时间：2023-09-22 17:05:17
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇高考数学逻辑思维训练，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
高中数学更像学生的思维健美操．数学的思辨与逻辑的严密都使人向往不已，乐此不倦．然而，现实中的高中数学却面临着任务多、时间紧、要求高与不断考试的压力，高中生学习数学好多是疲于应付，而真正以研究的目光来审视与创造性地学习的人却凤毛麟角，由此而出现的学习盲点就显露无遗了．
(一)高中数学教学中学生缺乏思考
高中数学具有理论性、抽象性强的特点，这就需要在对知识的理解上下功夫，要求学生多思考、多研究，这样就不会出现“怕学数学”的恐惧症了．然而，事实上是很多学生不愿意多动脑去思考．对于本单元(章)的知识网络该如何弄清来龙去脉;本章的基本思想与方法能否以典型例题形式将其表达出来，学生自己能否体会;对本章内自己做错的典型问题有无记载，能否分析其原因及正确答案等，这些思考尤为重要．然而从教学时间上看，学生懒于这些方面的思考，导致学困生层出不穷．
(二)学生空间想象能力与逻辑思维能力欠缺
高中数学离不开高考，而高考数学考查考生的思维能力尤为突出．以立体几何为例，高考中立体几何主要考查学生的空间想象能力、推理能力兼顾逻辑思维能力．而解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面问题．这种转化能力是高中生数学素养的必须掌握的东西．但是，通过对高中学生的观察，不难发现对于高中立体几何部分考生失误普遍严重，得分率不高，学生空间想象能力与逻辑能力欠缺．
二、高中数学教学中思维能力训练欠缺
高中数学教学中出现的问题或者说高中数学教学中的盲点源于什么原因?通过仔细分析，不难发现:高中数学教学中思维能力训练欠缺是这些问题的根源．甚至选择题部分考生也出现了失分严重的状况，尤其是学习成绩中等偏下的学生更容易“不假思索”地掉入命题人的陷阱．在数学考试里选择、填空题方面命题范围大致为集合、命题、三角函数、复数、排列组合及概率、立体集合、平面解析集合、线性规划、程序框图、三视图、幂函数与指数函数、对数比较大小等．每一方面都有数学自己的“特色”，考生懒于思考或者平常欠缺训练，都很容易在数学考试过程中失误频繁，给考生造成严重的后果．
三、加强高中数学创新思维能力培养的对策
既然高中数学教学活动中存在很多盲点，这些问题源于学生创新思维训练的不足，那么教学活动过程中该如何加强高中数学创新思维能力的培养呢?
(一)善于发现和创造
数学创新能力，在某种意义上讲，是最重要的数学能力．创新能力是一种依靠概念、判断、推理并应用猜想、想象、直觉等获得发现和进行创造的能力．以高中立体几何为例，近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，这些热点问题怎样在学生的头脑中去映射相应的概念、推理等．
(二)一题多解
一题多解，是指一道题目可以通过多种解决方法达到被处理的一种解题途径．这种一题多解策略在数学学习能力培养中具有十分重要的作用．它可以发散解题人的思维，使解题思路得以拓展．例如，题目:∠C=90°的RtABC外切于半径为1的圆O，求ABC周长的最小值．解法一，可以用代数法;解法二，可以用三角法;解法三，可用函数法;解法四，可用利用一元二次方程根的分布;解法五，可用导数法．一道题目可用五种不同的方法来解答，从而使难者转化为容易的了．
(三)题式变化
一题多解是一种很好的创新能力培养方式，而一题多变也是培养高中学生的创新能力的极好方式．一题多变可以通过下列方式取得．一是类比法，利用现实生活中的现象进行类比创设问题情境．二是延伸旧问题来创设问题情境．三是通过数学建模创设问题情境．四是利用数学材料创设问题情境．这四种方法都可以达到题式变化的目的．
2014年陕西高考数学理科试题解析
2014陕西高考数学试卷，整体遵循考纲，体现新课标改革精神，考查内容全面，考查方式灵活，在稳定中追求创新，在新而不难中考查能力，命题风格体现了新课标侧重能力考查，鼓励探索创新的特点。整卷来看，前半部分自然平稳，后半部分略显新奇，与去年相比，今年高考试卷整体难度有所降低，有利于平时学习稳打稳扎的同学脱颖而出。
今年的数学试题设计，从“四基”出发，追求简约，抛弃了往年某些试题的“偏、难、怪”现象，试题给人以熟悉感；为考生着想，落实减负，试题给人亲和感，真正体现了关注学生，爱护学生，从学生成长的基点出发设计试题。
2014年陕西高考理科数学试题总体结构稍有改变，虽然仍然是10道选择题+5道填空题+6道大题。但是，往年的三角函数大题没有出现，却出现了三角恒等变换和数列的综合题，而平面向量和线性规划的综合给出了一道大题，放在了18题的位置。压轴题21题依然是函数、导数、不等式。全卷的第10题、第20题、21题是相对较难的题，其中解析几何大题的难度与去年相比稍有降低。
今年高考数学试题，整体上呈现以下特点：
1. 试题整体规范、遵循考纲，体现新课标改革精神。
纵观整套试卷，没有偏题、难题、怪题，依旧着重对基础知识、基本思维方法的考查，题型结构延续以往常规，比如基本初等函数及其图象、简易逻辑、算法与程序框图、复数、排列组合、平面向量，解析几何、数列，立体几何等题型都是考纲范围内的重点，试题的前5个选择题，分别考查了集合的交集，三角函数的周期，定积分计算，程序框图的识别，立几中组合体的体积计算，第7题函数的单调性的判别，第8题的复数命题真假的判断，这些试题很基础常规，可以说，不用动笔心算就可“一望而选”。至于第6题，对概率的计算和选择题的第10题函数解136析式的选择，都附以简约的实际或抽象意义。这些考点都着重考查知识点原理，试卷整体难度稍有降低，尤其是15题的A题，运用柯西不等式求最值，更是考纲明确强调的内容，考查简洁明了。
2. 知识点考查综合性增强。
第8题，再次将复数和命题交汇，综合考查复数概念和四种命题之间的关系。第16题，以等差、等比数列作为条件考查三角恒等变换，以及三角形中边角关系与不等式结合求最值。第17题，通过三视图给定几何体中的线面位置关系和数量关系，考查空间图形特征判断与线面角的计算；第18题，将平面向量与线性规划含蓄的综合。第20题将椭圆与抛物线合在一起考查，特别是第21题函数压轴题，以考生熟悉的函数求导为切入点，进行组题，综合运用了数学归纳法，分来讨论求函数最值、数列求和与特值转换等数学技能，试题的知识点浓度不断增强，把能力的考查推向了。凸显在知识交汇处命制试题的指导思想。
3. 试题情景更贴近生活。
2014陕西高考试题，情景设计生活味浓厚，诸如：第10题飞行器飞行问题，考查对三次函数的理解和应用；第19题耕地种植作物问题，考查对随机变量的理解和应用。这些试题着力考查学生的数学应用意识和能力，而试题选材设计，紧扣高中数学教材核心内容，虽有新意，但学生只要冷静思考，很快就能找到解题思路，避免了往年出现的学生一看就怕，无处下手的窘境。试题呈现设计简单、基础、基本，重视算理，强调思维，体现人文关怀，力求凸现核心内容。
4. 推理论证能力要求步步高。
推理论证梯次增高。陕西数学试题从余弦定理的叙述与证明开始，到2012年对三垂线定理的及其逆定理的变形考查，到去年已经发展到对等比数列前n项和公式的推导，到今年发展到三角恒等变换的简单证明。全卷涉及到证明的试题有第16题的第1问、第17题的证明矩形和第21题的第3问，并且第21题第一问求函数解析式也涉及到了用数学归纳法证明，体现出加强逻辑推理能力的考查。
5.试卷特色鲜明，亮点光彩夺目。
（1）第16题新在将三角恒等变换和数列综合起来考查，与以往对三角函数和数列分别考查方式不同。
（2）第18题破天荒的出现了平面向量的大题，综合考查了向量的坐标运算和线性规划求二元函数的最值，往年平面向量都是附着在其他知识点中综合考查，今年单独成体考查。
（3）第20题圆锥曲线以椭圆和抛物线两个圆锥曲线作为载体，与往年只有一个载体不同。这一变化一方面防止了“回归教材变成死记硬背”的风险，另外一方面加大了知识和方法的覆盖面，突出了主干知识，注意知识之间的综合应用。这些都凸显稳中求变，锐意创新的命题指导思想。
6. 压轴题考点固定、思维灵活。
2011年到2014年导数压轴题的载体分别是对数函数、幂函数、指数函数、对数函数，呈现出一定的规律性。第21题的第一问求N次复合函数表达式，需要用数学归纳法证明。第二问用已知函数大小关系求参数范围的方式考察函数知识的综合应用，导数与函数单调性的关系，和差积商的导数求法，转化与化归的数学思想。第三问函数大小比较进行探索，一题多解，符合压轴题的特色，区分度很大。考生须具备良好的数学基础以及灵活的处理问题方法，才能突破难关，到达胜利彼岸。体现出灵动考素质，选拔真人才的命题指导思想。
综上所述，2014陕西高考数学试题，注重考查考生的个性品质，主要体现在知识组合的多样性上，体现在难度的渐进性上，体现在考生的数学视野及思维习惯上，体现在考生的考试心态上。这些都需要考生具有较强韧的个性支撑，也必将对下一年的高三数学复习提供积极的导向和重要的指导作用。
2015年高考备考复习策略
每年的高考真题，都是一笔宝贵的财富，每一道优秀的高考试题都是命题者灵感与智慧的结晶，善待真题，我们才可以把握高考的脉搏，在复习中多走捷径，少走弯路。2014年陕西高考数学试题，在许多方面给我们提供了有益的借鉴，给高三数学复习指明了新的方向，启发我们要有新的学习和工作思路，妥善处理好教与学中存在的几个矛盾。
1.处理好基础与综合之间的矛盾。
2014年的试题设计符合陕西的考情，有利于广大考生数学水平的正常发挥，为今后高三复课教学起到良好的引导作用。从今年的试卷中不难看出，命题重在考查双基应用，着重依据新教材的知识分布而设置命题，许多考题均能在课本中找到它们的影子，相当数量的考题就是教材中基础知识的组合、加工和深化。所以教材是基础， 是学生智能的生长点，是高考命题的源泉，只有回到对教材的深层理解上，对概念的内涵和外延的理解上，才能提高数学能力，掌握数学思想。
然而高考命题，源于课本而又高于课本。这就要求在复习过程中，不能只停留在课本单一而零散的知识章节上，而应加强对知识的横向联系的认识上，有目的有步骤的强化综合性训练，如同不是只看一条道路，而应看到多条道路形成的网络，即应该高度重视把课本由厚变薄的认识和训练。当然，同时要防止走向偏难怪的不良倾向，千万不要以为“高考以能力立意”，就是要去钻难题、偏题、怪题. 要明确：能力是指思维能力，即对现实生活的观察分析力，创造性的想象能力，探究性实验动手能力，理解运用实际问题的能力，分析和解决问题的探究创新能力，处理、运用信息的能力，新材料、新情景、新问题应变理解能力，其重点仍然是概念和规律的形成过程，而这些往往蕴藏在最简单、最基础的题目之中.一味地钻研综合题、难题，知识的熟练程度达不到，最后又会制约思维的发展和解题能力的提高。
所以，要两相兼顾，要把章节内的基础训练与章节外的综合训练邮寄结合起来，关键是在基础的综合上下功夫。这就需要高三数学教师在教学过程中，既要把学生带进课本，又要使学生走出课本，做好分层级训练。先做章节内的的训练，再做综合性训练，要善于在一个题的基础上，做发散性指导和变式训练，尤其要加强融合知识横向联系的技能训练，如平面向量与线性规划，三视图与线面位置关系，空间角的计算，三角函数与数列、球体与多面体的组合体，具体函数与抽象函数等基础性的综合训练。
2.处理好通性通法与特殊技巧之间的矛盾。
2014陕西高考数学试题。重视高中数学的通性通法，倡导一题多解和多题一解。如第9题，若从平均数和方差的实际意义理解和作用认识来思考，可以得到巧解；而若只满足于基本公式计算，则计算较繁，用时较多。而大多数同学对前者，可能掌握不力。第10题，由于课本中没有明确给出三次函数的概念，有相当一部分同学对其认识模糊，图象生疏，这样就不能快速理解题意，进而运用选择题技巧而得到巧解.
这些都启示我们，在复习中要从头激活已学过的各个知识点，并适当深入一点，要以清晰的线索重新构建合理的知识结构，对含糊不清的地方多一些思考和研究性练习和探究，对产生的错误要究根问底，要反思感悟，回到正确的认知上来。在复习解题时，首先应从基本方法上去探索，而不是死用公式，死记结论；再者，还要思考能否用特殊技巧来完成，要养成多一手准备的解题习惯。 对于每一种方法，要深入思考它的适用范围，思考它的推广发展，尽可能多地找出它在不同模块问题的应用题型，即举一反三。 如分式函数的最值，在函数，数列，圆锥曲线，不等式等模块中就以不同的面目出现，或是恒成立，或是范围、最值等，但实质没有大的改变，解法过程基本相似，但许多学生往往因为一叶障目而顾此失彼，这就是没有处理好通性通法与特殊情景和技巧之间的矛盾。
高中数学学习过程中所接触到的数学思想方法一般分为三类：第一类是用于具体问题模型中的方法，如配方法、换元法、消元法、待定系数法、判别式法 、错位相减法、迭代法、割补法、特值法等；第二类则是用于指导解题的逻辑思维方法，如综合法、分析法、反证法、类比法、探索法、归纳法、解析法等；第三类则是在数学学习过程中形成的对于数学解题甚至于对于其它问题的解决都具有宏观指导意义的规律性方法，称为数学思想，如函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想等.复习中要关注它们的应用，细心体会，能把抽象的方法和思想通过具体问题模型化，储存在自己的认知结构里。
3.处理好掌握公式定理与知识产生过程之间的矛盾。
2014年陕西高考试题，重视考查知识的产生过程。如第14题，取材于选修教材2-2的“归纳推理”第一节的例1，将著名的欧拉公式设计为考题，但不是直接考公式，而是让学生体验定理的发现与产生过程，考查了学生探索与发现的精神和归纳推理的能力，可谓一举多得。与直接考定理相比，这一方面要有趣得多，另一方面又能给考生留下深刻的印象，这与平时教学的良好感觉是一致的，这就是给课堂教学提供了可贵的借鉴和警示。再联系到近几年陕西数学试题中，2011年的余弦定理的叙述与证明，2012年的三垂线定理的及其逆定理的变形考查，2013年对等比（差）数列前n项和公式的推导，都是回归课本，但都是回归到知识的产生和形成的过程中去，而不是现搬现用，为回归课本指明了广阔的道路和正确的方向。
在教学过程中，在复习阶段的综合训练中，有相当一部分同学会出现各种意想不到的错误，这正是基础不牢固的表现，而根本原因就是对知识的产生和形成的过程不清楚，甚至张冠李戴、混淆是非所致。因此在教学活动中，既要让学生明确公式定理的结论是重要的，又要让学生充分认识知识的过程是更根本的，也就是最有价值的，要培养学生对知识过程的探索精神和发现的兴趣，为学生学习高一级的知识贮藏潜力。
只有回到知识的形成过程中来，才能从根本上纠正错误，弥补漏洞，而不是把错误简单地归结为粗心大意。认真纠错，积极反思，是复习过程中最为重要的，比多做几个题的价值更大；认真纠错，就能达到稳定发挥，稳步提高。
4.处理好教与学之间的矛盾。
诚然，2014高考，对广大师生会有诸多的启示，但要把一种新的理念付诸实践，也不是轻而易举能完成的。学生是学习和课堂的主体，老师是学习和课堂的主导。在实际教学中，就会产生各种各样的困难，也许有些学生会不习惯，也许课时会紧张，也许训练成绩会不理想。
因此，在高中教学实践中，要树立全程备考的思想认识，在高三复课教学中，要立足于教材，辅之以资料书籍，落实在训练和纠错中。要培养学生做到：熟练掌握基础知识和基本技能，在老师讲解之前进行预习和思考，把课堂接受知识的过程变成思维训练的活动，在课堂上应注意师生的交流，把平时的学习变成师生协作与奋进的快乐旅行；定时作业，有意识地限定时间完成学习任务； 在课外练习中应注意培养良好的作业习惯，不但要做得整体、清洁，培养一种美感，还要有条理，培养逻辑能力，同时作业必须独立完成，以培养一种独立思考的精神，严密思维的能力和正确解题的责任感。
2014年陕西高考数学理科试题逐题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，
则 （ ）
A. [0，1] B.[0，1） C. （0，1] D. （0，1）
答案 B 【命题意图】本题考查集合的概念和运算，意在考查考生求解不等式和进行集合运算的能力。
【解析】 化简集合
【梳理总结】集合代表元素的识别是确定集合关系与运算的关键，常与函数和不等式交汇，一般不具有难度，但易疏忽代表元素，把求函数的定义域、值域或求函数图像的交点相混淆而导致出错.本题给出的两个较为简单的不等式，但对每个集合元素的确定非常关键。
2.函数 的最小正周期是（ ）
A.■ B. π C. 2π D. 4π
答案 B 【命题意图】 本题考查三角类复合函数周期的计算方法，意在考查考生运用公式求解运算的能力.
【解析】由余弦函数的复合函数周期公式得 T=■=π；
【梳理总结】形如 的函数求周期的公式为 ，形如 的函数求周期的公式为
3.定积分 的值为（ ）
A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1
答案C 【命题意图】本题考查应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的基本方法。
【梳理总结】熟记公式，掌握一些常见函数的导函数和原函数。若函数f（x）的导函数为f'（x），则有
虽然原函数不唯一，但不影响结果。
4.根据右边框图，对大于2的整数N，得出数列的通项公式是（ ）
A.an=2n B.an=2（n-1） C.an=2n D.an=2n-1
案C【命题意图】本题考查对程序框图的功能理解，意在考查考生运用程序框图进行计算和归纳的能力.
【解析1】 特殊化和等比数列定义验证
a1=2，a2=4，a3=8，an是a1=2，q=2的等比例数列，选C。
【解析2】 注意初始值的特征可知，输出的数列首项为2，把握3个赋值语句ai=2×S，S=ai，i=i+1，■=2则输出的数列为首项为2，公比为2的等比数列，则通项公式an=2n；
【方法技巧】程序框图题型一般有两种，一种是根据完整的程序框图计算；一种是根据题意补全程序框图.程序框图一般与函数知识和数列知识相结合，一般结合数列比较多见，认真探究程序运行的过程，通过特值探索可发现结构特征和规律。经过多年的高考，更趋成熟，时常新颖。
5 .已知底面边长为1，侧棱长为■则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A. ■ B. 4π C. 2π D.■
答案D【命题意图】本题考查对简单几何体的理解和计算，要求掌握棱柱与球的组合体中的数量关系，以此考查学生的空间想象能力，而不是单纯的依靠空间向量坐标的计算。
解析：正四棱柱的外接球的直径是其对角线的长，即 2R=■=2，r=1，v-■πR3=■π；
【方法技巧】球的内接多面体，可仿照球的内接正方体来思考，即抓住球的直径与多面体的高或其对角线等之间的关系。新课标对简单几何体的要求与传统教材相比，有所降低，但球的组合体却是一个重点，不能忽视。
6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）
A. ■ B.■ C.■ D. ■
答案C 【命题意图】本题考查古典概型和对立事件的计算概率的方法，意在考查考生运用概率的方法解决实际几何问题的能力.
【解析】 5个点中任取2个点有C52=10种方法，而每两点之间的距离小于边长的点必须取中心点和其它4个顶点，有4种方法，于是所求概率P=1-■= ■；
【梳理总结】概率计算关键是依据互斥事件合理分类，同时设计简单可行的计数的方法。
7.下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（ ） A. f（x）=x ■ B. f（x）=x3 C.f（x）=（■）x D.f（x）=3x
答案D 【命题意图】 本题考查抽象函数的对应法则和函数单调性的应用，意在考查考生运用法则和单调性解决实际问题的能力.
【解析1】 把握和的函数值等于函数值的积的特征，则典型代表函数为指数函数，再由所求函数为增函数，则选D；
【解析2】只有C不是递增函数，对D而言，f（x+y）=3x+y，f（x）・f（y）=3x・3y=3x+y，选D
【梳理总结】抽象函数关键是对对应法则的理解和应用，常常依据法则特殊化处理赋值寻求解题的切入点。
15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A.（不等式选做题）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则■的最小值为
答案■ 【命题意图】 考查对柯西不等式的理解和求最值的技巧和方法。
【解析】a2+b2=5，设a=■sinθ，b=■cosθ， 则ma+nb=m■sinθ+n■cosθ=■■sin（θ+φ）=5，■sin（θ+φ）=■≤■。
所以，■的最小值是■
【梳理总结】直用柯西不等式求最值简单且避免了繁杂变形，这正是陕西高考不等式考点的新增要求；B（几何证明选做题）如图，ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC=2AE，则EF=
答案 3 【命题意图】 本小题主要考查平面几何中圆和相似三角形的性质，图形背景新颖，重点考查考生灵活应用平几知识进行推理和计算能力.
【解析】注意圆内接四边形对角互补的特征可得到∠AEF=∠ACB，ACB相似，■=■=■=■，EF=3.
【梳理总结】平面几何中圆的有关问题，充分利用圆和相似三角形的有关知识和方法求解；
C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点（2，■）到直线ρsin（θ-■）=1的距离是
答案 1 【命题意图】考查把极坐标的点和方程化成直角坐标的点和方程，并计算点到直线的距离的能力。
【解析】极坐标点（2，■）对应直角坐标点（■，1），直线ρsin（θ-■）=ρsinθ・■-ρcosθ・■=1即对应■y-x=2，点（■，1）到直线x-■y+2=0的距离
d=|■|=1
【梳理总结】把极坐标化成直角坐标，化生为熟，是数学解题方法中熟悉化的要求。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16. （本小题满分12分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。
（I）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（II）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.
【命题意图】 本题主要考查三角形中的三角变换方法，意在考查考生运用三角形中边角互化，以及正余弦定理求解三角形的能力.
【解题思路】 （1） 由等差数列得到三边满足的齐次式，利用正弦定理和互补角的关系，借助三角变换证明恒等式 （2）利用边之间的等比数列关系，结合余弦定理求角，基本不等式求得最值.
【解析】
（1）a，b，c成等差，2b=a+c，即2sinB=sinA+sinC.
sinB=sin（A+C）.，inA+sinC=sin（A+C）
（2）a，b，c成等比，b2=ac，又cosB=■≥■=■=■
仅当a=c=b时，cosB取最小值■，这时三角形为正三角形。
【梳理总结】三角函数与解三角形是高考的一个重要部分，在客观题和在解答题都有出现，解三角形所涉及的知识点要掌握，如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等。 常见的三角函数题型有：（1） 三角函数式的求值与化简；（2） 三角函数的图像和性质的综合；（3） 三角函数与平面向量交汇；（4） 三角函数恒等变形，与解三角形、正弦定理、余弦定理的交汇；（5）三角形中的边角互化与数列、不等式的交汇.2014陕西高考此题与往年相比，难度稍高。
17 （本小题满分12分）
四面体ABCD及其三视图如图所示，过被AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.
（I）证明：四边形EFGH是矩形。
（II）求直线AB与平面EFGH夹角的θ正弦值。
【命题意图】 本题主要考查利用三视图还原空间几何体的几何关系与数量关系，求证空间图形的形状特征与线面角的计算，意在考查考生的空间想象能力，运用平行、垂直关系的判定与性质进行计算和逻辑推理的能力。
【解题思路】 （1）由三视图得到特殊的四面体：DA，DB，DC两两垂直，进而得到线面垂直，再借助平行关系可证所求。（2）利用空间直角坐标系，向量坐标运算求出线面角；或者做辅助线，由几何法求出线面角。
【解析】
（1）
（2）
【梳理总结】 立体几何寻找解题思路：一是要有转化与化归的意识，即将线线关系、线面关系、面面关系三者之间的问题相互转化，二是要有平面化的思想，即将空间问题利用定义和性质定理转化到某一平面内处理.而建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量及其坐标运算，可降低难度。
18.（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在ABC三边围成的区域（含边界）上
（1）若■+■+■=■，求OP；
（2）设■=m■+n■（m，n∈R），用x，y表示m-n，并求m-n的最大值.
【命题意图】 本题主要考查向量的概念和向量的线性运算以及坐标运算，考查二元变量在约束条件下的最值问题的求解方法。
【解题思路】由向量关系可求出点P的坐标，则可得OP；再由向量关系求m和n，得到m-n的表达式，认识其意义，由线性规划求二元函数式的最值。
解析：（1）
（2）
【梳理总结】借助向量的线性表示和坐标运算可以沟通几个变量之间的关系，目标指引下可得所求向量问题，向量条件下的最值问题，借助向量沟通，化归函数，而二元一次函数通过线性规划求解，凸显向量的工具性和数形结合思想的具体应用，使得向量和线性规划有机地网络交汇，新而不难，值得回味。
19.（本小题满分12分）
在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列。
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率。
【命题意图】本题考查实际生活中随机事件的理解和随机变量的应用，独立事件求概率及其分布列的计算。
【解题思路】由利润x=产量价格-成本入手，同时注意价格与成本都是随机变量，分别计算可得x的分布列；认识理解n次独立重复试验，易求得概率。
【解析】注意随机变量的意义为利润， 而利润x=产量价格-成本，确定随机变量的取值
（1）
X的分布列如下表：
X 800 2000 4000
P 0.2 0.5 0.3
（2）构建二项分布的模型，确定每一次独立实验的概率。
【梳理总结】 实际生活中的概率问题，关键是要认清随机事件，抓住随机事件之间的关系，选择合理的概率计算方法。本题中要抓住关键字句“作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响”，则思路豁然，运用独立事件概率的乘法公式即可。本题具有浓郁的现实生活气息，是生活数学化的极好典范。
20. （本小题满分13分）
如图，曲线C由上半椭圆C1：■+■=1（a>b>0，y≥0）和部分抛物线C2：y=-x2+1（y≤0）连接而成，C1，C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为■.
（1） 求a，b的值；
（2） 过点B的直线l与C1，C2分别交于P，Q（均异于点A，B），若APAQ，求直线l的方程.
【命题意图】本题考查圆锥曲线的基本几何性质，待定系数法求解方程的方法，重点考查直线和圆锥曲线位置关系的研究方法。
【解题思路】（1）依据题设和几何量之间的关系构建方程组求解；（2）联立方程组降元化归一元二次方程，利用根与系数之间的关系，借助弦长和题设条件构建方程确定直线方程，注意直线和椭圆相交条件的验证，和直线垂直用向量数量积解决的具体方法运用；
【解析】
（1）抛物线y=-x2+1交于点（-1，0），（1，0），b=1，又■=■，a2=b2+c2
（2）
【梳理总结】解析几何大题第（1）问一般考查圆锥曲线的基本知识，常考待定系数法确定方程的方法.第（2）问对不少考生来说，运算量较大，但写出直线与曲线方程联立，写出两根之和与两根之积，这都是常规的方法步骤.直线和圆锥曲线的位置关系以及范围、最值、定点、定值、存在性等问题，直线与多种曲线的位置关系的综合问题已成为高考命题的热点，近两年高考题中经常出现了以函数、平面向量、导数、数列、不等式、平面几何、数学思想方法等知识为背景，考查知识的综合运用，而向量的坐标运算在圆锥曲线问题中往往是一个有力的工具，是建立函数、不等式，方程的必须途径 。主要题型：（1）考查解析几何基本知识、方法；（2）向量渗透于圆锥曲线中；（3）求曲线方程或求轨迹；（4）直线与圆锥曲线相交，涉及弦长、中点、轨迹、范围、定值、最值等问题。
21.（本小题满分14分）
设函数 ，其中f'（x）是f（x）的导函数。
（1） ，求gn（x）的表达式。
（2） 若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…g（n）与n-f（n）的大小，并加以证明。
【命题意图】 本题主要考查函数及其导数的有关运算和归纳猜测函数表达式，函数与不等式综合，求解不等式恒成立下的参数范围问题的求解，构造函数，运用导数探索性质，求解数列求和与不等式问题，意在考查考生全面深入、合理转化，应用导数解决函数综合问题的能力。
【解题思路】 （1）特值计算，不完全归纳法猜测gn（x）的表达式，用数学归纳法证明；（2） 不等式恒成立合理变形转化为函数值满足的关系式，构建新函数，探索其单调，函数观点，借助分离参数化归二次函数区间上的最值或值域求得参数范围。（3）分析比较化归构造函数，利用导数研究其单调性求解。
【解析】
（1）
（2）
1 有预设才会生成得更好、更完美
生成可分为两类，一类是我们预设下的现象，另一类是我们不曾预设到的现象.我们期望出现未曾预约的精彩，但美化、强调生成，贬低、弱化预设，不是正确的选择.因为只有好的预设，才会生成得更好、更完美.
例1 已知函数y=f（x）对任意x∈R，恒有f（x）=f（2a-x），求证f（x）的图像关于直线x=a对称.
在高一年级的同课异构活动中，两位老师都讲到这个例题.一个教师在讲授中直接就取y=f（x）图像上的任意一点P（x0，y0），这一点关于直线x=a的对称点为P′（2a-x0，y0），由于y0=f（x0），且对任意x∈R，恒有f（x）=f（2a-x），所以y0=f（2a-x0），也就是说点P（x0，y0）在函数f（x）的图像上时，点P′（2a-x0，y0）也在函数f（x）的图像上，此两点关于直线x=a对称，由任意性可知f（x）的图像关于直线x=a对称.
一个学生说：“老师，为什么要这样证明呢？不是很明白.”结果，老师又重新再讲一遍.
另一位教师，先从y=x2讲起，指出它的对称轴是y轴，即直线x=0.这是大家都知道的事实，教师进一步启发：“为什么对称轴是x=0.”
学生1回答：“因为图像上的点（1，1），（-1，1）关于x=0对称；（-2，4），（2，4）也关于x=0对称，还有无数这样的对称点，所以图像关于x=0对称.”
教师：“这位同学的思路是对的，但不能仅用几个点来说明――即使说明了还有无数这样的对称点，也不能说，图像就对称，要怎么表述才准确呢？”
学生2：“任意取一点，再说明这个点关于x=0的对称点也在图像上就可以了.”
教师：“是的，只要取一点P（x0，y0），再说明P′（-x0，y0）也在图像上即可.”
教师再问：“如何证明y=x2+2x+3关于x=-1对称？”
……
经过这一番讨论和思考，再来证明上面的例题，就水到渠成了.学生也就不会说听不明白了.
前一个教师的讲解，让人觉得突兀，没有抓手，高估了学生.后一个教师的讲解，有铺垫，有启发，符合由特殊到一般、由具体到抽象的认识规律.当然，效果就不一样.这个显然与教师的备课有关，即与备课时的预设有关.
生成，不仅仅是旁逸斜出才叫生成，正确理解知识、理解方法也是一种生成.2 教师的启发诱导是学生生成的重要来源
学习是一种生成，运用也是一种生成.只有不断生成，学习才会进步.而学生内部的生成，教师往往是看不到的，但却是潜藏在学生的心里，增厚在大脑皮层里.所以，教师的启发诱导就很重要.比如：
例2 已知ABC是锐角三角形，求证：sinA+sinB+sinC>；cosA+cosB+cosC.
很多学生无从下手，老师想到的往往也是和差化积，不会用ABC是锐角三角形的隐含条件.其实，ABC是锐角三角形可转化为下列式子：
A+B>；π2，
B+C>；π2，
C+A>；π2，
0<；A，B，C<；π2，可得π2>；A>；π2-B>；0，
π2>；B>；π2-C>；0，
π2>；C>；π2-A>；0，可得sinA>；sin（π2-B）=cosB，
sinB>；cosC，
sinC>；cosA.
三式相加即得sinA+sinB+sinC>；cosA+cosB+cosC.
经过讲解，学生理解了，掌握了，以后碰到类似问题能想到这样的方法.比如：
题目 已知偶函数f（x）在[-1，0]上单调递减，α，β是锐角三角形的两个内角，则（ ）.
A.f（sinα）>；f（sinβ）B.f（sinα）<；f（cosβ）
C.f（sinα）>；f（cosβ）D.f（cosα）<；f（cosβ）
学生分析 由π2<；α+β<；π，得0<；π2-β<；α<；π2，根据y=sinx在[0，π2]是递增的，得0<；sin（π2-β）=cosβ<；sinα<；1.又偶函数f（x）在[-1，0]上单调递减，所以f（x）在[0，1]单调递增，所以f（cosβ）<；f（sinα），选C.
由此可见，教师先前的讲解起到了作用.也就是说，教师的启发诱导是学生生成的重要来源.3 了解学情是有效生成的重要途径
学生是学习的主体，教师只有全面了解学生，才能使教师的教更有效地服务于学生的学，促进学生的生成.正如著名特级教师于猗所指出的：学生的情况、特点，要努力认识，悉心研究，知之准，识之深，才能教在点子上，教出好效果.
例3 已知数列{an}满足an+1+an-1=2an，n≥2，点O是平面上不在l上的任意一点，l上有不重合的点A，B，C，又知a2OA+a2015OC=OB，则S2016=（ ）.
A.1007 B.2016 C.2015 D.1008
数列{an}满足an+1+an-1=2an，n≥2，所以数列{an}是等差数列，这是学生知道的，如果由A，B，C共线，且满足a2OA+a2015OC=OB，可以得到a2+a2015=1，若学生不知道，此时，要生成就比较困难.
所以引入这个例子的时候，最好能先证明：点O是平面上不在l上的任意一点，A，B，C在l上的充要条件是存在实数λ，使λOA+（1-λ）OC=OB.
否则，要由这些条件得到a2+a2015=1，就增加了生成的难度.
我们不时看到，学生有听不明白的情况，往往就是没有充分了解学生造成的.要了解学生，包括了解学生的原有经验、前概念、认知方式以及学生的情感、态度、价值观等.只有了解学情，教学才可能有的放矢.4 学生的生涩生成是教师帮助学生正确生成的重要通道
4.1 利用错误资源
错误不可怕，可怕的是不去改正错误.利用错误资源，一方面是修正错误，另一方面是从错误中得到启发，生成正确的东西.
例4 设M={a，b，c}，N={xxM}，则M与N的关系是（ ）.
A.M∈N B.N∈M C.MN D.NM
这是一道很容易出错的题，学生容易从M，N为集合这个表面现象选C或D.
事实上，因为N={xxM}，所以N={φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}}，此时M，N不是集合与集合的关系，而是元素与集合的关系，故选A.
无独有偶，我们来看看一道由韩国高考数学题改编的问题：
题目 下面是学生甲和学生乙争论集合的部分内容：
甲：我们能够想象到的集合之全体的集合叫做S，那么
（a）S将S自身作为元素所有，是吧？
乙：那不成体统，哪有那样的事？
甲：好，那么（b）不把自己本身作为元素的集合之全体的集合又怎么样呢？
以数学方式表达上述争论中带有底线的（a），（b），哪一项最好？（ ）
A.S∈S，{A|A∈A，A是集合}；
B.S∈S，{A|AA，A是集合}；
C.S∈S，{A|AA，A是集合}；
D.SS，{A|AA，A是集合}.
试题通过考查学生对集合主要符号和不同含义的思考和理解来检验学生是否真正懂得了集合和元素之间的关系，涉及对集合本质的认识理解，带有逻辑思维训练的因素，与例4有异曲同工之妙.本题选项C是比较准确的选择.
4.2 利用正确生成却生成不下去的资源
利用生成性资源，包括正确生成却生成不下去的资源的利用.比如：
例5 已知ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，acosA+bcosB=ccosC，试判断ABC的形状.
把式子acosA+bcosB=ccosC化角或者化边，是常见思路，学生也懂.一些学生把式子化成
a・b2+c2-a22bc+b・c2+a2-b22ca=c・a2+b2-c22ab后，以为太繁就做不下去了，其实两边同乘以2abc，可得
a2（b2+c2-a2）+b2（c2+a2-b2）=c2（a2+b2-c2），整理可得
2a2b2-a4-b4+c4=0，即c4-（a2-b2）2=0，即（c2+a2-b2）（c2-a2+b2）=0，即c2+a2=b2或c2+b2=a2，所以ABC是∠B或∠A为直角的直角三角形.
同样化角也会遇到一些困难，教师要帮助学生扫清障碍：
因为acosA+bcosB=ccosC，所以sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，所以sin2A+sin2B=sin2C=sin（2π-2A-2B）=-sin（2A+2B），
所以0=sin2A+sin2B+sin（2A+2B）
=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A
=sin2A（1+cos2B）+sin2B（1+cos2A）
=4sinAcosA（cosB）2+4sinBcosB（cosA）2
=4cosAcosBsin（A+B）.
因为sin（A+B）=sin（π-C）=sinC>；0，所以cosA=0或cosB=0，所以A=π2或B=π2.所以ABC是∠B或∠A为直角的直角三角形.
知识不够，不可能生成，或者生成不下去，同样，方法不对、能力不强，也会生成得不好.此时，教师的帮助就很重要.5 教师应鼓励学生敢于表达
有些学生生怕自己的生成不够成熟，羞于表达，教师应给学生足够的心理安全空间，就是有错误，有瑕疵，也要鼓励.比如：
例6 如图，已知单位圆上有四点E1，0，Acosθ，sinθ，Bcos2θ，sin2θ，Ccos3θ，sin3θ，0<；θ≤π3，
分别设OAC、ABC的面积为S1和S2.
（1）用sinθ，cosθ表示S1和S2；
（2）求S1cosθ+S2sinθ的最大值及取最大值时θ的值.
教师解析 （1）根据三角函数的定义，知∠xOA=θ，∠xOB=2θ，∠xOC=3θ，所以∠xOA=∠AOB=∠BOC=θ，所S1=12・1・1・sin3θ-θ=12sin2θ=sinθcosθ.
又因为S1+S2=四边形OABC的面积=12・1・1・sinθ+12・1・1・sinθ=sinθ，所以S2=sinθ-12sin2θ=sinθ1-cosθ.
（2）由（1）知S1cosθ+S2sinθ=sinθcosθcosθ+sinθ1-cosθsinθ=sinθ-cosθ+1=2sinθ-π4+1.因为0<；θ≤π3，所以-π4<；θ-π4≤π12，所以-22<；sin（θ-π4）≤sinπ12=6-24，
所以S1cosθ+S2sinθ的最大值为3+12，此时θ的值为π3.
讲到这里，一个学生提出：“老师，得到sinθ-cosθ+1，在0<；θ≤π3条件下，可以直接求出最值.”
老师鼓励：“说说看.”
学生：“因为当0<；θ≤π3时，y=sinθ是增函数，cosθ是减函数，所以-cosθ是增函数，所以sinθ-cosθ+1是关于θ的增函数，θ=π3时可得到最大值.”
老师点头表示赞许：“很好.多数情况下，都要把类似问题化为一个角的三角函数，但针对本题的特殊情况，用此方法确实节省了时间.”
鼓励学生表达，不仅该学生受益，其它学生也得到了启发，也是一种生成.
