时间：2023-09-21 17:35:27
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇不等式在中学数学中的应用，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
[关键词] 导数 函数 不等式 初等数学 应用
许多人认为,大学学习的数学分析对今后我们的从教无任何帮助,而事实上数学分析中的观点思想可以加深对中学数学课本中概念的理解,可以提高教师自身水平。在微积分这一章中,可以透彻地学习导数的由来、概念、几何意义。导数在初等数学里内容虽然不多,但应用广泛,涉及到了函数方面、不等式证明方面、恒等式证明方面、数列方面等实际问题中的应用。下面就主要探讨一下导数在初等数学不等式证明方面具体的一些应用。
利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的联系,将不等式的部分或者全部投射到函数上。直接或等价变形后,结合不等式的结构特征,构造相应的函数。通过导数运算判断出函数的单调性或利用导数运算来求出函数的最值,将不等式的证明转化为函数问题。即转化为比较函数值的大小,或者函数值在给定的区间上恒成立等。
一、求解不等式
在中学里我们学习了不等式的解法,在求解的过程中有的计算起来比较麻烦,不容易求解。但如果我们从函数的思想出发,将不等式问题转化成函数问题,进一步利用导数来求解,问题将大大简化。
二、证明不等式
在中学里学习的不等式证明方法有换元法、分析法、归纳法等基本方法。但对于部分不等式的证明,从函数的角度出发,通过研究其函数值的大小或其导函数值的大小将不等式转化成函数问题进行证明。
三、求解不等式中参数的范围
总之,导数在初等数学中确实处于一种特殊的地位,也可以说是一种解决某些问题的重要工具。
参考文献:
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M](上).北京:高等教育出版社.
[2]耿玉明.导函数法求解与证明不等式例说[J].中学数学研究.
[3]高群安.运用导数巧解题[J].中学数学,2005,(4):22-23.
[4]秦学锋.微积分在数列求和中的应用[J].数学通报,2001,(2):36.
[5]阮体旺.数学方法论.高等教育出版社,1994,1.
[6]鲁又文.数学古今谈.天津科学技术出版社,1984,9.
[7]林婷.研究性学习在高中数学课堂教学中的实践与思考[J].2004.
人们常有一种片面的观点，认为高校里所学的专业知识在中学数学中几乎无用，其理由是从初等数学到高等数学，在研究问题和处理问题的方式上存在着较大的区别．其实这是一种误解，正因为有这样的区别，才使我们从中学数学的解题思维定式中走出来，用一种更深远的眼光来看中学数学问题．
高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革．高等代数知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出．下面就来探讨一些高等代数知识在中学数学解题中的应用．
2 线性相关[1]在中学数学解题中的应用
初等数学中的某些问题看起来比较复杂，甚至难以下手，但用线性相关的方法却显得比较简单，通过从多方面多角度的思考能提高分析问题解决问题的能力．
2.1 求代数式的取值范围
初等数学中某些线性相关问题，若采用一般的初等解题方法不相关地去看待，则会使计算繁难，且容易出错;利用高等数学中线性相关的思想方法来处理，则会使问题简单明了，易于解决．
运用线性相关知识研究函数性质的问题，研究对象常以复合函数的形式出现，解决这一类型的问题往往采用新旧结合，或以新方法解决旧问题．
2.3 解决某些二元不定方程
例3 利有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，购乙7件，丙1件，共需315元，若
购甲4件，乙10件，丙4件，共需420元，现购甲、乙、丙各1件，共需多少元？
答: 甲乙丙各购1件，共需105元．
3 行列式在中学数学解题中的应用
中学数学中有很多题涉及到了对一些因式的分解，虽然中学数学中有很多方法可以解决．但对于某些问题如果构造与之对应的行列式，然后用行列式的性质去解决，会起到事半功倍的效果．
3.1 应用于因式分解
从上面两个例子可以看出，解此类数学问题的关键是构造行列式，以行列式为桥梁，把原型变形为不同的行列式，再利用行列式的性质加以解题．
4 矩阵应用于数列问题
利用矩阵的性质和定理，可以很好的解决某些数列问题．
在此例题中引入矩阵作为工具使用了矩阵的性质，轻而易举地求出了通项公式．
5 柯西施瓦兹不等式在解中学不等式中的应用
从上例可知，使用柯西—施瓦兹不等式重要的是构造一个合适的欧氏空间，特别是构造内积运算，并找到两个合适的向量．
6 结束语
导数的思想方法和基本理论有着广泛的应用，除对中学数学有重要的指导作用外，也能在中学数学的许多问题上起到居高临下和以简化繁的作用。看如何运用导数解决中学数学中相关问题：如函数单调性、最值等函数问题；在掌握导数的相关概念的基础上应用导数作出特殊函数的图象；应用导数解题的一般方法证明某些不等式的成立和解决数列的有关问题，再根据导数所具有的几何意义对切线相关问题及平行问题等几何问题进行了一些探讨，并最终运用导数解决实际问题中的最值；甚至在解决应用问题，物理问题，经济学问题有起到了举足轻重的作用！
1 用导数求函数的切线
例：求曲线y=xx-2过点(1，－1)处的切线方程。
分析：根据导数的几何意义求解。
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0， y=f(x0)）处的切线的斜率。既就是说，曲线y=f(x)在点P（x0， y=f(x0)）处的切线的斜率是f′(x0) ，相应的切线方程为y-y0= f′(x0)(x-x0)。
2 用导数判断函数的单调性
已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1，a∈R．
(Ⅰ)当a＝－3时，求证：f(x)在R上是减函数；
(Ⅱ)如果对x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围．
分析：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)
解：(Ⅰ)当a＝－3时，f(x)＝－3x3＋3x2－x＋1，
f′(x)＝－9x2＋6x－1＝－(3x－1)2≤0，f(x)在R上是减函数．
(Ⅱ)x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立，即x∈R不等式3ax2＋6x－1≤4x恒成立，
x∈R不等式3ax2＋2x－1≤0恒成立．当a＝0时，x∈R 2x－1≤0不恒成立；
当a＜0时，x∈R不等式3ax2＋2x－1≤0恒成立，即2X＝4＋12a≤0， a≤-13
当a＞0时，x∈R不等式3ax2＋2x－1≤0不恒成立．综上，a的取值范围是（-∞，-13）
3 用导数求函数的极值
设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2．
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)求f(x)在区间［-13，14］的最大值和最小值．
析：先求f′(x)= 0的所有实数根；再对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化，如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值.。注意：如果f′(x)= 0的根x = x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值
解：f(x)的定义域为（-32，+∞）。
(Ⅰ)f′(x)=22x+3+2x=4x2+6x+22x+3=2（2x+1）（x+1）2x+3。
当-32＜x＜-1时，f′(x)＞0；当-1＜x＜-12时，f′(x)＜0；当x＞-12时，f′(x)＞0；
从而，f(x)分别在区间（-32，-1），（-12，+∞）单调增加，在区间（-1，-12）单调减少．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在区间［-34，14］的最小值为f（-12）=1n2+14.又f（-34）-f（14）=1n32+916-1n72-116=1n37+12=12（1-1n496）＜0，所以f(x)在区间［-34，14］的最大值为f（14）=116+1n72。
4 导数在不等式证明问题中的应用
不等式的证明常与函数、导数等内容综合，特别是利用导数证明不等式，体现了导数的工具性。在高中数学学习以及历届高考试题中，我们常遇到一些不等式的证明，很难找到切入点。这时我们不妨转换角度，从所证不等式的结构和特点出发，构造一个新的函数，借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题，从而使不等式得到证明。
用导数方法证明不等式，步骤一般是：构造可导函数研究所构造函数的单调性或最值转化为不等关系得出结论。
一般地，若f（x）、g（x）在［a，b］连续，在（a，b）上可导，要证明f（x）>g（x），同理，若f（x）、g（x）在［a，b］连续，在（a，b）上可导，要证明f（x）>g（x），x∈（a，b），可以构造函数F（x）=f（x）-g（x），如果F′（x）0，即证明了f（x）>g（x）。
5 导数在物理问题的应用
导数在高中数学中，应用问题是一颗璀璨的“明珠”，可谓常考常新，纵观近几年的各地高考数学试卷应用问题仍然受到命题者的青睐.其中它与导数的综合，更是一曲优美的“交响乐”，成为高考中的“新宠”.以导数为背景的应用题，由于它们在知识上具有综合性，题型上具有新颖性，解题时需要开动学者的发散性思维！另外，在物理学中，经济学中导数的应用也相当的广泛，比如工程上很多实际的问题都会有相关应用，求水坝斜面的压强等等，考虑到微分的思想，需要积分类的都会用到导数的思想。
6 导数在经济学中的应用
如需求弹性：设需求函数Q=f(P), 这里P表示产品的价格. 于是, 可具体定义该产品在价格为P时的需求弹性如下：
n=n(P)=1imQ/QP/P=1imQP•=PQ=P•f′(P)f(P)，当P很小时， 有n=P•f′(P)f(P)≈Pf(P)•QP，故需求弹性n近似地表示在价格为P时, 价格变动1%, 需求量将变化n%, 通常也略去"近似"二字.
例：某商品的需求函数为Q=75-P2(Q为需求量, P为价格).
(1) 求P=4时的边际需求, 并说明其经济意义.
(2) 求P=4时的需求弹性, 并说明其经济意义.
(3) 当P=4时, 若价格P上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?
(4) 当P=6时, 若价格P上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?
关键词：柯西不等式；应用；高中数学
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）25-137-02
在自然界中，不等量关系是普遍存在的，是最基本的数学关系，也是数学研究的重要内容，不等式在数学研究和数学应用中起着重要作用。柯西不等式是由19世纪数学家（Cauchy）在研究数学分析中的“留数”问题时发现的，柯西不等式出现中学课本中，是中学生解决一系列疑难问题的法宝。为让学生对柯西不等式有更好的认识、了解，本文从特殊到一般的介绍柯西不等式，对柯西不等式的一般形式做证明，再给出柯西不等式在中学数学中的应用的一些典型案例。
柯西不等式――初等中学的形式
一、二维形式的柯西不等式
1、二维形式的柯西不等式
若 都是实数，则 ，当且仅当 时，等号成立。
2、柯西不等式的向量形式
设 是两个向量，则 ，当且仅当 是零向量时，或存在实数 ，使 时，等号成立。
3、一般形式的柯西不等式
设 都是实数，则 ――（1）
当且仅当 或存在实数 ，使得 时，等号成立。
二、柯西不等式的应用
1、利用用柯西不等式证明恒等式
用柯西不等式取等号的条件或者两边夹逼的方法证明某些恒等式。
例1、已知 ，求证： 。
证明：由柯西不等式
当且仅当 时，等号成立。即 ，得 。
2、利用柯西不等式证明一些不等式
观察欲证不等式的特征，结合已知条件，对照柯西不等式的标准形式，构造柯西不等式的两组数，用柯西不等式来证明不等式，往往可以使复杂问题简单化。
例2、已知 ，且 ，求证
证明：因为
，
利用柯西不等式证明时，关键是构造出柯西不等式的两个适当数组，常用的技巧是“1”和常数的变化转化，体现转化化归思想。
3、利用柯西不等式求某些函数的最值
例3、已知 ，求 的最小值。
解：
由柯西不等式： ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 。
例4、求函数 ， 的最大值。
解：因为 ，所以 。由柯西不等式得：
，当且仅当 时，取等号。
4、利用柯西不等式解某些方程
不等式中的等号成立的时候，不等式就成了方程，由此可以利用柯西不等式取等号的充分必要条件解方程。
求方程 的解。
解：方程可变形为： ，当且仅当 时，取等号，解得 。
5、柯西不等式在解析几何方面的应用
例6、直线 与椭圆 相切，求切点坐标 。
解：因为 所以，由柯西不等式得：
。
当且仅当 即 ，代入 ，解得 ，所以 。
6、利用柯西不等式解三角和几何问题
例7、在半径为 的圆内，求周长最大的内接长方形。
解析：假设出变量表示长方形的周长，得出目标函数，在利用柯西不等式求解。
解：设内接长方形 的长 、宽为 ，于是长方形 的周长 ，由柯西不等式得：
。当且仅当 ，即 时，取等号。此时宽为 即内接长方形 为正方形时，周长最大为 。
7、利用柯西不等式求参数的取值范围
例8、已知正数 满足 ，且不等式 恒成立，求 的取值范围。
解析：利用柯西不等式求出最值，也即求出 的取值范围。
解：因为
，所以 的取值范围 。
柯西不等式在中学阶段，虽然只是选讲内容，但在高考中经常出现，引起了教师教学的重视。柯西不等式不仅应用于证明代数不等式，它在实数大小比较、解方程、确定参数的取值范围、求最值及几何不等式的证明等方面都有广泛的应用。
运用柯西不等式的过程中，要求我们要以敏锐的思维，细致的观察，构造出适合柯西不等式的两组数，以便可以使用柯西不等式。这是学生拓宽知识，打开思维的钥匙，是解决一系列问题的法宝。
参考文献：
[1] 刘绍学.高中数学选修4―5.北京：人民教育出版社，2012.12.
【关键词】数形结合；数轴；不等式；统计初步
数学是一门研究空间形式与数量关系的学科，而数与形是相互联系的，数形结合思想，简单地说就是把复杂的数学语言和简单的图形相结合，化抽象为直观，化难为易。数形结合的思想，其应用包含两点：“形”中觅“数”和“数”上构“形”。但这两点又不是彼此独立的，而是互相联系的。数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在中学数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行素质教育的一个切入点和突破口。数形结合既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法。纵观这几年来的中考试题，利用数形结合思想解题比比皆是。因此，在教学中应当培养学生逐步建立这种数形结合的思想，以期达到提高学生解决问题的能力。
数形结合是培养和发展学生的空间观念，进行形象思维与抽象思维的交叉运用，使多种思维互相促进，和谐发展的主要形式；数形结合教学有助于培养学生灵活运用知识的能力，但是数形结合的思想方法不像有的数学知识那样，通过几次课的教学就可以掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。在平时的教学过程中，教师也应该向学生不断渗透数形结合的解题思想，使学生在数学学习过程中通过观察、类比、分析、综合、抽象和概括，养成主动运用数形结合思想解题的意识。
数形结合的思想贯穿于中学数学教学的始终，主要体现在数轴的应用、二元一次方程的图像解法、函数、三角函数、统计初步和圆等。它们的教学体现了数形结合思想的引入、展开和升华。在代数问题的解决中，许多数量关系的抽象概念和解析式若赋予其几何意义，往往变得非常直观形象，从而使问题简单化，达到优化解题途径的目的。这种数与形的相互转换、相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简化，同时还可以大大拓展我们的解题思路，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解。本文将从三个方面就中学数学教学中如何渗透数形结合思想讲讲自己的看法。
一、实数与数轴上的点的一一对应关系所体现的数形结合思想
数轴的导入是实数体现数形结合思想的佐证。直线是无数个单独的点构成的，而实数包含了正负实数和零。正是基于这样的共同特点，我们将直线上无数个单独的点用来表示实数，这时直线上就有了方向、原点与单位长度，这条直线就称作数轴。数轴上的一个点代表一个实数，从而建立了实数与数轴上的点的一一对应关系。数轴建立后引导学生用数轴对有理数的大小进行比较，通过观察、分析，学生得出结论。我们通常说数轴右侧为正方向，对两个数进行比较，右侧的数一定大于左侧的数。
二、不等式内容蕴藏的数形结合思想
在讲授不等式内容时，为了加深学生对不等式解集的理解，教师需要在数轴上将不等式解集一一表示出来，使学生能直观地看到，不等式的解有无限多个。数在数轴上一一表现出来较为简单，而要将数集在数轴上表示出来，则又比在数轴上表示数更进了一步。归根结底，利用数轴表示不等式解集更加直观有效。
三、列方程解应用题中隐含的数形结合思想
对学生来说，在列方程解应用题这一内容中，较难的是根据题目给出的已知条件找到等量关系列出方程，这时候就要引导学生运用数形结合的思想方法，根据题意画出简单的图形。比如：教材中的相遇问题、劳动力调配问题等。在平时的教学过程中，教师必须不断渗透数形结合的思想方法，使学生在遇到这些问题时，能迅速产生运用数形结合思想解题的意识，依据题意画出示意图，帮助学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。
此外，值得注意的是，教师在教学过程中，要结合生活中的实际问题，反复渗透强化数学中的数形结合思想，使学生逐步形成数学学习中的数形结合意识，并能注意一些基本原则，如是知“形”确定“数”还是知“数”确定“形”。在探索规律的过程中，应该遵循由特殊到一般的思路进行，从而总结出相关的结论。在解决代数问题时，要想到它的图形，从而启发思维找到解题思路。在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。
不难看出，在中学阶段数形结合思想在解决问题时确实起到了非常重要的作用，数形结合不仅能使概念形化、使解题过程简单化，还能帮助学生理解各种公式，发展学生的空间观念，扩展其思维，更好地展现知识的建构过程。同时，数形结合可以使抽象复杂的数量关系通过图形直观地表现出来，也可以使图形的性质，通过数量的计算、分析，使之更加完整、严密、准确。数与形相互转化，依形想数可使几何问题代数化，由数想形可使代数问题几何化。数形结合相辅相成，既有利于开拓解题思路，又有利于发展思维能力。由此可见数形结合思想在数学中有着十分重要的地位，它是数学思想方法的核心。对于中学阶段的数学而言，能否始终遵循这一思想是数学教学是否成熟的关键。我们每个教师在平时的教学中都应有机地渗透数形结合思想，并不断研究渗透的策略和方法，为学生今后的学习打下坚实的基础，提供切实的帮助。
参考文献：
初中数学教学若要体现数学课程改革的基本理念,必须充分地考虑数学学科的特点、学生心理特点和认知发展水平,针对不同水平和兴趣的学生实行多样化学习,也可运用多种教学方法和手段,引导学生积极主动地学习。而不等式的证明方面,方法灵活多样,还和很多内容相结合,它既是中学数学教学的难点,也是数学竞赛当中的热点。
一、注重基础知识的教学
初中的数学内容较小学教学内容更系统和深入,涉及面更广。因此,教师在教学中应该注重基础知识的教学,帮助学生打下厚实的基础,以利于学生以后的数学学习。首先应该摆正师生关系,在中国的教育当中一直强调着“师道尊严”。教师在课堂上一般都是居高而上,普遍都是教师在讲台上讲,学生在下面埋头“消化”教师讲的知识点。教师掌握着上课的节奏,这样学生显得很被动。在初中不等式教学当中涉及很多的知识点,学生仅仅知道一些公式而不会运用是教学的一种失败。基础知识在教学当中就显得尤为重要。不等式的解题方式多样,内容丰富,技巧性较强并且要依据题设、题的结构特点、内在联系、选择适当的解题方法,就要熟悉解题中的推理思维,需要掌握相应的步骤、技巧和语言特点。而这一切都是建立在学生有夯实的基础之上的。学生的基础知识不扎实的话,在解不等式题时就步履维艰。
夯实的基础来源于学生对不等式概念知识的掌握和运用,而概念的形成有一个从具体到表象再到抽象的过程。对不等式抽象概念的教学,更要关注概念的实际背景和学生对概念的掌握程度。数学的概念也是数学命题、数学推理的基础,学生学习不等式知识点也是从概念的学习开始的。所以在不等式教学探究中教师应注重学生的基础。
二、注重学生对知识的归纳和整理
提高初中数学不等式教学效果,首先要培养学生主动探索数学知识的精神,通过寻求不同思维达到解题效果来激发学生对数学学习的兴趣。引导学生主动去对数学不等式知识进行探究,通过结合所学的数学知识来形成一个完整的知识网络,以帮助学生完成更深入地数学知识探究。同时初中数学不等式知识点的学习对学生归纳能力提出了较高的要求。灵活使用概念能够帮助学生熟练地运用数学知识,对不等式这一章节知识点的掌握归纳和整理进行综合的运用从而能够成功地解题。例如,在含有绝对值的不等式当中:解关于x的不等式2+a0时,解集是;(2)当-2≤a<0时,解集为空集;(3)当a<-2时,解集为。当学生对知识点进行归纳和整理后,学生也就不会马失前“题”。
三、 开发学生的解题技巧,培养学生独立思考的能力
问题是数学的心脏,数学学习离不开解题,中学数学教学的目的,归根结底在于培养学生的解题能力,和学生独立思考的能力。教师将培养学生“数形”结合、 “对应”思维、“转化”能力、分类的运用、解题反思与激励、提高学生数学不等式解题能力始终贯穿于教学始终,必须把它放在十分重要的位置。《数学课程标准》(实验稿)总体目标中也明确指出,通过义务教育阶段的学习,学生能够初步学会从数学的角度提出问题、理解问题,并能综合运用所学的知识和技能解决问题,发展应用意识。解决问题是数学的核心,解决问题能力的培养是数学教育的重要目标,中学数学教学的重要任务就是使学生“具有正确的、迅速的运算能力,一定的逻辑思维能力和空间想象能力,从而培养学生分析问题和解决问题的能力”。义务教育新课标教材《数学》中七年级下册第九章内容中的“一元一次不等式和一元一次不等式组”,尽管二者解题的方法相似,但学生不易在思考的前提下理解一元一次不等式解集有无数个。在教学中,教师应该适时地把不等式解集在数轴上直观地表示出来。在不等式证明教学当中也有许多解题技巧。例如,比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是最常用的的方法,基本不等式就是用比较法证明的。其难点在第二步的“变形”上,变形的目的是有利于第三步判断,求差比较法变形的方向主要是分解因式、配方。 (1)作差比较法; (2)作商比较法。作差(商)比较法: 作差(商)变形判断符号(与1的大小)。诸如此类的还有综合法、分析法、换元法(增量换元、三角换元、向量换元、对称性换元、借助几何图形换元、代数换元、分式换元、比值换元)以及放缩法等解题方法。而这些解题的技巧需要教师的引导,也需要学生独立地思考解题方法。
探究式教学就是要学生探究问题,而不是简单地让学生理解和记忆不等式教材中现成的结论和公式。一个问题,通过学生自己的探究,可以加深学生对知识点的理解。让学生感兴趣的问题是一个合适的探究对象,学生也有较大的探究空间。
数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。它能使人领悟到数学的真谛，学会数学的思考和解决问题，并对人们学习和应用数学知识解决问题的思维活动起着指导和调控的作用。日本数学教育家米山国藏认为，学生在进入社会以后，如果没有什么机会应用数学，那么作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就会忘掉，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻在人脑中的数学精神和数学思想方法，会长期地在他们的生活和工作中发挥重要作用。所以突出数学思想方法教学，是当代数学教育的必然要求，也是数学素质教育的重要体现，如何在中学数学教材中体现数学思想方法也是一个十分重要的问题．
2001年我国新一轮基础教育课程改革已正式启动,此次基础教育数学课程改革的特点之一就是把数学思想方法作为课程体系的一条主线。已经有不少文章探讨初中数学教材中的数学思想方法，但对高中数学教材中蕴含的数学思想方法探讨较少。事实上，高中数学教材的改革也已经开始酝酿，目前高中普遍使用的数学教材是人教社2000年版的《全日制普通高级中学教科书（试验修定本）•数学》（下称普通教材），也有部分高中根据学生的情况选用了原国家教委的《中学数学实验教材（试验本•必修•数学）》（下称实验教材）。可以说在素质教育推动下，与旧数学教材相比这两套新教材在内容、结构编排上都有了很大变化，都体现了新的数学教育观念，而在原国家教委的《中学数学实验教材》中尤其突出了数学思想和数学方法，体现了知识教学和能力培养的统一。本文就着重探讨高中数学内容中所蕴含的数学思想方法，并对实验教材与普通教材在数学思想方法处理方面进行比较。
二、高中数学应该渗透的主要数学思想方法
1、数学思想与数学方法
数学思想与数学方法目前尚没有确切的定义，我们通常认为，数学思想就是“人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想”。就中学数学知识体系而言，中学数学思想往往是数学思想中最常见、最基本、比较浅显的内容，例如：模型思想、极限思想、统计思想、化归思想、分类思想等。数学思想的高层次的理解，还应包括关于数学概念、理论、方法以及形态的产生与发展规律的认识，任何一个数学分支理论的建立，都是数学思想的应用与体现。
所谓数学方法，是指人们从事数学活动的程序、途径，是实施数学思想的技术手段，也是数学思想的具体化反映。所以说，数学思想是内隐的，而数学方法是外显的，数学思想比数学方法更深刻，更抽象地反映了数学对象间的内在联系。由于数学是逐层抽象的，数学方法在实际运用中往往具有过程性和层次性特点，层次越低操作性越强。如变换方法包括恒等变换，恒等变换中又分换元法、配方法、待定系数法等等。
总之，数学思想和数学方法有区别也有联系，在解决数学问题时，总的指导思想是把问题化归为能解决的问题，而为实现化归，常用如一般化、特殊化、类比、归纳、恒等变形等方法，这时又常称用化归方法。一般来说，强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法。
2、高中数学应该渗透的主要数学思想方法
中学数学教育大纲中明确指出数学基础知识是指：数学中的的概念、性质、法则、公式、公理、定理及由数学基础内容反映出来的数学思想方法。可见数学思想方法是数学基础知识的内容，而这些数学思想方法是融合在数学概念、定理、公式、法则、定义之中的。
在初中数学中，主要数学思想有分类思想、集合对应思想、等量思想、函数思想、数形结合思想、统计思想和转化思想。与之对应的数学方法有理论形成的方法，如观察、类比、实验、归纳、一般化、抽象化等方法，还有解决问题的具体方法，如代入、消元、换元、降次、配方、待定系数、分析、综合等方法。这些数学思想与方法，在义务教材的编写中被突出的显现出来。
在高中数学教材中，一方面以抽象性更强的高中数学知识为载体，从更高层次延续初中涉及的那些数学思想方法的学习应用，如函数与映射思想、分类思想、集合对应思想、数形结合思想、统计思想和化归思想等。另一方面，结合高中数学知识，介绍了一些新的数学思想方法，如向量思想、极限思想，微积分方法等。
因为其中一些数学思想方法都介绍很多了，这里只谈一下初等微积分的基本思想方法。无穷的方法，即极限思想方法是初等微积分的基本思想方法，所谓极限思想（方法）是用联系变动的观点，把考察的对象（例如圆面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形面积等）看作是某对象（内接正n边形的面积、匀速运动的物体的速度，小矩形面积之和）在无限变化过程中变化结果的思想（方法），它出发于对过程无限变化的考察，而这种考察总是与过程的某一特定的、有限的、暂时的结果有关，因此它体现了“从在限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”（恩格斯语）的一种运动辨证思想，它不仅包括极限过程，而且又完成了极限过程。纵观微积分的全部内容，极限思想方法及其理论贯穿始终，是微积分的基础
三、普通教材与实验教材在数学思想方法处理方面的比较
普通高中教育是与九年义务教育相衔接的高一层次基础教育，在数学教材的编写上，必须要注意培养学生的创新精神、实践能力和终身学习的能力。与旧教材相比，新的数学教材开始重视渗透数学思想方法，那么高中现行使用的普通教材与实验教材在数学思想方法处理方面有何异同呢？因为内容太多，下面只能粗略的作一比较。
1、相同之处在于
普通教材与实验教材都多将数学思想方法的展示，融合在数学的定义、定理、例题中。例如集合的思想，就是通过集合的定义“把某些指定的对象集在一起就成为一个集合”，及通过用集合语言来表述问题，体现了集合思想方法来处理数学问题的直观性，深刻性，简洁性。对非常重要的数学思想方法也采用单独介绍的方式，如普通教材与实验教材都将归纳法列为一节，详细学习。
2、不同之处在于
（1）有些在普通教材中隐含方式出现的数学思想方法，在实验教材中被明确的指出来，并用以指导相关数学知识的展开。
关于数学方法
我们举不等式证明方法的例子。实验教材在不等式一章第三节“证明不等式”中详细讲述了不等式证明的方法，比较法、综合法、分析法、反证法。普通教材中虽然也在不等式一章，列出第三节“不等式的证明”介绍比较法、综合法、分析法，但对方法的分析不够透彻，更象是为了解释例题。比如在综合法的介绍中，普通教材只讲：“有时我们可以用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法。”而在实验教材更准确更详细的介绍：“依据不等式的基本性质和已知的不等式，正确运用逻辑推理规律，逐步推导出所要证明的不等式的方法，称为综合法。综合法实质上是“由因导果”的直接论证，其要点是：四已知性质、定理、出发，逐步导出其“必要条件”，直到最后的“必要条件”是所证的不等式为止”。分析法的介绍也是这样，在实验教材中给出了分析法实质是“执果索因”的说明，这样学生能清楚的领会综合法、分析法的要义，会证不等式的同时学会了综合法和分析法，而不仅是能证明几个不等式。
关于数学思想
在实验教材第一册（下）研究性课题“函数学思想及其应用”中，明确提出“把一个看上去不是明显的函数问题，通过、或者构造一个新函数，利用研究函数的性质和图象，解决给出的问题，就是函数思想”，并举例用函数思想解决最值问题、方程、不等式问题，及一些实际应用的问题。其实普通教材在讲函数时也在用运动、变化的观点，分析研究具体问题中的数量关系，通过函数形式把这种数量关系进行刻划并加以研究，但从未提函数思想方法。虽然实验教材中只是以研究性课题的形式，对函数思想作以介绍和应用探讨，可这已经是一种重视数学思想方法的信号，随着今后素质教育的推进，和实践经验的积累，我想数学思想方法在数学教材中会有更明确的介绍。我们举向量的例子。
（2）实验教材中还增加了一些数学思想方法的介绍。
关于数学方法
普通教材在第一册第三章“数列”中只介绍了数列的概念、等差等比数列及其求和，而在实验教材第二册（下）的第十章“数列”中增加了第四节“数列应用举例”介绍了作差，将某些复杂数列转化为等差等比数列的方法。这在潜移默化中也渗透了转化的思想。又如在第一册（上）中，增加了研究性课题“待定系数法的原理、方法及初步应用”，阅读材料“插值公式与实验公式”，虽然不是作为正式章节，但也体现了对数学思想方法的重视。再如数学归纳法普通教材介绍的相当简略，而实验教材详细介绍了什么是归纳法，归纳法的结论是否一定正确，什么是数学归纳法归纳起始命题等问题，还举了大量例子，切实注重让学生真正理解方法。
关于数学思想
实验教材中对向量，解析几何的处理体现了将向量思想，几何代数化思想的引入，并用这些数学思想方法来统领相关数学知识的介绍。实验教材在第六章“平面向量”开首就讲：“代数学的基本思想方法是运用运算律去系统地解答各种类型的代数问题；几何学研究探索的内容是空间图形的性质。……在这一章中，我们首先要把表达“一点相对另一点的位置”的量定义为一种新型的基本几何量……我们称之为向量，……这样，我们就可以用代数的方法研究平面图形性质，把各种各样的几何问题用向量运算的方法来解答。再看普通教材第五章“平面向量”的前提介绍：“……，位移是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章报要研究的向量。向量是数学中的重要概念之一。向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识更新还能有效地解决数学、物理、等学科中的很多问题。这一章里，我们将学习向量的概念、运算及其简单的应用。”显然实验教材是从数学思想方法的高度来引入向量，这也使后面内容的学习可以以此为线索，体现了知识的内在统一。实验教材在第六章“平面向量”之后，紧接着设置了第七章“直线和圆”，从第七章的内容提要中我们看出这样设计是有良苦用心的。内容提要如下：“人们对于事物的认识和理解，总是要经过逐步深化的过程和不断推进的阶段。对于空间的认识和理解，就是先有实验几何，然后推进到推理几何，理推进到解析几何。在第六章，我们引进了平面向量，并且建立了向量的基本运算结构，把平面图形的基本性质转化为得量的运算和运算律，从而奠定了空间结构代数化的基础；再通过向量及其运算的坐标表示，实现了从推理几何到解析几何的转折。解析几何是用坐标方法研究图形，基本思想是通过坐标系，把点与坐标、曲线与方程等联系起来，从而达到形与数的结合，把几何问题转化为代数问题进行研究和解决。”并且在后面直线的方程、直线的位置关系点到直线的距离几节中都自然而然的延续了向量的思想和方法，使直线的学习连惯、完整、深刻。而普通教材将第一册（下）的第五章设为“平面向量”，在第二册（上）的第七章才设置“直线和圆的方程”，中间隔了不等式一章，并且在内容上，也没有将向量与直线方程联系起来，关于法向量、点直线点法式方程都没有讲，只是随后设置了“向量与直线”的阅读材料简单介绍法向量、直线间的位置关系。
四、重视数学思想方法，深化数学教材改革
1、在知识发生过程中渗透数学思想方法
这主要是指定义、定理公式的教学。一是不简单下定义。数学的概念既是数学思维基础，又是数学思维的结果。概念教学不应简单地给出定义，而是应引导学生感受或领悟隐含于概念形成之中的数学思想方法。二是定理公式介绍中不过早下结论，可能的话展示定理公式的形成过程，给教师、学生留有参与结论的探索、发现和推导过程的机会。
2、在解决问题方法的探索中激活数学思想方法
①注重解题思路的数学思想方法分析。在例题、定理证明活动中，揭示其中隐含的数学思维过程，才能有效地培养和发展学生的数学思想方法。如运用类比、归纳、猜想等思想，发现定理的结论，学会用化归思想指导探索论证途径等。
②增强解题的数学思想方法指导。解题的思维过程都离不开数学思想的指导，可以说，数学思想指导是开通解题途径的金钥匙。将解题过程从数学思想高度进行提炼和反思，并从理论高度叙述数学思想方法，对学生真正理解掌握数学思想方法，产生广泛迁移有重要意义。3、在知识的总结归纳过程中概括数学思想方法，以数学思想方法为主线贯穿相关知识
概括数学思想方法可以从某个概念、定理、公式和问题教学中纵横归纳，反过来也可以以数学思想方法统领相关知识，
总之，数学思想方法是数学的灵魂和精髓，我们在中学数学教材中，应努力体现数学思想方法，不失时机的向学生渗透数学思想方法，学生方能在运用数学解决问题自觉运用数学思想方法分析问题、解决问题，这也是素质教育的要求。
摘要：数学思想方法是数学的灵魂和精髓，如何在中学数学教材中体现数学思想方法，不失时机的向学生渗透数学思想方法是一个十分重要的问题。本文着重探讨高中数学内容中所蕴含的数学思想方法，并对实验教材与普通教材在数学思想方法处理方面进行比较。通过比较我们看到，《中学数学实验教材》中更突出了数学思想和数学方法，体现了知识教学和能力培养的统一。并且我们必须重视数学思想方法，深化数学教材改革，让学生学会用数学思想方法分析问题、解决问题，切实实现素质教育的要求。
关键词：数学思想方法，数学教材
参考文献：
王传增初中数学教学中的数学思想方法教教学与管理2001年4月
李艳秋发挥义务教材特点，培养学生数学素教育实践与研究2002年8月
曹才翰章建跃数学教育心理学北京师范大学出版社2001
章建跃朱文方中学数学教学心理学北京教育出版社2001年7月
一、引言
自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想就得到了突飞猛进的发展。数学家华罗庚曾就说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔家分家万事休。”数形结合是重要的数学思想，有极大的探索研究空间。本文将通过实际的案例分析，展示出数形结合这一思想在中学数学中的广泛应用。
二、数形结合思想在中学数学解题中的应用
数形结合本质上是通过将符号语言“数”，图形语言“形”进行结合转化，使问题得到解决。“形”主要提供研究的对象和辅助思考的工具，而“数”则是为研究提供必要的工具、方法、视角。两者之间的结合具有双重含义。可广泛应用于函数、解析几何、不等式等多个方面。
1.由“数”转化为“形”的应用。“数”和“形”是一种对应。有些数量比较抽象，难以把握，而“形”具有形象直观的优点，对解决问题的重要作用。
例1.不等式■≥x的解为m≤x≤n，|m-n|=2a，a>0，求a.
问题分析：本题看似是一道以“数”表现出的求解不等式的问题，即求解得■-x=0的根，而解题误区在于m，n的值和方程的根的关系。若不应用数形结合思想，便极易出错，而解题者却难以察觉。
解：作曲线C：y=■，直线l：y=x，如图1所示，显然有m=-a，由y=xy■=x+a可得大根x=■，
即n=■.根据|m-n|=2a.
得■+a=2a，解得a=2.
例2.实数x，y满足等式（x-3）■+y■=3，求y/x的最大值。
问题分析：通过观察y/x的几何意义，发现y/x即为点（x，y）与点（0，0）连线的斜率k，应用数形结合的思想方法，题目就比较简单明了。
解：绘制图2可观察到，直线m与图中圆相离，直线l与圆相切，直线n与圆相交，α为直线l与x轴的夹角。观察图形可知，当过原点（0，0）的直线与圆相切，且直线只在一三象限时，斜率k的值最大。设直线方程y=kx，则圆心（3，0）到直线l的距离为d=■=■，解得斜率k=■，所以y/x的最大值为■.
除了通过距离公式求斜率，学生还可以应用直角三角形性质，构造下式：
k=tanα=■=■.
问题小结：在数学解题中，方法至关重要，同一道题目可能有多种解决办法，学生需要不断地思考探索，发挥主观能动性，提高自身的学习素质。
2.由“形”转化为“数”的应用。虽然“形”有形象、直观的优点，但在定量计算问题方面还必须借助代数方法，尤其是对于较抽象的“形”。在解题过程中，不但要把图形数字化，而且还要注意观察图形的特点，发掘题目中隐含的条件，充分利用图形的性质与几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，并对其进行分析计算。
例3：在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆■+y■=1上的一个动点，求S=x+y的最大值。
问题分析：拿到此类题目，初始想法与本文中例2类似，一是对椭圆的方程进行代数运算，配出x+y；二是作椭圆的图形，观察图形性质。实际操作可发现，两种思路的可操作性低，应当另辟思路。在高中数学学习中，圆锥曲线占有重要地位。题中■+y■=1为椭圆一般式，而椭圆的另一种表现形式圆锥曲线参数方程，在中学数学解题中的应用体现了数形结合思想，可以作为一种思路。
解：因椭圆■+y■=1的参数方程为x=■cosφy=sinφ，（φ为参数）。故可设动点P的坐标为（■cosφ，sinφ），其中0≤φ
因此S=x+y=■cosφ+sinφ=2（■cosφ+■sinφ）=2sin（φ+■），故φ=■时，S取最大值2。
问题小结：对于某些问题，采用单纯的几何和代数方法，都无法使问题得到妥善的解决。但根据圆锥曲线参数方程，将平面上的点代数化，再由三角函数的性质，能更好地解决问题。此过程展现了“数”与“形”的互相转化。
关键词：数形结合 数学课堂 初中阶段
中图分类号：G633.6 文献标识码： C 文章编号：1672-1578（2012）09-0077-01
“数学是研究数量关系和空间形式的科学”。纵观中学数学，我们研究的对象都是一些常见的数量关系与简单的图形，数与形不是两个相互对立的概念，可以在一定的条件下实现相互转化。数形结合的思想方法贯穿数学教材的始终，到高中阶段体现尤为明显。如何在初中阶段培养学生数形结合的意识、学会数形结合的方法、体会数形结合的优势，需要我们教师在数学课堂上经常反复的、应课制宜的渗透数形结合的思想和方法，为学生提高数学素养、培养学习兴趣、在高一级学校进一步学习打下良好的基础，为学生的思维发展提供一次飞跃。
华罗庚曾说：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形缺数时难入微。”因此，化数为形；化形为数，数形相互为用是数学探索和解决数学问题的重要途径，也是发展学生创造性思维的重要途径。下面，笔者就初中阶段数形结合思想体现较为明显的几处内容，谈谈在课堂上的渗透。
1 数轴与实数
2 不等式（组）与数轴
《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》对不等式（组）的要求是“会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。”所以我在完成基础知识、基本技能的教学后，还设置了这样的一些问题来渗透基本思想和增加学生的基本活动经验。
问题1：已知不等式组x>1x
（1）如果这个不等式组无解，则a的取值范围是_____。
（2）如果这个不等式组有解，则a的取值范围是_____。
（3）如果这个不等式组只有3个正整数解，则a的取值范围是___。
问题2：若不等式组x+ɑ≥01-2x>x-2有解，则a的取值范围是_____。
分析：引导学生画数轴，利用图形来解决数的问题，要注意对边界值进行分析，看能不能取。
3 点与平面直角坐标系
《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》对“坐标与图形的位置”的要求是“结合丰富的实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置，在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置，在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。”教学中笔者重点对学生数形转化的能力进行了培养。
在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1000m的C地去，先沿北偏东70°方向到达B地，然后再沿北偏西20°方向走了500m到达目的地C，此时小霞在营地A的_________
分析：要引导学生将问题用图形反映出来，到图形中去解决。点是什么，从代数角度看是有序实数对，从形上看是一个点，平面直角坐标系将二者有机的结合起来。
4 函数、方程、不等式
函数和方程、不等式的关系就像父与子的关系，函数反映了所有变量之间的数量关系，是普遍存在的，是一般现象，方程和不等式反映了现实生活中的相等与不等的数量关系，是函数的特殊形式。当因变量不确定时，反映为函数形式，当因变量取一个确定的值或确定的范围是，则变现为方程或不等式的形式。通过对三种知识的整合，让学生拥有辨别不等式与方程、函数关系的能力，使得学生的知识能够形成网状结构，使知识能互相交融，培养触类旁通的能力，培养学生的发散思维。用数形结合的思想来解决函数、方程、不等式，既是一种很好的解题方法，更能从另一个角度帮助学生理解这三者之间的关系，理解它们的本质属性。
如：病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的药物含量达到最大值为4毫克。已知服药后，2小时前每毫升血液中的药物含量y（毫克）与时间x（小时）成正比例；2小时后y与x成反比例（如图所示）。根据以上信息解答下列问题：
（1）分别求02时，y与x的函数关系式；
（2）求当3小时时，病人每毫升血液中的药物含量；
（3）若每毫升血液中的药物含量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
上面列举了初中阶段常见的一些数形结合的例子，但这些只是冰山一角，笔者就不一一赘述。数形结合的思想贯穿于课程标准的始终，尤其到了高中阶段以后，用数的方法解决形的问题，或用形的方法解决数的问题，是常见的方法。以“数”化“形”，以“形”变“数”，“形”“数”互变是三种常见的途径。我们要要让学生熟悉和了解这种思想方法，为他们以后的学习打下坚实的基础。
参考文献：
[1]全日制义务教育数学课程标准（修改稿）[C].
[2]袁桂珍.数形结合思想方法及其运用[J].广西教育，2004，（15）.
关键词：函数 方程
Abstract: the function and the equation of the middle school mathematics thought is the basic thought, the college entrance examination in the proportion of the larger, more comprehensive knowledge and techniques, application more questions. Function thought simple, is our research established with the function relation between the structure also or middle function, combining elementary function imaging and nature, analyzed, transformation, to solve the evaluated, solution (card), inequality solve the equation is discussed and the values of parameters; Equation is the quantitative relationship between thoughts problem using the mathematical language into the equation model to solve them.
Keywords: function equation
中图分类号：O174文献标识码：A 文章编号：
方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数 ，当 时，就转化为方程 ，也可以把函数式 看做二元方程 ，函数与方程这种相互转化的关系十分重要．
数列的通项或前 项和是自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题十分重要．
解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．
立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切．
在中学数学中，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键．
经典例题：
一． 函数思想
所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想．
1. 构造函数，运用函数的性质
例1. 已知
，试求 的值．
分析：拿到此题，可能会联想到二项式定理，但是仔细观察会发现， 与 并不是某两个二项式的展开式．至此，不少同学可能会思维受阻．
再回到已知，不妨比较一下 与 对应项的系数，不难发现： 的偶次幂项的系数都相等，而 的奇次幂项的系数互为相反数，这时我们便联想到函数的奇偶性．
设 ，则 ． 为偶函数． ．
，
．
点评：联想是开启数学思维的一把钥匙．本题首先通过相似联想，把已知等式左边的两个因式与二项式定理相联系，产生了一个错误的思路；进而改变思维的方向，深入到问题的本质，把两个因式对应项的系数进行比较，又联想到了函数的奇偶性，这种由表及里的分析，使我们的思维更加深刻，解题经验得到了积累．
2. 选定主元，揭示函数关系
例2． 设不等式对满足 的一切实数m恒成立，求实数x的取值范围。
分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式进行分类讨论。然而，若变换一个角度以m为主元，记 ，则问题转化为求一次函数（或常数函数） 的值在区间[－2，2]内恒负时参数x应该满足的条件．
要使 ，只要使即
从而解得 。
点注：本例采用变更主元法，化繁为简，再巧用函数图象的特征（一条线段），解法易懂易做。如何从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在．
3.用函数的思想方法解数列题
例3.已知不定式 对一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围．
分析： 无法求和，常规数列的方法就不起作用了，故必须用函数的思想，用研究函数单调性的方法研究这个数列，求出最小值。
分析：令
，
所以 为增函数，且
由题意得 。
点评：利用数列的函数性质（本例为单调性）求出 的最小值。用函数方法解决问题，正是函数思想的核心．
二． 方程的思想
方程与函数密切相关，在解题中，方程的思想占有重要的地位，也是近年来高考所重点考查的数学思想方法之一。
例4．是否存在锐角 ，使 ①， ②同时成立？若存在，求出 和 的值；若不存在，请说明理由．
分析：本题是探索性问题，假设 和 存在，根据题意求出 和 的值，再根据角的范围求角．
假设存在锐角 ，则由①式得 ， ③．又由②式得 ④．将④式代入③得 ． 是方程 的两个根，解得 ．又， ．
． 存在 使①、②式同时成立．
点评：对于探索性问题，先对结论作肯定存在的假设，由此出发推理论证，由推论结果是否出现矛盾来作判断．构造方程并借用方程理论解题是本题的创新之处．
三． 函数与方程相互转化的思想
解题时，不能局限于函数思想或方程思想，而应该根据两者之间的相互关系，使其能相互转化，以达到快速解题之目的。
例5. 设 ，且 ，抛物线 被 轴截得的弦长为 ，求证： ．
分析：由于弦长 是与 有关的变量，若能建立 为表达式，那么结论相当于确定该函数的值域．
为了确定函数 的值域，需要解决好三个问题：一是求出变量 关于 的解析式；二是将这个多元函数通过集中变量、消元或变量代换转化为一元函数（因为中学阶段学习的都是一元函数）；三是需要确定这个一元函数的定义域．
，且 ．从而 ．
故抛物线 与 轴有两个不同的交点，即方程 必有两个不相等的实数根 、 ，由韦达定理，得 ．
．可见， 是 的二次函数．
由 及 ，得 ，解得 ．
在 上是减函数， ，即 ．
点评：应用函数与方程思想处理不等式问题，关键在于构造一个适当的函数和用好方程理论，弄清函数、方程及不等式的内在联系，树立相互转化的观点
函数与方程思想在解析几何中的应用．
例6． 如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN= ．
（1）求MN的长；
（2）当 为何值时，MN的长最小．
剖析：取 作变量，建立MN的长的表达式，利用函数思想求MN的长的最小值．
（1）如图2，作MP//AB交BC于点P，NQ//AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得，MNQP是平行四边形． MN=PQ．
CM=BN= ，CB=AB=BE=1， AC=BF= ， 即 ．
．
（2）由上得 ， 当 时， ．即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为 ．
点评：利用函数思想建立MN的长为 的函数关系式是解决本题的关键，立体几何中的最值问题常借助函数思想求得．
关键词：高中数学;数学归纳法;辅助函数;等式证明
数学归纳法是高中数学中一种常用的论证方法，它虽然有一定的局限性，只适用和正整数有关的命题，但它在中学数学中的作用是不可或缺的。因此，它不仅是高考数学的一个考点，也是一个难点。在看似简单易懂，形式固定的外表下，它却使得很多学生不能真正掌握，难以理解其实质。有些同学仅仅只是生硬的记忆和牵强的套用，没有真正体会到数学归纳法的核心思想。
在本文中通过对数学归纳法基本形式理解的基础上，进一步论述了在解决很多和自然数函数有关的整式、不等式、整除和几何等问题时数学归纳法的应用。当然数学归纳法，在很多时候也会使解题变的复杂繁琐，因此我们要理解其实质，真正掌握正确运用数学归纳法的能力。
一、应用数学归纳法证明几何问题是数学归纳法的一个重要应用
数学归纳法是证明与正整数有关的命题的重要方法，但是运用它只能证明命题的正确性，而不能指望由它发现命题。有很多与正整数有关的几何问题，可以用数学归纳法证明，但在证明之前要找出规律，获得公式，而后才能应用数学归纳法证明结论。
例1：证明凸n边形的对角线的条数f（n）=n（n-3）.（n≥3）
证明：（1）当n=3时，f（3）=0，因三角形没有对角线，所以原命题成立。
（2）假设：当n=k（n≥3）时命题成立，即凸k边形的对角线条数为f（k）=k（k-3）。那么当n=k+1，凸k边形的k个顶点增加一个顶点Ak-1成为凸k+1边形时，由顶点Ak-1与它不相邻的另外k-2个顶点A2，A3，A4，…，Ak-1可画出k-2条对角线，同时原来凸k边形的一条边A1Ak变成一条对角线。这样从凸k边形到凸k+1边形一共增加了k-1条对角线。由此凸 边形的对角线条数为：
f（k+1）=f（k）+（k+1）
=k（k-3）+（k-1）
=（k2-k-2）
=（k+1）（k-2）
=（k+1）[（k+1）-3]
这就是说，当n=k+1时，命题也成立。
需要指出，虽然数学归纳法是一种论证与自然数有关的命题的重要方法，但并非结论是自然数的函数的命题都适合用数学归纳法证明。有些题目应用数学归纳法进行证明，过程相当繁琐，尤其是由n=k到n=k+1的变化过程很多，不易操作。事实上，很多与正整数有关的命题，若能避开数学归纳法的思维定势，利用其命题本身的特点，采用非数学归纳法的证明，则能避繁就简。
二、构造辅助函数
用数学归纳证明与正整数有关的数学等式时，大多数学生在从假设时命题成立出发，证明当时命题也成立的推理证明过程中无从下手，感到很茫然，这其中最主要的原因是他们找不到证明目标。笔者结合多年的数学教学实践，针对中学生学习和应用数学归纳法的难点，分析其突破方法.构造辅助函数，利用函数思想可使这一问题迎刃而解。下面将结合具体实例谈谈如何借助函数来构造证明目标，从而降低数学归纳法中这一步的证明难度。
例2 已知n∈N+，用数学归纳法证明等式
+++…+=.
分析：首先构造辅助函数
f（n）=+++…+
假设n=k时等式成立，即f（k）=，然后确定证明目标f（k+1）=;其次，寻找f（k+1）与f（k）的关系。这样一来，证明思路非常清晰明了，同学们也感觉不到茫然了。
证明：令f（n）=+++…+，则
（1）当n=1时，左边==，右边==，左边=右边，等式成立;
（2）假设n=k（k≥1）时等式成立，即f（k）=。当n=k+1时 f（k+1）=f（k）+=++…++=
综上，等式对于一切正整数n都成立。
在列方程或不等式解决问题的过程中，用字母代替数即为设元，包括直接设元、间接设元及辅助设元。设元直接体现了中学数学方法的形式化原则：一切数学都可由符号加以形式的表述，数学教育必须重视形式化。［2］在中学数学教学中，帮助学生善于用数学的观点和方法去处理日常生活中的实际问题，需要加强形式化问题的教学，其中考虑通过设元将一个问题转换成另一种表现形式是否能合适、方便地解决问题是一个重要的方面。张奠宙认为学习数学就是学习一个形式系统，并从这一侧面把数学问题分为三类，这里简单叙述为：一个形式系统内基础操作练习性问题；把实际等问题在一个系统内形式化，并运用系统内的操作规则，兼顾符号的意义，可解决的问题；形式化了的需返回其模型或转化成其他形式的问题。其中对第二类问题的描述实际上提供了一个解决一类实际问题的一般思路。通过设元可以把问题转化为解方程或不等式的问题，在这一过程中需结合元所代表的实际意义，并引申为其对形式化了的问题中某些方面的限制。在中学数学中常见的列方程（组）或列不等式（组）解应用题是这类问题的一部分。许多问题在列方程时，可能只得到不定方程，但如果考虑元的实际意义，又可对元加以不等式的限制，缩小元的取值范围，进而推导出答案。现举两例说明如下：
例：求n位幻数的个数，n位幻数指10 的n位正整数因数。
在这个问题中，n位幻数是10 的因数，也就是10 可分解为n位幻数与另一个正整数因数之积，很明显这里有两个元：幻数和另一个因数，而方程只有一个，易被认为无法继续，但注意到元的本身意义，就可加入不等式了。10 是n+1位整数，n位幻数当然是n位整数，所以另一因数是不超过10的整数，即被限制在一个较小的范围内，且取值有限，逐一尝试可得结果。
解：设n位幻数是x×10 ，其中1≤x＜10，且x是有限的。
设y＝ ，则y是正整数，此时y＝ 。
1≤x＜10，1＜y≤10
y的值可以是2，3，4，5，6，7，8，9，10
x是有限（小数）的，且x＝
y＝3，6，7，9不合题意，舍去
当y＝2时，x＝ ＝5，幻数为5×10
当y＝4时，x＝2.5，幻数为2.5×10
当y＝5时，x＝2，幻数为2×10
当y＝8时，x＝1.25，幻数为1.25×10
当y＝10时，x＝1，幻数为1×10
当n＝1时，1位幻数有5，2，1，共3个；
当n＝2时，2位幻数有50，25，20，10，共4个；
当n≥3时，n位幻数有5×10 ，2.5×10 ，2×10 ，1.25×10 ，1×10 ，共5个。
这一问题如果采用归纳猜想的方法或是比较等方法，将不利于问题解决，因为n从1增大到3时，幻数在增加，而当n≥3时，又难以确定幻数个数不变。通过设元将问题形式化，就避免了这些困难，且解题过程简洁明了。再看一例：
例：有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，求此两位数。
本例取自张奠宙《数学方法论稿》P154例8。在《论稿》上作者为了阐明简单性原则在指导解题方面的作用，列举了三种解法，均将原问题分解为子问题，并取子问题的交集。实际上如果能通过设元采用形式化原则，解决这个问题将更简单。问题中有两个条件，可列两个方程，有三个元，两个是未知自然数，另一个是两数平方差的结果；对两数的限制是两数都是两位的整数，且它们的平方差是100的倍数。经过这样的分析，问题就类似于前面所说的将问题形式化再兼顾符号本真意义的问题了。具体解法如下：
解：设这两个两位数为a，b，不妨设a＞b＞0。
由题意得a-b=56（1）a -b =100x（2），其中x是一个整数。
把（1）代入（2）得，56（a＋b）＝100x
a+b＝ x（3）
∶a＝28+ x
∶b＝-28+ x
a、b都是两位数，即10＜a＜100，且10＜b＜100
10＜28+ x＜10010＜-28+ x＜100，解得31.36＜x＜80.64
x是整数且a＝28+ x也是整数
x是28的整数倍
x在其取值范围内，只能取x＝56
此时a=78b=22
即这两个数分别为78和22。
这个解题过程与《论稿》上的解题过程相比较，直接省去了大量的凑符合子问题题设的数据的计算，更不会出现凑数据过程中容易漏掉某些数值的情况。
这两个例子的解题思想是一致的，通过设元将问题形式化，列出不定方程（组），再结合元的实际意义，列出不等式（组）求解。在这一过程中也涉及其他的数学思想，例如渐进性思想。逐次渐进性原则一种意义上的理解是从用缩小解的范围或区域的方法，求得正确解的过程。与渐进性原则相关的方法有淘汰排除、逼近、猜想验证、求近似解，等等。淘汰排除法常用来解选择题，在有限的可能答案中排除不正确的答案，从而得到正确的答案。但并非只有选择题才可使用淘汰法，以上两例中就使用了这样的方法。在第一个例子中y的值可能有9个，根据x是有限的排除了4个，得到5个正确的y值；在第二个例子中，x在其范围内的整数是有限个，淘汰非28倍数的值，余下的就是x的正确取值。这种情况下可以这样理解缩小范围、区域的意义：设元后，从元的意义出发，将解限制在一个较小而有限的范围内，是第一层次的缩小；然后方程与元实际意义的结合，将有限范围内不正确的解排除，则是第二层次的淘汰或说是逼近了问题的答案。再进一步分析，解题过程当然也体现了转换的思想。许多实际问题难以建立一个具体的数学模型，却总需用数学语言转换为与之等价的数学问题。变化问题使我们引进了新的内容，从而产生了新的接触，产生了和我们问题有关的元素接触的新可能性。［3］波利亚的数学解题观可以简单概括为“问题转换”，解题就是问题转换。［4］以上两个例子的解题过程就是将问题转化为求方程（组）的解与实际意义下不等式解的交集的过程。
鉴于大型考试中时常会有这样类型的问题出现，所以在解题教学中也应当适当加强这一思维方法的教学。在初中阶段，用字母代替数的思想对学生而言本身就是一难点，学生对这一思想的理解大都停留在设元列方程（组）解应用题，且能直接将元解出来的程度上，这实际上是对数学形式化的认识不够，体现在两个方面：第一，对数学符号形式的丰富思想内容不理解。每一个数学符号都代表了相应的数学抽象物，因而就具有了相应数学抽象物的思想内容，只不过这些思想内容隐藏在符号的背后，数学符号形式和它的思想内容是一个完整的整体，［5］初中学生限于认知发展的水平较难以把握隐藏在形式后的思想。第二，形式语言与自然语言存在差异，习惯的自然语言影响形式语言的形成、系统化。教学中总是用直观的、贴近生活的语言来帮助学生理解形式化材料，这被认为是通往严格的桥梁，却难以解决形式化层次较高的问题。所以许多新教材取消了用字母代替数的部分内容，而穿插于其他知识中，就是考虑到学生在初一难以理解这一思想的缘故。对学生进行一些形式化层次稍高的问题训练，特别是代数中就应当以纯形式化的方式进行，这样才能提高学生对数学形式化原则的认识，也就利于解决其他问题。
参考文献：
［1］章士藻.中学数学教育学.江苏教育出版社，1996.
［2］张奠宙.数学方法论稿.上海教育出版社，1996.
［3］G•波利亚.怎样解题.中华书局，1948.
［4］张雄.数学方法论与解题研究.高等教育出版社，2003.
［5］涂荣豹.数学认识论.南京师范大学出版社，2003.
