时间：2023-09-21 17:35:25
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇常见的高中数学公式，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
一、高中数学概念教学的重要性
概念具有高度抽象和高度概括的特点，是数学命题的基本单位，概念的实际应用可以帮助我们理解复杂的事物，将其简化、分类或概括.概念从我们固有的内在经验出发，建立新的情境并分类，我们能够发现新的知识或事物的本质.
学生在学习数学概念时可以锻炼自己的空间想象能力和思维能力，又可以达到理解数学概念进行实际应用的目的.高中数学概念是高中数学基础知识的主体与核心，它的基础性地位是学生进一步学习的前提.对学生的思维能力、空间想象能力、学习能力是一种锻炼.
二、高中数学概念的特点
⑴普遍性.通常数学概念是代表一类事物而不是一种事物的.例如，“长方体”这个概念是代表所有长方体物质的抽象概念，而不是具体指某一个长方形物体的大小、颜色和质料.
⑵形式化.数学概念多是用数学符号来表示的，比较形式化.例如，用“S”表示三角形面积、用“∑”表示求和等.所以在教学中要注意数学符号在数学概念中的应用.
⑶简明化.数学概念是高度抽象和概括的，而且其中包含了很多的数学符号，所以形式或结构非常简明，易于记忆和理解.
⑷辩证性.数学概念具有个别和一般、具体和抽象的辩证统一的特点.
⑸系统性.多个数学概念可以整理为一个系统概念，例如，将整数、分数和小数概括整理为有理数.
三、高中数学概念教学的现状
高中数学的教学特点使得教师的教学任务重，教学方法单一.很多教师在实际教学中重视解题技巧而忽视数学概念，往往是将数学概念简单地教给学生，重点放在将数学概念的实际应用和解题上.这种本末倒置的做法使得学生对概念理解不清、认识模糊，通过死记硬背将这些概念机械地记忆下来，在解题过程中无法很好地使用数学概念，学习能力提高不上来.在遇到新的数学题型时就束手无策，无法独立将数学概念运用自如.
很多老师意识不到数学概念教学的重要性，认为学生最重要的是解题能力的提高，但是解题能力和理解能力是建立在掌握数学概念基础之上的.对于这种简单的数学概念教学模式急需进行教学改革.
四、高中数学概念的教学方法
（1）多角度剖析数学概念
高中数学概念多数由数学公式、图形、文字、数量关系等组成，所以对这些定义的理解非常重要.教师要从这些方面入手，多角度的帮助学生吃透数学概念.
首先，可以从数学公式、文字和图形入手.例如，在学习立体几何时，对“二面角”的学习就可以从图形、文字和公式三方面层层递进来学习.如图1所示.
图1
其次，可以从数量关系和位置来分析数学概念.在学习椭圆的相关概念时就可以画图，分别将焦点在x轴上和y轴上的椭圆方程展现出来.椭圆标准方程为x2/a2+y2/b2=1（焦点在x轴）和y2/a2+x2/b2=1（焦点在y轴），其中，a>b>0.从数量关系和图形位置来帮助学生将抽象概念具体化，激发他们的学习兴趣，提高他们的思维能力.
（2）明确数学定义，扩展外延
首先，在学习某一数学概念时将这个概念的基本属性教给学生，并注意进行外延的扩展，提高学生的学习能力.例如，在学习“函数”概念时，要让学生明确与函数相关的定义域和值域，以及函数图象和对应法则等.
其次，对数学概念进行适当的扩展，引导学生深入理解并提高解题能力.在学习函数时，还要对常见的函数单调性、周期性和奇偶性进行扩展和练习.
（3）创设情境，帮助学生理解
数学概念的抽象性和形象性使得它仅凭语言解释或枯燥的黑板教学是不能让学生全面掌握的，还要为学生创设相关的情境，从而加强概念引入，激发学生的学习动机.利用学生身边实际发生的事或经常接触到的物体进行概念教学.例如，在学习“四面体”时，对它的一些抽象概念进行情境创设，将学生们常见的四面体拿到课堂上来或让同学们想象自己在接触四面体时的感受，并进行分析和总结.
（4）加强变式训练
概念学习关键是要会运用，很多数学题型都不是对数学概念直接的运用而是数学定义的变式，教师要加强对学生变式解题能力的锻炼和拓展.例如，对二项式定理的变式，将（a+b）n中的a、b、n进行替换来出题训练学生对概念的深层理解能力.
摘要：在新课改的前提下，提出了许多新的教学方法，要求老师在进行教学的过程中，不仅要以“教”为主，还要倡导学生进行自主学习，积极培养学生自主学习的积极性和兴趣。因此，每一位数学老师在进行数学教学的过程中，要重视自主学习的重要性，要做到为学生服务的教育目的，将自主学习方法更好的应用在教学中，去为每一位高中学生的“大学梦”提供条件和机遇。
关键词：高中数学 数学教学 自主学习
随着我国教育事业的发展，教师在教学过程中改变了原有的应试教育理念，越来越注重对学生能力的培养。本文主要通过对学生自主学习存在的问题进行分析以及针对问题提出一些相应的对策，希望提高高中数学教学质量，为高考做好充分的准备。在高中数学课堂教学过程中，培养学生的自主学习精神可以提高学生的数学学习能力，能更有效地提高教学质量，也为学生缓解学习压力和充分的掌握知识做好基础性准备。自主学习是一个良好的学习方法，能在有效地时间充分的掌握知识。但是目前我国高中学生在数学自主学习方面还是存在着许多的问题和不足，严重地制约着数学成绩的提高，老师在数学教学的过程中也不注重自主学习的培养，造成了数学学习“先天不足后天畸形”的状况。因此，探究其学习方面就显得非常重要。
一、影响高中数学教学中自主学习的原因
（一）在传统的教育环境下，教师的教学主要是让学生增长知识，从而利用丰富的知识来应对考试。在以往的教学过程中，教师只注重知识的讲解，以传授书本知识为目的，让学生学习书本中的解题思路和方法。这种教学形式严重制约了学生的思路，使学生在数学自主学习过程中只是盲目的套用数学公式和解题思路，降低了学生的主观能动性，从而限制了学生的思维。教师在课堂中利用大部分时间来讲解数学知识，其余的时间用来讲题，给学生的空间较少，学生之间缺少互动和交流，这在一定程度上限制了学生进行自主学习，使学生自主学习受到了很大的限制，严重制约了学生的发展。教师在教学过程中没有认识到培养学生自主学习的重要性，没有为学生自主学习创造条件，造成了自主学习成为一句空话。
（二）高中阶段的学生进行自主学习的负担比较繁重，学生将大部分时间分配给语文、英语和数学等其他专业课学习上，这就导致学生自主学习不能更好的进行，从而使学生的自主学习受到限制。高中学生面临着高考的压力，语文、英语等课程所占用的时间比较多，再由于时间有限等，造成了学习自主学生时间有限。老师在数学教学的过程中，大量的给学生预留数学作业，布置一些相对比较困难的数学问题，就给学生进行自主学习带来了压力，学生在匆匆忙忙的紧张学习气氛中，没有充分的时间来自主进行学习。
（三）对于每一位高中学子来说，在面临巨大的课程压力和高考压力下，他们几乎已经是筋疲力尽了，每天课程安排几乎是满满的，一节课接着一节课，让很多学生没有时间进行自主学习，即使有了一点空闲的时间，都是去放松一下紧张的学习心情，参加课外活动，进行自主学习的时间也就会大大地减少。
二、高中数学教学中自主学习的创新对策
（一）给予充分的学习时间，调动学生学习积极性。在高中数学教学的过程中，由于语文、英语以及其他课程占用的时间比较多，这样就给数学自主学习带来了困难。所以，老师在教学的过程中，要给数学安排合理的自学时间，充分的调动学生自学数学的积极性。老师要充分的给予学生自主学习的空间，破除课堂中老师主导作用，让学生成为课堂中的主体，也要给予学生良好的自主学习空间和舒适的学习环境。
（二）培养学生自学兴趣。一个良好的自主学习兴趣是非常重要的，也是学习的前提。老师在教学的过程中，应该充分的培养学生自主学习的积极性，让他们在学习的过程中感悟到自主学习的重要性和带来巨大的成就，让学生在无形之中养成自主学习习惯。
比如说在学习圆与圆的位置关系一课时，老师可以充分的借助多媒体给学生展示出多种圆之间的关系，要给学生充分的时间来搜集生活中常见的圆与圆，展示自己所取得的成就，充分的调动学习的积极性。
（三）提高学生的自信心，消除他们的自卑感。在进行高中数学自主学习的过程中，应该充分的照顾学生的自我特点，对于比较抽象的、逻辑思维能力要求比较强的数学知识，应该降低学习的难度，或者上课的节奏放慢一些，多和学生相互接触，帮助他们把所学到的知识领会和消化，让他们进行自主学习。老师要在学生学习中充分的做学生心目中的“知心人”，让他们产生信任感，让他们在心理上产生共鸣，处于积极、乐观的学习态度之中。在有效教学中，老师还应该采用激励的办法来鼓励学生大胆地对不懂的数学知识进行质疑，要鼓励他们，即使问题是错的，答案也是错的，我们也应该给予他们肯定和表扬，排除他们害怕学习数学、不想学习数学和消极学习数学的心理障碍。
（四）学习方法的指导。在高中数学自主学习教学过程中，老师要特别重视的是对学生数学学习方法的指导，要把观念下的死记硬背等转化到动脑、动手、动嘴和灵活记忆中来，破除数学自学中困难比较大的题目。
比如说在自学的过程中，我们常常会遇到一些应用题，这类应用题的难度比较大，也比较绕口，学生在进行自主学习的过程中，面对巨大的数字、庞大的解题难度和数学公式的应用，这就让学生无法进行解答。所以，我们应该指导学生适当的舍弃这些知识，把时间花费在困难适中的数学知识上，实现数学方法的指导教学。
【关键词】高中；“美”式教学法；数学之美
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）09-0060-02
许多高中生总是认为数学知识太过抽象、枯燥，无从下手。他们在数学学习上花的时间不少，却总是不见成效，久而久之便丧失了对数学学习的信心。高中数学新课程标准明确指出，在数学教学过程中，要重点培养学生善于发现美、鉴赏美、创造美的能力。因此，笔者尝试运用“美”式教学法，引导学生发现数学之美，让学生在感受数学知识发生的同时，培养学生分析问题、解决问题的能力以及逻辑思维能力，让学生感受到数学的魅力。
一、数学之美
教育心理学认为，教学活动中的美是不可忽略的。数学是理性思维和想象的结合，它是建立在社会需求的基础上的，所以便产生了数学美。那么，什么是数学的美呢？如何将数学之美渗透到高中数学课堂教学中呢？数学之美就是将自然规律抽象成一些概念、定理或公式，通过演绎构成一幅现实世界与理想空间的完美图像。自古以来，许多国内外著名的数学家都十分关注数学美，并作了深刻的探讨。毕达哥拉斯发现了勾股定理，赞叹直角三角形简单、和谐的美；爱因斯坦从欧氏几何教科书中发现了数学的严谨、精确与明澈之美；华罗庚教授高度赞赏了数学的内在美。
二、数学之美的几种表现形式
数学的美是丰富多彩、千姿百态的，有美的理论、美的公式、美的曲线、美的形式符号、美的证明等。从数学的内容与形式结合起来考察，发现数学美有以下几种表现形式：
1. 统一美
数学的统一性具体表现为数学概念、方法、规律、理论的统一，数学与其他学科的统一，给人一种整体和谐的美感。如正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形，平行四边形是特殊的四边形。这体现了数学知识部分与部分、部分与整体的关系，体现了数学的统一美。因此，在高中数学教学过程中，教师要注重引导学生比较、归纳、总结数学的概念、公式等，以便更好地探索数学知识的内在联系，形成网络知识体系。这样既可以加深对知识的理解与掌握，又能培养学生的合情推理、演绎推理能力。
2. 简单美
爱因斯坦说过：美，本质上终究是简单性。数学的简单、明快给人一种和谐之美，这种简单并不意味着数学对象本身的简单，而是指数学对象由尽可能少的要素通过最简单、经济的方式组成丰富而深刻的内容。有些数学问题，表面看起来很复杂，但本质上是简单的。数学的简单美表现在以下几个方面：一方面，数学结构具有简单美。以数学理论的逻辑结构为例，理论前提简单，理论表述简单，定理和公式简洁、明晰；另一方面，数学方法具有简单美。一个美的数学方法或证明包含简单性的含义。因此，在引导学生进行解题的过程中，要注重观察，学会分析问题，寻找最简单的解题方法。
3. 对称美
对称，是自然界中一种普遍存在而且又奇妙有趣的现象。在数学之中处处存在对称美，如等腰三角形、圆形、球形等具有对称美，各种概念和定理也具有对称美，给人一种整齐、沉静、稳重、和谐的感觉。雪花、对数螺线是对称图形，我们了解其中的一部分便能够知道全部。在高中数学教学过程中，教师要引导学生运用对称的观点去分析问题、解决问题，由问题的一部分联想到对称的另一部分，由部分突破整体，将复杂的问题简单化，这样探索出来的解题方法让人“耳目一新”，能够调动学生的学习积极性与主动性。
4. 奇异美
奇异性是数学美的重要特点，包括奇妙与变异两个层面的意义。如人造卫星、行星等，运动速度不同，运动轨迹不同，可能是双曲线、抛物线、椭圆形等。曲线的不同跟常数e大于1、小于1、或是等于1，有很大的关系。这其中有很大的奇妙性。在指数函数教学过程中，教师讲述这样一个故事：一张纸，将其对折20次，大约有10米高！这个结果让许多学生都十分惊讶。所以在高中数学教学过程中引导学生认识数学的奇异美，能够突破学生认识的局限性，激发学生对数学知识的兴趣。
三、数学之美在高中数学课堂教学中的体现
1. 从生活中捕捉数学美
数学来源于生活，服务于生活，我们要从生活中捕捉“数学的美”，将数学知识与生活实际相结合，让孩子们爱上数学。常言道：好的开端是成功的一半。因此，教师要在导读环节中引入生活化的知识，激发学生的数学探究欲。如在“不等式的证明”中，a，b，m∈R+，且 a■。
要证明这个公式可以引入生活中的例子，把抽象的知识具体化，让学生更容易理解、掌握数学知识。在课堂开始阶段，先准备一杯糖水，请一位学生品尝，该学生说：“老师这杯不错，淡淡的甜味，正是我喜欢的。”之后，笔者在同学们的注视下，又往这杯糖水里加了一勺糖，再让那位同学来品尝。这位学生喝了之后皱了皱眉头说：“太甜了，刚才那杯正好符合我的口味。”这时，笔者趁机提出问题：“请同学们思考一下，为什么这位同学觉得甜了？是什么变了？”学生纷纷答道：“浓度。”于是教师便引导学生一起写出这个“变甜”的数学公式，证明这个公式是成立的。⑹学问题带入生活，用数学思维解决生活问题，发现、鉴赏数学之美，让学生更有兴趣投入到数学学习中，真正实现学生的主体地位。
2. 从解题中发现数学思维美
高中数学的又一魅力在于其灵活多变的数学思维可能。这是因为一道数学题可能会有不同的解题方法，而每一种数学方法都是一种美的形式。因此，在高中数学教学中要重视数学的方法美，从不同的角度、不同的思维方式去考虑、解答，给学生充分的美的享受。如在数列知识的练习题中，“已知Sn是等比数列前n项和，S3、S6、S9成等差数列，求证a2、a5、a8为等差数列”，教师在进行该题目的讲解时，应该引导学生从不同的角度去思考、解答。既可以通过公式Sn =（a1-anq）/（1-q）（q≠1）进行证明，也可以通过公式Sn=a1（1-q^n）/（1-q）（q≠1），对已知条件进行转化，从而得出结论。通过一题多解的分析，可以让学生感受高中数学的多种思维可能性，还能培养学生的发散思维与创新能力，感受数学的思维之美。
3. 在n堂教学中感受数学语言美
数学是一门艺术，它充满了简单美、方法美、板书美、语言美等。只有运用通俗明白、生动幽默的语言才能吸引学生的注意力，让学生听得有滋有味，达到掌握知识与培养能力的目的。数学课本上的概念、定律、规则等知识点较为深奥，有的知识点甚至是相互交叉的，要想让学生牢牢掌握数学知识点，除了生活化的教学方法、创设问题情境等，教师还要运用丰富、生动、幽默的课堂教学语言，活跃课堂教学气氛，充分调动学生的情感。以初等函数的学习为例，为了让学生掌握其中的几个定积分式子，教师可以据此设计故事：常函数与指数函数是好朋友，有一天它们在一起玩，常函数一见到微分算子扭头就跑。指数函数不解，常函数说：“我遇到它，万一被微分了就什么也没了。”指数函数听完说：“也是，我可不怕它，它不能把我怎样，不过我们是好朋友，我陪你回去吧。”学生听着生动、幽默、形象的故事，完全沉浸其中，也理解了常函数、指数函数与微分算子之间的关系。这样，学生就充分感受到了数学的语言之美，牢牢掌握了数学知识。
4. 在课后小结中挖掘数学美
一个好的课堂结尾能够激发学生对知识的求知欲，充分发挥学生的想象力。在课后小结中，教师要注重引导学生将前后知识联系起来，明确其中存在的知识规律，从而形成网络知识结构体系，同时在其中引入数学之美，帮助学生巩固对知识的记忆与掌握，提高高中数学教学的效果。如在多面体与旋转体知识的总结过程中，要将常见的特殊多面体与旋转体相“接”、相“切”等相关的图形画出来，如圆柱内接于圆锥、圆柱内接于球等，球内切于圆柱、球内切于圆锥、球内切于圆台等，再比较它们的相同点和不同点。还要联系多面体、旋转体的定义，归纳总结出不同情况下“接”与“切”的空间位置关系以及各个元素之间的关系。在这一基础上将立体空间的问题转为平面的问题，化难为易，有效解决问题。这样有助于学生巩固和加深对所学知识的理解，形成“知识链”，还能引领学生感受美、知识美，从而达到素质教育的目的。
总之，高中数学中处处存在美，如简单美、对称美、统一美、奇异美等，但是它以抽象性、逻辑性而为人们所认识，所蕴含的美却很少有人关注。因此，高中数学教师应该通过各种途径，引导学生时刻去感受美，一方面转移学生的学习压力，体会数学学习的乐趣；另一方面，深入了解高中数学，使学生愉快学习，事半功倍。
参考文献：
[1] 张安军，李哉平.《发现数学之美》研究的心路历程[J].教育实践与研究（B），2013，（11）.
[2] 蒋夏军.视觉思维理论用于高中数学教学中的研究[J].基础教育研究，2016，（18）.
[3] 肖鲁.浅谈数学教学中如何实施创新教育[J].青少年日记（教育教学研究），2011，（4）.
[4] 张安军，李哉平.《发现数学之美》研究的心路历程[J].教育实践与研究（B），2013，（11）.
关键词：微积分，教学改革，实践
独立学院属于公益性教育事业，是民办高等教育的重要组成部分，有效地缓解了我国长期以来的高考升学压力，截至2016年5月30日，全国共有独立学院266所。当前，独立学院的发展建设从加快发展到提升质量的重要过渡期，其中教学质量的提升任务艰巨，而微积分课程作为一门重要的公共基础课程，其重要性不言而喻。本文将根据独立学院学生的实际特点，结合作者近十年来的独立学院的教学工作实践，分析独立学院微积分教学过程中主要障碍和应对方法，分享行之有效的教学经验，推动微积分课程教学改革。
一、独立学院微积分教学的现状分析
与校本部微积分教学相比，独立学院的微积分教学过程中，教与学之间的矛盾更加突出。一方面，学生是教学活动的主体和中心，学生掌握的程度直接决定微积分教学的成败。但独立学院学生高中数学知识掌握程度相对薄弱，这就要求授课教师必须适度降低难度要求，这样容易导致教师常常局限于教研室所指定的微积分教材。另一方面，，因为所采用的教材理论性太强，概念和定理叙述的很抽象，与现实生活距离较远，如果仅仅局限于教材，又难以激发学生的学习的自信心和积极性。
所以教师首先需要解决的问题是弄清为了满足不同专业的学生后继学习的需要，在微积分授课过程中需要讲授多少、多深的知识，同时需要弄清学生在微积分学习过程中的兴趣点。例如，针对学生对微积分课程的关注点，作者在2016年6月在经管类专业大二学生中开展了调查问卷，其中设计了16个调查项目，根据调查结果，筛选了其中主要的几个指标列举如下图：
从上图可以看出很多值得探讨的问题，比如学生对定理的证明比较排斥，比较倾向于对定理结果的记忆和应用，这与独立学院学生的知识储备密切相关的，尽管如此，作者认为在具体的教学过程中，为了让学生知其所以然，同时汲取必要的高等数学的数学素养，一部分有代表性的关键定理仍需详细讲解，如三大中值定理、微积分基本定理、正项级数三大判别法等。同时可以看出在授课过程中需要加强贴近生活的具体应用。还有，实时通讯手段可以提供学生和老师之间课后的沟通和互动，随时解答学生的学习问题。
二、独立学院微积分教学改革的途径
针对独立学院微积分教学的种种不足，作者通过分析论证，并结合自己的教学实践，给出如下建议。
1. 与高中数学有效衔接
2003年，教育部基础教育司开始实行《普通高级中学课程标准（实验）》，并逐步在全国试用和推广。函数、数列、解析几何、数列极限、三角恒等式等知识点的要求，在课改前后都有不同程度的变化。作者在微积分每个章节的教学过程中，首先熟悉高中数学相对应部分的知识背景，结合独立学院学生的高中数学知识水平，这样才能有效地把握所讲内容的深度和广度。
比如，在第二章函数导数部分，高中数学要求学生掌握常见函数的导数公式，并要求学生熟练掌握导数符号与函数单调性的关系，所以在微积分教学中适当减少有关导数在函数单调性上的应用的课时。
2. 熟记公式
督促学生熟记基本的、重要的数学公式，其中一部分是中学所学过的，同时在微积分课程中要常用的公式，如三角函数公式、均值不等式、数列相关公式等。另一部分公式则是微积分课程中的重要结果，如导数基本公式及求导法则、不定积分基本公式和衍生公式、基本函数级数展开式等重要公式。
公式的记忆应该在学生对相关知识理解的基础之上，记忆的好处是大大提高掌握知识的效率。
3.增加生活中的实例
微积分的应用在实际生活中很常见，例如，提问学生为什么水桶通常都是圆柱形，而且水桶的高和底圆直径相等？再比如，为什么水渠的横截面是等腰梯形，而且腰边的倾角接近60度？诸如此类的例子贴近生活，能有效地激发学生的学习兴趣。
4.数学建模
鼓励基础较好的学生积极参加国内外各类数学建模比赛，不仅激发学生的学习热情，锻炼学生实际应用数学理论的综合能力，同时还可以增强学生的团队意识和集体精神。
5.丰富教学模式
独立学院的微积分教学一贯注重教师板书、讲解、互动的教学模式，因为每一步的结果都有非常清晰的前后逻辑关联性。
而另一方面，如果需要反映数学知识动态演变的过程时，单一的板书却不能清晰的展示，需要借助数学软件，如几何画板、matlab等。比如在讲定积分定义的概念时，借助于动画，可以很清晰的反映出，在积分区间上随着插入点的增多，小矩形面积的和与曲边梯形的面积差会越来越小。
6.引入数学史
所有的数学符号、定义、定理、推论、公式，都有其明确的历史演变的轨迹，必要的数学史的讲解，不仅增加学生与数学之间的情感连接，而且可以减轻学生对数学的枯燥印象。比如，著名的“洛必达法则”的真正发现者不是洛必达；我们习惯上把“微分”排在“积分”的前面，其实从微积分的萌芽角度，“积分”是早于“微分”的，而且从微积分理论的成型角度，“积分”仍然是早于“微分”的。
7.建立数学微信群和QQ群
每次授课的核心知识点通过文字或图片形式放在群中，方便学生加强巩固。下一次课的重点和难点部分也提前在群中通知，提醒学生提前预习。通信群的另一个重要作用是，学生有问题及时解答，不留死角。
三、结束语
作者从独立学院学生的实际情况出发，结合自己多年的教学实践，分析探索了独立学院教学改革的途径，并给出了具体的建议，旨在推动独立学院微积分教学的改革与创新，提高独立学院学生的竞争力，为社会输送更多的综合应用型人才。
参考文献：
[1]郑瑞根.高职高等数学教学的认识与实践[j].中国林业教育，2005（3）：69―71.
[2]严永仙.高等数学学习情况的调查与分析[J].浙江师范大学学报：自然科学版，2003（2）：202―205.
关键词：高效课堂；高中数学；高效性；数学教学
中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）08-0194-02
DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2017.08.126
什么样的课堂教学才符合课程改革理念，如何最大限度地提高课堂教学效率？大多数教师对新课程实施以及提高课堂效率存在较多困惑，致使课堂教学效率低下。首先，高效两个字应该体现在教学质量的高标准上，教师的教精准有效，学生的学也清晰显著。另外，高效也要体现在教学的效率上，高效利用课堂教学时间和课下复习时间，不做或少做无用功，高效完成教学和学习任务。那么，如何达到这样的效果呢？我们可以从以下几个方面进行尝试。
一、与生活接轨，让学生爱上高中数学
数学是从生活中提炼而来，对于高中数学的一些概念定理、思考的方法等，我们都可以从生活中找到对应。因此，谈到对高中数学的喜爱，我们也可以从生活入手，让教学与生活接轨，将枯燥的数学公式应用到生活中。例如在学习异面直线的概念时，在黑板上画图是一种方法，不过最为直观的还是从生活中找到说明概念的实例，首先从概念的叙述上来说，异面直线是“不同在任何一个平面上的两条直线”，在此基础上，再让学生找出教室或长方体中的异面直线，最后以平面作衬托画出异面直线的图形。学生经过以上过程对异面直线的概念有了明确的认识，同时也经历了概念发生发展的过程。如此这般推及到生活，我们可以让学生在学完这一概念之后，留意生活当中都有哪些异面直线，将其记录下来，下次课可以跟大家讨论交流。
在高中数学教学中，教师要有将知识与生活相联系的意识，不仅从书面知识的层面去讲解，更要将这些知识与生活相联系，在讲解一些概念定理的时候就要帮助学生理解在生活中这些数学知识都“身处何处”，鼓励学生去探索和发现。很多时候，我们会觉得数学知识太枯燥，太理论化，只适合于做计算做研究，殊不知，这些看起来“高大上”的数学知识其实都是很简单的。例如，在学习“二分法”概念的时候，我们就可以创设一定的情境，让学生去理解所谓的“二分法”为何物。我们可以模拟电视上常见的估价节目。估计一件商品的价格不仅需要对生活中常见商品的价格有个大致的了解，同时也需要根据提示进行更加准确的评估。所以，我们在做这个活动的时候可以先给出学生一个价格区间，再让学生估价，估的高了或低了都会给与相应的提示，如此一来，最接近的为赢。通过这样一个生活化的情境游戏，就让学生对二分法的概念有了非常清晰的理解。
二、促进学生之间的交流合作，鼓励自主探究学习
若要提高教学效率和效果，都需要W习主体的认真参与，只有学习的主体主动参与到学习之中，教师的努力才会真正有效果。所以，我们可以多引入一些激发学生自主学习的方法，例如，通过小组讨论的方式去学习新的知识，去研究问题的解决方法，去争论其中的分歧。通过这样类似的一些活动，调动大家的积极性，带着一颗好奇心去学习。我们可以组织学生在班级中形成数学学习小组，组织一些数学实践的活动。让学生通过相互的交流促进对问题的理解，激发他们自主探索的欲望。如今学生进行自主探究学习有很方便的途径，例如，丰富的、随时可以查阅的网络资源，这些网络资源包括社区、视频、微课甚至热心的网友，学生在自主探究过程中可以基本不受阻碍，也给数学老师更多的时间去准备课程，从重复的疑问解答中解脱出来。更重要的是，学生通过自主学习所获得的知识理解更深刻，学习的效果和保持度都更好。因此，若想构建高中数学高效课堂，应该强化学生之间的自主交流学习。
三、激发学生对高中数学的学习兴趣
兴趣是最好的老师，是学生学习的内驱力之一，有了兴趣就能促使学生积极主动地参与学习。如何在数学教学中激发学生兴趣？创设情境就是众多方法中的一条有效途径。数学新课标指出，数学教学要紧密联系学生的生活环境，从学生已有的经验和知识出发，创设生动的教学情境。很多害怕数学、厌烦数学的学生都是因为数学枯燥无味，认为数学就是机械的记忆公式、定理、解题规律等，要搞题海战术。所以，首先从教师的角度来说，应该调整落后的教学观念，按照新的课标要求，将数学教学本身的趣味性体现出来，可以多向优秀的教师学习，将有益的经验应用到自己的教学工作中。教师也应该多与学生交流沟通，注意收集学生对教学过程的反馈，了解学生的学习效果，鼓励学生多提一些有助于教学趣味性提升的可行建议。当然每个老师都有自己的风格，学生提出的和其他老师的做法也只是一个参考，还需要结合自己的心理和性格特点进行教学设计，找到自己的风格，走出一条与众不同的教学之路。当然这些都是为了高效完成教学任务而服务的。
四、转变教师角色
要实现课堂的高效率，教师要由单一的传授者转化为学生发展的促进者，由一味的操作者转化为研究者；在新课程下，课堂教学从传授转化为建构，教师教得好就是促进学生学得好；在新课程下，知识和技能不再是课堂教学的唯一追求，知识技能、过程与方法、情感态度和价值观等密切联系。在教学中，教师要精心进行教学设计，多花一些功夫在教学的设计上，提前把学生在自主探究学习中可能会遇到的问题想好，做好预防措施，不断提高自身的专业素养，教给学生学习数学的方法。教师要用积极的心态去鼓励学生进行主动的学习，帮助他们树立克服困难的信心，以开放的心态投入到数学的学习之中。在课堂教学中实施开放式教学应重视数学学习的基础知识和基本技能、基本思想方法。教学内容的选择应着眼于教材内容本身的开放，坦然面对学习中出现的错误，用接纳的态度去面对学习中的一切，汲取其中的教训。
总之，课堂教学是教师与学生的双边活动。要提高高中数学课堂教学质量，必须树立教师是主导、学生是主体的辩证观点，形成热烈的学习气氛，凭借数学思维性强、灵活性强、运用性强的特点，精心设计教案，注重学生优秀思维品质的培养，变被动为主动，变学会为会学，这样就一定能达到传授知识、培养能力的目的，收到事半功倍的效果。 .
参考文献：
由于长期受应试教育的影响，数学教师往往只重视“灌输式”教学，轻“探究式”教学。布置大量的练习来让学生做，是一个被动接受知识与强化知识储存的过程，没有以学生为主体开展教学，更没有师生之间与生生之间的课堂互动。《数学课程标准》明确提出“丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法，是高中数学课程追求的基本理念”，所以，应培养学生学会学习，促进学生学习方式的转变，切实为学生减负。
一、以纲为纲教学，有限度地扩展知识面
教学中教师总会补充一些数学公式或特殊的解题方法，特别是在数学复习时，高考大纲明确限制这种行为。如，异面直线间的距离，异面直线上两点间距离公式；采用递推关系求数列的通项公式等，经常被老师作为补充内容传授给学生，加重了学生的学业负担。例如：在等差数列{a■}中，若S■=30，S■=100，求S■。这是一道高考题，教师通常会给学生补充一条性质，那就是在等差数列中，由相邻的或连续的、相等的项的和构成的数列也是等差数列。一般来说，我们不提倡这样做。实际上，只要用解等差数列的常见方法，即寻找公差与首项就能解决问题，即：48=x（1-y），60=x（1-y■），解这个方程组得：y=1/4，x=64，所以：S■=x（1-y■）=64[1-（1/4）3]=63。在实际教学中，像这样补充公式的情况很多。如，在解析几何“直线”中的“对称问题”，很多教师就会给学生补充一个公式：点P（x■，y■）关于直线Ax+By+C=0的对称点的坐标公式，教师会要求学生记住一个点关于直线x±y+b=0的坐标公式。其实，曲线对称问题，我们可以归结为点的对称问题，而点的对称可以转化为先求出垂线方程，再求垂足，然后求对称点的坐标，那么一个点关于x轴、y轴的对称点的坐标很容易得出，根本不需要补充什么公式。
二、创设问题情境，引导学生自主探究
苏霍姆林斯基说：“在人的内心深处有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是发现者、研究者、探索者。”高中生的思维比较活跃，对创新已有所认识，教师要转变教学思想，开拓新的教学方式，引导学生运用发散思维去解决数学问题。进而得出正确的结论，而不是一锤定音给出教师的结论。在例题或习题的教学中，教师还要有意识地给学生创设新异的情境，鼓励学生不依常规，不受教材或教师传授内容的束缚，善于从新的角度去探索，追求新颖、奇特的解法，从而为培养学生的独创性思维注入新的活力。例如：在教学椭圆及其标准方程时，学生对课本中介绍的标准比、程序化的方法很不满足，他们自行设计，采用令、依题意得、故可得、即或、两边平方后得。整个教学情景中，教师只给出问题不给结论让学生自己去观察、探究动手实践等，起到了触类旁通，减负增效的作用，真正落实了素质教育。所以，面对教改新形势，教师应及时转变教学方式，更新教学观念，努力探索正确的教学方法，努力创造能让学生主动学习的时机，充分调动学生积极参与到教学活动中。通过创设情境教学，让学生在掌握知识的同时还获得了较为深刻的理解，还提高了学生的自主探究能力。
三、给学生减轻负担，教师要给自己增负
随着时代的进步，教学方法总是在不断创新。这就需要教师不断学习先进的教学理念，吸取先进的教学思想和手段，提高自身的素质和教学能力，为高效率的课堂教学创造条件。要提高课堂效率，还要在备课上狠下工夫。备课，是上好课的前提条件。教师在备课上应多研究，多斟酌，多进行教学探索。“不打无准备之仗”，准备充分对一堂课的教学思路，教学的逻辑性与教学目标的实现，都起到了积极的作用，是高效课堂的充分保证。所以，教师应该用几倍于一堂课的时间和精力去备好一堂课。例如：在教学“椭圆的标准方程”时，这样创设情境：天文学家推断76年以后它还会再次光临地球上空，那么他们的依据是什么呢？以讲故事的方式，娓娓道来，如此亲切的话语既拉近师生的距离，产生了情感上的共鸣，又激发了学生探究的欲望，明确了探究、学习“椭圆标准方程”的必要性，激发了学生的学习动机，调动了学生的主观能动性，达到了预设的目标，很自然地引导学生进入自主探索阶段。又如：白居易的“离离原上草，一岁一枯荣。野火烧不尽，春风吹又生。”一诗，反映的是怎样的数学现象？这一问题让学生联想到数学中的一个概念，那就是“周期”。这样的问题就要求教师在备课中认真预设，精心准备。
四、重视通性通法教学，培养学生的创新思维能力
教师要重视高中数学的通性通法，倡导举一反三、一题多解。努力培养学生的“六种能力、一个意识”，即运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、实践能力与创新意识。能力的分类和要求与以前有所不同，必然反映在命题中，特别应注意新增加的“数据处理能力”与“实践能力和创新意识”。另外，“推理论证能力”不同于“逻辑思维能力”，逻辑思维能力注重演绎与推理，即使是“合情推理”，也应引起我们的重视。通性通法就是最基本的性质、最常见的方法。在高中数学教学中，采用这种方法，可以有效减轻学生的学业负担，能充分体现新课改理念。目前，很多资料中的一些题目出现了运用特殊的技巧才能解出来，而这些特殊的技巧往往是许多老师和学生难以想到的，即违背了通性通法的原则。这无形中也增加了学生的负担，对学生的思维发展没有益处。在教学中，我们应该重视通性通法，淡化特殊的技巧。当然，并不是要完全反对补充一些公式，对此应该把握如下原则：一是要有节制；二要看学情；三要看教材的情况。如函数值域的求法，课本中没有提供任何求法，教学中可以适当地给予补充。
总之，在新课改理念下，我们要积极地培养学生的创新思维，努力给学生减轻学业负担。这是时代赋予我们的责任。但减负工作是一个系统的工程，需要广大教师付出辛勤的工作。只要一线教师在教学中不断实践与探索，根据学生的学习情况，适时适度开展教学，切实减轻学生过重的学业负担完全可以实现。
关键词：数学试题 “理想源”
高考数学试题的命制，最理想、最基本的“理想源”自然是现行高中数学课本涉及的定理、公式，课本中的例题、习题的变式、演绎，往年高考试题，历届中学数竞赛试题，各地优秀的模拟题。这是一个试题的海洋，许多学生对知识的串、并、结网和形成框图能自如掌握，但是，就如何以最少的试题量驾驭试题的海洋，还是一筹莫展。本文就近年来的高考试题探索高考试题的产生规律，寻求能够活化数学知识、提升数学能力的数学试题“理想源”。
一、 以概念为“源”
1. 如正纯小数为“源”
解析：由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OA和OB的反向延长线为两邻边，则y取最大值0，此时 =x ，所以x的取值范围是［0，1］。
2.二次函数y=ax +bx+c(a≠0)无疑是中学数学和高考的亮点，它的定义域、值域、开口、对称轴、单调性是那么熟悉，可是就是它们又使我们的学生感到陌生、可怕。如果我们引入绝对值则有y=ax +b|x|+c，这时的二次函数则等价转化为分段函数y=ax +bx+c(x＞0)ax -bx+c（x＜0），这个时候的定义域、值域、开口、对称轴、单调性就不是二次函数那么简单了，把a、b、c具体化，如求y=x +|x|+2的最小值还较容易，若化为求y=x +|x-1|+2最小值就不那么简单了，再引入参数则有求y=x +|x-a|+2的最小值，则成了高考题。
（3）几乎每一个数学知识点都可以引发、转换为数学试题，如y=log 在其定义域单调，引入绝对值后，则有y=log |x|，就有了对称性，继续变换有y=log |x-1|，则失去了偶函数的性质，对称轴变为x=1，再引入参数a，有y=log |ax-1|，求这个函数的对称轴，则成为一道考查对数运算、对数函数性质的题目。
对数函数是单调的，一次函数也是单调的，每一个知识点都比较容易掌握，如果从简单的形式开始复合会是什么样子呢？如x∈[0，1]，求y=log (ax-1)最大（小）值。这道题考查了对数的定义域ax-1＞0，复合函数的单调规律，分类等。对数函数是“繁殖率”很强的“理想源”，它与二次函数、一元有理分函数、形如y=x+ 都可以复合得到很好的考查数学知识的能力的试题。
三、“类比”是最好的试题“源”
案例1：设函数f(x)= ，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 。
分析：此题利用类比课本中推导等差数列前n项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算f(x)+f(1-x)。
案例2：在平面几何中，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB +AC =BC 。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则?摇?摇?摇?摇?摇。”
分析：关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：
关键词：课堂实录；数学公式；教学策略
笔者近期听取了一节名为《三角函数诱导公式》的录像课，现以本节课为例，谈谈公式教学的策略问题. 本课由南京师范大学附属中学刘洪璐老师执教，所用教材为普通高中课程标准实验教科书（江苏教育出版社2008年出版，以下简称教材）必修4.
课堂实录分析
1. 问题情境，引入课题
片断一：
T：同学们，在前面的学习当中，咱们已经将角的概念由锐角扩充到任意角了，而且也已经知道了任意角三角函数的定义.那么任意角三角函数值怎么去求呢？先来看问题1：求出390°的正弦值、余弦值（PPT给出），请同学们思考.
T：那么和30°角终边相同的角的同名三角函数值都相等吗？？摇？摇
S2：相等. 终边相同的角计算三角函数值时都可以取终边与单位圆的交点，结果相同.
分析：进行公式教学时，应首先关注公式的来龙去脉. 所谓“来龙”不仅指对公式的推导. 笔者认为，公式存在的必要性也是“来龙”的一部分. 因此，公式的引入就显得非常重要. 本课以390°的正弦值、余弦值这个看似简单的问题激发学生对于任意角与常用角的同名三角函数值之间关系的探讨，使诱导公式的出现自然、不突兀.
2. 公式推导，方法总结
片断二：
T：非常好，这两个角的数量间有什么关系，它们角的终边间有什么关系？
S4：30°+150°= 180°，它们的终边关于y轴对称.
T：那就有sin（180°-30°）=sin30°. 同学们思考，式子中的30°用α替换是否成立？
S5：任作一个角的终边与单位圆交于P，作终边关于y轴的对称线与单位圆的交点P′，P与P′纵坐标相同（如图2），这两个终边表示的角的正弦值相同. （教师几何画板展示）
T：很好，总结一下，刚才我们怎么得到公式的？
S8：先作单位圆，找到α与180°-α的终边与单位圆交点，它们关于y轴对称，那么横坐标互为相反数，纵坐标相同，就有了正弦值、余弦值的关系，正切可由余弦与正弦得到.
T：非常好，我们得到如下的关系转化图.
（板书）？摇 角的关系对称关系坐标关系三角函数值间的关系
下面同学们沿着这个思路，找找还有哪些角的终边与α在坐标系中有特殊的对称关系？它们的同名三角函数值有没有特殊的对应关系？
S9：（板演，作答）我研究的关于x轴对称，如果α在第一象限，关于x轴对称的角就在第四象限，可以用-α来表示，这时P′点横坐标与P点相同，纵坐标互为相反数（如图3），就可得到sin（-α）= -sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα.
分析：三角函数的诱导公式是具有相关并列关系的公式群，相互之间结构类似，若通过死记硬背，往往容易产生混淆.
本例中通过师生合作找到了研究的共同出发点――图形中终边的对称关系. 从单位圆这一公共图形中开辟了一条相同的研究方法.学生通过自主探究，经历从数量关系到图形关系再到数量关系之间的相互转化，从而生成新的公式. 同时在公式记忆时，学生可将公式的代数映象转换为视觉映象，使抽象的数学知识形象化. 整个学习过程中，学生能主动用所掌握的知识进行师生、生生间的交流，由此学生数学学习能力与学习自信心得到增强.
3. 公式运用，深化理解
T：请同学们完成下列练习：
例1 求下列三角函数值
（2）cos（-60°）；
（3）tan（-855°）
（学生板演） ……
分析：本课练习只安排了例1.题目设置与本课的问题引入“求出390°的正弦值、余弦值”保持了呼应，使得整节课有问有答，前后呼应. 同时三个小题涉及不同情况下角的转化，对诱导公式进行了基本运用，且教师引导学生探寻不同的转化途径，题与题之间保证了统一性.
数学公式的教学策略
1. 公式引入的策略
在新公式的引入阶段，为了激发学生的意义学习，加深对所学公式的感知和理解，教师应尽力创设有利于学生集中注意、激发学习动机的情境，并以此情境为契机，促进学生调动原有知识结构与经验基础积极同化新公式.
（1）创设数学问题情境
在新公式学习之前，教师可以从与原有知识类似但原有知识无法解决的问题出发，激发学生学习的热情，促进学生温故知新. 学生若能以新旧知识的联系为桥梁，以新旧知识的区别为突破口，对新知识产生探究的渴望，那么这一情境的创设就是成功的. 如由“390°的正弦值、余弦值”引入诱导公式；再如由两角和与差的正余弦公式引入二倍角公式.
（2）创设生活实际情境
数学公式往往很多最初都来源于生活世界，但是当它们在教材中呈现时，这些生活面貌大多已经隐去了. 如果教师能在公式展示之前赋予这些公式生活的背景，那么学生就能从被动转为主动. 此时数学公式的外表往往也能更加亲和、容易接近，从而降低学生对于新知识的畏惧程度，消除他们对新知识的抵抗心理. 如教材必修5第39页等差数列前n项和的引入“某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数？”
（3）创设实验操作情境
公式引入也可以以一些简单的、可操作的数学实验来呈现.数学知识的发现并不一定要以严密的逻辑推理或证明形式呈现. 教师可以设计与教学内容有关的、便于课堂实施的实验，以此为索引，引导学生操作、归纳、猜想新知识，再通过逻辑论证得到数学公式. 如空间几何体的表面积公式的引入，可以在学生制作纸质的常见几何体，将几何体剪开得到侧面展开图的操作过程中引导学生找到表面积公式.
（4）创设数学史情境
古今中外典籍里有很多问题的解决都与教育形态的数学知识相关，它们在历史长河中闪烁着智慧的光辉，教师有必要将这些无价之宝呈现给学生. 这一情境的创设过程可以是数学家发现新知识的契机，可以是知识发现过程中数学家所付出的努力，也可以是新知识在数学发展过程中的作用. 如等差数列求和公式的引入可以用一个学生熟知的高斯求1+2+3+…+100的和的故事，在学生给出答案后给出求1+4+7+…+67与求等差数列前n项和两个问题引导学生逐步深入.
2. 公式推导过程的策略
当学生通过各种情境对公式有初步朦胧认识的时候，数学公式的教学就要转向公式的推导，让学生在教师的带领下感受知识的产生、发展，主动参与新知识的构建.
（1）公式推导过程中的思维展现
教材中公式的面貌往往都是以最简洁的语言、最完善的符号来表达，而公式来源过程中那些真实存在过的观察、发现、猜想、探索、证明，以及种种尝试、种种失败都隐藏在完美结果的背后. 因此，教师在教学过程中必须要让学生感受到人的思维活动的存在，否则公式就只能是文字、符号，没有温度的堆砌.
公式教学过程中可以展现学生思考的思维活动. 每当学生展现一次思维过程，教师可通过问题系列的设计将学生带入更深层次的思考. 公式教学过程中可以展现的还有数学家的思维过程或数学教师的思维过程. 对于一些条件隐藏得较深、推导目标又所知甚少的问题，教师不妨还原教师或数学家推导公式的历程，让学生看到真实的思维过程是怎样的. 如教材选修2-2推理案例赏析中的“棱台体积的推导. 这一过程并不一定要直接指向正确的解答，而是要让学生看到教师或前人如何发现成果或如何从困境中寻找新的思路.
（2）公式推导过程中的思想方法总结
数学学习过程中蕴涵着众多的数学思想与数学方法，如数学方法中有给人们如何思考、探索、发现的逻辑思维方法，包括一般化、归纳、类比等；有较为固定的操作步骤的操作程序方法，如待定系数法；也有解法奇妙的技巧性方法、非常规方法. 数学思想中有以相关数学概念为内容背景的概念型数学思想，如函数思想、方程思想、公理化思想等.
在公式的教学过程中，教师要努力让公式课成为以知识为明线，以思想为暗线的发展过程. 随着多节课在不同公式、不同知识点中反复分析、提炼、概括、反思，学生数学思想方法的习得将不再是难事，公式的教学价值也将得以充分发挥.
3. 数学公式运用的教学策略
学生在掌握了公式的来龙去脉后将进入公式运用阶段. 这一阶段教师要给学生创设由简单到复杂、由单一到多重、从抽象到实际的问题背景，促进学生对公式的理解.
（1）公式运用中呈现载体的选择
根据数学背景的不同可分为纯数学题与应用题. 公式运用的呈现载体可以是在数学知识系统内部，也可以是在实际中. 例如，“已知直角梯形ABCD，AB∥CD，AB=9 m，CD=15 m，∠CAD=45°，求直角梯形的一条腰BD的长”，这是一条纯数学题，给它赋予不同的实际背景便得到教材必修4第103页的数学应用题例5：“如图4，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD”.
（2）公式运用中的认知层次
[论文摘要]建模能力的培养，不只是通过实际问题的解决才能得到提高，更主要的是要培养一种建模意识，解题模型的构造也是一条培养建模方法的很好的途径。
一、建模地位
数学是关于客观世界模式和秩序的科学，数、形、关系、可能性、最大值、最小值和数据处理等等，是人类对客观世界进行数学把握的最基本反映。数学方法越来越多地被用于环境科学、自然资源模拟、经济学和社会学，甚至还有心理学和认知科学，其中建模方法尤为突出。数学教育家汉斯·弗赖登塔尔认为：“数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，数学过程应该是帮助学生把现实问题转化为数学问题的过程。”《新课程标准》中强调：“数学教学是数学活动，教师要紧密联系学生的生活环境，要重视从学生的生活实践经验和已有的知识中学习数学和理解数学。”
因此，不管从社会发展要求还是从新课标要求来看，培养学生的建构意识和建模方法成了高中数学教学中极其重要内容之一。在新课标理念指导下，同时结合自己多年的教学实践，我认为：培养建模能力，不能简单地说是培养将实际问题转化为数学问题的能力，课堂教学中更重要的是要培养学生的建模意识。以下我就从一堂习题课的片段加以说明我的观点及认识。
二、建模实践
片段、用模型构造法解计数问题（计数原理习题课）。
计数问题情景多样，一般无特定的模式和规律可循，对思维能力和分析能力要求较高，如能抓住问题的条件和结构，利用适当的模型将问题转化为常规问题进行求解，则能使之更方便地获得解决，从而也能培养学生建模意识。
例1：从集合｛1，2，3，…，20｝中任选取3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？
解：设a，b，c∈N，且a，b，c成等差数列，则a+c=2b，即a+c是偶数，因此从1到20这20个数字中任选出3个数成等差数列，则第1个数与第3个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数字中有10个偶数，10个奇数。当第1和第3个数选定后，中间数被唯一确定，因此，选法只有两类：
（1）第1和第3个数都是偶数，有几种选法；（2）第1和第3个数都是奇数，有几种选法；于是，选出3个数成等差数列的个数为：2=180个。
解后反思：此题直接求解困难较大，通过模型之间转换，将原来求等差数列个数的问题，转化为从10个偶数和10个奇数每次取出两个数且同为偶数或同为奇数的排列数的模型，使问题迎刃而解。
例2：在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种不同的作物，每种作物种植一垄，为了有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有几种（用数字作答）。
解法1：以A，B两种作物间隔的垄数分类，一共可以分成3类：
（1）若A，B之间隔6垄，选垄办法有3种；（2）若A，B之间隔7垄，选垄办法有2种；（3）若A，B之间隔8垄，选垄办法有种；故共有不同的选垄方法3+2+=12种。
解法2：只需在A，B两种作物之间插入“捆绑”成一个整体的6垄田地，就可以满足题意。因此，原问题可以转化为：在一块并排4垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物有 种，故共有不同的选垄方法=12种。
解后反思：解法1根据A，B两种作物间隔的垄数进行分类，简单明了，但注意要不重不漏。解法2把6垄田地“捆绑”起来，将原有模型进行重组，使有限制条件的问题变为无限制条件的问题，极大地方便了解题。
三、建模认识
从以上片段可以看到，其实数学建模并不神秘，只要我们老师有建模意识，几乎每章节中都有很好模型素材。
现代心理学的研究表明，对许多学生来说，从抽象到具体的转化并不比具体到抽象遇到的困难少，学生解数学应用题的最常见的困难是不会将问题提炼成数学问题，即不会建模。在新课标要求下我们怎样才能有效培养学生建模意识呢？我认为我们不仅要认识到新课标下建模的地位和要有建模意识，还应该要认识什么是数学建模及它有哪些基本步骤、类型。以下是对数学建模的一些粗浅认识。
所谓数学建模就是通过建立某个数学模型来解决实际问题的方法。数学模型可以是某个图形，也可以是某个数学公式或方程式、不等式、函数关系式等等。从这个意义上说，以上一堂课就是很好地建模实例。
一般的数学建模问题可能较复杂，但其解题思路是大致相同的，归纳起来，数学建模的一般解题步骤有：
1．问题分析：对所给的实际问题，分析问题中涉及到的对象及其内在关系、结构或性态，郑重分析需要解决的问题是什么，从而明确建模目的。
2．模型假设：对问题中涉及的对象及其结构、性态或关系作必要的简化假设，简化假设的目的是为了用尽可能简单的数学形式建立模型，简化假设必须基本符合实际。
3．模型建立：根据问题分析及模型假设，用一个适当的数学形式来反映实际问题中对象的性态、结构或内在联系。
4．模型求解：对建立的数学模型用数学方法求出其解。
5．把模型的数学解翻译成实际解，根据问题的实际情况或各种实际数据对模型及模型解的合理性、适用性、可靠性进行检验。
从建模方法的角度可以给出高中数学建模的几种重要类型：
1．函数方法建模。当实际问题归纳为要确定某两个量（或若干个量）之间的数量关系时，可通过适当假设，建立这两个量之间的某个函数关系。
2．数列方法建模。现实世界的经济活动中，诸如增长率、降低率、复利、分期付款等与年份有关的实际问题以及资源利用、环境保护等社会生活的热点问题常常就归结为数列问题。即数列模型。
3．枚举方法建模。许多实际问题常常涉及到多种可能性，要求最优解，我们可以把这些可能性一一罗列出来，按照某些标准选择较优者，称之为枚举方法建模，也称穷举方法建模（如我们熟悉的线性规划问题）。
4．图形方法建模。很多实际问题，如果我们能够设法把它“翻译”成某个图形，那么利用图形“语言”常常能直观地得到问题的求解方法，我们称之为图形方法建模，在数学竞赛的图论中经常用到。
从数学建模的定义、类型、步骤、概念可知，其实数学建模并不神秘，有时多题一解也是一种数学建模，只有我们认识到它的重要性，心中有数学建模意识，才能有效地引领学生建立数学建模意识，从而掌握建模方法。
在新课标理念指导下，高考命题中应用问题的命题力度、广度，其导向是十分明确的。因为通过数学建模过程的分析、思考过程，可以深化学生对数学知识的理解；通过对数学应用问题的分类研究，对学生解决数学应用问题的心理过程的分析和研究，又将推动数学教学改革向纵深发展，从而有利于实施素质教育。这些都是我们新课标所提倡的。也正是我们数学教学工作者要重视与努力的。
参考文献
[1]董方博，《高中数学和建模方法》，武汉出版社.
[2]柯友富，《运用双曲线模型解题》，中学数学教学参考，2004(6).
摘要：新课程的实施引起了广大教师教学思想、教学行为等方面的革新，但是在实践中部分教师因为对新课程理念没有正确理解而出现一些操作误区. 本文将从实例出发，对常见误区进行剖析。
关键词：新课程；教学；误区；分析
随着课程改革在全国各地展开，普通高中数学课程标准倡导的基本理念已逐渐被广大教师所接受. 然而在这一新旧观念与教学方法的转变中，许多新的思路需要我们去探索，这就难免会在这个过程中出现很多迷茫和困惑，走很多弯路，甚至走入另一种误区，从而影响教学目标的实现.
忌情景创设成为一种时髦和摆设，不讲究实效性
让学生在生动具体的情景中学习数学，是“三维”目标对数学教学提出的要求. 创设有效的数学情景能激发学生的学习兴趣，为学生自己探究提供良好的学习环境，让艺术、文学、哲学、建筑学等文化背景渗透到课堂情景之中，无疑具有无可比拟的教学效果，但是这一切都应该以实用为前提.
假如，一定要硬生生地创设情景，牵强地引入一些材料，反而有失偏颇. 如在讲授数列的通项公式时，有位教师设计了一只非常活泼的小猴子掰苞谷的情景，而且每掰一次苞谷，猴子都要作出不同的表情，直到最后归纳出通项公式时，学生的思维实际上还是停留在刚才猴子的那些丰富多彩的表演上，这不能不说是一个主次不分的做法. 有的时候，开门见山、单刀直入式的情境创设行为，支撑它的不是那些绚丽多彩的动态画面，而是依赖于教师自身驾驭教学艺术的魅力，由表面上的平静状态促进学生从心底掀起波澜，达成外化激励促进内化需求的目的. 提供给学生现实的、有意义的、富有挑战性的学习情境，不但能拉近数学与现实的距离，为学生找到数学学习的新基石，同时也能激发学生学习数学的兴趣，是让学生体验和理解数学的有效途径.
忌课堂教学死板和老套，不讲究灵活性
教师是教学的主导，学生是学习的主人，教师是数学教学的组织者、参与者，在课堂教学中务必要注重灵活多变的教学方式，一味地追求固定的教学模式，引入几分钟，总结几分钟，让学生回答几个问题，教师讲授几分钟，上课举几道例题和学生练习几道习题，把灵活多变的课堂变成了一个生硬僵化的数学公式和一潭毫无生机的死水，这必将严重损害学生的学习兴趣，挫伤学生学习的积极性和创造性，这不能不说是教学的悲哀.
数学教学中要让学生感悟到那些博大精深、灵活多变的数学内涵，这是学生保持兴趣长盛不衰的重要源泉，也是创新教育的源动力. 正如孔子所言：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者.” 只有这样，创新模式才能被学生愉快地接受，把数学课堂真正变成活水之源.
忌只重问题的结果，忽视知识产生的相关背景，不讲究自然性
数学的产生与教学思想的起源与发展都是自然的，而不是强加的，“授之以鱼莫如授之以渔.” 仅仅给学生一个结果，而不去探究知识的形成过程，这犹如缘木求鱼，根本无益于学生数学素养的培养. 这种只重视结果的投机思想是缺乏远见和没有生命力的，更是经不起实践的检验. 数学课程应当是开放的，并具有前瞻性，为学生留出“提出问题、探索思考和实践应用”的空间. 只有弄清了概念的内涵和外延，才能突出数学的本质属性，把教学过程、知识的发生过程与学生的思维过程有机统一，同步进行.
忌只重巧解，忽视了数学基本思想方法的渗透，不具有普遍性
那些巧解与快解的题目，往往是有局限性的，一味去追求巧妙、解法，会使学生对基本的解题方法产生厌倦心理，滋生学习数学的投机心理，这不利于数学思想方法的渗透. 比如判断不等式是否成立时，运用特殊值验证，进行淘汰，这种方法只局限于一些具体的问题，切不可作为一种常规的解法去应用，特殊性是不可以代替一般性的.
抓住基本思想是解决问题的途径，问题具有一般性和特殊性，在数学中要摆正二者的关系，在基本方法已熟练的基础上可适当介绍特殊的巧解方法，这不失为一种点缀和神来之笔，切莫本末倒置.
忌课堂教学过多依赖多媒体教学，不具有实用性
一、 问题的提出：
传统的中学数学课堂受传统教育思维的影响，存在一些问题。教师上课讲的多，学生参与教学过程的量很少，尤其是高中数学内容多课少，所以课堂上基本上都是老师讲，学生听，基本没有主动参与。换句话说就是被动填鸭式教学，这种教学模式下的课堂比较死板，缺少活力，尤其是无法体现学生的主观能动性，无法让学生的思维得到体现，所以这种模式具有一定的局限性。我校采取的主体参与教学模式能真正把课堂还给学生，给学生展示自己和体现团队合作的空间。
二、 主体参与教学模式的依据：
从数学的特点来看：数学高度抽象的形式化的特点更需要学生的自主性、独立性、主动性、创造性，更需要学生的主体参与，要让学生在教学活动中，在教师的启发引导下，自己去“发现”重要的数学事实和结果，如公式、法则、定理等。因此数学作为学科教学的一门重要课程，探索提高学生学习的质量，全方位建构学生在数学教学中的学习主体，是现代数学教育的发展趋势。
从学生的特点来看：学生是学习的主体；学生是一个发展的人；学生是一个独特的、有完整个性和独立人格的人。要充分发挥学生主体地位的作用，那么学生能得到教师的尊重是基础，否则学生的主体性就成为空谈。教师借助学生主动参与和促进其充分发展的能力为基础，学生学习数学只能通过自身的操作活动和主动参与的做法才可能是有效的，学生学习数学只有通过自身的情感体验，树立的自信心才可能是成功的。最大程度的调动学生的主体参与的积极性才能让学生真正的融入到这种模式的学习中来。
三、 主体参与教学模式的具体实施：
主体参与教学模式的立足点是由教变为学。所以创设一个和谐的课堂是开展主体参与教学的必备基础。创设和谐的数学课堂教学气氛是由师生共同创设的，只有相互理解，互相尊重，紧密合作，教师要要把课堂真正还给学生，让学生成为课堂的主体。
主体参与是以主体教育思想为指导，以教师指导学生主体参与学习全过程为基本特点，以培养学生主体意识和能力及创新精神与能力为目标。主体参与式教学模式的课堂是以主体教育思想为指导，在教师的指导下，以学生作为主体参与教学为特点，以培养学生的主体意识与能力，促进学生的学习质量整体提高为目标，教与学有机结合、同步发展的教学实践活动。用以学生为主体的方法进行课堂教学与学习，是鼓励学生创造力的教学方法，而不是死记硬背。让学生乐于学习、乐在其中。
在实施的过程中也要根据情况选用合适的方法进行教学，下面我就几种常见的课型谈谈：
1.概念课：
数学概念是客观事物关于数和形的本质属性的反映，所以都有其客观的物质基础，呈现刺激模式，能为概念的形成提供“物质基础”。呈现的刺激模式或者是经验事实，或者是典型事例，或者是直观演示。这些刺激模式应该是正例，数量和刺激强度要适当，要有一定的变化性且新颖有趣，并宜采用同时呈现的方式，以利于学生分析比较。所以选例的时候要尽量贴近生活，就在我身边。引导学生进行充分的自主活动，对呈现的刺激模式进行观察分析、对比、发现、归纳，以分化出概念的不同属性。在分化各种属性的基础上，抽象出概念的本质属性，概括形成概念。概念形成后，应及时把新概念进行巩固，巩固的主要手段是应用，在应用中求得对概念更深层次的理解。所以及时配上几道例题是必须的，然后让学生展现自己的思维，也可以小组合作。总之尽量调动学生的积极性，充分体现主体参与。
2. 定理、公式课：
数学定理是人们关于客观事物的空间形式或数量之间的一种思维形式，是对他们之间的关系的一种正确判断。数学公式则表达了数学变量之间准确的数量关系，数学定理、公式学不好，那么知识会相对孤立，不仅所学的知识容易遗忘，而且丧失了应用能力，所以正确有效的引导学生学好定理、公式就显得很重要了。
创设合适的情境：根据不同的教学内容，设计的问题可以是实际问题也可以是数学问题，或模型演示，通过具有启发性、探索性和开放性的问题的引起学生的认知冲突，激发探究兴趣。教师要创设有利于学生自主活动，进行数学思考的良好氛围，引导学生通过实验、观察，运用类比、联想、归纳、综合等方法去探索、去研究，在学生的主动参与中，使问题逐步得到解决，在问题解决的过程中，引导学生不断猜想，不断发现新问题，获得新知识、新方法。教师可以根据不同的教学内容，引导学生去猜想结论，猜想规律，猜想策略。猜想的一般方法有：（1）观察——实验——猜想，（2）类比——联想——猜想，（3）分析——归纳——猜想。在实际教学中，学生的猜想难免会有错误，教师的任务是引导学生大胆尝试，最终得到有价值的猜想。
在这种主体参与的教学模式中，我们对定理、公式课的教学，充分展现了学生的主体参与，加强了创新思维能力的培养，在整体结构上突出了“猜想”与“证明”两大环节，而这正是数学发现中的基本策略和途径。这两个环节与其他环节有机结合，共同承担了对学生形象思维、直觉思维、逻辑思维的训练与培养，对学生创新思维和能力的培养具有十分突出的作用。让学生真正学会去学，为以后进一步学习打下良好的基础。
3. 习题课
习题课是我们教学中的重要环节，怎么去处理题目更是重中之重，而选题是个重要环节，是教师备课的重点。选题要具有典型性，联系知识具广泛性；注意不选偏题怪题。单一题着眼于某一知识点或单一解题方法，综合题侧重点在知识的联系和方法的创新，应根据教学需要合理选题，不是单纯强调大容量。对选定的问题，要结合学生的年龄特征、媒体的使用等情况用灵活新颖的方式提出，引起学生的求解欲望，使学生在迫切要求下开始探究活动。
