时间：2022-08-06 23:49:29
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇数学模型，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
一、经济数学模型的基本内涵
数学模型是数学思想精华的具体体现，是对客观实际对象的数学表述，它是在一定的合理假设前提下，对实际问题进行抽象和简化，基于数学理论和方法，用数学符号、数学命题、图形、图表等来刻画客观事物的本质属性及其内在联系。当数学模型与经济问题有机地结合在一起时，经济数学模型也就产生了。所谓经济数学模型，就是把实际经济现象内部各因素之间的关系以及人们的实践经验，归结成一套反映数量关系的数学公式和一系列的具体算法，用来描述经济对象的运行规律。所以，经济数学模型是对客观经济数量关系的简化反映，是经济现象和经济过程中客观存在的量的依从关系的数学描述，是经济分析中科学抽象和高度综合的一种重要形式。
经济数学模型是研究分析经济数量关系的重要工具，它是经济理论和经济现实的中间环节。它在经济理论的指导下对经济现实进行简化，但在主要的本质方面又近似地反映了经济现实，所以是经济现实的抽象。经济数学模型能起明确思路、加工信息、验证理论、计算求解、分析和解决经济问题的作用，特别是对量大面广、相互联系、错综复杂的数量关系进行分析研究，更离不开经济数学模型的帮助。运用经济数学建模来分析经济问题，预测经济走向，提出经济对策已是大势所趋。
在经济数学模型中，用到的数学非常广泛，有些还相当精深。其中包括线性规划、几何规划、非线性规划、不动点定理、变分发、控制理论、动态规划、凸集理论、概率论、数理统计、随机过程、矩阵论、微分方程、对策论、多值函数、机智测度等等，它们应用于经济学的许多部门，特别是数理经济学和计量经济学。
二、建立经济数学模型的基本步骤
1.模型准备。首先要深入了解实际经济问题以及与问题有关的背景知识，对现实经济现象及原始背景进行细致观察和周密调查，以获取大量的数据资料，并对数据进行加工分析、分组整理。
2.模型假设。通过假设把实际经济问题简化，明确模型中诸多的影响因素，并从中抽象最本质的东西。即抓住主要因素，忽略次要因素，从而得到原始问题的一个简化了的理想化的自然模型。
3.模型建立。在假设的基础上，根据已经掌握的经济信息，利用适当的数学工具来刻画变量之间的数学关系，把理想化的自然模型表述成为一个数学研究的题材——经济数学模型。
4.模型求解。使用已知的数学知识和观测数据，利用相关数学原理和方法，求出所建模型中各参数的估计值。
5.模型分析。求出模型的解后，对解的意义进行分析、讨论，即这个解说明了什么问题？是否达到了建模的目的？根据实际经济问题的原始背景，用理想化的自然模型的术语对所得到的解进行解释和说明。
6.模型检验。把模型的分析结果与经济问题的实际情况进行比较，以考察模型是否符合问题实际，以此来验证模型的准确性、合理性和实用性。如果模型与问题实际偏差较大，则须调整修改。
三、建立经济数学模型应遵从的主要原则
1.假设原则。假设是某一理论所适用的条件，任何理论都是有条件的、相对的。经济问题向来错综复杂，假设正是从复杂多变因素中寻求主要因素，把次要因素排除在外，提出接近实际情况的假设，从假设中推出初步结论，然后再逐步放宽假设条件，逐步加进复杂因素，使高度简化的模型更接近经济运行实际。作假设时，可以从以下几方面来考虑：关于是否包含某些因素的假设；关于条件相对强弱及各因素影响相对大小的假设；关于变量间关系的假设；关于模型适用范围的假设等等。
2.最优原则。最优原则可以从两方面来考虑：其一是各经济变量和体系上达到一种相对平衡，使之运行的效率最佳；其次是无约束条件极值存在而达到效率的最优、资源配置的最佳、消费效用或利润的最大化。由于经济运行机制是为了实现上述目标的最优可能性，我们在建立经济数学模型时必须紧紧围绕这一目标函数进行。
3.均衡原则。即经济体系中变动的各种力量处于相对稳定，基本上趋于某一种平衡状态。在数学中所表述的观点是几个函数关系共同确定的变量值，它不单纯是一个函数的变动去向，而是整个模型所共有的特殊结合点，在该点上整个体系变动是一致的，即达到一种经济联系的平衡。如需求函数和供给函数形成的均衡价格和数量，使市场处于一种相对平衡状态，从而达到市场配置的最优。
4.数、形、式结合原则。数表示量的大小，形表示量的集合，式反映了经济变量的联系及规律，三者之间形成了逻辑的统一。数学中图形是点的轨迹，点是函数的特殊值，因而也是函数和曲线的统一。可以认为经济问题是复杂经济现象中的一个点，函数则是经济变量之间的相互依存、相互作用关系，图形就是经济运行的规律和机制。所以，数、形、式是建模的主要工具和手段，是解决客观经济问题的三个要素。
5.抽象与概括的原则。抽象是思维的延伸，概括是思维的总结，抽象原则揭示了善于从纷繁复杂的经济现象延伸到经济本质，挖掘其本质的反映，概括是经济问题的纵横比较与分析，以便把握其本质属性，揭示其规律。
四、构建和运用经济数学模型应注意的问题
经济数学模型是对客观经济现象的把握，是相对的、有条件的。经济研究中应用数学方法时，必须以客观经济活动的实际为基础，以最初的基本假设为条件，一旦突破了最初的基本假设，就需要研究探索使用新的数学方法；一旦脱离客观经济实际，数学的应用就失去了意义。因此，在构建和运用经济数学模型时须注意到：
1.首先对所研究的经济问题要有明确的了解，细致周密的调查。分析经济问题运行的规律，获取相关的信息和数据，明确各经济变量之间的数量关系。如果条件不太明确，则要通过假设来逐渐明确，从而简化问题。
2.明确建模的目的。出于不同的目的，所建模型可能会有很大的差异。建模目的可能是为了描述或解释某一经济现象；可能是预报某一经济事件是否发生，或者发展趋势如何；还可能是为了优化管理、决策或控制等。总之，建立经济数学模型是为了解决实际经济问题，所以建模过程中不仅要建立经济变量之间的数学关系表达式，还必须清楚这些表达式在整个模型中的地位和作用。
3.在经济实际中只能对可量化的经济问题进行数学分析和构建数学模型，对不可量化的事物只能建造模型概念，而模型概念是不能进行数量分析的。尽管经济模型是反映事物的数量关系的，但必须从定性开始，离开具体理论所界定的概念，就无从对事物的数量进行分析和讨论。
4.不同数学模型的求解一般涉及不同的数学分支的专门知识，所以建模时应尽可能利用自己熟悉的数学分支知识。同时，也应征对问题学习了解一些新的知识，特别是计算机科学的发展为建模提供了强有力的辅助工具，熟练掌握一些数学或经济软件如Matlab、Mathematic、Lindo也是必不可少的。
关键词 空气阻力系数；线性规划；matlab
中图分类号 V2 文献标识码 A 文章编号 1673-9671-(2012)031-0204-01
数学建模是将数学知识、实际问题与计算机应用有机地结合起来，旨在提高学生的综合素质与分析问题、解决问题的能力。对于现实中的原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。数学建模是利用数学语言（符号、式子与图象）模拟现实的模型。把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征。
本文建立了一个关于对降落伞选择使得费用最节省，最优化的模型。根据降落伞伞面的大小、材质、所悬挂重物的质量与降落伞下落速度之间的关系，建立在空气阻力作用下物体降落的物理模型，并对其进行有效分析。运用线性最小二乘法，拟合出空气的阻力系数。利用高度h与时间t的关系式，计算出不同半径的降落伞的最大载重量。
1 问题引出
为向灾区空投一批共2 000 kg的救灾物资，需选购一些降落伞，空投高度为500 m，其落地时的速度不能超过20 m每秒，伞面为半径为r的半球面，用每根长L共16根绳索连接的重物m位于球心正下方球面处，如图：
每个降落伞的价格由三部分组成：伞面费用由伞的半径r决定，绳索费用由绳索总长度及单价4元每米决定，固定费用为200元；降落伞在降落过程中除受到重力外，受到空气的阻力，可认为与降落的速度和伞的面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径r=3 m，载重m=300 kg的降落伞以500 m高度作试验，测得各时刻t的高度x，试确定共需多少个伞，每个伞的半径多大（在给定半径的伞中选），在满足空投要求的条件下，使总费用最低。
我们要考虑降落伞伞面的大小、材质，所悬挂重物的质量与降落伞下落速度之间的关系，因为降落伞下降过程是一个物理模型，根据物理理论，系统在下降过程中做加速度减小的加速运动，直到所受阻力等于自身重力时，加速度为零，速度达到最大。由已知，降落伞在降落过程中受到的空气阻力与降落速度以及伞面积成正比，所以我们要先确定它们的比例系数k，在求k之前必须求出时间t与高度h的关系式。根据kvs=mg及20 m/s的最大速度求出不同半径的降落伞的最大载重量m，最后通过Lingo软件得出结果。
2 问题求解
降落伞在下降过程中受到的力符合牛顿定律，即am=mg-f，a=（mg-kvs）/m，加速度、速度、位移之间通过微积分知识可知：
，。且时间与高度之间的关系如表3。
根据物理公式可以得到高度h(t)的表达式：
，。
再根据表3数据，对阻力系数k利用非线性最小二乘法拟合求解。其中重力加速度g=9.8 m/s，m=300 kg，在matlab中运行程序如下：
fun=inline('9.8*300*t)/(56.52*k)-(90000*9.8)/(k^2*56.56^2)*exp
(-56.52*t*k/300)-(90000*9.8)/(k^2*56.56^2)','k','t');t=[0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30];
y=[0 30 75 128 183 236 285 340 392 445 499];k=lsqcurvefit(fun,2,t,y)
运行结果为k=2.9720
由如上分析，继而根据表1可建立线性规划模型如下：
min=x1*(65+16*1.414*2*4+200)+x2*(170+16*1.414*2.5*4+
200)+x3*(350+16*1.414*3*4+200)+x4*(660+16*1.414*3.5*4+200)+x5*(1000+16*1.414*4*4+200)；
x1*151+x2*236+x3*340+x4*463+x5*605>=2000;x1>=0;x2>=0;x3>=0; x4>=0;x5>=0；
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5)；
在Lingo运行结果为：采用半径为2 m的降落伞1个，半径为2.5 m的降落伞2个，半径为3 m的降落伞4个，这时2 000 kg物资能被完全投放，而且使得总费用最低为4 924.7元。
3 结论
由上述结论可以看出，一个实际问题在经过数学方法进行分析之后，可以在操作之前经过简单的运算就进行很好的预测，这样可以节省大量的人力物力，并且杜绝浪费行为，利用最少的条件得到最好的结果，这就是数学模型的作用与魅力，希望本文方法与结果可以为读者提供帮助。
参考文献
[1]么焕民,孙秀梅,等.数学建模[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2003.
[2]杨振华,郦志新.数学实验[M].北京:科学出版社,2010.
其中i设计暴雨强度；ψ为径流系数；F为汇水面积
使用推理公式时需假设3个条件：
（1）降雨强度在流域面上的分布是均匀的；（2）、降雨强度在雨峰时段内是均匀分布的；（3）汇水面积随集流时间增长的速度是常数。
很明显，降雨强度在时间和空间上的均匀分布与实际降雨过程不相符的。在实际暴雨过程中，暴雨中心的强度最大，并向四周递减，而且暴雨中心会随气流方向移动，而雨量站的位置是固定的，从而导致雨量站所记录的雨量并不能精确反应暴雨过程，只能依靠它对当次暴雨做出近似的假设，这种假设对小流域的影响远远小于大流域。推理公式的应用只适用于小流域排水系统的设计。“规范”3.2.1条的条文说明中明确提出：当汇水面积超过2km2，宜考虑降雨在时空分布的不均匀性和管网汇流过程，宜采用数学模型法计算雨水设计流量。数学模型中关于降雨的因素主要包括降雨强度、降雨历时和时空变化。国内外对降雨历时和降雨强度研究较多，而对降雨在时空变化的研究则较少。因此，同时研究降雨过程中的降雨强度和空间分布对描述暴雨过程有重要意义。
一、降雨类型：
40年代苏联包高马佐娃和彼得罗娃在研究降雨突出的区域时，将降雨进程的特点按照其最大强度出现的时间位置分成六种类型，第一种，出现在降雨开始；第二种，出现在前1/3内；第三种，出现在中间；第四种，出现在后1/3内；第五种，强度大致均匀；第六种，有两个最大强度，其中一种类型是分别在降雨开始和中央；第二种类型是在降雨开始和降雨末时。如图所示：
他们发现两个原理：（1）最大强度降雨发生在降雨的三分之一，很少在前一半；（2）强度大致均匀或者最大强度在末了的降雨极少。其中前4种属于单峰模型，最大降雨强度只发生一次，在短历时降雨过程中出现概率较大；而第五种雨型即均匀雨型在实际降雨过程中出现概率较小，第六种和第七中属于双峰模型，出现在长历时降雨过程中概率较大。目前国外研究的主要的降雨模型有：芝加哥雨型，Huff雨型和不对称三角雨型。
二、主要雨型介绍：
（一）芝加哥雨型：1957年keifer和Chu根据强度-历时-
频率的关系得到一种不均匀的设计雨型，即芝加哥雨型。芝加哥雨型是以统计的暴雨强度公式为基础来设计典型降雨过程，将降雨过程分为峰前和峰后两部分。峰前历时为tb，相应的暴雨强度为ib；峰后历时为ta，相应的暴雨强度为ia。
其中：A.b.n为系数。是根据每场降雨不同历时峰值时刻与整个降雨历时的比值而加权平均确定的，r位于0～1之间。在求出综合雨峰位置系数r之后，可用上述公式（1）和（2）计算各时段的平均降雨强度，最终确定出对应一定重现期及降雨历时的芝加哥雨型。
芝加哥雨型能概括大多数降雨的类型，能反映出降雨过程的平均特性，也是目前在我国应用最多的一种雨型。
（二）Huff雨型。1967年 Huff等人提出将降雨历时按时间分为4类典型，根据最大雨强发生在历时的具体时间段，对每一类典型作出多种不同频率的无因次时间分配过程。称为Huff雨型。其模型建立过程如下：（1）将一场降雨历时为D的降雨事件按照降雨时间间隔（最小时间间隔minimum Duration， 简称
MD）分隔成相对独立的降雨事件。（2）对确定的降雨事件做统计分析，如果该场次的降雨量大雨预先设定的雨量标准值，则视为有效降雨。（3）分析最大雨强的发生在一场暴雨中的时间区段。依据降雨峰值出现在一场暴雨中的时段区间不同将降雨时程分布分为为四种降雨类型，即当雨峰出现在正常降雨历时的第几个四分之一时段便称为第几种雨型。
（三）Pilgrim & Cordery 雨型。1975年Pilgrim和Cordery等人提出一种无级序平均法来计算和研究雨型，称为Pilgrim
&Cordery 雨型。模型建立过程如下：（1）取一定历时的具有统计意义的暴雨样本；（2）将降雨历时分为若干时段，时段的长度取决于设计计算的需要和观测资料的分段情况；（3）对每次降雨的各个时段的雨深进行编号，然后计算所有场次降雨的每一时段的平均序号，作为该时段排列的序号。如最大雨深是最可能的序号，次大雨深最可能的序号；（4）确定每次降雨每个序号雨量占总降雨量的百分比；（5）将第3步中确定的最大可能的序号和第4步中确定的相对值，安排时段，构成雨量过程线。
（四）不对称三角形雨型。1980年Yen和Chow将统计矩法用于雨型设计，提出一种不对称三角形雨型。模型建立过程如下。（1）将降雨总量为P，总历时为D=n.的降雨，其一阶原点矩
m1，m1代表暴雨过程线下面积的重心G与原点的时间间隔。
（2）根据历年暴雨资料，选定暴雨过程的雨型参数Kt。（3）对于三角形，其重心m1，D表示三角形底边，即降雨历时，tm表示最大降雨强度时刻，高h代表最大雨强imax。（4）根据暴雨的雨量P，历时D和雨型参数Kt，通过简化的三角形，其h=imax，顶点位置tm=（3Kt-1）D。
他们通过大量的暴雨资料发现平均值在0.31-0.51范围内，这与国内外大量统计资料是相类似的，即最大降雨强度出现在降雨历时的1/3到1/2内概率较大。
三、暴雨在时空上的分布
降雨区域内的平均强度与暴雨中心点的最大强度之比η称之为时空不均匀系数。H.E.道尔高夫及罗斯多莫夫经研究发现：η不仅与流域面积有关，同时也与当地地形，流域形状，云运动方向，并可能与降雨在中心的强度及其历时有关。
其中不同降雨历时则K，m不同。当降雨面积达到200公顷及200公顷以上时，降雨强度应乘以修正系数η，用以表示降雨在时空分布的不均匀性。
当遇到特大暴雨时，降雨在时空上的不均匀性容易造成局部地区内涝灾害。对于地形地貌差异较大的城市，应分析本地降雨区域分布特征，编制不同分区的降雨雨型和暴雨强度公式，降低不均匀性对径流的影响，减少内涝灾害。
四、降雨模型的应用研究
邓培德以芝加哥雨型概念导出三参数雨型，提出同频率控制的模式雨型。将模式雨型运用城市雨水道容量平衡法设计流量计算，模式雨型径流过程线及其雨水调蓄池容积计算以及不同概率的暴雨积水量（内涝量）计算。
牟金磊利用P&C雨型推求北京市的小时设计暴雨雨型。结果显示，短历时降雨过程中单峰雨型占比60%以上，而随着降雨历时的增加（小于180min），单峰雨型占比逐渐减小。在长历时（24h）降雨过程中，双峰和三峰雨占比较大。无论是单峰还是多峰雨型，雨峰发生在降雨历时前部和中部占多数，在后部的较少。
范泽华采用huff雨型对天津市降雨雨型进行了分析研究，结果发现降雨峰值大多出现在前两个四分之一雨型区间内，第三四分之一雨型与第四四分之一雨型差异较小。应合适选取降雨时间间隔MD，兼顾考虑短历时和长历时降雨，减少数据选取的误差。
岑国平等人采用设计暴雨方法，对4种设计雨型进行洪峰流量和雨洪调蓄池的容积计算，结果表明：4种设计雨型所得的洪峰流量差异较大。Huff雨型和不对称三角雨型的洪峰流量受历时影响非常显著，若历时选取不当，会造成较大误差，而Pil
grim&Cordery雨型和芝加哥雨型受历时影响较小。而在雨洪调蓄池容积计算中，均匀雨型计算的调蓄池容积偏小很多，不对称三角雨型计算误差较小。建议选用不对称三角雨型作为设计雨型。
一、小学数学模型思想
学生在小学阶段，其思维方式会发生转变，由形象思维转化为逻辑思维。数学学科知识充满理性，其思维本质具有抽象与概括的特点。数学模型的建立利于引导学生构建抽象与概括思维为一体的数学知识结构。教师需要根据教学内容，尊重小学生的认知规律与认知水平，构建初步数学模型，引导学生掌握理解数学学科的基本概念。小学数学新课程标准指出，教师需要引导学生从具体情境中抽象出数，引导学生理解分数、百分数的意义，能够运用简单的方程式表达简单的数量关系。将数学模型思想融入到教学活动中，降低数学知识难度，引导小学生更好地学习数学知识，构建自身的数学逻辑思维。
从广义角度来看，小学数学课本中的几何图形、数学公式、数学概念、数量关系等数学结构都属于数学模型。数学模型是数学知识必不可少的内容。教师需要培养小学生的数学模型思想，确保学生能够针对需要解决的问题，构建数学模型，进行问题解决。小学数学阶段，小学生接触最多的数学模型就是数量关系模型，例如速度=路程÷时间，还有一些特定的数学模型，例如时钟的“时针、秒针、分针”。从狭义角度来考虑，针对特定问题而形成的结构性算法也可以被称为数学模型。数学模型思想在数学教材中频繁出现。注重小学生数学模型思想培养显得尤为重要。
二、小学数学模型思想培养模式
（1）创设数学情境，激发学生数学学习积极性
创设合理的教学情境对教师提出较高的素质要求。课堂教学情境创设是否合理，创设时机是否合理直接关系到数学模型思想教学的成败。教师进行情境创设时需要注重以下方面：将教学情境与学生的实际生活经验相结合，激发学生的学习积极心，引导小学生在熟悉的环境氛围中形成逻辑性思维，引导小学生进行探索活动；注重创设内容与构建数学模型之间的关系，避免出现教学活动偏离教学目标的现象，确保教学活动围绕构建数学模型思想；构建具有层次性的教学情境，引导学生循序渐进掌握数学概念，逐步构建数学模型。
根据小学数学新课程标准要求，教师需要在数学教学活动中，结合小学生的实际生活创设教学情境，引导学生在具体情境中掌握数学基本概念。数学模型都是具有现实的生活背景的，这是构建模型的基础和解决实际问题的需要。如构建“平均数”模型时，可以创设这样的情境：4名男生一组，5名女生一组，进行套圈游戏比赛，哪个组的套圈水平高一些？学生提出了一些解决的方法，如比较每组的总分、比较每组中的最好成绩等，但都遭到否决。这时“平均数”的策略应需而生。于是构建“平均数”的模型成为了学生的需求，同时也揭示了模型存在的背景、适用环境、条件等。教师自身需要明确数学模型思想的本质。从现实数学问题中抽象出具有普遍性的数学模型，指导学生运用数学模型解决遇到的问题。小学数学教师进行数学模型思想教学之前，需有意识地为学生创设教学情境，引导学生进入学习情境中。
（2）建立数学模型实验，帮助学生理解数学概念
组织跃进，抽象本质，完成模型的构建。实现通过生活向抽象数学模型的有效过渡，是数学教学的任务之一。数学知识具有显著的推理性，教师进行数学模型思想培养活动时，可以构建数学模型试验，帮助学生进行数学概念、数学理论的理解。构建数学模型利于学生更好地掌握数学知识，同时也利于增强学生分析问题、解决问题的能力。将数学思想应用到实际生活中，解决理论问题、解决实际问题，是数学模型思想教学的教学目标。构建数学模型，教师可以借助数学模型试验。例如《分数的意义》中提到，分母不能为0。教师进行教学活动时，多会直接告诉学生，这是学生需要记住的知识。如果分母为0，那么分数就不具有任何意义，其也不能被称为分数。教师可以将分数还原成事物原型，根据教学时机，创设数学模型?验。糖水的含糖量，如果水的重量为0，则不存在糖水，更不存在含糖量。通过直观的数学实验模型，加深学生对数学知识的理解。
（3）发挥数学模型的应用价值，培养学生学习兴趣
数学模型建立是为了解决生活中的问题，解决数学学习活动遇到的数学问题。学生只有用数学模型解决实际问题，才能体会到数学模型思想的价值。教师进行数学模型思想教学，引导学生养成良好的数学学习习惯，激发学生数学学习兴趣，培养学生数学模型应用意识，提高学生的解决实际问题的能力。让学生体会到数学模型应用的乐趣，从而增强学生数学学习自信心。例如，学习路程=速度×时间公式，教师可以让学生计算自己的上学路程，增强数学知识在实际生活中的应用。
一、数学模型思想的意义及表征方式
数学模型是“针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表述出一种数学结构”，且应该是一种“借助于数学概念和符号刻画出来某种系统的纯关系结构”。数学模型思想，即是以数学概念和符号刻画数学结构为内容的，在扬弃一切非本质属性的同时，逐步抽象、提炼出数学结构的思维过程。研究表明，建立数学模型的过程一般分为三步：一是提出问题并用精确语言表达；二是分析数量关系并进行数学抽象；三是求解并解决实际问题。
从模型思想的概念及数学模型建立的过程来看，小学数学中许多知识的学习均体现了数学模型思想。笔者现以《加法的认识》为例，具体分析数学模型思想的意义及表征方式。
首先，加法的产生源于实际问题的解决。如下图，用“2个方块与3个方块合成一个长方体”的问题情境：
其间，“2个”方块和“3个”方块分别作为两个不相交的有限集合A和集合B中的元素，在合并成一个新的集合C（即集合A与集合B的并集）后，成为一个大长方体。这个过程，当我们用精确的数学语言来表达时，便产生了“2＋3＝5”这样一个数学模型。显然，“2＋3＝5”是有限集A（2个元素）和B（3个元素）合并成并集C（5个元素）的过程的抽象与提炼，是一种形式化的表达。而当有了“2＋3＝5”这样一个模型来表达“‘2个’元素与‘3个’同类元素合并产生了‘5个元素’”的新形式之后，以下类似问题便同样有了解决的依据及表达的形式。
（1）小军扎了2朵小红花，小英扎了3朵小红花，两人一共扎了几朵小红花？
（2）爸爸出差，坐火车用了2个小时，坐汽车用了3个小时，一共用了几个小时？
（3）保安叔叔要用绳子捆扎废品，扎旧报纸用了2米，扎硬纸板又用了3米，一共用了多少米的绳子？
……
二、数学模型思想的教学策略
在教学实践中，数学模型无论是思维表征的过程，还是形式表征的归纳，均需要有以下两个基本的教学过程作支持。
（一）从“境”到“型”，通过抽象归纳，感悟、理解数学模型结构化、简约化的特征
“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界的联系的基本途径”，其过程中最基本的路径是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题或数学事实，然后用数学语言表示出数学问题中的数量关系或变化规律。这也是数学模型思想建立的第一个层次。实践中，我们可以从以下两个方面来引导学生去体验。
综上所述，我们不难发现，在从“境”中提炼出“型”的过程中，无论是思维表征，还是形式表征，学生思维的介入及其从隐性思维层面到显性思维表达的活动设计，是帮助学生感悟、理解数学模型结构化、简约化的必要条件。
（二）从“型”到“境”，通过演绎解构，深化理解数学模型包容性、应用性的特征
以数学模型的形成来看，从“境”到“型”的过程，更多是数学模型从思维模型状态向形式模型状态转变的过程；而从“型”到“境”则是数学模型从形式模型状态再次回到思维模型状态，是帮助学生进一步积累模型经验，从而提升数学模型的应用水平的过程。教学中，这样的过程一般实现在两个应用水平层次上。
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）01A-0021-02
《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了十个核心概念，“模型思想”是新增的核心概念之一，并且是唯一以“思想”指称的概念。模型思想的基本内涵是什么？数学建模活动有哪几个基本环节？其教育价值体现在哪些方面？怎样培养学生的模型思想？本文试图结合《四则运算》这一单元的教学实例谈一些认识。
一、模型思想的基本内涵
人民教育出版社课程教材研究所王永春老师在《小学数学思想方法的梳理（三）》一文中这样阐述：“数学模型是用数学语言概括或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系等都是数学模型。”
学生通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。在义务教育阶段，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界的基本途径。也就是说，我们应建立这样的认识：数学与外部世界是紧密联系的，连接它们之间的“桥梁”是数学模型。
二、数学建模过程的三个主要环节
王永春老师认为，建立和求解模型的活动应体现“问题情境建立模型求解验证”的过程。模型思想的建立首先要“从现实生活或具体的情境中抽象出数学问题”，这表明现实的生活原型或情境是建模的源点，从中抽象出数学问题是建模的起点，此“从情境到问题”的环节可称为“建模准备”。然后“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”，学生要通过观察、分析、抽象、判断、推理等数学活动完成模式抽象，得到模型，这是建模的关键环节，可称为“构建模型”。最后是“求出结果并讨论结果的意义”，要对模型进行分析、检验，看模型在别的同类问题中是否合理可用，如不合理，就要再次假设、修改、完善，这是模型检验、应用和拓展的过程，此“求解验证”的过程可称为“求解模型”。
三、小学数学教学中渗透模型思想的价值取向
在小学数学教学中渗透模型思想的价值取向可归咎为三个层面。基础层面是有利于学生认识数学的本质，通过构建数学模型，能使学生体会到数学与外部世界是紧密联系的，建模的过程是对现实世界“数学化”的过程。核心层面是有利于学生解决问题和数学素养的提升，数学建模是一种缜密的推理活动，感悟模型思想的过程是一种思维不断演进与发展的过程，能更好地落实数感、符号意识、几何直观、推理能力、应用意识和创新意识等课程目标，增强其数学应用意识和创新意识。发展层面是有利于学生的后续发展，建模是初中数学课程的学习内容，在小学阶段渗透模型思想能提高学生学习数学的兴趣和应用意识，同时能更好地与初中课程衔接，有利于学生的后续学习。
四、培养学生数学模型思想的策略
（一）从生活问题到数学问题
数学源于生活，又用于生活，数学教学要从学生的生活经验和已有的认识水平出发，联系生活学习数学知识。
【案例1】《加、减法的意义和各部分间的关系：逆推》教学片段
教师提供一个现实的生活情境引入新课，提问：（1）早上上学怎么走？（2）放学回家怎么走？（3）上学和放学所走的路线有什么关系？（4）怎样才能原路返回？
上述教学片段，教师从一个现实的生活情境引入，让学生调用已有的旧知识（方向和路程）和生活经验，在思考解决“怎样原路返回”这一问题的过程中感悟到“要回去就得逆向走”，初步感知互逆关系和逆推策略。这样引入新课，充分调动了学生原有的知识和经验，并有效迁移，有利于学生领悟加减法和乘除法的互逆关系，为今后继续探索逆推策略作好心理准备。
（二）从数学问题到数学模型
数学模型是沟通数学与外部世界之间的桥梁。数学模型来自于现实世界，从现实抽象出数学问题，从数学问题出发构建数学模型，数学模型又用于解决类似的问题。如何帮助学生建立数学模型？这就需要教师指导学生运用数学的语言、符号和思想方法一步一步建立数学模型。
【案例2】《租船问题：优化思想与有序思考》教学片段
怎样租船最省钱？
师：要最省钱，应该选择租什么船？怎么租？
生1：租小船，因为32÷4=8（条）。刚好，不浪费座位。
生2：租大船，因为大船每人付5元，小船每人要付6元，所以要租6条大船。
生3：租6条大船，浪费4个座位，所以要尽量多租大船，再租小船，并且要尽量没有空位。
师：这3种方案都各有理由，究竟哪种最省钱，需要通过计算来比较。
学生通过一系列计算、比较得出方案三最省钱后，教师让学生讨论如何快速有序找出最佳方案并计算费用：32=6×5+2，32=6×4+4×2，30×4+24×2=168（元），再引导学生建立初步的数学模型：总人数=大船限乘人数×大船数量+小船限乘人数×小船数量，租大船是最佳选择，应该优先考虑，且要省钱就不能有空位。
上述案例，教师从租船这一生活情境引入，让学生联系已经学习过的“有序思考”或“逆推策略”寻找问题中隐含的二元一次方程4x+2y=32的解，在思考和解决“怎样租船最省钱”这一问题的过程中初步感知优化策略与有序思考。“有序思考”还要“有序表达”，学生在教师的指导下学习“有序表达”，在运用数学语言和符号分析问题的同时理解模型结构化。
（三）从数学模型到数学问题
学生学习数学模型大致有两种途径：一是基本模型的学习，即学习教材中以例题为代表的新知识，这是一个探索的过程；二是利用基本模型去解决各种问题，这是一个应用、拓展的过程。
【案例3】《解决问题的策略：逆推》教学片段
学生独立解答后交流自己的思考过程，教师即时板书，使学生明确自己使用的是逆推策略：从右往左逆推时，加法要变减法，乘法要变除法，逆推策略可以帮助我们解决一些数学问题。
学生在初步建立逆推模型（已知现在求原来的基本策略是要‘回去’就得‘倒着走’）后，就可以应用、拓展到习题中，帮助学生初步形成模型思想，提高学生的数学兴趣和应用意识。上述案例中，教师没有直接提出让学生应用逆推策略进行推算，而是结合学生的交流思考过程演变成一个显性的逆推题图，使学生获得更为深刻的感性认识：逆推策略和“回家的路”很相似，已知现在求原来，可以“倒着算”。
（四）从数学问题到生活问题
数学家华罗庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”这段话阐述了这样一个观点：现实世界中的“故事”可以用数学来阐述，数学可以帮助我们解决生活问题。
【案例4】《解决问题的策略：逆推和有序思考》在现实中的应用
1.基本应用。
师：刚才我们以租船为例，学习了用优化、有序思考和逆推的方法解决问题，你能用这种方法快速计算出练习三中的第4题吗？
春游：我校共有老师14人，学生326人。大车可坐40人，租金900元；小车可坐20人，租金500元。怎样租车最省钱？
解答：14+326=340人，340=40×8+20，900×4+500=4100（元）。
2.拓展应用。
①王叔叔要购买220千克大米，怎样买合算？一共要多少元？（注：20千克，96元/袋；30千克，135元/袋。）解答：220=30×7+10，220=30×6+20×2，135×6+96×2=1002（元）。
②现在有一批货物，重50吨，准备用大货车和小货车运输。怎样安排最省钱？（注：小货车载重量5吨，运输费80元/次；大货车载重量8吨，运输费110元/次。）解答：50=8×6+2，50=8×5+5×2，110×5+80×2=710（元）。
上述案例，让学生对基本模型（总人数=大船限乘人数×大船数量+小船限乘人数×小船数量）分层次地进行检验、拓展。以购物、载货等现实原型为背景，对模型进行逐步完善，抽象出二次模型：总数=最佳选择×数量+次佳选择×数量。这些习题，加深了学生对有序思考和逆推策略的认识，也使学生体会到了数学和生活的密切联系，有助于学生初步形成模型思想，提高学习兴趣和应用意识。
特级教师徐斌老师在《为学生的数学学习服务》讲座中指出：数学要从生活出发培养应用意识，数学与生活紧密关联，它们之间的关系可以理解为：
关键词：异型螺杆；数学模型；数控加工
异性螺杆在供送装置中将规则排列或是不规则排列的物体，按照既定的工艺进行供送，并在经过增距、减距、合流、分流、升降等工艺要求后，将物品送至包装工位。而异型螺杆因其参数的不同也被分为了多个种类，这就需要了专门的设备来进行高精度的加工，从而大大的降低了其制作能力。本文就针对此问题建立了异型螺杆的数学模型，并在此基础上进行了其数控加工技术的研究。
1异型螺杆的数据模型
异性螺杆因为其槽底的参数不同，一般又分为等螺距等深螺杆、变深等螺距螺杆、等深变螺距螺杆与变深变螺距螺杆四类，下面便是这四类异性螺杆的槽底螺旋线公式的表示。1.1等螺距等深槽底的螺旋线公式1.2变深等螺距槽底的螺旋线公式1.3等深变螺距槽底的螺旋线公式1.4变螺距变深槽底的螺旋线公式。
2异性螺杆数控加工技术
2.1对机床的要求异型螺杆的数控加工一般要求的是四轴四联动的数控机床，这种机床除了X、Y、Z这三个平移坐标外，还需要拥有一个转动的坐标。而在异型螺杆的加工过程中，必须要三轴进行联动。本文将假定是A轴来绕着X轴进行旋转，其机床的主轴方向则为Z。2.2数控加工编程异型螺杆的数据编程以及实体造型一般都是以UGV18.0作为平台的，而为了充分的保证零件的加工质量，以及有效提升零件的加工效率，一般会将异型螺杆的数据编程分成粗加工与细加工两个部分。（1）粗加工的数控程序编制粗加工的主要作用便是将螺旋槽中的余量去除，从而避免在细加工的过程中工作量过大，从而影响整个零件的加工速率以及精度质量。而为了充分提高粗加工的速度，一般会选用平底棒铣刀，刀具的直径一般也较大。下面就是粗加工的具体编程过程：在UG软件的Modeling这一模块中进行螺旋槽底中两条螺旋线的提取，并且进行两条螺旋线之间最短距离的测量。在此基础上，选择直径尽可能大的刀具对零件进行粗加工，而利用以上选取的两条线按点对点的方式来选用曲面造型功能，并借此生成螺旋槽底的曲面，接着采用多轴铣削加工的方法，将螺杆的轴向作为整个加工坐标系中的X轴，并将其Y、Z轴作为螺杆的径向，接着选择螺旋槽底的中间曲线作为整个走刀导动线。在刀轴方面选择AwayFromLine的方式，将螺旋的轴线当作选择的对象，来加工零件的表面，等其加工的容差选择好后就可以生成螺杆的粗加工开槽的整个刀位轨迹。（2）细加工的数控程序编制细加工指的是在进行完粗加工的基础上，对零件进行进一步的打磨加工，从而保证零件的精准度能够符合标准。而在细加工的过程中，通常会会根据截型采用成型的铣刀。并根据铣刀的规格以及底部半径与槽底螺旋线这两个因素来通过UG功能来计算出走刀路线中的两条导动线。并使其偏置位置等同于刀具的底部半径。而且异型螺杆的细加工一般采用的是多轴的铣削加工的方式，一般都是将螺杆的轴向来作为加工坐标系的X轴，其径向作为加工坐标系的Y轴与Z轴。其加工时通常将曲线驱动作为整个加工路径中的导动线，在刀轴方面选择AwayFromLine的方式，并计算出螺杆的中心轴线，然后进行零件的表面加工以及容差加工，然后就可以进行加工刀位的选择，从而确保零件的精确度能够符合其相关标准。2.3异型螺杆的加工程序的后置处理在输出刀位之后系统会直接生成刀位文件，其文件格式大体如下：其中x,y，z就是刀位点的坐标，而αx，αy，αz就是该刀位点在其相对应的刀轴方向的单位矢量.而其后置处理后的加工程序的格式要求大体如下：NXYZA而后置的处理计算方式如下：因为旋转轴是A轴，而其刀轴的方向始终是在A轴的垂直方向上面。所以刀轴的矢量αx=0。而A角的计算如下：程序里，A的变化一般都是连续的。所以按照上述公式计算完A后，如果后续的计算中A角度比前面计算的A角度要小，则后续的A角需要加上360°。即前面计算的A角度必须小于后续计算的A角度。而X，Y，Z的计算如下：2.4异型螺杆的数控加工工艺（1）加工一般分为粗加工与细加工两个部分，而去余量粗加工一般是采用双锲型断面左旋变深变距螺杆用平底刀进行加工。而进行精加工时一般用的都是成型刀，其中成型刀的形状是根据螺杆的截型决定的。（2）螺杆在加工的过程中，如果程序的Y坐标是0，那么刀具的低刃中心就需要进行切削，其刀具中心的实际切削往往会零。在这种情况下，刀具就会很容易遭到磨损与损坏，从而导致整个螺杆加工效率的降低，以及难以保证螺杆的零件表面质量，因此，可以通过在实际的加工过程中，根据其螺杆螺旋的升角大小来选择刀具，从而有效的避免这种状况的发生。而这样刀具的侧刃切削时刀心就不会直接参与切削，从而大大的改善了整个刀具的切削效果，并能够有效提升生产率。（3）对于直线截型的异型螺杆，为了在粗加工的时候多加工掉余量，就可以进行分层加工，并在保持程序不变的情况下让刀具沿着X轴移动，这样就能够充分的去掉大量余量，为后面的细加工做好充分准备，并能够有效的降低刀具的成本以及大大提升整个异型螺杆的加工效率。
3结束语
合理的异型螺杆加工，能够有效的增加其生产效率以及精度。本文就异型螺杆的数学模型与生产工艺进行了一些探索，希望能够更好的进行异型螺杆的生产加工工作。
参考文献：
[1]司致单.基于STEP的螺杆加工CAM系统研究[D].山东大学，2013.
教师教学例1前，作了三个层次的铺垫：层次一：请学生根据太阳升起的方位来唤起生活中对“东南西北”四个方位。层次二：在确认黑板的位置为“东”，并贴了“东”这个方位后，请学生说说其他三个方位分别在哪里？并根据学生的回答，黑板上直接呈现右图。层次三：请学生起立，根据教师说的方位转动身体面朝相关方向，加深认识。在上述基础上呈现例1，展开教学。
这样的教学设计在充分利用学生熟悉的生活场景作为教学资源，唤起学生直接经验方面是合理的、有效的，但在从生活场景转换成书面表达的过程中，教师没有给学生留下足够的探索空间，基本是以告知的方式呈现结论，强调了对知识结论的机械记忆，降低了学习过程的思维含量，这对学生经历“东、南、西、北”从生活场景到数学表达的数学化过程是不利的，由此引发如下思考。
一、从生活场景到平面表达，其实是一个建构数学模型的过程
对于三年级的学生来说，在一个具体的生活场景中，根据已经积累的感性经验，只要找到某一个参照物，如“太阳从东方升起”，“树的年轮密的方向是北面”等等，学生就能够辨认“东、南、西、北”四个方向。然而，当需要把一个生动的立体的场景绘制在一个平面上，要求学生用数学的眼光来认识“东、南、西、北”四个方向时，就会存在一定的困难。因为在这个过程中，需要学生经历两个层次的策略转化：一是从生活场景中的“前、后、左、右”的相对性，转化到书面表达时纸上的“上、下、左、右”的相对性；二是从生活场景中“东、南、西、北”的顺时针旋转方式辨认，转化到书面表达“东、南、西、北”时顺时针旋转确定方向时方法的应用。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》将模型思想作为数学课程内容的一个重要部分，因此，在学生数学思维的发展过程中，数学模型建构的能力成为一项不可或缺的组成部分。无论是数的认识、形的感知、规律的探究、问题的解决，均可以引导学生用数学的思想方法来表达，形成数学的思维结构，建立数学的意识状态，建构起一定的数学模型。学生对“东、南、西、北”等方向的认识同样如此，从具体生活场景转化到书面表达时，其实质同样是一个数学化、模型化的过程。学生也唯有经历这样一个过程，才能将生活场景中对“东、南、西、北”四个方位的认识经验用到解决数学问题上来。
二、学生是怎样建构数学模型的
《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出：“建立数学模型的过程可以是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号表示数学问题中的数学关系和变化规律。”那么，在实际教学中，学生能不能完成“东、南、西、北”四个方位的认识这个数学模型的过程？如果能，又需要通过怎样的路径来实现这一过程呢？
一是拉长探索书面表达“东、南、西、北”四个方向的“图示”（即如本文开头的图例）的过程，在充分唤起生活中对“东、南、西、北”四个方向的辨认经验后，经历一个对书面表达的自我探索过程，是实现这个目标的基本途径。
二是在引导学生经历作业纸上尝试表达“东、南、西、北”的图示时，设计三个层次的认识活动作支持。1.激活思维。学生虽然有前期对生活场景中“东、南、西、北”四个方向的辨认体验，但接下来的任务是把生活场景中的“东、南、西、北”四个方向表示在作业纸上，这是一个具有一定挑战性的学习任务，需要激起学生思考，调动其学习的注意力与积极性。2.体验过程。从生活场景中借助直接经验认识“东、南、西、北”四个方向，到平面表达“东、南、西、北”四个方向的位置关系，这是两种不一样的认识方式。一种侧重于直观感知，有时可以借助于直接的操作活动，是一种直观形象的学习过程。而书面表达更多依赖于思维抽象，需要学生把直观感知的信息转换成数学符号，特别是需要借助平面上的“上、下、左、右”与生活场景中的“东、西、南、北”的对应关系，才能准确地完成任务，在认识要求上，远远高于生活场景中的认识。因此，对转化过程的体验是学生必须经历的过程。3.形成经验。有学生的自我探索，就会产生丰富的学习材料，而这些材料正是学生原始思维状态的暴露，是学生自我认知经验的产物，这不仅可以为后续教师的有效引导提供依据，同时也为学生形成活动经验提供保证。
三、数学模型建构中，教师需要给学生提供帮助
对三年级的学生来说，他们对“东、南、西、北”四个方向虽然有一定的生活经验，但对“东、南、西、北”等方位概念的掌握还比较抽象，需要大量的感性支持和丰富的表象积累。因此，教学中，教师在引导学生经历数学化的过程时，还需要给学生提供适时、适度的帮助。
1.在提出书面表达的要求前，利用丰富的生活场景引导学生充分体验。
从教材的编排来看，例1的教学任务是“使学生认识东、南、西、北四个方向，能够用给定的一个方向辨认其余的三个方向，并能用这些词语描述物体所在的方向”，直至例2才有书面表达的要求。因此，教师在组织教学时，如同例1对生活场景解读的教学环节还得拉长，可以多形式组织学生说说生活场景中的“东、南、西、北”。如，教室里的“东、南、西、北”以及“东、南、西、北”各个方向上的物品；结合学生的经验，想象校园中的“东、南、西、北”以及不同方向上的建筑物；体验以自身为标准，说说处在自己“东、南、西、北”方向上的同学等等。这些活动的组织，旨在引导学生充分经历“东、南、西、北”等方向的辨认体验，帮助学生积累丰富的感性经验，从而为后续平面表达作准备。
2.借助书面表达情况的反馈交流，在关注多样性的同时引导学生归纳一般规律。
当学生尝试完成以某一个方位为标准的“方位图例”之后，组织学生交流（此时的交流一般先反馈正确的情况），一般会出现如下情况（不足四种也可）：
对于这些结果，不能仅仅简单地反馈“对”或者“错”，而在于引导学生对这些图例作对比解读，请学生整体观察后说一说，方位图中隐藏着怎样的规律，让学生发现无论哪一幅图中，“东与西”、“南与北”均是相对的；“东、南、西、北”四个方向可以以顺时针方向来辨认，当确定了“东”之后，顺时针辨认依次为“南”、“西”、“北”；同理，当确定了方位“南”之后，顺时针辨认依次为“西”、“北”、“东”等等。当然，此时也需要对学生结合自己经验形成的观察记忆方法作出肯定。如，在课堂上，当学生以自己面朝的方向为起点，他会说：“当我面朝‘东’时，我的右面是‘南’；当我面朝‘南’时，我的右面是‘西’；当我面朝‘西’时，我的右面是‘北’”。这样表达显然是学生自己最能理解的，是其自身认识经验的提炼，值得肯定。教学也只有引导学生达到这样的认识层次，才能认为基本建构起“东、南、西、北”的数学模型。
3.提供多样的场景，加深对“东、南、西、北”四个方位的认识。
当学生初步建立了“东、南、西、北”四个方向的概念之后，教师还需要提供一些场景进行巩固提升。如，例2根据实际场景在图纸上表示相关物体及所处的方位。请学生完成后交流，抓住“东、南、西、北”表示在图例中的相对性及“顺时针方向的辨认规律”等知识的体验进行强化。至此，再说明“地图通常是按上北下南，左西右东”这样的方位顺序来编制的常识，并结合学生生活的城镇地图，请学生以某个场所为标准去说说不同场所的所在方向，就此巩固认识。
类似于“东、南、西、北”这样生活气息很浓的教学内容，在小学数学教学中还有不少。因此，在处理设计这类教学内容时，我们需要思考“如何调动学生思维的参与与活动经验的数学化提炼，引导学生完成数学化、模型化的过程”等基本问题，最终更好地为学生形成数学经验服务。
数学与经济学有着紧密的联系，甚至可以说所有的经济学研究与决策，都需要数学的分析与计算。随着数学模型在经济学分析中日益定量化与计量化的存在，使得数学模型在经济学领域中扮演的角色越来越重要。因此，文章针对数学模型在经济领域中的应用策略研究具有至关重要的经济意义与数学价值。
一、数学模型的基本含义
数学模型就是通过对有关数学思想的应用，对一系列实际问题的高度总结与表述。数学模型一般是为了实现特定的研究目标，对现实社会的特定对象提出假设，应用数学图标、图形以及关系式等专业的数学术语及科学的数学手段形成的数学结构。数学模型的数学结构形式丰富多样，其可以是数学图表、算法语言，也可以是几种结构形式的混合。[1]而将现实世界中的具体问题抽象与简化为数学模型即是数学建模，一般包括模型应用、提出问题、模型验证、简化问题、模型改进、模型构建等多个方面。
在经济学领域中，将经济管理与数学模型有机结合在一起，就构建起了经济领域中的数学模型。这一模型就是将实际现象中内部因素间的关系及实践经验总结为一整套反映各种数量关系的具体算法和数学公式，用以描述所研究对象的实际运动规律。数学模型在经济领域中的应用就是通过对客观事物的抽象概括，用模型手段反映各种现象的数量依存关系，这是经济领域中的重要方法之一。值得注意的是，要想实现数学模型在经营领域中的应用价值最大化，不但需要对有关现象实施定量分析，而且要具有深厚的数学功底，如数学中的统计学、决策理论、规划理论等多方面的知识储备。
二、数学模型在经济领域中应用的必要性
经济领域中的数学模型在严格遵循经济理论的引导下，不仅能够实现经济现实的简单化，而且是探究经济领域中各种数量关系的重要工具，也是经济理论与经济现实之间的关键环节。因此，数学模型在经济领域中有着分析问题、解决问题、计算求解、加工信息、验证理论等功能，尤其是能够分析与研究复杂的、范围广的数量关系。[2]从某种程度上讲，在未来经济的发展走向中，运用数学模型对经济领域中的经济问题进行分析，并提出强针对性的经济决策等是必经路径。
与此同时，数学模型也为经济学的分析与研究开创了一条宽广大路，促进了经济学的定性研究朝着定量研究的逐步转化，有助于各项经济决策更加理性化，更具有思维发散的空间。经济学与数学的相互结合，为现实社会创造了巨大的物质财富，也为社会科学的快速发展注入了动力。[3]我们坚信，数学模型必将成为经济发展历程中的一座里程碑，将为经济发展开辟更为广阔的提升空间。
三、数学模型在经济领域中的应用策略
（一）科学采用博弈论
数学模型中的博弈论又被称为“赛局理论”或“对策论”。博弈论在经济领域中的科学??用，就是通过对各个市场竞争实体的策略与行为研究，为博弈的国家、企业以及个人的经济活动进行指导。博弈论不但有助于国家分析与把握企业、个人等的经济规律，而且有利于发现博弈中的低效率经济决策，从而为政府实施高效率的资源配置与宏观调控等提供强大的理论支持。譬如，经济领域中可以积极借鉴“智猪博弈”这一模型，引导小型企业认真分析市场形势，前期做好资金积累与模仿工作，然后逐步推动规模的扩大；引导大型企业不断提升经营管理理念，强化体制建设，促进其进一步做大做强。
（二）合理运用高等数学
高等数学涵盖的范围十分广泛，如多元函数、常微分、函数、定积分等，均被广泛应用于经济领域。比如，高等函数能够对经济领域中的各种供需情况予以有效反映，且可以借助于抽象的、简单的函数模型有效解决经济领域中的一些供需问题，进而为国家的宏观调控以及企业的各项决策等提供必要的数据参考。另外，在经济领域中，定积分与微积分也被广泛应用，即根据不定积分的有关原理，能够促使边际函数逐步转化成原函数，从而应用定积分对总成本、总利润、总需求、总收入等问题进行高质高效的解决。
（三）高效使用概率统计学
1问题分析
在理想状况下，若各生产油井在计划实施周期内，日产液量及含水率基本固定不变，没有新井投产，没有停产井，各抽油机不产生故障且功率不变，那么要按计划完成抽油生产任务，问题显然是比较容易解决的。然而在实际情况下，由于在完成计划的过程中存在诸多的不确定性，都可能导致生产计划的变化［1］。因此，首先必须搞清楚存在哪些不确定的因素，通过对各业务流程的认真分析，归结为:公司计划调整，引起的生产计划多次分解问题;随着油井抽油时间的延伸，抽油井的产液量下降和含水率上升问题［2］;由于抽油井减产过快需要对其实施措施，从而引起产油能力提升问题;新井的不断投产问题和由于道路坏使得储油罐中的存油无法泵走而影响抽油井无法生产问题［3］;抽油机故障无法抽油问题等。针对上述存在的问题，其问题的关键是当抽油井的生产状态发生变化而导致生产计划必须变化，这就要求各种抽油生产计划的分解必须是一个动态分解过程［4］。因此，就必须搞清楚生产业务与哪些因素有关，只有这样才能保证生产计划分解的合理［5］。具体分析如下:1)油田公司制定、分解、调整、下达抽油年度生产计划应重点考虑的因素:油田公司的年度计划;油田公司所属各采油厂的年生产能力和油田公司所属各采油厂各季度的实际生产状况。2)采油厂分解、调整、下达抽油季度生产计划应重点考虑的因素:公司年度生产计划的调整;各个采油大队的实际采油能力;各个采油大队的油井生产动态和各采油大队的月生产计划的完成情况。3)采油大队分解、调整、下达抽油月生产计划应重点考虑的因素:采油厂季度生产计划的调整;各个采油区队的实际采油能力;各个采油区队的油井生产动态和各采油区队的月生产计划的完成情况。4)采油区队分解、调整、上报抽油日生产任务应重点考虑的因素:采油大队月生产计划的调整;各个采油点的实际采油能力和各个采油点的油井生产动态。5)采油点的主要工作:按电力供应科下达的日抽油时段实施方案组织实施抽油任务;如实地向采油区队上报各抽油井实际产液量及含水率;上报各抽油井的实际生产状况;预测各抽油井的可能状况和上报新投抽油井情况。
2模型建立
通过前面的分析可知，该问题的本质是在满足各种约束的前提下，如何合理地分解计划，使得在保证完成原油生产计划，该问题的解决可归结为多约束条件下的分步优化问题［6］。根据采油厂实际情况对油井生产计划分解建立如下相应的优化模型。
3实现流程
为了能够实现采油生产计划的合理分配，提高原油生产效率，系统在具体实现中按照以下步骤组织实施，即:1)采油厂抽取上一季的实际生产情况，求得每个采油大队的季度生产能力，并依据油田公司下达的年度生产计划利用式(2)生成各采油大队的第一季度生产计划;对于第二、三、四季度的生产计划的制定时，首先要查看油田公司的年度计划是否有调整，如果有调整，则采油厂根据各采油大队的上一季度实际完成情况，求得每个采油大队的季度生产能力，利用式(3)并依据油田公司调整后的年度计划下达下一季度的生产计划。2)采油大队抽取上一个月的实际生产情况，求得各采油区队的月生产能力，并依据采油大队的季度生产计划利用式(5)生成各采油区队的第一月生产计划;对于第二、三个月的生产计划的制定时，首先要查看采油大队的季度计划是否有调整，如果有调整，则采油大队根据各采油区队的上一个月实际完成情况，求得每个采油区队的月生产能力，利用式(6)并依据采油大队调整后的季度计划下达下一个月生产计划。3)采油区队抽取上一天的实际生产情况，求得各采油点的日生产能力，并依据采油区队的月生产计划利用式(7)生成各采油点的单日生产计划。4)采油点抽取当日各油井的生产动态，并依据采油区队下达的日生产计划，将计划利用式(9)和(10)分配到每一口可生产的油井。同时，采油区队在下达日生产计划时，必须考虑由于对某些井要实施措施而需要停井和新投油井。
4结束语
在实际生产过程中，通过应用采油计划分解模型，很好的解决了采油厂生产计划管理中存在的一些主要问题，节约了生产运营成本，提高了生产效率，有力的推动了采油厂的发展。
作者：刘芬 苏健 李竹林 许淳 廖方茵 单位：延安大学数学与计算机科学学院 陕西广电网络延安分公司
一、数学建模的涵义
在把实际问题进行数学模型的创建时，实质就是把实际问题中所蕴含的数学知识提取出来，形成一个具有实际意义的数学模型，运用数学语言和数学公式对这个数学模型进行研究探索，进而达到解决实际问题的目的。教师在培养学生的数学建模意识时，就要提高学生分析数学问题的能力，通过把实际问题抽象简化成为数学问题，利用学生已有的知识进行解决。数学建模从本质上说就是进行一系列的发现问题、提出问题、解决问题的过程，这个过程对学生的数学能力要求很高，学生必须具备敏锐的观察力和分析力，能把实际问题与自己掌握的数学模型相联系，然后进行提取，在数学世界中解决实际问题，最后把结果再带入问题中进行验证。
二、数学建模基本过程
（一）问题分析
数学模型就是现实世界中的问题同数学知识进行联系的工具，最初在进行数学建模时，就是要把实际问题用数学语言和数学符号进行表述。在把现实问题转化成数学模型时，学生要充分对这个问题进行了解，了解问题的成因和背景，把对解决问题能提供帮助的数据都收集起来，以更好地对问题进行抽象和概况。
（二）合理的简化假设
在实际的生产和生活中，往往受到各方面因素的影响，要解决的问题是时刻变化的，在解决这种多变问题时，要把问题进行合理假设，通过假设把问题简单化，然后运用数学模型进行解决。在进行假设时，要根据问题的背景进行合理假设，假设进行得合理，通过运用数学建模思想这个问题就能获得解决；如果假设不合理或者假设没有根据实际情况进行，那么可能利用数学建模求解出来的答案就不适合实际问题，这就是一个不成功的建模过程。所以，学生在进行建模思想的运用时，一定要根据事实进行假设，才能得出合理有效的解决问题的方法。
（三）建立模型
通过假设，把实际问题中的相关变量之间建立等量关系，从而建立数学问题。在建立模型时，学生要根据从实际问题中提取出的常量和变量建立合适的数学模型，使问题能获得解决。在建立数学模型时我们要遵循以下原则：有简单方法时一定要用简单方法，能运用初等工具时一定要用初等工具，一定要使建立的模型最简单，最易解决。
（四）求解数学模型
数学模型建立之后，接下来就是要对所建立的模型求解。在求解过程中，要使用适当的数学工具，使数学模型在简单有效的方法下获得解决。如果遇到的问题比较复杂，通过一般的数学工具解决不了，那么就可以在事实的基础上对所建立的模型进行细微变化，使模型获得解决。
（五）模型分析、检验、修改与推广
所建数学模型求解出来之后，就要把求得的结果带入实际问题中进行分析检验，以验证所得的答案是否能满足现实要求，并将不合理的结果进行修改。
案例：教师在对不等式进行讲解时，先让学生回忆在探究|x|=3的几何意义时运用了数学中的数轴，之后提出|x|>3和|x|
教师通过数轴来引入不等式意义的探究，这也是把数轴这个数学模型引入了课堂。假设x是数轴上的一个数，那么当它在哪个范围内取值时|x|>3，在哪个范围内取值时|x|3和|x|
这个案例是运用学生学过的知识对新知识进行建模，通过建模让学生能更清楚、更深刻地理解了不等式的几何意义。可见数学建模思想的运用能促进学生学习数学知识，在不断提高数学建模思想的过程中，学生的数学能力也在不断提高。
数学建模除了可以让学生能更好地接受新知识以外，还常用来解决生活中的实际问题。
三、高中常见数学应用模型
（一）函数模型
我们可以从生活中很多现象中抽象出函数模型，例如，如何控制才能使用水量达到最低？如何能使工厂的收入最高？如何使生产化肥的工厂用原材料最省等等。这些问题都能通过函数模型进行解决。
（二）数列模型
数学中的数列主要应用在从特殊到一般来进行研究的问题中，利用数列模型可以解决我们生活中的很多问题。例如，银行利率的增长率是多少？我国每年人口出生率是多少？细胞分裂的速度是多少等等诸多问题。
（三）不等式模型
在最值问题的求解时常用到这个模型，通过从实际问题中概括出来数学式子，然后再运用解不等式的方法获得最值。
（四）解析几何模型
解析几何模型在一些建筑中比较常见，例如拱形桥的修建中就设计到了解析几何的模型。把拱形桥中涉及的数学问题分析、概括出来，就能运用数学语言解决拱形桥中的拱高和半径等问题。
（五）排列、组合模型
排列组合模型的应用很广泛，在很多现实问题中都可以运用到这个模型。
（六）概率模型
在高中数学学习中，学生需要了解概率模型。概率模型是从具有不确定事件中提取出来的数学模型，通过解决概率模型问题来解决实际问题中的几率问题。
生活中存在数学模型的现象很多，学生在日常生活中要养成对事物进行深入分析的习惯，善于把实际问题的本质提取出来，把现实问题抽象成数学模型，从而获得问题的解决。
关键词：演化经济学；数学模型；演化模型
基金项目：[F]教育部新世纪优秀人才项目“制度生成和演变分析”（NCE11030）；山东省自然科学基金项目“山东省新能源产业发展研究：基于技术、制度与产业协同演化的分析”（ZR010Q007）；山东大学人文社科重大研究项目“制度生成和演变的主观博弈分析、验证与应用”（1RWZD11）
作者简介：[F]黄凯南，男，经济学博士，山东大学经济研究院教授（山东 济南 50100）
中图分类号：F0699
文献标识码：A
文章编号：16710169（013）03008308收稿日期：[F]01103
一、引言
近年来，构建数学模型是演化经济学理论发展的一个重要方向，这也促使演化经济学的研究从原先推崇非正式的现实性描述开始迈向对正式和形式化的数理逻辑的重视。
当前，在众多的经济学文献中，存在许多被贴上“演化”标签的数学模型，可以不严格地归纳为以下几种类型：一是直接对传统生物演化模型的借鉴、改造和运用。例如，Logistic增长模型、捕食与被捕食（PredatorPrey）模型和共生演化模型等[1]（P17）；二是演化博弈论，它最早也是源自生物学家构造的生物演化模型（P8），而后被经济学家广泛采用并进一步发展。演化博弈论是当前比较流行的演化建模工具。根据Silva和eixeira[3]的文献统计，在演化经济学领域发表的众多论文中，涉及演化博弈论的占将近0%，而且这个比重近些年还处于上升趋势。演化博弈论模型既包括单群体、离散策略的对称博弈模型，也包括多群体、多维度连续策略的不对称博弈模型[4][5]。这些模型主要涵盖各种类型的选择动态，例如，复制者动态、最优响应动态、平滑最优响应、布朗—冯·诺依曼—纳什动态、选择—变异动态、模仿动态和适应性动态等[6]；三也是和生物学相关，不过它不是直接采用生物演化模型，而是基于生物演化隐喻（Metaphor）发展出来的各种演化算法模型（Evolutionary Algorithms）。这些模型将求解过程类比于生物演化过程，它们最早被运用于计算科学和人工智能中，现也被广泛运用于经济演化建模中[7] 。这些模型包括演化规划、演化策略、遗传算法、学习分类器系统（Learning Classifier Systems）和遗传编程等；四是各种类型的学习模型。较之于前三种类型的模型，学习模型不是直接源自生物演化模型或生物学隐喻，而是主要源自心理学和认知科学，较之于生物学模型，它更加强调个体行为的意识和目的性。这些模型包括虚拟行动、随机学习动态、随机信念学习和经历加权吸引模型等[8]（P895）；五是多主体模型（Multiagent Model）或基于主体的模型（Agentbased Model）。这类模型充分考虑了个体行为的异质性以及个体间的互动过程，也被广泛运用于各种经济演化分析中，并与计算科学结合，逐步形成一门新的经济学分支——基于主体的计算经济学[9][10]。
尽管越来越多的模型被贴上流行的“演化标签”，但是有关演化经济学的数学模型还存在很大的争议。例如，这些演化模型是否真能够描述经济演化的本质特征？某些演化模型（例如，演化博弈模型和博弈学习模型等）本质上是更属于演化分析还是新古典的均衡分析？各种类型的演化模型之间是否存在什么内在关联？面对如此繁多的数学模型，建模者该如何选择适当的模型？是否存在较为一般性的演化模型能够成为经济演化建模的基准模型？ 这里尝试进一步探讨演化经济学的数学模型问题，并尝试部分解答上述一些问题。
二、考察演化模型的三个维度
（一）演化经济学的基本共识
近年来，演化经济学较为流行，并逐步成为时髦的学术标签，但它却是一个极其繁杂的理论体系，至今尚未形成较为成熟和统一的研究范式。被贴上演化经济学标签的理论至少包括：旧制度学派、新熊彼特主义、通用达尔文主义（Universal Darwinism）、演化制度经济学、奥地利学派、创新经济学、演化经济地理学和基于主体的计算理论（Agentbased Computational heory）等。这些理论在本体论和方法论上都存在较大的差异。但在众多的研究方法各异的理论中，还是存在一些基本的共识。odgson[11]总结了演化经济学的四点基本共识：其一，认为世界变化的，而且这种变化不仅仅是数量上或参数上的，它还涉及如熊彼特所强调的技术、组织和经济结构等质的变化。而这种质的变化恰恰是主流均衡理论难以解释的；其二，承认经济变迁的一个重要特征就是新奇（Novelty）的产生。通过创新促使多样性的产生是现代演化经济学的一个重要主题；其三，强调社会经济系统的复杂性特征。这种复杂性主要涉及各种异质主体之间的非线性甚至是无序或混沌的互动，从而限定了可预测性，也促使了新奇和种种“涌现”特征产生的可能性；其四，正如达尔文强调的，各种复杂现象是涌现生成的，不是人为设计或上帝创造的，演化经济学秉承了斯密和哈耶克等人对于自发秩序的洞见。[JP]
中国地质大学学报（社会科学版）
黄凯南：演化经济学的数学模型评析
在上述四点共识中，第一点涉及演化经济学的研究对象，它表明演化经济学必须研究社会经济的演化或变化现象，这有别于主流经济学研究社会经济的均衡现象；第二点涉及演化的动力，它指出演化的主要动力源自创新，创新推动了多样性的生成或增加，为经济演化提供必要的燃料。第三点和第四点都涉及理论研究方法，它指出由于演化的复杂性，参与者都是有限理性和异质的，并且必须从参与者间的互动来描述经济现象的演化过程，这也是复杂系统的生成和演化过程。而这些互动过程可能伴随着新奇的产生、选择和扩散。
（二）三个维度
基于上述演化经济学基本共识，以下提炼三个考察演化模型的维度。
1模型中是否将创新内生化：完整演化分析和局部演化分析。完整演化分析指在上述共识的基础上，不仅承认创新的重要性，还将创新过程内生化，并进一步强调参与者之间的互动过程必须伴随着新奇的产生过程、选择过程和扩散过程，甚至还涵盖这三个过程的互动关系。当然，在某些演化现象中，选择过程和扩散过程可能很难被明确区分开。因此，一个完整的演化分析必须将创新内生化，它是一种比较严格和彻底的演化分析。当将这种演化分析从单一层级演化扩展到多层级共同演化时，它能够解释更多复杂系统的演化现象。如果以此演化分析作为演化经济学的基本分析方法，或者用它作为标准来判定某种理论是否属于演化经济学，许多贴上“演化”标签模型可能都不属于真正的演化经济学。那些将创新外生化而只侧重考察选择过程或扩散过程的理论本质上就不属于演化经济学的阵营。这样一来，许多演化模型就可能都被排除掉。例如，演化博弈模型和某些学习模型。但是不可否认，许多不考虑创新生成过程的演化模型也能够为我们理解社会经济系统的演化提供深刻的洞见，尤其是对新奇的选择过程或扩散过程。因此对于这类模型，不能轻易地将其排除出演化经济学的阵营。我们需要一个更为宽松的演化分析定义，这里将其称为局部的演化分析。一个局部的演化分析是指，尽管承认创新的重要性，但为了简化分析却没有将创新的生成过程内生化，而是侧重考察参与者互动过程中伴随着的选择过程或扩散过程。在对待创新问题，局部演化分析通常将创新视为外生给定的随机冲击，或者甚至不考虑创新生成因素，仅仅关注创新后的对新奇的选择或扩散。
通过区分完整演化分析和局部演化分析，许多流行的演化模型可能不属于完整演化分析，但它们却属于局部演化分析，也能够为我们理解社会经济系统的演化机制提供洞见，因此它们也都属于演化经济学的建模工具。
模型中参与者理性的有限程度：无意识、弱意识和强意识模型。演化模型中参与者的理性是有限的。如果说完全理性模型只有一种类型（例如，约束条件下的目标最优化），而有限理性模型在理论上就可能具有无穷多种，这部分取决于参与者理性的有限程度。因此，从参与者理性有限程度的视角，可以根据参与者行为决策的意识程度区分不同类型的演化模型，例如，无意识演化模型、弱意识演化模型和强意识演化模型。
3模型中参与者之间的异质程度：个体演化模型和群体演化模型。较之于新古典经济学的代表性个体的同质性假设，演化经济学强调参与者的异质性。但是由于参与者之间的差异可能表现在不同层面上，例如，偏好的差异、禀赋（或预算约束）的差异、信息的差异以及学习规则或演化规则的差异，不同的演化模型有不同的异质性假设。因此，根据参与者异质性程度的差异可以区分不同类型的演化模型。这里通过考察模型中的参与者之间的学习规则或演化动态规则是否存在差异，将演化模型简单区分为个体演化模型和群体演化模型，前者指参与者的学习规则或演化规则存在差异，后者则是指参与者拥有相同的学习规则或演化规则。
三、演化模型评析
如上所述，可以从三个维度对演化模型进行归类和分析：其一，根据是否将创新内生化，将模型分为完整演化分析模型和局部演化分析模型；其二，根据参与者理性的程度强弱，将演化模型区分为无意识演化模型、弱意识演化模型和强意识演化模型；其三，根据模型中是否考虑参与者学习规则或演化规则的差异，将演化模型区分为个体演化模型和群体演化模型。以下通过这三个维度来分析五种演化模型，尝试比较这些模型。
（一）生物种群动态模型
在Vincent和Brown[1]（P17）研究的基础上，这里描述一个较为一般性的生物种群动态模型。首先介绍经典并且被广泛运用的上述种群动态模型描述了种群密度或数量的动态变化过程，也可以转变为策略频数的动态变化过程。模型中物种的类型空间和策略空间都是外生给定不变的，模型并不涉及新物种或新策略的产生，亦即不涉及创新的生成问题。因此，这类演化模型显然是一种局部的演化分析。在社会经济系统中，可以将物种密度xi视为参与者或互动者i（例如，个体、企业和其他组织等）的某种表现型特征（例如，资产规模、产出等），而策略ui视为互动者i某种基因型特征（例如，投资惯例或R&D决策等）。上述演化模型可以描述参与者互动过程中对策略的选择过程。可以将策略频数的变动规则视为一种策略学习规则或演化规则，则该模型所有参与者都拥有如方程（5）所示的演化规则。因此，参与者之间的演化规则是同质，这类模型属于群体演化模型。此外，这类模型中参与者的意识程度较弱，通常是采用无意识的学习规则，策略的改变主要是受到自然选择（例如，市场竞争）的作用。
（二）演化博弈模型
演化博弈论的发展和现代演化经济学的复兴几乎处于相同时期，但演化博弈论在演化经济学的运用却长期存在争议[5]。这里描述演化博弈中最为经典的复制者动态模型。
通过比较方程（5）和方程（7）可知，上述的种群动态演化模型等同于演化博弈论的复制者动态模型。如果假定策略的适应度不受策略的频率分布的影响（即适应度是不变的），那么，复制者—变异者方程就等同于准种方程（Quasispecies Equation）。n种策略的连续复制者动态方程等同于n-1物种的LotkaVolterra方程。正如，Vincent和 Brown[1]（P30）指出，只要建立各种演化策略的适应度和种群增长率的函数关系，大量生物种群动态模型都可以转化为演化博弈模型。
许多演化经济学家拒绝演化博弈论的一个重要原因是，演化博弈论本质上不考虑创新问题，它仅仅涉及策略的选择过程或扩散过程，其所谓的策略突变是在既定策略空间中进行的，即从某种已知的策略以随机概率转向另一种已知的策略，这过程并不产生任何新的策略[5]。但是如前所述，只要我们放宽对演化分析的定义，这种仅考察选择过程或复制过程而不考察创新过程的分析可以被称为局部的演化分析，它也应该属于演化经济学的数学模型。较之于上述原因，另外一个拒绝演化博弈论的理由则更加充分，即演化博弈论主要是为了解决经典博弈论多重均衡问题，其发展出的能够抵御孤立突变策略冲击的演化稳定策略 、累积突变策略冲击随机稳定均衡以及其他的均衡概念是为了进一步精炼经典博弈论的纳什均衡。如果将演化博弈论视为通过发展新的解概念来精炼经典博弈论的均衡，那么演化博弈论则属于均衡分析。因此，演化博弈论既可能属于演化分析，也可能属于均衡分析，这取决于研究者运用它时的分析视角。如果是运用演化博弈论来考察策略频数的动态变化过程，那么它就属于局部演化分析，能够成为演化经济学建模工具，这时演化过程可能出现演化稳定均衡（例如制度的生成），也可能不出现策略均衡；反之，如果运用演化博弈论的解概念来精炼纳什均衡，那么演化博弈论就不属于演化分析，而是均衡分析。
由于不考虑创新生成问题，演化博弈论的博弈形式（ame Form）是外生给定不变的，演化环境是外生给定不变的，它是一种典型的局部演化分析。演化博弈中的参与者之间拥有相同的演化规则（例如，复制者动态、复制者—变异者动态），因此，演化博弈模型也属于群体演化模型。在经典的复制者—变异者动态模型中，演化博弈论的参与者的理性是相当有限的，其行为通常是无意识或弱意识的。
（三）演化算法
演化算法是指将求解过程类比为生物演化过程（例如，基因复制、变异、重组和选择等）的各种优化技术，它是一个较为宽泛的概念，涵盖了包括演化规划、演化策略、基因算法、基因规划和学习分类器系统等在内的各种演化计算（Evolutionary Computation）方法[6][1]（P0）。
以下简要阐述演化算法模型的基本分析结构，它通常包含如下一些分析构件：其一是种群（Population），种群中包含许多个体，每个个体表示一个可能解；其二是适应度函数（Fitness Function），它是一个特定的目标函数，用来描述一个给定的可能解与目标解之间的距离，适应度越高的解与目标解的距离越近，通常也越容易被保留，反之则更容易被淘汰。存在两种类型的适应度函数，即不变的适应度函数和可变的适应度函数。设定适应度函数是演化算法较为重要的环节。如果设计了错误的适应度函数，可能得出错误的解，或者很难得到收敛的解；其三是初始化函数（Initialization Function），它是指如何从种群中随机挑选出初始的群体，是设定初值的过程；其四是选择，即从种群中挑选出符合选择标准的个体进行繁殖。根据不同的选择标准存在各种类型的选择函数。例如，与适应度成比例的选择，即个体被选择出来繁殖的概率等于它的适应度在种群的比例，以及锦标赛选择，即通过随机分群，选择适应度最高的群体进行繁殖。当种群规模不变时，就需要一种替代机制，即在复制过程中，种群中的某些个体被另一些个体取代。根据不同的标准，存在不同类型的替代机制；其四是重组（Recombination），它是指个体之间信息交流的过程，这也是生成新解的过程。通过重组算子，新的解（例如，后代）从被选择出的可能解之间生成。存在不同类型的重组算子，例如，算数重组、几何重组、平面重组和模糊重组等；其五是突变，是指在突变算子（Mutation Operator）的作用下，一种解突变成另一个解，在整个种群中，突变的比例通常很低，否则对最优解搜寻过程就成为随机游走。根据解的不同表述形式，突变算子也具有不同的形式。例如，当一个解用二进制的比特串（Bit Strings）来表示时，突变可以被描述为在特定位置上一个符号对相反符号的替代。如果解是一个比二进制更为复杂的数据结构，突变算子也会相对比较复杂[7] 。
由于重组过程明确考察了新策略的产生过程，演化算法将创新内生化，它是较为完整的演化分析。在许多情况下，参与者的理性程度通常较弱，最优解的求解过程是通过演化算法来实现。在演化算法中，参与者之间通常拥有相同的演化算法，因此，它也属于群体演化模型。
（四）学习模型
上述三种模型主要与生物演化相关，学习模型则更多地基于认知科学（尤其是心理学和脑科学等）的研究成果，用来描述参与者策略频数的演变。根据学习过程中是否存在有意识的认知过程，可以将学习分为不存在认知过程的无意识学习（Nonconscious Learning）以及存在认知过程的有意识学习（Conscious Learning），前者是指参与者在学习过程中通常不需要去思考行动及其结果，例如，强化学习和参数自动化学习（Parameterised Learning Automaton），后者则是指参与者在学习过程中通常要耗费认知资源去思考和比较各种行动及其可能的结果[8]（P895）。Brenner[8]（P890）认为，根据意识的强弱程度，可以再将有意识学习分为基于惯例的学习（Routinebased Learning）和信念学习（Belief Learning），前者是相对弱意识的学习，包括满意学习和模仿学习等，后者是相对强意识的学习，包括随机信念学习、贝叶斯理性学习和虚拟行动等。
这里描述一个较为综合的学习模型，即经历加权吸引模型（Experienceweighted Attraction Model），通过改变模型的参数值，它能够描述无意识学习和有意识的信念学习[8]（P900）。该模型可以通过如下两个方程来描述对新经历的学习或调整过程较之于生物演化模型、演化博弈模型和演化算法，学习模型能够更准确地描述社会经济系统演化过程中参与者的微观行为，使得许多宏观演化现象具有较为扎实的微观基础。如上所述，学习模型既包括无意识的基于本能的学习行为，也包括弱意识的基于惯例的学习行为以及强意识的信念学习行为， 它实际上能够描述人类包括目的性和无目的性在内所有特征的行为，是较为一般的模型。前面谈到，通过适当的改造，大量生物种群动态模型都能够转化为演化博弈模型。同样的，通过适当的改造，演化博弈模型和演化算法实际上也能够转化为学习模型。例如，演化博弈中复制者动态模型可以被视为参与者采用较为简单的“见好就变”的学习规则；上述演化算法中的选择过程、重组过程和突变过程分别可以被视为参与者采用了模仿、交流和试错等学习规则。在这个意义上，在社会经济系统中，只要谨慎地设定参与者的学习规则，许多演化模型都可以转化为学习模型。
学习模型既可用于完整的演化分析，也可用于局部的演化分析。无论是自己试错式的创新还是在互动交流中的创新都是学习过程，因此，当它将创新内生化（例如，新策略的产生），这种学习模型则是一个完整的演化分析，反之，如果它只考察策略的扩散问题（策略频数的变化），它则是一个局部的演化分析。显然，学习模型包括无意识演化模型、弱意识演化模型和强意识演化模型。同样的，在理论建构中，如果参与者的学习规则是相同的，则它属于群体演化模型，反之，如果参与者的学习规则存在差异，则它属于个体演化模型。在许多情况下，尤其是博弈学习理论中，为了便于求解，许多的学习模型通常都假设参与者拥有相同的学习规则，并且不考虑策略创新问题。
如上所述，多主体模型是一个较为开放的建模方法，它本质上是一种建模的思路，而不是具体的模型。通过具体的模型构造（例如，设定具体的微观参数、宏观参数、决策规则和互动结构等），它能够变成各种生物演化模型、演化博弈模型、演化算法以及学习模型。因此，多主体模型更具有一般性。在某些情况下，多主体模型可以求出解析解（例如，演化博弈模型），但是在大多数情况下，由于参与主体之间的异质性、非线性的互动和正反馈效应等，大量的模型不能求出解析解，只能借助计算机进行仿真模拟计算。较之于上述演化模型，多主体模型具备如下一些优点：其一，较好地描述了复杂系统的生成和演变。多主体模型能够最大限度地刻画参与主体之间的异质性，能够描述参与主体各种类型的学习规则以及主体间各种类型的互动过程，进而较好地描述复杂系统的生成和演变；其二， 能够被运用于各种经济政策仿真实验，比较各种政策的实施效果。借助计算机科学的成果，多主体模型能够方便地通过改变初始条件、宏观参数等来仿真比较各种不同经济政策的实施效果，从而为政策或者制度比较提供仿真实验；其三，结合现实经验数据，通过参数调整和校准，能够更为真实地模拟经济系统的运用状况。
当前，多主体模型的研究仍处于起步阶段，还存在许多局限，这集中体现在以下几个方面：其一，由于多主体模型更多是一种建模的思路或方法，它涵盖了许多类型的演化模型，缺少对具体模型建构和选择较为统一和严密的理论分析，亦即缺少统一的理论分析逻辑，这导致建模者对于模型中初始参数、变量、行为规则或互动结构更多是根据经验归纳和自身研究偏好来设定，模型带有较大的随意性。相同的经济现象可能出现多种的解释模型，并且这些模型之间可能存在较大的差异性；其二，由于许多模型存在较强的正反馈机制，初始条件的设定对结果的影响极大，初始条件较小的变动在正反馈机制的作用下可能导致结果出现结构性的变化，这会影响模型的稳健性，并要求建模者必须对系统演化的初始条件拥有足够的信息；其三，模型很难通过实际的经验数据来检验。模型通常产生多重均衡或预测结果是不确定的，但现实观测的数据通常仅仅是一个单一时间序列数据，它可能是位于各种可能结果分布中较小峰的低概率事件或者是结果分布的瘦尾处（hin ail），这使得即便模型能够精确体现这一数据生成的过程，也很难用标准的统计方法来检验模型的精确性[9]。
根据模型的具体构造，多主体模型既可能是将创新内生化的完全演化分析模型，也可能是仅考虑创新扩散和选择的局部演化分析模型。相应的，根据不同学习规则的设定，多主体模型既可能是无意识、弱意识或强意识的演化模型，也可能是个体演化模型或群体演化模型。
四、模型比较与选择
如前所述，可以通过三个维度来比较不同类型的演化模型（如表1所示）。从创新是否内生的维度看，生物种群动态模型和演化博弈模型都将创新视为外生，它们模型本身没有解释创新是如何生成的，而是更为关注创新的选择和扩散问题，这是一种局部的演化分析，系统演化的动力主要源自选择的力量。而演化算法模型、学习模型和多主体模型都能够将创新内生化，因而它们能够进行完整的演化分析。当然，它们也可以进行局部的演化分析。
创新是否内生（完整或局部演化分析）参与者理性有限程度（无意识、弱意识和强意识）参与者间异质程度（个体演化和群体演化）
生物种群动态模型创新外生，属于局部演化分析[SQ3]无意识演化模型[SQ3]群体演化模型
演化博弈模型创新外生，属于局部演化分析无意识或弱意识演化模型[SQ3]群体演化模型
演化算法模型创新内生，属于完整演化分析无意识或弱意识演化模型[SQ3]群体演化模型
学习模型[SQ3]完整或局部演化分析[SQ3]无意识、弱意识或强意识演化模型个体演化模型或群体演化模型，通常是群体演化模型
多主体模型[SQ3]完整或局部演化分析[SQ3]无意识、弱意识或强意识演化模型个体演化模型或群体演化模型，通常是个体演化模型
例如，在博弈学习理论中，大量的模型都将创新视为外生；从参与者理性有限程度的维度看，生物种群动态模型通常是无意识的演化模型，演化博弈模型和演化算法模型通常是无意识或弱意识的演化模型，而根据学习规则的具体设定，学习模型和多主体模型则可能是无意识、弱意识或强意识的演化模型；从参与者异质程度的维度看，在生物种群动态模型、演化博弈模型和演化算法模型中，参与者之间的学习规则或演化规则是相同的，它们属于群体演化模型；在学习模型和多主体模型中，根据模型的具体设定，参与者之间的学习规则既可能是相同，也可能是不同，因此，它们既可能是个体演化模型，也可能是群体演化模型。通常情况下，为了便于求解，学习模型更多假定参与者之间采用相同的学习规则，它更多是属于群体演化模型。借助计算机技术，多主体模型能够最大限度地考察参与者的异质性，通常假定参与者之间采用不同的学习规则，因此，更多是属于个体演化模型。在上述五种演化模型中，从生物种群动态模型到多主体模型，通常情况下，模型的复杂程度和开放程度是依次增强的，模型的描述性也是依次增强，相应的，模型的抽象程度和封闭程度则依次减弱。较之于其他模型，由于强调参与者之间的异质性及其互动的非线性，多主体模型是一个更为开放和更具备演化本质的模型，能够更为准确地刻画复杂系统的生成及其结构性的演变。当然，描述性越强的模型抽象程度就越弱，多主体模型的预测性和稳健性也较弱。
相应的，建模者可以根据自身的研究目的来选择合适类型的模型来建模。这包括：其一，根据具体研究是否需要考虑创新的生成问题来选择合适的模型类型。例如，如果研究涉及创新的生成问题，建模者就不能选择局部演化模型，而必须选择完整演化模型，反之，则可以选择局部演化模型。其二，研究目的是为了更为准确地描述参与者的微观行为过程。这类模型通常基于实验经济学、行为经济学或心理学等的研究成果，力求更准确地描述参与者的微观行为机制。模型包含对参与者行为细节的描述。因此，建模者可以根据其所考察的参与者的行为规则选择合适的模型。例如，根据不同理性的程度选择有意识、弱意识或强意识的演化模型，或者根据参与者之间的异质程度来选择个体或群体演化模型。其三，研究目的是为了便捷地解释某种典型性事实的生成。这类模型主要强调参与者之间互动的结果必须与典型性的事实相符，而不追求参与者微观行为描述的真实性，在许多情况下，只要能够达到研究目的，模型对参与者行为的设定越简单越好。
五、结论与展望
如前所述，多主体模型是一个较为一般和开放的建模方法，通过具体的模型构造，它涵盖了许多类型的演化模型，而且借助计算机仿真模拟，它能够考察复杂的宏观现象的生成和演变是如何由多个异质的微观主体互动过程来实现的。这也是多主体模型被越来越多地应用于各种演化分析的重要原因。但是，由于缺少统一的理论分析逻辑，多主体模型还存在许多局限，具体模型的构建还比较随意，它更多是提供演化建模的思路或视角，还远没有建立演化分析的基准模型。因此，在演化经济学基准模型的探索过程中，未来可以沿着多主体模型的分析框架进一步确立统一的演化分析逻辑，这样有可能建立一个较为一般能够被大多数演化分析共享的演化模型。而演化经济学的基准模型必须能够刻画选择和创新两个驱动演化的基本动力，并且能够从单一群体的演化分析扩展到多群体演化分析。[JP]
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