时间：2024-01-31 16:37:19
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇逻辑推理的基本方法，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词：重视；讲授；训练；揭示
《初中数学新课程标准》告诉我们：“数学在提高人的推理能力和创造力等方面有着独特的作用”.数学课堂是培养学生逻辑推理能力的主要阵地.那教学中应如何培养学生数学逻辑推理能力呢？应从以下几方面入手.
一、重视概念，洞知原理
数学知识中的基本概念、基本原理和基本方法是数学教学中的核心内容.基本概念、基本原理一旦为学生所掌握，就成为进一步认识新对象，解决新问题的逻辑思维工具.
二、巧用逻辑，游刃有余
在数学教学中，结合具体数学内容讲授一些必要的逻辑知识，使学生能运用它们来进行推理和证明.培养学生的推理能力，必须掌握逻辑的同一律、矛盾律、排中律和充足理由律等基本规律.教师应该结合数学的具体教学帮助学生掌握这些基本规律.要使学生懂得论断不能自相矛盾，在同一关系下对同一对象的互相矛盾的判断至少有一个是错误的；论断不得含糊其词，模棱两可，在同一关系下，对同一对象的判断或者肯定或者否定，不能有第三种情况成立.在数学证明过程中，必须步步有根据，每得到一个结论必须有充足的理由，这样，学生在解答思辨性很强的题目时，就会游刃有余.
三、循序渐进 合理训练
数学推理既具有推理的一般性，又具有其特殊性.其特殊性主要表现在两方面.其一，数学推理的对象是数学表达式、图形中的元素符号、逻辑符号等抽象事物，而不是日常生活经验；其二，数学推理过程是连贯的，前一个推理的结论可能是下一个推理的前提，并且推理的依据必须从众多的公理、定理、条件、已证结论中提取出来.数学推理的这些特性会给学生在推理论证的学习带来困难.初一学生已初步掌握了普通逻辑的基本规律和某些推理形式，但必须依赖于生活经验的支撑.例如，他们从“爸爸比妈妈高，妈妈比我高”的前提很容易推出“我比爸爸矮”的结论，但有些刚学习不等式的学生从“∠A>∠B， ∠B>∠C”的前提推得“∠C
1.说理练习，不可或缺.教师在教学.中要注意把运算步骤和理论依据结合起来.同时可以进行适当的说理性训练，这样做可以使学生在说理的过程中养成寻找理由、言必有据的习惯.
例如，某汽车公司的汽车票价为单程票票价4元，周票票价为36元，李老师每星期一三五要乘汽车上班，搭朋友的车回家.问李老师应该买周票吗？请说明理由.
评析：该题目的是希望学生能说明一个清晰的推理过程中的依据.按照常规算法，李老师一个星期乘8次，买单程票需32元，而周票需36元，因此她不应买周票.但从另一个角度考虑，她也可以买周票.其理由是如果她周末外出乘车至少8元以上，那么买单程票总花费就多于36元，所以买周票能省钱.这种类型的训练，可以从代数的运算过渡到几何推理打下良好的基础.
2.加强培养，推理技能.对于推理论证技能的培养，一般可分几个阶段有层次地进行.
（1）通过直线、线段、角等基本概念的教学，使学生能根据直观图形，言必有据地作出判断.
（2）通过相交线与平行线以及三角形有关概念的数学，使学生能根据条件推出结论，能用数学符号写出一个命题的条件和结论，初步掌握证明的步骤和书写格式.
（3）在“全等三角形”学习之后，学生已积累了较多的概念、性质、定理，此时可以进行完整的推理论证的训练.通过命题证明，逐渐掌握推理技能.
（4）在学生已初步掌握技能技巧的基础上，通过较复杂问题的求证，帮助学生掌握寻找证明途径的各种方法，以发展逻辑推理能力.
四、点拨到位 相时揭示
[关键词]：法学，逻辑推理，政策考量，实证主义法学，新自然法学
法不仅是思想，而且是活的力量。
——耶林
台湾著名法学家杨仁寿先生在《法学方法论》一书开篇中提到了70年代震动台湾学术界的诽韩案[1].杨先生评点此案时认为：旧律所规定直系血亲之范围仅限于“本宗九族”，逾此范围，即非属“法律上”的直系血亲，而韩愈之相距39代的血亲，由此不属法律上的直系血亲范围。法官审理此案时，严格依法律进行推理，孰不知法律存在此漏洞，须进行解释方可适用于此案。杨先生批评“此号判决仍在‘概念法学’（jurisprudenceofconceptions）阴影的笼罩之下，审判者一味专注于概念逻辑，只知‘运用逻辑’为机械操作，未运用智慧，为‘利益衡量’”[2]，并由此呼吁理论界和实务界重视法学方法的研究和运用。
法应用科学中最重要的一门是“法学”，又称法解释学或法规范学，其以法规范为研究对象，以确定规范的法意。法律用语多来自日常生活，因此必须加以阐明；对不明确的法律概念，必须加以具体化；对法规之间的冲突，必须加以调和。法解释学的目的在于穷究法的目的，具体的方法可分为狭义法律解释、价值补充和漏洞补充[3].而换一个视角来看，整个“法学”方法的运用过程，可概括为逻辑推理和政策考量的过程。
法律解释方法中的文意解释、体系解释、法意解释、比较解释，体现了逻辑推理的过程，其更类似一种概念的数学，其运算结果的正确性取决于前提正确与否。逻辑推理提高了法学的客观性，当出现不同的法律见解时，依逻辑推理亦可提供分辨优劣的标准，而正是通过逻辑推理，司法者将立法者的意图外化，这是正确适用法律的前提。也正是这种高度客观的推理形成的结论，具有稳定性，以便于社会对法律有稳定的预期，并维持社会的秩序。这种客观的概念化的运作也提出了一个问题：对于法律的“善”与“恶”，法官有无审查权；对于立法者的目的，法官有无权力依据时更作出不同的阐释？若依逻辑推理的要求，答案是否定的，推至极端，也正是由概念法学推导出的“恶法亦法”的结论，其认为法官审判过程像一部机器的运作，送入的是案卷，出来的是判决，从而严格限制法官的自由裁量权。
而广义法律解释中所包含的目的解释、合宪性解释、价值补充及漏洞补充，则体现了政策考量的过程。法律语言的模糊性使得法官解释法律时不可避免地加入价值判断，社会生活的变动及个案中的具体情况无疑也需要法官的自由裁量。这种政策考量的过程会依社会发展的要求而对社会秩序产生引导和影响，因此，司法官必须考虑立法者的目的，选择符合立法者目的的判决。同时，价值考量也是使滞后的法律适用于发展的社会，从而实现正义的必要步骤。
法学方法论上的逻辑推理和政策考量与实证主义法学和新自然法学有着天然的联系，后者是前者的理论基础。
法律实证主义思想方法的特点是追求确定的知识。其以感觉经验为基础，以可操作的逻辑形式来检验或推导出概念和命题，其任务有两项：认知法和注释法。法的意思只能从实在的法律规定中引出，而不能从抽象的道德观念或正义中引出。实证法学试图把明确性、稳定性、一致性和非冗性等逻辑限制置于权威性法律资料之上，企望发现基本法律概念、基本法律范畴以及基本法律定理。纯粹法学更将实证主义法学推向极端，认为法律是关于规范的科学，即以“具有法律规范的特征，使某种行为合法或非法的规范”为对象的科学。法学方法上的逻辑推理正是以实证主义法学为理论基础，甚至推理的结果违反生活的逻辑，而其目的就是在于得到一个于法律上合理的结果。
新自然法学倡导自然权利、社会正义，其认为自然法包含本体论和认识论两重意义。从本体论上说，自然法源于人的本性，是从人的本性中产生的有关人类的合适而正当的规则或理想秩序；从认识论上讲，自然法是一种难以直观发现的不成文法，只有依靠道德良知和社会经验的逐步发展才能发现。因此，新自然法学以对思辩认识和实践认识的区分而强调法学是一种实践科学，以对事实和价值的一元论而强调法学是一种价值理论，以对历史真理和正义的永恒追求而主张价值的超时空性。而法学方法上的政策考量正是以新自然法学为基础的。政策考量的过程是：先依据现行法律的具体规定进行逻辑推理，当得出不合理的判决时，由法官援引另外的规则作出其它结论。援引另外规则的过程，即是一个目的、价值的衡量过程，可能根据法律的基本原则（如诚实信用等），也可能直接援引自然法上的正义、公平等标准。
在西方法律思想史的研究中，一般将实证主义法学与自然法学对立起来看待，然而，在逻辑推理-政策考量的过程中，二者却天然地统一于司法实践中，而这恰恰从反面印证了法学是一门实践的科学这一命题。
法学方法论有重大的应用价值。在前文提到的诽韩案中，法官支持了韩愈39代直系亲属的告诉权，这种判决不符合生活的逻辑，既与立法目的相违，又浪费了司法资源，同时也有损于司法的尊严。而出现这一判决的原因正在于审判者仍处于实证主义的逻辑方法中，一味专注于概念逻辑，只知逻辑推理的机械操作，而不知运用利益衡量。司法实践中，要严格逻辑推理过程，从而保证法的客观性，但若过分僵化，得出“恶法亦法”的结论，则违背了法律的实践性格和社会正义的标准，导致法的僵化，并与社会实际形成矛盾。因此必须以政策考量进行价值判断，纠正判决的偏差。而这一过程更重要的作用是推动法学的发展，法官可在判例中运用政策考量认定案件，排除诚信原则的适用，从而使判例类型化，并逐步形成一种学说。大陆法系的权利失效原则、事实契约理论；英美法上越权原则的废除及刺破公司面纱理论的形成过程中，均体现了逻辑推理-政策考量的过程，其在法学发展方面的作用是显而易见的。
我国目前司法实践中，概念法学不发达，政策考量也未引起重视。法官依实践中智慧的积累虽然也能作出较好的判决，但对逻辑推理-政策考量这一思维过程作为一种方法的存在还未敏锐地认识到。究其源在于法律教育和法学研究中不重视基础法学，对法律阐释的方法未深入研究，以致法官对此诲莫如深。为此，一方面，需重视法律思想史等理论学科与应用学科的交叉研究，使得思想的力量推动现实的进步，以达到相对完善的境地；另一方面，法学方法论在法学教育上的重要性应被给予足够重视。
参考文献：
[1]杨仁寿：《法学方法论》，中国政法大学出版社1999年1月版。案情概要为：1976年10月间，郭寿华以笔名“干城”在《潮州文献》上发表的《韩文公、坡给与潮州后人的观感》一文中称韩愈不脱古人风流才子的怪习气，因消磨于风花雪月而染风流病，使体力过于消耗，后误信方士硫磺下补剂而卒于硫磺中毒。此文引起韩愈第39代直系血亲韩思道不满，向“台北地方法院”自诉郭寿华“诽谤死人罪”。在一审及上诉审中，“台北地方法院”和“台湾高等法院”均支持了自诉人的主张，判定郭寿华诽谤死人罪成立并予以罚金处罚。
一、逻辑推理与实际应用是数学学习动机
数学发展的历史包括两种典型的数学文化:一种是重视逻辑推理的希腊数学文化,一种是重视实际应用的中国数学文化.
数学史家将古希腊数学按时间分期:第一期从公元前600年到前323年;第二期从公元前323年到前30年,也称亚历山大前期;第三期从公元前30年到公元600年,也称亚历山大后期[3].前两个时期,希腊数学文化认为,数学命题只有通过几何形式的逻辑推理论证才能说明其正确性,论证数学成为数学研究的主流,几何形式的逻辑推理证明成为数学成果正确与否的衡量标准.这个标准逐渐发展成为对数学研究的期望或理想,即期望数学成果能够通过几何形式的逻辑推理来论证.在“亚历山大后期”,古希腊数学突破了之前以几何为中心的传统,算术、数论和代数逐渐脱离了几何的束缚.这一时期受罗马实用思想的影响,论证数学不再盛行,如海伦的《量度》中有不少命题没有证明.但论证数学中的逻辑推理在数学研究中仍占有重要位置,如丢番图《算术》书中采用纯分析的途径处理数论与代数问题[4].逻辑推理从几何论证中脱离出来,逻辑推理解决问题的思想发展成为数学研究的新理想,即希望数学问题可以通过纯逻辑推理的方法解决.纵观整个希腊数学文化,数学研究成为满足上述两种理想而付出的劳动,成为实现个人价值、满足求知欲的社会需求而付出的劳动.究其本质,逻辑推理思想是几何论证与分析法解决问题的根本,是上述两种理想中最本质的思想,并且满足动机的定义.因此它是古希腊数学研究的一个动机,也是人类进行数学研究的一个动机.
中国古代数学在整体发展上表现为算法的建构和改进[5].所谓“算法”不只是单纯的计算,而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带有一般性的计算方法[4].算学的目的在于解决实际问题,而实际问题是层出不穷的,因此中国古代数学不仅经受住了统治者废除“明算”科的考验,甚至还有所发展,如元末明初珠算的普及.随着中国数学文化的形成,用数学知识解决实际问题成为算学的理想,即期望数学成果能够被实际应用.中国古代数学研究成为受这个理想而支配的劳动,成为实现个人价值、满足求知欲的社会需求而付出的劳动.实际应用满足动机的定义,因此它是中国古代数学发展的一个动机,也是人类进行数学研究的一个动机.
所以逻辑推理与实际应用是人类进行数学研究的两个动机,按动机的分类它们属于驱力,是从生理需要出发的内在动机.数学学习可以认为是有方向性的对已有数学成果的再次研究过程,可以看作是数学研究的特例形式.依据历史发生原理综合分析得出:人类进行数学研究的内在动机一定会在数学学习中表现出来,即激励人类研究数学的内在动机与激励学生学习的内在动机是一致的.
从实际情况出发,逻辑推理可以作为生活中一种娱乐形式,如逻辑推理游戏、逻辑推理小说、逻辑推理电影等都深受公众喜欢;而实际应用也是大家十分感兴趣的,如通过应用基本的空气动力学知识制作航模.
综上所述,逻辑推理与实际应用是数学学习动机,且这两个数学学习动机是学生共有的、内在的,也是在实际教学中易于对学生进行培养的数学学习动机.
古希腊数学中的公理化思想是希腊数学文化的重要特点之一.公理化思想出现的标志是欧几里得的《几何原本》.在数学中引入逻辑因素,对命题加以证明,一般认为是从伊奥尼亚学派开始的,但毕达哥拉斯学派在这一方面作了重大的推进,他们的工作可以说是欧几里得公理化体系的前驱[3].因此公理化思想的提出要晚于逻辑推理思想,公理化思想是逻辑推理思想的发展.
算法程序化思想是中国数学文化的另一个重要特点.算法程序化思想出现的标志是成书于公元前后的《九章算术》.实际应用思想虽没有明确的出现标志,但在《九章算术》成书前的《周髀算经》、《算数书》等书中涉及的数学知识都蕴含着明确的实际应用思想.算法的提出是为了解决一类实际问题,算法程序化为了使算法严谨、简明、更富一般性.因此算法程序化思想的提出要晚于实际应用思想,且算法程序化思想是实际应用思想的发展.
随着数学发展,公理化思想与算法程序化思想已应用到现代数学中,成为现代数学的特点.但它们不是贯穿整个古希腊数学与中国古代数学研究的内在因素,而是逻辑推理与实际应用数学思想发展的衍生物.公理化思想与算法程序化思想也可作为数学学习的动机,但适宜群体明显要少得多.数学发展至今,数学本身的文化区域性特点淡薄了,希腊数学文化与中国数学文化背后的驱力——逻辑推理与实际应用思想,早已相互融合.近代微积分的应用及理论的严密化过程就是一例.
二、比较古今数学教材以研究初中教材两个学习动机的培养
教材是教学中最重要的用书之一,是教师教学、学生学习的主要依据.《几何原本》、《九章算术》作为西方与中国的数学教科书都有千年之久.两本着作都反映了当时的数学文化背景.重视逻辑推理与重视实际应用分别成为教学思想包含在这两本书中.
因为《九章算术》作为教材多将刘徽注释加入其中,所以将现行数学教材与《几何原本》、《九章算术及刘徽注》进行比较研究.为增加3者的可比性,选择它们共有的内容,且知识体系完备,预备知识基本一致,学生认知水平大抵相同的勾股定理部分作为比较对象.这种比较虽不能以点代面,但仍有较强的代表性与启发性.现行数学教材采用经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过的义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册[6],以第18章第1节勾股定理内容为标准,选择《几何原本》、《九章算术及刘徽注》部分内容进行比较.因《几何原本》的成书结构是公理化体系,利用已知命题证明未知命题,且命题后没有辅助理解该命题的习题,所以选择其中与勾股定理有关或利用勾股定理证明的命题作为比较对象.由于初中教材在讲解勾股定理时,预备知识中未包含圆、无理量及立体几何内容,故选择《几何原本》[7]第Ⅰ卷命题47、48,第Ⅱ卷命题9、10、11、12、13作为比较对象.《九章算术及刘徽注》的勾股章是利用直角三角形性质求高深广远,因初中教材勾股定理的预备知识中没有相似三角形及勾股数组的内容,所以选择《九章算术及刘徽注》[8]勾股章[一]至[一四]题及[一六]题作为比较对象.
1.各种教材中勾股定理的内容
(1)编写目的
《全日制义务教育数学课程标准(修改稿)》(下简称为《标准》)中勾股定理的教学要求是:探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题[9].《几何原本》与《九章算术及刘徽注》虽没有类似的编写标准,但可以从它们的内容及成书体系分析得出.《几何原本》利用勾股定理转换面积间关系证明几何问题,即在直角三角形中,两直角边上正方形面积和与斜边上正方形面积可以相互转换.如第Ⅱ卷命题9、10、11、12、13都是利用这种思想.《九章算术及刘徽注》利用勾股定理数量关系求得高深广远,解决实际生活的问题.
(2)知识框架
初中教材通过生活发现与几何直观探索,建立从实际到理论再到实际的知识体系,并运用定理解决简单问题.《几何原本》通过已知命题推导勾股定理,建立从理论到理论纯几何形式的知识体系,重在证明未知命题.《九章算术及刘徽注》通过给出3个简单几何问题“术”,建立从理论到实际的应用知识体系,旨在解决实际问题.3者建构的知识框架各不相同.
(3)定理引入
初中教材的导入分为两部分,分析毕达哥拉斯发现的定理特例与探究定理的一般形式.《几何原本》受公理化体系的影响,它的导入可以认为是定义、公理、公设及已知命题.《九章算术及刘徽注》的导入是3个已知两边求第三边的简单几何问题.
(4)定理表述
初中教材用特例猜想定理的一般形式给出勾股定理[6]:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边为c,那么《几何原本》的勾股定理以命题形式给出:在直角三角形中,直角所对边上的正方形等于夹直角两边上的正方形[10].《九章算术及刘徽注》中的勾股定理以3个简单几何问题术的形式给出:勾股各自乘,并,而开方除之,即弦[8].3者对比,初中教材体现数形结合的勾股定理且形体现在边长上;《几何原本》中体现形的勾股定理且形体现在面积上;而《九章算术及刘徽注》体现数的勾股定理.各自的表述为其内容服务,它们之间存在一定差异.
(5)定理证明
初中教材利用我国古代赵爽的弦图(如图1、图2、图3),通过图形旋转证明定理猜想.这种证明方法是近年来学者们倾向于“古证复原”思想提出的.初中教材对定理证明如下[6]:
赵爽注释的《周髀算经》对勾股定理的证明如下:案弦图又可以勾、股相乘为朱实二,倍之为朱实四.以勾股之差自相乘为中黄实.加差实一亦成弦实[8].
两种解释代表两种证明思想,赵爽弦图及其证明方法未成最终定论.初中教材选择历史上的数学作为定理证明既应符合历史,又应符合学生认知习惯.图形旋转是否是赵爽的弦图思想,是否符合学生对一般几何问题证明的思维形式,仍需再斟酌.
【关键词】数理逻辑 离散数学 教学方法
【中图分类号】G640 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）1-0254-02
离散数学作为计算机科学研究与学习的基本数学工具，其研究主要对象是离散量的结构及其相互关系。离散数学最难学习的是数理逻辑部分，这部分内容定义公式繁多，不易记忆和接受，学生学习比较困难，但它是培养学生逻辑推理能力的重要内容。因此，在离散数学教学中，讲授数理逻辑部分是教学的重点。
一、离散数学中数理逻辑的教学内容
命题演算和谓词演算是数理逻辑中两个最重要最基本的部分。命题是指有具体意义的能判断真假的陈述句。形象的说，如果将命题看作运算对象，如代数中的数字、字母或代数公式，而把逻辑联结词看作是运算符号，如代数中的“加、减、乘、除”，那么命题演算也就类似于代数运算。这种逻辑运算同代数运算一样，有自己的运算规律。
谓词演算也称一阶逻辑演算。它为了克服命题逻辑的局限性，将命题的内部结构分解成三部分：个体词、谓词和量词，然后研究这种命题之间的逻辑推理关系。
二、数理逻辑的教学方法讨论
（一）设置悬疑，激发学生兴趣
为了激发学生的学习兴趣，比较有效的方法是，可以在每部分内容前设置悬疑，提出一些与该内容相关的有趣问题，让学生明白学习这部分内容有什么用。如在讲授命题逻辑的推理理论之前，可以先提出如下问题：
例1：一逻辑学家被困一部落，酋长有意放行，于是对逻辑学家说：“现有两扇门，一是自由，一是死亡，两门可任开启一扇。你可从两战士中选其一负责解答你任一问题（Y/N），两战士其一诚实，另一说谎。”逻辑学家沉思片刻，向其一战士发问，然后开门从容地离开。逻辑学家是怎样发问的呢？
听到这个问题，学生必定非常好奇，在此教师可说学完命题逻辑推理理论后，这个问题就可解决。于是学生会带着好奇心，学习效果定会比预期好。
（二）深入生活，加强概念理解
在命题逻辑中的五种联结词中，学生最难掌握的是蕴涵联结词。其中重点是蕴涵联结词的前件和后件的区分。根据课本的定义[1]：
设p，q，为二命题，复合命题“如果p，则q”称为p与q的蕴涵式，记做Pq，并称p是蕴涵式的前件，q是蕴涵式的后件，称作蕴涵联接词。并规定Pq为假当且仅当p为真q为假。
为了加深对此概念的理解，可以给出一些用蕴涵式表示的自然语言。如“只要p就q”，“因为p，所以q”，“p仅当q”，“只有q才p”，“除非p才q”，“除非p否则非q”等。在上述语句中，一个共性就是q是p的必要条件。
例2：“爱生活，爱拉芳。”
这是一句耳熟能详的广告词，大家都觉得有一定道理，但同时也有一些的疑惑，问题的关键到底出现在哪里呢？我们设p：爱生活；q：爱拉芳，则原广告可写作Pq。假设爱拉芳，可以推断出一个人爱生活，有品位；但反过来说，爱生活的人，一定会爱拉芳，用拉芳的产品吗？结论显然是否定的，这句广告词有意混淆蕴涵式的前件和后件，把必要条件说成充分条件。
（三）注重类比，抓住重点内容
数理逻辑部分的内容复杂，公式繁多，在教学中如何抓住重点，让学生容易听懂呢？这是每个老师都必须面对的一个非常严峻的问题。我们可以考虑将命题推理系统和一阶逻辑推理系统对比，由于它们的字母表、合式公式和推理规则都很类似，把它们的相同和区别之处给学生讲清楚，就可以帮助学生加深理解。又如在命题逻辑的等值演算中，教材给出了16个组基本的等值式：
教学时，可以给出学生其中的一个证明，剩余的让学生自己去做。如证明（1），当A为F时，┑A为T，┑┑A为F；当A为T时，┑A为F，┑┑A为T，所以有A ┑┑A。这样，学生就得到了等值式，而且对其他等值式也有了更加具体的认识，便于记忆。
为了改进离散数学中数理逻辑部分的教学方法，在分析数理逻辑的教学内容的基础上，从以下四个方面着手来提高教学效果：激发学生兴趣、加深概念理解、启发学生思维和抓住重点内容。经我们在实际教学中的运用结果来看，效果较好。
参考文献：
关键词：物理专业；高等数学；数学思想；教学
作者简介：唐果（1957-），女，湖南湘潭人，湖南科技大学数学与计算科学学院，副教授。（湖南 湘潭 411201）
基金项目：本文系2011年湖南省教育厅教学改革研究资助项目、湖南省教育厅学位与研究生教育教改重点课题（项目编号：JG2011A019）的研究成果。
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）19-0125-02
“高等数学”是物理专业学生必修的一门重要基础课程，是学生学习物理各专业课程的基础。目前国内外很多学者认为高等数学的任务是为学生学习物理各专业课程以及今后的工作提供必要的高等数学基础知识。[1，2]数学严格的逻辑性、高度的抽象性、语言的简明性，使数学具有培养学生逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力的独特功能。[3]因此，高等数学的任务除了为学生学习物理各专业课程以及今后的工作提供必要的高等数学基础知识之外，应该还具有培养学生逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力的任务。而物理学中的问题，就是利用数学严密的推理、高度的抽象及空间想象建立模型，最终经过实践检验，求得其理论。[4]因此，培养物理专业学生逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力就显得尤为重要，也是物理专业“高等数学”教学责无旁贷的任务。如何在物理专业“高等数学”教学中培养学生逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力是每位教师必须思考的问题。
一、数学思想简介
数学思想是数学产生以及数学发展过程中必须依赖的基本思想，是人们在谈论数学时，总要谈及到的独特素质。数学思想是由三种基本思想，即抽象、推理和模型思想组成。抽象思想是把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，其素质表现为抽象能力强；推理思想是逻辑推理促进数学内部的发展，其素质表现为逻辑能力强；模型思想是沟通数学与外部世界的桥梁，其素质表现为应用能力强。
数学中的抽象主要包括两方面的内容：数量与数量关系的抽象、图形与图形关系的抽象。其中关系是重要的，正如亚里士多德所说：数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉感性的东西剩下的只有数量和关系。对于数学研究而言，线、角，或者其他的量，不是作为存在而是作为关系，通过抽象得到数学的基本概念，从而把现实生活中的与数学有关的东西引入数学的内部。这些基本概念包括数学的研究对象的定义，刻画对象之间关系的术语和符号，还包括刻画对象之间关系的运算方法。这种抽象是一种从感性具体上升到理性具体的思维过程，但这样的抽象只是第一次抽象。在此基础上，还能凭借想象和类比进行第二次抽象，其特点是符号化，得到那些并非直接来源于现实的数学概念和运算方法，比如实数和高维空间的概念，极限和四元数的运算。第二次抽象是此理性具体扩充到彼理性具体的思维过程，在这个意义上，数学并非仅仅研究那些直接来源于现实生活的东西。
数学主要依赖的是逻辑思维，逻辑思维的集中表现是逻辑推理，人们通过推理，能够深刻地理解数学研究对象之间的逻辑关系，并且可以用抽象了的术语和符号清晰地描述这种关系。所谓推理，是指一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。所谓推理有逻辑，是指所涉及的命题内涵之间具有某种传递性。在本质上，只存在两种形式的推理，一种是归纳推理，一种是演绎推理。人们通过推理形成各种命题、定理和运算法则。随着数学研究的不断深入，根据研究问题的不同，数学逐渐形成各个分支，而且数学各个分支得到的结果之间却是相互协调的。为此，人们不能不为数学的这种整体一致性感到惊叹：数学似乎蕴含着类似真理那样的合理性。
数学模型是用数学的概念、原理和思想方法描述现实世界中规律性的东西。所以数学模型是指用数学的语言描述现实世界所依赖的思想。数学模型使数学走出数学的世界，是构建数学与现实世界的桥梁，通俗地说，数学模型借用数学的语言讲述现实世界的故事。数学模型的出发点不仅是数学，还包括现实世界中的那些将要讲述的东西。并且，研究手法也不是单向的，需要从数学和现实这两个出发点开始，规划研究路径、构建描述用语、验证研究结果、解释结果含义，从而得到与现实世界相容的、可以描述现实世界的结论。数学模型也必然有其适用范围，这个适用范围通常表现于模型的假设前提、模型的初始值、模型参数的某些限制。
由数学思想的概念可以看到，培养物理专业学生逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力就是要在物理专业“高等数学”教学中提高学生的数学思想。
二、提高物理专业学生数学思想的“高等数学”教学途径
对于物理专业的学生，提高了逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力，即数学思想，也就增强了他们的创新能力、数学应用能力、可持续发展能力和终身学习能力，才能使培养出来的学生真正做到知识、能力、素质三者并重。下面结合笔者 长期物理专业“高等数学”教学的实践，针对教师在“高等数学”教学的过程中如何提高物理专业学生数学思想谈谈体会和具体做法。
1.教师自身必须具有较高数学思想和数学方法论的素养
由于数学思想蕴含于高等数学的各部分内容之中，只有教师具有了较高的数学思想素质，才能挖掘出高等数学各部分内容之中的数学思想，才能做到在高等数学的讲授中，善于向学生传授这些思想以及寓数学思想于平时的教学中，因此教师自身要加强对数学史和数学方法论的学习与研究。
2.教师必须具有较好的物理素质
由于高等数学中的概念和定理只反映数量关系和空间形式，没有具体的描述对象，而物理中的概念和定理则有具休的描述对象，比如，向量在高等数学中是一个抽象概念，但是在物理中则用来表示力、速度等具体的概念。另外，高等数学中的很多概念和定理是科学家们在研究物理问题时抽象出来的，例如：微积分就是牛顿在研究力学问题时首先提出，并为解决各种力学问题而日益丰富起来的。因此教师具有了较强的物理素质后，一方面与物理专业的学生有更多的“共同语言”，可以使用在实践中看得到的现象解释十分抽象的数学概念和定理，提高学生学习高等数学的积极性；另一方面，可以利用物理实例引入高等数学的概念和定理，培养学生的数学思想。所以，教师自身应加强物理知识的学习。
3.教师要善于将高等数学各部分内容中的数学思想挖掘并系统地分类
教师在备课时要深入研究教材，结合教材的知识点，查阅其发生发展过程，把握住有关概念和定理的来龙去脉，抓住数学知识与数学思想的结合点，挖掘出蕴含于教材每章节中的数学思想，在教学中做到统筹安排，有目的、有计划和有要求地进行数学思想的教学。
4.教师应针对不同的教学内容，通过多种途径设计数学思想教学
由于同一教学内容可以蕴含多种数学思想，而同一数学思想又分布在不同的教学内容中，所以教师应根据不同的教学内容，选择不同的教学手段和方法开展数学思想的教学。选择的原则为有利于学生领悟和掌握数学思想，例如：在遇到反映推理数学思想的教学内容时，可以采用探究式和启发式教学方法进行教学。特别是对于物理专业的学生，教师应充分利用其对物理现象熟悉和物理问题理解的特点，首先提出问题，然后学生在教师的引导和启发下模拟科学家解决问题的过程，或支持学生从多角度以不同方式对问题进行思考，最后让学生自己得出结果。在遇到反映抽象数学思想的教学内容时，可以采用发现式教学方法进行教学，教师可以利用高等数学中的很多概念和定理是科学家们在研究物理问题时抽象出来的特点，结合教学内容，向学生展示该教学内容的形成和演变过程，使学生体验抽象数学思想的作用和巨大价值；或采用案例式教学方法进行教学，由于抽象是从许多不同事物中提取的共同点，因此教师可以从许多领域收集既体现数学的本质，又通俗易懂，引人入胜的例子，然后根据教学内容适当地提炼一些最新的有趣的例子作为应用案例，从这些案例中提取共同点得出结论。在遇到反映模型数学思想的教学内容时，可以采用启发式教学方法进行教学。由于数学建模是对实际问题进行合理抽象和量化，利用数学公式进行模拟和验证的一种处理方法，因此教师可以结合教学内容适当选择一些实际应用问题，然后引导学生加以分析，通过抽象、简化、假设、建立和求解数学模型，从而解决实际问题；或采用实验教学方法进行教学，教师首先设计出注重数学思想的剖析、数学技术的灵活性和数学理论的实用性的实验项目，然后在教师的指导下，学生亲自动手建立和求解数学模型，从而解决问题。当遇到同一教学内容蕴含多种数学思想的情况，可以同时采用多种教学方法进行教学。
5.教师要充分认识到学生掌握数学思想是一个反复认识、训练和运用的过程
由于学生对于蕴含在具体数学知识中的数学思想开始只能形成初步的感性认识，只有经过多次反复后，在较为丰富的感性认识的基础上，才能逐步抽象、概括而形成理性认识，再在实践活动中反复检验和运用，才能加深这种理性认识。因此，学生对每种数学思想的认识都是在反复理解和运用中形成的，其间有一个由低级到高级的螺旋上升过程。所以教师应该将高等数学各个内容中的数学思想形成为具有一定结构的系统，对于某一种数学思想而言，所串连的具体数学知识也必须形成自身的体系。由此明确每一种数学知识的教学中可以进行哪些数学思想的教育，并设计好对每种数学思想进行反复认识、训练和运用的过程。由于绪论课一般都要讲述知识产生的背景，发展简史，研究对象，基本和主要的问题，研究的思想和与其他各章知识的联系等，教师可抓准时机在绪论中直接简述有关数学思想，而在复习课中则可顺势总结概括本章用到的数学思想，这也可以形成学生对数学思想系统的反复认识。
三、结束语
数学思想是数学的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁。数学教育的目的不仅要使学生掌握基本的数学知识与技巧，更要重视发展学生的能力，全面提高综合素质。因此本文就如何在“高等数学”教学中提高物理专业学生数学思想，培养学生逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力，提高他们的创新意识和创新能力，根据多年的教学实践谈了一些认识、体会和具体做法，希望能起到抛砖引玉的作用。
参考文献：
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[2]左东林，滑超伦.高等数学在物理中的应用举例[J].淮阳教育研究，1994，（4）：18-21.
关键词：逻辑推理演绎归纳类比教学策略
逻辑推理是由一个或多个判断推出一个新判断的思维过程，作为人的一种重要认知方式，一直受到心理学和教育学的关注。逻辑推理的心理机制、发展时期、影响因素等是心理学研究的热点课题，而培养学生的逻辑推理能力是教育的重要目标。本文对逻辑推理的相关心理学研究做一些简介，并由此得出对中学数学教学的几点启示。
一、心理学对逻辑推理的一些研究
逻辑推理包括三种形式：演绎推理、归纳推理和类比推理。对逻辑推理的研究主要围绕这三种形式展开。
（一）学生逻辑推理的发展研究
有研究表明，学生的逻辑推理能力随年龄增长而持续发展，在小学阶段有初步表现，在初中和高中阶段达到成熟。
李丹等人对儿童假言推理（一般有两种形式：一是充分条件的假言推理，它是一个充分条件的假言判断，即“如果……则……”；二是必要条件的假言推理，它是一个必要条件的假言判断，即“只有……才……”）能力的发展特点进行了研究。研究显示，儿童假言推理能力从小学三年级到初中三年级随年级的升高而增长，小学三年级开始已有初步表现，在小学六年级到初中一年级期间有一个加速阶段。其增长速度和水平，一方面受年龄阶段和推理格式的影响，另一方面也因对不同命题具体内容的熟悉程度而有所差异。这是由于假言推理中事物的因果关系具有复杂性，而儿童的辩证思维尚未成熟所致。总体上看，假言推理能力的发展时间要比直言三段论推理能力推迟一年左右。
李国榕和胡竹菁对中学生直言三段论推理能力的现状进行了调查。结果发现，学生的直言三段论推理能力在初中阶段发展较快，且每升高一个年级，其推理能力都有明显的提高；高中各年级之间，学生的推理能力虽有差异，但不显著；而由初中升入高中，学生的推理能力会有一个飞跃。而且，男、女学生之间的推理能力无显著差异，但理科学生的推理能力高于文科学生。此外，中学生在进行直言三段论推理时，对不同格式推理能力的发展水平并不完全一致。
全国青少年心理研究协作组于1985年对全国23个省、市初一、初三和高二学生的逻辑推理能力做了测试，内容包括归纳推理和演绎推理（又分为直言推理、假言推理、选言推理、复合推理和连锁推理）两类，同时还测试了辩证推理能力。结果表明，初一学生就已具备各种推理能力；三个年级之间，推理能力发展水平和运用水平都存在显著差异。此外，凡是需要调动感性知识的试题，学生解答起来就容易；反之，则感到困难；其中，归纳推理依赖学生感性知识的程度比演绎推理更高。
黄煜烽等人在全国19个省、市不同类型的学校随机抽取初一、初三、高二学生17098名，开展归纳推理和演绎推理的测试。结果显示，进入中学以后，学生基本上掌握了逻辑推理的常用规律，其思维水平开始进入抽象逻辑思维占主导的阶段；在整个中学阶段，学生的推理能力随着年级的升高都在持续地发展，在初二阶段尤其迅速；在整个中学阶段，归纳推理能力的发展水平要高于演绎推理能力；在演绎推理能力中，学生的直言推理能力发展较好，而连锁推理能力发展较差。
方富熹等人采用口头测试的方式，考查9—15岁儿童充分条件的假言推理能力的发展。结果表明，大部分9岁（小学三年级）儿童的有关推理能力已经开始发展，但水平较低；大部分12岁（小学六年级）儿童的假言推理能力处于过渡阶段；大部分15歲（初中三年级）儿童的假言推理能力达到成熟水平。在之后的进一步研究中，他们又发现，12岁儿童对充分条件假言推理有关规则的掌握，取决于他们形式运演思维的发展水平。
林崇德教授将中学生的论证推理能力分为四级水平（也可以看作四个发展阶段）：直接推理、间接推理、迂回推理、综合性推理。研究发现，在正常的教育教学情况下，中学生的数学推理能力随年级升高而提升；初二和高二是推理能力发展的转折点，初二学生普遍能按照公式进行推理，高二学生的抽象综合推理能力则得到显著的发展。
（二）影响逻辑推理的因素研究
1.关于演绎推理。
张庆林等人的研究表明，在条件推理（利用条件性命题——通常为假言判断——进行的推理）中，推理的内容会影推理形式规则的运用，进而影响推理的过程和结果。这主要是由于日常生活经验会影响人们对具有实际生活意义的大前提的语义加工或心理表征，具体表现为对问题空间的影响；人们在不同的问题空间中进行分析和判断，就会得到不同的推理结论。这是一种直觉的推理形式。因此，人们在进行涉及日常生活的推理时往往会受到经验的影响。
胡竹菁和胡笑羽认为，推理行为是推理者在现有推理知识结构的基础上解决具有一定结构的推理题的心理加工结果。而演绎推理问题和推理者所掌握的有关推理的知识结构都由推理形式、推理内容两方面构成，进而基于形式和内容两种判定标准，提出了“推理题与推理知识双重结构模型”：推理行为会受到四个方面的影响，用公式表示为BR=f[IS（form），IS（content），KS（form），KS（content）]，其中BR代表推理行为，IS（form）代表试题形式结构，IS（content）代表试题内容结构，KS（form）代表推理者所掌握的形式知识结构，KS（content）代表推理者所掌握的内容知识结构。
Senk研究了中学生在几何证明中的演绎推理表现，发现如果学生证明过程的书写能力比较薄弱，会影响学生的推理能力。
Jansson通过访谈，研究了初中生在假言命题、选言命题、联言命题、否命题等不同逻辑形式任务上的发展及先后层次结构。研究显示，学生缺乏处理那些正式、真实、有趣的“暗示”的能力，且同一逻辑运算的不同语言形式会对逻辑推理产生影响。
Hoyles和Kuchemann考察了学生假言推理能力的发展，指出在特定的数学情境中，对“暗示”的理解是否到位和演绎推理能否成功之间存在某种联系。
根据演绎推理相关的认知与脑机制研究，左、右脑在演绎推理中的功能差异主要表现为言语系统和视空系统在演绎推理中的不同作用，而且这两种系统对几种演绎推理类型的影响可能是不同的。不同性质的内容在影响被试推理过程时，所激活的脑区域是有差异的，如推理内容具体或抽象、推理材料包含更多具有显著情绪特征或社会规则的内容、形式逻辑规则是否与个体信念冲突等。因此，个体的知识经验、信念偏向等对演绎推理也有一定的影响。
2.关于归纳推理。
多数研究证明，归纳推理受到前提项目多样性的强烈影响，材料类别与概念范畴、属性特征及其呈现方式、推理形式、知识经验等因素都会对归纳推理产生不同程度的影响。而近年来，许多研究开始关注归纳推理的心理效应。根据归纳论断中不同因素对个体做出归纳结论时把握性大小的影响，归纳推理的心理效应主要分为三种：类别效应、属性效应、交互效应。当前，关于类别效应中多样性效应的研究较为集中，即人们意识到前提更加多样的论断具有更大的归纳推理力度，从而在归纳推理过程中倾向于寻找差异更大的证据来支持将要得出的结论。有研究结果表明，在适合的条件下，儿童在归纳推理中能够表现出多样性效应。
根据一些前提类别具有某一特征而推测结论类别也具有这一特征时，要推测的特征叫作归纳特征，结论类别具有这一特征的可能性程度叫作归纳强度。目前，对基于类别的特征归纳的解释主要有相似性解释和知识解释两类。相似性解释认为，人们的归纳推理能力基于前提类别与结论类别的相似性，并随着这种相似性的增加而增强。
王墨耘和莫雷提出关联相似性模型，即描述人们根据归纳特征关联项的相似性来做归纳推理的抽象模型。这一模型将特征关联知识与相似性整合到一起，认为基于关联相似性的归纳推理包含三个环节：首先寻找与归纳特征相关联的特征（即关联特征），然后比较评估结论类别与前提类别在关联特征上的相似性（即关联相似性），最后根据这种关联相似性程度得出结论类别是否具有归纳特征和在多大程度上具有归纳特征。这一模型还认为归纳强度的大小可用公式来预测：归纳强度=关联特征与归纳特征的关联强度×关联特征的相似性程度（即关联相似性程度）。
王墨耘和高坡通过实验验证了，归纳强度与关联相似性、关联相似性变化的影响效果与关联强度、归纳信心与关联强度之间均为正相关。
3.关于类比推理。
类比推理与类比迁移有关。已有研究表明，12岁以下儿童的类比推理能力不足，是由于他们所掌握的概念知识有限（特别是相对于类比推理任务的难度），缺乏类比迁移的动机。
除了自身年龄特征、知识经验、信念之外，工作记忆也是类比推理的重要影响因素。工作记忆是一种对信息进行暂时性加工和储存的能量有限的记忆系统，由语音回路、视空间模板和中央执行器三个部分组成。其中，语音回路负责以语音为基础的信息的储存和控制，它分为语音储存系统和发音复述系统两个部分；视空间模板主要负责处理视觉空间信息，它包含视觉元素（与颜色、形状有关）和空间元素（与位置有关）；中央执行器负责各个子系统之间以及它们与长时记忆之间的联系，也负责主要资源的协调和策略的选择与计划。
唐慧琳和刘昌采用双因素实验设计，发现工作记忆是影响类比推理的重要因素：在图形类比推理中，主要有视空间模板中的空间成分、语音回路中的发音成分以及中央执行器的参与；而在言语类比推理中，则是视空间模板中的空间成分起主要作用。
此外，王亚南和刘昌通过数字推理测验，探讨了数字推理能力发展的心理机制，发现加工速度和工作记忆在数字推理能力的发展过程中都发挥着重要的作用，且工作记忆的作用大于加工速度；推测加工速度可能是年龄与工作记忆的中介，仅对工作记忆的发展起一种直接调节作用，而工作记忆可能对数字推理能力的发展起直接调节作用。
问题之间的相似性能够影响类比检索的过程，因而对类比推理也有重要影响：相似度越高，越能促进类比迁移。问题之间的相似性包括抽象原则、问题内容、实验环境三个方面。其中，抽象原則在正规问题中指公式，在无法定义的问题中指图式和深层结构；问题内容主要包括语义领域和表面元素两个方面；实验环境则包括实验过程中的背景、实验者和实验程序等。
二、对中学数学教学的启示
（一）关注发展关键时期，加强逻辑推理训练
逻辑推理的相关研究表明，中学生的数学推理能力随年级升高而提升；初二和高二是推理能力发展的转折点（关键期）；假言推理能力在小学三年级到初中三年级之间随年级的增长而增长，在小学三年级已有初步表现，在小学六年级到初中一年级之间有一个加速阶段，在初中二年级普遍接近成熟水平；总体归纳推理能力的迅速发展在初一到初三阶段，演绎推理能力的迅速发展在初三到高二阶段。这些研究结论对数学教学的直接启示是，要关注学生逻辑推理能力发展的关键期，在关键期内加强对学生的逻辑推理训练。因为，如果错过了关键期，再要培养学生的逻辑推理能力，可能会事倍功半。
在小学阶段，数学学习的主要内容是理解运算法则，依据法则进行运算。这是典型的演绎推理，但是，依据的法则往往是单一的，而且推理的步骤很少。这符合小学生的认知规律。到了初中阶段，平面几何的证明成为数学学习的重要内容。虽然也是演绎推理，但与小学阶段有了明显的不同：依据的法则、定理较多，选用难度较大，同时，推理的步骤明显增多。如果初中生不能适应这种变化，也就是逻辑推理能力的增长没有与学习内容复杂程度的增加同步，就会造成学习困难——实践表明，初中往往是学生数学成绩分化的起始时期。因此，在这一逻辑推理能力发展的关键期开展有针对性的训练十分必要。
第一，保证一定量的推理练习。量变引起质变，这是一个简单的哲学原理。没有量的积累，何来质的改变？学习数学必须做一定量的题，这是一个硬道理。当然，一定量的推理练习并不意味着“题海训练”，可以理解为“题海训练”量的下限。也就是说，如果一个学生的推理训练达到了一定的量，那么他的逻辑推理能力就能实现质的提升。对“一定量的推理练习”的理解，还要注意这样两个问题。其一，量（的下限）不是一个统一的标准。不同学习能力的学生需要的训练量是有差异的：学习能力强的学生训练量可能小一些，学习能力弱的学生训练量可能大一些。其二，量与质是相关的。一个基本的观点是，一道高质量题目的训练功能强于几道低质量题目的训练功能。例如，让学生做一道有理数的四则混合运算题目，其逻辑推理训练功能明显强于让学生反复做几道同一类型的有理数加法运算题目。这两个问题正是教师在教学实践中需要研究的：如何针对不同学生的实际水平确定训练量的标准？如何编制高质量的逻辑推理训练题？
第二，协调发展多种推理形式。演绎推理、归纳推理、类比推理之间有一定的相关性，但更具有相对独立的特质。也就是说，不能指望通过一种推理能力的训练来带动其他推理能力的发展，专门的训练是必要的。
例1老师在黑板上写出了三个算式：52-32=8×2、92-72=8×4、152-32=8×27。王华接着写出了两个具有同样规律的算式：112-52=8×12、152-72=8×22。
（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（2）用文字写出上述算式反映的规律；
（3）证明这个规律的正确性。
本题题干分两次给出5个算式，启发学生在观察、认识的基础上，初步猜想。第（1）问引导学生举出一些例子（如112-92=8×5、132-112=8×6等），从而验证猜想。第（2）问引导学生将发现的规律做一般化描述：任意两个奇数的平方差等于8的倍数。第（3）问则要求学生给出形式化的数学证明。前两问都属于合情推理，最后一问则属于演绎推理。本题的解答过程中，既包含了对已知条件的观察、分析和类比，又包含了对规律的探索、归纳及证明，为学生进行合情推理和演绎推理提供了可能，能较为全面地培养学生的逻辑推理能力。
此外，本题条件还可以进一步简化，即不给出算式的结果，而让学生先自行计算52-32、92-72、152-32，再尝试寻找规律，从而给学生更大的探索空间。
第三，协调运用演绎推理方法。在演绎推理中，综合法和分析法是两种常用的证明方法。分析以综合为目的，综合又以分析为基础，二者互相渗透、互相依存。训练中，应当注意兼顾两种方法。
例2已知ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，求证：BC=1/2AB。
本题需要证明的结论是，一条线段的长度等于另一条线段长度的一半。教师可适当提示学生有两种证明思路：第一种是延长BC至原来长度的两倍，再证明其等于AB；第二种是缩短AB至原来长度的一半，再证明其等于BC。
针对第一种证明思路，可延长BC到点D，使得CD=BC（见图1），此时只需要证明BD=AB。教师可进一步提问学生如何证明，启发学生寻找BD与AB之间的关系，作出辅助线AD，使得问题进一步转化为证明ABD为等腰三角形。针对这一命题，学生很容易判断出可利用三角形全等来证明。至此，教师带领学生通过分析法得到了证明思路，学生也能较为顺利地写出证明过程。
针对第二种证明思路，可取AB的中点D（见图2），此时只需要证明AD=BC或BD=BC。教师可让学生自己尝试采用综合法证明：连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出CD=AD=BD，再由∠B=60°，得到BDC是等邊三角形，进而得出结论。
（二）适当揭示逻辑规则，固化演绎推理思维
形式逻辑有专门的知识。在中学数学教学中，这些知识通常不是系统地讲授给学生的，而是学生通过数学知识的学习潜移默化地掌握的。但是，对有些逻辑知识，有必要做适当的介绍，以帮助学生形成清晰的思路，固化“言必有据”的演绎推理思维。
例如，判断的四种形式是全称肯定、全称否定、特称肯定、特称否定。学生必须理解它们之间的关系，否则，在推理时容易出现错误。
再如，直言三段论由大前提、小前提和结论组成，有四“格”，其中，第一格如下页图3所示（大前提必须是全称的，小前提必须是肯定的），第二、三、四格稍微复杂一些。中学数学中的演绎推理几乎都采用直言三段论的第一格。因此，学生必须理解清楚这个规则，方能正确进行演绎推理。
在学习演绎推理的初级阶段，有必要对学生进行推理过程的补充理由训练。一种方式是写出全部推理过程，让学生填写每一步推理的依据；另一种方式是给出有一些空缺步骤的推理过程，让学生补全推理过程，并写明理由。许多研究表明，这是行之有效的推理训练方式。
例3如图4，点E在四边形ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE，求证：BCE≌ADF。
本题是一道常见的初中几何证明题，涉及平行线、平行四边形及全等三角形的有关知识，难度适中。教师可以让学生独立思考并给出证明，同时在每个步骤之后写清理由，如使用的定理、性质等，从而帮助学生理解其中的逻辑关系。在这一过程中，教师还要关注数学语言表述的准确性、严谨性、规范性，及时纠正学生出现的错误。
（三）设置合情推理情境，培养归纳类比能力
合情推理的实质是“发现—猜想—证明”。教学中，教师应根据学生的特点，充分挖掘教学资源，灵活创设合情推理情境，充分展现推理思维过程，培养学生的归纳和类比能力。
第一，情境要具有探究性。归纳和类比是探究中常用的推理；反过来说，只有通过探究活动，才能培养学生的归纳和类比能力。探究活动中，要完成的目标（要证明的结论）应该是不明确的，需要通过合情推理来发现。教师可以通过提问，启发学生思考，引导学生探究；通过设计问题链，引导学生逐步深入，完成目标。
例如，“余弦定理”的教学大多采用演绎推理的方式，利用向量法或几何法推导出余弦定理，但这种做法容易造成合情推理能力培养的缺失。对此，可采用“先猜后证”的方式，让学生先利用合情推理进行探究，再利用演绎推理加以证明，从而体现合情推理能力和演绎推理能力的共同发展。
具体地，可以从类比推理的角度设计。通过勾股定理的复习引入，然后提出下列问题：（1）勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系，那么一般三角形的三边是否有类似的关系呢？（2）勾股定理中的三边关系有何特点？直角三角形和任意三角形有何关系？（3）请同学们观察等式中的“abcosC”，我们以前似乎研究过这个量，它还可以怎样表示？（4）如果把这个式子中的量都用向量表示，应该是什么形式？（5）你能证明这个式子吗？（6）还有其他证明方法吗？从而引导学生类比、分析勾股定理的形式，猜想、证明余弦定理的形式。
也可以从归纳推理的角度设计。引导学生先研究几种特殊三角形的情形，再利用归纳推理的方法探究余弦定理。在这一过程中，将∠C为0°和180°的情况看作特例，更容易发现边长c与∠C的余弦函数之间存在一定的联系。
第二，情境要具有实验性。利用数学实验作为教学情境，能激发学生的学习兴趣，引导学生从中归纳出抽象的数学原理，培养归纳和类比能力。教师可以设计与教学内容有关的富有趣味性、启发性的数学实验，让学生在实验情境中探索规律，通过观察和操作提出猜想，再通过逻辑论证得到结论。
【关键词】 说理意识；几何语言；直观形象；逻辑推理；几何证明
一、推理与证明
由一个或几个已知判断推出另一未知判断的思维形式叫做推理，推理一般包括合情推理和演绎推理. 合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理；合情推理的主要形式是归纳推理和类比推理. 演绎推理的前提和结论之间具有蕴涵关系，是必然性推理，演绎推理的主要形式是三段论证.
合情推理和演绎推理的能力同等重要，必须重视这两种能力的培养，将它们有机结合、协调发展. 事实上，人们在探索和认识事物的过程中，常常交替进行合情推理与演绎推理，合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径. 证明，可以证实我们经过探索得到的许多结论的正确性. 从证明的过程中，我们可以感受到人类对真理的执着追求和严谨的科学态度.
二、培养学生平面几何说理能力的重要性
现代生理学和心理学研究表明，人的左右脑半球在思维上是分工合作的. 人的左脑是理解语言的中枢，主要完成语言、分析、逻辑、代数的思考、认识和行为，即逻辑思维. 右脑是接受音乐的中枢，具有可视的、综合的、几何的、绘画的、观赏绘画、欣赏音乐、凭直觉观察事物、纵览全局的功能. 平面几何能同时提供给学生生动直观的图像和严谨的逻辑推理，有利于开发学生大脑左右两个半球的潜力. 学习初中平面几何知识不但可以培养学生的逻辑思维能力，而且可以提高学生的创新思维能力. 正如德国物理学家马克思・冯・劳厄所说“教育无非是一切已学过的东西都忘掉时所剩下的东西”. 因此，在平面几何的学习中，加强推理的训练比只强调基础知识的学习更有用更重要.
三、新课程标准要求
新课程标准指出：“推理一般应包括合情推理和演绎推理”、“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中”. 遵循新课程标准的理念，教学中应采取小步子、多层次的原则，由易到难、由浅入深地逐步发展学生的演绎推理能力.
四、学生面临的困惑
七年级学生习惯于用小学的直观来代替推理，对几何语言的运用，即文字语言、图形语言、符号语言的相互转化，对探索、归纳、推理的必要性认识严重不足. 主要表现在：课下常有学生说“因为……所以……写了好几行，其实一个算式就能解决问题了”. 这说明学生仍然停留在直观的感性认识上，竟然用算式来代替说理.
例如：徐州市2012-2013学年度第一学期期末抽测七年级数学试题的第24题.
已知OAOB，OC为一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线.
（1）如图①，当OC在∠AOB内部时，∠DOE = °；
（2）如图②，当OC在∠AOB的外部时，求∠DOE的度数.
其中，第（1）题较为简单并且不需要写出说理过程，很少有学生答错. 第（2）题属于解答题，学生不但要把∠DOE的度数计算正确，还要能正确写出自己的说理过程. 这就出现很多学生虽然计算出了45°，但是因为说理过程书写较差而被扣分，这就要求教师在平时的教学过程中重视学生数学语言的发展.
五、培养七年级学生说理意识的方法
（一）引导学生感受说理的必要性
让学生经历在探索一些问题时，由于“直观判断不可靠”、“直观无法作出确定判断”，但运用已有的数学知识和方法就可以确定一个数学结论的正确性的过程，初步感受说理的必要性. 在教学过程中，引导学生体会说理必要性的同时，还要引导学生逐步认识到合情推理是发现规律、猜测结论的重要途径；演绎推理可以确认结论的正确性，证明是探索活动的自然延续和必要发展.
（二）重视学生几何语言的发展
语言是思维的外衣，语言能力的增强可以极大地改善学生的学习能力，促进思维的发展. 因此，我们应充分认识到学生语言发展的重要性. 几何语言的形式有三种：图形语言、文字语言及符号语言. 这三种语言在几何中通常是并存的，有时又互相渗透和转化. 在教学过程中，教师应加强学生这三种语言的基础训练，要求学生不仅能熟练运用每一种语言，而且能根据解题的需要，准确地将其中的一种语言形式翻译成其他语言形式，防止文字和图形脱钩，并熟记这些语句.
（三）培养学生学习几何的兴趣
1. 通过介绍数学家的成就培养学习兴趣
教学实践证明，学生对几何学的产生及发展历史，尤其对我国古代数学家的几何成就是很有兴趣的. 例如，在讲解“勾股定理”时特别告诉学生：勾股定理是我国殷周时期的数学家商高的成就，所以又叫商高定理；我国最早的数学文献《周稗算经》上记载了我国对勾股定理的发现早于希腊的毕达哥拉斯，而且赵爽的证明方法比欧几里得方法简单. 这样不仅可以提高学生的学习兴趣，而且还可以对学生进行爱国主义教育.
2. 充分利用学生的表现欲培养兴趣，活跃学生的思维
表现欲是人的基本欲望，是个性突出、有生命力的表现. 学生的表现欲是一种积极的心理品质，对于学生的学习和生活都会产生至关重要的影响. 当学生的表现欲得到满足时，便会产生一种自豪感，这种自豪感会推动学生信心百倍地去学习新东西、探索新问题、获得新知识. 因此，作为一名教师，应提供表现的机会给学生，让学生积极参与教学过程，并及时地进行表扬鼓励，借此培养他们的学习兴趣.
（四）重视例题教学的示范性
在教学过程中，对于例题的教学要关注学生能否形式化地表达，同时更要关注学生能否合乎逻辑地思考和有条理地表达，鼓励学生主动地表达和交流. 在说理的教学过程中不仅要引导学生从已知条件出发向结论探索，而且要引导学生学会从结论出发向已知条件探索，或者从已知条件和结论两个方向互相逼近. 另外，也要恰当地引导学生去探索证明同一命题的不同思路和方法，并进行比较和讨论，借此激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性. 经历对证明基本方法的了解和证明过程的体验，让学生感受数学的严谨性和数学结论的确定性，感悟演绎推理的逻辑要求，树立言之有理、落笔有据的推理意识，培养学生有条理地思考和表达自己想法的能力.
（五）直觉思维能力的培养
随着教育观念的不断深化，作为创造性思维的重要组成部分，直觉思维越来越为人们所注重. 美国著名心理学家布鲁纳指出：直觉思维，预感的训练，是正式的学术学科和日常生活中创造性思维易被忽略而又重要的特征. 他科学地揭示了逻辑思维与直觉思维的互补作用. 因此，在日常教学活动中，教师要主动创设情境，及时把握时机，启发和诱导学生的直觉思维.
1. 实施开放性问题教学，培养直觉思维
实施开放性问题教学，也是培养直觉思维的有效办法之一. 当开放性问题的条件或结论不够明确时，可以从多个角度由果寻因、由因索果、提出猜想、合理联想.
2. 以猜想为主，在教学中培养直觉思维
中学数学课本中所讲述的数学知识是前人早已发现的客观规律和正确理论，但对中学生来说很多却是未知的. 刚步入中学的学生有强烈的好奇心、求知欲望和表现欲，喜欢探究事物的本质. 教师应根据学生这些心理特征，在教学过程中给学生留下直觉思维的空间，让他们大胆进行数学猜想，再对他们的猜想作出判断，并给以适当的指导.
（六）逻辑思维能力的培养
逻辑思维能力不仅是学好数学必须具备的能力，也是学好其他学科及处理日常生活问题所必须具备的能力.
1. 养成从多角度认识事物的习惯
养成从多角度认识事物的习惯，全面地认识事物，对逻辑思维能力的提高有着十分重要的意义. 首先是学会“同中求异”的思考习惯：将相同事物进行比较，找出其中某个方面的不同之处，将相同的事物区别开来. 同时，还必须学会“异中求同”的思考习惯：对不同的事物进行比较，找出其中某个方面的相同之处，将不同的事物归纳起来.
2. 发挥猜想在逻辑推理中的作用
发挥猜想对逻辑推理能力的提高有很大的促进作用. 鼓励学生敢于猜想，然后再动手实践和进行严密地推理论证证明自己猜想的正确性，可以让学生获得成就感. 从某种意义上来说，猜想是正确推理的导火索.
3. 保持良好的情绪状态
现代心理学研究表明，不良的心境会影响逻辑推理的速度和准确程度. 失控的狂欢、暴怒与痛哭，持续的忧郁、烦恼与恐惧，都会对推理产生不良影响. 因此，教师平时应该经常引导学生学会用意识去调节和控制自己的情绪和心境，使自己保持平静、轻松的情绪和心境，提高自己逻辑推理的水平和质量.
六、有待继续研究的问题
在初中平面几何的说理教学中，教师应如何培养七年级学生说理意识？如何从只追求结论到知其然并知其所以然，从学生质疑到完全接受，从说理到证明？如何让学生从说不清到模仿，再到书写规范？……这些还需要我们教师不断地深入研究，并加以进一步创新，因此我们教师在日常的教育教学过程中要更加用心地、孜孜不倦地去探索追求.
【参考文献】
[1]刘永敬. 初中平面几何入门教学浅谈[J].读与写杂志，2009，6（4）：118-119.
[2]刘忠新. 浅谈平面几何教学中逻辑推理能力的培养[J].科教文汇，2007（9）：69-70.
[3]梅梦清. 新课标初中几何的变化与教学对策[J].中国校外教育，2009（2）：102-103.
盐类水解是高中化学内容中非常重要的一块。无论是考试，还是培养学生对微观事物的看法和思考，都有着无可比拟的重要性。在本块知识的学习中，一定要培养好学生逻辑思维和推理能力，充分调动学生的主观能动性，发挥学生自己的学习特点，切勿“灌”，一“灌”则“溢”，得不偿失。
对于盐溶液的酸碱性，学生已经具有初步认识，如在必修中接触到了碳酸氢钠、碳酸钠等水溶液的酸碱性，但是如何站在理论的高度对盐类的认识能有一个更深层次的认知，则是这节课需要解决的。基于此，本节课从简单实验出发，以问题探究和逻辑推理为手段，让学生在一步步的探知过程中进行问题的总结和分析，从而提炼出适当的观点，并加以实践。
本节课以水的电离平衡为基础，分析盐类电离出的阴、阳离子与水电离出的H+、OH-结合成弱酸、弱碱的趋势，明确不同盐溶液呈现不同酸碱性的本质原因。
二、课型
高二新授课（人教版第一课时）
三、教学要求及目标
[知识与技能]
1.通过小实验使学生理解盐类水解的本质。盐类水解对溶液酸、碱性的影响及变化规律。
2.培养学生分析问题的能力、归纳能力和逻辑推理能力，使学生学会透过现象看本质。
[过程与方法]
通过对实验的观察和讨论，培养学生对具体问题进行分析、总结、推理的能力。
[情感态度与价值观]
希望能以千变万化的物质世界，给学生一个全新的认识空间和想象空间，培养学生热爱生活和自然的态度。通过实验能培养学生热爱科学、感受科学的能力。
四、重难点
盐类水解的本质，理解盐类水解的规律。
五、教学过程
【引入】
盐酸与氢氧化钠完全反应，所得溶液酸碱性如何？请列举一些常见的盐类物质，它们的水溶液都呈中性吗？
【查资料】根据水解的原理，你能分析下列问题吗？
1.碳酸钾和氯化铵是两种常用的钾肥和氮肥，那么这两种肥料能同时使用吗？为什么？
2.明矾为什么能净水呢？
3.你知道泡沫灭火器的工作原理吗？
4.还记得氢氧化铁胶体的制备吗？
5.你知道焊接金属时，通常使用什么物质来除锈吗？
【设计意图】例1是对课堂内容的总结和反馈。例2为有关盐类水解平衡的问题，也为下一节课做出伏笔。留下问题，激发学生思考有关水解平衡的内容。关于《查资料》是希望更好地能让学生了解有关水解的应用和应用原理。
六、案例启示
化学课程要以学生的发展为根本。教师在教学中要充分了解学生的认知水平和程度，通过科学的方法，让学生掌握研究化学问题的基本方法、思想、途径，并有意识地去树立学生正确的科学观，提高科学素养。
本节课从盐的形成着手，直接让学生动手实验去检测常见的盐类物质的酸碱性，通过对所得到的现象的不同，激发学生对问题的思考和研究。接着，通过几个简单问题，引导学生从表面现象转移到更深层次的理论分析上来，以培养学生在遇到问题后，科学严谨的分析问题的能力。然后从水解的本质原因上，对盐进行分类，从而达到对知识的规律性掌握。最后通过习题来巩固学生掌握的情况。
语义网通过对网页中的信息增加元数据，以及改善网页结构等，使得网页中的信息更加规范。描述逻辑是语义网的逻辑基础，如果语义网需要对其表达的知识进行推理，则需要运用描述逻辑的推理能力。目前，对于普通表达能力的描述逻辑语言ALC来说，如果不加以优化，很难应用在网络化的环境之中。本文就此展开讨论利用近似化来提高描述逻辑的推理效率。
【关键词】描述逻辑；近似化；网络应用
【中图分类号】TP393.08【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2012）12-0122-02
引言
网络如今已经成为人们生活不可或缺的一部分，现代生活已经越来越离不开网络。然而，现有的万维网技术，是基于超文本标记语言的。由于html的目标在于相同的信息可以被共享，而这些信息没有元数据标记，格式也不够规范，因此不利于机器处理这些信息。为了让机器更好的处理网络资源，万维网创始人Tim Berners-Lee认为下一代网络将是语义网。运用语义网，能够极大的加强知识共享，提高知识处理的自动化程度。而语义网的技术就是描述逻辑。
1描述逻辑简介
1.1网状结构的知识表示：语义网络和框架表示法比较相似，因此有的研究者把语义网络和框架表示法统成为槽和填充值。不过在语义上，框架表示法更强调事物的内部结构，而语义网更强调事物之间的关系。
虽然网状结构的知识表示能够清晰地刻画事物的抽象模型，建立层次分类体系、实现特性继承机制，并且在自然语言处理等应用中取得了很好的效果，但是，由于其缺乏严格的逻辑理论基础，并不适合演绎推理。此时，描述逻辑应运而生。
1.2描述逻辑的内容：描述逻辑是知识表示体系族最近才使用的名字，首先，通过定义该领域内的相关概念，表示一个应用领域的知识；然后，使用这些概念指明出现在该领域内的对象和个体的性质。描述逻辑支持出现在很多智能信息处理系统的应用中的推理模式，它也是人们用来构建和理解世界的：概念和个体的分类。
2近似化推理的基本思想和方法
2.1近似推理的基本思想：近似化推理概念作为一个新的概念，其基本思想如下：在描述逻辑源语言中有个概念C，在描述逻辑目标语言中找出与它最接近的上位或者下位概念D。Groot等[1]对近似方法做了概括，认为近似推理主要可以分为以下三种：
（1）语言弱化；
（2）知识编译；
（3）近似演绎：近似演绎在推理的过程中，通过减弱逻辑结果的正确性来提高推理的速度[3]。
本文主要探讨如果利用近似演绎的方法来对描述逻辑的推理过程进行近似化。
2.2近似演绎的几种方法：Schaerf等[3]提出的方法有如下好处，良好的语义，良好的计算复杂度，可改良性，两面性，灵活性。文章对ALE做了深入的分析，并对ALC做了讨论，但是文章缺乏实际的测试和分析，Groot等对该方法做了扩展和实现，发现其并不适合当前的大部分本体[1]。Stuckenschmidt[4]提出近似化的方法，通过逐步求精来实现。
Hitzler列举了一些一阶谓词逻辑中的近似方法，认为它们并不能很好的应用在语义网中[5]。Horrocks[2]的文章主要是对ABox中，个体之间没有角色关系的一种推理，并不是真正意义上的近似。
3描述逻辑推理近似化
3.1个体获取的语义计算：个体获取一般有一下两种方法：
（1）对于ABox中的个体a，在ABox中增加断言﹁C（a），如果导致ABox不一致，那么说明个体a是概念C的一个实例。因此遍历ABox中所有的个体a，就可以得到概念C的所有个体的集合。
（2）TBox中的概念被分类得到一个层次。TBox中的每一个概念都有一个个体集合，该概念是该集合中的个体的最具体概念。如果要获取概念C的对应个体，那么通过分类，可以得到概念C的所有子概念CSub，CSub的所有对应的个体的和即概念C对应的个体集合。
个体获取的语义计算依赖于方法2，其主要思想是根据描述逻辑的运算符进行计算。
3.2个体获取的近似计算：个体获取的第二个方法是通过概念之间包含关系的计算，得到概念在TBox分类层次中的位置，更精确的说，当需要求概念C的个体集合时，需要通过概念之间的包含关系的判断，得到概念C的所有子概念，这些子概念对应的个体集合之和就是概念C对应的个体集合。而在TBox中的这些子概念对应的个体集合，是预先通过最具体概念求得的。由于计算概念包含关系是一个NP问题，因此如何通过近似计算来近似地获得概念包含关系，可以极大的提高个体获取的速度。为了避免与所有的概念进行比较，可以通过预处理减少需要进行比较的概念的个数。
3.3推理过程的复杂度估计：ALC可满足问题的推理过程可以视为一个扩展AND-OR树的过程[6]。其中AND-分支对应于一个节点的所有后继，OR-分支对应于非确定性规则的应用时的不同选择。由此可以看出，ALC指数级时间复杂度的来源有两方面的原因：AND-分支对应于单个模型的指数级规模，OR-分支对应于指数级的概念的模型个数。
OR-分支因为∪运算符的存在而产生。∪运算符使得同一概念可能存在多个模型。ALU是分析复杂度的来源一个较佳语言，其中由交∩，并∩以及对概念名称的求补操作。实际上，ALU的复杂度，可以由将ALU，归约为命题逻辑的可满足性来获得。许多包含问题的复杂度都是通过发掘时间复杂度的这个来源，把问题归约为非包含问题来获得证明[7，8]。
3.4基于分区的近似化：随着本体论、语义网络、本体编辑工具等研究的逐渐发展，本体的规模不断增长，并且不同的本体之间的交互也越来越多。OWL还定义了本体的版本，本体包含、交叉引用等语法。本体规模的扩大对描述逻辑提出了严峻的挑战。为了应对大规模的本体，研究者们提出了分区的概念。应用分区技术，可以大本体分割成较小规模的本体，减小问题的大小，使得本体易维护、易、易验证、易处理、易近似化。
4总结
随着网络的发展，网络的规模急剧增加，使用传统的描述逻辑推理方式很难处理这些大规模的知识库，为了提高描述逻辑的处理效率，基于网格搜索的特点，提出了语义搜索近似化的方法。为了提高描述逻辑的推理效率，一方面从改进推理器本身入手，即有效地利用推理过程中的信息来优化后续的推理过程。另一方面利用近似化的方法，牺牲一定的准确性来提高推理效率。其中分布式描述逻辑，ABox概化这两种优化措施，将是描述逻辑推理的两个重要方向。
描述逻辑是下一代网络，即语义网的一个核心。为了能够处理网络环境下的搜索问题，本文对描述逻辑的近似化推理和推理个性化问题进行了较为系统的研究。但是目前语义搜索的实际应用还远未能成为一个现实，还需要大量学者的共同努力。
参考文献
[1]P. Groot，H. Stuckenschmidt， H. Wache. Approximating Description Logic Classification for Semantic Web Reasoning. In Proceedings of the European Semantic Web Conference， ESWC 2005：318-332
[2]Horrocks I. Optimizing tableaux decision procedures for description logics[D]. Manchester University of Manchester， 1997
[3]Schaerf， M.， Cadoli， M.. Tractable reasoning via approximation. Artificial Intelligence， 1995（4）：249-310
[4]H. Stuckenschmidt， F. V. Harmelen. Approximating Terminological Queries. FQAS 2002：329-343
[5]Hitzler， P.， Vrandecic， D. Resolution-Based Approximate Reasoning for OWL DL. In ISWC 2005. LNCS， vol.3729， 2005：383-397
[6]F. Baader， D. Calvancese， D. McGuinness， D. Nardi et al. The Description Logic Handbook： Theory， Implementation and Applications. Cambridge University Press， 2003
[7]Hector J. Levesque， Ron J. Brachman. Expressiveness and tractability in knowledge representation and reasoning. Computational Intelligence， 1987（3）：78-93
[8]B. Nebel. Computational complexity of terminological reasoning in BACK. Artificial Intelligence， 1988，34（3）：371-383
一、知识结构、逻辑推理及相互间的关系。
在小学数学教学中,构建良好的数学知识结构是培养发展学生逻辑思维能力的一个重要途径。乌辛斯基早就指出:“所谓智力发展不是别的,只是很好组织起来的知识体系。”而知识体系因为其内在的逻辑结构而获得逻辑意义。数学中基本的概念、性质、法则、公式等都是遵循科学的逻辑性构成的。
“数学作为一种演绎系统,它的重要特点是,除了它的基本概念以外,其余一切概念都是通过定义引入的。”这种演绎系统一方面使得数学内容以逻辑意义相关联。另一方面从知识结构所蕴含的逻辑思维形式中得到的研究方法(如逻辑推理等),再去获取更多的知识。如学习“能同时被2、5整除的数的特征”时,我们是通过演绎推理得到的:
所有能被2整除的数的末尾是0、2、4、6、8;所有能被5整除的数的末尾是0、5;因此,能同时被2、5整除的数的末尾是0。
数学中的这种推理形式一旦被学生所熟识,他们又会运用它在已有知识的基础上作出新的判断和推理。
学生知识的习得和构建,主要依赖认知结构中原有的适当观念,去影响和促进新的理解、掌握,沟通新上知识的互相联系,形成新的认知结构系统,这是数学知识学习过程中的同化现象。它包含三方面的内容:一是新旧知识建立下位联系;二是新旧知识建立上位联系;三是新旧知识建立联合意义。这三方面与逻辑结构中的三类推理恰好建立相应的联系。推理,是从一个或几个已知的判断得出新的判断的过程。通常有:演绎推理(从一般性的前提推出特殊性结论的推理);归纳推理(从特殊的前提推出一般结论的推理);类比推理(从特殊的前提推出特殊结论的推理或从一般前提推出一般结论的推理)。如:教学“循环小数”时,先在黑板上出示算式1.2÷0.3=4、1÷2=0.5、4.8÷4=1.2、0.666÷2=0.333;1÷3=0.333……、70.7÷33=2.14242……、299÷37=8.081081……等。观察各式的商学生们直观认识到:小数有有限小数、无限小数之分。进而从一组无限小数中,发现了循环小数的本质属性,得到了循环小数的定义。由两个或几个单称判断10.333…的数字3依次不断地重复出现,2.14242…的数字42依次不断重复出现等,得出一个新的全称判断(循环小数的定义)是归纳推理的一种方法。
在教学的过程中,教师结合教学内容,有意识地把逻辑规律引入教学,注意示范、点拨,显然是有利于发展学生的逻辑思维能力。
二、逻辑推理在教与学过程中的应用。
1.如果原有的认知结构观念极其抽象,概括性和包容性高于新知识,新旧知识建立下位联系、新知识从属于旧知识时,那么宜适当运用演绎推理的规则,由一般性的前提推出特殊性的结论。
“演绎的实质就是认为每一特殊(具体)情况应当看作一般情况的特例”。为了得以关于某一对象的具体知识,先要找出这一对象的类(最近的类概念),再将这一对象的类的属性应用于哪个对象。如:运用乘法分配律简便运算时,学生必须以清晰、稳固的乘法分配律知识为基础,才能得出:999×999+999=999×(999+1)=999000这里999×999+999=999×(999+1)是根据一般性判断a×c+b×c=(a+b)×c推出的。当学生理解这种推理的顺序,且懂得要使演绎推理正确,首先要前提正确,并学会使用这样的语言:只有两个约数(1和它本身)的数是质数;101只有两个约数;101是质数。
那么,符合形式逻辑的演绎法则就初步被学生所掌握。
在知识层面中,这种类属过程的多次进行,就导致知识不断产生新的层次,其逻辑结构就越加严密,新的知识也就会不断分化和精确化,就可以逐渐演绎出新的类属性的具体知识。教学中正确把握这种结构,用演绎推理的手段组织学习过程,不但能培养学生的思考方法,理解内容的逻辑结构,还能提高学生的模式辨认能力,缩短推理过程,快速找到解题途径。
在新旧知识建立下位联系时,整个类属过程可分化为两种情况。
(1)当新知识从属于旧知识时,新知识只是旧知识的派生物。可以从原有认识结构中直接推衍。新知识可以直接纳入原有的认知结构中。
如学生已学过两位数的笔算,清晰而稳固地掌握了加法的计算法则,现在要学三、四位数的加法,只要让学生思考并回忆两位数加法计算的表象结构,适当地点拨一下三、四位数加法与两位数加法有相同的笔算法则,学生就能顺利解决新课题。新知识很快被旧知识同化,并使原有笔算法则得到充实新的知识获得意义。虽然这些知识的外延得到扩大,但内涵不变。
教学中,掌握这些知识的内涵的逻辑结构,就会有一个清晰的教学思路,就会自觉地运用演绎推理的手段,与学生一起愉快地顺利地进行下位学习。就不会在讲三、四位数加法时,着眼于竭力以三、四位数加法为例证,说明加法的计算法则。
(2)新知识类属于原有较高概括性的观念中,但不能从原有上位观念中直接派生出来,而需要对原有知识作部分的改组,才能同化新知识。新知识纳入原有知识后,原有知识得到扩展、加深、限制、修饰和精确化。新旧知识之间处于相关类属。这时,运用演绎推理之前,先要对原有知识作部分改组,请出一个“组织者”,再步步演绎。(为新知识生长提供观念上的“固定点”,增加新旧知识间的可辨性,充当新旧知识联系的“认知桥梁”,奥苏伯尔称它为“先行组织者”简称“组织者”。)
如学生已掌握了长方形面积计算公式:S=ab,现在要学习正方形的面积计算公式,这就要对长方形进行改组,把它的长改成与宽相等(a=b),于是“正方形面积计算”可被“长方形面积计算”同化,当a=b时,S=ab=a·a=a[2,]。又如教圆面积之前,向学生演示或让学生动手操作,把圆适当分割后拼成近似长方形,由长方形面积公式导出圆面积计算公式。其间以直代曲,是由旧知识导向新知识的认知桥梁,是由演绎推理构建新知识时,找到的观念上固定点。找到固定点后圆面积的计算被长方形面积同化,于是面积计算规则从直线封闭图形的计算,推广到曲线封闭图形的计算,扩展加深了对原有面积计算规则的认识内容,使有关面积计算的认识结构趋向精确化。
2.如果原有认识结构已形成几个观念,要在原有的观念上学习一个抽象、概括和包容性高于旧知识的新知识,即新旧知识建立上位联系时,那么适当运用归纳推理的规则,可由特殊的前提推出一般性的结论。当需要研究某一对象集时,先要研究各个对象(情况),从中找出整个对象集所具有的性质,这就是归纳推理。归纳推理的基础是观察和试验,是从具体的、特殊的情况过渡到一般情况(结论、推论)。
教材中关于概念的形成,运算法则和运算定律、性质得出,一般是通过归纳推理得到的。如分数的初步认识。在学习前,学生认知结构中已有了分数的某些具体经验,加上教材提供的和教师列举的生活实例和图形。如:一个苹果平均分成两份,每份是它的1/2,一根钢管平均截成三段,每段是它的1/3,一张纸平均分成4份,每份是这张纸的1/4……所有这些操作和演示都让学生认识到几分之一这个概念。随后,再认识几分之几。这种不完全的归纳推理,是在考察了问题的若干个具体特例后,从中找出的规律。(严格地说,由不完全归纳法推理得到的结论还需要论证,才能判定它的正确性。)
运用归纳推理传授知识时,要根据学生的实际经验,选取典型的特例,并能够通过典型特例的推理得出一般性的结论。又要用这个“一般结论”,去解决具体特例。在教与学的进程中,归纳和演绎不是孤立地出现的,它们紧密交织在一起。
3.如果新旧知识间既不产生从属关系,又不能产生上位关系,但是新知识同原有知识有某种吻合关系或类比关系,则新旧知识间可产生并列关系。那么可以运用类比推理。
教材中,商不变性质和分数基本性质,乘数是整数的乘法和乘数是分数的乘法等,学习这类与旧知识处于并列结合关系的新知识时,既不能以上位演绎推理到下位,又不能以下位归纳推理到上位,只能采用类比推理。如五年级学习“一辆卡车平均每小时行40千米,0.3小时行了多少千米?”时,学生还无法根据小数乘法的意义列出此题的解答等式。所以,教学中一般用整数乘法中的数量关系相类推。
一、准确理解概念的内涵与外延，区别命题的真假性
生物学概念是反映生物本质属性的思维形式。教师首先要准确理解生物学概念的内涵（反映事物“质的问题”）与外延（反映事物“量”的问题）。一般来说，概念的内涵越丰富，外延越小，反之外延越大。比如“血细胞”与“红细胞”，其内涵（不具体说明）差别较大，“红细胞”的内涵比“血细胞”丰富，但外延比血细胞要小。“血细胞”外延可以指各种动物的红细胞、白细胞和血小板。有的概念内涵非常丰富，往往具有特指性。比如制备纯净细胞膜材料，“哺乳动物成熟的红细胞”区别于“成熟哺乳动物的红细胞”。虽然概念前有两个修饰词，都是指哺乳动物和成熟，但排列顺序不同。
高中生物学中存在较多的“集合概念”与“非集合概念”。如“植物细胞”（包括植物体内根细胞、叶肉细胞、花瓣细胞等各种植物细胞）和“植物根尖分生区细胞”。准确区别概念之间的关系有：“种属关系”、“交叉关系”和“同一关系”。比如：核酸分别与DNA或RNA之间的“种属关系”；蛋白质与激素之间的“交叉关系”；蓝藻与蓝细菌的“同一关系”。这些也可以指导学生用“韦恩图”来表示。概念之间的联系，可以形成“概念图”。绘制概念图时，可以依据概念之间的关系，也可以用一个或几个“关键词”或用“真命题”来联系它们。比如：细胞与真核细胞、原核细胞，依据概念之间的关系绘制概念图。染色体与DNA之间的概念关系，用“染色体的主要成分之一是DNA”真命题来联系，绘制概念图，两个概念之间的关键词：“主要成分”和“之一”。
生物学命题是人们对事物情况（生物学知识）有所判断的一种思维形式。命题不同于概念，高中生物教学中，教师要注意各种命题的真假性判断。命题形式较多，需要学生具备一定的逻辑能力，来判断是“真命题”还是“假命题”。比如：①真核生物的遗传物质是DNA（真）；②具有细胞结构的生物遗传物质是DNA（真）；③所有生物遗传物质是DNA（假）。所以，教师在平时的生物教学中，要有意识地培养学生这方面的能力。
二、生物学科的逻辑推理过程
生物学科涉及的推理类型常见的有：归纳推理、演绎推理、类比推理等。教师在课堂教学中，注重对学生的逻辑能力培养，有利于科学思维的形成，进而提高学生的生物学素养。下面，以归纳推理与演绎推理为例说明推理的方法。
1.关于归纳推理过程
生物学科知识点繁多，专业术语复杂，学生无法准确理解，很难做到像物理学科那样的逻辑推理。教师在生物教学过程中，要教会学生进行逻辑推理，其中归纳推理分为“完全归纳推理”和“不完全归纳推理”。比如：①真核生物的遗传物质是DNA；②原核生物的遗传物质是DNA；③大多数病毒的遗传物质是DNA；④少数RNA病毒的遗传物质是RNA。上述几个真命题的归纳推理结论为：DNA是生物的主要遗传物质（真命题）。推理过程表述为：由①②推出具有细胞结构的生物遗传物质是DNA。由①②③推出绝大多数生物的遗传物质是DNA。由①②③④推出DNA是生物（生物界）的主要遗传物质。这种属于“完全归纳推理”。另外，还有“不完全归纳推理”。比如：①纯合子AA自交后代全是纯合子AA；②纯合子aa自交后代全是纯合子aa；③纯合子AAbb自交后代全是纯合子AAbb；④纯合子aabbCC自交后代全是纯合子aabbCC。由上述这些真命题可以归纳出：纯合子自交后代全是纯合子（真命题）。
2.关于演绎推理过程
高中生物学科教学指导意见把“假说演绎法”作为生物学科的基本逻辑能力，这就要求教师的教学过程也要具备逻辑性。比如教师在进行“遗传信息的传递——DNA复制”内容教学时，可以这样设计演绎推理过程。先从日常生活的复制（计算机的文件复制与资料的复印），引出“全保留复制”。如果DNA是这种复制机制的话，亲代DNA双链标记32P在以31P作为原料的条件下DNA复制一代，形成两个子代DNA，通过密度梯度离心得到结果为：一个为“重带”，另一个为“轻带”。而科学家实验结果是只出现“中带”。这说明了全保留复制是错误的。然后，教师再让学生设计复制机制，得到结果是“半保留复制”。这个教学过程本身是一个演绎推理过程。
还有，在命题判断上，学生经常犯逻辑上的错误。比如认为“DNA是人的主要遗传物质”（假命题）是正确的。他们往往这样演绎：①人是生物；②生物的主要遗传物质是DNA；③所以人的主要遗传物质是DNA。这个命题中的生物是指生物界。虽然，“人是属于生物，但生物不全是人”。他们没有正确理解概念的内涵与外延。教师可以运用“三段论”来演绎推理：①人体具有细胞结构；②具有细胞结构的生物遗传物质是DNA；③所以人的遗传物质是DNA（真命题）。相关推理示例：①人体细胞属于动物细胞；②动物细胞具有中心体结构；③所以人体细胞具有中心体结构。
三、教学中注意分析与综合问题
高考生物试题的综合性很强，部分选择题的选项，知识点跨度很大，这就要求学生具备很强的分析能力。那么，什么是分析？所谓的分析是指把整体分解成部分，把复杂的问题分解成简单的要素，或把历史的过程分解成片段来研究的思维方法。对生物学来讲，定性与定量分析显得非常重要。
1.研究的背景
几何课程改革历来是人们关注的焦点。2005年第四期《数学通报》刊登了一些数学家的观点：初中是青少年智力发展最为迅猛的阶段，此阶段如果推理论证能力训练不足，那么学生后续的理性概括能力、抽象能力、科学精神都会不足。同年，《光明日报》教育周刊上报道了姜伯驹院士的类似观点。数学家们基本上都对平面几何部分的改革提出质疑，反对删掉过多的内容。一线教师也特别青睐平面几何在解决问题时所表现出的优越性：难度的层次性、结果的可预见性，特别是其对于学生的推理能力培养具有良好的价值。而课标修订组的专家认为，所有的数学内容都具有培养学生的推理能力的价值。2011年颁布的《初中数学课程标准（修订）》进一步削弱了对平面几何的要求，如删除了梯形、等腰梯形的相关内容，视点、视角、盲区，计算圆锥的侧面积和全面积等。这更加引发了许多一线教师和从事教育的专家学者对平面几何改革的讨论。
本研究通过调查学生的几何推理能力与学生的几何思维水平之间的关系以及不同思维水平的学生在几何推理能力方面的差异，试图诊断八年级学生几何推理能力属于哪个几何思维水平，以及不同推理能力的思维水平特点，进而为中学数学教育提供一些建设性的建议，让中学数学教师更好地了解学生，从而促使其在实践中更加科学、有效地运用现代教育理念组织课堂教学。
2.概念界定
（1）几何推理
几何推理是课程改革中的关键概念，它是课程改革中为取代几何证明提出的一个概念。一般认为，几何推理就是几何证明，其实几何推理并不等价于几何证明，几何证明就是严密的逻辑演绎推理，需要有充足的已知条件和理论依据，才能对问题进行求解。而几何推理在解决问题时对条件的要求相对较低，它可以是在少量已知条件的情况下对问题的结果进行大胆猜想，然后小心求证。因为现实问题通常都是欠缺条件的，所以课程改革提倡几何推理更具有一般性，有利于提高学生的思维品质，掌握思维方法，特别是分析问题和解决问题的能力。
目前，中外学者关于几何推理的方式研究，比较一致的看法有：图形推理、类比推理、自然推理、归纳推理、形式逻辑推理等[1]。图形推理也称直观推理，就是由一个或若干个已知图形而推出另外一些图形或信息的思维过程。一个图形推理由三要素构成：前提、推理要求和结论。类比推理简称类推、类比，是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。自然推理，也可称为描述性推理，是运用日常语言，对事物进行描述论证、说理。归纳推理是人根据已掌握的图形知识及观察到的图形变化规律，推导出未观察到的图形知识。关于形式逻辑推理，中小学教材中的几何证明通常都属于形式逻辑推理，需要严谨的逻辑思维推理能力。
（2）几何推理的层次划分
上世纪50年代，荷兰的范希尔夫妇划分的几何思维理论对几何课程具有重要的指导意义，范希尔几何分类理论把几何思维分成以下几个水平[2]。
水平0，视觉。这个阶段儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素（如边、角）；能画图或仿画图形，使用标准或不标准名称描述几何图形；能根据对形状的操作解决几何问题等。水平1，分析。该阶段儿童能分析图形的组成要素及特征，并依此建立图形的特性，利用这些特性解决几何问题，但无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义；能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做图形分类等。水平2，非形式化的演绎。该阶段儿童能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定义及发现的性质做演绎推论。水平3，形式的演绎。该阶段学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素”、“定理”和“公理”的意义，确信几何定理是需要形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必须具备充分或必要条件；能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公理、定义、定理等。水平4，严密性。在这个层次能在不同的公理系统下严谨地建立定理以分析比较不同的几何系统，如欧氏几何与非欧氏几何系统的比较。
范希尔的几何思维理论反映出学生几何能力的发展分为五个水平，学生几何思维水平的发展是循序渐进的，具有从低到高发展的次序性和进阶性，范希尔几何理论是指导几何课程改革和几何教学实践的重要理论依据。几何思维理论怎样才能走进课堂教学实践中？关键在于立足我国数学教育现状，充分了解学生的几何思维水平的情况，并与课标理念相结合才能更好地指导当前的几何课程改革。这样，理论才能具有实质性的指导意义并且才能得到更有效的应用和推广。
二、 研究方法
1.研究工具
本文对几何推理能力的研究主要包含图形推理能力、类比推理能力、自然推理能力、归纳推理能力、逻辑演绎推理能力五种。按照范希尔几何层次各编制15道试题，总计75道题。每道题5分，总分375分，题型设计上都采用选择题，测验时间2小时。试题是经高校从事数学教育的三位专家和二位从事多年一线数学教学工作的中学高级教师商讨确定的。在几何能力各具体因素的几何思维水平划分上采用如下方式：其中每一层次3道试题，每一层次学生正确解答2道试题及以上，就判断学生在该推理方式上到达该层次水平，如果学生仅能够正确做出1道试题及以下，就把该学生的几何层次归属为下一等级。如学生在归纳推理中第四层次上正确解答出2道试题，就认为学生的归纳推理能力达到第四层次，若学生在第四层次上正确解答出1道试题，就判定其归纳推理能力为第三层次。在0层次上无论是否正确解答试题都划归为0层次。
2.取样
本研究从贵阳、兴义、毕节三个城市分别随机抽取农村、城市各一所初中学校，在每所学校八年级里随机抽取一个班级进行测试。本次参加调查的学生人数为751人，其中测试问卷答题无法辨认或无法归属其几何思维发展水平的有59人。如在第一层次水平上没能够正确解答2道题，而在第二层次上能够正确解答2道或3道题。剔除这些样本后，有效试卷692份，有效率92.1%。
3.统计工具
本研究主要采用SPSS13.0对数据进行处理分析。
三、 研究结果
1.八年级学生几何推理能力与范希尔几何思考层次相关性
表1 八年级学生几何推理能力和范希尔几何思维水平相关性分析
“**P
由表1可知，范希尔几何思维水平与学生的几何推理能力成显著的正相关。说明学生的几何推理能力强，几何思维的水平就高。观察学生的几何推理能力各因素，其相互之间也存在显著的相关性，归纳推理和类比推理、自然推理也存在中度的相关性（相关系数分别是0.428、0.437），这说明学生的推理能力是相互影响、相互促进的，发展学生的几何推理能力需要整体考量。
2.不同几何思维水平学生的几何推理能力平均分和标准差
本研究中，对学生几何推理能力划分的主要标准是，若学生在几何推理的五个因素测验上，有三个及以下因素归属某水平，则其几何推理能力归属到下一水平，若有四个或五个因素归属某水平，则几何推理能力就归属某水平。如学生在几何推理能力测验中，归纳推理、类比推理和图形推理都属范希尔几何思维理论2水平，而自然推理、形式逻辑推理归属范希尔几何层次3水平，则其几何推理能力归为范希尔几何层次2水平。学生的几何能力最低划归为0层次水平。八年级学生几何推理能力所处的几何思维水平见表2。
表2不同几何思维水平的学生在几何推理能力方面的具体表现
从表2数据中可以看出，我国八年级学生几何推理能力在思维水平上主要集中在2、3两个层次。这说明，大多数学生具备较好的识别图形能力，能运用基本的公式定理进行简单的演绎推理，但在几何推理中缺乏严密性和规范性。其原因一方面是青少年思维品质受到学生身心发展程度的限制，八年级学生的思维方式具体直观思维占主体地位，抽象思维有所发展，但学生在处理几何问题时容易出现观察图形片面，思维缺乏严密性；另一方面是几何教育课程和教育方式对学生思维的影响，学生解决几何问题时思路狭隘，方法呆板，条件难以有效地利用。
3.学生的几何思维水平对其几何推理能力的影响
（1）不同几何思维水平学生在几何推理能力方面的变异系数分析
表3 几何推理各因素间的变异系数分析
由表3知，不同几何思维水平在几何推理能力方面的表现F值，达到极其显著性水平。这表明，学生的几何推理成绩会因为其几何思维水平的不同而不同。
（2）不同几何思维水平的学生在几何推理能力方面的比较
表4 不同几何思维水平的学生在几何推理能力方面的比较
由表4知，几何思维居于0层次的学生和其它各层次的学生在几何推理能力测验上都会表现出差异；1层次和3层次、4层次在几何推理能力上也会表现出极其显著的差异；2层次和3层次、4层次的学生也会在几何推理能力测验上表现出显著的差异。
四、 结论和建议
本研究表明，八年级学生的几何推理能力和范希尔几何思维水平成正相关，而且存在着交互影响的作用。八年级学生的几何思维水平主要集中在层次2、层次3水平上。不同的几何思维水平在学生的几何推理能力测验上也存在着显著性差异。
因此，在几何教学中应并行发展学生的几何推理能力和提高其几何思维水平。一方面，学生的几何推理能力需要学生能够从整体上把握图形间的结构关系。因此，几何教学时，要重视学生已有的知识经验基础，加强其对图形的感知和辨识，进而要求学生能够自主探索几何图形结构间的关系及其性质，运用螺旋上升的方式帮助学生夯实基础。另一方面，要充分关注学生的几何思维发展层次来组织几何教学。几何教学不但要关注其几何本质和数学特点，更要关注学生不同的思维发展水平，在不同图形的教学中考虑学生的认知基础和思维发展规律的特点，采用循序渐进的方式促使学生的几何思维水平向更高水平发展。
总之，学生的几何思维水映了学生独立分析问题、解决问题能力的强弱，学生的几何推理能力是反映其对数学信息的捕捉，促进学生形成良好的数学行为和习惯的关键。对八年级学生进行几何思维训练，能够促进其几何推理能力的发展，提高学生的几何推理能力也有助于其几何思维层次的提高。学生的几何思维能力和推理能力薄弱会对学生整个学业造成消极影响，消除这种负面的影响，是每一个从事数学教育的工作者的追求。
参考文献
