时间：2023-09-19 16:28:06
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇高中数学求最大值的方法，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词：高中教学；数学思维能力；高中生
2013年12月，经合组织了2012年《国际学生评估项目》结果：上海中学生的数学、阅读、科学能力均为世界第一。数学成绩方面，上海学生平均分是613分，英国学生仅为494分，此后，英国曾宣布引进中国的中学数学教师。这展现了我国数学发展偏离传统道路，将讲授理论知识和培养思维能力相结合作为培养高中生的宗旨。
一、分析当前高中数学教学中存在的问题
首先，高中数学知识内容繁杂，知识点零散，公式冗杂且相似，灵活性较强，对学生基础知识提出更高的要求。而由于高中生迫于数学难度大和高考压力，被动的接受所学知识，死记硬背公式，不会举一反三。例如：特殊角度的正切值、余切值正弦、余弦、正割、余割混淆。
固然，这些角度的正切值、余切值正弦、余弦、正割、余割，这些值有着相似的数值，但是死记硬背极易混淆。
其次，高中数学考试题型有选择，填空，解答题，选做题，四类题型中选择和填空题占有较大分值，这就导致数学差值很大，能够掌握学习数学方法的学生，能够灵活用于所学知识，融会贯通，成绩较好。反之没有掌握学习数学方法的学生，学习数学会产生一种恐惧心理。
最后，由于教师在教学过程中忽视培养学生数学思维能力，采用以往“填鸭式”教学，这样使学生产生厌倦心理。
二、培养数学思维能力的重要性
高中数学是小学和初中数学的集合，是大学数学的基础，因此，高中数学成为一个重要的过渡期，也是培养数序思维能力的重要阶段。较强的数学思维能力能够增强学生的逻辑性，这种逻辑性不仅体现在学习生活中，也体现社会生活中。严密的逻辑性，能够使学生将各知识点融会贯通，举一反三，掌握适合自己的学习方法，提高学习效率，在与人交流中有理有据，赢得倾听者。
此外，数学思维能力是激发创新能力的重要因素。在解答数学题中总有一种现象“条条大路通罗马”，也就是不止一种方法解答问题。这就需要学生有着独特的创新思维，这种创新思维能够为学生寻找最简便的解答方式，也为学生今后发展提供探索精神。
三、如何培养学生的数学思维能力
首先，教师采用启发式教育代替“填鸭式”教育。以往传统式教育，教师在课堂上讲解典型题型的解题方法，学生根据典型题型具备的特点分析其他题型，这样局限了学生的思维，学生很容易“钻牛角”。而启发式教育，让学生在解题过程中总结解题方法。例如：三角函数求最值的问题。
求f（x）=sinx+2的最大值和最小值。
解：x∈[+∞；-∞]，sinx∈[-1，1]，
故当sinx=1时，f（x）max=+2
当sinx= -1时，f（x）min= -+2
教师要用例题的形式，在利用函数有界性方法求三角函数最值时，首先要重视x的定义域，并做出相关图像，图像能够直观清晰告诉学生最大值的位置。
2.利用配方法，求最值
例如：求f（x）=cos?x+4sinx-3的最值。
解：f（x）=1-sin?x+4sinx-3
配方得 = -（sinx-2）?+2
当sinx=1时，f（x）max=1
当sinx=-1时，f（x）min= -7
3.将三角函数式转换为只有一个角的函数
例如：f（x）= sinx+cos（x-π/6）的最值
解：f（x）=sinx+cosxcosπ/6+sinxsinπ/6
=3/2sinx+/2cosx
=sin（x+π/6）
当sin（x+π/6）=1时，即x=2Kπ+π/3（K∈Z），f（x）max=
当sin（x+π/6）= -1时，即x=2Kπ-2π/3（K∈Z），f（x）min= -
4.利用换元法求最值
例如：求函数f（x）=x+?的最值
解：令x=cosα，且α∈[0，π]，则?=sinα
原函数为：f（x）=cosα+sinα=sin（α+π/4）
又α∈[0，π]，则α+π/4∈[π/4，5π/4]
因此：当α+π/4=π/2时，即α=π/4时，f（x）max=；当α+π/4=5π/4时，即α=π时，f（x）min=-1
其次，采用学生讲解例题的方法，让学生做老师，为学生讲解自己解题的方法，这样的方法有利于促进学生数学思维的交流，也能够激发学生学习数学的兴趣，增添学习乐趣，教师为学生搭建平等展示的舞台，在共同探究下讨论新思路开发新思维。
最后，学校经常开展数学竞赛，鼓励学生参与，给与参赛者一定奖品。这样为学生搭建竞争和交流平台，营造活跃的学习数学的氛围。
四、总结
在高中数学教学中，培养学生数学思维是学生学好数学的前提，也是适应社会生活的基础。因此，加强高中学生的思维能力是当前教育的首要任务。
参考文献：
关键词：高中数学教学；问题；有效策略
高中数学知识点内容冗杂、知识点复杂且散乱，是难度较高的学科，学生在学习过程中，随着知识难度的加大，学习信心受到打击，缺乏学习数学的主动性，再加上数学教师一直沿用以往教学方案，学生在学习过程中处于被动地位。
一、高中数学教学中问题提出的现状
教师沿用传统、单一、僵硬的教学方式向学生传授知识，学生处于被动地位，教师难以与学生产生共鸣，导致教师教得很辛苦，学生学得很认真，却没有取得应有的效果，出现教学效果差、效率低的问题。
二、分析问题提出的有效策略
高中数学教学中问题的提出主要依靠教师和学生，教师根据学生的学习情况和自身能力提出合适问题，学生在学习过程中主动提出自身不理解的问题，只有双向探究，才能提出有效问题。
1.推理提问
高中数学所有知识都是有联系的，解题的方法和思路不止一种，教师在讲解知识时，要善于将各个知识点联系到一起，这样更有助于学生记忆和运用。
2.举一反三式提问
高中数学中，求函数最值一直是基础又复杂的内容，与此同时，求函数最值的方法较多，需要学生记忆，但是死记硬背的方法不利于学生灵活运用，可以采用“举一反三式提问”。
（1）利用函数的有界性求最值
首先要重视x的定义域，并做出相关图象，图象能够直观清晰地告诉学生最大值的位置，该种方式是教师为学生讲解求最值的基础方法。
（2）利用分配法求最值
（3）将三角函数式转换为只有一个角的函数求最值
3.反映式提问
该种提问方式是由学生向教师提问的一种方式，学生上交预习表，教师从“学生问题”一栏获取学生在学习过程中遇到的问题，在教学过程中充分结合产生的问题制定教学方案，解决学生学习中的问题。
在高中教学中，教师提高课堂效率的有效方法是通过设置问题的方式，鼓励学生进行探究，学生在探究中总结解题思路，更加有利于记忆和运用，学生做学习的主体，主动学习，根据学习过程中产生的问题，对数学教学提出相应问题，教师根据学生的问题为其讲解，实现“因材施教”，只有这样，才能激发学生的学习兴趣，培养学生发现问题的能力。
一、高中数学解题教学现状
1.解题技巧过于具体
高中数学解题教学中存在解题技巧过于具体化的问题，一些教师过分关注典型题目解法，并且这些题目都给出了几种解题方法，导致这类题的解题思路固定化，使得一部分教师认为没有必要再仔细研究课本.其实课本给出的解题方法才是最基础的、最通用的，只有熟练掌握课本中的解题方法，才能在此基础上探究出很多其他方法.课本中的解题方法虽然不是最典型的、最简单的，但注重学生的基础知识训练，如果忽视了这些，必会带来学生基础的薄弱.
2.过于依赖解题教学
目前，很多高中教师很依赖解题教学，在教学中搞题海战术，认为学生解题能力与数学高分直接挂钩.虽然提高学生的解题能力是高中数学的目的，但题海战术并不是达到这一目的的有效途径.教师常把题目分类，针对各题型例子讲解并做大量的训练，使学生达到
识别模型，熟练套用的效果.这种方法虽有一定的效果，但学生缺乏反思的时间，学生所掌握的是解题步骤的套用，偏重于记忆能力培养，弱化了思维能力培养.
3.缺乏反思解题习惯
高中数学大量的题海训练，使学生少了反思的时间，这不利于学生反思解题习惯的培养.一些学生追求解题数量，很少反思解题中出现的问题，不愿意花时间纠正，不愿意整理自己的解题思路，导致解题中会犯同样的错误，导致解题教学效率低下.解题反思需要调动学生的积极主动性，只有学生主动反思，才能提高解题效率.
4.解题迁移能力较差
数学解题过程中，部分学生虽然了解了要考查的知识点与内容，但由于对知识点的掌握不牢，缺乏解题能力，不能很好地理解解题方法.由于一味的追求解题量，忽视了对基础知识的学习，对数学概念、定理等知识的掌握停留在表层，不利于举一反三能力的培养，不利于数学知识的迁移能力培养.
二、高中数学解题教学的反思途径
1.反思知识点
高中数学解题教学中会涉及到很多知识点，如果学生掌握的知识点不系统，解题中就会出现就题论题的现象，这不利于学生解题能力的培养.因此，解题教学中教师应引导学生积极反思知识点，通过解题使学生对数学公式、定理等知识的掌握更为条理、系统，弄清新旧知识之间的联系脉络，从而提高解题能力.例如：设函数f（x），g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，当x=0时，f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，且有f（6）=0，解关于x的不等式f（x）g（x）>0.这道题注重新旧知识间的联系，学生仔细观察f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0后，很容易就能发现与h（x）=f（x）g（x）的导数有密切关系，所以构造函数h（x），得出当x>0时，h（x）的单调性.学生在解题中通过知识间的联系引入了构造函数法非常好，为了加深学生理解，教师应引导学生深入反思，全面考虑问题.课本中有很多这样的例题，教师教学中应注重引导学生反思知识点，从而引导学生在解题中加深对知识的理解与掌握，提供具体反三的能力.
2.反思题目条件
为了提高学生灵活解题的能力，解题教学中可引导学生反思题目条件开展变式教学，如通过变换题目条件得出新结论，从而使学生掌握更多的知识，拓展学生的知识面.例：点P在椭圆x24+y2=1上运动，求定点Q（0，3）与动点P的距离|AP|的最小值.这对学生来说是很简单的，对这样的题，教师应引导学生变换题目，得出不同的结论.变式的方法多种多样，如结论变式：将求最小值变为求最大值.已知变式：将椭圆改为双曲线x23-y2=1；将定点Q变为（0，t） （t>0），求|AQ|的最大值；将椭圆改相关的圆、抛物线等等.这样反思解题条件，能使学生考虑条件与结论之间的联系，由一题多变提高学生思维的灵活性、深刻性，从而优化解题思路.
3.反思解题方法
数学解题教学中不断反思解题方法，能学会从不同的角度、侧面分析问题，从而拓展学生视野，提高思维的灵活性与深刻性.例：已知等腰三角形腰上的中线长是3，则该三角形面积的最大值是（ ）.对这类题教师应引导学生反思解题方法是否可以推广，因为等腰三角形是轴对称图形，解题中常借助直角坐标系进行研究，采用数形结合思想解决.同时条件中给出了“中线”，求三角形面积时可以运用三角形重心性质.对这一问题有多种解法，能进行多角度的转化，教师先不要列出解题方法，让学生讨论反思，培养学生思维的灵活性与变通能力，从而调动学生积极性.
4.反思结论作用
高中数学解题中，有些题目很简单，但是其结论应用较为广泛.解题教学中如果只是找出解题方法，忽视对结论的探索是很可惜的，因此应反思结论在解题中的作用，比如：证明一个定圆上任意一点到与圆相离的定直线上最大距离是圆心到直线距离加上半径，最小距离是圆心到直线距离减去半径.这个问题很容易证明，但它的结论给了我们很大的启示，例如圆C：x2+y2=1，直线l：x-y+a=0，试讨论圆上有几个点到直线距离等于2.很显然运用刚才的结论，再加以讨论就可以得到.
5.反思易错点
【关键词】高中数学；生活性教学
我国著名教育实践家陶行知曾经提出“生活即教育”的理念，而知识学科体系形成的过程，就是不断认识自然、探究自然、改造自然的过程，数学学科作为一门与现实生活紧密联系的基础性教育学科，同样如此。实用主义学者认为，教育实践活动的最终目的，就是为了教会学生学习的方法，更好的解决生活中的实际问题和社会现象。高中数学课程改革纲要中，将学生解决实际问题的生活性数学思想，作为教学活动的根本目标和重要内容之一，提出了具体而明确的要求。由此可见，新课改下的高中数学教学，应该将学生生活意识和能力素养的培养，作为有效教学活动的重要内容之一，抓住数学学科与现实生活紧密的内在特性，设置反映现实生活的问题情境，让学生在感知、解答、辨析生活性问题中，形成运用多种思想解决问题的综合运用能力，为技能型人才培养奠定坚实基础。
一、注重现实教学情境创设，为学生增添探究生活新知内在潜能
数学学科源于生活，时时刻刻服务于生活，是通过数学符号或图形反映和概括现实生活问题或现象的学科只是之一。同时，学生情感发展“最近区”对现实生活性问题较为敏感，在一定程度上能够对学生学习潜能激发起到促进和驱动作用。生活性作为数学学科内在特性之一，为教师创设具有激励性的教学情境提供了条件和基础。因此，高中数学教师在教学活动中，要将“认识和改造自然”作为教学活动的重要目标，善于利用高中生心理发展和情感发展的一般特点，认真分析研究教材内容以及目标要点，放大数学内容与现实生活的内在联系点，设置具有贴近学生实际、有效激感、驱动作用显著的生活性教学情境，使学生在现实性情境氛围中，积极情感得到激发，“要我学”向“我要学”态度的有效转变。
如在教学“三角函数”知识内容时，教师为了增强该知识内容的生活性特征，从而激发起学生学习知识、探究知识的内在潜能，抓住该知识点与现实生活中的“商品销售利润”问题紧密结合点，设置了“某工厂生产A产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元, 已知P=0.1x2+5x+1000,Q=-x\30+45。该厂生产并售出x吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式。”具有浓厚生活特性的教学情景。学生在此情景中，内在潜能得到有效激发，生活意识得到有效增强，从而主动进入到知识内涵的学习活动中。
二、注重典型数学问题教学，为学生传授解决实际问题要领
现实生活问题或现象千变万化，这就决定了选择的解决方法，采用的解决措施各种各样，因事而异，必需抓住关键，有的放矢。数学问题同样如此。同一数学内容可以通过不同数学问题形式进行展现，同一数学问题可以结合不同思想采用不同解题方法。因此，高中数学教师培养学生解决现实数学问题能力水平，就要将问题方法要领传授作为问题有效教学的重要内容，善于抓住数学知识点内涵要义，体系关联，采用“由特殊到一般”形式，抓住知识要点难点，设置典型性数学问题，开展问题解答方法师生共同探究活动，引导和教会学生开展类似问题解答的方法要领，为学生更好开展自主解答现实问题提供方法指导。
问题：已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R。求函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合。
这是一道关于“三角函数”方面的知识问题，通过对该问题的分析，可以发现，该问题实际是考查综合运用三角有关知识的能力。因此，教师在问题解答过程中，向学生指出：“该问题解答可以利用三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,采用两种解法进行问题解答”。其解题过程如下：
解：解法一：
f(x)=+sin2x+=1+sin2x+cos2x=2+sin(2x+)。
当2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)时, f(x)取得最大值2+。
函数f(x)的取得最大值的自变量x的集合为{x/x∈R,x=kπ+(k∈Z)}。
解法二：
f(x)=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=2sincosx+1+2cos2x=
sin2x+cos2x+2=2+sin(2x+)。
当2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)时, f(x)取得最大值2+。
函数f(x)的取得最大值的自变量x的集合为{x/x∈R,x=kπ+(k∈Z)}。
三、注重综合数学案例剖析，为学生培养良好数学思想素养
问题：设等比数列{an}的全n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q。
解：S3+S6=2S9，+=2・，
整理得 q3(2q6-q3-1)=0。
由q≠0得方程2q6-q3-1=0。(2q3+1)(q3-1)=0,q=或q=1。
教师教学过程如下：先引导学生对该问题内容及条件进行观察、分析，找出该问题所涉及的数学知识以及条件关系，接着要求学生根据解答内容提出自己的设想，此时教师向学生展示上述解题过程，引导学生组成小组，对上述解题过程进行辨析，找寻问题解答优缺点，学生在分析辨析过程中，发现该问题存在“在错解中，由+=2・，整理得q3(2q6-q3-1)=0时，应有a1≠0和q≠0。在等比数列中，a1≠0是显然的，但公比q完全可能为1”缺点，此时，教师引导学生对该问题进行“补充修正”，最后与学生一起总结该问题解题方法：“在解题时应先讨论公比q=1的情况，再在q≠0的情况下，对式子进行整理变形。”
关键词：高中数学；总结归纳；举例
进入高中以后，我发现很多身边的同学不能适应数学学习，进而影响到学习的积极性，以致成绩一落千丈。出现这样的情况，原因很多。我认为造成这样的原因注意是学习方法不等当。高中数学学习的方法有很多，我认为学习数学养成归纳、总结的习惯是很必要的。归纳总结知识的方法，即可以加深对知识的记忆、理解，使知识系统化、程序化。有助于数学思想方法的形成，从而为学好数学奠定了基础。那么如何进行归纳总结呢？
一、每节课的小结
老师讲的每一节课一般都围绕1-2个中心问题，要根据不同的内容做出恰当的总结。比如要注意挖掘概念的内涵和外延，对于公式要注意成立的条件及使用的范围，这是说明性的小结；对典型例题总结出一般性的规律和方法。
二、单元的小结
通常概念、公式的学习是局部的、分散的，因而在头脑中呈零乱无序的状态，难以形成有规律的清晰的认知结构。因此，当每一单元结束时，若能将这些知识，方法以一个新的角度串联起来，就可以形成一个完整的认识结构。
三、知识间的总结
随着学习的不断深入，总结的层次应再提高一步。既要注意知识纵向，横向各个层面的联系，又要重视其程序化的科学组织，使大及中形成系统性的知识网络。 通过课堂小结、单元小结、知识整体的串联，一定会在我们的头脑中形成数学知识的立体的网络，那一道道的习题不过是我们网中的一条条小鱼。数学还有什么可怕的呢？
下面我就线性规划做一总结举例：
线性规划主要考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值（或取值范围）；考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围等等；其主要题型有以下五种类型。
类型一：求二元一次代数式最值（取值范围）
例1：设x，y满足约束条件，求z=x-2y的取值范围
解：作出不等式组的可行域，作直线x-2y=0，并向左上，右下平移，当直线过点A时，z=x-2y取最大值；当直线过点B时，z=x-2y取最小值.由得B（1，2），由得A（3，0）.zmax=3-2×0=3，zmin=1-2×2=-3，z∈[-3，3].
方法点评：作出可行域，求出交点坐标，代入目标函数，求出最值。
类型二：求二元一次分式最值，二元二次代数式最值
例2：变量x、y满足
（1）设z=，求z的最小值；（2）设z=x2+y2，求z的取值范围；
解由约束条件，作出（x，y）的可行域如图所示.由，解得A.由得C（1，1）.由，得B（5，2）
（1）z==. z的值即是可行域 中的点与原点O连线的斜率.
（2）z=x2+y2是可行域上的点到（0，0）的距离的平方.可行域上的点到原点的距离中，
dmin=|OC|=2，dmax=|OB|=29.2≤z≤2
方法点评：常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：①表示点（x，y）与原点（0，0）的距离，表示点（x，y）与点（a，b）的距离；②表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率.
类型三：知目标函数最值，求参数值
例3：已知a>0，x，y满足若z=2x+y的最小值为1，则a=________.
解：作出不等式组表示的可行域，易知直线z=2x+y过交点A时，z取最小值，由得zmin=2-2a=1，解得a=.
方法点评：知目标函数最值，求参数值，转化为找出最值点坐标，代入目标函数。
类型四：最优解有多个（不唯一）求参数值
例4：x，y满足：，若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A.或-1 B.2或 C.2或1 D.2或-1
解：由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，
（1）当a>0时，要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则a=2；
一、构造函数解题
高中数学是整个中学数学的集合体，里面的知识联系密切，环环相扣.学生只有整体把握，才能取得更好的成绩.而在高中数学中，有些问题看似与其他知识点毫不相干，但实际上却是关系密切.比如说有些数字题似乎与函数无关，但是如果我们根据题设的特点，就可以构造一个函数，然后再利用函数的有关性质来解决问题.
【例1】已知a、b、c、d、e均为实数，且a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求e的最大值.
解：设f(x)=4x2+2(a+b+c+d)x+(a2+b2+c2+d2)，
因为f(x)=(x+a)2+(x+b)2+(x+c)2+(x+d)2≥0对任意实数x
总是成立的，所以判别式Δ=4(a+b+c+d)2-4×4(a2+b2+c2+d2)≤0，
从而得到Δ=4(8-e)2-16(16-e)2≤0，解得0≤e≤3．2，易见当a+b+c+d=1.2时，e的最大值是3.2.
二、构造方程解题
方程是数学中的重要组成部分，在高中数学解题中具有重要的意义.可以说，从初中数学到高中数学，方程思想始终是数学解题的重要思想，只有熟练运用方程思想，才能在各种数学问题中找到突破口.
【例2】a，b，c均为实数，证明：a，b，c均为正数的充要条件是：a+b+c>0，ab+bc+ac>0,abc>0．
分析：运用方程思想进行思考，就会发现a、b、c正好作一元三次方程的实数根，因此具备了采用构造方程来解题的基本前提.下面就直接从证明其充分性开始.
证明：
设p=a+b+c>0，q=ab+bc+ac>0，r=abc>0，则a，b，c是方程x3-px2+gx―r=0的三个实数根，由于x≤0不满足方程，所以方程的实根必为正数，故a、b、c均为正数.
利用这样的方程思想，避免了常规解题方法的繁琐环节，大大提升了学生的解题效率.
三、构造向量解题
向量问题也是高中数学的重要内容，许多学生只是单纯地把向量当做一个知识点来记忆，而忽视了它与其他知识点之间的关联，从而失去了解题的另一种可能.高中数学教师应该向学生强化向量的概念，并引导学生利用向量来解决相应的问题.
【例3】求证:a2+b2+(1-a)2+b2+a2+(1-b)2+(1-a)2+(1-b)2≥22.
分析：本题的特点是左边为几个根式之和，因此可借助向量的模来解题
证明：设z1=(a,b),z2=(1-a,b),z3=(a,1-b),z4=(1-a,1-b),
那么，左边｜z1｜+｜z2｜+｜z3｜+｜z4｜≥｜z1+z2+z3+z4｜=｜(2,2)｜=22，本题获证.
四、构造图形解题
数学是具体的，但是也是抽象的.精炼的语言，加上简单的数字符号，就构成了一道数学问题.面对这么少的信息和条件，学生只能对信息进行扩大和转换，让数学问题具体化，才能更快地破题.而构造图形，无疑是将数学问题具体化和简单化的最佳方法.高中数学教师在教学中，应该尽可能地鼓励学生通过构图法来解题.
【例4】解不等式｜｜x-5｜+｜x-3｜｜＜6.
分析：从表面上看，这类题目的一般解法是通过分区间来求解，这无可厚非，但是却显得比较麻烦，而如果能够在此构造双曲线，那求解的过程就变得较为简便.
解：设F1(-3，0)，F2(5，0)，则｜F1F2｜=8,F1F2的中点为O1(1，0).又设点P(x，0),当x满足题设不等式时，P点在双曲线(x-1)29-y27=1的两顶点之间，所以1-3
从上面的几个例子，我们可以看出，构造法在解题中的应用是十分广泛的，高中数学教师在教学中，应该注意引导学生从构造法的角度出发，思考问题.当然，从另一个角度上看，也足以证明学生在面临一个数学问题时，必须要善于转换思维，善于展开广泛联想，能够在有限的信息中找到各类知识的横向联系，进而寻找到巧妙的解题途径.这就需要教师在教学中经常对学生进行这方面的训练，帮助学生逐步提高自己的思维能力和解题能力.
参考文献
［1］冯晓华.巧用“构造法”解题［J］.云南教育(基础教育版)，2004（35）.
关键词：新课标；高中数学；习题教学；思考
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）02-107-01
随着我国新课程改革的不断推进，高中数学习题教学越来越受重视。由于新课标提倡以“学生”为中心，要求尊重学生的主体地位及其差异性，并在次基础上实施个性教学，从而提升每名学生的创新意识，促进学生的综合发展。高中数学习题教学要适应新课标这一背景，充分考虑学生个体思维模式与学习能力的不同，做好高中数学习题教学。
一、高中习题教学的重要性思考
目前，新颖的教育理念贯穿于我国教学课程的改革过程中，不仅转变了传统的“灌输”式教学模式，还辨析了教师与学生的地位。具体来说，其重要性主要表现为顺应课改新要求，体现学生的主体地位两个方面。
众所周知，高中数学习题教学与高考数学接轨，这一特征更多地体现在“题海战术”中。受课本的局限，大多数高中数学教师只强调基础知识和理论，忽视了对学生的逻辑思维能力的培养，使学生对于逐渐加深的数学知识产生“消化不良”现象。由于我国高中数学教学依然存在着“以课本为中心”和“以教师为中心”的情况，学生跟着教师安排的进度开展学习，自主学习的意识比较缺乏，加之大多数教师只关注学生的数学成绩，不主动挖掘学生的内心想法，学生在被动学习的过程中显得很吃力。这种学习状态不仅会使学生逐渐失去学习信心，还会阻碍学生发展独立探究能力，很难长久持续下去。可见，“缺乏生命活力”的传统教学已经无法适应现代教学的发展，高中数学习题教学不得不反思，在“去粗取精”的过程中不断探索。
二、如何做好高中数学习题教学
1、以生活化教学激发学生解题兴趣
数学学习过程中，枯燥的“题海”往往会打压学生的学习兴趣，这就得引导学生调整心理，帮助学习建立起解题的兴趣。数学课堂若可以贴近生活，学生学习欲望不足的问题就迎刃而解了。比如，我会结合实际中办厂盈亏的测算，鼓励学生自己“办厂”，并在班级里面组建起“银行团队”和“工人团队”，让学生贷款经营，并引导学生完成工厂进材料、工人加工、销货等环节，以一个月为限，看看谁的工厂盈利。另外，我会给学生布置课后作业，让学生与家人一起思考生活中数学？并让学生把思考的结果记录下来，与老师同学们一起分享。这样，经过一系列生活化教学实践，学生的兴趣得以激发，学生的学习自信心也不断提高，在一定程度上也发展了综合能力。
2、以问题引导数学习题教学
引导数学习题教学的方法不固定，问题教学是最有效果的方法之一。实践证明，问题引导作为解决和完善数学问题的科学教学方式，可以给学生的深入钻研提供一个平台，有助于学生主动思考。数学教师应该坚持“以问促思、以问创新”这一原则，合理引入问题教学情境，把学生的好奇心与教学内容结合起来，这样才能促进学生数学逻辑与创新思维的发展。具体来说，就是利用问题情景的创设，在课堂上能为学生提供各种各样具体形象的情境，引导学生进行丰富的联想，在激发学生求知欲望的同时，引导学生把新旧知识联系在一起，发挥问题引导的教学功能。其次，教师要“趁热打铁”，通过合理的类比与全面的练习，合理利用数学习题教学，让学生辩证地继承与创新学习知识，最终形成综合实践能力。
3、灵活运用所学知识完成习题
丰富的习题与灵活的解题技巧是习题教学不可或缺的部分。因此，教师的课堂讲解一定要重视对学生思维能力的培养，利用习题的灵活性达到检查与巩固学生所学知识的目的，并鼓励学生“举一反三”，提高学习效率。笔者将结合一个习题实例具体分析。
问：已知 x，y≥0 且 x + y = 1， 求 x?+ y?的取值范围。
解法一 ：从函数的角度思考
根据条件 x + y = 1变形得 y = 1-x，带入x?+ y?中
则x?+ y?= x?+ （ 1-x）?= 2x?-2x + 1 = 2（ x-1/2 ）?+1/2.
因为x，y≥0 且 x + y = 1，可以得出x∈[0，1]
依据二次函数的图像与性质，当x =0或x =1时，x?+ y?取最大值1；而当 x =1/2时，x?+ y?取最小值1/2；
所以x?+ y?的取值范围是[1/2，1]
这一解法体现了两种基本的数学思想方法，既变量替换与数形结合。当学生对函数及其性质有了一定认识时，教师就可以突出函数的图像特点，把变量替换与数形结合思想的优势发挥出来。
解法二： 从对称换元的角度思考
条件已知 x + y = 1； x，y≥0
设 x =1/2+ t， y =1/2-t，其中 t∈[-1/2，1/2 ]
带入x?+ y?中，
x?+ y?=（ 1/2+ t） ?+（ 1/2-t） ?=1/2+2t?， t?∈[0，1/4]
当 t?=1/4时，x?+ y?取最大值1；当 t?= 0 时，x?+ y?取最小值1/2。
除上述两种方法之外，还可以利用三角换元思想进行题目的解答，这里就不再赘述。其实三种方法都以解题为目的，只是所依据的思维不同、化简运算量不同而已。
总之，在教学实践中，高中数学习题教学的优势不可阻挡。教师不能只求解题过程的简单，而应该引导学生多样化解题，启发学生利用所学知识主动思考，在提高学生对数学认识的同时，增强学生的思维能力和自信心。
高中数学题里面往往存在很多个变量或者是未知的条件，这些条件的存在增加了解题的难度，同时也使得数学题变得更加的复杂、难以解答。因此，要想有效的解决这些问题，我们可以利用代换法的方式，给数学解题更换新的解题思路。将一些复杂的、困难的问题转化成相对简单的、容易解答的问题。其中我们在数学题的解答过程中常用的代换法就有函数代换、等量代换、变量代换等。因此，只有科学合理的掌握的这些代换法的使用，我才能进一步提高自己对数学难题的解答水平。
二、首先，分析代换法在高中数学三角函数中的应用
三角代换是高中数学所学知识当中的重点内容，三角代换的重点是利用合适的三角代换将代数表达式变成三角表达式，从而达到解题的目的。例①：如果不等式√x+√y≤k√（2x+y）对任何正实数x、y均成立，求k的取值范围。解：首先在不等式两侧全都除以√y，由此式子变为：√（x/y）+1≤k√（2x/y+1）①第二步：设√(x/y)=（1/√2)tanθ(0＜θ＜π/2)然后在①式当中带入x/y=1/2tan2θ，此时得到：（1/√2）tanθ+1≤k√(tan2θ+1)等价于k/cosθ≥(1/√2)•(sinθ/cosθ)+1化简可推出：k≥(1/√2)sinθ+cosθ因为(1/√2)sinθ+cosθ=（√6/2）sin(θ+α)且α被tanα=√2(α为锐角）确定。因此，当sin(θ+α)=1时，(1/√2)sinθ+cosθ存在最大值，且为√6/2。由此可知k≥√6/2，所以k值取值范围是[√6/2,+∞)。
三、其次是在高中数学函数知识当中运用变量解题代换法解决问题
函数本身就比较复杂，在解题中我们经常被复杂的函数式所迷惑，所以在解答的时候应该利用代换法简化复杂的函数式。例②：已知a不等于0，等式为1/2f（2/a）+3f（a/3）=a/2-17/2，求f（a）解：设2/a=d/3、a/3=2/d，且a=2/d由此可以推断出f（a）=a-2/a。由此得到问题的答案。
四、然后是在高中数学概率问题中应用等量代换法
概率问题一直是我们学习的难点，由于概率问题涉及面广，需要较强的分析能力，所以我们在学习的过程中，必须具有高度敏捷的思维，并需要搭配有效的解题方法才能够有效的解决问题。例③：某个箱子里面存在8个红球、4个白球，这些球只有颜色不同，其他的都相同。问，若某人随意的在这个箱子里面拿出5个球，此时拿出红球的概率应该是多少呢？解析：设摸出的红球有X个根据题意可知p(x=3)=C38C24/C512=14/33≈0.42421。答：随机的从箱子里面拿出5个球，摸出红球的概率为0.42421。例④：XXX市区有一个超大型商场，最近在举办促销活动，活动规则明确说明抽奖的大箱子里面有10个号码各不相同的乒乓球，其中8个白色球、2个黄色球，每一位顾客都可以随机的拿出来两个球，若都是黄色就是一等奖；问，顾客能摸出一等奖的概率是多少。解：首先设顾客摸出一等奖的概率为f(x)，其次，要从10个球中摸出任意两个球的概率为。再次，从两个黄球中摸出两个黄球的概率是。由此可以推断顾客在摸球的时候，要想全部摸出黄球的概率f(x)=C22/C210=1/45。所以，顾客能够摸出一等奖的概率为1/45。
五、最后是利用比值代换解决高中数学方程问题
要想利用比值代换去解决数学中存在的问题，那么题中的已知条件或者是所求的量和变量之间就应该存在一定的关系。例⑤：若某直线经过点（-3,5,9），并且与直线L1/L2相交，L1=:y=3x+5z=2x-3,L2=y=4x-7z=5x+10，求此直线的方程。解：第一步，设该直线的方程式是：x+3/I=y-5/m=z+9/n使x+3/l=y-5/m=z+9/n=t，则可以推断出x=-3+Ity=5+mtZ=-9+nt,此时将该公式全部带入到直线方程L1当中，由此可得：（m-3I)=1n=2I然后使x+3/I=y-5/m=z+9=s此时可以推断出x、y、z分别为-3+Is、5+ms、-9+ns。接着将x、y、z的值代入到L2中，此时可以得到等式（m-4I)s=-24(n-5I)s=4经化简推论出m-4I/n-5I=6此时在式子（m-4I)/(n-5I)=-6中代入n=2I，取出m=22I；然后令I=1，此时可以推论得出m=22、n=2由此可知，直线方程f（x）=x+3=y-5/22=z+9/2。
六、结语
综上所述，我这次对高中数学解题中常用的集中代换法进行了详细的作答，并通过有理有据有节的解题思路，正确的阐释了代换法灵活应用的方法。只有这样，作为学生的我才能够不断的提高自己的数学学习水平、提升自己的数学知识综合运用能力。
作者:陈日升 单位:湖南省益阳市箴言中学1419班
参考文献：
[1]李丽.变量代换在求解一阶微分方程中的应用[J].山西大同大学学报(自然科学版).2012(04).
关键词：高中数学;解题训练;有效性
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 B 【文章编号】 1671-8437（2015）02-0074-01
1 强化审题训练，提高解题准确率
审题是解题的出发点和首要步骤，深入细致的审题是正确解题的的前提和关键。在解题教学过程中，我们不难发现，学生审题不当是导致错解产生的重要原因。审题不当主要表现以下方面：一是未能正确领会题意要求。某些学生在解题过程中盲目求快，操之过急，在未能真正理解题意要求的情况下匆忙做答，从而导致错解;二是忽视题目中的隐含条件。条件是解题的主要材料，充分利用条件间的内在联系，挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息是成功解题的必经之路。然而，学生在解某些数学题时，往往忽略这些隐含条件，致使错解产生。
例1 求函数f（x）=log0.5（x2-2x-3）的单调区间。
错解：u=x2-2x-3=（x-1）2-4在（-∞，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数.又log0.5u是减函数，所以函数f（x）的递增区间为
（-∞，1]， 递减区间是[1，+∞）。
错解分析：上述错解产生的主要原因在于未能认真审题，忽略了函数f（x）的定义域（-∞，-1）∪（3，+∞）这一条件的存在。
正解：函数f（x）=log0.5（x2-2x-3）的定义域是（-∞，-1）∪
（3，+∞）. u=x2-2x-3=（x-1）2-4在（-∞，-1）上是减函数，在
（3，+∞）上是增函数.又log0.5u是减函数，根据复合函数的单调性，函数f（x）的递增区间是（-∞，-1），递减区间是（3，+∞）。
因此，在高中数学解题训练中，教师要注意强化学生的审题训练，引导学生对问题进行全面分析，认真读题审题，明确题意要求，准确把握题目中的关键词与数量关系，深入挖掘题目中的隐含条件，快速找出解题方向，明确解题思路，使数学问题得到正确、有效的解决。
2 鼓励一题多解，培养思维灵活性
一题多解是数学教学中的重要方法之一，它体现了思维的灵活性和广阔性。在高中数学解题训练中，教师要鼓励学生一题多解，进行发散性思维，引导学生从不同角度、不同侧面、不同途径去思考、分析问题，探求出不同的解题思路和方法，找到最佳解法，培养学生多向思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。
例2 已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解法一（运用基本不定式）：由于x、y≥0且x+y=1，
则xyQ=，从而有0QxyQ，
于是，x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy
所以，当xy=0时，x2+y2取最大值1;
当xy=时，x2+y2取最小值。
评析：运用基本不定式解题是最为常用的数学方法之一，它可以解决一些含有两个未知量的最值问题，但要注意等号成立的条件是否同时满足。
解法二（对称换元思想）：由于x、y≥0且x+y=1，则可设
x=+t， y=-t，其中t∈[-， ]
于是，x2+y2=（+t）2+（-t）2
=+2t2 t∈[0， ]
所以，当t2=时，x2+y2取最小值;
当t2=时，x2+y2取最大值1。
评析：对称换元思想可以简化减元结果，便于学生求值。
解法三（函数思想）：由x+y=1得y=x-1，则
x2+y2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2（x-）2+
由于t∈[0，1]根据二次函数的图象和性质可知，当x=时，x2+y2取最小值;当x=0或x=1时，x2+y2取最大值1。
评析：函数思想是高中数学重要思想方法之一，对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决。
3 注重错题分析，增强解题实效性
错误是正确的先导，在数学学习过程中，错误是难以避免的，因此，在高中数学解题教学中，教师要善于引导学生开展错题探究，进行自我反思总结，自主发现问题，深入挖掘错题的形成原因，探求避免类似错误出现的方法，并收集整理错解，形成错解集，从而深化知识理解，掌握解决同类问题的技巧。
一、高中数学体验式教学的概念
高中数学体验式教学，指的是在高中数学教学过程中，依据相关的心理学及教育学理论，结合高中学生的认知能力和心理特征，教师积极营造良好的课堂学习氛围，使学生学习的兴趣、好奇心及求知欲得到大大激发，引导他们积极独立自主参与讨论、交流、合作，使学生通过体验式的教学活动学会数学应用和理解数学知识，并产生对数学学习的积极情感，从而发展数学应用能力，在精神层次上实现建构的教学模式和理念.
二、体验式教学的理论依据
（一）建构主义理论
在学生培养认知能力的过程中，其逐步养成自己独特的学习观被称为建构主义，它所体现的意义是学生不再被动地去接受教师所授予的知识，而是积极主动以自身已有的经验和知识为基础去建构知识活动.也就是说，是学生在学习的过程中，借助自己现有的经验和知识，主动积极参与探讨、研究，与同学沟通、交流，从而构建新的认知结构的过程.它提倡学习是学习者积极主动建构自己经验知识的过程，是通过新知识经验与原有知识经验的相互作用而不断丰富、改造和充实自己现有知识经验的过程.它非常重视学习的社会性、创造性、实践性和主动性.
（二）活动建构的理论
教育家卢梭认为：教学来源于生活，应让学生在贴近实际生活的氛围中进行学习，通过参与生活实践，不断地获得经验，独立自主地进行学习，反对学生被动地去接受知识或单纯地学习书本上的知识.他认为教师的职责不仅仅在于教给学生各种文化知识，更重要的是去指导学生要学会从周围事物环境中主动地去学习，这种学习模式必须与实践经验、科技发展、现代生活相结合，从而使学生获得真正实用的知识.
三、高中数学体验式教学策略
（一）生成积极的情感体验
教师必须创设一个活跃的课堂教学情境，调动学生学习的兴趣，激发学习的能力.不动情感的学习，会产生疲倦感，疲倦状态下的学生，不能有效地吸收知识.因此，在开展数学课堂教学的过程中，教师应积极地营造良好的课堂教学气氛，让学生亲身体验数学，这样可以大大提高学生学习数学的兴趣，使学生生成积极的情感体验.因此，营造活跃的课堂教学气氛，是体验式教学最有效、最重要的组织形式.
（二）增强合作意识，加强交流沟通
在交流与合作的具体实施过程中，必须重视学生参与的积极性，要保证参与的质量，从内在实质上做到真正的交流与合作，避免只注重形式或只在公开课上的“形式性”的交流合作.在交流合作与过程中，教师应发挥其积极的主导和组织作用，要特别注意对学生参与交流与合作过程中的评价方式，评价是交流与合作环节必不可少的一部分，在学生进行交流与合作后，教师一定要对学生的表现给予评定，并对他们进行鼓励性的评价.
如，在进行“直线和圆”复习课时，遇到了这样一道题：已知圆O：x2+y2=1与直线l：y=k(x+2)相交于A，B两点，O是坐标原点，AOB的面积为X，求X的最大值，并求出取得最大值时的k值.如何解答这道习题，可以组织学生小组之间进行交流与合作，各小组先内部探讨解题方法，然后各小组之间再探讨交流解题的方法，最后各合作小组汇总得出了若干种比较好的解法.
（三）积极参与数学实验，体验数学知识形成过程
在数学教学的过程中，教师应积极引导学生参与数学实验，创设问题情境，指导学生在数学实验中通过合作交流、操作实践、自主探究，发现问题、提出假设、验证假设和概括假设并创造性地解决问题，这是高中数学体验式教学的一种重要形式.如在上“圆锥的定义”这堂课时，教师可以选择多种有效的数学实验促使学生更生动地体验和理解圆锥的定义.实验中学生亲自动手操作画图，研究椭圆图形，从而使他们更好地理解了椭圆概念及其形成过程.
（四）组织数学讲座，拓展思维加深体验
关键词：高中 数学质量
在课堂教学工作中，如果教师把学生所反映出来的具体问题集中起来处理后，能够引导学生积极针对新问题展开研究。这样可以让教学时间与教学内容有机地结合并指导学生不断探究、改善、创新。让学生在遇到类似的问题后，能够在思考的基础上提出新的概念和方法。高中数学教师的主要任务就是促进学生完善自己的学习方式，使其不断变得灵活多样。通过高中数学的改革能够看出参加学习的主动性、积极地性。笔者结合自己多年的教学经历及高中数学教学中存在的相关问题进行了具体的分析。
一、理论知识形象
学生在学习高中数学的过程中，除了要学会自主学习或积累知识外，还要学会对整个高中的数学知识进行全面的整理，更重要的是要将自己所学习到的知识通过专业术语来进行表达。在实施高中数学课堂教育后发现了两个显著的特点：第一，数学的推理、概括、归纳保持原样；第二，高中数学知识是新、旧知识的结合，其各个知识点都是互相联系的。是旧知识与新知识的结合点，即要不断发展的。
学习是一件比较注重全面的事情，通常情况下，直观、形象、具体的知识是很容易被学生接受的。但是数学的知识恰恰与其相反，数学知识的特点是符号化、概括化，抽象化，这就让学生很难弄清公式、定理所表达出来的数学含义针对这一问题，高中数学教师应该积极思考，能够把数学结论的推导过程详细地讲解给学生听，使学生能够运用自己的方法将数学知识由符号化、规范化、概括化转化为自己能清楚理解的形式，这样就对学习很有帮助，学生学习数学的能力将得到发展。
二、培养发散思维
数学是一门理科知识，在学习过程中应该积极培养学生的发散思维。高中学生对某一些问题常常会提出自己的看法，这样就能充分带动学生积极学习的动力。在数学方面进行指导后所体现的就属于思维的发散性。在教学中，为了促进教学质量的不断提高，教师在课堂上完全可以根据学生的理解能力来选择各种手段，如引导思考、实践活动、多媒体演示等，这样才能使得整个课堂教学发挥出良好的教学效果。
例如，求函数f(B) -sinB一cosB一2的最大值和最小值。求解时可用以下多种思路:(1)利用三角函数的有界性来解;(2)利用变量代换，转化为有理分式函数求解;(3)利用解析几何中的斜率公式，转化为图形的几何意义来解;等等。通过这一问题，引导学生从三角函数、分式函数、解析几何等众多角度寻求问题的解法，沟通了知识间的联系，克服了思维定式，拓宽了创新的广度，从而培养了学生的发散思维能力。
三、教学方法灵活化
数学本身就是一门理科类学科，这就要求学生的思维以及头脑反应能力要强，学生也只有在掌握了多种解题方法后才能对所学的知识有个详细的了解。“变式教学”的实施就能解决这一问题，这种教学方法的重点在于解题方法的变化，即学会“举一反只”。表现为:数学题目的一题多解，一题多变，多题归一等不断变化的教学方法。比如:教师在课堂上先向学生提出问题，给学生足够的思考空间，经过观察、分析、归纳等过程就会得到完整的数学概念，加深了学生的理解应用。
四、教学内容系统化
教学既是一种工作，也是一个学习的过程，教师在教学过程中不断学习改善，才会提高教学质量。数学的逻辑性很强，概念、法则、公式、定理是组成数学知识的主要元素，在某种条件下也可以相互转化。根据这种情况，重新整理各种知识结构、方法、技巧是高中数学教学的重点内容在知识结构整理方面，需要进行双方面的整理工作，纵向知识和横向知识都应该整理到位，从而将教学内容融会贯通。
例如:反证法、配方法、待定系数法等等。需要强调的一点是，如果进行配方法的教学，在举例的过程中需要说明它除了可以解决二次函数求极值间题，对于因式分解、根式化筒、韦达定理也是能够进行解决的。
五、数学知识“应用化”
数学知识本身就是比较抽象的，而且知识点比较难懂。目前高中数学的教学方式多数还是依靠学生的听讲、记忆、做题目来学习知识，这些方式已经有些落后于现代教学，对于培养创新型人才已经是满足不了的了。笔者认为，高中数学教师在教学中要积极培养学生自主探索、动手实践、合作交流的学习能力，以提高学生的实践能力为目的开展教学。通过培养数学的实践能力来提高学习效率和教学质量。
例如:对于“分期付款中的有关计算”这一课题的研究，教师不但需要安排学生参加社会实践弄清银行的有关知识外，还应该让学生弄清二种付款方式的计算情况，再进行分组展开交流，使每个人得出的结论都能与实际的结果相符合。讨论可以从这些具体的方面进行:(1)只采用方案2，算出每期的付款额、总共的付款额与一次性付款进行对比分析，将得到的结果填人表格并针对这一问题开展研究；(2)采用方案1和方案3时，每期付款额、总共付款额与一次性付款进行对比分析，将结果填人表格，总结出其中的特点与解决方法。
编者按：最值问题遍及高中数学的所有知识点，综合性强，是高考的必考内容.同时，最值问题可以将各种知识作为背景来进行考查，形式多样，不容易被考生所掌握.如果考生从最值问题的常见类型、求解策略以及解答时的易错点三个角度来备考并加以掌握，其实最值问题也没想象中那么难.
近几年高考中的最值问题，在考查内容上，涉及的知识点广泛，如求函数的值域，求数列中的最大项或最小项，求数学应用问题中有关用料最省、成本最低、利润最大等问题；在解题方法上，求最值的方法有很多，如判别式法、均值不等式法、变量的有界性法、函数的性质法、数形结合法等.
1.二次函数的最值
求解二次函数的最值一般是先配方，再借助二次函数的图像解答.数学中的很多最值问题最后常转化为二次函数的最值问题来求解.
例1 （2008年高考重庆理科卷）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为
难度系数 0.70
解 选C.
小结 二次函数的最值问题是其他很多最值问题（如三角函数、数列、解析几何、应用性最值问题）的基础.最值问题要特别强调“定义域优先”的原则，本题实质上是求给定区间内的二次函数的值域问题.
2.导数法求最值
导数的引入为函数最值的求解开辟了一条新路，我们通常用导数法求函数的最值要比用初等方法简便得多，因此导数法求最值也是一种不可忽视的方法.
设函数在上连续，在上可导，求的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数在内的极值；
②将函数的各极值与， 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
例2 （2011年高考江西理科卷）设上存在单调递增区间，求a的取值范围；
（2）当在上的最小值为，求在该区间上的最大值.
难度系数 0.60
解 （1）解答过程省略.
（2）令，可得两根所以在和上单调递减，在上单调递增.
当时，有，所以在上的最大值为又即在上的最小值为于是得从而在该区间上的最大值为
小结 本题主要考查函数与导数的基础知识.导数是研究函数单调性及最值的有效工具.
3.均值不等式求最值
均值不等式：若，则当且仅当时等号成立.应用均值不等式要注意“一正、二定、三相等”的要求.
例3 （2012年高考湖南理科卷）已知两条直线 和l1与函数y=|log2 x|的图像从左至右相交于点A，B ，l2与函数y=|log2 x|的图像从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m 变化时，的最小值为
难度系数 0.55
解 由题意得选B.
小结 本题除了考查考生对对数函数图像的理解外，还考查利用基本不等式求最值的方法.考生在解题时应注意将配凑成的形式，再利用基本不等式进行求解.
4.辅助角型三角函数最值
求函数y=asin ωx+bcos ωx的最值可以转化为求y=Asin（ωx+φ）的最值，再利用三角函数的有界性可求.
例4 （2011年高考新课标理科卷）在则AB+2BC的最大值为 .
难度系数 0.65
解 最大值为2
小结 本题考查正弦定理的应用及三角函数的性质和公式的应用，熟练运用化一公式并利用函数的有界性处理是解答问题的关键.
不等式的恒成立问题
不等式的恒成立问题常转化为函数的最值问题来求解.如：恒成立，即恒成立，即例5 （2012年高考天津理科卷）已知函数的最小值为0，其中
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对任意的有成立，求实数k的最小值；
（Ⅲ）证明难度系数 0.50
解 （Ⅰ）据题意可知函数 的定义域为由当x变化时的变化情况如下表：
因此， f（x）在x=1-a处取得最小值.由题意有f（1-a）=1-a=0，所以a =1.
（Ⅱ），取，有，故不合题意.当时，令，即，于是
令，得
①当时， 在上恒成立，因此在上单调递减.从而对任意的，总有，即在上恒成立.故符合题意.
②当时，对于，故在上单调递增.因此，当取时，，即不成立.故不合题意.
综上可知，k的最小值为.
（Ⅲ）证明过程省略.
