时间：2024-04-22 15:23:38
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇数学概念教学的基本策略，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
许多一线教师在教学中重解题、轻概念，造成数学概念与解题脱节的现象。而近几年数学高考试题中，考查概念应用、新概念理解的试题频繁出现，学生普遍感到难度较大，甚至无从下手。 因此，如何搞好新课标下数学概念课的教学，是值得广大教师探讨的问题。
一、数学概念的主要特点和作用
数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，它具有相对独立性。概念反映的是一类对象的本质属性，即这类对象的内在的、固有的属性，而不是表面的属性，而这类对象是现实世界的数量关系和空间形式，它们已被舍去了具体物质属性和具体的关系，仅被抽取出量的关系和形式构造，在某种程度上表现槎栽始对象具体内容的相对独立性。
数学概念教学在中学数学中非常关键，是学好数学的重要一环，正确理解概念是学好数学的基础。有的学生数学成绩差，最直接的一个原因就是概念不清，尤其是普通中学的学生，数学素养差的关键是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异。因此，要想提高中学数学教学质量，最重要的就是要抓好概念教学。教学过程中如果能够充分考虑到这一因素，抓住有限的概念教学的契机，以提高大多数学生的数学素养是完全可以做到的，同时，数学素养的提高也为学生的各项能力和素质的培养提供了有利条件以及必要保障。
从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一是有的学生认为基本概念单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊；其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背，而不去真正透彻理解，只有机械的、零碎的认识，这样久而久之，严重影响了对数学基础知识和基本技能的掌握和运用。比如有同学在解题中得到异面直线的夹角为钝角，这些错误都是由于学生对概念认识模糊造成的。只有真正掌握了数学中的基本概念，我们才能把握数学的知识系统，才能正确、合理、迅速地进行运算、论证和空间想象。从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度。
二、高中数学教学中概念教学的可行性策略
1.在体验数学概念产生的过程中认识概念
数学概念的引入，应该从实际出发，通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识，再通过观察、分析，抽象出感性材料的本质属性，并推广到一切同类事物，概括形成概念。例如，在“异面直线”概念的教学中。展示长方体模型，请学生找出模型中平行及相交的直线，再提出问题：还有其他的位置关系吗？当学生找出两条既不平行又不相交的直线时，教师告诉学生像这样的两条直线就叫做异面直线。 接着提出“什么是异面直线”的问题，让学生相互讨论，尝试叙述，最后概括出定义：“我们把不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线。”在此基础上，再让学生找出生活中的异面关系的直线，最后以平面作衬托画出异面直线的图形。 学生经过以上过程对异面直线的概念有了明确的认识，同时也经历了概念发生发展过程的体验。再比如，在讲数学归纳法的概念时，为了帮助学生更好的理解“递推”的含义，可以引进“多米诺”骨牌游戏，由于骨牌之间的特殊的排列方法，只要推到了第一块骨牌，第二块骨牌就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下，……如此传递下去，所有的骨牌都会倒下，这种传递相推的方法，就是递推。
2.在挖掘新概念的内涵和外延的基础上理解概念
有些概念由于其内涵丰富、外延广泛，很难一步到位，必须循序渐进、不断加深理解。例如，关于“角”的概念的深化，首先列出“平面角”、“异面直线所成的角”、“直线与平面所成的角”、“二面角”、“二面角的平面角” 各种定义，进行对比。 进一步认识到空间 “异面直线所成的角”、“直线与平面所成的角”、“二面角”都是在“平面角”概念的基础上发展和推广的；反之，这些空间的角都又是转化为“平面角”来表示的，只有“二面角”是通过“二面角的平面角”来表示。 求角是立体几何中的重要题型，只有对各种角概念理解透彻，才能很好的应用到解题中。
3.通过练习进一步巩固概念
数学概念形成之后，引导学生利用概念解决数学问题是数学概念教学的一个重要环节。 有关数学概念运用的问题千变万化，但万变不离其宗。 在学生掌握了数学概念之后，教师精选几类题目，让学生运用概念解决问题， 然后启迪学生从中总结出解题规律，培养学生的数学思维。如用向量解决几何中有关距离的题型就是典型的例子。 在学习完“向量的坐标”这一概念之后，提出问题：已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是 A（3，5）、B（4，6）、C（2，1），试求另一个顶点的坐标。 学生展开充分的讨论，不少学生运用平面解析几何中学过的知识（如两点间的距离公式、斜率、直线方程、中点坐标公式等），结合平行四边形的性质，提出了各种不同的解法。 有的学生应用共线向量的概念给出了解法；还有一些学生运用所学过向量坐标的概念，把点的坐标和向量的坐标联系起来，巧妙地解答了这一问题。 学生通过对问题的思考，尽快地投入到新概念的探索中去，从而激发了学生的好奇，以及探索和创造的欲望，使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。除此之外，教师通过反例、错解等进行辨析，也有利于学生巩固概念。
三、结语
数学教学是一种对话、一种沟通，是合作与共建。课堂教学中，教师分析得再透彻也代替不了学生的思考。只有通过学生参与对话和交流，才能在不知不觉中培养学生的数学思维。 高中数学新课标提出了与时俱进的认识“双基”的基本理念，概念教学是“双基”教学的重要组成部分。教学中，要根据课标对概念教学的具体要求，创造性地使用教材。优化概念教学，把握概念教学过程，真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造，达到认识数学思想和本质的目的。
参考文献：
[1]赵爱芳.高中数学概念教学策略[J].教育科研论坛，2012，03：54-55.
[2]杨丽.也谈高中数学概念教学的实效策略[J].读与写（教育教学刊），2011，11：119.
[3]孙殿武.对高中数学概念教学的几点思索[J].科技创新导报，2014，21：157.
【关键词】概念的理解；思维与创新；概念教学
一、前 言
在数学的教学中，帮助学生理解基本的数学概念是教学活动的基本环节，也是一项基本功，它是培养学生基本逻辑思维能力的基石，是学生灵活解答各种问题的必备条件。所以高中数学教师进行数学教学的时候，应该要多多帮助学生加强各种概念的理解，应该要把概念教学贯穿到教学活动的每一个环节，但是这几年，由于受各种因素的影响，很多的高中老师对于概念的教学环节不太注重，而是一味地强调学生对各种题目的解答，不少老师把数学上的概念当成“语文”上的概念来解释，导致很多高中的学生连基本的概念都很难把握到位，严重影响了学生解答以及思维能力的提高。
二、深刻理解数学概念的作用
很多高中数学老师不愿意在概念的讲解上花费太多的时间，很大的一部分原因应该是没有意识到概念理解在学生解题能力中的重要作用，从笔者多年的高中从教经验中，笔者认为高中数学概念教学的作用至少有以下几个方面：
1概念理解是思维的基础
高中数学老师应该深有体会，一般而言，对于数学中的各种基本概念理解能力比较强的学生解题能力要比一些理解能力弱的学生强。用一个比较常用的说法：基石都不稳，大厦怎么会稳。数学概念是构建数学中各种理论的一个重要基础，同时也是确定研究范围的一个重要工具。数学中的各种概念很多时候都不是孤立存在的，而是与多个的概念相联系，举个简单的例子：数学中的充分条件和必要条件，这两个概念就不是孤立存在的，是有一定的关联的，老师在讲解时应该要充分地将两者联系起来并进行区分。如果学生不能很好地区分这两个概念，我想学生很难用思维判断出什么情况下是充分条件，什么情况下是必要条件。
2概念理解是培养学生概括能力以及创新能力的必要条件
数学本身的一个重要作用就是培养学生的思维能力,高中数学中的概念一般而言都具有很强的严密性、抽象性和明确规定性，对于各种概念的理解过程是学生培养概括能力的的一个很好的锻炼机会，同时概念的理解过程应该是学生开动脑筋发现问题的过程，一千个读者有一千个哈姆雷特，对于同一个概念，可能也会有一千种不同的理解方式，理解方式的不同，形成的思维也会有很大的不同，但是这些不同的思维方式正是学生进行创新活动所必须具备的。
三、高中概念教学的相关策略探讨
从以上分析我们已经知道概念教学的重要作用，因此我们一定不能只是把数学概念当做一个语文上的名词来解释，也不能只是生搬硬套使概念复杂化，应该要注意策略性。笔者认为，要让学生很好地把握数学中抽象难懂的概念可以采取以下几种方式：
1注意概念的导入方式
概念的导入是讲解概念的第一步，导入的方式有很多，但是笔者认为，不管是什么样的方式，最重要的目的就只有一个：引起学生求知的兴趣。一般而言，从生活中一些比较具体的学生比较熟悉的事例出发比较容易引起学生的兴趣。比如，可以从一些比较有趣的故事说起或者是从一些现实生活中的问题说起，比如在说到数列的问题时，老师可以借助古代有关的故事来说明：“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”从这一个故事中我们就可以引发学生思考两个问题：如何计算每天剩余的木棍的长度以及被砍去的木棍的长度。通过这两个问题的思考老师可以慢慢引出有关数列的相关问题，激发学生学习的兴趣。
2注意概念的导出过程
概念是对客观事物以及客观现象的抽象理解，它的形成不是一蹴而就的。数学中的概念更是如此。它的形成一般都有一个过程，老师在导出概念时应该要注重概念的形成过程。这个过程一般可以分两个阶段进行：第一个阶段是对各种材料以及事例进行抽象的概括，找出这些基本事例中的共同点；第二个阶段则是让学生用自己的方式陈述事物的主要特点。
3注意探索概念的深刻内涵以及外延
数学中概念的内涵和外延是数学概念的两个重要组成部分，对于数学概念内涵以及外延的把握是深刻理解概念的前提。因为概念的内涵是数学对象的本质属性的总和，而外延则是其反映的对象的全体。概念的内涵与外延具有层次性，相当的丰富，很难一下子就把握全面，所以必须深入挖掘。
4注意概念之间的联系
高中数学的很多概念之间存在着很大的联系，这也是学生容易搞混的原因之一，比如平行线段与平行向量、指数函数与对数函数、反函数与幂函数等。老师在对这些概念进行讲解时，应该要注意区分它们之间的联系与区别，通过对比来强化学生的理解与记忆。
5及时强化，巩固学习效果
学习的目的应该是为了使用，在对概念进行深入剖析之后应该要设计一些与概念相关的练习来巩固学生学习的效果。大家应该有同感，很多问题都有相似点，再怎么变化都是围绕学过的相关点来设计的，所以老师在设计相关的练习时也要注意典型性，不能够随便选题，要注意代表性，这对老师而言也是有一定的要求的，即老师要对曾经出现过的与上课内容相关的题要有所了解，这样可以提醒学生以后在面对同类型的题时应该要注意些什么问题。
四、结 语
高中数学概念教学是整个教学中一个比较重要的环节，是培养学生思维与创造性的基础，所以一定要注意学生对基础概念的理解，促进学生思维的发展，注意与学生的互动性，要把课堂交给学生，让学生在概念的理解中发现问题、解决问题，一味地对各种概念进行应试教育式的灌输，这样只会限制学生的思维与创新性。
【参考文献】
［1］张峰。浅谈新课标下的高中数学概念教学［J］。江苏教育学院学报（自然科学），2010，26(4):59-60。
关键词：小学数学；概念教学；方法
数学概念往往都是比较抽象的，而小学生逻辑能力、空间观念的培养都需要概念作为基础。因此，在实际教学中，我们要对小学数学教学的方法进行探索和发现，加强概念教学，提出适合小学生的数学概念教学方法。下面是笔者就小学数学概念教学中存在的问题及方法策略所做的一些浅显分析。
一、小学数学概念教学中存在的问题
数学概念教学是数学教学的重要组成部分，也是数学教学的核心，但在实际的教学中仍存在着以下几种问题：
（一）计算的重视程度高于概念
在小学数学教学中，教师过于注重学生的计算能力，但对于学生在概念上的认知却不是特别关注，概念教学往往一带而过，仅要求学生自己记住，而不注意学生是否正确理解了概念。这就导致学生把精力和注意力过度放在了计算教学上，对数学概念不够重视，学习松懈，概念基本模糊不清，问题堆积严重。
（二）重结果轻过程
小学教师在数学教学中过于强调结果的重要性，并以此来衡量学生是否掌握熟练，而对于学生的探究和发展却关注甚少。
（三）缺乏抽象教学
由于小学生的思维是形象性思维，因此他们更容易接受直观的具体知识。同时，教师也过于注重学生的形象思维而忽略了对其抽象思维的培训，导致学生一直停留在具体、直观的学习中，缺少对抽象概念的理解与分析。
（四）缺乏实践
在数学概念教学中，教师往往全部按照课本上的知识展开教学，没有联系学生的生活经验，导致学生不能用所学概念解决生活中的实际问题。
（五）忽略概念的形成与联系
在教学中教师往往将学生所要探索的知识全盘托出，要求学生死记硬背而不强调理解，使其知其然而不知其所以然。然而，概念之间都有一定的联系，如果不注意相关概念的联系教学，学生就不能在脑中组成完善的概念系统，不能形成一定的知识网络，最终导致学习效率低下，概念模糊。
二、小学数学概念教学的方法策略
（一）概念引入
概念引入是否得当对于学生对概念的理解与形成具有直接关系。小学生缺乏抽象思维，缺乏生活经验，教师在教学中切记不可突兀、生硬地引入概念，这会导致大部分学生困惑迷茫，难以接受。教师要充分利用学生好奇、好动的特点，通过创建相应情景引入概念，投其所好，让学生在充满乐趣的情景中慢慢理解概念，这样既能激发学生的学习兴趣，又能在让其很好地把握正确的概念。
（二）构建概念
知识不能简单地由教师传授给学生，必须依托学生自己的已有的经验和知识加以构建。数学概念的抽象性使得学生正确理解概念成了一个主动、复杂的思维过程。因此，教师不能按部就班地将现成概念原封不动地教给学生，也不能只注重结论的记忆而忽略对概念的正确理解，而是要关注学生的探究与发展，引导学生自主参与结论的形成。同时，教师还要对学生的抽象思维加以培养，增强学生的逻辑思维能力，强化学生对概念本质的理解，提高学生的分析能力。
（三）概念的巩固
概念学习的目的是用来解决实际问题，只有把所学的概念知识运用到实践中去，才能巩固所学概念。巩固概念的练习方式是多层次、多角度的，既要注重概念的关键性，又要注重其综合性。教师应通过练习巩固，深化概念，强化学生解决问题的能力。
（四）概念的深化
小学数学概念教学中不仅要求学生理解好概念，还要使学生能熟练灵活地对概念加以运用。因此，概念的发展与深化是很有必要的，要抓住重点、分散难点并有计划地引导学生的概念深化过程。同时，要让学生深入钻研教材，明白有关概念在相应章节中的作用和地位，并与其它知识建立联系，使概念教学与解题教学融为一体，让学生在知识运用的过程中不断地强化对概念的深入理解，并提高解题能力。此外，定理、公式是概念教学的延伸，熟练地掌握与概念相关的定理、公式能深化学生对于概念的理解。
（五）指导学生建立概念体系
在教学进行到一定阶段时，教师应当对所有概念进行梳理，并将其串联起来，做一个归纳，从纵向、横向等多方面找出各个概念之间的关联，从而将一些概念概括到一个系统当中，形成系统概念。这既帮助学生提高了学习效率，又为学生理清了头绪，解决了概念模糊的问题，同时也有助于学生充分熟练地掌握各种数学概念并且能够灵活运用。
（六）在实际生活中运用概念
在数学概念教学中，教师要灵活设计不同的环节，采取各种教学措施，把数学概念的教学引入现实的情景中去，让学生结合生活实际，把抽象的数学概念转化为具体情景，促进学生的好奇心与求知欲。这不仅使学生学会了使用数学概念去观察周围的事物，也为学生提供了主动探索、发现的空间，并最终提高了学生对概念的实际应用。
总之，小学数学概念的建立是学生主观、复杂的思维培养过程，在教学时教师要依据小学生的认知规律，从实际生活出发，从学生已有的知识经验着手，从已知逐步到未知，建立数学概念，然后在实际运用中巩固、深化概念，建立系统的知识网络，从而使学生在掌握好数学概念的同时，发展自己的思维和解决实际问题的能力，为我们的数学教学打下坚实的基础。
参考文献：
1.杨建辉.试论数学概念形成的问题情境创设策略[J].内江科技，2009（11）.
2.潘晓燕.优化小学数学概念教学的策略[J].成功（教育）， 2008（03）.
3.郑以新，汪小艳.小学数学概念的教学[J].湖北教育，2006（12）.
4.陈开勋，鞠锡田.谈小学数学概念的教学[J].教学与管理，2006（35）.
关键词：起始型概念课；低年段；教学策略
数学课程标准指出，数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。通过良好的数学概念学习促进学生从具体形象思维发展到抽象逻辑思维，进一步培养数学能力，
通过有效的概念教学，使学生顺利地获取有关概念。
一、起始型概念课教学过程中存在的问题
1.概念教学的目标定位失当
很多教师在上概念课的时候，首先就要求学生把概念强记下来，然后进行大量的强化练习来巩固概念。这种死记硬背的教学方式有着很大的消极影响，由于学生并没有理解概念的真正含
义，一旦实际应用的时候就感到一片茫然。
2.孤立地教学概念
很多教师在教学概念的时候往往习惯于把各个概念分开讲述，这样虽然是课时设置的需要，但是这种教学方式会使学生掌握的各种数学概念显得零碎，缺乏一定的体系，这不仅给学生理解和应用概念设置了障碍，同时还给概念的记忆增加了难度。
3.概念的形成缺乏有效引导
在演绎概念的教学中，教师往往采取“老师带着学生小步走，学生按照老师的思维慢慢走”的引导模式。引导学生准确地理解概念，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的本质属性，这是概念教学应该达到的教学目标。
二、低年段起始型概念课的有效教学策略
1.将概念置身于“原始背景”中去理解
起始型概念是在长期的实践中总结出来的，它是在一定知识背景下的某一个情境中自然得到的结果，这个合乎想象的能触发新概念形成的知识背景称为知识的原始背景。当面对一个崭新的概念，都应努力地探寻知识的原始背景，模拟知识发生的情境，将静态的知识结论转变为动态的探索对象，让学生经历概念发生、形成的过程。
2.将概念置身于“现实背景”中去理解
虽然是初级概念，但它仍然是学生的认知发展到一定阶段的产物。如在教学中，教师应当采取一些恰当的方式了解学生，如调查研究等方式，找到新旧知识之间、文本知识和生活知识之间的联结点展开教学，让学生以联系的观点学习新的概念，促进主动建构，这里的联系包含知识系统本身的联系和学生已有生活经验及认知经验的联系。
3.让学生在动手操作的活动中建立概念
学生第一次接触新概念，难免会产生陌生感、畏难感，这时就需要在动手操作的支撑下建立概念，让学生迅速进入新知学习的状态中。建立数学概念有两种基本形式：一是概念的形成，二是概念的同化。概念的形成是一个累积、渐进的过程，是概念教学的中心环节。数学概念的形成一般要经过直观感知建立表象揭示本质属性三个阶段，直观感知和建立表象是建立概念的向导，概念本质属性的揭示是概念教学的关键。动手操作对建立概念能突出体现三个作用：（1）能较好地吸引学生自主参与；（2）能有利于学习过程中的动态生成；（3）能突出知识的本质特征，在较短的时间内解决数学问题。
【关键词】初中数学；概念教学；策略探析
数学概念作为构成数学理论体系的最基本因素，是数学研究成果的高度浓缩，是数学科学的精髓之所在。数学概念教学是数学教学中极其重要的一个环节，初中新课标明确作出要求，数学教师要着力于提高学生的对数学概念的把握能力，由于初中生年龄、阅历水平有限，再加上一些数学教师惯用传统的教学模式、最终造成很多学生对数学概念的理解和掌握能力不强。尽管我国初中数学老师在概念教学中积累了丰富的经验，取得了重大的进展，但在实际的初中概念教学过程中很多问题仍然存在。本文主要研究我国初中数学老师在概念教学中存在的问题，探讨初中概念教学策略，为我国中数学老师在概念教学方面的进一步发展提供借鉴。
一、注重概念的形成过程，深入剖析，揭示概念的本质
其实很多的数学概念是从现实生活中抽象出来的，老师在实际的数学概念教学过程中，讲清楚数学概念的来源，做好相应的数学概念讲解，既不会使得学生对于数学概念感到抽象，甚至有利于营造良好的数学概念学习氛围，同时把我数学概念形成规律，做好数学概念教学工作。
二、充分利用数学概念多媒体信息技术
在实际的数学概念教学过程中，老师同样要充分利用多媒体技术，让学生在视觉、听觉的双重作用下提高学生数学概念教学兴趣，让学生充分接触视频、图片、文字、声音、动画，在这些形式的作用下进行数学概念教学学习，提高学生对于数学概念教学的学习兴趣。然而，在实际的数学概念多媒体教学过程中，老师应该注重现代信息技术利用的适度与适时。适度指的是数学概念教学不要过于频繁，应该注重效果而不是数量。适时主要指的是应该针对学生数学概念学习存在问题进行相应的补充，注重多媒体数学概念教学的时机，更加注重多媒体数学概念教学的实际效应。
三、优先考虑数学概念教学的实践性
数学概念实践教学是目前在我国数学教学中的重要策略，从一定程度上来讲，数学概念教学的目的是为了实践和运用，实践和应用才是学生进行数学概念学习的重要目的。为此，老师在实际的数学概念教学活动中，应该优先考虑数学概念教学的实践性与运用性，同时，应该加强对于学生数学概念理论与实践相结合的能力，老师可以进行数学概念实践教学情境创设，充分考虑数学概念实践教学的交际性以及实践性的原则，做到数学概念实践教学多练多做，努力提升学生数学概念实践能力。
四、通过变式，突出比较，巩固对概念的理解
数学概念是数学教学的关键环节，有关心理学研究表明，概念获得以后需要不断的进行重复记忆，否则的话就会被遗忘掉，为此，数学老师在完成对数学概念的叙述后，还应该加强对于数学概念的巩固，让学生了解数学概念的重点与关键，在正确的理解数学概念后再进行相应的练习，巩固对于数学概念的认知程度。例如，对于“π 与3.14159”，老师可以通过这两个数对有理数以及无理数进行认知，提高学生对于有理数以及无理数的辨析能力，最后利用比较的方式进行数学概念教学，也是初中数学教学的重要举措。老师可以将相近的概念或者类似的概念进行总结，分清楚他们的异同点，提高学生对于概念的理解以及辨认能力。
五、引导学生参与数学概念自主探究与合作学习
一、研究的理论和实践基础
由于数学对人类发展有着重要的推动作用，数学概念的学习一直以来都是数学教育界研究的重要课题之一，并取得了大量的研究成果。20世纪末，杜宾斯基提出的APOS理论，基于建构数学学习理论之上，将学习个体在解决问题的建构过程分为操作(Action)、过程(Process)、对象(Object)、图式(Scheme)这四个阶段.
第一阶段是概念学习的基础阶段，学生通过已有的数学认知将客观的对象转换为数学抽象概念.例如，某笔记本的单价为5元，买x个笔记本共需要y元.其中x=1对应y=5;x=2对应y=10;x=3对应y=5…通过操作，学生得出y=5x，并得到单价与总价成一一对应关系，从而初步理解函数y=5x的意义.
第二阶段是概念学习的整合阶段，学生把操作过程中进行反复的思考和整理，抽象出对象的特有属性和性质，是概念学习由感性认知过渡到理性认识的初级阶段.例如，将上述函数y=5x概括为普通的对应过程：xf(x).第三阶段是概念学习的提升阶段，学生将在操作、过程两大阶段中认知得到的概念本质提升为一个独立的对象.
例如，在f(x)+h(x)，f(x)-h(x)，f(x)·h(x)…中f(x)、h(x)都作为一个独立的对象出现.第四阶段是概念学习的终极阶段，学生的概念知识体系已经成熟，各个独立的概念彼此之间建立起独特的联系，数学概念就是过程与对象的统一体，从而形成一个完整的心理图式.例如，解析式f(x)=5x、图像、曲线等.
濮安山教授依据APOS理论对两所学校高一、高二年级共604名学生的函数概念理解程度进行了测验.他们为每个阶段精心编制了不同类型、不同数目的测试题，分别对重点中学和普通中学的学生作了相关测试.濮安山教授实践研究结果表明：依据APOS理论分析，多数学生对函数概念的理解程度达到前两个阶段，少部分学生达到第三个阶段，而极少学生达到第四阶段;
总体上重点学校的学生对概念的认知程度高于普通学校，但在第四阶段出现反差;随着年级的增加第四阶段的学生比例降低.
而从其他学者依据APOS理论所做的实际调查研究中可以总结出学生对高中概念的学习存在如下问题：1.大部分学生建立的概念表征比较单一，且各个表征之间的关联转换不够灵活.2.大部分学生脑海中的概念表象与客观对象、定义缺乏联系.3.大部分学生对学习的概念没能在脑海中形成一个完整的心理图式，其形式零散.
二、高中数学概念教学策略
在上述APOS理论和实践基础上，针对存在的问题提出以下策略.
1.增强教师教学方式之间的交流，取长补短.
由于教育的现实原因，我国学生对数学的学习重心大都偏向于各种应试考试，为了取得优异的成绩而忽略数学基本概念、方法、思想的理解及能力的培养.作为教学的主导者，教师之间的教学交流是相当重要的.有些教师的概念教学方式依然是古板的模式化教学，概念一带而过，习题一道一道而来.学生奔波于题海之中或者固定的题型模式之中，鲜有时间总结概念体系，教师的教学在解题道路上愈走愈远.但是教学中不乏一些优秀的教学精英，他们执著于精良的概念教学，注重教学设计，着重加强对学生概念学习的对象及过程两个阶段的培养，帮助学生建立一个属于学生自己的知识框架.在实际教学中，他们给学生留下的习题具有创新性，增强学生的探索能力，帮助学生完成一个完整的心理图式.然后合理使用教材，教会学生在学习概念之后不断反思再反思，培养学生数学思维和应用数学知识的能力.
2.加强数学概念与实际生活的联系，促进抽象与具体之间的转换.
概念是人们对其所感知的事与物的特有属性和本质的一种由感性上升到理性的认知，是人的认知思维体系中最基本的构建点.感官的认知来源于实际生活，抽象而又具体.教师的教学应该再更多地融入实际生活，结合概念的文化和现实背景，引导学生发现和琢磨概念具有反映客观事物的特性。
APOS理论指导教师在教学过程中要着重将概念的学习由活动阶段内化为过程阶段，再压缩至对象阶段，最后同化与图式阶段.
3.灵活运用教材教学，因地制宜，因材施教.
学生对概念的理解程度与教材的运用有很大关联，由于教材的不同可能在习题、例题、课外拓展方面的设置都存在差异，但教师应该对整个高中概念体系有着一个明确的框架体系，不至于因为教材的原因打乱一贯的体系，漫无目的地散乱教学.
总之，依据APOS理论对高中学生数学概念的理解进行评价是具有可行性的，教师自身应该具有全面的概念心理图式才能为学生明确地引导思维方向，良好的概念教学策略也是搞好高中教学必不可少的条件.其次，教师应明白学生的学习过程是一个主动建构的过程，其主动性不能被教师的教学阻断.
一、初中生记忆数学概念存在的问题
笔者根据多年的初中数学一线教学经验总结出，学生作为教学的主体在学习数学基本概念的过程中，主要呈现出以下三个层面的问题，值得深思和深入研究。
（一）缺乏针对数学概念记忆的策略性知识。我国是一个教育历史悠久、教育经验丰富的国家，特别是在“记忆学”的研究与应用上取得了较好的成就，这在“应试教育”教育阶段发挥了一定的作用。随着素质教育、创新教育理念的提出，数学“记忆型”教学突然在理论上被界定为“数学应试教育”的代名词。这样一来，向来受到重视的“数学三基”数学理论研究失去了往日的光彩，同时，理解型学习数学知识、创造性解决数学问题，最终培养学生的创新能力一越成为当前素质教育、创新教育培养目标的内核与教育界理论研究的热点。这意味着前者已经成为初中数学教学视阈的一个“真空地带”。可从我国数学教育教学规律可以看出，“记忆型”教学是初中数学学习必不可少且占有重要地位的方法论。因此，不能因为素质教育的倡导就彻底否定了记忆教学的价值，或者说割裂了记忆与创新教育的必然联系。
（二）缺乏权衡记忆与理解的关联意识。在“应试教育”阶段，大部分初中数学教师只顾及数学知识传授的量的积累与扩充，从而忽视了学生学习知识质的积淀与提高；只强调向学生“填塞”数学知识，从而忽视了“填塞”的方法论要求。这一阶段实质上是记忆完全占据统治地位的阶段。而在建构主义学习理论的作用下，许多数学研究者有这样一个共识：数学知识的抽象性和概括性决定了数学知识的学习必须有学生自己理解过程的参与。此观点后来不断被强化，以致于在上世纪90年代中期，初中数学教学实践走向了一个与前者完全相反的极端，即理解完全占据同志地位的阶段。但经过艰辛的理论探索后，一条数学教学科学规律终于得到广泛的认可：数学知识的记忆和理解应该是一个相辅相成的动态化过程。记忆与理解的最佳结合点在于寻求恰好的“平衡支点”。
（三）缺乏系统性数学概念梳理意识。记忆学显示：有效的数学概念记忆的结果应该是使数学概念在大脑中以网络链接模式有机组合的。初中生的数学知识结构只有也只能以这种模式存在，才能更加利于以后知识的择取与应用。建构主义学习理论同样显示：只有学生自身经过同化和顺应作用形成的知识结构才具有基础性、可辨性、适用性的品质。数学理论的逻辑体系更是决定了数学概念应该是一系列概念环节互为相扣的链条有机体系。
但是，初中生特别是那些在数学迷宫里徘徊不前的学生，长时记忆体系中的数学概念却是孤立的、散乱的。造成这种局面的原因除了学生没有有效地讲求记忆策略和没有处理好数学概念理解与记忆的关系外，主要是学生没有整体意识，没有从宏观上梳理所记住的数学概念，更没有理清数学概念间的联系。其实，即使在教改后的现在正在应用的数学教科书里，很多基础练习都是针对一个或几个具体的概念而设计的，并没有为学生提供从整体上去理解和把握节、章，甚至是一册数学教材中的概念关系的练习。
二、初中生记忆数学概念的对策选择
随着现代教学理论研究的深入和科技教学的广泛应用，解决上述问题具备了比较充足的应策选择的条件。笔者认为应当着重从以下两个方面来改善初中生记忆数学概念时存在的问题。
（一）充分发挥隐性记忆策略的效用。所谓隐性记忆策略是指把记忆指导策略湮没于数学概念的记忆过程之中，让学生在无意识中根据教师设计的指导思路记忆数学知识。之所以提出隐性记忆策略，关键是基于如下两点：一是针对初中生的生理、心理特征而言的。处于这个时期的初中生，由于年龄小、没有独立成熟的价值观体系，其自控力就比较差、依附性强、策略性意识薄弱，再加上肤浅的学习经验和有限知识的限定，很难独立探讨出符合自身的记忆策略。二是针对初中阶段的学习特点而言的。初中教学是小学的提升阶段，这个时期，不但学习的科目增多，而且知识内容变得更加抽象。这对于初中学生来说是一个很大的挑战，起码要有一个较长的转变和适应过程。这也无形中带来了初中生学习时间紧张、任务繁重的问题，长而久之就使他们很难有时间主动反思自己的学习过程，整理出适合自己的学习方法。而隐性记忆策略的效用就在于通过教师的帮助来为学生建立起科学有效的方法论体系。
（二）科学地看待数学概念的理解和记忆。理解和记忆是学习的两项基本方法，两者相互联系、相互作用。各学科的理论体系和方法论探究都充分表明，数学概念的记忆是数学概念形成过程中不可或缺的环节。而有效记忆的关键点在于如何将记忆环节与理解过程有机融合，形成最有效的学习过程。在数学概念的获得过程中，理解和记忆的先后关系及其重要性引起了很大的争论。经历了记忆与理解地位互换的两个极端后，笔者认为数学概念的理解和记忆是相辅相成的，应该根据不同抽象度的概念具体对待，时刻遵循数学概念的理解和记忆活动是一个动态过程的原则。学习者只有寻找到了两者的最佳“平衡支点”，才能获得最佳的学习效果，才能在各种情境中熟练地运用数学概念。值得重申的是，教师的主要任务之一就是要找到不同类型数学概念的记忆和理解活动的“平衡支点”。针对那些概括度和抽象度比较低的数学概念，理解不需要花很多的时间，可采取在理解的基础上进行直接记忆的方法；而针对那些概括度和抽象度比较高的概念，理解需要较长的时间，所以主要采取先记忆后理解的方法，即先让学习者将数学概念记住，然后再针对性地进行练习和应用，逐渐加深理解程度，最后达到完整理解和记忆的目的。
基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》对数学基本思想的目标要求和目前小学数学教学的现状，经课题研究，提出小学数学教学中数学基本思想建构策略：通过“整合教材知识体系”“合理设计数学活动”“摸清学生思维水平”“设计合适的应用情境”建立数学基本思想的建构途径。通过“知识起始课――主要凸显数学抽象思想”“迁移发展课――主要凸显数学推理思想”“模型应用课――主要凸显数学模型思想”建立小学数学“三种课型”数学基本思想的建构策略。
[关键词]
小学数学教学;数学基本思想;建构策略
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在总目标中明确提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。”这标志着我国基础教育数学课程目标从重视“双基”发展为重视“四基”。数学思想作为数学重要课程目标，应贯穿于数学教学的全过程。那么，如何在小学数学教学中进行数学思想建构是亟需解决的问题。笔者于2014年主持了辽宁省青年科研骨干专项重点课题――“小学数学思想教学的缺失调查及对策研究”，近一年的探究与实验，取得了一些阶段性的成果，本文将结合具体课例谈谈研究所得。
一、数学基本思想的建构途径
《数学课程标准（2011年版）》明确提出了学生要获得数学基本思想的目标，但没有给出具体的实现途径，可查找文献资料也没有具体可感的途径方法。我们课题组追根溯源，在影响学生数学基本思想形成的因素中找到了最重要的几个影响因素，即“教材”“数学活动”“学生思维特点”“应用情境”四个因素，力图揭示数学基本思想的建构途径。
（一）整合教材知识体系，建构完整的数学基本思想系统
现有的各个版本的教材都是按照知识、技能螺旋式上升的特点进行编排，而没有系统地将数学的基本思想进行分类、分级，数学思想与知识、技能的编排不相匹配。这就要求教师从建构数学基本思想的角度，对教材知识进行合理整合和教学设计。
1.系统整合
要打破孤立地设计“一节课”的弊端，把教学设计的起点变为“一类课”或“一单元课”。例如，把三年级上册“一位数乘两三位数的笔算乘法”、三年级下册“两位数乘两三位数的笔算乘法”和四年级上册“三位数乘两三位数的笔算乘法”系统整合为“笔算整数乘法”这一类课。“一位数乘两三位数的笔算乘法”是这一类课的首课，设计要凸显数学抽象思想。“两位数乘两三位数的笔算乘法”是后续课，设计要凸显推理思想。“三位数乘两三位数的笔算乘法”是最后一课，设计要凸显模型思想。在这三节课中，数学基本思想在抽象思想、推理思想和模型思想的认识中得到提升。
2.局部整合
在使用教材中，还要注意从知识形成的角度出发，研究数学基本思想的完整生发过程，并对知识进行合理的统整。例如，北师大版四年级上册“相交和垂直”“平移和平行”是“线与角”单元的其中两节课。表面上看，这是要通过这两节课揭示“垂直”与“平行”的本质涵义。其实从知识形成的角度看，这是研究同一平面内两条直线的位置关系时，分类研究产生的研究结果，两部分内容不宜分开。因此，在教学设计时，要把两节内容统整为一节比较合适。
这样，基于系统和局部整合的设计，能帮助学生形成本学科特有的系统的思维方式方法。
（二）合理设计数学活动，在活动中凸显数学基本思想
在数学教学中，要以凸显数学基本思想为主线，合理设计数学活动，在活动中收获体验，在体验中完成对数学基本思想的建构。下面以“垂直与平行”这一课为例进行说明。在这课中，教师在探究环节设计了以下两个数学活动。
活动一：学生动手画图，在纸上任意画出两条直线的位置图。
活动二：学生交流讨论，给画出的多组位置图分类，并说说分类的依据。
在两个精心设计的数学活动中，教师引导学生经历“对比观察位置关系――讨论分类标准――交流分类结果――抽象概括数学概念”的过程，积累了分类的经验，归纳的经验，抽象的经验。学生经历了揭示概念本质的过程，在活动经验中感悟了抽象思想。
（三）及时摸清学生思维水平，选择合适的载体强化数学基本思想
在学生特定的思维水平下，只能形成与之相适应的数学基本思想的理解和感悟能力。因此，摸清学生思维水平，选择合适的载体强化数学基本思想才是关键。
在小学阶段，数学推理思想下位的转化思想对学生并不陌生，在很多问题的解决中都运用了这一思想。但对于这一思想的认识确实要经历一个过程才能逐渐形成。下面以北师大版数学五年级上册《多边形的面积》为例来详细解析这一过程。平行四边形的面积是多边形面积的起始课，这一课可以根据学生的经验积累，引导学生初步感受“转化的方向、方法、原则、转化前后联系”之转化思想的内涵。三角形面积是平行四边形面积的后续课，这一课教师要引导学生进一步感受转化思想的内涵，体会多样化的转化方法。梯形面积是此单元的最后一节课，这节课可以在前两节课积累的多种转化经验的基础上，大胆让学生自我探究，找到解决问题的办法。三节课中，依据学生的经验特点，由浅到深构建了数学转化的思想，学生对转化思想本质的理解也在三节课中逐渐完善，数学推理思想也在转化思想的不断深化中有了提升。
（四）设计合适的应用情境，提高学生运用数学基本思想的能力
在小学数学教学中建构数学基本思想的目的，在于提高学生体悟数学基本思想的能力，进而最终运用数学基本思想解决实际问题。因此，教师要善于设计合适的应用情境，引导学生深刻感悟数学思想。
例如，四年级下册“三角形内角和”在课内完成教学后，教师在学生已具有探索三角形内角和时的“猜想――测量――验证”的经验和数学抽象基本思想经历后，让学生运用课上积累的经验和数学思想方法，自己尝试探索四边形的内角和和五边形的内角和。这样的应用情境既是课内教学的发展和延伸，又是数学活动经验和数学基本思想得到物化的保证。在探索之中，学生尝试运用了类比推理、转化思想、归纳推理，对数学推理思想的认识得到了升华。可以说，应用情境的设计，为学生很好地感悟数学思想搭建了一座桥梁。
二、小学数学“三种课型”教学中数学基本思想的建构策略
依据对“数学化”的理解，把小学数学课型划分为：“知识起始课”“迁移发展课”“模型应用课”三种课型。下面就谈一谈小学数学“三种课型”教学中数学基本思想的建构策略。
（一）知识起始课――主要凸显数学抽象思想
从知识产生和发展的过程看，最初产生的数学的概念、法则、性质等构成了数学知识体系的基础和框架，我们可以把这部分内容划定为知识起始课的内容，它主要凸显的是数学抽象思想。可采取的策略如下。
策略之一：数学抽象要以建立充分的表象为基础
表象是感性认识的一种高级形式，它是从具体感知到抽象思维的过渡和桥梁。因此，在概念形成、公式及法则推导过程中，建立能突出事物共性的典型表象是非常关键的，这为进一步高水平的抽象概括提供了基础。
例如，在教学北师大版四年级上册“相交与垂直”“平移和平行”两节课时，为了更好地揭示概念的本质特征，统整为一节课。在教学中，重要的环节是教师要帮助学生建立典型的、全面的表象。为了抽象出“相交”“平行”的概念，让学生在一张平面纸上任意画出两条直线的位置关系图，教师帮助学生总结出典型、全面的表象图（如下图）。
学生在对表象图确定分类标准和进行分类的过程中逐渐发现和抽象出概念。如果在上述图中缺少了③和⑨这样的图形，将直接导致对“相交”概念的片面认识。为了避免这样片面认识的产生，在选取表象时，一定要考虑典型和全面。
策略之二：数学抽象要以建立合适的抽象层次为基础
数学抽象不是一次完成的，要建立合适的抽象层次，从借助于具体事物的较低层次的抽象逐步发展到借助表象或者数学概念的较高层次的抽象。
例如，两位数加一位数的笔算进位加法，这是小学列竖式笔算加法的起始课。教师必须带领学生有层次地经历“摆小棒计算”（实物抽象）――“拨计数器计算”（半符号抽象）――“列竖式计算”（符号抽象）的抽象过程。这样，有层次的抽象活动才能让学生积累完整的抽象的经验，感悟抽象的数学思想。
策略之三：数学抽象要以获取完整的数学活动经验为基础
数学活动是积累丰富的数学活动经验的有效载体，而数学思想的感悟必须借助完整的数学活动经验才能实现。因此，数学抽象要以获取完整的数学活动经验为基础。
例如，前面所说的两位数加一位的笔算加法教学中，学生经历了“摆小棒计算”――“拨计数器计算”――“列竖式计算”的活动，在三个数学活动中积累了“实物抽象”“半符号抽象”“符号抽象”的完整递进的数学抽象的经验，进而在这完整的数学抽象经验中，感悟了数学抽象思想的意义。如果在数学中，只经历摆小棒计算的过程，然后就建构列竖式的符号抽象形式，这样的过程将导致学生缺乏完整的数学活动的经验，抽象成符号形式的条件不成熟，抽象思想形成的难度大，不符合学生的思维水平。因此，获取丰富、完整的数学活动经验是建构数学抽象的必要基础。
策略之四：数学抽象要以运用合理的抽象方法为基础
数学抽象基本思想的形成必须借助合理的抽象方法来实现。如：分类方法、数形结合方法、对应的方法、符号化的方法等都是小学阶段主要用到的抽象方法。
例如：“两位数加一位数进位加法”的竖式计算教学，就利用“摆小棒”和“拨计算器”的方法，达到数形结合，通过数形结合的方法实现最终抽象为符号的目的，进而完成概念、法则的抽象过程。研究“平行”的概念时，就借助了分类的方法，通过对形成典型表象的两条直线的位置关系图，研究“分类的标准”和“如何分类”的问题，就抽象出了“平行”概念的本质特征。
（二）迁移发展课――主要凸显数学推理思想
由数学起始性知识迁移和重构发展而来的知识，可以称为后续性新知识。可以把这部分内容划定为迁移发展课的内容，它主要凸显的是数学推理思想。可采取的策略如下。
策略之一：数学推理要以构建新旧知识内在联系为基础
后续性新知识是由相应的旧知识迁移发展而来的，因而架起新旧知识内在联系的桥梁，才便于找到数学推理的基础。
例如，异分母分数加减法是由同分母分数加减法迁移发展而来的，因而教学异分母分数加减法，就要依据同分母分数加减法进行类比推理，把异分母分数加减法转化为同分母分数加减法进行计算。
迁移发展课要以建构新旧知识的内在联系为基础，在新旧知识对比中找到相同点和异同点，然后进行类比迁移建构新知识。
策略之二：数学推理要以获取必要的数学活动经验为桥梁
数学推理思想的感悟不是通过某个环节单独完成的，它是在学生获得丰富活动经验的基础上逐渐领悟的。因此，设计好能让学生产生丰富数学活动经验的数学活动则是必然的。
例如，教学圆柱的体积计算方法时，设计了两个数学活动：活动一，从长方形和正方形体积的计算方法，猜一猜怎样计算圆柱的体积？活动二，能否运用转化的方法推导出圆柱体积的计算方法。在这两个活动中，学生由圆柱体、长方体和正方体都是直柱体，通过类比提出“圆柱体的体积的计算方法可能是底面积乘高”的猜想，再通过把圆柱“切、拼”转化成长方体，根据长方体的体积计算公式推导出圆柱的体积计算公式。在这样的教学中，学生经历了“类比猜想――验证说明”的过程，积累了“类比推理”和“转化思想”的数学活动经验，从中体会了数学推理思想在问题中的应用。
策略之三：数学推理要采用合理的推理方法来实现
推理的过程一般经历“猜想、类比、联想、归纳”的合情推理阶段和“验证说明”的演绎推理阶段。合情推理是培养学生数学思维的主要途径，也是培养创新思维的不可或缺的途径。在小学阶段，学生较多接触的是合情推理，演绎推理可在中高年级适当引入。
例如，小学五年级上册“多边形的面积”的学习，可引导学生先进行类比推理猜想出面积的计算方法，然后采用演绎推理对“猜想”进行验证，推导出图形的面积计算公式。
（三）模型应用课――主要凸显数学模型思想
建构数学模型即指从数学的角度，对所研究的问题做一个模拟，舍去无关因素，保留其数学关系，以形成某种数学结构。
以北师大版五年级下册“包装的学问”为例，谈一谈建构模型的具体步骤。
（1）了解问题背景，确定目的要求，简化研究载体
问题是：“几盒相同的糖果包成一包，怎样包装最节约包装纸？”
涵义及要求：
①要节约包装纸，从数学角度思考，就是使包装后的表面积最小。
②要找到所有的包装方法才能发现最节约包装纸的方法。
③把现实世界中的各种状如长方体的盒状物抽象看成“长方体”。
④在接口处不计的情况下，叠放后长方体的表面积就是需要包装纸的大小。
（2）选用数学工具，寻求事物联系，建立数学模型
通过观察、画图、计算的方式，建构“叠放后的长方体露在外面的表面积和内部重叠的面积大小的关系”。
①分别研究两盒糖果、四盒糖果包成一包，各有几种不同的包装形式？观察和计算后，确定最节省包装纸的叠放方法。
②比较两盒、四盒糖果的最节省包装的方案，归纳出“叠放后的长方体的表面积与内部重叠的面积大小的关系：表面积越小，重叠的面积越大。”
③总结出最节省包装的方法：使重叠后的面的面积最大。（数学结构）
（3）依据数学模型，求解实际问题，检验数学模型
应用“叠放的表面积与重叠面积大小的关系”解决包装方法的问题，并检验正确性。
总之，我们的数学课堂，不仅要完成数学基础知识、基本技能的教学任务，更要重视挖掘数学基本思想和基本活动经验的教育因素，形成一整套成熟的具有操作性的策略系统，从而达到发展学生的数学思维，提升学生的数学素养的目的。
[参 考 文 献]
[1]义务教育数学课程标准解读（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海：上海教育出版社，2009.
[3]史宁中.漫谈数学的基本思想[J].数学教育学报，2011（4）.
关键词：小学数学；数概念；教学策略
数学教学先从认识数开始，可以说数概念是整座数学大厦的基础，是重要的数学概念，是小学数学教学的重要内容。新教材根据学生已有的经验和认知水平，把重要的数学概念与数学思想方法采用逐步渗透、深化、螺旋上升的编排原则，将对万以内的数认识安排在三个年级，分为五个阶段。具体安排是：一年级学习100以内数的认识，二年级学习1000以内数的认识，三年级学习10000以内数的认识。其中，100以内数的认识是整个认数教学的关键。这个阶段的数概念不仅是学习100以内数计算的基础，也是认识更大的自然数（万以内的数、大数的认识）的基础。本文以100以内数的认识为例，来简单谈一谈数概念的教学策略。
一、找到难点
学生在一年级上学期已经学习了20以内的数，在平时的生活中对100以内的数并不陌生。我通过课前调查发现大多数学生口头数100以内的数不会有多大的问题，但大多停留在“唱数”的层面，还没用建立100以内数的数学模型，在数法上也不是很标准，很多学生习惯了简单的口语式数数把几十几数成几几，如二十一数成二一，二十五数成二五等。同时，在实际数物体的数量时，学生往往会出现手口不一致的现象。尤其在数到几十九时，部分学生很可能出现不知道下一个该数哪个数的现象。如在59、69、79、89等数后面接的是几十，仍有不少学生需要思考一下才能数下去。除此之外，学生从某个整十数开始数可能比较容易，但是如果从某个中间位置开始数就会出现一定的困难，如从37数到48，或从67开始向后数五个数，都会让学生不知所措。
二、从实践活动入手
认识100以内的数，是学生适应生活和进一步学习必须的重要知识，也是学生建立数感的重要素材。由于一年级上学期已经学习了20以内的数的认识，同时学生在日常生活中也对100以内的数有了不同程度的认识，所以我在教学中利用学生的原有认知水平和生活经验，让学生数班内人数、粉笔、小棒、花片等实物，体会数来源于数，感受数和物的一一对应关系，逐步积累活动经验。
具体而言，根据数概念教学的难点，广大数学教师可以这样设计实践活动。
1.让学生动手数具体的实物
在实际的教学过程中，教师可以为学生准备好小棒、纸片、粉笔、豆子等实物，让学生自己动手数具体的实物。这样做的目的是检测学生是否能准确地数出物体的个数，从而使学生进一步建立数的模型，培养学生的数感。通过创设这种简单有效的学习活动，不仅可以发挥学生的主体意识，让学生有充分的感知尝试活动，还可以通过各种材料、各种途径，让学生自主将数学知识迁移内化。
2.抓、估、数豆子
在数概念教学中，教师可以让每个学生抓一把豆子，握在手里感受一下，然后放在桌子上进行估算并实际数一数。与此同时，教师还要让学生用同样的方法再做一次，这一次首先让学生说一说：“估算抓的颗数时是怎么想的？有没有和上次抓的实际颗数做比较？”再实际数一数，并填写记录表。在这种自己抓、自己数的过程中，通过估算自己抓的颗数和“再来一次”等活动，不仅激发了学生参与数学活动的兴趣，还初步培养了学生的估算意识和能力。
三、多种形式巩固数的概念
在数概念的教学过程中，教师可以借助幻灯片（花片图），让学生以各种方式（指名数、男女生对口数、开火车数等），用不同的方法（1个1个的数、10个10个的数），从1数到100（重点从20数到100）。我通过这样变化形式的教学使学生建立100以内数的数学模型，并认识到可以用不同的方法数物体，进而掌握快速数数的基本方法。为了检测学生的学习效果，教师可以指名让学生数，如从24数到35，跨过整数从中间位置开始数，以便观察学生是否真正建立了数的模型。还可以让同桌之间拍着手数，从48数到60，从71数到85等。拍手数节奏快，且是跳跃性的数数，对学生的思维有更高的要求。这样做，可以在脱离实物的基础上，采取多种方式，让学生练习口头数数，并重点指导数到几十九时，下一个该数哪个数。通过借助数花片图，采用多种策略数数，吸引学生的注意力，很好地突破了数到几十九该数哪个数的难点。教师还可以让学生体验用不同的方法数实物。
四、教师要善于处理教学中的意外
在让学生分组数粉笔、小棒和花片等实物的环节中（各类物品的数量是相等的），教师的意图是检验学生是否正确数出物体的个数。在三个数粉笔的小组中，其中一个小组出现了一支粉笔断成两截的情况，最终两个小组数的是46支，而另一个小组数出了47支。我这时说到：“2个小组数的是46支，你们数的47支，你们数错了。”这个小组的学生却回应我说，他们盒子里的一支粉笔断成2支了。这时候，我抓住了课堂的自然生成，对学生认真严格的实数精神进行了表扬。我通过对这种教学中的意外情况的正确处理，进一步培养了学生正确数数的意识。
五、加强训练、学以致用
一、概念教学中引导反思——学会数学地思考
数学概念是数学基础知识和基本技能的核心，是学生理解、运用数学知识和提高数学能力的基础. 在数学学习中，数学概念的学习是至关重要的. 教学中，教师应创设必要的问题情境，引导学生从实际问题抽象出概念和模型，使用不同的方式解释概念、理解概念，使学生在自主观察的基础上，通过合作交流，了解同伴对概念的理解，以此丰富自己的思考方法，反思自己的思考过程，并最终通过反思深化对概念的理解，形成完整的概念. 在概念学习过程中，学生潜移默化地懂得怎样去反思，反思什么，形成借助经验对自身进行相对直觉的反思能力，学会数学地思考问题.
如：在“圆柱和球的认识”教学中，让学生主动去触摸圆柱和球，感知它们的特征，说说他们所发现的圆柱和球的特征，再通过小组交流，将自己对圆柱和球原有的感知特征和同学的意见进行结合、梳理和归类，从而理解了比较抽象的数学概念.
又如：数轴概念的引入，老师可以拿出直尺、杆秤等实物让学生观察，用多媒体展示笔直公路上的里程碑，然后追问这些工具的共同特征和用途，最后追问如何直观地表示有理数，自然地引导学生得出数轴的概念. 教学中，引导学生透过现象看本质，达到触类旁通的目的，培养了思维的深刻性和灵活性.
二、解决问题中引导反思——掌握数学方法
数学的学习离不开解决问题. 学生在解决问题时，往往缺乏对解题过程的反思，没有对解决问题进行提炼和概括，导致学生解决问题过程单一、思路狭窄、方法陈旧、思路混乱、主次不分，解决问题的质量不高. 因而，教学中，教师在解决问题过程中要善于将自己内隐活动的调节、控制过程展示出来，在解决问题过程中不断地引导学生进行反思，整理思维过程，确定解决问题的关键，概括解决问题的方法，使解决问题的过程更加清晰，思维更具条理化、精确化和概括化，使学生思维逐渐向开端、灵活、精细和新颖的方向发展. 这样能充分发挥学生的主体性，提高学生的概括能力，使学生形成一个系统性强，相互联系的数学认知结构.
如：“图形的旋转”一课的教学，可以设计这样一个活动：请你将圆规的两脚并拢，然后固定其中的一脚不动，慢慢张开圆规的另一脚，观察此脚及其端点的位置变化规律. 接着追问这是什么变换？又如何定义旋转的？用图形应该如何表示？学生独立操作以后和小组内的同学比一比，看看谁的作图最规范，最能体现变换过程中的特征，最后由小组代表交流旋转的概念，图形的画法和旋转的性质.
三、问题解决后引导反思——提炼数学思想
数学思想方法是数学的灵魂，是学科“四基”的重要组成部分. 数学教学绝不仅仅是数学知识的学习，更要注重数学思想方法的渗透. 在平时的学习过程中，学生总是根据问题的具体情境来决定解题的方法，这种方法是受具体情境制约的，如果不对它进行提炼、概括，那么它的适用范围就有局限性，不易产生迁移. 这就要求教师在问题解决后，适时引导学生进行反思，提炼数学思想方法，并逐步形成反思习惯和反思能力.
在例题教学时，教师应把练习过程和练习后的反思放在同等重要的地位上，引导学生有目的地通过反思积累解题技巧、归纳解题规律、提炼解题思想和方法，这样，学生就会逐渐地养成题后反思的习惯了，不知不觉提高了思维的主动性和积极性. 教师应鼓励学生在学习过程中，加强思维策略上的回顾总结，分析具体解答中包含的数学基本方法，并对具体的方法进行再加工，从中提炼出应用范围广泛的数学思想. 如：在进行解直角三角形中“应用举例”的例题教学时，教师认真设计了5道例题，引导学生对5道例题的所有解题过程进行反思，让学生们围绕着这些例题求解过程中的共同点进行讨论和交流. 通过反思交流，很快地形成了结论，同学们普遍认识到5道例题都采用了同一种解题思维方式，那就是将实际问题几何化，然后通过三角函数的知识又将几何问题方程化，5道例题的解题过程，本质上就是数学的转化思想. 实践表明，经常性地引导学生对解题思路进行类比反思，他们就容易归纳出同类问题的解题模式，形成解题策略，触类旁通，举一反三，进而提高解题能力.
四、温故学习中引导反思——培养数学能力
学生在初学基础知识时往往不求甚解，粗心大意，只满足于一知半解，这就容易造成对概念的错误理解，特别是对于一些难点知识，更容易产生认识上的误区. 反思作为一种思维活动，其目的就是要消除困惑，解决问题. 只有学会反思，学生才能不断矫正错误，深刻理解和正确掌握知识. 作为教师，应当结合学生出现的错误，精心设计教学情境，帮助学生从基本概念、基础知识的角度来剖析错误的原因，给学生一个对基本概念、基础知识理解巩固的机会，使学生在纠错的过程中掌握基础知识，理解基本概念，指导学生自行检验结果，进一步回顾以往所学知识，探索知识之间的规律，发现知识点的联系，突破知识理解和问题解决中的诸多误区，形成较强的数学能力.
综上可以看出，让学生亲历反思学习过程，形成反思习惯，对学生数学学习有着重要作用. 教师应以培养学生终身学习的愿望和能力为原则，积极引导学生开展反思性学习，将学习实践与反思融为一体，在数学学习过程中逐步形成反思意识和反思能力，切实使反思成为学生自我成长的一条有效途径.
反思能力是学生持续发展所必备的素质之一，学会反思，是学习方法的本质和核心. 对数学学习而言，学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识理解的过程，他们带着自己原有的知识背景、活动经验和理解走进学习活动，通过自己的主体活动，去构建对数学的理解. 这里的主体活动主要包括独立思考、与他人交流和反思等. 因而，在教学中培养学生数学反思能力，对学生学习数学知识、掌握数学方法以及提高数学素养起着非常重要的作用. 下面谈谈自己在教学中培养学生反思能力的一些做法和体会：
一、概念教学中引导反思——学会数学地思考
数学概念是数学基础知识和基本技能的核心，是学生理解、运用数学知识和提高数学能力的基础. 在数学学习中，数学概念的学习是至关重要的. 教学中，教师应创设必要的问题情境，引导学生从实际问题抽象出概念和模型，使用不同的方式解释概念、理解概念，使学生在自主观察的基础上，通过合作交流，了解同伴对概念的理解，以此丰富自己的思考方法，反思自己的思考过程，并最终通过反思深化对概念的理解，形成完整的概念. 在概念学习过程中，学生潜移默化地懂得怎样去反思，反思什么，形成借助经验对自身进行相对直觉的反思能力，学会数学地思考问题.
如：在“圆柱和球的认识”教学中，让学生主动去触摸圆柱和球，感知它们的特征，说说他们所发现的圆柱和球的特征，再通过小组交流，将自己对圆柱和球原有的感知特征和同学的意见进行结合、梳理和归类，从而理解了比较抽象的数学概念.
又如：数轴概念的引入，老师可以拿出直尺、杆秤等实物让学生观察，用多媒体展示笔直公路上的里程碑，然后追问这些工具的共同特征和用途，最后追问如何直观地表示有理数，自然地引导学生得出数轴的概念. 教学中，引导学生透过现象看本质，达到触类旁通的目的，培养了思维的深刻性和灵活性.
二、解决问题中引导反思——掌握数学方法
数学的学习离不开解决问题. 学生在解决问题时，往往缺乏对解题过程的反思，没有对解决问题进行提炼和概括，导致学生解决问题过程单一、思路狭窄、方法陈旧、思路混乱、主次不分，解决问题的质量不高. 因而，教学中，教师在解决问题过程中要善于将自己内隐活动的调节、控制过程展示出来，在解决问题过程中不断地引导学生进行反思，整理思维过程，确定解决问题的关键，概括解决问题的方法，使解决问题的过程更加清晰，思维更具条理化、精确化和概括化，使学生思维逐渐向开端、灵活、精细和新颖的方向发展. 这样能充分发挥学生的主体性，提高学生的概括能力，使学生形成一个系统性强，相互联系的数学认知结构.
如：“图形的旋转”一课的教学，可以设计这样一个活动：请你将圆规的两脚并拢，然后固定其中的一脚不动，慢慢张开圆规的另一脚，观察此脚及其端点的位置变化规律. 接着追问这是什么变换？又如何定义旋转的？用图形应该如何表示？学生独立操作以后和小组内的同学比一比，看看谁的作图最规范，最能体现变换过程中的特征，最后由小组代表交流旋转的概念，图形的画法和旋转的性质.
三、问题解决后引导反思——提炼数学思想
数学思想方法是数学的灵魂，是学科“四基”的重要组成部分. 数学教学绝不仅仅是数学知识的学习，更要注重数学思想方法的渗透. 在平时的学习过程中，学生总是根据问题的具体情境来决定解题的方法，这种方法是受具体情境制约的，如果不对它进行提炼、概括，那么它的适用范围就有局限性，不易产生迁移. 这就要求教师在问题解决后，适时引导学生进行反思，提炼数学思想方法，并逐步形成反思习惯和反思能力.
在例题教学时，教师应把练习过程和练习后的反思放在同等重要的地位上，引导学生有目的地通过反思积累解题技巧、归纳解题规律、提炼解题思想和方法，这样，学生就会逐渐地养成题后反思的习惯了，不知不觉提高了思维的主动性和积极性. 教师应鼓励学生在学习过程中，加强思维策略上的回顾总结，分析具体解答中包含的数学基本方法，并对具体的方法进行再加工，从中提炼出应用范围广泛的数学思想. 如：在进行解直角三角形中“应用举例”的例题教学时，教师认真设计了5道例题，引导学生对5道例题的所有解题过程进行反思，让学生们围绕着这些例题求解过程中的共同点进行讨论和交流. 通过反思交流，很快地形成了结论，同学们普遍认识到5道例题都采用了同一种解题思维方式，那就是将实际问题几何化，然后通过三角函数的知识又将几何问题方程化，5道例题的解题过程，本质上就是数学的转化思想. 实践表明，经常性地引导学生对解题思路进行类比反思，他们就容易归纳出同类问题的解题模式，形成解题策略，触类旁通，举一反三，进而提高解题能力.
四、温故学习中引导反思——培养数学能力
学生在初学基础知识时往往不求甚解，粗心大意，只满足于一知半解，这就容易造成对概念的错误理解，特别是对于一些难点知识，更容易产生认识上的误区. 反思作为一种思维活动，其目的就是要消除困惑，解决问题. 只有学会反思，学生才能不断矫正错误，深刻理解和正确掌握知识. 作为教师，应当结合学生出现的错误，精心设计教学情境，帮助学生从基本概念、基础知识的角度来剖析错误的原因，给学生一个对基本概念、基础知识理解巩固的机会，使学生在纠错的过程中掌握基础知识，理解基本概念，指导学生自行检验结果，进一步回顾以往所学知识，探索知识之间的规律，发现知识点的联系，突破知识理解和问题解决中的诸多误区，形成较强的数学能力.
新课程在课程的理念、目标上的一个发展是在数学教学和数学学习中，更加强调对数学的认识和理解。无论是基础知识、基本技能的教学，数学的推理论证，还是数学的应用，都要帮助学生更好地认识数学的思想和本质。为此首先应体现在对基本概念和基本思想的理解和掌握上，教师必须很好地把握基础，帮助学生打好基础，发展能力。
一、何谓数学的本质
本质是事物存在的根据，事物中不变的形状，是事物的根本性质，是某类事物区别于其他事物的基本特质，是事物本身所固有的根本属性。而对数学本质的认识，一般可以从以下几个方面入手：
1.对基本数学概念的理解
所谓“对基本数学概念的理解”是指了解为什么要学习这一概念，这一概念的现实原型是什么，这一概念特有的数学内涵、数学符号是什么，以这一概念为基础是否能构建“概念网络图”。
2.对数学思想方法的把握
基本数学概念的背后往往蕴含重要的数学思想方法，数学的思想方法极为丰富，中学阶段主要涉及哪些数学思想方法呢？这些思想方法如何落实呢？我们的基本观点是：在学习概念和解决问题中落实。中学阶段数学的主要思想方法有：函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想、有限与无限思想、必然与偶然思想等。
3.对数学特有思维方式的感悟
每一学科都有其独特的思维方式和认识世界的角度，数学也不例外，尤其数学又享有“锻炼思维的体操、启迪智慧的钥匙”的美誉。中学阶段主要的数学逻辑方法或思维方式有：分析与综合、归纳与演绎、比较与分类、具体与抽象等，逻辑思维是数学思维方式的核心。
4.对数学美的鉴赏
能否领悟和欣赏数学美是一个人数学素养的基本成分，能够领悟和欣赏数学美也是进行数学研究和数学学习的重要动力和方法。能够把握数学美的本质有助于培养学生对代数学以及数学学习的态度，进而影响数学学习的进程和学习成绩。数学的基本原则：求真、求简、求美。数学美的核心是：简洁、对称、奇异，其中“对称”是数学美的核心。
5.对数学精神（理性精神与探究精神）的追求
可以说，数学的理性精神（对“公理化思想”的信奉）与数学的探究精神（好奇心为基础，对理性的不懈追求）是支撑数学家研究数学，进而研究世界的动力，也是学生学习数学，研究世界最原始、最永恒、最有效的动力。
二、数列的数学本质
《义务教育数学课程标准》把数列视为反映自然规律的基本数学模型，要求在教学中通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种表示方法，特别指出要体现数列是一种特殊函数（离散函数），通过列表、图像、通项公式表示数列，把数列融于函数之中。函数思想是中学阶段学生所接触到的最重要的数学思想方法之一。数列作为一种特殊的函数，更是与函数思想密不可分，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.因此我们在数列教学中，应充分利用其函数本质，以函数的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间的内在联系.教科书指出：
三、用函数观点解决数列问题
数学学科在考试时按照“考查基础知识的同时注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测学生的数学素养，因此数列的学习应回归概念，立足于函数知识的整合和升华，着重于运用函数模型解决问题，形成函数与方程的解题思想，淡化解决递推数列问题的技巧。
在教学中充分挖掘等差、等比数列的这些函数图象特征，对于理解等差、等比数列的性质有很大帮助，同时也为解决等差、等比数列的有关问题提供了简捷、有效的方法。
总之，在数列的教学中，应该时刻不忘数列的本质，重视函数思想的渗透，把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，只要抓住数列的函数本质，就能构建数列的解题思路；同时通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，也使学生的思维能力得以不断发展与提高。
关键词： 初中数学阅读教学 新知探析 问题解析 案例评析
教育学认为，阅读是从书面材料中获取信息的过程，阅读是读者和文本进行对话的过程，阅读是主动获取的过程.有道是：“腹有诗书气自豪.”诸葛亮说：“非学无以广才.”著名考古学家、教育家郭沫若指出：“能读书才必博.”可见，阅读在提升个人修养，增强社会技能方面有着积极的作用.听、说、读、写，是每个学生学习知识的基本技能.阅读作为学生学习新知内容，理解知识内容，增长学识才干，接受新知观念的一种手段和方法，在实际学习活动有着广泛而深入的应用.数学阅读是新课改下教师有效教学活动的重要方式之一，它是指围绕数学问题或相关材料，以数学思维为基础和纽带，用数学的方法、观念来认知、理解、汲取知识和感受数学文化的学习活动.诚然，在传统教学活动中，部分初中数学教师以“分数论英雄”，以“升学率”为目标，采用“教师讲，学生练”的单一教学方式，忽视对学生读和说过程的训练，导致学生成为“解题的高手”“表述的矮子”，出现“茶壶煮饺子——有口说不出”的问题.近年来，阅读教学引起了教育界的高度重视，江苏省教研室将此列为第九期重点研究课题.我有幸参与其中，现将初中数学阅读教学活动的实践举措作论述.
一、在新知探析中渗透数学阅读教学
“书读百遍，其义自现”.新知教学是教学活动的重要环节，学生对新知内容中概念、性质、定理等内涵及要义的有效掌握和理解，是学生有效解答相关问题案例的重要前提和条件.这其中，就离不开学生对新知概念、性质、定理等内容的阅读分析活动.数学阅读教学的根本目的是要借助于阅读手段，深刻掌握内涵要义.因此，初中数学教师在新知讲解环节，在概念、性质、定理等内容的讲解过程中，要有意识地引导学生开展阅读活动，提出有针对性的阅读学习要求，指导学生既对教学内容进行整体的感知理解，又对关键字词进行局部的深刻研读，从逐步掌握和理解新知内容的内涵要义和关键点.如在“全等三角形的概念”教学活动中，教师采用数学阅读教学策略进行全等三角形概念内容的讲解，设计如下教学过程：
师：全等三角形是全等图形的一种，请同学们认真研读全等三角形的概念内容，哪些同学能仿照全等图形的概念说一说什么是全等三角形？
生：能够完全重合的两个三角形是全等三角形.
师：很好，看图：ABC与DEF能够重合（用电脑演示重合的过程），那么ABC与DEF就是全等三角形.通过对图形的认知，我们结合全等三角形的概念，请根据对应顶点和对应边的概念，找出相应的对应顶点、对应边、对应角.
生：点B与点E是对应点，BC边与EF边是对应边，AC边与DF边也是对应边，∠B与∠E是对应角，∠C与∠F也是对应角.
师：同学们找得很正确.请同学们认真研读内容，找出用数学符合变式全等三角形的内容？
如图，ABC与DEF全等，即这两个三角形能够完全重合.我们把它记作ABC≌DEF，读作“ABC全等于DEF”.
大家注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.如图，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应点，记作ABC≌DEF.
在此过程中，教师渗透阅读教学法，引导学生通过研读全等三角形的相关概念内容，深刻掌握全等三角形的相关概念内容及表示方法，有效提高学生的认知和掌握程度.
二、在问题解析中渗透数学阅读教学
问题：如图，在？荀ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF，求证：BE=DF.
在该问题案例的教学中，教师渗透阅读教学策略，要求学生认真研读问题条件及解题要求，学生在阅读问题案例内容过程中，认识到该问题是关于平行四边形方面的案例.此时，教师在此要求学生对问题条件之间的关系进行阅读，学生意识到该问题解答时需要运用到“平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质”等知识点内容，在此基础上，教师与学生进行共同读题，找出该问题解答的策略，学生分析过程如下：要证BE=DF，只要求证ABE和CDF全等，利用平行四边形对边平行且相等和平行线内错角相等的性质可得AB=CD，∠ABE=∠CDF，又由已知∠BAE=∠DCF，根据全等三角形ASA判定定理得证.
学生证明过程如下：
证明：四边形ABCD是平行四边形，
ABE≌CDF（ASA）.
BE=DF.
最后，教师引导学生进行解题过程阅读分析活动，师生共同得出解题策略和方法.
通过上述解题过程可以看出，初中数学教师在解析问题策略过程中，应引导学生开展问题条件的阅读研析活动，找出问题条件涉及的知识点及内在关系，并通过“阅读研析”的方式探析出进行问题解答的策略和方法，为有效解题活动的开展提供方法支持.
三、在案例评析中渗透数学阅读教学
