n—8≥0，由题意可得（2m—n）（—4）+2n—8≥0（2m—n）×2+2n—8≥03n—4m—4≥0m≥2n≤6

令n=y，m=x，yx=t，则3y—4x—4≥0x≥2y≤6表示的平面区域如图

yx表示区域内的点与坐标原点连线的斜率，可求yx∈[127，3]即t∈[127，3]，m4—n4m3n=mn—（nm）3=1t—t3，因为函数1t—t3在[127，3]上单调递减，所以当t=3时1t—t3取得最小值—803即m4—n4m3n的最小值为—803.

点评：本题通过对m4—n4m3n的化简、换元、求导将问题转化为求区域内的点与坐标原点连线的斜率.此题巧妙的将线性规划问题与函数导数结合起来了.

四、基本不等式考查凸显意识性

例5在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v（米/单位时间），单位时间内用氧量为cv2（c为正常数）；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为v2（米/单位时间），单位时间用氧量为02.记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y.（1）将y表示为v的函数；（2）设0

解：（1）y=30cv+2+12v（v>0）

（2）y=30cv+2+12v≥2+230cv×12v=2+1210c，当且仅当30cv=12v，即v=25c时取等号.

当25c≤5，即c≥2125时，v=25c时，y的最小值为2+1210c.

第8篇

关键词： 高中解析几何 最值问题 教学策略

高中解析几何最值问题是数学中的一大难题，它所涉及的知识点、概念众多，且具有一定的综合性.根据经典的解析几何最值问题的例题，总结归纳简单的教学策略，能够促进解析几何问题的解决[1].

一、解析几何最值问题概述

高中解析几何中有关的最值问题，一般可以分成两大类.一是几何图形中的夹角，距离，以及面积的最值；二是直线与圆锥或圆形曲线的几何最值问题[2].这两类解析几何求最值的，虽然方向有所不同，但是同样都以解析几何的知识作为解题的载体，并且涉及函数、不等式、向量、数列等各种知识，包含的知识点也较多.对于高中数学课程及高考来说，是一个综合类的难点与热点，对于解析几何最值问题的解决，一般要综观全局，从细微处入手解决，它虽然没有固定的解题模式，但还是可以根据多种例题的分析归纳，总结出一些解决高中解析几何最值问题的方法策略.

二、高中解析几何最值问题的教学策略分析

1.利用曲线定义法教学策略解答

解析几何教学解题经验表明，灵活利用概念定义进行解题，是一把万能的金钥匙.尤其是解决直线与圆锥或圆形曲线的几何最值问题，利用曲线定义法更能达到事半功倍的效果.因为圆锥曲线定义明白的表述出动点与定直线、定点间距离不变的关系，巧妙利用这一关系，能够迅速地找到最值问题的突破口径.合理运用于实际的解析几何最值问题中，快速直观地解决圆锥曲线所涉及的最值问题.

例如典型的解析几何最值例题，已知直线l■和l■，分别为4x-3y+11=0和x=-1，同时抛物线y■=4x上有一动点P，求它到直线l■和l■间的最小距离和.根据曲线定义法，我们可以快速地画出该试题的示意简，了解到动点P到l■的距离，可以由P点向l■作垂直线，与横坐标相交于F点，其中PF的距离即为转化为P到l■的距离，同时也可看出距离最小和，则转化为求F到l■的距离，可以得出为d=■=3.

2.利用函数思想教学策略解答

在高中解析几何最值问题的教学过程中，将合适的变量转化为函数思想进行最值问题的解决是一个有效的策略.例如在2010年的福建高考题中，可以通过二次函数配方法快速解决解析几何中的最值问题.

其题意为：若点O和点F为椭圆■+■=1的中心和左焦点，点P是椭圆上的任意点，求■·■的最大值.而对于该题，可以巧妙地利用函数思想进行解答.首先，通过题意可以知F（-1，0），假设点P（x■，y■），则可以得到算式■+■=1，将之变化为y■■=3（1-■）.同时因为■=（x■+1，y■），■=（x■，y■），所以■·■=x■（x■+1）+y■■=■·■=x■（x■+1）+3（1-■）=■+x■+3，该二次函数对应的抛物线对称轴为x■=-2，可知-2≤x■≤2，因此当x■=2时，■·■的最大值为■+2+3=6.

同时，在高中解析几何求最值的教学过程中，要注意四边形面积公式S=■|AB||CD|sinθ的通用.这也是一种巧妙利用函数形式解决解析几何最值问题的重要途径.

3.利用基本不等式法教学策略解答

在高中解析几何的最值问题求解中，当所体现的函数关系式满足基本不等式使用的条件时，可以将其转化为利用不等式方法来进行准确解答.在这一解题过程中，要掌握好配凑的技巧，结合“一正二定三相等”的原则，共同进行解析几何的求最值.下面利用典型例题具体探究用不等式求解析几何最值的解答方法.

已知椭圆E：■+■=1（a>3）的离心率e=■，直线x=t（t>0）与曲线E交于M，N两个不同点，以线段MN为直径作圆C，圆心为C.问题：（1）求椭圆E的方程；（2）若圆C与y轴相交于不同两点A，B，求三角形ABC的面积最大值.而对于该题可以采用不等式解析几何求最值的方法进行解答，简单明了地获得最终答案.

对于问题1，从题面可知椭圆E：■+■=1（a>3）的离心率e=■，所以可得■=■，由此解答出a=2，也就能得出椭圆E的方程为■+■=1.而对于第二个问题，可以设圆心为C（t，0）（0

而根据上面已经得到的半径值，可以得出|AB|=2■=2■=■，从而算出三角形ABC的面积为：

S=■·t■=■×（■t）·■≤■×■=■，而且根据题意及不等式定义，当且仅当■t=■，即t=■时，等号成立，因此最后得到三角形ABC的面积最大值为■.

三、结语

以上从应用曲线定义法、函数思想转变法和基本不等式法三个方面探讨了高中解析几何最值问题求解策略.除了这些方法外，解决解析几何最值问题还可用截距法、向量法、平面几何法、方程法等，为解析几何最值教学策略提供了丰富的内容及技巧.

参考文献：

第9篇

关键词：最值问题;发展现状;教学问题;有效措施

一、引言

高中是学生生涯最为重要的阶段，更好地学习数学能培养学生的逻辑思维模式以及创造力。当今的各个领域，无论是经济贸易、航空卫星，或者是机械设计、生物医学等等，都是以数学最值问题为基础的[1]。因此，高中数学中的最值问题的有效开展是不可忽视的。但是，高中数学最值问题的深入开展仍然存在很多问题，有待优化，所以为今后的教学也提出了更高的要求。

二、高中数学中的最值应用问题的发展现状

高中数学中的最值应用问题是一类特殊的数学应用问题，它注重数学与实际生活的密切联系，且在生产和生活中有着广泛的应用。最值问题是普遍的应用类问题，主要解决有“最”字的描述的问题。新课改下的高中数学更加趋向于实际应用型，但是，现如今的教学还存在很多问题。由于高中数学中的最值应用问题涉及的数学综合知识点较多且分散，学生在日常学习中又很难实现知识点的全面整合，尤其是在最值问题求解中，问题与方法多样性的出现给学生带来了很多学习困难[2]。

因此，为了满足高中数学的教学质量，必须将数学理论知识与实际应用相结合，从而提高学生解决实际问题的能力与应用意识。

三、高中数学中的最值应用问题的教学问题

（一）教学思想的重要性。既然高中数学中的最值应用问题源于生活，也应用于生活，所以教学思想要与生活紧紧联系。尤其是在教学生最值应用习题时，一定紧紧联系生活实际问题，进而逐步提高学生自身对最值应用问题的实际应用能力[3]。例如，判断涨潮后的桥会不会被水没过，固需要建立合适坐标系，将桥看作抛物线，求其顶点坐标，及竖直方向的最值，假如最值大于水面高度，即水面不会没过桥顶。

（二）最值问题与解决方法缺乏多样性。 高中是学生经历的最枯燥的学习阶段，单一的学习方法会使学生更加抵制对高中数学的最值应用问题的学习，从而丧失自主学习的兴趣，便达不到新课改的目的。所以解决方法的多样性对高中生学好这门学科是非常重要的。

（三）学生理解能力差。由于高中数学的最值应用问题是考察各个方面于数学知识相结合的问题，单单学会求最值的相关公式还是不够的，这会导致部分考生无从下手，甚至面临“对而不全、 会而不对”的尴尬局面。所以培养学生全方面发展，对其数学地学习也是非常关键的。

四、提高教学质量的有效措施

（一）提高高中生的积极性。众所周知，从近五年的发展趋势来看，最值应用问题在高中数学中出现的频率有增无减，所以要想提高高中生在最值应用问题中的学习效率，就必须从主观方面出发，调动其积极性[4]。可以采取适当的奖励制度来满足学生面临枯燥问题的成就感，从根本上解决问题。例如，在进行最值应用问题的专项训练中，获得较高名次及进步名次较多的同学名字会公示在教室黑板上，并奖励其若干笔记本和笔等。成就感和荣誉感会促使学生对这门学科充满向往与挑战。

（二）最值应用问题的解法多样性。方法的多样性能开拓学生的思维与视野，也会有助于学生对高中数学的最值应用问题的理解与学习。大部分类型的最值应用问题都会涉及到“最优方案”，其解题的方法一般是建立出目标函数，然后将其转化成为目标函数最值问题的解答。在解决不同的最值问题时，可以针对不同的类型采用单调性、数形结合法、判别式法、利用基本不等式等适当的方法进行解答，具体问题具体分析[5]。

（三）提高教师自身素养及综合能力。在解决了主观方面以外，客观方面的影响也是不可忽视的。教师必须具备较高的自身素养及综合能力，才能更好地引导学生去分析问题、解决问题、提高成绩等。由于学生个体存在特殊性，也要“对症下药”，针对不同知识点欠缺的学生，进行针对性的辅导与鼓励，以综合提高学生的整体水平。

五、结论

随着社会进步的飞速发展，外界对高中生的最值应用问题的要求也是与日俱增。所以培养学生对高中数学中最值应用问题的逻辑思维、应用意识及转换能力是非常关键的。基于我国高中数学的教学现状，分析了最值应用问题在高中数学中的重要性与其在实际生活中的关键性，数学中的最值应用问题与各个领域都息息相关。因此，为了提高高中数学中最值应用问题的教学质量，必须针对现阶段存在的问题进行分析研究，并采取相应的有效措施，才能让这门学科实现其存在的价值。

参考文献：

[1]张永红.新课标下高中数学应用题中的最值问题研究[D].河南：河南师范大学，2013.4.

[2]王春艳.论高中数学应用题的最值问题[J].数学学习与研究，2015（11）：107-108.

[3]刘亚琳.对高中数学教学中最值问题的研究[J].高考（综合版），2015（10）：216-217.

第10篇

关键词：迁移思想；高中数学教学；应用

高中数学知识之间是相互联系的，新知识的传授依赖于旧知识的掌握。学生掌握知识的过程也是迁移现象产生的过程，教师传授知识的过程也是迁移现象产生的过程。所以，在高中数学教学中建立起迁移教育的观点，对于帮助学生掌握数学的认知结构，加深对知识的理解，加速技能的形成，提高和发展数学概括能力都具有十分特殊的意义。基于此，笔者梳理了自己教学中的一些经验，希望得到同行的指正。

一、合理组织教学活动，加强新旧知识的迁移

学生掌握知识的过程是迁移现象产生的过程，教师传授知识的过程也是迁移现象产生的过程。在高中数学的学习过程中，起主要作用的智力活动方式是观察、分析综合、抽象概括、比较、形式化和具体化。如在“函数”概念的学习中，是从初中变量间的关系到数集间的对应关系理解的学习。由“相同要素说”，两种类似的学习内容容易产生影响，而其中学习内容间的类似性是学习活动类似性的一个重要方面。如果学生能对新旧知识做出概括，找出他们之间的联系，那么就能实现学习之间的迁移。因此，加强新旧知识之间的联系(共同要素)是实现迁移的基本要求。因此，教师在数学教学中应当合理地组织教学活动，使教学的每一环节都应注意新旧知识的联系；教师每时每刻都应考虑学生的已有知识，充分利用己有知识的特点来学习新知识，促使正迁移实现。因为产生迁移的关键是学习者在两种活动中概括出它们之间的共同原理，为了提高学习质量，达到顺向正迁移，教师应注意选择那些刺激强度大，具有典型性、新颖性的实例，引导学生进行深入细致的观察，进行科学的抽象和概括，避免非本质的属性得到强化，防止产生顺向负迁移；教师还应及时引导学生对新旧概念进行精确区分、分化，以形成良好的认知结构。

比如，在进行立体几何中“空间角”概念教学时，就可以根据需要有目的地复习旧知识，这样学生会“触景生情”，诱发联想，产生迁移。讲解如下：

1.温故：我们以前是否学过有关“角”的概念？请回忆角的定义。

2.联想：我们将要学习的“空间角”与已学过的角之间有没有联系呢？我们知道立体几何的一个重要思想是将空间问题化归为平面问题来解决，那么能否利用我们已学过的角的概念来研究“空间角”呢？通过上述联想，解决问题的方向、思路已比较清楚了。

3.小结：对于异面直线所成角，通过平移化归为相交直线所成角，由等角定理保证定义的合理性和空间一点选择的任意性，进而比较择优，空间一点通常可选在两条异面直线之中一条的特殊位置上。至此，不仅揭示了新旧知识之间内在的紧密联系，而且培养了学生的创造思维能力。这样，对于线面所成角与二面角问题，便“举一反三”、“触类旁通”地“迁移”了。

二、利用生活中的知识，迁移为数学知识

数学也是一种文化，一种艺术，从生活中来，到生活中去，很多数学概念和定理都能在现实生活中找到它的来源，如果我们当教师的能看到这一点并且重视到这一点，运用迁移的理论，把反映数学的生活迁移到数学教学中来，我们的数学课堂一定会丰富多彩。那么教学中如何具体实施呢？笔者认为可以从以下几个方面入手：

1.生活语言迁移形成数学概念

数学来源于生活，数学概念不少就来源于我们生活中的语言，只要我们稍加提炼，就能用生活中活生生的语言来诠释同学们以为抽象的数学概念，从而使数学不再令学生感到陌生，实现有利于培养学生情感的迁移。例如，在讲函数时，笔者在教学中是这样引入的，从生活中的信函、公函、涵洞出发，我们会让学生很形象地理解：中学数学最重要，也被人为地认为最抽象，让最多的学生望而生畏的函数概念，其实学生大都能理解，信函和公函是作为勾通人和人、单位和单位之间的关系的，涵洞是沟通路两边的关系的，那么我们的函数也是沟通数与数关系的意思。简单地说，函数就是数与数之间的关系。这样的教学虽然曲解了概念最初的意思，但却拉近了学生和数学的距离。

2.生活中的道理迁移成数学道理

由金章茂编译的前苏联一位数学家的一本书《没有公式的数学》，在书中他把很多数学道理用生活中浅显易懂的道理给出了说明，使人们不用公式，不用严谨的证明一样能理解数学，而且还能直接感知数学，虽然严谨是数学的本质特征，但我们不能仅仅为了这种特征，就把学生拒之数学的大门之外。其实，学生在对数学有了热情之后，他自己也会严谨起来的。基于上述经验，我们也可以把生活中的道理迁移成数学道理。比如，笔者用多米诺骨牌很轻松地给学生讲明了数学归纳法的原理，特别是在数学归纳法中很多学生都不理解：我们要证的关于n的命题成立，我们为什么可以假设n=k时命题成立呢？笔者给学生讲，在多米诺骨牌游戏中，我们把相邻两块摆好，前一块如果倒下能把下一块砸倒，只是为了保证传递下去，我们并不是说前一块就倒了(相当于我们并不是说n=k时命题就成立了)，前一块倒不倒是由你推不推倒更前面的骨牌决定的。学生很容易就明白了数学归纳法中的道理。

3.生活中的现象迁移成数学知识

生活中的现象之所以能迁移成数学知识，是因为生活中的许多现象就是数学要研究的对象，生活现象就是数学知识活的源泉。只要我们能加以提炼和引导，学生们都能完成这个迁移过程。例如集合论中，我们可以这样讲集合中元素的性质：我们班中的人是确定的，对任何一个人，要么属于我们班，要么不属于我们班，这就是集合中元素的互异性，我们定期互换位置，我们班这个集体还是不变的，即为集合中元素的无序性，我们班中任何两个人都是不同的，即集合中元素的互异性。

三、精心组织练习，促使学生触类旁通

迁移现象在知识学习和掌握过程中是普遍存在的，而知识学习的目的主要是会运用知识解决问题，那么，在教学时，教师要采用合适的教学方法最大限度地增加学生知识的迁移量。一般说来，教师要从学生熟悉的，己掌握的知识经验出发，启发学生联想，鼓励学生寻找待解决的问题与已有经验的相似性，尽可能找到一类题在解法上的共通性，用于解决问题。

所以，教师要在知识传授之后精心组织练习，促使学生触类旁通，帮助学生概括、总结经验，增强迁移的效果。例如，在讲授完重要不等式“a+b≥2(a＞0,b＞0)”，新课内容之后要让学生能够较好地掌握此不等式的实质：“一正二定三相等”，可设计如下题组进行练习：

1.x＜0时，证明：x+1/x≤-2；

2.x≠0时，证明：｜x+1/x｜≥2；

3.a>0，b>0，c>0时，求证：(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c≥6

这一组题在解法上的同一性体现在都要运用基本不等式“a+b≥2(a＞0,b＞0)”上，那么就要启发学生，概括出上述题目的共同点，灵活地把基本不等式“a+b≥2(a＞0,b＞0)”的知识迁移到问题中，用于解决问题，培养解题能力。

总之，作为教师，我们是教学活动的导演，要时刻提醒自己，永远不要让自己导演的教学活动背离了“为迁移而教”的主题，不但自己要切实做到为迁移而教，同时还要尽量使学生做到为迁移而学，让课堂少一些无意义的机械学习，多一些丰富多彩、能激发学生积极情感的有意义学习。既要注重课本上理论问题的训练，更要注重实际问题的分析和解决，让学生通过运用所学知识解决实际生活中的问题，最大限度地促使学生情感、知识、技能的迁移，不但能使学生牢固树立迁移意识，而且能培养学生分析问题、解决问题的能力。

参考文献：

[1]邱文化.影响数学学习迁移的因素[J].德阳教育学院学报，2006(3).

第11篇

关键词：类比；循序渐进；推动；提高；方法

现代教学对教学思想及学习方法的要求越来越高，但又面临一个问题。平时教师教的思想方法比较多。但真正用在学习中的学生不太多。究其原因还是对各类思想方法理解得不够，不能灵活应用。高中数学的思想方法较多，不管哪一种都有其特点和作用。每一种方法只要运用得当对学习显然有不小的帮助。类比是多种方法的一种，也是经常使用的一种。教材中对于类比归纳也有详细介绍。但类比的思想方法显然不仅可用于题目之间的类比归纳，还有其他的应用。在高中学习过程中，类比的作用有很多，具体来讲主要是在很多地方都可起到化繁为简的作用。

类比在新知识学习中有循序渐进的作用

生活中的很多时候。人们都会拿新事物与旧事物进行比较。希望从中发现联系，从旧事物的经验过程中发现新事物的规律。最终掌握新事物。高中数学的很多地方显然可用此方法解决。函数的学习就是比较典型的例子，从函数学习中我们不难发现。几乎每一类函数都是从这几个方面学习的，定义、图象、定义域、值域、单调性、最值、奇偶性、周期性等，虽然各个函数有所不同，但联系还是很紧密的，只要我们加以类比，再复杂的函数也会变得简单。立体几何是高中数学的一个难点，许多学生甚至认为比初中几何难很多。其实我们仔细研究发现，它们的学习顺序几乎一样，初中几何的学习顺序简单来讲比较清晰。线的相关内容—，线与线的关系一角的相关内容一角与角的关系一平面图形。线、角是组成平面图形的基本要素。常见题目涉及平行、垂直。立体几何需要面，因此从面开始，顺序也很明显，面的相关内容一线面的关系(包括线线、线面、面面)一几何体，较繁的地方仅仅是因为几何体的组成元素较多，常见题目仍涉及平行和垂直，联系是显而易见的。其他新知识的学习还有很多，如数的推广、计算等，只要我们善于类比，许多看似难学的内容也可以变得简单了。

类比在分析题目中有去繁取简的选择作用

许多学生在做题时经常遇到几个问题，一些题目不知从哪做起，一些题目看似熟悉但是怎么也想不出来。一些题目明明有简单方法但不知如何找。高中数学对学生分析题目的能力要求是较高的，再简单的题目也包含对应的知识点，如果没有较强的分析能力，就无法做题，明明是一个题目的变式但还是没有办法解决。数学的分析方法主要是综合法和分析法。综合法主要是分析已知条件和题目中的隐含条件，从而得到结论的方法，分析法主要是分析所求内容需要什么结论，从而发现解决问题的方法。当然，具体分析时可两种方法同时应用。这两种方法应该适合大多数的题目，因此类比的思想具有重要的应用，只要我们在做题中适当应用类比，就能起到事半功倍的作用。比较典型的，如函数的最值问题，从题目的条件看，有二次函数、对数函数等初等函数，含有两个变量的函数，三次以上的函数，复合函数等；从解题方法看，初等函数有自身的典型方法。如两个变量的函数转化为一个变量，涉及基本不等式和线性规划等，高次一般用求导解决，复合函数是两种函数的综合。由此可见。分析方法的痕迹很明显，顺序规律很自然，哪一种方法较简单便不难判断。类似的分析方法适合很多题目，如涉及直线和圆的问题很多，在直线与圆的位置关系判断中，根据条件的不同，有点到直线的距离与半径比较，有转化为一元二次方程用判别式判断等方法。直线与圆相交时可以通过解方程组求交点，也可以采用“设而不求”解题，应选哪一种方法需看条件。解题方法的选择直接影响解题的效率，其实方法的选择可以说是大同小异的，只要我们做题时注意类比，不仅可以选出较简单的方法。还能促进一些类似题型的总结。

类比在题目创新中有推动作用

创造性思维的培养在教学大纲中是有明确要求的，如何培养学生的创造性思维?发展学生创造性思维的方法较多，类比思想的应用对学生的创造性思维有很大的推动作用。很多新题的出现是有规律可循的。但什么是新?可以说主要还是知识的再应用，其中许多用类比思想可解决。集合中的元素可以是一元一次方程的解。那么只有会解一元一次方程才能理解化简集合。元素还可以是其他方程的解，当然首先还是应会解其他方程，再变一下，元素还可以是不等式的解，函数的定义域、值域等，只是内容显然变了。求直线的斜率是比较典型的题目。其中有一类用数形结合求斜率范围的题目，最早是过一点的直线与一条线段相交后的斜率。后来是与圆相交后的斜率，后又变为与半圆或一段弧相交的斜率，显然还有其他变化，变化以后新的题目也就出现了。再比如。三角函数中两角和与两角差公式经常与向量联系出题，但是我们不难发现条件有很多变化，每一个条件的变化都是创新。这些题目之间的变化如何找到?只要我们加以类比就不难发现。做题时，可思考题型没变如何使内容变化。其实主要是看是否还有其他变化，用什么知识变，只要找到新的内容，那么新题目也就产生了。

类比有助于提高学生的综合能力

第12篇

关键词：高中数学；应用题；问题；途径

数学源自于生活并用之于生活，在高中数学课堂上开展应用题教学，目的是为了帮助学生学会应用数学知识，体现出数学应用题的价值，培养学生知识的应用思维，激发学生对数学的学习兴趣。但是当前高中数学应用题教学中存在较多的问题，教师教学能力有待提高、应用题内容脱离生活、学生建模能力较低等，阻碍了教学质量的提高，因此，必须深入分析这些问题，并采用有效的解决办法，提升学生知识应用能力的。

一、高中数学应用题教学中存在的问题

1.教师教学能力有待提升，学生阅读能力较差

首先，在应用题教学中，教师的教学能力有待提高。教师并没有充分认识教材以及相关的教学资料，不了解学生对知识的实际接受能力，加上课堂教学形式的限制，导致目前高中数学应用题教学层次较低。而且处于应试教育环境下，教师侧重理论知识的传授，忽视实践活动的开展。例如高一阶段的分期付款问题，高二阶段向量在物理中的应用问题等，在学习这些内容时，往往采取让学生自学的方法，教师对数学模型的分析也过于简单粗略，这也影响学生对知识的深入理解。其次，学生阅读能力较差，不能准确把握应用题含义。在应用题教学中，教师总是抱怨学生没有认真读题，没有理解题意，其中一部分原因是学生的不认真造成的，但是更多的是由于传统的教育模式重视教材轻视生活，学生本身生活阅历不足，对于应用题的具体情境无法理解，进而造成了阅读能力较低的问题。例如高考全国卷中的轧钢问题，学生根本不理解轧钢的原理，所以对题目的理解非常吃力。

2.题目实际价值不大，学生建模能力不强

首先，在应用题教学中，部分应用题实际价值较小。比如这样的一道应用题：某车间有25名工人，需要完成75件产品的生产计划，每件产品包括了1个A零件和3个B零件，现将工人分成两个小组，每一组工人负责加工其中的一种零件，假设加工A型零件的工人为X个，加工完A零件所需的时间为f（x），请列出有关f（x）的等式，并求出当x取值多少时可以在最短的时间完成生产任务。因为处于高中时期的学生生活阅历并不丰富，像这种有关生产的问题在生活中没有类似经历，这样的题目类型对学生而言与生活结合不紧，学生由此会认为解决数学应用题仅仅是为了巩固数学知识，这就不利于培养学生的知识应用思维。其次，学生的数学建模能力不强。高中数学应用题教学的目的在于引导学生应用数学知识，让学生掌握用数学知识解决问题的方法，能够将实际问题转化为抽象的数学模型。然而在实际教学中发现，多数学生对建模一无所知，只能处理一些难度不大的应用题，而一旦遇到复杂的应用题则会束手无策，这也与学生综合思维能力以及对问题的思考不到位有关。

二、改进高中数学应用题教学问题的途径

1.提高教师的教学能力，改善学生的阅读能力

首先，教师要提高应用题教学能力。一方面，要对教材进行灵活处理，选择一些与生活紧密相连的材料对教材内容进行弥补，同时要确保这些材料是学生当前的知识水平能够接受的，增强材料的趣味性以及科学性，最好可以与社会中的一些热点事件相联系；另一方面，要根据学生的实际水平，逐步培养学生的知识应用能力，在教学中要坚持低起点、逐步推行的原则，让所有学生都能参与到学习中。其次，要改善学生的阅读能力。正确解决数学应用题的必要条件时读懂题意，所以在应用题教学中，必须加强对学生语言基本功的培训，提升学生的阅读理解能力。在教学中，教师要对各种新术语、新规则以及新名词进行渗透，帮助学生适应不同的应用题情景。比如这道应用题：甲地到乙地的花费收取规则是f（x）=1.06（0.5[x]+1），其中x>0，[x]时大于或者等于x的最小整数，（如[4]=4，[4.2]=5）如果从甲地到乙地的通话时间为6.5分钟，试求花费为多少，通过读题可知，其中涉及到了“取整数”的规则，学生只要理解该规则，就能轻易算出最终的结果：f（6.5）=4.77。

2.选择生活常见的数学应用题，提升学生的建模能力

教师在讲授课本知识的同时，必须侧重于对知识的运用进行渗透，降低理论教学的比重，增加与生活相关的应用问题，让学生在社会生活中学习数学知识，把学生带入到实际的情境中，进行观察和概括。例如生活中库存的控制问题，存贷款方式的选择问题，投资的安排方式问题等。教师在课堂中要将生活中学生易于接触到的问题提取出来，引导学生对这类问题进行分析。其次，教师要引导学生提高数学建模能力。比如这样的一道应用题：现有一台冷轧机，冷轧机带有4个轧辊，轧辊周长均为1600mm，减薄率为20%。如果第K对轧辊有问题，在带刚上每滚动一周就会出现一个瑕疵点，在输出带钢上疵点间距为La，请求出L1，L2，L3的值。该题目正是要求对数学知识进行综合运用然后解决实际问题，只有明确题目的考察目的才能有效建模。教师在讲解该题目时，可以让学生其中的关键词句进行标记，在这道题目中，减薄率、4个轧辊、周长等是关键词。然后，要引导学生找出各种数量之间的关系，紧接着找到能够列出关键式子的数量关系，进而建立数学模型。在列出式子时，主要有等式方程、不等式以及函数关系式，学生要明确题目究竟适合使用哪种类型的式子。

三、结语

总而言之，当前高中数学应用题教学中存在较多的问题，既有教师的因素，同时也有学生的原因。教师在应用题教学中，必须根据学生的实际情况，抓住问题的关键，提升学生的应用题解题能力。

参考文献：

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