时间：2024-03-20 10:17:06
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇推理的逻辑形式，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
论文关键词 法律逻辑学 形式逻辑 非形式逻辑
在我国,法律逻辑的研究开始于80年代初期,起步较晚,而且国内学者对国外法律逻辑的研究状况也了解较少。在我国法律逻辑研究的初期阶段,法律逻辑学的主要研究方向是如何把形式逻辑的知识应用到法律当中,法律逻辑的任务在于把形式逻辑的一般原理运用于法学和法律工作中。但随着研究的深入以及学科理论的发展,不少学者认识到把法律逻辑限制在形式逻辑的框架下,不仅阻碍了这一学科的发展,也没能使这一学科发挥出其应有的作用。因此,国内的法律逻辑学教材多呈现出两种趋势,一种是以形式逻辑为框架穿插法律案例,以形式逻辑的推论来解决法律案例中的逻辑问题;另一种是不局限于形式逻辑,而是采用了更多的非形式逻辑的方法来解决法律实践中遇到的难题。在这样的背景下,便产生了法律逻辑学的研究方向的转向。有的学者更多的是从法律的角度出发,把法律思维分为立法和司法两个领域,司法领域中所涉及的推论分为事实推理、法律推理和判决推理。也有的学者更多的是从逻辑学角度出发,认为法律逻辑学研究的主要趋向应该是非形式逻辑的方向。本人认为法律逻辑学是法学和逻辑学的交叉学科,它既是法学的一个分支,又是逻辑学的一个分支,它运用的是逻辑工具,它需要解决的则是法律领域的问题,因此法律逻辑学有着它固有的逻辑基础——形式逻辑,但仅有形式逻辑明显不足以支撑起法律逻辑学的大厦,法律实践中遇到的问题很多还要留给非形式逻辑去解决。
一、形式逻辑与法律逻辑学
法律推理是指运用“情境思维”的方法或“个别化的方法”来解读或解释法律,从已知或假定的法律语境出发判断出法律意思或含义的推论,是一个在法律语境中对法律进行判断或推断的过程。法律推理旨在为案件确定一个可以适用的法律规则即上位法律规范,为判决确立一个法律理由或法律依据即裁判大前提。形式逻辑可以为法律逻辑学提供一定的理论基础,这是毋庸置疑的,运用形式逻辑的方法来解决法律逻辑问题的案例在法律逻辑学教科书中也屡见不鲜:
侦查机关通过一番调查,初步判断:
被害者的上级(B)、妻子(M)、秘书(G)中至少有一人是凶手,但他们不全是凶手。
仅当谋杀发生在办公室里(A),上级才是凶手;如果谋杀不发生在办公室里,秘书不是凶手。
假如使用毒药(C)那么除非妻子是凶手,上级才是凶手;但妻子不是凶手。
毒药被使用了,而且谋杀未发生在办公室里。
问:侦查员的这些判断都是真实的吗?
解决这一问题首先需要把四个命题用形式化的方法表示出来,然后运用自然推理系统PN进行推理,推理过程中如果得出了相互矛盾的结果则说明这些判断不都是真实的,如果得出的结果没有相互矛盾,则证明这些判断都是真实的。这是运用形式逻辑来解决刑事案件的典型例子。从这个例子可以看出,形式逻辑是研究推理的,是一种证明的逻辑,传统法律逻辑运用的是传统逻辑即形式逻辑,可见它解决的是法律推理问题。所谓推理是指由一个推论的序列组成的推论链,其中一个推论的结论是下一个推论的前提;所谓推论是指一组命题,其中一个命题是结论,其他命题是前提;而一个推理序列则组成了论证,其中一个推理的结论充当了下一个推理的前提。可以说,一个论证包含了多个推理,一个推理包含了多个推论。形式逻辑虽然解决了法律推理问题,但是未能解决法律论证问题。
另外,法律推理理论的研究大致有两个方向,一是法律的形式推导,二是法律的实质推导。法律的形式推导是指基于法律的形式理性或逻辑理性进行的法律推理,是基于法律规范的逻辑性质或逻辑关系进行的法律推理。法律的形式推导的结果是法律规范的逻辑后承,是对法律规范进行逻辑判断的结果,是对法律规范进行“形式计算”或“概念计算”的结果。如果要进行法律形式推导,则必定是建立在法律规范含义明确清晰,案件事实确凿清楚,案件所适用的法律规范是确定无疑义的情况下的,这样一来就可以根据法律规范本身的逻辑特性,按照相应的逻辑规则进行推理,这种推理可以运用形式逻辑的的方法,但是这种法律形式推理只适用于较为简易的案件判决。从这里可以看出,形式逻辑确实可以为法律逻辑学提供一定的理论基础。
虽然形式逻辑可以为法律逻辑学的研究提供一定的方法,但是仅仅有形式逻辑时无法满足法律逻辑学发展的需要的。众所周知,能够进入诉讼程序的案件往往不是那么容易就被确认的,控辩双方经常会在法律规范的模糊意义下摆出自己的道理,控辩双方对于案件事实的描述也往往大相径庭,在这种情况下,法官则需要运用法律的实质推导来处理案件。法律的实质推导是指基于实践理性或目的理性以及价值理性进行的法律推理。它是基于法律意图或目的、法律的价值取向、社会效用或社会效益、社会公平正义观念等实质内容对法律展开的推论。在法律出现空隙,法律规范含混不清,相互抵触,“合法”与“合理”相悖的困境等问题上,法律实质推理作出了法律形式推理无法给出的回答。
形式逻辑也有传统和现代之分,传统形式逻辑主要是指亚里士多德三段论理论和斯多葛命题逻辑为主体的形式逻辑,现代形式逻辑主要是指皮尔士、弗雷格、罗素、希尔伯特等人发展起来的数理逻辑或符号逻辑。从形式逻辑本身性质来看,它自身的一些特点决定了它无法完全满足法律逻辑学发展的需要。
首先,我们知道形式逻辑主要研究的是演绎推理的有效性问题,如果想要得到真实可靠的结论,则需两个条件:前提真实并且形式有效,而形式逻辑关心的则是人工语言论证和逻辑系统的有效性,它对前提是否真实则关注不够。一个论证的形式是有效的并不能保证前提是真的。“形式逻辑对论证的评价是从真前提开始,但如何判定前提的真假,这已经超出形式逻辑所讨论的范围。”
其次,在法律事务中遇到的问题往往不像上述例子中那么简单,某些不确定的因素总是包含在法律论证的大、小前提(即法律规范和案件事实)当中,在由前提到结论的推论中,不是单纯的形式逻辑的推演活动,因而这样的推论不可能是像书本例题中的那种简单形式逻辑的操作。作为法律论证大前提的法律规范是基于自然语言的产物,因此难免会受到自然语言多义性、模糊性的影响,导致法官、律师在运用法律规范的过程中产生困扰。
在实际操作中,作为法律推论小前提的案件事实并不总是清晰地摆在人们面前,法官、律师也总是面对不完整的案件事实而进行推理、推论,而形式逻辑所进行的演绎推理必然是在前提充分的条件下进行的,它关注的更多是程序化的论证及人工语言的论证。从这点来看,用形式逻辑来进行法律推论显然是力不从心的。
再次,形式逻辑所研究的命题都是事实命题,是有真值的对象,形式逻辑对事实命题做出的非此即彼的评价是形式逻辑二值性的充分体现。但是在法律文本中有较多的命题并非事实命题,而是如“外国人入境,应当向出入境边防检查机关交验本人的护照或者其他国际旅行证件、签证或者其他入境许可证明,履行规定的手续,经查验准许,方可入境。(中华人民共和国出境入境管理法第二十四条)”这一类的规范命题或价值命题,这类命题的性质无所谓真假,它们也不充当演绎推理的前提和结论,这类命题显然已经超出了形式逻辑的研究范围。形式逻辑并不专门以法律领域中的推理与论证为对象,没有涵盖法律思维领域里的全部推理与论证。
第四,《牛津法律大辞典》指出:“法律推理是对法律命题的一般逻辑推理”,包括演绎推理、归纳推理和类比推理。法律思维中涉及了大量的归纳推理、类比推理、语境推理等,这些都属于非演绎推理的范畴,而形式逻辑对非演绎推理的研究十分粗糙,无法满足法律思维的实践,因此形式逻辑无法有效地评价、规范全部法律思维。
二、法律逻辑学的研究方向——非形式逻辑
非形式逻辑兴起于上个世纪60年代,到目前为止,它还没有一个完全统一公认的概念,现任《非形式逻辑》杂志主编拉尔夫·约翰逊(RalphH.Johnson)和安东尼·布莱尔(J.AnthonyBlair)提出:“非形式逻辑是逻辑的一个分支,其任务是讲述日常生活中分析、解释、评价、批评和论证建构的非形式标准、尺度和程序”。这个定义被认为是当今流行的定义。从这个定义中可以看出,非形式逻辑的研究对象是日常生活的语言,也就是自然语言,这一点恰恰迎合了法律逻辑学以自然语言为文本的的特性。
非形式逻辑之所以是“非形式的”,这主要是因为它不依赖于形式演绎逻辑的主要分析工具——逻辑形式的概念,也不依赖于形式演绎逻辑的主要评价功能——有效性。非形式逻辑在这方面与形式逻辑形成了良好的互补,形式逻辑研究论证主要是基于语义的研究,即真假命题之间的关系研究;而非形式逻辑研究论证主要是基于语用的研究,即从语境和论证目的角度进行研究,正是这一点成为了法律逻辑学与非形式逻辑的完美联姻。在法律逻辑学中,与法律形式推导对应的是法律实质推导,法律实质推导是指基于实践理性或目的理性以及价值理性进行的法律推理,是基于法律意图或目的、法律的价值取向、社会效用或社会利益、社会公平正义观念等实质内容之间的关系对法律展开的推论,可分为法律的目的推导和价值推导。法律实质推导是基于目的蕴涵和价值蕴涵,而不是基于形式蕴涵,因此它应当有不同于法律形式推导的框架,而非形式逻辑从语境和论证目的角度进行研究就为法律实质推导提供了工具。
关键词：范畴三段论推理；信念偏差效应；指导语；任务难度
中图分类号：B849 文献标志码：A 文章编号：1002-2589（2012）14-0049-02
一、范畴三段论
范畴三段论推理在人们对思维的研究中占有重要地位，引发了大量的研究。在形式逻辑中，范畴三段论是指由两个包含着共同项的性质命题为前提而推出一个新的性质的命题为结论的推理[1]103。一个范畴三段论传统的包括三个陈述：包括四种量项中的一种AEIO。这些量项决定陈述的式。A代表全称肯定，E代表全称否定，I代表特称肯定，O代表特称否定。项的顺序可以有多种呈现方式，可以产生四种格中的一种。可以产生AB-BC；BA-CB；AB-CB；BA-BC这四种格。在这里格是前提和结论同时呈现的。诸如，所有的艺术家都是养蜂人；所有的养蜂人都是化学家。至此，如果我们要问：所有的艺术家都是化学家吗？上面三段论的形式是AAA,格是AB-BC。通过这种方式来定义格，结论的顺序也是相关的，在这个例子中是A-C。前提和结论的格与式决定着三段论的有效性。前提决定他们是否支持一个有效结论，是否是从前提中必然的推出。
二、信念偏差效应
自1928年Wilkins开始对信念偏差效应进行研究以来，许多研究者开展了实验研究，确认了信念偏差效应的基本表现形式，并尝试对信念偏差效应发生的基本机制进行解释。对范畴三段论进行研究的过程中，意识到人们的实际推理活动不仅仅受到推理问题的逻辑形式的影响，还受到与逻辑形式相互独立的一些因素的影响。内容效应指面对具有相同逻辑形式的推理问题时，我们采用不同的具体内容，人们的正确率会发生很大的变化。内容对演绎推理的影响存在两种方向，促进或抑制对问题的逻辑解决。信念偏差效应是内容效应的一个主要的表现形式。信念偏差效应是指人们在评价结论的有效性或推出结论时，常常受到已有知识经验或者信念影响，表现出接受可信结论，拒绝不可信结论的倾向[1]126。
Evans对信念偏差效应研究作出了巨大的贡献，他们确认了信念偏差的一般表现形式，第一，不可信结论与可信结论相比，被试倾向接受可信结论，表明被试在进行推理的时候受到信念或已有知识经验的影响。第二，推理结论的可信性与逻辑有效性之间存在交互作用，结论的可信性对无效推理的效应大于对有效推理的效应。此外，逻辑无效结论与逻辑有效结论相比，被试更加倾向接受逻辑有效的结论[2]。这个实验结果得到后来一系列实验研究的验证。
三、指导语对信念偏差效应的影响
当我们在对范畴三段的信念偏差效应进行研究的时候存在两种不同的指导语形式。一种是基于信念的指导语，一种是基于逻辑的指导语。当我们采用基于信念的指导语进行研究的时候，是让人们根据已有的信念，即根据你在现实生活中积累的知识经验，判断能否得出此结论。所以人们在进行推理的时候是基于自己已有的知识经验，常常会表现出接受可信结论，而拒绝不可信结论的倾向。这样就会导致信念偏差效应的出现。还会对信念偏差效应产生促进的作用。当我们采用基于逻辑的指导语进行研究的时候，是要求人们判断能不能从前面的两个前提中合乎逻辑地得出后面的结论。即根据逻辑有效性来判断是否能够得出结论。由于是根据逻辑进行判断，所以人们在做出判断的时候是基于逻辑的，可以减少信念偏差效应的影响，但是还是不能够完全的消除信念偏差效应的影响。这样就可以抑制信念偏差效应的出现。
Evans等的研究发现在可能性指导语下被试对结论的接受率要显著高于必然性指导语下被试对结论的接受率；指导语和问题类型的交互作用显著，不确定无效的可能性弱的问题在必然性指导语下的接受率显著低于可能性指导语下的接受率。然而在Evans等的研究对于不确定无效问题又被分成了可能性强问题和可能性弱问题。在他的文章中又涉及了积极效应、消极效应和两种不同的指导语，一种指导语是可能性指导语，一种是必然性指导语。然而积极效应和消极效应是对信念偏差形式的一种具体的划分。积极效应（接受更多的可信结论）指不经常犯的错误当结论可信时却出现了；消极效应（拒绝更多不可信的结论）指经常犯的错误当结论不可信时被抑制了。在Evans等的研究中得出这种积极效应、消极效应和采用何种指导语之间没有交互作用。积极效应、消极效应和问题的类型出现了交互作用，在不确定无效的可能性弱的问题上出现了积极效应；在不确定无效的可能性弱的问题上出现了消极效应[2]。
四、任务难度对信念偏差效应的影响
为了解释信念偏差效应，区分多模型、单模型问题是有必要的。根据心理模型理论根据可以建构模型的数量把范畴三段论分成了单模问题和多模问题。在解决三段论问题时，只可以构建一个心理模型的三段论问题就是单模型问题。可以建构两个或者两个以上心理模型的三段论问题就是多模型问题。单模问题是一种简单的三段论问题。诸如，所有的梨树都是细阅；所有的细阅都是动物；因此，所有的梨树都是动物。多模问题是一种复杂的三段论问题。诸如，所有的哺乳动物都不是位真；有些猩猩是位真；因此有些哺乳动物不是猩猩。这里所提到的位真和细阅是无意的中项[3]。由于难度低的单模型任务只需要建构一个心理模型，所以他很少会出现信念偏差效应。而难度大的多模型任务需要建构两个以上的心理模型，很容易就会出现按照已有的知识经验来做出判断，而不是按照逻辑有效性进行判断。Evans等人的实验中表明：所有谬误的产生至少是在三段论能够建构两个心理模型的推理中。他认为只有在难度大的问题上才会出现谬误，也就是难度大的问题比难度小的问题容易出现信念偏差。
胡竹菁采用非必然性的指导语时，当被试同时面对推理形式和推理内容，如果被试对推理形式掌握比较好，那么他就会按照推理的形式回答；如果被试对推理内容掌握比较好，那么他就会按照推理的内容回答；如果被试对推理的内容和形式掌握的差不多，两种标准均有一半的人采用[4]。单模型的任务就是一种形式很好掌握的任务，所以基本不会出现信念偏差效应。然而对于多模型的问题，他的形式就比较地难掌握，而他的内容则要比他的形式好掌握许多。所以比较容易出现信念偏差效应。
五、生成结论的范式对信念偏差效应的影响
三段论推理任务中的推理评估任务范型中发现了信念偏差效应，没有发现格效应。而在产生式范型中发现了格效应，没有发现信念偏差效应。所以我们在对三段论的信念偏差效应进行研究的时候都是采用的结论评估范式而不是采用结论生成范式。结论的评估范式是指：在进行三段论推理的时候采用给出两个前提的同时给出一个结论，让被试来判断这个结论是否能够得出。然而结论的生成式是指：在进行三段论推理的时候只给出两个前提，而不给出结论，要被试自己从前提得出结论。这样他们两个在进行推理时候的心理活动是不同的。他们所进行的推理方向刚好相反。一个是正向的推理，一个是反向的推理。
六、两种理论对信念偏差效应的解释
强调推理过程中的逻辑加工以Braine等人的心理逻辑最有名。该理论认为，人们在推理过程中将逻辑规则运用于心理操作，即人们在推理中首先将前提转化成相似的心理表征，使其逻辑形式明确化，进而将逻辑规则运用于这些表征，得出结论。尽管这一假设被许多心理学家认同，但一直没有得到实验证据支持。与心理逻辑假设相对的一些理论认为，人们进行范畴三段论的推理的过程似乎与形式逻辑规则是没有关系的。这些相对的理论中以Johnson—Larid等的心理模型理论影响最大。该理论认为演绎推理要经过三个阶段才能够完成。首先，推理者利用已有的知识或者经验对前提加以理解，建构一个前提所描述内容的心理模型。然后，在所建构的心理模型的基础上得出某个结论；如果模型不能够提供结论，推理者就会得出前提得不出任何结论的判断。最后，通过建构其他可能的模型来对得到的结论验证，如果找不到其他可能的模型，那么就接受在第二步时得到的结论，如果可以建构其他可能的模型，就回到第二阶段试图发现是否存在所建构的模型中都正确的结论，这样反复下去，穷尽全部可能的模型。该理论认为演绎推理的难度是由所能够建构的心理模型的数量来决定，并推断推理者的错误结论是根据某些可能的模型得出，并没有能够穷尽所有的模型。同时认为，人们所持有的知识或者信念会影响演绎推理的加工，如果得出的结论令人难以相信，人们就会努力寻找其他可能的模型。我们需注意的是，最近的证据表明人们在进行三段论推理时，倾向接受在头脑中出现的第一个结论，很少去证明有效性。
七、结语
无论你采用何种指导语都不能够完全的消除信念偏差效应，但是采用逻辑必然性指导语的时候可以减轻信念的影响。简单的三段论推理中的信念偏差效应比较的小，在难度较大的三段论推理中，信念偏差效应较大。在使用结论的生成范式时，基本不会出现信念偏差效应。然而采用结论评估范式时，容易出现信念偏差效应。心理模型理论可以对信念偏差效应很好地进行解释，然而心理逻辑理论并不能够对信念偏差效应很好地进行解释。
参考文献：
[1]胡竹菁.人类推理的心理学研究[M].北京:高等教育出版社,2007.
[2]Jonathan,St.B.T.Evans,Simon,J.Handley,& Catherine,N.J.Harper.Necessity,possibility and belief:A study of syllogistic reasoning[J].The quarterly journal of experiental psychology,2001,54,935-958.
论文摘要：逻辑学是研究推理的一门学问，而推理是由概念、命题组成的，不懂得命题就不懂得推理。普通逻辑学在研究命题时，主要是从二值逻辑的角度研究命题逻辑形式的逻辑值与命题形式之间的真假关系。本文着重从认识论的角度阐述逻辑真理的内涵，同时详细论述逻辑真理与事实真理的区别。为了探求真理必须保证思维的逻辑性。
逻辑学离不开“真”这个概念。一般来说人们是从下述意义上使用“真”这个概念的：
（一）前提或者命题真。这种真是指命题的思想内容是真的。任何一个命题的内容不是真的就是假的，在这里真或假不是用以描述事物状态的，而是评价命题或陈述的内容的。它的核心是针对其所表达的知识或信念的，例如：“台湾不是一个主权国家。”这个命题的内容是符合客观事实的，所以是个真命题。
（二）推理真。这是指推理中前提真和结论真之间的关系。演绎推理前提真结论必然真，归纳推理和类比推理前提真而结论是或然性真。因此推理真就是推理中的结论相对于前提是必然的真或者是或然的真。这里“真”指的是否再现逻辑推断关系而不是对命题内容的评价。
（三）指派真和赋值真。在逻辑学中（特别是在现代逻辑中）把命题形式当作真值形式，而且只从真假的角度研究每一种命题形式的逻辑特征，真和假是命题的唯一属性。逻辑真在这里指这些真值形式和其中的变项与公式的真假，这时的真假和具体命题内容的真假无关，而只是一种假定的真假和根据这种假定而推论出的真假。
（四）形式真。这是指永真式（重言式）或普遍有效式的真。逻辑学中有一类公式，对其中的变项可以代以任何命题、谓词、个体词总能得到真命题。这类公式的真是一种逻辑关系的真，例如：P或者非P中不管变项P赋真值或是假值，这个公式都是真的。
（五）系统真。现代逻辑建立了形式系统，如果它的定理都是形式真，即都是永真公式或是普遍有效式，那么整个系统便是可靠的和一致的，这种可靠性和一致性就是一种系统的真。
在以上这五种“真”的情况下，逻辑学不考虑第一种意义的“真”，而只关注后四种“真”。后四种“真”在逻辑学中有各种表现，在其他科学中也有这些意义上的真的表现，就被称为逻辑真理。
所谓逻辑真理是一种特殊的真理，是一种因逻辑关系或逻辑原因而成为真的一种真理。逻辑真理不能凭经验而得知其为真，它需要我们借助逻辑分析、语义分析、关系分析确定它们是真的。它和我们日常生活中所说的真理是有区别的。
恩格斯认为：全部哲学特别是近代哲学的重大基本问题，是思维与存在的关系问题。它包括两个方面的问题，一方面是思维与存在何者为本原的问题；另一方面是思维和存在有无同一性的问题，也就是我们的思维能否认识现实或者正确地反映现实世界的问题。从逻辑哲学的角度来看，其重大的基本问题就是逻辑与客观现实的关系问题，任何逻辑学家都要回答：逻辑真理是否与客观现实一致？逻辑真理与事实真理之间又有什么关系？
关于这个理论问题，亚里士多德在其所著《形而上学》一书中明确提出并详细论述了逻辑基本规律（矛盾律与排中律）。在谈到矛盾律时认为，事物不能同时存在又不存在。矛盾律首先是存在的规律。它之所以能够成为逻辑思维的基本规律，是因为它符合“事理”。亚里士多德肯定了逻辑规律与存在规律的一致性，其根据就是真理符合现实的理论，即所谓真理符合论。它在解释真与假这对概念时说，凡以不是为是、是为不是者，这就是假的；凡以实为实、以假为假者这就是真的。按照真理符合论，一切真理必需与现实一致，逻辑真理也不能例外。可见亚里士多德的真理观，是唯物主义的一元论，这个真理论肯定了思维与存在的同一性。但是亚里士多德只强调逻辑真理与存在规律的一致性，却忽视了逻辑真理的特殊性。
莱布尼兹是现代逻辑的创始人。他第一个提出了用数学方法研究逻辑学中的推理问题，对亚里士多德的真理一元论提出了挑战。他认为有两种真理：即推理的真理和事实的真理。推理的真理是必然的，事实的真理是偶然的。推理的真理不像事实真理那样依赖于经验，它们的证明只能来自所谓的天赋的内在原则。因此莱布尼兹的这种观点，就成为真理二元论和逻辑真理先验论的一个起源。
基于莱布尼兹的推理真理和事实真理的对立，在康德的哲学中就演变为分析判断和综合判断的分歧。康德认为一切来源于经验的判断都是综合判断；分析判断是绝对独立于一切经验的知识，即先天知识。例如：“白人是人”就是分析判断，在康德看来表示逻辑规律的判断就属于分析判断。
数理逻辑问世之后，逻辑哲学领域中出现了维特根斯坦学派，即以维也纳小组为核心的逻辑实证主义者。他们的一个共同的工作就是利用数理逻辑的成果，发展从莱布尼兹到康德的真理二元论和逻辑真理的先验论，使之获得科学化的外观和现代化的形式。维特根斯坦把逻辑真理称为重言式。他认为重言式的命题是无条件的真，由此他断言，重言式既不能为经验所证实，同样的也不能为经验所否定，也就是说与现实没有任何描述关系。逻辑实证主义者进一步把康德关于分析判断和综合判断的区分推向极端。在他们看来，凡是先天的都是分析的；反之，凡分析的都是先天的。逻辑实证主义者确立了一个基本的哲学信条：分析真理与综合真理有根本的区别。这个学派的主要代表卡尔纳普认为，哲学家们常常区分两类真理，某些陈述的真理是逻辑的、必然的、根据意义而定的，另一些陈述的真理是经验的、偶然的、取决于世界上的事实的。前一类推理就是所谓的分析推理，后一类推理就是所谓的综合推理。逻辑真理被看作是分析真理的一个特殊的真子集。
1933年塔尔斯基以形式化的方法给出了真理的语义学概念，他用非形式化方法对其语义学的成果作出概述。他认为逻辑真理同其他真理一样，必需与客观现实相符合或者相一致，在形式语言中，一个语句是不是逻辑真理，取决于它是不是在每一种解释下都成为真语句；同时一个语句在某一解释下是否为真，取决于它在这一解释下，是否与它所“谈论的对象”相一致。可见逻辑真理的概念直接依赖于形式语言中的语句，与它们所描述的客观现实之间的符合关系，这说明它的逻辑真理或者分析真理并非先验的真或者先天的真，它们为真同样是因为它们与现实相符合。塔尔斯基重新建立了真理符合论，表明一切真理包括事实真理和逻辑真理，它们的共同特征就是必需与客观现实相符合。
综上所述，我们可以看出亚里士多德提出的真理符合论，肯定了逻辑真理与存在规律的一致性，但是忽视了它们之间的差别。莱布尼兹、康德、维特根斯坦和逻辑实证主义者认为，逻辑真理和现实绝对无关，与事实真理根本不同。塔尔斯基主张真理必需以亚里士多德的真理符合论为基础，而且只能以形式语言来构造，这种观点有一定的局限性。
认识论认为，真理是客观事物及其规律在人们思维中的正确反映。同样逻辑真理也是客观世界规律性的反映。列宁指出，人的实践经过千百万次的重复，它在人的意识中以逻辑的格固定下来，而最普遍的逻辑格，就是事物被描述的很幼稚的……最普遍的关系。列宁认为逻辑的公理、正确的推理形式是事物最普遍的关系，是由人们实践中千百万次的重复而反映和巩固在意识中。列宁说的最普遍的逻辑格是指三段论推理的正确形式。在这一点上我们说逻辑真和事实真是相容的，事实真是基础，逻辑真是建立在事实真基础之上的，二者是一致的，但是逻辑真理与任何具体的经验事实无关。
第一，逻辑系统的公理和定理的真是逻辑系统设定，其为真的根据是某种初始的逻辑关系。第二，逻辑公理和定理经过解释的真命题，其为真不取决于解释中的内容，而取决于这些公理、定理所显示的逻辑关系。第三，逻辑推断关系这种推论的结论真是一种逻辑关系真。第四，根据逻辑联系词的性质，由逻辑真得到逻辑真。如：A、B是逻辑真命题，那么A并且B、如果A那么B都是逻辑真命题。第五，数学中的逻辑真命题，是建立在公理演绎基础之上。以上这些逻辑真由于逻辑的原因或者逻辑关系而真，在这一点上我们可以说，在局部意义上，相对于特定的逻辑系统而言，逻辑真理可以说是分析的，是以逻辑意义为根据的，而与任何具体的经验事实无关。 转贴于
摘要：逻辑学是研究推理的一门学问，而推理是由概念、命题组成的，不懂得命题就不懂得推理。普通逻辑学在研究命题时，主要是从二值逻辑的角度研究命题逻辑形式的逻辑值与命题形式之间的真假关系。本文着重从认识论的角度阐述逻辑真理的内涵，同时详细论述逻辑真理与事实真理的区别。为了探求真理必须保证思维的逻辑性。
逻辑学离不开“真”这个概念。一般来说人们是从下述意义上使用“真”这个概念的：
（一）前提或者命题真。这种真是指命题的思想内容是真的。任何一个命题的内容不是真的就是假的，在这里真或假不是用以描述事物状态的，而是评价命题或陈述的内容的。它的核心是针对其所表达的知识或信念的，例如：“台湾不是一个国家。”这个命题的内容是符合客观事实的，所以是个真命题。
（二）推理真。这是指推理中前提真和结论真之间的关系。演绎推理前提真结论必然真，归纳推理和类比推理前提真而结论是或然性真。因此推理真就是推理中的结论相对于前提是必然的真或者是或然的真。这里“真”指的是否再现逻辑推断关系而不是对命题内容的评价。
（三）指派真和赋值真。在逻辑学中（特别是在现代逻辑中）把命题形式当作真值形式，而且只从真假的角度研究每一种命题形式的逻辑特征，真和假是命题的唯一属性。逻辑真在这里指这些真值形式和其中的变项与公式的真假，这时的真假和具体命题内容的真假无关，而只是一种假定的真假和根据这种假定而推论出的真假。
（四）形式真。这是指永真式（重言式）或普遍有效式的真。逻辑学中有一类公式，对其中的变项可以代以任何命题、谓词、个体词总能得到真命题。这类公式的真是一种逻辑关系的真，例如：P或者非P中不管变项P赋真值或是假值，这个公式都是真的。
（五）系统真。现代逻辑建立了形式系统，如果它的定理都是形式真，即都是永真公式或是普遍有效式，那么整个系统便是可靠的和一致的，这种可靠性和一致性就是一种系统的真。
在以上这五种“真”的情况下，逻辑学不考虑第一种意义的“真”，而只关注后四种“真”。后四种“真”在逻辑学中有各种表现，在其他科学中也有这些意义上的真的表现，就被称为逻辑真理。
所谓逻辑真理是一种特殊的真理，是一种因逻辑关系或逻辑原因而成为真的一种真理。逻辑真理不能凭经验而得知其为真，它需要我们借助逻辑分析、语义分析、关系分析确定它们是真的。它和我们日常生活中所说的真理是有区别的。
恩格斯认为：全部哲学特别是近代哲学的重大基本问题，是思维与存在的关系问题。它包括两个方面的问题，一方面是思维与存在何者为本原的问题；另一方面是思维和存在有无同一性的问题，也就是我们的思维能否认识现实或者正确地反映现实世界的问题。从逻辑哲学的角度来看，其重大的基本问题就是逻辑与客观现实的关系问题，任何逻辑学家都要回答：逻辑真理是否与客观现实一致？逻辑真理与事实真理之间又有什么关系？
关于这个理论问题，亚里士多德在其所著《形而上学》一书中明确提出并详细论述了逻辑基本规律（矛盾律与排中律）。在谈到矛盾律时认为，事物不能同时存在又不存在。矛盾律首先是存在的规律。它之所以能够成为逻辑思维的基本规律，是因为它符合“事理”。亚里士多德肯定了逻辑规律与存在规律的一致性，其根据就是真理符合现实的理论，即所谓真理符合论。它在解释真与假这对概念时说，凡以不是为是、是为不是者，这就是假的；凡以实为实、以假为假者这就是真的。按照真理符合论，一切真理必需与现实一致，逻辑真理也不能例外。可见亚里士多德的真理观，是唯物主义的一元论，这个真理论肯定了思维与存在的同一性。但是亚里士多德只强调逻辑真理与存在规律的一致性，却忽视了逻辑真理的特殊性。
莱布尼兹是现代逻辑的创始人。他第一个提出了用数学方法研究逻辑学中的推理问题，对亚里士多德的真理一元论提出了挑战。他认为有两种真理：即推理的真理和事实的真理。推理的真理是必然的，事实的真理是偶然的。推理的真理不像事实真理那样依赖于经验，它们的证明只能来自所谓的天赋的内在原则。因此莱布尼兹的这种观点，就成为真理二元论和逻辑真理先验论的一个起源。
基于莱布尼兹的推理真理和事实真理的对立，在康德的哲学中就演变为分析判断和综合判断的分歧。康德认为一切来源于经验的判断都是综合判断；分析判断是绝对独立于一切经验的知识，即先天知识。例如：“白人是人”就是分析判断，在康德看来表示逻辑规律的判断就属于分析判断。
数理逻辑问世之后，逻辑哲学领域中出现了维特根斯坦学派，即以维也纳小组为核心的逻辑实证主义者。他们的一个共同的工作就是利用数理逻辑的成果，发展从莱布尼兹到康德的真理二元论和逻辑真理的先验论，使之获得科学化的外观和现代化的形式。维特根斯坦把逻辑真理称为重言式。他认为重言式的命题是无条件的真，由此他断言，重言式既不能为经验所证实，同样的也不能为经验所否定，也就是说与现实没有任何描述关系。逻辑实证主义者进一步把康德关于分析判断和综合判断的区分推向极端。在他们看来，凡是先天的都是分析的；反之，凡分析的都是先天的。逻辑实证主义者确立了一个基本的哲学信条：分析真理与综合真理有根本的区别。这个学派的主要代表卡尔纳普认为，哲学家们常常区分两类真理，某些陈述的真理是逻辑的、必然的、根据意义而定的，另一些陈述的真理是经验的、偶然的、取决于世界上的事实的。前一类推理就是所谓的分析推理，后一类推理就是所谓的综合推理。逻辑真理被看作是分析真理的一个特殊的真子集。
1933年塔尔斯基以形式化的方法给出了真理的语义学概念，他用非形式化方法对其语义学的成果作出概述。他认为逻辑真理同其他真理一样，必需与客观现实相符合或者相一致，在形式语言中，一个语句是不是逻辑真理，取决于它是不是在每一种解释下都成为真语句；同时一个语句在某一解释下是否为真，取决于它在这一解释下，是否与它所“谈论的对象”相一致。可见逻辑真理的概念直接依赖于形式语言中的语句，与它们所描述的客观现实之间的符合关系，这说明它的逻辑真理或者分析真理并非先验的真或者先天的真，它们为真同样是因为它们与现实相符合。塔尔斯基重新建立了真理符合论，表明一切真理包括事实真理和逻辑真理，它们的共同特征就是必需与客观现实相符合。
综上所述，我们可以看出亚里士多德提出的真理符合论，肯定了逻辑真理与存在规律的一致性，但是忽视了它们之间的差别。莱布尼兹、康德、维特根斯坦和逻辑实证主义者认为，逻辑真理和现实绝对无关，与事实真理根本不同。塔尔斯基主张真理必需以亚里士多德的真理符合论为基础，而且只能以形式语言来构造，这种观点有一定的局限性。
关键词：离散数学;存在量词;规则
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1002-4107（2015）12-0003-02
离散数学是计算机科学与技术、软件工程等本科专业的一门基础课程，而数理逻辑是离散数学课程中的一个重要组成部分，对提高学生理解和构造数学证明的能力以及培养学生的计算思维（computational thinking）具有重要作用[1-2]。
命题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑教学内容中的两个部分。一阶谓词逻辑通过引入量词来表达个体与总体之间的内在联系与数量关系[3]，从而克服了命题逻辑中无法表达数量关系的局限性。
量词包括全称量词和存在量词。全称量词表达个体域中的所有个体，通常用符号“ ”表示;存在量词表达个体域中的单个个体，通常用符号“ ”表示。一般用小写字母a、b、c等符号表示个体常元，用小写字母x、y、z等符号表示个体变元，用大写字母A、B、C、P、Q、R等符号表示谓词。在谓词公式 xP（x）或 xP（x）中，x是约束变元，也称变元x是约束出现，这时的P（x）称为 x或
x的辖域;如果谓词公式Q（y）中不存在变元y的约束出现，则称变元y在Q（y）中自由出现，或称y是自由变元。在谓词公式 x yP（x，y）或 x yP（x，y）中，变元x在 x或 x的辖域内是约束出现，但在 y或 y的辖域内是自由出现。
一阶谓词逻辑推理系统除了具有与命题逻辑推理中一样推理规则之外，还有4条与量词的引入和消去有关的规则，分别是全称量词引入规则（简记为 +或UG）、全称量词消去规则（简记为 -、UI或US）、存在量词引入规则（简记为 +或EG）、存在量词消去规则（简记为 -、EI或ES）。量词引入也称为量词泛化，量词消去也称为量词实例化或指定。这4条与量词有关的引入和消去规则极大地丰富了一阶谓词逻辑推理的表达能力。
在量词引入规则和量词消去规则的教学中，保证量词引入规则以及量词消去规则的内容与形式的统一性对学生正确理解和接受推理规则及推理过程具有重要作用，否则容易引起学生理解上的困惑。
一、现有的规则
我们以文献[3]中关于存在量词引入规则（ +或EG）和存在量词消去规则（ -、EI或ES）为例进行说明。文献[3]是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，具有代表性。在文献[3]中给出的全称量词引入规则和全称量词消去规则的内容与形式是统一的，不存在理解上的困惑。
文献[3]给出的存在量词引入规则（ +或EU）形式为：
或 （1）
以及
或 （2）
其中，x、y是个体变元符号，c是个体常元符号。应用该规则的前提要求是：在谓词公式A中，变元y不在 x和 x的辖域内自由出现，常元c不在 x和 x的辖域内出现。
在上述式（1）这对表述中，第一个表述成立的依据是公式A（c） xA（x）永真，因此有A（c） xA（x）;第二个表述成立的依据是假言三段论规则：（BA（c））∧（A（c） xA（x）） B xA（x）。式（2）的情形类似。 我们看到，这个规则称为“存在量词引入规则”，其推理结果在形式上也体现了存在量词 ，规则的内容与符号形式是统一的，学生易于理解和接受。
然而，文献[3]给出的存在量词消去规则（ -或EI）的形式为：
或 （3）
以及
或 （4）
其中，y是个体变元符号，c是个体常元符号，应用该规则的前提要求是：变元y不在推理的任何前提公式以及谓词公式B中自由出现，常元c不在推理的任何前提公式以及谓词公式 xA（x）及B中出现。
我们看到，在这个称为“存在量词消去规则”的推理结果形式中反而出现了存在量词 ，使得规则的内容与符号形式不统一，导致学生理解上的困惑。
实际上，在上述式（3）这对表述中，第一个表述可以当作一条存在量词引入规则;该表述成立的依据是假言三段论规则：
（ xA（x）A（c））∧（A（c）B） xA（x）B。其中，常元c是满足谓词公式 xA（x）的个体。
而式（3）中的第二个表述在本质上不是消去存在量词，而是得出结论B，其成立的依据实质上是假言推理规则，即：
（ xA（x）A（c））∧（ xA（x）） A（c）
以及
A（c）∧（A（c）B） B。
其中，常元c是满足谓词公式 xA（x）的个体。因此，在该规则描述中的第二个表述其实是不必要的，可以从该规则中删去。
类似地，在式（4）这对表述中，第一个表述也可以当作一条存在量词引入规则;考虑到变元y的任意性，该表述成立的依据是假言推理规则（ xA（x）A（c））∧
（ xA（x）） A（c）、化简规则A（y）B A（c）B以及假言三段论规则（ xA（x）A（c））∧（A（c）B） xA（x）B 。
其中，常元c是满足谓词公式 xA（x）的个体。
式（4）中的第二个表述在本质上也不是消去存在量词，而是得出结论B，其成立的依据实质上是假言推理规则（ xA（x）A（c））∧（ xA（x）） A（c）、化简规则A（y）B A（c）B以及假言推理规则A（c）∧（A（c）B）
B。其中，常元c是满足谓词公式 xA（x）的个体。因此，该表述其实也是不必要的，可以从该规则中删去。
二、修改后的规则
为了保证规则内容与形式的统一性，我们可以将式（3）的第一个表述以及式（4）的第一个表述纳入到存在量词引入规则中，这种做法
其中，x、y是个体变元符号，c是个体常元符号。应用该规则的前提要求是：应用式（5）或（7）时要求常元c、变元y分别不在公式A中 x和 x的辖域内出现和自由出现;应用式（6）或（8）时要求常元c、变元y分别不在公式A中 x和 x的辖域内、公式B以及推理的任何前提公式中出现和自由出现。
在修改后的存在量词引入规则（ +或EU）中，式（5）的第二个表述和式（7）的第二个表述可以看成是在蕴含式的后件引入存在量词的情形，式（6）和式（8）的表述可以看成是在蕴含式的前件引入存在量词 的情形。这些表述具有内容与形式的统一性，便于学生理解和记忆，可以根据不同情形选择使用。
那么，存在量词消去规则应具有怎样的形式呢？我们可如下表述存在量词消去规则（ -、EI或ES）：
其中，c是个体常元符号。应用该规则前二个表述的前提要求是：常元c是满足公式 xA（x）的个体。
在修改后的存在量词消去规则（ -、EI或ES）中，当常元c是满足公式 xA（x）的个体时，式（9）中第一个表述成立的依据是公式 xA（x）A（c）为永真式，因此有
xA（x） A（c）;第二个表述成立的依据是假言三段论规则：
（B xA（x））∧（ xA（x）A（c）） BA（c）。第三个表述成立的依据是假言三段论规则：
（A（c） xA（x））∧（ xA（x）B） A（c）B 。
与对修改后的存在量词引入规则（ +或EU）形式的看法类似，在修改后的存在量词消去规则（ -、EI或ES）中，第二个表述可以看成是在蕴含式的后件消去存在量词 的情形，第三个表述可以看成是在蕴含式的前件消去存在量词 的情形，这样更便于学生理解和记忆。修改后的存在量词消去规则（ -、EI或ES）也是对文献[4]中对应规则的进一步扩充。
综上所述，在一阶谓词逻辑推理中，我们应保证规则的内容与形式的统一性，使学生正确理解和接受相应的推理规则，合理构造推理过程，从而有利于培养学生的计算思维能力以及提高学生的推理能力。
参考文献：
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高等教育出版社，2015：60，81.
【关键词】逻辑/广义与狭义/一元论/多元论/工具主义
【正文】
一、广义的逻辑与狭义的逻辑
什么是逻辑？要清楚明确地回答这一问题，要将各种各样冠以“逻辑”的学科都统一在一个明确清晰的“逻辑”的定义之下，这是很困难的，甚至是不可能的。
不妨先对逻辑发展史作一简单考察。
在西方，公元前4世纪，古希腊哲学家亚里士多德集其前人研究之大成，写成了逻辑巨著《工具论》（由亚氏的六部著作编排而成：《范畴篇》、《解释篇》、《前分析篇》、《后分析篇》、《论辩篇》、《辨谬篇》）。虽然在亚氏的著作中他并没有明确地使用“逻辑”这一名称，也没有明确地以“逻辑”这一术语命名其学说，但是，历史事实是，亚氏使形式逻辑从哲学、认识论中分化出来，形成了一门以推理为中心，特别是以三段论为中心的独立的科学。因此，可以说，亚里士多德是形式逻辑的创始人。
亚氏之后，亚里士多德学派即逍遥学派和斯多葛学派都以不同形式发展了亚氏的形式逻辑理论——逍遥学派的德奥弗拉斯特和欧德慕给亚里士多德逻辑的推理形式增补了一些新的形式与内容，提出了命题逻辑问题，斯多葛学派克里西普斯等人则构造了一个与亚里士多德词项逻辑不同的命题逻辑理论。
弗兰西斯·培根是英国近代唯物主义哲学家，也是近代归纳逻辑的创始人，他在总结前人归纳法的基础上，在批判了经院逻辑和亚里士多德逻辑之后，以其古典归纳逻辑名著《新工具》为标志，奠定了归纳逻辑的基础。
18-19世纪，德国古典哲学家康德、黑格尔等，对人类思维的辩证运动与发展进行了深入研究，建立了另一种新的思辩逻辑——辩证逻辑。
与此同时，以亚里士多德逻辑为基础的形式逻辑在发展与变化中也进入了新的阶段——数理逻辑阶段。数理逻辑也称符号逻辑，或谓狭义的现代逻辑，奠基人是德国哲学家、数学家莱布尼兹。他主张建立“表意的、普遍的语言”来研究思维问题，使推理的有效性可以用数学方法来进行。莱布尼兹的这些设想虽然在许多方面并未实现，但他提出的“把逻辑加以数学化”的伟大构想，对逻辑学发展的贡献却是意义深远的，正如逻辑史家肖尔兹所说，“人们提起莱布尼兹的名字就好象在谈到日出一样。他使亚里士多德逻辑开始了‘新生’，这种新生的逻辑在今天的最完美的表现就是采作逻辑斯蒂形式的现代精确逻辑。”（注：肖尔兹著，张家龙译：《简明逻辑史》，商务印书馆1997年版，第50页。）莱氏之后，经过英国数学家、哲学家、逻辑学家哈米尔顿、德摩根的研究，英国数学家布尔于1847年建立了逻辑代数，这是第一个成功的数理逻辑系统。1879年，德国数学家、逻辑学家弗雷格在《概念文字——一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言》这部88页的著作中发表了历史上第一个初步自足的、包括命题演算在内的谓词演算公理系统，从而创建了现代数理逻辑。之后，英国哲学家、逻辑学家罗素和怀特海于1910年发表了三大卷的《数学原理》，建立了带等词的一阶谓词系统，从而使得数理逻辑成熟与发展起来。
上述数理逻辑，以两个演算——命题演算与谓词演算作为核心，被称之为现代形式逻辑或狭义的现代逻辑。在当代，以现代逻辑为基础，将现代逻辑应用于各个领域、各个学科，从而出现了广义的各种各样的现代逻辑分支。
从以上对古代、近代、现当代逻辑学说发展的简单考察可以看出，逻辑的范围是十分广泛的。它至少包括了以亚里士多德逻辑为基础的传统演绎逻辑、以数理逻辑为核心及基础的现代逻辑及其分支、归纳逻辑、辩证逻辑等等，而这些逻辑相互之间的特性又是十分不同甚至十分对立的。所以，要用一个明确的定义把这些历史上所谓的逻辑都包含进去，确实是很难的。事实上，“逻辑”一词是可以有不同的涵义的，逻辑可以有广义与狭义之分。
英国逻辑学家哈克在谈到逻辑的范围时，认为逻辑是一个十分庞大的学科群，其分支主要包括如下：
1.传统逻辑：亚里士多德的三段论
2.经典逻辑：二值的命题演算与谓词演算
3.扩展的逻辑：模态逻辑、时态逻辑、道义逻辑、认识论逻辑、优选逻辑、命令句逻辑、问题逻辑
4.异常的逻辑：多值逻辑、直觉主义逻辑、量子逻辑、自由逻辑
5.归纳逻辑（注：S.Haack:Philosophyoflogics,CambridgeUniversityPress,1978,P.4,221-231.）
在这里，哈克所谓的“扩展的逻辑”，是指在经典的命题演算与谓词演算中增加一些相应的公理、规则及其新的逻辑算子，使其形式系统扩展到一些原为非形式的推演，由此而形成的不同于经典逻辑的现代逻辑分支；至于“异常的逻辑”，则是指其形成过程一方面使用与经典逻辑相同的词汇，但另一方面，这些系统又对经典逻辑的公理与规则进行了限制甚至根本性的修改，从而使之脱离了经典逻辑的轨道的那些现代逻辑分支。“扩展的逻辑”与“异常的逻辑”统称为“非经典逻辑”。
以哈克的上述分类为基础，从逻辑学发展的历史与现实来看，逻辑是有不同的涵义的，因此，逻辑的范围是有宽有窄的：首先，逻辑指经典逻辑，即二值的命题演算与谓词演算，不严格地，也可以叫数理逻辑，这是最“标准”、最“正统”的逻辑，也是最狭义的逻辑；其次，逻辑还包括现代非经典逻辑，不严格地，也可以叫哲学逻辑，即哈克所讲的扩展的逻辑与异常的逻辑；再次，逻辑还包括传统演绎逻辑，它是以亚里士多德逻辑为基础的关于非模态的直言命题及其演绎推理的直观理论，其主要内容一般包括词项（概念）、命题、推理、证明特别是三段论等。此外，逻辑还可以包括归纳逻辑（包括现代归纳逻辑与传统归纳法）、辩证逻辑。将逻辑局限于经典逻辑、非经典逻辑，这就是狭义的逻辑，而将逻辑包括传统逻辑、归纳逻辑与辩证逻辑，则是广义的逻辑。以这一取向为标准，狭义的逻辑基本上可以对应于“逻辑是研究推理有效性的科学，即如何将有效的推理形式从无效的推理形式中区分开来的科学”这一定义，而广义的逻辑则可以基本上对应于“逻辑是研究思维形式、逻辑基本规律及简单的逻辑方法的科学”这一定义。
由此可见，逻辑学的发展是多层面的，站在不同的角度，就可以从不同的方面来考察逻辑学的不同层面及不同涵义：
(1)从现代逻辑的视野看，逻辑学的发展从古到今的过程是从传统逻辑到经典逻辑再到非经典逻辑的过程。这一点上面已有论述，此不多说。
(2)从逻辑学兼具理论科学与应用科学的角度，可以确切地把逻辑分成纯逻辑与应用逻辑两大层面。可以说，纯逻辑制定出一系列完全抽象的机械性装置（例如公理与推导规则），它们只展示推理论证的结构而不与某一具体领域或学科挂钩，是“通论”性的，而应用逻辑则是将纯逻辑理论应用于某一领域或某一主题，从而将这一具体主题与纯逻辑理论相结合而形成的特定的逻辑系统，它相当于逻辑的某一“分论”。在纯逻辑这一层面，还可以分成理论逻辑与元逻辑，所谓元逻辑，是以逻辑本身为研究对象的元理论，是刻划、研究逻辑系统形式面貌与形式性质的逻辑学科，它研究诸如逻辑系统的一致性、可满足性、完全性等等。不言而喻，元逻辑之外的纯逻辑部分，统称为理论逻辑。以这种分法为基础，如果说纯逻辑是狭义的逻辑的话，则应用逻辑就是广义的逻辑。
(3)从逻辑学对表达式意义的不同研究层次，可以把逻辑分成外延逻辑、内涵逻辑与语言逻辑。传统逻辑与经典逻辑对语言表达式（词或句子）意义的研究基本上停留在表达式的外延上，认为表达式的外延就是其意义（如认为词的意义就是其所指，句子的意义就是其真值），因此，它们是外延逻辑。对表达式意义的研究不只是停留在其外延上，认为不仅要研究表达式的外延，也要研究表达式的内涵，这样的逻辑就是内涵逻辑。可以看出，外延逻辑与内涵逻辑对表达式意义的研究都只是停留在语形或语义层面，而实际上，表达式总是在具体的语言环境下使用的，因此，逻辑对语言表达式意义的研究还可以也应该深入到语言表达式的具体的使用中去，对其进行语用研究，这一考虑，就促成了所谓的自然语言逻辑或语言逻辑的研究。所谓自然语言逻辑，按我的理解，就是通过对自然语言的语形、语义与语用分析来研究自然语言中的推理的科学。因此，如果说狭义的逻辑是一种语形或语义逻辑、它们只研究语形或语义推理的话，则广义的逻辑则是一种语用逻辑，它还要研究语用推理。
二、现代逻辑背景下的逻辑一元论、多元论与工具论
从上面的论述可以看出，在当代，现代逻辑的发展呈现出多层次、全方位发展的态势，逻辑学正在从单一学科逐步形成为由既相对独立又有内在联系的诸多学科组成的科学体系的逻辑科学。现代逻辑发展的这一趋势，就使得一方面大量的、各种各样的现代逻辑分支、各种各样的逻辑系统不断涌现，比如，既有作为经典逻辑的命题演算与谓词演算，也有作为对经典逻辑的扩展或背离的非经典逻辑。另一方面，不同于传统逻辑或经典逻辑所具有的直观性，非经典逻辑系统越来越远离直观甚至在某些意义上与直观相背。在这种背景下，逻辑学家就必然面临如下需要回答的问题：
(1)逻辑系统有无正确与不正确之分？说一个逻辑系统是正确的或不正确的是什么意思？
(2)是否一定要期望一个逻辑系统成为总体应用的即可以应用于代表任何主题的推理的？或者说，逻辑可以是局部地正确，即在一个特定的讨论区域内正确的吗？
(3)经典逻辑与非经典逻辑特别是其中的异常逻辑之间的关系如何？它们是否是相互对立的？
对上述问题的不同回答，就区分出了关于逻辑的一元论、多元论与工具主义。
不管是一元论还是多元论，都认为逻辑系统有正确与不正确之分，逻辑系统的正确与否依赖于“相对于系统本身的有效性或逻辑真理”与“系统外的有效性或逻辑真理”是否一致。如果某一逻辑系统中的有效的形式论证与那些在系统外的意义上有效的非形式论证相一致，并且那些在某一系统中逻辑地真的合式公式与那些在系统外的意义上也逻辑地真的陈述相一致，则该逻辑系统就是正确的，反之则为不正确的。以这一认识为基础，一元论认为只有一个唯一地在此意义下正确的逻辑系统，而多元论则认为存在多个如此的逻辑系统。
工具主义则认为，谈论一个逻辑系统是否正确或不正确是没有意义的，不存在所谓正确或不正确的逻辑系统，“正确的”这个词是不合适的。就工具主义来说，他们只允许这样一个“内部”问题：一个逻辑系统是否是“完善的”(Sound)？即是说，逻辑系统的定理或语法地有效的论证是否全部地并且唯一地是在该系统内逻辑地真或有效的？（注：S.Haack:Philosophyoflogics,CambridgeUniversityPress,1978,P.4,221-231.）
多元论又可以分为总体多元论与局部多元论。局部多元论认为，不同的逻辑系统是由于应用于讨论的不同领域而形成的，因此，局部多元论把系统外的有效性和逻辑真理从而也把逻辑系统的正确性看作是讨论的一个特定领域，认为一个论证并不是无条件地有效的，而是在讨论中有效的，所以，逻辑可以是局部地正确的，即在某一特定的讨论区域内正确的。而总体多元论则持有与一元论相同的假定：逻辑原理可以应用于任何主题，因此，一个逻辑系统应该是总体应用的即可以应用于代表任何主题的推理的。
就经典逻辑与非经典逻辑特别是异常逻辑之间的关系而言，一元论者强迫人们在经典系统与异常系统中二者择一，而多元论者则认为经典逻辑与扩展的逻辑都是正确的。因此，一元论者断言经典逻辑与异常逻辑在是否正确地代表了系统外的有效论证或逻辑真理的形式上是相互对立的，而多元论者则认为经典逻辑与异常逻辑两者在某一或其他途径下的对立只是表面的。
就逻辑科学发展的现实而言，从传统逻辑到经典逻辑再到非经典逻辑的道路，也是逻辑科学特别是逻辑系统发展由比较单一走向丰富多样的过程。以传统逻辑来说，它来自于人们的日常思维和推理的实际，可以说是对人们的日常思维特别是推理活动的概括和总结，因此，传统逻辑的内容是比较直观的，与现实也是比较吻合的。而经典逻辑是传统逻辑的现展阶段，是以形式化的方法对传统逻辑理论特别是推理理论的新的研究，因此，与传统逻辑一样，经典逻辑的内容仍是具有直观基础的——经典逻辑的公理与定理大都可以在日常思维中找到相对应的思维与推理的实例予以佐证，人们对它们的理解与解释也不会感到与日常思维特别是推理的实际过于异常。所以，在传统逻辑与经典逻辑的层面，用“系统内的有效性”与“系统外的有效性”的一致来说明一个逻辑系统的正确性是合适的，这种说明的实质就是要求逻辑系统这种“主观”的产物与思维的客观实际相一致。
相对而言，在经典逻辑基础上发展起来的各种非经典逻辑，它的直观性、与人们日常思维特别是推理的吻合性就大大不如经典逻辑，甚至与经典逻辑背道而驰。以模态命题系统为例（应该说，相对而言，模态命题逻辑在非经典逻辑中是较为直观的），如果说系统T满足对模态逻辑系统的直观要求，它所断定的是没有争论的一些结论的话，则系统S4、S5就难以说具有直观性以及与人们日常思维特别是推理的吻合性了：在系统S4和S5中都出现了模态算子的重叠，因而象pp、pp这样的公式大量出现，而这些公式几乎没有什么直观性。至于非经典逻辑中的直觉主义逻辑、多值逻辑，它们离人们的日常思维特别是推理的实际更远，更显得“反常”。同时，同一个领域比如模态逻辑或时态逻辑，由于方法和着眼点不同，可以构造出各种不同的系统。在这种情况下，一些学者作出逻辑系统无正确性可言、逻辑系统纯粹只是人们思考的工具的工具主义结论也就不足为怪了。应该说，工具主义的观点是有一定的可取之处的：它看到了逻辑系统特别是各种非经典逻辑系统远离日常思维与推理和作为“纯思维产物”的高度抽象性，看到了逻辑学家在建构各种逻辑系统时的高度的创造性或“主观能动性”。但是，另一方面，从本质来看，工具主义的这种观点是不正确的，也是不可取的。它完全抹杀了逻辑系统建构的客观基础，否定了逻辑系统最终是人们特别是逻辑学家的主观对思维实际、推理实际的反映。这种观点最终的结果就是导致逻辑无用论，最终取消逻辑。这显然是不符合逻辑科学发展的实际和逻辑科学的学科性质的。
而一元论对逻辑系统的“正确性”的理解过于狭窄，也过于严厉，这种观点难以解释在今天各种不同的逻辑系统之间相互并存、互为补充的现实。从本质上讲，尽管任何逻辑系统都是逻辑学家构造出来的，但是，它们是有客观基础的——它总是在一定程度上反映了人类思维特别是推理实际的某一方面或某一领域（否则，它就是没有实际意义的，最终难以存在下去），所以，逻辑系统是有“正确”与“不正确”之分的——正确地反映了人类思维特别是推理实际的逻辑系统就是正确的，反之则是不正确的。应该说，这一点是一元论与多元论都可以同意的，但是，在承认这一说法的同时，还应该看到，“正确地反映人类思维特别是推理的实际”是可以有不同的程度、不同的层次的：逻辑系统对人类思维特别是推理实际的反映可以是比较普遍、一般的（比如传统逻辑与经典逻辑），也可以是比较特殊、具体的（比如某些非经典逻辑系统，它所反映的就是相对于某一特定主题或领域的特定的思维与推理）；逻辑系统对人类思维特别是推理实际的反映可以是比较直观、与日常较为吻合的，也可以是相对来说较为抽象、远离现实的。从这个意义上来讲，逻辑系统的“正确性”是多样的，不可绝对化和唯一化。所以，我认为，一元论坚持“只有一个正确的、唯一的逻辑”是不妥的，相反，多元论的观点则是可以接受的。
如果按哈克的分析把非经典逻辑分成“扩展的逻辑”与“异常的逻辑”的话，那么，很显然，扩展的逻辑是以经典逻辑为基础，将经典逻辑理论应用于某一领域或学科而形成的对经典逻辑的扩充，它们之间并不存在互斥、对立的情况，它们都可以是“正确的”。至于“异常的逻辑”，它的某些性质与特征确实可能与经典逻辑不同甚至相矛盾（例如在直觉主义逻辑、多值逻辑中排中律的失效等等），因此，它们有“对立”的地方，但就经典逻辑与某一异常逻辑分支相比而言，它们的对立或不一致只是在某些方面，而从整个系统的性质来看，它们的互通之处更多，因此，经典逻辑与某一异常逻辑分支之间的所谓“对立”之处，恰恰是该异常逻辑分支的独特之处，也是它对某一问题的不同于经典逻辑的处理和解决之处，所以，从这个意义上讲，它对经典逻辑的意义不在于“否定”了经典逻辑的某些定理或规则，而在于对经典逻辑忽略了的或无法处理的地方进行了自己的独特的处理。所以，经典逻辑与异常逻辑之间的“对立”是表面上的，其实质是它们之间的互补。
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（桂林电子科技大学计算机科学与工程学院，广西桂林541004）
摘要：针对离散数学课程中的数理逻辑教学，分析计算思维与数理逻辑之间的内在关系，从计算思维的角度对数理逻辑教学内容进行梳理，论述如何将“对问题进行抽象建模一形式化一自动化一分析评估”这一思维模式贯穿于教学过程中，以及如何在教学中强调计算思维的基本概念和基本方法。
关键词 ：计算思维；数理逻辑；抽象；形式化；自动化
文章编号：1672-5913(2015)15-0031-05
中图分类号：G642
第一作者简介：常亮，男，教授，研究方向为知识表示与推理、形式化方法，changl@guet．edu．cn。
0 引 言
对计算思维能力的培养已经成为新一轮大学计算机课程改革的核心导向。如何从计算思维的角度重新梳理和组织计算机相关课程的教学内容，如何在教学实施中培养学生的计算思维能力，是近年来计算机教育者热烈探讨的问题。
数理逻辑是计算机专业核心基础课程离散数学中的主要教学内容，不仅为数据库原理、人工智能等专业课程提供必需的基础知识，更对培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力起着重要作用。
1 计算思维
计算思维运用计算机科学的基本概念来求解问题、设计系统和理解人类行为，包括一系列广泛的计算机科学的思维方法。根据卡内基·梅隆大学周以真( Jeannette M．Wing)教授的设想，一个人具备计算思维能力体现在以下几个方面：给定一个问题，能够理解其哪些方面是可以计算的；能够对计算工具或技术与需要解决的问题之间的匹配程度进行评估；能够理解计算工具和技术所具有的能力和局限性；能够将计算工具和技术用于解决新的问题；能够识别出使用新的计算方式的机会；能够在任何领域应用诸如分而治之等计算策略等。在计算思维所包含的诸多内容中，最根本的内容是抽象和自动化。
在计算机专业相关课程的教学中，为了培养学生的计算思维能力，我们认为一种有效的途径是从问题出发，抓住抽象和自动化这两个核心内容，培养学生分析问题、解决问题和对解决方案进行评估的能力。同时，我们提炼出计算机学科以及各门具体课程中涉及的基本概念和思维方法，在教学过程中有意识地强化学生对这些基本概念和思维方法的理解和掌握。
2 基于计算思维的数理逻辑数学内容组织
数理逻辑应用数学中的符号化、公理化、形式化等方法来研究人类思维规律。从广义上看，数理逻辑是数学的一个分支，包括证明论、集合论、递归论、模型论以及各种逻辑系统等5部分。我们在这里谈的是狭义的数理逻辑，即大学计算机相关专业学习的数理逻辑基础。
数理逻辑与计算机科学有着非常密切的关联。无论是在ACM和IEEE-CS联合攻关组制订的《计算教程CC2001》中，还是在中国计算机学会教育委员会和全国高等学校计算机教育研究会联合制定的《中国计算机科学与技术学科教程2002》中，数理逻辑都是计算机相关专业的核心知识单元。对于计算机相关专业来说，数理逻辑的教学内容主要是命题逻辑和一阶谓词逻辑这两个基础的逻辑系统。针对这两个逻辑系统，传统的教学大纲主要从语法、语义、等值演算、形式证明系统等4个方面安排教学。在开展教学的过程中，教师强调的主要是培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。然而，从学生的角度看，这两种能力本身都是抽象的口号，处于大一或者大二阶段的学生难以将这些知识点与计算机科学联系起来，感觉不到数理逻辑在计算机科学或者将来工作中的具体应用，从而缺乏相应的学习兴趣。
数理逻辑中的许多思想都与计算思维有着异曲同工之妙；最为明显的是数理逻辑和计算思维都强调抽象及形式化。在关于离散数学课程的教学实践中，我们已经把计算思维的诸要素或多或少地渗透到包括数理逻辑在内的培养方案和教学大纲中，但尚未上升到以培养计算思维能力为导向的高度。
在明确将培养计算思维能力作为一个新的教学目标之后，我们从计算思维的角度对数理逻辑教学内容重新进行梳理。具体来说，在计算思维的指导下，我们以问题求解作为出发点，抓住抽象和自动化这两个核心内容，按照“对问题进行抽象建模一形式化一自动化一分析评估”的主线来组织数理逻辑教学，培养学生应用计算思维分析问题和解决问题的能力。与此同时，在教学实施的过程中，尽可能地提炼出各个知识点中关于计算思维的基本概念和基本方法，把计算思维贯彻到每堂课中。
2.1 从问题出发引入数理逻辑
在传统的数理逻辑教学中，开篇的内容就是对命题进行符号化，但许多学生并不清楚为什么要进行符号化。在计算思维的引导下，我们可以通过如下两个问题来引人数理逻辑。
第一个问题是莱布尼茨创立数理逻辑时的理想：把推理过程像数学一样利用符号来描述，建立直观而又精确的思维演算，最终得出正确的结论。形象地说，当两个人遇有争论时，双方可以拿起笔说“让我们来算一下”，就可以很好地解决问题。为了实现莱布尼茨的理想，基本思路是首先引入一套符号体系，将争论的内容严格地刻画出来；其次规定一套符号变换规则，借助这些符号变换规则，将逻辑推理过程在形式上变得像代数演算一样。
第二个问题是人工智能中的知识表示和知识推理。人工智能中的符号主义学派认为，人的认知基元是符号，认知过程就是符号操作过程；知识可以用符号表示，也可以用符号进行推理，从而建立起基于知识的人类智能和机器智能的统一理论体系。基于这种思路，为了在计算机上实现智能，我们首先需要将知识用某套符号体系表示出来，然后在此基础上通过算法进行知识推理，最终实现智能决策等一系列体现智能的功能。
从上述两个问题出发，我们可以将命题逻辑和一阶谓词逻辑当作两个工具来引入。与此同时，对于这两个工具来说，应用它们来解决问题的过程又可以被分解为符号化表示和符号化推理两个阶段。因此，我们最终可以从两个维度上引入数理逻辑：一个维度是命题逻辑和谓词逻辑两个工具，另一个维度是符号化表示和符号化推理两个过程。与传统的直接介绍数理逻辑形式系统的方式相比，这种从问题出发的引入方式与计算机专业学生的思维方式即计算思维一致。
2.2 从形式化的角度组织教学内容
作为彻底的形式系统，数理逻辑为培养计算思维中的抽象思维能力提供了非常好的素材。从形式系统自身的角度来看，我们还可以将语法和语义两个内容独立出来。在此基础上，我们用表1对计算机相关专业数理逻辑部分的学习内容进行概括。
表1列出的知识点与《计算教程CC2001》《中国计算机科学与技术学科教程2002》中关于数理逻辑的知识点一致。借助这张表，可以让学生对数理逻辑部分的学习内容形成一个清晰、全面的认识。在教学过程中，每开始一个新的章节，我们都可以呈现这张表，帮助学生知道接下来的学习内容处于哪个位置，并且加深他们对计算思维中抽象和建模的印象。
需要指出的是，在广义的数理逻辑中，介绍形式演算系统时通常是指公理推理系统。公理推理系统从若干条给定的公理出发，应用系统中的推理规则推演出系统中的一系列重言式。公理推理系统可以深刻揭示逻辑系统的相关性质以及人类的思维规律，但从计算思维解决问题的角度来看，我们并不关注公理推理系统。在知识推理中，我们关注的是从任意给定的前提出发，判断能否应用推理规则推演出某个结论；我们并不要求这些前提和结论是重言式。因此，对于计算机专业的数理逻辑来说，我们关注的是自然推理系统，即构造证明法。计算思维为我们选择自然推理系统而不是公理推理系统提供了一个很好的视角。
2.3 在数理逻辑中强调自动化
表1的知识点充分体现了计算思维中抽象和对问题建模求解的思维方式，但计算思维中的自动化尚未体现出来。在学习了构造证明方法之后，学生一般会形成一个印象，认为构造证明法使用起来简单方便，与人们的直观逻辑思维一致，但使用过程中需要一定的观察能力和技巧。与之相反的是，计算思维希望能够通过算法实现问题的自动求解。
实际上，在广义的数理逻辑中已经存在许多自动化证明方法，其中最为典型的是归结推理方法和基于Tableau的证明方法。为了判断能否从给定的前提推导出某个结论，我们同样可以采用归结推理方法或者基于Tableau的证明方法。具体来说，我们首先对拟证明的结论进行否定，将该否定式与所有前提一起合取起来，然后判断所得到的合取式是否为可满足公式；如果不可满足，则表明可以从给定的前提推导出结论，否则表明所考察的结论是不能得出的。换句话说，前提与结论之间是否可推导的问题被转换为公式可满足性问题来解决。
归结推理方法最早于1965年由Robinson提出，是定理证明中主流的推理方法。《计算教程CC2001》和《中国计算机科学与技术学科教程2002》都将其列为人工智能课程的一个重要知识点。由于许多学校都是将人工智能作为选修课来开设，因此许多学生都没有机会接触和学习。实际上，在数理逻辑的教学实践中，只需要很少的课时就可以把归结推理方法讲授清楚。具体来说，在讲授完构造证明法中的归谬法之后，只需要补充介绍归结原理这一条推理规则就可以了，最多只花费半个课时。当我们用简洁的算法把归结推理方法描述清楚，让学生直观感受到机械化的证明过程之后，学生对计算思维就有了更进一步的认识和掌握。在有条件的情况下，还可以让学生上机实现命题逻辑的归结推理算法。
基于Tableau的证明方法出现的时间早于归结推理方法，最初在1955年就被Beth和Hintikka分别独立提出，之后Smullyan在其1968年出版的著作中进行了规范描述。Tableau方法的基本思想是通过构造公式的模型来判断公式的可满足性。虽然Tableau方法使用的推理规则不只一条，但每条推理规则都直观地体现了逻辑联结词的语义定义。Tableau方法在早期没有受到太多关注，但最近十多年来，随着描述逻辑成为了知识表示和知识推理领域的研究热点，在描述逻辑推理中发挥出优异性能的Tableau方法得到了越来越多的关注。鉴于此，在讲授完构造证明法和归结推理方法之后，我们也向学生简单描述了Tableau方法，引导学有余力并且对学术前沿感兴趣的学生在课后自学。
2.4 在分析评估中强化计算思维
在讲授数理逻辑的过程中，我们还可以从许多知识点提炼出计算思维的内容，把计算思维贯彻到每个具体的教学内容中。我们列举体现计算思维的4个典型内容进行探讨。
首先，命题公式和谓词公式的语法定义为计算思维中的递归方法提供了经典案例。实际上，除了公式的语法定义外，数理逻辑中在对语义的定义、对语法与语义之间关系的研究、对算法正确性的证明、对算法复杂度的分析等各项内容中都用到了递归。由于课时的限制，我们不能在数理逻辑教学中对其展开，但可以点出这个情况，让将来可能继续攻读硕士或博士学位的学生留下一个印象。
其次，当我们讲授了用归结推理方法或者Tableau方法进行自动推理和问题求解之后，从计算思维的角度看，一个很自然的想法是想知道这种解决方法的求解效率。因此，我们可以对命题逻辑中推理算法的复杂度进行分析。由于我们已经把归结推理方法通过非常简洁的算法呈现在学生面前，因此只需要进行简单的口头分析就可以得出最坏情况下的算法复杂度，让学生知道命题逻辑的公式可满足性问题是NP问题。到此为止，在对命题逻辑进行讲授的过程中，我们引导学生完成了“对问题进行抽象建模一形式化一自动化一分析评估”的完整流程。如果在后继课程中再反复重现这个流程，将可以把这种思维模式固化到学生大脑中，使得计算思维成为他们日后解决新问题的有效工具。
第三，在讲授完命题逻辑之后，我们可以用著名的苏格拉底三段论作为例子来引入谓词逻辑。首先我们用命题逻辑对“所有的人都是会死的”“苏格拉底是人”“苏格拉底会死的”进行符号化，然后展示在命题逻辑下无法从两个前提推导出后面的结论，从而说明命题逻辑在表达能力上的局限，进而阐述引入一阶谓词逻辑的原因和思路。从计算思维的角度看，这个过程体现了如何选择合适的表示方式来陈述一个问题，以及如何确定对问题进行抽象和建模的粒度，此外，这个例子还让学生直观感受到了计算工具所具有的能力和局限性。
最后，在讲授完一阶谓词逻辑的推理之后，我们可以介绍一阶谓词逻辑的局限，即一阶谓词逻辑是半可判定的，一阶谓词逻辑的归结推理算法不一定终止。从计算思维的角度看，这个结论给了我们一个很好的例子，可以引导学生分析哪些问题是可计算的，哪些问题是不可计算的。在此基础上，我们进一步阐述逻辑系统的表达能力与推理能力之间存在的矛盾关系：一阶谓词逻辑在表达能力上远远超过命题逻辑，但其推理能力仅仅为半可判定；命题逻辑可判定，但描述能力不强。从计算思维的角度看，此时我们可以引入“折中”这个概念，训练学生在解决问题的过程中抓住主要矛盾，忽略次要矛盾。更进一步地，我们向学生简单介绍目前作为知识表示和知识推理领域的研究热点的描述逻辑：早期的描述逻辑通常被看做一阶谓词逻辑的子语言，在表达能力上远远超过命题逻辑，但在推理能力上保持了可判定性。这些补充内容既能让学生接触到学科前沿，又能帮助学生深刻理解如何根据问题的主要矛盾来选择合适的工具。
3 结语
总的来说，数理逻辑很好地诠释了计算思维并为其提供了生动的案例。将数理逻辑的教学与计算思维培养结合起来，一方面可以从计算思维的角度重新审视和组织数理逻辑的课堂教学，取得更好的教学效果；另一方面能加强对计算思维能力的培养，使学生能够更好地应用计算思维来解决问题。
计算思维的培养不是通过一两门课程的教学就能解决的问题，而是应该贯穿于所有的专业课程教学中。要实现这个目标，要求授课教师不仅仅照本宣科以教会学生课本上的知识为目的，而要能够从计算思维的高度来看待所讲授的课程，对所讲授的课程中含有的计算思维基本概念、方法和思想不断进行提炼，从计算思维的角度对课程进行重新梳理和建设。进行教学改革的目标是要更好地培养学生的计算思维能力，在实施教学改革的过程中，授课教师的计算思维能力也得到不断的提升和加强。
参考文献：
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关键词：古代逻辑；墨经；名家
中国古代逻辑学体系，实际上并没有真正被完全地建立起来。尽管它拥有一个非常宏伟的纲领。其中一个非常重要的原因在于，中国古代逻辑学的发展缺乏语法和语义之间关系的研究。首先，尽管《墨经・小取》中有“以名举实，以辞抒义，以说出故”一语，似乎对名、辞、说进行了区分，但是“辞”这个概念的外延却不是语句，而是推理。对于“辞”的外延，《小取》中有这样的一段陈述：
……是故辟、牟、援、推之辞，行而异，转而危，远而失，流离其本，则不可不审也，不可常用也。
可见，“辟”、“侔”、“援”、“推”四种推理方式都是辞。而之后的“以说出故”，则是《墨经》中出现的一种特殊体裁，目的是给论证一个比较严格的规范，区分出一个论证中何为其然，何为其所以然。虽然这样的规定是一种人工规范的语法，但是这种规范对于探讨逻辑学本身的规律没有实际意义。
我们知道，传统的词项逻辑的推理的有效性取决于推理形式的有效性，而推理形式的有效性又取决于推理形式中的命题形式的逻辑性质，而命题形式的逻辑性质则取决于构成它的主项、谓项、联项、量项的逻辑性质。我们之所以可以依循着这个架构对推理的有效性进行由翻至简的还原，就是因为掌握了推理、命题和词项所对应的语言载体――论证、语句和词语――相互之间的层级结构关系。甚至亚里士多德的第一实体也是通过语法间接确定的，他把那些命题中被属性谓述而不在其他命题中起谓述作用的词项划作第一实体，并且由此开启了实体论的形而上学。
在先秦时代，我们看不到这种依循语法规律还原逻辑规律的方法。这就使得我们很难搞清名和辞之间的关系。以至于在很长时间内，中国的名辩学都不得不借助辩论的形式，而不是语言的形式。在《小取》中，甚至开宗明义地讲到：“夫辩者，将以明是非之分，审治乱之纪，明异同之处，察名实之理，处利害，决嫌疑焉：莫略万物之然，论求群言之比。”辩就是逻辑的代名词。而在西方，Logic这个词的词源是Language，也即语言这种更普遍的形式。
另外一方面，中国古代着重探讨的“名”的形式也非常含混不清。当然， 我们可以说“名”大体上相当于我们所说的概念。墨家曾经将“名”归类为“达名”、“类名”和“私名”，相当于我们今天所说的单独概念、普遍概念和范畴。但是，中国的传统逻辑还没有办法对概念进行限制和概括。因为它们无法把短语的构造和概念内涵的增减相联系，这也是一种语法支撑的缺失。
比如说，我们可以说：星期四早上摆在小李窗前的红色的盆栽月季花（A）；我们对它进行概括后，可以得到一个普遍概念：红色的盆栽月季花（B）。我们说，后者比前者有更少的内涵和更多的外延，这种转变是通过合成词中语素的减少而达到的。由于外延之间的包含关系，我们可以说A是B，但不能随便说B是A。
同样是分析合成词所对应的概念，在公孙龙对于白马非马这一命题的分析中，主张“马”是“命形”的，而“白”是命色的。白不能命名马，则白马也不能命名马。
然而，客难指出“合马与白，复名白马”。“白马”在这里也是一个名，说“白命色”而“白马非马”，是把“白马”这个名当成了“白”、“马”两个不相干的名，是“相与以不相与为名”的错误。
公孙龙的反驳是，即便这个“复名”存在，它的意义也不足以做出“有白马不可谓无马”这个断言，当我们说“有白马不可谓无马”的时候，实际上偷偷忽略掉了“白”，而直接说马罢了。“以‘有白马不可谓无马’者，离白之谓也。”然而若按照种理解，“有白马不可谓无马”这个句子实际上就是一个病句，因为里面插入了一个没有意义的词。
当然，公孙龙似乎也看到了“白马”这一复名必须给予解释，他说：“白马者，言白定所白也。”概念“白”在这个合成的概念里就是限定了“所白”，也即“马”这个概念，似乎承认了“白”对“马”有概念的限制作用。但是，他反过来又说：“定所白者非白也。”也即，马不是白。这样，即便白限定了马，由于马不是白，那么“白马”的意义仍然不蕴含马。
从这里，我们可以看到，先秦诸子在探讨命题的语义的时候，常常有意无意地忽视语法规范对于语义的约束作用。但是恰恰在逻辑中，语形和语义是密切相关的。甚至在构建逻辑的系统时，其有效性和完全性是一个重要的衡量标准。在自然语言中，尽管我们的语法不是那么严格和精确，但是它仍然对我们的语义表述有至关重要的作用。从《墨经》中，我们未曾看到他们有专论提及语法语形的作用，而作为名辩大家的公孙龙甚至反对这种联系。因此，中国逻辑学的自身发展的难度是可想而知的。
参考文献：
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[3]卢春燕.《墨经》的论辩修辞初探[J].河北师范大学学报（哲学社会科学版），2003，（6）.
【英文摘要】Philosophicallogicisapolysemantincontemporarylogicalliterature.Webelieveit''''sanon-classicallogicwithphiloso-phicalpurportorcause.Itsrisearosesalotoftheoreticalproblems.Thisessayexpoundsthelimitsofclassicallogic,non-monotonyanddeduction,logicalmathematicalizationanddepart-mentalization,theownershipofinductivelogic,etc.
【关键词】经典逻辑/非经典逻辑/演绎性/数学化/部门化/哲学逻辑classicallogic/non-classicallogic/deduction/mathematicalization/departmentalization/philosophicallogic
【正文】
哲学逻辑的崛起引发一系列理论问题。我们仅就其中几个提出一些不成熟的看法。
一、经典逻辑和非经典逻辑的界限
在这里经典逻辑是指标准的一阶谓词演算(CQC)，它的语义学是模型论。随着非经典逻辑分支不断出现，使得我们对经典逻辑和非经逻辑的界限的认识逐步加深。就目前情况看，经典逻辑具有下述特征：二值性、外延性、存在性、单调性、陈述性和协调性。
传统的主流观点：每个命题（语句）或是真的或是假的。这条被称做克吕西波(Chrysippus)原则一直被大多数逻辑学家所恪守。20年代初卢卡西维茨(J.Lukasiwicz)建立三值逻辑系统，从而打破了二值性原则的一统天下，出现了多值逻辑、部分逻辑（偏逻辑）等一系列非二值型的逻辑。
经典逻辑是外延逻辑。外延性逻辑具有下述特点：第一，这种逻辑认为每个表达式（词项、语句）的外延就是它们的意义。每个个体词都指称解释域中的个体；而语句的外延是它们的真值。第二，每个复合表达式的值是由组成它的各部分表达式的值所决定，也就是说，复合表达式的意义是其各部分表达式意义的函项，第三，同一性替换规则和等值置换定理在外延关系推理中成立。也是在20年代初，刘易士(C.I.Lewis)在构造严格蕴涵系统时，引入初始模态概念“相容性”（或“可能性”），并进一步构建模态系统S1-S5。从而引发一系列非外延型的逻辑系统出现，如模态逻辑、时态逻辑、道义逻辑和认知逻辑等等出现。
从弗雷格始，经典逻辑系统的语义学中，总是假定一个非空的解释域，要求个体词项解释域是非空的。这就是说，经典逻辑对量词的解释中隐含着“存在假设”，在60年代被命名为“自由逻辑”的非存型的逻辑出现了。自由逻辑的重要任务就在于：(1)把经典逻辑中隐含的存在假设变明显；(2)区分开逻辑中的两种情况：一种与存在假设有关的推理，另一种与它无关。
在经典逻辑范围内，由已知事实的集合推出结论，永远不会被进一步推演所否定，即无论增加多少新信息作前提，也不会废除原来的结论。这就是说经典逻辑推理具有单调性。然而于70年代末，里特(R.Reiter)提出缺省(Default)推理系统，于是一系列非单调逻辑出现。
经典逻辑总是从真假角度研究命题间关系。因而只考察陈述句间关系的逻辑，像祈使句、疑问句、感叹句就被排斥在逻辑学直接研究之外。自50年代始，命令句逻辑、疑问句逻辑相继出现。于是，非陈述型的逻辑存在已成事实。
经典逻辑中有这样两条定理：（p∧q）（矛盾律）和p∧pq（司各特律），前者表明：在一个系统内禁不协调的命题作为论题，后者说的是：由矛盾可推出一切命题。也就是说，如果一个系统是不协调的，那么一切命题都是它的定理。这样的系统是不足道的(trivial)。柯斯塔(M.C.A.daCosta)于1958年构造逻辑系统Cn（1〈n≤ω）。矛盾律和司各特律在该系统中不普遍有效，而其他最重要模式和推理规则得以保留。这就开创了非经典逻辑一个新方向弗协调逻辑。
综上所述非经典逻辑诸分支从不同方面突破经典逻辑某些原则。于是，我们可以以上面六种特征作为划分经典逻辑与非经典逻辑的根据。凡是不具有上述六种性质之一的逻辑系统均属非经典逻辑范畴。
二、非单调性与演绎性
通常这样来刻画演绎：相对于语句集合Γ，对于任一语句S，满足下述条件的其最后语句为S的有穷序列是S由Γ演绎的：序列中每个语句或者是公理，或者是Г的元素，或者根据推理规则由前面的语句获得的。它的一个同义词是导出(derivation)。演绎是相对于系统的概念，说一个公式（或语句）是演绎的只是相对于一不定的公理和推理规则的具体系统而言的。演绎概念是证明概念的概括。一个证明是语句这样的有穷序列：它的每个语句或是公理或是根据推理规则由前面的语句得出的。在序列中最后一个语句是定理。
现在我们考察单调逻辑中演绎情况。令W是一阶逻辑公式的集合，D为缺省推理的可数集，cons(D)为D中缺省的后承的集合。我们来建立公式Φ的缺省证明概念：首先我们必须确定从WUcons(D[,0])。导出Φ这种性质的缺省集合D[,0]。为确保在D[,0]中缺省的适用性，我们须确定缺省集合D[,1]，致使能从WUcons(D[,1])中得出在D[,0]中缺省的所有必须的预备条件。我们从这种方式操作直至某一空的D[,K]。这意谓着从W得出在D[,K-1]中的必须的预备条件。然后我们确定一个证明，只是我们不陷入矛盾，即是W必须跟包括在证明中的所有缺省后承的集合相一致。例如，给定缺省理论：
T=(｛p｝,｛δ[,1]=p:r/r,δ[,2]=r:ps/pS｝)
(｛δ[,2]｝),｛δ[,1]｝，Φ是S在T中的缺省证明。
形式地说，Φ在正规缺省理论T=(W,D)中的一个缺省证明是满足下述条件的D的子集合的有穷序列(D[,0],D[,1],…D[,K])：
（i）Φ从WUcons(D[,0])得出。
（ii）对于所有i〈K,从Wucona(D[,i+1])得出缺省的所有预备条件。
（iii）D[,K]=Φ。
（iV）WUcons(U[,i]D[,i])是一致的。
由上面可以看出缺省推理中的证明是与通常的演绎证明是不同的，前者比后者要宽广些。
附图
由此可见，缺省逻辑中的推出关系比经典逻辑中的要宽。因而相应扩大了“演绎性”概念的外延。于是可把演绎性分为：强演绎性和弱演绎性。后者是随着作为前提的信息逐步完善，而导出的结论逐步逼近真的结论。
三、逻辑的数学化和部门化。
正如有人所指出的那样，“逻辑学在智力图谱中占有战略地位，它联结着数学、语言学、哲学和计算机科学不同学科。”[2]作为构建各学科系统的元科学手段的逻辑与各门科学联系越来越密切。它在当展中，表现出两个重要特征：数学化和部门化。
逻辑学日益数学化，这表现为：(1)逻辑采取更多的数学方法，因而技术性程度越来越高。一些逻辑问题（如系统特征问题）的解决需要复杂的证明技术和数学技巧。(2)它更侧重于数学形式化的问题。其实数学化的本质是抽象化、理想化和泛化（普遍化）。这对像逻辑这样的形式科学显然是非常重要的，近一个世纪逻辑迅速发展就证明了这一点。逻辑方法论的数学化在本世纪下半叶正在加速。这给予逻辑的一些重要结论以复杂的结构和深入的处理，使逻辑变得更精确更丰富。但是，由于逻辑中数学专门化已定型并且限定了它自己，所以逻辑需向其他领域扩张，拓宽其研究领域就势所必然。
逻辑向其他学科领域的延伸并吸收营养，于是出现了各种部门逻辑，如认知逻辑、道义逻辑、量子逻辑等等。我们把逻辑学这种延伸和部门逻辑出现称做逻辑部门化。
哲学逻辑就是逻辑部门化的产物，它是方面逻辑或部门逻辑。众所周知，经典逻辑演算的理论、方法和运算技术具有高度的概括性，它适用于一切领域、一切语言所表达的演绎推理形式。所以，它具有普遍性，是一般的逻辑。有人认为一阶演算完全性定理表明“采用现代数学方法和数学语言来刻画的全体‘演绎推理规律’恰好就是人们在思维中所用的演绎推理规律的全体，不多也不少！”[3]。表达一阶逻辑规律的公式是普通有效的，即是这些公式在任何一种解释中都是真的。而哲学逻辑各分支只是研究某一方面或领域的演绎推理规律，表达这些规律的公式只是在一定条件下在某一领域是有效的，即是它们在具有某种条件解释下是真的。例如，模态公式(D)PP,(T)PP,(B)PP,(4)PP,(E)PP，分别在串行的、自反的、对称的、传递的、欧几里得的模型中有效。而动态逻辑的一些规律只适用于像计算程序那样的由一种状态过渡到另一种状态转换的动态关系。
部门逻辑另一种含义是为某一特定领域提供逻辑工具。例如，当人们找出描述一个微观物理系统在某一时刻的可观察属性的命题的一般形式。对其进行运算时，发现一些经典逻辑规律失效，如分配律对这里定义的合取、析取运算不成立。于是人们构造一种能够描述微观物理世界新的逻辑系统，这就是量子逻辑。
四、哲学逻辑划界问题
哲学逻辑形形并且难于表征。在现代逻辑文献中，“哲学逻辑”是个多义词。它的涵义主要的有三种：它的第一种涵义是指关于现代逻辑中一些重要概念和论题的理论研究。例如，对于名称（词项）、摹状词、量词、模态词、命题、分析性、真理、意义、指涉、命题态度、悖论、存在乃至索引等概念及与它们相关的论题的理论研究以及利用形式逻辑工具处理逻辑和语言的逻辑结构的哲学争论。它的第二种涵义是指非经典逻辑中一个学科群体，它包括模态逻辑、多值逻辑等等众多逻辑分支。它的第三种涵义是兼指上述两种涵义的“哲学逻辑”。
我们认为，第一种涵义上的“哲学逻辑”不是研究推理有效式意义上的逻辑，而是逻辑哲学。我们赞成在第二种涵义上使用“哲学逻辑”一词。于是可以给出下述定义：哲学逻辑是具有哲学旨趣或涉及哲学事业的非经典逻辑，在这里应对“哲学”做广义的理解。哲学逻辑不仅与传统哲学中的概念和论题有直接或间接联系。而且也涉及各门科学中具有方法论性质的问题和其他元科学问题。
在我们看来，“归纳”和“演绎”一样，是传统哲学所关注的重要哲学概念，而且也是现代一些哲学家所争议的问题之一。同时归纳逻辑方法的启发作用在认知过程中不可低估，归纳的一些方法和技术同样是一些学科的元科学因素，是发现真理构建学科系统不可少的。因此，它应属于哲学逻辑。《哲学逻辑杂志》亦把它列入哲学逻辑诸分支之首。
问题在于，归纳推理的复杂性，对它的形式刻画和找出能行程序遇到不易克服的困难，致使其成果与演绎推理所获得成果相比，显得不那么丰硕。然而，由于人工智能等技术上的需要，推动着更多的人研究归纳推理，总会有一天，归纳逻辑也像演绎逻辑那样用形式方法来处理。
【参考文献】
[1]Antoniou,G.:1997,NonmontonicReasoning,TheMITPress,Cambridge,Masschusetts.
关键词：密码协议；BAN逻辑；形式化分析
中图分类号：TP311文献标识码：A文章编号：1009-3044(2011)10-2266-03
在复杂的网络环境下，通信安全是人们首要关注的问题。攻击者通过各种手段非法获得想要得到的有用信息。为此，人们设计了诸多密码协议，如Nssk协议、Kerberos协议等等。利用密码协议可以实现密钥的分配和交换、身份认证等，其目标不仅仅是实现通信的加密传输，更主要的是解决通信中的安全问题。但是，现有的密码协议并非像设计者想象的那样安全。很多情况下，密码协议仍然存在漏洞可能被攻击者利用，这并非是由于密码算法不够安全，而是由于协议本身的结构存在问题。密码协议的安全分析是揭示密码协议是否存在缺陷和漏洞的重要途径。通过对协议的形式化分析，可以发现其中的未知缺陷，进而可以针对这些缺陷对密码协议进行改进，提高其安全性。
认证协议是否正确，常用的方法：1) 采用逐个对协议进行攻击的检验方法；2) 应用形式化的分析工具，其中最典型的是BAN 逻辑。BAN 逻辑是1989年由Burrows，Abadi和Needham提出的[1]，它是一种基于信仰的模态逻辑。在BAN逻辑的推理过程中，参加协议的主体的信仰随消息交换的发展而不断变化和发展。应用BAN逻辑进行协议分析时，首先需要将协议的消息转换为BAN逻辑中的公式，即进行协议的“理想化步骤”，再根据具体情况进行合理的假设，然后利用逻辑的推理规则根据理想化协议和假设进行推理，推断协议能否达到预期的目标。
1 BAN逻辑的基本概念
BAN逻辑在认证协议的形式化分析中发挥了积极有效的作用。BAN逻辑仅从抽象的层次上来讨论认证协议的安全性，它不考虑由协议的具体实现所带来的安全缺陷，也不考虑由于加密体制的缺点所引发的协议缺陷。BAN逻辑的使用，是建立在如下所做的假设基础之上的：
1) 密文块不能被篡改，也不能用几个小的密文块组成一个新的大密文块。
2) 若一个消息中有两个密文块，则该密文块被看作是分两次分别到达的。
3) 假设加密系统是完善的，即只有掌握密钥的主体才能理解密文消息，才能解密密文而得到明文。攻击者无法从密文推断出密钥。
4) 密文含有足够的冗余信息，使解密者可以判断他是否应用了正确的密钥。
5) 消息中含有足够的冗余信息，使主体可以判断该消息是否来源于本身。
6) 假设参与协议的主体是诚实的。
1.1 BAN逻辑的语法和语义
A，B，S：A，B为通信主体，S为认证服务器；
K：加密密钥；Kab,Kas,Kbs：通信主体的共享密钥；
Ka,Kb：通信主体的公开密钥；Ka-1,Kb-1：通信主体的秘密密钥；
Na,Nb：通信主体的观点；P, Q：主体变量；
X, Y：一般意义上的语句；(X, Y)：X和Y的连接；
P |X：P相信X，即P认为X为真；
PX：P看到过X，P接收到了包含X的消息，P能读出并重复X；
P |~X：P曾经说过X，P在某一时刻曾发送过包含X的消息。包含两个含义：一方面是指消息X是由P发送的，即消息源是P；另一方面，指P能够确认消息X的含义，即能够识别该消息并做出正确的解释；
P | X：P对X有控制权或管辖权；
#(X)：X是新鲜的，即协议执行之前X未被传送过；
P•Q：P和Q可使用共享密钥K通信，而且K是好的密钥。这个断言是指密钥的排他性，即只有P，Q或可信任的第三方知道K；
P：K是P的公钥；
PQ：X是P、Q之间的共享秘密，且除P和Q以及他们相信的主体之外，其他主体都不知道X；
{ X }K：用密钥K加密X的结果；
XY：由X和Y合成的消息，其中Y是一个秘密；
1.2 BAN逻辑的主要几条推理规则
1) 消息含义规则(Message Meaning Rules)：
对于共享密钥：
表示如果P相信K为P和Q之间的共享密钥，且P接收到用K加密X的消息{X}K，则P相信Q发送过消息X。
对于公开密钥：
表示P相信K是Q的公钥，而K-1是Q的私钥，当P看到用Q的私钥加密的消息时，就能够断定它是Q发送的。
2) 管辖权规则(Jurisdiction Rule)
表示如果P相信Q有权控制X，且P相信Q也相信X时，则P相信X。
3) 临时值校验规则(Nonce Verification Rule)
表示如果P相信X是新鲜的，并且P相信Q曾发送过X，则P相信Q相信X。
4) 接收消息规则(Seeing Rules)
上述推理规则表示：如果一个主体曾收到一个公式，且该主体知道相关的密钥，则该主体曾收到该公式的组成部分。
5) 新鲜性规则(Freshness Rules)
如果P相信X是新鲜的，则P相信由X和Y连接的整体信息也是新鲜的。
6) 信仰规则(Belief Rules)
7) 密钥与秘密规则(Key and Secret Rules)
1.3 BAN逻辑的推理过程
BAN逻辑在对协议进行形式化分析时，主要解决4个方面的问题：① 认证协议是否正确；② 认证协议的目标是否达到；③ 认证协议的初设是否合适；④ 认证协议是否存在冗余。
BAN逻辑的推理步骤如下：[2]
l) 用逻辑语言对系统的初始状态进行描述，建立初始假设集合。
2) 建立理想化协议模型，将协议的实际消息转换成BAN逻辑所能识别的公式。
3) 对协议进行解释，将形如PQ:X的消息转换成形如 QX的逻辑语言。解释过程中遵循以下规则：① 若命题X在消息PQ:Y前成立，则在其后X和 QY都成立;② 若根据推理规则可以由命题X推导出命题Y，则命题X成立时，命题Y也成立。
4) 应用推理规则对协议进行形式化分析，推导出分析结果。
以上步骤可能会重复进行，例如，通过分析增加新的初设、改进理想化协议等。
2 BAN逻辑的缺陷（Defects of BAN Logic）
BAN逻辑存在着许多不完善的地方[3-4]，按照BAN 逻辑分析方法的规定, 如果协议能够达到最终信仰, 那么就可以相信该协议是安全无缺陷的。然而事实上, BAN 逻辑只能做到：不能达到最终信仰的协议一定是不安全的。它并不能保证达到最终信仰的协议就一定是安全的。这主意是因为：
1) 缺少良好的语义基础：BAN 逻辑缺少一个定义良好的语义, 造成了BAN 逻辑分析经常会遭受重放攻击。
2) 初始假设的不确定性：在BAN逻辑中，初始假设的正确性难以确定。在BAN逻辑中，没有形式化的规则来确定初始假设，也无法确认和自动验证初始假设的正确性和有效性。
3) 理想化步骤非形式化：BAN逻辑的理想化过程是必不可少的步聚，但是BAN逻辑的理想化步骤本身其实是非形式化的, 理想化过程应使理想化后的协议模型能够准确表达原协议，然而理想化后的协议模型与原来的协议有一定差距，对协议的内容有所增加或者有所忽略。这种差异反映到分析结果中也就不可避免地与原协议有一定的出入，不能忠实地表达原协议。这就造成BAN 逻辑分析协议缺乏有效性和正确性, 没有达到形式化方法分析协议的要求。
4) 推理规则存在缺陷：BAN逻辑由一系列的推理规则构成，根据这些推理规则可以分析协议主体能从其接收到的消息中获得怎样的信仰。例如，消息含义规则只有在“消息不可伪造”假设的前提下才能够成立。由于该假设未必成立，所以就构成了该推理规则的缺陷。
5) 无法探测对协议的攻击：BAN逻辑对于的经典重放攻击(如对NS单钥认证协议的攻击)分析效果较好，但并不意味着它可以发现所有的重放攻击，有些类型的重放攻击用BAN逻辑是难以发现的，特别是对并行会话攻击更是无能为力。
下面我们给出一个因协议中含有弱密钥而导致未能分析出密钥猜测攻击的例子。
例如，NS公钥认证协议的简化版本。
(1) AB:{Na,A} Kb (2) BA:{Na,Nb} Ka(3) AB:{Nb } Kb
协议运行的含义如下：
(1) 主体A向主体B发送包含随机数Na和自己身份的消息1，并用B的公钥Kb加密消息1；
(2) B收到并解密消息1后按协议要求向A发送用A的公钥Ka加密的内含随机数Na和Nb的消息2；
(3) 协议最后一步，A向B发送经过Kb加密的Nb。经过这样一次协议运行，主体A和B就建立了一个它们之间的共享秘密Nb=(Kab)，这个共享秘密可以为他们以后进行秘密通信确认双方身份时使用。
用BAN逻辑分析NS公钥认证协议得出协议是安全的结论，但是入侵者I可以通过两次并行运行协议来进行有效地攻击，攻击如下：
第一次运行协议：(1.1) AI:{Na,A} Ki
同时，入侵者I开始第二次运行协议:
(2.1) I(A)B:{Na,A} Kb (2.2) BI(A):{Na,Nb}Ka
(1.2) IA:{Na,Nb} Ka
(1.3) AI:{Nb} Ki
(2.3) I(A)B:{Nb}Kb
入侵者I通过解密消息 (l.1)、消息 (l.3)获取发送消息(2.1)、消息(2.3)所需要的Na、Nb，消息(1.2)则是消息(2.2)的重放。上述协议运行完，主体B认为他与A共享秘密Nb，实际上他与I共享Nb，I假冒A成功，攻击有效。对于网络系统中任何一个合法用户，只要接收到发给自己的NS公钥协议中的消息1，就可以发起上述攻击，来欺骗另外一个用户，故NS公钥协议是不安全的。
此例说明，用BAN逻辑分析是安全的认证协议，并不能保证协议没有攻击。
3 BAN逻辑的改进
从上述分析可以看到BAN 逻辑还有许多不足, 于是产生了这样的尴尬局面：当逻辑发现协议中的错误， 每个人都相信那确实是有问题；当逻辑证明一个协议是安全的, 但没有人敢相信它的正确性。故此，需要针对BAN 逻辑的缺陷进行改进。可改进的方向有：(1) 确立一个可靠的语义，用以验证初始假设的正确性和确保推理的可靠性；(2) 减少理想化步骤的模糊度，进而消除理想化步骤；(3) 建立计算机化的自动分析过程，将各类攻击模拟化并进行分析；(4) 在协议设计阶段，就引入分析从而避免可能发生的设计错误, 并确立好的协议设计方法和规则等。
4 结束语
BAN 逻辑把参与认证的主体在协议运行后所持有的信仰看作是认证协议的目标, 该逻辑从理想化的协议和初始假设出发，应用逻辑规则，对协议运行中的逻辑命题进行推理，最终推出参与协议运行的主体所持有的信仰。BAN逻辑是分析密码协议的一种重要工具，有许多可取之处。当然, BAN 逻辑也存在一些不足, 如BAN 逻辑不考虑协议的具体实现不当导致的错误和不可信主体的认证问题。针对这些缺陷和局限性，一些研究人员又提出了诸多必要的改进和扩展，如GNY逻辑、AT逻辑、MB逻辑、VO逻辑、SVO逻辑等，这些逻辑统称为BAN类逻辑。但相对来讲，BAN类逻辑推理规则更多，运用起来更复杂，不如BAN逻辑简单直观。
参考文献：
[1] M. Burrows, M. Abadi, and R. Needham. A logic of authentication.Proceedings of the Royal Society, Series A,426(1871):233C271, December 1989. Also appeared as SRC Research Report 39 and, in a shortened form, in ACM Transactions on Computer Systems 8, 1 (February 1990),18-36.
[2] 看雪.加密与解密-软件保护技术及完全解决方案[M].北京:电子工业出版社,2001.
关键词：数理逻辑；命题逻辑；一阶逻辑；推理理论
离散数学是现代数学的重要分支，是研究离散量的结构及相互关系的学科，它在计算机理论研究及软、硬件开发的各个领域都有着广泛的应用。其内容大致包含数理逻辑、集合论、代数结构、组合数学、图论和初等数论6部分，这6部分从不同的角度出发，研究各种离散量之间数与形的关系。本文主要研究数理逻辑部分在计算机科学领域中的应用。
1.为计算机的可计算性研究提供依据
数理逻辑分为命题逻辑和一阶逻辑两部分，命题逻辑是一阶逻辑的特例。在研究某些推理问题时，一阶逻辑比命题逻辑更准确。数理逻辑中的可计算谓词和计算模型中的可计算函数是等价的,互相可以转化，计算可以用函数演算来表达，也可以用逻辑系统来表达。
某些自然语言的论证看上去很简单，直接就可以得出结论，但是通过数理逻辑中的两种符号化表达的结果却截然不同，让人们很难理解，这就为计算机的可计算性研究埋下伏笔。下面举一个简单例子加以说明。
例1 凡是偶数都能被2整除。6是偶数，所以6能被2整除。
可见，一个复杂的命题或者公式可以利用符号的形式来说明含义，来判断正确性，这使得计算机科学中的通过复杂文字验证的推理过程变得简单、明了了。
2.为计算机硬件系统的设计提供依据
数理逻辑部分在计算机硬件设计中的应用尤为突出，数字逻辑作为计算机科学的一个重要理论，在很大程度上起源于数理逻辑中的布尔运算。计算机的各种运算是通过数字逻辑技术实现的，而代数和布尔代数是数字逻辑的理论基础，布尔代数在形式演算方面虽然使用了代数的方法，但其内容的实质仍然是逻辑。范式正是基于布尔运算和真值表给出的一个典型公式。
下面以计算机科学中比较典型的开关电路的设计为实例说明数理逻辑中布尔代数和范式的应用。整个开关电路从功能上可以看做是一个开关，把电路接通的状态记为1（即结果为真），把电路断开的状态记为0（即结果为假），开关电路中的开关也要么处于接通状态，要么处于断开状态，这两种状态也可以用二值布尔代数来描述，对应的函数为布尔函数，也叫线路的布尔表达式。接通条件相同的线路称为等效线路，找等效线路的目的是化简线路，使线路中包含的节点尽可能地少。利用布尔代数可设计一些具有指定的节点线路，数学上既是按给定的真值表构造相应的布尔表达式，理论上涉及到的是范式理论，但形式上并不难构造。
例2 关于选派参赛选手，赵，钱，孙三人的意见分别是：赵：如果不选派甲，那么不选派乙。钱：如果不选派乙，那么选派甲； 孙：要么选甲，要么选乙。以下诸项中，同时满足赵，钱，孙三人意见的方案是什么？
解答：把赵，钱，孙三个人的意见看做三条不同的线路，对三条线路化简得到接通状态（既使公式结果为1）。
可见，这类选择问题应用数理逻辑来解决，不但思路清晰、运算结果准确，而且省时、省力。
3.为计算机程序设计语言提供主要思想
专家系统和知识工程的出现使人们认识到仅仅研究那些从真前提得出真结果的那种古典逻辑推理方法是不够的，因为人类生活在一个充满不确定信息的环境里，进行着有效的推理。因此，为了建立真正的智能系统，研究那些更接近人类思维方式的非单调推理、模糊推理等就变得越来越必要了，非经典逻辑应运而生。非经典逻辑一般指直觉逻辑、模糊逻辑、多值逻辑等。这些也可以用计算机程序设计语言来实现。计算机程序设计语言的理论基础是形式语言、自动机与形式语义学，数理逻辑的推理理论为二者提供了主要思想和方法，程序设计语言中的许多机制和方法，如子程序调用中的参数代换、赋值等都出自数理逻辑的方法。推理是人工智能研究的主要工作。逻辑的思想就是通过一些已知的前提推理出未知的结论。
例3 著名的n皇后问题是：是否可以将n(n为正整数)个皇后放在的棋盘上，使得每行每列都有且仅有一个皇后，并且每条对角线上如果有皇后且仅有一个。
通过上述几个实例的验证，会发现数理逻辑在计算机科学中的应用非常广泛，可以把计算机科学中表面上看似不相干的内容通过找出其内在的联系作为前提，利用数理逻辑中的推理理论得到结论。
参考文献：
关键词 空间推理；心理模型理论；心理逻辑理论；功能磁共振成像；正电子发射断层扫描
分类号 B842
人类是如何表征前提的?这是演绎推理研究中的一个重要问题，对此心理学上有两种不同的观点，即心理逻辑理论(Mental Logic Theory)和心理模型理论(Mental Model Theory)。心理逻辑理论主张人类以命题或语言来表征前提，并通过对形式规则(formal rules)的操作进行推理。推理问题的难度由得出结论所需要的规则数量和每条规则的难度决定(Braine&O'Brien，i998；Rips，1994)。相反，心理模型理论认为。推理不需要应用逻辑规则，而是通过对心理模型的建构与操作来实现的，心理模型的数量决定了推理问题的难度(Byrne&Johnson-Laird，1989；Johnson―Laird，2001)。
空间推理(spatial reasoning)或空间关系推理(spatial relational reasoning)是涉及空间领域的推理，它是演绎推理中关系推理的一种特殊形式，通常要求从描述空间关系的前提中推论出隐含在其中的结论(具体见表1)，根据前提所表述的整体关系是否确定，空间推理问题可以分为确定问题(如问题1、2)和不确定问题(如问题3、4)。确定问题只有一种心理模型，因而也被称为单模型问题。不确定问题至少有两种或两种以上心理模型。因此也被称为多模型问题，无论是确定问题还是非确定问题，都可能包含对结论没有影响的无关前提(如问题1和3中的第一条前提)。在不确定问题中，有些问题是存在有效结论的(如问题3)，而有些问题无法得出适合所有模型的结论，即无有效结论(如问题4)。
相对于其他的演绎推理任务，空间推理问题比较简单且容易理解，对于模型数量等变量的操作也比较方便。因此，它被广泛用于验证心理逻辑理论和心理模型理论。行为研究通过考察模型数量、前提对象顺序、问题材料等因素的影响从而证实了心理模型理论的观点，但这类研究仅通过反应时和正确率等外在指标来推测被试的加工过程，近年来，部分研究者借助于脑成像技术考察空间推理的大脑活动情况，并进一步对两种理论进行了验证。
1 支持心理模型理论的证据
1.1 行为研究
1.1.1 心理模型数量决定任务难度
支持心理模型理论的最直接证据来自于对不同模型数量空间推理问题的研究。根据心理模型理论的观点，模型而非规则数量决定了问题的难度，已有研究表明，在不同条件下，多模型问题均难于单模型问题，研究的结果证实了心理模型理论的观点。
Byme与Johnson-Laird(1989)比较了推理的步骤(即心理规则)和模型的数量在预测空间推理问题难度方面的差异，在第一个实验中。问题需要的推理步骤是不变的，但模型数量不同(问题2和问题3)。在第二个实验中单模型问题比多模型问题需要更多的步骤(问题Ⅱ和问题3)。研究结果表明，多模型问题比单模型问题更难，但需要更多推理步骤的问题并不比需要更少步骤的问题难。Byrne的研究仅以正确率为指标，Carreiras等(1997)对此做了改进，记录每类问题的前提阅读时间、问题回答时间及错误的百分比，并将空间与非空间的推理问题进行比较。实验所使用的问题与上述Byrne的研究相似，但使用系列呈现和同时呈现两种方式，结果表明，在两种呈现方式下，单模型问题都比多模型问题的正确率更高，反应时更短。对空间和时间推理问题的研究也得到相似的结果(Vandierendonck&Vooght，1996)。在空间和时间领域，单模型问题的前提阅读时间及结论反应时间都比多模型问题短，反应的正确率更高。Schaeken等(Ⅱ998)通过系统地操纵无关前提(即分别设置无或有无关前提的单模型和多模型问题)，进一步考察了模型数量对任务成绩的影响。结果发现，无论是否包含无关前提，多模型问题的正确率均低于单模型问题。
对不同材料的空间推理问题的研究进一步支持了上述的结果。研究中使用的任务类似于表1中问题1、2和]，以句子或图表(女“AB”，表示A在B的左边)的形式呈现。结果发现，图表形式的问题比句子形式的更容易，但两种材料的多模型问题均比单模型问题难(Boudreau&Pi~eau，2001)。虽然前提的顺序及空间的维度都影响被试的成绩，但在所有条件下，多模型问题均难于单模型问题(Boudreau，Pigeau，&McCann。2002)。
心理模型理论以工作记忆理论对模型数量影响任务难度的现象进行了解释，认为工作记忆容量限制了被试处理并比较多个模型的能力，从而影响被试的推理成绩(Johnson-Laird，2001)，Oberauer等(2006)证实了工作记忆容量对心理模型建构的影响。研究表明，工作记忆容量高与低的被试在空间推理方面的差异主要表现为成功建构心理模型的概率不同。虽然研究证实了心理模型理论的观点，但也有研究者提出了质疑。批评者认为，心理模型理论并没有提出一个明确计算心理模型数量的方法。模型数量是每条前提模型数量的总和，还是符合所有前提的结论的模型数量，或者是每条前提的模型数量加上结论的模型数量(Bonatti，1998)?
1.1.2 前提的对象顺序影响推理过程
心理模型理论认为，演绎推理包括三个阶段：(1)前提加工阶段。被试通过阅读第一条前提建构一个最初的心理模型。(2)前提整合阶段，被试将其他前提整合形成一个整体的模型，并得出假定的结论。(2)确认阶段，被试通过建构前提的其他模型来确定假定的结论是否正确(Johnson-Laird&Byrne，1998)。已有研究表明，前提的对象顺序对不同的加工阶段都有重要影响，研究的结果支持心理模型理论的观点，
在前提加工阶段，对象的位置影响其被加工的过程，空间关系的前提引导被试以某个物体为参照物，另一个物体为目标物(Logan，1994)。如“教堂在车站的左边”，车站被看作为参照物，教堂则为目标物，Oberauer等人在此基础上进一步提出关系推理任务中存在方向性(directionality)
的观点，例如，关系词“在…左(右)边”存在反向的作用，对于“A在B的左边”这一前提，个体是先加工B，其次是A。这一观点得到句子一图片证实任务的支持。在单个前提的空间描述中，如果图片中的参照物先于目标物出现时，被试的证实反应时明显更短(Oberauer&Wilhelm，2000)。
在前提整合阶段，第二条前提中新的元素被整合到第一条前提所建构的最初的心理模型。因此，这一整合过程应该对第二条前提的特点非常敏感(HOmig，Oberauer,&Weidenfeld，2005))，Oberauer等人(2005)总结了关系推理中前提整合的三条原则：(1)参照物=已知原则(relatum=givenprinciple、。如果第二条前提的参照物在第一条前提中已经给出了，第二条前提更容易被整合。(2)先进先出原则(f3rst-in-first-out principle，FIFO)，首先进入工作记忆的信息容易成为最先的输出结果。(3)旧一新原则(8iven-newprinciple)，当第一条前提中的第二个对象在第二个前提中首先提及时，前提的整合更为容易。对条件推理、关系推理(涉及空间、时间、比较关系)和三段论推理的研究表明，“参照物=已知”原则和"IN一新”原则能够解释大多数的对象顺序效应。对规范(如“A在B的左边”)和不规范(如“B的左边是A”)表述的推理问题、四种不同表述方式的德语推理问题以及“在…之间”的推理均证实了“参照物＝已知”原则和“旧一新”原则(H6rnig，Oberauer，&Weidenfeld，2005；H6rnig，Weskott，Kliegl，&Fanselow，2006；HOmig，Oberauer，&Weidenfeld2006)。
前提的对象顺序同样影响结论的产生。这在三段论推理的研究中已经得到证实，如前提“所有的A是B，所有的B是C”，被试更容易得到“所有的A都是C”而不是“所有的C都是A”的结论。在涉及关系词“在…左(右)边”的三个对象空间推理问题中，AB。BC的对象顺序更容易得出A-C的结论，而BA-CB的对象顺序更容易得出C-A的结论(0berauer，H6rnig，Weidenfel，&Wilhelm，2005)。
1.1.3 图表推理易于句子推理
根据心理模型理论的观点，心理模型是图标形式的。因而图表的前提比句子的前提更容易形成心理模型。而从心理逻辑理论的角度来看，推理是通过对规则的操作来实现的，这种操作部分是基于句法结构而进行的，因而句子形式的前提应比图表易于进行规则的操作。对涉及不同材料的空间推理问题的研究证实了心理模型理论的预测。
Boudreau与Pigeau(2001)对图表材料与文字叙述的空间推理问题进行了比较。实验设置了四种条件：(1)图表(图像)，如“A，”。(2)图表(名词)，如“三角形圆形”，(3)句子(图像)，如“厶在，的左边”。(4)句子(名词)，如“三角形在形的左边”，研究结果显示，图表形式的问题均比句子形式显著容易。在不同的前提顺序和空间维度条件下，这一效应仍旧存在(Boudreau，Pigeau，&McCann，2002)。Copeland等人(2007)对空间推理年老化的研究进一步支持了上述的结论。其研究表明，以句子和词语形式呈现前提时，老年组的推理成绩明显不如青年组，在不连续的前提条件下尤其明显。但图片形式的前提对老年组的推理成绩影响不大，
1.2 脑成像研究
随着脑成像技术的发展，关于两种理论的争论也从行为研究转向了对于推理如何在大脑中进行的问题。按照心理模型理论，推理是通过对模型的操作而实现的，这一活动应与大脑的视空间加工系统有关(Johnson-Laird，2001)，，这一预测得到多数空间推理的脑成像研究的证实。
对具体和抽象的空间推理任务的研究表明，两种任务激活了相似的双侧枕一顶一额脑区网络，即双侧枕区(BAl7，Ⅱ8，Ⅱ9)、双侧顶区(BA7，40)、双侧额叶背部(BA6)、左侧背外侧前额皮层(BA9)等(Goel&Dolan，2001)。这些脑区主要与视空间加工系统有关，研究的结果支持心理模型理论的预测，Knaff等人(2002)对不同通道(听觉和视觉)的两种推理任务(空间推理与和条件推理)的研究进一步证实了上述研究结果。研究发现，无论是听觉还是视觉呈现，两种推理任务均激活了相似的枕一顶一额脑区网络，包括前额叶皮层(BA6，9)和扣带回(BA32)、顶区上部与前部(BA7，40)、前楔叶(precuneus)(BA 7)、及视觉相关皮层(BAl9)。上述的研究结果也得到了比较空间推理与空间工作记忆任务研究的支持(Ruff，KnauffFangmeier，&Spreer，2003)，Ruff等人的研究表明，空间推理主要激活枕。顶一额脑区网络，两种任务共同激活的神经网络包括双侧的次级视觉皮层、扣带皮层后部。ostenor cingulate cortex)和内侧前额皮层。
虽然上述研究均表明空间推理主要激活枕一顶一额脑区网络，但也发现某些视觉有关皮层的激活，为了进一步考察视觉信息对空间推理的影响，Knauff对听觉上呈现的四种关系推理任务(通过操纵视觉与空间上的可想像程度分为视空间关系、视觉关系、空间关系、控制关系)进行了考察。研究表明，所有的推理问题激活了相似的脑区，视空间关系与空间关系的推理主要导致了左侧颞回中部(BA21)、双侧顶区皮层上部(BA7)、左侧额回中部(BAll)活动增加，然而，视觉关系的问题除上述激活脑区外，同时也激活了与V2相应的视觉联系皮层(KnaufI＼Fangmeier,Ruff,&Johnson―Laird，2003)。与上述研究不同的是，这一研究发现了左侧颞区的激活。这种差异可能与研究中使用的基线任务不同有关。前面所述的研究使用与推理相匹配的记忆任务为基线，而本研究以被试休息时的大脑活动为基线。Knauff(2006)总结认为，听觉呈现的任务中也发现视觉有关皮层的激活，这可能与问题包含视觉化信息且必须在视觉工作记忆中储存与加工有关。但一般的推理过程不需要视觉表象的参与，更多依赖储存于顶区皮层的抽象的空间表征。只有这些空间表征对真正的推理过程来说是关键的。
Fangmeier等人以图表形式的前提为材料，以事件相关功能磁共振成像技术来证实了心理模型理论所提出的三个加工阶段的观点。对被试大脑活动的扫描结果表明，在不同的加王阶段出现了不同的脑区活动特征：(1)在前提加工阶段，双侧枕颞皮层出现更大的激活。(2)在前提整合阶段，除双侧枕颞皮层外，前额叶皮层(BAl0，32)
出现更大的激活。这与，临床上对脑损伤病人的研究结果一致，即前额叶损伤严重影响需要整合关系的演绎推理与归纳推理任务的成绩，但对记忆任务影响不大(Waltz，Knowlan，et al。，1999)。(3)结论的确认阶段激活的脑区除前额叶皮层外，还有顶区后部。具体脑区包括额中回(BA9，8，6)、右侧前扣带回(BA32)、顶叶上部和下部(BA7，40)(Fangmeter，Knauff’Ruff，&Sloutsky，2006)。虽然在前提加工阶段发现颞区的激活，但这可能反映了对前提的理解过程，而前提整合阶段与结论确认阶段额区和顶区皮层的更大激活才反映了真正的推理过程，研究的结果不但表明了存在三个不同的加工阶段，同时也证实了空间推理活动主要激活与视空间系统有关的脑区，从而进一步证实了心理模型理论的观点。
2 支持心理逻辑理论的证据
2.1 行为研究
虽然空间推理的行为研究基本支持心理模型理论，但也有研究者持不同的意见。Van derHenst(1999)认为，已有的对单模型与多模型问题比较的研究中。无关前提均放在首位。可能是无关前提的位置而非模型数量影响问题的难度，因此，他使用类似于Byrne等人的单模型和多模型问题，并在多模型问题中设置两种无关前提的位置(分别放在首位或末位)，结果发现，无关前提在末位的多模型问题比无关前提在首位的多模型问题更容易，葚至与单模型问题同样容易。此后，他进一步提出，已有研究主要以确定问题(表1中的问题2)与不确定(问题])进行比较，问题]的第一条前提使得问题产生了非确定性。大多数研究者从心理模型理论的观点出发，认为如果是以规则进行推理，则应不考虑第一条前提。但这种预测是一种错误的观点。被试是否考虑第一条前提，这取决于推理的启发式或策略的方面，并不依赖于推理的途径(即基于规则或模型)。实际上，从心理逻辑理论的观点来看，问题3与问题2需要同样多的步骤，而问题3由于涉及不确定性，某些步骤需要储存更多的信息，从而导致难度加大。因此，从心理逻辑理论的观点来看，多模型问题也应该难于单模型问题(Van der Henst，2002)。
此后，Van der Henst等(2005)考察了前提的措词、不同呈现方式等因素对结论措词的影响。首先，前提措词影响结论的表述。这一结果证实了心理逻辑理论。因为如果被试建构前提的心理模型，则前提的措词应不影响结论的措词；相反，如果被试通过规则进行推理，则结论的措词应与前提保持一致。其次，不同的呈现方式也会影响被试的推理过程。任务(包括前提与问题)同时呈现时，被试倾向于使用规则进行推理。而在系列呈现时，被试倾向于使用心理模型进行推理。第三，前提的顺序、提问的方式(D和E之间是什么关系?或者E和D之间是什么关系?)等影响结论的措词，这一结果支持心理模型理论，据此，研究者提出了一种折衷观点，即演绎推理涉及两种推理机制，被试在具体的推理过程中使用哪种方法，可能与任务的特点和被试的策略等因素有关。
2.2 脑成像研究
从心理逻辑理论的角度来看，推理是通过对规则的操作而实现的，应与大脑左半球的语言加工脑区有关(Rips。1994)，这一点得到早期临床研究的证实。Hier等人的研究表明，左脑语言有关区域损伤的被试虽然能使用抽象的词语，但很难理解空间关系的介词(如在…后面、旁边等)，这些病人在理解视觉空间逻辑关系的任务上成绩明显比正常组差，但右半球损伤的被试并没有表现出这种困难(Hier,Mogil，Rubin，&Komros，]980)。
Goel等人以Ⅱ2名正常人为被试，并以PET技术扫描被试执行三种类型的演绎推理任务(直言三段论、三个对象的空间关系和非空间关系推理)时的脑区激活情况。研究的结果表明，三种推理任务的激活区域主要是左脑，包括左侧额回下部(BA45、47)、左侧额回中部(BA46)、左侧颞回中部(BA21、22)、左侧颞回外侧下部及颞回上部(BA32、34)，并没有发现右半球或顶区显著的激活(Goel，Gold，Kapur，&Houle，1998)。这一结果进一步支持了心理逻辑理论，
总之，从行为研究来看，虽然Van der Henst等人(2005)的研究表明前提的措词影响结论从而支持心理逻辑理论，但这项研究中前提的对象顺序与措词两项因素混合在一起，且仅以结论的正确率为反应指标。很可能是前提的对象顺序而非措词影响了最终的结论。已有的行为研究从模型数量、前提的对象顺序效应等方面证实了心理模型理论的预测，研究的结果基本支持心理模型理论，
从脑成像研究的结果来看，多数研究结果表明空间推理活动主要激活视空间加工系统有关的脑区。虽然Goel等人98年的研究表明空间推理主要激活左侧脑区，但进一步的审查发现，该研究使用的是[7区组(block design)设计，对被试脑区的扫描时间超过1分钟以上，扫描的结果主要反映被试阅读前提时的大脑活动，而并非真正的推理过程(Goel&Dolan，2001)。另外，Goel等人的研究发现对熟悉内容的空间推理主要激活额一顶通道，而对不熟悉内容的空间推理激活枕一颞通道(Goel，Makale，&Grafman，2004)，研究的结果支持主张人类存在两种不同的推理系统的双加工理论(Evails，2003)。但是在这项研究中，使用的任务涉及信念信息，可能是这种信念的信息导致了颞区的激活。另一种可能的解释是，颞区的激活可能仅反映了对词语材料前提的理解过程，这是进行推理的前提条件(Knauff，Fangmeier,Ruff&Johnson―Laird，2003)，多数的空间推理问题激活了与视空间加工系统有关的枕，顶一额脑区网络，研究的结果支持心理模型理论的观点。
3 结语
心理逻辑理论与心理模型理论都是对推理表征形式的一般假设，二者都是一种理论框架。只有两种理论或建立在其基础之上的理论对推理机制作出详细的说明，通过分析支持和反对不同理论的证据，对于推理机制的研究才能取得较大的突破。但目前的研究显然还没有达到这一条件，就空间推理而言，虽然心理模型理论提出了较为详细的解释，但来自心理逻辑理论的解释却相对匮乏，因而研究虽然证实了心理模型理论，却也难以驳斥心理逻辑理论。
