时间：2022-09-25 14:32:46
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇函数教学，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
C语言的学习在整个计算机专业甚至非计算机专业的学习中都有举足轻重的作用。函数的学习在C语言的学习中是具有灵魂作用的一章。根据笔者多年的C语言教学经验，发现很多学生在进行函数的学习时，遇到很大的困难。很多学生因为函数没搞清楚，导致整个C语言的水平永远只停留在入门的阶段。分析原因，一是大多课本函数知识的安排很靠后，这样函数在整个C语言的学习中课时较少；二是我认为大多是教学方法不合理，很多教师过分注重C语言语法知识的学习，没有注重编程思想的培养。
一、函数的概念函数是一组语句，这组语句可以完成一个独立的操作，这组语句有一个简短的名字，程序员可以仅仅利用这个名字完成某个操作。函数的使用，使复杂的程序变得简单化、条理化、清晰化。在C语言中函数分为两大类：库函数、用户自定义函数。
1、库函数在编写程序的过程中往往有一些操作需要频繁的使用，并且这些操作的代码实现又有一定的难度。比如数据的输入、输出。在C语言中是没有输入输出语句的，由于输入输出涉及到多计算机硬件的直接操作，对用户来说较困难。这些操作往往由编译系统的开发商提供给用户。它们都是以独立程序块的模式出现，并且存在于编译系统的某个文件中，这就是库函数。比如printf()，scanf()。它们是由编译程序根据一般用户的需要编制并提供给用户使用的一组程序代码。C语言的库函数极大地方便了用户，同时也补充了C语言本身的不足。事实上，在编写C语言程序时，应当尽可能多地使用库函数，这样既可以提高程序的运行效率，又可以提高编程的质量。
2、用户自定义函数用户自定义函数顾名思义就是用户自己定义的函数。程序的编写过程其实就是一个个函数的定义过程。很多情况下，C语言的编译系统提供给我们的函数并不能满足用户的要求，这就要求用户自己编写函数。函数是由一组语句组成，并给定一个名字。相应的函数的定义一般可分为两大部分：函数头部的定义、函数体的定义。形式如下：函数的类型函数名（函数的参数）{函数体；}上面大括号上边的一行成为函数的头部（首部），它给出了函数的表面信息：函数返回值的类型，函数的名字，函数要处理的数据；大括号内的语句描述了函数的内在构造，这组语句完成一个独立的操作，是对函数能够完成功能的具体描述。
3、函数的调用函数是由一组语句组成，并给定一个名字。执行与函数相关的一组语句的行为称为函数的调用。应该说函数定义好之后调用之前是没有什么意义的。函数就像某个具有特殊功能的机器工具。这些机器只有在开关打开之后才能发挥作用。在程序编写过程中，完成“开关机器”这个操作的就是函数调用。函数调用的一般形式：函数名（实际参数）；
二、函数的教学C语言函数的教学主要是学习自定义函数以及库函数的使用。
1、库函数的教学库函数的教学主要是引导学生主动积极地去使用库函数。由于大多数课本中库函数仅仅是提及，学生大多只会简单输入输出函数及一些字符串处理函数的使用。其实库函数还有大量的函数提供给我们。但很多学生不会主动去了解，去使用，原因主要是学生不了解库函数有哪些，能干什么。针对这种情况，我们可以在教学中找一些用法简单有趣的库函数来激发学生的学习兴趣。比如可以把图形函数库中的一些函数做一简单介绍，在屏幕上输出一些带有色彩的简单的图案。事实证明色彩的引入能引起很多学生主动使用库函数的兴趣。
2、自定义函数的教学在这个环节的教学中，函数定义的一般形式很多学生能够掌握。但是函数的参数确定以及函数返回值的确定对很多函数初学者来说是难点。我认为，这个地方我们可以引入图示法来理解函数的参数和函数的返回值。函数其实就是对某些数据的处理，我们把函数理解为一个黑匣子，它有一个入口和一个出口。入口进入的数据就是你要处理的数据，也就是函数的参数。出口出去的数据就是数据的处理结果，也就是函数的返回值。
一、教学设计
备课时，我认真研读教材，认为本节课无论是重点和难点都要让学生掌握反比例函数的概念，以及如何与一次函数及一次函数中的正比例函数的区别。所以，我在讲授新课前安排了对“函数”“一次函数”及“正比例函数”概念及“一次函数”和“正比例函数”的复习。
为了更好地让学生掌握“反比例函数”的概念，并能突出重点，我采用了课本上的问题情境，同时调整了课本上提供的“做一做”的有关问题，让学生体会在生活中有很多反比例关系。
情景设置：
第143页实例：电流I，电阻R，电压U之间满足关系式U=IR，当U=220 V时。
（1）你能用含有R的代数式表示I吗？
（2）利用写出的关系式完成下表：
当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？
（3）变量I是R的函数吗？为什么？
学生通过填表发现：
当R越来越大时，I越来越小。当R越来越小时，I越来越大。
变量I是R的函数。变量I是R的函数.由IR=220，得b=220/R.当给定一个R的值时，相应地就确定了一个I值，因此I是R的函数。
设计意图：与前面复习内容相呼应，让同学们能在“做一做”中感受两个量之间的函数关系，同时也能注意到与所学“一次函数”，尤其是“正比例函数”的不同，从而自然地引入“反比例函数”概念。
二、课堂教学
在这节课中，由于备课充分，我信心十足，因此课堂气氛比较活跃。我认为最成功之处是比较充分地调动了学生的积极性、主动性。由于学生的兴趣得以激发，所以，在教授新课的过程中，师生得以互动。
在复习“函数”这一概念的时候，很多学生感到比较陌生，显然不是忘记了就是不知道如何表达。我举了两个简单的实例，学生们立即就回忆起函数的本质含义，为学习反比例函数的图象做了很好的铺垫。
三、经验感想
关键词 函数 概念
回顾函数概念的历史发展，函数概念是不断被精炼，深化，丰富的。初中时函数的定义是一个变量对另一个变量的一种依赖关系。在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。高中时，是用集合与对应的语言描述了函数概念。函数是一种对应关系，是函数概念的近代定义。
设A，B是非空数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。
函数的概念这一节课，内容比较抽象，概念性强，思维量大，为了充分调动学生的积极性和主动性，教学中通过典型实例来启发和帮助学生分析，比较，以达到建构概念之目的。
引出函数的概念，先是举出了生活中的三个实例。第一个实例是关于物体做斜抛运动的，和初中学习过的二次函数相联系。第二个实例是关于臭氧空洞的问题，给出了函数的图像，按照图中曲线，发现了两个集合之间的一种特殊的对应关系。第三个实例是关于恩格尔系数的经济实例。列表给出了恩格尔系数和时间（年）的关系。三个实例共同反映了变量之间的相互依赖的关系，同时反映出两个非空集合之间的一种特殊的对应关系。这样，自然而然地给出了函数的概念，并且这三个实例中的函数恰好是用了三种表示方法：解析法，图像法，列表法。
以实际问题为载体，以信息技术的作图功能为辅助。通过三个实例的教学，师生共同发现了函数概念中的对应关系。教师在归纳出函数定义后，可以在全班进行交流。结合初中函数的定义，指出两个定义的区别和联系。关于“y=f(x)”这一个函数符号的理解，教师可以提问：y=f(x)一定是函数的解析式吗？回答是不一定，可以举出实例二和实例三。函数的解析式，图像，表格都是函数的表示方法。即：y=f(x)表示y是x的函数，但f(x)不一定是解析式。当f(x)是一个解析式时，如果把x，y看作是并列的未知量或者点的坐标，那么y=f(x)也可以看做是一个方程。
函数的核心是对应法则，通常用记号f表示函数的对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样。函数记号y=f(x)表明，对于定义域A的任意一个x在“对应法则f”的作用下，即在B中可得唯一的y.当x在定义域中取一个确定的a，对应的函数值即为f(a).集合B中并非所有的元素在定义域A中都有元素和它对应；值域 。教师引导学生归纳并总结，函数的三要素是定义域，值域和对应法则。
然后，教师给出同学们所熟悉的三种函数，一次函数y=ax+b(a≠0)，反比例函数 ，以及二次函数 。教师演示动画，用几何画板显示这三种函数的动态图像，启发学生观察，分析，并请学生们思考之后，填写对应关系，定义域和值域。通过三个熟悉的函数加深学生对函数近代定义的理解。教师引导学生归纳总结出：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如果函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了。
连续的实数集合可以用集合表示，也可以用区间表示。利用多媒体课件展示怎样用区间表示集合。区间可以分为闭区间，开区间，半开半闭区间。特别地，实数集R记作(-∞，+∞)， ∞ 读作无穷大；-∞ 读作负无穷大；+∞ 读作正无穷大;“∞”不是一个数，表示无限大的变化趋势，因此作为端点，不用方括号。
例1和例2的编排，是为了进一步地加深理解函数的三要素。函数的定义域通常由问题的实际背景确定.对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合。在例1中，要注意f(a)与f(x)的联系与区别：f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值，它是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量。f(a)是f(x)的一个特殊值。例2是来判断两个函数是否相等的。如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，这两个函数就是相等的。
数学概念是构建数学理论大厦的基石；是导出数学定理和数学法则的逻辑基础；是提高解题能力的前提；是数学学科的灵魂和精髓。因此，数学概念教学是高中数学教学的一项重要任务，是“双基”教学的核心、是数学教学的重要组成部分，应引起足够重视。正确理解概念是学好数学的基础，概念不清往往是导致学生数学成绩差的最直接的原因。
【关键词】周期 最小正周期 周期函数
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2012）04－0045－01
要教好函数教学，首先教师自己要对函数教学知识有整体的认识和把握；其次要了解学生的认知结构；再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。课堂教学是学生在校期间学习文化科学知识的主阵地，也是对学生进行思想品德教育的主渠道。课堂教学不但要加强“双基”而且要提高智力；不但要发展学生的智力，而且要发展学生的创造力；不但要让学生学会，而且要让学生会学，特别是会自学；要提高学生的智力因素，尽量在有限的时间里，出色地完成教学任务。以下谈一谈笔者的一些看法。
一 定义法
利用定义求函数最小正周期是一种很重要的方法。
例1，求函数y＝sin（px＋α）的最小正周期，其中p＞0，α为实数。
解：设T是函数y的周期，那么sin［p（x＋T）＋α］＝
sin（px＋α），移项后，再和差化积，得到2sin •cos（px
＋ ＋α）。当sin ＝0它的最小正数解为T＝ ，上式
对于一切x都成立，所欲求最小正周期。
例2，设数列a1，a2，…，an，…，满足a1＝a2＝1，a3＝2，且对任何自然数n都有anan＋1an＋2≠1，又anan＋1an＋2an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，则a1＋a2＋…＋a100的值是 。（1998全国高中联赛）
解：由anan＋1an＋2•an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，得an＋1
an＋2an＋3an＋4＝an＋1＋an＋2＋an＋3＋an＋4，两式相减得an＋1an＋2
an＋3（an－an＋4）＝an－an＋4，因此（an－an＋4）（an＋1an＋2an＋3－1）＝0。
anan＋1an＋2≠1，an＝an＋4。
{an}是以4为周期的周期数列，而a1＝a2＝1，a3＝2，a1a2a3a4＝a1＋a2＋a3＋a4，因此a4＝4，a1＋a2＋…＋a100＝25（a1＋a2＋a3＋a4）＝200。
二 公式法
设周期函数f（x）有最小正周期T，那么f（λx）（λ≠0）
有最小正周期 。这条性质的来源是高中数学中三角函数的
性质：对于函数y＝A sin（ωx＋φ），x∈R其周期为 ，由于
函数f（x）＝sin（x）的周期为T＝2π，所以可以猜想对于一般函数也具有这样的一般性。所以，在求函数最小正周期时，将所给的三角函数恒等变形，等价转化为上面的基本三角函数中的某一种，再套用公式，即可求解。
三 公倍数法
设F（x）＝A sinω1x＋B sinω2x x（其中A，B为非零常数，ω1，ω2＞0，ω1≠ω2），sinω1x的最小正周期为mπ，sinω2x的最小正周期为nπ。m、n皆为正整数，L＝［m，n］，则F（x）的最小正周期为Lπ。
四 对称性
例3，设函数f（x）在（－∞，+∞）上满足f（2－x）＝f（2＋x），f（7－x）＝f（7＋x），且在闭区间［0，7］上，只有f（1）＝f（3）＝0。则：（1）试判断函数y＝f（x）的奇偶性；（2）试求方程f（x）＝0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论。（2005广东高考）
五 奇偶性
性质1：设函数y＝f（x）为奇函数，且关于x＝a对称，则y＝f（x）是T＝4a的周期函数。
性质2：设函数y＝f（x）为偶函数，且关于x＝a对称，则y＝f（x）是T＝2a的周期函数。
六 总结
[关键词]
初中阶段，学生已经学习过函数概念，但到了高中，函数概念发生了变化。此时，数学教师要帮学生理清概念，解析问题。
一、对“函数”概念的理解
在初中，学生已经学习过函数概念，建立的函数概念是：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数。其中x称为自变量。这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系。从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式。进入高中，学生需要建立的函数概念是：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 f（x）|x∈A叫做函数的值域。这个概念与初中概念相比更具有一般性。其实，高中的函数概念与初中的函数概念本质上是一致的。不同点是表述方式不同──高中明确了集合、对应的方法；初中虽然没有明确定义域、值域这些集合，但这是客观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点。且高中引入了抽象的符号f（x），f（x）指集合B中与x对应的那个数，当x确定时，f（x）也唯一确定。另外，初中并没有明确函数值域这个概念。
函数概念的核心是“对应”，理解函数概念要注意：1.两个数集间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应。2.涉及两个数集A、B，而且这两个数集都非空；这里的关键词是“每一个”“唯一确定”。也就是，对于集合A中的数，不能有的在集合B中有数与之对应，有的没有。而且，在集合B中只能有一个与之对应，不存在两个或者两个。3.函数概念中涉及的集合A、B，对应关系f是一个整体，是集合A与集合B之间的一种对应关系，应该从整体的角度来认识函数。
二、目标解析
1.通过丰富实例，建立函数概念的背景，使学生体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。能用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的三个要素。2.会判断两个函数是否为同一函数，会求一些简单函数的定义域和值域。3.通过从实例中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力。
教学的重点是，在研究已有函数实例（学生举出的例子）的过程中，感受在两个数集A、B之间所存在的对应关系f，进而用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念。然后再进一步理解它。
三、教学问题诊断分析
1.学生对函数概念中的“每一个”“唯一确定”等关键词关注不够，领会不深。教学中，可以通过反例让学生加以认识。如有学生的考试情况是这样的：集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{90，93，98，92}，f：每次考试成绩。这里就不能表示一个函数。因为对于集合A中的元素“4”，在集合B中就没有元素与它对应。
2.忽视“数集”二字，把一般的映射关系理解为函数。如：高一（2）班的同学组成集合A，教室里的座椅组成集合B，每个学生都有唯一的一个座椅，班上还有空椅子。这能否算作一个函数的例子，为什么？
3.对为什么集合B不是函数的值域不理解．让学生感受到，有时，为了研究方便或者确定一个函数的值域暂时有困难，使得B＝{f（x）|x∈A} 更加合理。
4.当函数关系具有解析式表示时，f（x）当然可以用x的解析式表示出来。学生会因此而误以为对应关系f都可以用解析式表示。可以通过所举实例的类型，引导学生，明确表示对应关系f并非解析表达式不可。但这不是本节课的重点，应该放在下一节课“函数的表示”中解决。只要注意所列举的例子不光是有解析式的即可。
5.本课的难点是：对抽象符号y＝ f（x）的理解。可以通过具体函数让学生理解抽象的f（x）。比如函数f（x）＝x2，A＝x|－2≤x＜2 ．f(－1)＝1，f(1.5)＝2.25，f(－2)＝4，
首先，我认为在课堂上，我对知识的掌握还是有一定的欠缺，把二次函数用自己的眼光和感受想象的太简单，但是对于学生而言，这又是一个重点，尤其是一个难点。所以我课堂上有的习题深度没有掌握好，没有做到面向全体。
其次，本节课体现的是分层教学，而我只是在后面的比赛中简单的体现分层，对于提问中得分层，习题中的分层还是做的不够好，这说明我对于分层教学的这种方法还是有待于进一步的提高，应该真正的站在学生的角度来分层。
第三，课堂上的语言不够精辟，尤其是评价性的话语很少，很单调。没有做到让学生为我的一句话而振奋，没有因为为了争得我的一句话而好好做题等等，这是我一直以来欠缺的一个重要点。
那么针对以上几点，我从自己的角度思考，收获了以下这些：
1.上课之前一定要反复的推敲，琢磨课本，找出本节课知识的“灵魂”，然后站在学生的角度，仔细研究，如何讲授学生们才能愿意听，才能听得明白。尤其不能把学生想像的水平很高，不是不自信，而是不能把学生逼到“危险之地”，以免打击自尊心，熄灭刚刚点燃的兴趣之光。真正做到“低起点”。
2.既然选择和实施了分层教学，就应该多下功夫去琢磨，去进行它。既然是分层就应该把它做到“顺其自然”，而不仅仅是一种形式。在分层的同时应该找到一个点，就是说，这个点上的问题是承上启下的，是应该全班都能够掌握的。对于尖子生，不能在课堂上想让他们吃饱，对于他们应该在课下，或者是采用小纸条的方法单独来测试，不能为了他们的能力把题目难度定的过高。再者，分层应该体现在一节课的所有环节，例如，在提问时，对于一个问题应该分层次来提，来回答。
3.应该及时地，迅速的提高自己的言语水平。
一堂课的精彩与否，教师的课堂语言也是很重要的一个方面，例如一节课的讲授过程，或者是对于学生的评价等等。
督促自己多读书，多练习，以丰富自己的语言。
【关键词】 初中数学 函数概念 教学
1. 概念渗透阶段，初步认识变量之间的相互关系
函数与我们每个人的生活息息相关，函数关系充斥着我们的生活，函数概念是中学数学中的核心概念，函数思想贯穿中学教材的始终。首先，从初一代数“对字母表示数的认识”开始，学生体验、认识到了“变量”，在教学中教师要促使学生感受到变量的意义，体验变量的概念.其次，在“代数式的值”、“数轴和坐标”的教学中再渗透变量的含义，让学生通过对代数式中字母取值之间的相互关系，渗透关于“对应”概念的初步思想，感受到变量之间的相互联系。最后，随着代数式、方程的研究渗透这一观念，特别是“二元一次方程”的教学环节中，进一步促进学生感受两个变量之间是彼此关联的。通过这样的铺垫，经过一定量的知识累积，引导学生体会变量之间的相互依存的关系。
2. 概念认知阶段，逐步感知变量之间的内在联系
在初二几何部分教学中，教材中涉及函数关系的例子非常多。比如“角的平分线的定义”、“中点的定义”、“角度之间的互余、互补”等都揭示了两个变量之间的联系。另外像“平行线四边形的性质”、“中位线定理”等等都蕴涵着函数关系。一方面，教师在传授这些知识点的 过程中要有不断渗透变量的意识，即在现实生活中存在着大量的变量，且变量之间并不是独立的，而是相互联系的；另一方面，要指导学生在学习这些知识的过程中熟悉把“几何问题代数化”的方法，为函数的代数和几何方法的相结合打好必要的基础，为后续函数概念的学习作好充分的铺垫。
函数概念的形成用物理上的知识点渗透变量意识，是非常直观而且有效的方法。物理书中的很多知识点都是促成学生形成函数概念的较好素材。比如速度计算公式v=st中的速度、时间和路程，压强计算公式P=F/S中压力、受力面积和压强之间的关系都是典型的函数关系。从多方面、多学科进行渗透，强化变量之间是相互联系的观念。
3. 概念引入阶段，顺利形成函数概念的感知认识
“建构主义学习理论”认为：“应把学生看成是学生主动的建构活动，学习应与一定的知识、背景即情境相联系；在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有的知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。”
在学生对变量意识以及变量之间相互依存关系有了初步认识以后，函数概念的教学前期准备工作已经基本完成，接下来就可以开始函数概念的讲授了。教师在教授函数概念时，一定要合理设置教学情境，要让学生清醒地感受到变量意识，然后再讲清楚“自变量”、“函数”的名称及含义，并引导学生学会运用这些名词来叙述变量间的依存关系，从而熟悉函数概念。
当然学生这时对函数的理解还并不太清晰，正比例函数、一次函数都是比较简单的函数，在实际生活中也是大量存在的，例如相似三角形、30°角的直角三角形中对应边之间的比例关系是正比例函数等等。具体例子可以使学生清楚地认识到两个变量之间的联系及共性，函数的概念就会逐渐在学生的脑海中留下印记，在以后的反比例函数和二次函数的教学中，可以进一步促进学生深入理解函数概念的内涵与实质。教师在实际教学中能从整体上把握教学，就可以挖掘出最适宜的教学方法，使学生深刻理解函数的实质。
4. 概念延伸阶段，逐渐适应函数的学习方法
函数的学习方法与以前代数和几何的学习方法有着明显的不同。进入函数表达式开始，由于函数的表达是多样化的，有图像法、列表法、解析式法等，许多学生很不适应，怎样在教学函数时使学生逐渐适应这种多样化呢？在函数概念的实际教学中，我一般采用教师引导式：先从实际问题引入概念，鼓励学生以讨论的方式，注重分析启发、巩固反馈，使学生一点点地认识到函数概念的共同特性；了解不同的方法表示函数的方法在不同情况下的使用情况。
另外，“数形结合法”是函数学习的最重要的学习方法，它和代数方法、几何方法有着明显的不同。
学生对“数形结合法”的适应需要一定的时间，因为学生对代数解析式与几何图形之间的对应还不适应，从正比例函数到反比例函数，最后进入二次函数的学习过程中，要使学生认识到几种函数的直观对应关系：一次函数对应直线，反比例函数对应双曲线，二次函数对应抛物线.通过对图像的认识与感知，学生体会到“数形结合法”的优点：“准确简洁的解析式，直观形象的图像。”
总之，学习函数概念首先要有观念上的转变，其次要具备抽象思维能力，提高学生的抽象思维能力和学生的认识能力是使学生形成函数思想的基础。所以教师在进入函数概念的教学过程中，要把传授知识和培养思维能力有机结合起来，实现观念上的转变。这就要求教师要从整体上处理好教材，使函数概念的教学活动成为一个有机整体，这样才能在教学活动中真正有效地提高学生的素质。
参考文献：
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[3] 薛国凤，王亚晖.当代西方建构主义教学理论评析[J].高等教育研究，2003（1）.
函数是初中数学的核心内容，一直以来都是重点与难点，学好函数，不仅仅是应对考试的需求，更是解决许多实际生活问题的需要。函数概念自身的抽象性与学生的思维特点、学习习惯，构成了初中函数教学的主要困难，教学应在深化概念理解、渗透数形结合思想、激发学生学习主动性等方面提出提高初中函数教学效率。
[关键词]
函数；思维；对策
作为初中阶段接触的全新概念，函数一直是初中数学教学的重点与难点，学生在学习过程中不免遇到许多困难，本文将对此进行探究。
一、初中数学函数教学存在的主要困难
（一）函数本质意识不清
初中数学函数教学的首要困难便是函数概念本质理解的问题，这一问题的原因是来自多方面的：
第一，函数概念自身的抽象性。由函数的发展历史我们就可以看出，函数是一种简洁却抽象的概念，它表达出了两个变量之间的某种关系，是一个变化的过程，与学生习惯的静止、稳定的状态不同，函数是动态的，需要用整体、全局的眼光去考虑问题。在函数的概念中，涵盖了许多子概念，如映射、变量、定义域、值域等等，每一个概念都像是一个密码，只有将这些密码依次理解透彻，才能打开函数奇妙世界的大门，而学生往往在这些子概念上就会出现混淆，例如，y=f（x）与x=f（y）并没有本质上的不同，但学生往往会因不明白变量的真正含义，主观地将其视为两个不同的函数。
第二，学生思维水平发展的限制。函数的概念具有一定的抽象性，而初中生刚刚跳出小学的具体形象思维模式，抽象与辩证思维正处于形成阶段，对于函数这种动态的、辩证的概念，往往很难轻易认知明确，需要经历一个片面到全局、部分到整体的过程，在接触函数之时，许多学生会误将函数视作方程，解答函数问题时，第一反应便是“列方程解应用题”，忽视了函数是一种“关系”的本质；再如有的学生在举函数例子时，会给出形如“x2+5”的式子，也是相似的理解性错误，缺乏关联性思想。
（二）数形结合思想较为薄弱
函数应当是数形结合思想体现最为明显的部分，是培养学生数学思维的有力法宝，但由于学生长期形成的习惯原因，大部分初中生数形结合意识较为薄弱，限制了函数的认知与学习。首先，是思维习惯，小学阶段，学生所接触到的数学问题大都是数是数，图形是图形，少数数形结合问题也可用其他方法来解决，教师不会特地去引导学生把握这种数学思想，学生也就养成了将数字与图形分割开来的思维习惯，而这种习惯在函数学习中是十分不利的，学生经常会犯一些简单的错误，例如图1所示的四个图像中，不表示y是x的函数的是哪一个？很多学生会出现疑惑，不少同学会错选B或C，未能认清“y是x的函数”要求“对于每一个确定的x值，都有唯一确定的y值与之对应”，表现在图像上即为在x轴上取一点，与之对应的y值有且只有一个。
除此之外，学生的动笔习惯也将会影响其判断，在解决函数问题时，一般需要绘制平面直角坐标系草图，而就直角坐标系本身而言，是两条数轴依照特殊的关系组合而成，虽然绘制的是草图，但并不能潦草，不少学生随手画两条相交的直线，不标明坐标轴符号标记，找不出坐标系的特征，不仅他人看不懂，甚至学生自己检查时也会出现疑惑，这种做法若养成习惯，将会给函数学习带来极大困难。
二、提高初中数学函数教学的有效策略
（一）深入本质，注重函数概念形成过程
如前文所述，概念是函数学习的第一大关，若不能将其攻克，势必对学生深入学习函数问题造成不良影响，为此，在函数学习伊始，教师就应注重引导学生把握概念，可联系学生实际生活经验，拉近距离感，消除学生的抵触心理，例如，学生每天上学时搭乘的公共汽车速度、路程与时间的关系，去商店购买物品时单价、数量与总价之间的关系等等，从学生所熟知的事物出发，不仅便于理解，更能体现函数的应用价值。从特殊到一般，是科学探究的常用方法，通过对上述实例进行总结，学生可以抓住变化关系，确认关键属性，再加以抽象概括，就能形成具有一般意义的变量之间的关系，即函数。在这一过程中，教师应对学生不懈引导，避免急于求成，应整体把握学生的认知水平，鼓励学生将函数的概念与生活实际相结合，例如请学生举一些生活中常见的例子，并指出不同变量之间的关系，学生在对函数概念本质有了一定程度的认知后，生活中的一件件小事便有了数学的影子，如去超市买面包，面包单价一定，总价与数量成一次函数关系；自由落地运动中高度与时间为二次函数关系等等，教师的生活经验远远多于学生，所举的例子可能脱离学生实际生活，而让学生自主提出例子，则可避免这种情形，同时有利于教师及时纠错，强化学生对概念的理解。
（二）把握关键，渗透数形结合思想
图像是认知函数的重要手段，数形结合是解决函数问题的首要思想，函数教学必须注重数学思想的渗透，这是打开新世界大门的金钥匙。在教学中，对于某一种函数的学习，首先可从具体实例开始，例如二次函数学习时，取y=2x2，请学生用不同方法对其进行表示，采用描点法亲自动手画出该函数的图像，与以往经验不同的是，各点之间需用光滑曲线连接而非直线，学生对此产生疑惑，教师抓住学生的问题点，利用多媒体辅助教学，动态展示二次函数作图过程，对其进行讲解，并可演示一些生活例子如平抛运动等，进一步深化学生的理解。类似于前文所述，本着特殊到一般的研究过程，引导学生归纳二次函数的特点，再请学生将其应用于实践，例如给出某几个具体二次函数，请学生画出图像草图，避免使用描点法，学生应用自身归纳出的结论解决问题，完成知识的正向迁移，思维能力将得到一定提升。
（三）加强引导，激发学生学习主动性
俗话说“高兴学来的东西永远不会忘”，兴趣无疑是最好的老师，学生对某一问题充满兴趣，往往能够发挥出极大的潜能，尤其是像函数一般抽象的概念教学中，能否激发学生的学习主动性，将在很大程度上决定后续学习的水平。激发学生主动性的方法有很多种，前文所提到的结合生活经验，就是一种极为有效的方法，教师可利用大屏幕展示生活中许多情境，学生则运用所学知识对其进行建模，对于比较复杂的问题如分段函数，教师可以请前后桌的学生组成小组，讨论交流，不同学生看待问题的角度不尽相同，在激烈的课堂讨论中，思维之花怒放，学生对函数知识的理解力也得到有效提升。
（四）反思总结，知识理解进一步深化
函数是初中数学的一大核心，在教学中，必须注重对其进行反思。小到每一节课后的“同学们今天学到了什么？对哪一部分内容印象最为深刻？”大到章节单元学习内容结束时的总结课堂，都要强调反思。在进行阶段性总结时，教师可请学生完成思维导图，由一点开始，辐射状地与各种相关概念、公式、定理相连接，强化构建系统的知识体系，帮助学生强化知识内化过程。
[参 考 文 献]
[1]叶立军，斯海霞.当前初中数学课堂教学存在的问题及其对策[J].中国校外教育，2014（23）.
关键词 数学 函数 教学
一、函数在初中数学教学中的地位和作用
函数知识贯穿于初中数学始终，初一，让学生初步接触到函数，学习了平面直角坐标系、函数概念、一次函数（正比例函数），让学生感受到函数关系和函数图象的对应关系，体会到数形结合这 一重要数学思想方法。初二学习了不等式与不等式组，通过与一次函数的联系，进一步渗透数形结合的思想。初三学习了反比例 函数、二次函数，让学生全面理解掌握函数的相关知识，体会函数数学模型在现实生活的应用，因此函数在初中数学体系中占有重要的地位和作用，它是初中数与代数课程领域学习的主线。
二、初中数学函数教学的策略
1、充分发挥教材功能
教材本身的主导思想是引导学生从生活中的某一个变化过程里两个存在特殊关系的变量中提炼出函数的概念，留绐师生很大的运作空间。几个例题中，例一试图用生活中熟悉的“摩天轮”引出生活中的数学，接着在例二中寻找具体的对应关系，例二让学生体会“唯一对应”的函数值，最后给出总结性的概念。设计思路非常明确，就是要让学生通过教师导引探索某些变化过程中存在的特殊的数学规律并加以概括、精练成数学概念。这正是新教材以学生发展为本的重要特殊性点，也代表了今后数学教学发展的时代要求。所以教学重、难点就是是如何引导，如何启发学生完成这一过程。而突破难点的关键在于教师的适时点拨，使学生在思维上有收有放，即教师要设法自始至终的抓住学生，精心设计问题并配置生动的情景画面，还要大胆地在教材的使用上进行创新，不但对结构进行调整、还要对例题进行深挖、展开探索，以便实现学生感知概念并形成概念的过程。
2、讲清概念。
函数中一个重要的特点就是抽象，变化，学生在初步接触函数时，对函数概念不易理解，感到陌生，所以教师在讲解过程中，要尽量用简单的语言使学生更好的理解函数概念，引导学生将生活实际和函数概念结合起来，加强学生对函数概念的理解，而学生函数思想的形成，不可能一步到位，必须由教师不断引导，深刻理解函数概念，只有把函数概念深刻理解了，才能进行课后题的训练，使学生从整体上理解函数的含义。
3、注重“数学结合”的教学
数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法本身就体现着函数的“数形结合”。函数图象就是将变化抽象的函数“拍照”下来研究的有效工具，函数教学离不开函数图象的研究。
在借助图象研究函数的过程中，我们需要注意以下几点原则：
（1）让学生经历绘制函数图象的具体过程。首先，对于函数图象的意义，只有学生在亲身经历了列表、描点、连线等绘制函数图象的具体过程，才能知道函数图象的由来，才能了解图象上点的横、纵坐标与自变量值、函数值的对应关系，为学生利用函数图象数形结合研究函数性质打好基础。其次，对于具体的一次函数、反比例函数、二次函数的图象的认识，学生通过亲身画图，自己发现函数图象的形状、变化趋势，感悟不同函数图象之间的关系，为发现函数图象间的规律，探索函数的性质做好准备。
（2）切莫急于呈现画函数图象的简单画法。首先，在探索具体函数形状时，不能取得点太少，否则学生无法发现点分布的规律，从而猜想出图象的形状；其次，教师过早强调图象的简单画法，追求方法的“最优化”，缩短了学生知识探索的经历过程。所以，在教新知识时，教师要允许学生从最简单甚至最笨拙的方法做起，渐渐过渡到最佳方法的掌握，达到认识上的最佳状态。
（3）注意让学生体会研究具体函数图象规律的方法。初中阶段一般采用两种方法研究函数图象：一是有特殊到一般的归纳法，二是控制参数法。
4、用好“平面直角坐标系”
在理解函数概念的基础上，要启发学生明白研究函数的意义和方法，研究函数性质的必要性，为了更好地体现不同函数关系式的不同特性，我们可以通过研究函数的图像来反映函数的性质差异，那么怎样建立函数的图像呢？我们可以依赖于一种工具――“平面直角坐标系”，它是各类不同的函数展示各自特性的一个平台，在这个平台上，以另一种方式反映了变量之间的关系，可以更为形象直观地了解不同函数的性质。其实在实际的学习过程中，有很多同学直到初中毕业以后，也没明白函数的解析式与函数图像的关系，不知道为什么要进行列表、描点和连线，不知道函数解析式怎么就过渡成为函数的图像，而只是一味地死记它的画图步骤和老师强调的注意点，缺乏知其所以然的认识。其实我们的教学过程中，在学生理解了有序实数对和平面内点的坐标之间的一一对应关系以后，有必要告诉学生，我们在画函数图像的列表、描点过程中，都是对函数中的两个变量的顺序作了人为的规定，规定了自变量的取值作为点的横坐标，而与之对应的因变量的值作为点的纵坐标。
［关键词］ 函数；概念；生成；反思
本课在教材中的地位与作用
函数在数学课程中一直占据着非常重要的地位，尤其在初中阶段，它不仅有着基础性的重要功能与广泛的实际应用，而且对于学生的后继学习也有着举足轻重的作用，它是初中数学的核心内容，也是重要的基础知识和重要的数学思想. 大家是在前面学习代数式、方程等知识的基础上来学习函数的概念、平面直角坐标系知识、一次函数、反比例函数、二次函数等知识的，为高中函数的学习打下基础. 同时，在函数教材中还蕴涵了丰富的数学思想，如转化思想、模型思想、数形结合思想、分类思想等，感悟这些数学思想不仅是本专题学习的重要任务，而且对今后数学学习及学生生活都将发挥重要作用.
多少年来，学生谈“函”色变，教师教“函”叫苦，面对这样一个抽象的数学概念，如何教给学生，以求教学效益的最大化，是我们共同追求的目标. 因此，以“函数”概念引入课为参赛课题的各级赛课、展示课应运而生.
课堂实录及分析
2013年10月，在全市数学教师青年论坛上，一位数学教师执教苏科版八年级上册“函数”第一课时，这是一节数学概念的引入课，执教教师预先制作了精美的课件，上课前，让学生欣赏了一段视频，内容是自然界的万物变化，让学生感知自然，让数学走进生活.
导课环节，教师设置了以下问题情境：
1. 两张标签（购买相同单价、不同质量的鸡蛋标签）；
2. 模拟升国旗（标明了旗杆总长、升旗速度、旗杆剩下长度等信息）.
在这两个情境中，教师引导学生观察、分析两张标签的相同点、不同点，升旗过程中哪些量发生改变，哪些量不变，进而引导学生得出本课的第一组概念：变量和常量.
教师小结：在变化的过程中，常量和变量会有一些关系. 紧接着教师询问：我们是研究变量还是常量呢？学生回答：变量. 好！正合教师之意，于是进入下一个情境（情境3）进行探究（水位变化）.
课件呈现一个不规则容器（没有刻度），其中蓄水量在上升，教师提问：观察这个变化的过程，你发现变量有哪些？常量是什么？哪些变量之间有一定的关系？（表1）
教师提问：你发现水位和蓄水量之间有怎样的关系？如果在合理的范围内给定一个水位，会有对应的蓄水量吗？有几个蓄水量与之对应？（引导学生感受函数的定义）
分析了蓄水量与水位变化之间的关系后，教师总结：这种对应关系对于水利工作者的研究特别重要.
此时，教师没有立刻揭示函数的概念，而是进入问题情境4――搭小鱼. 在这个情境中，教师意在继续让学生感受变量、常量以及它们之间的变化关系. 从凭经验判断（观察：每次增加6根）到用数据来说明（可列式为6n+2，其中n为小鱼的条数），发现火柴棒的根数和小鱼的条数之间的关系，教师提问：假如在合理的范围内给出小鱼的条数，你能确定火柴棒的根数吗？唯一确定吗？（目标再次指向函数的定义）
此时，教师仍然没有揭示函数的定义，而是引导学生回忆旧知：
6n+2 代数式
6n+2=140（用140根火柴棒，搭了几条小鱼？） 方程
6n+2＜50（用50根火柴棒最多能搭多少条小鱼？）不等式
S=6n+2（火柴棒的根数为S） 此处设置悬念，目标指向函数的表达形式
教师此处对一个旧问题进行回顾，旨在让学生感受函数知识与方程、不等式等的联系和区别，教学意图是函数早已隐含在我们的学习中.
此时，教师仍然没有揭示函数定义的意思，又进入了最后一个情境，即情境5（水波纹）.
教师提出与前几个情境类似的问题：水滴滴下去，你发现哪些量在变化？不变的量有哪些？对于这个情境，教师让学生进行小组讨论、展示，学生展示的内容非常丰富：圆的大小、半径、周长、面积（变量）. 教师引导学生感受半径确定了，周长、面积也随之确定.
此刻，教学时机已经成熟，教师提出问题：同学们观察上述几个情境，变量与变量之间的关系有何共同之处？在经过了小组讨论过后，教师引导学生得出函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数，其中x称为自变量．
对于定义的揭示过程，教师希望由学生自己展示，但最终还是教师引导得出，听课的过程中我们感觉到，学生对定义中“唯一确定”还是不能深入地理解.
为了巩固定义，教师立即引导学生回到之前的情境中，结合定义分别指出变量、自变量、谁是谁的函数等知识点（这个环节前后呼应，顺理成章），并且揭示了S=6n+2或者S=8+6（n-1）都称为函数关系式（为下节课函数关系的表达形式做铺垫）.
紧接着，教师又安排了一系列紧扣函数定义的习题，对于其中的一题：“当矩形的面积一定时，矩形的长是宽的函数吗？”学生甲在回答时说道：对于长的每一个取值，宽都有唯一的数值与它对应，因此宽是长的函数.
学生乙立刻反驳：老师，他说反了，应该是对于宽的每一个取值，长都有唯一的数值与它对应，因此长是宽的函数.
此时，教师积极引导学生对这两个同学的回答进行分析，并指出有的时候y是x的函数， x也是y的函数. 点拨恰到好处，可惜的是，教师一带而过，就进入了下一题，估计还有很多学生没有完全明白这是什么意思.
小结：习题过后，本课的教学任务基本完成，接近尾声，教师把课件又重新切入到开头的视频（万物变化），并提出问题――回顾视频，用函数的眼光描述每一个变化之间的关系. （旨在引导学生用新的眼光观察身边的事物，函数无处不在）
至此，本课画了一个圆，从生活中来，回到生活中去，感悟数学的魅力和价值！
最后老师布置作业：举出身边函数的例子，并思考用怎样的方式表示变化的关系. （为下节课做铺垫，承上启下）
教学案例反思
通过研读2011版新课程标准，发现《标准》中强调了概念教学的形成过程应由学生感悟，自主生成，体现数学概念生成的合理性，强调数学活动，突出学生的主体地位，让学生在活动中感悟数学思想，积累数学活动经验.
在众多的函数概念课教学中，本课无疑是一节符合新课程标准比较成功的一节课，教师设计的每一个环节都体现了突出学生主体地位的意识，对于函数这样一个抽象的数学概念的形成，水到渠成地让学生感悟并生成. 同时，教师在整个教学过程中，调控全局，互动得当，及时提炼与总结，比较顺利地完成了教学任务.
然而，在教学过程中也有一些设计得不够合理的地方，如：
（1）所提到的水位变化过程，情境的创设不够直观，给学生形象感知函数的变化关系增加了难度.
（2）在生成“函数”概念之前，情境过多，新课标要求重视情境教学，使学生经历概念的形成过程，积累活动经验，但不能扎进情境中去，这样会显得没有重点，被情境所困. 如果在升国旗的情境中，就引导学生通过列表感悟升旗时间和旗杆剩下高度之间的关系，既能让学生感悟两者之间的对应关系，又能为下节课函数关系的表达形式之一（列表）埋下伏笔. 而水位变化的情境则可以换成气温变化图，变成学生熟知的情境，降低变量关系的理解难度，也隐含着用图象来表达函数关系的意识.
（3）概念生成的过程有些拖沓，在火柴棒搭小鱼的情境过后（函数关系式），就可以引导学生揭示函数的定义，而把水波纹的情境放入习题中，则可以加深对定义的理解，使得教学环节更加紧凑.
关键词：函数图像；数学思想；教学
一、加强定义教学，理解函数的概念
在学生产生了变量之间是存在相互联系的意识后，那么理解函数概念的准备工作就已完成，此时可以及时地给出函数定义。向学生讲清楚“某一过程两个变量，一个变量任意取值，另一个变量唯一确定的值与之对应”的意义。在教授函数概念时，要重点强化这两种意识，让学生清醒地感受到这两种意识，然后再教给学生自变量、函数的一些名称，并训练学生运用这些名词来叙述变量之间的关系。
接着我们在以后的具体函数的教学中不断使学生理解函数概念的内涵，例如在相似三角形中，每一对对应边的数量关系就构成了正比例函数关系等。用这些具体例子使学生清楚地认识到两个变量之间的依存关系，认识到它们的共同特征，这样就加强了学生对函数性质的理解。
二、建立函数模型，渗透建模的思想
函数知识体现了数学建模思维的过程，要根据提供的信息与材料，对问题进行变形。在解题过程中，重要的就是据题意列出方程，从而使学生懂得，数学建模过程就是根据实际问题，通过观察、类比、归纳、概括等，通过变换问题构造新的数学模型来解决问题。结合课题的学习，培养学生建立数学模型能力、实践能力及创新能力，拓展数学建模形式的多样性与活泼性。数学模型这一思想方法贯穿于整个函数知识学习过程，建立函数表达式等都孕育着数学模型的思想。为了完善学生的数学建模思想，应该培养学生这样的能力：理解实际问题的能力，抓住系统知识点的能力，抽象分析问题的能力，把实际问题用数学符号表达出来的能力，形成数学模型的能力和把结果用数学语言表达的能力，运用数学知识的能力。只有学会建立数学模型，才能对数学知识触类旁通，举一反三，才能解决实际问题。
三、彰显数学思想，体味万变不离其宗
如果加强对学生进行方法指导，并且对学生将数学思想进行潜移默化的培养，其学习效率一定会大大提高。笔者在教学时做了如下实验：每人点燃一柱长度为26cm的香，让学生回答观察到的实验现象。学生通过实验知道：香的长度随着时间的推移逐渐变短。紧接着让学生思考：香的长度y和香的燃烧时间x之间到底有怎样的函数关系呢？学生无法回答。然后再次实验：每隔1分钟，记录一下香的长度，根据记录的数据，要求学生：从这张表格中能获取哪些信息？
（1）用x轴表示香的燃烧时间，用y轴表示香的长度，建立平面直角坐标系：分别描出点（0，26）、（1，25.3）、（2，24.59）、（3，23.9）、（4，23.18）、（5，22.5 ）。
（2）把所画的几个点连起来，选择部分学生所画的图形，利用实物投影仪进行投影，比较学生自己所画的图形，从中发现了什么？
（3）一炷香的长度为26 cm，香的长度y（cm）和点燃时间x（min）之间的函数关系式是y=26-0.7x。在此基础上质疑：函数y=26-0.7x是什么类型的函数？由此猜想，一次函数的图像很可能就是一条直线。通过实验，学生获得一次函数图像的初步印象。
四、层层剖析，展示多样化手法
王波凤
（南师附中江宁分校，江苏 南京 211102）
摘 要：学习基本初等函数对数函数，一方面可以加深对函数概念的理解，掌握研究函数的一般方法；另一方面，基本初等函数是常见的重要的函数模型，是研究其他函数的基础，与生活实践、科学研究有着密切的联系，有着广泛的应用．学生已经学习过函数概念，函数的单调性、奇偶性等性质，学习过指数函数的图象和性质，学习过对数的概念以及对数的运算．这些都构成了学生的认知基础．教学中，一方面利用研究指数函数所获得的经验，按照研究函数的一般方法来研究对数函数，进一步体验研究函数的一般方法；另一方面，加强与指数函数的联系，在知识与知识间的联系中学习新知识，帮助他们形成良好的知识结构，发展理性思维，提高认识能力．两年前的今天我在师大本部借班上了《对数函数的第一课》，到现在仍然记忆犹新，现将整个教学过程和反思与大家分享，有不当之处请批评指正！
关键词：教学案例；对数函数；性质
一、问题情境，构建概念
数学教学应当从问题开始．首先提出
问题一 我们已经学习过指数函数y＝ax（a＞0，a≠1），又知道x＝logay（a＞0，a≠1），那么，在x＝logay（a＞0，a≠1）中，能否说x是y的函数呢？为什么？
生众：x是y的函数．
师：还有“为什么”呢？
生：对于任意一个y，都有唯一的实数x与y对应．
师：任意的一个y？
生：噢，y要是正数．
师：到底该怎么说？
生：对于任意一个正数y，都有唯一的一个实数x与y对应，所以，x是y的函数．这个函数的定义域是（0，+∞）．
师：你们认为对于“任意一个正数y，都有唯一的一个实数x与y对应”，我认为有两个x与y对应．你们怎么反驳我？
生：老师，指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）在a＞1时是单调增的；在0＜a＜1时是单调减的，一个x只有一个y跟它对上．怎么会有两个呢？
师：很好，难不倒你们．前面我们学习过指数函数．在指数函数中，y是因变量，指数函数的值域是（0，+∞），在这里，y成了自变量，（0，+∞）成了定义域．（边说边利用几何画板画出指数函数的图象．）
师：习惯上，我们用x表示自变量，用y表示x的函数，写成
y＝logax（a＞0，a≠1）．我们把这个函数叫做对数函数．
师：在实际生活中，大家见过或者听说过这样的函数吗？
生举例：如果我国GDP年平均增长率保持8%，约多少年后我国的GDP在2010年的基础上翻两番？即利用t＝log1.08N计算年数t是多少．
二、绘制图象，研究性质
师：今天我们结识了一个新朋友——对数函数，接下来自然就是要研究它的性质．提出
问题二 请你研究对数函数y＝logax（a＞0，a≠1），获得它的性质．越多越好．
留给学生充足的时间．
请四名学生板演．各自在自己的草稿本上画起来，写起来，有的还与同伴进行了交流．
待学生板演完毕，绝大多数学生都有了比较充分的思考之后组织交流．
问题三 你们是怎样研究对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）性质的？
有学生说，先画出对数函数的图象．
师：“你们是怎样画对数函数图象的？”
生：“列表、描点．”
教师肯定了他们的做法．这很自然，因为研究指数函数就是先列表、描点画出图象的．教师接着问“都是用列表、描点的方法画对数函数的图象的吗？”有学生举手说，还可以利用指数函数的图象来画对数函数的图象．
师：怎么画？
生：把指数函数的图象关于直线y＝x对称一下．
师：为什么？
生：点P（x，y）在指数函数的图象上，点P’（y，x）在对数函数的图象上？而点P（x，y）与P’（y，x）关于直线y＝x对称．
师：我们来看看是不是这样．
教师借助几何画板，在指数函数的图象上画点P，作出与点P关于直线y＝x对称的P’， 同时度量出点P与P’的坐标，跟踪点P’，拖动点P，显示点P与点P’的坐标，点P’的轨迹形成对数函数的图象．（图2）
事实说明，点P（x，y）与P’（y，x）关于直线y＝x对称，对数函数的图象与指数函数的图象关于直线y＝x对称．
师：我们来看黑板上几位同学写出的对数函数的性质，你们说哪位同学写得最好，需要有什么补充的吗？
同学们就内容是否丰富——是不是发现得最多？表达是否有条理——有没有编号？语言是否准确等几个方面进行了评价，并进行了补充．他们几乎发现了对数函数的所有性质，其中有一些并不是教学所要求的．在教师的引导下，把对数函数的性质与指数函数的性质进行比较，形成如下表格．
性质 对数函数
y＝logax（a＞0，a≠1） 指数函数
y＝ax（a＞0，a≠1）
定义域 （0，+∞） R
值域 R （0，+∞）
奇偶性 不是奇函数，也不是偶函数
单调性 在a＞1时单调增；在0＜a＜1时单调减
图象过特殊点 图象都经过点（1，0） 图象都经过点（0，1）
对称 y＝logax的图象与y＝log x的图象关于x轴对称 y＝ax的图象与y＝（1a）x的图象关于y轴对称
